BAB I I I PEMETAAN TAK MENGEMBANG PADA RUANG BANACH. Konsep dari Ruang Banach-2 pada ruang linear bemonn-2
pertama sekali
dikemukan oleh Gahler [1963/65], beberapa konsep Iain pada ruang banach-2 ini telah pun dikembangkan oleh Gahler sendiri [1965] serta Diminne [1973,75,76,77,79,82] serta banyak lagi penuUs lainnya. Akhir-akhir ini Cho, White, KJm dan Iain-lain banyak mengembangkan teorem titik tetap serta konveksitas dan titik ekstrim pada ruang Banach ini. Pada bahagian ini akan dibahas beberapa eksistenti titik tetap imtuk pemetaan tak mengembang dan pemetaan quasi tak mengembang pada ruang Banach, yaitu ruang Banach yang berasal dari ruang bemorm yang biasa maupun ruang linear bemorm-2.
3.1. Titik Tetap pada ruang Banach. Pada bagian ini akan diperlemah syarat dari pemetaan tak mengembang yang ada pada bab n, yaitu dengan memperlemah definisi dari pemetaan tak mengembang tersebut yang dalam hal ini disebut dengan pemetaan quasi tak mengembang, yang sebelumnya akan dibahas tentang konvergen kuat dan konvergen lemah pada ruang linear bemorm.
13
Definisi 3.1.1. Barisan {Xn} pada ruang linear bemorm X dikatakan konvergen kuat jika terdapat x G X sehingga l i m | j x n - x | | =0, n->
yang dituUs dengan notasi 1 i m x„ = x atau Xn
> x.
n->io
Misalkan X suatu ruang Banach dan T suatu fimgsional linear dari X into R, maka himpunan semua fungsional linear dari X into R dikatakan dengan ruang dual dari X dan dinotasikan dengan X * - { T | T : X
> R }.
Definisi 3.1.2. Barisan {x„} pada ruang linear bemorm X dikatakan konvergen lemah, jika terdapat x G X , sehingga untuk setiap T G X * berlaku l i m T ( X o ) = T(x)
dan dinotasikan dengan x„ . — ^ x.
Definisi 3.1.3.
Misalkan X
Pemetaan T : C
ruang
Banach dan C himpunan bagian dari X .
> C dikatakan kuasi tak mengembang bila untuk setiap p titik
tetap bagi T, berlaku ||Tx - p|| < ||x-p|| untuk sebarang x G C.
Definisi 3.1.4. Ruang Banach X dikatakan konvek seragam, jika untuk setiap e > 0 terdapat 5 > 0, sedemikian sehingga
||x + y|| < 2(1-5) bila ||x - y | | > e dan ||x|| = \\y\\ < 1,
dengan x, y G X.
14
Definisi 3.1.5. Pemetaan T : C
> X dikatakan demi close, jika untuk setiap barisan
{Xn} di C dan setiap x, y e X , maka Xn konvergen lemah ke x dan l i mT(x„) = y dan Tx = y. Misalkan X hin^unan bagian konvek pada X , pilih Xi e C sebarang dan definisikan barisan {Xn} sebagai berikut Xo^i = ( 1 - a„) x„ + a„ Tx„
(3.1.1).
Dengan ocn merupakan barisan bilangan real positip, a e [a, b] dan 0 < a < b < 1. Opial [1967] mengatakan bahwa pada imtuk barisan yang dikontruksi di atas, barisan {Xn} adalah konvergen lemah ke x dan untuk semua y^x,
akan berlaku
l i m i n f ||xn - x | | < l i m i n f ||xn - y | | . Selanjutnya misalkan F(T) adalah merupan kumpulan semua titik tetap dari pemetaan T, berdasarkan konsep di atas, dapat dikontruksi tiga buah lema berikut ini.
Lema 3.1.1. Misalkan X ruang linear bemorm, C himpunan bagian konveks dari X dan pemetaan T : C
> C quasi tak mengembang. Misalkan {Xn} berisan seperti
pada persamaan (3.1.1) di atas, maka l i m llxn - xll ada imtuk setiap x e F(T). n->
B u k t i : Misalkan T pemetaan quasi tak mengembang, maka berdasarkan definisi 3.1.1 di atas diperoleh ||Tx„ - x\\ < ||xn - x||dengan {x„} adalah barisan seperti yang didefinisikan pada persamaan 3.1.1 di atas, sehingga diperoleh hubungan berikut x,ri-i - x|| = ||( a„ Tx„ + ( 1 - a „ ) Xn - x |
= I a„ (Tx„ - X)
+ (
1 - oc„ )( Xn - x ) |
15
< a „ i | T X n - x | | + ( l - a „ ) l|x„-x| <
x„-x
yang berlaku untuk setiap x e F(T). Sehingga barisan { || Xn - x | | } adalah barisan yang tidak naik dan terbatas di bawah. Oleh karena itu 1 i m || x„ - x || ada untuk setiap n—ym
X
€ F(T). Dengan menggunakan definisi 3.1.2 dan lema di atas, juga akan diperoleh
lema berikut ini.
Lema3.1.2. Misalkan X ruang Banach konveks seragam 0 < a < b < 1 dengan a > 0, tn e [b,c] dan { X n } , {yn} masing-masing barisan di X sedemikian sehingga l i m s u p |(xn|| < a, l i m s u p | | y n | | < a . serta l i m ||tnXa + ( l - t „ ) y n
maka l i m ||xn - y n | | = a.
B u k t i : Misalkan barisan {Xn}n=i lim sup||xn I < a,
untuk suatu a > 0,
t„ € [b, c],
Andaikan lim Xn - yn ^ s,
dan
{yn}r=i ^ X , sedemikian sehingga
lim sup||y„ || < a
dengan
untuk
dan
lim |jt„x„ + (1 - 1 „ ) y „ || = a
0 < b < c < 1.
setiap
e > 0.
Karena X ruang Banach konvek seragam, maka terdapat 6 > 0 sedemikian sehingga lim x „ + y „
16
< 2(1-5)
dari hubimgan ketaksamaan. a = lim t„x„ = ( l - t j y „ < l i m x „ + y j < 2(1-5) n->«>
ini mustahil bila diambil a > 2. Jadi haruslah: lim |x„ - yn = 0. • n->«>
Lema 3.1.3. Misalkan X ruang Banach konvek seragam, C himpunan bagian konveks dari X dan T : C > C pemetaan quasi tak mengembang, {Xn} berisan seperti persamaan3.1.1 maka l i m ||x„- TXn|| = 0.
Bukti : Misalkan x titik tetap dari T, karena T adalah pemetaan quasi tak mengembang, maka berlaku ||Tx„-x|| < | | x „ - x | Dari lema 3.1.1 diperoleh l i m ||xn - x|| ada untuk setiap x G F ( T ) . Untuk itu misalkan lim||x„-x|| =d,
(3.L2)
sehingga berlaku limsup||Tx„-x|j < d
(3.1.3)
Dari hubimgan kesamaan Xn+l - X|| = ||( (X„Tx„ + ( 1 - On ) Xn - X|
= ||a„(Tx„-x) + ( l - a „ ) ( x „ - x ) | | maka l i m ||xn+i - x | | - l i m ||a„( T x n - x ) + ( 1 - a „ ) ( x „ - x ) |
17
dan juga l i m ||a„(Tx„-x) + ( 1 - a o ) ( X n - x ) | | = l i m ||x„-x = d
(3.1.4)
Sehingga dari persamaan (3.1.2), (3.1.3) dan (3.1.4) serta lema (3.1.2) diperoleh l i m ||Tx„+i-Xn
11=0.
Teroema 3.1.1. Misalkan X ruang Banach konvek seragam yang memenuhi kondisi opial, C himpunan bagian konvek dari X, dan T pemetaan quasi tak mengembang dari C into C. dengan I - T demi close ke nol. Maka barisan yang didefinisikan oleh persamaan (3.1.1) konvergen lemah kesuatu titik tetap dari T. Bukti : Misalkan {x
(1=0
Selanjutnya karena I - T demi close menuju nol, maka berdasarkan definisi 3.1.5 diperoleh Tx = x dan Tz = z, kemudian misalkan l i m | | x n - x 11= a dan l i m | | T x n - z ||= b, dengan asumsi x ^ z. Karena {x
(3.1.6).
Dilain pihak juga {x^,„} konvergen lemah ke z dan memenuhi kondisi Opial dengan x^z, maka
18
b = l i m inf [[ x,pn- z j|< l i m inf |( x<po-x 11 = a
(3.1.7).
Berdasarkan persamaan (3.1.6) dan (3.1.7) di atas, haruslah berlaku a = b yang menyebabkan x = z, jadi berlaku Tx = x= z, sehingga kedua sub barisan di atas konvergen lemah ke x dengan x titik tetap dari T.
Akibat 3.1.1. Misalkan X ruang Hilbert Real, C himpunan bagian konveks tump pada X dan T : C
> C quasi tak mengembang pada C dengan I - T demiclose ke nol,
{Xn} barisan yang didefinisikan seperti persamaan (3.1.1). Maka {Xn} konvergen lemah ke suatu titik tetap dari T.
Bul^ti : Misalkan X ruang Hilbert Real, Akan ditunjukkan ruang Hilbert Real adalah konveks seragam. Misalkan x, y e X , maka
x+y!r+iix-yir={ dengan (| x || = |[ y |j < 1 dan |( x - y || > e, maka
lU + y f = { | | x r + | | y | r } - i x - y '
< 2.2 -
=4-
misalkan s = -J4 - 4(1 - sy , maka ||x + y f
<4-(V4-4(l-^)^)
< 4 (1-5)^ Jadi
x + y II <2(l-5).
19
Ini mengatakan bahwa X adalah konveks seragam. Karena ruang Hilbert Real memenuhi kondisi Opial, maka {Xo} konvergen lemah ke x dengan x merupakan titik tetap dari T. Teorema 3.1.2. Misalkan C adalah tutup lemah, terbatas
dan konveks dan C
himpunan bagian dari ruang Banach X yang konveks lokal seragam, misalkan pemetaan T : C
> C tak mengembang dan I-T demi closed. Maka T mempunyai
titik tetap di C.
Bukti : Karena X merupakan ruang Banach dan C c X dengan C tutup lemah dan terbatas, maka C lengkap. Jadi C juga kompak barisan secara lemah. Sehingga terdapat
barisan bagian
jx^ | dari {x^} sehingga |x:„^ konvergen ke x. Dengan
||x„J| = 1 dan fx = 1.
Selanjutnya karena C juga konveks, maka dapat didefinisikan Tj : C
> C
dengan Tj(x) = T(x) + a f(x) untuk a G (0, 1) dan f e X * dan ||/|| = 1. KembaU lagi karena |jc„^ konvergen ke x, maka Tj
konvergen ke Tj(x) secara lemah. Akan
ditunjukkan Tj merupakan pemetaan tak mengembang. Dari hubungan ketaksamaan
|^_, dan
}- r, ix)\\ < ||7x„^ - Tx\\ + a\\f(x„^) - fix)
karena C konvek lemah, dan fungsional yang berhubungan dengan {x„}
konvergen seragam di C, maka / ( x „ ) - / ( x ) konvergen ke nol
20
dan karena T tak mengembang maka dari ketaksamaan di atas diperoleh
Ini menunjukkan bahwa Tj juga tak mengembang. Dari |x:„^ konvergen ke x dan T kontinu, maka Tj {Tj
| konvergen ke Tj(x), Tj tak mengembang dan kontinu, maka
I} juga konvergen seragam di C. jadi diperoleh
dengan kata lain ||^y(^„^) - Tj(x) konvergen ke nol. Karena I - T demi closed, maka diperoleh \\lix)-T(x)\\=\\ljix)-Tjix)\
Yang konvergen ke nol secara kuat. Jadi Tx = x.
3.2. Titik Tetap pada ruang Banach-2. Pengembangan teorem titik tetap pada ruang banach-2 telahpun di lakukan oleh Cho [1975], yang menghubimgkan konsep konveks seragam dengan keberadaan titik tetap. Dengan menggunakan teorem dari White, Cho dan Kim [1998] maka akan dikembangkan beberapa keberadaan titik tetap pada ruang bemorm-2. Pengembangan teorema titik tetap yang akan dibahas berikut ini adalah kewujudan titik tetap untuk
21
barisan sqjerti yang didefinisikan pada persamaan (3.1.1), akan tetapi barisannya berada pada ruang linear bemorm-2. Sedangkan pemetaan T tetap mempakan pemetaan quasi tak mengembang.
Definisi 3.2.1. Misalkan X ruang linear berdimensi lebih dari 1 dan misalkan pula I.,. 11 sxiatu fungsi bemilai nyata pada XxX yang memenuhi syarat berikut 1.
IIx,y II = 0 jika dan hanya jika x dan y bergantung
2.
||x,y|| = ||y,x||
3.
||a.x,y II = |oc| ||x,y ||, dengan a bilangan real.
secara linear.
4. ||x,y+z|| < | | x , z | ( + y , z | . Fungsi II.,. II dikatakan bemorm-2 bagi X dan pasangan (X; ||.,. ||) dikatakan ruang bemorm-2. Dari definisi di atas dapat ditunjukkan sifat-sifat dasar daripada bemorm2, yaitu : 1. ||x,y II > 0, untuk semua x, y G X. (Ini juga bermakna bahwa bemorm-2 adalah berstfat tak-negatip 2. ||x,y+ax|| = ||x,y||, yang berlaku untuk semua x, y e X. Ruang linear bemorm-2 (X; ||.,.||) dikatakan Konveks sempuma
jika
||x+y,z|| = ||x,z|| = ||y,z|| dan z ^ V(x,y), menyebabkan y = a X . dengan V(x,y) adalah ruang linear yang dijana oleh x dan y yang dituhs dalam bentuk V(x,y) = { w w = aX + PY, a dan p nombor nyata. }.
Definisi 3.2.2. Suatu ruang linear bemorm-2 (X; ||.,.||) dikatakan ruang banach-2 jika setiap barisan cauchy-2 di X adalah konvergen.
22
Definisi 3.2.3. T : C
Misalkan X ruang
>C
dikatakan
banach-2 dan
C subset bagi X , pemetaan
tak mengembang bila untuk sebarang x, y G C
berlaku II Tx-Ty, z ||< ||x-y, z|| untuk sebarang z G C. Pemetaan T : C dikatakan
kuasi
> C
tak mengembang bila untuk setiap p titik tetap bagi T, berlaku
| T X - P, Z|1 < ||x - y, z|| imtuk sebarang x, z G C.
Selanjutnya misalkan F ( T ) merupakan kumpulan semua titik tetap bagi T. Bila C konveks subset bagi X , untuk X i G C definisikan barisan { X n } sama seperti pendefinisian pada persamaan ( 3 . 1 . 1 ) di atas, akan tetapi dalam hal ini
Xa
berada pada
ruang linear bemorm-2. Xo+i = ( l - a „ ) X n + On T X n
(3.2.1).
Teorem 3.2. l . _ Misalkan X ruang linear bemomi-2 dan C subset konveks bagi X . T :C
> C quasi tak mengembang, misalkan Xi G C dan definisikan barisan {Xn}
seperti persamaan (3.2.1), maka l i m x„ - x, z| ada untuk setiap x G F ( T ) . n->«o
B u k t i : Kerana T suatu pemetaan yang quasi tak mengembang, maka x,^i - X, z|| = ||((l-o(„)x„ + a„ Tx„) - X, z II = ||oc„ Txn
=
- ocnx + a„x
+ ( l - a „ ) X n - x, z |
I (On T X „ - CX„X) + ( l - O n X X n " X ) , Z |
< I K o n T x n - a„x),
= a„
||(Tx„ - X),
z || + | | ( l - a „ ) ( X n - x ) ,
z
II
z II
+ (l-a„) ||(x„ - x), z ||
< On II (x„ - x), z II + (l-a„) II(x„ - X), z II = ||(x„-x),z||
23
Yang berlaku untuk setiap z G C , dan x G F ( T ) . Jadi barisan {||(Xn - x), z | | } monoton tidak menokok dan terbatas, maka l i m |j (x„ - x), z || ada.
Teorem 3.2.4._ Misalkan X ruang linear bemonn-2 dan C sub set konveks bagi X . dan T :C
> C imtuk setiap x, y G C berlaku ketaksamaan ||Tx - Ty, z|| < a||x-y,z|| + b (||x - Tx, z|| + ||y - Ty, z||) + c(||x-Ty,z!| + ||y-Tx,z||)
Misalkan Xi G C dan definisikan barisan {Xn} seperti (3.2.1), maka l i m x - - x , z ada untuk setiap X G F(T) n->«
B u k t i : Dari hubungan ketaksamaan ||X,^1 - X, z|| = |(((1-(X„)X„ + On TXo) - X, Z II
= \\cLa Txn - OLaX + (XnX +
- X, Z |
= |((x„ Tx„ - a„x) + (l-a„)(x„ - x), z || < ||(a„Tx„ - a„x), z || + ||(l-a„)(x„ - x), z |
= |K(Tx„ - x), z II + (l-(x„) ||(x„ - X), z II = | a „ ( T x o - T x ) , z II + (l-a„) ||(x„ - x), z
= a„ II (Tx„ - Tx), z II + (l-ot„) ||(x„ - x), z ||
(3.2.2)
dan kerana (Tx„ - Tx), z II < a | | ( x „ - x ) , z I I + b ( | | ( x „ - T x „ ) , z II + || (x - Tx), z ||) + c(||(x„-Tx),z||+
||(x-Tx„),z||)
24
||(Tx„-x),z||
a + b + c•||(x„-x),z|| 1-b-c
Selanjutnya oleh kerana a + b + c < l - b - c , diperoleh |(Tx„ - X, z)|| < ||(x„ - x), z Maka ketaksamaan (3.2.2) menjadi ||X„^1 - X, Z|| < On II (Xn - X), Z j| + (1-0C„) ||(Xo - X), Z ||
= |(x„-x), z II yang berlaku untuk setiap z e C , dan x G F ( T ) . jadi barisan {||(Xn - x), z | } monoton tidak naik dan terbatas, maka
l i m | (x„ - x), z
25
ada.
