BAB V MOMENTUM ANGULAR Pengukuran Simultan Beberapa Properti Dalam keadaan stasioner, momentum angular untuk elektron hidrogen adalah konstan

BAB V MOMENTUM ANGULAR Pengukuran Simultan Beberapa Properti  Dalam keadaan stasioner, momentum angular untuk elektron hidrogen adalah konstan.  Kriteria apa saja yang dapat digunakan untuk menentukan properti apa saja dari suatu sistem yang nilainya dapat ditentukan secara simultan.  Dalam mekanika kuantum ada pasangan-pasangan properti yang pengukurannya tidak dapat secara simultan, sebagai contoh posisi dan momentum merupakan dua properti pengukurannya tidak dapat secara simultan.  Ada juga pasangan-pasangan properti yang pengukurannya dapat secara simultan, karena masing-masing mempunyai hasil pengukuran yang pasti.   Jika fungsi  adalah fungsi eigen dari operator A dengan nilai eigen a, maka a adalah nilai properti A.





Contoh jika  adalah fungsi eigen dari operator energi kinetik  T dengan nilai eigen t, maka t adalah nilai energi kinetik T. Jika  secara simultan   merupakan fungsi eigen dari dua buah operator yaitu A dan B dengan nilai eigen a dan b, (ditulis:   A  = a dan B  = b, maka secara simultan dapat diketahui secara pasti nilai properti A dan B, yaitu a dan b.

Kapankah terjadi kemungkinan bahwa  menjadi fungsi eigen dari dua buah operator berbeda ? 



Fungsi  akan secara merupakan fungsi eigen dari  simultan  dua buah operator A dan B jika kedua operator  tersebut adalah pasangan operator yang commute atau jika [ A , B ] = 0.   Jika dua buah operator A dan B adalah commute, maka   dapat menjadi fungsi eigen bagi A maupun B .

! Ingat !       Commutator A dan B adalah [ A , B ] = A B  B A .



Beberapa commutator identitas yang sangat membantu dalam mengevaluasi     commutator. [ A , B ] = [ B , A ] (5-1) [ A, An] = 0   (5-2)   [kA ,B ]= [ A , k B] = k[ A (5-3)  , B ] [ A , A + C  ] = [A , B ] + [ A , C  ]; [ A + B (5-4)  ,C ] = [A ,C ] + [ B  , C ]  [ A ,B C  ] = [A , B ] C  + B [ A , C ] ; [ A B ,C ] = [ A,C ] B + A [ B ,C ] (5-5)

Contoh: Buktikanlah bahwa x dan px tidak dapat diukur secara simultan! Jawab:  Ujilah bahwa [ x, px ]  0    [ x, px ] = [ x px  px x ] Jika dioperasikan pada sembarang fungsi :

   [ x, px ]  = [ x px  px x ]   = x px  px x 

  Karena px =  i  , maka: x    [ x , px ]  = x ( i  )  ( i  )x  x x   i  ( x   x ) x x    i  { x  ( x+x ) } x x x   i  { x  (+x ) } x x   i  { x   x } x x   i  { x    x } x x

i  {   } i   Jadi:  [ x , px ] = i   Karena [x, px ] ≠ 0, maka  tidak mungkin merupakan fungsi  eigen simultan terhadap x dan px sehingga pengukuran x dan px harus secara simultan dan mengikuti prinsip ketidakpastian. 5.2 Momentum Angular Sistem Partikel Tunggal Momentum Angular Dalam Mekanika Klasik  Jika sebuah partikel bermassa m melintas dan dalam sistem koordinat Cartessius dengan r adalah vektor dari titik acuan ke posisi partikel pada saat itu, maka hubungan antara vektor r dengan komponen-komponennya adalah r=xi+yj+zk (5-6)

dengan x, y dan z adalah koordinat partikel sedang i, j, k adalah unit vektor berarah x, y dan x.

Jika vektor momentum linear adalah p maka hubungan antara vektor p dengan komponen-komponennya adalah: p = p x i + p y j + pz k (5-7) dengan px = m vx ; py = m vy dan pz = m vz

Menurut mekanika klasik, vektor momentum angular L didefinisikan sebagai : i j k L=rxp= x y z

px

py

pz

=  y. pz  z. p y  i   xpz  zpx  j +  xp y  ypx  k (5-8) Karena hubungan antara vektor L dan komponen-komponennya adalah: L = Lx i + L y j + L z k (5-9) Maka kita peroleh: Lx  y. pz  z. p y Ly  z. px  x. pz (5-10) Lz  x. p y  y. px

Hubungan antara harga L dengan Lx , ly dan Lz adalah: L2 = L2x  L2y  L2z (5-11) Operator Momentum Angular Operator momentum angular diperoleh dari persamaan klasik (511) dan (2-10) setelah mengganti px , py dan pz dengan operator px , p y dan pz yaitu:  px = i x  (5-12) p y = i y  pz = i z

sehingga:

    Lx = i  y  z   z  y      Ly = i  z  x  (5-13) z   x    Lz = i  x  y  x   y Selanjutnya kita tahu bahwa besarnya harga skalar L adalah: L2 = L2x  L2y  L2z Jadi operator L2 = L2x + L2y + L2z (5-14)

Commutator antara Momentum Angular dengan Komponenkomponennya Selanjutnya karena pasangan commutator sangat penting untuk mengetahui apakah dua buah properti dapat diukur secara simultan atau tidak, maka sekarang kita akan melihat bagaimana harga pasangan-pasangan commutator antar komponen momentum angular, yaitu [ Lx , Ly ]; [ Lx , Lz ]; [ Ly , Lz ] dan juga pasangan commutator antara operator momentum angular L2 dengan komponen-komponennya yaitu commutator [ L2 , Lx ]; [ L2 , Ly ] dan [ L2 , Lz ]. Pertama kita akan mengevaluasi commutator [ Lx , Ly ]. Kita tahu bahwa: [ Lx , Ly ] = Lx Ly  Ly Lx Jika dioperasikan pada sembarang fungsi F maka: [ Lx , Ly ] F = Lx Ly F  Ly Lx F

             = 2 {  y  z   z  x  F  z  x   y  z  F}  y   x  y z   x z    z  z 

2

2 2    2 2 2 2    2  2  y z F  yx F  z F  zx F  zy F  z F  xy F  x z F 2 2  z x  z  y  x  y  z  x  z  x  y  z  z y  

2 2         2    y z F  zx F  zy Fx z F yz xz z y   z x

F   F y  x  x   y     2    y  x F y   x = i Lz F 

2

Jadi: [ Lx , Ly ] = i Lz

(5-15)

Analog dengan cara diatas maka diperoleh (Buktikan): [ Ly , Lz ] = i Lx (5-16) [ Lz , Lx ] = i Ly (5-17) Dari (2-11) tampak bahwa pasangan commutator antar komponen momentum angular adalah non-commute. Sekarang akan kita selidiki pasangan commutator antara operator momentum angular dengan komponen-komponennya yaitu: [ L2 , Lx ] ; [ L2 , Ly ] dan [ L2 , Lz ]. Pertama akan kita selidiki dulu: [ L2 , Lx ] dengan memanfaatkan sifat commutator identitas pada awal bab ini. Karena: L2 =

2 Lx

+

2 Ly

[ L2 , Lx ] = [ L 2x +

+

2 Lz

2 Ly

+

maka: 2 Lz 2 Ly

, Lx ]

= [ L 2x , Lx ] + [ , Lx ] + [ L 2z , Lx ]

Menurut sifat (5-2), [ L2 , Lx ] = 0, jadi: [ L2 , Lx ] = [ L2 , Lx ] + [ L2 , Lx ] atau: [ L2 , Lx ] = [ Ly Ly , Lx ] + [ Lz Lz , Lx ] Dengan menggunakan sifat (5-5) yaitu [ A B , C ] = [ A , C ] B + A [ B , C ], maka: [ L2 , Lx ] = [ Ly , Lx ] Ly + Ly [ Ly , Lx ] + [ Lz , Lx ] Lz + Lz [ Lz , Lx ] =  i Lz Ly  i Ly Lz + i Ly Lz + i Lz Ly = 0 Jadi: [ L2 , Lx ] = 0 (5-18) Analog dengan cara di atas maka diperoleh: [ L2 , Ly ] = 0 (5-19) [ L2 , Lz ] = 0 (5-20)

Dari persamaan (5-18) sampai dengan (5-20) tampak bahwa operator momentum angular L2 dan salah satu komponenkomponen bersifat commute, jadi antara L2 dengan salah satu Lx atau Ly atau Lz mempunyai fungsi eigen yang sama. Operator Momentum Angular dalam Koordinat Spherik Persamaan (5-13) dan (5-14) itu adalah operator untuk menghitung Lx , Ly dan Lz dengan menggunakan koordinat Cartessius. Mengingat momentum angular terjadi pada partikel yang bergerak melengkung, maka penggunaan operator kuantum angular dalam koordinat bola, ternyata lebih menguntungkan, oleh karena itu, kita perlu mengetahui, bagaimana pernyataan operator tersebut dalam koordinat bola. Buku ini tidak akan membahas bagaimana penurunan operator tersebut dalam koordinat bola, tetapi bagi yang ingin mengetahui

penurunannya dianjurkan untuk membaca literatur mekanika kuantum. Adapun dalam koordinat bola (Hanna, 1969: 137):     Lx = i  sin   cot  cos           Ly = i  cos   cot  sin   (5-14)    

Lz = i

 

Telah kita ketahui, bahwa hubungan antara suatu vektor dengan komponen-komponennya adalah kuadrat vektor = jumlah kuadrat komponen-komponennya, jadi: L2  L2x  L2y  L2z Dengan demikian diperoleh: 2   1   1  L2 =  2  (5-18) sin   2 2  sin     sin  

atau: L2 = 

2

 2  1 2    2  cot   sin 2   2   

(5-19)

Fungsi Eigen Dan Nilai Eigen Momentum Angular Orbital Partikel Tunggal Sekarang kita akan menurunkan fungsi eigen dari operator L2 dan Lz . Dengan memperhatikan bahwa operator tersebut melibatkan  dan , maka fungsi tersebut kita sebut fungsi (,) yang merupakan fungsi  dan fungsi  dalam relasi: (,) = f() . f() (5-20) Jika agar praktis f() ditulis T dan fungsi f() ditulis , maka: (,) = T .  (5-21)

Jika b adalah nilai eigen untuk Lz dan c adalah nilai eigen untuk L2 , maka persamaan eigennya dapat ditulis: (5-22) Lz  = b  (5-23) L2  = c  Kita selesaikan dulu (5-22). Dengan menggunakan operator Lz dan fungsi  ditulis T. maka (5-22) dapat ditulis:  T. = b T. atau i  d = b T.atau i T d d T = (b/ i ) T.atau d d  ib = .atau d 1 ib d d atau 

ln  =

ib

 C

atau

 = eib /  C = eC eib / = A eib / dengan A adalah tetapan sembarang.

(5-24)

Apakah setiap  (5-24) dapat menjadi fungsi eigen ? Jawabnya tidak. Karena tidak semua bentuk (5-24) adalah bernilai tunggal (singled valued). Agar (5-24) singled valued maka jika  ditambah 2 harga  tidak berubah. Jadi (5-24) adalah fungsi eigen jika: A eib / = A eib ( 2 )/ = A eib / eib 2 / sehingga eib 2 / = 1 (5-25) eib 2 / adalah cos 2b/ + i sin 2b/ . Jadi cos 2b/ + i sin 2b/ = 1 (5-26) Untuk memenuhi (5-26) maka 2b/ harus = 2  m dengan m = 0, 1, 2, 3 . . . . .

sehingga b=m m = 0, 1, 2, 3, 4, 5 . . . . . (5-27) Karena b adalah nilai eigen dari operator Lz maka harga Lz pasti = b, atau: Lz = m m = 0, 1, 2, 3, 4, 5 . . . . . . (5-28) Jika harga b dimasukkan ke dalam (5-24) maka fungsi eigen  diperoleh, yaitu:  = A ei m  (5-29) 1/2

 1  Dengan normalisasi, harga A diperoleh, yaitu A =    2  sehingga: 1/2

 1   =   ei m   2 

(5-30)

dengan m adalah bilangan kuantum magnetik. Sekarang kita akan menyelesaikan persamaan (5-23) yaitu L2  = c yang dapat ditulis: 2 2     1  2  = c atau   2  cot  2 2  sin      2  1 2  2    = c atau   2  cot  2 2  sin      2  1  2   1 1/2 ei m  = c  1 1/2 ei m atau 2     cot        2 



sin 2   2 

d 2T dT m2  cot  2 2 d d sin 

 

 2 

c 2

T

 2 

(Buktikan !) (5-31)

Untuk menyelesaikan (5-31) kita lakukan dengan melakukan manipulasi matematika, pertama diadakan perubahan variabel bebas, dengan cara mensubstitusi: cos  = x (5-32)

Jika cos  = x maka: sin  = (1  x2)1/2 icot  = x / (1  x2)1/2

(5-33)

Akibat perubahan variabel ini, maka terjadi transformasi fungsi T yang semula fungsi  menjadi fungsi x. Kita misalkan fungsi baru sebagai akibat transformasi itu adalah G(x) Jadi: T = G(x) (5-34) sehingga, dengan aturan berantai yaitu: dT dG dx dG d cos dG 2 1/2 dG = =  sin  = (1  x )  . . d dx d dx d dx dx (5-35)

d 2T Untuk mengevaluasi kita gunakan operator aljabar: 2 d d d = (1  x2)1/2 d dx

Jadi

d 2T 2 1/2 d 2 1/2 dG = (1  x ) [(1  x ) dx ] 2 dx d = (1  x2)1/2 dxd [ (1  x2)1/2 dGdx ] = (1  x2)1/2 { dxd (1  x2)1/2 . dGdx + (1  x2)1/2 = (1  x2)1/2 { (1/2) (1  x2)1/2 (2x). = (1  x2)1/2 { (1/2) (1  x2)1/2 (2x). = (1  x2)1/2 { x) (1  x2)1/2. = x

dG dx

+ (1  x2)

Jadi: d 2T 2 = (1  x ) 2 d

d 2G dx 2

x

dG dx

dG dx dG dx

d 2G dx 2

]

+ (1  x2)1/2

d 2G

+ (1  x2)1/2

d 2G

+ (1  x2)1/2

d 2G dx 2

dx 2 dx 2

] ]

]

d 2G dx 2

(5-36)

dG dx

Dengan menggunakan (5-32) s/d (5-36), maka (5-31) dapat ditulis: 2 (1  x2) ddx G2 x dGdx +  c2  1 mx2 2  G = 0 (5-37) 



dengan x adalah 1 < x < +1 (Mengapa ?) atau: c m2  2 (1  x ) G'' x G'+  2  G = 0 (5-38) 2  1  x    Agar penyelesaiannya tidak rumit ketika kita melakukan penyelesaian dengan menggunakan metode deret penyelesaian, maka kita nyata G kedalam fungsi x yang lain yaitu H (x) dengan relasi: G = 1  x

2



m /2

H

(5-39)

Dari (5-39) kita cari G' dan G'' untuk disubstitusikan ke (5-38) dan setelah dibagi dengan 1  x (1  x2 ) H''  2

m

 1

2



m /2

x H' + [ c

, maka (5-38) menjadi:  2



m

m

 1

H = 0 (5-40)

Sekarang akan kita selesaikan (5-40) dengan metode deret, yaitu dengan memisalkan: 

H=

j a x  j

(5-41)

j 0

Turunannya adalah: 

H' =

j a x  j

(5-42)

j 0 

H'' =

 ( j  1) . j . a j x

j 0

j 2



=

j 2 ( j  1) . j  2 . a x  j 2

(5-43)

j 0

Substitusi (5-41) s/d (5-43) ke dalam (5-40) menghasilkan:: 



2  ( j  1) . (j  2) . a   j  j  2 m j  c/  j 2  j 0

2

 m  m 2



a j  x j= 

0

Karena x j pasti tidak nol maka koefisiennya yang nol jadi: 



( j  1) . (j  2) . a j 2   j 2  j  2 m j  c/   j 0

dan diperoleh:

2

 m  m 2

 a  x j

j

=0

a j 2

 j  m =

  j

m  1  c/ 2  a j (5-44)  j  2   j  1

Sebagaimana dalam osilator harmonis, bentuk umum penyelesaian (5-40) adalah kombinasi linear dari fungsi berpangkat genap (yang koefisiennya ditentukan oleh harga a0) dan fungsi berpangkat ganjil (yang koefisiennya ditentukan oleh harga a1). Kedua fungsi penyelesaian ini tampak merupakan fungsi berbentuk deret pangkat sampai tak terhingga, sehingga tidak merupakan well behaved eigenfunctions. Namun seperti halnya yang sudah kita kenal pada osilator harmonis, kita dapat membuat salah satu deret penyelesaian itu berhenti pada suku berpangkat tertentu, yaitu dengan membuat koefisien pada suku tersebut berharga nol. Jika kita misalkan deret penyelesaian berhenti pada suku berpangkat k, artinya jika kita mengganti j dengan k, maka koefisiennya suku itu, yang dapat

dihitung dari (5-38) menjadi berharga nol, sehingga kita akan memperoleh: c = 2  k  m   k  m  1 (5-45) dan karena k adalah j, sedang j berharga 0, 1, 2, . . . ., maka k juga berharga 0, 1, 2, . . . .. Selanjutnya karena m juga berharga 0, 1, 2, . . . . maka  k  m  juga berharga 0, 1, 2, 3 . . . yang untuk selanjutnya  k  m  disebut bilangan kuantum azymuth atau bilangan kuantum angular translasi dan diberi notasi jadi: = k  m  (5-46) dan dengan demikian maka (5-45) menjadi: c = 2 ( +1) (5-47) Karena menurut (5-23), c adalah nilai eigen dari operator momentum L 2 , maka dapat disimpulkan bahwa harga skalar L2 adalah:

L2 = atau: L=

2

( +1)

(5-48)

  1

(5-49)

Marilah kita amati lagi persamaan (5-46). Hal penting yang diperhatikan dari persamaan (5-45) itu adalah bahwa harga m tidak melebihi , sebab jika m melebihi maka k akan negatif. Padahal harus diingat bahwa k adalah j sedang j adalah pangkat x dari deret penyelesaian persamaan diferensial orde dua, dengan harga paling kecil nol. Karena j paling kecil nol, maka k paling kecil nol. Kalau k paling kecil nol, maka m paling besar = atau kita biasa menulis: m < (5-50) atau: m = 0 , + 1, +2, +3, . . . . . . . . . . +  (5-51)

Penurunan Fungsi  Menurut (5-34) fungsi nya adalah T = G(x) dengan G = 2 m /2 1  x  H (menurut 2-31) sehingga: T = 1  x

2



m /2

H

(5-52)

Karena x adalah cos , maka: T = (sin  ) m H

(5-53)



Menurut (5-41), H =

j a x  j , sehingga:

j 0

T = (sin  ) m



j a x  j

(5-54)

j 0

Karena fungsi dikehendaki hanya sampai suku k dengan k =  m , maka (5-54) dapat ditulis: T = (sin  ) m .

m

j a x  j

j 0

(5-55)



Karena penyelesaian

j a x  j pada dasarnya adalah salah satu

j 0

kemungkinan genap, atau ganjil, maka (5-55) dapat dipecah bentuknya menjadi: T = (sin  )

m

m



.

j  0, 2, 4 . .

= (sin  ) m .

m



j  1, 3, . . . .

jika  m genap (5-56) T

ajx j

jika  m ganjil (5-57)

ajx j

Jika x kita kembalikan ke asalnya yaitu cos , maka: T

=

(sin  ) m

m



.

j  0, 2, 4 . . . .

jika  m genap

(5-58)

T = (sin  ) m .

m



j  1, 3, . . . .

jika ganjil

a j cos j 

(5-59)

a j cos j 

Koefisien a, mengikuti (5-44), yang setelah harga nilai eigen c, dimasukkan menjadi: (j  m ) (j  m  1)  (  1)  a j 2 = a j (5-60)  j  2   j  1 Setelah T diperoleh, maka (,) juga diperoleh, yaitu: 1/2 1      ei m  (5-61)  2  dengan T adalah salah satu dari (2-49). Karena (,) ditentukan oleh dan m, maka fungsi eigen momentum angular juga sering ditulis  ( ,m ) , sehingga:

(

1/2

 1  im =    e ,m )  2 

(5-62)

Contoh: Sebuah partikel yang diperikan oleh bilangan kuantum = 3 dan m = 1, tentukan:

a) Komponen momentum Lz b) Momentum angular L c) Fungsi gelombang eigennya Jawab: a) Lz = m = b) L = 6 (  1) = c) karena = 3 dan m = 1, maka  m = 2, jadi fungsi genap, dan untuk menentukan fungsi T kita gunakan (5-58): T = (sin  )

2

m

.



j  0, 2.

a j cos j 

= sin  ( a0 + a2 cos2 ) a2 kita cari dari relasi:

a j 2

(j   =

m ) (j  m  1)  (  1) aj  j  2   j  1

(j   =

m ) (j  m  1)  (  1) a j 2 aj  j  2   j  1 (0  1) (0  1  1)  3(3  1) a2 = a0 =  a0 (0  2) (0  1) Jadi: :

T = sin  ( a0 a0 cos2 ) = a0 sin  (1  5cos2) =  a0 sin  (5cos21)

Harga a0 dicari dengan normalisasi: 

* T  T d = 1 0

d = r2 dr sin  d d

Karena T hanya fungsi , maka : 

* T  T sin  d = 1 atau: 0



* T  T sin  d = 1 atau: 0



2 2 2 2 a sin  (5cos   1) sin  d = 1  0 0



2 3 4 2 sin  (25cos   10cos   1) d  = 1/a 0  0

25



 10 

0

0

4 3  cos  sin  d



cos2  sin 3 d



+  sin 3 d = 1/a02 0

25 (12/105)  10 (4/15) +4/3 = 1/a02 160/105 = 1/a02 a0 = +

105 160

=+

420 640

= + 18

42

1 Kita pilih a0 =  42 , supaya fungsi T 8 Jadi: 1 T= 42 sin  (5cos2) 8

Karena T sudah diperoleh maka  orbital momentum angularnya adalah: 1/2 1  ( ,m ) =    ei m   2  1/2 1 1  (3 , 1) =  42   sin  (5cos2) ei  8  2  Cara lain menentukan fungsi T (fungsi ) Persamaan (5-38) sangat dikenal dalam matematika, dan disebut Persamaan Legendre terasosiasi, Yang penyelesaiannya adalah:

m 1 d 2  (1 - cos 2 ) m /2 (cos  1) Pm= 2 . ! d (cos )  m

(5-63)

Penyelesaian (5-62) di atas disebut Polinomial Legendre terasosiasi, P m . Setelah P m diperoleh, fungsi tetha T diperoleh dengan cara sebagai berikut: 1/ 2  2 + 1 - m !    2 .  + m !   Pm (5-64) 



Jika T sudah diperoleh maka (  ,m) segera diketahui. Contoh: Sekarang kita akan mencoba menghitung 3,1) tetapi menggunakan Polinomial Legendre. Jawab: Kita hitung dulu P m : m 1 d 2 Pm = (1 - cos 2 ) m /2 (cos  - 1)  m 2 . ! d (cos )

4 d 1 3 2 = 3 (1 - cos 2 )1/ 2 (cos  1) d (cos  ) 4 2.3! d4 1 3 2 = sin  (cos  1) d (cos  ) 4 48

d4 3 2 Kita selesaikan dulu (cos  1) dan supaya tampak 4 d (cos  ) sederhana cos  kita ganti x sehingga: 4 d d4 3 3 2 2 (cos  1) (x  1) = d (cos  ) 4 dx 4 d4 6 = 4 (x  3x4 + 3x2 1) dx d3 = 3 (6x5  12x3 + 6x) dx d2 = 2 (30x4  36x2 + 6) dx

d = (120x3  72x) dx = (360x2 72) = (360 cos2  72) = 72 (5 cos2  1) Jadi: d4 1 m 3 2 sin  (cos  1) P = d (cos  ) 4 48 1 = sin  { 72 (5 cos2  1) } 48 3 = sin  (5 cos2  1) 2 Setelah itu, T dapat ditentukan: 1/2   2 +1  - m  !  m P     2 . + m !     1/2   7   2 ! 3 2    sin  (5 cos  1)   2 .  4  ! 2

1/2

 14  3     sin  (5 cos2  1)  48  2 1  42 sin  (5 cos2  1) 8 Akhirnya ( 3, 1) diperoleh, yaitu: 1/2 1  ( ,m ) =    ei m   2  1/2 1  1  ( 3, 1) =  42   sin  (5cos2) ei  8  2 

Soal-soal Bab 5 1. Buktikan commutator identitas berikut: (a)[ A , B ] = = [ B , A ] (5-1) (b)[ A , A n] = 0 (5-2) (c)[k A , B ] = [ A , k B ] = k[ A , B ] (5-3) (d)[ A , B + C ] = [ A , B ] + [ A , C ]; [ A + B , C ] = [ A , C ] + [ B , C ] (5-4) (e)[ A , B C ] = [ A , B ] C + B [ A , C ]; [ A B , C ] = [ A , C ] B + A [ B , C ] (5-5) 2. Buktikan [ p x p x , H ] = i  Vx 3. Buktikan [ x , p x ] = i  4. Dengan menggunakan [ x , p x ] = i  dan commutator identitas, tentukan [ x , p x2 ] 5. Diketahui vektor A mempunyai komponen (3, 2, 6) dan vektor B komponennya (1,4, 4) . Tentukan (a) harga skalar A dan B; (b) A + B ; (c) A  B; (d) A . B (e) A x B; (f) sudut antara A dan B.

6. Buktikan bahwa: Jika f dan g masing-masing adalah fungsi koordinat, buktikan bahwa: 2 f . g = g 2 f + 2  f .  g + f 2 g 7. Jika f = 2x2  5 xyz + z2  1, maka tentukan (a) gradien f ; (b)  2 f 8. Buktikan bahwa cross vektor L x L = i L 9. Tentukan [ L2 , Ly ] 10. Tentukan koordinat polar dari titik-titik yang koordinat rektangularnya adalah: (a) ( 1, 2, 0 ) ; (b) ( 1, 0, 3 ) ; (c) ( 3, 1, 2 ) ; (d) ( 1, 1, 1 ) Tentukan koordinat rektangular dari titik-titik yang koordinat polarnya adalah:   (a) ( 1, ,  ) ; (b) ( 2, ; 0 ) 2 4

12. Tentukan kemungkinan-kemungkinan sudut antara L dengan z, jika  = 2. 13. (a) Jika kita mengukur Lz dari sebuah partikel yang bilangan kuantum momentum angularnya adalah = 2, ada berapakah kemungkinan hasilnya ? (b) Jika kita mengukur Lz dari sebuah partikel yang momentum angularnya adalah 12 , ada berapakah kemungkinan hasilnya ? 14. Pada saat tertentu, sebuah partikel mempunyai fungsi  = N . a r2 e 12 (, (a) Tentukan berapa momentum angular L nya ? (b) berapa Lz nya ? (c) Berapa sudut antara L dengan sumbu z ? 15. Fungsi orbital momentum angular sebuah partikel adalah:  = A sin2 cos  e2 i  (a) Tentukan berapa momentum angular L nya ? (b) berapa Lz nya ?

(c) Berapa sudut antara L dengan sumbu z ? 16. Jika = 3 dan m = 3, tentukan fungsi gelombang orbital momentum angularnya. ===000===