Bab VI. Konduksi Transient

Perpindahan Panas I

Prepared by: Himsar AMBARITA

Bab VI

Konduksi Transient Analisi temperatur suatu titik yang berubah setiap waktu adalah tanggung jawab transient analysis

Pada bab-bab sebelumnya kita hanya fokus pada pembahasan dimana waktu tidak mempengaruhi temperatur, artinya temperatur hanya fungsi dari posisi, biasa dituliskan T ( x, y, z ) . Kasus-kasus seperti inilah yang disebut steady. Jika faktor waktu diperhitungkan sehingga temperatur merupakan fungsi dari posisi dan waktu, T ( x, y, z , t ) maka akan disebut transient. Misalnya, temperatur sebuah logam yang baru dikeluarkan dari cetakan dan diletakkan di luar (udara lingkungan), maka temperaturnya akan bervariasi tergantung setelah berapa lama logam tersebut diletakkan. Jika dibandingkan dengan kondisi steady, analysis transient memerlukan usaha ekstra. Metode-metode menganalisis perpindahan panas konduksi transient akan menjadi tanggung jawab bab ini. Pada bagian awal akan diperkenalkan kenapa kita membutuhkan analyisis transient. Kemudian teknik analysis yang biasa digunakan seperti analysis seragam (lumped analysis system) dan metode grafik akan dibahas. Selamat membaca.

I.

Analisis Seragam konduktivitas tinggi. Koefisien konveksi di permukaan juga turut berpengaruh. Sejauh mana asumsi seragam ini dapat diterima akan dibahas lagi nantinya. Misalkan sebuah benda yang mempunyai temperatur T diletakkan di ruangan yang temperaturnya T∞ , untuk

Ada kalanya perubahan temperatur dalam suatu materi dapat diasumsikan seragam. Misalnya sebuah bola besi yang berukuran kecil (ball bearing) awalnya mempunyai temperatur 200oC saat dikeluarkan dari cetakan dan diletakkan di suatu ruangan. Setelah beberapa menit temperaturnya akan turun, misalnya menjadi 100oC. Dapat dipastikan temperatur didalam besi tidak semuanya 100oC, dipermukaan bisa saja 98oC, di bawah permukaan bisa saja 100oC, dan di dalam intinya malah masih 102oC. Dalam analysis temperatur bola ini bisa dianggap seragam dan diwakili oleh satu angka, yaitu 100oC. Sebaran temperatur ini sangat tergantung pada konduktivitas bahan bola tersebut. Jika konduktivitasnya sangat besar, maka temperatur di permukaan bola akan segera sama dengan temperatur di permukaan. Sebaliknya jika konduktivitas nya rendah sebarannya akan semakin lebar. Bayangkan jika bola tersebut terbuat dari batu bata. Temperatur di permukaan batu bisa saja sudah 100oC, tetapi temperatur di dalam intinya masih bertahan 200oC. Analysis yang membuat asumsi bahwa temperatur di dalam benda yang dibahas adalah seragam disebut lumped system analysis (saya menerjemahkannya sebagai analysis seragam). Sejujurnya tidak ada benda yang bersifat seperti ini, karena untuk bisa segera seragam maka dibutuhkan tahanan termal nol atau konduktivitas tak terhingga. Tetapi perbedaan temperatur yang dianggap kecil bisa diasumsikan seragam. Asumsi ini hampir mirip dengan analisis transient. Untuk menghilangkan variabel waktu dari analysis, maka diasumsikan steady. Di sini untuk menghilangkan variabel posisi (x, y, z) dari persamaan, maka asumsi seragam dipergunakan. Apakah hal ini tidak menyalahi aturan. Jawabnya selama batasan masalah dipenuhi maka nilai pendekatan bisa dipergunakan. Misalnya untuk benda-benda yang kecil dan mempunyai Sustainable Energy Research Group

memudahkan analisis anggap T∞ < T , maka temperatur benda akan turun seiring dengan bertambahnya waktu atau benda mengalami pendinginan. Temperatur benda, sifat fisik dan konveksi dengan lingkungan ditampilkan pada Gambar 1. Pada gambar As bukanlah luas penampang, tetapi luas permuakaan benda yang berbatasan dengan udara lingkungan. As

T∞ Q

h

Gambar 1 Proses pendinginan sebuah benda di udara lingkangan Energi panas akan berpindah dari bagian luar benda yang bersentuhan dengan udara luar secara konveksi dengan koefisien h . Pada analisis ini karena koefisien konduksi benda tinggi dianggap temperatur benda akan turun dari keadaan awal sampai temperatur temperatur tertentu yang besarnya seragam untuk seluruh benda. Jika asumsi ini dipenuhi maka dapat disebutkan bahwa:

47

Mechanical Engineering, USU

Perpindahan Panas I


pada satuan waktu tertentu, panas yang berpindah dari permukaan benda ke lingkungan akan sama dengan penurunan energi di dalam benda. Fakta ini dapat dirumuskan dengan persamaan berikut: ∆T − hAs (T − T∞ ) = mc p (1) ∆t Tanda minus menyatakan benda mengalami penurunan energi. Jika limit perbedaan waktunya mendekati dibuat mendekati nol, maka persamaan (1) dapat ditulis menjadi: − hAs (T − T∞ )dt = mc p dT (2)

Untuk memudahkan analisis diajukan parameter berikut: θ = T − T∞ , akan membuat dθ = dT (3) Substitusi persamaan (3) ke dalam persamaan (2) akan memberikan: hAs dθ (4) − dt = θ mc p

Gambar 2 Grafik penurunan suhu Pada gambar ditampilkan grafik penurunan suhu benda yang ditempatkan pada suhu lingkungan. Benda pertama mempuyai massa yang lebih kecil dari benda kedua dan ketiga, atau m1 < m 2 < m3 maka jika besaran lainnya sama konstanta waktu masing-masing benda menjadi τ 1 < τ 2 < τ 3 . Dari grafik dapat dilihat semakin besar konstanta waktu maka semakin lama waktu yang dibutuhkan untuk mendinginkannya. Sementara total energi yang dipindahkan selama proses pendinginan ini dapat dihitung dengan menggunakan persamaan:

Persamaan (4) dapat diintegralkan untuk waktu dari t i = 0 sampai waktu t dimana temperatur awal

θ i = Ti − T∞ dan temperatur saat itu θ = T (t ) − T∞ . hAs t θ dθ ∫0 − mc dt = ∫θi θ p

(5)

Jika semua parameter beriku h, As , m dan c p adalah konstant atau tidak berubah meskipun waktu dan temperatur benda berubah, maka hasil pengintegralan persamaan (5) adalah: hAs θ (6) − t = ln mc p θi

t

t

Q = ∫ qdt = ∫ − hAs (T − T∞ )dt 0

(10)

0

Gunakan persamaan (9) untuk mengganti (T − T∞ ) pada persamaan ini.

Atau dapat dimodifikasi menjadi:   hA   θ T − T∞ = = exp −  s t  (7) θ i Ti − T∞   mc p   Bagian yang didalam kurung (masih didalam kurung kurawal) bias disederhakan lagi dengan mengajukan satu parameter yang biasa disebut konstanta waktu (time constant): mc p ρVc p = (8) τ= hAs hAs Dengan menggunakan konstanta ini, maka persamaan (7) dapat ditulis menjadi: T − T∞ = e −t τ (9) Ti − T∞ Untuk menjelaskan persamaan ini akan dibuat grafik perubahan suhu terhadap waktu dari tiga buah benda yang mempunyai τ yang berbeda.

t

Q = −hAs (Ti − T∞ ) ∫ e −t τ dt

(11)

0

Jika diintegralkan akan didapat persamaan berikut: Q = mc p (Ti − T∞ ) 1 − e −t τ

[

]

(12)

I.1. Keabsahan Analisis Seragam Perhatikan Gambar 3 berikut ini, yang menunjukkan proses perpindahan panas konduksi di dalam sebuah benda dan perpindahan panas konveksi kelingkungan.

Gambar 3 Perpindahan panas dari solid ke lingkungan Pada bagian (a), perpindahan panas konveksi ke lingkungan lebih kecil daripada konduksi di dalam benda. Panas dari dalam benda akan tertahan dipermukaan, akibatnya perbedaan temperatur di dalam benda padat akan kecil. Analisis temperatur seragam akan dapat diterima di Sustainable Energy Research Group

48


Perpindahan Panas I


sini. Pada bagian (b) perpindahan panas konveksi di permukaan jauh lebih besar daripada konduksi di dalam benda, akibatnya akan terjadi gradient tempertur yang besar. Maka analisis seragam tidak berlaku untuk kasus ini. Parameter yang digunakan untuk membandingkan besar konduksi dan konveksi pada kasus ini disebut bilangan Biot (Biot number), yaitu perbandingan tahanan kondukdi dan tahanan konveksi: ( L kA) hLc R = (13) Bi = cond = c (1 hA) Rconv k

3.

 50 − 30  t = −3180 × ln  = −3180(−2,6) = 8008 s  300 − 30  Atau sekitar 2 jam 14 menit Catatan: Analisis waktu ini diperlukan untuk menentukan panjang dan kecepatan konveyor yang dibutuhkan. Jika masih terlalu lama, maka anda bias mengusulkan kecepatan angin yang sesuai untuk mencapai tujuan yang diinginkan.

Dimana Lc = Vol As disebut panjang karakteristik. Jika bilangan Biot kecil maka konduksi akan lebih kuat dari konveksi. Tetapi sebaliknya jika bilangan Biot besar konduksi lebih lemah dari konveksi. Analisis seragam disarankan untuk digunakan jika memenuhi persamaan berikut: Bi ≤ 0,1 (14) Sebelum menggunakan persamaan (9) untuk menghitung temperature sebuah benda, maka persamaan (14) harus dipastikan dulu terpenuhi.

II. Persamaan Umum Analisis Seragam Bagian pertama dari bab ini, yang menjelaskan analisis seragam adalah merupakan fase pemanasan dari masalah yang sebenarnya di bidang engineering. Alasannya adalah: pada bagian tersebut hanya pengaruh konveksi yang diperhitungkan sebagai “pelarian” panas dari dalam benda padat. Maka dengan hanya konveksi yang diperhitungkan terbentuklah persamaan (9). Pada kasus yang sebenarnya ada tiga faktor yang mungkin mengubah persamaan (9), yaitu: (1) adanya sumber panas di dalam benda, (2) aliran flux panas melalui permukaan benda dan (3) efek radiasi yang menjadi pelarian panas dari permukaan benda ke lingkungannya. Jika semua faktor ini diperhitungakan, maka mekanisme yang terjadi pada Gambar 1 akan berubah menjadi seperti pada Gambar 4 berikut ini:

Contoh 1 Sebagai seorang konsultan, anda diminta oleh sebuah industri yang memproduksi bola-bola besi bantalan luncur untuk menentukan lama pendinginan yang dibutuhkan bola tersebut setelah keluar dari cetakan. Bola yang diproduksi adalah terbuat dari stainless steel dengan diameter 1cm, dengan sifat fisik sebagai berikut ρ = 7854 kg/m 3 ,

c p = 434 J/kgK , k = 60 W/mK . Temperatur bola saat dikeluarkan dari cetakan adalah 300oC. Begitu bola keluar proses pendinginan dimulai dengan menghembuskan udara luar 30oC dengan kecepatan 5m/s. Berdasarkan buku perpindahan panas konveksi kecepatan ini akan menghasilkan koefisien konveksi 17,9 W/m2K. Karena industri tersebut ingin membeli konveyor yang sesuai, maka anda diminta menghitung waktu yang dibutuhkan bola-bola tersebut mencapai temperatur 50oC.

qrad

Tsur

E g h q conv

T∞

Gambar 4 Aliran panas pada sebuah benda

k = 60 W/mK , h = 17,9 W/m 2 K . Ti = 300 o C , T∞ = 30 o C ,

Selisih energi yang masuk dan yang dibangkitkan dengan energi yang keluar dari benda tersebut akan digunakan untuk menaikkan temperatur benda tersebut. Kalimat ini dapat dituliskan dalam bentuk persamaan berikut: dT q ′′A f + E g − qconv − q rad = ρVc p (15) dt Jika perpindahan panas konveksi dan radiasi dijabarkan dengan menggunakan rumus masing-masing maka persamaan ini menjadi: dT q ′′A f + E g − hAs (T − T∞ ) − εσAs (T 4 − Ts4 ) = ρVc p (16) dt Perhatikan bahwa luas permukaan untuk flux dan luas permukaan utuk radiasi dan konveksi dibedakan. Persamaan (16) dikategorikan sebagai persamaan differensial biasa orde pertama yang bersifat non-linier dan tidak homogen. Masalahnya sekarang adalah persamaan ini

−2

dan D = 1 × 10 m. Ditanya: t = ? untuk mencapai temperatur akhir T = 50 o C Langkah yang dilakukan adalah: 1. Hitung Lc untuk menghitung bilangan Bi 3 Vol 43 πr Lc = = = 13 r = 1,67 × 10 −2 m As 4πr 2

hLc 17,9 × 1,67 × 10 −2 = = 4,96 × 10 −3 k 60 Karena lebih kecil dari 0,1 maka analisis seragam bias digunakan. Hitung konstanta waktu dengan persamaan (8). Persamaan ini bias diubah dengan menggunakan Lc. ρVc p ρLc c p τ= = = 3180 s hAs h Bi =

Sustainable Energy Research Group

As

q′′

Penyelesaian: Asumsi yang digunakan sifat fisik konstan. Data yang diberikan soal adalah: ρ = 7854 kg/m 3 , c p = 434 J/kgK ,

2.

Hitung waktu pendinginan dengan menggunakan persamaan (9):  T − T∞  T − T∞ t =− = e −t τ ⇒ ln  Ti − T∞ τ  Ti − T∞ 

49


Perpindahan Panas I


belum bisa diselesaikan secara analitik. Untuk saat ini hanya ada satu cara menyelesaiakannya yaitu dengan cara numerik yang akan dijelaskan di Bab 7. Seandainya dilakukan penghilangan beberapa komponen dari persamaan (16), maka persamaan ini akan mungkin diselesaiakan secara analitik. Misalnya tidak ada flux, tidak ada panas yang dibangkitkan, dan tidak ada konveksi (atau sangat kecil dibandingkan radiasi), maka persamaan (16) berubah menjadi: dT 4 − εσAs (T 4 − Tsur ) = ρVc p (17) dt Jika persamaan ini diintegralakan dan dilakukan modifikasi akan menjadi:  ρVc p  Tsur + T  T   − A − 2 tan −1  t= ln (18) 4   4εAsσTsur  Tsur − T  Tsur  

Profil temperatur sama

T ( x, t ) T ( x, t)

T ( x, t )

y

 T T + Ti Dimana A = ln sur + 2 tan −1  i Tsur − Ti  Tsur

    Penyederhanaan lain yang mungkin dari persamaan (16) adalah jika perpindahan panas radiasi yang diabaikan. Kasus penyederhanaan seperti bisa dilakukan jika temperatur benda yang dianalisis cukup rendah. Maka persamaan (16) dapat disederhanakan menjadi: dθ + aθ − b = 0 (19) dt Dimana θ = T − T∞ , b = (q ′′A f + E g ) ρVc p , dan

(

)

[

z x

x=L

x =0

Gambar 5 Distribusi temperatur transient 1 dimensi Pada gambar plat dianggap sangat panjang (arah-y), akibatnya pada waktu kapanpun profil temperaturnya akan diasumsikan sama untuk setiap nilai y. Demikian juga jika plat sangat lebar sehingga profil temperatur akan sama pada nilai z berapapun. Oleh karena itu, temperatur benda di setiap posisi pada waktu tertentu hanya merupakan fungsi dari x dan waktu t atau T ( x, t ) . Dengan asumsi ini maka persamaan energi (yang diturunkan pada Bab II) dapat disederhakan menjadi: ∂ 2T 1 ∂T = (21) ∂x 2 α ∂t Nilai awal dan nilai batas (pada pertengahan konduksi nol dan pada permukaan konduksi sama dengan konveksi ke lingkungan) untuk persamaan ini dapat dirumuskan: T ( x,0) = Ti (22)

]

a = hAs ρVc p . Persamaan (19) ini dapat diselesaikan dengan teknik transformasi, hasilnya adalah: T − T∞ ba [1 − exp(−at )] = exp(−at ) + (20) Ti − T∞ Ti − T∞ Perhatikan, jika seandainya tidak ada panas yang dibangkitkan di dalam benda dan juga flux dianggap nol, maka parameter b akan sama dengan 0. Maka persamaan (20) akan kembali menjadi persamaan (7). Contoh 2 Jika pada soal yang ada pada contoh 1 efek flux panas akibat persentuhan permukaan bola dengan lantai tidak diabaikan dan dianggap 1% permukaan bola melepas flux 1W/m2 ke lantai maka tentukalah waktu yang dibutuhkan bola sekarang untuk mencapai suhu 50oC.

∂T ∂x

= 0 dan − k x =0

∂T ∂x

= h(T ( L, t ) − T∞ )

(23)

x= L

Bilangan Tanpa Dimensi Untuk mempermudah langkah-langkah analysis, biasanya persamaan differensial diubah ke dalam bentuk tanpa dimensi. Pada tulisan ini bilangan tanpa dimensi yang digunakan adalah: T − T∞ x αt θ* = , x * = , dan t * = 2 = Fo (24) Ti − T∞ L L Semua bilangan ini tidak lagi memiliki dimensi tetapi hanya konstanta. Khusus bagian terakhir waktu tanpa dimensi ini disebut bilangan Fourier. Jika persamaan (24) didifferensialkan dan disubstitusi ke persamaan (21), akan didapat persamaan: ∂ 2θ * ∂θ * (25) = 2 ∂Fo ∂x *

III. Persamaan dengan pengaruh ruang (Spatial effects) Pada pembahasan masalah transient di bagian sebelumnya kita telah mengeliminasi pengaruh ruang dengan memanfaatkan bilangan Biot. Adakalanya kasus pengaruh ruang tidak dapat diabaikan lagi. Pada bagian ini kita akan memasukkan pengaruh ruang ke dalam analisis. Seperti yang sudah diketahui pengaruh ruang mempunyai tiga dimensi, dalam kordinat kartesian disimbolkan x, y, dan z. Tetapi hal ini tidak dilakukan sekaligus, tetapi hanya memasukkan satu dimensi saja, misalnya hanya x. Kasus seperti ini mungkin saja terjadi, misalnya untuk kasus plat yang sangat panjang dan sangat lebar, seperti yang ditampilkan pada Gambar 5.


T ( x, t )

Nilai awal dan kondisi batas pada persamaan (22) dan persamaan (23) menjadi:

50


Perpindahan Panas I


θ * ( x * ,0) = 1 ∂θ ∂x *

(26) *

* x* = 0

∂θ = 0 dan ∂x *

*

*

= − Biθ (1, t )

Bi

(27)

x* = L

0.01 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50 100

III.1 Plat datar dengan konveksi Penyelesaian eksak dengan menyelesaiakan persamaan (25) untuk bentuk-bentuk geometri yang sederhana dapat dijumpai pada buku-buku perpindahan panas. Pada bagian ini akan ditulis kembali penyelesaian utuk bidang seperti yang ditampilkan pada Gambar 6. Sebuah plat dengan temperatur awal Ti ditempatkan di daerah yang mengalami konveksi h dengan temperatur lingkungan T∞ . Untuk kasus ini penyelesian eksak persamaan (25) adalah: ∞

(28)

n =1

Dimana koefisien C n dihitung dengan persamaan berikut:

Cn =

4 sin ξ n 2ξ n + sin( 2ξ n )

(29)

T∞

T∞

T ( x, t )

h

h

x*

x* = 0

x* =1

Contoh 3 Pada proses manufaktur plat-plat baja, setebal 4cm yang baru diproses didinginkan dengan meniupkan udara lingkungan 30oC hingga koefisien konveksi yang terjadi pada masing-masing sisinya 100 W/m2K. Temperatur awal plat adalah 300oC. Anggap panjang dan lebar plat cukup besar hingga dapat dianalisis sebagai kasus transient 1 dimensi. Sifat fisik yang digunakan k = 55 W/mK dan

α = 18 × 10 −6 m2/s. Setelah 20 menit Tentukanlah: (a)

θ adalah temperatur bagian tengah plat datar, yang dirumuskan dengan: θ 0* = C1 exp(−ξ12 Fo) (32) dengan

temperatur di pusat plat, (b) temperatur permukaan, dan (c) energi yang dikeluarkan dari plat jika volume tiap plat 2m3. Penyelesaian: Asumsi konduksi transient 1D dengan sifat fisik konstan. Data soal L = 4 2 = 2 × 10 −2 m , waktu pendinginan t = 1200 s.

menggunakan

persamaan (29). Nilai C1 dan akar pertama persamaan karakteristik ξ1 adalah fungsi dari bilangan Biot, seperti yang ditampilkan pada Tabel 1.


C1 1.003 1.006 1.012 1.0179 1.0239 1.0298 1.0592 1.088 1.1164 1.1441 1.1713 1.1978 1.2236 1.2488 1.2732 1.4793 1.6227 1.7202 1.787 1.8338 1.8673 1.892 1.9106 1.9249 1.9781 1.9898 1.9942 1.9962 1.999 2.0

benda.

* 0

dihitung

ξ1 0.173 0.2445 0.345 0.4217 0.486 0.5423 0.7593 0.9208 1.0528 1.1656 1.2644 1.3525 1.432 1.5044 1.5708 2.0288 2.2889 2.4556 2.5704 2.6537 2.7165 2.7654 2.8044 2.8363 2.9857 3.0372 3.0632 3.0788 3.1102 3.1416

Dimana Qmax = ρc pV (Ti − T∞ ) , dan V adalah volume

Dan parameter ξ n (eigenvalue) adalah akar-akar positif dari persamaan karakteristiknya: ξ n tan ξ n = Bi (30) Penyelesaian yang dinyatakan dalam bentuk deret, seperti pada persamaan (28) masih jauh dari praktis untuk digunakan. Oleh karena itu diperlukan pendekatan. Pada kasus khusus dengan bilangan Forier Fo > 0,2 , persamaan (28) dapat diwakili dengan suku pertama deretnya, dengan kesalahan kurang dari 2% . θ * = θ 0* cos(ξ1 x * ) (31)

C1 dapat

1.0025 1.005 1.0099 1.0148 1.0197 1.0246 1.0483 1.0712 1.0931 1.1143 1.1345 1.1539 1.1724 1.1902 1.2071 1.3384 1.4191 1.4698 1.5029 1.5253 1.5411 1.5526 1.5611 1.5677 1.5919 1.5973 1.5993 1.6002 1.6015 1.6021

Bola

Perpindahan Energi Besar energi panas yang telah dipindahkan selama waktu t dapat dihitung dengan persamaan berikut: sin ξ1 Q = 1 − θ 0* (33) Qmax ξ1

Gambar 6 Konveksi transien 1D pada plat datar

Dimana

Silinder ξ1 C1

0.0998 1.0017 0.1412 0.141 1.0033 0.1995 0.1987 1.0066 0.2814 0.2425 1.0098 0.3438 0.2791 1.013 0.396 0.3111 1.0161 0.4417 0.4328 1.0311 0.617 0.5218 1.045 0.7465 0.5932 1.058 0.8516 0.6533 1.0701 0.9408 0.7051 1.0814 1.0184 0.7506 1.0918 1.0873 0.791 1.1016 1.149 0.8274 1.1107 1.2048 0.8603 1.1191 1.2558 1.0769 1.1785 1.5995 1.1925 1.2102 1.7887 1.2646 1.2287 1.9081 1.3138 1.2403 1.9898 1.3496 1.2479 2.049 1.3766 1.2532 2.0937 1.3978 1.257 2.1286 1.4149 1.2598 2.1566 1.4289 1.262 2.1795 1.4961 1.2699 2.288 1.5202 1.2717 2.3261 1.5325 1.2723 2.3455 1.54 1.2727 2.3572 1.5552 1.2731 2.3809 1.5708 1.2732 2.4048 ∞ Catt: Satuan ξ adalah radian

Persamaan (25) dengan nilai awal dan nilai batas pada persamaan (26) dan persamaan (27) akan diselesaiakan secara eksak pada bagian berikutnya.

θ * = ∑ C n exp(−ξ n2 Fo) cos(ξ n x * )

Plat Datar ξ1 C1

51


Perpindahan Panas I


Gunakan persamaan (32) untuk menghitung temperatur pertengahan plat. Caranya: 1. Hitung Bilngan Fo dan Bi αt Fo = 2 = 54, karena > 0,2 persamaan pendekatan L dapat digunakan. hL Bi = = 0,0364 k 2. Hitung ξ dan C1 dengan menginterpolasi Tabel 1 Interpolasi antara 0,02 dan 0,04 Bi ξ1 C1 0.02 0.0364 0.04

3.

0.141 0.188314 0.1987

Persamaan pendekatan yang dapat digunakan asalkan 2 memenuhu syarat Fo = αt r0 > 0,2 .

θ * = θ 0* J 0 (ξ1r * )

θ adalah temperatur pusat silinder, yang dirumuskan dengan: θ 0* = C1 exp(−ξ12 Fo) (35) Dimana C1 dan ξ1 merupakan fungsi bilangan Biot yang ditampilkan pada Tabel 1. Dan J 0 adalah fungsi Bessel jenis pertama. Sementara besar perpindahan panas setelah waktu tertentu dapat dihitung dengan persamaan:

1.0033 1.006006 1.0066

2θ * Q = 1 − 0 J 1 (ξ1 ) Qmax ξ1

Catatan persamaan (30) dapat juga digunakan untuk menghitung ξ . Tetapi teknik trial and error harus digunakan. Hitung θ 0* dengan menggunakan persamaan (32)

5.

(36)

Dimana J 1 adalah fungsi Bessel jenis pertama.

III. 3 Bola (Sphere)

θ 0* = 1,006 exp(−0,18832 × 54) = 0,148 4.

(34)

* 0

Hitung temperatur di pertengahan plat T − T∞ T − 30 θ 0* = ⇒ 0,148 = Ti − T∞ 300 − 30 Maka jawaban (a) T = 70 oC.

T (r, t)

r0

Hitung temperatur permukaan dengan menghitung θ *

r* =

θ * = θ 0* cos(ξ1 x * ) = 0,148 × cos(0,188 × 1) = 0,146 T − T∞ T − 30 ⇒ 0,146 = 300 − 30 Ti − T∞ Maka jawaban (b) T = 69,3 oC. Catatan: perbedaan temperatur di permukaan dan ditengah plat sangat kecil. Hal ini bisa terjadi karena memang konduktivitas plat baja sangat baik. Hitung energi yang dikeluarkan dari plat dengan menggunakan persamaan (33). k Qmax = ρc pV (Ti − T∞ ) = V (Ti − T∞ ) = 1,65 × 10 9 J

r r0

h

T∞

θ* =

6.

Gambar 8 Konveksi transient 1D pada Bola Untuk kasus bola seperti yang ditampilkan pada Gambar 7, persamaan menghitung temperaturnya sebagai fungsi waktu ditampilkan pada persamaan berikut: 1 θ * = θ 0* sin(ξ1r * ) (37) ξ1r *

α

θ 0* adalah temperatur pusat bola, yang dirumuskan

sin ξ1 Q = 1 − θ 0* ⇒ Q = 1,41 × 10 9 J Qmax ξ1

dengan: θ 0* = C1 exp(−ξ12 Fo) (38) Sementara besar perpindahan panas setelah waktu tertentu dapat dihitung dengan persamaan:

III.2 Silinder

3θ * Q = 1 − 30 [sin(ξ1 ) − ξ1 cos(ξ1 )] Qmax ξ1

Penyelesaian pendekatan juga dapat dirumuskan untuk silinder dengan panjang tak terhingga seperti pada Gambar 7.

Catatan Penyelesaian secara eksak untuk ketiga bentuk geometri sederhana ini (plat datar, silinder panjang, dan bola) hanya untuk kondisi batas konveksi di permukaan dengan udara luar yang mempunyai temperatur T∞ . Jawaban dari penyelesaian eksak adalah berupa deret yang akan konvergen pada nilai akhir. Jawaban seperti ini adalah tidak praktis, maka diajukan jawaban pendekatan dengan hanya menggunakan suku pertama dari jawaban yang berbentuk deret tersebut. Hal ini bisa diterima selama bilangan Fourier Fo ≥ 0,2 , kesalahan yang didapat biasanya hanya kurang dari 2%. Diluar dari syarat ini, tidak

T (r, t)

r0 h

r r = r0 *

T∞

Gambar 7 Konveksi transient 1D pada Silinder


(39)

52


Perpindahan Panas I


disarankan menggunakan penyelesaian pendekatan ini. Harus dicari cara lain untuk menyelesaiakannya. Masalah kondisi batas di permukaan juga masih terbatas pada kasus dengan konveksi di permukaan. Masih ada dua kemungkinan kasus dengan kondisi batas lain yang tentunya akan memberikan penyelesaiaan yang berbeda. Kedua kasus ini adalah: (a) kasus dengan kondisi batas tempertur permukaan konstan dan (b) kasus dengan kondisi batas flux panas konstan. Untuk kedua kasus ini tidak akan dibahas pada buku ini. Tetapi bagi mahasiswa yang serius ingin mempelajarinya disarankan untuk mengacu pada Referensi I. Karena penyelesaian eksak dan pendekatan masalahmasalah konduksi transient ini sangat terbatas, maka saya lebih suka menggunakan pendekatan numerik untuk menyelesaiakan masalah konduksi transient ini. Penyelesaian secara numerik ini akan dibahas pada bab berikutnya dari buku ini.

5.

2θ * Q = 1 − 0 J 1 (ξ1 ) ⇒ Q = 30 MJ Qmax ξ1 Dimana J 1 (0,969) = 0,43 adalah fungsi Bessel jenis pertama orde pertama. Dapat dilihat pada tabel atau dengan menggunakan fungsi Bessel pada Excell.

Contoh 4 (Diambil dari Referensi II sebagai pembanding) Sebuah poros berbentuk silinder yang panjang dengan diameter 20cm terbuat dari stainless steel 304 dikeluarkan dari oven produksi dengan temperatur 600oC. Poros didinginkan di ruangan dengan temperatur 200oC dengan koefisien konveksi h = 80 W/m2K. Tentukan temperatur pusat poros setelah 45 menit dan panas yang dipindahkan per satuan panjang poros.

IV. Benda Padat Semi infinite Di daerah yang beriklim tropis, seperti Indonesia, temperatur tanah (bumi) umumnya lebih redah dari temperatur udara lingkungan. Jika di pagi hari permukaan bumi mendapat penyinaran dari radiasi matahari, maka temperatur permukaan tanah akan naik. Hal ini akan mengakibatkan terjadinya perpindahan panas konduksi dari permukaan tanah ke dalam tanah. Proses perpindahan panas ini dapat dianggap hanya 1 dimensi dan sisi lainnya jauh tak terhingga ke dalam tanah. Kasus semacam ini disebut konduksi transient pada benda padat semi infinite. Artinya pada bagian permukaan bendanya tertentu, sementara pada bagian dalam dimensinya tak terhingga. Diagram perpindahan panasnya ditampilkan pada Gambar 9. Temperatur di dalam benda akan merupakan fungsi jaraknya dari permukaan dan waktu. Tetapi karena bendanya semi infinite, temperatur pada jarak yang menuju tak terhingga akan sama dengan temperatur awal (initial).

Penyelesaian: Asumsi yang digunakan poros mengalami konduksi transient 1 dimensi dan sifat fisik konstan. Sifat material yang digunakan : k = 14,9 W/mK,

ρ = 7900 kg/m3, c p = 477 J/kgK, dan α = 3,95 × 10 −6 m2/s. Data soal: t = 45 menit (2700s), r = 0,1 m, h = 80 W/m2K, Ti = 600 oC, dan T∞ = 200 oC. L = 1 m (persatuan panjang). Gunakan persamaan (35) untuk menghitung temperatur pusat silinder. Tahap penyelesaian soal ini adalah: 1. Hitung bilangan Fo dan Bi αt Fo = 2 = 1,07 r hr Bi = = 0,537 k Nilai Fo sebenarnya tidak melampaui 0,2 sebagai syarat penggunaan pendekatan. Tetapi kita tidak punya alternatif lain dan memberi asumsi tambahan berlaku pendekatan agar persamaan (35) tetap dapat digunakan. 2. Hitung ξ dan C1 dengan menginterpolasi Tabel 1 (untuk silinder) Interpolasi antara 0,5 dan 0,6 Bi ξ1 C1 0.50 0.537 0.60

3.

0.941

T∞

1.018

T ( x, t )

x T ( x → ∞, t ) = Ti

Gambar 9 Konduksi transient pada benda semi-infinite

1.122 1.135

Seperti yang ditunjukkan pada gambar ada tiga kemungkinan kondisi yang mungkin terjadi, yaitu (a) temperatur permukaan konstan Ts, (b) terjadi konveksi dengan udara lingkungan, dan (c) flux panas konstan. Penyelesaian untuk kasus ini akan disesuaikan dengan kondisi batas ini.

* 0

Hitung θ dengan menggunakan persamaan (35)

θ 0* = C1 exp(−ξ12 Fo) =0,412 4.

Hitung temperatu di pusat dengan menjabarkan θ 0*


q ′′

h

Ts

1.114 0.969

T (0, t ) − T∞ ⇒ T (0, t ) = 365 oC Ti − T∞ Maka temperatur inti akan turun dari 600oC menjadi 365oC setelah 45menit. Jawaban ini berbeda 5oC dengan Referensi II, karena pada buku tersebut soal ini diselesaikan dengan menggunakan grafik. Panas yang dipindahkan persatuan panjang dapat dihitung dengan mengunakan persamaan (36) V = πr 2 L = 3,14 × 10 −2 m3 Q max = ρc pV (Ti − T∞ ) = 43,378 MJ

θ 0* =

53


Perpindahan Panas I


q ′s′ =

a.

Temperatur permukaan konstan Penyelesaian konduksi transient pada benda semiinfinite ini dapat dilakukan dengan menggunakan konsep similarity variable. Dimisalkan suatu variabel 12 η = x (4αt ) yang harus dimasukkan ke persamaan (21).

b.

k (Ts − Ti )

(43)

παt

Permukaan semi infinite dengan konveksi

Untuk kasus dengan kondisi batas konveksi di permukaan, persamaan temperatur dapat dihitung dengan cara yang sama dan hasilnya adalah:  hx h 2αt   x  T − Ti  − EC exp + 2  = erfc (44)  k T∞ − Ti k   2 αt    x h αt  Dimana EC = erfc + (45)  2 αt k   Pada persamaan ini digunakan erfc yang artinya fungsi error tambahan (complement error function). Artinya jika diketahui suatu bilangan sembarang u , maka erfc u = 1 − erf u .

∂ 2T 1 ∂T (21) = ∂x 2 α ∂t Dengan menggunakan chain rule akan didapat persamaanpersamaan berikut: 1 dT ∂ 2T ∂T dT ∂η 1 d 2T = = dan = 2 ∂x dη ∂x 4αt dη 2 ∂x 4αt dη ∂T dT ∂η x dT = =− ∂t dη ∂t 2t 4αt dη Substitusi persamaan-persaman ini ke persamaan (21) akan memberikan: d 2T dT = −2η (40) dη dη 2 Nilai batas untuk persamaan ini adalah: T (η = 0) = Ts dan T (η → ∞) = Ti (41) Persamaan (40) dapat diubah bentuknya menjadi bentuk yang dapat diintegralkan sekali, yaitu: d (dT dη ) = −2ηdη (dT dη ) Jika diintegralkan, menjadi: ln (dT dη ) = −η 2 + C dT Atau = C1 exp (−η 2 ) dη Integralkan sekali lagi akan memberikan: (agar berbeda, variabelnya akan diganti dengan sebuah variabel dummy u)

c.

Flux panas konstan

Untuk kasus dengan flux panas konstan, persamaan temperaturnya adalah:  − x 2  q s′′ x 2q ′′ αt π  x  −  (46) T − Ti = s exp erfc  k  2 αt   4αt  k

Contoh 5 (Diambil dari Referensi II) Pada daerah-daerah yang mempunyai musim dingin temperatur udara bisa mencapai temperatur di bawah 0oC hal ini bisa menimbulkan masalah pada pipa aliran air, dimana air akan membeku di dalam pipa yang akan menghentikan aliran air dan dapat juga menyebabkan pipa pecah. Untuk menghindari hal ini terjadinya biasanya pipa ditanam di dalam tanah yang lebih hangat. Masalahnya adalah temperatur permukaan tanah akan berangsur-angsur turun dan jika kedalaman pipa tidak cukup dalam tetap akan terjadi pembekuan. Misalkan suatu pada suatu daerah permukaan tanah tertutup salju selama 3 bulan (lamanya musim dingin) hingga permukaannya sekitar -10oC. Temperatur awal tanah saat memasuki musim dingin Jika koefisien konduksi tanah adalah 15oC. −6 2 k = 0,4 W/mK dan α = 0,15 × 10 m /s tentukan kedalaman minimum pipa air harus ditanam di daerah tersebut untuk menghindari pembekuan air.

∞

T = C1 ∫0 exp(−u 2 )du + C 2 Dengan menggunakan kondisi batas yang pertama di persamaan (41), maka akan di dapat C 2 = Ts . Masukkan kondisi batas kedua akan didapat: ∞

Ti = C1 ∫0 exp(−u 2 )du + Ts Jika diarrange, bentuknya bisa ditulis menjadi persamaan berikut: (T − Ts ) 2(Ti − Ts ) C1 = ∞ i = 2 π ∫0 exp(−u )du Dengan menggunakan konstanta ini, maka jawaban untuk persamaan (40) adalah: T − Ts 2 η 2 = (42) ∫ exp(−u )du = erf η Ti − Ts π 0 Dimana bagian yang di sebelah kanan disebut sebagai fungsi error Gauss. Sementara heat flux perpindahan panas pada permukaan dapat dihitung dengan menggunakan persamaan: ∂T d (erf η ) ∂η q s′′ = − = −k (Ti − Ts ) ∂x x =0 dη ∂x η =0

Penyelesaian: Diagram contoh soal ini ditampilkan pada gambar berikut:

Jika diselesaiakan akan memberikan:


54


Perpindahan Panas I

Prepared by: Himsar AMBARITA Teknik Superposisi

Ts = −10o C

x Pipa air

r0

Asumsi yang digunakan: sifat fisik konstan, tempertur permukaan tanah konstant pada -15oC, dan 1 dimensi. Agar air di dalam pipa tidak membeku tempertur paling tidak di atas titik beku, T(x,t) = 0oC. Persamaan yang sesuai untuk soal ini adalah persamaan (39). 1. Hitung lamanya musim dingin dalam detik t = 3 × 30 × 24 × 60 × 60 = 7,776 × 10 6 s 2. Gunakan persamaan (39)  x  T − Ts  = erf  Ti − Ts  4αt 

Gambar 10 Teknik superposisi membentuk silinder sepanjang L Syarat utama menggunakan analisis transient 1 dimensi adalah dimensi benda yang dibahas tak terhingga ke di kedua sisi arah dimensi yang dihilangkan. Misalnya kalau distribusi temperaturnya adalah T ( x, t ) , karena y dan z dihilangkan maka panjang benda ke arah y dan z adalah tak terhingga. Atau kalau kasusnya semi infinite, panjang benda tak terhingga hanya ke satu sisi dari dimensi yang dihilangkan. Sementara jika ukuran benda yang dibahas sudah tertentu, seperti silinder dengan panjang L dan jari-jari r0 seperti pada Gambar 10(b), kasusnya sudah merupakan multi dimensi, tepatnya T ( x, r , t ) . Pada Gambar 10(a) ditunjukkan bahwa silinder dengan panjang L dan jari-jari r0 merupakan irisan dari plat datar yang panjang dengan tebal W ( W = L ) dengan silinder sangat panjang dengan yang berjari-jari r0 . Dengan menggunakan analogi irisan ini, maka distribusi temperatur pada silinder sepanjang L dapat dirumuskan dengan persamaan: θ * ( x, r , t ) Sil , L = θ * ( x, t ) Plat × θ * (r , t ) Sil (47)

 x  T − Ts 0 − (−10)  = erf  = = 0,4  4αt  Ti − Ts 15 − (−10) Nilai error function yang sesuai adalah jika parameternya 0,371. Nilai ini bisa dilihat di tabel atau dengan menggunakan fungsi Erf (x) pada excell. 3.

Hitung x x = 0,371 4αt

x = 0,371 × 4 × 0,15 × 10 −6 × 7,776 × 10 6 = 0,8 m Maka jika pipa ditanam pada kedalaman lebih dari 0,8 m tidak akan membeku meskipun temperatur di permukaan − 10 o C selama 3 bulan karena tertutup salju.

Dimana θ * adalah temperatur tanpa dimensi yang dirumuskan sebagai berikut: (T ( x, r , t ) − T∞ ) θ * (x, r , t )Sil , L = (Ti − T∞ )

V. Transient Multi Dimensi

θ * ( x, t ) plat =

Pada bagian awal kita telah merumuskan konduksi transient tanpa pengaruh posisi dan bagian kedua konduksi transient dengan pengaruh posisi hanya 1 dimensi. Pada bagian ini kita akan membahas kasus transient dengan multi dimensi. Dengan kata lain kita ingin menyelesaian distribusi temperatur T ( x, y, z , t ) . Mungkin anda bertanya: sedangkan hanya kasus 1 dimensi T ( x, t ) kita sudah hampir menyerah dan minta tolong pada jawaban pendekatan, apakah mungkin menyelesaikan T ( x, y, z , t ) lagi? Memang benar, untuk saat ini hampir tidak mungkin menyentuh jawaban T ( x, y, z , t ) secara eksak. Yang akan kita lakukan di bagian ini adalah teknik super posisi. Artinya kita akan menggabung jawaban-jawaban dari kasus-kasus 1 dimensi untuk mendapatkan jawaban multi dimensi. Teknik inilah yang disebut teknik superposisi, yang diperkenalkan oleh Langston 1982.


(T ( x, t ) − T∞ ) (Ti − T∞ )

(T (r , t ) − T∞ ) (Ti − T∞ ) Bagaimana menghitung parameter-parameter yang disebelah kanan telah dibahas pada bagian sebelumnya. Analogi irisan juga dapat digunakan untuk menghitung besar perpindahan panas pada kasus-kasus multi dimensi. Persamaan untuk kasus dua dimensi adalah:

θ * (r , t )Sil =

 Q   Q   Q      Q  =Q  +Q  max  2 D  max 1  max Dan untuk tiga dimensi:

55

   Q  1 −     2   Qmax

     1 


(48)

Perpindahan Panas I

 Q  Q  max


  Q  =    3 D  Qmax

  Q  +  Q 1  max

   Q  1 −     2   Qmax

 Q    Q  1 −  +   Qmax  3   Qmax

     1 

   Q   1 −  1    Qmax

    1 

5.

(49)

0.02 0.0364 0.04

Contoh 6 Misalkan kelak, anda berminat menjadi pengusaha dengan mendirikan pabrik untuk memproduksi poros yang akan anda pasarkan ke pabrik-pabrik kelapa sawit di Indonesia. Salah satu poros produksi anda berbentuk silinder mempunyai diameter 5cm dan panjang 10cm terbuat dari stainless steel 304. Setelah mengalami proses produksi dengan temperatur awal 500oC, poros-poros tersebut anda dinginkan dengan meniupkan udara lingkungan 30oC hingga terjadi konveksi dengan koefisien 60 W/m2K. Setelah 30 menit, tentukanlah temperatur inti poros dan total panas yang sudah berpindah dari poros

6. 7.

0.2

3.

8.

= 0,0664

Hitung temperatur menjabarkan θ 0* .

di

pusat

silinder

dengan

T − T∞ T − 30 ⇒ 0,0664 = ⇒ T = 61,2 oC Ti − T∞ 500 − 30 Angka ini merupakan jawaban untuk soal (a) 9.

Panas maksimum yang berpindah dapat dihitung dengan menggunakan persamaan (48)  Q   Q   Q    Q            Q  =  Q  +  Q  1 −  Q    max  2 D  max 1  max  2   max 1  10. Hitung (Q Qmax )1 dengan menggunakan persamaan (33):  Q  sin ξ1   = 1 − θ 0* =0,415 Q ξ1  max 1 11. Hitung (Q Qmax )2 dengan menggunakan persamaan (369:  Q  2θ *   = 1 − 0 J 1 (ξ1 ) =0,893 ξ1  Qmax  2 12. Gabungkan kedua parameter ini:  Q    = 0,415 + 0,893(1 − 0,415) =0,9374 Q   max  sil , L 13. Hitung perpindahan panas maksimum V = πr 2 × L = 1,96 × 10 −4 m3 Qmax = ρc pV (Ti − T∞ ) =347,58kJ

1.0246 1.025 1.0483

Hitung θ 0* dengan menggunakan persamaan (35)

14. Hitung perpindahan panas yang telah terjadi:  Q   × Qmax = 325,8kJ Q =    Qmax 

Hitung Fo dan Bi untuk kasus plat datar panjang Di sini tebal plat sama dengan panjang silinder (perhatikan Gambar 10). Maka Lc = 5 cm αt Fo = 2 = 2,84 Ls


Sil , L

θ 0* =

θ 0* = C1 exp(−ξ12 Fo) = 0,11 4.

Gabungkan kedua parameter ini untuk mendapatkan θ 0* untuk silinder dengan menggunakan persamaan (47): θ * (0,0, t ) Sil , L = θ * (0, t ) Plat × θ * (0, t ) Sil = 0,604 × 0,11

( )

Cara menyelesaiakan soal ini: 1. Hitung bilangan Fo dan Bi untuk silinder panjang αt Fo = 2 = 11,4 r hr Bi = = 0,101 k 2. Hitung ξ dan C1 dengan menginterpolasi Tabel 1 (untuk silinder) Interpolasi antara 0,1 dan 0,2 Bi ξ1 C1 0.4417 0.443 0.617

1.0033 1.006006 1.0066

Hitung θ 0* dengan menggunakan persamaan (32)

Atau θ 0*

ρ = 7900 kg/m3, c p = 477 J/kgK, dan α = 3,95 × 10 −6 m2/s.

0.101

0.141 0.188314 0.1987

θ 0* = C1 exp(−ξ12 Fo) = 0,604

Penyelesaian: Soal ini tidak dapat lagi diselesaikan dengan mengunakan asumsi silinder sangat panjang (kasus 1D), karena panjang poros sudah tertentu. Soal ini harus diselesaikan dengan menggunakan teknik superposisi antara poros sangat panjang dan plat datar sangat panjang. Asumsi yang digunakan di sini adalah sifat fisik konstan. Data yang diberikan soal: Poros silinder r = 2,5 cm, L = 15 cm, Ti = 500 oC, T∞ = 30 oC, dan h = 60 W/m2K. Sifat material yang digunakan : k = 14,9 W/mK,

0.1

hLc = 0,201 k Hitung ξ dan C1 dengan menginterpolasi Tabel 1 Interpolasi antara 0,2 dan 0,3 Bi ξ1 C1 Bi =

VI. Beberapa bentuk lain multi dimensi Beberapa bentuk multi dimensi yang merupakan irisan dari bentuk 1 dimensi dapat dilihat pada sub bagian berikut: VII. Soal –soal Latihan 1. Soal Latihan Menyusul 56


Bab VI. Konduksi Transient

Recommend Documents