BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

Hukum gravitasi Newton mampu menerangkan fenomena benda-benda langit yang dipengaruhi oleh gaya gravitasi antar benda. Namun, hukum gravitasi Newton ini tidak sesuai dengan teori relativitas khusus Einstein. Ini dikarenakan menurut hukum gravitasi Newton jika ada sebuah benda digerakkan maka gaya gravitasi antar benda akan berubah dalam sekejap. Dengan kata lain, efek gravitasi haruslah merambat dengan kecepatan tak hingga. Oleh karena itu Einstein berupaya menyempurnakan hukum gravitasi Newton agar sesuai dengan teori relativitas khususnya. Pada tahun 1915 Einstein menghasilkan Persamaan medan gravitasinya atau dikenal dengan Teori Relativitas Umum (TRU) . Einstein mengatakan bahwa gravitasi merupakan efek dari kelengkungan ruang-waktu karena adanya penyebaran massa dan energi di dalam ruang waktu tersebut. TRU dibangun atas dua prinsip, yaitu prinsip ekuivalensi (kesetaraan) dan prinsip kovariansi umum. Prinsip ekuivalensi berbunyi;

00

Tidak ada percobaan yang dapat

dilakukan dalam daerah kecil (lokal) yang dapat membedakan medan gravitasi dengan sistem yang dipercepat yang setara 00 . Sedangkan prinsip kovariansi umum berbunyi;00 Hukum alam haruslah memiliki bentuk yang tetap terhadap sebarang pemilihan transformasi koordinat00 . Prinsip kovariansi hanya dipenuhi dengan menggunakan tensor ruang waktu dalam formulasi matematis teori yang bersangkutan [Purwanto,2009 dan Anugraha,2005].(Definisi untuk tensor dan beberapa sifat tensor dapat dilihat di lampiran 1,2 dan 3)

4 Skripsi

Solusi Schwarzschild dan Kerr untuk Persamaan Medan Gravitasi Einstein

Abu Fadlol Arrosyidi


5

2.1 2.1.1

Persamaan Medan Gravitasi Einstein Tensor Kurvatur

Medan gravitasi Einstein menyatakan tentang kelengkungan ruang waktu, oleh karena itu tensor yang dipakai adalah tensor kelengkungan atau tensor Riemann. Pada ruang Riemann, perpindahan paralel suatu vektor antara dua titik secara umum bergantung lintasan. Bila suatu vektor ditranslasikan secara paralel sepanjang lintasan tertutup C , vektor akhir secara umum tidak berhimpit dengan vektor awal. Perubahan vektor selama perpindahan paralel sepanjang kontur tertutup kecil yang dinotasikan sebagai ∆Aµ dinyatakan sebagai [Dalarson,2005] I

Γνµτ Aµ dx

∆Aµ =

(µ, ν, τ = 0, 1, 2, 3)

(2.1)

C

Dengan menggunakan teorema Stokes, integral garis sepanjang kontur tertutup C dapat ditransformasikan ke dalam integral permukaan meliputi permukaan S yang dibatasi oleh kontur tertutup C dapat dinyatakan sebagai 1 ∆Aµ = 2

I

[Dρ (Γνµτ Aµ ) − Dσ (Γνµρ Aν )]dsρσ

(2.2)

C

dengan Dρ menyatakan operator turunan kovarian yang dinyatakan sebagai

Dρ =

D . Dxρ

(2.3)

Untuk kesederhanaan penulisan dikenalkan operator turunan biasa ∂ρ yang dinyatakan sebagai

∂ρ =

Skripsi

∂ ∂xρ


(2.4)



6 persamaan (2.2) dapat dinyatakan sebagai 1 ∆Aµ = 2

I

[∂ρ (Γνµτ Aµ ) − ∂σ (Γνµρ Aν )]dsρσ

C

atau 1 ∆Aµ = 2

I

[∂ρ Γνµτ Aν + Γνµτ ∂k Aν − ∂σ Γνµρ Aν − Γνµρ Γνµρ Aν ]dsρσ

(2.5)

C

Mengingat perubahan vektor Aν sepanjang kontur C hanya disebabkan oleh translasi paralel maka berlaku ∂τ Aν = Γβντ Aβ sehingga pers. (2.5) menjadi 1 ∆Aµ = 2

I

ν Rµρσ Aν dsρσ

(2.6)

C

dengan

ν Rµρσ = ∂ρ Γνµσ − ∂τ Γνµρ + Γβµσ Γνβρ − Γβµρ Γνβσ

(2.7)

ν Tensor Rµρσ yang diberikan oleh pers. (2.7) disebut sebagai tensor kurvatur

Riemann.

2.1.2

Persamaan Geodesik

Lintasan terpendek yang menghubungkan dua titik dalam suatu ruang disebut sebagai geodesik. Di dalam koordinat kartesian, geodesik adalah sebuah garis lurus. Untuk mendapatkan bentuk persamaan geodesik yang mendefinisikan kurva dengan panjang busur stasioner, dipilih panjang busur itu sendiri sebagai integran dari integral aksi yang dinyatakan sebagai [Dalarson,2005 dan

Skripsi




7 Purwanto,2009] ZSB r I=

gρν

dxρ dxν ds ds ds

(2.8)

SA

Mengingat definisi integral aksi yang diberikan oleh ZSB I=

dxµ L(x , , S)ds ds µ

(2.9)

SA

dengan L menyatakan fungsi Lagrange, maka pers.(2.8) dapat dinyatakan sebagai r gρν

L=

dxρ dxν . ds ds

(2.10)

Untuk mendapatkan persamaan geodesik, fungsi Lagrange pers.(2.10) disubtitusikan kepersamaan Lagrange yang diberikan oleh ∂L d − µ ∂x ds

!

∂L ∂

∂xµ ds

= 0.

(2.11)

Evaluasi setiap suku pers.(2.11) untuk fungsi Lagrange pers.(2.10) memberikan ∂L ∂

∂xµ

= gµβ

ds

dxβ ds

(2.12)

dan d ds

!

∂L ∂

∂xµ ds

= gµβ

d2 xβ ∂gµβ dxρ dxβ + ds2 ∂xρ ds ds

(2.13)

Subtitusi pers.(2.12) dan pers.(2.13) ke prs.(2.11) memberikan β ρ d2 xν ν dx dx + Γ =0 βρ ds2 ds ds

Skripsi


(2.14)



8 yang dikenal sebagai persamaan geodesik. Persamaan geodesik ini merupakan persamaan gerak suatu benda yang dipengaruhi oleh medan gravitasi. Selanjutnya, persamaan ini akan dipakai untuk mendapatkan persamaan medan gravitasi Einstein.

2.1.3

Medan Gravitasi Einstein

Untuk mendapatkan persamaan medan Einstein, pertama-tama tinjau persamaan geodesik yang dituliskan seperti persamaan (2.14)[Purwanto,2009] ρ β d2 xν ν dx dx =0 + Γ βρ ds2 ds ds

(2.15)

persamaan geodesik tersebut jika memenuhi tiga syarat berikut: 1. Kecepatan non relativistik Pada kecepatan non relativistik

(v c) →

dxν c, (ν = 0, 1, 2, 3) dt

(2.16)

persamaan geodesik menjadi d2 xν + Γ0νν ds2

dx0 ds

2 = 0, (ν = 0, 1, 2, 3)

(2.17)

2. Medan gravitasi lemah Di dalam medan gravitasi lemah,

gαβ = ηαβ + hαβ ,

Skripsi

|hαβ | 1


(2.18)



9 dengan ηαβ adalah tensor metrik ruang datar Minkowski 

ηµν



 −1 0 0    0 1 0  =   0 0 1   0 0 0

0    0     0    1

dan hαβ adalah tambahan kelengkungan ruang-waktu. 3. Medan statik Pada medan statik atau tetap dan tak bergantung waktu ∂gα,β =0 ∂x0 dengan x0 = ct, akan memberikan nilai simbol Cristoffel jenis kedua 1 ∂g00 Γν00 = − g νρ ρ , (ν, ρ = 0, 1, 2, 3) 2 ∂x

(2.19)

karena medan statik maka turunan ke-0 tidak ada, maka pers.(2.19) menjadi

Γn00 =

1 ∂h00 , 2 ∂xn

(n = 1, 2, 3)

(2.20)

dengan mensubtitusikan hasil pers.(2.20) ke dalam hasil pers.(2.17) akan didapat 1 h00 d2 xn + =0 2 2 c dt 2 ∂xn d2 xn c2 h00 + =0 dt2 2 ∂xn

Skripsi


(2.21)



10 sedangkan bentuk persamaan gerak Newton d2~r ~ + ∇φ = 0 dt2 d2~r ∂ + nφ = 0 2 dt ∂x

(2.22)

memberikan

h00 =

2 φ c2

(2.23)

dan jika ketiga syarat terpenuhi, maka g00 = η00 + h00 = η00 . 2.1.3.1

Tensor Einstein

Selanjutnya,tensor Riemann memenuhi identitas Bianchi [Purwanto,2009], yaitu:

Dγ Rµνρσ + Dµ Rνγρσ + Dν Rγµρσ = 0

(2.24)

bila pers.(2.24) dikalikan dengan tensor metrik kontravarian g µσ maka akan memberikan

g µσ (Dγ Rµνρσ + Dµ Rνγρσ + Dν Rγµρσ ) = 0 g νρ (Dγ Rνρ + Dµ g µρ Rνγρσ − Dν Rγρ ) = 0 g ργ (Dγ R − 2Dν Rγν ) = 0 1 γρ γρ = 0 −2Dγ R − g R 2 Dγ Gγρ = 0

dengan 1 Gγρ = Rγρ − g ργ R. 2

Skripsi


(2.25)



11 Persamaan (2.25) disebut sebagai tensor Einstein. Bentuk tersebut dapat dibentuk menjadi tiga bentuk yaitu: 1 1 1 Gγρ = Rγρ − g ργ RGρν = Rνρ − δνρ RGµν = Rµν − gµν R 2 2 2 2.1.3.2

(2.26)

Potensial Gravitasi Newton

Besarnya gaya gravitasi menurut hukum Newton antara dua benda yang masing-masing bermassa M dan m yang dipisahkan oleh jarak sejauh r adalah Mm F~ = −G 2 rˆ r

(2.27)

dan hukum ke-2 Newton memberikan

F~ = m~g (~r)

(2.28)

dengan mensubtitusikan kedua persamaan tersebut akan didapat

~g (~r) = −G

M rˆ. r

(2.29)

Bila persamaan (2.29) diintegralkan sepanjang lintasan tertutup S akan didapat Z2π Zπ

I ~g (~r) · ~s = −GM

0

S

r2 sin θdθdφ r2

0

∇ · ~g (~r) = −4φGρ ∇2 φ = 4φGρ

(2.30)

dengan ~g (~r) = −∇φ serta G adalah tetapan gravitasi universal dan ρ adalah rapat massa sumber gravitasi.

Skripsi




12 2.1.3.3

Persamaan Medan Gravitasi Einstein

Untuk mendapatkan persamaan medan gravitasi Einstein, pertama-tama kembali meninjau potensial gravitasi Newton atau persamaan (2.30)

∇2 φ = 4φGρ

bentuk potensial tersebut identik dengan persamaan berikut

Gµν = χTµν 1 Rµν − gµν R = χTµν 2

(2.31)

1 Rµν = χTµν + gµν R 2

(2.32)

T µν = (p + ρc2 )U µ U ν − g µν p

(2.33)

atau

serta

dengan Tµν merupakan tensor energi-momentum. Pada kasus non-relativistik , Rµν dan Tµν akan menjadi 1 R00 = χT00 2

(2.34)

T00 = ρc2

(2.35)

Pada medan lemah persamaan (2.34) akan menjadi 1 R00 = − ∇2 g00 2

(2.36)

dengan mensubtitusikan pers.(2.34) dan pers.(2.35) ke dalam pers.(2.36) akan

Skripsi




13 diperoleh 1 1 − ∇2 g00 = χρc2 2 2

(2.37)

dengan memasukkan nilai g00 = −1 + 2φ/c2 , maka akan didapatkan 1 ∇2 φ = χρc4 2

(2.38)

dan dengan membandingkan dengan persamaan potensial gravitasi Newton ∇2 φ = 4πGρ didapatkan nilai χ yaitu

χ=

8πG c4

(2.39)

dengan demikian, tensor Einstein akan menjadi 1 8πG Rµν − gµν R = 4 Tµν 2 c

(2.40)

persamaan (2.40) disebut sebagai persamaan medan gravitasi Einstein.

Skripsi



BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

Recommend Documents