BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Model Aliran Dua-Fase Nonekulibrium pada Media Berpori Penelitian ini merupakan kajian ulang terhadap penelitian yang telah dilakukan oleh Juanes (2008), dalam tulisannya yang berjudul Nonequilibrium effects in models of three-phase flow in porous media. Pada tulisan tersebut dilakukan simulasi waterflooding dengan melakukan pendekatan diskritisasi menggunakan cell-centered finite volume yaitu solusi disimpan pada pusat setiap grid yang dibentuk, sedangkan pada skripsi ini, penulis melakukan diskritisasi dengan menggunakan vertex centered finite volume yaitu solusi yang disimpan pada simpul (vertex) dari mesh dimana setiap vertex i harus dibangun cell (Praveen, 2013). Juanes menyatakan bahwa model aliran dua fase dengan efek nonekuilibrium pada media berpori telah diajukan sebelumnya oleh Barenblatt dengan bebas kapilaritas. Kemudian dipasangkan dengan model Buckley-Leverett dengan bebas kapilaritas dimana fluks merupakaan fungsi saturasi efektif yang direpresentasikan dengan persamaan ∂t S + ∂x vf (σ) = 0

(2.1)

σ − S = τ ∂t S

(2.2)

dan persamaan evolusi

Sistem ini harus dilengkapi denngan kondisi batas fluks pada batas kiri x = 0 dalam bentuk f (σ) = f¯(t). Selain itu juga diberikan kondisi awal pada t = 0 dalam bentuk S = S0 (x) (2.3) σ0 + τ ∂x f (σ0 ) = S0 (x) dimana S adalah saturasi aktual (saturasi saat ini) dan τ adalah saturasi efektif (saturasi yang akan datang). Persamaan Buckley-Leverett merupakan persamaan transportasi pada fluida yang menggambarkan dua fase aliran fluida yang immiscible pada media berpori. 11 Universitas Sumatera Utara

12 Sedangkan model Barenblatt menggambarkan dua fase aliran pada media berpori dengan efek dinamik (nonekuilibrium) pada relatif permeabilitas. Pada kasus ini, water flooding yang ditunjukkan oleh persamaan (2.1) yang dipasangkan dengan persamaan (2.2) akan diselesaikan melalui analisis numerik, yang akan dijelaskan pada Bab selanjutnya 2.2 Deret Taylor Biasanya metode numerik diturunkan berdasarkan hampiran fungsi terhadap bentuk polinomial sehingga fungsi akan menjadi lebih sederhana. Deret Taylor dapat digunakan pada hampir setiap pendekatan numerik yang didefinisikan sebagai berikut Definisi Andaikan terdapat f dan semua turunannya f 0 , f 00 , ... dalam selang [a, b], dan misalkan x0 ∈ [a, b]. Untuk nilai x disekitar x0 , maka f (x) dapat diperluas kedalam deret Taylor f 000 (x0 ) f 00 (x0 ) (x − x0 )2 + (x − x0 )3 + ... 2! 3! f (n) (x0 ) f (n+1) (tx ) + (x − x0 )n + (x − x0 )n+1 . n! (n + 1)! (2.4)

f (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) +

j Jika h = x − x0 , maka f (x + h) = f (x) + f 0 (x)h +

dimana

f (n+1) (tx ) n+1 h (n+1)!

f (n) (x) n f 00 (x) 2 f 000 (x) 3 h + h + ... + h 2! 3! n! f (n+1) (tx ) n+1 + h (n + 1)!

merupakan galat dengan limn→∞

f (n+1) (tx ) n+1 h (n+1)!

(2.5)

=0

2.3 Metode Iterasi Newton Pada Sistem Aljabar Metode iterasi Newton merupakan suatu metode yang berfungsi untuk mencari nilai akar dari suatu persamaan, yaitu mencari r ∈ R yang memenuhi f (r) = 0. Penurunan metode ini dapat diperoleh dari deret Taylor yang direpresentasikan oleh persamaan (2.5). Untuk n = 1, persamaan (2.5) menjadi f (x + h) = f (x) + f 0 (x)h +

f 00 (tx ) 2 h 2!

Universitas Sumatera Utara

13 dimana

f 00 (tx ) 2 h 2!

merupakan galat. Jika dimisalkan x + h merupakan pendekatan

untuk r, maka dengan mengabaikan galat tersebut diperoleh 0 = f (x) + f 0 (x)h, sehingga h=−

f (x) . f 0 (x)

Jika diberikan nilai duga (initial guess) x0 , maka untuk n = 0, 1, 2, ... dibentuk xn+1 = xn −

f (xn ) , f 0 (xn )

yang diharapkan limn→∞ xn = r. Penurunan diatas dapat dipakai untuk mendapatkan metode iterasi yang mencari r ∈ Rn yang memenuhi F (r) = 0, dimana F : Rn → Rn . Dalam hal ini, 0 = F (x) + F 0 (x)h dimana F 0 (x) merupakan matrix Jacobian dengan ordo n × n   ∂F1 (x) ∂F1 (x) ∂F1 (x) ...  ∂x1 ∂x2 ∂xn    ∂F2 (x)   ∂F2 (x) ∂F2 (x)   ... . ∂x ∂x ∂x F 0 (x) =  1 2 n   . . . .   .. .. .. ..    ∂Fn (x) ∂Fn (x) ∂Fn (x)  ... ∂x1 ∂x2 ∂xn Sehingga dapat ditunjukkan bahwa h = −[F 0 (x)]−1 F (x). Jika terdapat nilai duga x0 maka secara umum metode iterasi Newton untuk system aljabar dapat ditulis sebagai berikut xn+1 = xn − [F 0 (xn )]−1 F (xn ) 2.4 Integrasi Numerik Integral merupakan suatu pokok pembahasan mendasar yang berfungsi untuk mencari luas suatu daerah kurva f (x). Dalam kalkulus, dipelajari bahwa integral dapat diselesaikan secara analitik pada persamaan yang sederhana. Namun pada bidang aplikasi sains dan teknik akan ditemui suatu permasalahan yang tidak dapat


14 diselesaikan dengan cara analitik. Oleh karena itu, diperlukan suatu metode numerik dimana penyelesaian integrasi dapat diselesaikan dengan bantuan perhitungan komputer (integrasi numerik) dengan batas integral tertentu yang direpresentasikan oleh Z

b

f (x)dx.

I= a

Rinaldi Munir (2003) dalam bukunya Integrasi Numerik menjelaskan bahwa terdapat 3 cara dalam melakukan pendekatan dalam menurunkan rumus integrasi numerik yaitu metode pias, metode Newton-Codes dan Kuadratur Gauss. Penulis akan membatasi pembahasan hanya pada integrasi numerik dengan metode pias. Perhatikan Gambar 2.1, andaikan [a, b] merupakan interval pada luas kurva f (x), maka dibentuk n partisi sepanjang interval [a, b], dimana lebar setiap pias adalah h=

b−a . n

Dengan demikian, titik pias dinyatakan xi = a + ih dimana i = 0, 1, ..., n

Gambar 2.1: Metode Pias

Terdapat beberapa metode yang dapat dikembangkan pada metode ini yaitu aturan titik tengah (mid point rule), aturan titik kanan (rigth end point rule), aturan titik kiri (left end point rule), dan aturan trapesium (trapezoidal rule).


15 2.4.1 Aturan Trapesium Pada pendekatan trapesium dapat digunakan rumus luas trapesium pada setiap pias. Perhatikan Gambar 2.2. Secara umum, luas dibawah kurva pada pias (xi , xi+1

Gambar 2.2: Trapezoidal

didekati oleh xi+1

Z

xi

h f (x)dx ≈ f (xi ) + f (xi+1 ) 2

dimana i = 0, 1, 2, ..., n − 1. Dengan demikian, Z

b

f (x)dx ≈ a

n−1 X i=0

h f (xi ) + f (xi+1 ) . 2

2.4.2 Aturan Titik Tengah Luas daerah pias dapat digambarkan sebagai luas persegi panjang dimana h sebagai lebar dan f (xi+ 1 ) sebagai panjang yang dapat ditunjukkan oleh Gambar 2.3, Secara 2

Gambar 2.3: Aturan Titik Tengah


16 umum, pendekatan ini dapat ditulis sebagai Z xi+1 xi+1 + xi )h f (x)dx ≈ f ( 2 xi dimana i = 0, 1, 2, ..., n − 1, sehingga Z b n−1 X xi+1 + xi )h. f (x)dx ≈ f( 2 a i=0 2.4.3 Aturan Titik Kanan Pada pendekatan aturan titik kanan dapat dianggap h sebagai lebar pias dan f (xi+1 ) sebagai panjang. perhatikan Gambar 2.4, Secara umum, pendekatan ini dapat ditulis

Gambar 2.4: Aturan Titik Kanan sebagai Z

xi+1

f (x)dx ≈ f (xi+1 )h, xi

dimana i = 0, 1, 2, ..., n − 1, sehingga Z b n−1 X f (x)dx ≈ f (xi+1 )h. a

i=0

2.4.4 Aturan Titik Kiri Pada pendekatan aturan titik kiri dapat dianggap h sebagai lebar pias dan f (xi ) sebagai panjang. perhatikan Gambar 2.5, Secara umum dapat ditulis sebagai Z xi+1 f (x)dx ≈ f (xi )h, xi

dimana i = 0, 1, 2, ..., n − 1, sehingga Z b n−1 X f (x)dx ≈ f (xi )h, a

i=0


17

Gambar 2.5: Aturan Titik Kiri 2.5 Galat Penyelesaian numerik akan selalu memiliki nilai galat, karena metode numerik merupakan suatu pendekatan terhadap nilai eksak. Jika nilai galat mendekati nol, maka penyelesaian numerik akan mendekati nilai eksak. Hal itu akan terjadi jika jarak pias (∆x dan ∆t) diperkecil, namun perhitungan yang dilakukan akan semakin banyak. Kita tahu bahwa nilai eksak merupakan jumlahan dari nilai hampiran dan galat, yang berarti galat adalah selisih antara nilai eksak dan hampiran yang dinyatakan oleh ε=r−x dimana x adalah nilai hampiran dan r adalah nilai eksak. Besar galat tidak memperhatikan nilai positif atau negatif, sehingga ditulis dalam harga mutlak yang ditunjukkan oleh |ε| = |r − x|. Untuk mengetahui sebarapa besar pengaruh nilai galat terhadap nilai eksak, maka nilai galat dapat dinormalkan terhadap nilai eksak yang disebut dengan galat relatif yang representasikan oleh εR =

r−x . x

Rinaldi Munir (2003) dalam bukunya Integrasi Numerik juga menjelaskan tentang galat dari iterasi Newton dan integrasi numerik dengan pendekatan aturan trapesium dan aturan titik tengah yang dijelaskan berikut.


18 2.5.1 Galat Iterasi Newton Dalam menentukan nilai akar, iterasi Newton merupakan salah satu metode yang sering digunakan karena konvergensinya lebih cepat (jika nilai iterasi konvergen) dari pada metode yang lain. Pada kasus tertentu, metode Newton bisa bersifat divergen sehingga tidak selamanya metode Newton dapat digunakan untuk mencari nilai suatu akar. Metode ini dikatakan konvergen jika f (x)f 00 (x) <1 0 2 [f (x)] dengan f 0 (x) 6= 0. Adapun pada orde konvergensi dinyatakan εr+1 =

f 00 (xr )ε2r 2f 0 (xr )

dengan xr merupakan nilai hampiran terhadap akar. Dalam perhitungan menggunakan komputer, perlu bagi kita untuk membatasi jumlah perhitungan agar komputer dapat menghentikan perhitungan. Sehingga dapat ditentukan bahwa iterasi akan berhenti pada saat |xn+1 − xn | < ε adapun untuk menghitung galat relatif dinyatakan oleh |xn+1 − xn | <δ |xn+1 | dimana ε, δ merupakan toleransi galat yang diinginkan. Adapun pada sistem aljabar, galat dapat direpresentasikan εi = r − x(i) dan norm Euclidean galat adalah v uX u n i k k= t (rj − xij )2 j=1

2.5.2 Galat Aturan Trapesium Integrasi numerik menggunakan pendekatan trapesium memiliki galat yang ditunjukkan sebagai berikut Z

h

f (x)dx −

G= 0

h f (x0 ) + f (x1 ) 2

Andaikan terdapat dua titik yaitu x0 = 0 dan h = x, dengan menggunakan deret Taylor diperoleh f (x0 + h) = f (x0 ) + hf 0 (x0 ) +

h2 00 h3 f (x0 ) + f 000 (x0 ) + ... 2 6


19 sehingga f (x) = f (x0 ) + xf 0 (x0 ) +

x2 00 x3 f (x0 ) + f 000 (x0 ) + ... 2 6

Andaikan f (x1 ) = f (h), f (h) = f (x0 ) + hf 0 (x0 ) +

h3 h2 00 f (x0 ) + f 000 (x0 ) + ... 2 6

maka diperoleh Z hh i h2 00 h3 000 0 f (x0 ) + hf (x0 ) + f (x0 ) + f (x0 ) + ... dx G= 2 6 0 hh i 2 h 00 h3 000 0 − (f (x0 ) + f (x0 ) + hf (x0 ) + f (x0 ) + f (x0 ) + ...) 2 2 6 i h3 00 h4 000 h2 0 = [hf (x0 ) + f (x0 ) + f (x0 ) + f (x0 ) + ... 2 6 12 i h h3 00 h4 000 h2 0 − hf (x0 ) + f (x0 ) + f (x0 ) + f (x0 ) + ... 2 4 12 h3 00 = − f (x0 ) 12 h3 ≈ − f 00 (x), 0 < x < h 12 ≈ O(h3 ) jadi, nilai eksak diperoleh Z h h f (x)dx = (f (x0 ) + f (x1 )) + O(h3 ) 2 0 Uraian diatas, merupakan galat trapesium untuk batas interval [0, h] dengan satu pias. Adapun untuk jumlah pias lebih dari satu (n > 1), dapat diperoleh galat total sebagai berikut h3 00 (f (x0 ) + f 00 (x1 ) + f 00 (x2 ) + ...f 00 (xn−1 )) 12 b−a diketahui bahwa h = b − a, sehingga untuk n pias h = . Sehingga n n−1 h3 X 00 Gtotal = f (x) 12 i=0 i Gtotal = −

h2 (b − a) 00 nfi (x) 12 n h2 = (b − a) fi00 (x) 12 2 ≈ O(h )

=


20 Dapat disimpulkan bahwa galat total dari pendekatan trapesium berbanding lurus dengan kuadrat lebar pias (h). semakin kecil lebar pias, maka ukuran galat akan semakin kecil.

2.5.3 Galat Aturan Titik Tengah Pendekatan titik tengah diperoleh galat untuk satu pias Z h f (x)dx − hf (x 1 ) G= 2

0

Dengan metode yang sama pada aturan trapesium diperoleh Gtotal = −

h3 00 (f (x0 ) + f 00 (x1 ) + f 00 (x2 ) + ...f 00 (xn−1 )) 24

Adapun untuk beberapa pias, diperoleh n−1

h3 X 00 = f (x) 24 i=0 i

Gtotal

h2 (b − a) 00 nfi (x) 24 n h2 = (b − a) fi00 (x) 24 2 ≈ O(h )

=

dari uraian diatas dapat disimpulkan bahwa galat yang dihasilkan pada pendekatan aturan titik tengah dua kali lebih kecil dari pada aturan trapesium, sehingga dietahui bahwa metode in lebih efisien dari aturan trapesium. Adapun galat untuk pendekatan aturan titik kanan dan titik kiri telah dijelaskan oleh Jiwen He (2008) yang iuraikan sebagai berikut

2.5.4 Galat Aturan Titik Kanan Telah dijelaskan pendekatan integrasi numerik pada aturan titik kanan pada pembahasan sebelumnya, maka untuk galat yang dihasilkan dapat ditunjukkan sebagai berikut Z

h

f (x)dx − hf (xi+1 )

G= 0


21 dimana i = 0, 1, ..., n − 1. Sehingga diperoleh galat untuk satu pias G=

h2 0 f (x1 ) 2

Adapun pias sebanyak n diperoleh 1 Gtotal = (b − a)f 0 (xi ) 2 ≈ O(h)

2.5.5 Galat Aturan Titik Kiri Dapat ditunjukkan galat dari aturan titik kiri sebagai berikut Z h G= f (x)dx − hf (xi ) 0

dimana i = 0, 1, ..., n sehingga diperoleh galat untuk satu pias G=

h2 0 f (x0 ) 2

Adapun pias sebanyak n diperoleh 1 Gtotal = (b − a)f 0 (xi ) 2 ≈ O(h)

Dapat dilihat bahwa pendekatan aturan titik kanan dan aturan titik kiri memiliki besar galat yang sama, namun berbeda pada pendekatan trapesium dan titik tengah. Diketahui bahwa pendekatan yang memiliki galat yang paling kecil diantara keempat pendekatan diatas adalah aturan titik tengah. Sehingga dapat disimpulkan bahwa pendekatan aturan titik tengah yang memiliki efisiensi yang cukup cepat dari jumlah diskritisasi yang dilakukan. Namun ada beberapa kondisi yang menyebabkan pendekatan yang dilakukan harus disesuaikan dengan permasalahan yang sedang dijalankan. Oleh karenanya perlu bagi kita untuk mempelajari lebih mendalam tentang pendekatan numerik. Contoh Selesaikan persamaan berikut menggunakan metode Newton-Raphson:


22 x2 − y 2 = y, x2 + y 2 = x dengan inisial guess x0 = 0.8 dan y0 = 0.4. Penyelesaian Karena f (x, y) = 0 dan g(x, y) = 0 maka persamaan tersebut dapat ditulis f (x, y) = x2 − y 2 − y = 0, g(x, y) = x2 + y 2 − x = 0. dan diketahui inisial guess x0 = 0.8 dan y0 = 0.4 maka kita ketahui matriks Jacobi 2x −2y − 1 0 . F (x) = 2x − 1 2y 1.6 −1.8 dan [F 0 (x0 , y0 )]−1 = f (x0 , y0 ) = 0.08 dan g(x0 , y0 ) = 0, F (x0 , y0 ) = 0.6 0.8 0.3390 0.7627 maka solusi pada iterasi pertama yaitu: −0.2542 0.6780 0

x1 0.8 0.3390 0.7627 0.08 0.7729 = − = y1 0.4 −0.2542 0.6780 0 0.4203 Perhitungan dapat dilakukan dengan menggunakan MATLAB dimana code dapat dilihat pada lampiran 1. Jika dilakukan iterasi sebanyak 5 kali, maka akan didapat hasil yang ditunjukkan oleh tabel berikut i 0 1 2 3 4 5

xi 0.8 0.772881355932203 0.771845967451467 0.771844506348887 0.771844506346038 0.771844506346038

yi 0.4 0.420338983050847 0.419644283432102 0.419643377608757 0.419643377607081 0.419643377607081

error 0.033898305084746 0.001246850779495 1.719109270156545e-006 3.304913436759251e-012 0

Dari penyelesaian diatas dapat kita ketahui bahwa pada iterasi ke-5 nilai galat telah mencapai 0, sehingga diketahui nilai akar dari x = 0.771844506346038 dan y = 0.419643377607081 2.6 Solusi Numerik pada Persamaan Diferensial Partial Shaw (1992) menjelaskan bahwa persamaan yang mengatur pergerakan fluida adalah persamaaan diferensial parsial. Persamaan ini terdiri dari kombinasi variable aliran seperti kecepatan, tekanan dan turunan dari variabel tersebut. Komputer tidak dapat menghasilkan solusi persamaan diferensial secara langsung karena komputer hanya dapat memanipulasi data dalam bentuk 0 dan 1 atau data biner. Selain itu


23 komputer diprogram untuk melakukan perhitungan operasi sederhana seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan perulangan. Oleh karena itu persamaan diferensial harus ditransformasikan kedalam persamaan yang hanya terdiri dari bilangan, kombinasi dari bilangan tersebut dapat digambarkan oleh operasi yang sederhana. Untuk melakukan transformasi pada persamaan tersebut maka dapat dilakukan suatu cara yang disebut diskritisasi yaitu setiap suku dalam persamaan diferensial harus diterjemahkan kedalam sebuah bentuk numerik yang dapat diprogram oleh komputer untuk dihitung. Berbagai teknik dapat dilakukan diantaranya metode beda hingga, metode elemen hingga, dan metode volume hingga. Metode beda hingga merupakan suatu teknik yang didasari pada deret Taylor yang menggambarkan turunan dari variabel sebagai selisih antara nilai-nilai dari variabel dari berbagai titik dalam ruang dan waktu. Teknik kedua yaitu metode elemen hingga, dalam metode ini domain dari persamaan diferensial parsial yang berlaku dibagi menjadi sejumlah elemen berhingga. Namun pada metode ini, proses diskritisasi yang dilakukan lebih sulit dibandingkan dengan metode beda hingga. Teknik yang ketiga adalah metode volume hingga, teknik ini cukup popular digunakan untuk persoalan komputasi fluida dinamik. Menurut Apsley (2005) metode volume hingga sesuai diterapkan pada masalah aliran fluida dan aerodinamika. Pada metode volume hingga harus diketahui domainnya dengan jelas, dari domain tersebut dibagi menjadi grid-grid baik terstruktur maupun tidak (unstrustured), pada masing-masing grid memenuhi persamaan matematika yang terbentuk. Oleh referensi diatas, maka dapat diputuskan bahwa metode yang tepat untuk menyelesaikan permasalahan ini adalah dengan menggunakan metode volume hingga. Karena telah dijelaskan sebelumnya bahwa waterflooding meruapakan suatu permasalahan aliran fluida pada media berpori. Oleh karena itu, maka metode volume hingga dapat dijelaskan pada pembahasan berikut.


24 2.6.1 Metode Volume Hingga Metode Volume Hingga (MVH) merupakan salah satu teknik diskritisasi pada persamaan diferensial parsial, dan biasanya diimplementasikan pada hukum konservasi. Pada dasarnya metode ini mengatur persamaan diferensial agar dikonversi kedalam bentuk numerik yaitu dengan membagi domain Ω menjadi himpunan dari volume berhingga yang saling lepas. Domain yang dipartisi sebanyak i yang disebut grid atau mesh. Tulus, Ariffin, Abdullah dan Norhamidi (2005) telah melakukan penelitian mengenai aplikasi Computational Fluid Dinamic (CFD) dengan menggunakan metode volume hingga dalam tulisannya yang berjudul Numerical Simulation of InCylinder Gas Dynamic of Two-Stroke Linear Engines using Finite Volume Method. Thomas J.W (2013) dalam bukunya Numerical Partial Differential Equation Conservation Law and Elliptic Equation mengemukakan suatu formulasi umum dari hukum konservasi berikut ∂u ∂f (u) + = 0 in R × (0, T ) ∂t ∂x persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan menggunaka metode volume hingga, dimana akan dicari solusi U (xi , tn ) atau dapat dinotasikan sebagai Uin yang kemudian dibentuk suatu grid terhadap domain x dan waktu t. Andaikan terdapat suatu interval [a, b], maka untuk mencari solusinya dapat dipartisi sebanyak n, dimana (b−a) . n

n ∈ N, sehingga ∆x =

Maka untuk xi = a + i∆x dan kemudian terdapat ∆t

sehingga tn = n∆t. Dalam hal ini, dibentuk control volume pada diskritisasi yaitu suatu bidang dengan batas x yaitu xi− 1 dan xi+ 1 sedangkan batas terhadap t yaitu 2

2

tn−1 dan tn yang dapat ditunjukkan oleh Gambar 2.6 sehingga dapat direpresentasikan oleh Z

xi+ 1 2

xi− 1

2

Z

tn

tn−1

∂u

∂f (u) + dtdx = 0 ∂t ∂x

hal diatas akan sama dengan Z x 1 Z tn Z x 1 Z tn i+ 2 i+ 2 ∂u ∂f (u) dtdx + dtdx = 0 ∂x x 1 x 1 tn−1 ∂t tn−1 i− 2

i− 2


25

Gambar 2.6: Control Volume pada suku pertama integralkan terhadap batas t, pada suku kedua integralkan terhadap batas x sehingga diperoleh Z

xi+ 1 2

Z u(x, tn ) − u(x, tn−1 ) dx +

tn

tn−1

xi− 1 2

f (u(xi+ 1 , t)) − f (u(xi− 1 , t)) dt = 0 2

2

dengan mengaplikasikan pendekatan mid point dapat ditunjukkan bahwa Z

xi+ 1 2

u(x, tn ) − u(x, tn−1 ) dx ≈ u(xi , tn )∆xi − u(xi , tn−1 )∆xi

xi− 1 2

sedangkan pada fungsi flux dilakukan pendekatan left point dapat diperlihatkan bahwa

Z

tn

f (u(xi+ 1 , t)) − f (u(xi− 1 , t)) dt ≈ f (u(xi+ 1 , tn−1 ))∆ti 2

tn−1

2

2

−f (u(xi− 1 , tn−1 ))∆ti 2

sehingga diperoleh u(xi , tn )∆xi − u(xi , tn−1 )∆xi + f (u(xi+ 1 , tn−1 ))∆ti 2

−f (u(xi− 1 , tn−1 ))∆ti + Galat1 = 0. 2

Lakukan pendekatan upwind yang diilustrasikan oleh Gambar 2.7, dimana pendekatan upwind dapat direpresentasikan oleh f (u(xi+ 1 , tn−1 )) ≈ f (u(xi , tn−1 )) 2

f (u(xi− 1 , tn−1 )) ≈ f (u(xi−1 , tn−1 )) 2


26

Gambar 2.7: Upwinding Seperti yang telah disebutkan sebelumnya, terdapat galat pada setiap pendekatan numerik sehingga u(xi , tn )∆xi − u(xi , tn−1 )∆xi + f (u(xi , tn−1 ))∆ti (2.6) −f (u(xi−1 , tn−1 ))∆ti + Galat 1 + Galat2 = 0 dengan Galat1 = galat integrasi numerik dan Galat2 =galat upwinding. Dalam hal ini ∆xi dan ∆ti merupakan pias yang dapat ditentukan besarnya, jika ∆xi dan ∆ti menuju nol, maka galatnya pun akan menuju nol sehingga solusi numerik akan mendekati solusi eksak. Oleh karenanya dapat kita lakukan pendekatan u(xi , tn ) ≈ U (xi , tn ) sehingga persamaan (2.6) dapat ditulis U (xi , tn )∆xi − U (xi , tn−1 )∆xi + f (U (xi , tn−1 ))∆ti −f (U (xi−1 , tn−1 ))∆ti = 0 jadi, U (xi , tn ) = U (xi , tn−1 ) −

∆ti f (U (xi , tn−1 )) − f (U (xi−1 , tn−1 )) ∆xi

(2.7)

Contoh Terdapat suatu persamaan yang direpresentasikan oleh persamaan berikut ∂u 1 ∂u2 + = 0 in R × (0, T ) ∂t 2 ∂x

(2.8)

dengan kondisi batas u(x, 0) = 1 − x2 , tentukan solusi numerik dari persamaan tersebut


27 Penyelesaian Persamaan (2.8) merupakan persamaan transport yang dikenal dengan sebutan persamaan Burger inviscid yang merupakan bentuk sederhana dari persamaan diferensial parsial nonlinier. Persamaaan Burger terkenal dengan solusinya berupa gelombang kejut dan merupakan bentuk khusus dari model Buckley-Leverett. Permasalahan ini dapat diselesaikan oleh beberapa metode, namun dalam hal tulisan ini penulis akan menyelesaikan persamaan tersebut dengan menggunakan metode volume hingga yang telah dijelaskan sebelumnya dengan melakukan langkah-langkah yang dijelaskan sebelumnya yaitu dengan melakukan integrasi seperti persamaan (2.6.1) Z x 1Z i+ 2

xi− 1 2

tn

tn−1

Z

∂u 1 dtdx + ∂t 2

xi+ 1

2

Z

xi− 1 2

tn

tn−1

∂u2 dxdt = 0 ∂x

pada suku pertama integralkan terhadap t dan pada suku kedua integralkan terhadap x Z

xi+ 1 2

xi− 1

1 [u(x, tn ) − u(x, tn−1 )]dx + 2

Z

2

tn

[u2 (xi+ 1 , tn ) − u2 (xi− 1 , tn )]dt = 0

tn−1

2

2

pada suku pertama digunakan pendekatan mid point dan pada suku kedua digunakan pendekatan left point sehingga diperoleh 1 u(xi , tn )∆xi − u(xi , tn−1 )∆xi + [u2 (xi+ 1 , tn−1 )∆ti − u2 (xi− 1 , tn−1 )∆ti ] 2 2 2 dengan menggunakan upwinding diperoleh 1 ∆xi [u(xi , tn ) − u(xi , tn−1 )] + ∆ti [u2 (xi , tn−1 ) − u2 (xi−1 , tn−1 )] = 0 2 dengan melakukan perhitungan al-jabar diperoleh u(xi , tn ) = u(xi , tn−1 ) −

∆ti 2 [u (xi , tn−1 ) − u2 (xi−1 , tn−1 )] 2∆xi

Solusi numerik diatas dapat direpresentasikan oleh Gambar 2.8 yang diperoleh melalui perhitungan menggunakan MATLAB dengan code yang tertera pada Lampiran 2. Gambar tersebut menunjukkan bahwa terdapat dua grafik dimana perhitungan dilakukan dengan waktu yang berbeda. Solusi ini menunjukkan bahwa


28 persamaan (2.8) dapat diselesaikan secara numerik dengan menggunakan metode volume hingga yang menjadi rujukan pada penelitian ini. explicit method 1 0.9 0.8 0.7

u(x,t)

0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

X

Gambar 2.8: Persamaan Burger dengan batas 1 − x2 , ∆t = 0.5 dan ∆x = 0.3


BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

Recommend Documents