BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

5

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

2.1. Mekanika Kuantum 2.1.1. Sejarah Awal Mekanika Kuantum Dasar dimulainya periode mekanika kuantum adalah ketika mekanika klasik tidak bisa menjelaskan gejala-gejala fisika yang bersifat mikroskofis dan bergerak dengan kecepatan yang mendekati kecepatan cahaya. Oleh karena itu, gejala fisika tersebut ternyata hanya ada satu kumpulan, dan mekanika kuantum mengungkapkan usaha kita yang terbaik sampai saat ini untuk merumuskannya. Perkembangan teori atom menunjukkan adanya perubahan konsep susunan atom dan reaksi kimia antaratom.Kelemahan model atom yang dikemukakan Rutherford disempurnakan olehNiels Henrik David Bohr.Bohr mengemukakan gagasannya tentang penggunaan tingkat energi elektron pada struktur atom.Model ini kemudian dikenal dengan model atom Rutherford-Bohr.Tingkat energi elektron digunakan untuk menerangkan terjadinya spektrum atom yang dihasilkan oleh atom yang mengeluarkan energi berupa radiasi cahaya. Setiap memasuki pemahaman dunia atom, ilmuan mengalami kesulitan yang luar biasa.Teori-teori mapan tidak berdaya, bahasa yang digunakan mengalami kebuntuan, bahkan imajinasi terhadap dunia atom dipengaruhi pandangan emosional. Pengalaman ini dilukiskan Heisenberg: “Saya ingat pembicaraan saya dengan Bohr yang berlangsung selama berjam-jam hingga larut malam dan mengakhirinya dengan putus asa; dan ketika perbincangan itu berakhir saya berjalan-jalan sendirian di taman terdekat dan mengulangi pertanyaan pada diri saya sendiri berkali-kali: Mungkinkah alam itu absurd sebagaimana yang tampak pada kita dalam eksperimen-eksperimen atom ini?” (Fritjof Capra, 2000) Situasi psikologis Heisenberg, pada akhirnya merupakan salah satu kata kunci dalam perkembangan revolusioner dunia atom.Benda/materi yang diamati tidak terlepas dari pengalaman pengamat.benda/materi bukan lagi sebagai objek penderita yang dapat diotak-atik sesuai keinginan pengamat. Lebih jauhnya,

Universitas Sumatera Utara

6

benda/materi sendiri yang berbicara dan mempunyai keinginan sesuai fungsi dan kedudukannya dalam suatu benda/materi.Sub-atom bukan ‘benda’ tetapi, merupakan kesalinghubungan dalam membentuk jaringan dinamis yang terpola. Sub-subatom merupakan jaring-jaring pembentuk dasar materi yang merubah pandangan manusia selama ini yang memandang sub atom sebagai blok-blok bangunan dasar pembentuk materi. Meminjam istilah Kuhn, mekanika kuantum merupakan paradigma sains revolusioner pada awal abad 20.Lahirnya mekanika kuantum, tidak terlepas dari perkembangan-perkembangan teori, terutama teori atom.Mekanika kuantum, bukan untuk menghapus teori dan hukum sebelumnya, melainkan Mekanika kuantum tidak lebih untuk merevisi dan menambal pandangan manusia terhadap dunia, terutama dunia mikrokosmik.Bisa jadi, sebenarnya hukum-hukum yang berlaku bagi dunia telah tersedia dan berlaku bagi setiap fenomena alam, tetapi pengalaman manusialah yang terbatas.Oleh sebab itu, sampai disini kita harus sadar dan meyakini bahwa sifat sains itu sangat tentatif. Mengapa teori kuantum merupakan babak baru cara memandang alam? Vladimir Horowitz pernah mengatakan bahwa “mozart terlalu mudah untuk pemula, tetapi terlalu sulit untuk para ahli”. Hal yang sama juga berlaku untuk teori kuantum. Secara sederhana teori kuantum menyatakan bahwa “partikel pada tingkat sub atomik tidak tunduk pada hukum fisika klasik”.“Entitas seperti elektron dapat berwujud [exist] sebagai dua benda berbeda secara simultan materi atau energi, tergantung pada cara pengukurannya”. (Paul Strathern, 2002) Kerangka mendasar melakukan penalaran dalam sains adalah berpikir dengan metoda induksi.Apabila melakukan penalaran dengan metoda ini, maka pengamatan terhadap wajah alam fisik dilakukan melalui premis-premis yang khusus tentang materi-materi kecil atau mikro bahan alam fisik yang kasat mata.Hukum-hukum sains klasik yang telah terpancang lama, ternyata terlihat kelemahannya ketika berhadapan dengan fenomena mikrokosmik. Gary Zukaf (2003) memberikan pengertian secara etimologis dari mekanika kuantum.‘Kuantum’ merupakan ukuran kuantitas sesuatu, besarnya tertentu.‘Mekanika’ adalah kajian atau ilmu tentang gerak.Jadi, mekanika kuantum adalah kajian atau ilmu tentang gerak kuantum.Teori kuantum


7

mengatakan bahwa alam semesta terdiri atas bagian-bagian yang sangat kecil yang disebut kuanta [quanta, bentuk jamak dari quantum], dan mekanika kuantum adalah kajian atau ilmu yang mempelajari fenomena ini.

2.1.2. Perkembangan Mekanika Kuantum Pada tahun 1905, Albert Einstein berhasil menjelaskan efek foto listrik dengan didasari oleh pendapat Planck lima tahun sebelumnya dengan mempostulatkan bahwa cahaya atau lebih khususnya radiasi elektromagenetik dapat dibagi dalam paket-paket tertentu yang disebut kuanta dan berada dalam ruang. Energi berhasil menjelaskan bahwa untuk membuat elektron terpancar dari permukaan logam diperlukan cahaya yang menumbuk.Cahaya tersebut harus memiliki frekuensi melebih frekuensi ambang dari logam tersebut.Efek foto listrik ini tidak bergantung pada intensitas cahaya yang ditembakkan seperti pandangan mekanika klasik tetapi hanya bergantung pada frekuensinya saja.Walaupun cahaya lemah ditembakkan tetapi memiliki frekuensi yang melebihi frekuensi ambang ternyata ada elektron yang dipancarkan. Pernyataan Einstein bahwa cahaya teradiasikan dalam bentuk paket-paket energi yang kemudian disebut kuanta dinyatakan dalam jurnal kuantum yang berjudul "On a heuristic viewpoint concerning the emission and transformation of light" pada bulan Maret 1905.Pernyataan tersebut disebut-sebut sebagai pernyataan yang paling revolusioner yang ditulis oleh fisikawan pada abad ke-20. Paket-paket energi yang pada masa itu disebut dengan kuanta kemudian disebut oleh foton, sebuah istilah yang dikemukakan oleh Gilbert & Lewis pada tahun 1926.Ide bahwa tiap foton harus terdiri dari energi dalam bentuk kuanta merupakan sebuah kemajuan.Hal tersebut dengan efektif merubah paradigma ilmuwan fisika pada saat itu yang sebelumnya menjelaskan teori gelombang.Ide tersebut telah mampu menjelaskan banyak gejala fisika pada waktu itu.

2.1.3. Eksperimen-Eksperimen Yang Mendasari Perkembangan Mekanika Kuantum Berikut ini adalah eksperimen–eksperimen yang mendasari perkembangan mekanika kuantum:


8

1. Thomas Young dengan eksperimen celah ganda mendemonstrasikan sifat gelombang cahaya pada tahun 1805, 2. Henri Becquerel menemukan radioaktivitas pada tahun 1896, 3. J.J. Thompson dengan eksperimen sinar katoda menemuka elektron pada tahun 1897, 4. Studi radiasi benda hitam antara 1850 sampai 1900 yang dijelaskan tanpa menggunakan konsep mekanika kuantum, 5. Einstein menjelaskan efek foto listrik pada tahun 1905 dengan menggunakan konsep foton dan partikel cahaya dengan energi terkuantisasi, 6. Robert Milikan menunjukan bahwa arus listrik bersifat seperti kuanta dengan menggunakan eksperimen tetes minyak pada tahun 1909, 7. Ernest Rutherford mengungkapkan model atom pudding yaitu massa dan muatan postif dari atom terdistribusi merata dengan percobaan lempengan emas pada tahun 1911, 8. Otti Stern dan Walther Gerlach mendemonstrasikan sifat terkuantisasinya spin partikel yang dikenal dengan eksperimen Stern-Gerlach pada tahun 1920, 9. Clinton Davisson dan Lester Germer mendemondtrasikan sifat gelombang dari electron melalui percobaan difraksi electron pada tahun 1927, 10. Clyde L. Cowan dan Frederick Reines menjelaskan keberadaan neutrino pada tahun 1955

2.1.4. Bukti dari Mekanika Kuantum Mekanika kuantum sangat berguna untuk menjelaskan perilaku atom dan partikel subatomikseperti proton, neutron dan elektron yang tidak mematuhi hukum-hukum fisika klasik. Atom biasanya digambarkan sebagai sebuah sistem di mana elektron (yang bermuatan listrik negatif) beredar seputar nukleus atom(yang bermuatan listrik positif). Menurut mekanika kuantum, ketika sebuah elektron berpindah dari tingkat energi yang lebih tinggi (misalnya dari n=2 atau kulit atom ke-2 ) ke tingkat energi yang lebih rendah (misalnya n=1 atau kulit


9

atom tingkat ke-1), energi berupa sebuah partikel cahaya yang disebut foton, dilepaskan. Energi yang dilepaskan dapat dirumuskan sbb: E= hf

(2.1)

keterangan:E adalah energi (J), hadalah tetapan Planck (Js) dan fadalah frekuensi dari cahaya (Hz). Dalam spektrometer massa, telah dibuktikan bahwa garis-garis spektrum dari atom yang di-ionisasi tidak kontinu, hanya pada frekuensi/panjang gelombang tertentu garis-garis spektrum dapat dilihat. Ini adalah salah satu bukti dari teori mekanika kuantum.

2.2. Persamaan Schrodinger 2.2.1. Perumusan Persamaan Schrodinger Bila keadaan awal sebuah partikel dalam suatu lingkungan klasik (tidak relativistik dan tidak kuantum) diketahui, maka dengan menggunakan hukum Newton, perilaku selanjutnya dapat diramalkan dengan kepastian mutlak berdasarkan hukum Newton, lalu pemecahannya diselesaikan secara matematik. Dalam kasus fisika kuantum Takrelativistik, persamaan utama yang harus di pecahkan adalah suatu persamaan diferensial orde dua, yang dikenal sebagai Persamaan Schrodinger. Seperti halnya dengan hukum Newton, kita juga mencari pemecahannya bagi suatu gaya tertentu. Berbeda dari hukum Newton, pemecahan persamaan Schrodinger, yang disebut fungsi gelombang, memberikan informasi tentang perilaku gelombang dari partikel. Jadi dapat kita ikhtisarkan, bahwa dalam kasus mekanika klasik, persoalan yang kita hadapi dicirikan oleh hadirnya gaya tertentu F. dengan menuliskan hukum Newton bagi gaya tersebut, kita pecahkan permasalahan matematikanya untuk memperoleh kedudukan dan kecepatan partikelnya. Dalam kasus elektromagnet, kita berhadapan dengan persoalan yang dicirikan oleh sekumpulan muatan dan arus; disini kita menuliskan persamaan Maxwell dan memecahkan persoalan matematiknya untuk memperoleh medan elektrik dan medan magnet. Dalam kasus fisika kuantum, persoalannya dicirikan oleh fungsi potensial tertentu; kita tinggal menuliskan persamaan Schrodinger bagi potensial tersebut dan mencari pemecahannya.Tentu saja, dalam masing masing kasus ini, pemecahannya hanya berlaku bagi suatu keadaan (situasi) tertentu saja; untuk


10

situasi yang lain, perlu dicari lagi pemecahan baru bagi persamaan yang berkaitan dengan situasi tersebut. 2.2.2. Pembenaran Persamaan Schrodinger Baik hukum Newton, persamaan Maxwell maupun persamaan Schrodinger tidak dapat diturunkan dari seperangkat azas dasar, namum pemecahan yang diperoleh darinya ternyata sesuai dengan pengamatan percobaan.Persamaan Schrodinger hanya dapat dipecahkan secara eksak untuk beberapa potensial sederhana tertentu; yang paling sederhana adalah potensial konstan dan potensial Osilator Harmonik. Kedua kasus sederhana ini memang tidak Fisis, dalam artian bahwa pemecahannya tidak dapat di periksa kebenarannya dengan percobaan atau tidak ada contoh di alam yang berkaitan dengan gerak sebuah partikel yang terkungkung dalam sebuah kotak satu dimensi, ataupun sebuah Osilator Harmonik Mekanika kuantum Ideal, meskipun kasus seperti ini seringkali merupakan hampiran yang cukup baik bagi situasi fisis yang sebenarnya. Namun demikian, berbagai kasus sederhana ini cukup bermanfaat dalam memberikan gambaran tentang tekhnik umum pemecahan persamaan Schrodinger. Persamaan Schrödinger merupakan fungsi gelombang yang digunakan untuk memberikan informasi tentang perilaku gelombang dari partikel. Suatu persamaan differensial akan menghasilkan pemecahan yang sesuai dengan fisika kuantum, walaupun dihalangi oleh tidak adanya hasil percobaan yang dapat digunakan sebagai bahan perbandingan. Untuk menghasilkan persamaan Schrödinger, maka harus memenuhi 3 kriteria, sebagai berikut : a. Taat asas dengan kekekalan energi Hukum kekekalan energi adalah jumlah energi kinetik ditambah energi potensial bersifat kekal, artinya tidak bergantung pada waktu maupun posisi.Persamaan Schrödinger harus konsisten dengan hukum kekekalan energi. Secara matematis, hukum kekekalan energi dapat diungkapkan dengan rumusan: K + V = Etot

(2.2)

Suku pertama ruas kiri menyatakan energi kinetik, suku kedua menyatakan energi potensial, dan ruas kanan menyatakan suatu tetapan yang biasanya disebut sebagai energi total.Dimana energi kinetik digunakan bukanlah dalam bentuk: 1

K= 2 mv2

(2.3)


11

b. Linear dan bernilai tunggal Persamaannya haruslah “Berperilaku Baik” dalam pengertian matematikanya. Pemecahannya harus memberi informasi tentang probabilitas untuk menemukan partikelnya, walaupun ditemukan probabilitas berubah secara kontinu dan partikelnya menghilang secara tiba-tiba dari satu titik dan muncul kembali pada titik lainnya, namun fungsinya haruslah bernilai tunggal, artinya tidak boleh ada dua probabilitas untuk menemukan partikel di satu titik yang sama. Ia harus linear agar gelombangnya memiliki sifat superposisi yang diharapkan sebagai milik gelombang yang berperilaku baik. c.

Pemecahan partikel bebas sesuai dengan gelombang de Broglie tunggal.

Tahun 1924 de Broglie menyatakan bahwa materi mempunyai sifat gelombang disamping sifat partikel.Bentuk persamaan diferensial apapun, haruslah taat azas terhadap hipotesis de Broglie. Untuk menyelesaikan persamaan matematik bagi sebuah partikel dengan momentum (p), maka pemecahannya harus berbentuk fungsi gelombang dengan panjang gelombang λ yang sama dengan h / p. Sesuai dengan persamaan: λ=h/p

(2.4)

Maka energi kinetik dari gelombang de Broglie partikel bebas haruslah: K = p2 / 2m = ħ2 k2 / 2m

(2.5)

Bentuk persamaan harus taat azas dengan kekekalan energi seperti yang dijelaskan diatas ( V + K = E ), Kmuncul dalam pangkat satu danK = p2 / 2m = ħ2 k2 / 2m, sehinggga satu-satunya cara untuk memperoleh suku yang mengandung k2adalah dengan mengambil turunan kedua dari ψ (x) = A sin kxterhadap x (Kenneth,1992).

2.2.3. Probabilitas Fungsi gelombang ψ(x)menyatakan suatu gelombang yang memiliki panjang gelombang dan bergerak dengan kecepatan fase yang jelas.Masalah yang muncul ketika hendak menafsirkan amplitudonya adalah apakah yang dinyatakan oleh amplitudo ψ(x) dan variabel fisika apakah yang bergetar?Ini merupakan suatu jenis gelombang yang berbeda, yang nilai mutlaknya memberikan probabilitas untuk menemukan partikelnya pada suatu titik tertentu. Dimana |ψ(x)|2


12

dxmemberikan probabilitas untuk menemukan partikel dalam selang dxdi x. Rapat probabilitas P(x)terhadap ψ(x)menurut persamaan Schrödinger sebagai berikut: P(x)dx=|ψ(x)|2 dx (2.6)

2.2.4. Penerapan Persamaan Schrödinger Persamaan Schrödinger dapat diterapkan dalam berbagai persoalan fisika.Dimana pemecahan persamaan Schrödinger yang disebut fungsi gelombang, memberikan informasi tentang perilaku gelombang dari partikel. 2.2.4.a. Pada partikel Bebas Yang dimaksud dengan “Partikel Bebas” adalah sebuah partikel yang bergerak tanpa dipengaruhi gaya apapun dalam suatu bagian ruang, yaitu, F = - dV(x) / dx = 0 sehingga menempuh lintasan lurus dengan kelajuan konstan. Dalam hal ini, bebas memilih tetapan potensial sama dengan nol. Partikel bebas dalam mekanika klasik bergerak dengan momentum konstan P, yang mengakibatkan energi totalnya jadi konstan.Tetapi partikel bebas dalam mekanika kuantum dapat dipecahkan dengan persamaan Schrödinger tidak bergantung waktu. 2.2.4.b.Pada partikel dalam kotak Untuk meninjau sebuah partikel yang bergerak bebas dalam sebuah kotak dalam dimensi yang panjangnya L, dimana partikelnya benar-benar terperangkap dalam kotak. Potensial ini dapat dinyatakan: V(x) = 0,0 ≤ x ≤ L

dan

V(x) = ∞, x< 0, x > L

Gambar.2.1.Sumur Potensial yang bersesuaian dengan sebuak kotak yang dindingnya keras tak berhingga.


13

Kita dapat memberi spesifikasi pada gerak partikel dengan mengatakan bahwa gerak itu terbatas pada gerak sepanjang sumbu-x antara x = 0dan x = Ldisebabkan oleh dinding keras tak berhingga. Misalnya, sebuah manik-manik yang meluncur tanpa gesekan sepanjang kawat yang ditegangkan antara dua dinding tegar dan bertumbukan secara eksak dengan kedua dinding.

Sebuah

partikel tidak akan kehilangan Energinya jika bertumbukan dengan dinding, energi totalnya tetap konstan. Dari perbandingan Mekanika Kuantum,energi potensial V dari partikel itu menjadi tak hingga di kedua sisi kotak, sedangkan V konstan di dalam kotak, dapat dikatakan V = 0 seperti yang terlihat pada gambar (2.1) di atas. Karena partikel tidak bisa memiliki Energi tak hingga, maka partikel tidak mungkin ditemukan di luar kotak, sehingga fungsi gelombang ψ = 0untuk 0 ≤ x ≤ L.

2.3. Osilator Harmonik 2.3.1. Gerak Harmonik Sederhana Gerak harmonik terjadi jika suatu sistem jenis tertentu bergetar disekitar konfigurasi setimbangnya. Sistemnya biasanya terdiri dari benda yang digantung pada pegas atau terapung pada zat cair , molekul dwiatom, sebuah atom dalam kisi kristal dan terdapat banyak sekali contoh dalam dunia mikroskopik dan juga makroskopik. Persyaratan supaya gerak harmonik terjadi adalah terdapatnya gaya pemulih yang bereaksi untuk mengembalikan ke konfigurasi setimbangnya jika sistem itu digangagu; kelembaman massa yang bersangkutan menyebabkan benda melampaui kedudukan setimbangnya, sehingga system itu berosilasi terus menerus jika tidak terdapat proses disipatif. Dalam kasus khusus gerak harmonik sederhana, gaya pemulih F pada partikel bermassa m adalah linear; ini berarti F berbanding lurus pada pergeseran partikel x dari kedudukan setimbangnya dan arahnya berlawanan. Gerakannya diatur oleh hukum Hooke: F = -kx = m.d2x/dt2

(2.7)

Dengan mengabaikan gaya friksi, maka persamaan (2.7) memiliki solusi umum: X(t) = A Sin (𝜔𝜔𝜔𝜔) + B Cos (𝜔𝜔𝜔𝜔) Dimana: 𝜔𝜔 ≡

𝑘𝑘

𝑚𝑚

(2.8)

adalah frekuensi osilator harmonik.


14

Gambar 2.2 merupakan gaya pemulih yang bekerja pada suatu benda yang dihubungkan dengan pegas sebanding dengan simpangannya dari kedudukan setimbang, x=0. (a) ketika x=0, pegas bebas (gaya pemulihannya=0), (b) ketika x positif, pegas ditarik (gaya pemulihan keatas) (c) ketika x negatif, pegas tertekan (gaya pemulihan kebawah)

2.3.2. Fungsi Energi Potensial untuk Hukum Hooke Pentingnya osilator harmonik sederhana dalam fisika klasik dan modern tidak terletak pada persyaratan ketat bahwa gaya pemulih yang sebenarnya memenuhi hukum Hooke yang jarang dijumpai, tetapi pada kenyataannya bahwa gaya pemulihnya tereduksi agar memenuhi hukum Hooke untuk pergeseran yang kecil. Sebagai hasilnya, setiap sistem yang melakukan getaran kecil terhadap kedudukan setimbangnya berperilaku seperti osilator harmonik sederhana. Fungsi energi Potensial V(x) yang bersesuaian dengan hukum gaya Hooke dapat diperoleh dengan menghitung kerja yang diperlukan untuk membawa partikel dari x = 0 ke x = x terhadap gaya semacam itu. Hasilnya adalah: 1

V(x) = 2 kx2

(2.9)

Dan hasil ini di plot dalam gambar 2.3 kurva V(x) versus x merupakan parabola. Jika energi osilator adalah E, partikelnya bergerak bolak balik antara x = -A dan x 1

= +A, dengan E dan A berhubungan menurut persamaan E = 2 kA2.


15

Gambar 2.3 Energi Potensial sebuah osilator harmonik berbanding lurus dengan x2, dengan x menyatakan pergeseran dari kedudukan setimbang, Amplitude A dari gerak itu ditentukan oleh energy total E dari Osilator tersebut yang secara klasik dapat mengambil harga berapa saja.

2.3.3. Tingkat Energi Osilator Harmonik Tingkat energi osilator Harmonik yang memiliki frekuensi klasik v diberikan oleh rumus: 1

En = (n+2) hv dengan, n = 0, 1, 2, 3, . . .

(2.10)

Jadi energi sebuah osilator harmonik terkuantisasi dengan langkah hv. Kita lihat untuk n = 0, maka kita peroleh energi titik nol: 1

E0 = 2 hv

(2.11)

Yang menyatakan energi terendah yang dapat dimiliki oleh osilator tersebut. Harga ini disebut energi titik nol karena sebuah osilator harmonik dalam keadaan setimbang dengan sekelilingnya akan mendapati E = E0 dan bukan E = 0.


16

Gambar 2.4 Osilator Harmonik, dalam setiap kasus tingkat energi bervariasi yang bergantung pada bilangan kuantum n.

2.4. Aplikasi Osilator Harmonik Sederhana 4. Pegas Pegas adalah salah satu contoh benda elastis. Oleh karena sifat elastisnyaini, suatu pegas yang diberi gaya tekan atau gaya regang akan kembali kekeadaan setimbangnya mula-mula apabila gaya yang bekerja padanyadihilangkan. Gaya yang timbul pada pegas untuk mengembalikan posisinya ke keadaan setimbang disebut gaya pemulih pada pegas.Gaya pemulih pada pegas banyak dimanfaatkan dalam bidang teknikdan kehidupan sehari-hari, Misalnya: •

shockbreakerkendaraan.

Di dalam shockbreaker terdapat sebuah pegas yang berfungsi meredam getaran saat roda kendaraan melewati jalanan yang tidak rata.Dengan demikian, kendaraan dapat dikendarai dengan nyaman.


17

Gambar 2.5shockbreaker •

springbed.

Demikian juga dengan springbed, Pegas-pegas yang tersusun di dalam springbed akan memberikan kenyamanan saat Anda tidur di atasnya.

Gambar 2.6springbed

5. Pendulum Pendulum merupakan suatu partikelmassa yang tergantung pada suatu titik tetap pada seutas tali yang dapat berayun secara bebas dan periodik, dimana massatali dapat diabaikan dan tali tidak dapat bertambah panjang. Contoh aplikasi pendulum ini dalam kehidupan sehari hari adalah: •

Jam pendulum


18

Gambar 2.7 Jam Pendulum Pendulum yang terdapat padajam merupakan salah satu contoh gerak harmonik. Ayunanmatematis pendulum tersebutberfungsi untuk mengatur gerakjarum jam. •

Kereta mainan

Gambar 2.8memperlihatkan sebuah kereta mainan sedang bergerakmelingkar di jalurnya. Dalam hal ini, kereta mainantersebut bergerak melingkar beraturan dan bayangankereta mainan yang terbentuk akibat cahaya lampu yangdiarahkan padanya akan bergerak bolak-balik yang merupakan gerak harmonik sederhana.

a.

Metode Deret Pangkat Metode deret pangkat (power series method) merupakan suatu metode

umum untuk memecahkan persamaan diferensial linier, termasuk persamaan y”+p(x)y‘+q(x)y=0 dengan p(x) dan q(x) fungsi tehadap x; metode ini juga dapat


19

diterapkan pada persamaan tak-homogen dan persamaan yang berordo lebih tinggi. Metode ini menghasilkan solusi yang berbentuk deret pangkat, oleh karenanya metode ini dinamai dengan metode deret pangkat. Di dalam metode ini, diasumsikan solusi berbentuk deret pangkat ( dengan sembarang pusat x0, misal x0=0): m y = ∑∞ 𝑚𝑚 =0 𝑎𝑎𝑚𝑚 (x – x0)

(2.12)

m-1 y’ = ∑∞ 𝑚𝑚 =1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 (x – x0)

(2.13)

m-2 y’’ = ∑∞ 𝑚𝑚 =0 𝑚𝑚(𝑚𝑚 − 1)𝑎𝑎𝑚𝑚 (x – x0)

(2.14)

Jika p(x) dan q(x)analitik di x=x0 maka solusi akan berbentuk deret kuasa. Jika p(x) dan q(x) tidak analitik di x=x0 , biasanya dinamakan singular di x=x0. Jika kesingularannya tidak terlalu buruk sedemikian sehingga dapat dinyatakan dalam: y’’ +

𝑎𝑎 (𝑥𝑥)

𝑥𝑥− 𝑥𝑥 0

𝑏𝑏(𝑥𝑥)

y’ + (𝑥𝑥− 𝑥𝑥

2 0)

y=0

(2.15)

dengan a(x) dan b(x) analitik di x=x0, maka setidaknya ada satu solusi. Metode ini terangkum dalam Teorema Frobenius.Dalam persamaan diferensial ordo-2 ini, ada beberapa persamaan yang sering digunakan dan diterapkan pada bidang rekayasa dan fisika, sehingga diberi nama khusus ataupun lambang khusus. Misalnya, persamaan Legendredan polinom-polinom Legendre, persamaan hipergeometrik dan fungsi-fungsi hipergeometrik ataupun persamaan Bessel dan fungsi-fungsi Bessel.

b.

Polynomial Hermite

Persamaan diferensialHermiteinimunculpadasolusidaripersamaanSchrödingeruntukosilator harmonik.Persamaandiferensialnyadapat dituliskandalam bentuk: 𝑑𝑑 2 𝑓𝑓

𝑑𝑑𝑦𝑦 2

𝑑𝑑𝑑𝑑

– 2𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑 + (c – 1)f = 0

(2.16)

Dimana c = 2n+1

Maka kitadapat menulis ulangpersamaandiferensialmenjadi: 𝑑𝑑 2 𝑓𝑓

𝑑𝑑𝑦𝑦 2

𝑑𝑑𝑑𝑑

– 2𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑 + 2nf = 0

(2.17)


20

Solusidaripersamaan iniadalah polinomialdalam y, melalui metodederet pangkat diperolehrumusrekursiuntuk mendapatkan koefisiendaripolinomial. Untukmelakukan perhitungan, kita misalkanfungsi sebagai berikut: S(y,s) ≡ 𝑒𝑒 −𝑠𝑠

2 +2𝑠𝑠𝑠𝑠

(2.18)

Dari ekspansi eksponential, dalam sebuah deret Taylor kita dapat menuliskan persamaan diatas sebagai berikut: S(y,s) = ∑∞ 𝑚𝑚 =0

(−𝑠𝑠 2 +2𝑠𝑠𝑠𝑠 )𝑚𝑚 𝑚𝑚 !

(2.19)

c. MATLAB (Matrix Laboratory) MATLAB atau yang kita sebut dengan (Matrix Laboratory) yaitu sebuah program untuk menganalisis dan mengkomputasi data numerik, dan MATLAB juga merupakan suatu bahasa pemrograman matematika lanjutan, yang dibentuk dengan dasar pemikiran yang menggunakan sifat dan bentuk matriks.Matlab yang merupakan singkatan dari Matrix Laboratory, merupakan bahasa pemrograman yang dikembangkan oleh The Mathwork Inc. yang hadir dengan fungsi dan karakteristik yang berbeda dengan bahasa pemrograman lain yang sudah ada lebih dahulu seperti Delphi, Basic maupun C++. Pada awalnya program aplikasi MATLAB ini merupakan suatu interface untuk koleksi koleksi rutin numerik dari proyek LINPACK dan EISPACK, dan dikembangkan dengan menggunakan bahasa FORTRAN, namun sekarang ini MATLAB merupakan produk komersial dari perusahaan Mathworks, Inc. yang dalam perkembangan selanjutnya dikembangkan dengan menggunakan bahasa C++ dan assembler, (utamanya untuk fungsi-fungsi dasar MATLAB). MATLAB telah berkembang menjadi sebuah environment pemrograman yang canggih yang berisi fungsi-fungsi built-in untuk melakukan tugas pengolahan sinyal, aljabar linier, dan kalkulasi matematis lainnya.MATLAB juga menyediakan berbagai fungsi untuk menampilkan data, baik dalam bentuk dua dimensi maupun dalam bentuk tiga dimensi. MATLAB juga bersifat extensible, dalam arti bahwa seorang pengguna dapat menulis fungsi baru untuk menambahkan pada library, ketika fungsi-fungsi built-in yang tersedia tidak dapat melakukan tugas tertentu. Kemampuan pemrograman yang dibutuhkan tidak terlalu sulit bila kita telah memiliki


21

pengalaman dalam pemrograman bahasa lain seperti C, PASCAL, atau FORTRAN.MATLAB (Matrix Laboratory) yang juga merupakan bahasa pemrograman tingkat tinggi berbasis pada matriks, sering kita gunakan untuk teknik komputasi numerik, yang kita gunakan untuk menyelesaikan masalahmasalah yang melibatkan operasi matematika elemen, matrik, optimasi, aproksimasi dll. Sehingga Matlab banyak digunakan pada : •

Matematika dan komputansi,

•

Pengembangan dan algoritma,

•

Pemrograman modeling, simulasi, dan pembuatan prototipe,

•

Analisa data , eksplorasi dan visualisasi,

•

Analisis numerik dan statistik,

•

Pengembangan aplikasi teknik,

Matlab juga merupakan bahasa pemrograman computer berbasis window dengan orientasi dasarnya adalah matrik, namun pada program ini tidak menutup kemungkinan untuk pengerjaan permasalahan non matrik. Selain itu matlab juga merupakan bahasa pemrograman yang berbasis pada obyek (OOP), namun disisi lain karena matlab bukanlah type compiler, maka program yang dihasilkan pada matlab tidak dapat berdiri sendiri.Namun agar hasil program dapat berdiri sendiri maka harus dilakukan transfer pada bahasa pemrograman yang lain, misalnya C++. Pada matlab terdapat tiga windows yang digunakan dalam operasinya yaitu: •

Command windows (layar perintah)

•

Figure windows (layar gambar),

•

Note Pad (sebagai editor program). (sumber; http://www.mathworks.com)

d.

Osilator Anharmonik

Sebuah osilator harmonik mematuhi Hukum Hooke dan merupakan ekspresi ideal yang mengasumsikan bahwa sistem pengungsi dari keseimbangan merespon dengan gaya pemulih yang besarnya sebanding dengan perpindahan. Di alam, situasi ideal memiliki kendala dan gagal untuk menggambarkan persamaan linear gerak. Osilator yang tidak berosilasi dalam gerak harmonis sederhana dikenal


22

sebagai OsilasiAnharmonik. Osilasi Anharmonik digambarkan sebagai gaya pemulih yang tidak lagi sebanding dengan perpindahan. Osilator

Anharmonik

dapat

diperkirakan

solusinya

melalui

pendekatanpada solusi osilator harmonik,tetapi jika ketidakharmonisannya sangat besar, maka tehknik numerik lain harus digunakan. Ketidakharmonisan dapat dihitung dengan menggunakan teori gangguan. Dua bentuk non-linear digunakan untuk menggambarkan situasi dunia nyata adalah sebagai berikut: 1. Ketidakharmonisan Elastis 2. Ketidakharmonisan Redamam Dalam sistem osilator dengan frekuensi alami,

hasil ketidakharmonisan di

osilasi mendapat tambahan frekuensi

. Ketidakharmonisan juga

memodifikasi profil dari kurva resonansi, yang menyebabkan fenomena yang menarik dapat terjadi seperti “efek foldover” dan “resonansi superharmonik”.

Gambar

2.9HClMolekulsebagai

osilatoranharmonikbergetar

padatingkat

energiE3.D0adalahdisosiasienergidi sini, panjang ikatanr0, Uenergi potensial. Energidinyatakan dalambilangan gelombang. Molekul hidrogenkloridamelekat padasistem koordinatuntuk menunjukkanperubahanpanjang ikatanpada kurva.


23

Pada Osilator Anharmonik, Pendekatan dari energi potensial pada parabola tidak bisa dibenarkanpada semua ekstensi, karena tidak mengizinkan disosiasi ikatan. Pada Eksitasi getaran tinggi (yaitu daerah daerah dengannilainilaibilangan kuantum νyang tinggi), pendekatan parabola sangat kecil. Gerak pada posisi seperti itu digambarkan sebagai Anharmonik, sebagai gaya pemulihan yang tidak lagi sebanding dengan kuadrat dari perpindahan dari posisi kesetimbangannya.Salah satu cara untuk mengakomodasi masalah ini adalah dengan menggunakan metode yang lebih daripada parabola, atau sebuah fungsi yang lebih mirip bentuk sebenarnya dari energi potensial . Salah satu fungsi yang umum digunakan adalah potensi Morse: (µ𝜔𝜔 2 )

V = hc De (1- e-a(R-Re))2 dimana a = �(2ℎ𝑐𝑐𝐷𝐷

(2.20)

𝑒𝑒 )

Ing at ω = ( k / μ ) ½ ). R adalah panjang ikatan dan Re adalah panjang ikatan pada kesetimbangan . De adalah kedalaman minimum dalam kurva:

Gambar 2.10merupakan kurva Tingkat energi vibrasi dengan diberi label nilai bilangan kuantum ν. Energi ikatan disosiasi Do, termasuk untuk perbandingan dengan De.

Mendekati nilai minimum potensinya, kurva memang diperkiraan menyerupai

bentuk

parabola,

tapi

tidak

parabola.Kurva

Morse

tidak

memungkinkan untuk pemisahan di Eksitasi yang cukup tinggi. Ini berarti bahwa


24

jumlah tingkat getaran osilator Morse terbatas (adanilai νmax diluar energi dari osilator yang tidak terhitung tetapi kontinu). Hal ini dimungkinkan untuk menyelesaikan persamaan Schrodinger dimana kurva Morse digunakan untuk perubahan tingkat energi potensial sebagai berikut: 1

𝑎𝑎 2 ħ

1

𝐷𝐷

G(v) = (v + 2) D – (v + 2) xe D dimana xe = µ𝜔𝜔 = 4𝐷𝐷𝐷𝐷

(2.21)

Dengan kuantitas xe dikenal sebagai konstanta ketidakharmonisan. Untuk osilator Morse, dengan bilangan gelombang transisi Δν = 1 diberikan oleh: ∆G = v-2(v + 1)xe D

(2.22)

Transisi tersebut dikenal sebagai nada, dan muncul karena aturan seleksi diturunkan dengan asumsi bahwa itu adalah osilator harmonik. Jika itu tidak berperilaku secara harmonis sempurna, maka aturan seleksi tidak harus dipenuhi. untuk Osilator Anharmonik, transisi dengan setiap nilai Δν dapat diamati meskipunsangat lemah.Cara lain untuk memecahkan masalah Ketidakharmonisan yang lebih sering digunakan dalam praktek daripada osilator Morse, adalah menulis tingkat energi yang diijinkan sebagai rangkaian istilah: 1

1

1

G(v) = (v + 2 ) D - (v + 2 )2 xe D - (v + 2 )3 ye D + …..

(2.23)

di mana xe, ye, dll adalah konstanta empiris yang memberikan kesesuaian yang terbaik dengan data eksperimen. Sebuah versi umum dari osilator harmonik adalah hubungan antara gaya dan perpindahan yang nonlinear. Osilator Harmonik adalah sistem yang sangat ideal yang berosilasi dengan frekuensi tunggal, terlepas dari jumlah energi yang disuntikkan ke dalam sistem. Akibatnya, frekuensi dasar osilator harmonik getaran adalah bebas dari amplitudo getaran. Aplikasi dari model osilator harmonik berlimpah di berbagai bidang, tapi mungkin sistem yang paling umum dipelajari adalah hukum sistem massa-pegas Hooke. Dalamhukum sistem Hooke gaya pemulih yang bekerja pada massa sebanding dengan perpindahan massa dari posisi keseimbangannya. Hubungan ini linear antara gaya dan perpindahan yang menyatakan bahwa frekuensi osilasi dari massa akan terlepas dari amplitudo perpindahan. Ada banyak sistem di seluruh dunia fisika yang dapat dimodelkan sebagai osilator anharmonik selain dari sistem massa-pegas nonlinier. Sebagai


25

contoh, sebuah atom yang terdiri dari inti bermuatan positif dikelilingi oleh awan elektronik bermuatan negatif, mengalami perpindahan antara pusat massa dari inti dengan awan elektronik ketika medan listrik hadir. Jumlah perpindahan itudisebut momen dipol listrik, terkait linear dengan bidang kecilyang diterapkan pada medan magnet, tetapi seiring meningkatnya medan magnet, hubungan bidang momen dipol menjadi nonlinier, seperti dalam sistem mekanis. Contoh lebih lanjut dari osilator anharmonikadalah pendulum dengan sudut

besar,

yang

menunjukkan

keadaan

acak

sebagai

akibat

dari

ketidakharmonikannya; semikonduktor non-equilibrium yang memiliki populasi pembawa panas yang besar, yang menunjukkan perilaku nonlinier berbagai jenis terkait dengan massa efektif dari operator dan plasma ionosfer yang juga menunjukkan perilaku nonlinier berdasarkan ketidakharmonisan plasma. Bahkan, hampir semua Osilator menjadi Anharmonik ketika amplitudonya meningkat melampaui ambang batas tertentu, dan sebagai hasilnya perlu menggunakan persamaan nonlinear gerak untuk menggambarkan perilaku mereka. Contoh lainnya; Atom dalam molekul bergetar kuat melewati posisi keseimbangan mereka. Ketika getaran ini memiliki amplitudo kecil mereka dapat dijelaskan oleh osilator harmonik. Namun, ketika getaranamplitudonya besar, misalnya pada suhu yang tinggi, ketidakharmonisan menjadi penting. Contoh efek ketidakharmonisan adalah ekspansi termal dari padatan, yang biasanya dipelajari dalam pendekatan quasi-harmonik, dan dinamika sistem triple pendulum juga merupakan contoh Osilator Anharmonik. Pendulum juga banyak digunakan untuk berbagai aplikasi, seperti: perusahaan konstruksi yang menggunakan bola perusak besar dalam gerakan seperti pendulum ketika menghancurkan bangunan dan beberapa penghipnotis menggunakan sebuah jam saku gantung yang juga bergerak mengikuti gerakan pendulum untuk menghipnotis objek. Pada keadaan seperti inilah osilator Anharmonik diperlukan untuk menjelaskan peristiwa fisika tersebut.

(McCrummen,2015)


BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

Recommend Documents