BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
2.1
Masalah Transportasi
Jong Jek Siang (2011) menjelaskan bahwa masalah transportasi merupakan masalah yang sering dihadapi dalam pendistribusian barang. Misalkan ada m buah gudang (sumber) yang masing-masing memiliki a1 , a2 ,..., am buah barang yang sama. Barang-barang tersebut hendak dikirimkan ke n buah toko (tujuan) yang b1 , b2 ,..., bn
masing-masing
membutuhkan
a1 a2
b1 b2 ... bn . Biasanya karena letak geografis atau jarak yang
... a m
buah
barang.
Diasumsikan
berbeda, maka biaaya pengiriman dari suatu sumber ke suatu tujuan tidaklah sama. Misalkan, c ij adalah biaya pengiriman sebuah barang dari sumber a i ke tujuan b j . Masalahnya adalah bagaimana pendistribusian barang dari sumber sehingga semua kebutuhan terpenuhi tetapi dengan biaya seminimum mungkin.
Tabel 2.1. Tabel Persediaan dan Permintaan pada Transportasi
Tujuan Sumber 1
1
2
...
j
Persediaan
C11
C12
...
C1j
A1
2
C21
C22
...
C2j
A2
. . . i
. . . Ci1
. . . Ci2
. . . ...
. . . Cij
. . . Ai
Permintaan
B1
B2
...
Bj
Universitas Sumatera Utara
Masalah transportasi dapat dinyatakan dalam program bilangan bulat sebagai berikut: m
n
cij xij
Minimumkan Z
(2.1)
i 1 j 1
kendala n
xij
ai
i 1,2,...,m
(2.2)
cij
bj
j 1,2,...,n
(2.3)
0
(2.4)
j 1
m i 1
xij
Dimana: x ij = jumlah barang dari sumber i ke tujuan j c ij = biaya pengiriman dari sumber i ke tujuan j
a i = persediaan di sumber i b j = permintaan di tujuan j
i
= sumber ke i
j
= tujuan ke j
Jong Jek Siang juga memberikan algoritma penyelesaian masalah transportasi sebagai berikut: 1. Tentukan penyelesaian feasibel awal 2. Uji, apakah penyelesaian yang didapatkan pada langkah (1) sudah optimal. 3. Jika belum optimal, tingkatkan keoptimalan penyelesaian. 4. Ulangi langkah (1) - (3) hingga didapatkan penyelesaian optimal.
Penyelesaian feasibel awal digunakan untuk menentukan penyelesaian awal dalam masalah transportasi. Ada beberapa metode yang biasa digunakan, antara lain metode Northwest Corner, metode Vogel’s Approximation (VAM) dan metode Biaya Terkecil.
Universitas Sumatera Utara
2.2
Masalah Transhipment
Masalah transhipment adalah masalah transportasi kehidupan nyata yang cukup banyak digunakan untuk distribusi perencanaan massal. Dalam masalah transhipment, pengiriman dari sumber ke sumber lain, pengiriman dari tujuan untuk tujuan lain dan pengiriman dari tujuan ke sumber manapun, mungkin diperbolehkan. Karena keuntungan ini, biaya total transportasi dalam masalah transhipment menjadi kurang dari biaya total transportasi klasik (P. Rajendran dan P. Pandian, 2012). Masalah transhipment diperkenalkan sebagai pengembangan dasar masalah transportasi oleh A. Orden (1956). Masalah transhipment kemudian dipelajari sebagai model matriks pengurangan oleh D. Rhody (1963). Judge et all.(1965) mempelajari masalah transhipment sebagai model umum pemrograman linear. Jenis masalah transhipment dibahas oleh G. King dan S. Logan (1964) tanpa perlu pengurangan variabel buatan yang dipelajari oleh V. Hurt and T. Tramel (1965). Sebuah metode baru telah dikembangkan untuk memecahkan masalah transportasi yang melibatkan parameter tetap dan tidak tepat oleh Pandian dan Natarajan (2010). Dua metode baru diusulkan oleh Kumar et al. (2011) untuk mencari solusi optimal fuzzy dari masalah transportasi fuzzy dengan beberapa transhipment tambahan. Gani et al. (2011) dan Kumar et al. (2011) telah memperoleh solusi optimal untuk masalah fully fuzzy transhipment.
Sumber
Transshipment Nodes
Tujuan
3
6
4
7
5
8
1
2
Gambar 2.1 Contoh Gambar Sumber, Transshipment Nodes, dan Tujuan
Universitas Sumatera Utara
Pada gambar diatas, titik 1 dan titik 2 merupakan sumber; titik 3, 4, dan 5 merupakan titik transshipment dan titik 6, 7, dan 8 merupakan titik tujuan. Dapat dilihat bahwa titik transshipment dapat bertindak sebagai sumber maupun tujuan. Titik 3, 4, dan 5 merupakan titik tujuan untuk titik 1 dan 2. Akan tetapi untuk titik 6, 7, dan 8 titik 3, 4, dan 5 akan bertindak sebagai sumber. Adapun model matematika dari masalah transhipment adalah sebagai berikut: m nm n
cij xij
Minimumkan Z
(2.5)
i 1 j 1
kendala m n
m n
xij j 1
x ji
ai i 1,2,...,m
(2.6)
x ji
bj
(2.7)
i 1
m n
m n
xij i 1
j
m 1, m 2,...,m n
i 1
i, j 1,2,...,m n xij
0,
j
i
(2.8) (2.9)
Dimana: x ij = jumlah barang dari sumber i ke tujuan j c ij = biaya pengiriman dari sumber i ke tujuan j
a i = persediaan di sumber i b j = permintaan di tujuan j
m
= jumlah sumber
n
= jumlah titik perantara ( transshipment nodes)
i
= sumber ke i
j
= tujuan ke j Jong Jek Siang (2011) menjelaskan bahwa masalah transhipment adalah
perluasan dari masalah transportasi. Dalam masalah transportasi, barang dikirimkan langsung dari sumber ke tujuan untuk meminimumkan total biaya
Universitas Sumatera Utara
pengiriman. Dalam transhipment, pengiriman tidak harus dilakukan secara langsung, tetapi boleh dilewatkan ke satu/ beberapa tempat perantara. Seperti masalah transportasi, tujuan transhipment adalah mengatur pengiriman total agar biaya seminimum mungkin. Penyelesaian dilakukan dengan mengubah masalah transhipment menjadi masalah transportasi dan kemudian menyelesaikannya
dengan
algoritma
transportasi.
Transformasi
masalah
transhipment ke masalah transportasi meliputi beberapa bagian, antara lain: 1.
Menyeimbangkan tabel. Teliti apakah jumlah persediaan barang (node bertanda +) sama dengan jumlah permintaan (node bertanda -). Jika belum sama
maka
tabel
harus
diseimbangkan
dengan
menambahkan
sumber/tujuan semu (dummy). 2.
Tentukan titik yang merupakan titik sumber, titik tujuan, dan titik perantara. Titik sumber adalah titik yang hanya bisa mengirimkan barang dan tidak bisa menerima barang. Sebaliknya, titik tujuan adalah titik yang hanya bisa menerima barang dan tidak bisa mengirimkan barang. Titik perantara adalah titik yang bisa mengirimkan sekaligus menerima barang. Sumber dalam masalah transportasi yang sesuai adalah gabungan dari sumber tujuan dan titik perantara, sedangkan tujuan merupakan gabungan dari tujuan dan titik perantara dalam masalah transhipment.
3.
Tentukan jumlah persediaan dan permintaan tiap titik. Misalkan dalam masalah transhipment mula-mula, titik-i dan D j adalah permintaan titik-j. Dan T
adalah persediaan i
Si
j
D j . Maka
dalam masalah transportasi, titik sumber memiliki persediaan sebesar Si
S i dan titik tujuan memiliki kebutuhan sebesar D j
perantara memiliki persediaan sebesar Pi
Si T
D j . Titik
(atau permintaan
sebesar D j T ). 4.
Tentukan biaya pengiriman dari S i ke D j . Syaripuddin (2012) menjelaskan bahwa masalah transshipment adalah
kasus khusus dari masalah transportasi yang merupakan bagian dari ilmu Operation Research. Sedangkan masalah transportasi adalah suatu metode yang
Universitas Sumatera Utara
digunakan untuk mengatur distribusi dari sumber-sumber yang menyediakan produk yang sama atau sejenis ke tempat tujuan secara optimal. Distribusi dilakukan sedemikian hingga permintaan dari beberapa tempat tujuan dapat dipenuhi dari beberapa tempat asal yang masing-masing dapat memiliki permintaan dan kapasitas yang berbeda. Masalah transshipment yang merupakan bentuk khusus dari masalah transportasi menpunyai ciri bahwa adalah cara pengiriman barang dari tempat permintaan tidak dapat dilakukan secara langsung. Barang yang diangkut harus mengalami dua atau lebih cara pengangkutan. Misalnya seorang penjual eceran tidak dapat memperoleh barang langsung dari pabrik tetapi harus melalui agen daerah, bahkan seorang agen daerah harus mendapatkan barang dari agen pusat. Jadi proses pengangkutan barang dari tempat produksi ke tempat permintaan harus melalui semacam agen terlebih dahulu. Dalam maslah transshipment setiap sumber maupun tujuan dipandang sebagai titik potensial bagi demand maupun supply. Oleh karena itu untuk menjamin bahwa tiap titik potensial tersebut mampu menampung total barang di samping jumlah barang yang ada di titik tersebut maka perlu ditambahkan kepada titik-titik itu kuantitas supply dan demand nya masing-masing sebesar B. m
B i 1
2.3
n
ai
bj j 1
Metode Northwest Corner (Metode Barat Laut)
Sesuai namanya, metode barat laut mengisi tabel awal transportasi dari sisi barat laut (kiri atas) dengan kuantitas sebanyak mungkin. Pengisian dilakukan terus menerus hingga semua sumber dihabiskan. Menurut Ramlan (2013) langkahlangkah untuk menentukan penyelesaian awal dengan metode ini adalah sebagai berikut: 1.
Alokasikan nilai sebesar mungkin pada sel x11 dengan memperhatikan persediaan dan permintaan. Yaitu, x11 = min s1 , d1
Universitas Sumatera Utara
2.
Alokasikan nilai sebesar mungkin pada sel yang bersebelahan dengan sel
x11 . Jika s1 3.
d1 , maka x11
x12
s1 dan jika s1
d1 , maka x11
x21
d1
Ulangi langkah b sampai semua permintaan terpenuhi.
Dimana :
x11
= jumlah alokasi yang dikirimkan dari sumber ke-1 ke tujuan ke-1
s1
= persediaan pada sumber ke-1
d1
= permintaan pada tujuan ke-1
2.4
Metode Biaya Terkecil
Menurut Jong Jek Siang (2011), prinsip dasar penyelesaian awal dengan metode biaya terkecil tidak jauh berbeda dengan metode barat laut. Hanya saja pengisian tidak dilakukan dari sisi barat laut, tetapi dari sel yang biaya pengirimannya terkecil. Pada sel tersebut diisi barang sebanyak mungkin. Jika ada beberapa sel yang biaya terkecilnya sama, maka dipilih sembarang. Metode biaya terendah selalu memulai penyelesaian awal dari biaya yang terkecil tanpa memperhitungkan efeknya terhadap keseluruhan proses. Meskipun selalu dimulai dari sel yang biayanya terkecil, namun metode biaya terkecil belum tentu menghasilkan penyelesaian optimal. Secara logis, hasil yang diperoleh dengan metode biaya terkecil akan lebih baik dibandingkan dengan metode barat laut karena pengisian dengan metode barat laut tidak mempertimbangkan biaya pengiriman pada sel yang bersangkutan. Akibatnya, total biaya pengiriman akan cenderung tidak optimal .
Adapun langkah-langkah penyelesaian masalah transportasi dengan metode ini adalah sebagai berikut: 1.
Alokasikan nilai sebesar mungkin pada sel yang mempunyai biaya terkecil.
2.
Hilangkan baris atau kolom sel tersebut jika telah terpenuhi.
3.
Ulangi langkah 1-2 hingga semua permintaan terpenuhi.
Universitas Sumatera Utara
2.5
Metode Vogel’s Approximation (VAM)
Pendekatan metode Vogel’s Approsimation (VAM) adalah prosedur berulang untuk menghitung solusi dasar yang layak dari sebuah masalah transportasi. Metode ini lebih baik daripada dua lainnya metode yaitu metode Northwest Corner (NWC) dan metode Biaya Terkecil, karena solusi yang layak dasar yang diperoleh dengan metode ini lebih dekat ke solusi optimal (Kanti Das, 2014). VAM tidak sesederhana pendekatan Northwest Corner, tetapi pendekatan ini memfasilitasi solusi awal yang sangat baik, salah satu solusi yang paling sering optimal. Metode pendekatan VAM menangani masalah menemukan solusi awal yang baik dengan memperhatikan biaya yang berkaitan dengan setiap rute alternatif. Ini adalah sesuatu yang tidak dapat dilakukan oleh metode Northwest Corner. Untuk menerapkan VAM tersebut, para peneliti pertama menghitung penalti untuk setiap baris dan kolom jika kita harus mengirimkan barang melalui rute kedua terbaik bukan rute yang paling murah (Hakim, 2012). VAM adalah heuristik dan biasanya memberikan solusi awal yang lebih baik daripada metode yang lain. Aplikasi VAM dalam suatu masalah tidak menjamin akan menghasilkan solusi optimal. Namun, solusi yang sangat baik akan selalu diperoleh
dengan sedikit usaha. Bahkan, VAM umumnya
menghasilkan solusi optimal atau mendekati optimal dalam penyelesaian awal untuk masalah transportasi berukuran kecil. VAM didasarkan pada konsep biaya penalti. Sebuah biaya penalti adalah selisih antara biaya sel terkecil dan terkecil berikutnya dalam baris atau kolom. VAM mengalokasikan sebanyak mungkin ke sel biaya minimum dalam baris atau kolom dengan biaya penalti terbesar (Korukoglu and Balli, in press). Langkah-langkah penyelesaian masalah transportasi dengan metode VAM menurut Subagyo, dkk.(2013) adalah sebagai berikut: 1.
Susunlah kebutuhan, kapasitas masing-masing sumber, dan biaya pengangkutan ke dalam tabel.
2.
Carilah perbedaan/selisih dari dua biaya terkecil (dalam nilai absolut), yaitu biaya terkecil dan terkecil kedua untuk tiap baris dan kolom pada tabel C ij .
Universitas Sumatera Utara
3.
Pilihlah 1 (satu) nilai selisih-selisih yang terbesar diantara semua nilai selisih pada baris dan kolom.
4.
Isilah pada salah satu segi empat yang termasuk dalam baris atau kolom terpilih, yaitu pada segi empat yang biayanya terendah diantara segi empat lain pada baris atau kolom itu. Isianya sebanyak mungkin yang bisa dilakukan.
5.
Hilangkan baris atau kolom yang telah terisi karena baris tersebut sudah diisi sepenuhnya (kapasitas penuh) sehingga tidak mungkin diisi lagi. Kemudian perhatikan baris dan kolom yang belum terisi/teralokasi.
6.
Tentukan kembali selisih biaya pada langkah ke-2 untuk kolom dan baris yang belum terisi. Ulangi langkah (3) dampai langkah (5), sampai semua baris dan kolom sepenuhnya teralokasi.
2.6
Metode Modified Distribution (MODI)
Metode MODI merupakan perkembangan dari metode Stepping Stone, karena penentuan segi empat kosong yang bisa menghemat biaya dilakukan dengan prosedur yang lebih pasti dan tepat serta metode ini dapat mencapai hasil optimal lebih cepat. Cara untuk memilihnya digunakan persamaan Ri
Kj
Cij . Ri
adalah nilai baris i , K j nilai kolom j , dan C ij adalah biaya pengangkutan 1 satuan barang dari sumber i ke tujuan j (Subagyo, dkk. 2013).
Adapun langkah-langkah menghitung pengoptimalan menurut Subagyo adalah sebagai berikut: 1.
Isi tabel pertama (tabel penyelesaian awal) dari sudut kiri atas ke kanan bawah.
2.
Menentukan nilai baris dan kolom. Nilai baris dan kolom ditentukan berdasarkan persamaan di atas ( Ri
Kj
Cij ). Baris pertama selalu diberi
nilai 0, dan nilai baris-baris yang lain dan nilai kolom ditentukan berdasarkan hasil-hasil hitungan yang telah diperoleh. Bila nilai suatu baris sudah diperoleh, maka nilai kolom yang dihubungkan dengan segi empat batu dapat dicari dengan rumus Ri
Kj
Cij .
Universitas Sumatera Utara
3.
Menghitung indeks perbaikan. Indeks perbaikan adalah nilai dari segi empat air (segi empat yang kosong). Mencarinya dengan rumus: Cij
4.
Ri
Kj
indeks perbaikan.
Memilih titik tolak perubahan. Segi empat yang mempunyai indeks perbaikan negatif berarti bila diberi aloksi (diisi) akan dapat mengurangi jumlah biaya pengangkutan. Bila nilainya positif berarti pengisian akan menyebabkan kenaikan biaya pengangkutan. Segi empat yang merupakan titik tolak perubahan adalah segi empat yang indeksnya “bertanda negatif”, dan “angkanya terbesar”.
5.
Memperbaiki alokasi. Berila tanda positif pada segi empat yang terpilih. Pilihlah 1 (satu) segi empat terdekat yang berisi dan sebaris dengan yang terpilih tersebut, 1 (satu) segi empat yang berisi terdekat dan sekolom. Berilah tanda negatif pada 2 (dua) segi empat ini. Kemudian pilihlah 1 (satu) segi empat yang sebaris atau sekolom dengan 2 (dua) segi empat yang bertanda negatif tadi, dan berilah segi empat ini tanda positif. Selanjutnya pindahkanlah alokasi dari segi empat yang bertanda negatif ke yang bertanda positif sebanyak isi terkecil dari segi empat yang bertanda negatif.
6.
Ulangi langkah-langkah tersebut di atas, mulai langkah ke-2 sampai diperoleh biaya terendah. Bila masih ada indeks perbaikan yang bernilai negatif berarti alokasi tersebut masih dapat diubah untuk mengurangi biaya pengangkutan. Bila sudah tidak ada indeks yang bernilai negatif berarti sudah optimal.
2.7
Degenerasi
Dalam menghitung nilai setiap baris dan kolom ada kondisi dimana tidak semua nilai baris dan kolom tersebut dapat diperoleh. Hal ini terjadi karena adanya degenerasi. Degenarasi terjadi jika banyaknya segi empat (sel) terisi kurang dari
m n 1 ( m merupakan jumlah baris dan n merupakan banyaknya kolom). Untuk mengatasi degenerasi, dapat dilakukan penambahan sel terisi dengan cara memasukkan nilai 0 (sebanyak yang dibutuhkan) ke dalam sel sehingga jumlah sel terisi sama dengan m n 1.
Universitas Sumatera Utara
