BAB II LANDASAN TEORI
Pada Bab II akan dijelaskan pengertian-pengertian dasar yang digunakan sebagai landasan pembahasan pada bab selanjutnya yaitu peramalan data runtun waktu (time series), konsep dasar time series, stasioneritas dan nonstasioneritas, Autocorrelation Function (ACF) dan Parsial Autocorrelation Function (PACF), white noise, model-model ARIMA, heteroskedastisitas, volatilitas, efek ARCH, model ARCH, dan model GARCH. A. Peramalan Peramalan pada dasarnya merupakan proses menyusun informasi tentang kejadian masa lampau yang berurutan untuk menduga kejadian di masa depan (Frechtling, 2001: 8). Peramalan bertujuan mendapatkan ramalan yang dapat meminimumkan kesalahan meramal yang dapat diukur dengan Mean Absolute Percent Error (MAPE) (Pangestu Subagyo, 1986: 1). Peramalan pada umumnya digunakan untuk memprediksi sesuatu yang kemungkinan besar akan terjadi misalnya kondisi permintaan, banyaknya curah hujan, kondisi ekonomi, dan lain-lain. Atas dasar logika, langkah dalam metode peramalan secara umum adalah mengumpulkan data, menyeleksi dan memilih data, memilih model peramalan, menggunakan model terpilih untuk melakukan peramalan, evaluasi hasil akhir.
7
8
Berdasarkan sifatnya, peramalan dibedakan menjadi: 1. Peramalan Kualitatif Peramalan yang didasarkan atas data kualitatif pada masa lalu. Hasil peramalan kualitatif didasarkan pada pengamatan kejadian–kejadian di masa sebelumnya digabung dengan pemikiran dari penyusunnya. 2. Peramalan Kuantitatif Peramalan yang didasarkan atas data kuantitatif masa lalu yang diperoleh dari pengamatan nilai–nilai sebelumnya. Hasil peramalan yang dibuat tergantung pada metode yang digunakan, menggunakan metode yang berbeda akan diperoleh hasil peramalan yang berbeda.
B. Konsep Dasar Time Series Time series adalah suatu rangkaian atau seri dari nilai-nilai suatu variabel atau hasil observasi, dalam hal ini adalah nilai indeks harga saham, yang dicatat dalam jangka waktu yang berurutan (Atmaja, 2009: 29). Metode time series adalah metode peramalan dengan menggunakan analisa pola hubungan antara variabel yang akan diperkirakan dengan variabel waktu atau analisis time series, antara lain: 1. Metode Smoothing 2. Metode Box–Jenkins (ARIMA) 3. Metode Proyeksi trend dengan Regresi. Hal yang perlu diperhatikan dalam melakukan peramalan adalah pada galat (error), yang tidak dapat dipisahkan dalam metode peramalan. Untuk
9
mendapatkan hasil yang mendekati data asli, maka seorang peramal berusaha membuat error-nya sekecil mungkin. Dengan adanya data time series, maka pola gerakan data dapat diketahui. Dengan demikian, data time series dapat dijadikan sebagai dasar untuk: a. Pembuatan keputusan pada saat ini. b. Peramalan keadaan perdagangan dan ekonomi pada masa yang akan datang. c. Perencanaan kegiatan untuk masa depan. Analisa data time series adalah analisa yang menerangkan dan mengukur berbagai perubahan atau perkembangan data selama satu periode (Hasan, 2002: 184). Analisis time series dilakukan untuk memperoleh pola data time series dengan menggunakan data masa lalu yang akan digunakan untuk meramalkan suatu nilai pada masa yang akan datang. Dalam time series terdapat empat macam tipe pola data, yaitu: 1) Horizontal Tipe data horizontal ialah ketika data observasi berubah-ubah di sekitar tingkatan atau rata-rata yang konstan. Sebagai contoh penjualan tiap bulan suatu produk tidak meningkat atau menurun secara konsisten pada suatu waktu. 2) Musiman (Seasonal) Tipe data seasonal ialah ketika observasi dipengaruhi oleh musiman, yang ditandai dengan adanya pola perubahan yang berulang secara otomatis dari
10
tahun ke tahun. Sebagai contoh adalah pola data pembelian buku baru pada tahun ajaran baru. 3) Trend Tipe data trend ialah ketika observasi naik atau menurun pada perluasan periode suatu waktu. Sebagai contoh adalah data populasi. 4) Cyclical Tipe data cyclical ditandai dengan adanya fluktuasi bergelombang data yang terjadi di sekitar garis trend. Sebagai contoh adalah data-data pada kegiatan ekonomi dan bisnis.
C. Matriks Matriks adalah susunan segiempat siku-siku dari bilangan-bilangan. Bilangan – bilangan dalam jajaran tersebut disebut entri dari matriks (Anton, 2004 : 26). Jika A adalah suatu matriks dengan entri
yang menyatakan baris
ke-i dalam kolom ke-j dari A maka matriks A dapat dinyatakan A=
.
Ukuran matriks dijelaskan dengan menyatakan banyaknya baris dan banyaknya kolom yang terdapat dalam matriks tersebut. Jika A adalah suatu matriks berukuran ditulis sebagai berikut:
Misalkan ada sistem persamaan linear sebagai berikut:
maka secara umum
11
Maka sistem persamaan diatas dapat dituliskan dalam bentuk matriks sebagai berikut (2.1) dengan
,
Pada persamaan (2.1) jika
,
adalah sistem yang terdiri dari n
persamaan linear dalam n bilangan tak diketahui dan det (A) ≠ 0 , maka sistem tersebut penyelesaian sebagai berikut :
,
12
Dengan
adalah matriks yang diperoleh dengan menggantikan entri-
entri dalam kolom ke-j dari A dengan entri-entri dalam matriks B. Penyelesaian ini dinamakan Aturan Cramer.
D. Variansi Sifat penggandaan dan pembagian variansi sebagai berikut (Walpole, 1992): Bila
suatu peubah acak dan
suatu konstanta, maka
(2.2)
(2.3) Jadi, bila suatu peubah acak digandakan atau dibagi dengan suatu konstanta, maka ragam semula harus digandakan atau dibagi dengan kuadrat konstanta tersebut.
E. Maksimum Likelihood Estimator (MLE) Menurut Bain dan Engelhardt (1992), misalkan random dari populasi dengan densitas
adalah sampel
, fungsi likelihood didefinisikan
dengan:
Bila fungsi likelihood ini terdiferensialkan dalam likelihood yang mungkin adalah
sedemikian sehingga:
maka calon estimator
13
(2.4) Untuk membuktikan bahwa
benar-benar memaksimumkan fungsi likelihood
harus ditunjukkan bahwa: (2.5) Dalam banyak kasus dimana diferensi digunakan, akan lebih mudah bekerja pada logaritma dari
yaitu
logaritma naik tegas pada
. Hal ini dimungkinkan karena fungsi yang berarti bahwa
mempunyai ekstrem
yang sama. Sehingga untuk menentukan estimator maksimum likelihood dari
sebagai
berikut: 1. Tentukan fungsi likelihood
2. Bentuk log-likelihood 3. Tentukan turunan dari
terhadap
Penyelesaian dari persamaan poin 3 merupakan estimator maksimum likelihood untuk .
14
4. Tentukan turunan kedua dari
, maka akan membuktikan bahwa likelihood
terhadap . Jika benar-benar memaksimumkan fungsi
.
F. Stasioneritas dan Nonstasioneritas Stasioneritas berarti bahwa tidak terdapat perubahan yang drastis pada data. Fluktuasi data berada disekitar suatu nilai rata-rata yang konstan, tidak tergantung pada waktu dan variansi dari fluktuasi tersebut (Makridakis, 1995: 351). Data time series dikatakan stasioner jika rata-rata dan variansinya konstan, tidak ada unsur trend dalam data, dan tidak ada unsur musiman. Apabila data tidak stasioner, maka perlu dilakukan modifikasi untuk menghasilkan data yang stasioner. Salah satu cara yang umum dipakai adalah metode pembedaan (differencing). Untuk menentukan apakah series stasioner, nonstasioner dapat dibantu dengan melihat plot dari series atau bentuk difference-nya. Proses differencing dapat dilakukan untuk beberapa periode sampai data stasioner, yaitu dengan cara mengurangkan suatu data dengan data sebelumnya. Menurut Makridakis, dkk (1995: 382) notasi yang sangat bermanfaat dalam metode pembedaan adalah operator shift mundur (backward shift), B, sebagai berikut: (2.6)
15
Notasi
yang dipasang pada
, mempunyai pengaruh menggeser
data 1 periode ke belakang. Dua penerapan
untuk
akan menggeser data
tersebut 2 periode ke belakang, sebagai berikut: (2.7) Apabila suatu time series tidak stasioner, maka data tersebut dapat dibuat lebih mendekati stasioner dengan melakukan pembedaan pertama. (2.8) Menggunakan operator shift mundur, persamaan (2.8) dapat ditulis kembali menjadi (2.9) Pembedaan pertama dinyatakan oleh Sama halnya apabila pembedaan orde kedua (yaitu pembedaan pertama dari pembedaan pertama sebelumnya) harus dihitung, maka;
(2.10) Pembedaan orde kedua diberi notasi pertama
.
, sedangkan pembedaan
16
Tujuan
dari
menghitung
pembedaan
adalah
untuk
mencapai
stasioneritas dan secara umum apabila terdapat pembedaan orde ke-
untuk
mencapai stasioneritas, ditulis sebagai berikut:
Selanjutnya stasioneritas dibagi menjadi 2 (Wei, 2006: 80), yaitu: 1. Stasioner dalam mean (rata-rata) Stasioner dalam mean adalah fluktuasi data berada di sekitar suatu nilai rata-rata yang konstan, tidak tergantung pada waktu dan variansi dari fluktuasi tersebut. Dari bentuk plot data seringkali dapat diketahui bahwa data tersebut stasioner atau tidak stasioner. Apabila dilihat dari plot ACF, maka nilai-nilai autokorelasi dari data stasioner akan turun menuju nol sesudah time lag (selisih waktu) kedua atau ketiga. 2. Stasioneritas dalam Variansi Suatu data time series dikatakan stasioner dalam variansi apabila struktur data dari waktu ke waktu mempunyai fluktuasi data yang tetap atau konstan dan tidak berubah-ubah. Secara visual untuk melihat hal tersebut dapat dibantu dengan menggunakan plot time series, yaitu dengan melihat fluktuasi data dari waktu ke waktu.
G. Fungsi Autokorelasi dan Fungsi Autokorelasi Parsial Dalam metode time series, alat utama untuk mengidentifikasi model dari data yang akan diramalkan adalah dengan menggunakan fungsi Autokorelasi/Autocorrelation Function (ACF) dan fungsi Autokorelasi parsial/Partial Autocorrelation Function (PACF).
17
Menurut Wei (2006: 10) dari proses stasioner suatu data time series (
diperoleh
dan variansi
konstan dan kovariansi
, yang
), yang fungsinya hanya pada perbedaan
waktu |
. Maka dari itu, hasil tersebut dapat ditulis sebagai
kovariansi antara
dan
sebagai berikut: (2.11) sebagai
dan korelasi antara
(2.12) dimana notasi
. Sebagai fungsi dari ,
fungsi autokovariansi dan time series
dan
disebut
disebut fungsi autokorelasi (ACF), dalam analisis
menggambarkan kovarian dan korelasi antara
dan
dari proses yang sama, hanya dipisahkan oleh lag ke- . Fungsi autokovariansi sampel dan fungsi autokorelasi sampel dapat ditulis sebagai berikut: (2.13) dan ,
(2.14)
dengan (2.15) Fungsi autokovariansi sifat sebagai berikut:
dan fungsi autokorelasi
memiliki sifat-
18
1.
. .
2. dan
3.
untuk semua
sama dan simetrik lag waktu antara
dan
,
dan
adalah fungsi yang
. Sifat tersebut diperoleh dari perbedaan . Oleh sebab itu, fungsi autokorelasi sering
hanya diplotkan untuk lag nonnegatif. Plot tersebut terkadang disebut korrelogram. Menurut Alan Pankratz, pendugaan koefisien autokorelasi ( rk ) adalah dugaan dari koefisien autokorelasi secara teoritis yang bersangkutan ( k ). Nilai dari rk tidak sama persis dengan k yang berkorespondensi dikarenakan error sampling. Distribusi dari kemungkinan nilai-nilai disebut dengan distribusi sampel. Standar error dari distribusi sampling adalah akar dari penduga variansinya. Pengujian koefisien autokorelasi: H0 :
(Koefisien autokorelasi tidak berbeda secara signifikan
dengan nol) H1 :
(Koefisien autokorelasi berbeda secara signifikan dengan nol)
Statistik uji: t
rk SE (rk )
(2.16)
dengan k 1
SErk
1 2 r j2 j 1
T
(2.17)
19
dengan, : standar error autokorelasi pada saat lag k : autokorelasi pada saat lag j : time lag : banyak observasi dalam data time series
k T
Kriteria keputusan: tolak H0 jika nilai t hitung t 2
dengan derajat bebas , df
df = T-1, T merupakan banyaknya data dan k adalah lag koefisien autokorelasi yang diuji. Pada Gambar 2.1 memperlihatkan plot ACF untuk data stasioner, dimana hanya lag pertama saja yang signifikan, sedangkan lag–lag berikutnya berada di dalam daerah interval. Autocorrelation Function for return
(with 5% significance limits for the autocorrelations) 1.0 0.8
Autocorrelation
0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 1
5
10
15
20
Gambar 2.1
25
30 Lag
35
40
45
50
55
60
Plot ACF Data Stasioner
Fungsi Autokorelasi Parsial (PACF) pada lag-k adalah korelasi di antara antara
dan
setelah dependensi linear antara
dan
dihapus (Dedi Rosadi, 2011: 31).
variabel
20
Autokorelasi parsial digunakan untuk mengukur tingkat keeratan (association) antara
dan
dan seterusnya sampai
, apabila pengaruh dari time lag 1, 2, 3, . . . , dianggap terpisah (Makridakis, 1995: 345). Ada
beberapa prosedur untuk menentukan bentuk PACF yang salah satunya akan dijelaskan sebagai berikut. Menurut Wei (2006: 12) fungsi autokorelasi parsial dapat dinotasikan dengan:
misalkan
adalah proses yang stasioner dengan
, selanjutnya
dapat dinyatakan sebagai model linear (2.18) dengan
adalah parameter regresi ke-i dan
tidak berkorelasi dengan
adalah nilai kesalahan yang
untuk
. Untuk mendapatkan nilai
PACF, langkah pertama yang dilakukan adalah mengalikan persamaan (2.18) dengan
pada kedua ruas sehingga diperoleh:
(2.19) Selanjutnya, nilai ekspektasi dari (2.19) adalah
Dimisalkan nilai
, j = 0,1,…k dan karena
, sehingga diperoleh (2.20)
21
Persamaan (2.20) dibagi dengan (2.21) diperoleh ,
(2.22)
dan diberikan didapatkan sistem persamaan sebagai berikut:
Untuk
(2.23)
Sistem persamaan (2.23) dapat diselesaikan dengan menggunakan aturan Cramer. Persamaan (2.23) untuk
digunakan untuk mencari
nilai-nilai fungsi autokorelasi parsial lag k yaitu
.
a. Untuk lag pertama (k = 1) dan j = 1 diperoleh sistem persamaan sebagai berikut : , karena
sehingga
, yang berarti bahwa fungsi autokorelasi parsial pada lag pertama akan sama dengan fungsi autokorelasi pada lag pertama. b. Untuk lag kedua (k = 2) dan j =1,2 diperoleh sistem persamaan :
(2.24)
22
Persamaan (2.24) jika ditulis dalam bentuk matriks akan menjadi (2.25)
, dan dengan menggunakan aturan Cramer diperoleh
c. Untuk lag ketiga (k = 3) dan j = 1,2,3 didapatkan sistem persamaan
(2.26)
Persamaan (2.26) jika dinyatakan dalam bentuk matriks menjadi
(2.27)
, dan dengan menggunakan aturan
Cramer diperoleh
23
Menurut teorema, matriks
berukuran
dapat dibalik jika dan hanya
atau tidak ada baris yang mengandung nol maka det
jika det . d. Untuk k lag dan
sistem persamaannya adalah:
(2.26)
Persamaan (2.26) jika dinyatakan dalam bentuk matriks menjadi
(2.27)
Dengan menggunakan aturan Cramer diperoleh
Nilai fungsi autokorelasi parsial lag k hasilnya adalah:
24
disebut PACF antara
dengan
dan
Fungsi autokorelasi parsial (PACF)
Jadi diperoleh autokorelasi parsial dari
1
1
1
1
2 1
k 2 k 3
k 1
kk
1 2
1
k 2 1
1
1
k 3 1 2 k 2 1 k 3
k 1
pada lag k didefinisikan sebagai
k 2
k 3
1
k k 1 k 2 1
Himpunan dari
, disebut sebagai Partial
Autocorrelation Function (PACF). Fungsi autokorelasi parsial antara observasi Fungsi
(2.28)
dan
menjadi notasi standar untuk dalam analisis time series.
akan bernilai nol untuk k > p. Sifat ini dapat digunakan untuk
identifikasi model AR dan MA, yaitu pada model Autoregressive berlaku ACF akan menurun secara bertahap menuju nol dan Moving Average berlaku ACF
25
menuju ke-0 setelah lag ke-q sedangkan nilai PACF model AR yaitu dan model MA yaitu
(Wei, 2006: 11).
Hipotesis untuk menguji koefisen autokorelasi parsial adalah sebagai berikut (Wei, 2006: 22): H0 : H1 : Taraf signifikansi: Statistik uji:
(2.29)
dengan (2.30) Kriteria keputusan: tolak H0 jika
, dengan derajat bebas df
= T-1, T adalah banyaknya data dan k adalah lag koefisien autokorelasi parsial yang akan diuji.
H. Proses White Noise Suatu proses { t} disebut proses white noise jika series-nya terdiri dari variabel random yang tidak berkorelasi dan berdistribusi normal dengan rata– rata konstan E( t) = 0, variansi konstan Var ( t) =
dan
untuk k ≠ 0 (Wei, 2006: 15). Dengan demikian proses white noise stasioner dengan fungsi autokovariansi
t2 , jika k 0 k 0 , jika k 0
(2.31)
26
fungsi autokorelasi
1 , jika k 0 0 , jika k 0
k
(2.32)
fungsi autokorelasi parsial (2.33) Proses white noise dapat dideteksi menggunakan uji autokorelasi residual pada analisis error-nya. Uji korelasi residual digunakan untuk mendeteksi ada tidaknya korelasi residual antar lag. Langkah-langkah pengujian korelasi residual, yaitu: H0: 1 2 3 K 0 H1: k 0 , k 1, 2, , K Taraf signifikansi atau = 5% Statistik uji yaitu uji Ljung Box-Pierce. Rumus uji Ljung Box-Pierce (Wei, 2006: 153): K
QK T (T 2) k 1
ˆ k2 T k
(2.34)
dengan, T K ˆ k
: banyaknya data : banyaknya lag yang diuji : dugaan autokorelasi residual periode k Kriteria keputusan yaitu tolak H0 jika Q-hitung >
tabel, dengan derajat
kebebasan K dikurangi banyaknya parameter pada model atau p-value < , artinya
adalah barisan yang tidak memiliki korelasi.
27
I. Model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) Beberapa model ARIMA yang dapat digunakan pada data time series, yaitu: 1. Model Autoregressive (AR) Autoregressive adalah suatu bentuk regresi tetapi bukan yang menghubungkan variabel tak bebas, melainkan menghubungkan nilai-nlai sebelumnya pada time lag (selang waktu) yang bermacam-macam. Jadi suatu model Autoregressive akan menyatakan suatu ramalan sebagai fungsi nilainilai sebelumnya dari time series tertentu (Makridakis, 1995: 513). Model Autoregressive (AR) dengan order p dinotasikan dengan AR (p). bentuk umum model AR (p) adalah: (2.35) dengan, : nilai variabel pada waktu ke-t : nilai masa lalu dari time series yang bersangkutan pada waktu t-1, t-2,…, t-p : koefisien regresi, i: 1, 2, 3,……., p : nilai error pada waktu ke-t : order AR
p
Persamaan (2.35) dapat ditulis menggunakan operator B (backshift): (2.36)
dimana:
, disebut operator AR (p)
Pada umumnya, order AR yang sering digunakan dalam analisis time series adalah p = 1 atau p = 2, yaitu model AR (1) dan AR (2). Bentuk umum model Autoregressive order 1 atau AR (1), yaitu:
28
(2.37) Persamaan (2.37) dapat ditulis dengan operator backshift (B), menjadi:
Bentuk umum model Autoregressive order 1 atau AR (2), yaitu: (2.38) Persamaan (2.38) dapat ditulis dengan operator backshift (B), menjadi:
2. Model Moving Average (MA) Menurut Wei (2006: 47), model Moving Average dengan order dinotasikan MA (q) didefinisikan sebagai: ;
)
(2.39)
dengan, : nilai variabel pada waktu ke-t : nilai-nilai dari error pada waktu t, t-1, t-2,…,t-q dan diasumsikan White Noise dan normal. : koefisien regresi, i: 1, 2, 3,……., q : nilai error pada waktu ke-t : order MA
q
Persamaan di atas dapat ditulis menggunakan operator backshift (B), menjadi:
dengan
merupakan operator MA ( ).
Secara umum, order MA yang sering digunakan dalam analisis time series adalah q =1 atau q = 2, yaitu MA (1) dan MA (2).
29
Model Moving Average order 1 atau MA (1) secara matematis didefinisikan menjadi: (2.40) Persamaan (2.40) dapat ditulis dengan operator B (backshift), menjadi:
X t (1 1 B) t Sedangkan model Moving Average order 2 atau MA (2) secara matematis didefinisikan
X t t 1 t 1 2 t 2
(2.41)
Persamaan (2.41) dapat ditulis dengan operator B (backshift), menjadi:
X t 1 1 B 2 B 2 t
3. Model Autoregressive Moving Average (ARMA) Model Aoturegressive Moving Average (ARMA) merupakan suatu kombinasi dari model AR dan MA (Palit & Dobrivoje Popovic, 2005: 28). Bentuk umum model ARM
, yaitu:
persamaan di atas menjadi
(2.42) Persamaan (2.42) dapat ditulis menggunakan operator B (backshift), menjadi:
Sehingga diperoleh
30
dengan, Xt
: nilai variabel pada waktu ke-t : koefisien regresi ke-i , i = 1, 2, 3, ..., p : order AR : parameter model MA ke-i , i = 1, 2, 3, ..., q : nilai error pada waktu ke – t : error pada saat t,t-1,t-2,…,t-q dan diasumsikan White Noise dan normal.
p t
4. Model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) Secara umum model ARIMA
untuk suatu data time series
adalah sebagai berikut (Pankratz, 1983: 99): ;
(2.43)
Persamaan (2.43) dapat ditulis menggunakan operator B (backshift), menjadi:
sehingga diperoleh
dengan, : data observasi ke-t : operator back shift : time series yang stasioner pada pembedaan ke: nilai error pada waktu ke-t : order AR : order pembedaan : order MA
31
Apabila pembedaan pertama dilakukan terhadap model agar menjadi stasioner, maka model menjadi ARIMA (1,1,1) didefinisikan sebagai berikut:
5. Prosedur Pembentukan ARIMA Metode ARIMA berbeda dari metode peramalan lain karena metode ini tidak mensyaratkan suatu pola data tertentu, sehingga model dapat dipakai untuk semua tipe pola data. Metode ARIMA akan bekerja baik jika data dalam time series yang digunakan bersifat dependen atau berhubungan satu sama lain secara statistik. Secara umum, model ARIMA ditulis dengan ARIMA (p, d, q) yang artinya model ARIMA dengan derajat AR (p), derajat pembeda d, dan derajat MA (q). Langkah-langkah pembentukan model secara iteratif adalah sebagai berikut: a. Identifikasi Model Hal pertama yang dilakukan pada tahap ini adalah apakah time series bersifat stasioner atau nonstasioner dan bahwa aspek-aspek AR dan MA dari model ARIMA hanya berkenaan dengan time series yang stasioner (Makridakis, 1995: 381). Kestasioneran suatu time series dapat dilihat dari plot ACF yaitu koefisien autokorelasinya menurun menuju nol dengan cepat, biasanya setelah lag ke-2 atau ke-3. Bila data tidak stasioner maka dapat dilakukan pembedaan atau differencing, orde pembedaan sampai deret menjadi stasioner dapat digunakan untuk menentukan nilai
pada ARIMA
.
32
Model AR dan MA dari suatu time series dapat dilakukan dengan melihat grafik ACF dan PACF. yang berbeda dari nol secara
1) Jika terdapat lag autokorelasi sebanyak signifikan maka prosesnya adalah MA
.
2) Jika terdapat lag autokorelasi parsial sebanyak secara signifikan maka prosesnya adalah AR lag autokorelasi parsial sebanyak
. Secara umum jika terdapat
yang berbeda dari nol secara signifikan,
terdapat lag autokorelasi sebanyak signifikan dan
yang berbeda dari nol
yang berbeda dari nol secara
pembedaan maka prosesnya adalah ARIMA
. Tabel
2.1 merupakan identifikasi order model AR dan MA dengan plot ACF dan PACF, yaitu: Tabel 2.1 Identifikasi Order Model ARIMA dengan Pola Grafik ACF dan PACF No 1.
Model AR (p)
2.
MA (q)
3.
ARMA (p,q)
ACF Menurun secara bertahap menuju ke-0 Menuju ke-0 setelah lag ke-q
Menurun secara menuju ke-0
bertahap
PACF Menuju 0 setelah lag ke-p Menurun secara bertahap menuju ke-0 Menurun secara bertahap menuju ke-0
Dari Tabel 2.1 dapat dijelaskan sebagai berikut: 1. Jika plot ACF menurun secara bertahap menuju ke-0 dan plot PACF menuju ke-0 setelah lag-p, maka dugaan modelnya adalah AR (p).
33
2. Jika plot ACF menuju ke-0 setelah lag-q dan plot PACF menurun secara bertahap menuju ke-0, maka dugaan modelnya adalah MA (q) 3. Jika plot ACF dan plot PACF menurun secara bertahap menuju ke-0, maka dugaan modelnya adalah ARMA (p,q). b. Estimasi Parameter Langkah berikutnya setelah menetapkan model sementara adalah estimasi parameter model. Salah satu metode yang digunakan yaitu maximum likelihood, untuk menduga parameter model ARIMA yaitu
dan . Untuk
fungsi likelihood nilai-nilai parameter yang memaksimalkan nilai fungsi likelihood disebut dugaan maximum likelihood. Penurunan fungsi likelihood pada suatu model time series, dapat digambarkan dengan mempertimbangkan model ARMA (Hamilton, 1994: 143). Diberikan bentuk umum model ARMA (p,q) sebagai berikut:
dimana
dan vektor populasi parameter yang akan diestimasi
adalah , misalkan dan adalah nilai awal yang digunakan untuk memperoleh estimator parameter ARMA. Barisan
dapat dihitung dari
oleh iterasi pada
34
(2.44) untuk Estimator
parameter
maximum
likelihood
dapat
diperoleh
dengan
memaksimalkan fungsi likelihood bersyaratnya dengan fungsi densitasnya
sehingga
(2.45) Kemudian log-likelihood bersyarat dihitung sebagai berikut:
(2.46) Selanjutnya ditentukan turunan dari (2.4) yaitu sebagai berikut:
terhadap
menggunakan persamaan
35
Kemudian ditentukan turunan kedua dari
terhadap
persamaan (2.5), untuk membuktikan bahwa fungsi likelihood
menggunakan
benar-benar memaksimumkan
yaitu sebagai berikut:
c. Uji Signifikansi Parameter Dilakukan uji signifikansi parameter, setelah berhasil mengestimasi nilai-nilai parameter dari model ARIMA yang ditetapkan sementara untuk mengetahui apakah parameternya signifikan atau tidak. Berikut merupakan uji signifikansi parameter model pada parameter Autoregressive, yaitu: H0 : 0 (parameter tidak signifikan dalam model) H1 : 0 (parameter signifikan dalam model) Taraf signifikansi 0,05 Statistik uji: uji t (2.47) Kriteria keputusan: tolak H0 jika t hitung t , dengan derajat bebas db = T-p, 2
dengan T banyaknya data dan p adalah banyaknya parameter dalam model. Sedangkan pada parameter Moving Average digunakan hipotesis: Ho :
(parameter
tidak signifikan dalam model)
36
H1 :
(parameter
signifikan dalam model)
Statistik uji yang digunakan adalah (2.48) Kriteria keputusan: tolak H0 jika t hitung t , dengan derajat bebas db = T-q, 2
dengan T banyaknya data dan q adalah banyaknya parameter dalam model. d. Pemeriksaan Diagnostik Setelah berhasil megestimasi nilai-nilai parameter dari model ARIMA yang ditetapkan sementara, selanjutnya perlu dilakukan pemeriksaan diagnostik untuk membuktikan bahwa model tersebut cukup memadai dan menentukan model mana
yang terbaik
digunakan untuk
peramalan
(Makridakis, 1999: 411). Pemeriksaan diagnostik ini dapat dilakukan dengan mengamati apakah residual dari model terestimasi merupakan proses white noise atau tidak (Nachrowi, 2006: 389). Model dikatakan memadai jika asumsi dari error ( ) memenuhi proses white noise dan berdistribusi normal. Apabila dijumpai penyimpangan yang cukup serius maka harus dirumuskan kembali model yang baru, selanjutnya diestimasi dan dilakukan pemeriksaan kembali. Satu cara pemeriksaan yang mudah adalah dengan menggunakan uji yang mampu menetapkan apakah sekumpulan autokorelasi secara keseluruhan menunjukkan berbeda dari nol yang disebut dengan uji Statistik Ljung BoxPierce seperti pada persamaan (2.34). Uji kenormalan error digunakan untuk memeriksa apakah suatu proses error berdistribusi normal atau tidak.
37
Uji kenormalan dapat dilakukan dengan uji Geary’s a dengan hipotesis (Nachrowi, 2006): H0
: error berdistribusi normal
H1
: error tidak berdistribusi normal
Taraf signifikansi atau α yang digunakan adalah 5 % dengan statistik uji Geary’s:
(2.49) Nilai 0,7979 dan 0,2123 adalah konstanta untuk mencapai kenormalan dengan
(2.50) (Sum Absolute Deviation) (2.51) (Sum Square Error) (2.52) ditolak jika nilai e. Peramalan Tujuan yang paling penting pada analisis times series adalah untuk meramalkan nilai masa depan (Wei, 2006: 88). Menurut Gujarat (2004), cara peramalan dengan menggunakan model MA dapat dijelaskan sebagai berikut:
38
Misalkan
merupakan himpunan time series yang lalu
, maka
kemudian
dapat diperoleh dari
Jika semua tahap telah dilakukan dan diperoleh model, maka model ini selanjutnya dapat digunakan untuk melakukan peramalan untuk data periode selanjutnya.
39
Berdasarkan langkah-langkah pemodelan ARIMA, Gambar 2.2 menunjukkan diagram alir langkah pemodelan ARIMA (Box, Jerkins & Reinsel, 1994: 17).
Perumusan kelompok model-model yang umum (penentuan orde p,d, dan q)
Tahap I Identifikasi
Penetapan model untuk sementara
Penaksiran Parameter pada model sementara
Tahap II Penaksiran Parameter
Uji Signifikansi Parameter
Tahap III
Pemeriksaan diagnostik
Pemeriksaan Diagnostik
(Apakah model cocok?)
Ya
Tidak
Peramalan
Gambar 2.2 Diagram Alir Pemodelan ARIMA
40
J. Heteroskedastisitas (Heteroscedasticity) Faktor error pada suatu model regresi biasanya memiliki masalah atas pelanggaran
asumsi-asumsi
pada
residual.
Suatu
keadaan
dikatakan
heteroskedastisitas, apabila suatu data memiliki variansi error yang tidak konstan untuk setiap observasi atau dengan kata lain melanggar asumsi .
Jika
error
pada suatu
model
mengandung masalah
heteroskedastisitas, maka akibatnya estimator yang dihasilkan tetap konsisten, tetapi tidak lagi efisien karena ada estimator lain yang memilki variansi lebih kecil
daripada
estimator
yang
memiliki
residual
yang
bersifat
heteroskedastisitas.
K. Volatilitas (Volatility) Menurut Dedi Rosadi (2011:114), untuk menggambarkan fluktuasi dari suatu data dikenal konsep volatilitas. Volatilitas dapat didefinisikan sebagai variansi bersyarat dari suatu data relatif terhadap waktu. Volatilitas dapat digambarkan dengan adanya kecenderungan suatu data berfluktuasi secara cepat dari waktu ke waktu sehingga variansi dari error-nya akan selalu berubah setiap waktu, maka datanya bersifat heteroskedastisitas. Volatilitas secara umum tidak dapat diobservasi langsung, namun beberapa karakteristik khusus dari volatilitas dapat diberikan sebagai berikut: 1. Seringkali ditemukan adanya pengelompokan volatilitas (volatility clustering) dalam data yakni volatilitas bernilai besar selama periode waktu tertentu dan bernilai kecil untuk selama periode waktu yang lain atau dapat digambarkan
41
dengan berkumpulnya sejumlah error dengan besar yang relatif sama dalam beberapa waktu yang berdekatan. 2. Volatilitas seringkali bersifat asimetris, yakni pergerakan volatilitas berbeda terhadap kenaikan atau penurunan harga suatu asset. Volatilitas sering dipergunakan untuk melihat naik turunnya harga saham. Jika volatilitas hariannya sangat tinggi maka harga saham mengalami kenaikan dan penurunan yang tinggi sehingga keuntungan dapat diperoleh, maka investor sangat tepat melakukan strategi trading. Tetapi, harga saham yang volatilitasnya rendah maka pergerakan harga sahamnya sangat rendah. Pada volatilitas rendah biasanya investor tidak bisa memperoleh keuntungan tetapi harus memegang saham dalam jangka panjang agar memperoleh capital again. Oleh karenanya, investor yang suka melakukan strategi trading sangat menyukai volatilitas yang tinggi tetapi investor jangka panjang sangat menyukai volatilitas rendah tetapi harga sahamnya mengalami peningkatan.
L. Model Autoregressive Conditional Heteroscedasticity (ARCH) Model yang dapat digunakan untuk mengatasi variansi error yang tidak konstan dalam data time series finansial adalah model Autoregressive Conditional Heteroscedasticity (ARCH) yang diperkenalkan pertama kali oleh Engle pada tahun 1982. Pada model ARCH variansi error dipengaruhi oleh error di periode sebelumnya
sangat
(Wei, 2006: 368).
1. Bentuk Umum Model Autoregressive Conditional Heteroscedasticity (ARCH).
42
Ide pokok model ARCH adalah error
dari asset return tidak berkorelasi
secara parsial, tetapi dependen dan keterikatan
dapat dijelaskan oleh fungsi
kuadratik sederhana (Tsay, 2005: 115). Model ARCH ini, merupakan model variansi dan model yang digunakan untuk peramalan ialah model mean terbaik yang diestimasi secara bersama-sama dengan model variansi untuk memperoleh dugaan parameternya. Model mean yang digunakan dapat berupa model-model ARIMA (Hamilton, 1994: 656). Menurut Tsay (2005: 116), lebih spesifikasi lagi, suatu model ARCH orde diasumsikan bahwa
(2.53) dengan
N
kenyataannya
,
, dan
untuk
Pada
sering diasumsikan mengikuti distribusi normal baku, maka
model ARCH dapat dicirikan dengan
dengan
untuk
menotasikan variansi bersyarat dalam persamaan (2.53). Model variansi yang memenuhi persamaan ARCH (
adalah model variansi yang menghubungkan
antara variansi error pada waktu ke-t dengan kuadrat error pada waktu sebelumnya. Model ARCH memiliki beberapa kelemahan, diantaranya (Tsay, 2005: 119) a. Model mengasumsikan bahwa error positif dan error negatif memiliki pengaruh sama terhadap volatilitas. Padahal dalam kenyataannya harga
43
sebuah asset finansial memberi respon berbeda terhadap error positif dan error negatif. b. Model ARCH hanya menyediakan cara mekanis untuk menjelaskan perilaku variansi bersyarat. c. Model ARCH merespon secara lambat perubahan yang besar terhadap return. d. Parameter model ARCH terbatas. 2.
Pengujian efek ARCH dalam Model Engle menunjukkan bahwa seringkali data time series selain memiliki masalah autokorelasi juga memiliki masalah heteroskedastisitas. Uji yang dapat digunakan untuk mendeteksi keberadaan heteroskedastisitas atau keberadaan efek ARCH adalah sebagai berikut (Tsay, 2005: 114): Uji ARCH-Lagrange Multiplier (ARCH-LM) Pengujian untuk mengetahui masalah heteroskedastisitas dalam time series yang dikembangkan oleh Engle dikenal dengan uji ARCH-LM. Ide pokok uji ini adalah bahwa variansi residual bukan hanya fungsi dari variabel independen tetapi tergantung pada residual kuadrat pada periode sebelumnya (Enders, 1995: 143). Misalkan Barisan
adalah residual dari persamaan rata-rata.
digunakan untuk memeriksa heterokedastisitas bersyarat atau efek
ARCH. Uji ini sama dengan statistik F pada umumnya untuk menguji dalam regresi linear ;
(2.54)
44
dengan
adalah error,
bilangan bulat, dan
adalah ukuran sampel atau
banyaknya observasi (Tsay, 2005: 114). Langkah pengujian ARCH-LM adalah sebagai berikut: Hipotesis: (tidak terdapat efek ARCH) (terdapat efek ARCH) Taraf signifikansi atau Statistik Uji: (2.55) dengan,
, rata-rata sampel dari ,
residual kuadrat terkecil
Kriteria keputusan: ditolak jika
atau
– value
.
M. Model Generalized Aotoregressive Conditional Heteroskedasticity (GARCH) Model Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity GARCH
dikembangkan
oleh
Bollerslev
(1986)
yang
merupakan
pengembangan dari model ARCH. Model ini dibangun untuk menghindari ordo yang terlalu tinggi pada model ARCH dengan berdasar pada prinsip
45
parsimoni atau memilih model yang lebih sederhana, sehingga akan menjamin variansinya selalu positif (Enders, 1995: 147). Menurut (Tsay, 2005: 132) model GARCH
,
dikatakan mengikuti
jika
(2.56)
dengan, : variansi dari residual pada waktu t : komponen konstanta : parameter dari ARCH : kuadrat dari residual pada waktu t-i : parameter dari GARCH : variansi dari residual pada saat t-j dengan . Persamaan variansi yang memenuhi persamaan GARCH menghubungkan antara variansi residual pada waktu ke-t dengan variansi residual pada waktu sebelumnya. Jika persamaan (2.56) ditulis ke dalam operator B (backshift) maka didapat (2.57) dengan
dan
46
(2.58)
Untuk menjamin bahwa variansi bersyarat didefinisikan dengan baik dalam model GARCH (p,q) maka semua koefisien yang berhubungan linear dengan model ARCH (∞) seharusnya positif. Model ARCH (∞) didefinisikan sebagai berikut
Model GARCH (p,q) sebagai ARCH (∞) dapat ditulis sebagai berikut
(2.59)
, dan
dengan
adalah
Model GARCH (1,1) Model GARCH yang paling sederhana tetapi paling sering digunakan adalah Model GARCH (1,1). Model GARCH (1,1) secara umum dinyatakan sebagai berikut (Bollerslev, 1986: 311): (2.60) dengan, ,
dan
47
: variansi dari error pada waktu t : komponen konstanta : parameter pertama dari ARCH : kuadrat residual pada waktu t-1 : parameter pertama dari GARCH Dengan substitusi berulang, maka dapat dibuktikan pula bahwa Model GARCH (1,1) dapat menggantikan Model ARCH (∞) sehingga model yang dihasilkan lebih sederhana. Substitusinya sebagai berikut:
(2.61)
Jika
menjadi (2.62)
sesuai dengan model ARCH ( ) yaitu dengan
dan
.
untuk
Solusi stasioner rangkaian variabel random dari i.i.d (independent identically distributed) sedemikian rupa sehingga
diperoleh
dengan menggunakan proses bermula pada jarak tak terbatas di masa lalu sehingga
dapat dinyatakan sebagai berikut
48
(2.63) Dengan mengambil ekspektasi dari
, maka diperoleh
(2.64) Oleh karena itu ekspektasi tidak bersyarat dari (ada nilainya) dan urutan tidak terbatas dari dengan syarat
adalah terdefinisi
di atas konvergen ke
.
Untuk menjamin bahwa time series stasioner dalam variansi maka perlu diberikan batasan pada parameter-parameter dari model GARCH, sedemikian sehingga harus dipenuhi syarat
,
,
dan
. Pada persamaan (2.53) terlihat bahwa nilai variansi bersyarat
49
yang diukur dengan
tergantung pada nilai masa lalu dari error dan juga
nilai masa lalu dari dirinya sendiri. Setelah mengetahui Model GARCH (1,1) maka akan diperiksa momen yang lebih tinggi untuk
dan
. Dimulai dengan mengkuadratkan (2.65)
Diketahui bahwa
dan
Kemudian dengan mengganti
dengan dengan
adalah independen. dan dengan membuat ekspektasi,
serta telah diketahui bahwa pada distribusi normal standar nilai kurtosis selalu sama dengan 3 sehingga
, maka
(2.66) Jika proses ini stasioner, maka
, maka
(2.67)
50
Oleh karena itu momen kedua dari
akan terdefinisi jika
. Jika kondisi tersebut tidak terjadi maka tidak akan ada nilai positif untuk
yang memenuhi persamaan di atas.
Kemudian akan dilihat momen untuk dari
, momen pertama dan ketiga
adalah nol. (2.68) (2.69)
sedangkan momen kedua dan keempat bisa didapatkan dengan cara (2.70) dan (2.71)
(2.72)
didefinisikan kurtosis sebagai (2.73) Sesuai dengan persamaan (2.73) diatas maka kurtosis dari
adalah
(2.74) yang nilainya akan selalu lebih besar dari 3 kecuali jika
,
51
Kurtosis dari distribusi normal standar adalah 3, maka jika kurtosis dari ( ) lebih besar dari 3 berarti distribusinya berupa leptokurtic (meruncing) .
ketika
Estimasi Parameter Model GARCH Setelah model diidentifikasi, langkah selanjutnya adalah estimasi parameter. Model regresi umum dengan kesalahan autokorelasi dan model GARCH untuk variansi bersyarat adalah sebagai berikut (Wei, 2006: 373) (2.75) dengan (2.76) (2.77) (2.78) dan
adalah i.i.d. N(0,1) dan tidak tergantung dari keadaan masa lalu dari . Estimasi parameter dari model GARCH dengan menggunakan
Maksimum Likelihood Estimation. Persamaan (2.75) dapat ditulis kembali menjadi (2.79) atau (2.80) dan diperlukan untuk menghitung
untuk
dan
menjadi nilai awal yang dari persamaan (2.80).
52
Untuk mengestimasi parameter fungsi likelihood bersyarat pada
, terlebih dahulu akan dicari , dengan fungsi densitasnya adalah:
sehingga (2.81) Kemudian log-likelihood bersyarat dihitung sebagai berikut:
(2.82) Selanjutnya ditentukan turunan dari
terhadap
dengan menggunakan
persamaan (2.4) yaitu sebagai berikut:
Kemudian ditentukan turunan kedua dari
terhadap
menggunakan persamaan (2.5), untuk membuktikan bahwa memaksimumkan fungsi likelihood
yaitu sebagai berikut:
dengan benar-benar
53
Dimana
diberikan (2.78),
diberikan pada (2.80),
dan
.
N. Mekanisme Penentuan Model GARCH Analisis data runtun waktu finansial dengan menggunakan model GARCH langkah – langkahnya adalah sebagai berikut: 1. Tahap pertama adalah melakukan proses identifikasi dengan memeriksa data hasil pengamatan apakah sudah stasioner atau belum. Hal ini perlu dilakukan karena untuk membentuk model GARCH diperlukan data yang stasioner. 2. Langkah selanjutnya yaitu menentukan model mean yang cocok dengan mengidentifikasi struktur korelasi yang ditangkap oleh model berdasarkan plot ACF dan PACF. 3. Dilakukan pengujian efek ARCH dengan menggunakan uji Lagrange Multiplier. 4. Kemudian dilakukan estimasi parameter model GARCH 5. Setelah diperoleh estimasi parameter model GARCH kemudian dilakukan pemeriksaan diagnostik dengan uji Ljung Box-Pierce.
54
6. Setelah diperoleh model GARCH yang signifikan kemudian dilakukan pemilihan model yang paling baik dengan membandingkan nilai SC. Model yang paling baik adalah model yang memiliki nilai SC yang paling kecil.
