BAB I1
LANDASAN TEORl Latldasati lcori bang diiulis ciaIan1 hall 2 ini mcrupnltall bebel.al,n lantlasan yang ahan digunakan ilntul; ~nenganalisis i<eluarga sebarati eksponcnsial. L)i antnl-a lantlnsan tel-sebul adalah: ruang col~loli.I;cjadisn dan pclua11g. peubah acak dan sebaran peubah acali. pcluang bersyaral. liilai harapan dan hentuk-bentuk dari
Iiclual.ga sehnran el<sponensia!.
Ruang Contoh, I<ejadian dall Peluat~g
2.1
Suatu pcrcobaan yang dalxit diulung tlalali~ Icondisi );111g S ~ I I ~ L ).a~ig I. hasiln!.a
tidali dapat di11rcdil;si tlcngan t
tclal~i d:lpal tlil;et;~hui scmua
kemungliinan hasil yatig muncul dischul percohaan acak.
1)efitiisi 2.1 Ruang eot~tol~ Ruang contoh adalah liiml~u~izui seniua hasil yang mungl;iti tl:~ri suatu percobaan acak. dan di~iotasikandengan a. Grimmett dan Stirzaker (2001)
[<e.jadian adalali sliatu iiimpuliatl hagiali t1al.i runng contoll
a.
Grimme~tdan Stit-zalter (2001)
Mcdati-cadalali himp~~nan IF ~ a n anggotrrnyzk g n1erupal;an lhitnpunan bagian dari ruang contoh Q yanz memcnuhi s)larat-s)larat berila~t: a. 0 E T . b. Jika A E IF maka AC E T. dengan AC menyalakan ltomplemen dari
liinlpunanan A . c. J i l a A,, A*, A,,
... E
T , maka
U?=,Ai
E
IF.
Dcfinisi 2.4 Clkuran pcluang Iikuran ~?eluansI' pads ruans ~llau.at~ (a.T ) adslah lili~gsi1': :F-10.
I ] yang
mei~icnuhi: a. I'(0) = 0. ['(a)= I.
h. lilta A,, A z. A3. ... adalali himpunan anggota-angota T yang saling lepas,
w i t u A i n Aj = 0 , untuk setiap i. ,;densan if, j mala:
Pasangan ( a . T, P) disebut denfan ruang peluang (pi~obtil~iliij: sl~trce) Grimtncct dan Stirzaker (2001) 2.2
Peuball Acak d a r ~Scbaran Peuball Acali
Definisi 2.5 Peubah acak Suatu peubah acak (rcrrido~ilvor.icrDeI) adalah suatu rilngsi X: bahwa untuk setiap x E R , [w 6 a ; X(w) 5 X)
R dengan sifal
ET.
Ghalira~nani(2005) Definisi 2.6 Fungsi scbaran
-
Fungsi sebaran (dis[ribzi/ior~ ji~r?c[iorz)dari sualu peubah acalc X adalah Cungsi Fx: R
[O, 11 yang diberikan oleh F.y(x) = P(X 5 x). Gliahramani (2005)
Dcfinisi 2.7 Fur~gsisebaran peluang bcrsyalat hdisalkan X dan Y adalah peubah acak. Fungsi sebaran peluanl: bersyarat (coridi/ioricrlyrobuBili/y dis~ributior~,fur~c[io~z ) dari X dengall syaral Y = y adalah:
I'euhali acuk X dischut peubali acak disl
(x,,x2,xYi,) dari peuhali acal; tci.schut n1crul2al
R. Griliimetc dan Stirzakec-(2001 )
Teorema 2.1 Sic~t-sifatfurlgsi sebar:~npada 1teub:ih acalc diskret Silht-sib1 li~ngsisehalxn dari peubali acak X yaiig di11otasil;an den@:ui 15: adalah sebayai berikul:
< u maka F ( t ) <: F ( u )
(i)
F fungsi taktur~ln,jilta t
(ii)
lim,,,
(iii)
lim,,-,
(iv)
F' adalali kontinu kanan, untuk setiap t E R , F ( t +) = F ( t ) . Sika t,,
F ( t ) = 1.
F ( t ) = 0.
adalah barisan menurun pada R yang konversen lie t. maka lim,,
F(t,,) = F ( t ) .
Bukti: liliat Glialira~iiani2005, ha1 144.
Defirlisi 2.9 Fungsi massa peluang Fungsi lnassa peluang @r.obohitily tt?nss,futic/ion)p pada peubali acak diskret X dengan Iii~llp~~llan nilai yang mungkin (x,, x,,
x3,,,,)adalali suatu fi~ngsidari R ke
R yang memenuhi: (i)
p(x) = 0, jilta x @ (x,, x,, x,, ,..)
(ii)
p ( x i ) = P ( X = x i ) daii p ( x i ) 2 0,(i = 1,2,3, ...).
I'cuhali acali X dikatakan peubah acali it on tin^^ jika tcrdaput Sungsi f y ( x ) sehingga Iiin~sisebal-an FX(r)= P ( X 5 x ) da11at din!lataltan sebapai:
r,y(x)=
fx(Y)d~.
X E R
-m
denpall f : R
-t
[O,a)adalali lilngsi !:ang terinreprallan. I:unpsi f
= fx disebut
lilngsi kel~eliatalipeiuanp (~~i.ohclhi/i!,, ~ l e i ~ s i / ! ~ , / i ~ i ~dari c l i oX.i ~ ) GI-immctr dan
Stirzalte~.(200 I)
Teal-e11ta 2.2 Hubungan fungsi schalaii dan fungsi itepeltatsi~peluai~gpads peubah acalc Itoiitii~u Jilta f adalah Eungsi lcepekatali peluang dari peubah acak X yang kontinu dengan ruiigsi sebaran F ~iiakaf harm memenuhi: (i)
:-f
(ii)
F f ( x )= f ( x ) .
(iii)
P(X = a ) =
(iv)
P(a<X
f ( x ) d x = 1.
lzf ( x ) d x = 0.
pcluang bcrsama. malta li~ngsi massa ipeluans hers~arat tla1.i X dcnsan spiirac Y = y atlalah:
unt~iltsetiap y sedemikian schingga p y ( y ) > 0
Definisi 2.12 Peluang bersyarat peubal~acak liontinu Misalltan X dan Y adalah peubali acak Itontinu dan f ( x , y ) adalah fungsi kepeltatan peluang bersama, maka funysi kepeltatan peluang be]-syarat dari X dengall syarat Y = y adalah:
untuk setiap sedeiuiltia~iseliinyga f y ( y ) > 0. JJ
1)efinisi 2.13 Nilai 11;trapan peubah acak diskret
1 I a 1 A.
I
x
) udnlall litn:si
massa ipclua~igclari X ~iiahanilai harapan
( e v l ~ ~ ~ cI ~~ Ic~( ~l Idari c , ) pe~~ba acali h X tlidelinisikan schngai
dan E ( X ) dikaralcan ada jilia
C,=,x p ( s )
ko~i\~erfeli murlal;. Lihalil-ati~ilni(LUU5)
Dcfinisi 2.11 Simpangan baliu dan rsgani p e u b a l ~acalc disliret Misall;a~i X adalah peubah acal; tlisla-et tlengali l~irnpunaii~lilaiyalig mungkin adalah A. p ( x ) adalah lilngsi massa peluaii~dari X dan C ( X ) = ;1 adalah nilai harapan dari X lualca ox dan V a r ( X ) masing-masing adalah simpangan baku
(sicir7clcircl devitrfion) dan ragam ( ~ ~ o r i t r n cdari e ) X yang didefinisikan sebagai
dan
" u r ( X ) = E [ ( X - pI2l =
I(*
- p)'l,(x)
XEA
Definisi 2.15 Nilai harapan peubal~acali ltontinu Jika X adalah peubah acalt ltontinu dengan f sebagai fungsi ltcpekatali peluangnya. maka nilai hal.apan dari X didefinisikan sebagai
Jika X adalali pcubali acal; kolitinu dengan E(X) = ~1 makn 4, dall Vnr(X) ~iiasing-niasingadalah simpn~iga~i haku dan rogalii tlari X !.aiig tlitlclinisikan .;chag.ii
dan
1)efinisi 2.17 Nilai haral)an bersyarat peubah acak dislcret h4isall;an X dan Y adalali peubah acak diskrct dan pxi,(xly) adalah fungsi kepekata~ipeluang bersyarat dari X dengall syaral
Y = y. Nilai harapan dari X
denyan syarat Y = y adalah:
Ross (2007) Delinisi 2.18 Nilai harapan ber-syarat peubali acalc kontiuu Misalkan X dan Y adalah peubali acak kontinu dali fxlY(xly)adalali fungsi kcpckatan peluang bersyarat dari X dcngan syarat Y = y. Nilai harapan dari X densan syarat
Y = y adalah:
hlisalkan X ndalah 11euhal1 acak
~ l i e ~ ~ y a t a lhcsar11!.a ;a~~ lil;~i~n.I'llngsi
I
sebnra~un!.a dinotasilinn olch i;h(.s)
= P(X 5 X) clan lilngsi seharan \Ian2
hcrtlasarlia~~ clior scharan tli~iocasil;alluleli
r,y(~) = IJ(X > X) = 1 - Fi:(x). Nilai
haral~a~i hersyrlra~berdasarkan ekor seharan dari 1,euhali acuh ndalah:
yang dii~i~er~~~-etasilian sebagai ~1liura11 risili~cia11x,aclali~hq ~ ~ t r ~lie-c/. ~~ile
2.5
Bc~~tuli-bentuk dari I<eluarga Seharali Elisponcllsi;~l
Ilefil~isi2.20 T~.aosfor~nasi log Lapl;~cc Misalkan Q(x) rnerupakan ukut.an L~I-batas o
I
117ecls11r.e)pada garis
bilangan R, maka !ransfbrmasi log Laplace pada ulalran ini adalah:
~ ( 8= ) log
1,
exp(8x) dQ(x)
dengan himpunan parameter
o = ( 8 € RIli(8) < m }
Definisi 2.21 I<etuarga eltsponensial natural I l l a ~ r a pcluang ~l dPQ = esX-K(Q)dQ(x), B € (3
(2.3)
me~tdcfi~lisiltan keluarga eltsponcnsial 11acl11-al. d e n p n I<(@)disebut CIIIIIII/~~II/. .[orgensen( 1997)
I'ersamaan (2.3) tneuil~i~liyai salu parameter. yang akan mengliasilkan dua ~iaramcter. Misallcan A sehuali suhhimpunan 1padi1 R+ = (0,m) seliingga pcrsaliinatl (2.1 mctiiatli
Dari persamaan (2.4) ti~altapersaniaan (2.3) nie~iiadi
!:alig berisi tlua parame[et-. yailu ~p:~ra~mIrr H !.;r~i: tlitin~ii;~l
acak X disebut ~iiempanyai bentill< aditif lpada Iteluarp sebaran
e1;sponensial ( E D * ) jilta ilkuran peluangnya merel~resentasilta~i persamaan (2.5), yailu:
Jorgensen (1997)
Jika ukuran
Qi pada persamaan
(2.6) adalah kontinu absolule terhadap ukitra~i
Lebesgue. ~iialcar~uigsilcepekatan peluang pada X adalah: fX(,,) = e l O x - A ~ ( o ) l q ; ; ( x ) .
(2.7) Jorgensen ( 1997)
Fungsi pailhangkit inomell daput diperolch scbagai bcrikut:
+
M,v(t) = exp(/l[~;(H t ) - 1c(H)1) c l i ~ i ir~liigsilpc~iiLx~iigI
I(,(t) = A[rc(H
+ t ) - 1<(8)]
Misalkan indeks parameter A = 1 maka lceluarga eksponensial natural ~iiernp~aj~ satu a i paranieter. .lika liiml~unanparameter O dalinn persa~iiaan(2.2) adalah himpunan tel.buka maka keluarga eltsl>o~~ensial natul~il disebut regular (.lorgensen.1997).
I
I
I
I
I
) adalah Sungsi !.ang terturunkan terhadap B
maka ~iilaiharapan dan ragam da1.i A' dapat din!atal
dan
Var(X) = AK"(@).
(2.11)
Bukti: lihat Lampiran 2. Selain itu fungsi s(B) = icr(6') adalall fungsi satu-ltc-satu dan pemetaan dari
O -t fl, deligall fl c R adalah himpunan yang berisi seliiua nilai yang
mungkili dari p seliingga fungsi:
Untuk indeks para~ueter A = 1 malta definisi filngsi ragam untuk keluarga eksponensial natural adalah V ( p ) = Var(X) (Jorgensen,l997), sehingga:
malta persamaan (2.1 1 ) melijadi:
TransSormasi Y = X/A teredultsi tlietijadi bencuk
disebut repl-odukcif pnda
keluarga stbarall eksponensial (ED) maka persamaan (2.5) meli~adi:
selii~lggaY - E D ( @ , A).
Defiriisi 2.25 Futlgsi keltcltatan peluatig pads kclu;rrg:t scl)al-;tn eksponensial untult bentuk repl-oduktif Jika ulturan Q A pada persamaan (2.15) adalah kontini~crhsollr~eterliadap ilkuran Lebesgue, maka Cungsi Itepekatan 1)eIuang pada Y atlalah:
(
My (i) = exp i[ n (0
+ f) - I<(@)]).
dan Sungsi pembaligltic c~orzulur71-nyaadalah:
Bukti: liliat Laril~>irali3
\,1is:llk:111 iii~ieks lp:~r:~ii~c[er A = 1. i11c111111111!3i
ti>:11i:1
liclii:~rs:t c l ~ s ~ ~ ~ ~ ~ i ctia[itrzil .t~siitl
>;LIII ~);ir;~i~~c(cr. .lil,:i I ~ ~ I I I ~ ~ I I I ; I I~I L I I , L I I I ~ Ck)~ dC ;~ ~ l ; ~puc r ~ i ~ i i t (r2~. 2~)~ i
iidalal~l i i t i i l ~ u t r n i 1 tcrhulia m k a loilc.nsial nartiral clischu[ re~~ular (lorge11~11.1907).C ' i i ~ r r ~ i l t~i ~(r ~0 ndalah ) litngsi y n g terturi~nl
Selain i t u fiingsi r ( 0 ) = ~ ' ( 8 adalah ) f~tngsisaru-kc-satit dan pemetaan dari O + R. dengan fi c R adalah himpiinan yang berisi selliua nilai lkem~~ngltinan dari
11
sehingsa lilnssi
Untuk /I = 1 malta delinisi Sut~asi ragarn dari keluarga eltsponensial natural ztdalah V ( p ) = Val-()') (.[01.gensen.l997). scllingga:
dengan a2 = /I-' adalah parameter dari keluarga sebaran dan peubali acak Y ~nempunyai bent~ilc reproduktif pada keluarga sebaran eksponensial s e l ~ i ~ ~ g g a Y-ED(p,a2).
