BAB III PEMBAHASAN
Pada bab ini akan dijelaskan tentang konsep dasar metode kuadrat terkecil yang digunakan untuk membentuk fungsi tujuan dari masalah pemrograman nonlinear dan langkah- langkah penyelesaiannya menggunakan pemrograman kuadratik metode wolfe dan metode fungsi penalti eksterior (metode penalty). Selanjutnya akan dipaparkan penerapan model nonlinear pada rata-rata produksi tanaman pangan di kota Magelang beserta penyelesaiannya dengan kedua metode tersebut. A. Pembentukan Fungsi Tujuan dengan Metode Kuadrat Terkecil Masalah yang dibahas dalam tugas akhir ini adalah masalah pemrograman nonlinear, sehingga fungsi tujuan yang akan dibentuk berupa fungsi nonlinear yang dalam hal ini berupa fungsi kuadrat, yaitu fungsi dengan pangkat tertinggi dari variabelnya adalah dua. Fungsi kuadrat memiliki satu nilai titik ekstrim yaitu maksimum atau minimum, sedangkan fungsi kubik memiliki sebuah titik belok, yaitu titik peralihan bentuk kurva dari cekung menjadi cembung atau sebaliknya dan mungkin pula memiliki satu atau dua titik ekstrim. Karena fungsi kubik belum tentu memiliki titik ekstrim, maka dipilihlah fungsi kuadrat yang sudah pasti memiliki satu titik ekstrim. Metode kuadrat terkecil merupakan metode penaksiran parameter yang meminimalkan jumlah kuadrat sisa (galat). Penaksiran pada metode ini memiliki sifat BLUE (Best Linear Unbiased Estimator) (Asti, 2015 : 6). Oleh karena itu dipilih metode kuadrat terkecil untuk menentukan parameter pada fungsi kuadrat.
44
Model yang diselesaikan dengan metode kuadrat terkecil adalah sebagai berikut (3.1a) Dimana
adalah parameter dan
adalah sisa (galat). Menurut Setijo Bismo
(2008), fungsi kuadrat atau fungsi parabola mempunyai bentuk umum yang dapat dituliskan sebagai berikut : (3.1b) Dari Persamaan (3.1a) dan (3.1b) diperoleh model fungsi kuadrat yang akan diselesaikan dengan metode kuadrat terkecil, yaitu (3.1c) Metode kuadrat terkecil disini digunakan untuk mencari nilai- nilai tetapan , dan
berdasarkan set data yang diberikan, (dimisalkan banyaknya data =
) , yaitu dengan meminimumkan jumlah kuadrat sisa (
dari Persamaan (3.1)
berikut
Selanjutnya
diturunkan terhadap
, dan
adalah Jika
diturunkan terhadap
, maka diperoleh
45
dengan syarat optimumnya
(3.2a) Jika
diturunkan terhadap
, maka diperoleh
(3.2b) Jika
diturunkan terhadap
, maka diperoleh
46
(3.2c)
Persamaan (3.2) disebut persamaan normal. Apabila ditulis kedalam bentuk matriks Persamaan (3.2) akan menjadi
Selanjutnya nilai
, dan
dapat ditaksir dengan menggunakan rumus
B. Penyelesaian Masalah Nonlinear 1. Pemrograman Kuadratik dengan Metode Wolfe Pemrograman Kuadratik menyelesaikan masalah pemrograman nonlinear dengan mentransformasikannya menjadi masalah pemrograman linear menggunakan syarat Kuhn Tucker. Persamaan baru yang didapat dari syarat
47
Kuhn Tucker dicari solusi optimalnya dengan simpleks metode wolfe. Adapun langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut (Yuni, 2015) a.
Membentuk kondisi Kuhn Tucker dari syarat Kuhn Tucker yang diperoleh.
b.
Mengidentifikasi complementary slackness sesuai Sifat 2.1.
c.
Menambahkan variabel buatan
untuk setiap kondisi Kuhn Tucker
yang tidak memiliki variabel basis. d.
Membuat fungsi tujuan baru yang linear yaitu fungsi tujuan untuk meminimalkan jumlah nilai variabel buatan
e.
.
Melakukan proses iterasi simpleks dengan menggunakan metode wolfe. Untuk menjamin bahwa solusi akhir (variabel buatan
bernilai nol)
memenuhi kondisi complementary slackness, metode wolfe memiliki modifikasi untuk pilihan variabel simpleks yang masuk menjadi basis, yaitu 1)
dari kondisi Kuhn Tucker dan variabel keputusan
tidak bisa
menjadi variabel basis secara bersamaan. 2) Variabel surplus
atau variabel slack
dari kendala ke- i dan
dari kondisi Kuhn Tucker tidak boleh kedua-duanya menjadi variabel basis. Syarat basis diatas bersesuaian dengan complementary slackness dari pemrograman kuadratik. Jadi, apabila simpleks dikerjakan dengan cara biasa tanpa menggunakan syarat basis diatas maka pada hasil
48
tabel optimal akan ada complementary slackness yang tidak terpenuhi. f.
Mensubstitusikan hasil dari tabel optimum ke dalam fungsi tujuan awal (nonlinear) untuk didapatkan solusi optimum. Jika dalam tabel optimum terdapat variabel buatan
maka dapat
disubstitusikan ke fungsi tujuan linear. Begitu pula untuk variabel slack, surplus, buatan ataupun
maka dapat disubstitusikan ke
bentuk kanonik yang telah dibentuk di awal. Untuk menambah pemahaman, maka diberikan ilustrasi penyelesaian pemrograman kuadratik dengan metode wolfe melalui contoh berikut : Contoh 3.1 : Memaksimumkan
(3.3)
dengan kendala (3.4a) (3,4b) (3.4c) Langkah - langkah penyelesaian Persamaan (3.3) dan (3.4) dengan pemrograman kuadratik metode wolfe adalah sebagai berikut : a.
Membentuk kondisi Kuhn Tucker dari fungsi tujuan dan fungsi kendala yang telah dimiliki. Berdasarkan Persamaan (3.3) dan (3.4) maka ditentukan bentuk kanoniknya yaitu : (3.5a)
49
(3.5b) (3.5c) (3.5d) b.
Mengidentifikasi complementary slackness yang ada. Diperhatikan
bahwa
Persamaan
(3.5)
merupakan
kondisi
complementary slackness, sehingga mengakibatkan :
c.
Menambahkan variabel buatan
untuk setiap kondisi Kuhn Tucker
yang tidak memiliki variabel basis. Berdasarkan Persamaan (3.5), hanya Persamaan (3.5c) dan (3.5d) yang memiliki variabel basis. Pada Persamaan (3.5a) dan (3.5b) perlu ditambah variabel buatan
sehingga bentuk kanoniknya
menjadi : (3.6a) (3.6b) (3.6c) (3.6d) d.
Membuat fungsi tujuan baru yang linear yaitu fungsi tujuan untuk meminimalkan jumlah nilai variabel buatan
.
Bentuk fungsi tujuan baru yang linear untuk Contoh 3.1 adalah Meminimumkan
(3.7)
50
dengan kendala (3.6a) (3.6b) (3.6c) (3.6d) Semua variabel non negatif. e.
Melakukan proses iterasi simpleks dengan menggunakan metode wolfe. Pada proses iterasi, semua koefisien ongkos variabel non basis diganti dengan 0. (Winston, 2003 : 687) Tabel 3. 1 Tabel simpleks dengan metode wolfe 0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
4
0
1
0
-1
0
1
0
0
0
1
1
0
2
0
1
0
-1
0
1
0
0
4
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
8
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
10
4
2
1
1
-1
-1
1
1
0
0
5
4
2
1
1
-1
-1
0
0
0
0
/
-
Semua koefisien dari setiap kendala kondisi Kuhn Tucker dimasukkan ke dalam tabel. Nilai pada baris
didapat dari jumlah
hasil perkalian antara koefisien tiap kolom dengan nilai
yang
berada di baris yang sama. Untuk menentukan nilai- nilai
maka
dipilih dari baris
. Variabel dengan nilai
(kasus minimisasi) menjadi pembagi dari diisikan kekolom .
51
terbesar
yang selanjutnya
Nilai
pada
pada kolom
adalah yang paling besar, maka semua nilai
dibagi dengan nilai pada kolom variabel
didapatkan nilai
sehingga
seperti dijelaskan pada Tabel 3.2. Tabel 3. 2 Iterasi pertama metode wolfe
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
4
0
1
0
-1
0
1
0
0
0
1
0,25
1
0
2
0
1
0
-1
0
1
0
0
4
-
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
8
8
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
10
-
4
2
1
1
-1
-1
1
1
0
0
5
4
2
1
1
-1
-1
0
0
0
0
/
-
Karena nilai
terkecil adalah
maka
keluar dan
masuk
menjadi variabel basis dengan koefisien ongkos 0. Selanjutnya proses iterasi dilanjutkan hingga diperoleh tabel optimum seperti Tabel 3.3. Tabel 3. 3 Tabel optimum metode wolfe 0
0
0
0
0
1
0
0,25
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0 -0,25 0 0,25
0
0
0
0,25
1
1
0
0
2
0 -0,25
0
1
0
7,75
0
1
0
-1
0
1
8
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-1
-1
0
0
/
-
Karena nilai
-0,25 0
0 0,25
-1
0
maka iterasi berhenti, dan tabel dinyatakan
optimum. Dari tabel optimum tersebut diperoleh nilai variabel dan dan
. Selain itu juga didapatkan nilai variabel serta nilai minimum
52
. Kemudian untuk
mengetahui nilai maksimum yang dicari maka nilai variabel- variabel tersebut disubstitusikan kedalam fungsi tujuan awal yaitu
. Sehingga penyelesaian optimal dari Contoh 3.1 adalah 10,125. Secara umum, penyelesaian pemrograman kuadratik metode Wolfe dapat digambarkan dalam Gambar 3.1
Fungsi
Kondisi
Tujuan Non
Kuhn
Linear
Tucker
Fungsi Linear
Simpleks Metode Wolfe
Tabel Optimum
Gambar 3. 1 Bagan Langkah Penyelesian Pemrograman Kuadratik Metode Wolfe
2.
Metode Fungsi Penalti Eksterior (Metode Penalty) Metode
fungsi
penalti
eksterior
pada
prinsipnya
adalah
mentransformasikan masalah nonlinear berkendala menjadi masalah tidak berkendala sedemikian sehingga penyelesaiannya dicari secara numerik. Masalah berkendala diubah ke masalah tanpa kendala dengan cara menambahkan fungsi penalti dan parameter penalti pada fungsi tujuan. Proses pencarian solusi pada metode penalty dimulai dari luar daerah layak, oleh karena itu disebut dengan metode fungsi penalti eksterior.
53
Berikut adalah langkah penyelesaian metode fungsi penalti eksterior a.
Mengecek kekontinuan fungsi tujuan dan fungsi kendala
b.
Membentuk fungsi tujuan untuk masalah optimasi tidak berkendala , dengan 1) 2)
adalah fungsi tujuan masalah berkendala adalah parameter penalti
3) Fungsi penalti 4)
adalah fungsi kendala pertidaksamaan
5)
adalah fungsi kendala persamaan
6) c.
adalah bilangan bulat positif
Menentukan penyelesaian dari masalah minimalkan , yakni
.
Menurut syarat perlu keoptimalan masalah nonlinear tanpa kendala, titik optimal akan dicapai ketika turunannya sama dengan nol. d.
Menyelidiki apakah nilai optimal yang dicapai merupakan titik minimum atau maksimum berdasarkan syarat cukup keoptimalan masalah nonlinear tanpa kendala.
Secara umum, penyelesaian metode fungsi penalti eksterior dapat digambarkan dalam Gambar 3.2 Fungsi Tujuan Non Linear
Metode
Fungsi Tujuan
Solusi
Penalty
Nonlinear Tak
Optimal
Berkendala
Berkendala
Gambar 3. 2 Bagan Langkah Penyelesaian Metode Penalty
54
C. Penerapan Model Nonlinear pada Rata-Rata Produksi Tanaman Pangan di Kota Magelang Pada subab ini akan dijelaskan langkah pembentukan model non linear untuk rata-rata produksi tanaman pangan menggunakan metode kuadrat terkecil yang perhitungannya diselesaikan dengan bantuan software matlab. Kemudian model yang diperoleh akan diselesaikan dengan pemrograman kuadratik metode wolfe dan metode fungsi penalti eksterior. Gambar 3.3 adalah alur penelitian dalam tugas akhir ini Data Produksi Tanaman Pangan
Pembentukan Model dengan Metode Kuadrat Terkecil
Solusi Optimal dengan
Solusi Optimal dengan
Pemrograman Kuadratik
Metode Penalty
dibandingkan
diperoleh nilai optimal luas panen tanaman pangan
Gambar 3. 3 Alur Pembentukan Model dan Penyelesaian Model Non Linear
55
1.
Pembentukan Model Salah satu sektor penopang utama pertumbuhan ekonomi yang masih
sangat besar adalah sektor pertanian. Setiap tahun, permintaan terhadap produksi pertanian selalu meningkat, khususnya kebutuhan bahan pangan. Kebutuhan bahan pangan masyarakat bertumpu pada padi dan palawija. Oleh karena itu produksi padi dan palawija menjadi pemasok utama dalam pemenuhan kebutuhan pangan. Di kota Magelang, jenis tanaman pangan yang diproduksi setiap tahunnya selalu berubah ubah. Jenis-jenis tanaman yang diproduksi yaitu padi, jagung, ketela pohon, ketela rambat, kacang tanah, dan kedelai. Namun menurut data dari buku Magelang Dalam Angka, dari tahun 1994 hingga tahun 2014 jenis tanaman pangan yang paling banyak diproduksi yaitu padi, ketela pohon, dan jagung maka dipilihlah ketiga jenis tanaman tersebut. Dalam buku Kota Magelang Dalam Angka yang diterbitkan oleh Badan Pusat Statistik Kota Magelang, tabel yang menyajikan informasi mengenai luas tanam, luas panen, dan rata-rata produksi tanaman pangan ada pada bab pertanian. Data luas tanam, luas panen, dan rata-rata produksi padi, ketela pohon, serta jagung dari tahun 1994 sampai tahun 2014 disajikan pada Tabel 3.4
56
Tabel 3. 4 Data Luas Tanam, Luas Panen, dan Rata-rata Produksi Padi, Ketela Pohon dan Jagung tahun 1994-2014 Padi Sawah Ketela Pohon Tahun LT LP RRP LT LP RRP (Ha) (Ha) (kw) (Ha) (Ha) (kw) 1994 546 602 50,83 59 59 125,76 1995 626 600 51,68 12 16 121,88 1996 637 618 52,04 16 19 132,11 1997 604 621 51,8 2 7 132,86 1998 648 591 51,82 11 9 153,3 1999 600 569 52,81 21 17 172,47 2000 489 497 53,51 1 2 90 2001 525 474 53,35 7 7 168,57 2002 517 514 52,79 11 15 139,33 2003 492 469 52,81 7 8 139,38 2004 490 471 52,4 5 7 140 2005 480 473 52,64 8 8 140 2006 495 491 52,62 5 6 140 2007 502 501 54,51 4 3 140 2008 503 504 54,56 7 3 140 2009 513 512 54,67 9 10 140 2010 519 520 54,75 10 11 141 2011 550 551 56,98 7 9 70 2012 541 548 59,708 4 3 148,96 2013 544 548 58,5 1 3 73,33 2014 552 547 58,18 24 2 70 Keterangan LT : Luas Tanam LP : Luas Panen RRP : Rata-Rata Produksi
Jagung LT LP RRP (Ha) (Ha) (kw) 9 10 32 6 11 20 7 7 27,14 18 14 22,86 11 15 26,66 5 7 25 3 5 25 3 4 25,05 3 1 20 1 25 1 3 4 25 3 2 63,5 2 2 64 2 3 16,25 -
Menurut BPS Provinsi Jawa Tengah (2013) luas panen adalah luas tanaman yang dipungut hasilnya setelah tanaman tersebut cukup umur termasuk tanaman yang gagal panen. Sedangkan rata-rata produksi atau hasil per hektar merupakan produksi setiap jenis komoditas per luas panen dalam satuan hektar. Berdasarkan penelitian yang telah dilakukan oleh Vina (2013), data pada Tabel 3.4 dapat dibentuk fungsi tujuan berupa fungsi nonlinear.
57
a.
Membentuk Fungsi Tujuan Fungsi tujuan dari permasalaan ini dibentuk dari rata – rata produksi
yang diartikan sebagai hasil panen per hektar yang dihitung beratnya dalam satuan kwintal. Sedangkan luas panen diasumsikan sebagai banyaknya tanaman yang dipungut hasilnya setelah cukup umur termasuk yang gagal panen. Karena tidak memungkinkan untuk menghitung tanaman satu persatu, maka jumlah tanaman dianggap setara dengan luas tanaman yang dihitung dalam satuan hektar. Rata-rata produksi tanaman pangan total merupakan jumlahan dari ratarata produksi tanaman padi, ketela pohon, dan jagung. Sehingga fungsi tujuan yang akan dibentuk dapat dinyatakan sebagai jumlahan dari rata-rata produksi padi, ketela pohon, dan jagung.
(3.8)
Adapun variabel yang digunakan adalah sebagai berikut = data Luas Panen Padi ke - dalam satuan ha = data Luas Panen Ketela Pohon ke - dalam satuan ha = data Luas Panen Jagung ke - dalam satuan ha = data Rata – Rata Produksi ke - dalam satuan kw = 1,2,..., ;
= banyaknya data
= parameter fungsi tujuan
58
Berdasarkan Persamaan (3.8) maka dapat dibentuk fungsi rata-rata produksi padi, ketela pohon, dan jagung adalah
(3.9)
Untuk menentukan parameter fungsi tujuan pada Persamaan (3.9), digunakan metode kuadrat terkecil seperti pada Persamaan (3.2) yaitu dengan menyelesaikan sistem persamaan linear berikut (3.10) Dimana
Solusi
dari Persamaan (3.10) diperoleh dengan (3.11)
Berikut ini akan dicari fungsi tujuan dari masing- masing tanaman pangan yaitu, padi, ketela pohon dan jagung menggunakan metode kuadrat terkecil dengan bantuan software Matlab untuk selanjutnya dibentuk fungsi tujuan bersama.
59
1) Fungsi Tujuan Tanaman Padi Langkah- langkah untuk menentukan nilai parameter fungsi tujuan menggunakan bantuan software Matlab adalah sebagai berikut a) Masukkan data luas panen dan rata-rata produksi padi ke software Matlab. Ketikkan pada script file kemudian simpan dengan nama datax.dat b) Ketikkan pada script- file pemrograman untuk mendapatkan parameter fungsi tujuan, simpan dengan nama MKTX c) Ketikkan MKTX pada command window, tekan enter d) Muncul hasil pada command window seperti berikut >> MKTX m = 21 n = 2 A = 1.0e+12 * 1.8008 0.0033 0.0000
0.0033 0.0000 0.0000
0.0000 0.0000 0.0000
Y = 1.0e+08 * 3.2481 0.0061 0.0000 beta = -0.0002 0.2083 0.0100
Gambar 3. 4 Tampilan Output MKTX pada Command Window Berdasarkan
hasil pada Gambar 3.4 didapatkan fungsi tujuan
tanaman padi, yaitu (3.12)
60
2) Fungsi Tujuan Tanaman Ketela Pohon Langkah- langkah untuk menentukan nilai parameter fungsi tujuan menggunakan bantuan software Matlab adalah sebagai berikut a) Masukkan data luas panen dan rata-rata produksi ketela pohon ke software Matlab. Ketikkan pada script file kemudian simpan dengan nama datay.dat b) Ketikkan pada script- file pemrograman untuk mendapatkan parameter fungsi tujuan, simpan dengan nama MKTY c) Ketikkan MKTY pada command window, tekan enter d) Muncul hasil pada command window seperti berikut >> MKTY m = 21 n = 2 A = 12502174 230804 5350
230804 5350 224
5350 224 2
Y = 1.0e+05 * 6.9672 0.2985 0.0272 beta = -0.2862 19.2570 -31.7838
Gambar 3. 5 Tampilan Output MKTY pada Command Window Berdasarkan
hasil pada Gambar 3.5 didapatkan fungsi tujuan
tanaman ketela pohon, yaitu (3.13)
61
3) Fungsi Tujuan Tanaman Jagung Langkah- langkah untuk menentukan nilai parameter fungsi tujuan menggunakan bantuan software Matlab adalah sebagai berikut a) Masukkan data luas panen dan rata-rata produksi ketela pohon ke software Matlab. Ketikkan pada script file kemudian simpan dengan nama dataz.dat b) Ketikkan pada script- file pemrograman untuk mendapatkan parameter fungsi tujuan, simpan dengan nama MKTZ c) Ketikkan MKTZ pada command window, tekan enter d) Muncul hasil pada command window seperti berikut >> MKTZ m = 14 n = 2 A = 119736 9434 816
9434 816 86
816 86 2
Y = 1.0e+04 * 2.0781 0.2299 0.0417 beta = -0.6737 11.4282 -7.7962
Gambar 3. 6 Tampilan Output MKTZ pada Command Window Berdasarkan
hasil pada Gambar 3.6 didapatkan fungsi tujuan
tanaman jagung, yaitu (3.14)
62
Fungsi tujuan pada masalah ini adalah mengoptimalkan rata-rata produksi tanaman pangan yang terbentuk dari jumlahan rata-rata produksi padi, ketela pohon, dan jagung, sehingga berdasarkan Persamaan (3.12), (3.13) dan (3.14) diperoleh fungsi tujuan bersama yaitu memaksimumkan
(3.15)
Sebelum Persamaan (3.15) diselesaikan, alangkah lebih baiknya apabila diselidiki terlebih dahulu apakah fungsi tujuan tersebut valid atau tidak. Berdasarkan penelitian yang telah dilakukan oleh Vina (2013), untuk membuktikan bahwa solusi nilai
pada fungsi tujuan yang diperoleh dari
metode kuadrat terkecil adalah yang terbaik ada dua cara, yaitu dengan melihat nilai error dan conditional number-nya. Cara yang pertama yaitu dengan melihat nilai errornya. Nilai variabel dan
,
pada Tabel 3.4 disubstitusikan ke Persamaan (3.15). Kemudian
dihitung selisih nilai
dari jumlahan rata-rata produksi padi, ketela pohon
dan jagung yang ada pada Tabel 3.4 dengan hasil perhitungan. Tabel 3.5 merupakan hasil perhitungan selisih nilai
63
beserta errornya.
Tabel 3. 5 Hasil Perhitungan Selisih Nilai
Padi 602 600 618 621 591 569 497 474 514 469 471 473 491 501 504 512 520 551 548 548 547
Luas Panen Ketela Jagung Pohon 59 10 16 11 19 7 7 14 9 15 17 7 2 5 7 4 15 8 1 7 8 1 6 3 3 4 10 2 11 2 9 3 3 3 2 -
dan Errornya
Rata-Rata Produksi Data Hasil Ketela Padi Jagung Aktual Perhitungan Pohon 50,83 125,76 32 208,59 200,16 51,68 121,88 20 193,56 292,45 52,04 132,11 27,14 211,29 322,33 51,8 132,86 22,86 207,52 161,38 51,82 153,3 26,66 231,78 183,65 52,81 172,47 25 250,28 305,84 53,51 90 25 168,51 92,22 53,35 168,57 25,05 246,97 169,94 52,79 139,33 192,12 246,91 52,81 139,38 20 212,19 160,62 52,4 140 192,4 142,74 52,64 140 25 217,64 160,70 52,62 140 192,62 127,52 54,51 140 194,51 77,58 54,56 140 25 219,56 104,74 54,67 140 63,5 258,17 198,76 54,75 141 64 259,75 212,02 56,98 70 16,25 143,23 192,84 59,708 148,96 208,668 77,51 58,5 73,33 131,83 77,51 58,18 70 128,18 59,69 Rata-Rata Error
Selisih
Error
8,43 98,89 111,04 46,14 48,13 55,56 76,29 77,03 54,79 51,57 49,66 56,94 65,10 116,93 114,82 59,41 47,73 49,61 131,16 54,32 68,49
4% 51% 53% 22% 21% 22% 45% 31% 29% 24% 26% 26% 34% 60% 52% 23% 18% 35% 63% 41% 53% 35%
Berdasarkan Tabel 3.5, rata-rata errornya cukup besar, yaitu 35%. Akan tetapi masih ada cara kedua, yaitu dengan melihat conditional number-nya. Conditional number dari invers matriks dengan melihat norm matriks didefinisikan sebagai berikut
Conditional number digunakan untuk mengukur kesalahan yang mungkin terjadi pada input
dan output
. Error relatif untuk invers matriks A
64
tergantung dari nilai conditional number, sehingga conditional number tidak boleh terlalu besar (Vina,2013). Jika nilai conditional number < 67108864 , maka nilai
dinyatakan terbaik (Anderson dalam Vina, 2013). Berikut
adalah hasil perhitungan conditional number dengan bantuan software Matlab, yaitu dengan perintah cond() (script terlampir). Tabel 3. 6 Tabel Nilai Conditional Number Padi, Ketela Pohon, dan Jagung
Conditional Number
Padi
Ketela Pohon
Jagung
Jumlah
716,9105
16,9728
49,9719
783,8552
Berdasarkan Tabel 3.6, nilai conditional number < 67108864 , maka nilai pada fungsi tujuan dinyatakan terbaik. Jadi Persamaan (3.15) merupakan fungsi pendekatan yang terbaik. b. Membentuk Fungsi Kendala Pada permasalahan ini kendalanya yaitu luas panen tidak boleh lebih dari luas tanam maksimum. Sehingga menurut data pada Tabel 3.4, fungsi kendala pada masalah ini adalah (3.16a) (3.16b) (3.16c) (3.16d) Jadi model matematika untuk rata-rata produksi tanaman pangan di kota Magelang adalah model nonlinear dengan fungsi tujuannya Persamaan (3.15) dan fungsi kendalanya Persamaan (3.16).
65
2.
Penyelesaian dengan Pemrograman Kuadratik Metode Wolfe Sebelum diselesaikan dengan pemrograman kuadratik metode wolfe,
Persamaan (3.15) dan (3.16) akan diidentifikasi ke dalam bentuk umum dari masalah pemrograman kuadratik. Berdasarkan Persamaan (2.38), maka Persamaan (3.15) dapat ditulis dengan
, dan
, Jadi diperoleh
dengan kendalanya yaitu
Persamaan (3.15) dan (3.16) sudah sesuai dengan bentuk umum masalah pemrograman kuadratik. Selanjutnya, akan dilihat apakah Persaman (3.15) dan (3.16) merupakan fungsi konveks atau konkaf, yaitu dengan melihat
66
turunan parsialnya. Diperoleh turunan parsial kedua dari Persamaan (3.15) adalah sebagai berikut
dan turunan pertama dari Persaman (3.16) adalah sebagai berikut
Karena
, maka berdasarkan Teorema 2.1 fungsi
merupakan fungsi konkaf. Sedangkan Definisi 2.2 dan Teorema 2.4 fungsi fungsi
konkaf dan
, maka menurut merupakan fungsi konveks. Karena
konveks maka digunakan syarat Karush Kuhn
Tucker sebagai syarat perlu dan cukup untuk mencapai nilai optimal. Oleh karena itu Persamaan (3.15) dapat diselesaikan dengan pemrograman
67
kuadratik metode wolfe. Adapun langkah- langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut a.
Membentuk Kondisi Kuhn-Tucker Berdasarkan Teorema 2.7, maka pada Persamaan (3.15) dapat
ditentukan syarat Kuhn-Tuckernya yaitu 1)
(3.17a) (3.17b) (3.17c)
2)
(3.18a) (3.18b) (3.18c)
3) (
(3.19a) (3.19b) (3.19c)
4)
(3.20)
5)
(3.21)
Berdasarkan Persamaan (3.16a), (3.16b), dan (3.16c) maka diperoleh (3.22a) (3.22b) (3.22c) Bentuk Persamaan (3.22) dapat dijadikan bentuk kanonik sehingga menjadi
68
(3.23a) (3.23b) (3.23c) Setelah mengidentifikasi syarat Kuhn Tucker, maka kondisi Kuhn Tucker untuk Persamaan (3.16) yaitu (3.17a) (3.17b) (3.17c) (3.23a) (3.23b) (3.23c) b.
Mengidentifikasi complementary slackness Berdasarkan Persamaan (3.18) dan (3.23), Persamaan (3.17) dan
(3.19) dan sifat complementary slackness pada pemrograman kuadratik, maka kondisi complementary slackness untuk Persamaan (3.15) adalah
c.
Menambah variabel buatan
untuk setiap kondisi Kuhn-Tucker
yang tidak memiliki variabel basis Persamaan
(3.17)
tidak
ditambahkan variabel buatan
memiliki variabel basis sehingga sehingga bentuknya menjadi (3.24a)
69
(3.24b) (3.24c) d.
Menentukan fungsi tujuan baru yang linear Bentuk fungsi tujuan baru yang linear untuk masalah rata-rata
produksi padi, ketela pohon, dan jagung adalah Meminimumkan (3.25) dengan kendala (3.24a) (3.24b) (3.24c) (3.23a) (3.23b) (3.23c) Semua variabel non negatif e.
Melakukan proses iterasi simpleks dengan metode wolfe Setelah didapatkan fungsi tujuan dan kendala baru, yaitu Persamaan
(3.23) – (3.25) dibuatlah tabel simpleks lalu dilakukan perhitungannya. Perhitungan iterasi simplek menggunakan bantuan excel, berikut adalah tampilan tabel optimum.
70
Gambar 3. 7 Tampilan tabel optimum simplek metode wolfe Berdasarkan Gambar 3.13 diperoleh hasil ,
,
, , dan
, . Kemudian
untuk mendapatkan nilai maksimum yang dicari maka nilai variabel dan
,
disubstitusikan ke Persamaan (3.15) yang merupakan fungsi tujuan
awal yaitu
2.
Penyelesaian dengan Metode Fungsi Penalti Eksterior (Metode Penalty) Metode penalty digunakan untuk menyelesaikan masalah nonlinear tak
berkendala. Persamaan (3.15) merupakan masalah nonlinear dengan kendala Persamaan (3.16). Oleh karena itu, Persamaan (3.15) dan (3.16) dapat diselesaikan dengan metode penalty.
71
Adapun langkah- langkahnya adalah sebagai berikut a.
Mengecek kekontinuan fungsi tujuan dan fungsi kendala Akan dibuktikan terlebih dahulu
adalah fungsi yang
kontinu. Berdasarkan Definisi 2.3 dan Definisi 2.4, suatu fungsi dikatakan kontinu di setiap
jika
yang berarti untuk
yang diberikan terdapat maka
sedemikian sehingga jika . Atau dengan kata lain fungsi
tersebut memiliki turunan seperti yang tertera pada Teorema 2.2. Berikut ini akan dicari turunan pertama dari fungsi
Karena
,
,
,
ada, maka
.
adalah fungsi yang
kontinu. b.
Membentuk fungsi tujuan untuk masalah optimasi tidak berkendala sesuai bentuk umum masalah fungsi penalti pada Persamaan (2.40). Masalah optimisasi Persamaan (3.15) dan (3.16), diubah ke dalam
masalah optimisasi tanpa kendala menggunakan metode penalty dengan membentuk fungsi
dan memilih
(karena 2 merupakan bilangan
positif terkecil yang mengakibatkan fungsi penalti dalam fungsi tujuan baru
tetap termuat
setelah diturunkan), sehingga menjadi
72
Maka diperoleh masalah fungsi penalti eksterior yaitu Meminimumkan
(3.26)
c.
Menentukan penyelesaian dari masalah meminimalkan , yakni
Titik optimal akan dicapai jika
.
, maka (3.27a)
(3.27b)
(3.27c) Karena tujuan masalah fungsi penalti adalah meminimalkan maka Persamaan (3.27) dapat ditulis (3.28a) (3.28b) (3.28c) Dari Persamaan (3.28) diperoleh
73
d.
Menyelidiki apakah nilai
dan
merupakan nilai minimum
atau maksimum berdasarkan syarat cukup keoptimalan masalah nonlinear tanpa kendala. Matriks Hessian dari Persamaan (3.26) adalah sebagai berikut
Akan diselidiki apakah
definit positif, negatif, atau tidak
definit. Jika
dinyatakan dalam bentuk kuadratik, maka
Berdasarkan Definisi 2.7, matriks
definit negatif. Menurut
syarat cukup keoptimalan masalah nonlinear tanpa berkendala jika dan
definit negatif, maka
merupakan titik maksimum.
Jadi nilai maksimum dari
, untuk
adalah
.
74
3. Analisa Hasil Penyelesaian dengan Pe mrograman Kuadratik dan Metode Penalty Tabel 3. 7 Penyelesaian optimal untuk rata-rata produksi padi, ketela pohon dan jagung metode penalty
pemrograman kuadratik
Luas Panen Padi (ha) Luas Panen Ketela Pohon (ha) Luas Panen Jagung (ha) Rata-rata
Produksi
Tanaman
Pangan (kw) Menurut Tabel 3.7, pada kasus optimasi rata-rata produksi tanaman padi, ketela pohon dan jagung, penyelesaian dengan pemrograman kuadratik dan metode fungsi penalti eksterior (penalty) mendapatkan hasil yang sama. Oleh karena itu kedua metode tersebut efektif untuk menyelesaikan masalah optimasi rata-rata produksi tanaman pangan. Akan tetapi setiap metode memiliki kelebihan dan kekurangannya pemrograman
kuadratik
yaitu
masing- masing.
prosesnya
yang
Kekurangan
panjang
sehingga
membutuhkan waktu yang lama untuk memperoleh hasilnya. Adapun kelebihannya adalah perhitungannya yang mudah karena menggunakan simpleks dan dapat menggunakan bantuan software WinQSB. Sedangkan metode penalty kekurangannya yaitu apabila penyelesaiannya masih memuat parameter pinalti yaitu
, maka membutuhkan metode
penyelesaian lebih lanjut seperti metode newton atau metode steepest descent.
75
Kelebihannya yaitu proses memperoleh hasil optimal yang cepat apabila parameter penalti sudah tidak ada seperti masalah pada tugas akhir ini. Nilai
optimal yang diperoleh sebesar 387,0586 kwintal. Kemudian
apabila melihat Tabel 3.4, jumlahan dari rata-rata produksi tanaman padi, ketela pohon dan jagung sejak tahun 1994 hingga 2014 belum pernah mencapai hasil yang optimal. Oleh karena itu, pemerintah dan masyarakat perlu meningkatkan luas panen tanaman pangan di kota Magelang, khususnya tanaman ketela pohon dan jagung yang semakin menurun tiap tahunnya.
76
