1
DAFTAR ISI Halaman KATA PENGANTAR …………………………………………………………..... DAFTAR ISI …………………………………………………………………….... Kompetensi/sub kompetensi ……………………………………………………..... Peta Bahan Ajar …………………………………………………………………..... BAB I PENDAHULUAN ............................................................................... A. Latar Belakang …………………………………………….......... B. Tujuan …………………………………………………............. C. Sasaran ......................................................................................... D. Ruang Lingkup ………………………………………….............
i ii iii iv 1 1 1 1 1
BAB II
KONSEP PENJUMLAHAN, PENGURANGAN, PERKALIAN DAN ... 2 PEMBAGIAN A. Pengantar .......................... .................................................... 2 B. Tujuan Pembelajaran, Kompetensi, Strategi Belajar, Media Belajar 2 F. Konsep Penjumlahan dan Pengurangan ........................................... 2 G. Konsep Perkalian dan Pembagian .....………… ............... ............ 6 Latihan 1 ...................................................................................... 15 H. Operasi Hitung Campuran ……………………. …………........ 16 Latihan 2 ...................................................................................... 16
BAB III
PEMBELAJARAN KPK DAN FPB DENGAN PENDEKATAN KONTEKSTUAL …………………………………………………..... A. Tujuan Pembelajaran, Kompetensi, Strategi Belajar, Media Belajar E. Pembelajaran KPK …………………………………………….... F. Pembelajaran FPB ……………………………………………...... Latihan 3 .......................................................................................
17 17 17 20 29
BAB IV
BILAGAN PERSEGI, KUBIK, DAN PENARIKAN AKARNYA .... A. Tujuan Pembelajaran, Kompetensi ................................................ B. Bilangan Persegi ……………………………………………....... C. Bilangan Kubik …………………………………………........... D. Teknik Menguadratkan dan Menarik Akar …………………....... Latihan 4 …………………………………………………….......
30 30 30 31 32 36
BAB V
BILANGAN BULAT DAN OPERASINYA ........................................ 38 A. Tujuan Pembelajaran, Kompetensi ................................................. 38 B. Konsep bilangan bulat ................................................................... 38 C. Operasi pada bilangan bulat ......................................................... 38 Latihan 5 ……………………………………………………....... 45
BAB VIII PENUTUP ………………………………………………………........
46
DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................
47
Kunci Jawaban Soal-soal Latihan ............................................................................
48
2
BAB I PENDAHULUAN A. LATAR BELAKANG Kurikulum 2004 atau yang dikenal sebagai kurikulum berbasis kompetensi mengamanatkan bahwa pembelajaran kepada siswa harus mengacu pada siswa mencapai kompetensi yang digariskan. Kompetensi merupakan pengetahuan, sikap, dan nilai-nilai yang dapat ditunjukkan dalam berfikir dan bertindak oleh peserta didik di setiap saat. Materi bilangan Asli, Cacah, dan Bulat yang disajikan pada tulisan ini dirancang sesuai dengan tuntutan kurikulum agar siswa mampu mencapai kompetensi dari kenal masalah, paham masalah, dan trampil memecahkan soal. Untuk maksud tersebut pendekatan pembelajaran yang dikembangkan khususnya penawaran konsep untuk topik-topik esensial dimulai dari mengenal masalah, memecahkan masalah secara informal menggunakan kompetensi yang sudah dicapai sebelumnya, pendekatan formal secara matematis, dan diakhiri dengan pembinaan ketrampilan. B. TUJUAN Modul ini ditulis untuk para peserta Diklat Matematika Sekolah Dasar dengan tujuan setelah mengikuti diklat ini dapat: 1. Memperoleh pengetahuan secara konkrit materi-materi esensial bilangan asli, cacah, dan bulat di Sekolah Dasar. 2. Memperoleh alternatif pendekatan pembelajaran yang tepat termasuk alat peraga dan media pembelajaran yang diperlukan. 3. Memperoleh wawasan keilmuan mengenai materi metode dan strategi pembelajaran bilangan asli, cacah, dan bulat di Sekolah Dasar 4. Menerapkan pengetahuan dan ketrampilan yang dimiliki kepada siswa di sekolahnya. 5. Mengimbaskan pengetahuan yang diperolehnya kepada rekan seprofesi. C. SASARAN Sasaran pengguna modul ini adalah guru SD peserta diklat pasca Uji Kompetensi Awal (UKA) D. RUANG LINGKUP Pokok-pokok materi yang dibahas melalui modul ini meliputi: 1. Penjumlahan, Pengurangan, Perkalian, dan pembagian 2. KPK dan FPB 3. Bilangan kuadrat, kubik, dan penarikan akarnya 4. Bilangan Bulat dan operasinya.
3
BAB II KONSEP PENJUMLAHAN, PENGURANGAN, PERKALIAN, DAN PEMBAGIAN
A. PENGANTAR Menurut Psikologi Bruner (Bruner, 1967: 124) pembelajaran akan lebih bermakna dan lebih cepat mencapai tujuan jika dimulai dari tahapan konkret (enactive) yakni menggunakan obyek sesungguhnya, kemudian semi konkret (econic) yakni obyeknya diganti gambar, dan terakhir abstrak (symbolic) yakni sajiannya hanya dalam bentuk lambang/simbol yang hanya berupa huruf-huruf saja atau angka-angka saja. Menurut Bruner jika siswa mengalami pembelajaran matematika untuk setiap topiknya dengan perlakuan seperti ketiga tahapan tersebut, maka siswa akan mampu mengembangkan pengetahuannya jauh melampaui apa yang pernah mereka terima dari gurunya. Sajian Diklat untuk materi Bilangan Asli, Cacah, dan Bulat (ACB) ini dirancang mulai dari tahapan kedua yakni semi konkret (econic) dan kemudian abstraknya/bentuk symbolicnya yang hanya berupa huruf-huruf saja dan angka-angka saja. Tahapan kongkritnya langsung diperagakan saat tatap muka. Harapannya peserta Diklat dapat membayangkan tingkat kesuksesannya jika hal itu diterapkan di lapangan/sekolah masing-masing. B. TUJUAN PEMBELAJARAN Peserta diklat dapat memperagakan konsep penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian yang mampu dicerna peserta didik kelas rendah sebagai bekal untuk mengembangkan pengetahuan dan kompetensinya di kelas-kelas berikutnya hingga jenjang yang lebih tinggi. C. KOMPETENSI Peserta diklat menguasai kompetensi pedagogik pembelajaran bilangan asli, cacah, bulat dan operasinya. D. STRATEGI BELAJAR Fasilitator menunjukkan garis besar isi modul, pemecahan masalah yang dikemukakan pada modul, dan meminta tanggapan peserta diklat. Peserta diklat menyimak, menyampaikan pendapat/gagasan, dan menanggapi pendapat pihak lain. E. MEDIA BELAJAR Bahan Ajar (Modul), Bahan Tayang, dan Alat Peraga (bila diperlukan). F. KONSEP PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN 1. Penjumlahan Untuk peserta didik kelas rendah (SD Kelas I, II, III) pengertian/konsep yang dapat diterima dengan jelas adalah penjumlahan sama dengan penggabungan 2 kumpulan benda 4
menjadi 1 kumpulan benda (Marsudi Raharjo, 2007: Laporan Hasil Praktek Konsultansi di SD Ngijon 1, Seyegan Sleman 2004 s.d 2007). Dari peragaan melalui beberapa gambar siswa kelas rendah dapat melihat suatu pola/kecenderungan tertentu sehingga dapat menyimpulkan sendiri di alam pikirannya bahwa ”ditambah = digabung” dan ”akibat dari ditambah adalah hasilnya akan menjadi lebih banyak”. Tahap kongkret/enactive pada penjumlahan. Contoh : 3 + 5 = ... Misalnya kita menggunakan tutup botol sebagai alat peraga. Langkah-langkahnya sebagai berikut: 1. Tunjukkan ada 1 kelompok isinya 3 tutup botol 2. Tunjukkan lagi ada 1 kelompok lainnya yang berisi 5 tutup botol 3. Tanyakan ke siswa jika kedua kelompok itu digabung hasilnya ada berapa tutup botol? Ayo coba berapa hasilnya? 4. Tanyakan ke siswa siapa yang dapat menunjukkan bagaimana cara menggabungkan keduanya (kedua kelompok itu) 5. Ajak siswa lainya mengamati bentuk gabungannya. 6. Guru: Mengucapkan sambil menuliskannya di papan tulis bahwa “3 ditambah dengan 5 hasilnya sama dengan 8” artinya bentuk yang kita tulis “3 + 5 = 8”. 7. Guru: memberikan 2 atau 3 soal sejenis lagi dengan kata kunci “digabung” sehingga secara kongkret sebanyak 3 hingga 4 contoh soal tersebut sudah cukup representatif dalam memberikan gambaran kepada siswa secara kongkret “arti penjumlahan”. Tahap semi kongkret/econic pada penjumlahan diawali dengan soal cerita yang kemudian disajikan dalam bentuk gambar. Contoh Gambar berikut berasal dari soal cerita yang berbunyi : 1. ayam Ali 4 ekor 2. Cahya memetik jambu ... buah ayam Budi 2 ekor memetik lagi ... buah ayam Ali digabung dengan ayam Budi berapa jambu Cahya sekarang? berapa Ayam mereka sekarang?. Soal seperti di atas bagi siswa SD kelas I jelas sulit untuk dipahami karena ada 4 kalimat. Akan sangat lain keadaannya jika sajian soal cerita itu diujudkan dalam bentuk gambar yang sajian medianya dalam bentuk Lembar Kerja Siswa (LKS). LKS adalah media pembelajaran tertulis yang memuat ciri-ciri konsep, sementara Lembar Tugas Siswa (LTS) adalah media pembelajaran tertulis yang sudah tidak memuat lagi ciri-ciri konsep. Ciri-ciri konsep sudah diperoleh siswa saat kegiatan kongkret (enactive) dan semi kongkret (econic) (Elly Estiningsih:1994, 17). Soal nomor 2 bahkan banyaknya jambu tidak diketahui, namun 5
karena sajiannya dalam bentuk gambar siswa ternyata tetap dapat menyelesaikan soal yang dimaksud. Berikut adalah contoh bentuk LKS yang dimaksud.
ayam Ali
ayam mereka sekarang?
ayam Budi
1
digabung dengan
4
+
berapa
…
=
jambu Cahya sekarang
Cahya memetik jambu 2 6
memetik lagi
…
…
+
berapa
…
=
…
Jika kedua nomor soal tersebut dilanjutkan hingga 10 nomor dengan aneka macam kata kunci (Modul Bermutu 2009: Soal Cerita Penjumlahan dan Pengurangan halaman 17 – 19 dan lampiran halaman 67 – 68) hasilnya 68 % siswa kelas I (yang baru masuk sekolah 2 bulan) mendapat nilai maksimal 10; 27 % mendapat nilai 9; dan hanya 5 % saja yang mendapat nilai 5 asal LKS yang setiap nomor memuat gambar-gambar diberikan pada setiap siswa dan kelimat-kalimatnya dibacakan oleh gurunya. Tahap terakhir abstrak/symbolic adalah tahapan pembelajaran yang bentuk soal-soalnya hanya berupa kalimat tanpa gambar. Kalimat-kalimatnya hanya ditulis dalam bentuk hurufhuruf dan angka-angka saja, dan Lembar Tugas Siswa (LTS) nya diberikan ke setiap siswa dan kalimat-kalimatnya dibacakan oleh gurunya. Hasilnya cukup fantastis persentase siswa yang mendapat nilai 10 bertambah menjadi 77 % siswa mendapat nilai maksimal 10. Sisanya 9 % siswa mendapat nilai 8; dan 4,5 % siswa masing-masing mendapat nilai 9, 7, dan 6 dengan tak seorang siswapun mendapat nilai di bawah 5. 2. Pengurangan Untuk peserta didik kelas rendah (SD Kelas I, II, III), pengertian dari pengurangan yang dapat mereka terima dengan baik secara kongkret/enactive melalui peragaan adalah 6
pengambilan sebagian dari sejumlah obyek (Marsudi Raharjo, 2009: Modul Bermutu Pembelajaran Operasi hitung Perkalian dan Pembagian Bilangan Cacah di SD). Dalam bentuk kegiatan bermain peran kata-kata kunci yang nyaman digunakan adalah : diminta, dipinjam, dan diberikan kepada. Hasil pengurangannya adalah sisa obyek yang tidak terambil. Sehingga dalam bentuk gambar (semi kongkret/enactive) sisa yang diperagakan harus memperlihatkan bahwa bekas dari obyek terkena proses pengambilan adalah kosong. Agar makna pengurangan ini cepat ditangkap siswa, sajian soal ceritanya seperti yang digambarkan pada LKS berikut ini. 1
jambu yang masih ada di piring
di piring ada jambu
diambil … 2
berapa
–
=
…
…
kambing Budi sekarang
Budi punya kambing
berapa dijual …
–
…
=
…
Jika kedua nomor soal tersebut dilanjutkan hingga 10 nomor soal dengan aneka macam kata kunci (Marsudi Raharjo, 2009: 17 – 19 dan 67 – 68) hasilnya 41% siswa kelas I (yang baru masuk sekolah 2 bulan) mendapat nilai maksimal 10, sementara siswa lainnya 29 % siswa mendapat nilai 9; 6 % siswa mendapat nilai 8; 11,8 % siswa mendapat nilai 7; dan 6 % siswa mendapat nilai 6. Syaratnya tentu saja asal lembar kerjanya diberikan pada setiap siswa dan kelimat-kalimatnya dibacakan oleh gurunya. Tahap terakhir abstrak/symbolic adalah tahapan pembelajaran yang bentuk soal-soalnya hanya berupa kalimat tanpa gambar hanya ditulis dalam bentuk huruf-huruf dan angkaangka saja, asal Lembar Tugas Siswa (LTS) nya diberikan ke setiap siswa dan kalimatkalimatnya dibacakan oleh gurunya. Hasilnya juga cukup fantastis ternyata 17 dari 22 siswa (41 %) mendapat nilai maksimal 10; 35 % mendapat nilai 9; 6 % mendapat nilai 7; dan 12% mendapat nilai 6 dengan tak satupun siswa memperoleh skor di bawah 6.
7
G. PERKALIAN DAN PEMBAGIAN 1. Perkalian Untuk perkalian, pengalaman dengan anak sendiri yang sedang duduk di SD kelas II tahun ajaran 2007/2008 anak lebih cepat menghapal perkalian dasar bila teknik yang kita gunakan bersifat kontekstual. Contohnya antara lain adalah: Perkalian dengan 1 obyek kontekstualnya ”kepala” 1 orang = 1 kepala Perkalian dengan 2 obyek kontekstualnya ”sepeda” 1 sepeda motor = 2 roda Perkalian dengan 3 obyek kontekstualnya ”becak” 1 becak = 3 roda Perkalian dengan 4 obyek kontekstualnya ”kambing” 1 kambing = 4 kaki Perkalian dengan 5 obyek kontekstualnya ”tangan” 1 tangan = 5 jari Perkalian dengan 6 obyek kontekstualnya ”daun singkong” 1 daun singkong = 5 jari Perkalian dengan 7 obyek kontekstualnya ”minggu” 1 minggu = 7 hari Perkalian dengan 8 obyek kontekstualnya ”windu” 1 windu = 8 tahun. Ada penjelasan dari fasilitator (atau gambar) bahwa, Kepala orang ada 1 .... Roda sepeda ada 2 .... Roda becak ada 3 .... Kaki Kambing ada 4 .... Jari tangan orang ada 5 .... Daun singkong ada 6 .... Satu minggu ada 7 .... Satu windu ada 8 .... Setelah obyek kontekstualnya dikenalkan langsung ditindak lanjuti dengan bentuk perkalian yang bersesuaian. Sebagai contoh misalnya untuk perkalian dengan bilangan 4, anak kita beri pertanyaan: 1 kambing kakinya berapa? dijawab 4 2 kambing kakinya berapa? dijawab 8 3 kambing kakinya berapa? dijawab 12 4 kambing kakinya berapa? dijawab 16 5 kambing kakinya berapa? dijawab 20, dan seterusnya hingga 10 kambing 10 kambing kakinya berapa? dijawab 40. Kita sebagai guru mengusahakan agar pertanyaan di atas diulang-ulang hingga 3 kali. Jika ingin siswa lebih cepat hapal, guru menuliskan di papan tulis dan siswa diminta mencatatnya. 1 kambing kakinya = 4 1 × 4 = 4 2 kambing kakinya = 8 2 × 4 = 8 3 kambing kakinya = 12 3 × 4 = 12 8
4 kambing kakinya = 16 4 × 4 = 16 5 kambing kakinya = 20 5 × 4 = 20 6 kambing kakinya = 24 6 × 4 = 24 7 kambing kakinya = 28 7 × 4 = 28 8 kambing kakinya = 32 8 × 4 = 32 9 kambing kakinya = 36 9 × 4 = 36 10 kambing kakinya = 40 10 × 4 = 40. Teknik seperti di atas berlaku untuk perkalian-perkalian dasar lainnya. Jika susah mencari obyek kontekstualnya misal perkalian dengan 6, 8, dan 9 langsung ditulis bentuk perkaliannya saja kemudian siswa diminta untuk menghapalkan. Pembagian panjang bersifat lanjut, jadi sudah bukan merupakan pembagian dasar lagi. Pembagian panjang adalah pembagian yang tak dapat diperoleh langsung dari hafalan perkalian dua bilangan 1 angka. 2. Pembagian 2.1 Pembagian Dasar Untuk pembagian dasar (pembagian yang terkait dengan perkalian 2 bilangan 1 angka), strategi pembelajaran pertama yang diberikan adalah seperti berikut. Disediakan 6 buah sedotan minuman. Siswa diminta membagi 6 buah sedotan itu rata/sama banyak kepada 2 orang teman sekelasnya. Mereka bebas membaginya dengan cara masing-masing. Dari pengalaman, siswa dapat melakukan pembagiannya dalam 3 (tiga) cara, yakni Cara 1: Langsung dibagikan kepada 2 orang temannya sama rata masing-masing sebanyak 3 buah sedotan. Guru menanyakan ke semua siswa masing-masing teman menerima berapa?, dijawab 3 (tiga). Guru menegaskan sambil menuliskannya di papan tulis ”itu berarti bahwa ”6 dibagi rata pada 2 orang hasilnya sama dengan 3”, ditulis 6 : 2 = 3. Cara 2: Diberikan satu demi satu sampai habis secara bergantian pada 2 orang temannya. Ternyata masing-masing menerima sebanyak 3 buah sedotan. Guru menegaskan sambil menuliskannya di papan tulis ” itu berarti bahwa 6 dibagi rata pada 2 orang hasilnya sama dengan 3”, ditulis 6 : 2 = 3. Cara 3: Diberikan terlebih dahulu dua-dua pada 2 orang temannya. Ternyata masih tersisa 2 buah sedotan. Maka langkah selanjutnya pasti 2 buah sedotan sisanya dibagi rata kepada kedua orang temannya itu. Akhirnya tampak bahwa masing-masing teman mendapat 3 buah sedotan. Guru menegaskan sambil menuliskannya di papan tulis ”itu berarti bahwa 6 dibagi rata pada 2 orang hasilnya sama dengan 3”, ditulis 6 : 2 = 3. 9
Catatan Untuk diketahui bahwa dalam kehidupan sehari-hari ketiga cara di atas semua benar, tetapi secara matematika ketiga cara di atas salah. Secara matematika aturan pembagian yang benar untuk 6 : 2 = ... adalah ”karena dibagi rata pada 2 orang, maka setiap kali mengambil sebanyak 2 sedotan. Kedua sedotan pada setiap kali mengambil itu kemudian dibagi rata (sama banyak) kepada kedua orang penerima hingga pengambilannya habis. Hasil baginya adalah sejumlah sedotan yang diterima oleh kedua orang penerima. Berikut adalah contoh peragaannya jika 6 buah bolpoin dibagi rata (sama banyak) kepada 2 orang yaitu Ali dan Budi.
Semula
Ali
Budi
Pengambilan I
Pengambilan II
Ali
Ali
Budi
Budi
Pengambilan III
Ali
Budi
Hasil akhir = 3. Maka 6 : 2 = 3. Perhatikan bahwa semula (sebelum dibagi rata/sama banyak kepada Ali dan Budi) terdapat kumpulan bolpoin sebanyak 6 buah. Pengambilan ke-1 (pertama) sebanyak 2 buah kemudian dibagi rata pada Ali dan Budi masing-masing akan menerima 1 buah. Pengambilan ke-2 sebanyak 2 buah kemudian dibagi rata masing-masing akan menerima 2 buah dan pengambilan ke-3 sebanyak 2 buah kemudian dibagi rata masing-masing akan menerima 3 buah. Ternyata hingga pengambilan terakhir (ke-3) dan kemudian dibagi rata, masing-masing penerima (Ali dan Budi) akan menerima bolpoin sebanyak 3. Hal itu berarti bahwa 6 : 2 = 3. Catatan 1. Secara formal matematika pembagian 6 : 2 = ... yang didefinisikan adalah ”ada berapa kali pengambilan dua-dua (2 an) sampai habis pada bilangan 6? Jawabanya adalah 3.
10
Karena ada 3 kali pengambilan 2 an sampai habis pada bilangan 6, maka berarti 6 : 2 = 3. 2. Definisi selengkapnya untuk pembagian ”a : b = c” adalah a : b = c a = b c . Sehingga pengertian 6 : 2 = ... artinya adalah ada berapa kali pengambilan sebanyak 2 an pada bilangan 6 tanpa tampak adanya proses membagi sama sekali tidak dapat diterima oleh siswa SD kelas II semester 2. 3. Setelah aturan (definisi) pembagian pada catatan nomor 2 di atas diganti dengan nomor 1 ternyata dapat diterima/dipahami oleh mayoritas siswa di kelas II/2 SD Ngijon 1, Seyegan, Sleman, D.I Yogyakarta. Itulah alasannya mengapa definisi pembagian yang seharusnya seperti nomor 2 diganti menjadi definisi pembagian seperti nomor 1 dengan tanpa mengubah makna definisi pembagian yang seharusnya seperti nomor 2. 2.1 Pembagian Lanjut Pembagian lanjut (pembagian panjang dengan cara bersusun) ialah pembagian yang tidak berhubungan langsung dengan perkalian dasar (perkalian 2 bilangan 1 angka.). Untuk pembagian panjang lambang yang umum digunakan adalah “ “. Bilangan yang dibagi diletakkan di dalam tanda itu, bilangan pembaginya diletakkan disebelah kirinya, dan bilangan hasil baginya diletakkan di bagian atasnya. Sebagai contoh misalnya kita akan mencari hasil bagi dari 72 : 3 = …, kita tulis 3 7 2 . Berikut adalah langkah-langkah peragaan dan proses penulisannya (peragaan dan proses penulisan harus seiring). Pembagian dimulai dari bagian yang terbesar. Misalnya kalau bilangan yang dibagi berupa bilangan ratusan, maka yang dibagi dimulai dari bagian ratusan, sesudah itu baru bagian puluhan dan terakhir bagian satuan. Jika yang dibagi bilangan puluhan, maka yang dibagi mulai dari bagian puluhan barulah bagian satuannya.
11
Contoh: Tentukan hasil pembagian 72 : 3 = … Proses peragaan dan penulisannya adalah seperti berikut. No 1.
2.
Proses Peragaan
Proses Penulisan
72 : 3 artinya ada satu kelompok isinya 72 dibagi rata pada 3 kotak, masing-masing kotak mendapat berapa? Karena dibagi 3 maka yang 7 puluhan kita ambil tiga-tiga dengan setiap kali pengam-bilan tigaan dibagi rata ke seluruh kelompok
... 3 7 2
Terakhir sisanya 1 puluhan dan 2 satuan. Sisa 1 puluhan itu dapat dibagi 3 jika ikatan puluhannya dilepas sehingga menjadi satuan. Ikatan puluhan ini harus dilepas sehingga menjadi satuan
yg terbagi
2.. 7 2 6
sisa
1
3
12
No
3.
Proses Penulisan
Proses Peragaan Setelah yang puluhan dilepas ikatannya akan menjadi satuan. Gabungkan dengan satuan sebelumnya sehingga semuanya menjadi 12, ambil tiga-tiga dan bagi rata ke masing-masing anggota kelompok sampai habis.
yg terbagi
2.. 7 2 6
sisa
1 2
3
13
No
Proses Penulisan
Proses Peragaan
4.
2 4 3 7 2 yg terbagi 6 sisa yg terbagi sisa akhir Artinya :
1 2 1 2 0
72 : 3 = 24.
Dengan peragaan tersebut, kerangka berpikir dalam pengoperasionalnya adalah sebagai berikut. Pul
Sat
2 Pembagi
3
Pul
Sat
7
Hasil bagi 2
Bil yg dibagi
Langkah 1 72 dibagi 3, kita mulai dari kumpulan yang besar yaitu puluhan.
2 3
7
Puluhannya ada 7 dibagi pada 3 orang, maka hasil baginya 2 ikat puluhan dan sisanya 1 ikat puluhan
2
yg terbagi Sisa
Kita tulis hasil baginya 2 ikat di tempat hasil bagi puluhan, dan sisanya 1 ikat puluhan diletakkan lurus dengan puluhan.
1
Pul
Langkah 2 Karena puluhan yang dibagi sebanyak 7 dan sisa pembagiannya 1, berapa ikat puluhan yang terbagi?
Sat
2 3
7
2
6
yg terbagi Sisa
Urusan dg pul
Hingga langkah ini berarti urusan dengan puluhan selesai.
1 Pul
Sat
7
Langkah 3 14
2 3
Jawabannya tentu yang terbagi = 6 ikat puluhan, dan kita tulis 6 di tempatnya yang lurus dengan tempat puluhan.
2
Urusan kita berikutnya adalah dengan satuan. Puluhan yang tersisa 1 ikat itu kita jadikan satuan, bagaimana caranya? Caranya tentu kita lepas 1 ikat puluhan sisa itu, setelah dilepas menjadi berapa satuan? Jawabannya tentu menjadi 10 satuan + satuan yang sudah ada sebelumnya hingga satuan seluruhnya ada 12. Selanjutnya kita tulis 12 itu pada baris berikutnya. Pul
Sat
Langkah 4 Ternyata satuan 12 itu sama dengan kalau kita menurunkan bilangan 2 dari atas.
2 3
7
2
6
yg terbagi Sisa
1 1
3 yg terbagi Sisa
Sisa
Nah selanjutnya satuan sebanyak 12 ini kita bagi pada 3 orang. Masing-masing orang mendapat berapa dan sisanya berapa? Langkah 5 Jawabannya pertanyaan tadi tentu masing-masing orang mendapat 4 satuan (letakkan di kolom satuan pada hasil bagi) dan sisanya nol.
Pul
Sat
2
4
7
2 Urusan
6
dg pul
1 1
yg terbagi
2
1
2 Urusan 2 dg sat
Karena sisanya 0 (nol), berarti yang terbagi adalah semuanya, yaitu semua dari 12 satuan.
0
Jadi 72 : 3 = 24.
Contoh 2 Diskripsikan penggunaan alat peraga pada pembagian bilangan 504 dibagi kepada 12 orang. Berapakah hasil baginya?
Jawab 15
Rat Pul
Sat
Langkah 1 Urusan pembagian kita urut dari yang terbesar yaitu pertama dari ratusan, kedua baru puluhan, dan terakhir satuan.
0
12 yg terbagi Sisa
Ratusannya 5 dibagi pada 12 orang, maka hasil baginya 0, 5 0 4 Urusan sisanya 5, sehingga yang terbagi sebanyak 0 ikat ratusan. Kita tulis 0 di hasil bagi ratusan, dg rat 5 di sisa ratusan, dan 0 0 di tempat yang terbagi. 5 (ikat ratusan) Dengan demikian hingga langkah ini urusan pembagian kita dengan ratusan selesai.
Rat Pul
Sat
Langkah 2 Urusan pembagian kita selanjutnya adalah dengan ikatan puluhan. Untuk itu sisa ikatan ratusan seba-nyak 5 kita jadikan puluhan dengan cara melepas ikatannya.
4
Ada berapa ikat puluhan setelah ikatan ratusannya dilepas? Jawabnya tentu menjadi 50 ikat puluhan.
0 12 yg terbagi Sisa
5
0
0 5
0 (ikat pul)
Rat Pul
12 yg terbagi Sisa yg terbagi Sisa
0
4
5
0
Sat
Jika ikatan puluhan sebanyak 50 itu kita tambah dengan puluhan yang sudah ada sebelumnya (yakni nol puluhan) maka semuanya tetap 50 puluhan. Sama dengan kalau 0 nya diturunkan.
Langkah 3 Urusan kita sekarang pada ikatan puluhan.
4
0 5
0 (ikat pul)
4
8
Ikatan puluhan sebanyak 50 itu jika kita bagi rata pada 12 orang, maka masing-masing orang akan mendapat 4 ikat, sisanya 2 ikat sehingga yang terbagi ada 48 ikat (puluhan). Hingga langkah ini urusan pembagian kita pada puluhan selesai.
2 (ikat pul)
16
Rat Pul
12 yg terbagi
0
4
5
0
0 (ikat pul) Untuk itu sisa ikatan puluhan sebanyak 2 ikat tadi kita lepas ikatannya sehingga menjadi satuan. Menjadi berapa 4 8 satuan?. Jawabnya tentu 20 satuan. Dan bagaimana setelah dijadikan satuan kemudian 4 2 ditambah dengan satuan yang sudah ada sebelmnya, yaitu (ikat sat) 4? Jawabnya tentu = 20 sat + 4 sat = 24 satuan, sama dengan kalau 4 nya diturunkan. 5
yg terbagi Sisa
Rat Pul
yg terbagi Sisa
Sisa
Langkah 5
Sat
0
4
2
5
0
4 Urusan dg rat
0 5
0
4
8 2
yg terbagi
4
0
Sisa
12
Sat
Langkah 4 Urusan pembagian kita yang terakhir adalah dengan satuan.
2
Urusan dg pul
4 Urusan 4 dg sat 0
Satuan sebanyak 24 ini kemudian kita bagi rata pada 12 orang. Ternyata hasil banginya 2, dan sisanya 0. Berarti yang terbagi semuanya yakni 24. Kita tulis 2 di tempat hasil bagi (atas) 0 sisanya (di sisa tempat terbawah) 24 di tempat yang terbagi. Hasil baginya tertulis 042 = 42. Jadi 504 : 12 = 42.
Latihan 1 1. Tentukan bilangan pada titik-titik isian di bawah ini 1) 32 : 4 = … 5) … : 8 = 3 2) 36 : 9 = … 6) … : 5 = 6 3) 45 : 5 = … 7) … : 7 = 4 4) 40 : 8 = … 8) … : 9 = 3
9) 10) 11) 12)
35 : … = 7 30 : … = 5 27 : … = 9 24 : … = 6.
2. Hitunglah hasil bagi pada masing-masing pembagian berikut dengan teknik susun ke bawah 17
1) 2) 3) 4) 5)
528 : 4 = … 832 : 4 = … 5.838 : 7 = … 1.848 : 12 = … 2.912 : 14 = …
H. OPERASI HITUNG CAMPURAN Operasi hitung campuran adalah operasi hitung yang melibatkan lebih dari satu macam operasi dalam suatu perhitungan (Wirasto, 1993: 54). Dalam suatu soal hitungan yang menjadi prioritas untuk dihitung terlebih dahulu adalah bilangan-bilangan yang ada di dalam tanda kurung. Nah yang menjadi masalah adalah jika dalam soal operasi hitung campuran itu tidak ada tanda kurung, bagaimana aturan perhitungannya?. Untuk meng-hindari kesimpang siuran dalam penafsiran khususnya kalau dalam soal itu tidak ada tanda kurungnya, secara internasional (dibuktikan menggunakan kalkulator bertanda “Scientific”) diberikan definisi (kesepakatan) sebagai berikut.
1. Tambah dan kurang sama kuat (mana yang lebih kiri dikerjakan terlebih dahulu). 2. Kali dan bagi sama kuat (mana yang lebih kiri dikerjakan terlebih dahulu). 3. Kali dan bagi lebih kuat dari tambah dan kurang.
Contoh Hitunglah 48 : 3 × 2 + 24 × 4 : 2 – 5 = … Jawab Berdasarkan aturan operasi hitung campuran di atas dan teknik penulisan yang nyaman untuk difahami siswa, teknik penulisan dan pengerjaannya adalah seperti berikut. Ruas kiri = 48 : 3 × 2 + 24 × 4 : 2 – 5 = 16 × 2 + 96 : 2 – 5 = 32 + 48 – 5 = 80 –5 = 75. Latihan 2 Hitunglah! 1. 5 × 4 : 2 + 12 : 2 × 3 = … 2. 7 × 4 : 2 + 18 : 3 × 2 = … 3. 24 : 2 × 3 – 2 × 3 : 2 = … 4. 45 : 5 × 3 – 6 × 3 : 2 + 10 = … 5. 7 × 4 : 2 + 18 : 2 × 3 – 6 = … BAB III 18
PEMBELAJARAN KPK DAN FPB DENGAN PENDEKATAN KONTEKSTUAL A. TUJUAN PEMBELAJARAN Peserta diklat dapat memberikan contoh pembelajaran Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dimulai dari pendekatan kontekstual, formal, pembinaan ketrampilan, dan mampu menggunakannya dalam pemecahan masalah B. KOMPETENSI Peserta diklat menguasai kompetensi pedagogik pembelajaran Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari 2 (dua) atau 3(tiga) bilangan. C. STRATEGI BELAJAR Fasilitator menunjukkan garis besar isi modul, pemecahan masalah yang dikemukakan pada modul, dan meminta tanggapan peserta diklat. Peserta diklat menyimak, menyampaikan pendapat/gagasan, dan menanggapi pendapat pihak lain. D. MEDIA BELAJAR Bahan Ajar (Modul), Bahan Tayang, dan Alat Peraga (bila diperlukan).
E. PEMBELAJARAN KPK (Kelipatan Persekutuan Terkecil) 1. Pendekatan kontekstual untuk KPK. a. Soal tentang lampu kedip Misalkan terdapat sebuah lampu berwarna merah dan sebuah lampu lagi berwarna kuning. Lampu merah berkedip setiap 2 detik sedangkan lampu kuning berkedip setiap 3 detik. Jika kedua lampu dinyalakan bersama-sama 1) pada detik ke berapa saja kedua lampu berkedip secara bersamaan. 2) pada detik ke berapa kedua lampu untuk pertama kalinya berkedip bersama. b. Fasilitas yang perlu disiapkan guru Fasilitas yang perlu disiapkan berupa lembar kerja (LK) dalam bentuk tabel seperti berikut Lampu Berkedip pada detik ke … 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Merah Kuning
c. Aktifitas siswa. Bekerja kelompok mengisi LK tersebut dengan tanda-tanda centang () pada kolomkolom yang disediakan. Hasil kerja kelompok yang diharapkan adalah: 19
Lampu
Berkedip pada detik ke … 1
Merah Kuning
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Dari tabel dapat dilihat bahwa 1) kedua lampu akan berkedip bersama-sama pada detik ke 6, 12, 18, … dan seterusnya. 2) kedua bola lampu berkedip bersama pertama kalinya pada detik ke-6. Maka KPK dari 2 dan 3 hasilnya = 6. Ditulis KPK(2,3) = 6. d. Peran guru sebagai fasilitator. Menyiapkan soal, menyiapkan LK, mengawasi kerja kelompok, klarifikasi/kejelasan tentang jawaban mana yang benar/paling benar.
memberikan
2. KPK secara matematis (oleh guru). Soal: Berapakah kelipatan persekutuan dari bilangan 2 dan 3? Berapakah kelipatan persekutuan yang terkecil (KPK) dari bilangan 2 dan 3? Jawab: Kelipatan 2 2, 4, 6 , 8, 10, 12 , 14, 16, 18 , 20, 22, 24 , … Kelipatan 3 3, 6 , 9, 12 , 15, 18 , 21, 24 , 27, … Kelipatan persekutuan dari 2 dan 3 adalah 6, 12, 18, 24, … terkecil Maka KPK (2, 3) = 6. 3. Pemberian soal-soal lain untuk KPK (oleh guru). Soal: Tentukan kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari bilangan-bilangan berikut a. 4 dan 6 b. 10 dan 15 c. 15 dan 20 d. 5 dan 10 e. 25 dan 50 Jawaban yang diharapkan adalah: a. kelipatan persekutuan dari 4 dan 6 adalah 12, 24, 36, 48, … sehingga KPK (4, 6) = 12. b. kelipatan persekutuan dari 10 dan 15 adalah 30, 60, 90, … 20
sehingga KPK (10, 15) = 30. c. kelipatan persekutuan dari 15 dan 20 adalah 60, 120, 180,… sehingga KPK (15, 20) = 60. d. kelipatan persekutuan dari 5 dan 10 adalah 10, 20, 30, … sehingga KPK (5, 10) = 10. e. kelipatan persekutuan dari 25 dan 50 adalah 50, 100, 150, … sehingga KPK (25, 50) = 50. 4. Cara cepat memperoleh KPK (oleh guru). Guru mengajak siswa mengamati uraian jawaban dari 5 soal tentang KPK pada langkah 3. Ternyata KPK = Kelipatan persekutuan yang pertama kali muncul Dengan ciri tersebut maka uraian singkat untuk mencari KPK dari 2 bilangan adalah seperti berikut. a. KPK (4, 6) = … Kelipatan 4 4, 8, 12, … KPK (4, 6) = 12 Kelipatan 6 6, 12, … 12 adalah kelipatan persekutuan yang pertama kali muncul. b. KPK (10, 15) = … Kelipatan 10 10, 20, 30, … KPK (10, 15) = 30 Kelipatan 15 15, 30, … d. KPK (5, 10) = … Kelipatan 5 5, 10, 15, … KPK (5, 10) = 10 Kelipatan 10 10, 20, … 5. Pembinaan keterampilan/mencongak untuk KPK (oleh guru). Guru mempersiapkan soal-soal KPK dari 2 bilangan atau 3 bilangan yang bisa dicongak. Kerangka berpikir untuk mencongaknya seperti pada langkah 7 di atas. Soal-soal yang dimaksud misalnya tentukan KPK dari bilangan-bilangan. a. 20 dan 25 e. 3, 4 dan 6 b. 50 dan 75 f. 6, 9 dan 12 c. 100 dan 150 g. 5, 8 dan 10 d. 150 dan 200 h. 15, 20 dan 30 F. Pembelajaran FPB 1. Pendekatan kontekstual untuk FPB. 21
a. Soal tentang membagi sama banyak kepada beberapa orang Misalkan ada 12 jambu dan 18 rambutan. Jambu dan rambutan sebanyak itu akan dibagi rata (sama banyak) kepada beberapa orang. Pertanyaan: 1) Yang memungkinkan jambu dan rambutan itu dapat dibagi sama banyak kepada berapa orang? (1 orang, 2 orang, 3 orang, 4 orang, 5 orang, 6 orang, dan lain-lain). 2) Dari hasil-hasil penyelidikan tersebut, paling banyak kepada berapa orang jambu dan rambutan itu dapat dibagi secara merata (sama banyak). 3) Adakah cara yang paling singkat untuk memperoleh jawaban yang ditanyakan pada pertanyaan b? b. Fasilitas yang pelru disiapkan. Untuk siswa setiap kelompok harus menyediakan kerikil-kerikil sesuai dengan warna dan jumlah yang dimaksud, sedangkan guru mempersiapkan LK berupa isian tentang kemungkinan-kemungkinan tentang kedua kelompok kerikil itu dapat dibagi sama banyak kepada 2 orang, 3 orang, 4 orang, 6 orang dan 8 orang seperi berikut. 2 orang A dan B jambu ramb A B
Ada sisa/tidak 6 orang jambu rambutan A B C D E F
Ada sisa/tidak
3 orang A, B, dan C Jambu ramb A B C Ada sisa/tidak
4 orang jambu ramb A B C D Ada sisa/tidak
8 orang Jambu rambutan A B C D E F G H Ada sisa/tidak
22
c. Bentuk kegiatan Siswa secara berkelompok mengerjakan lembar kerja, guru mengawasi kegiatan siswa dan terakhir memberikan klarifikasi tentang jawaban yang benar. Jawaban yang diharapkan. 2 orang A dan B Jambu Ramb 12 18 A 6 9 B 6 9
3 orang A, B, dan C Jamb Ramb 12 18 A 4 6 B 4 6 C 4 6
Tanpa sisa jadi habis dibagi rata pada 2 orang
Tanpa sisa jadi habis dibagi rata pada 3 orang
4 orang Jamb Ramb 12 18 A 3 4 B 3 4 C 3 4 D 3 4 Rambutan sisa 2 jadi tak habis dibagi rata pada 4 orang
6 orang jamb ramb 12 18 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3
8 orang jamb ramb 12 18 A A 1 2 B B 1 2 C C 1 2 D D 1 2 E E 1 2 F F 1 2 G 1 2 H 1 2 Tanpa sisa sisa sisa 4 sisa 2 jadi habis dibagi rata Ada sisa, jadi tidak pada 6 orang mungkin dibagi 8 orang. Kesimpulan: dibagi 8 orang Maksimal 12 jambu dan 18 rambutan dapat dibagi rata (sama banyak) pada 6 orang. Maka FPB(12,18) = 6. Guru kemudian menanyakan, adakah cara yang lebih cepat untuk memperoleh jawaban tersebut, yakni jambu dan rambutan itu dapat dibagi rata (sama banyak) kepada maksimal 6 orang? Jawabannya: Ada (oleh guru) Yaitu FPB (12, 18) = 6, barulah membahas FPB secara matematika. 2. Pembahasan FPB secara matematika. FPB (12, 18) = …?
23
Jawab: 12 1 12 26 34
18 1 18 29 36
Dari data akan dipeorleh Faktor dari 12 1 , 2 , 3 , 4, 6 , 12 Faktor dari 18 1 , 2 , 3 , 6 , 9, 18 Faktor persekutuan dari 12 dan 18 ialah 1 , 2 , 3 , 6 terbesar Maka FPB (12, 18) = 6 Sehingga 12 jambu dan 18 rambutan itu dapat dibagi sama banyak maksimal pada 6 orang.
Sesudah itu guru dapat memberikan soal-soal lainnya untuk dapat dikerjakan dengan cara yang sama. Siswa boleh bekerja sama dalam memecahkan masalah tersebut. Contoh: Paling banyak (maksimal) dapat dibagi sama banyak kepada berapa orang sekumpulan benda-benda berikut. a. 30 kelereng merah dan 20 kelereng putih. b. 40 bola merah dan 60 bola putih. c. jeruk 12 buah, duku 16 buah dan rambutan 20 buah. d. telur puyuh 40 buah, telur ayam 30 buah, telur bebek 20 buah. Jawaban akhir yang diharapkan adalah a. FPB (30, 20)
= 10, maka maksimal kelereng-kelereng itu dapat dibagikan sama banyak kepada 10 orang. b. FPB (40, 60) = 20, maka maksimal bola-bola itu dapat dibagikan sama banyak kepada 20 orang. c. FPB (12, 16, 20) = 40, maka maksimal jeruk, duku, dan rambutan itu dapat dibagikan sama banyak kepada 4 orang. d. FPB (40, 30, 20) = 10, maka maksimal telur-telur itu dapat dibagikan sama banyak kepada 10 orang. 3. Cara cepat menentukan FPB (oleh guru). Dari contoh-contoh yang telah dipelajari, siswa diajak mengamati hasilnya, ternyata nilai FPB yang dimaksud adalah FPB = bilangan terbesar yang dapat membagi habis bilangan-bilangan itu.
24
Contoh: Tentukan FPB (12, 18) = … FPB Secara Mencongak Jawab: Dicoba 3 membagi habis (tanpa sisa) bilangan 12 FPB (12, 18) = … 1 (sukses membagi 12 dan sukses membagi 18, tapi 3 membagi habis (tanpa sisa) bilangan 18. kurang besar) Tetapi FPB (12, 18) 3 sebab masih ada 2 (sukses tapi kurang besar) bilangan lain yang lebih dari 3 yang 3 (sukses tapi kurang besar) dapat membagi habis 12 dan 18. 4 (salah, ada yang tak sukses) Bilangan itu adalah 6. Maka 5 (salah, keduanya tak sukses) 6 (sukses dan yang terbesar) FPB (12, 18) = 6. Maka (12, 18) = 6. Catatan Cara mencongak hanya tepat dilakukan untuk bilangan-bilangan yang mudah dibayangkan. 4. Pembinaan keterampilan menentukan FPB. Kaidah yang digunakan untuk membina keterampilan, yakni menentukan FPB dari 2 bilangan atau lebih secara mencongak adalah seperti pada langkah 3. Guru kemudian memilih dan mempersiapkan bilangan-bilangan yang mudah dicongak dalam mencari FPB. Bilangan-bilangan itu misalnya: Tentukan FPB dari a. 20 dan 30 b. 20 dan 40 c. 25 dan 50 d. 50 dan 75 e. 100 dan 150 dan lain-lain. Jawaban yang diharapkan secara cepat (mencongak) adalah a. FPB (20, 30) = 10 b. FPB (20, 40) = 20 c. FPB (25, 50) = 25 d. FPB (50, 75) = 25 e. FPB (100, 150) = 50 5. Menentukan KPK dan FPB dengan faktorisasi prima Faktorisasi prima digunakan untuk menyelesaikan permasalahan mencari KPK dan FPB dari bilangan-bilangan yang sulit dibayangkan/diangankan. Teknik menentukan KPK dan FPB dengan faktorisasi prima dilakukan dengan 2 (dua) cara, yaitu KPK = hasil kali faktor prima yang ada maupun tak ada pasangannya FPB = hasil kali faktor prima yang ada pasangannya KPK = hasil kali faktor prima gabungan pangkat yang terbesar FPB = hasil kali faktor prima sekutu pangkat yang terkecil 25
Contoh Tentukan KPK dan FPB dari bilangan-bilangan 300 dan 350. Jawab 1. Berdasarkan fakta yang ada (konsep), maka Kelipatan 1 2 3 4 5 6 7
300 350 600 700 900 1050 1200 1400 1500 1750 1800 2100 2100 KPK = 2100
FPB(300,350) = ... Secara mencongak, Dicoba
FPB(300,350)
10 (kurang besar) 20 (salah) sebab 20 sukses membagi 300 tetapi tidak sukses membagi 350 25 (kurang besar) 50 (tepat)
Maka FPB(300,350) = 50. 2. Dengan pemfaktoran prima yang dimaksud adalah 350 300 yang ada pasangannya 2 175 2 150 300 = 2 × 2 × 3 × 5 × 5 = 22×3×52 35 5 75 2 350 = 2 × 5 × 5 × 7 = 2×52×7 5 7 3 25 yang ada dan tak ada pasangannya 5 5 Dengan demikian maka dari faktorisasi prima teknik 1, diperoleh KPK (300,350) = hasil kali faktor prima yang ada pasangannya dan yang tidak ada pasangannya = 2×2×3×5×5×7 = 2.100 FPB (300,350) = 2×5×5 = 50. 3. Dengan faktorisasi prima teknik 2 KPK dan FPB dua atau beberapa bilangan diperoleh dengan cara seperti berikut. Untuk KPK hasilnya sama dengan hasil kali faktor-faktor prima gabungannya pangkat yang terbesar. Sementara FPB hasilnya sama dengan hasil kali faktorfaktor prima sekutunya pangkat yang terkecil. 300 = 22 × 3 × 52 350 = 21 × 52 × 7 2 KPK = 22 3 5 7
300 = 22 × 3 × 52 350 = 21 × 52 × 7 1 FPB = 2
52
KPK (300, 350) = hasil kali faktor prima gabungan pangkat yang terbesar.
26
= 22 3 5 2 7 = 4 3 25 7 = (4 25) (3 7) = 2100. FPB (300, 350) = hasil kali faktor prima sekutu pangkat yang terkecil. = 21 5 2 = 2 25 = 50. Teknik lain untuk menentukan KPK dan FPB dari dua bilangan atau lebih juga dapat dilakukan dalam berbagai cara (Edi Prayitno, 1997) antara lain: 1. Bagilah semua bilangan itu dengan faktor/faktor prima persekutuannya 2. Setelah semua bilangan menjadi prima relatif satu sama lain (nilai FPBnya = 1), bagilah hasil-hasilnya dengan faktor-faktor prima yang mungkin (untuk bilangan yang terbagi tentukan hasil baginya, sedang yang tak terbagi tetaplah ditulis apa adanya), hingga hasil bagi terakhirnya = 1. Contoh Tentukan KPK dan FPB dari bilangan-bilangan 300, 350, dan 400. Jawab FPB KPK
10 5
300 30 6
350 35 7
400 40 8
2 2 2 3 7
3 3 3 1 1
7 7 7 7 1
4 2 1 1 1
Dari gambaran itu dapat disimpulkan bahwa: FPB (300, 350, 400) = 10 5 = 50 KPK (300, 350, 400) = 10 5 2 3 3 7 = 8.400 6. Terapan KPK dan FPB dalam kehidupan dan permasalahan lain yang relevan Seperti yang telah dikemukakan sebelumnya dalam pendekatan kontekstual (di awal pembelajaran) lampu kedip merupakan salah satu terapan untuk KPK sedangkan pembagian rata yang dapat dilakukan secara maksimal pada sejumlah orang merupakan salah satu terapan dari FPB. Terapan lain yang sudah dikenal umum untuk KPK adalah dalam hal menyamakan penyebut pada operasi penjumlahan dan pengurangan pecahan. Sementara terapan FPB yang umum adalah dalam menyederhanakan pecahan ke bentuk yang paling sederhana. Contoh 1 a. Hitunglah
2 1 1 ... 3 4 6
27
b. Nyatakan dalam bentuk yang paling sederhana untuk pecahan
72 . 96
Jawab 2 1 1 a. ... 3 4 6 KPK penyebut = KPK (3, 4, 6) = 12. Maka : 2 1 1 ... ... ... 8 3 2 7 . 3 4 6 12 12 12 12 12 12 12 b. Dengan faktorisasi prima 72 2
96 2
36 18
2 2
48 2
9 3
24
2
3
12 6
2 2
Sehingga
3
72 2 2 2 3 3 3 3 . 96 2 2 2 2 2 3 2 2 4
Perhatikan bahwa bagian yang dicoret adalah FPB dari 72 dan 96 yakni FPB (72, 96) = 2 2 2 3 = 24 Dengan begitu bila kita sudah mengetahui bahwa FPB (72, 96) = 24 maka untuk 72 72 : 24 3 menyederhanakan pecahannya dilakukan dengan cara . 96 96 : 24 4 Ada contoh terapan lainnya yang cukup menarik untuk pelajaran matematika SD adalah terapan KPK dalam perhitungan jarak, waktu, dan kecepatan. Contoh 2 Ali bersepeda dari kota P ke kota Q dengan kecepatan rata-rata 20 km/jam berangkat pukul 07.00. Satu setengah jam kemudian Budi menyusul Ali menggunakan sepeda motor dengan kecepatan 30 km/jam. Pada km berapa dan pada pukul berapa Budi menyusul Ali? Jawab 1 jam. Selisih waktu itulah yang nantinya 2 akan dipakai sebagai dasar perhitungan KPK. Perhatikan bahwa: 1 1 Ali 1 jam menempuh jarak 20 km 1 jam = 1 20 km = 30 km. 2 2
Selisih waktu perjalanan antara Ali dan Budi = 1
28
1 1 jam = 1 30 km = 45 km. 2 2 Berdasarkan uraian diatas apabila dibuat diagram, pengerjaannya sebagai berikut :
Budi 1 jam menempuh jarak 30 km 1
1 1 jam 2
1 1 jam 2
1 1 jam 2 07.00 Ali |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 km 08.30 Budi
1 1 jam 2
1 1 jam 2
Diagram jarak, waktu, dan kecepatan yang digambarkan di atas ternyata cukup dapat memberikan kejelasan bahwa : a) Budi menyusul Ali tepatnya pada km 90 = KPK (30, 45) b) Waktu Budi menyusul Ali adalah Untuk Ali waktu dihitung dari pukul 07.00, yakni 1 1 pukul 07.00 + 3 1 jam = 07.00 + 4 jam = 11.30 2 2 Untuk Budi waktu dihitung dari pukul 08.30, yakni 1 pukul 08.30 + 2 1 jam = 08.30 + 3 jam = 11.30 2 Contoh 3 Ali bersepeda motor berangkat dari kota P pukul 07.00 menuju kota Q yang berjarak 250 km dengan kecepatan rata-rata 40 km/jam. Pada saat yang bersamaan Budi berangkat dari kota Q menuju kota P dengan kecepatan rata-rata 60 km/jam. Pertanyaan a. Pada km berapa dan pada pukul berapa Ali dan Budi berpapasan di jalan? b. Jika waktu berangkatnya tidak bersamaan, yaitu Ali berangkat pukul 07.00 sementara Budi berangkatnya pukul 08.30. Pada km berapa dan pukul berapa Ali dan Budi berpapasan di jalan? Jawab : 150 km
100 km P
2
1 2
jm
40 km/jam
07.00 Ali
250 km
2
1 2
jm
60 km/jam
Q 07.00 Budi 29
a. Ali 1 jam menempuh jarak 40 km (dari kiri) Budi 1 jam menempuh jarak 60 km (dari kanan) Ali dan Budi 1 jam menempuh jarak 100 km. Karena jarak yang harus mereka tempuh berdua = 250 km maka waktu tempuhnya = 250 1 jam = 2 jam. Itu berarti Ali dan Budi berpapasan di jalan setelah keduanya 100 2 1 melakukan perjalanan selama 2 jam yakni 2 1 pukul 07.00 + 2 jam = 09.30. 2 Tempat keduanya berpapasan adalah 1 km Ali = 40 2 jam = 100 km (dari kiri/dari kota P) 2 jam 1 km Budi = 60 2 jam = 150 km (dari kanan/dari kota Q) 2 jam + Total = 250 km b.
P
R
60 km 40 km/j
07.00
190 km 40 km/j
60 km/j
Ali
Q 08.30 Budi
08.30 Karena waktu berangkatnya tidak sama maka perhitungannya dimulai dari saat 1 keduanya mulai berjalan, berarti pukul 08.30 yaitu 1 jam dari Ali mulai bergerak 2 barulah Budi mulai bergerak. Dari pukul 08.30 1 km 1 jam = 60 km (tiba di R). Kini jarak yang harus 2 jam ditempuh keduanya = 250 km – 60 km = 190 km. Karena 1 jam Ali dan Budi menempuh total jarak 100 km maka waktu pertemuannya 190 dicapai saat keduanya menempuh perjalanan selama jam = 1,9 jam = 1 jam 54 100 menit.
Ali telah menempuh jarak 40
Waktu keduanya berpapasan adalah 1 Ali = pukul 07.00 + 1 jam + 1 jam 54 menit 2 30
= 07.00 + 1 jam 30 menit + 1 jam 54 menit = 10.24 Budi
= 08.30 + 1 jam 54 menit = 10.24
Jarak keduanya berpapasan adalah 9 km Ali = 60 km + 40 1 jam = (60 + 76) km = 136 km 10 jam 9 km Budi = 60 1 jam = (60 + 54) km = 114 km 10 jam Total
+
= 250 km
Latihan 3 1. Tentukan FPB dan KPK dari bilangan-bilangan berikut a. 9 dan 12 b. 8 dan 20 c. 8 dan 16 d. 12 dan 16 e. 20 dan 24
f. g. h. i. j.
10 dan 30 20 dan 25 40 dan 60 50 dan 60 80 dan 120
k. l. m. n. o.
4, 6, dan 9 8,10, dan 12 40,50, dan 60 200,400, dan 600 250,300, dan 400.
2. Ali berkunjung ke bank sekali dalam 10 hari, Budi sekali dalam 15 hari. Jika sekarang ia bertemu di bank itu, dalam berapa hari lagi mereka akan saling bertemu kembali pada bank tersebut? 3. Misalkan tersedia cat-cat dalam kemasan kaleng-kaleng kecil. Cat merah 150 kaleng, cat putih 120 kaleng dan cat kuning 90 kaleng. Jika cat-cat itu akan dibagi rata (sama banyak) pada para tukang cat, maksimal kepada berapa orang cat-cat itu dapat dibagi rata? 4. Ali bersepeda dari kota A ke kota B dengan kecepatan 20 km/jam, berangkat pukul 07.00. satu setengah jam kemudian Budi menyusul berangkat dari tempat yang sama (kota A) dengan kecepatan 30 km/jam. Pada km berapa dan pukul berapa Budi menyusul Ali? 5. Dodi bersepeda motor dari kota A ke kota B yang berjarak 125 km dengan kecepatan 20 km/jam berangkat pukul 07.00. Pada saat yang bersamaan Eka berangkat dari kota B ke kota A denagn kecepatan 30 km/jam. Pada km berapa dari kota A dan pada pukul berapa keduanya berpapasan di jalan? 6. Jika untuk soal nomor 2 (jarak kota A ke kota B adalah 125 km) Eka berangkat dari kota B menuju kota A pukul 07.00 dengan kecepatan rata-rata 30 km/jam. Sementara Dodi berangkatnya dari kota A menuju kota B pada pukul 08.30. Pada km berapa dari kota A dan pada pukul berapa Dodi dan Eka berpapasan di jalan?
31
BAB IV BILANGAN PERSEGI, BILANGAN KUBIK, DAN PENARIKAN AKAR A. TUJUAN PEMBELAJARAN Peserta diklat dapat menguadratkan suatu bilanagan asli, memangkatkan tiga, menarik akar kuadrat suatu bilangan persegi, dan menarik akar pangkat tiga suatu bilangan kubik hingga bilangan 1.000.000. B. KOMPETENSI Peserta diklat menguasai kompetensi pedagogik pembelajaran menguadratkan suatu bilanagan asli, memangkatkan tiga, menarik akar kuadrat suatu bilangan persegi, dan menarik akar pangkat tiga suatu bilangan kubik hingga bilangan 1.000.000. C. BILANGAN KUADRAT/PERSEGI (SQUARE NUMBER) Sebagai pendekatan kontekstual, pertama perhatikan pola pada 4 persegi berikut
, I
,
A . . .
, III
II
IV
Perhatikan bahwa panjang sisi dan luas dari masing-masing persegi itu adalah: Gambar I : Panjang sisi = 1, Luas persegi I = 1 Gambar II : Panjang sisi = 2, Luas persegi II = 4 Gambar III : Panjang sisi = 3, Luas persegi III = 9 Gambar IV : Panjang sisi = 4, Luas persegi IV = 16. Selanjutnya bilangan-bilangan 1, 4, 9, 16, . . . dan seterusnya masing-masing disebut bilangan persegi. Amati bahwa hubungan antara pola persegi dengan luas persegi itu (banyaknya persegi satuan penyusunnya) adalah seperti berikut.
Pola Luas
, 1
,
, 4
,
, 9
,
16
,
. . .
,
. . .
32
Bila bilangan-bilangan persegi tersebut dilanjutkan, akan didapatkan pola seperti 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, . . . Pola itu dikenal sebagai pola bilangan persegi, dan bilangan yang tertulis disebut 10 bilangan persegi yang pertama. Nah sekarang bagaimana kita dapat menentukan bilangan persegi berikutnya atau bagaimana kita dapat menentukan bilangan-bilangan persegi yang lain? Jawabannya adalah pola dari 1, 4 , 9 , 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, . . . sama dengan 12, 22, 32, 4 2 , 52, 62, 7 2 , 82, 9 2 , 102 , . . . Sehingga bilangan persegi (square number) juga disebut sebagai bilangan kuadrat yakni bilangan yang diperoleh dengan menguadratkan suatu bilangan asli. D. BILANGAN KUBIK (CUBE NUMBER) Sebagai ilustrasi, perhatikan pola dari 4 kubus dengan 4 macam ukuran seperti berikut .
I
,
,
,
, II
,
III
,
, . . . IV
,
. . .
Jika disediakan sejumlah kubus satuan, maka untuk membentuk kubus yang panjang rusuknnya 1 satuan, 2 satuan, 3 satuan, 4 satuan, dan seterusnya masing-masing akan diperlukan sebanyak 1, 8, 27, dan 64 kubus satuan. Sehingga hubungan antara panjang rusuk dan volum dari masingmasing kubus itu adalah: Gambar I : Panjang rusuk = 1 satuan, Volum kubus Gambar II : Panjang rusuk = 2 satuan, Volum kubus Gambar III : Panjang rusuk = 3 satuan, Volum kubus Gambar IV : Panjang rusuk = 4 satuan, Volum kubus
I = 1 satuan II = 8 satuan III = 27 satuan IV = 64 satuan.
Selanjutnya 1, 8, 27, 64, . . . dan seterusnya masing-masing disebut bilangan kubik. Dengan begitu Bilangan kubik bersesuaian dengan volume kubus yang ukuran panjang rusuknya bulat.
33
Hubungan antara pola kubus dan volum kubus yang ditunjukkannya adalah sebagai berikut:
Pola
Volum
1
1
,
8
,
9
16
..
, . . .
,
,
,
27
,
64
,
. . .
Bila bilangan-bilangan kubik tersebut dilanjutkan, akan didapatkan pola seperti 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, . . . Kesepuluh bilangan yang tertulis di atas disebut 10 bilangan kubik yang pertama. Nah sekarang bagaimana kita dapat menentukan bilangan kubik berikutnya atau bagaimana kita dapat menentukan bilangan-bilangan kubik lainnya? Jawabannya adalah pola dari 1 , 8 , 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, . . . sama dengan 1 3, 2 3, 33, 43 , 5 3 , 63 , 73 , 8 3 , 9 3 , 10 3 , . . . sehingga bilangan kubik (cube number) juga disebut sebagai bilangan berpangkat tiga yaitu bilangan yang diperoleh dengan memangkatkan tiga suatu bilangan asli.
B. TEKNIK MENGUADRATKAN DAN MENARIK AKAR 1. Teknik Menguadratkan Dilanjutkan Menarik Akar Kuadrat Teknik menguadratkan telah dibahas di bagian depan, teknik menarik akar (akar kuadrat) pertama kali ditemukan oleh Calandra (seorang matematikawan India) pada tahun 1491. Untuk menarik akar (akar kuadrat ) digunakan teknik seperti berikut.
34
Teknik menarik akar pisahkan angka-angka dari bilangan yang ditarik akarnya dua angka-dua angka dari satuan (bagian pengelompokan paling kanan) kerjakan mulai dari angka paling kiri (setelah ada pemisahan) nyatakan angka paling kiri itu sebagai perkalian dua bilangan yang sama besar, hasil kali 2 bilangan yang sama itu tidak boleh melebihi bilangan yang dimaksud, sama adalah yang paling diharapkan. cari sisa dari bilangan pertama dikurangi dengan hasil kali dua bilangan sama yang dikalikan itu, kemudian turunkan sekaligus dua angka yang ada di bagian angka paling kanan angka pertama yang diproses untuk dijadikan sebagai angka kedua yang akan diproses jumlahkan dua bilangan sama besar itu untuk disambungkan dengan suatu bilangan 1 angka yang bila dikalikan dengan bilangan 1 angka yang dimaksud itu, hasilnya tidak melebihi bilangan pada angka kedua yang diproses cari sisa dari bilangan pada kelompok angka kedua yang diproses dikurangi dengan hasil kali yang dimaksud di atas.
Contoh 1
Teknik menarik akar
2062 = … 206 2
4.24.36
212
206
200 6
2 2 +
6 206 2 = 200 212 + 62
4
0
=
40 6
−
0 −
+
= (2212) 100 + 36 = 42400 + 36 = 42436
0
= 4 0 24
24 36 6
= 24 36
Sisa terahir =
−
0 2
0
6
Maka:
42436 = 206
35
Contoh 2 425 2 = … Teknik menarik akar 4252
18.06.25
450
425
400
4 25
25 4252 = 400 450 + 252
8
= (4451000 + 625 = 180.000 + 625 = 180.625
84
4 +
2 +
2
5
5
= 16
−
2 06 = 1 64 − 42 25 42 25
=
−
0
Sisa terakhir =
4
2
5
Maka: 180.625 = 425
Agar anda lebih tertantang cobalah untuk membuat soal sendiri misal 4152 = …, carilah hasilnya dengan teknik seperti yang telah dicontohkan di atas kemudian gunakan teknik penarikan akar yang dimaksud. 3.2. Teknik Menarik Akar Pangkat Tiga Bilangan Kubik
Berbeda dengan penarikan akar kuadrat, penarikan akar pangkat tiga tidak memiliki teknik yang bersifat umum seperti halnya penarikan akar pangkat dua (akar kuadrat). Sudah banyak matematikawan yang berusaha ke arah itu diantaranya adalah matematikawan Italia Gerolamo Cardano (1501 – 1576) di tahun 1535. Namun hingga kini belum ditemukan teknik yang berlaku secara umum. Ada suatu teknik menarik akar pangkat tiga dan teknik itu hanya berlaku efektif untuk penarikan akar pangkat tiga bilangan kubik hingga 1.000.000. Teknik yang dilakukan menggunakan daftar seperti berikut.
36
Bilangan Kubik Dasar 3 1 1 23 8 3 3 27 43 64 53 125 63 216 73 343 83 512 3 9 729 10 3 1000
103 203 303 403 503 603 703 803 903 1003
Bilangan Kubik Ribuan 1.000 8.000 27.000 64.000 125.000 216.000 343.000 512.000 729.000 1.000.000
103.823
Contoh penggunaan tabel Tentukan akar pangkat tiga dari bilangan kubik 103.823, yakni tentukan 3 103.823 = … Jawab : Letak bilangan kubik 103.823 adalah 64.000 < 103.823 < 125.000, maka 40 < 3 103.823 < 50 atau
3
103.823 = empat puluh sekian
= 4 Langkah-langkah penyelidikan lebih lanjut adalah Lihat angka terakhir dari bilangan kubik itu Angka terakhir dari 103.823 adalah 3 Lihat bilangan kubik dasar yang angka terakhirnya sama dengan itu Bilangan kubik dasar yang angka terakhirnya 3 adalah 343 Lihat akar pangkat tiga dari bilangan kubik dasar yang dimaksud Berdasar tabel, diperoleh 3 343 = 7. Maka satuannya = 7, sehingga disimpulkan bahwa
3
Puluhannya
4
Satuannya
7
103.823 =
= 47.
37
Latihan 4 1. Hitunglah penguadratan berikut secara mencongak dengan cara seperti di atas. Setelah hasil penguadratan diperoleh tarik akarnya dan periksa hasilnya. a. 14 2 = ...
b. 23 2 = … c. 46 2 = …
d. 2072 = …
e. 4252 = …
2. Tentukan luas masing-masing persegi yang panjang sisinya diketahui seperti berikut a.
b.
c.
d.
14 cm 25 cm 55 m 94 m
3. Tentukan panjang sisi masing-masing persegi yang luasnya diketahui seperti berikut: a. b. c. d. 2 2 169 cm 784 cm 18.225 cm2 99.225 cm2
4. Tentukan volume kubus yang panjang rusuk-rusuknya adalah a. 14 cm b. 25 cm c. 45 dm d. 75 dm e. 8 satuan f. 18 satuan g. 53 satuan h. 65 satuan. 5. Hitunglah akar pangkat tiga dari bilangan-bilangan kubik a. 6.859 b. 13.824 c. 32.768 d. 97.336 e. 148.877 f. 592.704 g. 804.357 h. 941.192. 6. Tentukan panjang rusuk kubus yang volumenya a. 50.653 cm3 b. 140.608 cm3 c. 405.224 cm3 d. 571.787 cm3. 7. Dengan menggunakan cara menguadratkan seperti yang telah dicontohkan sebelumnya, cobalah untuk menguadratkan bilangan-bilangan berikut kemudian tariklah akarnya a. 19 b. 26 c. 48 d. 57 e. 65 f. 75 g. 85 h. 88 i.96 j. 108 k. 225 l. 512 8. Dengan menggunakan sifat a2 = (a + b)(a – b) + b2 , sifat a3 = a2 a, dan perkalian menggunakan batang Napier, tentukan (coba tanpa kalkulator) pangkat tiga dari : a. 16
b. 25
c. 36
d. 49
e. 64
f. 81
Setelah hasil ditemukan cobalah tarik akar pangkat tiga dari bilangan-bilangan yang Anda hasilkan itu.
38
9. Tanpa menggunakan kalkulator hitunglah akar pangkat tiga dari masing-masing bilangan kubik berikut. a. b. c. d.
2197 2744 4913 9261
e. f. g. h.
50653 59.319 79.507 97.336
i. 205.379 j. 636.056 k. 778.688 l. 941.192.
39
BAB V BILANGAN BULAT DAN OPERASINYA A. TUJUAN PEMBELAJARAN Peserta diklat dapat menuliskan letak suatu bilangan bulat pada suatu garis bilangan jika titik pangkal 0 dari bilangan bulat itu diketahui dan mencari hasil operasi antara dua bilangan bulat. B. KOMPETENSI Peserta diklat menguasai kompetensi pedagogik pembelajaran bilangan bulat dan operasinya. C. BILANGAN BULAT Pengertian Bilangan bulat adalah bilangan yang utuh dalam arti bukan berupa pecahan (sumber kutipan). Dengan demikian bilangan bulat dapat berupa bilangan positip, nol, maupun bilangan negatip. Bilangan negatip dipandang sebagai lawan dari bilangan positip demikian pula sebaliknya. Sebagai contoh misalnya lawan dari 5 adalah –5 (baca “negatip lima”) sedangkan lawan dari –12 adalah 12, demikian pula untuk yang lainnya. Dipandang dari wawasan tentang himpunan, himpunan bilangan bulat merupakan perluasan dari himpunan bilangan cacah. Perluasan yang dimaksud adalah keanggotaannya. Sehingga himpunan yang diperluas itu menjadi tertutup terhadap operasi pengurangan. Dalam bentuk himpunan, himpunan bilangan bulat yang dimaksud adalah B = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}. Apabila digambarkan dengan garis bilangan bentuknya akan seperti berikut: …
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
D. OPERASI PADA BILANGAN BULAT 1. Penjumlahan dan Pengurangan Operasi yang akan diterapkan pada bilangan bulat adalah (+, –, , :) yakni penjumlahan, pengurangan, dan pembagian. Khusus untuk pembagian tidak diperlukan atas semua bilangan bulat tetapi hanya dikhususkan pada bilangan-bilangan tertentu sehingga hasil baginya juga bilangan bulat. Karena penjumlahan dan pengurangan pada bilangan bulat bersesuaian dengan kaidah perhitungan vektor berdimensi satu, maka cara yang mudah, cukup menarik, dan mudah ditangkap oleh siswa SD, cara penanaman konsepnya adalah sebagai berikut: Bermula dari titik pangkal nol dan menghadap ke kanan positip maju tambah terus Bilangan negatip mundur Operasi nol diam kurang balik arah
40
Contoh : (a) – 2 + 5 = …
(b) –3 – (–7) = …
Jawab : Berangkat dari titik asal (pangkal) nol dan menghadap ke kanan (a) –2 + 5 = dari nol menghadap ke kanan , mundur 2, terus, maju 5. Hasilnya 3. mundur 2
–3
–2
–1
1
0
2
3
4
5
6
7
8
terus?… maju 5
–3
–2
–1
1
0
2
3
4
5
6
7
8
Sehingga –2 + 5 = 3 (b) –3 – (–7) = … ,dari nol menghadap ke kanan mundur 3, balik arah, kemudian mundur 7. Dari nol menghadap ke kanan, kemudian mundur 3
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
7
8
terus?… dikurang 7 berarti balik arah, kemudian mundur 7
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
6
41
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Ternyata hasil akhirnya 4. Jadi –3 – (–7) = 4. Cara lain untuk menemukan hasil-hasil operasi pada bilangan bulat secara umum adalah dengan menggunakan pola bilangan. Alasannya karena dengan pola bilangan akan diperoleh konsistensi hukum/kaidah/aturan yang sesuai dengan sifat matematika yang deduktif dan konsisten. Dengan pola bilangan bentuk langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut: Soal
Pola yang diciptakan
Pengamatan pola
–2 + 5 = …
3+5=…
3+5=8
2+5=…
2+5=7
1+5=…
1+5=6
0+5=…
0+5=5
–1 + 5 = …
–1 + 5 = 4
–2 + 5 = …
–2 + 5 = 3
turun 1 turun 1 turun 1
Stop, amati polanya
Dengan demikian maka
–2 + 5 = 3
Soal
Pola yang diciptakan
Pengamatan pola
2 – (–3) = …
2–3=…
2 – 3 = –1
2–2=…
2–2=0
2–1=…
2–1=1
2–0=…
2–0=2
2 – (–1) = …
2 – (–1) = 3
2 – (–2) = …
2 – (–2) = 4
2 – (–3) = …
2 – (–3) = 5
naik 1 naik 1 naik 1
Stop, amati polanya
Dengan demikian maka
2 – (–3) = 5
42
2. Perkalian dan Pembagian Secara konsep, mengali adalah menghitung anggota seluruh kelompok benda bila masingmasing kelompoknya beranggota sama banyak. Karena secara konsep banyaknya kelompok juga harus berupa bilangan positip, maka secara konsep mengali juga harus berupa bilangan positip. Sebagai pemahaman makna dari konsep tersebut berikut diberikan peragaanperagaannya.
a. Peragaan untuk 3 2 = 6
b. Peragaan untuk 3 (–2) = –6
Jika 1 kelompok berisi + 2 (positip 2), berapakah isi dari 3 kelompok?
Jika 1 kelompok berisi –2 (negatip 2), berapakah isi dari 3 kelompok?
Jawab: Isi dari 3 kelompok = 3 (+2) =32 =2+2+2=6
Jawab: Isi dari: 3 kelompok = 3 (–2) = (–2) + (–2) + (–2) = –6
Untuk operasi pembagian demikian pula halnya. Secara konsep membagi adalah menjadikan sekelompok benda menjadi beberapa kumpulan benda sama banyak. Dengan demikian secara konsep bilangan pembagi juga harus berupa bilangan positip. Gambaran konsepnya adalah seperti berikut. a. Peragaan untuk (+6) : 3 = +2 atau 6 : 3 = 2
Cara membacanya Ada satu kelompok berisi positip 6, dijadikan 3 kelompok sama banyak. Berapakah isi masing-masing kelompok yang baru itu? Jawab: Dari hasil peragaan berarti secara konsep: (+6) : 3 = +2 atau cukup ditulis 6 : 3 = 2.
43
b. Peragaan untuk (–6) : 3 = (–2) atau –6 : 3 = 2.
Cara membacanya: Ada 1 kelompok berisi negatip 6, dijadikan 3 kelompok sama banyak. Berapakah isi dari masing-masing kelompok yang baru itu? Jawab: Dari hasil peragaan berarti secara konsep: (–6) : 3 = (–2) atau cukup ditulis –6 : 3 = –2. Mengingat matematika bukanlah ilmu yang bersifat diam, tetapi merupakan ilmu yang terus berkembang, para ahli kemudian mengembangkannya ke arah bentuk yang lebih umum walaupun tampaknya tidak sesuai dengan konsep yang semula. Pertimbangan mereka adalah asal kaidahnya dapat bersifat konsisten. Sebab sifat dasar matematika adalah deduktif dan konsisten (GBPP Matematika SD 1994 : bagian pembukaan). Bentuk yang lebih umum yang dimaksud adalah pengali maupun pembagi yang seharusnya berupa bilangan positip diusahakan dapat berlaku pula untuk bilangan negatip. Untuk maksud tersebut, ide pengembangannya didasarkan atas pola bilangan. Dari pola bilangan itu, jawaban-jawaban yang dihasilkan kemudian diamati pola kecenderungannya. Nah dari pola kecenderungan yang diamati itulah kemudian pengembangan (yang sebenarnya berada di luar konsep) dapat ditentukan/dicari jawabannya hingga sampai pada tujuan yang dimaksud. Terakhir dari terjawabnya tujuan yang dimaksud itu kemudian diadakan generalisasi. Dalam matematika, pola bilangan digunakan untuk menjelaskan pengembangan pemikiran karena kaidah yang diperoleh dari pola itu memiliki azas konsisten sesuai dengan sifat matematika yang hakiki yakni bersifat deduktif dan konsisten. Seperti telah diketahui bahwa secara konsep dapat dikemukakan bahwa bilangan positip dikalikan dengan bilangan negatip hasilnya adalah bilangan negatip. Sedangkan bilangan negatip dibagi dengan bilangan positip hasilnya adalah bilangan negatip. Kini dengan pola bilangan akan dijelaskan mengapa bilangan negatip dikalikan bilangan positip hasilnya berupa bilangan negatip.
44
1. Bilangan negatip positip = bilangan negatip Pola yang dikembangkan 42=… 3x2=… 22=… 12=… 0x2=… -1 2 = … -2 2 = … -3 2 = …
Pola isian 4 baris yang pertama 4 2 = 8 turun 2 3 2 = 6 turun 2 2 2 = 4 turun 2 Stop amati 1 2 = 2 pola hasil isiannya 02=… -1 2 = … -2 2 = … -3 2 = …
Isian selengkapnya 42=8 32=6 22=4 12=2 02=0 -1 2 = -2 -2 2 = -4 -3 2 = -6
Kesimpulan : Bilangan negatif bilangan positif bilangan negatif
=
2. Bilangan negatip negatip = bilangan positip. Dengan mengadopsi hasil sebelumnya yakni bilangan positip negatip = negatip. Pola yang dikembangkan Pola isian 4 baris yang Isian selengkapnya pertama 4 (-2) = … 4 (-2) = -8 naik 2 4 (-2) = -8 naik 2 3 (-2) = … 3 (-2) = -6 3 (-2) = -6 naik 2 2 (-2) = … 2 (-2) = -4 2 (-2) = -4 Stop amati 1 (-2) = … 1 (-2) = -2 pola hasil 1 (-2) = -2 isiannya 0 x (-2) = … 0 (-2) = … 0 (-2) = 0 -1 2 = … -1 (-2) = … -1 (-2) = 2 -2 2 = … -2 (-2) = … -2 (-2) = 4 -3 2 = … -3 (-2) = … -3 (-2) = 6 Kesimpulan : Bilangan negatif bilangan negatif = bilangan positif.
Pembagian Bilangan Bulat Seperti yang pernah dikemukakan sebelumnya bahwa secara konsep bilangan pembagi adalah bilangan positip. Bagaimana pengembangannya untuk pembagi yang berupa bilangan negatip, apakah juga dapat dilakukan menggunakan pola seperti perkalian? Jawabnya adalah tidak. Sebab untuk membuat pola akan berhadapan dengan bilangan 45
nol. Padahal pembagian dengan bilangan nol hasilnya tak ada (does not exist). Oleh karena itu akan lebih baik bila ditanyakan ke siswa “apa hubungannya antara bilangan yang dibagi dengan pembagi dan hasil bagi” seperti misalnya apa hubungan antara:
a. 15 dengan 3 dan 5 pada pembagian 15 : 3 = 5 b. 12 dengan 4 dan 3 pada pembagian 12 : 4 = 3 c. –6 dengan 3 dan –2 pada pembagian –6 : 3 = -2 dan lain-lain. Setelah siswa menjawab “dikalikan” atau lebih lengkapnya “bilangan yang dibagi = pembagi kali hasil bagi” guru kemudian mengarahkan siswa pada bentuk umum: a : b = c bila dan hanya bila a = b c
Pernyataan itu dapat pula ditulis dengan notasi lainnya seperti: a:b=ca=bc
atau
a c a=bc b
Dari bentuk umum itu guru dapat menjelaskan kasus-kasus seperti bilangan (yang dimaksud adalah bilangan tidak nol) dibagi nol, nol dibagi bilangan, dan nol dibagi nol. Hasil yang dimaksud masing-masing adalah: (1)
bilangan tak ada (does not exist) nol
Sebab dari bentuk seperti
5 n 5 = 0 n ternyata tak ada nilai n yang 0
memenuhi. nol = nol bilangan
(2)
Sebab dari bentuk seperti
0 n 0 = 5 n maka n yang memenuhi agar 0 = 5 n 5
adalah n = 0. (3)
nol = tak tentu (semua bilangan memenuhi) nol
0 n 0 = 0 n maka berapapun nilai n yang 0 dimasukkan akan selalu memenuhi bentuk 0 = 0 n. Sebab dari bentuk seperti
Latihan 5 46
1. Uraikan jawabannya dengan kata-kata seperti maju sekian, mundur sekian, terus, balik arah, dan hasilnya berapa. a. –2 + 2 = …, 2 disebut lawan dari –2 b. –3 + 3 = …, 3 disebut lawan dari –3 c. 4 + (–6) = … d. 5 + (–3) = … e. 4 – (–3) = … f. 3 – (–5) = … g. –2 – (–5) = … h. –3 × (–7) = … 2. Hitunglah a. 5 × (– 4) = … b. – 4 × (– 20) = … c. – 20 : (– 4) = … d. 100 : (– 4) = …
e. 10 – 4 × (– 2) = … f. 15 + 4 ×(2 – 5) = … g. 25 – 2 ×(10 – 5) = … h. – 5 ×10 + 75 = …
3. Hitunglah a. 10 : (– 2) × 4 + 30 – 3 ×(– 4) = … b. 16 ×( – 4) : 2 – 40 : ( – 4) × 2 = …
47
BAB VI PENUTUP
A. KESIMPULAN Bilangan asli, cacah, dan bulat yang kita kenal sebagai bilangan ACB pada matematika Sekolah Dasar meliputi konsep bilangan dihubungkan dengan banyaknya satuan (unit) benda dalam suatu kumpulan. Operasi (penjumlahan, pengu-rangan, perkalian, dan pembagian) adalah operasi biner (operasi yang menghubungkan antara 2 unsur/bilangan sehingga menghasilkan unsur tunggal) yang diterapkan pada bilangan. Sajian materi berikutnya adalah kelipatan persekutuan terkecil (KPK), faktor persekutuan terbesr (FPB), penguadratan, pemangkatan tiga, dan penarikan akar (pangkat dua dan tiga), serta bilangan bulat (positip, nol, negatip) dan operasinya. Suatu lingkup bahasan yang cukup luas untuk dibahas dalam diklat guru Sekolah Dasar. Namun semuanya ternyata dapat dilalui secara menarik dan menyenangkan. Resep apa sebenarnya sehingga yang membuat matematika yang dibahas pada kegiatan diklat dapat menarik dan menyenangkan? Jawabnya tidak lain adalah karena sajian materinya diawali secara kontekstual (berangkat dari konteks kehidupan siswa seharihari) dan mengikuti teori Bruner, yakni pembelajaran berangkat dari kongkrit, ditindaklanjuti dengan gambar-gambar (semi kongkrit), dan diakhiri dengan lambang yang sifatnya abstrak. Menurut Bruner, jika pembelajaran berjalan seperti itu, maka siswa akan mampu mengembangkan pengetahuannya jauh lebih luas dari apa yang pernah mereka terima dari gurunya. Apabila itu semua dialami oleh peserta diklat (guru), mengapa siswa tidak mengalaminya?. Semuanya tentu tergantung kepada komitmen (niat baik) dan realisasi (pelaksanaan riil/ sesungguhnya) saat kembali ke tempat tugas masing-masing. B. SARAN Bagi para alumni diklat yang berkomitmen untuk merealisasikan komitmennya pada anak didik agar mereka menjadi senang dengan pelajaran matematika diberikan saran-saran sebagai berikut. 1. Laporkan kepada atasan langsung tentang pengalaman apa saja yang menarik selama menerima sajian akademik dalam kegiatan pelatihan 2. Pikirkan perangkat kerja apa saja yang mendesak untuk dibuat dan segera diterapkan/diimplementasikan di lapangan, jika sebagai guru pertama adalah yang untuk diterapkan di kelas yang diampunya, selanjutnya kepada sesama guru di sekolahnya, kemudian pada kegiatan KKG 3. Susunlah perangkat tersebut dengan niat baik, tulus, dan iklas demi anak bangsa di masa depan 4. Diskusikan rencana tindak lanjut Anda pasca pelatihan kepada kepala sekolah dan kepada pengawas 5. Bersemboyanlah “ Apa yang terbaik yang saya miliki dan dapat saya perbuat untuk kemajuan bangsa ini sebagai andil dalam rangka mencerdaskan bangsa”. Tuhan maha mengetahui dan pasti akan memberikan ganjaran yang patut disyukuri berupa sesuatu yang tak terduga di masa depan. 48
Amin. DAFTAR PUSTAKA Bruner, Jerome. 1967. Toward a Theory of Learning. New York: John Wiley & Sons, Inc. Depdiknas. (2003). Kurikulum 2004 (Standar Kompetensi Mata pelajaran Matematika SD/MI). Jakarta: Departemen Pendidikan Nasional. -------------. (2006). Standar Isi Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan (KTSP). Jakarta: Departemen Pendidikan Nasional. Estiningsih, Elly. (1994). KBM Matematika di Sekolah Dasar (Makalah Penataran). Yogyakarta: PPPG Matematika. Edi Prayitno. (1997). KPK dan FPB (Paket Pembinaan Penataran). Yogyakarta : PPPG Matematika. Niven, Ivan–Zuckerman, Hurbert S. (1978). An Introduction to the Theory of Numbers (Third Edition). New York : John Wiley & Sons, Inc. Wirasto. (1993). Matematika Untuk Orang Tua Murid Dan Guru (Jilid I). Jakarta : PT. Indira.
49
KUNCI JAWABAN SOAL-SOAL LATIHAN Kunci Lat 1 (halaman 15) No. 1 1) 8 2) 4 3) 9 4) 5 5) 24 6) 30 7) 28 8) 27 9) 5 11) 3 12) 4. No. 2 1) 132 2) 208 3) 834 4) 154 5) 208 Latihan 2 Halaman 16 1. 28 2. 26 3. 33 4. 46
10) 6
5. 35.
Latihan 3 halaman 29 1. a. 3 b. 4 c. 4 d. 4 e. 4 f. 10 g. 5 h. 5 i. 10 j. 40 k. 1 l. 2 m. 10 n. 200 o. 50 2. 30 3. 30 orang 4. km 90 pukul 11.30 5. km 50 pukul 09.30 6. km 32 pukul 09.06 Latihan 4 halaman 36 1. a. 196 b. 529 c. 2.116 d. 42.849 e. 180.625 2 2. a. 196 cm b. 625 cm2 c. 3.025 cm2 d. 8. 836 cm2 3. a. 13 cm b. 28 cm c. 135 cm d. 315 cm 3 3 4. a. 2.744 cm b. 15.25 cm c. 91.125 dm3 d. 421.875 dm3 e. 512 f. 5.832 g. 148.877 h. 274.25 5. a. 19 b. 24 c. 32 d. 46 e. 53 f. 84 g. 93 h. 98 6. a. 37 cm b. 52 cm c. 74 cm d. 83 cm 7. a. 361 b. 676 c. 2.304 d. 3.249 e. 4.225 g. 7.225 h. 7.744 i. 9.216 j. 11.664 k. 50.625 8. a. 4.096 b. 15.625 c. 4.656 d. 117.649 e. 262.144 9. a. 13 b. 14 c. 17 d. 21 e. 37 g. 43 h. 46 i. 59 j. 86 k. 92
Latihan 5 halaman 45 1. a.0 b. 0 c. – 2 d. 2 2. a. – 20 b. 80 c. 5 3. a. 22 b. 9
e. 7 f. 8 d. – 25
g. 3 e. 18
h. 21 f. 3
g. 15
f. 5.625 l. 262.144 f. 531.441 f. 39 l. 98.
h. 25
50
