6
BAB II KAJIAN TEORI
2.1 Matematika Sekolah Matematika adalah sebagai suatu bidang ilmu yang merupakan alat pikir, berkomunikasi, alat untuk memecahkan berbagai persoalan praktis yang unsurunsurnya logika dan intuisi, analisis dan konstruksi, generalitas dan individualitas, serta mempunyai cabang-cabang antara lain aritmatika, aljabar, geometri dan analisis (Hamzah B. Uno, 2007:129). Matematika memiliki peranan penting dalam berbagai aspek kehidupan. Banyak permasalahan dan kegiatan dalam hidup kita yang harus diselesaikan dengan menggunakan ilmu matematika seperti menghitung, mengukur, dan lainlain. Matematika adalah ilmu universal yang mendasari perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi modern, memajukan daya pikir serta analisa manusia. Peran matematika dewasa ini semakin penting, karena banyaknya informasi yang disampaikan orang dalam bahasa matematika seperti, tabel, grafik, diagram, persamaan dan lain- lain. Matematika digunakan di seluruh dunia sebagai alat penting di berbagai bidang, termasuk ilmu alam, teknik, kedokteran atau medis, ilmu sosial seperti ekonomi, dan psikologi. Dengan demikian, pendidikan matematika mampu menyiapkan sumber daya manusia (SDM) yang berkualitas yang ditandai memiliki kemampuan memperoleh, mengelola, dan memanfaatkan informasi sesuai dengan tuntutan kebutuhan.
7
Matematika yang diajarkan di jenjang pendidikan seperti Sekolah Dasar, Sekolah Menengah Pertama dan Sekolah Menengah Atas disebut matematika sekolah (Alidah, 2011-29). Soedjadi (2000:37) juga mengemukakan bahwa Matematika sekolah adalah unsur-unsur atau bagian-bagian dari matematika yang dipilih berdasarkan atau berorientasi kepada kepentingan kependidikan dan perkembangan IPTEK. Penyajian matematika di sekolah disesuaikan dengan perkembangan intelektual peserta didik. Pola pikir matematika sebagai ilmu adalah deduktif, dimana sifat atau teorema yang ditemukan secara induktif dibuktikan kebenarannya secara induktif. Akan tetapi dalam matematika sekolah dalam proses pembelajrannya dapat digunakan pola pikir induktif, walaupun pada akhirnya diharapkan mampu berpikir secara deduktif. Hal ini dimaksudkan untuk menyesuaikan dengan tingkat perkembangan intelektual peserta didik. Ruseffendi (dalam Alidah, 2011:29) mengemukakan bahwa alasan utama mengapa matematika diajarkan di sekolah ialah karena kegunaannya untuk berkomunikasi di antara manusia-manusia itu sendiri. Serta belajar matematika dapat meningkatkan kemampuan berfikir logis dan tepat. Matematika yang diajarkan disekolah juga menunjang atau membantu bidang studi lainnya, karena dimana hampir semua bidang studi memerlukan matematika. Alasan lain dikemukakan oleh Cockroft (dalam Uno, 2009:108) tenta ng mengapa matematika diajarkan. Yakni disebabkan matematika sangat dibutuhkan dan berguna dalam kehidupan sehari- hari, bagi sains, perdagangan dan industri, dan karena matematika itu menyediakan suatu daya, alat komunikasi yang singkat dan tidak
8
ambigius serta berfungsi sebagai alat alat untuk
mendeskripsikan dan
memprediksi. 2.2 Kemampuan Menyelesaikan Soal Matematika Menurut kamus bahasa Indonesia kemampuan adalah kesanggupan, kecakapan atau kekuatan (Alidah, 2011:41). Dalam kehidupan sehari, manusia selalu dihadapkan dengan berbagai macam masalah. Kegiatan memecahkan masalah sudah menjadi rutinitas bagi manusia yang menjalani kehidupannya dalam berinteraksi dengan sesama manusia maupun dengan lingkungannya. Kualitas hidup manusia dapat ditunjukkan dengan seberapa mampu ia dapat memecahkan masalah. Selain itu kemampuan manusia dalam menyelesaikan masalah dapat menunjukkan seberapa mampu manusia dapat bertahan hidup terlebih lagi di era globalisasi seperti sekarang ini. Dalam proses pembelajaran siswa dituntut memiliki kemampuan untuk menyelesaikan masalah dari materi yang telah diajarkan. Demikian pula dengan mata pelajaran matematika siswa harus memiliki kecakapan atau kemampuan untuk menyelesaikan soal-soal matematis. Langkah- langkah penyelesaian soal menurut Polya (dalam Widadah, 2013) ada empat, antara lain: 1) Memahami soal, yaitu meminta siswa untuk mengulangi pertanyaan dan siswa harus mampu menyatakan pertanyaan dengan fasih, menjelaskan bagian terpenting dari pertanyaan tersebut meliputi: apa yang ditanyakan, apa sajakah data yang diketahui, dan bagaimana syaratnya;
9
2) Merencanakan penyelesaian, yaitu siswa mencoba mencari hubungan antara hal- hal yang diketahui dengan hal- hal yang ditanyakan. Soal yang pernah diselesaikan, konsep dan prinsip yang sudah pernah dimiliki sangat besar manfaatnya dalam menentukan hubungan yang terjadi antara yang diketahui dengan yang ditanyakan. Dengan hubungan tersebut, maka disusunlah halhal yang akan dilakukan untuk menyelesaikan soal tersebut; 3) Menyelesaikan soal sesuai rencana, yaitu siswa menyelesaikan soal sesuai dengan rencana, siswa harus yakin bahwa setiap langkah harus benar; 4) Memeriksa kembali hasil yang diperoleh, yaitu dengan memeriksa kembali hasil yang diperolah dapat menguatkan pengetahuan dan mengembangkan kemampuan siswa dalam menyelesaikan soal, siswa harus mempunyai alasan yang tepat dan yakin jawabannya benar dan kesalahan akan mungkin terjadi sehingga pemeriksaan kembali perlu dilakukan. Berdasarkan lengkah- langkah penyelesaian soal siswa dituntut untuk mampu memahami soal dan mampu membuat model matematika. Disamping itu, siswa juga harus mampu memilih rumus atau metode penyelesaian untuk menyelesaikan soal serta terampil melakukan perhitungan dan mampu menyimpulkan jawaban yang ditanyakan. Selain memperhatikan langkah- langkah penyelesaian siswa juga harus menguasai hal- hal yang telah dipalajari sebelumnya.
10
2.3 Sistem Persamaan Linie r 2.3.1 Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) Bentuk umum sistem persamaan liear dua variabel (SPLDV) dengan variabel
dan
dapat dinyatakan sebagai berikut (Marwanta, 2009:72):
dengan Wirodikromo (2007:109) menuliskan bahwa sistem persamaan liniear dua variabel dalam variabel
dan
dapat ditulis sebagai:
atau
Dengan
dan
atau
dan
merupakan
bilangan-bilangan real. Pasangan nilai
dan
yang memenuhi persamaan
dinamakan sebagai penyelesaian dari persamaan tersebut. Untuk menentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dapat digunakan beberapa cara berikut (Marwanta, 2009:72): a. Metode Grafik b. Metode Eliminasi c. Metode Subtitusi d. Metode campuran (Eliminasi dan Subtitusi) e. Metode Determinan Akan tetapi dalam penelitian ini metode penyelesaian SPLDV yang diguanakan hanya metode grafik, eliminasi, subtitusi dan campuran.
11
a. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Dengan Metode Grafik Untuk menentukan penyelesaian sistem persa maan linear dua variabel (SPLDV)
dan
dengan grafik digunakan langkah
sebagai berikut (Marwanta, 2009:72): 1) Menggambar garis lurus dari kedua persamaan tersebut pada bidang cartesius. 2) Titik potong dari kedua persamaan tersebut merupakan penyelesaian dari sistem persamaan linear. Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian persamaan
dan
dengan metode grafik! Jawab: Pada persamaan Untuk
Jadi, grafik
melalui titik
dan
Pada persamaan Untuk
Jadi, grafik
melalui titik
dan
12
(-3,4)
4 3 2 1
-3
-2
O 1
-1
2
3
4
X
-1 -2 -3
Jika diperhatikan grafik di atas, kedua garis lurus dari kedua persamaan berpotongan di satu titik, yaitu
. Dengan demikian diperoeh himpunan
penyelesaiannya adalah {(-3,4)}. b. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Dengan Metode Eliminasi Penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) dengan menggunakan metode eliminasi dapat ditentukan sebagai berikut (Wirodikromo, 2007:111): Nilai dicari dengan cara mengeliminasi peubah , sedangkan nilai dicari dengan cara mengeliminasi peubah . Untuk menentukan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) dengan metode eliminasi digunakan langka h- langkah sebagai berikut (Marwata, 2009:74): 1) Menyamakan koefisien dari variabel yang akan dihilangkan dengan mengalikan kedua persamaan dengan bilangan yang sama.
13
2) Melakukan operasi penjumlahan atau pengurangan untuk menghilangkan salah satu variabel. Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier dengan metode eliminasi! Jawab:
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(4,1)}. c. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Dengan Metode Subtitusi Metode Subtitusi berarti menggantikan atau menyatakan salah satu variabel dalam variabel lain. Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) dengan metode subtitusi digunakan langkah-langkah sebagai berikut (Marwanta, 2009:74): 1) Mengubah salah satu variabel menjadi fungsi terhadap variabel lainnya pada salah satu persamaan.
14
2) Variabel yang sudah menjadi fungsi disubtitusikan ke persamaan lainnya. Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari sestem persamaan
dengan
menggunakan metode subtitusi! Jawab:
Bentuk
kemudian disubtitusikan ke dalam persamaan
,
sehingga diperoleh:
Nilai
disubtitusikan ke dalam
, sehingga diperoleh
Jadi, himpuanan penyelesaiannya aalah {(-2,1)}. d. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Dengan Metode Gabungan Eliminasi Dan Subtitusi Metode ini dilakukan dengan cara mengeliminasikan salah satu variabel kemudian melanjutkan dengan mensubtitusikan hasil dari eliminasi tersebut (Marwanta, 2009:75).
15
Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari sestem persamaan
dengan
menggunakan metode gabungan eliminasi dan subtitusi! Jawab:
Subtitusikan nilai
ke dalam
, sehingga:
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah e. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Dengan Metode Determinan Jika terdapat persamaan: ..........(1) ...........(2) Maka langkah- langkah dalam menyelesaikan SPLDV menggunakan matriks (Solihin, 2011) sebagai berikut: 1) Menyusun persamaan menjadi bentuk matriks
16
2) Mencari himpunan penyelesaiannya
Dari persamaan
dan
, jika:
a)
, maka mempunyaibanyak Himpunan Penyelesaian (HP)
b)
, maka tidak mempunyai Himpunan Penyelesaian (HP).
Contoh: Tentukan Himpunan Penyelesaian dari sistem persamaan
dengan
menggunakan matriks! Jawab: Dari sistem persamaan
dan
matriks:
Jadi, Himpunan Penyelesaiannya adalah {(1,3)}
diubah menjadi bentuk
17
2.3.2 Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) Bentuk umum sistem persamaan liear tiga variabel (SPLDV) dengan variabel
dan
dapat dinyatakan sebagai berikut (Marwanta, 2009:72):
dengan Wirodikromo (2007:114) menuliskan bahwa sistem persamaan liniear tiga variabel dalam variabel
dan
dapat ditulis sebagai:
atau
Dengan
atau merupakan bilangan-bilangan real.
Seperti halnya SPLDV, himpunan penyelesaian SPLTV dapat ditentukan dengan beberapa cara, diantaranya menggunakan (Wirodikromo, 2007:114): a) Metode Grafik b) Metode Subtitusi c) Metode Eliminasi d) Metode Campuran Eliminasi dan Subtitusi e) Metode Determinan Perbedaan antara sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) dengan sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) terletak pada banyak persamaan dan variabel yang digunakan. Sehingga penentuan himpunan penyelesaian SPLTV dilakukan dengan cara atau metode yang sama dengan penentuan penyelesaian SPLDV, kecuali dengan metode grafik. Cara lain yang dapat kamu gunakan selain
18
metode eliminasi, subtitusi, eliminasi dan campuran eliminasi dan subtitusi adalah metode determinan. Dan dalam penelitian ini hanya digunakan metode subtitusi, eliminasi dan campuran saja. 2.4 Penelitian yang Relevan Penelitian yang relevan dengan ini yaitu hasil penelitian yang dilakukan oleh Alidah pada tahun 2011 dengan judul “Pengaruh Penguasaan Materi Operasi Bentuk
Aljabar Terhadap Kemampuan Menyelesaikan Soal-Soal Sistem
Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) pada Siswa Kelas VIII di Mts Salaafiyah Bode-Plumbon-Cirebon”. Pada penelitian ini Alidah menyimpulkan bahwa Kemampuan siswa dalam menyelesaikan soal-soal sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) pada siswa kelas VIII menunjukan hasil yang kurang baik, berdasarkan nilai ratarata hasil tes pada materi tersebut yaitu 59.02. selain itu Alidah juga menyimpulkan bahwa pengaruh penguasaan materi pokok operasi bentuk aljabar terhadap kemampuan menyelesaikan soal-soal sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) menunjukan pengaruh yang signifikan. Hasil analisis menunjukan bahwa koefisien determinasi yang d ihasilkan adalah sebesar 29,6%. Berdasarkan hasil penelitian sebelumnya yang dilakukan oleh Alidah, maka dapat ditarik kesimpulan bahwa terdapat persamaan dan perbedaan dalam penelitian ini. Persamaannya adalah salah satu variabel penelitian yang diukur pada penelitian Alidah sama dengan variabel yang yang diukur dalam penelitian ini, yaitu kemampuan siswa menyelesaikan soal-soal. Sedangkan perbedaannya adalah pada penelitian yang relevan ini hanya mengukur kemampuan siswa
19
menyelesaikan soal-soal sistem persamaan linear dua variabel sedangkan dalam penelitian ini mengukur kemampuan siswa menyelesaikan soal-soal sistem persamaan linear dua veriabel dan sistem persamaan linear tiga variabel. Perbedaan yang lainnya yaitu pada peneliltian yang relevan ini dilakukan pada siswa MTs/SMP sedangkan pada penelitian ini dilakukan pada siswa SMA. Selain itu juga metode penelitian yang digunakan dalam penelitian yang dilakukan oleh Alidah menggunakan desain teknik korelasi sedangkan dalam penelitian ini menggunakan desain penelitian yang bersifat deskriptis kuantitatif. Penelitian yang relevan dengan penelitian ini juga dilakukan oleh Nurul Rahmawati pada tahun 2008 dengan judul “Deskripsi Kemampuan Siswa dalam Menyelesaikan Soal-Soal Operasi Hitung Aljabar” pada siswa kelas VIII SMP Negeri 7 Gorontalo. Pada penelitian yang dilakukan oleh Nurul Rahmawati menyimpulkan bahwa kemampuan siswa dalam menyelesaikan soal-soal operasi hitung aljabar masih rendah, hanya 26 % (9 orang) saja yang mencapai ketuntasan belajar. Adapun persamaan penelitian yang dilakukan oleh Nurul dengan penelitian ini adalah sama-sama terdiri dari satu variabel yaitu kemampuan menyelesaikan soal. Sedangkan perbedaannya yakni pada penelitian Nurul Rahmawati menggunakan soal-soal operasi hitung aljabar sedangkan pada penelitian ini menggunakan soal-soal sistem persamaan linear. 2.5 Hipotesis penelitian Berdasarkan kejian teori, maka hipotesis pada penelitian ini adalah ratarata kemampuan siswa menyelesaikan soal-soal persamaan linear di SMA Negeri 2 Kota Gorontalo paling tinggi 70 %.
