4
BAB II KAJIAN PUSTAKA Pada sub bab ini akan diberikan beberapa definisi dan teori yang mendukung rancangan Sequential Probability Ratio Test (SPRT) yaitu percobaan dan ruang sampel, peubah acak dan fungsi peluang, rataan dan variansi, teori sampling, distribusi normal, nilai harapan dan nilai harapan bersyarat, fungsi likelihood, parameter dan statistik, pengujian hipotesis statistik dan analisis sekuensial. A. Percobaan dan ruang sampel Menurut Walpole (1995:70), istilah percobaan digunakan untuk sembarang proses yang dapat membangkitkan data. Himpunan semua hasil suatu percobaan disebut ruang sampel dan dilambangkan dengan huruf S. Ruang sampel beranggotakan hasil dari suatu percobaan yang disebut sebagai titik sampel. Titik-titik sampel ini dapat membentuk beberapa himpunan yang merupakan himpunan bagian dari ruang sampel dan disebut sebagai kejadian. Berikut ini adalah beberapa definisi yang membahas masalah ruang sampel beserta sifat-sifatnya: Definisi 2.1 (Walpole, 1995:70): Ruang sampel dari suatu percobaan adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan. Ruang sampel dibedakan atas dua macam, yakni ruang sampel diskret dan ruang sampel kontinu. Ruang sampel diskret adalah ruang sampel yang
5
mengandung titik-titik sampel yang banyaknya terhingga atau titik-titik sampelnya berupa barisan yang tidak berakhir namun nilainya sama banyak dengan nilai bilangan cacah. Adapun ruang sampel kontinu adalah ruang sampel yang mengandung titik sampel yang banyaknya tak terhingga dan sama banyak dengan banyaknya titik-titik pada sebuah ruas garis (Walpole & Myers, 1995:52 ). Definisi 2.2 (Bain & Engelhardt, 1992:9) Misalkan S adalah ruang sampel suatu percobaan dan A1, A2, …. adalah kejadian-kejadian yang mungkin terjadi dalam S, dan misalkan P adalah suatu fungsi yang menghasilkan nilai real P(A) untuk setiap kejadian A, maka P(A) disebut peluang dari A jika memenuhi: a) P(A)
0, untuk setiap kejadian A
b) P(S) = 1 c) Jika A1, A2, …. adalah barisan kejadian saling asing (Ai∩Aj = dan Ai
dengan i j
S ) maka: ∞
∞
Definisi 2.3 (Walpole, 1995:90) Peluang suatu kejadian A adalah jumlah peluang semua titik sampel dalam A. Jadi 0
1,
0,
Bila ruang sampel suatu percobaan mempunyai
1 unsur, dan masing-
masing unsur tersebut mempunyai peluang yang sama untuk terjadi, maka
6
. Dengan demikian,
pada setiap titik sampel diberikan peluang sebesar peluang kejadian
, yang berisikan
titik sampel atau unsur dalam
titik sampel adalah rasio banyaknya
dengan banyaknya titik sampel atau unsur
dalam . B. Peubah acak dan fungsi peluang 1) Peubah acak Definisi 2.4 (Walpole dan Myers, 1995:51) Peubah acak adalah suatu fungsi yang memetakan setiap unsur dalam ruang sampel S dengan suatu bilangan real. Peubah acak biasanya dinyatakan dengan huruf besar misalnya
, sedangkan nilainya
dinyatakan dengan huruf kecil padanannya, yaitu . Jika himpunan semua hasil yang mungkin dari peubah acak berhingga atau tak berhingga tetapi masih dapat dihitung maka
disebut
sebagai peubah acak diskret. Sedangkan jika semua hasil yang mungkin dari peubah acak
mencapai nilai dalam suatu interval maka
disebut
sebagai peubah acak kontinu. 2) Peluang bersyarat Definisi 2.5 (Bain & Engelhardt, 1992:18) Peluang bersyarat suatu kejadian didefinisikan sebagai
Jika
0
A bila diketahui B terjadi
7
Bila rumus diatas dikalikan dengan P(B) maka diperoleh aturan perkalian yang memungkinkan kita untuk menghitung peluang dua kejadian yang terjadi bersama, aturan tersebut yaitu :
3) Fungsi peluang dan fungsi padat peluang Definisi 2.6 (Walpole dan Myers, 1995:54) Apabila
merupakan peubah acak diskret, maka
disebut
fungsi peluang dari peubah acak , jika memenuhi : 0
i. ii. ∑
1
iii.
Definisi 2.7 (Walpole dan Myers, 1995:60) Apabila
merupakan peubah acak kontinu, maka
fungsi padat peluang dari peubah acak i.
0 untuk semua
ii.
1
disebut
, jika memenuhi :
iii. C. Rataan dan variansi 1) Rataan Definisi 2.8 (Bain & Engelhardt, 1992:72) Untuk sebuah peubah acak peluang
, rataan
ditulis
dengan fungsi peluang / fungsi padat didefinisikan sebagai :
8
; ; Teorema 2.1 (Dudewicz dan Mishra, 1995:249) Bila
,
,
konstan dan
maka i. .
ii. iii. Bukti : Untuk i.
yang kontinu .
.
ii. . . iii.
fungsi yang harapannya ada
9
2) Variansi Definisi 2.9 (Walpole & Myers , 1995:96) Jika
adalah peubah acak dengan fungsi peluang
maka variansi
ditulis
atau
, rataan ,
, didefinisikan sebagai : , ,
Teorema 2.2 (Bain & Engelhardt, 1992:74) Jika
peubah acak dengan rataannya
maka
Bukti :
2 2 2
D. Teori sampling Definisi 2.10 (Supranto, 2008:23) Sampling adalah cara pengumpulan data dengan menyelidiki seluruh elemen populasi satu persatu.
10
Definisi 2.11 (Supranto, 2008) Teori sampling adalah teori cara pengumpulan data apabila yang diselidiki adalah elemen sampel dari suatu populasi. Untuk melakukan analisis statistik diperlukan data, dan untuk itu maka diperlukan cara untuk mengumpulkan data. Data dapat dikumpulkan dengan berbagai
cara.
Untuk
mendapatkan
kesimpulan
yang
dapat
dipertanggungjawabkan haruslah ditempuh cara-cara yang benar dalam setiap langkah termasuk cara-cara pengambilan sampel atau sampling. Sampling dilakukan karena cara pengambilan data tidak dapat dilakukan dengan sensus yaitu cara yang lebih sederhana dibandingkan sampling. Ada berbagai alasan mengapa sensus tidak dapat dilakukan yaitu karena ukuran sampel yang jumlahnya tidak terhingga, masalah biaya dan biaya yang terbatas, masalah percobaan yang sifatnya merusak, masalah ketelitian dari penelitian yang dilakukan. Karena masalah tersebut diatas maka labih efisien jika dilakukan sampling. 1.
Populasi dan sampel Definisi 2.12 (Supranto, 2008:22): Populasi adalah kumpulan dari seluruh elemen sejenis tetapi dapat dibedakan satu sama lain karena karakteristiknya. Perbedaan-perbedaan itu disebabkan karena adanya nilai kerakteristik yang berlainan.
11
Definisi 2.13 (Supranto, 2008:23): Sampel adalah sebagian dari populasi. Jika n adalah banyaknya elemen sampel dan N adalah banyaknya elemen populasi, maka n < N ( n lebih kecil dari N). Istilah lain dari sampel adalah contoh. Populasi dan sampel sering ditulis sebagai berikut : Populasi : Sampel : 2.
, ,
,…, ,…,
,…, ,…,
Sampling sekuensial Definisi 2.14 (Sudjana, 2002:175), Sampling sekuensial adalah pengambilan sampel yang setiap anggota sampel diambil satu demi satu dan pada setiap kali selesai pangambilan anggota, analisis dilakukan lalu berdasarkan ini kesimpulan diadakan, yaitu apakah sampling berhenti ataukah akan dilanjutkan. Setiap anggota yang diambil disatukan dengan anggota-anggota yang telah diambil terlebih dahulu sebelum dijadikan sebuah kesimpulan.
E. Distribusi normal Menurut (Sudjana, 2002:136), Distribusi normal merupakan salah satu distribusi yang paling penting dan sering digunakan. Distribusi ini juga sering disebut distribusi Gauss. Distribusi normal menggunakan variabel acak kontinu.
12
Jika variabel acak kontinu
mempunyai fungsi densitas pada
dengan persamaan : , ∞
√
∞
dengan : π = nilai konstan yang bila ditulis hingga empat decimal π = 3,1416 e = bilangan konstan, bila ditulis hingga empat decimal e = 2,7183 µ = parameter, yang merupakan rata-rata untuk distribusi. σ = parameter, yang merupakan simpangan baku untuk distribusi. Maka dikatakan bahwa variabel acak
berdistribusi normal.
F. Nilai harapan dan nilai harapan bersyarat Definisi 2.15 (Walpole dan Myers, 1995:94) Jika
suatu variabel acak dengan distribusi peluang
. Nilai harapan
adalah : ∑
jika
variabel diskrit. jika
variabel kontinu
Teorema 2.3 (Walpole dan myers, 1995:103) Misalkan dan a. b. c.
dan
peubah acak yang saling bebas dan misalkan
ada , maka berlaku Jika
dan
konstanta maka
13
Bukti : a.
Jika
adalah peubah acak kontinu, maka
Jika
adalah peubah acak diskret, maka ∑ ∑
∑
b.
Misalkan
dan
adalah peubah acak kontinu, maka , ,
,
,
c.
Misalkan
dan
,
merupakan peubah acak kontinu, sedangkan
merupakan suatu fungsi, maka ,
14
Definisi 2.16 (Bain dan Engelhardt 1992:180) Jika X dan Y peubah acak diskret, maka nilai harapan bersyarat dari Y yang diberi
didefinisikan |
|
Definisi 2.17 (Bain dan Engelhardt 1992:180) Jika X dan Y peubah acak kontinu, maka nilai harapan bersyarat dari Y yang diberi
didefinisikan |
,
G. Fungsi likelihood Definisi 2.18 (Bain dan Engelhardt, 1992:293) ,
Misalkan , ,
,
,
,
,…,
,…,
yang
sampel acak dengan fungsi peluang,
dipandang
yaitu fungsi peluang bersama sebagai
fungsi
menyatakan nilai tertentu, maka :
∏
, ,
Fungsi
,…,
1,2,3, … , . Apabila
untuk
dari
,
.
,
…
,
inilah yang disebut sebagai fungsi likelihood
dari
θ
dan
15
H. Parameter dan statistik Definisi 2.19 (Walpole, 1995: 22) Sembarang nilai yang menjelaskan ciri populasi disebut parameter. Sudah menjadi kebiasaan bahwa parameter dilambangkan dengan huruf yunani dan parameter merupakan suatu konstanta yang menjelaskan populasi. Definisi 2.20 (Walpole, 1995: 22) Sembarang nilai yang menjelaskan ciri suatu sampel disebut statistik. Statistik biasanya dinyatakan dalam huruf kecil.
I.
Pengujian hipotesis statistik Definisi 2.21 (Walpole, 1995:327): Hipotesis statistik adalah suatu anggapan atau pernyataan, yang mungkin benar atau tidak, mengenai satu populasi atau lebih. Pengujian hipotesis akan membawa kepada kesimpulan untuk menerima hipotesis atau menolak hipotesis. Jadi dengan demikian terdapat dua pilihan. Agar dalam penentuan salah satu di antara dua pilihan itu lebih teperinci dan lebih mudah dilakukan, maka akan digunakan perumusanperumusan seperlunya. Hipotesis biasanya dinyatakan dengan H, agar dirumuskan dengan singkat dan jelas sesuai dengan persoalan yang dihadapi. Hipotesis H ini perlu didampingi oleh pernyataan lain yang menyatakan berlawanan, maka hipotesis H dinyatakan dengan H0 dan H1, yang artinya H0 melawan H1 dan ini juga menentukan kriteria pengujian yang terdiri dari
16
daerah penerimaan dan daerah penolakan hipotesis. Daerah penolakan hipotesis sering pula di kenal dengan nama daerah kritis. Dalam pengujian hipotesis akan terjadi dua macam kesalahan yaitu : i. Kesalahan tipe 1 yaitu menolak hipotesis yang seharusnya diterima ii. Kesalahan tipe 2 yaitu menerima hipotesis yang seharusnya ditolak. Dengan menggunakan pernyataan peluang bersyarat kedua tipe kesalahan pengujian hipotesis dapat dinyatakan sebagai berikut | | J.
Analisis sekuensial Definisi 2.22 (Sudjana, 2002 : 396 ) Analisis sekuensial adalah analisis yang membawa kepada kesimpulan statistik dimana banyak obyek yang diamati tidak ditentukan terlebih dahulu melainkan diamati secara sekuens (berurutan) atau satu demi satu. Definisi 2.23 (George, 1973 : 341) Prosedur sampling yang berakhir dengan waktu untuk berhenti disebut prosedur sekuensial.
