´ ,,BABES¸-BOLYAI” TUDOMANYEGYETEM
Andrei M˘arcu¸s
´ LINEARIS ALGEBRA
ii
˝ O ´ ELOSZ
A line´aris algebra t´argya a line´aris terek ´es lek´epez´esek vizsg´alata. Eredete a vektorok ´es a line´aris egyenletrendszerek tanulm´anyoz´as´ara vezethet˝o vissza. E dolgozat c´elja megismertetni az olvas´oval az alapvet˝o fogalmakat ´es eredm´enyeket. Az anyag jobb meg´ert´es´enek ´erdek´eben az elm´eletet gyakorlatok ´es feladatok eg´esz´ıtik ki. A k¨ onyvet els˝osorban matematika, informatika ´es fizika szakos egyetemi halgat´oknak ´all´ıtottuk ossze, de figyelm´ebe aj´aljuk a liceum fels˝o oszt´alyaiban tanul´o di´akoknak ´es tan´arainak. ¨ Tekintetbe v´eve a line´aris algebra sz´amtalan alkalmaz´asi lehet˝os´eg´et, a k¨onyv hasznos lehet a m´ern¨ oki vagy a k¨ozgazdas´ agi ter¨ uleteken dolgoz´o, ezen eredm´enyeket alkalmaz´o szakemberek sz´am´ ara is.
iii
´ TARTALOMJEGYZEK
1. Algebrai alapfogalmak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1. Sz´amhalmazok. Eg´esz sz´amok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. Rel´aci´ ok ´es f¨ uggv´enyek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3. Rendez´esi ´es ekvivalencia rel´aci´ok. Kardin´alis sz´amok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4. Csoportok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5. Gy˝ ur˝ uk ´es testek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.6. Polinomok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2. Modulusok, vektorterek, algebr´ ak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1. Alapfogalmak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2. R´eszmodulusok, r´eszterek, r´eszalgebr´ak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3. Morfizmusok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3. Line´ aris f¨ ugg˝ os´ eg ´ es f¨ uggetlens´ eg. B´ azis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35 3.1. Line´aris kombin´ aci´ ok. Szabad modulus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.2. Szabad modulusok univerz´alis tulajdons´aga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.3. Steinitz-t´etel. Vektort´er dimenzi´oja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.4. Dimenzi´ora vonatkoz´o k´epletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.5. Line´aris f¨ uggv´eny m´atrixa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.6. B´azistranszform´ aci´ o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4. Determin´ ansok ´ es m´ atrixok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.1. Determin´ans ´ertelmez´ese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49 4.2. Determin´ans indukt´ıv ´ertelmez´ese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51 4.3. Determin´ansok tulajdons´agai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.4. M´atrix rangja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.5. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 5. Line´ aris egyenletrendszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 5.1. Kronecker-Capelli-t´etel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 5.2. Egyenletrendszerek megold´asa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5.3. Numerikus m´odszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 6. Saj´ at´ ert´ ekek ´ es saj´ atvektorok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 6.1. Saj´at´ert´ek, saj´atvektor, karakterisztikus polinom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 6.2. Triangulariz´ alhat´ o endomorfizmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 6.3. Diagonaliz´alhat´ o endomorfizmusok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
iv
7. Biline´ aris ´ es kvadratikus alakok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 7.1. Biline´aris ´es kvadratikus alakok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 7.2. Val´ os kvadratikus alakok n´egyzet¨osszegre val´o redukci´oja . . . . . . . . . . . . . . . . 91 7.3. Sylvester-f´ele tehetetlens´egi t¨orv´eny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 7.4. Hermitikus alakok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 8. Euklideszi t´ er ´ es unit´ er t´ er . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 8.1. Skal´ aris szorzat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 8.2. Ortonorm´alt b´azis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 8.3. Ortogon´alis ´es unit´er transzform´aci´ok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 8.4. Adjung´alt transzform´aci´o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 8.5. Norm´alis transzform´aci´ok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .107 ´ ´ ´ MEGOLDASOK ´ UTMUTAT ASOK ES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 IRODALOM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
137
Irodalom 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31.
D. Andrica, Culegere de probleme de algebr˘ a liniar˘ a,, Lito. Univ Cluj, 1986. M. Artin, Algebra, Birkh¨ auser, Basel, 1998. M. Becheanu, Algebra I. Curs pentru anul II,, Lito. Univ. Bucure¸sti, 1987. M. Becheanu ¸s.a., Algebra pentru perfect¸ionarea profesorilor, Ed. Didactic˘ a ¸si Pedagogic˘ a, Bucure¸sti, 1983. G. C˘ alug˘ areanu, Lect¸ii de algebr˘ a liniar˘ a,, Lito. Univ Cluj, 1995. T. Csat´ o, T. Frey, Algebra, Tank¨ onyvkiad´ o, Budapest, 1978. D. Fadeev et I. Sominski, Recueil d’exercises d’alg´ ebre sup´ erieure, Edition Mir, Moscou, 1977. M. Farkas, Matematika III. Line´ aris algebra, Tank¨ onyvkiad´ o, Budapest, 1971. E. Fried, Klasszikus ´ es line´ aris algebra, Tank¨ onyvkiad´ o, Budapest, 1974. L. Fuchs, Bevezet´ es az algebr´ aba ´ es sz´ amelm´ eletbe II, Tank¨ onyvkiad´ o, Budapest, 1991. P. Gabriel, Matrizen, Geometrie, Lineare Algebra, Birkhauser-Verlag, Basel-Boston-Berlin, 1974. F.R. Gantmacher, The Theory of Matrices, Chelsea, New-York, 1959. I.M. Gelfand, El˝ oad´ asok a line´ aris algebr´ abol, Akad´ emiai Kiad´ o, Budapest, 1955. R. Godement, Cours d’Alg´ ebre, Hermann, Paris, 1963. F. Gyapjas, Line´ aris algebra ´ es geometria, Tank¨ onyvkiad´ o, Budapest, 1992. E. Halmai, Line´ aris algebra, Tank¨ onyvkiad´ o, Budapest, 1991. P.R. Halmos, V´ eges dimenzi´ os vektorterek, M˝ uszaki K¨ onyvkiad´ o, Budapest, 1984. E. Horv´ ath, Line´ aris algebra, M˝ uegyetemi Kiad´ o, Budapest, 1995. I.D. Ion ¸si N. Radu, Algebra, Ed. Didactic˘ a ¸si Pedagogic˘ a, Bucure¸sti, 1981. I.D. Ion, C. Nit¸˘ a, D. Popescu ¸si N. Radu, Probleme de algebra, Ed. Didactic˘ a ¸si Pedagogic˘ a, Bucure¸sti, 1981. Gh. Ivan, Bazele algebrei liniare ¸si aplicat¸ii, Ed. Mirton, Timi¸soara, 1996. N. Jacobson, Basic algebra I, Freeman, San-Francisco, 1984. A.I. Kostrikin, Introduction ` a l’alg´ ebre, Edition Mir, Moscou, 1981. A. Kurosh, Cours d’alg´ ebre sup´ erieure, Edition Mir, Moscou, 1973. ´ A. M˘ arcu¸s, Cs. Sz´ ant´ o, Altal´ anos algebrai feladatgy˝ ujtem´ eny, Lito. Univ Cluj, 1996. I. Monostory, I. R´ abai, Matematikai p´ eldat´ ar III. Line´ aris algebra, Tank¨ onyvkiad´ o, Budapest, 1971. I.V. Proskuriakov, Problems in linear algebra, Mir Publishers, Moscow, 1978. T. Szele, Bevezet´ es az algebr´ aba, Tank¨ onyvkiad´ o, Budapest, 1963. J. Szendrei, Algebra ´ es sz´ amelm´ elet, Tank¨ onyvkiad´ o, Budapest, 1974. I.R. S ¸ afarevici, Not¸iunile fundamentale ale algebrei, Ed. Academiei, Bucure¸sti, 1989. S. Warner, Modern Algebra, Dover, New York, 1990.
