BAB III MODE EL GELOM MBANG DA AN MODEL ARUS
III.1.. Model Num merik Medaan Gelombaang Untuk daapat menggaambarkan koondisi pola arus di daerah pantai yang y diakibaatkan oleh gelombang, maka kita harus dapat mengetahui kondisi medan gelombbang (Hi,,j,θi,j) di mbang ini akkan menjadii masukan daalam perhituungan daeraah model kitaa. Nantinya medan gelom arus, sebab streess radiasi gelombang merupakan fungsi darri tinggi daan sudut daatang gelom mbang (Sxx(H H,θ), Sxy(H,θ), Syy(H,θ)). STWAVE E mampu meensimulasikaan pengaruhh perubahan kedalaman pada p refrakssi dan shoalling, refrakssi dan shoaaling akibaat arus, gellombang peecah akibat kedalamann dan perubbahan kemirringan pantaai, difraksi, pertumbuhan p n gelombangg akibat anggin, dan inteeraksi antara gelomban ng dengan gelombangg dan whittecapping yang y mendistribusikan dan mengghamburkan energi padaa medan perttumbuhan geelombang.
Gambar G 3.1 Contoh spekktrum gelom mbang satu dimensi d (1-D D)
Spektrum m gelombangg merupakann representassi statistik daari medan geelombang. Secara konseep,
spektru um
adalahh
superposiisi
dari
g gelombang
monokrom matik.
Spekktrum III-1
menggambarkan distribusi energi gelombang sebagai fungsi dari frekuensi (spektrum 1 dimensi) atau frekuensi dan arah (spektrum 2 dimensi). Contoh spektrum gelombang 1 dimensi dapat dilihat pada Gambar 3.1. Puncak perioda berhubungan dengan puncak frekuensi dari spektrum. Tinggi gelombang (signifikan atau tinggi gelombang momen nol) sama dengan empat kali akar kuadrat luas area di bawah spektrum. Pada contoh yang diberikan pada Gambar 3.1, frekuensi puncaknya adalah 0.105 Hz, perioda puncaknya adalah 9.5 detik, dan tinggi gelombangnya 2.8 m. Asumsi yang di gunakan pada STWAVE adalah fasa relatif dari spektrum adalah acak, dan informasi mengenai fasa tidak diperoleh (karena disini merupakan model perata-rataan fasa). Pada aplikasi praktis, informasi mengenai fasa gelombang pada seluruh domain model jarang di ketahui secara cukup akurat untuk memulai menghasilkan fasa model. Biasanya informasi mengenai fasa gelombang hanya diperlukan untuk memperoleh variasi tinggi gelombang dekat bangunan pantai secara detail, refleksi near-field, dan pola difraksi. Sehingga pada situasi ini, model yang menghitung fasa harus diaplikasikan.
III.1.1 Asumsi Model Asumsi yang digunakan pada STWAVE versi 3.0 adalah: a. Mild bottom slope dan refleksi gelombang diabaikan. STWAVE merupakan half plane model, hal ini berarti bahwa energi hanya dapat merambat dari perairan dalam menuju perairan dangkal (87.5 derajat dari sumbu x pada grid, di mana biasanya mendekati arah normal pantai). Gelombang yang memantul dari garis pantai atau daerah yang curam bergerak ke arah luar dari half plane ini, dan hal ini di abaikan. Scater gelombang, akibat struktur tapi bergerak pada arah +x juga di abaikan. b. Kondisi gelombang di laut dalam homogen secara spasial. Variasi spektrtum gelombang di batas laut dalam dari domain model jarang diketahui, dan untuk domain dengan orde puluhan kilometer, di duga cukup kecil. Sehingga, input spektrum pada STWAVE adalah konstan sepanjang batas model.
III-2
c. Gelombang, arus dan angin steady state. Perumusan STWAVE adalah steady state. Perumusan steady state mengurangi waktu komputasi dan hal ini lebih sesuai untuk kondisi gelombang yang variasi kecil dibandingkan dengan waktu yang diperlukan oleh gelombang untuk menjalar pada grid perhitungan. Untuk pembangkitan gelombang, asumsi steady state berarti bahwa angin tetap steady pada waktu yang cukup lama untuk gelombang mencapai kondisi fetchlimited atau kondisi fully develop (gelombang tidak dibatasi oleh durasi angin). d. Refraksi dan shoaling linier. STWAVE hanya menggabungkan refraksi gelombang linier dan shoaling, sehingga tidak representatif untuk gelombang yang tidak simetris. Sehingga akurasi model dalam hal ini berkurang (tinggi gelombang underestimate) untuk bilangan Ursell yang besar. e. Arus seragam terhadap kedalaman Interaksi arus-gelombang pada model didasarkan pada kondisi arus yang konstan terhadap kedalaman. Jika terdapat gradien kecepatan vertikal yang besar, akan menyebabkan refraksi dan shoaling tidak representatif untuk model. f. Gesekan dasar diabaikan Pengaruh gesekan dasar pada disipasi gelombang masih merupakan topik yang diperdebatkan dalam literatur model gelombang. Gesekan dasar selalu diaplikasikan sebagai koefisien yang dimasukkan dalam model untuk mendekati hasil pengukuran. Meskipun gesekan dasar sangat mudah untuk diterapkan dalam model gelombang, tetapi menentukan koefisien gesek yang sesuai sangatlah sulit. Selain itu, jarak penjalaran pada model dekat pantai relatif pendek
(puluhan kilometer), sehingga disipasi akibat
akumulasi gesekan dasar sangatlah kecil. g. Stress radiasi linier Stress radiasi dihitung berdasarkan teori gelombang linier.
III-3
asi Model Gelombang G III.1..2 Diskritisa Sebagaim mana yang teelah diuraikaan pada Bab 2, model gelombang yang digunnakan dalam m Tugas Akh hir ini, ST-W Wave, adalahh model num merik beda hiingga (finitee difference) yang steaddy-state. Mo odel ini difoormulasikan pada grid kartesian k dim mana selnyaa adalah perrsegi. Berdaasarkan sisttem koordinnat lokal yanng dioperasikan dalam ST-Wave maka m diskriitisasi modeel numerik in ni sesuai denngan Gambaar 3.2 .
Gaambar 3.2 Skema S Grid pada p Model ST-Wave (S Sumber : Smith, 2001)
Pada mod del ST-Wavve ini didefiinisikan duaa batas laterral yaitu darratan dan laautan, yang spesifikasin nya berurutaan negatif daan positif. Daaratan bernilai negatif karena k batas akan menggurangi pertu umbuhan geelombang dii dekat bataas. Lautan bernilai b positif karena energi e gelom mbang dapatt mejalar melaluinya.
III.2.. Model Medan Arus Persamaaan pembanguun dipecahkaan secara num merik pada grid g yang beerupa garis luurus dengaan pendekataan perhitunggan finite diff fference. Sem mua penurunnan ruang dibberikan denggan beda pusat, kecuaali untuk benntuk adveksii. Metoda peenyelesaian yang y digunakkan adalah berdaasarkan pend dekatan flukss.
III-4
III.2.1. Penyelesaian Numerik Persamaan Pengatur M2D Persamaan pengatur diselesaikan
pada daerah diskritisasi, dimana setiap selnya
didefinisikan sebagai grid yang rektilinear, seperti ditunjukan pada Gambar 3.3 Masingmasing sel memiliki indeks i dan j sesuai dengan posisinya sepanjang sumbu x dan y pada domain grid. Elevasi muka air dihitung pada bagian tengah sel, sedangkan komponen x dan y kecepatan dihitung pada bagian sisi kiri tengah dan sisi bawah tengah sel. Nilai dari laju aliran (flowrate), qx dan qy dhitung pada posisi yang sama dengan posisi perhitungan u dan v. Setiap sel yang terdapat dalam grid didefinisikan dalam sistem koordinat lokal. Sistem koordinat lokal ini menunjukan atau mewakili sistem koordinat geografis, hal ini dapat dilihat dari spesifikasi sudut antara sumbu y dengan arah utara. Nilai positif dari sudut ini searah dengan jarum jam dan sudut rotasi maksimumnya tidak boleh melebihi 45o, agar orientasi koordinat lokal tersebut tetap mendekati koordinat geografis.
Gambar 3.3. Definisi grid dan variabel untuk M2D
III.2.2. Persamaan Momentum Skema beda hingga (finite-difference) untuk persamaan momentum dalam arah x dilakukan terlebih dahulu, kemudian diikuti dengan arah y. Perhitungan koefisien stress dasar, stress angin, dan koefisien viskositas Eddy pada perairan dangkal mengikuti III-5
pendekatan beda hingga persamaan momentum dalam arah y, karena baik itu dalam arah x maupun y keduanya menghasilkan deskripsi yang sama. Solusi dari persamaan momentum dihubungkan untuk menghitung komponen kecepatan u dan v. Dalam M2D perhitungan dilakukan secara ekplisit, flowrate qxki +, j1 dan q yki+, j1 pada langkah waktu k+1 dihitung dari nilai pada langkah waktu k. Komponen kecepatan u xki +, j1 dan vxki +, j1 dihitung dari nilai qxki +, j1 dan q yki+, j1 .
a. Arah x Persamaan momentum dalam arah x diselesaikan secara eksplisit dengan pendekatan beda hingga untuk volume kontrol yang ditunjukan pada Gambar 3.4 Volume kontrol pada gambar tersebut diperlihatkan dengan garis yang berwarna biru.
Gambar 3.4. Definisi kontrol volume untuk persamaan momentum dalam arah-x
III-6
Persamaan momentum dalam arah-x :
Δqxi , j
(
)
(
)
Δxi , j Δyi , j + Fxki+1/ 2, j − Fxki−1/ 2 j Δyi , j + Gyki , j+1 − Gyki , j Δxi , j
Δt 1 + g ⎡ hi , j + ηik, j 2 ⎣⎢
) − (h
(
)
(
2
i −1, j
)
2 + ηik−1, j ⎤ Δyi , j = ⎦⎥
(
k k ⎡ Dk Dxki−1/ 2, j qxki , j − qxki−1, j xi +1/ 2, j q xi +1, j − q xi , j ⎢ − ⎢ Δxi , j Δxi −1, j ⎣
) ⎤⎥ Δy ⎥ ⎦
i, j
(3.1)
− ( Cb )i , j uik, j U ik. j Δxi , j Δyi , j + τ wik, j Δxi , j Δyi , j k
dimana : Δqxi , j = qxki+, j1 − qxki , j
i,j
= lokasi sel pada grid
k
= langkah waktu
Δxi,j = panjang sel dalam arah x Δyi,j = panjang sel dalam arah y dan
III-7
k i +1/ 2, j
=u
k xi +1/ 2, j
F
' x
q, u
k i +1/ 2, j
if u i +1, j > 0
qx' = qxki , j
if u i +1, j < 0
F
(
2 hi , j + ηik, j
)
,
k
qx' = qxki , j
k xi −1/ 2, j
=
qxki , j + qxki+1, j
k
=u
k i −1/ 2, j
' x
q, u
k i −1/ 2, j
=
qxki , j − qxki−1, j
(
2 hi −1, j + ηik−1, j
)
k
qx' = qxki−1, j
if u i −1, j > 0
qx' = qxki , j
if u i −1, j < 0
k
k
G kyi,j+1 = vi , j +1qx' , v
k i , j +1
=
(h
i, j
+
q yki , j+1
+ ηi , j + hi , j +1 + ηi , j +1 )
(h
q yki−1, j+1
i −1, j
+ ηi −1, j + hi −1, j +1 + ηi −1, j +1 )
(3.2)
k
qx' = qxki , j
if vi , j +1 > 0
qx' = qxki , j+2
if vi , j +1 > 0
k
k
G yki , j = v i , j qx' , v
k i, j
=
q yki , j
(h
i, j
+
+ ηi , j + hi , j −1 + ηi , j −1 )
(h
i −1, j
q yki−1, j
+ ηi −1, j + hi −1, j −1 + ηi −1, j −1 ) k
qx' = qxki , j−1
if v i , j −1 > 0
qx' = qxki , j
if v i , j −1 > 0
k
III-8
Kecepatan arus dalam arah-x, diberikan sbb :
k i, j
u
=2
(h
qxki , j
i, j
+ ηik, j + hi −1, j + ηik−1, j
)
(3.3)
Kecepatan arus total pada persamaan momentum arah-x :
U ik, j = k *
dimana
v
(u ) + (v ) k i, j
(v =
k i, j
2
k *
2
+ vik−1, j + vik, j +1 + vik−1, j +1
(3.4)
)
4
b. Arah-y
Persamaan momentum dalam arah-y diselesaikan secara eksplisit dengan pendekatan beda hingga untuk volume kontrol yang ditunjukan pada Gambar 3.5
Gambar 3.5. Definisi kontrol volume untuk persamaan momentum dalam arah-y
III-9
Persamaan momentum dalam arah-y :
Δq yi , j
(
Δxi , j Δyi , j + Fyk
Δt 1 + g ⎡ hi , j + ηik, j 2 ⎣⎢
(
i, j+ 1
2
− Fyk
i, j− 1
) − (h 2
i , j −1
(
2
) Δx
i, j
(
)
+ Gxki +1, j − Gxki , j Δyi , j
)
2 + ηik, j −1 ⎤ Δxi , j = ⎦⎥
)
(
⎡ Dk q k − q yki , j Dyki , j−1 / 2 q yki , j − q yki , j−1 ⎢ yi , j+1 / 2 yi , j+1 − ⎢ Δyi , j Δyi , j −1 ⎣
) ⎤⎥ Δx ⎥ ⎦
i, j
(3.5)
k − ( Cb )i , j vik, j Vi ,kj Δxi , j Δyi , j + τ wy Δxi , j Δyi , j i, j k
dimana : Δq yi , j = q yki+, j1 − q yki , j dan
k yi , j + 1
=v
F
k i , j + 12
2
' y
q , v
k i , j + 12
=
if vi , j +1 > 0
q 'y = q yki , j +1
if v i , j +1 < 0
=v
F
2
(
2 hi , j + ηik, j
)
,
k
q 'y = q yki , j
k yi , j − 1
q yki , j + q yki , j +1
k
k i , j − 12
' y
q , v
k i , j − 12
=
q yki , j + q yki , j −1
(
2 hi , j −1 + ηik, j −1
)
,
k
q 'y = q yki , j −1
if v i , j −1 > 0
q 'y = q yki , j
if vi , j −1 < 0
k
III-10
k
Gxki+1, j = u i +1, j q 'y , u
k i +1, j
=
qxki+1, j
(h
+ ηi , j + hi +1, j + ηi +1, j )
i, j
+
qxki+1, j −1
(h
i , j −1 + ηi , j −1 + hi +1, j −1 + ηi +1, j −1 )
(3.6)
k
q 'y = q yki , j
if u i +1, j > 0
q 'y = q yki+1, j
if u i +1, j > 0
k
k
Gxki , j = u i , j q 'y , u
k i, j
=
qxki , j
(h
i, j
+
+ ηi , j + hi −1, j + ηi −1, j ) qxki , j−1
(h
i , j −1
+ ηi , j −1 + hi −1, j −1 + ηi +1, j −1 ) k
q 'y = q yki−1, j
if u i −1, j > 0
q 'y = q yki , j
if u i −1, j > 0
k
Kecepatan arus dalam arah-y, diberikan sbb :
v
k i, j
=2
qxki , j
(h
i, j
+ ηik, j + hi , j −1 + ηik, j −1
)
(3.7)
Kecepatan arus pada persamaan momentum arah-y : Vi ,kj =
dimana
(u ) + (v ) k •
2
k •
u
k i, j
(u =
k i, j
2
(3.8)
+ uik+1, j + uik, j −1 + uik+1, j −1 ) 4
III-11
III.2.3. Koefisien gesekan dasar
Koefisien gesekan dasar ( Cb )i , j k
( Cb )i , j =
diberikan oleh :
g
k
( ) Cik, j
(3.9)
2
dimana Ci,j adalah koefisien Chezy, yang dihitung sbb : Cik, j
(R ) =
1/ 6
k i, j
(3.10)
ni , j
dimana Ri,j adalah radius hidrolik yang bergantung terhadap dimensi sel dalam penunjukan arah aliran. Radius hidrolik untuk sebuah sel dihitung sbb : k i, j
R
(h =
i, j
)
+ ηik, j Δs i , j
(3.11)
k i, j
P
dimana Pi,j adalah wetted perimeter dari sel, dan ΔS menunjukan Δx atau Δy sesuai dengan persamaan momentum arah x dan y. Wetted perimeter akan sama dengan ΔS , jika sel tidak memiliki dinding batas (impermeable walls). Namun jika terdapat dinding batas, maka wetted perimeter dihitung sbb :
(
Pi ,kj = Δs i , j + m hi , j + ηik, j
)
(3.12)
dimana m adalah jumlah dari batas tertutup (walls boundaries) yang sejajar dengan komponen kecepatan dan berhubungan dengan ΔS.
III.2.4. Stress Angin
Stress angin dihitung sbb :
τ wx = Cd τ wy
ρa W10k +1 ρw
(
)
2
( )
cos θ k +1
2 ρ = Cd a W10k +1 sin θ k +1 ρw
(
)
( )
(3.13)
III-12
dimana Cd telah dihitung sebelumnya dan W10 dihitung dari W. Ketinggian anemometer dimasukan dalam file input. Gaya pembangkit angin dalam M2D dapat bervariasi terhadap waktu, namun seragam terhadap ruang.
III.2.5. Koefisien viskositas Eddy
Formulasi perhitungan koefisien viskositas Eddy dalam M2D dihitung sbb:
( Do )i +1/ 2, j
k ⎡ U i, j 1⎢ = ⎢1.156 g hi , j + ηik, j Cik, j 2 2 ⎢⎣
( Do )i −1/ 2, j
k ⎡ U i −1, j 1⎢ = ⎢1.156 g hi −1, j + ηik−1, j Cik−1,2 j 2 ⎢⎣
( Do )i , j +1/ 2
k ⎡ U i, j 1⎢ = ⎢1.156 g hi , j + ηik, j Cik, j 2 2 ⎢⎣
k
k
k
(
)
(
( Do )i , j −1/ 2 k
⎤ ⎥ ⎥ ⎥⎦
)
(
)
⎤ ⎥ ⎥ ⎥⎦
⎤ ⎥ ⎥ ⎥⎦
k ⎡ U i , j −1 1⎢ = ⎢1.156 g hi , j −1 + ηik, j −1 2 Cik, j 2−1 ⎢⎣
(
)
(3.14)
⎤ ⎥ ⎥ ⎥⎦
dimana
(
⎡ uik, j + uik+1, j = ⎢ 2 ⎢⎣
) ⎤⎥
U
U
k i −1, j
⎡ uik, j + uik−1, j = ⎢ 2 ⎢⎣
U
k i , j −1
⎡ uik, j −1 + uik+1, j = ⎢ 2 ⎢⎣
( (
(
2
⎡ vik, j + vik, j +1 +⎢ 2 ⎥⎦ ⎢⎣
k i, j
) ⎤⎥
) ⎤⎥
2
⎥⎦
⎡ vik−1, j + vik−1, j +1 +⎢ 2 ⎥⎦ ⎢⎣
(
) ⎤⎥
2
) ⎤⎥
) ⎤⎥
2
2
2
(
⎡ vik, j + vik−1, j −1 +⎢ 2 ⎥⎦ ⎢⎣
(3.15)
⎥⎦
⎥⎦
formulasi ini dihitung, untuk bilangan Manning n > 0. Pada sel yang tidak terdapat gesekan n = 0, D0 = 0,0 m2/s. III-13
III.2.6. Persamaan kontinuitas
Persamaan kontinuitas diselesaikan secara eksplisit, dengan pendekatan beda hingga seperti yang digambarkan pada Gambar 3.6. Pendekatan beda hingga untuk persamaan kontinuitas : Δηi , j Δt dimana
(
k +1
k +1
)
(
Δxi , j Δyi , j + qx i , j − qx i +1, j Δyi , j + q y
Δηi , j = ηik, +j 1 − ηik, j
k +1 i, j
−q y
k +1 i , j +1
) Δx
i, j
=0
(3.16)
sedangkan variabel-variabel lain sudah terlebih dahulu
didefinisikan.
Gambar 3.6. Definisi kontrol volume untuk persamaan kontinuitas
III.2.7. Kondisi Courant
Pada metoda penyelesaian eksplisit, estimasi awal nilai maksimum langkah waktu untuk sebuah grid dihitung dari bilangan Courant ξ , yang diberikan oleh (Richtmeyer dan Morton 1967 )
ξ ≡u
Δt Δs
(2.17) III-14
Teori peenentuan niilai maksim mum dari bilangan b C Courant diperlukan
u untuk
menddapatkan kesstabilan sebuuah persamaaan linier dari model hidrrodinamika beda b hingga.. Pada kon ndisi umum, gaya pembaangkit yangg lebih dari satu s (multipple forcing) dapat d terjaddi dari superrposisi sumbber atau pennambahan teerhadap pasut. Kontribuusi terhadapp arus bisa didapat d dari angin, geloombang perm mukaan, dann debit sungaai. Penghubuungan kompponen keceppatan dengan n setiap jennis gaya pem mbangkit, dittuliskan denngan mengguunakan subsskrip, bilangan Courantt akan lebih akurat bila diberikan d sbbb:
ξ ≡ ( utide + uwind + uwaves + utributary )
Δt Δs
(3.18)
III.2..8. Syarat Batas B Syaraat batas yang g digunakann dalam Tuggas Akhir inni adalah syaarat batas terrbuka untukk laut, dimanna elavasi muka m air ditenntukan dari hasil h model gelombang yang memberikan nilai setup s dan setdown s gellombang. Seedangkan unntuk batas pantai digunnakan syaraat batas terttutup, dimanna tidak terdapat alirann yang tegakklurus garis pantai atau dapat diform mulasikan secara matem matis, menjaadi :
(3.19)
I III-15
