BAB III METODE PENELITIAN

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

BAB III METODE PENELITIAN Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah kajian pustaka dari buku referensi dan karya ilmiah. Karya ilmiah yang digunakan adalah hasil penelitian serta jurnal yang berkaitan dengan stochastic frontier dan metode Bayesian. Adapun langkah-langkah penelitian, yaitu 1.

Menganalisis stochastic frontier

2.

mengkaji ulang model stochastic frontier distribusi normal-gamma, yaitu a)

menunjukkan distribusi bersama dari distribusi normal dan distribusi gamma serta menentukan mean dan variansi dari masingmasing distribusi,

b)

menentukan distribusi bersama dari kombinasi linear

,

c)

menunjukkan distribusi marginal dari fungsi distribusi eror, , dan menentukan mean dan variansinya,

d)

menentukan harga harapan dari fungsi densitas probabilitas Z bersyarat

3.

.

Mengestimasi parameter model stochastic frontier distribusi normalgamma dengan metode Bayesian, yaitu a)

menentukan fungsi likelihood,

b)

menentukan distribusi prior,

c)

menentukan distribusi posterior dan memaksimumkan distribusi posterior yang diperoleh dengan menyelesaikan persamaan turunan parsial pertamanya terhadap parameter

d)

yang disamakan dengan nol.

menentukan nilai estimasi parameter untuk .

19


digilib.uns.ac.id 20

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN Bab ini dibahas kajian ulang model stochastic frontier distribusi normalgamma dan estimasi parameternya dengan metode Bayesian yang mengacu pada Steel dan Koop [13].

4.1 Stochastic Frontier Stochastic frontier merupakan pendekatan parametrik dengan model stochastic frontier memiliki dua error term yang tidak saling berkorelasi. Analisis ini dikembangkan oleh Aigner et al. [1] berdasarkan persamaan (2.1) pada data panel

Jika

dengan

dan

merupakan fungsi

, diperoleh

terhadap

dan

merupakan kombinasi

error. Data panel merupakan bentuk khusus dari pooled data atau penggabungan data antara data cross-section dan data time series, dengan merupakan unit dari data cross-section dan

merupakan data time

series. Berdasarkan persamaan (2.1) ke persamaan (2.2) dengan merupakan variabel output,

merupakan variabel input dan

merupakan

error dengan dua komponen yang tidak saling berkorelasi. Komponen pertama merupakan faktor error term yang bersifat random dan merepresentasikan statistic noise. Statistic noise merupakan gangguan simetris yang berasal dari sumber variasi data yang tidak dapat dimasukkan kedalam model, yang biasa dikenal dengan sesatan. Komponen kedua merupakan faktor error term yang merepresentasikan inefisiensi. Inefisiensi merupakan ketidakberaturan atau ketidakseimbangan antara input dan output, kemampuan menghasilkan ouput yang maksimal dan optimal dengan input yang ada merupakan ukuran yang diharapkan. Persamaan (2.1) dan (2.2) merupakan



interpretasi data pengamatan yang diharapkan untuk menghasilkan ouput yang maksimal dan optimal dengan input yang ada, dengan dua komponen error tersebut diasumsikan berdistribusi normal dan gamma. Variabel random berdistribusi normal standar,

dan variabel random

berdistribusi gamma,

Secara umum, variabel random

dan

berdistribusi secara identik dan

independen.

4.2 Distribusi Normal-Gamma Variabel random

yang berdistribusi normal dengan parameter

yang dinotasikan

dengan

. Jika

berdasarkan definisi 2.1.4 berlaku,

dan

mempunyai fungsi densitas probabilitas

maka

dan

serta



dan

dari persamaan (4.4), (4.5) dan definisi 2.1.5 berlaku,

Jadi, nilai mean dan variansi dari distribusi normal,

adalah



dan Persamaan (4.1) dikatakan variabel random

yang berdistribusi normal,

berdasarkan persamaan (4.3), (4.4), dan (4.6) mempunyai fungsi densitas probabilitas

dengan nilai mean dan variansinya adalah dan Variabel random

berdistribusi gamma dengan parameter

yang dinotasikan

Berdasarkan definisi 2.1.8 diperoleh

dan

dan

mempunyai fungsi densitas probabilitas



Berdasarkan persamaan (4.9), (4.10) dan definisi 2.1.9 diperoleh

Jadi, nilai mean dan variansi dari distribusi Gamma,

adalah

dan Selanjutnya, ditunjukan fungsi densitas probabilitas bersama dari variabel random

dan

. Berdasarkan persamaan (4.7), (4.8) dan definisi 2.1.10,

diperoleh

Jika konstanta bernilai

dan diambil sembarang dan

, maka

dengan

merupakan

dapat dinyatakan sebagai



dan

Dengan melakukan transformasi,

dan

dengan jacobian dari transformasi tersebut diperoleh

berdasarkan persamaan (4.11) diperoleh fungsi densitas probabilitas untuk adalah

dan



dengan

, dan

Selanjutnya, ditunjukan fungsi densitas probabilitas marginal untuk

.

Berdasarkan definisi 2.1.11 dan persamaan (4.13) diperoleh fungsi densitas probabilitas marginal untuk ,




dengan


merupakan fungsi kumulatif distribusi normal standar dan

merupakan

distribusi truncated normal pada variabel random

mean

dari

nonnegatif

, yang diperoleh berdasarkan

mempunyai fungsi densitas probabilitas untuk ,

sedemikian hingga,

Berdasarkan persamaan (4.14) diperoleh

dan




dengan


,

persamaan (4.12) diperoleh nilai mean adalah

dan berdasarkan



dan variansi adalah

Berdasarkan persamaan (4.15) dan definisi 2.1.15 diperoleh fungsi likelihood dari distribusi normal-gamma adalah

Selanjutnya, menentukan mean dari distribusi Berdasarkan (4.13), (4.14) dan definisi 2.1.14 diperoleh

bersyarat

.



dengan nilai mean adalah

Persamaan (4.19) merupakan nilai yang diharapkan dari data pengamatan. Dasar dari penelitian ini adalah mengkaji ulang model stochastic frontier dan mengestimasi parameter model stochastic frontier berdistribusi normal-gamma dengan metode Bayesian. Berikut ini uraian dari estimasi parameter model stochastic frontier distribusi normal-gamma dengan metode Bayesian.



4.3 Estimasi Parameter Estimasi parameter model stochastic frontier distribusi normal-gamma diperoleh dengan menggunakan metode Bayesian. Dalam metode Bayesian, estimasi parameter diperoleh dengan memaksimumkan distribusi posterior. Berdasarkan teorema bayes, distribusi posterior berasal dari fungsi likelihood dan distribusi prior. Pada subbab ini, pertama ditentukan fungsi likelihood dari distribusi

normal-gamma.

Kedua,

menentukan

distribusi

prior.

Ketiga,

menentukan distribusi posterior dan memaksimumkannya.

4.3.1 Fungsi Likelihood Fungsi likelihood dari distribusi normal-gamma berdasarkan persamaan (4.18) dapat dinyatakan sebagai

dengan

,

,

,

dan

4.3.2 Distribusi Prior Distribusi prior merupakan distribusi awal suatu variabel random sebelum dilakukan pengambilan sampel. Distribusi prior terbagi menjadi dua, yaitu distribusi prior conjugate dan distribusi prior noninformatif. Distribusi prior conjugate merupakan pemberian bentuk distribusi prior

yang sekawan

berdasarkan pola data, sedangkan distribusi prior noninformatif merupakan pemberian bentuk distribusi prior yang tidak sekawan dengan bentuk hasil identifikasi dari data. Pada estimasi parameter dengan metode Bayesian, distribusi posterior lebih mudah diperoleh menggunakan distribusi prior conjugate, yaitu himpunan distribusi yang setiap anggotanya dapat dikombinasikan dengan fungsi likelihoodnya tanpa menimbulkan kesulitan dalam perhitungan. Namun, dalam



pembahasan ini tidak dapat digunakan distribusi prior conjugate dikarenakan fungsi likelihood distribusi normal-gamma belum mempunyai distribusi prior yang conjugate. Menurut Steel and Koop [13], distribusi posterior diperoleh dari fungsi likelihood dan kombinasi distribusi prior noninformatif. Distribusi prior untuk distribusi normal-gamma berdasarkan persamaan (4.20) dan

merupakan distribusi prior normal-gamma untuk

dinotasikan sebagai

dengan

. Menurut Steel dan Koop [13],

masing-masing distribusi prior diasumsikan,

dengan

merupakan fungsi indikator untuk economic regularity condition,

yaitu

Sebagai alternatif, prior untuk

yang proper dan sesuai, biasanya diasumsikan

berdistribusi normal-truncated normal. Distribusi prior untuk

dengan

adalah

merupakan distribusi prior dari distribusi gamma noninformatif

yang dinyatakan dalam persamaan

dengan melakukan tranformasi

maka

,



diperoleh,

untuk

dan

maka

Persamaan (4.22) dapat dinyatakan sebagai distribusi prior invers gamma dengan parameter

dan

. Jika

dan

, maka distribusi prior invers gamma

dinyatakan sebagai

Distribusi prior untuk adalah

dengan

merupakan distribusi prior gamma noninformatif dengan parameter dan

yang dinyatakan dalam persamaan

dengan

. Berdasarkan persamaan (4.21), (4.23) dan (4.24)

diperoleh distribusi prior untuk masing-masing parameter, maka dapat ditentukan distribusi posteriornya.



4.3.3 Distribusi Posterior Distribusi posterior berdasarkan definisi 2.1.17 untuk kontinu adalah

atau

dengan

dan

,

dan

. Berdasarkan persamaan (4.20), (4.21), (4.23)

dan persamaan (4.24) dapat ditentukan distribusi posterior untuk masing-masing parameter. Berikut adalah uraian masing-masing distribusi posterior : 1. Distribusi posterior untuk

dengan

adalah

merupakan fungsi indikator. Berdasarkan kriteria

teorema Bayes, persamaan (4.20) dan (4.21) diperoleh

dan



Karena distribusi posterior untuk

adalah 1, tidak dapat dilakukan estimasi

terhadap parameternya. Berdasarkan persamaan (2.1) diperoleh

dengan asumsi kenormalan pada model regresi linier diperoleh estimasi parameter untuk

adalah

sehingga,

2. Distribusi posterior untuk

adalah

Berdasarkan kriteria teorema Bayes, persamaan (4.20) dan (4.23) diperoleh

Persamaan (4.27) tidak dapat diselesaikan secara analitis. Oleh karena itu, dilakukan penyelesaian dengan pendekatan lain, yaitu berdasarkan asumsi bahwa persamaan (4.1) diperoleh fungsi likelihood adalah



Persamaan (4.28) merupakan distribusi dari sampel normal. Berdasarkan kriteria teorema Bayes, persamaan (4.28) dan (4.23) diperoleh

dan integralnya adalah

misal,


diperoleh




sehingga,

Jadi, distribusi posterior untuk parameter

merupakan distribusi invers gamma dengan

dan

,

berdasarkan persamaan (2.1) diperoleh

dan

3. Distribusi posterior untuk

Berdasarkan

persamaan

adalah

(4.2),

berdistribusi gamma dengan parameter diperoleh fungsi likelihood

diberikan dan

maka

sampel


Berdasarkan persamaan (4.30) dan (4.24) diperoleh

dan integralnya adalah

diperoleh




sehingga,

sedemikian hingga, distribusi posterior untuk gamma dengan parameter

adalah distribusi invers

dan

dinyatakan sebagai

Selanjutnya, berdasarkan persamaan (4.25), (4.26) dan (4.29) diperoleh distribusi posterior untuk masing-masing parameter, maka dapat ditentukan estimasi parameter dengan memaksimumkan persamaan (4.25), (4.26) dan (4.29).

4.3.4 Maksimum Distribusi Posterior Distribusi posterior diperoleh dari fungsi likelihood distribusi prior

dan

dari distribusi normal-gamma berdasarkan Teorema Bayes

pada persamaan (2.3). Distribusi posterior untuk

adalah



Selanjutnya, estimasi parameter distribusi normal-gamma dengan metode Bayesian dilakukan dengan memaksimumkan distribusi posterior. Karena fungsi merupakan bentuk eksponensial, penentuan nilai maksimumnya diperoleh berdasarkan fungsi

yang diubah ke dalam bentuk

logaritma natural dengan fungsi

diselesaikan berdasarkan

turunan parsial pertama terhadap parameternya, kemudian mengambil ruas kanan yang disamakan dengan nol. Berikut uraian dari masing-masing distribusi posterior yang dimaksimumkan : 1.

Nilai

maksimum

untuk

adalah

. Berdasarkan asumsi

dan

dan persamaan (2.1)

diperoleh

dengan

adalah vektor,

yang tidak diketahui dengan

adalah matriks dan

adalah vektor parameter . Persamaan (4.31) dapat

dinyatakan dalam matriks

Estimasi parameter

diperoleh dengan metode kuadrat terkecil, yaitu dengan

meminimumkan bentuk kuadrat error. Jumlah kuadrat error diperoleh


Persamaan (4.32) diturunkan secara parsial terhadap


dan disamakan dengan

nol sehingga diperoleh

2. Turunan parsial pertama untuk ln

adalah

dan menyamadengankan nol,

dan

Jadi, nilai maksimum distribusi posterior untuk

adalah


dengan 3.


adalah fungsi digamma.

Turunan parsial pertama untuk ln

adalah

dan menyamadengankan nol,

dan

Jadi, nilai maksimum distribusi posterior untuk

adalah



dengan

adalah fungsi digamma.

Berdasarkan turunan parsial pertama terhadap masing-masing parameter distribusi posterior, diperoleh nilai maksimum dari distribusi posterior dan diperoleh pula nilai estimasi parameternya. Dengan distribusi posterior yang merepresentasikan inefisiensi teknis diberikan

dengan

merupakan distribusi

bersyarat

dan

merupakan distribusi posterior untuk . Pada proses ditentukan distribusi posterior untuk

terdapat

, dengan

merupakan distribusi yang merepresentasikan inefisiensi teknis, sehingga

dengan

dan

. Pada dasarnya,

fungsi densitas probabilitas

bersyarat

merupakan , dengan

diasumsikan sebagai fungsi yang merepresentasikan inefisiensi. merupakan fungsi densitas probabilitas

bersyarat

, dengan

diasumsikan sebagai fungsi yang merepresentasikan pengukuran efisiensi teknis. Dengan persamaan (4.33) dan (4.34) diperoleh nilai efisiensi dari setiap data pengamatan. Berdasarkan persamaan (4.25), (4.26) dan (4.29) yang diturunkan secara parsial terhadap parameter, diperoleh estimasi parameter yang merepresentasikan technical efficiency pada distribusi normal-gamma dengan metode Bayesian.

4.3.5 Contoh Kasus



Untuk contoh ini diambil data sebaran tenaga kerja berdasarkan lapangan usaha dari tahun 2003-2009 (Buletin Ekonomi Moneter Dan Perbankan Vol. 14. No. 3 Januari 2012). Tabel 1. Sebaran Tenaga Kerja Berdasarkan Lapangan Usaha Pada Tahun 2003-2009 (dalam persen) Sektor 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 Pertanian 46,38 43,33 43,97 42,05 41,24 40,30 39,68 Industri 12,39 11,81 12,72 12,46 12,38 12,24 12,24 Perdagangan, Hotel 18,59 20,40 19,06 20,13 20,57 20,69 20,93 dan Restauran Jasa 10,60 11,22 10,99 11,90 12,03 12,77 13,35 Sumber : Buletin Ekonomi Moneter Dan Perbankan Vol. 14. No. 3 Januari 2012

Hasil dan Pembahasan : Tabel 2. Hasil Efisiensi Sektor Pertanian Industri Perdagangan, Hotel dan Restauran Jasa Efisiensi

2003 2% 8% 5%

2004 2% 8% 5%

2005 2% 8% 5%

2006 2% 8% 5%

2007 2% 8% 5%

2008 2% 8% 5%

2009 3% 8% 5%

9% 79%

9% 81%

9% 72%

8% 93%

8% 73%

8% 61%

7% 65%

Data diolah dari sebaran tenaga kerja berdasarkan lapangan usaha pada tahun 2003-2009. Tabel 2 menunjukkan hasil analisis faktor input dan output, serta diberikan presentase tingkat efisiensi dari yang paling besar ke paling kecil dengan masing-masing nilainya sebesar 93% dan 61%, yang diperoleh berdasarkan model

dengan

nilai

estimasi

untuk Berdasarkan

, maka sektor pertanian

, sektor industri

persamaan

(4.35)

berarti,

jika

dan untuk setiap kenaikan satu satuan , sektor perdagangan

, sektor jasa

maka masing-masing sektor akan mengakibatkan kenaikan terhadap sebaran



tenaga kerja

sebesar 186; 81,4; 125; dan 58,7. Pada sektor pertanian, industri,

perdagangan

dan jasa memberikan tingkat efisiensi yang signifikan setiap

tahunnya. Dengan sektor jasa memberikan tingkat efisiensi sebesar 9% pada tahun 2003-2005, sedangkan tahun 2006-2009 mengalami penurunan secara signifikan. Sektoral yang lain memberikan tingkat efisiensi yang dengan rata-rata yang sama. Sektor industri sebesar 8%, sektor perdagangan sebesar 5% dan sektor petanian memiliki tingkat efisiensi dengan rata-rata presentase terkecil. Grafik 1. Rata-Rata Sebaran Tenaga Kerja Berdasarkan Lapangan Usaha

Sebaran tenaga kerja berdasarkan lapangan usaha di sisi sektoral diberikan dari empat sektor, yaitu pertanian, industri, perdagangan dan jasa. Berdasarkan Grafik 1 tampak terlihat bahwa sektor pertanian dengan rata-rata presentase sebesar 42,42% memiliki peran yang signifikan terhadap pergerakan sebaran tenaga kerja dan diikuti oleh perdagangan, industri, dan jasa dengan rata-rata presentase masing-masing sektor sebesar 20,05%; 12,32%; dan 11,84%. Grafik 2. Peranan Sektor Terhadap Sebaran Tenaga Kerja Tahun 2003-2009



Berdasarkan Grafik 2 tampak terlihat bahwa pada tahun 2003 peran sektoral pertanian, industri, perdagangan dan jasa memberikan peran yang paling besar dengan rata-rata 21,99%, sedangkan pada tahun 2008 mempunyai peran yang paling kecil dengan rata-rata 21,5%. Grafik 3. Plot Distribusi Normal-Gamma

Grafik 3 menunjukkan bahwa probabilitas distribusi normal-gamma dengan

dan

menggambarkan bahwa dua

komponen distribusi error pada stochastic frontier terhadap sebaran tenaga kerja berdasarkan lapangan usaha pada tahun 2003-2009 yang simetris dan asimetris terhadap

nilai

meannya.



BAB III METODE PENELITIAN

Recommend Documents