BAB I PENDAHULUAN Tujuan Pembelajaran:
Mengetahui apa yang dimaksud dengan metode numerik.
Mengetahui kenapa metode numerik perlu dipelajari.
Mengetahui langkah-langkah penyelesaian persoalan numerik.
Metode numerik merupakan teknik untuk menyelesaikan masalah matematika dengan pengoperasian aritmatika (hitungan). Beberapa alasan mengapa kita harus mempelajari metode numerik: 1. Metode numerik merupakan alat bantu pemecahan masalah matematika yang sangat ampuh. Metode numerik mampu menangani sistem persamaan besar, ketidaklinearan, dan geometri yang rumit yang dalam praktek rekayasa seringkali tidak mungkin dipecahkan secara analitik. 2. Di pasaran banyak tersedia program aplikasi numerik komersil. Penggunaan aplikasi tersebut menjadi lebih berarti bila kita memiliki pengetahuan metode numerik agar kita dapat memahami cara paket tersebut menyelesaikan persoalan. 3. Kita dapat membuat sendiri program komputer tanpa harus membeli paket programnya. Seringkali beberapa persoalan matematika tidak selalu dapat diselesaikan oleh program aplikasi. Sebagai contoh, terdapat program aplikasi tertentu yang tidak dapat dipakai untuk menghitung integrasi lipat dua, atau lipat tiga. Mau tidak mau, kita harus menulis sendiri programnya. Untuk itu, kita harus mempelajari cara pemecahan integral lipat dua atau lebih dengan metode numerik. 4. Metode numerik menyediakan sarana untuk memperkuat kembali pemahaman matematika, karena metode numerik ditemukan dengan cara menyederhanakan matematika yang lebih tinggi menjadi operasi matematika yang mendasar.
Tahap-tahap memecahkan masalah dengan metode numeric : 1. Pemodelan 2. Penyederhanaan model 3. Formulasi numerik
4. Pemrograman 5. Operasional 6. Evaluasi Jenis-jenis persoalan matematika yang akan diselesaikan secara numeric dalam modul ini adalah: 1. solusi persamaan non linier 2. solusi sistem persamaan linier 3. interpolasi polinom 4. turunan numeric 5. integrasi numeric 6. solusi persamaan diferensial biasa dengan nilai awal
BAB 2 DERET TAYLOR DAN ANALISIS GALAT
Tujuan pembelajaran
mengetahui bagaimana menyelesaikan fungsi kedalam bentuk polinom
mengetahui defenisi dan analisis galat
2.1 Deret Taylor Kebanyakan dari metode-metode numeric yang diturunkan didasarkan pada penghampiran fungsi kedalam bentuk polinom. Fungsi yang bentuknya kompleks menjadi lebih sederhana bila dihampiri dengan polinom, karena polinom merupakan bentuk fungsi yang paling mudah dipahami kelakuannya. Defenisi deret taylor Andaikan f dan semua turunannya, f’, f’’, f’’’, …, menerus didalam selang [a,b]. misalkan xo E [a,b], maka untuk nilai-nilai x disekitar xo dan x E [a,b], f(x) dapat diperluas kedalam deret taylor
………….. (2.1)
Contoh 2.1 Hampiri fungsi f(x)=sin(x) kedalam deret taylor disekitar x0= 1 Penyelesaian : Tentukan lebih dahulu turunan sin(x) sebagai berikut f(x)
= sin(x),
f’(x)
= cos(x),
f’’(x) = -sin(x), f’’’(x) = -cos(x), f’’’’(x) = sin(x), dan seterusnya maka berdasarkan (2.1), sin(x) dihampiri dengan deret Taylor sebagai berikut: 𝑠𝑖𝑛 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛 1 +
𝑥−1 1!
𝑐𝑜𝑠 (1) +
𝑥−1 2 2!
(−𝑠𝑖𝑛 (1)) +
𝑥−1 3 3!
(−𝑐𝑜𝑠 (1)) + ⋯ ………. (2.2)
bila dimisalkan x-1=h, maka, berdasarkan rumus (2.2), 2 3 𝑠𝑖𝑛 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛 1 + 𝑐𝑜𝑠 (1) + (−𝑠𝑖𝑛 (1)) + (−𝑐𝑜𝑠 (1)) + ⋯ 2! 3! = 0.8415 + 0.5403h – 0.4208h2 – 0.0901h3 + …
Kasus khusus adalah bila fungsi diperluas disekitar x0 = 0, maka deretnya dinamakan deret Maclaurin, yang merupakan deret Taylor baku. Kasus x0 = 0 paling sering muncul dalam praktek.
Latihan Uraikan sin(x), ex, cos(x), dan ln(x+1) masing-masing kedalam deret taylor dan deret maclaurin.
Karena suku-suku deret Taylor tidak berhingga banyaknya, maka untuk alas an praktis deret Taylor dipotong sampai suku orde tertentu, misalkan dipotong sampai orde ke-n, sehingga dinamakan deret taylor terpotong dan dinyatakan :
…… (2.3) Atau dengan kata lain syarat c juga dipenuhi dengan x0 < c < x1 Untuk Rn(x) disebut galat atau sisa.
Latihan 1. Uraikan f(x) = sin(x) jika dihampiri dengan deret taylor orde 4 disekitar x0 = 1 2. Uraikan ex dengan orde 4, cos(x) dengan orde 6, dan ln(x+1 )dengan orde 4 dalam hampiran deret maclaurin
2.2 Perhitungan Galat Untuk galat pembulatan dan pemotongan, hubungan antara hasil yang eksak dengan hampirannya dapat dirumuskan oleh ………. (2.4)
nilai eksak = hampiran + galat. Dengan menyusun kembali persamaan di atas, diperoleh Es= galat = nilai eksak – hampiran
………..(2.5)
dimana subskrip s menunjukkan bahwa galat adalah galat sejati.
Kelemahan dari defenisi di atas adalah bahwa tingkat besaran dari nilai yang diperiksa sama sekali tidak diperhatikan. Sebagai contoh, galat satu sentimeter jauh lebih berarti jika yang diukur adalah paku ketimbang jembatan. Salah satu cara untuk memperhitungkan besarnya besaran yang sedang dievaluasi adalah dengan menormalkan galat terhadap nilai eksak, yaitu 𝑔𝑎𝑙𝑎𝑡 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑓 =
𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑒𝑘𝑠𝑎𝑘 −𝑎𝑚𝑝𝑖𝑟𝑎𝑛
……………………….(2.6)
𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑒𝑘𝑠𝑎𝑘
Galat relatif dapat dikalikan dengan 100% agar dapat dinyatakan sebagai Es = persen galat relatif =
𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑒𝑘𝑠𝑎𝑘 −𝑎𝑚𝑝𝑖𝑟𝑎𝑛 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑒𝑘𝑠𝑎𝑘
𝑥 100%
…….(2.7)
Dicatat bahwa untuk metode numerik, nilai eksak hanya akan diketahui jika fungsi yang ditangani dapat diselesaikan secara eksak.
