BAB II KAJIAN TEORI. berkaitan degan pemrograman linear, pemrograman nonlinear, fungsi konveks dan

BAB II KAJIAN TEORI Kajian teori pada bab ini membahas tentang pengertian dan penjelasan yang berkaitan degan pemrograman linear, pemrograman nonlinear, fungsi konveks dan konkaf, separable programming dan lagrange multiplier, teknik penarikan sampel, saham, teori portofolio, dan kinerja portofolio. Kajian teori dalam penelitian ini akan digunakan pada bab pembahasan selanjutnya. A. Pemrograman Linear Manusia selalu dihadapkan pada pilihan dan pengambilan keputusan. Pada penyelesaian masalah dan pengambilan keputusan banyak sekali yang berkaitan dengan optimalisasi. Optimalisasi dalam kehidupan manusia memiliki tujuan pada setiap usahanya yaitu memperoleh hasil yang optimum dengan modal sekecil mungkin (B Susanta, 1994:7). Riset operasi digunakan untuk mengalokasikan sumber daya maupun sumber dana yang jumlahnya terbatas sehingga lebih efektif dan efisien. Pemrograman linear merupakan salah satu teknik yang terdapat pada riset operasi dalam memecahkan permasalahan untuk mengalokasikan sumber daya yang ada menjadi seoptimal mungkin. Model permasalahan linear secara umum terdiri dari fungsi tujuan yang berupa persamaan linear atau hasil yang akan dicapai dan beberapa fungsi kendala berupa persedian sumber daya yang ada. Berikut diberikan definisi dari fungsi dan fungsi linear.

10

Definisi 2.1. Fungsi (Purcell, 1987:48). Sebuah fungsi f adalah suatu aturan korespondensi yang menghubungkan setiap obyek x dalam satu himpunan yang disebut daerah asal, dengan sebuah nilai tunggal f(x) dari himpunan ke dua. Himpunan nilai yang diperoleh secara demikian disebut daerah hasil fungsi tersebut. Ilustrasi fungsi diberikan pada Gambar 2.1 di bawah ini: 𝑋

𝑓

𝑌

1

a

2

b

3

c

Gambar 2. 1 Fungsi 𝑓: 𝑋 → 𝑌 Contoh 2.1 Jika 𝐹 adalah fungsi dengan aturan 𝐹(𝑥) = 𝑥 2 + 1 dan jika daerah asal dirinci sebagai {-1, 0, 1, 2, 3}, maka daerah hasilnya adalah {1, 2, 5, 10}. Definisi 2.2. Fungsi Linear (Winston, 2004:52). Fungsi 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) merupakan fungsi linear jika dan hanya jika fungsi f dapat dituliskan 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) = 𝑐1 𝑥1 + 𝑐2 𝑥2 + … + 𝑐𝑛 𝑥𝑛 dengan 𝑐1 , 𝑐2 , … , 𝑐𝑛 merupakan konstanta. Masalah pemrograman linear pada dasarnya memiliki ketentuanketentuan berikut ini (Winston, 2004:53): 1. Masalah pemrograman linear berkaitan dengan upaya memaksimumkan (pada umumnya keuntungan) atau meminimumkan (pada umumnya biaya)

11

yang disebut sebagai fungsi tujuan dari pemrograman linear. Fungsi tujuan ini terdiri dari variabel-variabel keputusan. 2. Terdapat kendala-kendala atau keterbatasan, yang membatasi pencapaian tujuan yang dirumuskan dalam pemrograman linear. Kendala-kendala ini dirumuskan dalam fungsi-fungsi kendala yang terdiri dari variabel-variabel keputusan yang menggunakan sumber-sumber daya yang terbatas. 3. Ada pembatasan tanda untuk setiap variabel dalam masalah ini. Untuk sebarang 𝑥𝑖 , pembatasan tanda menentukan 𝑥𝑖 harus non negatif (𝑥𝑖 ≥ 0). 4. Memiliki sifat linearitas. Sifat ini berlaku untuk semua fungsi tujuan dan fungsi-fungsi kendala. Pencapaian hasil yang optimal diselesaikan dengan penyelesaian persoalan secara matematis. Pemecahan persoalan secara matematis tersebut harus memenuhi kriteria sebagai berikut (Zulian, 1991:1): 1. Variabel keputusan non-negative 2. Adanya fungsi tujuan (objective function) dari variabel keputusan dan dapat digambarkan dalam satu set fungsi linear. 3. Terdapat kendala atau keterbatasan sumber daya maupun sumber dana yang dapat digambarkan dalam satu set fungsi linear. Pemrograman linear merupakan salah satu teknik atau metode riset operasi yang digunakan untuk mendapatkan hasil yang optimal. Hasil tersebut dapat berbentuk memaksimumkan maupun meminimumkan suatu fungsi tujuan dengan kendala-kendala berupa fungsi linear.

12

Secara umum, masalah pemrograman linear dapat didefinisikan sebagai berikut (Susanta, 1994:6): Mencari 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 yang memaksimumkan/meminimumkan 𝑓 = 𝑐1 𝑥1 + 𝑐2 𝑥2 + … + 𝑐𝑛 𝑥𝑛

(2.1)

dengan kendala 𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + … + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 (≤, =, ≥)𝑏1

(2.2a)

𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + … + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 (≤, =, ≥)𝑏2

(2.2b)

⋮ 𝑎𝑚1 𝑥1 + 𝑎𝑚2 𝑥2 + … + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 (≤, =, ≥)𝑏𝑚

(2.2c)

𝑥1 ≥ 0, 𝑥2 ≥ 0, … , 𝑥𝑛 ≥ 0.

(2.2d)

Masalah pemrograman linear (2.1) dan (2.2) dapat dituliskan ulang sebagai berikut Mencari 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 yang memaksimumkan/meminimumkan 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) = ∑𝑛𝑗=1 𝑐𝑗 𝑥𝑗

(2.3)

dengan kendala 𝑔(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) = ∑𝑛𝑗=1 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗 (≤, =, ≥)𝑏𝑖 , ∀𝑖, 𝑖 = 1, 2, … , 𝑚

13

(2.4a)

𝑥𝑗 ≥ 0, ∀𝑗, 𝑗 = 1, 2, … , 𝑛.

(2.4b)

Fungsi 𝑓(𝑥) pada permasalahan pemrograman linear sebagai fungsi tujuan yang akan dioptimalkan. Persamaan maupun pertidaksamaan kendala yang menjadi batasan pencapaian fungsi tujuan disebut fungsi kendala utama. Sedangkan syarat nilai variabel keputusan harus lebih dari atau sama dengan nol (𝑥𝑗 ≥ 0) disebut kendala-kendala tidak negatif. Setiap kendala dapat berbentuk persamaan maupun pertidaksamaan. Fungsi-fungsi kendala dapat bertanda sama dengan (=), lebih kecil atau sama dengan (≤), lebih besar atau sama dengan (≥), atau kombinasi diantaranya (sebagian fungsi kendala bertanda ≤ dan sebagian lainnya bertanda ≥). Penyelesaian masalah pemrograman linear saat ini dapat diperoleh dengan beberapa metode di antaranya yaitu metode aljabar, metode grafik, metode simpleks atau dengan menggunakan perangkat lunak komputer (QSB, excel, dan matlab). B. Pemrograman Nonlinear Banyak kasus dalam penyelesaian masalah optimalisasi yang modelnya tidak dapat dinyatakan dalam bentuk linear. Model yang berkaitan dengan bentuk fungsi tujuan dan fungsi kendala, pada sebagian atau seluruh fungsi tersebut merupakan fungsi nonlinear. Fungsi nonlinear dapat berbentuk fungsi kuadrat, fungsi eksponen, fungsi logaritma, fungsi pecahan dan lain-lain. Pemrograman nonlinear merupakan salah satu teknik dari riset operasi untuk menyelesaikan permasalahan optimalisasi dengan fungsi tujuan yang

14

berbentuk nonlinear dan fungsi kendala berbentuk nonlinear atau linear (Bazaraa, 2006:1). Memilih 𝑛 variabel keputusan 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 dari daerah layak yang diberikan untuk mengoptimasi (maksimum atau minimum) fungsi tujuan yang diberikan. Daerah layak adalah himpunan dari nilai-nilai (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) yang memenuhi sejumlah m kendala. Permasalahan pemrograman nonlinear secara umum dapat didefinisikan sebagai berikut (Bradley, 1976) Memaksimumkan atau meminimumkan fungsi tujuan 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , , … , 𝑥𝑛 )

(2.5)

Pemrograman nonlinear bentuk memaksimumkan atau meminimumkan dapat ditulis sebagai berikut: Memaksimumkan/Meminimumkan 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , , … , 𝑥𝑛 )

(2.6)

dengan kendala 𝑔1 (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 )(≤, =, ≥)𝑏1

(2.7a)

𝑔2 (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 )(≤, =, ≥)𝑏2

(2.7a)

⋮ 𝑔𝑚 (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 )(≤, =, ≥)𝑏𝑚 .

(2.7b)

Batasan non negatif pada variabel dapat dengan menambahkan kendala non negatif sebagi berikut: 𝑥1 ≥ 0, 𝑥2 ≥ 0, … , 𝑥𝑛 ≥ 0.

(2.8)

15

Persamaan (2.6) sampai dengan Persamaan (2.8) dapat dituliskan dalam bentuk masalah optimalisasi yang lebih sederhana sebagai berikut: Memaksimumkan/Meminimumkan 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , , … , 𝑥𝑛 )

(2.9)

dengan kendala 𝑔𝑖 (𝑥)(≤, =, ≥)𝑏𝑖 , ∀ 𝑖 = 1,2, 3, … , 𝑚

(2.10a)

𝑥𝑗 ≥ 0, ∀ 𝑗 = 1,2,3, … , 𝑛.

(2.10b)

Jika permasalahan tidak dapat dimodelkan dalam pemrograman linear maka permasalahan berbentuk pemrograman nonlinear. Terdapat beberapa hal yang

menyebabkan

sifat

ketidaklinearan.

Permasalahan

berbentuk

pemrograman nonlinear dengan fungsi tujuan dan kendalanya mempunyai bentuk nonlinear pada salah satu atau keduanya. Sebagai contoh dalam suatu perusahaan besar yang kemungkinan menghadapi elastisitas harga atau banyak barang yang dijual berbanding terbalik dengan harganya. Artinya semakin sedikit produk yang dihasilkan maka semakin mahal harganya. Oleh karena itu, kurva harga permintaan akan terlihat seperti kurva dalam Gambar 2.2, dengan 𝑝(𝑥) adalah harga yang ditetapkan agar terjual x satuan barang. Jika biaya satuan untuk memproduksi barang tersebut adalah konstan yaitu c, maka keuntungan perusahaan tersebut dalam memproduksi dan menjual 𝑥 satuan barang akan dinyatakan oleh fungsi nonlinear berikut (Hillier , 2001:655) 𝑃(𝑥) = 𝑥𝑝(𝑥) − 𝑐𝑥.

(2.11)

Gambar 2.3 terlihat misalkan setiap produk dari x jenis produknya mempunyai fungsi keuntungan yang serupa, didefinisikan 𝑃𝑗 (𝑥𝑗 ) untuk

16

produksi dan penjualan 𝑥𝑗 satuan dari produk 𝑗 dimana (𝑗 = 1, 2, … , 𝑛), maka secara lengkap fungsi tujuannya yaitu 𝑓(𝑥) = ∑𝑛𝑗=1 𝑃𝑗 (𝑥𝑗 ) merupakan penjumlahan dari beberapa fungsi nonlinear. P(x)

c

Biaya Satuan

Permintaan

x

Gambar 2. 2 Kurva Harga Permintaan P(x)

P(x)=x [p(x)- c]

x Banyak Barang

Gambar 2. 3 Fungsi Keuntungan Alasan lain yang menyebabkan sifat ketidaklinearan muncul pada fungsi tujuan, disebabkan oleh kenyataan bahwa biaya tambahan (biaya marginal)

17

untuk memproduksi satu satuan barang tergantung pada tingkat produksi. Sebagai contoh, biaya marginal akan turun apabila tingkat produksi naik. Di lain pihak, biaya marginal dapat saja naik karena dalam ukuran tertentu, seperti fasilitas lembur atau harga barang mahal, sehingga perlu menaikkan produksi. Sifat ketidaklinearan dapat juga muncul pada fungsi kendala 𝑔𝑖 (𝑥) dengan cara yang sama. Sebagai contoh, apabila terdapat kendala anggaran dalam biaya produksi total, maka fungsi biaya akan menjadi nonlinear jika biaya marginal berubah. Kendala 𝑔𝑖 (𝑥) akan berbentuk nonlinear apabila terdapat penggunaan yang tidak sebanding antara sumber daya dengan tingkat produksi dari masing-masing produksi. C. Fungsi Konveks dan Konkaf Konsep konveks merupakan hal yang penting dalam permasalahan optimalisasi (Bazaraa, 2006:39). Definisi 2.3 (Luenberger, 1984). Misalkan 𝑥1 , 𝑥2 𝜖 𝑅 𝑛 . Titik-titik dengan bentuk 𝜆𝑥1 + (1 − 𝜆)𝑥2 untuk 𝜆 ∈ [0,1] disebut kombinasi konveks dari 𝑥1 dan 𝑥2 . Definisi 2.4 (Bazaraa, 2006:40). Himpunan S yang tidak kosong di 𝑅 𝑛 adalah himpunan konveks jika segmen garis yang menghubungkan dua titik berada dalam himpunan. Dengan kata lain, jika 𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝑆 maka 𝜆𝑥1 + (1 − 𝜆)𝑥2 juga anggota S untuk 𝜆 ∈ [0,1].

18

Definisi 2.5 Fungsi Konveks (Bazaraa, 2006:98). Diketahui 𝑓: 𝑆 → 𝑅, dengan S adalah himpunan konveks yang tidak kosong di 𝑅 𝑛 . Fungsi f(x) dikatakan fungsi konveks di S jika 𝑓(𝜆𝑥1 + (1 − 𝜆)𝑥2 ) ≤ 𝜆𝑓(𝑥1 ) + (1 − 𝜆)𝑓(𝑥2 ) untuk setiap 𝑥1 , 𝑥2 𝜖𝑆 dan untuk 𝜆 ∈ [0,1]. Definisi 2.6 Fungsi Konkaf (Luenberger, 1984:192). Fungsi f(x) dikatakan fungsi konkaf jika untuk setiap 𝑥1 , 𝑥2 𝜖 𝑆, dengan S adalah himpunan konveks dan setiap 𝜆 ∈ [0,1] berlaku 𝑓(𝜆𝑥1 + (1 − 𝜆)𝑥2 ) ≥ 𝜆𝑓(𝑥1 ) + (1 − 𝜆)𝑓(𝑥2 ). Perbedaan fungsi konveks dan konkaf tampak pada gambar di bawah ini: A B

A

B Konkaf Konveks

Gambar 2. 4 Fungsi Konveks dan Fungsi Konkaf D. Separable Programming 1. Pengertian Separable Programming Separable Programming merupakan salah satu metode dalam penyelesaian pemrograman nonlinear dengan cara mengubah bentuk fungsi nonlinear menjadi linear yang hanya memuat satu variabel saja. Separable Programming memisahkan fungsi yang berbentuk nonlinear menjadi fungsi-

19

fungsi dengan variabel tunggal. Misalnya dalam kasus dua variabel fungsi 𝑓(𝑥, 𝑦) dapat dipisahkan menjadi ℎ(𝑥) + 𝑔(𝑦). Suatu fungsi 𝑓(𝑥) dapat dikatakan separable apabila fungsi tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk penjumlahan dari fungsi-fungsi yang hanya memuat satu variabel, selengkapnya didefinisikan sebagai berikut (Bazaraa, 2006:684) 𝑓(𝑥̂) = 𝑓(𝑥1 , 𝑥2, … , 𝑥𝑛 ) = 𝑓1 (𝑥1 ) + 𝑓2 (𝑥2 ) + ⋯ + 𝑓𝑛 (𝑥𝑛 ) = ∑𝑛𝑗=1 𝑓𝑗 (𝑥𝑗 )

(2.12)

Selanjutnya masalah separable programming pada Persamaan (2.12) dapat ditulis sebagai Masalah P sebagai berikut: Masalah P Memaksimalkan/meminimalkan 𝑍 = ∑𝑛𝑗=1 𝑓𝑗 (𝑥𝑗 )

(2.13)

dengan kendala ∑𝑛𝑗=1 𝑔𝑖𝑗 (𝑥𝑗 ) (≤, =, ≥)𝑏𝑗 , 𝑖 = 1, 2, … , 𝑚

(2.14a)

𝑥𝑗 ≥ 0; (𝑗 = 1,2, … , 𝑛).

(2.14b)

Fungsi pada Persamaan (2.13) sampai dengan Persamaan (2.14b) dapat diselesaikan dengan separable programming. Suatu fungsi dapat dikatakan separable jika fungsi tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk penjumlahan dari fungsi-fungsi yang memuat satu variabel yang dapat dituliskan sebagai berikut: 𝑍 = 𝑓1 (𝑥1 ) + 𝑓2 (𝑥2 ) + ⋯ + 𝑓𝑛 (𝑥𝑛 )

20

(2.15)

𝑔𝑖𝑗 (𝑥𝑗 ): 𝑔11 (𝑥1 ) + 𝑔12 (𝑥2 ) + ⋯ + 𝑔1𝑛 (𝑥𝑛 )(≤, =, ≥)𝑏1

(2.16a)

𝑔21 (𝑥1 ) + 𝑔22 (𝑥2 ) + ⋯ + 𝑔2𝑛 (𝑥𝑛 )(≤, =, ≥)𝑏2

(2.16b)

𝑔𝑚1 (𝑥1 ) + 𝑔𝑚2 (𝑥2 ) + ⋯ + 𝑔𝑚𝑛 (𝑥𝑛 )(≤, =, ≥)𝑏𝑚

(2.16c)

dan 𝑥1 , 𝑥2, … , 𝑥𝑛 ≥ 0.

(2.16d)

Jadi Persamaan (2.15) sampai dengan Persamaan (2.16d) adalah persamaan fungsi tujuan dan fungsi kendala yang berbentuk separable. Contoh 2.2 Diberikan pemrograman nonlinear Memaksimumkan 𝑍 = 30 𝑥1 + 35 𝑥2 − 2 𝑥1 2 − 3 𝑥2 2 dengan kendala 𝑥1 2 + 2𝑥2 2 ≤ 250 𝑥1 + 𝑥2 ≤ 20 𝑥1 , 𝑥2 ≥ 0. Diperoleh masalah separable programming dari fungsi tujuan dan kendala dari Contoh 2.2 sebagai berikut 𝑓1 (𝑥1 ) = 30𝑥1 − 2𝑥1 2 𝑓2 (𝑥2 ) = 35𝑥2 − 3𝑥2 2 𝑔11 (𝑥1 ) = 𝑥1 2 , 𝑔12 (𝑥2 ) = 2𝑥2 2 , 𝑔21 (𝑥1 ) = 𝑥1 , dan 𝑔22 (𝑥2 ) = 𝑥2 .

21

Contoh 2.3 2

Memaksimumkan 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 ) = 20𝑥1 + 16𝑥2 − 2𝑥1 − 𝑥2 2 − (𝑥1 + 𝑥2 )2 dengan kendala 𝑥1 + 𝑥2 ≤ 5 𝑥1 , 𝑥2 ≥ 0. Permasalahan pada fungsi tujuan tidak dapat berbentuk separable, karena terdapat (𝑥1 + 𝑥2 )2 . Diberikan 𝑥3 = 𝑥1 + 𝑥2 dan bentuk fungsi tujuan dan kendala dari Contoh 2.3 yang dapat berbentuk separable diperoleh sebagai berikut: 2

Memaksimumkan 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ) = 20𝑥1 + 16𝑥2 − 2𝑥1 − 𝑥2 2 − 𝑥3 2 dengan kendala 𝑥1 + 𝑥2 ≤ 5 𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 = 0 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ≥ 0. Fungsi tujuan dapat dituliskan sebagai 𝑓(𝑥) = 𝑓1 (𝑥1 ) + 𝑓2 (𝑥2 ) + 𝑓3 (𝑥3 ), dimana 𝑓1 (𝑥1 ) = 20𝑥1 − 2𝑥1 2 𝑓2 (𝑥2 ) = 16𝑥2 − 𝑥2 2 𝑓3 (𝑥3 ) = −𝑥3 2 .

22

2. Hampiran Fungsi Linear Sepotong-sepotong Penyelesaian dalam masalah separable programming dapat dilakukan dengan menggunakan beberapa metode diantaranya adalah metode cutting plane, pemrograman dinamik, hampiran fungsi linear sepotong-sepotong, dan lain-lain. Keakuratan dari metode hampiran linear sepotong-sepotong dipengaruhi oleh banyaknya titik kisi. Ada dua cara dalam hampiran fungsi linear sepotong-sepotong, yaitu dengan formulasi lambda (𝜆) dan formulasi delta (𝛿) (Bazaraa, 2006:685). Formulasi lambda merupakan formulasi hampiran setiap titik kisi dengan menggunakan variabel lambda sedangkan formulasi delta merupakan formulasi hampiran untuk setiap interval di antara titik kisi. Penelitian ini membahas penyelesaian pemrograman nonlinear dengan menggunakan separable programming hampiran fungsi linear sepotongsepotong lambda. Sebelum membahas mengenai formulasi lambda terlebih dahulu dibahas mengenai ruas garis. Didefinisikan 𝑓(𝑥) merupakan fungsi nonlinear yang kontinu, dengan 𝑥 pada interval [a,b]. Akan didefinisikan fungsi linear sepotong-sepotong 𝑓̂ yang merupakan hampiran fungsi 𝑓 pada interval [a,b]. Selanjutnya interval [a,b] dipartisi menjadi interval-interval yang lebih kecil, dengan titik kisi (grid pont) 𝑎 = 𝑥1 , 𝑥2, … , 𝑥𝑘 = 𝑏. Pada Gambar 2.5 titik-titik kisi tidak harus mempunyai jarak yang sama. Berikut diberikan definisi ruas garis untuk menjelaskan hubungan antara dua titik kisi.

23

Definisi 2.7 Ruas Garis (Bazaraa, 2006:684). Diberikan 𝑥̅1 , 𝑥̅ 2 𝜖 𝑅. Himpunan 𝑆 = {𝑥̅ |𝑥̅ = 𝜆𝑥̅1 + (1 − 𝜆)𝑥̅2 , 0 ≤ 𝜆 ≤ 1}

disebut

ruas

garis

yang

menghubungkan 𝑥̅1 dan 𝑥̅2 . Gambar 2.5 fungsi linear sepotong-sepotong sebagai hampiran fungsi nonlinear 𝑓 pada interval [𝑥𝑣 , 𝑥𝑣+1 ] dengan lima titik kisi.

𝑓 𝑓(𝑥)

𝑎 = 𝑥1

𝑥𝑣

𝑥

𝑥 𝑣 +1

𝑏 = x𝑘

Gambar 2. 5 Fungsi Linear Sepotong-Sepotong sebagai Hampiran Fungsi Nonlinear dengan Lima Titik Kisi Misalkan 𝑥 merupakan titik kisi pada ruas garis yang menghubungkan 𝑥𝑣 dengan 𝑥𝑣+1 , berdasarkan Definisi 2.7 𝑥 dapat dituliskan sebagai berikut 𝑥 = 𝜆(𝑥𝑣 ) + (1 − 𝜆)(𝑥𝑣+1 ) untuk 𝜆𝜖[0,1].

(2.17)

Berdasarkan Persamaan (2.17), fungsi 𝑓(𝑥) dapat dihampiri oleh interval 𝑓(𝑥𝑣 ) dan 𝑓(𝑥𝑣+1 ) dengan cara berikut 𝑓̂(𝑥) = 𝜆𝑓(𝑥𝑣 ) + (1 − 𝜆)𝑓(𝑥𝑣+1 ).

(2.18)

Pada Gambar 2.6 untuk sembarang fungsi 𝑓 didefinisikan pada interval [a,b], maka selanjutnya interval dipartisi menjadi beberapa titik kisi dengan titik kisi 𝑎 = 𝑥1 , 𝑥2, … , 𝑥𝑘 = 𝑏. Pada 𝑥1 dihampiri oleh 𝑓̂(𝑥1 ), 𝑥2 dihampiri 𝑓̂(𝑥2 ), 𝑥𝑣 dihampiri 𝑓̂(𝑥𝑣 ) dan seterusnya. Titik-titik kisi tidak harus mempunyai jarak yang sama.

24

𝑓

𝑓(𝑥2 )

𝑓(𝑥1 ) ( ̂

𝑎 = 𝑥1

𝑓(𝑥𝑣 )

𝑓(𝑥)

(

(

̂

̂

(

𝑥2

𝑥𝑣

𝑥

𝑥𝑣+1

𝑏 = 𝑥k

Gambar 2. 6 Fungsi Linear Sepotong-sepotong sebagai Hampiran Fungsi Nonlinear dengan Formulasi Lambda Secara umum hampiran linear dari fungsi f(x) untuk titik-titik kisi 𝑥1 , 𝑥2, … , 𝑥𝑘 didefinisikan sebagai berikut 𝑓̂(𝑥) = ∑𝑘𝑣=1 𝑓(𝑥𝑣 ) 𝜆𝑣 , ∑𝑘𝑣=1 𝜆𝑣 = 1, 𝜆𝑣 ≥ 0.

(2.19)

Dengan 𝑥 yang diperoleh berdasarkan pada Persamaan (2.17) yaitu 𝑥 = ∑𝑘𝑣=1 𝑥𝑣 𝜆𝑣 , untuk 𝑣 = 1, 2, 3, … , 𝑘

(2.20)

dan terdapat paling sedikit satu 𝜆𝑣 tidak nol atau paling banyak dua 𝜆𝑣 , 𝜆𝑣+1 tidak nol dan berdampingan. Secara umum, dalam setiap dua titik kisi diperoleh satu hampiran sehingga total dari semua hampiran tersebut merupakan hampiran untuk fungsi nonlinear tersebut. Masalah pengoptimuman yang menghampiri masalah P dapat dilakukan dengan mengganti fungsi 𝑓𝑗 dan 𝑔𝑖𝑗 yang nonlinear dengan fungsi linear sepotong-sepotong. Didefinisikan 𝐿 = {𝑗|𝑓𝑗 𝑑𝑎𝑛 𝑔𝑖𝑗 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖 = 1, 2, … , 𝑚}. Didefinisikan titik-titik kisi 𝑥𝑣𝑗 untuk 𝑣 = 1,2, … , 𝑘 pada interval [𝑎𝑗 , 𝑏𝑗 ] dengan 𝑎𝑗 , 𝑏𝑗 ≥ 0 untuk setiap 𝑗 ∉ 𝐿.

25

Berdasarkan Persamaan (2.19) dengan titik-titik kisi 𝑥𝑣𝑗 fungsi 𝑓𝑗 pada Persamaan (2.13) dan 𝑔𝑖𝑗 pada Persamaan (2.14a) serta Persamaan (2.14b), untuk 𝑓𝑗 dengan 𝑖 = 1,2, … , 𝑚; 𝑗 ∉ 𝐿, maka diperoleh hampiran-hampiran linearnya yaitu 𝑓̂𝑗 (𝑥𝑗 ) = ∑𝑘𝑣=1 𝑓𝑗 (𝑥𝑣𝑗 ) 𝜆𝑣𝑗 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑗 ∉ 𝐿

(2.21)

𝑔̂𝑖𝑗 (𝑥𝑗 ) = ∑𝑘𝑣=1 𝑔𝑖𝑗 (𝑥𝑣𝑗 ) 𝜆𝑣𝑗 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖 = 1,2, … , 𝑚; 𝑗 ∉ 𝐿

(2.22a)

Dengan ∑𝑘𝑣=1 𝜆𝑣𝑗 = 1

(2.22b)

𝜆𝑣𝑗 ≥ 0 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑣 = 1,2, … , 𝑘

(2.22c)

dengan 𝑥𝑗 yang diperoleh berdasarkan pada Persamaan (2.20) yaitu 𝑥𝑗 = ∑𝑘𝑣=1 𝜆𝑣𝑗 (𝑥𝑣𝑗 ).

(2.23)

Untuk mempermudah penulisan, hampiran Masalah P ditulis dengan Masalah AP. Berdasarkan Persamaan (2.21), Masalah AP dapat didefinisikan sebagai berikut (Bazaraa, 2006:686) Masalah AP Memaksimumkan/meminimumkan 𝑍 = ∑𝑗∈𝐿 𝑓𝑗 (𝑥𝑗 ) + ∑𝑗∉𝐿 𝑓̂𝑗 (𝑥𝑗 )

(2.24)

Terhadap kendala ∑𝑗∈𝐿 𝑔𝑖𝑗 (𝑥𝑗 ) + ∑𝑗∉𝐿 𝑔̂𝑖𝑗 (𝑥𝑗 ) (≤, =, ≥)𝑏𝑖 , (𝑖 = 1, 2, … , 𝑚)

(2.25a)

𝑥𝑗 ≥ 0 untuk 𝑗 = 1, 2, … , 𝑛

(2.25b)

.

Perhatikan bahwa fungsi tujuan dan fungsi kendala pada masalah AP adalah fungsi linear sepotong-sepotong.

26

Berdasarkan Persamaan (2.21) sampai dengan Persamaan (2.22c), Masalah AP pada Persamaan (2.24) sampai dengan (2.25b) dapat ditulis ulang sebagai masalah LAP sebagai berikut Masalah LAP Memaksimumkan/meminimumkan 𝑍 = ∑𝑗∈𝐿 𝑓𝑗 (𝑥𝑗 ) + ∑𝑗∉𝐿 ∑𝑘𝑣=1 𝑓𝑗 (𝑥𝑣𝑗 ) 𝜆𝑣𝑗

(2.26)

Terhadap kendala ∑𝑗∈𝐿 𝑔𝑖𝑗 (𝑥𝑗 ) + ∑𝑗∉𝐿 ∑𝑘𝑣=1 𝑔𝑖𝑗 (𝑥𝑣𝑗 ) 𝜆𝑣𝑗 (≤, =, ≥)𝑏𝑖 , (𝑖 = 1, 2, … , 𝑚)(2.27a) ∑𝑘𝑣=1 𝜆𝑣𝑗 = 1

(2.27b)

𝜆𝑣𝑗 ≥ 0 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑣 = 1,2, … , 𝑘

(2.27c)

dan terdapat paling sedikit satu 𝜆𝑣𝑗 tidak nol atau paling banyak dua 𝜆𝑣𝑗 , 𝜆(𝑣+1)𝑗 tidak nol dan berdampingan. Pada fungsi tujuan dan kendala dari Persamaan (2.26) sampai dengan (2.27c) disebut sebagai Masalah LAP yang berbentuk linear. Oleh karena itu, Masalah LAP dapat diselesaikan dengan metode simpleks biasa. Penelitian ini menyelesaian pemrograman linear menggunakan metode simpleks biasa dengan bantuan Excel Solver. Mendapatkan penyelesaian optimal dengan metode simpleks pada masalah maksimasi dalam bentuk separable programming harus memenuhi syarat bahwa setiap 𝑓𝑗 (𝑥𝑗 ) harus konkaf dan

27

setiap 𝑔𝑖𝑗 (𝑥𝑗 ) adalah konveks, sedangkan pada masalah minimasi 𝑓𝑗 (𝑥𝑗 ) harus konveks dan setiap 𝑔𝑖𝑗 (𝑥𝑗 ) adalah konveks (Winston,2004 :714). Pada penyelesaian separable programming berlaku sebagai berikut: Teorema 2.1 (Bazaraa, 2006:689). Jika 𝑥𝑗 = ∑𝑘𝑣=1 𝜆𝑣𝑗 (𝑥𝑣𝑗 ) untuk 𝑗 ∉ 𝐿 merupakan penyelesaian layak pada Persamaan (2.26) sampai dengan Persamaan (2.27), maka 𝑥𝑗 , 𝑗 = 1,2,3, … 𝑛 juga merupakan penyelesaian layak pada Persamaan (2.13)-(2.14). Bukti: Berdasarkan Definisi 2.5, karena 𝑔𝑖𝑗 konveks dengan 𝑗 ∉ 𝐿 untuk setiap 𝑖 = 1,2,3, … 𝑚 dan untuk 𝑥𝑣𝑗 dengan 𝑗 ∉ 𝐿, 𝑣 = 1,2,3, … , 𝑘 diperoleh 𝑔𝑖 (𝑥𝑗 ) = ∑ 𝑔𝑖𝑗 (𝑥𝑗 ) + ∑ 𝑔𝑖𝑗 (𝑥𝑗 ) 𝑗∈𝐿

𝑗∉𝐿

𝑘

= ∑ 𝑔𝑖𝑗 (𝑥𝑗 ) + ∑ 𝑔𝑖𝑗 (∑ 𝜆𝑣𝑗 (𝑥𝑣𝑗 ) ) 𝑗∈𝐿

𝑗∉𝐿

𝑣=1

= ∑ 𝑔𝑖𝑗 (𝑥𝑗 ) + ∑ 𝑔𝑖𝑗 ((𝜆1𝑗 𝑥1𝑗 + 𝜆2𝑗 𝑥2𝑗 + 𝜆3𝑗 𝑥3𝑗 + ⋯ + 𝜆𝑘𝑗 𝑥𝑘𝑗 ) 𝑗∈𝐿

𝑗∉𝐿

≤ ∑ 𝑔𝑖𝑗 (𝑥𝑗 ) + ∑ 𝜆1𝑗 𝑔𝑖𝑗 (𝑥1𝑗 ) + 𝜆2𝑗 𝑔𝑖𝑗 (𝑥2𝑗 ) + 𝜆3𝑗 𝑔𝑖𝑗 (𝑥3𝑗 ) + ⋯ + 𝜆𝑘𝑗 𝑔𝑖𝑗 (𝑥𝑘𝑗 ) 𝑗∈𝐿

𝑗∉𝐿

𝑘

= ∑ 𝑔𝑖𝑗 (𝑥𝑗 ) + ∑ ∑ 𝜆𝑣𝑗 𝑔𝑖𝑗 (𝑥𝑣𝑗 ) ≤ 𝑏𝑖 . 𝑗∈𝐿

𝑗∉𝐿 𝑣=1

28

Untuk 𝑖 = 1,2,3, … 𝑚 selanjutnya 𝑥𝑗 ≥ 0 untuk 𝑗 ∈ 𝐿 dan 𝑥𝑗 = ∑𝑘𝑣=1 𝜆𝑣𝑗 𝑥𝑣𝑗 ≥ 0 untuk j∉ 𝐿, karena 𝜆𝑣𝑗 , 𝑥𝑣𝑗 ≥ 0; 𝑣 = 1,2,3, … 𝑘; 𝑗 ∉ 𝐿. Jadi terbukti 𝑥𝑗 merupakan penyelesaian yang layak pada Persamaan (2.13)-(2.14). E. Lagrangre Multiplier Sebelum membahas mengenai metode lagrangre multiplier terlebih dahulu dibahas mengenai turunan parsial dan titik kritis. Definisi 2.8 (Purcell, 1987). Jika 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) terdefinisi dalam domain D di bidang XY, sedangkan turunan pertama f terhadap x dan y di setiap titik (x,y) ada, maka Turunan pertama 𝑓 di 𝑥 adalah 𝜕𝑓 𝜕𝑥

𝑓(𝑥+∆𝑥,𝑦)−𝑓(𝑥,𝑦)

= 𝑙𝑖𝑚

∆𝑥→0

∆𝑥

.

Turunan pertama 𝑓 di y adalah 𝜕𝑓 𝑓(𝑥, 𝑦 + ∆𝑦) − 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑙𝑖𝑚 . ∆𝑥→0 𝜕𝑦 ∆𝑦

Dapat dinotasikan sebagai 𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝜕𝑓 𝜕𝑦

=

𝜕𝑓(𝑥,𝑦)

=

𝜕𝑓(𝑥,𝑦) 𝜕𝑦

𝜕𝑥

= 𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦)

= 𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦).

29

Turunan parsial fungsi 𝑛 variabel, diberikan fungsi 𝑛 variabel dari 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , … , 𝑥𝑛 dengan persamaan 𝑤 = 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3, … , 𝑥𝑛 ), maka turunanturunan parsialnya yaitu: 𝜕𝑤 𝜕𝑤 𝜕𝑤 𝜕𝑤 = 𝑓𝑥1 , = 𝑓𝑥2 , = 𝑓𝑥3 , … , = 𝑓𝑥𝑛 . 𝜕𝑥1 𝜕𝑥2 𝜕𝑥3 𝜕𝑥𝑛 Diberikan untuk fungsi tiga variabel dari x, y, z dengan persamaan 𝑤 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧), maka turunan-turunan parsialnya yaitu: 𝜕𝑤 𝜕𝑤 𝜕𝑤 = 𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦, 𝑧), = 𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦, 𝑧), = 𝑓𝑧 (𝑥, 𝑦, 𝑧). 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 Turunan parsial derajat dua, notasi turunan parsial derajar dua fungsi 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) dinyatakan dalam simbol- simbol berikut: 𝜕2 𝑧 𝜕𝑥 2

𝜕

𝜕𝑧

𝜕

𝜕𝑓

= 𝜕𝑥 (𝜕𝑥) = 𝑧𝑥𝑥 = 𝑓𝑥𝑥 = 𝜕𝑥 (𝜕𝑥 )

𝜕2𝑧 𝜕 𝜕𝑧 𝜕 𝜕𝑓 = ( ) = 𝑧𝑦𝑦 = 𝑓𝑦𝑦 = ( ) 2 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕2𝑧 𝜕 𝜕𝑧 𝜕 𝜕𝑓 = ( ) = 𝑧𝑦𝑥 = 𝑓𝑦𝑥 = ( ) 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕2𝑧 𝜕 𝜕𝑧 𝜕 𝜕𝑓 = ( ) = 𝑧𝑥𝑦 = 𝑓𝑥𝑦 = ( ). 𝜕𝑦𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑥

Teorema 2.2 Titik Kritis (Purcell, 2010:248). Andaikan fungsi f didefinisikan pada selang I yang memuat titik c. Jika f(c) adalah nilai ekstrem, maka c haruslah berupa suatu titik kritis, yakni c berupa salah satu dari: a. Titik ujung dari I b. Titik stasioner dari f, (f’(c)=0) atau c. Titik singular dari f, (f’(c) tidak ada).

30

Bukti: Dengan 𝑓(𝑐) berupa nilai maksimum f pada I, maka 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑐) untuk semua x dalam I, yaitu 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑐) ≤ 0. Jika 𝑥 < 𝑐 sehingga 𝑥 − 𝑐 < 0, maka 𝑓(𝑥)−𝑓(𝑐) 𝑥−𝑐

≥0

(2.28)

Sedangkan jika 𝑥 > 𝑐, maka 𝑓(𝑥)−𝑓(𝑐) 𝑥−𝑐

≤0

(2.29)

Akan tetapi, 𝑓 ′ (𝑐) ada karena 𝑐 bukan titik singular. Akibatnya, apabila 𝑥 → 𝑐 − dalam Persamaan (2.28) dan 𝑥 → 𝑐 − dalam Persamaan (2.29), maka diperoleh 𝑓 ′ (𝑐) ≥ 0 dan 𝑓 ′ (𝑐) ≤ 0. Sehingga dapat disimpulkan bahwa 𝑓 ′ (𝑐) = 0. Titik kritis untuk penyelesaian program nonlinear dapat digolongkan sebagai maksimum atau minimum lokal. Teorema 2.3 (Hillier, 2001:664). Jika 𝑓(𝑥) adalah fungsi konkaf, maka titik kritis dari fungsi tersebut pasti merupakan maksimum global. Bukti: Perhatikan masalah optimalisasi berikut Maksimum 𝑓(𝑥) Dengan kendala 𝑥 𝜖 𝑆

31

Jika 𝑆 adalah himpunan konveks , 𝑓: 𝑆 → 𝑅 adalah fungsi konkaf dan 𝑥̅ adalah titik maksimum lokal untuk masalah optimalisasi maka 𝑥̅ adalah titik maksimum global dari 𝑓(𝑥) pada himpunan 𝑆. Misalkan 𝑥̅ bukan titik maksimum global atau 𝑥̅ titik maksimum lokal, maka terdapat 𝑦 𝜖 𝑆 yang memenuhi 𝑓(𝑦) > 𝑓(𝑥̅ ). Sebut saja 𝑦(𝜆) = 𝜆𝑥̅ + (1 − 𝜆)𝑦 yang merupakan kombinasi konveks dari 𝑥̅ dan 𝑦, untuk 𝜆 𝜖 [0,1]. Hal ini mengakibatan 𝑦(𝜆)𝜖 𝑆, untuk 𝜆 𝜖 [0,1]. 𝑓(𝑥̅ ) adalah fungsi konkaf dan berdasarkan Definisi 2.6 maka berlaku 𝑓(𝑦(𝜆)) = 𝑓 (𝜆𝑥̅ + (1 − 𝜆)𝑦) ≥ 𝜆𝑓(𝑥̅ ) + (1 − 𝜆)𝑓(𝑦) > 𝜆𝑓(𝑥̅ ) + (1 − 𝜆)𝑓(𝑥̅ ) = 𝑓(𝑥̅ ) untuk setiap 𝜆 𝜖 [0,1]. Hal ini kontradiksi dengan asumsi bahwa 𝑥̅ adalah maksimum lokal. Dengan demikian haruslah 𝑥̅ merupakan titik maksimum global. Fungsi lagrange merupakan metode penyelesaian masalah optimalisasi dalam penentuan harga ekstrem, dengan batasan-batasan (constrains) tertentu (Purcell, 1987:303). 1. Satu Pengali Lagrange Prinsip dalam metode ini adalah mencari harga ekstrem (optimal) suatu fungsi objektif 𝑓(𝑥, 𝑦) dengan batasan-batasan tertentu yang harus dipenuhi, yaitu 𝑔(𝑥, 𝑦) = 0

32

Cara penyelesaian: Membentuk fungsi Lagrange 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝛾) = 𝑓(𝑥, 𝑦) + 𝛾𝑔(𝑥, 𝑦).

(2.30)

Dengan syarat ekstrem: 𝜕𝐹 𝜕𝑥

𝜕𝐹

𝜕𝐹

= 0, 𝜕𝑦 = 0, 𝜕𝛾 = 0.

(2.31)

Parameter 𝛾 inilah yang disebut pengali Lagrange. Contoh 2.4 Tentukan nilai minimum dari 𝑓 = 𝑥𝑦 + 2 𝑥𝑧 + 2 𝑦𝑧 dengan batasan fungsi kendala volume 𝑥 𝑦 𝑧 = 32. Penyelesaian dengan membentuk fungsi lagrange sebagai berikut: 𝐹 = (𝑥𝑦 + 2 𝑥𝑧 + 2 𝑦𝑧) + 𝛾(𝑥 𝑦 𝑧 − 32) Syarat ekstrem yang diperoleh, 𝜕𝐹 𝜕𝑥

𝜕𝐹 𝜕𝑦

𝜕𝐹 𝜕𝑧

= 𝑦+2𝑧 +𝛾𝑦𝑧 =0 ⇔ 𝛾 =

−(𝑦+2 𝑧)

=𝑥+2𝑧 +𝛾𝑥𝑧 =0⇔ 𝛾 =

−(𝑥+2 𝑧)

𝑦𝑧

= 2𝑥+2𝑦+𝛾𝑥𝑦 =0⇔ 𝛾 =

𝑥𝑧

−(2𝑥+2𝑦) 𝑥𝑦

Mencari nilai titik kritis, Menggunakan Persamaan (2.32a) dan Persamaan (2.32b), diperoleh −(𝑦+2 𝑧) 𝑦𝑧

=

−(𝑥+2 𝑧) 𝑥𝑧

⇔ 𝑥𝑦 + 2𝑥𝑧 = 𝑥𝑦 + 2𝑦𝑧 ⇔ 𝑥 = 𝑦.

33

(2.32a)

(2.32b)

(2.32c)

Selanjutnya dari Persamaan (2.32a) dan Persamaan (2.32c), diperoleh −(𝑦 + 2 𝑧) −(2𝑥 + 2𝑦) = ⇔ 𝑥𝑦 + 2𝑥𝑧 = 2𝑥𝑧 + 2𝑦𝑧 ⇔ 𝑥 = 2𝑧. 𝑦𝑧 𝑥𝑦 Hasil yang diperoleh kemudian disubstitusikan ke fungsi kendala, sehingga diperoleh: 𝑥𝑥

𝑥 = 32 ⇔ 𝑥 3 = 64 ⇔ 𝑥 = 4 ⟹ 𝑦 = 4 dan z = 2. 2 2. Lebih dari Satu Pengali Lagrange Jika pengali Lagrange melibatkan lebih dari satu kendala, maka

penggunaan parameter yang dipilih dapat ditambahkan menjadi 𝛾, 𝜇 atau parameter yang lain. Misalnya untuk memperoleh nilai ekstrem 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) dengan kendala 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0 dan ℎ(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0. Cara penyelesaian: Membentuk fungsi Lagrange 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝛾, 𝜇) = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) + 𝛾𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) + 𝜇(𝑥, 𝑦, 𝑧).

(2.33)

Dengan syarat ekstrem: 𝜕𝐹 𝜕𝑥

𝜕𝐹

𝜕𝐹

𝜕𝐹

𝜕𝐹

= 0, 𝜕𝑦 = 0, 𝜕𝑧 = 0, 𝜕𝛾 = 0, 𝜕𝜇 = 0.

Metode ini dapat diperluas untuk 𝑛 variabel 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 )

(2.34) (2.35)

dengan 𝑘 kendala ∅1 (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ), ∅2 (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ), … , ∅𝑘 (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ). Sebagai fungsi Lagrangenya adalah:

34

(2.36)

𝐹(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 , 𝛾1 , 𝛾2 , … , 𝛾𝑘 ) = 𝑓 + 𝛾1 ∅1 + 𝛾2 ∅2 + ⋯ + 𝛾𝑘 ∅𝑘 .

(2.37)

Dengan cara penyelesaiannya adalah: 𝜕𝐹 𝜕𝑥1

𝜕𝐹

𝜕𝐹

𝜕𝐹

𝜕𝐹

= 0, 𝜕𝑥 = 0, … , 𝜕𝑥 = 0, 𝜕 𝛾 = 0, … , 𝜕 𝛾 = 0. 2

𝑛

1

2

(2.38)

Dengan 𝛾1 , 𝛾2,…, 𝛾𝑘 adalah pengali Lagrange. Fungsi lagrange dapat pula dibentuk dengan cara mengurangkan fungsi yang hendak dioptimalkan terhadap hasil kali 𝛾 dengan fungsi kendala, hasilnya tetap sama. Penyelesaian lagrange multiplier mempunyai kondisi yang harus dipenuhi untuk mendapatkan penyelesaian optimal. Jika masalah maksimalisasi maka fungsi objektif harus dalam bentuk konkaf dan setiap fungsi kendala berupa fungsi linear yang konveks, sedangkan jika masalah minimalisasi maka fungsi objektif harus dalam bentuk konveks dan setiap fungsi kendala berupa fungsi linear yang konveks (Winston, 2004:685). F. Teknik Penarikan Sampel Penggunaan metode sampling bertujuan untuk membuat penarikan sampel lebih efisien (Cochran, 1977). Teknik penarikan sampel yang paling sering digunakan adalah teknik penarikan Non-Probability Sampling. NonProbability Sampling adalah suatu prosedur penarikan sampel yang setiap anggota populasi tidak memiliki peluang atau kesempatan sama bagi setiap unsur (anggota populasi) untuk dipilih menjadi sampel. Sedangkan menurut Sarwoko (2007) Non-Probability Sampling adalah teknik pengambilan sampel dengan elemen-elemen dalam populasi tidak memilki probalitas-probalitas

35

yang melekat padanya sebagai dasar pengambilan sampel. Pengambilan sampel didasarkan pada kriteria tertentu. Salah satu teknik penarikan sampel Non-probability Sampling yaitu dengan menggunakan purposive sampling. Purposive sampling adalah teknik pengambilan sampel sumber data dengan pertimbangan tertentu (Sugiyono, 2010:218). Sedangkan menurut Sugiarto (2003) purposive sampling yaitu penarikan sampel yang dilakukan untuk suatu tujuan tertentu (disengaja). G. Saham Saham merupakan secarik kertas yang menunjukkan hak pemodal (yaitu pihak yang memiliki kertas tersebut) untuk memperoleh bagian dari prospek atau kelayakan organisasi yang menerbitkan sekuritas tersebut dan berbagai kondisi yang memungkinkan pemodal tersebut menjalankan haknya (Suad, 2005:29). Suatu perusahaan menjual hak kepemilikannya dalam bentuk saham (stock). Jika perusahaan hanya mengeluarkan satu kelas saham, maka saham ini disebut dengan saham biasa dan jika suatu perusahaan mengeluarkan lebih dari satu kelas saham, maka disebut saham preferen (preferred stock). Menurut Jogiyanto (2014:169), ada beberapa jenis saham yaitu: 1. Saham Biasa (common stock), saham yang dikeluarkan oleh perusahaan yang hanya mengeluarkan satu kelas saham. Pemegang saham adalah pemilik dari perusahaan yang mewakilkan kepada manajemen untuk menjalankan operasi perusahaan.

36

2. Saham Preferen, saham ini mempunyai sifat gabungan (hybrid) antara obligasi (bond) dan saham biasa. Dibandingkan dengan saham biasa, saham preferen mempunyai beberapa hak, yaitu hak atas dividen tetap dan hak pembayaran terlebih dahulu jika terjadi likuidasi. Saham preferen dibedakan menjadi saham preferen yang dapat dikonversikan ke saham biasa (convertible preferred stock), saham preferen yang dapat ditebus (callable preferred stock), saham preferen dengan tingkat dividen yang mengambang (floating atau adjustable-rate preferred stock). 3. Saham Treasuri (treasury stock), saham ini dimiliki oleh perusahaan yang sudah pernah dikeluarkan dan beredar yang kemudian dibeli kembali oleh perusahaan untuk tidak dipensiunkan tetapi disimpan sebagai treasuri. H. Teori Portofolio 1. Pengertian Portofolio Portofolio adalah serangkaian kombinasi beberapa sekuritas yang diinvestasikan dan dipegang oleh investor, baik perorangan maupun lembaga. Sekuritas dapat berupa saham, surat berharga, obligasi, sertifikat dan lain-lain. Portofolio dapat didefinisikan sebagai suatu kombinasi atau gabungan sekumpulan aset dengan mengalokasikan dana pada aset-aset tersebut dengan tujuan memperoleh keuntungan dimasa yang akan datang (Sunariyah, 2004:194). Investasi dapat didefinisikan sebagai penundaan konsumsi sekarang untuk dimasukkan ke saham selama periode waktu yang tertentu (Jogiyanto, 2014:5). Adanya saham, penundaan konsumsi sekarang untuk diinvestasikan ke

37

saham tersebut akan meningkatkan utilitas (kepuasan) total. Investasi ke dalam saham akan meningkatkan utilitas. Investor melakukan investasi untuk meningkatkan utilitasnya dalam bentuk kesejahteraan keuangan. Penundaan konsumsi yang dilakukan investor dimaksudkan untuk mendapatkan hasil atau keuntungan yang digunakan untuk konsumsi mendatang. Tiga hal yang perlu dipertimbangkan dalam melakukan kegiatan investasi yaitu tingkat pengembalian (keuntungan) yang diharapkan (expected rate of return), tingkat risiko (rate of risk), dan ketersediaan jumlah dana yang akan diinvestasikan (Abdul, 2005:4). Tingkat risiko pada umumnya berbanding lurus dengan tingkat pengembalian yang diharapkan atau dapat dikatakan bahwa semakin tinggi risiko (risk) yang diambil maka tingkat pengembalian (return) yang diharapkan akan semakin tinggi. Pemilihan aset-aset oleh investor tergantung pada preferensi investor terhadap risiko. Preferensi investor terhadap risiko dibedakan menjadi tiga yaitu investor yang menyukai risiko atau pencari risiko (risk seeker), investor yang netral terhadap risiko (risk neutral), dan investor yang tidak menyukai risiko atau menghindari risiko (risk averter). Investor yang tidak menyukai risiko atau penghindar risiko merupakan investor yang apabila dihadapkan pada dua pilihan investasi yang memberikan tingkat pengembalian yang sama dengan risiko yang berbeda, maka investor akan lebih suka mengambil investasi dengan risiko yang lebih rendah (Abdul, 2005:42)

38

2. Return Return merupakan hasil yang diperoleh dari investasi. Adanya hubungan positif antara return dan risiko dalam berinvestasi yang dikenal dengan high risk- high return, yang artinya semakin besar risiko yang ditanggung, semakin besar pula return yang diperoleh. Artinya harus ada pertambahan return sebagai kompensasi dari pertambahan risiko yang akan ditanggung oleh investor (Jogiyanto, 2014:264). Return dapat berupa return realisasian yang sudah terjadi atau return ekspektasian yang belum terjadi tetapi yang diharapkan akan terjadi dimasa mendatang. a. Return Realisasian Jika seseorang menginvestasikan dananya pada saham ke-𝑖 periode 𝑡1 dengan harga 𝑃𝑖(𝑡−1) dan harga pada periode selanjutnya 𝑡2 adalah 𝑃𝑖(𝑡−2) , maka return total pada periode 𝑡1 sampai 𝑡2 adalah (𝑃𝑖(𝑡−1) − 𝑃𝑖(𝑡−2) )/𝑃𝑖(𝑡−1) . Return total dapat digambarkan sebagai pendapatan relatif atau tingkat keuntungan (profit rate). Return total dapat dinyatakan sebagai berikut (Jogiyanto, 2014:264) 𝑅𝑖𝑡 =

𝑃𝑖𝑡 − 𝑃𝑖(𝑡−1) 𝑃𝑖(𝑡−1)

.

(2.39)

Keterangan: 𝑅𝑖𝑡 : return capital gain atau capital loss saham ke-i pada periode t 𝑃𝑖𝑡 : harga penutupan saham ke-i pada periode ke-t 𝑃𝑖(𝑡−1) : harga penutupan saham ke-i pada periode ke-(t-1)

39

Jika harga investasi sekarang 𝑃𝑖𝑡 lebih tinggi dari harga investasi periode lalu 𝑃𝑖(𝑡−1) ini berarti terjadi keuntungan modal (Capital Gain), jika sebaliknya berarti terjadi kerugian (Capital Loss). b. Return Ekspektasian Return ekspektasian (expected return) merupakan return yang digunakan untuk pengambilan keputusan investasi. Return ekspektasian (expected return) dapat dihitung berdasarkan beberapa cara sebagai berikut ini: a) Berdasarkan nilai ekspektasian masa depan, b) Berdasarkan nilai-nilai return historis, c) Berdasarkan model return ekspektasian yang ada. Berdasarkan nilai-nilai return historis untuk menghitung nilai return ekspektasian, terdapat tiga metode yang dapat diterapkan yaitu metode rata-rata (mean method), metode trend (trend method), dan metode jalan acak (random walk method) (Jogiyanto, 2014:282). Diantara ketiga metode yang paling banyak digunakan adalah metode rata-rata (mean method). Menghitung expected return saham individual menggunakan persamaan berikut, 𝐸(𝑅𝑖 ) =

∑𝑛 𝑖=1 𝑅𝑖𝑡 𝑢

.

(2.40)

Keterangan: E(R i ) : expected return saham ke-i 𝑅𝑖𝑡

: return saham ke-i pada periode t

u

: banyaknya return yang terjadi pada periode observasi Return realisasi portofolio (portofolio realized return) merupakan rata-

rata tertimbang dari return-return relisasian masing-masing saham tunggal di

40

dalam portofolio tersebut. Secara matematis, return realisasian portofolio dapat ditulis sebagai berikut: 𝑅𝑝 = ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 𝑅𝑖 .

(2.41)

Keterangan: 𝑅𝑝 : Return realisasian portofolio 𝑥𝑖 : Proporsi dari saham i terhadap seluruh sekuritas di portofolio 𝑅𝑖 : Return realisasian dari saham ke-i 𝑛 : Jumlah dari saham tunggal Sedangkan return ekspektasian portofolio (portofolio expected return) merupakan rata-rata tertimbang dari return-return ekspektasian masing-masing sekuritas tunggal di dalam portofolio. Return ekspektasian portofolio dapat dinyatakan secara matematis sebagai berikut: 𝐸(𝑅𝑝 ) = ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 𝐸(𝑅𝑖 ).

(2.42)

Keterangan: 𝐸(𝑅𝑝 )

: return ekspektasian dari portofolio

𝑥𝑖

: proporsi dari saham i terhadap seluruh saham di portofolio

𝐸(𝑅𝑖 )

: return ekspektasian dari saham ke-i

𝑛

: jumlah dari saham tunggal

3. Risiko Risiko didefinisikan sebagai besarnya penyimpangan antara tingkat pengembalian yang diharapkan (expected return) dengan tingkat pengembalian yang dicapai secara nyata (realized return) (Abdul, 2005:42). Menghitung return saja untuk suatu investasi tidaklah cukup. Risiko dari investasi juga perlu

41

diperhitungkan. Return dan risiko mempunyai hubungan yang positif, semakin besar risiko yang harus ditanggung, semakin besar return yang harus dikompensasikan (Jogiyanto, 2014:285). a. Risiko Saham Individual Menghitung risiko saham individual menggunakan persamaan berikut, 𝜎𝑖 2 =

2 ∑𝑛 𝑡=1(𝑅𝑖𝑡 − 𝐸(𝑅𝑖 ))

𝑢

.

(2.43)

Keterangan: 𝜎𝑖 2

: risiko saham ke-i

𝑅𝑖𝑡

: return saham ke-i pada periode t

𝐸(𝑅𝑖 )

: expected return saham 𝑖

𝑢

: banyaknya return yang terjadi pada periode observasi

Persamaan untuk menghitung kovarian adalah 𝑐𝑜𝑣(𝑅𝑖 𝑅𝑗 ) = 𝜎𝑖𝑗 =

∑𝑛 𝑡=1{𝑅𝑖𝑡 − 𝐸(𝑅𝑖 )}{𝑅𝑗𝑡 −𝐸(𝑅𝑗 )} 𝑢

.

Keterangan: 𝑐𝑜𝑣(𝑅𝑖 𝑅𝑗 ) : kovarian return antara saham i dengan saham j 𝑅𝑖𝑡

: return saham ke-i pada periode t

𝐸(𝑅𝑖 )

: expected return saham 𝑖

𝑅𝑗𝑡

: return saham ke-j pada periode t

𝐸(𝑅𝑗 )

: expected return saham j

𝑢

: banyaknya return yang terjadi pada periode observasi

42

(2.44)

b. Risiko Portofolio Konsep dari risiko portofolio pertama kali diperkenalkan secara formal oleh Harry M. Markowitz di tahun 1950-an. Konsep tersebut menunjukkan bahwa secara umum risiko mungkin dapat dikurangi dengan menggabungkan beberapa sekuritas tunggal ke dalam bentuk portofolio. Risiko portofolio tidak harus sama dengan rata-rata tertimbang risiko-risiko dari seluruh sekuritas tunggal. Risiko portofolio bahkan dapat lebih kecil dari rata-rata tertimbang risiko masing-masing sekuritas tunggal (Jogiyanto, 2014:287). Portofolio dengan Dua Saham Return portofolio ekspektasian adalah sebesar: 𝐸(𝑅𝑝 ) = 𝑥𝐴 𝐸(𝑅𝐴 ) + 𝑥𝐵 𝐸(𝑅𝐵 ).

(2.45)

Keterangan: 𝐸(𝑅𝑝 )

: Expected return portofolio

𝑥𝐴

: Proporsi dari saham A terhadap seluruh sekuritas di portofolio

𝐸(𝑅𝐴 )

: Expected return saham A Risiko portofolio dapat diukur dengan besarnya deviasi standar atau

varian dari nilai-nilai return sekuritas-sekuritas tunggal yang ada di dalamnya (Jogiyanto, 2014:289). Oleh karena itu, varian return portofolio yang merupakan risiko portofolio dapat dituliskan sebagai berikut: 𝑉𝑎𝑟(𝑅𝑝 ) = 𝜎𝑝 2 = 𝑥𝐴 2 𝜎𝑅𝐴 2 + 𝑥𝐵 2 𝜎𝑅𝐵 2 + 2𝑥𝐴 𝑥𝐵 𝐶𝑜𝑣(𝑅𝐴 𝑅𝐵 ). (2.46) Keterangan: 𝑉𝑎𝑟(𝑅𝑝 ) = 𝜎𝑝 2: varians return portofolio 𝑥𝐴 : proporsi dari saham A terhadap seluruh sekuritas di portofolio

43

𝜎𝑅𝐴 2

: varians return saham A

𝐶𝑜𝑣(𝑅𝐴 𝑅𝐵 ): kovarian antara return saham A dan B Kovarian (covariance) antara return saham A dan B yang ditulis sebagai 𝐶𝑜𝑣(𝑅𝐴 𝑅𝐵 ) atau 𝜎𝐴𝐵 , menunjukkan hubungan arah pergerakan dari nilai-nilai return sekuritas A dan B. Kovarian yang dihitung dengan menggunakan data historis dapat dilakukan dengan rumus sebagai berikut ini.

𝐶𝑜𝑣 (𝑅𝐴 𝑅𝐵 ) = 𝜎𝐴𝐵 = ∑𝑛𝑖=1

[(𝑅𝐴𝑖 −𝐸(𝑅𝐴𝑖 )) (𝑅𝐵𝑖 −𝐸(𝑅𝐵𝑖 ))] 𝑢

.

(2.47)

Keterangan: Cov(R A R 𝐵 ): kovarian return antara saham A dan saham B R Ai

: return masa depan saham A kondisi ke- i

R Bi

: return masa depan saham B kondisi ke- i

E(R Ai)

: return ekspektasian saham A

E(R Bi )

: return ekspektasian saham B

𝑢

: banyaknya return yang terjadi pada periode observasi Koefisien korelasi menunjukkan besarnya hubungan pergerakan antara

dua variabel relatif terhadap masing-masing deviasinya. Dengan demikian, nilai koefisien korelasi antara variabel A dan B (𝜌𝐴𝐵 ) dapat dihitung dengan membagi nilai kovarian dengan deviasi variabel-variabelnya. 𝜌𝐴𝐵 =

𝐶𝑜𝑣(𝑅𝐴 𝑅𝐵 ) 𝜎𝐴 𝜎𝐵

.

(2.48)

Dari rumus (2.48), nilai dari kovarian return saham A dan B dapat dinyatakan dalam bentuk koefisien korelasi sebagai berikut: 𝐶𝑜𝑣(𝑅𝐴 𝑅𝐵 ) = 𝜌𝐴𝐵 𝜎𝐴 𝜎𝐵 .

(2.49)

44

Menggunakan Persamaan (2.49), selanjutnya rumus varian portofolio pada Persamaan (2.46) dapat dinyatakan dalam bentuk koefisien korelasi sebagai berikut: 𝑉𝑎𝑟(𝑅𝑝 ) = 𝜎𝑝 2 = 𝑥𝐴 2 𝜎𝑅𝐴 2 + 𝑥𝐵 2 𝜎𝑅𝐵 2 + 2𝑥𝐴 𝑥𝐵 𝜌𝐴𝐵 𝜎𝐴 𝜎𝐵 .

(2.50)

Portofolio dengan banyak saham Dalam hal ini portofolio terdiri dari 𝑛 buah sekuritas dengan proporsi masing-masing saham ke-i sebesar 𝑥𝑖 . Sebelumnya besar varian untuk portofolio dengan 3 sekuritas ini dapat dituliskan: 𝜎𝑝 2 = [𝑥1 2 𝜎1 2 + 𝑥2 2 𝜎2 2 + 𝑥3 2 𝜎3 2 ] + [2𝑥1 𝑥2 𝜎12 + 2𝑥1 𝑥3 𝜎13 + 2𝑥2 𝑥3 𝜎23 ]. (2.51) Selanjutnya untuk 𝑛 -saham, rumus varian dituliskan sebagai berikut: 𝜎𝑝 2 = [𝑥1 2 𝜎1 2 + 𝑥2 2 𝜎2 2 + 𝑥3 2 𝜎3 2 + ⋯ + 𝑥𝑛 2 𝜎𝑛 2 ] + [2𝑥1 𝑥2 𝜎12 + 2𝑥1 𝑥3 𝜎13 + 2𝑥2 𝑥3 𝜎23 + ⋯ + 2𝑥2 𝑥𝑛 𝜎2𝑛 + ⋯ + 2𝑥𝑛−1 𝑥𝑛 𝜎𝑛−1,𝑛 ].

(2.52)

Persamaan (2.52) dapat dituliskan menjadi persamaan berikut (Eduardus, 2001:66) 𝜎𝑝 2 = ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 2 𝜎𝑖 2 + ∑𝑛𝑖=1 ∑𝑛𝑗=1 𝑥𝑖 𝑥𝑗 𝜎𝑖𝑗 . 𝑖≠𝑗

Keterangan: 𝜎𝑝 2

: risiko portofolio

σi 2

: varians dari investasi pada saham ke-i

𝑥i 2

: proporsi dari saham i terhadap seluruh saham di portofolio

𝑥j 2

: proporsi dari saham j terhadap seluruh saham di portofolio

𝜎𝑖𝑗

: kovarian return antara saham i dan saham j

45

(2.53)

4. Uji Normalitas Uji normalitas data dilakukan sebelum data diolah berdasarkan modelmodel penelitian yang dilakukan. Menurut Setyosari (2010:238) distribusi normal merupakan suatu distribusi atau persebaran yang simetris sempurna dari skor rata-rata. Uji normalitas data bertujuan untuk mendeteksi distribusi data dalam suatu variabel yang akan digunakan dalam penelitian. Sedangkan menurut Syofian (2013:153) menyatakan bahwa tujuan uji normalitas adalah mengetahui apakah populasi data berdistribusi normal atau tidak. Ada berbagai cara untuk menguji normalitas data yang telah dikembangkan oleh para ahli, salah satunya menggunakan uji Kolmogorov-Smirnov yang sering digunakan. Prinsip kerja uji Kolmogorov-Smirnov adalah membandingkan frekuensi observasi (Syofian, 2013:153). Uji normalitas dalam dunia investasi bertujuan untuk menguji return saham berdistribusi normal atau tidak. Pengujian ini digunakan untuk mengantisipasi terjadinya ketidakstabilan harga, sehingga dikhawatirkan mengalami penurunan harga saham yang signifikan dan merugikan investor. Return saham yang berdistribusi normal dapat dimasukkan sebagai saham pembentuk portofolio. Uji normalitas Kolmogorov-Smirnov dapat dilakukan dengan bantuan SPSS. Prosedur untuk pengujian menggunakan Kolmogorov-Smirnov a. Hipotesis 𝐻0 : data berdistribusi normal 𝐻1 : data tidak berdistribusi normal

46

b. Taraf signifikansi 𝛼 c. Statistik uji Kolmogorov-Smirnov 𝑇 =

𝑆𝑢𝑝 ∗ |𝐹 (𝑋) − 𝑆(𝑋)| 𝑋

𝐹 ∗ (𝑋) adalah distribusi kumulatif data sampel 𝑆(𝑋) adalah distribusi kumulatif yang dihipotesiskan d. Kriteria pengujian hipotesis 𝐻0 ditolak jika 𝑇 < 𝑇𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 atau 𝑝 − 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 < 𝛼 𝐻0 diterima jika 𝑇 > 𝑇𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 atau 𝑝 − 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 > 𝛼 e. Perhitungan f. Kesimpulan 5. Model Portofolio Model portofolio dapat diformulasikan dalam bentuk pemrograman nonlinear. Andaikan 𝑛 saham yang termasuk dalam portofolio dan misalkan variabel keputusan 𝑥𝑗 (𝑗 = 1,2,3, . . . , 𝑛) menyatakan banyaknya proporsi dana yang diinvestasikan pada saham 𝑗. Selanjutnya expected return diterangankan sebagai R(x) dan V(x) sebagai varian atau total risiko dari saham yang masuk kedalam portofolio. Model ini memaksimalkan ekspektasi return dengan tingkat risiko tertentu, parameter β merupakan konstanta tak negatif yang mengukur tingkat keinginan investor terhadap hubungan antara ekspektasi return dan risiko. Pemilihan β kecil dan mendekati 0 menyatakan bahwa risiko diabaikan, apabila nilai β yang diambil besar atau sama dengan 1 artinya investor sangat memperhatikan risiko. Nilai untuk β yaitu 0<β≤1. Berdasarkan

47

Persamaan (2.42) dan (2.53) diperoleh model pemrograman nonlinear sebagai berikut (Hillier, 2001:658) : Memaksimumkan 𝑓(𝑥) = 𝑅(𝑥) − 𝛽𝑉(𝑥) = ∑𝑛𝑗=1 𝐸(𝑅𝑗 )𝑥𝑗 − 𝛽 (∑𝑛𝑗=1 𝑥𝑗 2 𝜎𝑗 2 + ∑𝑛𝑖=1 ∑𝑛𝑗=1 𝑥𝑖 𝑥𝑗 𝜎𝑖𝑗 )

(2.54)

𝑖≠𝑗

dengan kendala ∑𝑛𝑗=1 𝑥𝑗 ≤ 𝐵

(2.55a)

dan 𝑥𝑗 ≥ 0, untuk 𝑗 = 1, 2, 3, . . . , 𝑛.

(2.55b)

dimana B merupakan jumlah uang yang dianggarkan untuk portofolio. Pemrograman nonlinear pada fungsi tujuan Persamaan (2.54) merupakan model mean variance Markowitz yaitu memaksimumkan expected return dengan risiko tertentu. Model mean variance Markowitz didefinisikan menggunakan fungsi lagrange dengan satu pengali lagrange yaitu 𝛽 untuk memperoleh penyelesaian optimal. I. Kinerja Portofolio Seorang investor akan menghadapi kesulitan dalam pembentukan suatu portofolio. Terdapat banyak bentuk portofolio dalam kemungkinan dari kombinasi saham-saham yang ada. Pada pemilihan portofolio, investor memilih portofolio yang optimal. Portofolio optimal berbeda untuk masing-masing investor.

48

Seorang investor yang rasional akan memilih potofolio efisien. Portofolio efisien (efficient portofolio) didefinisikan sebagai portofolio yang memberikan return ekspektasian terbesar dengan risiko tertentu atau memberikan risiko terkecil dengan return ekspektasian tertentu (Jogiyanto, 2014:367). Sedangkan portofolio optimal merupakan portofolio dengan kombinasi return ekspektasian dan risiko terbaik. Investor selalu ingin memaksimalkan return yang diharapkan dengan tingkat risiko tertentu yang bersedia ditanggungnya, atau mencari portofolio yang menawarkan risiko terendah dengan tingkat return tertentu. Karakteristik portofolio seperti ini disebut sebagai portofolio yang efisien (Eduardus, 2001:74). Sedangkan portofolio yang dipilih seorang investor dari sekian banyak pilihan yang ada pada kumpulan portofolio efisien merupakan portofolio optimal. Return tinggi belum tentu menjadi investasi yang baik, return rendah juga dapat menghasilkan investasi yang baik jika mempunyai tingkat risiko yang rendah pula. Oleh karena itu return yang dihitung perlu menyesuaikan dengan risiko yang harus ditanggung. Beberapa model perhitungan return sesuaian-risiko (risk-adjusted return) adalah return reward to variability, reward to volatility, reward to market risk, reward to diversification, Jensen’s alpha, 𝑀2 , dan rasio informasi (Jogiyanto, 2014:708). Dalam penelitian ini akan digunakan reward to variability (sharpe measure). Kinerja portofolio yang dihitung menggunakan pengukuran ini dilakukan dengan membagi return lebih (excess retur) dengan variabilitas (variability) return portofolio. Reward to

49

variability ratio yaitu perbandingan antara tingkat pengembalian portofolio dan risiko portofolio. Portofolio yang memiliki kinerja terbaik adalah yang mempunyai indeks sharpe tertinggi. Dengan demikian diperoleh persamaan dalam pengukur indeks sharpe dapat dilihat sebagai berikut (Rahadian, 2014:5): 𝐼𝑛𝑑𝑒𝑘𝑠 𝑠ℎ𝑎𝑟𝑝𝑒 =

𝑅𝑝 𝜎𝑝

.

(2.56)

Keterangan: 𝑅𝑝 : Return portofolio 𝜎𝑝 : Risiko portofolio J. Excel Solver Penelitian ini menggunakan bantuan excel dalam menyelesaikan pemrograman linear. Excel merupakan program pengolah lembar kerja Microsoft yang berada dalam satu paket dengan office. Penyempurnaan paket Office membuat excel semakin berguna untuk menyelesaikan berbagai kasus melalui fasilitas Add In, Data Analysis, Scenario. Disamping itu, beberapa program yang memanfaatkan kelebihan spread sheet di dalam Excel seperti Crystal Ball, @ risk, Tree Plan, What’s best, dan lain-lain juga sudah tersedia untuk membantu pengguna untuk mengeksplorasi diri guna memecahkan berbagai masalah yang ada. Solver adalah fasilitas bawaan excel yang memungkinkan pengguna untuk menyelesaikan kasus-kasus optimalisasi bukan hanya model linear (Siswanto, 2006:197). Fasilitas Solver belum terinstal secara langsung pada excel, langkah-langkah memunculkan menu solver sebagai berikut:

50

a. Klik Office Button (button berbentuk logo Ms. Office), kemudian pilih excel option b. Pilih bagian Add-ins, kemudian pilih Excel Add-in pada opsi Manage dan klik GO c. Muncul kotak dialog Add-in dan check pada Solver Add-in dan klik OK d. Solver muncul pada menu Data.

51