BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Heteroskedastis Masalah serius lainnya yang mungkin kita hadapi dalam analisis regresi adalah heteroskedastis.Ini timbul pada saat bahwa varians dari faktor konstan untuk semua nilai dari variabel bebas yang tidak terpenuhi. Heteroskedastis adalah keadaan dimana faktor gangguan tidak memiliki varian yang sama. Heteroskedastis merupakan suatu fenomena dimana estimator regresi bias, namun tidak efisien,sebagai contoh yang berhubungan dengan pengeluaran dari keluarga yang berpendapatan rendah biasanya lebih kecil dibandingkan dari keluarga yang berpendapatan tinggi karena kebanyakan pengeluaran keluarga yang berpendapatan rendah biasanya merupakan barang kebutuhan pokok,dengan kemungkinan yang terbatas untuk kehendak lainnya.Maka jika data tentang pengeluaran keluarga digunakan sebagai variabel penjelas,analisis regresi akan cenderung memiliki masalah heteroskedastis. Gangguan heteroskedastis ini membawa kita pada hasil uji statistik yang tidak tepat serta interval keyakinan untuk estimasi parameter yang kurang tepat pula. Uji heteroskedastis bertujuan untuk menguji apakah dalam model regresi terjadi ketidaksamaan varian dari residual satu pengamatan ke pengamatan lain. Jika varian residual satu pengamatan ke pengamatan lain tetap, maka disebut homoskedastis, dan jika berbeda disebut heteroskedastis. Keadaan heteroskedastis tersebut dapat terjadi karena beberapa sebab, antara lain: 1. Data dari satu variabel atau lebih mengandung nilai dengan jarak (range) yang lebar antara data paling kecil dengan data paling besar. 2. Perbedaan laju pertumbuhan antara variabel dependen dan independen signifikan pada periode pengamatan untuk data deret waktu. 5 Universitas Sumatera Utara
6 3. Dalam data sendiri terdapat heteroskedastis. Model heteroskedastis yang memperhitungkan perubahan tersebut dapat membuat penggunaan dan estimasi data menjadi lebih efisien. Beberapa asumsi/ contoh dalam model regresi yang terkait dengan heteroskedastis antara lain, misalnya: 1. Kesalahan orang yang baru belajar mengetik. Semakin dia berlatih, kesalahan yang dilakukan semakin sedikit. 2. Meningkatnya pendapatan, maka tabungan secara rata-rata juga meningkat. Artinya keluarga yang berpendapatan tinggi secara rata-rata menabung lebih banyak daripada keluarga berpendapatan rendah,tetapi variabilitas dalam tabungannya juga besar. Konsekuensi heteroskedastis adalah: 1. Koefisien tetap tidak bias namun nilai koefisien berfluktuasi tajam jika model diperbaharui dengan menambah data atau sampel yang berbeda. 2. Estimasi menjadi tidak akurat. Makridakis et.al (1992), mengatakan ada beberapa cara untuk mendeteksi ada atau tidaknya heteroskedastis, yaitu metode informal dan metode formal. Metode informal biasanya dilakukan dengan melihat grafik dari nilai prediksi variabel independen dengan residualnya. Variabel dinyatakan tidak terjadi heteroskedastis jika terdapat pola yang jelas dan titik-titik menyebar disekitar angka nol pada sumbu y, dan metode formal untuk mendeteksi keberadaan heteroskedastis antara lain dengan : Uji Park, Uji Glijser, Uji White dan uji Goldfold-Quandt. Data cross section(data panel) sering memunculkan varians error yang heteroskedastis, akan tetapi bukan berarti data deret waktu terhindar dari permasalahan ini, misalnya : indeks harga saham, inflasi, nilai tukar,atau suku bunga, sering
Universitas Sumatera Utara
7 kali mempunyai varians error yang tidak konstan. Sekalipun keberadaan heteroskedastis masih memberikan pendugaan yang tidak bias dan konsisten, pendugaan tersebut sudah tidak efisien yaitu varians dari estimator tidak minimum. Akibatnya pada uji t, interval kepercayaan dan berbagai ukuran lainnya menjadi tidak tepat. Salah satu cara untuk mengakomodasi heteroskedastis adalah dengan melakukan pemodelan varians yang dapat melakukan estimasi dengan tepat. Ini berarti penyimpangan antara varians aktual dengan varians ramalan tidak jauh berbeda. Berbagai model parametrik telah banyak dibuktikan pada dekade terakhir ini, untuk lebih jelas lihat, Brockwell dan Davis (1996), Shumway dan Stofler (2001) dan Tong (1990). Estimasi parameter untuk model linier telah banyak dikaji, sementara untuk model tak linier masih sedikit karena kompleksitasnya/ kerumitannya. Penelitian pada umunya dilakukan untuk kasus tertentu saja,misalnya :Estimasi parameter model ARCH (Autoregresive Conditional Heteroscedasticity) dan GARCH (Generalized Autoregresive Conditional Heteroscedasticity) yang masingmasing diperkenalkan oleh Engle (1982) dan Bollerslev (1986). Bahwa dalam model ARCH (Q), perubahan varians dipengaruhi oleh sejumlah Q data acak sebelumnya. Model GARCH merupakan penyempurnaan dari model ARCH, yaitu sebuah konsep tentang ketidakkonstanan varians dari data acak, dan perubahan varians ini dipengaruhi oleh data acak sebelumnya yang tersusun dalam urutan waktu. Model GARCH cukup baik untuk memodelkan data yang berubah variansnya, namun tidak untuk data yang benar-benar acak. Beberapa tulisan yang relevan antara lain : Giraitis dan Robinson (2001) yang mengajukan Estimasi parameter Wittle (∼). Pada tahun 2003, Chatterjee dan Das mengkaji Estimator yang diperoleh dengan meminimumkan fungsi tertentu pada model ARCH, sedangkan Peng dan Yao (2003) memperkenalkan Estimator LeastAbsolut pada model ARCH, kemudian Berkes dan Horvath (2004) yang mengkaji Estimator Likelihood pada model ARCH.
Universitas Sumatera Utara
8 Pendekatan stokastik pada analisis estimasi heteroskedastis tak linier model deret waktu dilakukan dengan menggunakan model-model statistik untuk menjelaskan perilaku dinamis, dari suatu model deret waktu. Hal ini mengasumsikan bahwa suatu deret waktu dibangkitkan dari suatu mekanisme atau model stokastik yang didefenisikan dengan suatu persamaan : Xi = m (ρ; Zi − 1) + σ(θ; Zi − 1)ε i, i ∈ Z
(2.1.1)
Dimana (Xi )i∈ adalah titik stasioner dan titik ergodik; (Zi = Xi , . . . , Xi−q+1 ; Xi−q )i∈Z adalah barisan dimensi −q dengan q bilangan bulat positif tak hingga ; (∈i )i∈Z adalah variabel acak dengan variansi satu sedemikian sehingga ∈i independen pada σ(Zj , j < i); parameter vektor kolomnya Ψ = (ρ, θ)0 merupakan anggota ˜ ⊂ RI xRJ untuk I, J bilangan bulat positif dan fungsi m (ρ; z) dan dari Ψ = Θ xΘ σ(θ; z) mempunyai bentuk yang diketahui.
2.2 Asumsi Umum Transpose dari suatu vektor atau matriks fungsi dari H(x) dinotasikan dengan H(x). Misalkan r adalah fungsi riil untuk I atau j diberikan untuk fungsi F (α; z) yang terdefenisi pada himpunan tak kosong dan fungsi Rr × Rq dan fungsi K(Ψ; z) yang terdefenisi pada himpunan bagian tak kosong dari RI × RJ × Rq , maka didapat : 0 2 ∂F (α;z) ∂F (α;z) ∂ F (α;z) 2 , ... ∂αr , ∂ F (α; z) = ∂αi∂αj : 1 6 i, j 6 r), ∂F (α; z) = ∂αr ∂ρ K(ψ; z) =
2 ∂pθ K(ψ; z) = 2 ∂θρ K(ψ; z) =
∂K(ψ;z , ... ∂K(ψ;z ∂ρ1 ∂ρ1
∂ρ22 K(ψ; z) =
∂θ22 K(ψ; z) =
∂ 2 K(ψ;z) ∂ρi ∂θj ∂ 2 K(ψ;z) ∂θj ∂ρi ∂ 2 K(ψ;z) ∂ρi ∂pj ∂ 2 K(ψ;z) ∂θi ∂θj
0
∂θ K(ψ; z) =
: 1 6 i 6 I, 1 6 j 6 J
∂K(ψ;z) , ... ∂K(ψ;z) ∂θ1 ∂θJ
0
: 1 6 i 6 I, 1 6 i 6 I , : 1 6 i, j 6 I , : 1 6 i, j 6 J ,
Untuk vektor atau fungsi matriks H(x) dinotasikan dengan ∂ 0H(x) adalah trans-
Universitas Sumatera Utara
9 pose dari ∂H(x) dimana ∂K(ψ; z) = (∂p0 K(ψ; z); ∂θ0 K(ψ; z))0 maka didefenisikan :
∂ 2K(ψ; z) =
2 K(ψ; z) ∂ 2K(ψ 0; z) ∂pθ 2 K(ψ; z) ∂0ρ
∂θ22 K(ψ; z)
Untuk fungsi h yang riil, h(p) adalah turunan pertama orde p, dengan h(0) = h kV k ε adalah Eucliden dari vektor V dan kMk M = maxi,j |Mij | dari matriks kuadrat : M = (Mij ) Selanjutnya diasumsikan bahwa vektor parameter Ψ0 = (ρ0 , Θ0) dari (2.1) sedemi˜ di mana int(Θ) dan int(Θ) ˜ menokian sehingga ρ0 ∈ int(Θ) dan Θ0 ∈ int(Θ), ˜ andaikan juga bahwa tasikan masing-masing interior tak-kosong dari Θ dan Θ. semua variabel acak dalam tulisan ini didefinisikan atas ruang probabilitas yang sama (Ω, W, P ), di mana Ω adalah suatu himpunan, W adalah suatu field-σ dari Ω dan P adalah ukuran probabilitas W . Dengan asumsi-asumsi berikut: (A1) Momen orde empat dari himpunan berhingga εi (A2) Fungsi m(ρ; z) dan σ(Θ; z) terdiferensialkan dua kali secara kontinu masing˜ dan terdapat suatu masing terhadap ρ ∈ int(Θ) dan terhadap Θ ∈ int(Θ), fungsi positip α(z) sedemikian sehingga E[α4 (Z0 )] < ∞ dan max sup |m(ρ; z)|, sup ||ˆ cm(ρ; z)||ε , sup ||∂ 2m(ρ; z)||M, ρ∈Θ
ρ∈Θ
ρ∈Θ 2
sup |σ(θ; z)|, sup ||∂σ(θ; z)||ε, sup ||∂ σ(θ; z)||M ρ∈Θ
ρ∈Θ
6 α(z)
ρ∈Θ
(A3) Terdapat suatu fungsi positip β(z) sedemikian sehingga E [β 4(Z0 )] < ∞ dan ˜ untuk semua ρ1, ρ2 ∈ Θ dan Θ1 , Θ2 ∈ Θ, max{|m (ρ1 ; z) − m (ρ2 ; z)| , k∂m (ρ1; z) − ∂m (ρ2 ; z)ke , k∂ 2m (ρ1 ; z) − − ∂ 2m (ρ2 ; z)kM , |σ (θ1; z) − σ (θ2 ; z)| , k∂σ (θ1; z) − − ∂σ (θ2; z)kε , k∂ 2σ (θ1 ; z) − − ∂ 2σ (θ2 ; z)kM } 6 β(z) min {kρ1 − ρ2 kε , kθ1 − θ2kε } Asumsi (A1) setidaknya dipenuhi oleh εi Gauss dan Student. (lihat, misalnya, Ngatchou dan Wandji (2005))
Universitas Sumatera Utara
