BAB V Analisis Jaringan Jaringan lahir karena berbagai keperluan seperti: transportasi, listrik, komunikasi, perencanaan proyek, aliran air, pembuatan jalan, dan lain-lain. Saat ini jaringan sangat penting, sebab dengan jaringan maka masalah yang besar dan rumit dapat disederhanakan. Ada beberapa jaringan yang dapat diselesaikan dengan permasalahan program linear. Pada kajian di sini akan dibahas empat masalah jaringan, yaitu: permasalahan lintasan terpendek, masalah diagram pohon terpendek, masalah aliran maksimum, dan penyelesaian proyek dengan Program Evaluation and Review Technique (PERT), dan Critical-Path Method (CPM).
Beberapa Istilah yang dipakai dalam Analisis Jaringan Jaringan didefinisikan sebagai gabungan dua himpunan yaitu himpunan node dan himpunan arc. Himpunan node dilambangkan dengan V dan himpunan arc dilambangkan dengan A. Arc terdiri dari pasangan terurut dari node dan menggambarkan arah gerakan yang mungkin. Untuk tujuan ini, misalkan jaringan memuat arc(j, k), maka arah gerakan yang mungkin adalah dari node j ke node k. V = {1, 2, 3, 4, 5} himpunan node
Perhatikan jaringan berikut.
A = {(1, 5), (5, 4), (4, 3), (3, 2), (2, 1), (3, 1), (2, 3), (4, 5) } himpunan arc. Misalkan
arc(j,
k)
berada
di
jaringan, maka j disebut node awal atau node pangkal, dan k disebut node akhir atau node ujung. Gambar contoh sebuah Jaringan 125
126
Rangkaian arc sedemikian hingga untuk setiap arc mempunyai tepat satu node persekutuan bersama dengan arc sebelumnya disebut chain (rantai).
Lintasan adalah rantai yang memenuhi pernyaratan bahwa untuk setiap node akhir suatu arc adalah node awal dari arc sebelumnya. Pada contoh jaringan di atas, (3, 1) – (1, 5) – (4, 5) adalah rantai tetapi bukan lintasan, sedangkan (3, 1) – (1, 5) – (5, 4) adalah lintasan. Lintasan ini menggambarkan perjalanan (gerak) dari node 3 ke node 4.
Selanjutnya kita perhatikan contoh permasalahan berikut.
7
Gambar 3.1 Jarak antar tempat peristirahatan (dalam kilometer)
Sebuah lokasi sebut saja “Taman Sari” akan dijadikan sebagai taman wisata yang sejuk, nyaman, dan lingkungan yang terlindungi termasuk satwa di dalamnya. Pada node (bertanda huruf O, A, B, C, D, E, T) dibuat tempat peristirahatan. Jarak antar tempat peristirahatan seperti terlihat pada gambar di atas (dalam kilometer) lihat gambar 3.1. Untuk melindungi satwa dan kesejukan Taman Sari tersebut semua mobil pribadi, termasuk angkutan umum dilarang masuk. Sistem transportasi yang akan dibuat adalah kereta listrik, banyaknya kereta yang lewat setiap jalur dibatasi. Banyaknya kereta yang lewat maksimum setiap harinya terlihat pada Gambar 3.2, Ini diperlukan untuk menjaga ketenangan taman. Pintu masuk adalah node O, dan pintu keluarnya node T. Kembalinya kereta dari T ke O melalui jalur luar taman. Selanjutnya untuk kebutuhan air, akan dibuat jaringan pipa air dari O ke masing-masing tempat peristirahatan.
127
Gambar 3.2 Maksimum banyaknya kereta yang boleh lewat setiap harinya Permasalahan yang muncul ada tiga yaitu: 1. Lewat jalur mana dari O menuju ke T sehingga diperoleh jarak terpendek, berapa jaraknya. 2. Buatlah jaringan air yang menghubungkan semua tempat peristirahatan agar panjang pipa yang digunakan minimum. 3. Buatlah jalur kereta, agar banyaknya lintasan maksimum. Masalah yang pertama disebut sebagai masalah lintasan terpendek, masalah kedua disebut masalah diagram pohon terpendek, dan masalah ke tiga disebut masalah aliran maksimum. 1. Masalah Lintasan Terpendek Masalah lintasan terpendek adalah masalah yang menyangkut node, panjang jalur, arah lintasan. Dalam lintasan ini perlu diperhatikan khusus yaitu node supply (node awal) dan node demand (node akhir). Dalam hal masalah di atas, node supply adalah node O, dan node demand adalah node T. Untuk menyelesaikan masalah lintasan terpendek ada algoritma yang bisa dipakai yaitu: Algoritma masalah lintasan terpendek a. Tujuan pada iterasi ke-n: Tentukan node terdekat dari titik awal (node awal). b. Input pada iterasi ke-n: node terdekat ke n-1 ke node awal, termasuk di dalamnya lintasan terpendek dan jarak dari node awal. (node-node ini ditambah dengan node awal disebut node terselesaikan, yang lain node belum terselesaikan).
128
c. Kandidat untuk node terdekat ke-n: Setiap node terselesaikan yang langsung berhubungan dengan satu atau lebih node belum terselesaikan sebagai kandidatnode belum terselesaikan yang mempunyai hubungan terpendek. d. Perhitungan node terdekat ke-n: Untuk setiap node terselesaikan dan node kandidat, ditambah dengan jarak diantaranya. Kandidat yang mempunyai total jarak terpendek ke-n.
Untuk masalah lintasan terpendek pada Taman Sari di atas adalah sebagai berikut:
Node awal adalah node O dan node akhir adalah node T. Perhitungan lintasan dapat dilihat pada Tabel 3.3 berikut: Tabel 3.3 Penerapan Algoritma lintasan terpendek pada Taman sari
n
1 2,3 4
5 6
Node terselesaikan Tersambung langsung dengan Node belum terselesaikan O O A A B C A B E D E
Sambungan terpendek node belum terselesaikan A C B D E E D D D T T
Total jarak
2 4 2+2=4 2+7=9 4+3=7 4+4=8 2+7=9 4+4=8 7+1=8 8 + 5 = 13 7 + 7 = 14
Node terde - kat ke-n
Jarak Minimum
Sambungan terakhir
A C B
2 4 4
OA OC AB
E
7
BE
D D T
8
BD ED DT
13
129
Jarak minimum dari node O ke node T adalah 13 kilometer dengan jalur •
O → A → B → E → D → T atau
•
O→A→B→D→T
Masalah jaringan terpendek di atas dapat kita pandang sebagai masalah transshipment yaitu dengan mengisikan bilangan besar M pada jalur yang tidak ada, oleh karena itu tabel transportasi dari masalah jaringan ini adalah sebagai berikut. Tabel Jarak antar tempat A
B
C
D
E
T
O
2
5
4
M
M
M
A
0
2
M
7
M
M
B
M
0
1
4
3
M
C
M
M
0
M
4
M
D
M
M
M
0
1
5
E
M
M
M
1
0
7
Apabila kita kerjakan dengan Solver, yaitu dengan menggantikan M menjadi 1000 dan masing-masing kapasitas 1 serta permintaan 1, maka akan diperoleh hasil berikut. Tabel Hasil perhitungan dengan Solver A
B
C
D
E
T
O
1
0
0
0
0
0
1
A
0
1
0
0
0
0
1
B
0
0
0
1
0
0
1
C
0
0
1
0
0
0
1
D
0
0
0
0
0
1
1
E
0
0
0
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
Total
13
130
Dari tabel hasil di atas, diperoleh bahwa total jarak adalah 13 dengan lintasan O – A – B – D – T.
Catatan. Dengan Solver, lintasan yang diperoleh hanya tunggal (1 macam). Contoh 2. Sebuah Toko Bangunan akan menggunakan mobil Pickup untuk melayani pengiriman bahan bangunan kepada pembeli. Harga mobil Pickup baru Rp 60 juta. Mobil tersebut setelah dipakai semakin lama semakin turun harganya, sedangkan biaya perwatannya semakin lama semakin besar. Besarnya biaya perawatan dan harga jual mobil terlihat pada tabel berikut. Tabel Biaya perawatan dan Harga Jual Kembali Mobil Pickup Umur
Biaya
Harga Jual
Mobil (Th)
Perawatan (Jt)
(Trade In /Jt)
0
2
1
5
45
2
9
35
3
13
30
4
18
25
5
22
20
6
25
15
7
28
10
Dengan asumsi harga mobil Pickup baru tetap, pada tahun ke-berapa mobil harus diganti agar biaya total yang dikeluarkan minimum?
Penyelesaian Pada masalah jaringan ini, kita akan melibatkan delapan node V= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Node i menggambarkan awal tahun ke-i. Untuk setiap i < j, arc(i, j) menggambarkan pembelian mobil baru pada awal tahun ke-i dan tetap memakainya sampai awal tahun ke-j.
131
Panjang arc (i, j) atau cij adalah total pengeluaran biaya penggunaan mobil dari awal tahun ke-i sampai awal tahun ke-j jika mobil dibeli pada awal tahun ke-i dan mobil akan ditukar mobil baru lagi pada awal tahun ke-j. Jadi Cij = biaya perawatan tahun ke-i, i+1, ..., j-1 + biaya pembelian mobil baru pada awal tahun ke-i - harga jual mobil pada awal tahun ke-j.
Dengan menerapkan bentuk ini pada masalah di atas, maka diperoleh. C12 = 2 + 60 – 45 = 17 C13 = 2 + 5 + 60 – 35 = 32 C14 = 2 + 5 + 9 + 60 – 30 = 46 C15 = 2 + 5 + 9 + 13 + 60 – 25 = 64 C16 = 2 + 5 + 9 + 13 + 18 + 60 – 20 = 87 C17 = 2 + 5 + 9 + 13 + 18 + 22 + 60 – 15 = 114 C18 = 2 + 5 + 9 + 13 + 18 + 22 + 25 + 60 – 10 = 144 C23 = 2 + 60 – 45 = 17 C24 = 2 + 5 + 60 – 35 = 32 C25 = 2 + 5 + 9 + 60 – 30 = 46 C26 = 2 + 5 + 9 + 13 + 60 – 25 = 64 C27 = 2 + 5 + 9 + 13 + 18 + 60 – 20 = 87 C28 = 2 + 5 + 9 + 13 + 18 + 22 + 60 – 15 = 114 C34 = 2 + 60 – 45 = 17 C35 = 2 + 5 + 60 – 35 = 32 C36 = 2 + 5 + 9 + 60 – 30 = 46 C37 = 2 + 5 + 9 + 13 + 60 – 25 = 64 C38 = 2 + 5 + 9 + 13 + 18 + 60 – 20 = 87 Dst
132
Dari data masalah Jaringan ini dapat dibuat tabel sebagai berikut. Tabel Total Pengeluaran penggunaan Mobil Pickup Awal tahun ke
2
3
4
5
6
7
8
1
17
32
46
64
86
114
144
2
0
17
32
46
64
86
114
0
17
32
46
64
86
0
17
32
46
64
0
17
32
46
0
17
32
0
17
3 4 5 6 7
Dengan melengkapi tabel, yaitu memberi nilai besar pada sel kosong dan menggunakan Solver akan diperoleh hasil 2
3
4
5
6
7
8
1
0
0
1
0
0
0
0
1
2
1
0
0
0
0
0
0
1
3
0
1
0
0
0
0
0
1
4
0
0
0
0
0
1
0
1
5
0
0
0
1
0
0
0
1
6
0
0
0
0
1
0
0
1
7
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Total
109
133
Atau hasil 2
3
4
5
6
7
8
1
1
0
0
0
0
0
0
1
2
0
0
0
1
0
0
0
1
3
0
1
0
0
0
0
0
1
4
0
0
1
0
0
0
0
1
5
0
0
0
0
0
0
1
1
6
0
0
0
0
1
0
0
1
7
0
0
0
0
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
Total
109
Hasil pertama: 1 – 4 – 7 – 8 Hasil kedua : 1 – 2 – 5 – 7 Dengan mengambil waktu yang cukup, maka akan diperoleh bahwa periode terbaik untuk ganti mobil baru adalah 3 tahunan.
2. Masalah Diagram Pohon Terpendek Kembali pada masalah induk di atas, yaitu pada masalah jaringan untuk menentukan jaringan pipa air terpendek. Masalah ini termasuk dalam masalah diagram pohon terpendek. Untuk menyelesaikan masalah ini digunakan algoritma untuk masalah diagram pohon terpendek sebagai berikut: a. Pilih sebarang node, dan hubungkan node tersebut dengan node berbeda yang terdekat. b. Kenali node taktersambung yaitu yang disambungkan dengan node terdekat, dan hubungkan kedua node tersebut. Ulangi sampai semua node tersambung. Untuk permasalahan jaringan pipa air tersebut kita perhatikan langkah-langkah berikut:
134
Misalkan kita memulai dengan node B, maka node terdekat adalah C, hubungkan BC, maka diperoleh diagram berikut:
Node terdekat dengan BC adalah A, kemudian sambungkan titik A ke B, maka diperoleh diagram berikut:
135
Selanjutnya berturut-turut node O ke node A, node E ke node B, node D ke node E, dan node T ke node D, sehingga diperoleh jaringan lengkap sebagai berikut:
Jumlah panjang pipa air bersih yang diperlukan adalah 2 + 2 + 1 + 3 + 1 + 5 = 14 km.
3. Masalah Aliran Maksimum
Diagram kapasitas maksimum dari transportasi kereta dari node awal O ke node akhir T.
Untuk membahas aliran maksimum, ada beberapa terminology yang harus kita pahami terlebih dahulu.
136
Perhatikan arah dan sambungan jaringan. Arah jaringan dari node awal O dan node akhir T. Diberikan kapasitas lintasan dan kita bertujuan memaksimumkan total lintasan dari node O ke node T. Kita menggunakan algoritma yang disebut residual network dan augmenting path. Dari jaringan asli, residual network menunjukkan kapasitas sisa yaitu setelah adanya aliran. Sebagai contoh, kapasitas jalur dari O ke A adalah 5.
Bilamana ada aliran dari node O ke node A sebanyak 2, maka residual network adalah sebagai berikut:
Augmenting path adalah arah lintasan dari node awal ke node akhir pada residual network sedemikian hingga setiap jalur mempunyai kapasitas sisa positif.
Algoritma masalah aliran maksimum adalah sebagai berikut: a. Identifikasi (kenali) augmenting path yang mempunyai kapasitas sisa positif. b. Sebut kapasitas sisa c* dari augmenting path, yaitu minimum dari kapasitas setiap jalur (arc) yang dilalui. c. Kurangkan dengan c* pada setiap awal jalur kapasitas sisa, dan tambahkan c* pada arah yang berlawanan. Selanjutnya kembali ke langkah a.
Selanjutnya marilah kita bahas masalah aliran maksimum pada Taman Sari dengan algoritma ini:
Iterasi 1. Augmenting path O → A → D → T adalah min {5,3,9} = 3. Dengan lintasan ini maka diperoleh residual network
137
Iterasi 2. Augmenting path O → B → D → T adalah min {7,4,6} = 4. Dengan lintasan ini maka diperoleh residual network
4
Iterasi 3. Augmenting path O → C → E → T adalah min {4,4,6} = 4. Dengan lintasan ini maka diperoleh residual network
0
138
Iterasi 4. Augmenting path O → B → E → D → T adalah min {3,5,1,2} = 1. Dengan lintasan ini maka diperoleh residual network
Iterasi 5. Augmenting path O → B → E → T adalah min {2,4,2} = 2. Dengan lintasan ini maka diperoleh residual network
Dari gambar jaringan yang terakhir ini terlihat bahwa, sudah tidak ada augmenting path yang positif lagi, sehingga aliran telah mencapai optimal yaitu sebanyak 14 perjalanan dari node awal O ke node akhir T dengan lintasan: •
O → A → D → T sebanyak 3 buah;
•
O → B → D → T sebanyak 4 buah;
•
O → C → E → T sebanyak 4 buah;
•
O → B → E → D → T sebanyak 1 buah; dan
•
O → B → E → T sebanyak 2 buah.
Masalah aliran maksimum ini apabila diselesaikan dengan program Lingo, maka programnya sebagai berikut.
139
MODEL: SETS: NODES/O A B C D E T/; ARCS(NODES,NODES)/O,A O,B O,C A,B A,D B,C B,D B,E C,E D,T E,D E,T T,O/:CAP,FLOW; ENDSETS MAX=FLOW(T,O); @FOR(ARCS(I,J):FLOW(I,J)
Setelah dijalankan, maka akan diperoleh hasil sebagai berikut. Optimal solution found at step: Objective value: Variable CAP( O, A) CAP( O, B) CAP( O, C) CAP( A, B) CAP( A, D) CAP( B, C) CAP( B, D) CAP( B, E) CAP( C, E) CAP( D, T) CAP( E, D) CAP( E, T) CAP( T, O) FLOW( O, A) FLOW( O, B) FLOW( O, C) FLOW( A, B) FLOW( A, D) FLOW( B, C) FLOW( B, D) FLOW( B, E) FLOW( C, E) FLOW( D, T) FLOW( E, D) FLOW( E, T) FLOW( T, O)
3 14.00000 Value 5.000000 7.000000 4.000000 1.000000 3.000000 2.000000 4.000000 5.000000 4.000000 9.000000 1.000000 6.000000 1000.000 4.000000 7.000000 3.000000 1.000000 3.000000 1.000000 4.000000 3.000000 4.000000 8.000000 1.000000 6.000000 14.00000
Reduced Cost 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00
Hasil di atas menunjukkan bahwa, total aliran maksimum adalah 14, dengan aliran OA sebesar 4, OB sebesar 7, dan seterusnya (lihat hasil FLOW(i ,j) di atas).
140
4. Menyelesaikan proyek dengan PERT dan CPM a. PERT dengan Waktu Tepat Keberhasilan pengelolaan proyek skala besar adalah kehati-hatian dalam perencanaan, penjadwalan, dan koordinasi antar kegiatan (aktivitas) yang terkait. Prosedur yang cukup terkenal adalah prosedur Program Evaluation and Review Technique (PERT) dan CriticalPath Method (CPM). Sistem PERT dirancang untuk membantu di dalam perencanaan dan kontrol, sehingga tidak dibuat secara langsung untuk mengoptimalkan. Namun demikian dapat digunakan untuk menentukan dead line suatu pekerjaan. Sistem PERT menggunakan jaringan proyek (project network) untuk melukiskan secara grafik hubungan antar unsur dalam suatu proyek.
Terminologi yang digunakan dalam PERT ini mirip dengan sistem jaringan sebelumnya, dimana garis/lintasan (arc) menggambarkan aktivitas, node menggambarkan peristiwa (event), dan anak panah menggambarkan arah jalannya aktivitas. Contoh: Dalam membuat sebuah rumah sederhana, ada beberapa kegiatan / aktivitas yang menyangkut pekerjaan pembuatan rumah. Pekerjaan ini ada yang menuntut secara urut ada pula yang dapat dilaksanakan secara bersamaan. Aktivitas-aktivitas itu terlihat pada Tabel 3.4 berikut: Tabel 3.4 Aktivitas Pembuatan Rumah No
Aktivitas
Lama (hari)
Prasyarat
1
Persiapan / perataan tanah
2
-
2
Fondasi
4
No 1.
3
Dinding kasar (pemasangan batu bata/batako)
10
No 2.
4
Pemasangan atap
6
No 3.
5
Pemasangan pipa ledeng bagian luar rumah
4
No 3.
6
Pemasangan pipa ledeng bagian dalam rumah
5
No 5.
7
Pemasangan Jaringan listrik
7
No 3.
8
Pemasangan dinding papan
8
No 6, dan No 7.
9
Pemasangan keramik lantai
4
No 8.
141
10
Pengecatan bagian dalam rumah
5
No 8.
11
Pemasangan papan bagian luar rumah
7
No 4.
12
Pengecatan bagian luar rumah
9
No 4, dan No 11.
13
Pengaturan Interior rumah
6
No 9, dan No 10.
14
Pengaturan eksterior rumah
2
No 12.
15 SELESAI Berapa lama pembuatan rumah tersebut, bilamana lama aktivitas-aktivitas tersebut di atas bersifat tepat (fix). Pada kajian ini perlu diperkenalkan lagi dua istilah yaitu waktu paling cepat dan waktu paling lambat. Waktu paling cepat adalah waktu (dari awal) paling cepat (earliest time) yang dibutuhkan untuk berakhirnya aktivitas dan atau akan dimulainya aktivitas selanjutnya. Waktu paling lambat adalah waktu (dari awal) paling lambat (latest time) yang dibutuhkan untuk berakhirnya aktivitas dan atau akan dimulainya aktivitas selanjutnya. Pada setiap node terdapat pasangan waktu, yaitu pasangan waktu paling cepat, dan waktu paling lambat. Untuk memudahkan dalam pembacaan diagram, Sebuah peristiwa (event) dilambangkan dengan huruf kapital (A, B, C, …), sebuah aktivitas dengan nomor aktivitas (No 1, No 2, …), lama aktivitas ditulis dalam tanda kurung sesudah aktivitas dalam bentuk bilangannya saja (1, 2, …). Pembuatan rumah sederhana tersebut diatas dapat digambarkan seperti Diagram berikut: Dari diagram di bawah, terlihat bahwa lama pembuatan rumah adalah 44 hari. Aktivitas kritis terjadi bilamana waktu paling cepat sama dengan waktu paling lambat, artinya adalah apabila sebuah aktivitas telah selesai, maka aktivitas selanjutnya harus segera dilaksanakan dan tidak boleh ditunda, sedangkan apabila waktu paling cepat tidak sama dengan waktu paling lambat, maka bilamana sebuah aktivitas selesai, maka aktivitas selanjutnya bisa ditunda sejauh perbedaan antara kedua waktu tersebut. Perbedaan waktu paling cepat dan waktu paling lambat disebut waktu slack. Sebuah aktivitas digambarkan dengan garis putus-putus artinya aktivitas dummy yaitu tidak ada aktivitas, namun perlu digambarkan karena akan menggambarkan prasyarat suatu aktivitas yang lain, sebagai contoh aktivitas No 13 dapat dilakukan setelah aktivitas no 9 dan aktivitas No 10. Demikian pula aktivitas No 12 dapat dilakukan setelah aktivitas No 5 dan aktivitas no 11 selesai.
142
Diagram pembuatan rumah sederhana.
b. PERT dengan pendekatan tiga-waktu Sampai sejauh ini, kita menganggap bahwa perkiraan/perhitungan waktu adalah tepat, namun demikian kenyataan di lapangan tidaklah demikian. Ada kalanya waktunya lebih panjang dari perkiraan tetapi ada kalanya waktunya lebih cepat selesainya sebuah aktivitas. Untuk keperluan ini ada tiga macam waktu yang sering digunakan untuk memperkirakan penyelesaian sebuah aktivitas, yaitu: perkiraan tercepat (optimistic estimate) dinotasikan dengan a, perkiraan ter-lambat (pessimistic estimate) dinotasikan
143
dengan b, dan perkiraan yang kebanyakan terjadi (most likely estimate) yang dinotasikan dengan m. Model hubungan antara a, b, dan m biasanya berdistribusi beta dimana a ujung kiri, b di ujung kanan dan m modusnya. Secara grafik dapat digambarkan sebagai berikut:
Model probabilitas suatu aktivitas dapat diselesaikan. Selanjutnya di dalam Program Evaluation and Review Technique (PERT), untuk menyelesaikan proyek ada beberapa asumsi tentang estimasi (perkiraan waktu). Asumsi 1. Penyebaran antara a (optimistic estimate) dan b ( pessimistic estimate) adalah enam simpangan baku, sehingga diperoleh hubungan 6σ = b − a . Akibatnya varian dari aktivitas adalah σ
2
1 = (b − a) 6
2
Asumsi 2. Distribusi probabilitas setiap aktivitas adalah (sekurang-kurangnya mendekati) distribusi beta. Berdasarkan ke dua asumsi diatas, estimasi waktu ( t e ) dapat didekati dengan te =
1 1 2 m + ( a + b) 3 2
Perhatikan bahwa
1 (a + b) adalah titik tengah antara a dan b. 2
Selanjutnya kita memisalkan ketiga waktu untuk proyek pembuatan rumah sederhana diatas seperti Tabel 3. 5 berikut:
144
Tabel 3. 5 Perkiraan waktu penyelesaian suatu aktivitas Aktivitas
Optimistic
Most likely
Pessimistic
Expected
Variance
No
estimate (a)
estimate (m)
estimate (b)
estimate t e
σ2
1 (A,B)
1
2
3
2
1/9
2 (B,C)
2
3,5
8
4
1
3 (C,D)
6
9
18
10
4
4 (D,K)
4
5,5
10
6
1
5 (D,F)
1
4,5
5
4
4/9
6 (F,G)
4
4
10
5
1
7 (D,G)
3
7,5
9
7
1
8 (G,H)
3
9
9
8
1
9 (H,I)
4
4
4
4
0
10 (H,J)
1
5,5
7
5
1
11 (K,L)
5
6,5
11
7
1
12 (L,M)
5
8
17
9
4
13 (J,N)
5
5,5
9
6
4/9
14 (M,N)
1
2
3
2
1/9
Kita perhatikan bahwa dari diagram di atas, lintasan A → B → C → D → F → G → H → J → N adalah lintasan kritis.
Asumsi 3 Waktu aktivitas adalah bebas secara statistik dan merupakan peubah acak.
Asumsi 4 Lintasan kritis selalu mempunyai total waktu lebih panjang dari pada lintasan yang lain. Dari asumsi 3, asumsi 4, dan dari keterangan wantu di atas, maka didapat lintasan kritis seperti tabel berikut:
145
Tabel Lintasan Kritis Aktivitas pada
Expected value
Variance
lintasan kritis
te
σ2
1 (A,B)
2
1/9
2 (B,C)
4
1
3 (C,D)
10
4
5 (D,F)
4
4/9
6 (F,G)
5
1
8 (G,H)
8
1
10 (H,J)
5
1
13 (J,N)
6
4/9
Jumlah
44
9
Dari tabel lintasan kritis diatas, diperoleh: Expected project time = 44 hari Variance of project time = 9.
Asumsi 5 Distribusi probabilitas project time adalah distribusi normal. Jadi Penyelesaian rumah sederhana di atas selama 44 hari dengan simpangan baku = 3.
146
Soal-soal 1. Seseorang dari Jakarta akan menuju ke Jayapura dengan pesawat terbang. Jalur dan biaya (dalam ribuan rupiah) perjalanan dari Jakarta ke Jayapura adalah sebagai berikut.
Tentukan lintasan perjalanan agar biaya yang dikeluarkan minimum.
147
2. Sebuah Motel dibangun di daerah pegunungan yang sejuk dan nyaman, dengan denah sebagai berikut. Untuk pelayanan kebutuhan listrik Motel, akan dibuat sistem jaringan listrik sendiri agar tidak terganggu kestabilan tenaganya. Buatlah jaringan kabel listrik, agar kabel yang dipakai minimum! 50
40
Km 1
Km 3
Km 2
30
75
60
25
40
Km 4
Km 5
50 20
40
40
100 30
Km 7
Km 9
30
Kantor
20
Km 6
Km 8
Denah Motel, jarak diukur dalam meter. 3. Pada Pembangunan Motel di atas, akan dibangun sistem aliran air yang terletak di dekat Km 6 dan berakhir di Km 1. Besarnya ukuran pipa berbeda-beda dan kapasitas aliran air (liter per menit) terlihat pada gambar berikut. 150
200
Km 1 150
Km 9
200
100 150
Km 4 100
Km 3
Km 2 250
Km 5
500 100
100 Km 7
200
300
Kantor
100
200
Km 6
Km 8
Gambar Kapasitas Aliran Air (liter per menit). Tentukan basarnya aliran air maksimum dalam sistem jaringan aliran air pada Motel ini.
148
4. Dalam pembangunan Motel ini, waktu yang diperlukan terlihat pada tabel berikut. No
Aktivitas
Lama (minggu)
Prasyarat
1
Persiapan / perataan tanah
4
-
2
Fondasi
4
No 1.
3
Dinding kasar (pemasangan batu bata)
18
No 2.
4
Pemasangan atap
4
No 3.
5
Pemasangan pipa ledeng bagian luar kamar
4
No 3.
6
Pemasangan pipa ledeng bagian dalam kamar
7
No 5.
7
Pemasangan Jaringan listrik
3
No 3.
8
Pemasangan dinding papan untuk peredam suara
6
No 6, dan No 7.
9
Pemasangan keramik lantai
4
No 8.
10
Pengecatan bagian dalam kamar
4
No 8.
11
Pengaturan Taman (diluar kamar)
6
No 4.
12
Pengecatan bagian luar kamar
6
No 4, dan No 11.
13
Pengaturan Interior kamar
6
No 9, dan No 10.
14
Pengaturan eksterior kamar
2
No 12.
15 SELESAI Tentukan berapa lama pembuatan Motel tersebut, dengan asumsi bahwa pelaksanaan pembangunan sesuai dengan perencaraan waktu yang tepat.
