3
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Proses Poisson Periodik Definisi 2.1 (Proses stokastik) Proses stokastik
adalah suatu himpunan dari peubah acak yang
memetakan suatu ruang contoh
ke suatu ruang state . (Ross, 1996)
Jika
merupakan himpunan tercacah, maka suatu proses stokastik
disebut proses stokastik dengan waktu diskret, sedangkan stokastik dengan waktu kontinu jika
disebut proses
merupakan suatu interval.
Definisi 2.2 (Inkremen bebas) Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu inkremen
bebas
jika
untuk
semua
disebut memiliki ,
peubah
acak
adalah bebas. (Ross, 1996) Diartikan pula, suatu proses stokastik dengan waktu kontinu
disebut
memiliki inkremen bebas jika proses berubahnya nilai pada interval waktu yang tidak tumpang tindih (overlaping) adalah bebas.
Definisi 2.3 (Inkremen stasioner) Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu inkremen stasioner jika
disebut memiliki
memiliki sebaran yang sama untuk
semua nilai . (Ross, 1996)
Definisi 2.4 (Proses pencacahan) Suatu proses stokastik
disebut proses pencacahan jika
menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu .
4
Suatu proses pencacahan (i) (ii)
harus memenuhi syarat-syarat berikut :
untuk semua Nilai
(iii) Jika (iv) Untuk
adalah integer. maka maka
terjadi pada interval
sama dengan banyaknya kejadian yang . (Ross, 1996)
Definisi 2.5 (Proses Poisson) Suatu proses pencacahan
disebut proses Poisson dengan laju
,
, jika dipenuhi tiga syarat berikut : (i) (ii)
Proses tersebut memiliki inkremen bebas.
(iii) Banyaknya kejadian pada sebarang interval waktu dengan panjang memiliki sebaran Poisson dengan nilai harapan
,
.
Jadi untuk semua
(Ross, 1996)
Definisi 2.6 (Fungsi periodik) Suatu fungsi
untuk semua
disebut periodik jika :
dan
atas disebut periode dari fungsi
Konstanta terkecil
yang memenuhi persamaan di
tersebut. (Browder, 1996)
Definisi 2.7 (Proses Poisson periodik) Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson tak homogen yang fungsi intensitasnya adalah fungsi periodik. (Mangku, 2001)
5
2.2 Pendugaan Fungsi Intenitas Proses Poisson Periodik
Fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik merupakan laju dari proses Poisson tersebut. Fungsi intensitas terbagi atas dua, yaitu fungsi intensitas lokal dan fungsi intensitas global. Fungsi intensitas lokal merupakan laju dari proses Poisson dititik tertentu, sedangkan fungsi intensitas global merupakan rata-rata laju dari proses Poisson pada interval dengan panjang menuju tak hingga. Pendekatan yang digunakan pada pendugaan fungsi intensitas lokal dari suatu proses Poisson di titik
adalah dengan menaksir nilai rata-rata dari
banyaknya kejadian di sekitar titik . Secara matematis, misalkan dan
menyatakan banyaknya kejadian yang terjadi pada
fungsi intensitas lokal di titik
dapat didekati dengan
maka .
Sedangkan pendekatan yang digunakan pada pendugaan fungsi intensitas global dari suatu proses Poisson adalah dengan menaksir nilai rata-rata dari banyaknya kejadian dalam interval global pada
. Secara matematis, penduga bagi fungsi intensitas
dapat dinyatakan dengan
.
Pada proses Poisson periodik, terdapat beberapa metode nonparametrik untuk menduga fungsi intensitas pada suatu titik yang diberikan, diantaranya adalah metode penduga tipe kernel dan metode penduga titik terdekat (nearest neighbor estimation). Dua metode tersebut telah digunakan untuk menduga secara konsisten fungsi intensitas lokal dengan periode
(diketahui) (Helmers dan
Mangku 2000). Selain itu, pendugaan fungsi intensitas lokal menggunakan metode titik terdekat serta pembuktian kekonsistenan lemah dan kuat dari penduga yang telah dikaji pada Mangku (1999). Ada metode lain, yaitu dengan meniru bentuk umum metode maximum likelihood untuk menduga laju proses Poisson homogen yang dapat diterapkan untuk menduga laju proses Poisson homogen yang dapat diterapkan untuk menduga fungsi intensitas global
pada
Poisson periodik (Helmers dan Mangku 2000). Fungsi intensitas proses Poisson telah digunakan pada pemodelan laju tumpahan minyak di Laut Utara Belanda (Helmers 1995). Secara komputasi, telah
6
dirumuskan suatu algoritma untuk menduga fungsi intensitas suatu proses Poisson dengan tren eksponensial kuadratik dan periodik (Helmers dan Zitikis 1999). Pendugaan fungsi intensitas ini dapat dibedakan berdasarkan periodenya, yaitu jika periodenya tidak diketahui dan jika periodenya diketahui. Untuk periode yang tidak diketahui, pendugaan fungsi intensitas lebih rumit dibandingkan proses dengan periodenya diketahui. Meskipun demikian kekonsistenan penduga tipe kernel dari fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik untuk kasus periode tidak diketahui telah dikaji pada Helmers et al. (2003). Untuk periode yang diketahui telah dilakukan kajian perumusan penduga tipe kernel serta pembuktian dari kekonvergenan lemah dan kuat dari penduga yang diperoleh (Mangku 2006a) dan pembuktian kenormalan asimtotik dari penduga yang diperoleh (Mangku 2006b). Pemodelan suatu fenomena dengan proses Poisson periodik berkembang dengan menyertakan suatu komponen tren linear (Helmers dan Mangku 2009), maupun menggunakan periode ganda dalam fungsi intensitasnya (Helmers et al. 2007). Adapun pendugaan untuk fungsi intensitas globalnya telah dilakukan pada Mangku (2005). Selain itu, pendugaan fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik yang menyertakan suatu komponen tren berbentuk fungsi pangkat telah dilakukan kajiannya. Tentang kekonsistenan dari penduga yang diperoleh dengan menggunakan fungsi kernel seragam telah dikaji pada Rahayu (2008), sifat-sifat statistik penduga yang diperoleh dengan menggunakan fungsi kernel seragam telah dikaji pada Rachmawati (2008), pendugaan fungsi intensitas global dari komponen periodiknya telah dikaji pada Yuliawati (2008), serta sifat-sifat statistik penduga yang diperoleh dengan menggunakan fungsi kernel umum telah dikaji pada Farida (2008), dan pendugaan fungsi intensitas dengan dua kasus, yaitu tren fungsi pangkat dengan kemiringan dari tren yang diketahui dan tidak diketahui, selain itu telah dikaji kekonvergenan sebaran asimtotik bagi fungsi periodik untuk dua kasus tersebut pada Rachmawati (2010).
7
2.3 Penduga Konsisten dari Fungsi Sebaran dan Fungsi Kepekatan Waktu Tunggu dari Proses Poisson Periodik dengan Tren Linear.
Diasumsikan fungsi intensitas dari suatu proses Poisson nonhomogen yang diamati pada interval terbatas adalah terintegralkan lokal. Dirumuskan fungsi sebaran dan fungsi kepekatan waktu tunggu, serta penduga dari fungsi-fungsi tersebut. Untuk suatu bilangan bulat positif diperoleh bahwa penduga fungsi sebaran waktu tunggu konvergen dalam peluang terhadap fungsi sebaran waktu tunggunya, dan diperoleh juga bahwa penduga fungsi kepekatan waktu tunggu konvergen dalam peluang terhadap fungsi kepekatan waktu tunggunya, asalkan interval yang diamati merupakan titik Lebesgue dari fungsi intensitas, seperti yang telah dikaji pada Mangku (2010).
