BAB II II.
TEORI TERKAIT TEORI TERKAIT
2.1 Pemodelan Penjalaran dan Transformasi Gelombang
2.1.1 Persamaan Pengatur Berkenaan dengan persamaan dasar yang digunakan model MIKE, baik deskripsi dari suku-suku sumber serta metode solusi numerik yang digunakan, MIKE 21 NSW ini didasarkan pada pendekatan yang diusulkan oleh Holthuijsen et, al 1989. Variasi persamaan angin di MIKE 21 didiskusikan dan dibandingkan dalam Johnson (1998).
Persamaan dasar yang digunakan diturunkan dari persamaan kekekalan massa untuk densitas gerak spektral gelombang. Parameterisasi dari persamaan dalam domain frekuensi dilakukan dengan memasukkan momen ke-nol dan momen ke-1 dari gerak spektrum sebagai variabel tidak bebas. Hal ini mengantarkan kita pada persamaan differensial parsial terkopel. డ൫ೣ బ ൯ డ௫
డ൫ೣ భ ൯ డ௫
డ൫ బ ൯ డ௬
డ൫ భ ൯ డ௬
డሺഇ బ ሻ
డሺഇ భ ሻ
డఏ
డఏ
ൌ ܶ
(2.1)
ൌ ܶଵ
(2.2)
dimana
mo(x,y,)
-
momen ke-nol dari spektrum
m1(x,y,)
-
momen ke-satu dari spektrum
Cgx dan Cgy
-
komponen dalam arah x dan y dari kecepatan grup
C
-
kecepatan penjalaran mewakili perubahan gerak dalam arah
-
arah penjalaran gelombang
T0 dan T1
-
suku-suku sumber
5
Momen-momen ini mn() didefinisikan sebagai densitas gerak spektral gelombang, kecepatan penjalaran gelombang Cgx, Cgy dan C diperoleh menggunakan teori gelombang linier.
݉ ሺߠሻ ൌ ߱ ܣሺ߱ǡ ߠሻ݀߱
(2.3)
dimana merupakan frekuensi absolut dan A adalah densitas gerak spektral gelombang.
Suku-suku di ruas kiri persamaan dasar memasukkan efek refraksi dan pendangkalan, sedangkan suku-suku sumber T0 dan T1 memasukkan efek pembangkitan angin lokal dan dissipasi yang terkait gesekan dasar dan gelombang pecah.
2.1.2 Kriteria Stabilitas Menggunakan metode beda pusat pada arah-y dan upwinded differencing pada arah-, maka kriteria stabilitas adalah (lihat Abbot et, al 1978)
ฬ
ο௫ ೣ ο௬
ฬฬ
ഇ ο௫ ೣ οఏ
ฬͳ
(2.4)
dimana Cgx dan Cgy merupakan komponen dalam arah-x dan arah-y dari kecepatan grup dan C merupakan kecepatan penjalaran mewakili perubahan gerak dalam domain-. Dalam kenyataannya sangat sulit menggunakan criteria ini karena Cgx, Cgy dan C sulit diketahui dengan baik. Untuk kasus tanpa arus, berikut adalah dua pendekatan yang dapat digunakan (lihat Holthuijsen et al, 1989).
௫ ௬
௬ ௫
ܿݏሺߠሻ ቂ
ଵ డௗ ିଵ ௗ డ
ʹ ݊ܽݐሺߠሻ
ቃ
(2.5)
(2.6)
6
Dimana d adalah kedalaman laut dan n adalah koordinat normal terhadap terhadap arah spektral gelombang . Syarat yang pertama diatas dapat disederhanakan menjadi: ௫
݊ܽݐሺߠሻǤ
ଵ డௗ ௗ డ௫
െ
ଵ డௗ
(2.7)
ௗ డ௬
Hal ini juga dapat disederhanakan lebih lanjut dengan mengasumsikan kontur lurus dan sejajar sebagai : ௫
݊ܽݐሺߠሻǤ
ଵ డௗ
(2.8)
ௗ డ௫
2.1.3 Parameter – Parameter Gelombang Tinggi gelombang signifikan Hm0 didefinisikan oleh ܪ ൌ Ͷ ඥܧଵ
(2.9)
dimana total energi gelombang E1 adalah ʹߨ
ͳܧൌ ܧ Ͳሺߠሻ ݀ߠ
(2.10)
rata-rata periode gelombang Tm didefinisikan oleh ʹߨ
ܶ݉ ൌ ߱
(2.11)
ͳ
dimana ߱ͳ ൌ
ʹߨ
ܧ߱ Ͳ Ͳሺ߱ǡߠሻ݀߱݀ߠ
(2.12)
ʹߨ
ܧ Ͳ Ͳሺ߱ǡߠሻ݀߱݀ߠ
arah rata-rata gelombang qm dan deviasi standar berarah didefinisikan oleh : ߠ ൌ ܽ݊ܽݐܿݎ
(2.13)
భ మ
ߪ ൌ ቆʹ ቀͳെሺܽଶ ܾ ଶ ሻ ቁቇ
భ మ
(2.14)
7
dimana ܽൌ
ଵ ଶగ ݏܿ ሺߠሻܧሺߠሻ݀ߠ ாభ
(2.15)
ଵ ଶగ ݊݅ݏ ሺߠሻܧሺߠሻ݀ߠ ாభ
(2.16)
dan
ܾൌ
2.2 Parameter Model Gelombang 2.2.1 Gesekan Dasar Gesekan dasar merupakan proses dimana gelombang kehilangan sebagian dari energinya terkait pengaruh gesekan di dasar laut. Efek ini bersifat kumulatif dan jumlah energi yang terdisipasi bertambah dengan jarak, tinggi gelombang, periode gelombang serta berkurangnya kedalaman.
Formulasi disipasi energi terkait gesekan dasar berdasarkan hukum friksi kuadratik (the quadratic friction law). Disipasi energi untuk gelombang acak tak berarah dengan profil tinggi gelombang Rayleigh (satu nilai frekuensi, ), diberikan oleh Dingemas (1983) sebagai:
ௗா ௗ௧
ൌ
ିଵ ೢ ଼ξగ
ቀ
ఠுೝೞ ଷ
ቁ
ୱ୧୬ሺௗሻ
(2.17)
dimana ܧൌ ܪଶ ௦ Τͺ
(2.18)
Zadalah frekuensi, Hrms adalah akar kuadrat rata-rata dari tinggi gelombang, k adalah bilangan gelombang, d adalah kedalaman dan cfw adalah faktor friksi gelombang. Ekspresi disipasi diatas telah diperluas oleh Holthuijsen et al. (1989) untuk menambahkan profil berarah dari energi gelombang dan pengaruh dari arus.
8
ͲǡʹͶܽ Ȁ݇ே ൏ Ͳ ݂ௐ ൌ ൝ ್ ିǡଵଽସ ሺെͷǡͻ ͷǡʹͳ͵ ቀ ቁ ሻܽ Ȁ݇ே Ͳ
(2.19)
ಿ
dan ܥ௪ ൌ ݂௪ Τʹ
(2.20)
Faktor friksi cfw dapat ditetapkan langsung ataupun menggunakan ekspresi numerik (lihat Jonsson,1966). Gesekan dasar di daerah yang didominasi oleh pasir bergantung pada besarnya butiran dari sedimen dan keberadaan struktur dasar. Untuk lebih rinci dapat dilihat di Nielsen, 1979, dan Roudkivi, 1988. Untuk kasus dimana tidak terdapat struktur dasar, parameter kekasaran Nikuradse (kN) dapat di perkirakan dengan (Nielsen, 1979) ݇ே ൌ ʹǡͷܦହ
(2.21)
Dimana d50 merupakan nilai tengah dari ukuran butiran. Dengan keberadaan riak –riak, kN dapat menjadi jauh lebih besar daripada nilai tersebut dan seharusnya dapat dipekirakan melibatkan karakteristik riak. Kekasaran dasar dapat kemudian menjadi lebih besar dengan adanya vegetasi. Umumnya cukup sulit untuk menaksir parameter ini, dengan begitu parameter ini digunakan sebagai faktor kalibrasi.
2.2.2 Gelombang Pecah Gelombang pecah merupakan proses dimana gelombang kehilangan energi saat gelombang tumbuh terlalu curam (mencapai batas kecuraman) dan menjadi tidak stabil, atau saat gelombang menjadi terlalu tinggi untuk ditopang oleh kedalaman.
Formulasi gelombang pecah terkait kecuraman gelombang yang besar dan batas kedalaman didasarkan dari persamaan yang dikembangkan oleh Battjes dan Janssen, 1978. Mereka memasukkan ekspresi berikut untuk laju dimana energi terdisipasi terkait gelombang pecah.
9
ௗா ௗ௫
ൌ
ିן ଼గ
ଶ ܳ ߱ܪ
(2.22)
dimana ଵିொ್ ሺொ್ ሻ
ൌ െቀ
ுೝೞ ଶ ு
ቁ
(2.23)
E adalah energi total, Z adalah frekuensi, Hrms adalah nilai rms dari tinggi gelombang, Hm adalah nilai maksimum tinggi gelombang yang diperkenankan, Qb adalah fraksi dari gelombang pecah D adalah konstanta yang dapat diatur. Qb mengontrol laju dari disipasi, dan ketinggian gelombang maksimum dihitung oleh: ܪ ൌ ߛଵ ݇ ିଵ ሺ
ఊమ ௗ ఊభ
ሻ
(2.24)
dimana k adalah bilangan gelombang, d adalah kedalaman laut J1 dan J2 adalah dua parameter gelombang pecah. J1 mengontrol kondisi kecuraman dan J2 mengontrol kondisi kedalaman batas. Dengan menaikkan J1, kecuraman terkait pecahnya gelombang akan berkurang. Empat referensi acuan penetapan parameter-parameter gelombang adalah : x
Parameter J1, J2 dan D ditentukan langsung sebagai nilai yang konstan dalam daerah gelombang. Baltjes dan Janssen (1978) menggunakan nilai-nilai berikut untuk tiga konstanta gelombang pecah yaitu :
J1 = 0,88, J2 = 0,8 dan D x
Battjes dan Stive (1985). Disini
J2 ditentukan langsung sebagai fungsi
parameter gelombang laut dalam. J1 dan D ditentukan langsung sebagai nilai yang konstan. Pada sebuah tulisan oleh Baltjes dan Stive (1985), dikemukakan bahwa nilai J2 didapatkan dengan mengkalibrasi model disipasi terhadap model gelombang. Diperoleh bahwa : ߛଶ ൌ Ͳǡͷ ͲǡͶǤ ݄݊ܽݐሺ͵͵Ǥ ܵ ሻ
(2.25)
10
dimana ܵ adalah kecuraman gelombang datang (So = Hrms / Lpuncak,laut dalam, dimana Lpuncak,laut dalam adalah panjang gelombang pada puncak dari spektrum gelombang dating yakni pada laut dalam. Dalam Baltjes & Stive (1985),
D dan J1 = 0,88. x
Nelson (1987). Disini J2 adalah fungsi dari kemiringan dasar lokal. Kecuraman terkait gelombang pecah ditiadakan (J1 tidak digunakan). D langsung ditentukan sebagai nilai yang konstan. Nelson (1987) mengusulkan bahwa terdapat ketergantungan dari gelombang pecah yang diakibatkan oleh kemiringan dasar lokal berdasarkan
ߛଶ ൌ Ͳǡͷͷ ͲǡͺͺǤ ݁ ݔቀെͲǤͲͳʹǤ
ଵ ௧ ఏ
ቁ
(2.26)
dimana ߠ ݊ܽݐadalah slope dasar. Ekspresi ini valid untuk ߠ ݊ܽݐ0 dengan kata lain berkurangnya kedalaman dalam arah penjalaran gelombang. x
Parameter J1, J2 dan D ditentukan sebagai peta dua dimensi.
Di kemudian hari nilai untuk J1 = 1.0 diusulkan Holthuijsen et.al (1989). Efek dari gelombang pecah dalam perioda gelombang rata-rata dapat dimasukkan. Dalam hal ini, diasumsikan bahwa disipasi energi terkait gelombang pecah dikonsentrasikan pada sisi frekuensi rendah dari spektrum frekuensi. Karenanya, gelombang pecah mempunyai pengaruh pengurangan periode gelombang pecah rata-rata. 2.3 Transformasi Gelombang dalam Perairan Dangkal Gelombang akan mengalami transformasi ketika gelombang menjalar di perairan dangkal, baik perubahan kecepatannya, tinggi dan mungkin arahnya. Parameter yang tidak mengalami perubahan sepanjang perambatannya adalah periode, karena jumlah gelombang persatuan waktu yang melalui titik - titik yang berurutan adalah sama.
11
Penyebab utama transformasi gelombang adalah terdapat variasi kedalaman pada perairan dangkal. Perubahan bentuk gelombang dapat berupa shoaling (efek pendangkalan), refraksi (pembelokkan) dan breaking (pecahnya Gelombang). Jika gelombang membentur suatu halangan (berupa breakwater atau karang), maka gelombang tersebut akan mengalami hamburan atau difraksi. Perubahan – perubahan yang terjadi dari suatu gelombang dalam penjalarannya dari laut dalam ke arah pantai, antara lain :
2.3.1 Pendangkalan Pendangkalan (shoaling) adalah proses berubahnya profil gelombang sewaktu bergerak akibat berkurangnya kedalaman air pada waktu gelombang bergerak. Fasa gelombang dan kecepatan grup gelombang menjadi fungsi kedalaman ketika kedalaman berkurang sekitar seperempat panjang gelombang di laut dalam. Sedangkan perioda gelombang dan frekuensi gelombang tidak berubah ketika gelombang mendekat ke pantai, dan komponen ini dipakai untuk menghitung parameter shoaling. Tinggi gelombang akan membesar ketika kecepatan grup gelombang melambat. Asumsi yang digunakan adalah daya dari gelombang itu, akan tetap sepanjang dia merambat.
ு ுబ
ൌට
ಸబ ಸ
ൌට
ଵ ଵ ಸ ଶ
ൌ ܭ௦
(2.27)
Dimana Ks adalah koefisien pendangkalan yang bergantung pada kedalaman, dan menyatakan besarnya perubahan tinggi gelombang akibat pendangkalan.
2.3.2 Refraksi Refraksi atau pembelokkan terjadi pada keadaan suatu gelombang datang dari perairan dalam dengan suatu sudut tertentu ke perairan dangkal, yang menyebabkan suatu muka gelombang akan menyentuh kedalaman yang berbeda dan hal ini akan
12
m menyebabkan n perbedaaan kecepataan dari satu u muka geelombang teersebut. Ad danya peerbedaan keecepatan disebabkan karena k satu sisi muka gelombang g telah mem masuki peerairan danngkal yanng menyebbabkan keccepatan faasa gelombbang berku urang seedangkan siisi lain yang masih beerada di perrairan dalam m bergerak lebih cepaat dari sisi yang lainn.
Gambar 1. Reefraksi Gelom mbang yang M Menjalar Darri Perairan Dalam D ke Perairan Dangk kal. Su umber: ((h http://www.su urfline.com/ssurfnews/imaages/2008/02_ _february/ca__swell_3/full/b bryant_oc.jp pg,9 Jaanuari 2009)
Perbeedaan keceppatan ini akan a berkurrang setelahh muka geelombang berada b paada kontur kedalamann yang sama, artinya muka m gelom mbangnya ttelah sejajaar dan keecepatannyaa sama dann masuk kee pantai mu uka gelombbang sejajarr dengan pantai, naamun keadaaan lain jugga mungkinn terjadi, dim mana mukaa gelombanng tetap bergerak seeolah-olah membelok dan masuk kepantai dengan suudut tertenntu. Refrakssi ini m memilki penngaruh yangg signifikaan terhadap tinggi gellombang daan profil energi e geelombang seepanjang paantai. A Asumsi yangg digunakann dalam mennganalisa reefraksi adalaah :
Energi yaang terkanduung diantarra dua lintassan gelombaang tertentuu adalah tetaap.
Lintasan gelombang tegak luruss dengan mu uka gelombbang
Pada suaatu periodee tertentu, kecepatan gelombangg disuatu ttitik di perrairan dangkal hanya h bergaantung padaa kedalaman n laut di titikk tersebut.
13
Perubahan batimetri secara bertahap
Gelombang memiliki perioda tetap, muka gelombang panjang tak hingga, amplitudo kecil dan monokhromatis
Pengaruh arus laut, angin, pemantulan gelombang dan gesekan dasar tidak diperhitungkan
Gambar 2. Sinar Gelombang Memasuki Perairan Dangkal. Sumber: (Dean & Dalrymple, Water Wave Mechanics for Engineers and Scientists, Prentice-Hall, New Jersey, 1984)
Akibat asumsi diatas enegi ditransmisikan secara konstan diantara ortogonalortogonalnya. Pada perairan dalam energi yang ditransmisikan menembus bidang diantara dua ortogonal yang berdekatan. Fluks energi rata-ratanya adalah: ଵ ܲഥ ൌ ܾ ܧ ܥ ଶ
(2.28)
Energi dalam kolom ini konstan sampai perairan dangkal ܲത ൌ ܾ݊ܧത ܥ
(2.29)
ܲሺ௨௧ௗሻ ൌ ܲଵሺ௨௧ௗሻ
(2.30)
ሺ݊ܥܧሻ ܾ ൌ ሺ݊ܥܧሻଵ ܾଵ
(2.31)
dimana bo = jarak orthogonal di perairan dalam.
14
ଵ
Dengan ܧൌ ߩ݃ ܪଶ dan no = 1 maka didapatkan: ଼
ܪଵ ൌ ܪ ට
బ బ
ଵ బ
ටబ ൌ ܪ ට
భ భ
భ
భ
భ
ටబ భ
(2.32)
dengan
ܭ ൌ ට
బ భ
ൌට
ୡ୭ୱ ఏబ ୡ୭ୱ ఏభ
ర
ൌට
ଵି௦మ ఏబ ଵି௦మ ఏభ
(2.33)
2.3.3 Gelombang pecah Pada saat gelombang menjalar dari perairan dalam ke perairan dangkal maka akan terjadi perubahan pada parameter gelombang yaitu adanya pertambahan tinggi gelombang dengan semakin bekurangnya kedalaman. Sehingga saat memasuki perairan dangkal akan terjadi fenomena gelombang pecah, yaitu saat tinggi gelombang menjadi tidak stabil akibat terlalu curam sedangkan kedalamannya semakin berkurang yang menyebabkan gelombang semakin tinggi dan tidak stabil dan akhirnya pecah. Maka gelombang pecah sangat berkatan dengan rasio antara tinggi gelombang dan kedalaman perairan. Pada saat gelombang pecah maka energi gelombang tersebut akan mengalami disipasi. Bila ditinjau pada perairan yang mengalami pendangkalan (shoaling) maka gelombang yang datang dari perairan dalam akan bergerak ke arah pantai dan pecah ketika hampir mendekati pantai. Tinggi gelombang saat pecah Hb dapat diketahui dengan ܪ ൌ
ுబ ᇱ
భȀయ
ಹ ᇲ ଷǤଷ௫ቀ బ ቁ ಽ
(2.34)
బ
Sedangkan kedalaman saat gelombang tersebut pecah db dapat diketahui dari ௗ್ ு್
ൌ ͳǤʹͺ
(2.35)
15
2.3.4 Stress Radiasi Kehadiran suatu gelombang yang menjalar ke arah akan menghasilkan aliran momentum yang didefinisikan sebagai stress radiasi. Aliran momentum ini dibentuk oleh dua faktor, yaitu: 1. Kecepatan partikel air yang disebabkan gelombang 2. Tekanan Stress radiasi adalah stress yang diintegrasi terhadap kedalaman (depthintegrated stress) atau gaya persatuan lebar yang dapat didefiniskan sebagai excessive flux dari momentum karena adanya gelombang.
16
