BAB I METODE NUMERIK SECARA UMUM Aplikasi model matematika banyak muncul dalam berbagai disiplin ilmu pengetahuan, seperti fisika, kimia, ekonomi, persoalan rekayasa (teknik mesin, sipil, elektro). Model matematika yang muncul tersebut bukanlah model matematika yang dapat diselesaikan secara analitik (menggnakan rumus-rumus yang baku/lazim). Beberapa contoh model matematika yang tidak dapat diselesaikan secara analitik : i).
Tentukan akar-akar persamaan polinom :
23.4 x 7 − 1.25 x 6 + 120 x 4 + 15 x 3 − 120 x 2 − x + 100 = 0 ii).
Tentukan harga x yang memenuhi persamaan :
(120 x 2 + 2 x ) 27.8e 5 x − 1 = cos −1 x 17 x − 65 iii).
Selesaikan system persamaan linear : 1.2a − 3b − 12c + 12d + 4.8e − 5.5 f + 100 g = 18 0.9a + 3b − c + 16d + 4e − 5 f − 10 g = 17 4.6a + 3b − 6c − 2d + 4e + 8.4 f + 16 g = 6 3.7 a − 3b + 8c − 7 d + 14e + 8.4e + 16 g = 9 2.2a + 3b + 17c + 6d + 12e − 7.5 f + 18 g = 19 5.9a + 3b + 11c + 9d − 5e − 25 f − 10 g = 0 1.6a + 3b + 1.8c + 12d − 7e + 2.5 f + g = −5
iv).
Diperoleh tabulasi (x,y) sebagai berikut : x
Y=f(x)
2.5
1.4256
3.0
1.7652
3.5
2.0005
4.4
2.8976
6.5
3.8765
Hitung taksiran nilai untuk x = 3.8 ! Hitung nilai f ' (3.5) ?
METODE ANALITIK VS METODE NUMERIK
Metode analitik disebut juga metode sejati karena hasilnya adalah solusi sejati (exact solution) atau solusi yang sesungguhnya yaitu solusi yang memiliki galat (error) sama dengan nol.
Metode numerik adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematika sehingga dapat dipecahkan dengan operasi aritmetika biasa (tambah, kurang, kali, bagi). Solusi numerik disebut juga solusi hampiran (approximation). Solusi hampiran jelas tidak tepat sama dengan solusi sejati, sehingga ada selisih antara keduanya. Selisih inilah yang disebut galat (error). Contoh persoalan : 1
I = ∫ (4 − x 2 )dx −1
Tentukanlah nilai integral tersebut secara analitik ! y = (4 − x 2 )
p
-2
-1
q
-0.5
r
s
0.5
1
2
I ≈ p+q+r+s ≈ {[ f (−1) + f (−1 / 2)] * 0.5 / 2} + {[ f (−1 / 2) + f (0)] * 0.5 / 2} +
{[ f (0) + f (1 / 2)] * 0.5 / 2} + {[ f (1 / 2) + f (1)] * 0.5 / 2} ≈ 0.5 / 2{ f (−1) + 2 f (−1 / 2) + 2 f (0) + 2 f (1 / 2) + f (1)} ≈ 0.5 / 2{3 + 7.5 + 8 + 7.5 + 3} ≈ 7.25
Solusi dari analitik disebut solusi sejati dan solusi dari numerik disebut solusi hampiran. Galat = | solusi hampiran – solusi sejati | Tentukan galat dari persoalan tersebut !
BAB II DERET TAYLOR DAN ANALISIS GALAT DEFENISI DERET TAYLOR
Andaikan f dan semua turunannya f ‘, f ‘’, f’’’, ..., menerus didalam selang [a,b]. Misalkan X0 ε [a,b], maka untuk nilai-nilai x disekitar X0 dimana x ε [a,b], maka f(x) dapat diperluas (diekspansi) kedalam deret Taylor.
X0
Deret Taylornya : f ( x) = f ( x0 ) +
(x − x0 )1 1!
f ' ( x0 ) +
( x − x 0 )2 2!
f ' ' ( x0 ) + ... +
( x − x 0 )m m!
f m ( x0 ) + ...
Apabila x0 = 0, maka deretnya dinamakan deret Maclauren yang merupakan deret Taylor baku. Contoh : 1. Hampiri fungsi f(x) = sin (x) kedalam deret Taylor di sekitar x0 = 1 ! f ( x) = sin( x) → f ( x0 ) = sin(1) f ' ( x) = cos( x) → f ' ( x0 ) = cos(1) f ' ' ( x) = − sin( x) → f ' ' ( x0 ) = − sin(1) f ' ' ' ( x) = − cos( x) → f ' ' ' ( x0 ) = − cos(1) f ( 4) ( x) = sin( x) → f ( 4 ) ( x0 ) = sin(1) ...
sin( x) = sin(1) +
( x − 1)1 ( x − 1) 2 ( x − 1) 3 ( x − 1) 4 cos(1) + (− sin(1)) + (− cos(1)) + sin(1) + ... 1! 2! 3! 4!
Sedangkan untuk deret Maclaurennya : ( x − 0) 4 ( x − 0) 3 ( x − 0) 2 ( x − 0) 1 sin(0) + ... (− cos(0)) + (− sin(0)) + cos(0) + 4! 3! 2! 1! x3 x5 ......... = 1 − + + ... 3! 5! sin( x) = sin(0) +
2. Uraikan ex, cos(x), dan ln (x+1) kedalam deret Maclauren! f ( x) = e x , f ' ( x) = e x , f ' ' ( x) = e x , f ' ' ' ( x) = e x , f 4 ( x) = e x ,... ( x − 0)1 ( 0) ( x − 0) 2 ( 0 ) ( x − 0) 3 ( 0 ) ( x − 0) 4 ( 0 ) e + e + e + e + ... 1! 2! 3! 4! x2 x3 x4 .... = 1 + x + + + + ... 2! 3! 4! e x = e (0) +
f ( x) = cos( x), f ' ( x) = − sin( x), f ' ' ( x) = − cos( x), f ' ' ' ( x) = sin( x), f 4 ( x) = cos( x),... ( x − 0)1 ( x − 0) 2 ( x − 0) 3 ( x − 0) 4 (− sin(0)) + (− cos(0)) + (sin(0)) + cos(0) + ... 1! 2! 3! 4! x2 x4 .........= 1 − + + ... 2! 4! cos(x) = cos(0) +
f ( x) = ln( x + 1) → f ( x0 ) = ln(1) f ' ( x) =
1 = ( x + 1) −1 → f ' ( x0 ) = (1) −1 ( x + 1)
f ' ' ( x) = −( x + 1) − 2 → f ' ' ( x0 ) = −(1) − 2 f ' ' ' ( x) = 2( x + 1) −3 → f ' ' ' ( x0 ) = 2(1) −3 f ( 4) ( x) = −6( x + 1) − 4 → f ( 4) ( x0 ) = −6(1) − 4 ... ( x − 0)1 ( x − 0) 2 ( x − 0) 3 ( x − 0) 4 (1) + (−1) + (2) + (−6) + ... 1! 2! 3! 4! x 2 2x3 6x 4 + − ......... = x − ... 2! 3! 4! ln( x + 1) = ln(1) +
Karena suku-suku deret Taylor tak berhingga banyaknya, maka deret Taylor biasanya dipotong sampai orde tertentu, dinyatakan oleh : f ( x) = f ( x0 ) +
(x − x0 )1 1!
Dengan : Rn( x) =
f ' ( x0 ) +
(x − x0 )n+1 (n + 1)!
f
( x − x 0 )2
n +1
2!
f ' ' ( x0 ) + ... +
( x − x 0 )n n!
f n ( x0 ) + Rn( x)
(c).........x0 < c < x disebut galat atau sisa (residu).
Contoh : 1. Hampiri f(x)=sin(x) dengan deret Taylor sampai orde 4 disekitar x0=1. sin( x) = sin(1) + R4 ( x ) =
( x − 1) 2 ( x − 1) 3 ( x − 1) 4 ( x − 1)1 cos(1) + (− sin(1)) + (− cos(1)) + sin(1) + R4 ( x) 1! 2! 3! 4!
( x − 1) 5 (5) ( x − 1) 5 f (c ) = cos(c) 5! 5!
2. Hampiri dengan deret Maclauren untuk f(x)=ex sampai orde 4, f(x)=cos(x) sampai orde 6, dan f(x)=ln(x+1) sampai orde 4.
ex = 1+ x +
x2 x3 x4 x 5 (c ) + + + R4 ( x ) → R4 ( x ) = e 2! 3! 4! 5!
cos( x) = 1 −
x2 x4 x6 x7 + − + R6 ( x ) → R6 ( x ) = cos(c) 2! 4! 6! 7!
ln( x + 1) = x −
x 2 2x3 6x 4 24 x 5 + − + R4 ( x ) → R4 ( x ) = (c + 1) −5 2! 3! 4! 5!
dalam hal ini 0
untuk selanjutnya belum dapat ditentukan galat atau R6(x) karena nilai c yang belum pasti. ANALISIS GALAT
Galat berasosiasi dengan seberapa dekat solusi hampiran terhadap solusi sejatinya. Semakin kecil galatnya, semakin teliti solusi numerik yang didapatkannya. Sumber Utama Galat :
1) Galat pemotongan 2) Galat pembulatan Selain kedua galat, masih ada sumber lain : 1) Galat eksperimental, yaitu galat yang timbul dari data yang diberikan. 2) Galat pemrograman, yaitu galat yang terdapat didalam program. Sering disebut dengan kutu (bug). Galat pemotongan : mengacu pada galat yang ditimbulkan akibat penggunaan hampiran sebagai pengganti formali eksak. Maksudnya, ekspresi matematik yang lebih kompleks diganti dengan formula yang lebih sederhana. Dalam deret Taylor, galat nilai hampiran diakhibatkan oleh pemotongan suku-suku deret, galat pemotongan ini dapat dihampiri dengan rumus suku sisa : Rn( x) =
(x − x0 )n+1 (n + 1)!
f
n +1
(c).........x0 < c < x
Contoh : cos( x) = 1 −
x 2 x 4 x 6 x 8 x10 + − + − + ... 2! 4! 6! 8! 10! nilai hampiran
Rn( x) =
galat pemotongan
x7 cos(c).........0 < c < x 7!
Nilai Rn yang tepat hampir tidak pernah dapat diperoleh, karena nilai c tidak diketahui, terkecuali informasi bahwa c terletak pada suatu selang tertentu. Yang mungkin dicari adalah nilai maksimum dari | Rn (x) | untuk c dalam selang yang diberikan. Rn ( x) < max f
( n +1)
x0 < c < x
( x − x0 ) n +1 (c ) * n +1
Galat pembulatan : perhitungan dengan metode numerik hampir selalumenggunakan bilangan riil, masalah timbul bila komputasi numerik dikerjakan oleh mesin karena semua bilangan riil tidak dapat disajikan scara tepat didalam computer. Keterbatasan komputer dalam menyajikan bilangan riil menghasilkan galat pembulatan. Contoh : Gunakan deret Taylor orde 4 disekitar x0=1 untuk menghampiri ln(0,9) dan berikan taksiran galat pemotongan maksimumnya. Penyelesaian Tentukan turunan fungsi f ( x) = ln( x) terlebih dahulu f ( x) = ln( x) f ' ( x) = 1 / x f ' ' ( x) = −1 / x 2
f (1) = 0 f ' (1) = 1 f ' ' (1) = −1
f ( 4) ( x) = −6 / x 4
f ( 4) (1) = −6
f (5) ( x) = 24 / x 5
f (5) (c) = 24 / c 5
Deret Taylornya adalah : ln( x) = ( x − 1) − ( x − 1) 2 / 2 + ( x − 1) 3 / 3 − ( x − 1) 4 / 4 + R4 ( x) Sehingga ln(0.9) = −0.1 − (−0.1) 2 / 2 + (−0.1) 3 / 3 − (−0.1) 4 / 4 + R4 ( x) = −0.1053583 + R4 ( x)
24 (−0.1) 4+1 * ≈ 0.0000034 0.9< c <1 c 5 5!
R5 (0.9) < max
Jadi, ln(0.9) = -0.1053583 dengan galat pemotongan lebih kecil dari 0.0000034
