BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Sangat sedikit yang diketahui tentang riwayat hidup Euclides. Hanya diperkirakan ia hidup antara tahun 350 BC dengan 200 BC. Setelah Alexander Besar meninggal ± 323 BC kerajaannya terbagi-bagi. Dan penguasa di Mesir adalah Ptolemeus. Ia menderikan Universitas di Alexandria. Inilah universitas pertama didirikan dan menjadi model universitas yang ada pada zaman-zaman berikutnya hingga sekarang. Universitas yang dilengkapi dengan ruang-ruang kuliah, laboratorium, perpustakaan, museum dan perumahan untuk staff Universitas. Ptolemeus memanggil sarjana-sarjana terkemuka menjadi tenaga pengajar di Universitas itu. Salah seorang diantaranya ialah Euclides dari Athena. Euclides menulis lebih dari 10 jilid karya yang kemudian terkenal sebagai Euclides.
B. Tujuan Penulisan 1. Mengetahui karya-karya Euclides 2. Memenuhi tugas terstruktur dalam mata kuliah sejarah matematika
C. Manfaat 1. Mampu memahami geometri Euclides
BAB II PEMBAHASAN Karya Euclides A. Euclides
Euclides diperkirakan hidup antara tahun 350 BC dengan 200 BC. Seorang penguasa mesir yaitu ptolemeus mendirikan universitas di Alexandria. Salah satu pengajarnya adalah euclides. Euclides menulis lebih dari 10 jilid karya yang kemudian terkenal sebagai elemen euclides. Setelah 700 tahun, theon dari alexandria membuat perbaikan dari karya euclides itu. Karya theon inilah yang diterjemahkan ke dalam berbagai bahasa. Pada tahun 1220, sarjana inggris yaitu adelard membuat terjemahan dalam bahasa latin dari terjemahan bahasa arab buku itu. Cetakan pertama dari buku Elemen Euclides itu dalam bahasa latin dibuat di Venesia pada tahun 1482 oleh Campanus. Terjemahan pertama dari bahasa Gerik ke dalam bahasa latin dibuat oleh Commadino
pada tahun 1572. Terjemahan lengkap ke dalam bahasa Inggris
dilakukan oleh Bringsley pada tahun 1570.
B. Buku Elemen Euclides
Buku karya euclides terdiri dari 13 jilid. Buku-buku ini berisi mengenai teori bilangan, aljabar, dan geometri. Terdapat 465 dalil atau preposisi dalam buku ini.
Buku I
Isinya mulai dari aksioma, defenisi dan dalil-dail geometri. Terdapat 48 dalil geometri dalam buku ini. 26 dalil pertama berisi tentang segitiga, antara lain tentang dalil dua segitiga yang kongruen. Dalil 27-32 mengenai kesejajaran dan jumlah sudut segiitga adalah
. Dalil 33-48 mengenai jajaran genjang, segitiga
siku-siku, dan bujursangkar dan luasnya. Dalil 47 adalah mengenai teorema phitagoras dan dalil 48 mengenai kebalikan torema itu.
Buku II
Terdapat mengenai transformasi luas dan beberapa dalil mengenai aljabar geometri dan identitas aljabar
Buku III
Dalam buku III, terdapat dalil-dalil mengenai lingkaran, tali busur, garis singgung dan pengukur sudut.
Buku IV
Di dalam buku ini dibahas mengenai lukisan geometri menggunakan alat Euclides. Dengan alat euclides melukis segitiga, segilima, segiempat, segi enam, dan segi limabelas beraturan dengan membagi-bagi busur lingkaran, melukis segi (
) beraturan. Sehingga sampai abad delapan belas dianggap bahwa semua
segi banyak dapat dilukis dengan alat Euclides. tetapi pada tahun 1796, Carl Frederich Gauss membuktikan suatu segi banyak beraturan yang banyak sisinya bilangan prima dapat dilukis bila bilangan prima itu f(n)=
+ 1. Untuk n = 0, 1,
2, 3, 4 berturut-turut didapat segi 3, 5, 17, 257, 65.537.
Buku V
Buku ini berisi landasan tentang perbandingan teori Eudoxian mengenai perbandingan diperjalas sehingga kehebohan penemuan bilangan irrasional oleh sekolah Pythagoras dapat dipecahkan. Perbandingan dua besaran A dan B yang sejenis (sama-sama ruas garis, luas dan sebagainya) sama dengan perbandingan dari besar C dan D yang sejenis. Jika terdapat bilangan positif m dan n yang bulat
sehingga untuk m A
n B sesuai dengan mC
n D atau A:B = C:D =
m:n. teori Eudox ini kemudian dikembangkan oleh Dedekind dan Weierstass.
Buku VI
Dalam buku ini dijelaskan mengenai pemakaian teori perbandingan Eudoxian ini dalam geometri bidang datar. Berdasarkan teori itu dibuktikan dalildalil kesebangunan segitiga. Lukisan ruas-ruas garis yang memenuhi perbandinganperbandingan seharga. Aljabar geometri dari persamaan kuadrat yang diuraikan terdahulu terdapat dalam buku ini. Dua segitiga yang memiliki alas dan tingginya sama luasnya pun sama.konsep perbandingan dua besaran dalam geometri
menurut Pythagoras
teori perbandingan menurut eudoxian pada luas dua segitiga
Pada gambar diatas BC : DE = na, buatlah titik-titik bagi dari BC dan DE, sehingga ABC terbagi atas m ( ABC) dan ADE atas n ( AD
) dan tiap segitiga
itu memiliki luas yang sama.Berarti luas ABC: luas ADE = BC:DE = m:n. Bila BC dan DE tidak memiliki ukuran persekutuan atau BC tak dapat dibandingkan bagaimana membuktikan bahwa luasnya sebagai perbandingan alasnya diambil tinggi kedua segitiga itu sama. Secara gemilang Eudoxus member bukti sesuai dengan dalil perbandingan yang disebut terdahulu sbb:
B
C
D
E
Bila BC tidak dapat dibandingkan maka arah CB dibuat titik-titik bagi …..
sehingga CB = B
=
= ……
atau terdapat ruas-ruas
garis yang sama menjadi alas m buah segitiga yang luasnya sama dengan luas ADE. Demikian pula pada arah DE dibuat ruas garis E
=
= ……
yang panjangnya sama dengan DE maka terdapat n buah segitiga yang luasnya sama dengan luas
ADE.
Jadi yerdapat dua segitiga yakni: segitiga AC
dengan alas C
segitiga AD
dengan alas D
= m (CB) = n(DE)
luas segitiga AC
= m x segitiga ACB
luas segitiga AD
= n x segitiga ADE
sehingga terdapat luas segitiga AC D
luas segitiga AD
sesuai dengan C
=
yaitu m x luas segitiga ACB= n x luas segitiga ADE sesuai dengan m(CB) n(DE).
Jadi perbandingan luas segitiga ACB: luas segitiga ADE= CB: DE.
Buku VII
Isi buku ini mengenai pembagi persekutuan terbesar dari dua bilangan terbesar atau lebih sebagai cara menguji apakah dua bilangan prima relative.
Buku VIII
Isi buku ini mengenai perbandingan bersambung, pembanding tengah dalam bentuk a:b=b:c=c:d. pembanding ini dihubungkan dengan barisan geometri atau perbandingan bersambung ini menentukan a, b, c, d sebagai suku-suku barisan geometri.
BUKU IX
Buku ini berisi dalil-dalil mengenai dua teorema pokok yaitu dalil aritmatika, mengenai rumus jumlah n suku pertama dari suku barisan geometri. Juga berisi rumus-rumus untuk bilangan sempurna. Bukti bilangan prima dikerjakan tak langsung atau bukti kemustahilan. Andaiakan banyaknya bilangan bulat itu terbatas, tentu dapat disebut misalnya sebagai a, b, c,…..,k. Sebut hasil kali bilangan-bilangan prima itu N= a, b, c,…,k. Jelas N terbatas. Ambil bilangan berikutnya N+1. N+1 lebih besar dari tiap a,b,c,…..,k yang prim tentu bukan bilangan prim. Tetapi karna N+1 bukan prim pastilah ada suatu bilangan prim p menjadi factor dari N+1 dan p haruslah salah satu dari a,b,c,…….,k. Berarti p menjadi pembagi atau faktor dari P. atau p sekaligus adalah factor dari P dan P+1 ini mustahil. Jadi pengandaian bahwa bilangan prim itu terbatas banyaknya adalah salah. Berarti yang benar banyaknya tak terhingga.
BUKU X
Di dalam buku ini diuraikan mengenai ruas garis yang tak
dapat
dibandingkan, sehubungan dengan bilangan irrasional. Di dalam banyak didapati karya Theaetetus. Isi buku ini sudah mulai dengan hasil-hasil pemikiran abstrak walaupun belum memakai notasi-notasi seperti pada matematika modern.
BUKU XI, XII DAN XIII
Buku XI diuraikan mengenai tigaan Phytagoras dan torema mengenai pararel epipedum.metoda menghabiskan dalam buku XII dipakai untuk menentukan rumus isi benda-benda geometri. Secara berkelanjutan uraian geometri dari buku XI, XII ke buku XIIIadalah dasar pengajaran geometri ruang di sekolah menengah berabad-abad berikutnya. Dalam buku XII lebih khusus diuraikan mengenai bidang banyak beraturan dalam bola. Pentingnya karya Euclides dalam tiga belas buku ini ialah kemahiran luar biasa menyusun sistematika buku itu secara logis yang merupakan system deduktif. Terutama geometri yang tersusun sesuai system aksiomatik modern. Bahwa pernyataan-pernyataan dimulai dari suatu aksioma dan rangkaian pernyataan atau dalil-dalil berikutnya didasarkan pada pernyataan sebelumnya. Dalam buku Euclides dan dalam pengertian ilmu pada gerik purbakala masih dibedakan postulat dan Aksioma. Ada pengartian aksioma menurut gerik adalah kebenaran umum tanpa bukti yang berlaku bagi semua ilmu pengetahuan pada zaman itu. Sedang postulat adalah kebenaran tanpa bukti yang berlaku bagi suatu jenis ilmu secara khusus. Dalam pengertian modern aksioma dan postulat adalah sama. Penafsiran itu dapat dilihat dari sistem geometri yang disusun oleh euclides berikut. Dimulai dengan 5 aksioma:
: semua benda-benda yang sama dengan suatu benda satu sama lainnya adalah sama : jika kepada yang sama diberikan tambahan yang sama maka hasilnya akan sama : jika dari yan g sama dikurangi bagian yang sama maka sisanya akan sama : tiap-tiap benda yang berimpit dengan suatu benda tentunya satu sama lain sama : keseluruhan itu lebih besar dari bagiannya
las bahwa aksioma diatas berlaku umum untuk besaran apa saja.
Postulat : : selalu dapat menarik suatu garis dari suatu titik ke titik yang lain : selalu dapatmembuatruas garis yang tak terbatas banyaknya pada suatu garis : selalu dapat melukis lingkaran berpusta di suatu titik dengan jari-jariruas garis yang
ditentukan
: semua sudut siku-siku satu sama lain sama besar : jika dua garis dipotong oleh garis ketiga sehinnga jumlah sudut dalam sepihak kurang dari dua sudut siku-siku, maka kedua garis itu akan berpotongan pada pihak sudut yang jumlahnya kurang dari dua sudut siku kita lihat bahwa postulat itu disusun khusus pada geometri itu. Untuk menyusun geometrinya, Euclides memulai dengan pengertian pokok yang disebut elemen atau unsur.
Maka unsur-unsur yang didefenisikan adalah: 1. Titik adalah unsur yang tidak memiliki bagian 2. Garis ialah panjang yang tak mempunyai lebar 3. Garis lurus ialah garis yang menjadi jarak terdekat antara dua titik 4. Bidang ialah unsur yang mempunyai panjang dan lebar
Dengan pengertian pokok , aksioma, dan postulat itu ia menyusun pernyataan-pernyataan pada geometri yang dikenal dengan geometri Euclides. Dalam pengembangan geometri Eucclides itu postulat disebut postulat kesejajaran yang diartikan menjadi melalui suatu titik di luar garis dapat dibuat tepat satu gris yang sejajar dengan garis terdahulu. Karena dikemudian hari, ahliahli geometribanyak menjumpai kelemahan dalam geometri Euclides, maka timbullah pemikiran menciptakan geometri non Euclides.
C. Geometri Non Euclides
Barangkali karena proposisi 1- 28 dalam buku I Elemen Euclides tidak pernah memakai postulat 5, maka timbullah pertanyaan apakah postulat 5 itu diperlukan. Postulat 5 baru dipakai untuk proposisi 29. Pada tahun 1733, pertama kali dicetak hasil penelitian dari Girolamo Saccheri. Ia membuktikan bahwa postulat kesejajaran itu merupakan suatu dalil, bukan postulat lagi. Maka
itu berlebihan. ia membuktikan postulat itu dengan
bukti kemustahilan melalu hipotesa yang ia sebuthipotesa sudut lancip, hipotesa sudut siku-siku, dan hipotesa sudut tumpul sbb:
Pada gambar di atas ABCD suatu segi empat siku-siku di A dan B, dan AD=BC. Hendak dibuktikan AD sejajar BC atau sudut D= sudut C Pembuktian yang diberikan oleh Saccheri ialah melalui tiga hipotesa berikut: 1. Sudut D=sudut C sama-sama lancip 2. Sudut D=sudut C sama-sama siku 3. Sudut D=sudut C sama-sama tumpul Dengan bukti kemustahilan dari hipotesa 1 dan 3 ia menemukan kontradiksi. Jadi yang benar adalah hipotesa 2 yang berarti sejajarnyaAd dan BC.saccheri lha ahli pertama dianngap penyusun geometri non Euclides Jhon Playfair (1748-1819) seorang ahli matematika dan fisika scotlandia mengajukan beberapa pilihan sebagai pengganti diri postulat kesejajaran Euclides itu, yaitu:
1. Terdapat paling sedikit satu segitiga yang ketiga sudutnya berjumlah dua sudut siku-siku 2. Terdapat sepasang segitiga yang sebangun tetapi tidak kongruen 3. Terdapat sepasang garis yang jaraknyadimana saja selalu sama 4. Suatu lingkaran dapat melalui tiga titik yang tak segaris 5. Melalui suatu titik di dalam suatu sudut yang besarnyakurang dari
,
selalu dapat ditarik suatu garis yang memotong kedua kaki sudut itu.
Geometri yang mirip susunannya dengan Saccheri diberikan oleh Johann Heinrich Lambert (1728-1777) dengan menulis teori-teori garis paralel. Hipotesa yang diberikan Lambert pada suatu segi empat yang tiga sudutnya siku-siku maka sudut keempat lancip, siku-siku atau tumpul. Adrien –Marie Legendre (1752-1839) menyusun juga tiga hipotesayakni jumlah sudut suatu segitiga kurang , sama atau lebih besar dari dua sudut siku-siku. Dan ia menyusun geometri yang disebut elemen-elemen geometri yang kemudian dipakai disekolah-sekolah Amerika menngantikan Elemen Euclides. Eugenio
Beltrami
(1835-1900) menghidupkan
kembali
geometri
dari
Saccheri.Pengembangan geometri non Euclides yang mirip dengan susunan Playfair antara lain geometri dari Carl Fredrich Gauss(1777- 1855) dari jerman, Johanes Bolyai (1802-1860) dari Hungaria, I vanivitch Lobachevsky (1793-1856) dari Rusia dengan pemikiran masing-masing pada waktu yang hamper bersamaan memberikan tiga hipotesa. Melalui suatu titik yang ditentukan dapat ditarik lebih dari satu, tepat satu, atau tak ada garis yang sejajar dengan garis yang ditentukan. Usaha-usaha mengganti postulat kelima itu dengan memunculkan hipotesahipotesa, dimaksudkan untuk mencari ketergantungan postulat dari empat postulat sebelumnya, atau mencari suatu kontradiksi di dalamnya ternyata tidcak terbukti. Bolyai sendiri membuktikan bahwa postulat kesejajaran harus dipakai untuk membuktikan proposisi ke-29 yang berbunyi: jika dua garis sejajar dipotong oleh garis ketiga maka sudut-sudut sehadap, sudut berseberangan sama besar, dan sudut sepkhak berjumlah dua sudut siku-siku. Tetapi persoalan postulat kesejajaran itulah yang menciptakan geometri baru yang dikenal sebagai geometri non Euclides walau[pu kurang tepat diatas namakan kepada Lobachevsky sebagai penciptanya.
Pada tahun 1854 Rieman (1826-1866) menciptakan lagi gepomtri yang disebut geometri rieman. Ia member postulat bah wa tidak ada garis .lurus yang sejajar. Ia member penafsiran pada garis lurus sebagai lingkaran-lingkaran besar pada bola. Geometri Rieman digunakan untuk pengembangan teori relatifitas dari Einstein. Selain 13 jilid buku Elemen Euclides masih terdap[at karya lainnya berupa risalat-risalat. Di antaran risalat itu terdapat judul Data, yakni hubungan bagian dari suatu bangun, misalnya hubungan a = 2R sin A dalam trigonometri, jika dua unsure diketahui maka unsure ketiga dapat ditentukan. Risalat lain dengan judul Tentang Pembagian, yaitu mengenai membagi suatu bangun atas perbamndingan tertentu. Melukis garis pembagiannya melalui suatu titik yang ditentukan. Karyanya mengenai irisan kerucut kemudian dilengkapi oleh Apollonius. Karyanya dengan judul Phaenomena mengenai geometri yang diperlukan untuk astronomi dan optik.
BAB III PENUTUP A. Kesimpulan Elemen Euclides terdiri dari tigabelas buku, yang pada umumnya berisi tentang geometri. Namun seiring perkembangan zaman timbul pemikiran yang merubah geometri Euclides dan dikenal dengan geometri non Euclides di antaranya Girolamo Saccheri, Jhon Playfair, Johann Heinrich Lambert, Adrien –Marie Legendre, Eugenio Beltrami
DAFTAR PUSTAKA
Sitorus, Prof.Drs.J. 1990. Pengantar Sejarah Matematika dan Pembaharuan Pengajaran Matematika Di Sekolah. Bandung: Penerbit Tarsito
