BAB 7 OPTIMISATION •
Yang termaksud dalam jaringan optimisation adalah: ‐ Angka maksimum dari garis masalah ‐ Cara singkat menyelesaikan masalah ‐ Arus maksimum masalah ‐ Jalur analisis kritis
•
Program optimisation garis lurus adalah : – Area kemungkinan dan paksaan (bentuk sederhana) – Titik kemungkinan – Alogaritme sederhana – Solusi yang optimal
Practical Math 2
[email protected]
1
Pengenalan •
•
Optimisation adalah sesuatu yang sangat familiar bagi kita. Kita sering menggunakan kalimat: “Berapa jarak terdekat dari tempatku ke tempat mu?” “Berapa kelajuan maksimum yang dapat di capai dalam perjalanan ini?” “Berapa harga terbaik yang bisa saya dapatkan saat ini?” “Bagaimana kita dapat memaksimalkan keuntungan kita dengan usaha yang paling sedikit? ” “Bagaimana kita dapat meminimalkan konsumsi air kita?” Dalam perindustrian dan perniagaan, pertanyaan yang sama juga yang sering ditanyakan, seperti: “Apa yang kita butuhkan untuk memaksimalkan keuntungan kita?” “Rute apa yang paling cepat untuk mendapat produksi kita di pasaran?” “Strategi apa yang dapat digunakan untuk meminimalkan biaya yang di keluarkan?” “Kapan waktu yang paling tepat untuk melengkapi tugas kita?”
Practical Math 2
[email protected]
2
•
Dalam pemerintahan, masalah yang sama dengan perindustrian juga yang sering dihadapi, seperti: “Berapa jumlah orang yang paling sedikit yang harus keluar dari departemen mu?” “Bagaimana kita dapat meminimalkan serangan dari para pemilih?” “Strategi apa yang harus digunakan oleh departemen transportasi untuk meminimalkan harga bahan bakar?” “Iklan yang mana yang dapat membawa dampak lebih besar?”
•
Dalam bab ini kita akan memeriksa hasil dari masalah optimisation, yang mana dapat direpresentasikan dalam bentuk grafik. Kita akan melihat optimisation dalam tiap jaringan maupun programming situations garis lurus.
Practical Math 2
[email protected]
3
A.
JARINGAN OPTIMISATION
Pikirkan masalah di bawah ini: Dalam ilustrasi ini, A dan B adalah titik potong dari jalan di kota. Kamu berada di titik A dan kamu menginginkan perjalanan ke titik B dengan berjalan mundur (untuk memperlambat waktu). Berapa jumlah terbesar dari jalan kecil yang berbeda untuk sampai ke titik B? Satu jalan kecil ditunjukan dengan cara kerja yang jelas.
Practical Math 2
[email protected]
4
Aktifitas Jalan kecil maksimum Cara yang dianjurkan untuk memecahkan masalah di atas yaitu, memfotokopi beberapa diagram dan menggambarkan salah satu kemungkinan setiap jalan kecil, yakinkan bahwa tidak ada pengulangan. Bagaimana cara kamu dari aktifitas tersebut menguasai situasi dimana jumlah jalan antara A dan B bertambah? Seperti ilustrasi ini: Bagaimana kamu dapat mengendalikan situasi ketika: • Titik potong di X harus dihindari karena terjadi kecelakaan utama. • Titik potong di Y harus dilewati karena kamu ingin bertemu dengan temanmu
Practical Math 2
[email protected]
5
Peristilahan Contoh jaringan atau grafik yang terbatas adalah:
Setelah jaringannya dibuat, kita bisa belajar menemukan solusi yang optimal (maximum atau minimum) dengan menggunakan alogaritme (langkah perhitungan)
Practical Math 2
[email protected]
6
•
Pada diagram pertama diatas pertanyaan tentang nilai optimumnya akan menjadi: “Berapa angka maksimum dari jalan kecil yang berbeda dari A ke B (dengan tidak berjalan mundur)”
•
Sedangkan pada diagram kedua,pertanyaannya menjadi: “Berapa jarak terpendek dari kota F ke pelabuhan
udara?”
•
Sebuah diagram jaringan dalah grafik yang terbatas yang mana harus menggunakan representasi (atau model) bagian dari situasi. Situasinya bisa menjadi jaringan jalan, rute pelabuhan udara, jaringan telepon, hubungan rel, terminal komputer, dll.
•
Diagram tetap dari poin tersebut disebut node (atau vertices) dan itu semua dihubungkan oleh garis‐garis yang di sebut arcs, edges, atau links
Practical Math 2
[email protected]
7
•
Sebagai contoh,
Bentuk Edges, Bentuk kuantitas edges contoh: jalan atau telepon antara orang. contoh jarak, harga atau waktu •
Dua contoh di atas merupakan jaringan tidak langsung.
Practical Math 2
[email protected]
8
•
•
Ikuti contoh jaringan yang telah ditunjukan (ditunjukan oleh anak panah). Contohnya, jika jaringan itu adalah sebuah jalan, jalan tersebut dapat menjadi indikasi yang ditunjukan.
Proses pemecahan masalah dengan jaringan dapat di cari dengan dua cari yaitu: ‐ Mengidentifikasi hubungan dalam masalah yang nyata dan pembuatan model yang cocok. ‐ Mengaplikasikan alogaritme seperti menganalisis jalur terpendek dan jarak minimal untuk menemukan yang paling efisien atau solusi harga yang efektif.
Practical Math 2
[email protected]
9
DISKUSI
JARINGAN MASALAH
Dengan masalah di bawah ini, kita memikirkan: •Apa yang dapat kita harapkan dan tenaga optimalnya (paling pendek, paling cepat, paling murah, paling nyaman, dll.) •Informasi apa yang kita butuhkan sehingga solusi yang optimum dapat kita temukan. •Representasi apa yang dapat digunakan untuk menampilkan informasi tersebut.
Practical Math 2
[email protected]
10
•
Masalah 1: Andaikan kamu ingin berjalan di antara dua pinggiran kota. Jalan terbaik mana yang akan kau pilih? Mengapa kau memilihnya?
•
Masalah 2: Jika pemerintah setempat merencanakan membuat tanjakan untuk meningkatkan lau lintas di daerah ini. Jalan mana yang akan di beri tanjakan? Mengapa harus daerah ini yang diberi tanjakan? Kenapa bukan daerah yang lain?
•
Masalah 3: Kamu disuruh untuk membuat pizza yang akan di makan ketika acara TV kesukaan kamu dimulai. Kapan wakktu terbaik untuk memulainya?
•
Masalah 4: Para siswa menginginkan sumber air minum di buat sebagai bagian dari lokasi sekolah. Jalan mana yang paling baik untuk menghubungkan mereka dengan penyuplai air itu?
Practical Math 2
[email protected]
11
Masalah pembuka 1 Masalah Ami 1. a. Kakeknya Ami menawarkan untuk membayarnya $10 setiap hari yang dia lalui dengan jalan yang berbeda‐ beda. Bagaimana pun, dia tidak bisa bersantai, karena berjalan mundur tidak diperbolehkan. Berapa banyak uang yang bisa diperoleh ami? b. Jika ia harus pergi ke rumahnya Bill, berapa banyak uang yang bisa didapatnya? c. Jika ia ingin pergi ke rumah menghindari rumahnya Connie, berapa banyak uang yang bisa ia dapat?
Catatan: Ini sangat penting. Kamu harus berusaha memecahkan masalah di atas, dengan percobaan dan kesalahan (jika di butuhkan). Cobalah menemukan jawabannya dengan pertanyaan‐pertanyaan yang kamu bisa. Bandingkan jawaban mu. Bagaimana kamu memutuskan mana yang merupakan jawaban yang benar dalam setiap kasus tersebut. Practical Math 2
[email protected]
12
ANGKA DARI GARIS PERMASALAHAN •
Dalam masalah “number of paths” kita tertarik untuk menemukan jumlah angka dari garis yang mana beranjak dari satu node ke node yang lain tanpa berjalan mundur.
•
Alogaritme yang dapat kita gunakan yaitu seperti jaringan yang telah diberikan sebelumnya, dimana hanya pergerakan ke kanan dan ke kiri yang dapat di terima.
Practical Math 2
[email protected]
13
•
Langkah 1: Untuk pergi dari A ke node berikutnya, ada 2 pilihan dan hanya garis yang dimungkinkan yang ditulis dekat setiap bagian.
•
Langkah 2: Kita butuh untuk melihat bagian selanjutnya dari perjalanan ini. Pada setiap node yang berturut‐turut, kita menambahkan angka dari node sebelumnya sebagai petunjuk untuk poin ini.
•
Langkah 3: Ulangi langkah ke 2 sampai berakhir di B. Sehingga ada 20 garis kemungkinan yang di dapat dari A ke B
•
Langkah 4: Jika kita telah melewati bagian node yang kita dahulukan, dimana ada node yang harus dihindari dan meletakan nilai nol pada poin ini. Jika kita harus menghindari jalan yang telah dilewati dengan
memberikan node, mulai dengan memberikan angka nol pada node itu.
Practical Math 2
[email protected]
14
Contoh 1 Alvin (A) ingin mengunjungi Barbara (B) di seberang kota. Temannya Alvin, Sally tinggal pada titik potong S. Temukan berapa jalan kecil berbeda yang memungkinkan dari tempat alivin ke tempat Barbara :
a. Jika tidak ada pembatas b. Jika Alvin harus mengunjungi Sally sepanjang jalan. c. Jika Alvin harus menghindari Sally di titik S.
Practical Math 2
[email protected]
15
a.
Pada jalan dari A ke B, pada setiap puncak kita tuliskan nomor di atas diagram indikasi nomor jalan dari kedua puncak sebelumnya. Contoh, untuk pergi ke P kita harus datang dari S atau T. Jadi, 6 + 4 = 10. Total angka garis dari A ke B adalah 35.
b.
Kita harus melewati S, total angka garis dari A ke B adalah 18.
c.
Karena S harus dihindari, maka total angka garis adalah 17.
Practical Math 2
[email protected]
16
Pemeriksaan 1 Apa yang kita lakukan???? Dapatkan sebuah peta dari Pulau Kangaroo atau Tasmania kemudian klik di icon yang cocok.
1.
Dari peta tersebut, buatlah sebuah directed network antara dua tempat yang telah diketahui. Ingat bahwa jaringannya tidak berskala; hanya hubungan yang dipentingkan. Jaringan ini harus berisi antara delapan dan sepuluh node (termaksud poin mulai dan berakhir). Node tersebut harus diidentifikasi dan garis yang ada harus berhubungan, walaupun tidak semua hubungan di peta dibutuhkan untuk dimasukkan dalam jaringanmu. Sketsa peta tersebut harus kau pakai dalam tugas mu.
2.
Diatas diagram dari jaringan yang kamu buat, tunjukan berapa banyak garis yang ada antara awal dan akhir poin (asumsikan tidak ada jalan mundur)
Practical Math 2
[email protected]
17
3.
Pilihlah sebuah node dekat pertengahan jaringan mu dan tunjukan bagaimana kamu menghitung garis dimana: i. Melewati node ini ii. Menghindari node ini
4.
Dengan beberapa pencarian, letakkan di atas garis dari jaringan mu dan berikan alasan kenapa ini yang direpresentasikan (kamu punya bidang yang dapat diciptakan, tetapi angkanya harus nyata.)
5.
Sekarang ubahlah sebuah cerita bermasalah tentang jaringan mu yang mana meminta pembaca menemukan setiap garis terpendek dan terpanjang lewat jaringan mu. Berikan solusi ata masalah mu, tunjukan cara kerjamu.
Practical Math 2
[email protected]
18
Latihan 7A. 1
1.
Hitunglah angka garis dari S ke F untuk setiap jaringan di bawah ini:
Practical Math 2
[email protected]
19
2. a. Berapa banyak dari garis edar yang terdapat dari A ke L padajaringanyang ditunjukkan? b. Berapa banyak garis‐garis edar ini yang melalui G? c. Berapa banyak dari garis‐garis edar ini yang tidak melalui F? d. Berapa banyak garis edar yang aka ada jika harus melewati G dan F? 3. a. Berapa banyak garis edar yang terdapat dari A ke B? b. Berapa banyak gari edar yang terdapat Melalui X? c. Berapa banyak garis edar yang tidak melalui X?
4. Lihat kembali masalah pembukaan 1 dan jawab pertanyaan 1 a, b, dan c. Practical Math 2
[email protected]
20
Masalah Garis Edar Tersingkat Masalah garis edar adalah suatu masalah dimana kita menemukan garis edar tersingkat diantara satu puncak (atau tangkai) dengan yang lain dalam jaringan. Garis edar tersingkat tidak perlu dinyatakan bahwa semua puncak harus dilihat. Hal itu tidak mesti. Sebuah contoh khusus yaitu masalah dari perpindahan dari Adelaide ke Sydney. Ada beberapa rute yang dapat kita tempuh, masing‐masing dengan jarak yang berbeda. Salah satu alasan ,kita mengharapkan untuk menempuh rute dengan jarak terpendek dan alas an lain, kita dapat memilih rute dengan waktu tersingkat. (tidak perlu rute yang sama). Rute mana yang merupakan jarak tersingkat antara Adelaide dan Sydney?. Temukanlah jawabannya dengan mencoba kemungkinannya.
Jika jaringan ini lebih rumit, bagaimana kita menemukan garis edar tersingkat tanpa mencoba‐ coba? Practical Math 2
[email protected]
21
INVESTIGASI 2 GARIS EDAR TERSINGKAT DENGAN “COBA‐COBA” Emilie mempunyai pilihan dari beberapa garis edar untuk berangkat ke sekolah. Busar‐busar dari jaringan langsung tidak hanya menunjjukkan arah yang harus diikuti untuk mengantarnya ke sekolah, tapi juga waktu yang
dibutuhkan (dalam menit) untuk berjalan pada bagian perjalanan. Apa Yang harus Dilakukan 1. Gambarkan garis edar tersingkat dalam jangka waktu yang dia dapat berjalan dari rumah ke sekolah. 2. Berapa waktu minimumnya dalam 1 gari edar yang dia tempuh? INVESTIGASI 3 GARIS EDAR TERSINGKAT DENGAN ‘TALI TEGANG’ Catatan : Kamu akan membutuhkan tali untuk memotong kedalam panjang yang bervariasi dari investigasi ini. Practical Math 2
[email protected]
22
Apa yang harus dilakukan Bangunlah sebuah jaringan yang ditunjukkan dengan menggunakan tali yang sesuai dan panjangnya ditandai di ujungnya, pada contoh nilai 5 harus 5 cm pada panjangnya, nilai 4 harus 4 cm. Pertalian antara tali pada tangkai‐tangkai dimana sudut bertemu. Ketika menangani jaringanmu pada sebuah knot yang menggambarkan puncak‐puncak pada setiap ujung dari garis edar (A dan E adalah masalah ini), hati‐hati menarik tali tegang. Garis edar yang telah ditarik tegang adalah garis edar tersingkat. LATIHAN 7A.2 Garis edar tersingkat dapat dihitung dengan metode “coba‐coba” atau dengan “Tali Tegang”. 1. Beberapa jaringan jalan untuk siswa berjalan dari rumah ke sekolah ditunjukka sbb. Pada setiap masalah, gambarkan garis edar tersingkat dalam selang waktu dan berikan waktu perjalanan tersingkat.
Practical Math 2
[email protected]
23
2. Gambarkan gari edar tersingkat dari jaringan tidak langsung di bawah ini, dari: a. B ke G b. A ke F Jumalah dari tiap hubungan didefinisikan dari panjang hubungan itu. 3. Jaringan di bawah ini menunjukkan hubungan jalan antara beberapa kota‐kota Quesland. Jarak dalam km. Pada masalah ini, jaringannya tidak langsung.
Temukanlah jarak terpendek dari: Practical Math 2
[email protected] a. Townswille ke Emerald b. Charters Towers ke Barcaldine
24
c. Longreach ke Mackay
4. Temukanlah garis edar tersingkat pada jaringan tidak langsung yang ditunjukkan pada diagram sepanjang dari: a. B ke G b. A ke F c. H ke C Walaupun metode Coba‐Coba dan Tali Tegang digunakan untuk menemukan garis edar tersingkat dari jaringan adalah cara yang benar untuk menemukan solusi, pengunaan mereka terbatas sebagai jaringan yang dipelajari ,emjadi lebih besar dan rumit. Metode yang lebih canggih untuk menemukan garis edar tersingkat antara dua puncak dari jaringan yang ada, salah satunya adalah Algoritma GAris edar Tersingkat. Algoritma ini didasari pada proses yang disebut Pemprograman Dinamis. ALGORITMA GARIS EDAR TERSINGKAT Biasanya kita bekerja dari puncak permulaan, pada arah yang umum dari penyelesaian puncak, pemberian label pada tiap puncak , jarak minimum dari awal kr puncak itu. Kita lalu bekerja kembali melalui jaringan dari penyelesaian puncak ke awal puncak pemberian label pada sudut‐sudut yang digunakan untuk mendapatkan setiap puncak. dalam cara ini solusi optimum dan panjangnya dapat ditemukan. Hal ini merupakan penjelasan terbaik dalam senuah contoh. Practical Math 2
[email protected]
25
Contoh 2 Temukanlah garis edar tersingkat dari A ke O dalam jaringan yang ditunjukkan disamping.
Langkah 1 : Mulai dari titik A, catatlah nilai untuk mendapatkan tangkai 1 langkah lagi dari A, itu adalah B = 2 dan F = 1. Tulislah nilai‐nilai ini ke dalam tangkai yang sesuai.
Langkah 2 : Sekarang catatlah nilai untuk mendapatkan tangkai 2 langkah dari A. tulislah nilai terkecil di dalam tangkai. Sebagai sontaoh, tulislah nilai 3 pada G yaitu nilai untuk mencapai G lewat F, bukan 5 yang merupakan nilai melalui B. langkah 3 : Lanjutkanlah metode ini secara berulang sampai mencapai titik O,
Practical Math 2
[email protected]
26
langkah 4 : Mulailah dari titik O, jalan kembali sepanjang sudut yang menyediakan nilai minimum dan karenanya garis edar tersingkat. Sangat berguna untuk mewarnai atau menggaris bawahi sudut‐sudut yang menyediakan nilai terkecilGaris edar tersingkat antara A dan O pada jaringan ini digambarkan sebagai A‐F‐G‐H‐I‐N‐O dan mempunyai nilai 12 satuan. 5. Temukanlah garis edar tersingkat dari A ke Z pada setiap masalah dan tentukan nilainya:
6. Lihat kembali masalah pembukaan 1 dan jawablah bagian 2 Practical Math 2
[email protected]
27
CONTOH 3 Pertimbangkanlah masalah Adelaide ke Sydney dari halaman 395. Temukanlah rute tersingkat dari Adelaide ke Sydney menggunakan rute yang diperlihhatkan.
Untuk sampai ke Balranald, kita harus menempuh 1 dari 2 rute. Yang tersingkat adalah 533 km jadi label Barlanald dengan nomor 533. dari Barlanald ke Hay hanya ada 1 rute dengan jarak 132 km. Jadi jumlah minimum jarak dari Hay ke Adelaide adalah 665 (533 + 132). Label Hay dengan nomor 665. Jarak tersingkat dari Adelaide ke Wagga adalah 931 km (665 + 266). Jarak tersingkat dari Adelaide ke Cowra adalah 1078 km (665 + 413). Dengan demikian jarak tersingkat dari Adelaide ke Bathurst adalah 1185 km (1078 + 107) (melalui Cowra) Ini lebih singkat dari rute langsung dari Adelaide (1465) Dengan demikian jarak tersingkat dari Adelaide ke Sydney adalah 1390 km (1185 + 205) (melalui Bathurst) Practical Math 2
[email protected]
28
Rute ini lebih singkat daripada rute dari Adelaide melalui Hay dan Wagga yaitu 1406 km (931 + 475)
Bekerja kembali, kita dapat melihat nahwa kita menggunakan ‐ Bathurst ke Sydney ‐ Hay ke Bathurst (melewati Cowra) ‐ Adelaide ke Hay (rute 533 km) Catatan : Sketsa ini tidak harus diskala untuk kita untuk menemukan garis edar terdingkat. Catatan : Pertimbangkanlah berangkat dari P ke Q ‐ Jika kita ingin pergi dari P ke Q melalui A, temukanlah jarak minimum dari P ke A, dan jarak minimu dari A ke Q. Jarak minimum dari P ke Q akan dijumlahkan dari 2 jarak minimum. ‐ Umumnya pada masalah‐masalah inikita mengasumsikan sebuah pergerakan melalui jaringan dalam arah P ke Q, i.e, tidak ada jalan mundur yang diperbolehkan. ‐ Kita juga dapat ,menemukan garis edar terpanjang dari P ke Q menggunakan algoritma yang serupa, tetapi label tiap puncak dengan jarak minimum dari awal ke puncak itu. Practical Math 2
[email protected]
29
7. Waktu untuk melalui Jalan yang bervariasi dalam sebuah kejadian orientasi seperti yang ditunjukkan. waktu dalam menit. a. Temukanlah jalan tercepat untuk mencapai P ke Q. b. Yang manakah jalan tercepat jika jalan PS menjadi tergenag dengan banjir? 8. Temukanlah garis edar tersingkat dan tentukanlah panjangnya untuk sepasang ranting pada jaringan yang ditunjukkan. a. B ke H b. E ke J c. A ke K
9. Sebuah perusahaan konstruksi mempunyai sebuah gudang pada W, seperti diagram ini. Sering beberapa perjalanan tiap hari dibuat dari gudang ke tiap sudut bangunan. Temukanlah rute tersingkat untuk tiap sudut konstruksi dari gudang. Jarak dalam km. Practical Math 2
[email protected]
30
10. Seseorang yang tinggal di Melbourne berharap untuk terbang ke London menggunakan Qantas dan/atau British Airways. (jarak dalam km)
a. Rute mana yang menciptakan jarak minimum. b. Jika Hanya British Airways terbang dari Hong Kong ke London, dan ongkos penerbangan pada British Airways adalah 0.9 kali dari harga Pada penerbangan Qantas, apakah akan menjadi perubahan solusi jika seseorang ingin pergi dengan harga terendah? Pertimbangkanlah jawabanmu.
11. Jaringan ini menunjukkan waktu dalam menit untuk pergi diantara interseksi pada sebuah jaringan jalanan. a. Hitunglah rute dari S ke M yang akan menempuh waktu tersingkat b. Hitunglah rute dari S ke M Yang akan menempuh waktu terlama. c. Hitungalh rute dari S ke M yang akan menempuh waktu tersingkat jika jalan antara S
[email protected] A ditutup. Practical Math 2
31
12. Gunakan garis edar alogaritma untuk menemukan jarak terdekat dari star sampai finish mengikuti jaringan tersebut.
Catatan dua alternatif jalan kecil menuju ke titik X pada jaringan b. Walaupun awalan pinggirnya 4 yang adalah lebih kecil dari 5, ketika tepi pertama dan kedua dipertimbangkan catatan bahwa 4+4=8 yang adalah ebih besar dari 5+1=6. Contoh ini bertujuan untuk mempertunjukkan kemungkinan garis edar tekecil, dalam kenyataannya menjadi satu dari beberapa kelompok cara dan tidak hanya kelompok yang memiliki langkah‐langkah dengan inisial angka yang terkecil. Practical Math 2
[email protected]
32
13.
Gunakan peta diatas memperlihatkan jarak dalam kilometer untuk menemukan jarak terdekat antara: • Kota H dan Kota C • Kota A dan Kota F • Kota I dan Kota D Practical Math 2
[email protected]
33
14.
Waktu perjalanan antar kotapraja pada soal 13 terdapat dalam tabel di bawah ini. a.Gunakan tabel untuk membuat jaringan dalam diagram ke dalam model waktu perjalan antar kotapraja.
b.Hitung waktu paling singkat yang dibutuhkan untuk perjalanan dari: y Kota H ke Kota C y Kota A ke Kota F y Kota I ke Kota D Practical Math 2
[email protected]
34
CARA SINGKAT MENYALESAIKAN MASALAH (RENTANG POHON TERKECIL)
y Sebuah cara singkat menyelesaikan masalah adalah satu dalam yang kita punya untuk menemukan jalan terbaik mengikuti puncak dengan tepi sehingga garis edar terdapat dari satu puncak ke puncak lainnya. y Seluruh puncak harus masuk kedalam solusi. Puncak tidak perlu dihubungkan langsung dengan yang lainnya; mereka akan terhubung oleh puncak lainnya. y Solusi terbaik dibutuhkan unuk menghasilkan jumlah panjang jalan yang terkecil. Hal ini kadang‐kadang disebut rentang pohon terkecil. y Contoh khusus adalah terletak pada kawat dalam sebuah kantor yang terhubung dengan semua komputer dalam sebuah bisnis. Hal ini tidak tidak penting untuk dihubungkan langsung dari komputer satu ke setiap komputer lainnya. Komputer dapat terhubung satu
[email protected] lain. Practical Math 2 35
Masalah pembuka 2_Penyiram halaman belakang rumah Di sebuah halaman belakang rumah dibutuhkan penyiram untuk menyiram beberapa pohon di halaman dari satu keran
Ada banyak kemungkinan jalan yang dipilih untuk ikut menyetujui jaringan ini, baik secara langsung atau tidak langsung untuk membuat sebuah rentang pohon. Salah satu kemungkinan adalah yang diperlihatkan dibawah ini. Garis utuh menggambarkan pipa air yang menghubungkan pohon‐ pohon. Total panjang pipa yang dibutuhkan adalah 6 + 4 + 4 + 5 + 7 + 6 = 32 Practical Math 2
[email protected]
36
y Ini bukan jalan yang palin efisien untuk menghubungkan pohon dengan air. Bahan dan tenaga dibutuhkan untuk meletakkan pipa adalah sejumlah uang, yang akan membuat pemiliknya tertarik untuk menemukan rentang pohon terkecil. y Dengan percobaan dan kesalahan tentukan panjang minimum pipa yang dibutuhkan. Practical Math 2
[email protected]
37
y Melalui contoh ini kita dapat melihat rentang pohon terkecil adalah penghubung pohon dengan menyetujui baik secara langsung atau tidak langsug tanpa mengelilingi (menutup garis edar), dan menggunakan jarak terpendek. y Rentang pohon terkecil memiliki banyak pangaplikasian. Contohnya adalah untuk menemukan rute pos terdekat melalui pinggiran kota, membuat jalan kecil antar gedung, atau mengurangi energy yang belebihan pada saluran AC.
Practical Math 2
[email protected]
38
Ada dua metode yang sering digunakan untuk menemukan rentang pohon terkecil: Percobaan dan kesalahan Alogaritma rentang pohon terkecil. Ada dua metode yang sering digunakan untuk menemukan rentang pohon terkecil: • Percobaan dan kesalahan • Alogaritma rentang pohon terkecil
Practical Math 2
[email protected]
39
Metode percobaan dan kesalahan, meskipun sah, itu tidak efektiv ketika rentang pohon semakin besar dan lebih kompleks. Alogaritma rentang pohon terkecil meliputi step dasar dalam Prims’ Alogaritma.
• Langkah 1 : Pilih salah satu node secara acak • Langkah 2 : Hubungkan node yang telah dipilih dengan tetangganya • Langkah 3 : Hubungkan dengan lainnya node yang telah tehubung dengan node yang belum terhubung. • Langkah 4 : Lanjutkan menghubungkan node yang telah terhubung dengan node terdekat yang tidak terhubung,sampai semua node terhubung. Practical Math 2
[email protected]
40
ALOGARITMA RENTANG POHON TERKECIL Contoh 4 Tentukan rentang pohon terkecil berdasarkan jaringan ini.
| Langkah 1 : Pilih salah satu node secara acak, kita anggap node E. | Langkah 2 : Hubungkan E ke tetangga terdekatnya; D (garis edar ED yang paling dekat dengan E) | Langkah 3 : Hubungkan D atau E ke node terdekat yang belum terhubug, dalam hal ini D dihubungkan ke F | Langkah 4 : Lanjutkan menghubungkan node yang telah terhubung dengan node terdekat yang tidak terhubung,sampai semua node terhubung. Kemdian yang terhubung berikutnya adalah: F ke G, D ke C, C ke B, dan C ke A Practical Math 2
[email protected]
41
LATIHAN 7A. 3 1.Klasifikasikan berdasarkan jaringan tersebut apakah merupakan rentang pohon atau tidak. Jika tidak termasuk rentang pohon, jelaskan mengapa tidak.
Practical Math 2
[email protected]
42
i Hitunglah panjang minimum pada setiap pohon yang memutar (atau hubungan tersingkat) pada setiap gambar dibawah. Gunakan algoritma Prim. ii. Tempatkanlah panjang dari hubungan terpendek.
Practical Math 2
[email protected]
43
3.
Lihat kembali masalah pembuka 2 dan temukanlah panjang minimum pipa yang dibutuhkan.
4.Diagram disamping menunjukkan jarak antara kota di daerah Alpine. Setelah bongkahan salju jatuh, ahli jalan berharap untuk menghubungkan Kota secepat mungkin dengan menjelaskan jarak terpendek dari jalan. temukanlah jalan yang akan dipilih untuk menghubungkan kota dan jarak jalan minimum dari jalan yang akan dipilih itu Practical Math 2
[email protected]
44
5. Diagram ini adalah rencana sebuah taman, digambar untuk diukur. Posisi dari dianjurkan untuk air mancur (F) dan keran (T) diindikasikan dengan huruf‐huruf. a. Temukanlah penjang minimum dari pipa yang dibutuhkan untuk menyediakan air pada setiap air mancur dan keran dari meteran M dan gambarlah sebuah rencana untuk diikuti para pekerja untuk memasangnya. b. Bagaimanakah jawabanmu berubah jika tidak mungkin untuk menggali sebuah parit untuk pipa dari 5 ke 6 karena tanahnya sangat berbatu. c. Gunakanlah hasil dari b, dimana keran mana yang paling tepat untuk dihilangkan untuk mengurangi biaya pemasangan pipa ? Jelaskan jawabanmu.
Practical Math 2
[email protected]
45
6.Temukanlah jalan tersingkat untuk menghubungkan kota L,M,N,O,P,Q bersama dengan telefon. kabel‐kabel harus mengikuti jalan (Jarak dalam km)
Practical Math 2
[email protected]
46
• LAN dibuat antara 4 terminal computer, tiap‐tiapnya membutuhkan paling tidak 1 sambungan ke system . a. gunakan table yang ditunjukkan untuk harga sambungan tiap terminal ke terminal yang lain untuk membuat diagram jaringan yang tepat. b. Temukanlah biaya minimum dari pembuatan smbungan LAN.
Practical Math 2
[email protected]
47
• Lima buah perumahan dalam komplek yang didukung oleh atap yang menggunkan energy surya. Tidak semua rumah perlu untuk dihubungkan ke paling sedikit 1 rumah yang lain. Jarak dalam meter diantara rumah ditunjukkan disamping. Temukanlah panjang minimum kabel elektrik yang dibutuhkan untuk menghubungkan 5 rumah dalam komplek itu.
Practical Math 2
[email protected]
48
Keempat rute yang mungkin dari a ke e pada pemasalahan jalanan, ditunjukkan :
Practical Math 2
[email protected]
49
Masalah Aliran Maximum Masalah yang melibatkan aliran maximum yang melalui sebuah jaringan mempunyai penerapan yaitu sambungan pipa air, sambungan kabel dan sambungan jalan. Pertimbangkanlah sambungan jalan yang diberikan: Ujung panah menunjukkan arah aliran. Jumlah busar menunjukkan jumlah mobil yang bergerak sepanjang jalan tiap menit. Kita berharap untuk menemukan jumlah maksimum dari mobil yang dapat berjalan dari A ke E tiap menit.
Practical Math 2
[email protected]
50
Latihan Cobalah untuk menemukan solusi terhadap per. Bandingkanlah jawabanmu. Berikan alasan bagaimana kamu menemukan jawabanmu.masalahan ini dengan metode coba‐coba |Kelemahan Penggunaan Algoritma Garis Edar |Pada kelemahan solusi metode garis edar, kita Langkah 1 : Memilih rute yang mngkin dan menemukan busar dengan kapasitas terkecil. Ingatlah angka ini. Jika angkan ini adalah x, kurangi x dari setiap bilangan pada garis edar. Ini adalah kapasitas baru pada setiap busar sepanjang garis edar. Langkah 2 : Pilihlah rute lain dan ulangi langkah 1 sekali lagi menggunakan kapasitas terkecil Langkah 3 : Pilihlah rute lain dan ulangi langkah 1. Hingga seluruh rute yang mungkin telah melelahkan. Langkah 4 : Tambahkan kapasitas terkecil untuk semua rute. Hal ini adalah pembawaan kapasitas maksimum dari jaringan. Practical Math 2
[email protected]
51
Latihan 7A.4 1. Hitung aliran maksimum dari P sampai sesuai dengan gambar jaringan ini! a.
Practical Math 2
[email protected]
52
b.
Practical Math 2
[email protected]
53
2. Di bawah adalah jaringan pipa air dimana air mengalir dari A ke B. Hitung aliran air maksimum dari A ke B! Bilangan pada diagram jaringan tersebut adalah bilangan liter per detik yang mengalir melalui pipa tersebut.
Practical Math 2
[email protected]
54
• 3. Diagram jaringan di bawah menunjukkan rute penerbangan antara Toronto dan Los Angeles. Bilangan pada jaringan menunjukkan seberapa banyak pesawat terbang per jam yang dapat dikemudikan dari bandara di setiap penerbangan. • Berapa nilai maksimum dari jumlah pesawat terbang yang dapat dikontrol per jam melebihi batas ruang udara? • Bila aliran dapat ditingkatkan dengan menaikkan pancaran bunga api listrik untuk meningkatkan kapasitas aliran, jelaskan bagaimana ini dapat terjadi? Practical Math 2
[email protected]
55
Practical Math 2
[email protected]
56
ANALISIS JALAN KRITIS Jaringan dapat digunakan untuk menunjukkan langkah‐ langkah yang termasuk dalam projek ini. Bangunan rumah, contohnya, membutuhkan banyak bagian‐bagian untuk melengkapinya. Beberapa bagian tejadi pada saat yang bersamaan sementara yang lainnya bergantung pada penyelesaian bagian yang lain. Analisis jalan kritis adalah proses menentukan jalan praktis yang merupakan tugas individu kumpulan yang akan melengkapinya. Practical Math 2
[email protected]
57
Pembahasan Masalah 3 : Pembuatan Pizza Di bawah ini, kamu akan menemukan daftar bagian‐ bagian yang termasuk dalam pembuatan pizza untuk makan malam. Kamu dapat mengandaikan bahwa kedua orang yang akan makan pizza itu sedang bekerja di bagian dapur. Tugasmu adalah mengerjakan bagaimana keseluruhan pekerjaan akan dilakukan di dalam waktu sesingkat mungkin. Ingatlah bahwa beberapa bagian tidak akan mungkin untuk dikerjakan sampai bagian tertentu selesai terlebih dahulu dan juga ada beberapa bagian yang terjadi pada saat bersamaan. Practical Math 2
[email protected]
58
• Pembuatan Pizza – Panaskan oven terlebih dahulu hingga 230 derajad Celcius. (10 menit) – Siapkan alat dan bahan yang dibutuhkan (3 menit) – Campur adonan (2 menit) – Mixer semua adonan (5 menit) – Biarkan adonan mengembang pada tempat yang hangat (20 menit) – Buatlah saus tomat (2 menit) – Irislah bawang dan Bombay (4 menit) – Irislah daging ham, nanas, jamur (6 menit) – Parutlah keju (2 menit) Practical Math 2
[email protected]
59
– Gulung‐gulung adonan dan tempatkan pada nampan kue (1 menit) – Taruhlah saus tomat, topping, dan keju di atas adonan (3 menit) – Panggang pada oven sampai matang (25 menit) – Bersihkan dan cucilah semua piring kotor (9 menit) – Nikmati minuman sebelum makan malam dan beristirahatlah (15 menit)
Practical Math 2
[email protected]
60
DISKUSI PEMBUATAN PIZZA Diskusikan solusi masalah pada Pembahasan Masalah 3. Bandingkan jawabanmu! Alasan dibawah ini akan dilampirkan. Berdasarkan petunjuk di bawah ini: Bagian‐bagian yang termasuk dalam pembuatan secangkir teh dibuat dalam waktu yang runtut. Practical Math 2
[email protected]
61
A
Sediakan cangkir
15
B
10
C
Taruhlah kantong the pada cangkir Isilah panci dengan air
D
Panaskan air pada panci
E F
Tuangkan air mendidih pada cangkir Tambahkan susu dan gula
15
G
Aduklah teh
10
Practical Math 2
[email protected]
20 100 10
62
Projek ini menunjukkan diagram jaringan seperti :
Practical Math 2
[email protected]
63
Diagram di atas adalah hubungan langsung yang menunjukkan bagian tiap langkah dan terlihat bahwa penyelesaian salah satu bagian dan memulai bagian selanjutnya. Disinilah kita mengasumsikan bahwa tidak ada bagian yang dimulai sampai bagian yang sebelumnya terselesaikan lebih dulu. Dalam contoh ini, dibutuhkan waktu 180 detik untuk menyelesaikan projek ini.
Practical Math 2
[email protected]
64
Tentu saja pembuatan secangkir teh lebih efisien jika beberapa bagian dilakukan secara bersamaan. Jika sementara kita memanaskan air, kita menyiapkan cangkir dan kantong teh, maka pembuatan teh akan lebih cepat. Rangkaian yang lebih baik ditunjukkan di bawah ini:
Practical Math 2
[email protected]
65
Pada bagian ini waktu total yang diperlukan untuk menyelesaikan pembuatan secangkir the adalah 155 detik dan jalan kritisnya adalah C‐D‐E‐F‐G. Pada bagian C, D, E, F, dan G dikatakan sebagai jalan kritis, penundaan pada satu tahap penyelesaian akan menyebabkan penundaan pada keseluruhn pembuatan secangkir teh. Jalan kritis didefinisikan sebagai jalan terpanjang melalui jaringan dari awal sampai akhir. Jalan kritis memuat keseluruhan langkah‐langkah. Practical Math 2
[email protected]
66
MENEMUKAN JALAN KRITIS Berdasarkan pembuatan pizza di atas, contoh di bawah merupakan langkah yang sederhana. ( Pembahasan Masalah 3 ) Contoh 5: Langkah‐langkah di bawah adalah langkah persiapan pembuatan pizza, dan waktu runtut dalam penyelesaian persiapan pembuatan pizza (dalam menit). Practical Math 2
[email protected]
67
A
Menghilangkan bekuan es pada alas pizza
5
B
Siapkan topping
6
C
4
D
Tempatkan saus dan topping pada pizza Panaskan oven
E
Masaklah pizza
Practical Math 2
[email protected]
8 22
68
a. Gambarkan diagram jaringan untuk projek ini, tunjukkan bagian mana yang terjadi pada saat bersamaan! b. Gunakan diagram jaringan untuk menemukan waktu minimum yang dibutuhkan untuk pembuatan pizza! ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ a. Beberapa bagian pada projek ini dibuat pada waktu yang bersamaan seperti bagian A, B, D, yakni alas pizza dapat dihilangkan endapan esnya dan oven dapat dipanaskan sementara topping disiapkan. Beberapa bagian bergantung pada penyelesaian bagian lain. Seperti bagian C tidak dapat dikerjakan sampai bagian B selesai. Bagian C merupakan pra‐syarat, bagian B yakni topping tidak dapat ditempatkan pada pizza sampai topping disiapkan. Practical Math 2
[email protected]
69
Seringkali ini berguna untuk menunjukkan waktu dan pra‐langkah untuk setiap sub‐tugas dalam tabel seperti di bawah ini: Waktu
Practical Math 2
A
5
B
6
C
4
D
8
E
22
Bagian yang Harus Selesai
B A, B, C, D
[email protected]
70
Diagram jaringan:
b. Jalan kritis, jalan terpanjang adalah B‐C‐E. Waktu minimum yang dibutuhkan untuk membuat pizza adalah jumlah waktu tiap bagian untuk jalan kritis pada bagian B, C, E, yakni 6 + 4 + 22 = 32 menit. Practical Math 2
[email protected]
71
LATIHAN 7A.5 1. Langkah pada projek berikut adalah acak. Tuliskan langkah‐langkah yang benar untuk setiap projek: – Menyiapkan makan malam :
1 Menyiapkan resep 2 Membereskan 3 Menyiapkan bahan 4 Wadah makanan 5 Menyiapkan meja makan
6 Menyiapkan makanan
– Menanam tanaman
• 1 Galilah lubang • 2 Belilah tanaman • 3 Sirami tanaman • 4 Tanam tanamannya • Practical Math 2 5 Tentukan
[email protected] yang akan ditanam
72
2. Pada bagian mana pada oertanyaan no. 1 yang dapat terjadi pada saat yang bersamaan? 3. Berikut adalah daftar bagian dalam menyiapkan sebuah pesta di rumah disertai dengan waktu yang berturutan (dalam hari).
Practical Math 2
[email protected]
73
A B C D E F G
SUB-TUGAS Tentukan hari diadakan pesta
WAKTU 1
Persiapkan undangan Sebarkan undangan Menunggu RSVPs Membersihkan dan merapikan rumah Mengatur ,makanan dan minuman. Mengatur acara hiburan
1 2 7 3
Practical Math 2
[email protected]
2 1 74
a. Gambarkan diagram jaringannya, tentukan juga bagian mana yang dapat terjadi pada waktu yang bersamaan dan beberapa bagian yang harus diselesaikan terlebih dahulu! b. Gunakan diagram jaringan yang telah dibuat untuk menentukan seberapa cepat persiapan sebuah pesta berlangsung setelah menentukan tanggalnya. 4. Berikut merupakan langkah‐langkah konstruksi gudang taman belakang. Disertai juga waktu yang dibutuhkan untuk menyelesaikan setiap bagian dihitung dalam hari.
Practical Math 2
[email protected]
75
A B C D E F G H
Tugas Menyiapkan area gudang yang akan dibangun Menyiapkan fondasi beton Tempatkan beton Biarkan fondasi beton mengering Belilah kayu dan besi Bangunlah bingkai kayu Campurkan lembaran besi pada bingkai Tambahkan jendela, pintu
Practical Math 2
[email protected]
Waktu 1 0.5 1 2 1 2 1 1 76
a. Gambarkan tabel untuk projek ini! b. Pada bagian mana yang dapat dikerjakan bersamaan? c. Berapa lama projek ini dapat diselesaikan jika tidak ada bagian yang dikerjakan secara bersamaan? d. Gambarkan diagram jaringan untuk projek ini! (asumsikan bagian‐bagian kerja dapat dikerjakan secara bersamaan! e. Berapa waktu yang dibutuhkan jika bagian kerja dilaksanakan secara bersamaan? Practical Math 2
[email protected]
77
5. Bangunlah sebuah tabel aktivitas untuk persiapan sarapan meliputi buah, sereal, roti panggang, jus, dan kopi! 6. Bangunlah diagram jaringan untuk tabel aktivitas di bawah ini!
Practical Math 2
[email protected]
78
Bagian A B C D E F G H
Waktu 5 3 1 1 2 4 1 2
Bagian Tugas A C, D A, B, C, D E F, G
Berapa waktu minimum untuk penyelesaian projek ini? Practical Math 2
[email protected]
79
METODE JALAN KRITIS Beberapa analisis mengenai jalan kritis diselesaikan secara intuisi, banyak bagian dikerjakan berdasarkan pada metode ini. Metode Jalan Kritis, terdiri dari pengamatan depan dan pengamatan belakang, yang mungkin digunakan secara sistematis untuk menemukan jalan kritis melalui jaringan.
Practical Math 2
[email protected]
80
Pengamatan Depan Diagram jaringan menunjukkan akhir dari satu sub‐bagian dan awal dari sub‐bagian selanjutnya. Pada sisi kiri pada tiap langkah, kita boleh menuliskan nilai yang menunjukkan waktu tercepat yang mungkin pada tiap bagian. Nilai pada saat langkah awal adalah 0. Jaringan di bawah merupakan langkah pada pengamatan depan.
Practical Math 2
[email protected]
81
Practical Math 2
[email protected]
82
Ini merupakan catatan bahwa tiap langkah meliputi waktu mulai tercepat untuk bagian E memiliki nilai 9 yang merupakan jumlah dari B, C, bukan A, dan D, sebagaimana B dan C merupakan jalan kritis. Ketika dua bagian menyatu pada langkah yang sama dalam pengamatan depan waktu terlama diberikan, seluruh bagian harus ditunjukkan dan nilai terbesar diberikan.
Practical Math 2
[email protected]
83
Pengamatan Belakang Setelah menyelesaikan pengamatan depan, pengematan belakang diberlakukan. Pada sisi kanan tiap langkah menunjukkan waktu mulai terakhir pada sub‐bagian sehingga tidak menunda penyelesaian projek ini.Untuk menghitung nilai ini kita mengerjakan dari belakang melalui jaringan bagian akhir / finish. Untuk tiap langkah kita mengurangkan waktu untuk menyelesaikan sub‐bagian dari waktu terakhir yang seharusnya dilengkapi. Diagram jaringan berikut merupakan pengamatan belakang.
Practical Math 2
[email protected]
84
Practical Math 2
[email protected]
85
• Nilai 12 merupakan waktu total untuk penyelesaian projek, ditempatkan pada sisi kanan dari langkah paling akhir. Nilai 9 yang terdahulu didapat dari pengurangan 3 dari 12. • Bedanya dengan pengamatan depan, ketika dua bagian menyatu pada langkah yang sama pada pengamatan belakang, nilai terkecil diberikan. • Berdasarkan bagian D, waktu mulai tercepat untuk bagian D adalah 6, sementara waktu mulai terakhir adalah 7. • Adanya ketidakcocokan pada 1 unit untuk bagian D adalah waktu dimulai dan waktu ketika harus dimulai. Ini disebut sebagai waktu kendur untuk bagian D. Practical Math 2
[email protected]
86
• Waktu kendur = waktu selesai terakhir – waktu mulai tercepat – waktu untuk menyelesaikan bagian • Menerapkan rumus ini untuk bagian D, waktu kendur = 9‐6‐2 = 1 unit. • Waktu kendur untuk sub‐bagian lainnya merupakan bgdian dari jalan kritis adalah 0. Ini ditunjukkan pada langkah B‐C‐E. • Contoh 6 • Ulang tahun temanmu akan tiba dan kamu memutuskan untuk memanggang roti. Berikut adalah per sub‐bagian disertai waktu runtut penyelesaian (dalam menit). Practical Math 2
[email protected]
87
A B C
5 12 2
D E F
Campurkan bahan Panaskan oven Tempatkan adonan pada nampan panggang Panggang roti Campur adonan Dinginkan kue
G
Masukkan kue pada kulkas
7
40 4 15
Bangunlah diagram jaringan yang menunjukkan projek ini. Tentukan jalan ritisnya dan waktu terpendek untuk penyelesaian projek ini!
Practical Math 2
[email protected]
88
Urutan yang mana tugas seharusnya ditunjukkan dan persyaratan tugas bahwa seharusnya dicatat dalam table activitas. Kemudian diagaram digambar. Setelah network diagram digambar, jadikan forward scan dan backward sebagai penentuan critical path dan slack time available. The forward scan
Practical Math 2
[email protected]
89
Itu akan membutuhkan waktu 74 menit untuk melengkapi proyek ini. Task C dimulai setelah 5 menit sebaliknya task F tidak dapat dimulai sampai 52 menit. Catatan bahwa task D tidak dapat dimulai sampai 12 menit meskipun task A dan C selesai dalam 5 menit pertama. Task D harus menunggu sampai penyelesaian task B karena penyelesaian task B merupakan syarat untuk menyelesaikan task D.
Catatan bahwa critical path mengalir melalui critical steps, oleh karena itu, the steps tidak mempunyai waktu luang. The critical path adalah B‐D‐F‐G dan proyek akan selesai dalam 74 menit.
Practical Math 2
[email protected]
90
DUMMY ACTIVITY Dummy activity kadang‐kadang diperlukan untuk menyusun diaram kerja yang benar. Sesuai dengan proyek berikut ini Network ini boleh atau tidak digambarkan seperti di bawah ini
Practical Math 2
[email protected]
91
Network ini tidak benar. Ini menyatakan bahwa kedua task A dan B keduanya merupakan syarat untuk C, yang mana mereka bukan. Untuk membenarkan kesalahan pada dummy activity perlu disisipkan, ditunjukkan seperti garis yang ditandai dengan titik, menjadi penampilan yang benar bahaw task A merupakan syarat untuk task C sementara A dan B syarat untuk D. Dummy activity tidak mempunyai suatu nilai dan digunakan secara murni untuk membenarkan aktivitas yang berkelanjutan. Oleh karenanya, network dapat digambarkan dengan benar seperti yang ditunjukkan sebagai berikut ini
Practical Math 2
[email protected]
92
1. Lengkapi forward dan backward sacns berikut ini untuk menentukan critical path.
Practical Math 2
[email protected]
93
2. Gambar network berikut ini, tunjukkan dan lengkapi forward dan backward scan. Gunakan network lengkap untuk menjawab pertanyaan berikut ini. keadaan critical path a. berapa waktu terpendek jika proyek harus selesai b. berapa wktu terdekat jika task D harus dimulai c. temukan slack time pada task D
Practical Math 2
[email protected]
94
3. Bangun diagram network untuk masing‐masing proyek berikut ini menggunakan informasi yang tersedia pada table activity. ( Catatan: anda harus menggunakan dummy activity). Gunakan diagram untuk menentukan critical path.
Practical Math 2
[email protected]
95
4. Diagram network dan table activity berikut ini harus digunakan untuk menyatakan 10 sub‐task dari proyek.
a. Gambar tabel activity dan lengkapi bagian yang kosong dengan menggunakan diagram network. b. Tentukan critical path melalui network c. Tentukan slack time pada task F
Practical Math 2
[email protected]
96
5. Bangun diagram network untuk proyek renovasi ruang menggunakan sub‐tasks berikut ini dan tentukan critical path‐nya.
6. Pabrik kursi menggunakan kerangka kayu dan cover kayu dengan busa dan fabric. Ketika dua orang membuat kursi diperlukan waktu sebagai berikut
Practical Math 2
[email protected]
97
Setiap aktivitas dikerjakan oleh 1 pekerja dan berikut ini pesanan Q harus selesai setelah R S harus selesai setelah Q dan R U mengikuti T P harus selesai setelah Q dan R T harus selesai setelah S V harus selesai terakhir a. gambar diagram network yang menunjukkan informasi yang sesuai b. tentukan waktu minimum yang dibutuhkan untuk membuat kursi dengan menggunakan forward scan c. tentukan critical path dengan menggunakan backward scan 7. Gunakan analisis critical path untuk menentukan critical path di proyek berikut ini. Kamu harus menentukan sub‐task dan memberikan waktu yang tepat . a.ubin kamar mandi b.persiapan makan malam 3 kali untuk 4 orang c.perubahan flat tyre dari sepeda d.Pembuatan cake coklat Practical Math 2
[email protected]
98
1. Selidiki penggunaan dari analisis critical path di sosial. Kamu dapat mempertimbangkan pekerjaan‐pekerjaan seperti koki, arsitek, tukang bangunan dan tukang taman. 2. Tentukan waktu yang tepat dari diagram network untuk menggambarkan kemungkinan fungsi dari analisis critical path dalam pemilihan pekerjaan. 3. Laporkan kembali di kelas dengan hasil temuanmu.
Practical Math 2
[email protected]
99
Program linier adalah metode penyelesaian yang pasti dari suatu masalah di mana paling sedikit 2 orang atau produk bersaing untuk sumber yang terbatas.
Jason dan Kate harus mengatur stan di pesta sekolahnya. Rencana mereka adalah menyediakan barbecue chop dan atau saus untuk pengunjung pada waktu makan siang. Tukang daging menjual saus masing‐masing 40 sen dan chop masing‐masing $1. Awalnya mereka telah berpikir mereka dapat embelanjakan sebanyak $20. Jawablah pertanyaan‐pertanyaan berikut:
Practical Math 2
[email protected]
100
¾ Dapatkah mereka menghabiskan uang mereka untuk membeli daging babi? Jika dapat berapa banyak yang mereka peroleh? Dapatkah mereka menghabiskan uang mereka untuk membeli saus? Jika dapat, berapa yang mereka peroleh? Jika mereka memperoleh 10 daging, berapa banyak saus yang mereka peroleh? Ada 3 penyelesaian untuk masalah ini, tapi apakah masih ada lagi penyelesaian yang lain? Jika ada, berapa solusi yang dapat dipakai dan bagaimana caranya solusi tersebut?
Practical Math 2
[email protected]
101
Cara yang sederhana untuk menghitung semua kemungkinan kombinasi pada masalah seperti satu yang diberikan di atas adalah tergantung pada grafik. Dari opening problem 4, kita tahu 3 solusi:
♥ Membeli 20 chops dan 0 saus ♥ Membeli 0 chops dan 50 saus ♥ Membeli 10 chops dan 25 saus
Practical Math 2
[email protected]
102
Practical Math 2
[email protected]
103
Pertanyaan: Dari grafik di atas ada penyelesaian lain,. Jelaskan bagaimana caranya menemukan penyelesaian tersebut. Kita dapat menyatakan penyelesaian itu pada tabel berikut:
Ini jelas bahwa solusi‐solusi tersebut harus bilangan bulat dan pada bentuk ini ada 11 solusi yang berbeda. Jika mereka menghabiskan $100 untuk chops dan sause, mereka akan mempunyai banyak solusi.
Practical Math 2
[email protected]
104
Practical Math 2
[email protected]
105
Cataatn bahwa informasi pada garis lurus dapat ditulis pada persamaan: (harga saus)
× (jumlah saus) + (harga chops)
×
(jumlah chops) = $20
Dan jika x menyatakan jumlah saus dan y menyatakan jumlah chop lalu persamaan sederhana menjadi
≥
≥
Dari x 0 dan y 0 dan poin mungkin ( hasil dari case ini ) pada daerah bawah garis, bayangan region disebut feasible region.
Practical Math 2
[email protected]
106
1. Perkiraan harga masing‐masing chops $2 dan masing‐masing saus $1 dan kamu memiliki $10 untuk membelanjakan chops dan saus. a. Berapa banyak chops yang dapat dibeli? b. Berapa banyak saus yang dapat dibeli? c. Kombinasi lain apa yang mungkin jika semua $10 digunakan? d. Buat grafik yang mungkin untuk menggunakan semua $10. e. Persamaan garis apa yang melalui poin d? f. Arsir feasible region dari kemungkinan yang diperoleh. 2. Jika harga masing‐masing coklat $2 dan masing‐masing minkos $3 dan kamu mempunyai $25 yang bisa dibelanjakan untuk coklat dan minkos: a. Berapa banyak coklat yang dapat kamu beli? b. Berapa banyak minkos yang dapat kamu beli? c. Jika $25 digunakan semua kombinasi‐kombinasi apa yang mungkin untuk membelanjakan coklat dan minkos? d. Grafikkan kombinasi‐kombinasi yang mungkin ketika semua uang digunakan. e. Persamaan garis apa yang melalui poin d? f. Berapa banyak perbedaan kombinasi‐kombinasi yang mungkin untuk membelanjakan coklat dan minkos? Practical Math 2
[email protected]
107
3. Garis x + y = 5 ditunjukkan pada grafik. A dan D terletak pada garis tersebut; B, C dan H terletak di atas garis tersebut; G, E dan F terletak di bawah garis. Catatan bahwa C (5,4) dan x + y = 5 + 4 = 9. a. Buat dan lengkapi:
b. Poin mana yang digambarkan oleh aturan tersebut.
c. Tentukan daerah dari persamaan‐persamaan berikut ini:
Practical Math 2
[email protected]
108
4. Apakah batasan khusus : Potongan pembelian yang mungkin dan sausages dari Jason dan Kate dalam Pembukaan Masalah 4 Wilayah yang mungkin pada pertanyaan 1 Wilayah yang mungkin pada pertanyaan 2
Practical Math 2
[email protected]
109
TAMBAHAN PEMBATAS •
• • • • • • •
Mari kita pertimbangkan kembali masalah barbeque Jason dan Kate. Dimana mereka pergi kembali ke tukang daging untuk membuat pembelian mereka,dia berkata bahwa dia hanya dapat mensuplai potongan pada $1 dan sausages pada $0.40 jika mereka membeli paling sedikit 6 potongan dan paling sedikit 10 sausages. i.e., nomor dari potongan ≥ 6 atau y ≥6 dan nomor dari sausages ≥10 atau ≥10 Jadi, Semarang kita mempunyai 3 pembatas : x ≥ 10, y ≥6 dan 0.4x + y ≤ 20 total harga ketika membeli x potongan dan y sausages
Practical Math 2
[email protected]
110
GRAFIK :
Wilayah bayangan diketahui dari wilayah yang mungkin. Ulasan dari semua titik potong/pertemuan baris jaring wilayah adalah mungkin kombinasi dari pemberian batasan yang memenuhi. Wilayah yang mungkin adlah yang diketahui simplex.
Practical Math 2
[email protected]
111
LATIHAN 7B.2 1. Wilayah A dilukiskan menggunakan batasan x ≥ 5 dan y ≥0.
Apakah batasan yang dapat dilukiskan pada wilayah B ?
Practical Math 2
[email protected]
112
2. Tunjukkan dalam satu sketsa atau gambar melalui batasan : x ≥ 6 dan y ≥ 5 x ≥ 6 dan 0 ≤ y ≤ 5 0 ≤ x dan 0 ≤ y ≤ 5
• GRAFIK :
Practical Math 2
[email protected]
113
3. Gambarkan lukisan simplex dari : x ≥ 0 y ≥ 0 0 ≤ x ≤ 4 0 ≤ y ≤ 7 x ≥ 2 dan y ≥ 3 x ≥ 2 dan 1 ≤ y ≤ 3
Practical Math 2
[email protected]
114
WILAYAH YANG DIDEFENISIKAN DARI ax + by ≤ c ATAU ax + by ≥ c Dalam masalah barbeque Jason dan Kate, kita menemukan batasan 0.4x + y ≤ 20. Batasan ini dibangun dari fakta bahwa total harga dari x sausages dan y potongan adalah 0.4x + y dollars dan 0.4x + y ≤ dimana mereka hanya mempunyai $ 20 untuk dihabiskan. Pada grafik 0.4x + y ≤ 20 pertama kita pertimbangkan batas garis yang ditemukan dari 0.4x + y = 20 dan kemudian memilih sisi yang tepat untuk tiap 0.4x + y ≤ 20. Jadi pertimbangkan 0.4x + y = 20 , jika x = 0 , y = 20
• GRAFIK :
Practical Math 2
[email protected]
115
Jika y = 0 , 0.4x = 20 ∴
x = 20 / 0.4 ( Bagi kedua sisi dengan 0.4 ) ∴ x = 50 Sebuah tes titik yang menyerupai x = 0 , y = 0 disubstitusikan dalam 0.4x + y ≤ 20 ditunjukkan 0 ≤ 20 tiap‐tiap hádala benar. Jadi pusat titik ( 0,0 ) memasukkan indikasi yang bayangan wilayah yaitu 0.4x + y ≤ 20.
• • • •
• • • • • • • • • •
CONTOH 8 Saya membeli x nenas dan y semangka dimana harga semangka $2 tiap nenas dan Semangka dengan harga $3 tiap semangka. Saya membutuhkan paling sedikit 2 dari tiap buah‐ buah itu dan dapat menghabiskan tidak lebih dari $30 pembelian buah‐buah itu. Gambarkan wilayah yang mungkin ( simplex ) dari informasi diatas. JAWAB : Pertama kita menotasikan x ≥ 2 dan y ≥ 2 ( paling sedikit 2 dari tiap buah ) Total harga dari nenas adalah $2 * x = $2x. Total harga semangka yaitu $3 * y = $3y. ∴ 2x + 3y ≤ 30 ( tidak dapat mengeluarkan lebih dari $30 ) Jadi kita membutuhkan grafik : x ≥ 2, y ≥ 2, 2x + 3y ≤ 30 Pertimbangkan batas garis dari 2x + 3y ≤ 30 tiap yaitu 2x + 3y = 30 Dimana x = 0, 3y =30 ∴ y = 10 Dimana y = 0, 2x = 30 ∴ x = 15
Practical Math 2
[email protected]
116
» LATIHAN 7B.3 1. Saya membeli x papan bread dan y balok keju dimana harga roti $2
satu loaf dan harga dari balok keju $5 tiap balok. Saya membutuhkan paling sedikit 3 dari tiap roti dan keju dan dapat dibeli dengan harga
.
$40 untuk membeli mereka – Temukan pembatas dari variabel x dan y – Gambarkan lukisan simples dari batas‐batasnya Practical Math 2
[email protected]
117
2. Sarah membeli x jam dan y jam besar yang berdiri untuk tokonya. Harga jam $25 tiap jam dan harga jam besar yang berdiri $40 tiap jam besar itu.sarah membutuhkan paling sedikit 4 jam dan 5 jam besar yang berdiri dan dia dapat membayar total harga $1000 dalam pembelian. a. Temukan batasan dari variabel x dan y b. Gambarkan lukisan simples dari batas‐ batasnya
3. Cedric membeli x martil dan y obeng dimana harga tiap martil $8 harga tiap obeng $5. cedric membutuhkan paling sedikit 3 dan harga paling sedikit $120 untuk pembelian martil dan
dan martil obeng.
a. Temukan batasan variabel x dan y b. Gambarkan lukisan simplex dari batas‐batasnya
4.
Gambarkan daerah plane define melalui : a. X + 3y ≤ 6 b. 5x + 4y ≤ 6 c. x + y ≥ 4 d. 4x +3y ≤ 48 e. 2x + 3y ≥ 15 f. 8x + 15y ≤ 120
Cek jawabanmu menggunakan anggota wilayah ( klik pada icon ) atau gunakan grafik hitungan.
Practical Math 2
[email protected]
118
5. Garis x + y =8 dan x + 3y = 12 adalah diilustrasikan, tapi dimana adalah ditemukan wilayah melalui x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 8 dan x + 3y = 12 ditemukan?
a.) Copy dan lengkapi
b.) Gambarkan lukisan singkat wilayah dari : x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 8, x + y ≤ 12. c.) Sekarang pertimbangkan wilayah yang ditentukan melalui : x ≥ 0, y ≥ 0, x+ y ≥ 8, x + 3y ≥ 12 melalui pengulangan a
Practical Math 2
[email protected]
119
CONTOH 8 Gambarkan daerah yang mungkin ( simplex ) ditemukan dari : x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 8, x + 2y ≤ 12
JAWABAN Batas garis yaitu : x = 0, y = 0, x + 2y = 12 Untuk x + y = 8 : dimana x = 0, y = 8 dan dimana y = 0, x = 8 Untuk x + 2y = 12 : dimana x = 0, 2y = 12 ∴ y = 6 dimana y = 0, x = 12
Practical Math 2
[email protected]
120
6.) Gambarkan daerah yang mungkin ( simplex ) ditemukan melalui : a. x + 4y ≤ 12, x + y ≤ 6, x ≥ 0, y ≥ 0 b. x + 2y ≤ 12, 3x + 2y ≤ 24, x ≥ 0, y ≥ 0 c. x + y ≤ 10, 2x + y ≤ 10, x + y ≤ 6, x ≥ 0, y ≥ 0 d. x + 2y ≤ 14, x + y ≤ 8, 2x + y ≤ 13, x ≥ 0, y ≥ 0
CONTAH 9 Gambarkan define singkat pembatas dan tanda koordinat pada tiap‐tiap puncakdan daerah : x ≥ 0, y ≥ 0, x + 4y ≥ 12, 5x + y ≥ 10, x + y ≥ 6. JAWABAN Batas garis adalah : x = 0, y = 0, x + 4y =12, 5x + y = 10, x + y = 6 Untuk x + 4y = 12 : dimana x = 0, 4y = 12 ∴ y = 2 dimana y = 0, x = 12 Untuk 5x + y = 10 : dimana x = 0, y = 10 dimana y = 0, 5x = 10 ∴ x = 2 Untuk x + y = 6 : dimana x = 0, y = 6 dan dimana y = 0, x = 6
simplexnya yaitu : Titik puncak yaitu titik‐titik sudut dari simplex. Titik itu adalah : ( 0, 10 ), ( 1, 5 ), ( 4, 2 ) dan ( 12, 0 ). Practical Math 2
[email protected]
121
7. Bandingkan contah 8 dimana daerah yang mungkin adalah grafik dari batas x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 8, x + y ≤ 12. Apakah titik puncak dari simplex itu?
8. Gambarkan define simplex dari batasan yang diberikan dan temukan koordinat puncak dari simplex! a. x + y ≥ 8, x + 2y ≥ 12, x ≥ 0, y ≥ 0 b. 2x + y ≥ 8, 4x + y ≥ 12, x ≥ 0, y ≥ 0 c. 3x + y ≥ 12, 3x + 2y ≥ 18, x + 4y ≥ 16, x ≥ 0, y ≥ 0 d. 4x + 3y ≥ 48, 2x + 3y ≥ 30, x + 2y ≥ 18, x ≥ 0, y ≥ 0
Practical Math 2
[email protected]
122
MEMBUAT BATASAN .
• Kita telah mengkonstruksi dari pembuatan pemberian informasi tentang keterangan situasi. Kita sekarang memeriksa informasi yang lengkap dan menggunakan sebuah tabel untuk menolong kita memilih penyelesaiannya
Practical Math 2
[email protected]
123
CONTOH 10 •
Kita akan membuat model simplex untuk memecahkan sebuah masalah mengenai pembuatan dari 2‐gambar dan 5‐gambar arsip lemari. Kita membuatnya adalah terbatas melalui fakta bahwa hanya 34 gambar, 8 kunci dan 42 m² dari helai logam yang tersedia. Karena model dari lemari, tiap 2‐ gambar lemari membutuhkan 1 kunci dan 2 m² helai logam, dimana tiap 5‐ gambar lemari mewakili 1 kunci dan 4m² helai ligam. Dimana x merupakan nomor 2‐gambar pembuatan lemari dan y merupakan nomor 5‐gambar pembuatan lemari.
Kita meletakkan data pada tabel seperti di atas! Sekarang x ≥ 0, y ≥ 0 ( tidak ada x ataupun y yang bernilai negatif ) Total nomor gambar = 2x + 5y, ∴ 2x + 5y ≤ 34 Total nomor dari kunci = x + y, ∴ x + y ≤ 8 Total nomor m² dari logam = 2x + 4y, ∴ 2x + 4y ≤ 42
Practical Math 2
[email protected]
124
LATIHAN 7B.4 1.
4 liter kaleng dari dasar cat putih dimasukkan kedalam kapur hijau cemara hijau melalui jumlah warna kuning warna biru dalam proporsi yang penting. Untuk kapur biru kita menambahkan 5 unit warna kuning menjadi 1 dari warna biru. Untuk cemara hijau kita menambahkan 1 unit warna kuning ke dalam 4 unit warna biru. Jika 15 unit warna kuning dan 12 unit warna biru adalah warna biru yang didapat, keadaan ketidakrataan x, nomor kaleng dari cat kaput hijau dapat dibuat, dan y, nomor kaleng dari cat cemara hijau dapat dibuat. 2. Seorang importer membeli 2 tipe dari topi biasa: topi Standard harganya $80 tiap topi dan topi mewah seharga $120 tiap topi. Importer itu akan berinvestasi maximum dari $4800 dan karena pemerintah melindungi industri local, dapat mengimpor tidak lebih dari 50 topi. Andaikan importer dapat mengimpor x stándar topi dan y topi mewah. Temukan batasan variable x dan y. 3. Seorang petani dalam seminggu menanam letup dan bunga cauli. Letup‐letup ditanam pada jarak 8 ha per hari dan bunga cauli pada jarak 6 ha per hari. 50 ha dapat ditanami. Andaikan petani menanam letup untuk x hari dan bunga cauli untuk y hari. Daftar, dengan alasan, batasan dalam x dan y.
Practical Math 2
[email protected]
125
4. 2 variasi dari makanan spesial untuk dimakan atlit super adalah pada daftar. Kerusakan pada setiap makanan kaleng sebagai berikut :
Tiap minggu seorang atlit harus mengkonsumsi paling sedikit 120 unit karbohidrat, 180 unit protein dan 1000 unit vitamin. Jika warna x dari Makemfast dan y warna Makemstrong adalah pembelian tiap minggu, daftarkan ketidakrataan hubungan dari x dan y.
5. Keperluan diet Jhon untuk dikonsumsi adalah paling sedikit 20 unit vitamin A dan 18 unit vitamin B tiap hari. Vita Vim berisi 4 unit per gram dari vitamin A dan 18 unit vitamin B. Sayuran berisi 3 unit per gram dari A dan 5 unit per gram dari B. Jika x gram dari VitaVim dan y gram dari Sayuran dikonsumsi, daftar batas antara x dan y.
Practical Math 2
[email protected]
126
PROGRAM LINIER Program linier adalah sebuah metode menemukan nilai optimum (maximum dan minimum ) dari sebuah pernyataan linier tiap variabelyang diisi dengan sebuah simplex. Untuk mengerti pernyataan diatas pertimbangkan masalah berikut : Dua variasi makanan spesial, Fight‐n‐fit dan Superlite, adalah digunakan atlit. Fight‐n‐fit berisi 30 unit karbohidrat, 30 unit berisi protein dan 100 unit vitamin. Superlite berisi 10 unit karbohidrat, 30 unit protein dan 200 vitamin. Tiap minggu seorang atlit mengkonsumsi paling sedikit 170 unit karbohidrat, paling sedikit 1400 unit vitamin dan 330 unit protein.
Practical Math 2
[email protected]
127
What to do 1. Menyampaikan informasi pada bentuk tabel. 2. Tuliskan pada lima penarikan yang diberikan dari informasi. 3. Gambar sederhana pada kemungkinan kombinasi. 4. Tunjukkan bahwa ada sepuluh kemungkinan poin dimana mencocokkan penarikan‐penarikan. 5. Jika Fight‐n‐fit seharga $5 setiap botol dan Superlite $3 setiap botol temukan kombinasi setiap kaki dimana seharusnya dibeli denagn harga minimal. 6. Andaikan bahwa harga pada dua makanan berubah, dengan Fight‐n‐fit pada $4 setiap kaleng dan Superlite pada $8 setiap kaleng. Akan samakah kombinasi dari 5 tetap pada harga minimal? Jika tidak, apa yang akan dikombinasikan?
Practical Math 2
[email protected]
128
• Sekarang kita memutuskan memulai masalah 5 pada makanan atlit lebih terinci. • Tabel data
• Pada pembelian x kaleng dari Fight‐n‐fit dan y kaleng dari Superlite: x ≥ 0 , dan y ≥ 0
Practical Math 2
[email protected]
129
• Kemungkinan batas garis adalah
Practical Math 2
[email protected]
130
Sehingga penyederhanaannya adalah
• Sepuluh poin mengilustrasikan kemungkinan mudah dalam mempertimbangkan Practical Math 2
[email protected]
131
• Harga yang dipertimbangkan dolar, dan disebut fungsi tujuan
Practical Math 2
[email protected]
132
• Jika harga diubah dari $4 per setipa kaleng untuk Fight‐n‐fit dan $8 setipa kaleng untuk Superlite pada harga baru untuk dipertimbangkan menjadi 4x+8y dolar • Berapa kombinasi optimal sekarang ? Perubahan keadaan sering terjadi akibat kombinasi optimum, tetapi tidak selalu. DISKUSI • Sekarang bayangkan penyederhanaan dimana dapat menjadi ratusan pada poin yang lebih mudah.apakah metode di atas masih dapat diterima? • Diskusi amu harus mebawa keempat realisasi bahwa metode lebih naik dari pada mencoba dan isi dari error.
Practical Math 2
[email protected]
133
PENYEDERHANAAN ALGORITMA • • • • • •
Dari percobaan dengan masalah‐masalah seperti masalah makanan atlit kita melihat bahwa ` Nilai optimal pada gambaran linier pada peristiwa penyederhanaan puncak atau batas‐batas garis pada penyederhanaan. Mempertimbangkan penyederhaan yang mengikuti: Seandainya fungsi tujuan adalah x+y, bahwa kita ingin minimal x+y lebih dari penyederhanaan. Gambar pada grafik dari lima garis dari bentuk x+y=k dimana k=0,3,7,8, dan 11. Lihat garis‐garis seluruhnya parallel, tetapi x+y=0 dan x+y=3 tidak terdiri dari beberapa poin pada penyerderhaan.
Practical Math 2
[email protected]
134
• Nilai terkecil dari k dimana fungsi tujuan dilewati melalui satu poin pada grafik yaitu k=7 dan peristiwa ini pada (4,3) Practical Math 2
[email protected]
135
• Pada garis parallel dapat dilihat melalui mengeklik pada item berikut, kemudian tarik garis yang menggambarkan x ≥ 0, y ≥ 0, 5x + 4y ≥32 , dan 3x + 4y ≥ 24. Jenis ini memiliki fungsi tujuan x+y.
Practical Math 2
[email protected]
136
INVESTIGATION 4 Gunakan software yang disediakan untuk meraih nilai optimum dari masalah di bawah ini: Apa yang dilakukan: 1. Tentukan nilai maksimum dari 4x+3y pada wilayah yang disediakan melalui x ≥ 0, y ≥ 0, x+y≤ 8, 3x+2y ≤ 21. 2. Gambarkan grafik yang ditentukan melalui x ≥ 0, y ≥ 0, x+3y ≤ 15, 3x+y ≤ 12. Dari sini, tentukan nilai maksimum dari persamaan linier a. x+y b.2x+y c.4x+y d.x+6y 3. Gambarkan grafik yang ditentukan melalui x ≥ 0, y ≥ 0, 2x+3y ≤ 12, 4x+y ≤ 14. Tentukan nilai maksimum dari persamaan linier pada grafik dan tentukan nilai x dan y pada peristiwa ini a. x+5y b.4x+5y c.6x+y
Practical Math 2
[email protected]
137
PENYELESAIAN MASALAH MENGGUNAKAN PROGRAM LINIER
Sekarang kita seharusnya dilengkapi dengan masalah program linier termasuk dua variable x dan y. Model program linier pada variable tidak dapat menjadi negative sehingga x ≥ 0, y ≥ 0. Ikutilah daftar yang berupa pada syarat tiap langkah: Langkah 1: jelaskan atau definisikan, bentuk kata, pada dua variable yang dipertimbangkan. Langkah 2: Siapkan table untuk menunjukkan informasi yang diberikan. Langkah 3 : Tuliskan fungsi tujuan pada bentuk aljabar dan tentukan maksimum dan minimum nilai itu.
Practical Math 2
[email protected]
138
Langkah 4: Tentukan bentuk aljabar yang ditarik Langkah 5: Gambar grafik dari pernyederhanaan yang diberikan melalui penarikan. Langkah 6: tentukan nilai solusi optimum dan dimana ini terjadi. Berilah jawaban dengan bentuk kata. Kamu didorong untuk menggunakan tekhnologi kemanapun kemungkinan penyelesaian masalah yang mengikuti.
Practical Math 2
[email protected]
139
CONTOH 11 Dua kaleng makanan kuda balap A dan B dianalisa dan ini ditemukan bahwa A terdiri dari 25 unit karbohidrat, 10 unit protein dan 15 unit lemak. B terdiri dari 50 unit karbohidat,10 unit protein dan 9 unit lemak. Suatu hari, kuda balab itu menerima sedikitnya 225 unit karbohidart,80 unit protein dan 90 unit lemak. Kaleng A seharga $6 dan B seharga $3. a. Tentukan kombinasi A dan B yang menyediakan harga makanan termurah. b. Dari kombinasi optimum yang ditemukan, diskusikan makanan baig kuda balab tersebut. Langkah 1: Misalkan x menjadi jumlah kaleng A yang digunakan setiap hari dan Misalkan y menjadi jiumlah kaleng B yang digunakan setiap hari Practical Math 2
[email protected]
140
Langkah 2:
Langkah 3: Kita minimize menjadi 6x + 3y dolar. Langkah 4: x ≥ 0 dan y ≥ 0 25x +50 y ≥ 225 menjadi x + 2y ≥ 9 (dibagi tiap istilah dengan 25) 10x +10 y ≥ 80 menjadi x + y ≥ 8 (dibagi tiap istilah dengan 10) 15x +9 y ≥ 90 menjadi 5x + 3y ≥ 30 (dibagi tiap istilah dengan 3) Langkah 5: Penarikan dari Practical Math 2
[email protected]
141
Langkah 6:
Jadi harga adalah minimal diman ketika kita menggunakan 0 kaleng pada A dan 10 kaleng pada B. c. Jika kuda balap mamakan 10 kaleng dari B kemudian mendapat minimal 90 unit lemak, tetapi mendapat 500 unit karbohidart (nilai minimum ganda) dn 100 unit protein ( 20 unit lebih banyak dari nilai minimum).
Practical Math 2
[email protected]
142
LATIHAN 7B.5 1. Sebuah pabrik kimia membuat dua kimia yang berbeda A dan B dan dapat dijual menjual seluruhnya yang dapat memproduksinya. Permintaan paling sedikt 200 kg dari A dan 100 kg dari B, tetapi dapat memproduksi paling banyak 700 kg tepat dari kimia karena keterbatasan sumber. Jika laba pada A $300 dan $400 setiap kg pada B, berapa kg masing‐masing yang harus diproduksi supaya mendapat keuntungan yang maksimal? ?
Practical Math 2
[email protected]
143
2. Suatu Vitamin terdiri dari dua makanan X dan Y yang ditunjukkan (dalam unit per kg) pada table. Campuran dari X dan Y dibuat dimana harus terdiri paling sedikit 8 unit dari A, 30 unit dari B dan 30 unit dari vitamin C. • Jika harga $2per kg dan Y seharga $1.5 per kg,tentukan harga minimum makanan campuran dan rincilah vitamin yang menyusunnya.
Practical Math 2
[email protected]
144
3. Sebuah pabrik memproduksi dua jenis paket meja tennis.paket A terdiri dari 2 pemukul dan 3 bola, paket B terdiri dari 2 pemukul dan 1 net. • Pada suatu waktu pabrik itu dapat memproduksi paling banyak 56 pemukul,108 bola,dan 18 net. Jika paket A mendapat keuntungan $3 dan paket B mendapat keuntungan $5,tentukan jumlah masing‐masing paket yang harus dihasilkan oleh produsen setiap jam untuk mendapatkan keuntungan yang maksimum. Komponen yang mana yang dibutuhkan?
Practical Math 2
[email protected]
145
4. Produsen roda membuat dua model,mewah dan standar.Pada model mewah dia memerlukan menggunakan mesin A untuk 2 menit dan mesin B untuk 2 menit. Pada model standar dia memerlukan menggunakan mesin A untuk 3 ,menit dan mesin B unutk 1 menit. Mesin A tersedia untuk paling banyaj 48 menit dan meisn B untuk 20 menit setiap jam. • Dia tahu dari pengalamannya yang lalu bahwa dia akan menjual sedikitnya dua kali dari model standar dan model mewah. Jika model mewah dia mendapat keuntungan $25 dan model standar dia mendapat keuntungan $20, berapa jumlah yang harus diproduksi nya setiap jam supaya mendapat keuntungan yang maksimum? Mesin yang mana yang penuh digunakan?
Practical Math 2
[email protected]
146
5 Bahan‐bahan a,b dan c untuk membuat dua jenis penata rambut A dan B pada persedian yang pendek. Setiap minggu hanya 18 unit a,21 unit b dan 18 unit c yang tersedia. Satu botol A memerlukan : 2 unit a, 3 unit b,3 unit c Satu botol B memerlukan : 2 unit a, 2 unit b,1 unit c a. Jika A mendapat keuntungan $2 per botol dan B mendapat keuntungan $1.25, berapa botol yang seharusnya diproduksi setiap minggi untuk mendapat keuntungan yang maksimal? b. Jika keuntungan B naik menjadi $2 per botol, berapa jumlah masing‐ masing yang diproduksi untuk mendapat keuntungan maksimal?
Practical Math 2
[email protected]
147
6. Perusahaan General motor membuat dua model mobil, Zip dan Zap, dalam pembuatan Zip keuntungan yang diperoleh $2000, dan $1500 dari setiap Zap. Buruh yang diperlukan setiap model diperlihatkan pada tabel di bawah ini:
Jika ada 29 000 orang‐jam menyediakan untuk pertemuan 3300 orang‐ jam untuk mengecat dan 26 000 orang‐jam untuk mengakhirinya, berapa jumalh setiap model yang seharusnya perusahaan produksi supaya keuntungannya maksimal? Diskusikan penggunakan sumber daya alam untuk solusi optimum
Practical Math 2
[email protected]
148
7.
Dari analisa makanan yang tersedia.dengan dua kotak makanan, Foode dan Petmix, dari binatangnya. Komposisi pada satu sendok makanan dari setiap dua kotak yang ditunjukkan pada table berikut:
Practical Math 2
[email protected]
149
Dari analisi diketahui bahwa binatang membutuhkan paling sedikt 96 gram protein, 80 gr lemak,288 gr karbohidrat dan tidak lebih dari 100 g serat setiap harinya. Jika analisis dicampur x sendok Foodo dengan y sendok Permix,tuliskan system pertidaksamaan dari x dan y. Sebab itu gambarkan grafik daerah yang mungkin . Jika satu sendok Foodo seharga $2 dan 1 sendok Petmix seharga S1, tentukan campuran yang disediakan makanan paling rendah. Dapatkah binatang puas makan dengan i. Hanya makanan Foodo ii hanya makanan Petmix
Practical Math 2
[email protected]
150
HUBUNGAN DENGAN PUNCAK BUKAN BILANGAN BULAT
Dalam beberapa masalah. puncak penyederhanaan bukan bilangan bulat. Bagaiman kita menangani kasus tersebut? Pada program linier atau kalkulator grafik dapat digunakan Note: >= lebih dari ≥ LATIHAN 7B.6 1. Makanan sehari‐hari bagi Kangguru kurungan diberi: karbohidart (paling sedikit 180 unit).,protein (paling sedikit 70 unit), vitamin (paling sedikit15 unit),lemak (tidak lebih dari 420 unit) Tersedia dua jenis makanan yang tersedia (A dan B). Komposisi menyajikan setiap makananyang ditunjukkan:
Practical Math 2
[email protected]
151
a.
b.
Dapatkah kangguru mendapat makanan yang dibutuhkan hanya menggunakan makanan A saja? Jika tidak, berapakah jumlah minimum penyajian yang diperlukan? Dapatkah kangguru mendapat makanan yang dibutuhkan hanya menggunakan makanan b saja? Jika tidak, berapakah jumlah minimum penyajian yang diperlukan?
Practical Math 2
[email protected]
152
c.
Jika disajikan makaan seharga $10sen dan disajikan makanan B seharga 20 sen, apakah campuran dari kedua makanan menyediakan harga yang termurah? Akan menjadi berapakah harganya?
d.
Sekarang kerjakan kombinasi A dan B dimana tersedia makanan termurah jika terjadi perubahan dalam pembuatannya: Karbohidart (paling sedikit 170 unit),Protein (paling sedikit 660 unit), Vitamin (paling sedikit 14 unit), lemak (tidak lebih dari 460 unit)
Practical Math 2
[email protected]
153
2. Sebuah perusahaan membuat dua produk, Klegs dan Klogs, dari kayu,
plastic, dan baja. Meraka menyediakan 227kg, 392 kg dan 184kg dari kayu,plastic dan baja. Persyaratan dalam membuat setiap produk adalah
Jika keuntungan satu Kleg adalah $5.25 dan sebuah $7.8, berapa buah seharusnya diproduksi agar mendapatkan keuntungan yang maksimal? Diskusikan dalam menggunakan sumber daya alam pada solusi optimum dan rincilah keuntungan maksimalnya.
Practical Math 2
[email protected]
154
REVIEW Masalah Yang Berhubungan 1.
Rel yang cepat untuk menghubungkan 7 kota terdekat ke bandara local.Temukan jaringan yang akan memungkinkan untuk menghubungkan ini dengan efisien. (catatan, jarak pada km)
Practical Math 2
[email protected]
155
2.) Usulan bahwa computer di semua ruangan staff, perpustakaan dan administrasi akan dihubungkan untuk meningkatkan akses yang berguna untuk diletakkan lebih maju. Dewan sekolah berharap untuk menyelidiki usul tersebut. Tabel memperlihatkan jarak secara detai (dalam meter) antar ruangan. Hitung jumlah harga kerugian pada dua factor, proses pemasangan kabel dengan harga $9.50 per meter dan ongkog tukang $60.00 per jam. Kantor ini mengambil kira‐kira satu jam untuk meletakkan 9 meter kabel. Hitung harga minimum untuk proyek itu!
Practical Math 2
[email protected]
156
Practical Math 2
[email protected]
157
•
3.) Sepeda K2 adalah peluncuran baru dari sepeda gunung yang akan dipersiapkan untuk Natal. Bagian secara garis besarnya, ditunjukkan pada diagram di samping. Pertemuan bannyak bagian sepeda menyebabkan kerusakan sepeda itu karena saling melakukan banyak tugas masing‐masing. Tugas masing‐masing bagian, waktu dan kegunaannya ditunjukkan pada table di bawah ini.
Practical Math 2
[email protected]
158
Practical Math 2
[email protected]
159
Hitunglah waktu minimum yang dibutuhkan untuk memasang satu sepeda. Berapa banyak staf yang seharusnya dibutuhkan untuk pekerjaan merakit sepeda K2? Sajikan penyelesaian dengan diagram dan jumlah yang benar.
4. Sebuah perusahaan merencanakan untuk meletakkan pusat penglihatan antar titik yang disajikan pada gambar. Rute yang mungkin untuk kabel dan panjang hubungan diperlihatkan di dalam kilometer. Pada umumnya, harganya adalah $1500 per km kecuali untuk kabel utama dari atau menuju C. Harga ini adalah $2000 per km.
Practical Math 2
[email protected]
160
Practical Math 2
[email protected]
161
Gambar hubungan harga untuk kota‐kota yang diperlihatkan! Buat hubungan/jaringan yang menghubungkan harga minimum! Berapa harga minimum dari penghubungan jaringan itu? Masalah Program Linear 5.
Sebuah pabrik membuat meteran air dan meteran gas. Meteran gas membutuhkan 4 roda gigi, 1 tombol dan 8 menit waktu perakitan untuk mendapatkan keuntungan $20. Meteran air membutuhkan 12 roda gigi, 1tombol dan 4 menit waktu perakitan untuk mendapatkan untung $31. Ada 60 roda gigi, 9 tombol dan 64 menit waktu perakitan yang tersedia untuk melakukan produksi ini. Tentukan berapa banyak meter yang seharusnya diproduksi untuk mendapatkan keuntungan !
Practical Math 2
[email protected]
162
•
Practical Math 2
[email protected]
163
6.
Pekerja manufaktur membuat 2‐ drawer filing cabinet dan meja‐meja dengan penggambar tunggal. 2‐drawer cabinet menggunakan 1 kunci dan 3 meter persegi logam dan menghasilkan keuntungan $34. Meja menggunakan 1 kunci dan 9 meter persegi logam dan menghasilkan keuntungan $47. Ada 14 drawer, 8 kunci dan 54 meter persegi logam yang tersedia. Hitung berapa banyak dari tiap‐tiap benda yang seharusnya diproduksi untuk memperoleh keuntungan maksimum yang mungkin!
7.
Insinyur teknik sipil sedang mendesain pondasi dari sebuah jembatan dengan deretan dan dermaga persegi dari beton. Setiap deretan dermaga memerlukan 10 unit bahan yang keras, 12 beban yang berat, dan 6 penopang samping pada harga $63000. Struktur akhir membutuhkan 80 unit bahan yang keras, 144 beban yang berat dan 60 penopang samping. Susun seperti program(persamaan) linear dan selesaikan untuk mendapatkan berapa banyak dari tiap bahan untuk dermaga yang harus digunakan mendapatkan kemungkinan harga terkecil!
Practical Math 2
[email protected]
164
8.
Sebuah perusahaan yang mengolah minyak pada Adelide dan Brisbane. Perusahaan Adelide memproduksi 3000 tong LRP, 26000 tong unleaded, dan 1000 tong tiap hari dengan harga $8000.Perusahaan Brisbane memproduksi 1000 tong LRP, 2000 tong unleaded dan 3000 tong diesel tiap hari dengan harga $5000. Perusahaan mempunyai order(persediaan) untuk 18000tong Lrp, 26000 tong unleaded, dan 30000 tong diesel. Berapa banyak hari yang seharusnya dioperasikan perusahaan tiap hari untuk menjaga harga serendah mungkin dan masih memenuhi order?
Practical Math 2
[email protected]
165
9.
Tukang sol sepatu membuat sol dalam keras dan halus untuk pelanggannya. Sol dalam dibuat dari plastic yang sudah diset oleh asisten lab. Setiap sol dalam dibangun dan dipaskan juga. Jenis halus menggunakan 150 sentimeter kubik plastic, 3 jam pembuatan dan 30 menit untuk mengepaskan. Dan memberi keuntungan $70. Jenis kasar menggunakan 100 sentimeter kubik plastic, 8 jam pembuatan dan 40 menit untuk mengepaskan, serta memberi keuntungan $110. Asisten mempunyai bahan mentah untuk 2400 sentimeter kubik plastic, 96 jam untuk pembuatan, dimana dia mempunyai 5 jam waktu yang tersedia untuk mengepaskan. Berapa banyak tipap sol dalam yang seharusnya disediakan untuk pelanggannya supaya menghasilakan keuntungan maksimum?
Practical Math 2
[email protected]
166
10.Tukang masak pada stasiun melayani 2 pilihan yang sama setiap hari untuk sarapan, makan siang dan makan malam. Ayam dengan chips atau steak dan telur. Analisis matematika mengetahui bahwa mereka memerlukan176 unit karbohidrat per minggu, 168 unit protein dan 250 unit lemak dengan level kerja mereka yang tinggi. Ayam dan chips mengandung 16 unit karbohidrat per daging, 8 unit protein, 10 unit lemak dan berharga $5. Steak dan telur mengandung 8 unit karbohidrat, 12 unit protein, 25 unit lemak dan berharga $8. Berapa banyak tipe dari setiap makanan yang seharusnya dimakan oleh tukang itu supaya memenuhi nutrisi yang dibutuhkan supaya menghasilkan kemungkinan harga terendah ?
Practical Math 2
[email protected]
167
11.
Pembuat furniture memproduksi lemari dan rak buku. Kedua produk itu membutuhkan papan kayu, waktu penggergajian, waktu pengampelasan, dan perakitan. Lemari membutuhkan 20 meter papan, 40 menit waktu penggergajian, 69 menit waktu pengampelasan, 10 menit waktu perakitan dan dijual dengan mengharapkan keuntungan $14 per buah. Rak buku menggunakan 10 meter papan, 30 menit penggergajian, 90 menit pengampelasan, 30 menit perakitan dan dijual dengan mengharapkan keuntungan $17 tiap buah. Ada 220 meter papan, 480 menit waktu penggergajian, 1080 menit pengampelasan, dan 330 meni perakitan yang tersedia. a. Buat model persamaan linear b. Temukan nilai/penyelesaian maksimim! c. Jawab hasilnya! Berapa banyak tiap material yang seharusnya dibuat untuk menghasilkan kemungkinan keuntungan tertinggi? d. Apakah penyelesaian itu berubah jika ada order untuk 7 lemari? (hlm 431‐433)
Practical Math 2
[email protected]
168
