BAB III METODE PENELITIAN

18

BAB III METODE PENELITIAN Pada bab ini akan dikemukakan metode-metode yang akan digunakan pada bab selanjutnya. Metode-metode pada bab ini yaitu metode Value at Risk dengan pendekatan distribusi normal maupun pendekatan ekspansi cornish fisher dan metode rantai Markov.

3.1.

VALUE AT RISK Pengkajian dalam permasalahan perubahan indeks harga saham dapat terjadi

kapan saja dengan waktu yang tidak menentu, hal tersebut mengakibatkan terjadinya ketidakpastian terhadap perubahan indeks harga saham yang menyebabkan timbulnya suatu risiko. Pengkajian dalam permasalahan tersebut ditujukan untuk memperoleh pendekatan terhadap perubahan indeks harga saham untuk meminimumkan risiko yang akan diperoleh. Salah satu metode yang digunakan untuk melakukan pengukuran risiko adalah metode Value at Risk (VaR) yang diperkenalkan oleh Morgan pada tahun 1994. Menurut Harper (dalam Putri, 2012, hlm. 4) mengemukakan bahwa VaR digunakan untuk mengukur kemungkinan terburuk yang akan dialami pada suatu periode dengan tingkat kepercayaan tertentu dengan kondisi pasar normal dengan selang waktu, tingkat kepercayaan dan besar kerugian. Menurut Jorion (2002) Value at Risk (VaR) adalah suatu metode pengukuran risiko yang menggunakan teknik statistik. Sedangkan “VaR adalah ukuran statistik risiko yang memperkirakan kerugian maksimum yang mungkin dialami pada portofolio dengan tingkat kepercayaan tertentu” (Angelovska, 2013). Berdasarkan hal tersebut maka dapat ditarik kesimpulan bahwa VaR merupakan suatu model yang dapat digunakan untuk memperkirakan risiko

Ilham Alpian, 2016 ANALISIS INDEKS HARGA SAHAM MENGGUNAKAN METODE VALUE AT RISK DENGAN PENDEKATAN EKSPANSI CORNISH FISHER DAN METODE RANTAI MARKOV Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu

19

maksimum pada selang waktu tertentu t dengan tingkat kepercayaan tertentu secara teoritis.

Definisi 3.1.1 Value at Risk (VaR) (Candelon, dkk. 2008, hlm. 6). VaR dapat didefinisikan sebagai: 𝑃(𝑅𝑡 < 𝑉𝑎𝑅𝑡 (1 − 𝛼)) = 1 − 𝛼

(3.1)

dimana, 𝑅𝑡

: suatu peubah acak yang menyatakan return dari saham tunggal yang memiliki fungsi distribusi 𝐹𝑅𝑡 (. );

1 − 𝛼 : tingkat kepercayaan. Oleh karena itu, definisi VaR dapat ditulis dalam bentuk lain yaitu sebagai berikut: 𝑃(𝑅𝑡 < 𝑉𝑎𝑅𝑡 (1 − 𝛼))

=1−𝛼

 𝐹𝑅𝑡 (𝑉𝑎𝑅𝑡 (1 − 𝛼))  𝑉𝑎𝑅𝑡 (1 − 𝛼)

=1−𝛼 (1 − 𝛼) = 𝐹𝑅−1 𝑡

(3.2)

Berdasarkan persamaan 3.2 diperoleh bahwa VaR sangat bergantung pada suatu fungsi distribusi, sehingga nilai VaR dapat ditentukan melalui sebuah distribusi atau juga dapat diperoleh dari nilai persentil dari suatu distribusinya.

3.1.1. Pendekatan Distribusi Normal (Variance-Covariance) Perhitungan VaR untuk distribusi normal yang disimbolkan oleh Ψnormal dengan 1 − 𝛼 = 𝑞 (Jorion, 1975, hlm. 84 – 88) ditulis sebagai berikut: Ψnormal = 𝜇𝑡 + Φ−1 𝑧 (𝑞)𝜎𝑡 dengan

Φ𝑧−1 (𝑞),

(3.3)

𝜇𝑡 dan 𝜎𝑡 secara berurutan didefinisikan sebagai bentuk kuartil dari

distribusi return, konstanta drift dan volatility. Drift (Yuhan, 2013, hlm.13) didefinisikan sebagai perkalian dari periode waktu dengan mean dengan rumus sebagai berikut: ̂ 𝜇𝑡 = 𝑡 × 𝜇


(3.4)

20

Volatility (Yuhan, 2013, hlm.13) merupakan ukuran ketidakpastian dari data deret waktu keuangan atau risiko yang mungkin dihadapi investor dengan rumus sebagai berikut: ̂ 𝜎𝑡 = √𝑡 × 𝜎

(3.5)

Kuantil bawah untuk suatu tingkat kepercayaan q yang disimbolkan dengan Φ−1 𝑧 (𝑞) dapat dilihat pada Tabel 3.1. TABEL 3.1 KUANTIL BAWAH DISTRIBUSI NORMAL BAKU TINGKAT KEPERCAYAAN (%) 1−𝛼

99,99

99,9

99

97,72

97,5

95

90

84,13

50

Φ𝑧−1 (𝑞)

-3,715

-3,090

-2,326

-2,000

-1,960

-1,645

-1,282

-1,000

-0,000

Contoh 3.1.1 Misalkan 𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋100 adalah sampel acak berukuran 100 yang berasal dari distribusi normal umum dengan rataan 5 dan varians 1. Dengan memilih 𝛼 = 0,05 tentukan penaksir dari Ψnormal . Penyelesaian: Diketahui : 𝑛 = 100 𝑋~𝑁(5,1) ̂=5 𝜇 ̂=1 𝜎

𝛼 = 0,05. Karena 𝑋~𝑁(5,2) dan 𝛼 = 0,05, maka berdasarkan tabel 3.1 diperoleh

Φ𝑧−1 (𝑞) =

−1,645 Akan dihitung nilai konstanta drift dan volatility ̂ 𝜇𝑡 = 𝑡 × 𝜇

= 100 × 5 = 500 ̂ 𝜎𝑡 = √𝑡 × 𝜎

= √100 × 1 = 10 Maka berdasarkan persamaan (3.4) diperoleh Ψnormal sebagai berikut: Ilham Alpian, 2016 ANALISIS INDEKS HARGA SAHAM MENGGUNAKAN METODE VALUE AT RISK DENGAN PENDEKATAN EKSPANSI CORNISH FISHER DAN METODE RANTAI MARKOV Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu

21

Ψnormal = 𝜇𝑡 + Φ−1 𝑧 (𝑞)𝜎𝑡 = 500 + (−1,645) × 10 = 483,55 Sehingga diperoleh Ψnormal = 483,55. 3.1.2. Pendekatan Ekspansi Cornish Fisher(𝚿𝐒𝐊 ) Pendekatan VaR secara konvensional cenderung lebih tekait dengan asumsi bahwa sampel berasal dari populasi berdistribusi normal. Namun, “data keuangan di Indonesia menunjukan penyimpangan dari normalitas yaitu parameter skewness yang menunjukkan derajat ketaksimetrisan dari distribusi di antara nilai rata-ratanya sehingga hal tersebut dapat memberikan gambaran intuitif ke arah mana kira-kira bentuk asimetri dari ekor gemuk distribusinya” (Situngkir & Surya, 2004). Selain itu, menurut Chatterjee (2014, hlm.73) dua momen yang sangat perlu diperhatikan dalam perhitungan risk management adalah momen ketiga yaitu skewness dan momen keempat yaitu kurtosis. Pendekatan ekspansi Cornish Fisher tidak menggunakan asumsi distribusi normal, dan juga memperhatikan momen ketiga dan keempat untuk menyesuaikan kuantil tertentu yang membentuk kurtosis dan skewness. Suarez, dkk (ditulis dalam Yuhan (2013)) menunjukan bagaimana kuantil tertentu dengan menggunakan skewness dan kurtosis melalui ekspansi Cornish-Fisher dapat dilihat pada Lampiran 4, sehingga diperoleh sebagai berikut:

Φ−1 𝑥 (𝑞)

=

Φ−1 𝑧 (𝑞 ) + −

2 (Φ−1 𝑧 (𝑞) − 1)

6

𝜆3 +

−1 3 (2Φ−1 𝑧 (𝑞) − 5Φ𝑧 (𝑞))

36

−1 3 (Φ−1 𝑧 (𝑞) − 3Φ𝑧 (𝑞))

24 𝜆23

𝜆′4 ( 3.6)

dimana, 𝜆3

: skewness

𝜆4

: kurtosis

𝜆′4

: kelebihan kurtosis

Dengan penyesuaian ini maka dapat dihitung ΨSK dengan pendekatan ekspansi Cornish Fisher sebagai berikut,

ΨSK = 𝜇𝑡 + Φ−1 𝑥 (𝑞)𝜎𝑡

(3.7)


22

Contoh 3.1.2 Berdasarkan contoh 3.1.1 jika berikan informasi tambahan bahwa dari sampel acak tersebut memiliki nilai skewness 2 dan nilai kurtosis 5. Dengan memilih 𝛼 = 0,05 tentukan penaksir dari 𝑉𝑎𝑅𝑡 dengan pendekatan ekspansi Cornish Fisher. Penyelesaian: Diketahui : 𝑛 = 100 𝑋~𝑁(5,1) ̂=5 𝜇 ̂=1 𝜎

𝛼 = 0,05 𝜆3

:2

𝜆4

:5

𝜆′4

:2

Akan dihitung nilai Φ𝑥−1 (𝑞), Berdasarkan tabel 3.1 diperoleh Φ𝑧−1 (𝑞) = (−1,645), sehingga Φ𝑥−1 (𝑞) = Φ𝑧−1 (𝑞) +

(Φ𝑧−1 (𝑞)2 − 1) (Φ𝑧−1 (𝑞)3 − 3Φ𝑧−1 (𝑞)) ′ (2Φ𝑧−1 (𝑞)3 − 5Φ𝑧−1 (𝑞)) 2 𝜆 + 𝜆 − 𝜆3 4 3 6 24 36

= (−1,645) +

((−1,645)2 − 1) ((−1,645)3 − 3 × (−1,645)) ×2+ ×2 6 24 −

(2 × (−1,645)2 − 5 × (−1,645)) × 22 36

= −0,96071 Akan dihitung nilai konstanta drift dan volatility ̂ 𝜇𝑡 = 𝑡 × 𝜇

= 100 × 5 = 500 ̂ 𝜎𝑡 = √𝑡 × 𝜎

= √100 × 1 = 10 Maka berdasarkan persamaan (3.7) diperoleh Ψnormal sebagai berikut: ΨSK = 𝜇𝑡 + Φ−1 𝑥 (𝑞)𝜎𝑡 = 500 + (−0,3333) × 10 = 496,6667 Sehingga diperoleh ΨSK = 490,3929. Ilham Alpian, 2016 ANALISIS INDEKS HARGA SAHAM MENGGUNAKAN METODE VALUE AT RISK DENGAN PENDEKATAN EKSPANSI CORNISH FISHER DAN METODE RANTAI MARKOV Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu

23

3.2.

RANTAI MARKOV Selain menggunakan metode Value at Risk dapat juga digunakan metode

lainnya yang dapat meninjau permasahan dalam analisis Indeks Harga Saham dari sisi teknik deskriptifnya. Salah satu metode yang merupakan teknik deskriptif yang dapat membantu menyelesaikan masalah tersebut adalah metode rantai Markov, yang dapat digunakan untuk melakukan pengkajian dengan cara mengkalkulasi kemungkinan kondisi indeks harga saham yang akan terjadi berikutnya. Rantai Markov dikemukakan oleh Andrei A. Markov (1856-1922) sebagai orang pertama yang mempublis hasil penelitiannya pada tahun 1906. Rantai Markov dikenal sebagai stochastic process yang memiliki sifat-sifat khusus yaitu jika state untuk sekarang diketahui, maka peluang state dari proses pada waktu mendatang hanya dipengaruhi oleh state proses sekarang saja dan tidak dipengaruhi oleh state pada waktu-waktu yang lampau, dimana proses stokastik merupakan salah satu ilmu yang mempelajari hubungan dinamis dari suatu runtunan pristiwa yang memiliki sifat ketidakpastian. Berdasarkan penjabaran tersebut maka dapat disimpulkan bahwa rantai Markov merupakan rangkaian proses state dimana peluang bersyarat state yang akan datang tergantung pada state sekarang. Beberapa asumsi dalam penggunaan metode rantai Markov adalah sebagai berikut: 1. Banyaknya keadaan terbatas; 2. Jumlah peluang transisi untuk suatu keadaan awal dari sistem sama dengan 1 ; 3. Peluang- peluang tersebut berlaku untuk semua partisipan dalam sistem; 4. Peluang transisi akan bernilai konstan setelah periode waktu tertentu. Terdapat tiga prosedur utama yang akan dilakukan yaitu sebagai berikut: 1. Menyusun matriks peluang transisi. 2. Menghitung peluang suatu kejadian di waktu yang akan datang. 3. Menentukan kondisi steady state.


24

Definisi 3.2.1 Proses Rantai Markov (Markov Chain Process) (Ching & Ng, 2006, hal. 2). Andaikan terdapat probabilitas bersyarat dari kejadian mendatang dengan kejadian masa lampau dan kejadian saat ini adalah independen terhadap kejadian di waktu lalu dan hanya tergantung pada kejadian saat ini sebagai berikut: 𝑃(𝑋 (𝑛+1) = 𝑖|𝑋 (𝑛) = 𝑗, 𝑋 (𝑛−1) = 𝑖𝑛−1 , … , 𝑋 (0) = 𝑖0 ) = 𝑃𝑖𝑗 , 𝑛 ≥ 0

(3.8)

dimana 𝑖, 𝑗, 𝑖0 , 𝑖1 , … , 𝑖𝑛−1 ∈ 𝑀, maka hal tersebut disebut dengan proses rantai Markov. Berdasarkan ruang keadaan dan ruang parameternya, proses markov dapat dikelompokan sebagai berikut: TABEL 3.2 KLASIFIKASI PROSES RANTAI MARKOV RUANG PARAMETER

RUANG KEADAAN

DISKRIT KONTINU

DISKRIT

KONTINU

Rantai Markov Parameter Diskrit Proses Markov Parameter Diskrit

Rantai Markov Parameter Kontinu Proses Markov Parameter Kontinu

Jadi, rantai markov adalah proses Markov dengan ruang keadaan diskrit. Untuk rantai Markov dengan ruang parameter diskrit biasa juga disebut sebagai rantai Markov. Definisi 3.2.2 Matriks Transisi Dari Rantai Markov (Anton & Rorres, 2011, hlm. 554). Jika sebuah rantai Markov mempunyai 𝑘 kemungkinan state, yang dinotasikan dengan 1, 2, ..., 𝑘, maka probabilitas bahwa sistem berada dalam state 𝑖 pada suatu pengamatan setelah mengalami state 𝑗 pada pengamatan sebelumnya, dilambangkan dengan pij, dan disebut dengan transition probability (probabilitas transisi) dari state 𝑗 ke state 𝑖. Matriks 𝑃 = [𝑝𝑖𝑗 ] disebut dengan matriks transisi dari rantai Markov (matrix transition Markov chain). Misal {𝑋(𝑛) , 𝑛 = 0, 1, 2, … } didefinisikan sebagai barisan data observasi dan 𝐹𝑗𝑘 didefinisikan sebagai jumlah peralihan state 𝑗 ke state 𝑘 dalam satu langkah dimana 𝑗 < 𝑘, 𝑗 dan 𝑘 merupakan bilangan asli. Maka berdasarkan definisi 3.2.2, Ilham Alpian, 2016 ANALISIS INDEKS HARGA SAHAM MENGGUNAKAN METODE VALUE AT RISK DENGAN PENDEKATAN EKSPANSI CORNISH FISHER DAN METODE RANTAI MARKOV Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu

25

dapat dikontruksi sebuah matriks 𝐹 dengan menggunakan {𝑋(𝑛) } sedemikian sehingga diperoleh hasil sebagai berikut: 𝐹11 𝐹 𝐹 = ( 21 ⋮ 𝐹𝑗1

𝐹12 𝐹22 ⋮ 𝐹𝑗2

… 𝐹1𝑘 … 𝐹2𝑘 ) ⋮ ⋱ … 𝐹𝑗𝑘

Misal 𝑃𝑗𝑘 merupakan peluang transisi dari state 𝑗 ke state 𝑘 dalam satu langkah dimana 𝑗 < 𝑘, 𝑗 dan 𝑘 merupakan bilangan asli. Berdasarkan matriks 𝐹 maka dapat diperoleh matriks 𝑃 sebagai berikut: 𝑃11 𝑃21 𝑃=( ⋮ 𝑃𝑗1

𝑃12 𝑃22 ⋮ 𝑃𝑗2

… 𝑃1𝑘 … 𝑃2𝑘 ) ⋮ ⋱ … 𝑃𝑗𝑘

dimana, 3

𝐹𝑗𝑘 ; ∑ 𝐹𝑗𝑘 > 0 3 ∑𝑗=1 𝐹𝑗𝑘 𝑗=1 3

𝑃=

0 {

; ∑ 𝐹𝑗𝑘 = 0 𝑗=1

Pada sebuah rantai Markov, state sistem pada suatu waktu pengamatan pada umumnya tidak dapat ditentukan secara pasti namun terdapat cara untuk menentukan probabilitas dengan baik secara teoritis untuk setiap state yang mungkin. Sebagai contoh pada sebuah rantai Markov dengan 𝑘 state yang dapat diuraikan kemungkinan state sistem tersebut pada suatu pengamatan dengan sebuah vektor kolom sebagai berikut: 𝑥1 𝑥2 𝒙=[ ⋮] 𝑥𝑘 dimana 𝑥1 merupakan probabilitas bahwa sistem tersebut berada pada state 1, 𝑥2 merupakan probabilitas bahwa sistem tersebut berada pada state 2, dan seterusnya hingga 𝑥𝑛 yang merupakan probabilitas bahwa sistem tersebut berada pada state 𝑛. Secara umum hal tersebut didefiniskan sebagai berikut. Ilham Alpian, 2016 ANALISIS INDEKS HARGA SAHAM MENGGUNAKAN METODE VALUE AT RISK DENGAN PENDEKATAN EKSPANSI CORNISH FISHER DAN METODE RANTAI MARKOV Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu

26

Definisi 3.2.3 State Vector (Anton & Rorres, 2011, hlm. 555). State vector untuk sebuah pengamatan pada suatu rantai Markov yang mempunyai 𝑘 state adalah sebuah vektor kolom x dimana komponen ke-i, yakni xi merupakan probabilitas bahwa sistem berada pada state ke-i pada saat itu. Contoh 3.2.1 Misal diketahui peluang besok hujan jika hari ini hujan adalah 0,8 dan peluang besok hujan jika hari ini tidak hujan adalah 0,3. Maka tentukan matriks transisi dari permasalahan tersebut. Penyelesaian: Karena peluang besok hujan jika hari ini hujan adalah 0,8 maka peluang besok tidak hujan jika hari ini hujan adalah 0,2. Karena peluang besok hujan jika hari ini tidak hujan adalah 0,3 maka peluang besok tidak hujan jika hari ini tidak hujan adalah 0,7. Misal 𝑃 merupakan matriks transisi dari permasalahan tersebut maka,

Kondisi cuaca hari ini A B

0,8 0,3 𝑃=[ ] 0,2 0,7

A B

Kondisi cuaca besok hari

Dalam contoh tersebut, matriks transisi rantai Markov memiliki sifat bahwa entri-entri pada masing-masing kolom memiliki jumlah 1, hal tersebut disebabkan karena 𝑃 = [𝒑𝑖𝑗 ] merupakan matriks transisi rantai Markov akibatnya untuk setiap j akan diperoleh 𝒑1𝑗 + 𝒑2𝑗 = 1. Persamaan Chapman-Kolmogorov (Eunike, 2015, hlm. 5). Persamaan ChapmanKolmogorov berguna untuk menentukan probabilitas transisi 𝑛-step, 𝒑(𝑖𝑗𝑛) sebagai berikut, 𝑀 (𝑛)

𝒑𝑖𝑗 = ∑ 𝒑(𝑖𝑘𝑚) 𝒑(𝑘𝑗𝑛−𝑚) 𝑘=0

, untuk semua 𝑖, 𝑗, 𝑛 dan 0 ≤ 𝑚 ≤ 𝑛. Ilham Alpian, 2016 ANALISIS INDEKS HARGA SAHAM MENGGUNAKAN METODE VALUE AT RISK DENGAN PENDEKATAN EKSPANSI CORNISH FISHER DAN METODE RANTAI MARKOV Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu

(3.9)

27

Bentuk khusus dari persamaan Chapman-Kolmogorov sebagai berikut: untuk 𝑚 = 1, 𝑀 (𝑛)

𝒑𝑖𝑗 = ∑ 𝒑𝑖𝑘 𝒑(𝑘𝑗𝑛−1)

(3.10)

𝑘=0

untuk 𝑚 = (𝑛 − 1), 𝑀 (𝑛)

𝒑𝑖𝑗 = ∑ 𝒑(𝑖𝑘𝑛−1) 𝒑𝑘𝑗

(3.11)

𝑘=0

, untuk semua 𝑖, 𝑗, 𝑛. Oleh karena itu, 𝒑(𝑖𝑗𝑛) dapat dihitung dari 𝒑𝑖𝑗 secara berurutan. Untuk 𝑛 = 2, maka persamaan Chapman-Kolmogorov menjadi seperti berikut: 𝑀

𝒑2𝑖𝑗

= ∑ 𝒑𝑖𝑘 𝒑𝑘𝑗

(3.12)

𝑘=0

, untuk semua 𝑖, 𝑗. (𝑛)

Definisi 3.2.4 (Ching & Ng, 2006, hlm. 5). Didefinisikan 𝑃𝑖𝑗 merupakan matriks (1)

probabilitas dari state i menuju state j setelah n kali transisi. Khususnya 𝑃𝑖𝑗 = 𝑃1𝑖𝑗 . Teorema 3.2.1 (Ching & Ng, 2006, hlm. 5).𝑃(𝑛) = 𝑃𝑛 dimana 𝑃(𝑛) merupakan nlangkah matiks probabilitas transisi dan 𝑃 merupakan matiks probabilitas transisi satu-langkah. Bukti: Akan dibuktikan benar untuk 𝑛 = 1 (1)

Berdasarkan definisi 𝑃𝑖𝑗 = 𝑃1𝑖𝑗 Asumsikan benar untuk 𝑛 = 𝑚 𝑃(𝑚) = 𝑃𝑚 = ⏟ 𝑃 𝑥 𝑃 𝑥…𝑥 𝑃 𝑠𝑒𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑚 𝑘𝑎𝑙𝑖

Akan ditunjukan benar untuk 𝑛 = 𝑚 + 1 (𝑚+1)

𝑃𝑖𝑗

1 𝑚+1 = ∑ 𝑃𝑘𝑖𝑚 𝑃𝑗𝑘1 = ∑ 𝑃𝑚 ] 𝑘𝑖 𝑃𝑗𝑘 = [𝑃 ( ) ( )

𝑘∈𝑀

𝑘∈𝑀

𝑖𝑗

(3.13)


28

Berdasarkan pembuktian dengan menggunakan induksi matematika sehingga terbukti bahwa 𝑃(𝑛) = 𝑃𝑛 . Karena 𝑝(2) merupakan elemen matriks dari matriks 𝑃(2) maka `dengan 𝑖𝑗 mengalikan matriks probabilitas transisi 1 langkah dengan dirinya sendiri sehingga diperoleh, 𝑃(2) = 𝑃2 Secara umum maka akan diperoleh, 𝑃(𝑛) = 𝑃𝑛 𝑃(𝑛) = 𝑃 𝑃𝑛−1

(3.14)

Definisi 3.2.5 Reachable (Ching & Ng, 2006, hlm. 7). State 𝑗 dikatakan reachable dari state 𝑖 jika 𝑝(𝑖𝑗𝑛) > 0 untuk 𝑛 ≥ 0. Artinya dengan berawal dari state 𝑗 dapat menuju state 𝑖 dengan 𝑛 transisi. Definisi 3.2.6 Communicate (Ching & Ng, 2006, hlm. 7). State 𝑖 dan state 𝑗 dikatakan communicate jika state 𝑖 dan state 𝑗 saling reachable. Definisi 3.2.7 Irreducible (Ching & Ng, 2006, hlm. 8). Rantai markov dikatakan irreducible jika hanya mempunyai satu kelas saja, jadi semua state saling communicate. Definisi 3.2.8 Recurrent dan Transient (Ching & Ng, 2006, hlm. 8). Untuk setiap state 𝑖 pada rantai markov, ambil 𝑓𝑖 yang merupakan probabilitas yang diawali dari state 𝑖, setelah keluar dari state i sistem pasti akan dapat kembali lagi ke state 𝑖. State 𝑖 disebut reccurent jika 𝑓𝑖 = 1 dan transient jika 𝑓𝑖 < 1. Definisi 3.2.9 Period dan Aperiodic (Ching & Ng, 2006, hlm. 14). State dikatakan memiliki period 𝑑 jika 𝑃𝑖𝑖𝑛 = 0 untuk setiap n yang tidak bisa dibagi d, dan d adalah ( )

bilangan bulat terbesar. Jika state tersebut memiliki period 1 maka disebut aperiodic.


29

Definisi 3.2.10 Positif Recurrent (Ching & Ng, 2006, hlm. 14). State 𝑖 dikatakan positif recurrent, jika state 𝑖 recurrent dan jika dimulai dari state 𝑖, waktu harapan sampai proses kembali lagi ke state 𝑖 adalah terbatas. Definisi 3.2.11 Egordic (Ching & Ng, 2006, hlm. 14). Jika suatu state bersifat positif recurrent dan aperiodik maka state tersebut disebut ergodic. Teorema 3.2.2 (Anton & Rorres, 2011, hlm. 555). Jika P merupakan matriks transisi dari rantai Markov dan 𝒙(𝑛) adalah state vector pada pengamatan ke-𝑛, maka 𝒙(𝑛+1) = 𝑃𝒙(𝑛) . Bukti: Karena 𝑃 merupakan matriks transisi dari rantai Markov, dan berdasarkan persamaan Chapman-Kolmogorov diperoleh, 𝑃(𝑛+1) = 𝑃 𝑃𝑛

(3.15)

karena 𝒙(𝑛) adalah state vektor pada pengamatan ke-n yang merupakan salah satu kolom dari 𝑃, maka jelas 𝒙(𝑛+1) = 𝑃𝒙(𝑛) Contoh 3.2.2 Berdasarkan contoh 3.2.1, tentukanlah

vektor keadaan pada

pengamatan ke-3 jika diketahui bahwa vektor keadaan awalnya adalah [0 1]𝑇 . Penyelesaian: Misal 𝒙(𝒊) menyatakan vektor keadaan pada saat i. Dengan menggunakan teorema 3.2.2 maka diperoleh, 0,8 0,3 0 0,3 ][ ] = [ ] 0,2 0,7 1 0,7 0,8 0,3 0,3 0,45 𝒙(𝟐) = 𝑷𝒙(𝟏) = [ ][ ] = [ ] 0,2 0,7 0,7 0,55 𝒙(𝟏) = 𝑷𝒙(𝟎) = [

𝒙(𝟑) = 𝑷𝒙(𝟐) = [ Sehingga

diperoleh

vektor

0,8 0,3 0,45 0,525 ][ ]=[ ] 0,2 0,7 0,55 0,475

keadaan

pada

pengamatan

ke-3

yaitu

𝒙(𝟑) = [0,525 0,475]𝑇 . Definisi dan teorema tersebut sangatlah penting untuk mengetahui kondisi setelah proses berjalan lama yaitu 𝒙(𝑛) untuk 𝑛 → ∞. Dengan kata lain dapat Ilham Alpian, 2016 ANALISIS INDEKS HARGA SAHAM MENGGUNAKAN METODE VALUE AT RISK DENGAN PENDEKATAN EKSPANSI CORNISH FISHER DAN METODE RANTAI MARKOV Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu

30

dipelajari kelakuan dari suatu rantai Makov. Sebelumnya akan dilakukan pembahasan terlebih dahulu mengenai rantai Markov dengan matriks peluang transisi regular dan bagaimana distribusi limitnya. Misalkan 𝑃 adalah matriks peluang transisi dari suatu rantai Markov dengan 𝑛 keadaan yaitu 1, 2, … , 𝑛. Matriks 𝑃 disebut dengan maatriks regular jika memenuhi: (i)

Untuk setiap pasangan 𝑖 dan 𝑗, selalu ada keadaan 𝑘1 , 𝑘2 , … , 𝑘𝑛 dimana 𝑝𝑖𝑘1 𝑝𝑘1𝑘2 … 𝑝𝑘𝑖𝑗 > 0;

(ii)

Sekurang-kurangnya terdapat satu keadaan 𝑖 dimana 𝑝𝑖𝑖 > 0. Perhatikan syarat (i) untuk matriks regular dimana 𝑝𝑖𝑘1 𝑝𝑘1𝑘2 … 𝑝𝑘𝑖𝑗 > 0 yang

merupakan komponen dari elemen-elemen matriks peluang transisi 𝑡 langkah. Berdasarkan hal tersebut dapat disimpulkan bahwa untuk suatu matriks peluang transisi regular terdapat 𝑛 dimana peluang transisi dari satu kedaan menuju keadaan lainnya dalam 𝑛 langkah selalu bernilai positif. Oleh karena itu suatu matriks peluang transisi 𝑃 dikatakan regular jika memiliki sifat yaitu jika dipangkatkan oleh suatu konstanta positif maka matriks 𝑃𝑛 seluruh elemen bernilai positif. matriks peluang transisi dari suatu rantai Markov dengan keadaan demikian disebut dengan regular yang ditulis dalam definisi 3.2.12. Definisi 3.2.12 Matriks Transisi Reguler (Anton & Rorres, 2011, hlm. 558). Sebuah matriks transisi bersifat reguler jika suatu pangkat bulat dari matriks tersebut mempunyai entri-entri positif. Teorema 3.2.3 (Anton & Rorres, 2011, hlm. 558). Jika 𝑃 adalah sebuah matriks transisi regular, maka ketika 𝑛 → ∞ 𝑞1 𝑞1 … 𝑞1 𝑞 𝑞 … 𝑞2 𝑃𝑛 → ⋮2 ⋮2 ⋱ ⋮ … 𝑞𝑘 ] 𝑞 𝑞 [ 𝑘 𝑘 dimana 𝑞𝑖 adalah bilangan-bilangan positif sedemikian rupa sehingga 𝑞1 + 𝑞2 + ⋯ + 𝑞𝑘 = 1.


31

Karena 𝑃 merupakan matriks regular, maka 𝑃 irreducible, aperiodic, dan sifat Transien sehingga setelah proses berawal dari keadaan i, peluang untuk kembali ke keadaan i setelah suatu selang interval waktu tertentu sama dengan satu. Berdasarkan hal tersebut dapat dilihat bahwa setiap rantai Markov reguler mempunyai sebuah vektor state tetap 𝒒 sedemikian sehingga 𝑃𝑛 𝒙(𝟎) mendekati 𝒒 untuk 𝑛 → ∞ pada sebarang pilihan 𝒙(𝟎) dimana hal tersebut ditulis pada teorema 3.2.4. Teorema 3.2.4 (Anton & Rorres, 2011, hlm. 559). Jika P adalah sebuah matriks transisi regular dan x adalah suatu vektor probabilitas, maka Pnx ketika 𝑛 → ∞ atau ditulis sebagai berikut: 𝑞1 𝑞 𝑃𝑛 𝒙 → ⋮2 = 𝒒 [𝑞𝑘 ] dimana q adalah sebuah vektor probabilitas tetap, yang tidak tergantung pada n, dan semua entrinya adalah positif. Bukti: Misalkan Q adalah sebuah matriks transisi dimana seluruh kolomnya sama dengan vektor probabilitas q yang didefinisikan sebagai berikut: 𝑞1 𝑞1 … 𝑞1 𝑞1 𝑞2 𝑞2 … 𝑞2 𝑞2 𝑄= [⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ] dan 𝒒 = [ ⋮ ] 𝑞𝑘 𝑞𝑘 … 𝑞𝑘 𝑞𝑘 Berdasarkan teorema 3.2.3 terlihat bahwa 𝑃𝑛 → 𝑄 ketika 𝑛 → ∞. Artinya 𝑃𝑛 𝒙 → 𝑄𝒙. Q memiliki sifat jika x adalah suatu vektor probabilitas, maka diperoleh hasil sebagai berikut: 𝑞1 𝑞 𝑄𝒙 = ⋮2 [𝑞𝑘

𝑞1 … 𝑞1 𝑥1 𝑞2 … 𝑞2 𝑥2 ⋮ ⋱ ⋮ [⋮] 𝑞𝑘 … 𝑞𝑘 ] 𝑥𝑘

𝑞1 𝑥1 + 𝑞1 𝑥2 + ⋯ + 𝑞1 𝑥𝑘 𝑞 𝑥1 + 𝑞2 𝑥2 + ⋯ + 𝑞2 𝑥𝑘 = 2 ⋮ 𝑞 𝑥 + 𝑞 𝑥 [ 𝑘 1 𝑘 2 + ⋯ + 𝑞𝑘 𝑥𝑘 ] Ilham Alpian, 2016 ANALISIS INDEKS HARGA SAHAM MENGGUNAKAN METODE VALUE AT RISK DENGAN PENDEKATAN EKSPANSI CORNISH FISHER DAN METODE RANTAI MARKOV Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu

32

𝑞1 𝑞2 = (𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑘 ) [ ⋮ ] 𝑞𝑘 = (1)𝒒 =𝒒 Karena 𝑃𝑛 𝒙 → 𝑄𝒙 ketika 𝑛 → ∞ dan 𝑄𝒙 = 𝒒 maka terbukti bahwa 𝑃𝑛 𝒙 → 𝒒 ketika 𝑛 → ∞. Sehingga untuk sebuah rantai Markov reguler, sistem tersebut pada akhirnya mendekati sebuah vektor state tetap 𝒒 yang disebut dengan Steady-state vector dari suatu rantai Markov reguler. Selain dengan cara tersebut terdapat cara lain untuk memastikan bahwa 𝒒 merupakan vektor Steady-state yaitu mengecek apakah 𝒒 yang diperoleh memenuhi empat syarat pada definisi 3.2.13 dimana keberadaan 𝒒 tunggal yang ditulis pada teorema 3.2.5. Definisi 3.2.13 (Ching & Ng, 2006, hlm. 15) vektor 𝒒 disebut distribusi stasioner (steady-state) jika memenuhi, 𝑞1 𝑞2 (i) 𝒒=[⋮] 𝑞𝑘 (ii)

𝑞𝑖 ≥ 0, ∀ 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘

(iii)

∑𝑘𝑖=0 𝑞𝑖 = 1

(iv)

𝑃𝒒 = 𝒒

Teorema 3.2.5 (Anton & Rorres, 2011, hlm. 559). Vektor Steady-state q dari sebuah matriks transisi regular P merupakan vektor probabilitas yang unik, yang memenuhi persamaan 𝑃𝒒 = 𝒒. Bukti: 𝑃𝑛+1

= 𝑃𝑛+1

𝑃1+𝑛

= 𝑃𝑛+1 ; karena memenuhi sifat assosiatif

𝑃𝑃𝑛

= 𝑃𝑛+1 ; karena lim 𝑃𝑛 = lim 𝑃 = 𝑄 maka diperoleh, 𝑛→∞

𝑛→∞


33

𝑃𝑄

=𝑄

𝑃𝒒

=𝒒

; misal q adalah vektor probabilitas dari matriks Q yang menyebabkan (3.16)

akan ditunjukan bahwa keberadaan q tunggal. Misal r merupakan vektor probabilitas lain dari matriks Q yang menyebabkan 𝑃𝒓

=𝒓

kemudian perhatikan juga bahwa 𝑃𝑛 𝒓 = 𝒓 ; ketika 𝑛 → ∞. Berdasarkan teorema 3.2.4 karena 𝑃𝑛 𝒓 → 𝑄𝒓 = 𝒒 ketika 𝑛 → ∞, maka 𝑃𝑛 𝒓 = 𝒒 ketika 𝑛 → ∞ sedangkan 𝑃𝑛 𝒓 = 𝒓 ketika 𝑛 → ∞, artinya dapat disimpulkan bahwa 𝒓 = 𝒒. Sehingga terbukti bahwa Vektor Steady-state q dari sebuah matriks transisi regular P merupakan vektor probabilitas yang unik, yang memenuhi persamaan 𝑃𝒒 = 𝒒 Perhatikan bahwa teorema 3.2.5 dapat dinyatakan pula sebagai berikut: 𝑃𝒒

=𝒒

𝑃𝒒

=𝐼𝒒

0

= 𝐼 𝒒 − 𝑃𝒒

0

= (𝐼 − 𝑃)𝒒

; 𝐼 merupakan matriks identitas

(3.17)

Sehingga diperoleh bentuk lainnya dari teorema 3.2.5 yaitu (𝐼 − 𝑃)𝒒 = 𝟎 dimana q1 + q2 + ... + qk = 1. Contoh 3.2.3 Berdasarkan contoh 3.2.1, tentukanlah

vektor steady state dan

buktikanlah. Penyelesaian: Misal 𝒒 menyatakan vektor steady state. Dengan menggunakan persamaan 3.19 maka diperoleh, 𝟎 0 0

[ ]

0 0

[ ]

= (𝐼 − 𝑃)𝒒 𝑞 0,8 0,3 = ([1 0] − [ ]) [𝑞1 ] 0,2 0,7 0 1 2 0,2 −0,3 𝑞1 =[ (i) ] [ ] −0,2 0,3 𝑞2

Persamaan (i) akan menghasilkan persamaan bebas tunggal sebagai berikut, 0

= 0,2𝑞1 − 0,3𝑞2

𝑞1

= 2 𝑞2

3


34

dengan memisalkan 𝑞2 = 𝑠 dimana 𝑠 merupakan konstanta sembarang maka setiap solusi dari (i) akan berbentuk 3 𝒒 = 𝑠 [2 ] 1 Untuk membuat 𝒒 menjadi vektor probabilitas maka tetapkan 𝑠 = 3 2

1 +1

2

= 5. Akibatnya

3 3 2 3 𝒒 = 𝑠 [2] = ( ) [2] = [5] 2 5 1 1 5 Akan ditunjukan bahwa 𝒒 merupakan vektor steady-state 3

(i)

𝑞1 𝒒 = [𝑞 ] = [52] 2 5

(ii)

Akan ditunjukan bahwa 0 ≤ 𝑞𝑖 ≤ 1, ∀ 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘 3

3

2

2

𝑞1 = 5, sehingga 0 ≤ 𝑞1 = 5 ≤ 1 dan 𝑞2 = 5, sehingga 0 ≤ 𝑞2 = 5 ≤ 1 (iii)

Akan ditunjukan bahwa ∑𝑘𝑖=0 𝑞𝑖 = 1 2

∑ 𝑞𝑖 = 𝑞1 + 𝑞2 = 𝑖=0

(iv)

3 2 + =1 5 5

Akan ditunjukan bahwa 𝑃𝒒 = 𝒒 3 30 3 0,8 0,3 5 [ ] [ ] = [50] = [5] 20 2 0,2 0,7 2 5 50 5 3

Berdasarkan (i), (ii), (iii), dan (iv) maka terbukti bahwa 𝒒 = [52]merupakan vektor 5

steady-state.


35

3.3.

PROSEDUR METODE VALUE AT RISK DENGAN MENGGUNAKAN PENDEKATAN CORNISH FISHER DAN METODE RANTAI MARKOV Berdasarkan pembahasan diatas maka dapat ditulis prosedur untuk melakukan

analisis pada indeks harga saham. Selanjutnya akan ditulis prosedur analisis indeks harga saham baik menggunakan metode Value at Risk dengan menggunakan pendekatan Cornish Fisher maupun menggunakan metode rantai Markov. Prosedur metode Value at Risk dengan menggunakan pendekatan Cornish Fisher untuk menentukan besar risiko maksimal yang mungkin terjadi adalah sebagai berikut: 1.

Ambil sampel secara berurutan berdasarkan waktu minimal sebanyak 250 data seperti yang dianjurkan oleh Basel II Accord;

2.

Transformasi data indeks harga saham menjadi data return;

3.

Hitung nilai rataan, simpangan baku, skewness dan kurtosis pada data yang akan dianalisis;

4.

Hitung nilai drift dengan persamaan (3.4) pada data return;

5.

volality dengan persamaan (3.5) pada data return;

6.

Tentukan tingkat kepercayaan (1 − 𝛼) ;

7.

Cari nilai kuantil bawah distribusi normal baku yang sesuai dengan tingkat kepercayaan yang dipilih (lihat pada tabel 3.1);

8.

Hitung Value at Risk menggunakan pendekatan ekspansi Cornish Fisher dengan persamaan (3.10);

9.

Interpretasikan hasil perhitungan. Prosedur penggunaan metode rantai Markov untuk mencari vektor Steady-

state adalah sebagai berikut: 1.

Ambil sampel secara berurutan berdasarkan waktu minimal sebanyak 250 data seperti yang dianjurkan oleh Basel II Accord;

2.

Tentukan jumlah state pada data yang akan dianalisis;

3.

Menentukan matriks transisi rantai Markov;

4.

Menentukan matriks peluang transisi rantai Markov;


36

5.

Mengidentifikasi matriks tersebut apakah merupakan matriks transisi regular;

6.

Mencari vektor Steady-state;

7.

Interpretasikan hasil perhitungan.


BAB III METODE PENELITIAN

Recommend Documents