3
Bab II : Kajian Pustaka
BAB II KAJIAN PUSTAKA
Material berdasarkan sifat propertinya dibagi menjadi beberapa jenis, yaitu: 1. Isotropik : material yang sifat propertinya sama ke segala arah, misalnya baja. 2. Orthotropik : material dengan dua plane of symmetry yang saling tegak lurus, sehingga propertinya terdefinisi menjadi dua arah, misalnya material komposit dengan arah serat 90 derajat. 3. Anisotropik : material yang tidak memiliki plane of symmetry, propertinya bisa didefinisikan dalam dua arah juga seperti pada material orthotropic, misalnya material komposit dengan arah serat 30 derajat.
2.1
Material Orthotropik Pada material orthotropik propertinya terdefinisi dalam dua arah yang saling tegak lurus, seperti gambar di bawah ini :
Gambar 2.1
Besarnya strain adalah :
ε1 =
σ1 E1
ε 2 = −υ12 .ε1 = − γ 12 = 0
υ12σ 1 E1
(2.1.1)
4
Bab II : Kajian Pustaka
Persamaan konstitutif untuk material orthotropik : ⎡ 1 E1 ⎢ ⎧ ε1 ⎫ ⎢ ⎪ ⎪ ⎢ υ 21 ⎨ε2 ⎬ = − E 2 ⎪γ ⎪ ⎢ ⎩ 12 ⎭ ⎢ ⎢ 0 ⎣
−
υ12 1
E1
E2
0
0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎧⎪σ 1 ⎫⎪ 0 ⎥ ⎨σ 2 ⎬ ⎥⎪ ⎪ τ 1 ⎥ ⎩ 12 ⎭ G12 ⎥ ⎦
(2.1.2)
Dari persamaan di atas diperoleh matriks kekakuan untuk material orthotropik :
υ21.E1 ⎡ E1 0 ⎤ ⎢ ⎥ 1 − υ12 .υ21 ) 1 − υ12 .υ21 ) ( ( ⎧σ 1 ⎫ ⎢ ⎥ ⎧ ε1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎢υ12 E2 ⎪ ⎪ E2 0 ⎥ ⎨ε2 ⎬ ⎨σ 2 ⎬ = (1 − υ12 .υ21 ) (1 − υ12 .υ21 ) ⎥⎪ ⎪ ⎪τ ⎪ ⎢ ⎥ γ ⎩ 12 ⎭ ⎢ 0 0 G12 ⎥ ⎩ 12 ⎭ ⎢ ⎣ ⎦
(2.1.3)
Dimana :
υ21 =
E2 .υ12 E1
(2.1.4)
Dengan mendefinisikan Q, matriks kekakuan di atas dapat ditulis lebih sederhana : ⎧σ 1 ⎫ ⎡ Q11 Q12 ⎪ ⎪ ⎢ ⎨σ 2 ⎬ = ⎢Q12 Q22 ⎪τ ⎪ ⎢ 0 0 ⎩ 12 ⎭ ⎣
0 ⎤ ⎧ ε1 ⎫ ⎪ ⎪ 0 ⎥⎥ ⎨ ε 2 ⎬ Q66 ⎦⎥ ⎩⎪γ 12 ⎭⎪
(2.1.5)
Dimana : Q11 = Q22 =
2.2
υ12 E2 υ E = 21 1 1 − υ12υ21 1 − υ12υ21
E1
; Q12 =
E2
; Q66 = G12
1 − υ12υ21 1 − υ12υ 21
(2.1.6)
Material Anisotropik
Material orthotropik memiliki arah serat tertentu (bukan 0 atau 90 derajat). Matriks kekakuannya diperoleh dengan cara mentrasformasikan matriks kekakuan material orthotropik sesuai arah orientasi serat.
5
Bab II : Kajian Pustaka
Gambar 2.2
Transformasi tegangan dan regangan kea rah x dan y :
⎧σ x ⎫ ⎧σ 1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨σ 2 ⎬ = [T1 ] ⎨σ y ⎬ ⎪τ ⎪ ⎪τ ⎪ ⎩ 12 ⎭ ⎩ xy ⎭
⎧εx ⎫ ⎧ ε1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ε 2 ⎬ = [T2 ] ⎨ ε y ⎬ ⎪γ ⎪ ⎪γ ⎪ ⎩ 12 ⎭ ⎩ xy ⎭
(2.2.1)
Dimana :
⎡ m2 n2 2mn ⎤ ⎢ 2 [T1 ] = ⎢ n m2 −2mn ⎥⎥ ⎢ − mn mn m 2 − n 2 ⎥ ⎣ ⎦
[T2 ]
⎡ m2 n2 mn ⎤ ⎢ 2 ⎥ =⎢ n m2 − mn ⎥ ⎢ −2mn 2mn m 2 − n 2 ⎥ ⎣ ⎦
(2.2.2)
m = cos θ n = sin θ
Dari matriks kekakuan :
{σ }1 = [Q ]{ε }1
(2.2.3)
Diperoleh :
{σ }x = [T1 ] [Q ][T2 ]{ε }x −1
(2.2.4)
Definisikan :
{Q} = [T ]
−1
1
[Q ][T2 ]
(2.2.5)
Diperoleh :
{σ }x = ⎡⎣Q ⎤⎦ {ε }x
(2.2.6)
Atau :
⎧σ x ⎫ ⎡ Q11 Q12 ⎪ ⎪ ⎢ ⎨σ y ⎬ = ⎢Q12 Q 22 ⎪τ ⎪ ⎢ ⎩ xy ⎭ ⎢⎣Q16 Q 26
Q16 ⎤ ⎧ ε x ⎫ ⎥⎪ ⎪ Q 26 ⎥ ⎨ ε y ⎬ ⎥⎪ ⎪ Q 66 ⎥⎦ ⎩γ xy ⎭
(2.2.7)
6
Bab II : Kajian Pustaka
Dimana : Q11 = Q11m 4 + 2(Q12 + 2Q66 )m 2 n 2 + Q22 n 4 Q 22 = Q11n 4 + 2(Q12 + 2Q66 )m 2 n 2 + Q22 m 4 Q12 = (Q11 + Q22 − 4Q66 )m 2 n 2 + Q12 (n 4 + m 4 ) Q16 = (Q11 − Q12 − 2Q66 )m3 n + (Q12 − Q22 + 2Q66 )n3 m
(2.2.8)
Q 26 = (Q11 − Q12 − 2Q66 )mn3 + (Q12 − Q22 + 2Q66 )nm3 Q 66 = (Q11 + Q22 − 2Q12 − 2Q66 )m 2 n 2 + Q66 (n 4 + m 4 )
2.3
Lamination Theory Teori lamina mendeskripsikan respon linear properti pada komposit lamina terhadap gaya luar yaitu in-plane loads dan bending moments. Teori ini digunakan untuk mencari matriks ABD yang merepresentasikan properti material pada susunan dan arah serta tertentu.
Gambar 2.3
Persamaan konstitutif lamina :
⎧ N x ⎫ ⎡ A11 ⎪N ⎪ ⎢ ⎪ y ⎪ ⎢ A12 ⎪⎪ N xy ⎪⎪ ⎢ A16 ⎨ ⎬=⎢ ⎪ M x ⎪ ⎢ B11 ⎪ M y ⎪ ⎢ B12 ⎪ ⎪ ⎢ ⎩⎪ M xy ⎭⎪ ⎣⎢ B16
A12 A22 A26 B12 B22 B26
A16 A26 A66 B16 B26 B66
B11 B12 B16 D11 D12 D16
B12 B22 B26 D12 D22 D26
B16 ⎤ ⎧ ε x ⎫ ⎪ ⎪ B26 ⎥⎥ ⎪ ε y ⎪ B66 ⎥ ⎪⎪γ xy ⎪⎪ ⎥⎨ ⎬ D16 ⎥ ⎪ κ x ⎪ D26 ⎥ ⎪ κ y ⎪ ⎥⎪ ⎪ D66 ⎦⎥ ⎩⎪κ xy ⎭⎪
(2.3.1)
7
Bab II : Kajian Pustaka
Dimana : n
Aij = ∑ ⎡⎣Q ij ⎤⎦ k =1
( zk − zk −1 ) k
Bij =
1 n ⎡Q ij ⎤ ( zk2 − zk2−1 ) ∑ 2 k =1 ⎣ ⎦ k
Dij =
1 n ∑ ⎡Qij ⎤ ( zk3 − zk3−1 ) 3 k =1 ⎣ ⎦ k
(2.3.2)
Untuk simetrik lamina :
[ B] = 0
(2.3.3)
{ N } = [ A]{ε o }
(2.3.4)
Tegangan rata-rata lamina :
{σ } ≡ [ A]{ε 0 } 1 h
(2.3.5)
dan
{ε } = 2h [ A] {σ } −1
0
(2.3.6)
Definisikan laminate compliance :
[a]
*
≡ 2 h [ A]
−1
(2.3.7)
Diperoleh : ⎧ ε x ⎫ ⎡ a11* ⎪ ⎪ ⎢ * ⎨ ε y ⎬ = ⎢ a12 ⎪γ ⎪ ⎢ a* ⎩ xy ⎭ ⎣ 16
a12* * a22 * 26
a
a16* ⎤ ⎧σ x ⎫ ⎪ * ⎥⎪ a26 ⎥ ⎨σ y ⎬ * ⎥⎪ ⎪ a66 ⎦ ⎩τ xy ⎭
(2.3.8)
Dari persamaan-persamaan di atas dapat diperoleh properti : Ex =
1 a11*
Ey =
1 * a22
Gxy =
1 * a66
vxy =
a12* * a22
(2.3.9)
8
Bab II : Kajian Pustaka
2.4
Laminated Tube Theory Laminated Tube Theory merupakan teori tentang struktur silinder berlubang yang tersusun dari beberapa lamina.
Px Tx P1 Ro
R1
θ
Tx Px Gambar 2.4
2.4.1 Regangan pada Sistem Koordinat Silinder Perpindahan yang terjadi pada tabung dinyatakan dalam arah aksial, tangensial dan radial, yaitu : u = u ( x, θ , r ) v = v ( x, θ , r )
(2.4.1.1)
w = w( x,θ , r )
Hubungan regangan-perpindahan pada tata acuan koordinat silinder :
ε γ
x
=
θr
∂u ∂x
1 ⎛ ∂w ∂ ⎞ = ⎜ − v + r (v ) ⎟ ∂r r ⎝ ∂θ ⎠
ε γ
1 ⎛ ∂v ⎞ = ⎜ +w ⎟ r ⎝ ∂θ ⎠ ∂u ∂w = + xr ∂r dx
θ
ε
γ
∂w ∂r ∂v 1 ∂u = + θr ∂x r ∂θ r
=
(2.4.1.2)
9
Bab II : Kajian Pustaka
Untuk tabung yang simetris, perpindahan, regangan,dan tegangan tidak tergantung pada θ. Dan pada sepanjang tabung, perpindahan radial ,w, juga tidak tergantung pada koordinat x. Maka : u = u ( x, r ) v = v ( x, r )
(2.4.1.3)
w = w( x, r ) Hubungan regangan-perpindahan menjadi :
ε γ 2.4.2
x
=
θr
∂u ∂x =
ε
γ
∂v v − ∂r r
θ
xr
=
=
w r
ε
∂u ∂r
γ
r
=
xθ
∂w ∂r
=
∂v ∂x
(2.4.1.4)
Persamaan Konstitutif
Pada lapisan orthotropik, persamaan konstitutif pada sumbu-sumbu dengan arah sejajar serat (1), tegak lurus serat (2), dan tegak lurus bidang 12 (3) adalah :
⎧σ 1 ⎫ ⎡C 11 ⎪ ⎪ ⎢ ⎪σ 2 ⎪ ⎢C 21 ⎪ ⎪ ⎢ ⎪σ 3 ⎪ ⎢C 31 ⎨ ⎬=⎢ ⎪τ 23 ⎪ ⎢ 0 ⎪ ⎪ ⎢ 0 ⎪τ 31⎪ ⎢ ⎪τ ⎪ ⎢ 0 ⎩ 12 ⎭ ⎣
C 12 C 13 C 22 C 23 C 32 C 33
0
0
0
0
0
0
⎧ε1 ⎫ ⎪ ε2⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ε 3 ⎪⎪ 0 ⎥⎪ ⎥ ⎨ ⎬ 0 ⎥ ⎪γ 23 ⎪ ⎥ 0 ⎥ ⎪γ ⎪ ⎥ ⎪ 31⎪ C 66 ⎦⎥ ⎪⎪⎩γ 12 ⎪⎭⎪ 0 ⎤ ⎪ ⎥ 0 ⎥⎪
0
0
C 44
0
0
0
0
C 55
0
0
0
0
(2.4.2.1)
Persamaan konstitutif pada tata acuan koordinat silinder dengan orientasi serat membentuk sudut φ terhadap sumbu-x (aksial) adalah :
⎡ ' ⎧σ x ⎫ ⎢C 11 ⎪ ⎪ ⎢ ' ⎪σ θ ⎪ ⎢C 12 ⎪ ⎪ ⎢ ' ⎪σ r ⎪ ⎢C 13 ⎨ ⎬=⎢ ⎪τ θ r ⎪ ⎢ 0 ⎪ ⎪ ⎢ ⎪τ xr ⎪ ⎢ 0 ⎪τ ⎪ ⎢ ⎩ xθ ⎭ ' ⎢⎣C 16
'
'
C 12 C 13 ' ' C 22 C 23 ' ' C 23 C 33 0
0
0
0
'
'
C 26 C 36
0
0
0
0
0
0
C C
' 44 ' 45
0
C C
' 45 ' 55
0
C 16 ⎤⎥ ⎧ ε x ⎫ ⎪ ⎪ ' C 26 ⎥⎥ ⎪ ε θ ⎪ ⎪ ⎪ ' C 36 ⎥⎥ ⎪⎪ ε r ⎪⎪ ⎬ ⎥⎨ 0 ⎥ ⎪γ θ r ⎪ ⎪ ⎥⎪ 0 ⎥ ⎪γ xr ⎪ ⎪ ⎪ ' ⎥ γ ⎪⎩ xθ ⎭⎪ ⎥ C '
66 ⎦
(2.4.2.2)
10
Bab II : Kajian Pustaka
Dimana : ⎡C ' ⎤ ≡ [T1 ]−1 [C ][T2 ] ⎣ ⎦ T1 dan T2 adalah matriks transformasi yang berharga :
⎡ m2 ⎢ 2 ⎢ n ⎢ 0 [T1 ] = ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎢ − mn ⎣
n2
0
0
0
m2
0
0
0
0
1
0
0
0
0
m
−n
0
0
n
m
mn
0
0
0
(2.4.2.3)
2 mn ⎤ ⎥ − 2 mn ⎥ 0 ⎥⎥ 0 ⎥ ⎥ 0 ⎥ m 2 − n 2 ⎥⎦ (2.4.2.4)
⎡ m2 n2 ⎢ 2 m2 ⎢ n ⎢ 0 0 [T2 ] = ⎢ ⎢ 0 0 ⎢ 0 ⎢ 0 ⎢ −2mn 2mn ⎣
mn ⎤ 0 0 0 ⎥ 0 0 0 − mn ⎥ 1 0 0 0 ⎥⎥ 0 m −n 0 ⎥ ⎥ 0 n m 0 ⎥ 0 0 0 m 2 − n 2 ⎥⎦
m = cos θ dan n = sin θ
dan C11 =
1 − v23v32 E2 E3Δ
C13 =
v31 + v21v32 E2 E3Δ
C12 =
v21 + v23v31 E2 E3Δ
C23 =
v32 + v12 v31 E1E3 Δ
C22 =
1 − v13v31 E1E3Δ
C33 =
1 − v12 v21 E1E2 Δ
C44 = G23 C55 = G13 C66 = G12
(2.4.2.5)
Definisikan :
[ε ] = [ S ][σ ]
(2.4.2.6)
11
Bab II : Kajian Pustaka
Diperoleh matriks komplians : ' ⎧ ε x ⎫ ⎡ S 11 ⎢ ⎪ ⎪ ' ⎪ ε θ ⎪ ⎢ S 12 ⎪ ⎪ ⎢ ' ε r ⎪⎪ ⎪⎪ ⎢ S 13 ⎢ ⎨γ ⎬ = ⎢ ⎪ θr⎪ ⎢ 0 ⎪ ⎪ ⎢ ⎪γ xr ⎪ ⎢ 0 ⎪ ⎪ ⎢ ⎪⎩γ xθ ⎪⎭ ⎢ ' ⎣ S 16
2.4.3
'
'
S 12 S 13 ' ' S 22 S 23 ' ' S 23 S 33 0
0
0
0
'
'
S 26 S 36
0
0
0
0
0
0
' 44
' 45
S S ' ' S 45 S 55 0
0
S 16 ⎤⎥ ⎧σ ⎫ x ' ⎥⎪ S 26 ⎥ ⎪σ θ ⎪⎪ ' S 36 ⎥⎥ ⎪⎪σ r ⎪⎪ ⎥⎨ ⎬ 0 ⎥ ⎪τ θ r ⎪ ⎥⎪ ⎪ 0 ⎥ ⎪τ xr ⎪ ⎪ ⎪ ' ⎥ ⎩τ xθ ⎭ ⎥ S 66 ⎦ '
(2.4.2.7)
Persamaan Kesetimbangan
dσ r σ r − σ θ + =0 dr r dτ θ r 2τ θ r + =0 dr r dτ xr τ xr + =0 dr r
(2.4.3.1)
Integrasikan sehingga diperoleh : E r2 F τ xr = r E dan F adalah konstanta integrasi.
τθ r =
2.4.4
(2.4.3.2)
Persamaan Perpindahan
Persamaan regangan geser :
γ xr =
∂u F ' E = S 45 + S55' 2 ∂r r r
(2.4.4.1)
Integrasi persamaan diatas akan didapat : ' u ( x, r ) = − S45
E + S55' F ln r + f ( x) r
(2.4.4.2)
f ( x) adalah fungsi sembarang, besarnya sama dengan εx0 ditambah konstanta,
misal F1, sehingga didapatkan :
12
Bab II : Kajian Pustaka
u ( x, r ) = ε x0 x − S 45'
E + S55' F ln r + F1 r
(2.4.4.3)
Persamaan kompatibilitas untuk regangan geser : 1 d ⎡1 d (rγ 2 dr ⎢⎣ r dr
xθ
⎤ )⎥ = 0 ⎦
(2.4.4.4)
Integrasikan, diperoleh :
γ xθ = K1r +
K2 r
(2.4.4.5)
K1 dan K2 adalah konstanta integrasi Kombinasikan dengan hubungan regangan-perpindahan, didapat :
K ⎞ ⎛ v = ⎜ K1r + 2 ⎟ x + g (r ) r ⎠ ⎝
(2.4.4.6)
g(r) adalah fungsi sembarang
γθr =
∂v v 2 K x g (r ) − = g ' (r ) − 22 − ∂r r r r
(2.4.4.7)
Kombinasi persamaan konstitutif dan kesetimbangan, didapatkan :
γ θ r = S44'
E ' F + S 45 2 r r
(2.4.4.8)
Harga K2=0 dan g(r) harus memenuhi persamaan differensial
d g (r ) ' E ' F g (r ) − = S 44 + S 45 2 dr r r r
(2.4.4.9)
Solusinya adalah :
g (r ) = −
S 44' E ' − S45 F + G1r 2r
(2.4.4.10)
G1 adalah konstanta integrasi. Definisikan K1 = γ0, sudut twist (radian) per satuan panjang, didapatkan : ' v( x, r ) = γ 0 xr − S44
E − S 45' F + G1r 2r
(2.4.4.11)
Kombinasi antara persamaan pertama dari persamaan-persamaan kesetimbangan, persamaan regangan-perpindahan dan persamaan perpindahan akan mendapatkan persamaan differensial orde dua dari w sebagai fungsi dari r, εxo,g0 :
⎤ d 2 w 1 dw C22' w 1 ⎡ (C12' − C13' )ε x0 + − = + (C26' − 2C36' )γ 0 ⎥ 2 ' 2 ' ⎢ dr r dr C33r C33 ⎣ r ⎦
(2.4.4.12)
13
Bab II : Kajian Pustaka
Solusi dari persamaan differensial di atas adalah : ' ⎛ C ' − C13' ⎞ 0 ⎛ C26 − 2C36' ⎞ 0 2 w(r ) = A1r λ + A2 r − λ + ⎜ 12' r ε γ r + ⎟ ⎜ x ' ' ' ⎟ ⎝ C33 − C22 ⎠ ⎝ 4C33 − C22 ⎠ Dimana :
λ=
' C22 C33'
(2.4.4.13)
(2.4.4.14)
Definisikan : ⎛ C12' − C13' ⎞ =Γ ⎜ ' ' ⎟ ⎝ C33 − C22 ⎠ ' ⎛ C26 − 2C36' ⎞ =Ω ⎜ ' ' ⎟ ⎝ 4C33 − C22 ⎠
(2.4.4.15)
Jika konstanta gerak benda padat F1 dan G1 sama dengan nol maka didapatkan : E + S55' F ln r r E ' v( x, r ) = γ 0 xr − S 44 − S 45' F 2r
u ( x, r ) = ε x0 x − S 45'
(2.4.4.16)
w( x, r ) = A1r λ + A2 r − λ + Γε x0 r + Ωγ 0 r 2
2.4.5
Persamaan Regangan
Dengan mensubstitusikan hubungan regangan-perpindahan dengan persamaan perpindahan, diperoleh : ∂w = λ A1r λ −1 − λ A2 r − λ −1 + Γε x0 + 2Ωγ 0 r ∂r ∂v w + = A1r λ −1 + A2 r − λ −1 + Γε x0 + Ωγ 0 r εθ = ∂θ r ∂u = ε x0 εx = ∂x 1 ∂w ∂v v + − = γ 0x −γ 0x = 0 γθr = r ∂θ ∂r r ∂w ∂u + = 0+0 = 0 γ rx = ∂x ∂r ∂v 1 ∂u = γ 0r γ xθ = + ∂x r ∂θ
εr =
(2.4.5.1)
14
Bab II : Kajian Pustaka
2.4.6
Persamaan Tegangan Dengan mensubstitusikan persamaan konstitutif dan persamaan regangan, didapatkan hasil :
τ rθ = τ xr = 0 τ xθ = C16' ε x0 + C26' εθ + C360 ε r + C66' γ 0 r
(2.4.6.1)
Substitusi dengan persamaan regangan, diperoleh :
τ xθ = {C16' + (C26' + C36' )Γ} ε x0 + {C66' + (C26' + 2C36' )Ω} γ 0 r ' ' + (C26 + λ C36' ) A1r λ −1 + (C26 − λ C36' ) A2 r − λ −1
(2.4.6.2)
Persamaan tegangan normalnya
σ x = {C11' + (C13' + C12' )Γ} ε x0 + ⎡⎣(C12' + 2C13' )Ω + C16' ⎤⎦ γ 0 r + (C12' + λ C13' ) A1r λ −1 + (C12' − λ C13' ) A2 r − λ −1
σ θ = {C12' + (C22' + C23' )Γ} ε x0 + ⎡⎣ (C22' + 2C23' )Ω + C26' ⎤⎦ γ 0 r ' ' ' + (C22 + λ C23 ) A1r λ −1 + (C22 − λ C23' ) A2 r − λ −1
(2.4.6.3)
(2.4.6.4)
σ r = {C13' + (C23' + C33' )Γ} ε x0 + ⎡⎣ (C23' + 2C33' )Ω + C36' ⎤⎦ γ 0 r ' + (C23' + λ C33' ) A1r λ −1 + (C23 − λ C33' ) A2 r − λ −1
(2.4.6.5)
Pada persamaan di atas terdapat empat variabel yang tidak diketahui yaitu εx0,γ0,A1, dan A2 .
2.4.7
Persamaan Simultan Persamaan kondisi batas pada permukaan dalam dan permukaan luar tabung: ' − p1 = {C13' + (C23 + C33' )Γ} ε x0 + ⎡⎣ (C23' + 2C33' )Ω + C36' ⎤⎦ γ 0 r1 ' + (C23' + λ C33' ) A1r1λ −1 + (C23 − λ C33' ) A2 r1− λ −1
(2.4.7.1)
' ' − p0 = {C13' + (C23 + C33' )Γ} ε x0 + ⎡⎣ (C23 + 2C33' )Ω + C36' ⎤⎦ γ 0 r0 ' + (C23' + λ C33' ) A1r0λ −1 + (C23 − λ C33' ) A2 r0− λ −1
(2.4.7.2)
15
Bab II : Kajian Pustaka
Persamaan kesetimbangan gaya aksial R0
Px = ∫ 2πσ x rdr R1
(2.4.7.3)
Subtitusi dengan persamaan gaya normal, diperoleh : 3 3 ⎧⎪ ⎡ R 2 − R12 ⎤ ' ' ' 0 ⎡ R0 − R1 ⎤ + + + Ω ( ( 2 ) ) γ Px = 2π ⎨(C11' + (C13' + C12' )Γ)ε x0 ⎢ 0 C C C 16 12 13 ⎥ ⎢ 3 ⎥ ⎣ 2 ⎦ ⎣ ⎦ ⎩⎪
+
(C12' + λ C13' ) (C ' − λC13' ) ⎫ A1 ( R0λ +1 − R1λ +1 ) + A2 ⎡⎣ R0− λ +1 − R1− λ +1 ⎤⎦ 12 ⎬ λ +1 −λ + 1 ⎭
(2.4.7.4)
Persamaan kesetimbangan momen : R0
Tx = 2π ∫ τ xθ r 2 dr
(2.4.7.5)
R1
Subtitusi dengan persamaan gaya normal, diperoleh : 4 4 ⎧⎪ ⎡ R 3 − R13 ⎤ ' ' ' ' 0 ⎡ R0 − R1 ⎤ + C36' )Γ)ε x0 ⎢ 0 Tx = 2π ⎨(C16' + (C26 ⎥ + (C66 + (C26 + 2C36 )Ω)γ ⎢ ⎥ ⎪⎩ ⎣ 3 ⎦ ⎣ 4 ⎦ A A ⎫ ' ' +(C26 + λC36' ) 1 r λ + 2 + (C26 − λ C36' ) 2 r 2−λ ⎬ λ+2 2−λ ⎭ (2.4.7.6)
Dengan empat persamaan simultan tersebut, dapat diperoleh empat variabel yang tidak diketahui pada persamaan tegangan sehingga distribusi tegangan bisa diketahui dengan cara mensubtitusikan persamaan-persamaan tersebut.
