KAJIAN SIFAT KEKOMPAKAN PADA RUANG BANACH. Ariyanto* ABSTRACT

Ariyanto, Kajian Sifat Kekompakan pada Ruang Banach

KAJIAN SIFAT KEKOMPAKAN PADA RUANG BANACH Ariyanto*

ABSTRACT

The properties of compactness in Banach spaces in this paper is a generalization of a compact understanding the system on the real numbers. New concepts formed is relatively compact, sequentially compact, relatively sequentially compact, and totally bounded.

These

paper

study

about

relationship

of

concepts.

Key words: Banach spaces, compact, compact sequential, totally bounded.

ABSTRAK

Sifat kekompakan di ruang Banach pada tulisan ini merupakan perumuman dari pengertian kompak pada sistem bilangan real. Konsep-konsep baru yang terbentuk adalah kompak relatif, kompak sekuensial, kompak sekuensial relatif, dan terbatas total. Tulisan ini mengkaji keterkaitan konsep-konsep tersebut di atas. Kata kunci : ruang Banach, kompak, kompak sekuensial, terbatas total.

Media Exacta Volume 11 No.1 Januari 2011


Ruang bernorma dikatakan lengkap apabila setiap barisan Cauchy di dalam ruang bernorma tersebut konvergen, dan ruang bernorma lengkap dikenal dengan sebutan ruang Banach. Pemberian nama ruang bernorma lengkap sebagai ruang Banach disebabkan Banach yang menemukan struktur sifat-sifat ruang bernorma lengkap dalam meraih disertasi doktornya pada tahun 1920. Liput terbuka suatu himpunan E di dalam sistem bilangan real  dimaksudkan suatu koleksi himpunan terbuka

G 

yang merupakan himpunan bagian  sehingga

E   G , dan suatu himpunan E di dalam sistem bilangan real  dikatakan kompak apabila 

setiap liput terbuka untuk himpunan E memuat liput-bagian yang banyak anggotanya hingga. Tulisan ini akan mengitlak (memperumum) pengertian dan sifat-sifat kompak yang dimiliki sistem bilangan real  ke ruang Banach. Implikasi lanjutannya adalah pengertian, konsep dan sifat-sifat kompak pada sistem bilangan real  setelah di bawah ke ruang Banach berhasil memunculkan struktur sifat yang baru seperti : kompak relatif, kompak sekuensial, kompak sekuensial relatif, dan terbatas total. Pembahasan pada tulisan ini akan ditampilkan dalam bentuk teorema atau lemma. MATERI DAN METODE KAJIAN Tulisan pembahasan sifat kekompakkan pada ruang Banach ini menggunakan pendekatan studi literatur. Langkah permulaan dilakukan adalah menghimpun materi yang dibutuhkan yang diambil dari buku-buku analisis seperti yang tercantum dalam daftar pustaka. Kemudian , mempelajari materi penelitian dan mengolahnya dengan bantuan teori-teori dasar dalam matematika seperti logika, teori himpunan dan analisis dasar. Teori Dasar Pada bagian ini akan dibahas pengertian dasar yang akan digunakan sebagai landasan untuk pembahasan berikutnya. Beberapa konsep, sifat dan teorema pada tulisan ini dianggap sudah dipahami. Beberapa bukti teorema dalam bagian ini tidak diberikan karena bisa langsung merujuk ke daftar pustaka. Ruang Metrik Pada sub bagian ini akan dibicarakan pengertian dan sifat-sifat dari ruang metrik, sebagai berikut. Definisi 1 : Diberikan sebarang himpunan tak kosong X .

 i  Fungsi d :    R  1 d  x, y   0 d  x, y   0

yang memenuhi sifat-sifat sebagai berikut :

untuk setiap x, y   jika dan hanya jika x  y,



 2 d  x, y   d  y, x 

untuk setiap x, y   dan

 3 d  x, y   d  x, z   d  z, y 

untuk setiap x, y, z   ,

Disebut metrik atau jarak pada X .

 ii  Himpunan

X dilengkapi dengan suatu metrik d , dituliskan dengan  , d  , disebut ruang

metrik. Jika metriknya telah diketahui maka ruang metrik cukup ditulis X saja. Anggota ruang metrik  , d  disebut titik dan untuk setiap x, y   bilangan nonnegatif d  x, y  disebut jarak titik x dengan titik y . Definisi 2 : Diketahui  X , d  ruang metrik, dan S  X . 1. Apabila x sebarang titik di dalam ruang metrik X

dan   0 , maka Himpunan

N  (x)  y  X : d x, y     dinamakan persekitaran dengan titik pusat x dan jari-jari  . 2. Titik x  X disebut titik limit himpunan S , apabila setiap persekitaran dengan titik pusat x memuat paling sedikit satu titik y  S dengan y  x , atau untuk setiap   0 berlaku

N  (x)  S  x   . Koleksi semua titik limit himpunan S disebut derived set dan dinotasikan dengan S  . Himpunan S  S  S  disebut closure( S ). Titik anggota S yang bukan titik limit disebut titik terasing. 3. Titik x  X disebut titik-dalam himpunan S , apabila terdapat persekitaran N  (x) sehingga berlaku N  (x)  S . 4. Himpunan S  X disebut himpunan terbuka apabila setiap anggotanya merupakan titikdalam himpunan S . 5. Himpunan S  X dikatakan himpunan tertutup apabila S c terbuka. Closure( S ) didefinisikan juga sebagai irisan semua himpunan tertutup yang memuat S . 6. Himpunan S  X dikatakan terbatas apabila ada titik x  X dan bilangan real M  0 sehingga untuk setiap y  S berlaku d x, y   M . 7. Diameter himpunan

S  X , dinotasikan sebagai d S  dan didefinisikan sebagai

d S   sup d x, y : untuk setiap x, y  S. S juga dikatakan terbatas apabila diameternya hingga. Teorema 3 : Diketahui  X , d  ruang metrik, dan S  X . Himpunan S tertutup jika dan hanya jika S memuat semua titik limitnya, atau S   S .



Bukti : Syarat perlu : S tertutup, jadi S c terbuka. Andaikan bahwa S   S , yaitu ada x  S  dengan x  S atau x  S c . Karena S c terbuka, maka x merupakan titik-dalam himpunan S c . Jadi, ada bilangan   0 sehingga berlaku N  (x)  S c atau N  (x)  S   . Akibatnya untuk

  0 tersebut berlaku N  (x)  S  x   . Jadi x bukan titik limit himpunan S , kontradiksi dengan pengambilan x  S  .

 

 

c

Syarat cukup : Diketahui S   S atau S c  S  . Diambil sebarang x  S c , maka x  S 

c

atau x bukan merupakan titik limit himpunan S . Jadi ada bilangan   0 dengan sifat

N  (x)  S  x   . Kemungkinan terjadi, N  (x)  S   atau N  (x)  S  x. Karena x  S c (atau x  S ) maka N  (x)  S   . Jadi, apabila diambil x  S c , maka ada bilangan   0 sehingga N  (x)  S   atau N  (x)  S c . Dengan kata lain x merupakan titik-dalam himpunan S c , sehingga terbukti S c himpunan terbuka atau himpunan S tertutup. Definisi 4 : Diketahui

X , d 

ruang metrik. Barisan

 xn 

di dalam suatu ruang metrik X

dikatakan konvergen jika ada x  X sehingga untuk setiap bilangan   0 terdapat bilangan asli

n0 , sehingga untuk setiap bilangan asli n  n0 berlaku d  xn , x    . Dalam hal ini dikatakan barisan {xn} konvergen ke x atau barisan  xn  mempunyai limit x dan biasa dinotasikan dengan

lim d  xn , x   0 , atau lim xn  x . Barisan yang tak konvergen dikatakan divergen. n 

n 

Definisi 5 : Diketahui

X , d 

ruang metrik. Suatu barisan x n  di dalam X , dan dibentuk

  dinamakan

barisan bilangan asli nk : k  N  sehingga n1  n2  n3  ... , maka barisan x nk barisan bagian dari x n  .

Definisi 6 : Diketahui  X , d  ruang metrik. Barisan x n  di dalam X disebut barisan Cauchy apabila untuk setiap bilangan   0 terdapat bilangan asli n1 sehingga untuk setiap m, n  n1 berlaku d xm , xn    . Teorema 7 : Diketahui  X , d  ruang metrik, dan S  X . Apabila x titik limit himpunan S , maka ada suatu barisan

xn 

di dalam S sehingga

lim xn  x . n 



Teorema 8 : Diketahui  X , d  ruang metrik. Apabila setiap barisan x n  di dalam X konvergen, maka barisan tersebut merupakan barisan Cauchy. Ruang Bernorma Pada sub bagian ini akan disajikan definisi ruang bernorma disertai sifat-sifatnya. Definisi 9 : Diketahui X ruang linear atas C atau R . Fungsi . : X  R disebut norma apabila :

N1 

x  0 untuk setiap x  X , dan x  0  x   .

N 2 

 .x   . x untuk setiap x  X dan skalar  .

N 3 

x  y  x  y untuk setiap x, y  X .

Ruang linear X yang diperlengkapi norma dinamakan ruang bernorma dan dituliskan dengan

X , .  atau

X saja.

Teorema 10: Setiap ruang bernorma X merupakan ruang metrik, dengan d ( x, y)  x  y untuk setiap x, y  X . Berdasarkan Teorema 10 di atas, setiap ruang bernorma merupakan ruang metrik, maka semua konsep, pengertian, sifat-sifat, serta teorema-teorema yang berlaku pada ruang metrik berlaku pula pada ruang bernorma. Demikian pula karena ruang bernorma merupakan ruang metrik maka vektor disebut pula sebagai titik. Teorema 11 : Ruang bernorma X dikatakan lengkap apabila setiap barisan Cauchy di dalamnya konvergen, dan ruang bernorma lengkap disebut Ruang Banach. Contoh : Ca, b   f : a, b  R, f kontinu  koleksi semua fungsi kontinu dari a, b ke

 . Terhadap norma terhadap norma f

1



f



b

a

0

 sup  f x  : x  a, b merupakan ruang Banach, akan tetapi

f x  dx , bukan merupakan ruang Banach.

Definisi 12 : Apabila ruang bernorma X memuat suatu barisan en  yang memenuhi untuk setiap

x X

ada

dengan

tunggal

barisan

skalar

 n 

sehingga

berlaku

x  1 e1   2 e2  . . .   n en    untuk n   , maka en  disebut basis untuk X . Dengan kata lain, untuk setiap x  X dapat disajikan sebagai representasi kombinasi linear dari

e1 , e2 , . . . , e n . Media Exacta Volume 11 No.1 Januari 2011


Lemma 13 : Apabila x1 , x2 ,..., xn  himpunan vektor-vektor bebas linear di dalam suatu ruang bernorma X yang berdimensi hingga, maka ada suatu bilangan c  0 sehingga untuk setiap skalar  1 ,  2 , ...,  n berlaku,

1 x1   2 x2  ...   n xn  c 1   2  ...   n  . Teorema 14 : Setiap ruang bagian berdimensi hingga Y dari ruang bernorma X merupakan himpunan tertutup di dalam X . Lemma 15 :(Lemma Riesz’s) Diberikan X ruang bernorma berdimensi hingga dan Y , Z ruang bagian X . Apabila Y tertutup dan Y  Z , maka untuk setiap bilangan   0,1 ada

z  Z sehingga z  1 dan z  y   , untuk setiap y  Y . Bukti : Diambil sebarang v  Z dengan v  Y , dan dibentuk

a  inf

v  y

a  v  y0 

: y  Y . Apabila diambil   0,1 , maka ada y 0  Y sehingga berlaku a



. Diambil z  c v  y 0  di dalam Z , dengan c 

z  c v  y0  

v  y 0  v  y0

1 maka diperoleh v  y0

 1.

Selanjutnya, akan ditunjukkan z  y   sebagai berikut. Untuk setiap y  Y diperoleh

    y  y  z  y  cv  y0   y  c v   y 0    c v   y 0    c v  y1 , c  c      dengan y1  y 0 

y . Oleh karena itu, menurut definisi a di atas diperoleh v  y1  a . c

1 maka diperoleh v  y0

Berdasarkan hasil di atas pula, dengan c 

z  y  c v  y1  c.a 

a a  .  a v  y0



Karena y  Y diambil sebarang, maka lemma Riesz’s terbukti.

PENGKAJIAN Pembahasan



Pada sub bagian ini akan membahas pengertian dan sifat-sifat kekompakan yang dimiliki oleh ruang Banach. Langkah awal akan mendefinisikan dulu pengertian kompak, dan langkah berikutnya berturut-turut akan menyajikan sifat-sifat kompak di dalam ruang Banach. Definisi 16 : Koleksi semua himpunan himpunan  di dalam ruang Banach X dikatakan liput (cover) himpunan S  X apabila setiap anggota himpunan S termuat paling sedikit dalam satu anggota koleksi semua himpunan  . Dengan kata lain,  merupakan liput himpunan S  X apabila S 

 G . Apabila setiap

G

anggota  merupakan himpunan terbuka di dalam X , maka  disebut liput terbuka (open cover) untuk S . Definisi 17 : Diketahui X ruang Banach. Himpunan S  X dikatakan kompak (compact) apabila untuk setiap liput terbuka  himpunan

S ada liput bagian berhingga yang juga liput himpunan S . Jelasnya, S kompak apabila koleksi semua himpunan terbuka  merupakan liput terbuka untuk S , maka ada himpunan berhingga G1 , G2 ,..., Gn    sehingga berlaku S 

n

G

i

.

i 1

Contoh : 1. Di dalam ruang Banach X , himpunan berhingga merupakan himpunan kompak. Jawab : Misalkan himpunan berhingga tersebut adalah S  x1 , x2 ,..., xn  dan   G  merupakan liput terbuka untuk S , maka ada anggota S merupakan anggota G untuk paling sedikit satu  . Jadi untuk setiap x i dipilih satu G saja yang memuat x i , sebut saja G i   . Jadi G1 , G 2 , ..., G n merupakan liput bagian berhingga untuk S . Terbukti untuk sebarang liput terbuka untuk S memuat liput bagian berhingga untuk S . Jadi disimpulkan S kompak.

1 n

 

2. Himpunan S   : n    di dalam sistem bilangan real  tidak kompak. Definisi 18 : Diketahui X ruang Banach. Himpunan S  X dikatakan kompak relatif (relatively compact) jika dan hanya jika S (closure

S ) merupakan himpunan kompak. Definisi 19 : Diketahui X ruang Banach. Himpunan S  X dikatakan kompak sekuensial (sequentially compact) apabila setiap barisan

xn  di dalam S

 

mempunyai barisan bagian x nk yang konvergen ke x  S .

Definisi 20 : Diketahui X ruang Banach.



Himpunan S  X dikatakan kompak sekuensial relatif (relatively sequentially compact) jika dan hanya jika S (closure S ) merupakan himpunan kompak. Definisi 21 : Diketahui X ruang Banach. Himpunan S  X disebut   net apabila S himpunan berhingga dan

 N  ( x)  X , dan

X

xS

disebut terbatas total apabila X memuat suatu   net , untuk setiap   0 . Definisi 22 : Diketahui X ruang Banach, dan  liput terbuka untuk X . Bilangan   0 disebut bilangan Lebesque untuk liput terbuka  apabila setiap himpunan

S  X dengan d (S )   , ada G   sehingga S  G . Teorema 23 : : Diketahui X ruang Banach. Apabila setiap himpunan tak berhingga S  X mempunyai titik limit di dalam X , maka X kompak sekuensial. Bukti : Diambil sebarang barisan x n  di dalam X . Dibentuk range dari barisan tersebut sebagai berikut : S  xn : n  . Apabila S berhingga, maka ada paling sedikit satu anggota x  S untuk tak berhingga banyaknya indeks n , sebab x n merupakan fungsi dengan domain himpunan tak berhingga  . Dengan demikian terbentuk suatu barisan

nk : k  

sehingga

n1  n2  ... , dan

x n1  x n2  ...  x . Jadi diperoleh suatu barisan bagian yang konvergen ke x  S  X . Apabila S tak berhingga, dan S mempunyai titik limit x 0 di dalam X maka ada barisan di dalam S yang konvergen ke x 0 . Dipilih n1 sehingga berlaku xn1  x0  1 . Kemudian dipilih n 2 dengan

n1  n2 sehingga xn2  x0  nk  nk 1 sehingga

1 . Setelah dipilih n1  n2  ...  nk 1 , maka dipilih n k dengan 2

x nk  x 0 

1 . Jadi terbentuk barisan k

x  nk

yang konvergen ke x 0 .

Dengan kata lain terbukti X kompak sekuensial. Lemma 24 : Diketahui X ruang Banach. Apabila himpunan S  X tak berhingga yang terbatas total, maka untuk setiap   0 ada himpunan tak berhingga M  S sehingga d M    .



Bukti : Diketahui S himpunan tak berhingga dan diberikan sebarang   0 . Misalkan himpunan

H  x1 , x2 ,..., xn  merupakan suatu yang berakibat S 

 3

n

 net di dalam X sehingga berlaku X   N  ( xi ) , i 1

3

n

 (S  N  ( x )) . Dengan demikian paling sedikit ada satu dari himpunani

i 1

3

himpunan S  N  ( xi ) yang memuat himpunan tak berhingga, sebut saja M

dengan

3

d M    . Teorema 25 : Diketahui X ruang Banach.

X terbatas total jika dan hanya jika setiap barisan x n  di dalam X mempunyai barisan bagian Cauchy. Bukti : syarat perlu : Diambil sebarang barisan Diketahui X ruang Banach. Pandang himpunan

A  xn ; n  . Apabila A berhingga, maka barisan

xn 

mempunyai barisan bagian

berhingga yang konstan. Oleh karena itu, barisan ini merupakan barisan Cauchy. Sekarang misalkan A tak berhingga, maka berdasarkan Lemma 23 ada himpunan tak berhingga B1  A dengan d B1   1. Dipilih n1 sehingga xn1  B1 . Selanjutnya dengan cara yang sama, ada suatu himpunan tak berhingga B2  B1 dengan d B2  

1 . Dipilih n2  n1 sehingga xn2  B2 . 2

Apabila prosedur ini dilakukan terus menerus, maka diperoleh himpunan-himpunan tak berhingga

Bk  Bk 1  ...  B2  B1 dengan d Bi  

1 ( i  1,2,..., n ) sehingga untuk setiap bilangan i

asli nk  nk 1  ...  n2  n1 berlaku xni  Bi ( i  1,2,..., n ). Berdasarkan proses ini diperoleh

  dari x . Apabila diberikan sebarang   0 , maka dipilih k

suatu barisan bagian x nk sehingga

n

0



1   . Dengan cara yang sama seperti di atas diperoleh x nm  Bk0 untuk m  k 0 . Jadi k0

apabila j, m  k 0 maka berlaku x n j  x nm 

1   . Oleh karena itu terbukti bahwa setiap k0

barisan di dalam X mempunyai barisan bagian Cauchy. Syarat cukup : Andaikan himpunan X tidak terbatas total, maka ada  0  0 sehingga tidak terdapat  0  net di dalam X . Diberikan sebarang x1  X dan dipilih x2  X sehingga



x2  x1   0 . Hal ini mungkin terjadi sebab himpunan x1  bukan suatu  0  net di dalam

X . Selajutnya dipilih x3  X dengan x3  x1   0 dan x3  x2   0 , dan ini mungkin terjadi sebab x1 , x2  bukan suatu  0  net di dalam X . Apabila proses dilakukan secara terus menerus dengan cara yang sama, maka akan diperoleh himpunan

x1 , x2 ,..., xn 

yang bukan

suatu  0  net di dalam X dengan sifat xi  x j   0 , untuk setiap i  j ( j  1,2,.., k ). Jadi ada xn1  X dengan xk 1  x j   0 , untuk j  1,2,.., k . Oleh karena itu barisan x n  tidak mempunyai barisan bagian Cauchy, kontradiksi dengan yang diketahui. Teorema 26 : Ruang Banach X kompak sekuensial jika dan hanya jika X terbatas total. Bukti : Syarat perlu : Karena X kompak sekuensial, maka setiap barisan x n  di dalam X mempunyai barisan bagian

x  yang konvergen, yang berakibat barisan x  merupakan nk

nk

barisan Cauchy. Jadi, setiap barisan di dalam X mempunyai barisan bagian Cauchy, dan berdasarkan Teorema 25 terbukti bahwa X terbatas total. Syarat cukup : Diketahui X terbatas total dan diambil sebarang barisan x n  di dalam X .

  dan karena

Menurut Teorema 25, maka barisan x n  mempunyai barisan bagian Cauchy x nk

 

X ruang Banach, maka barisan x nk konvergen atau terbukti X kompak sekuensial. Lemma 27 : Diketahui X ruang Banach. Apabila X kompak sekuensial, maka setiap liput terbuka  untuk X mempunyai bilangan Lebesque. Bukti : Diketahui X kompak sekuensial dan liput terbuka  untuk X . Andaikan tidak ada bilangan Lebesque untuk liput terbuka  , maka untuk setiap n   ada himpunan tak kosong

An  X dengan d  An  

1 sehingga An tidak termuat dalam  . Selanjutnya, dipilih n

xn  An , dan karena X kompak sekuensial maka barisan x n  di dalam X mempunyai barisan

  yang konvergen ke x

bagian x nk

0

. Dipilih G0   sehingga x0  G0 . Karena G0 himpunan

  konvergen ke

terbuka, maka ada bilangan   0 sehingga N  ( x0 )  G0 . Karena x nk

x0 ,

maka x nk termuat di dalam N  ( x0 ) untuk tak berhingga banyak nk   . Dipilih n k yang maksimal sehingga x n   N  ( x0 ) dengan k

 1  . Apabila diambil y  An maka diperoleh  k 2 nk



y  x0 

 

 1 1 , dan mengingat d An   maka berakibat y  x0  . Oleh karena itu  k 2 nk nk

y  N  ( x0 ) , dengan demikian diperoleh An  N  ( x0 )  G0 . Kotradiksi dengan fakta bahwa k

untuk setiap n   , An tidak termuat di dalam anggota  . Dengan kata lain  mempunyai bilangan Lebesque. Teorema 28 : Diketahui X ruang Banach dan S  X .

S kompak jika dan hanya jika S kompak sekuensial. Bukti : Syarat perlu : Andaikan S tidak kompak sekuensial, maka menurut Lemma 26 ada suatu himpunan tak berhingga A  S dengan A tidak mempunyai titik limit di dalam S . Dengan demikian setiap anggota S bukan titik limit himpunan A , dan setiap titik anggota A merupakan titik terasing. Jadi, untuk setiap x  A ada bilangan   0 sehingga N  ( x)  A  x, dan untuk setiap y  S dengan y  A dapat dibuat persekitaran N  ( y ) sehingga N  ( x)  A   .

A

Karena

tak

berhingga,

maka

koleksi

semua

himpunan

  N  ( x) : x  A N  ( y) : x  S & y  A merupakan liput terbuka untuk S , akan tetapi liput terbuka  tidak memuat liput bagian berhingga. Sebab, apabila menghilangkan satu persekitaran N  (x) saja dari titik x  A maka S tidak terliput lagi, dan kontradiksi dengan fakta bahwa S kompak. Syarat cukup : Diberikan sebarang liput terbuka  untuk S , maka menurut Lemma 26 liput terbuka  mempunyai bilangan Lebesque   0 , dan berdasarkan Teorema 25 maka S terbatas total. Oleh karena itu, ada suatu

 3

 net dari himpunan berhingga x1 , x2 ,..., xn  sehingga

untuk setiap k  1,2,..., n berlaku

  2 d  N  ( x k )      . Selanjutnya, ada Gk   dengan N  ( x k )  Gk . 3  3  3 n

Karena

 N (x k 1

k

)  S , maka diperoleh G1 , G2 ,..., Gn  merupakan liput bagian berhingga

3

untuk S , atau terbukti S kompak. Teorema 29 : Diketahui X ruang Banach dan S  X . Jika S kompak, maka S tertutup dan terbatas.



Bukti : (a) Diambil sebarang x0  X dengan x0  S c , dan untuk setiap anggota x  S dibuat







persekitaran N  (x)  y : x  y   , dan persekitaran N ( x0 )  y : x  y   pusat x 0 dan jari-jari  



dengan

1 x  x0 . Jelas bahwa, N  (x)  N ( x0 )   untuk setiap x  S . 2

Oleh karena itu, koleksi semua himpunan persekitaran-persekitaran   N  ( x) : x  S  merupakan liput terbuka untuk S . Karena diketahui S kompak, maka ada x1 , x 2 , ... , x n  S sehingga

berlaku

S

n

n

 N  ( xi ) .

Dibentuk

W   Ni ( x 0 )

himpunan

dengan

i 1

i 1

i 

1 x0  xi , untuk setiap i  1 , 2 , ... , n . Jadi W merupakan suatu persekitaran dari titik 2

x0

dan himpunan bagian semua

Ni ( x0 ) , untuk setiap i  1 , 2 , ... , n . Jadi,

W  N  ( xi )   , untuk setiap i  1 , 2 , ... , n sehingga

W  N  (x)   . Akibatnya,

W  S   atau W  S c . Jadi x 0 merupakan titik-dalam himpunan S c , jadi S c terbuka atau

S tertutup.





(b) Untuk setiap x  S dibentuk persekitaran N1 ( x)  y : x  y  1 , yaitu persekitaran dengan pusat x dan jari-jari 1 . Koleksi semua himpunan   N1 ( x) : x  S  merupakan liput terbuka untuk S . Karena diketahui S

S

n

 N ( x ) . Namakan, 1

i

kompak, maka ada x1 , x 2 , ... , x m  S sehingga

M 1  maks  x1  x2 , x1  x3 , ..., x1  xm . Untuk sebarang

i 1

yS

ada

xj

dengan

1  j  m , sehingga berlaku

x1  y  x1  x j  x j  y  M  1 1  M .

Jadi

y  N1 ( x j ) . Jadi diperoleh

untuk

setiap

yS

berlaku

x1  y  M atau dengan kata lain S terbatas. Teorema 30 : Diketahui X ruang Banach, dan S  X . Apabila S tertutup dan terbatas, dan X berdimensi hingga maka S kompak. Bukti : Misalkan Dim( X )  n , dan

e1 , e2 , . . . , en 

merupakan basis untuk X . Diambil

sebarang barisan x m  di dalam S , maka untuk setiap x m anggota S dapat disajikan sebagai representasi kombinasi linear sebagai berikut,

xm  x1( m) e1  x2( m) e2  . . .  xn( m) en Media Exacta Volume 11 No.1 Januari 2011


Karena diketahui S terbatas, maka ada bilangan k  0 sehingga x m  k , untuk setiap m . Menurut Lemma 13, maka diperoleh

k  xm  x1( m) e1  x2( m) e2  ...  xn( m) en  c

n

x j 1

(m) j

, dengan c  0 .

  terbatas. Jadi ia mempunyai titik limit, katakan titik

) Oleh karena itu barisan bilangan x (m j

limitnya tersebut adalah x j , untuk 1  j  n . Akibatnya, barisan bagian z m  yang konvergen ke z 

n

x j 1

menunjukkan bahwa sebarang barisan

j

xm 

mempunyai barisan

e j . Karena himpunan S tertutup, maka z  S . Ini

xm 

di dalam S mempunyai barisan bagian yang

konvergen dalam S . Dengan kata lain S kompak sekuensial atau S kompak. Teorema 31 : Diketahui X ruang Banach, dan S  X .

S kompak relatif jika dan hanya jika S terbatas total. Bukti : Syarat perlu : Diketahui S kompak relatif atau S  S  S 

kompak. Apabila S

kompak berakibat S kompak sekuensial, maka menurut Teorema 26 S terbatas total. Apabila S tidak kompak, dan karena S  merupakan koleksi semua himpunan titik limit di dalam S , maka berdasarkan Teorema 23 S kompak sekuensial, dan sekali lagi menurut Teorema 26 terbukti S terbatas total. Syarat cukup : Diketahui S kompak relatif, yaitu S kompak. Apabila S kompak berakibat S kompak sekuensial atau terbukti S terbatas total. Sekarang apabila S tidak kompak dan karena S  merupakan koleksi semua titik limit di dalam S , maka diperoleh S kompak sekuensial atau terbukti S terbatas total. Syarat perlu : Diambil sebarang barisan x n  di dalam S . Karena diketahui S terbatas total,





maka ada himpunan-himpunan berhingga  N 1 ( y1 ), N 1 ( y 2 ), . . . , N 1 ( yi ) yang merupakan



2

2

2



suatu 1  net . Paling sedikit dari persekitaran-persekitaran ini memuat suatu barisan tak hingga,

 

 

katakanlah x n ,1 dengan x n ,1  x n  . Selanjutnya. Diambil lagi suatu

1  net , maka paling 2

sedikit satu dari persekitaran-persekitaran di dalam himpunan berhingga dari suatu

1  net 2

  dengan x   x . Apabila proses dilakukan terus

memuat barisan tak berhingga x n , 2

n, 2

n ,1



menerus maka akan diperoleh

x   x n,m

n , m 1

suatu barisan tak hingga

 sehingga x  n,m

x , n,m

untuk suatu m dengan

termuat di dalam persekitaran berdiameter

x  merupakan barisan diagonal, maka x 



j, j

n,n

yang termuat di dalam persekitaran berdiameter

j n

1 . Misalkan m

 

merupakan barisan bagian dari x j ,n

 j n

1 1 . Jadi diperoleh xn,n  xm,m  , n min (n , m)

  merupakan barisan Cauchy. Karena X lengkap maka barisan x  adalah konvergen. Dengan kata lain barisan x  mempunyai barisan bagian yang konvergen atau S sehingga x n ,n

n,n

n,n

kompak sekuensial. Berakibat S kompak relatif. SIMPULAN Berdasarkan keseluruhan uraian di atas diperoleh beberapa kesimpulan sebagai berikut : 1. Apabila suatu himpunan tak berhingga mempunyai titik limit di dalam ruang Banach, maka ruang Banach tersebut kompak sekuensial. 2. Suatu ruang Banach yang kompak sekuensial jika dan hanya jika ruang Banach tersebut terbatas total. 3. Suatu himpunan di dalam ruang Banach yang kompak jika dan hanya jika himpunan tersebut kompak sekuensial. 4. Apabila suatu himpunan yang kompak di dalam ruang Banach, maka himpunan tersebut tertutup dan terbatas. 5. Apabila suatu himpunan yang tertutup dan terbatas di dalam ruang Banach, dan himpunan itu juga berdimensi hingga maka himpunan tersebut kompak. 6. Suatu himpunan yang kompak relatif di dalam ruang Banach jika dan hanya jika himpunan tersebut terbatas total.

DAFTAR RUJUKAN Media Exacta Volume 11 No.1 Januari 2011


Hutson, V, and PYM, J.S, 1980. Aplications of Functional Analysis and Operator Theory, Academic Press, London, New York, Toronto, Sydney, San Francisco. Kreyszig, E, 1978. Introductory Functional Analysis with Aplications , John Willey&Sons, Canada. Parzynski, W.R, and Zipse, P.W, 1982. Introduction to Mathematical Analysis, Mc-Hill Book Company. Royden, H.L, 1989. Real Analysis. Mamillan Pub.Co., new York, Collier Macmillan Pub., London. Rudin, H.L, 1989. Principles of Mathematical Analysis, Mc Graw-Hill International Company, Singapore. Simmons, G.F, 1963. Topology and Modern Analysis, Mc Graw-Hill Book Company, Inc, New York.


KAJIAN SIFAT KEKOMPAKAN PADA RUANG BANACH. Ariyanto* ABSTRACT

Recommend Documents