BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Definisi Gelombang dan klasifikasinya. Gelombang adalah suatu gangguan menjalar dalam suatu medium ataupun tanpa medium. Dalam klasifikasinya gelombang terbagi menjadi 2 yaitu : 1. Gelombang mekanik Suatu gangguan yang berjalan melalui beberapa materi atau zat yang dinamakan medium gelombang itu. Contoh : gelombang transversal dan gelombang longitudinal. 2. Gelombang elektromagnetik Suatu gelombang

yang tidak memerlukan medium dalam perambatannya

karena dapat bergerak dalam ruang vakum. Contoh : cahaya tampak, gelombang radio, radiasi inframerah, sinar-x dan sinar gamma. Dan dalam penulisan tugas akhir ini yang di bahas hanyalah gelombang mekanik.

2.1.1 Gelombang mekanik Gelombang

mekanik adalah gelombang

yang

memerlukan

medium dalam

pergerakannya. Jenis-jenis gelombang mekanik dapat dibedakan dengan meninjau bagaimana gerak partikel materi yang dihubungkan kepada arah penjalaran gelombang itu sendiri, yaitu : 1. Gelombang transversal Gelombang (gangguan) yang arah gerak partikel yang mengangkut gelombang tersebut tegak lurus terhadap arah penjalaran gelombang itu sendiri. Misalnya : Gelombang tali, gelombang dalam seismik (gempa bumi) yang dikenal sebagai gelombang geser (shear wave), gelombang cahaya dan gelombang permukaan air.

Universitas Sumatera Utara

2. Gelombang Longitudinal Gelombang (gangguan) yang arah gerak partikel yang mengangkut gelombang tersebut bolak-balik (sejajar) sepanjang arah penjalarannya. Misalnya : Gelombang pada pegas dan gelombang bunyi di udara.

2.1.2 Besaran-besaran fisis gelombang Gelombang selalu digambarkan melalui fungsi sinus, hal ini dikarenakan sesuai dengan prinsip fourier bahwa seluruh bentuk gelombang pada dasarnya terdiri dari gelombang-gelombang yang sederhana yaitu gelombang dengan bentuk sinusoidal yang bergerak merambat. Jika pergerakan suatu gelombang di gambarkan maka akan di peroleh grafik sinus seperti di bawah ini

Gambar 2.1. Amplitudo adalah simpangan maksimum dari posisi setimbangnya Garis putus-putus seperti pada gambar 2.1 disebut posisi setimbang (equilibrium), posisi setimbang ini adalah posisi awal ketika gangguan belum ada dan energi belum menjalar. Dari gambar dapat disimpulkan : Amplitodo (A)

: simpangan terjauh sebuah titik dari posisi setimbangnya, yaitu bb1 atau dd1.

Dasar gelombang

: titik – titik terendah pada gelombang, yaitu d atau h

Puncak gelombang : titik – titik tertinggi pada gelombang, yaitu b atau f Lembah gelombang : lengkungan cde atau ghi Bukit gelombang

: lengkungan abc atau efg

Satu panjang gelombang (λ) adalah panjang satu gelombang yang terbentuk dari satu bukit dan satu lembah gelombang, yaitu jarak a ke e atau c ke g.


1. Perioda (T) Perioda adalah waktu yang diperlukan oleh gelombang untuk menempuh satu panjang gelombang.. Seperti halnya dalam gerak harmonik, perioda menunjukkan lambatnya sebuah gelombang berosilasi. Dalam sistem satuan internasional, satuan untuk perioda adalah detik. Perioda dapat dihitung dengan persamaan : T=

....(2.1)

1 f

f = frekuensi

2.Frekuensi (f) Frekuensi adalah banyaknya getaran tiap satuan waktu. Dalam satuan internasional untuk frekuensi adalah herts (Hz). Frekuensi bisa di hitung melalui perioda hubungan: f =

....(2.2)

1 T

T = perioda

3.Kecepatan rambat gelombang (v) Ada dua jenis kecepatan gelombang : pertama, kecepatan osilasi, yaitu kecepatan gelombang bolak-balik di sekitar titik setimbangnya, dan kedua kecepatan gelombang untuk menjalar, yang di sebut dengan kecepatan rambat gelombang. Cepat rambat gelombang adalah jarak yang di tempuh satu panjang gelombang tiap waktu yang di perlukannya (perioda) :

ν=

λ

atau

ν =λ⋅ f

....(2.3)

T

Dimana : v = cepat rambat gelombang dan

λ = panjang gelombang


Untuk gelombang tali, kecepatan rambat sangat bergantung pada jenis tali. Pada gelombang elastik, seperti gelombang seismik, kecepatan rambat gelombang dipengaruhi oleh sifat medium dalam hal ini modulus elastiknya. Namun khusus untuk gelombang

elektromagnetik,

misalnya

seperti

cahaya,

perambatannya

tidak

memerlukan medium. Dalam vakum dan udara kecepatan rambatnya sama dengan c yang mendekati nilai 3 x 108 m/s, namun melambat dalam medium dengan indeks bias lebih besar dari udara. Secara umum, pengaruh sifat medium pada kecepatan rambat dari beberapa jenis gelombang dapat di lihat pada tabel berikut :

Tabel 1 Data fisis beberapa jenis gelombang JENIS GELOMBANG/

KECEPATAN

MEDIUMNYA

RAMBATNYA

Tali/tali

Suhu/udara(fluida)

Elastik/padat

Elektromagnetik/-

KETERANGAN

v=

F

F = tegangan tali;

µ

µ = massa jenis tali

v=

K

K = modulus Bulk;

ρ

ρ = massa jenis udara

v=

E

E = modulus elastik

ρ

v = c = 3 x108 m / s

Tidak memerlukan medium untuk merambat.


2.1.2Gelombang Transversal (Gelombang pada tali) Gelombang pada tali adalah gelombang mekanis transversal.Untuk membuat sebuah gelombang transversal pada tali dapat dibuat dengan cara mengikatkan tali pada panel pintu seperti pada gambar berikut :

Gambar 2.2. Membuat gelombang pada tali

Ketika tali digerakkan, tampak bahwa tali bergerak naik turun dalam arah gerak tegak lurus dengan arah perambatannya. Jika tali cukup berat akan didapatkan gelombang yang bergerak perlahan, sehingga mudah diamati. Untuk melihat bagian tali yang bergerak dan ke mana arah geraknya dapat di lihat pada gambar 2.3. Dari gambar tersebut terlihat gelombang dengan garis penuh yang menunjukkan kedudukan mulamula gelombang sebelum gelombang dengan garis putus – putus terjadi. Seperti yang ditunjukkan oleh anak panah, gelombang bergerak dari kiri ke kanan. Gelombang menempuh jarak yang sama untuk selang waktu yang sama dan gelombang menjalar dengan kecepatan kosntan.. Maka dapat disimpulkan : 1.Setiap gelombang bergerak tanpa berubah bentuk dengan kecepatan konstan di sepanjang tali. 2. Setiap bagian tali hanya bergerak tegak lurus pada arah menjalarnya gelombang.

Gambar 2.3. Gerak gelombang tali jika ada gelombang menjalar dari kiri ke kanan.


2.1.3 Gelombang Longitudinal (Gelombang bunyi di udara) Gelombang bunyi adalah gelombang mekanis longitudinal. Gelombang bunyi tersebut di jalarkan di dalam benda padat, benda cair, dan gas. Partikel – partikel bahan yang ditransmisisikan gelombang seperti berosilasi di penjalaran gelombang itu sendiri. Ada suatu jangkauan frekuensi yang besar di dalam mana dapat dihasilkan gelombang mekanis longitudinal, dan gelombang bunyi dibatasi pada jangkauan frekuensi yang dapat merangsang telinga dan otak manusia kepada sensasi pendengaran. Jangkauan ini adalah kira – kira 20 siklus/detik (atau 20 Hz)sampai kira – kira 20.000 Hz, dan dinamakan jangkauan yang kedengaran (audible range).

Gelombang mekanis

longitudinal yang frekuensinya berada di bawah jangkauan yang pendengaran tersebut dinamakan sebuah gelombang infrasonik (infrasonic wave), dan gelombang yang frekuensinya berada di atas jangkauan pendengaran dinamakan sebuah gelombang ultrasonik (ultrasonik wave).

2.2 Gelombang Yang Merambat Gelombang di permukaan air laut, yang terjadi karena adanya angin atau kerena gangguan lain, sudah sangat dikenal. Suatu sumber bunyi dapat di dengar karena adanya rambatan gelombang dalam atmosfir yang “memisahkan” si pendengar dari sumber tersebut. Dan gerak getar (vibrasi) sumber bunyi itu sendiri adalah apa yang dinamakan gelombang stasioner. Sifat cahaya yang dapat di amati paling baik di jelaskan berdasarkan teori gelombang, dan menurut pengetahuan sifat cahaya yang ada pada dasarnya sama dengan sifat gelombang radio, gelombang infra – merah, ultra ungu, gelombang sinar –X, dan gelombang sinar gamma. Perkembangan ilmu fisika yang menakjubkan dalam abad – 20 ialah penemuan bahwa materi memiliki sifat gelombang. Dan bahwa seberkas elektron yang dipantulkan oleh kristal, sama seperti seberkas sinar – X. Bidang ilmu tentang gerak gelombang erat hubungannya dengan bidang ilmu tentang gerak selaras (harmonic motion). Bila gelombang bergerak dalam suatu zat materi, tiap partikel zat itu akan bergetar terhadap posisi kesetimbangannya.

2.2.1 Prinsip Superposisi Untuk membahas apa yang terjadi jika ada dua atau lebih gelombang yang sejenis menjalar dalam medium yang sama dapat dimisalkan dengan dua gelombang bunyi yang sama – sama berada di udara. Untuk mudahnya di pandang lebih dahulu dua


gelombang pada tali. Satu gelombang datang dari sebelah kiri, dan satu gelombang lain datang dari sebelah kanan, seperti terlihat pada gambar 2.4 berikut ini

Gambar 2.4. Dua gelombang pada tali A dan B bertemu dan melanjutkan perjalanan masing-masing tanpa ada perubahan bentuk.

Pada gambar 2.4 digambarkan apa yang terjadi setelah kedua gelombang ini bertemu. Kedua gelombang meneruskan penjalaran mereka tanpa ada perubahan bentuk. Jadi kedua gelombang itu tidak saling mempengaruhi. Juga ditunjukkan pada waktu kedua gelombang bertemu, simpangan total setiap titik pada tali merupakan jumlah simpangan yang disebabkan oleh kedua gelombang tersebut. Gambar tersebut juga menujukkan posisi gelombang dan simpangan tali pada beberapa saat. Jadi, jika ada dua gelombang menjalar dalam suatu medium, maka gangguan total pada medium adalah jumlah gangguan oleh masing – masing gelombang. Sifat ini dikenal sebagai prinsip superposisi. Prinsip ini berlaku untuk semua jenis gelombang, selama gangguan yang disebabkan oleh gelombang tidak terlalu besar.

2.2.2 Gelombang Sinus Untuk melihat yang terjadi pada interferensi dua gelombang sinus, maka dibahas dua gelombang sinus dengan amplitudo yang sama, menjalar pada arah dan dengan kecepatan yang sama pula, akan tetapi mempunyai fasa yang berlainan. Fungsi gelombang untuk kedua gelombang dinyatakan dengan :

y1 = A sin (kx − ωt − φ01 )

= A sin (kx − ωt ) y2 Persamaan (2.6) dapat di tulis sebagai :

  φ   y1 = A sin k  x − 01  − ωt  k    

....(2.4) ....(2.5)

....(2.6)


Dimana : A =

amplitudo,

φ01 k = bilangan gelombang

= sudut fasa gelombang

dan

Sehingga jika dilihat y1 dan y2bersama – sama, maka y1 dan y2sebagai fungsi x pada suatu t tertentu, maka puncak

y1 akan tergeser sejarak

φ01 k dari puncak y2

seperti pada gambar 2.5 . Hasil superposisi kedua gelombang y1 dan y 2 adalah : y = y1 + y2 = ym {sin (kx − ωt − φ01 ) + (kx − ωt )} Dari rumus ilmu ukur sudut : sin B + sin C = 2 sin 1 (B+C) cos 1 (B-C) 2 2 Maka diperoleh :

φ   φ   A cos 01  sin  kx − ωt − 01  2   2  

y= 

....(2.7)

....(2.8)

Gambar 2.5 Superposisi dua gelombang dengan beda fase φ 01


2.2.3 Diagram Fasor Sekarang bagaimana halnya dengan superposisi tiga gelombang, atau dua gelombang dengan frekuensi sama yang menjalar dalam medium yang sama (dengan kecepatan yang sama ) akan tetapi dengan amplitudo yang berbeda. Untuk Mengatasi ini digunakan diagram fasor. Misalkan ada dua fungsi gelombang :

y1 = A1

cos

(kx − ωt − φ01 )

dan

y2 = A2

cos

(kx − ωt − φ01 )

Hasil superposisi kedua gelombang ini dapat dinyatakan dengan fungsi gelombang :

yR

y2 y1 AR (kx − ωt − φR ) (x,t) = (x,t) + (x,t) = cos

....(2.9)

Dimana :

φ01 R

= sudut fasa gelombang = indeks

y1 y2 φ , A dan

k = bilangan gelombang

dan

ω = frekuensi sudut

Jika ingin menentukan AR dan φ0 R haruslah diketahui A1,A2, φ1 dan φ2 . Dalam melakukan penjumlahan di atas sekaligus juga menjumlahkan dua besaran, yaitu amplitudo A dan sudut fasa φ = kx − wt + φ01 . Untuk ini tiap suku pada persamaan (2.9) dipandang sebagai vektor. y1(x,t) = A1 cos φ = A1 (kx − ωt + φ 01 ) y 1 = A1 < φ = kx − ωt + φ 01

yaitu suatu vektor dengan panjang A1 dan membuat sudut φ = kx − ωt + φ1 dengan sumbu x. Jadi arah vektor ini dinyatakan oleh sudut fasa. Vektor semacam ini di sebut fasor. Fungsi gelombang y1 (x,t) tak lain adalah proyeksi y1 pada sumbu x. Dengan menggunakan fasor, superposisi kedua gelombang pada persamaan (2.9) menjadi jumlah fasor. y R = y1 + y2


Ini digambarkan dengan diagram seperti pada gambar 2.6, diagram ini di sebut diagram fasor.

Gambar 2.6. Fungsi gelombang dengan y1 (x,t) = A1( kx − ωt + φ 01 )

2.3. Rumusan matematik gelombang yang merambat Banyak karakteristik gelombang dapat dijelaskan dengan menggunakan konsep laju gelombang, frekuensi, dan panjang gelombang. Namun, sering diperlukan deskripsi yang lebih rinci dari posisi dan gerak gelombang pada waktu-waktu tertentu selama perambatan gelombang. Untuk itu diperlukan rumusan matematik gelombang yang merambat.

Gambar 2.7 Gelombang sinusoida bergantung waktu (t) Dimisalkan perambatan gelombang sinusoida pada gambar 2.7 ditentukan dengan fungsi :

ψ (x, t ) = Y sin ωt . Perpindahan gelombang dari posisi semula ditandai

dengan sudut fasa ( φ ), yang artinya :


ψ (x, t ) = Y sin (ωt − φ )

; φ = kx

....(2.10)

Dimana : k = bilangan gelombang maka diperoleh :

ψ (x, t ) = Y sin (ωt − kx )

....(2.11)

Persamaan (2.11) menunjukkan gelombang sinus yang merambat ke kanan. Jika gelombang bergerak ke kiri, maka persamaannya menjadi :

ψ (x, t ) = Y sin (ωt + kx ) Dengan memisalkan x = λ 2 π = kλ ,

φ = 2π dari persamaan (2.10) diperoleh :

dan k=

....(2.12)

2π

λ

Dari persaman (2.3) didapat : v=λ⋅ f =

2π ω ω ⋅ = k 2π k

dimana,

ω = 2πf

Untuk gelombang sinus yang merambat transversal maka ditentukan berdasarkan persamaan (2.12). Perpindahan y merupakan fungsi dua variabel, t dan x . Kecepatan gelombang (v ) mempunyai harga konstan dengan mengambil turunan terhadap waktu (t). v=

∂ψ = ωY cos (ωt + kx ) ∂t

Percepatan a dapat diperoleh dengan menurunkankan secara parsial kedua kalinya :

a=

∂ 2ψ = −ω 2Y sin (ωt + kx ) ∂t 2

Turunan kedua terhadap x :


∂2 y = −k 2Y sin (ωt + kx ) ∂t 2

maka didapatkan : ∂ 2 y ∂t 2 ω 2 = 2 = v2 2 2 ∂ y ∂x k Dengan demikian didapatkan persamaan diferensial gerak gelombang yang merambat: 2 ∂2 y 2 ∂ y = v ∂t 2 ∂x 2

→

∂ 2ψ 1 ∂ 2ψ = ∂x 2 v 2 ∂t 2

(persamaan gelombang 1 dimensi)

2.4 Persamaan Differensial Bessel a. Jenis pertama J v ( x ) Persamaan Umum fungsi Bessel x 2 y " + xy ' + ( x 2 − ν 2 ) y = 0

....(2.13)

dengan solusi dalam bentuk deret :

(− 1)m x 2 m 2 m +ν m!Γ(ν + m + 1) m =0 2 ∝

J ν ( x ) = xν ∑

J −ν ( x ) = x

−ν

( −1)

∝

∑2

m =0

2 m +ν

m

x2m

m !Γ ( m − v + 1)

....(2.14)

....(2.15)

Fungsi ini disebut fungsi Bessel jenis pertama orde ν Pers (2.15) didefinisikan dengan :


J −ν ( x ) = (− 1) Jν ( x ) ν

Dari pers (2.14) pada ruas kanan dapat ditunjukkan sebagai xν Jν , kemudian diturunkan dan didapatkan :

[

]

d ν x Jν ( x ) = xν Jν −1 ( x ) dx

....(2.16)

Dan jika dari pers (2.14) pada ruas kanan ditunjukkan sebagai x −ν J v ( x ) , kemudian diturunkan dan didapatkan :

[

]

d −ν x Jν ( x ) = − x −ν Jν +1 ( x ) dx

....(2.17)

Kemudian dari pers (2.15) dan (2.16) didapatkan hubungan rekursif : Jν −1 ( x ) + Jν +1 (x ) =

2ν Jν (x ) x

Jν −1 ( x ) − Jν +1 ( x ) = 2 Jν' ( x )

dan

b.Jenis kedua Yν ( x ) 1 [Jν (x )cosνπ − Jν (x )] sinνπ

Yν ( x ) =

Yn (x ) = lim Yν (x ) ν →n

Yn =

-

2

π

(ln( x / 2) + γ ) J n ( x) −

1

π

∝

(n − k − 1)!( x / 2) 2 k − n ∑ π k =0 k! 1

n −1

∑ (−1) k {Φ(k ) + Φ(n + k )} k =0

( x / 2) 2 k + n k!(n + k )!

....(2.18)

Dengan γ =0.5772166... sebagai konstan Euler . Fungsi ini disebut fungsi Bessel jenis kedua orde ν atau fungsi Neumann orde v


Pers (2.17) didefinisikan untuk n = 0 Y− n ( x ) = (− 1) Yn ( x ) n

Solusi umum fungsi Bessel jenis pertama dan kedua: y ( x ) = c1 Jν ( x) + c 2Yν ( x)


BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

Recommend Documents