BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
Pada bab ini akan dibahas tinjauan pustaka yang akan digunakan untuk tesis ini, yang selanjutnya akan di perlukan pada Bab 3. Tinjauan pustaka yang dibahas adalah mengenai yang mendukung pembentukan model dan analisis sistem diagram model epidemi SIRS dengan time delay. Selanjutnya dibahas mengenai sistem persamaan diferensial autonomous, sistem persamaan diferensial, titik kesetimbangan dan kestabilan, nilai eigen dan vektor eigen, bilangan reproduksi dasar, model epidemi. 2.1 Sistem Persamaan Diferensial Autonomous (Boyce dan Diprima, 2001), Misalkan suatu persamaan diferensial autonomous dinyatakan sebagai berikut m ˙ = Y (x).
(2.1)
Dengan Y adalah fungsi kontinu bernilai real dari x dan mempunyai turunan parsial kontinu. Pada persamaan (2.1) disebut persamaan diferensial autonomous karena tidak mendatangkan t di dalam. Apabila sistem (2.1) dapat ditulis dalam bentuk x˙ 1 = a11x1 + a12x2 + . . . + a1n xn , x˙ 2 = a21x1 + a22x2 + . . . + a2n xn , .. .,
(2.2)
x˙ n = an1 x1 + an2 x2 + . . . + ann xn , Dengan aij adalah bilangan riil maka sistem (2.1) merupakan sistem persamaan diferensial autonomous linear. Jika sistem (2.1) tidak dapat dibuat seperti bentuk linear pada (2.2), maka sistem (2.2) merupakan sistem persamaan diferensial autonomous nonlinear. Menurut (Finizio dan Ladas, 1982), semua sistem autonomous mempunyai solusi eksak namum tidak semua solusi eksak dari sistem autonomous dapat ditentukan penyelesaian. Karena itu diperlukan adanya informasi lain atau cara lain untuk mengamati perilaku sistem. Perilaku sistem 6
Universitas Sumatera Utara
7 dapat diamati pada titik-titik dimana sistem berada pada keadaan setimbang. titik tersebut selanjutnya disebut sebagai sistem kesetimbangan. 2.2 Sistem Persamaan Diferensial Persamaan diferensial adalah persamaan matematika untuk fungsi satu variabel atau lebih yang menghubungkan fungsi itu sendiri dan turunannya dalam berbagai orde. Selain itu persamaan diferensial juga didefinisikan sebagai persamaan yang memuat satu atau beberapa turunan fungsi yang tidak diketahui (Waluya, 2006). Jenis-jenis persamaan diferensial dapat dibedakan menjadi dua jenis yaitu persamaan diferensial biasa dan diferensial parsial.
1. Suatu persamaan diferensial disebut persamaan diferensial biasa jika semua turunannya berkaitan dengan satu peubah saja. Contoh :
dx dt
= 5x + ty
2. Suatu persamaan diferensial disebut persamaan diferensial parsial jika turunannya berkaitan dengan dua atau lebih peubah. Contoh :
d2 v dx2
+
d2 v dy2
=
2 dv c2 dt
Sedangkan persamaan diferensial dilihat dari bentuk fungsi atau pangkatnya juga dibedakan menjadi dua yaitu persamaan diferensial linear dan persamaan diferensial nonlinear.
1. Persamaan diferensial linear adalah jika memenuhi dua hal yaitu variabelvariabel terikat dan turunannya paling tinggi berpangkat satu dan tidak mengandung bentuk perkalian antara sebuah variabel terikat dengan variabel terikat lainnya atau turunan yang satu dengan turunan lainnya atau variabel terikat dengan sebuah turunan. 2. Persamaan diferensial nonlinear adalah persamaan diferensial yang bukan merupakan persamaan diferensial linear.
Universitas Sumatera Utara
8 Pada istilah dengan linear berkaitan dengan kenyataan bahwa tiap suku dalam persamaan diferensial itu, peubah-peubah y,y 1,. . .,y m berderajat satu atau nol. Bentuk umum dari persamaan diferensial linear orde-n adalah : an (x) y n + an−1 (x) y n−1 + a1 (x) y 1 + a0 (x) y = f (x) Pada persamaan diferensial F (x, y 1,. . .,y m) = 0 adalah merupakan persamaan diferensial nonlinear, jika salah satu dari berikut di penuhi F : 1. F tidak berbentuk polinom, dalam y,y 1,. . .,y m . 2. F tidak berbentuk polinom berpangkat lebih dari dua dalam y,y 1,. . .,y m. Contoh : yy 1 + xy 10 = 0, Karena F (x, y, y 1, y 10) = yy 1 + xy 10 polinom berpangkat dua dalam y,y 1,y 10 (Waluya, 2006).
2.3 Titik Kesetimbangan dan Kestabilan Dengan menggunakan titik kesetimbangan maka suatu sistem dapat lebih memudahkan untuk mengamati perilaku kestabilannya. Berikut ini adalah definisi titik kesetimbangan (Haberman, 1987). Definisi 1 T itik kesetimbangan adalah sebuah keadaan dari suatu sistem yang tidak berubah terhadap waktu. J ika sistem dinamika dituangkan dalam bentuk persamaan dif erensial maka titik kesetimbangan dapat diperoleh dengan cara mengambil turunan pertama yang sama dengan nol. Suatu titik m ˆ ∈ Rn disebut titik kesetimbangan dari sistem persamaan m ˙ = F(x), x ∈ Rn jika memenuhi persamaan f(m∗) = 0, dimana f1 (m1, m2, . . . , mn ) f2 (m1, m2, . . . , mn ) f(x) = .. . fn (m1, m2, . . . , mn )
Dalam sistem epidemologi dikenal titik kesetimbangan bebas penyakit dan titik kesetimbangan endemik. Titik kesetimbangan bebas penyakit adalah dimana sudah tidak ada lagi penyakit yang menyerang dalam populasi sedangkan titik Universitas Sumatera Utara
9 kesetimbangan endemik adalah dimana penyakit selalu menetap dalam populasi. Berikut ini adalah definisi kestabilan titik kesetimbangan menurut (Guckenheimer dan Holmes, 1983). Definisi 2 Kestabilan titik kesetimbangan dari sistem m ˙ = F x dan m0 adalah titik asal.
1. Kestabilan disebut stabil, jika untuk setiap λ > 0 terdapat ϕ(λ) > 0 sedemikian sehingga untuk setiap m0 ∈ Rn dengan km0 - m∗k < λ, solusi ρ(t,m0) dari x=F(x) ˙ yang melalui m0 di t = 0 memenuhi pertidaksamaan kρ(t,m0) - m∗ k < λ untuk setiap t ≥ 0. 2. Kestabilan disebut stabil asimtotik, jika m∗ stabil dan terdapat b > 0, sedemikian hingga kρ(t,m0) - m∗k → 0 saat t → ∞ untuk semua m0 yang memenuhi km0 - m∗ k < b. 3. Kestabilan disebut tidak stabil, jika terdapat suatu ` > 0 sedemikian sehingga untuk sebarang λ > 0 terdapat sebuah m0 dengan km0 - m∗k < λ dan t0 > 0 sedemikian hingga kρ(t0 ,m0) - m∗k > `. Pada definisi 2, dapat ditarik kesimpulanya bahwa sistem m=F ˙ (x) disebut stabil pada titik kesetimbangan kestabilan jika pada kondisi awal (m0) berada di sekitar kestabilan sejauh λ, dengan λ adalah bilangan positif terkecil maka sifat solusi sistem ρ(t,m0) berada di sekitar kesetimbangan kestabilan. Jika kondisi awal berada sangat dekat dengan kestabilan dan solusi sistem cenderung mendekati titik kesetimbangan kestabilan, maka sistem disebut stabil asimtotik. Jika sifat solusi menjauh dari titik kesetimbangan kestabilan akibat perubahan kecil pada kondisi awal maka sistem disebut tidak stabil. Andaikan m(0)= m0 adalah kondidi awal, K adalah lingkungan dari kestabilan sejauh λ, sehingga K = {m : km − m∗k < λ}, K1 adalah lingkungan dari semua solusi yang mungkin K1 = {m : km − m∗k < ϕ(λ)}. Sehingga, sistem yang stabil dan stabil asimtotik dapat dijelaskan dengan gambar (2.1) dan (2.2) menurut (Guckenheimer dan Holmes, 1983).
Universitas Sumatera Utara
10
Gambar 2.1 Kestabilan dari titik kesetimbangan stabil
Gambar 2.2 Kestabilan dari titik kesetimbangan stabil asimtotik Untuk menganalisa kestabilan titik kesetimbangan di sekitar titik tersebut maka sistem persamaan nonlinier (2.1) harus dilinierkan terlebih dahulu dengan maksud menaksir perilaku sistem (2.1) di sekitar titik kesetimbangan. Solusi pada sistem periodik misalkan x = Υ (s) adalah solusi untuk persamaan m ˙ = F(s,x),x ∈ N ⊂ Rn dan misalkan terdapat bilangan positif terkecil S sedemikian sehingga Υ(s + S)=Υ(s) disebut periodik dari persamaan m ˙ = F(s,x) dengan periodenya S. Jika b∗ stabil asimtotik global maka solusi disekitar b∗ cenderung menuju ke b∗. Akan tetapi jika terdapat solusi periodik pada sistem solusi yang berada di luar solusi periodik tidak cenderung menuju b∗ karena dibatasi oleh solusi periodik dari sistem. Sehingga memberikan kesimpulan bahwa b∗ bersifat stabil asimtotik namun tidak secara global. Misalkan sistem persamaan (2.1) didefinisikan di R3 sehingga m ˙ = F(x), dx dengan x ∈ R3, t ∈ R, m ˙ = , F:D ⊂ R3 → R3 dan memiliki titik kesetimbangan dt b∗ yang stabil asimtotik lokal.
Universitas Sumatera Utara
11 2.4 Linierisasi Sistem Linierisasi sistem ini digunakan untuk mendukung dari penelitian ini. (Wiggin, 1990), Misalkan m∗ adalah titik kesetimbangan dari sistem persamaan (2.1) yaitu Y (x) yang memiliki ekspansi deret taylor di titik m∗ yang secara matematika dapat ditulis F (x) = F (x∗) +
∂F ∗ (x )(x − x∗) + o(k x − x∗ k2) ∂x
(2.3)
Karena m∗ adalah titik kesetimbangan, sehingga Y (x∗ ) = 0. Sehingga untuk melinierkan sistem persamaan (2.1), suku pada (2.4) yang mempunyai orde lebih besar dari satu dapat diabaikan. Sehingga pada persamaan (2.4) dapat ditulis F (x) =
∂F ∗ (x )(x − x∗) ∂x
(2.4)
Pada persamaan (2.1) dan (2.5) menghasilkan m∗ =
∂F ∗ (x )(x − x∗) ∂x
Misalkan b = x - m∗, dan Z =
∂F ∗ (x ), sehingga ∂x
∂F1 (x∗) ∂X1
... ∂F ∗ . .. .. (x ) = . ∂x ∂Fn ∗ (x ) . . . ∂X1 =
(2.5)
∂F1 (x∗ ) ∂Xn
.. . ∂Fn ∗ (x ) ∂Xn
x11 . . . x1n ! .. . . . . .. . xn1 . . . xnn
Pada persamaan (2.6) dapat ditulis y˙ = Zy,
(2.6)
Dengan matriks Z disebut dengan matriks jacobian dari sistem persamaan (2.1) pada titik m∗. Kemudian pada bagian ruas kanan pada persamaan (2.7) disebut bagian linier dari fungsi nonlinier F (x) di titik m∗. Sehingga kestabilitan titik kesetimbangan dapat dilihat pada bagian liniernya.
Universitas Sumatera Utara
12 Kestabilan titik kesetimbangan dari persamaan (2.7) dapat dianalisis dengan menggunakan nilai-nilai eigen dari matriks Z yang merupakan solusi atau akarakar karakteristik dari persamaan det(λI − A) = 0. Pada persamaan karakteristik tersebut dapat kembali dituliskan dalam bentuk an λn + an−1 λn−1 + . . . + a1 λ + a0 = 0
Dengan an , an−1 , . . . , a1, a0 adalah konstanta dan akar-akar karakteristiknya adalah nilai eigen λ1 , λ2 , . . . , λn . Nilai-nilai eigen tersebut dapat digunakan untuk menentukan titik kesetimbangan lokal dari sistem persamaan (2.1) sesuai dengan teorema (2.1). Berikut ini adalah penjelasan mengenai teorema kestabilan titik kesetimbangan yang diambil dari (Finizio dan Ladas, 1982). Teorema 2.1 Jika matriks A pada sistem persamaan (2.1) adalah matriks koefisien dengan nilai eigen λ1 , λ2 , ..., λn, maka titik kesetimbangan m∗ , disebut 1. Stabil, jika (λ1 ) ≤ 0, ∀i = 1,2,3,. . . ,n 2. Stabil asimtotik, (λ1 ) < 0, ∀i = 1,2,3,. . . ,n 3. Tidak stabil, (λs ) > 0, untuk suatu s Pada teorema (2.1) dapat dipergunakan untuk menentukan kestabilan lokal suatu titik kesetimbangan. Titik kesetimbangan yang stabil atau stabil asimtotik hanya pada suatu daerah tertentu dalam lingkup solusi sistem dikatakan stabil lokal atau stabil asimtotik. Titik kesetimbangan dikatakan stabil global atau stabil asimtotik global jika titik kesetimbangan tersebut atau stabil asimtotik pada setiap lingkup solusi sistem. 2.5 Nilai Eigen dan Vektor Eigen Dalam hal ini, penulis menganggap bahwa R0 > 1. Dengan menggunakan time delay sebagai bifurkasi sebagai parameternya. Jika A adalah matriks n x n, maka vektor taknol x didalam Rn dinamakan vektor eigen dari A jika Ax adalah kelipatan skalar dari x yaitu, Ax = λx
(2.7) Universitas Sumatera Utara
13 Untuk suatu skalar λ. Skalar λ dinamakan nilai eigen dari A dan x dikatakan vektor eigen yang bersesuaian dengan λ. Sedangkan untuk mencari nilai eigen dari matriks A yang berukuran n x n dapat dilakukan dengan cara menuliskan kembali persamaan (2.5) menjadi sebagai berikut Ax = λIx (λI − A)x = (A − λI)x = 0
(2.8)
Supaya λ menjadi nilai eigen, maka harus ada penyelesaian taknol dari persamaan ini. Sehingga persamaan (2.6) akan mempunyai penyelesaian tak nol jika dan hanya jika det(λI − A) = 0
(2.9)
Persamaan (2.7) dinamakan persamaan karakteristik A, dimana skalar yang memenuhi persamaan ini adalah nilai eigen dari A. Bila diperluas, maka determinan det(λI − A) adalah polinom λ yang dinamakan polinom karakteristik dari A (Anton, 1998). 2.6 Bilangan Reproduksi Dasar (R0 ) Untuk mengetahui tingkat penyebaran pada suatu penyakit diperlukan suatu parameter tertentu. Parameter yang biasa digunakan dalam masalah penyebaran penyakit adalah bilangan reproduksi dasar. Kemungkinan terjadinya infeksi pada suatu populasi tergantung pada bilangan reproduksi. Bilangan reproduksi dasar (R0 ) adalah potensi penularan penyakit pada populasi rentan merupakan rata-rata jumlah individu yang terinfeksi secara langsung oleh seseorang penderita selama masa penularanya bila termasuk dalam populasi yang seluruhnya masih rentan (Hethcote, 2000). Bilangan reproduksi dasar merupakan parameter yang penting dalam matematika epidemilogi yang merupakan ambang batas (threshold) terjadinya penyebaran penyakit. Bilangan ini diperoleh dengan cara menetukan nilai eigen matriks jacobian pada titik keseimbangan bebas penyakit (disease free equilibrium) dan titik keseimbangan endemik (endemic equilibrium).
Universitas Sumatera Utara
14 2.7 Model Epidemi Ilmu yang membahas mengenai penyebaran penyakit disebut epidemiologi. Epidemiologi adalah studi tentang faktor yang menentukan frekuensi dan distribusi penyakit pada populasi manusia (Lowe dan Kostrzewski, 1973). Epidemi adalah penyakit yang timbul sebagai kasus baru pada suatu populasi tertentu, dengan laju yang melampaui perkiraan. Suatu infeksi dikatakan sebagai endemik pada suatu populasi jika infeksi tersebut berlangsung di dalam populasi tersebut tanpa adanya pengaruh dari luar. Suatu infeksi penyakit dikatakan sebagai endemik bila setiap orang yang terinfeksi penyakit tersebut menularkannya kepada tepat satu orang lain. Model epidemi adalah merupakan suatu model matematika yang dapat digunakan untuk melihat laju penyebaran penyakit. Kondisi epidemi terjadi ketika ada salah satu individu rentan pada populasi tersebut, maka populasi tersebut memiliki peluang menjadi populasi rentan, dan kemungkinan besar infeksi tersebut akan mewabah pada populasi tersebut. Sehingga pada akhirnya seluruh individu dalam populasi berpeluang terinfeksi. (Kermack dan McKendrick, 1927), pada dasarnya model epidemi pada penyakit memiliki tiga kompartemen, yaitu susceptible, invected, recovered, yang didefinisikan :
1. Susceptible, yaitu individu yang sehat dapat terinfeksi. 2. Invected, yaitu individu yang terinfeksi memungkinkan untuk menularkan penyakit. 3. Recovered, yaitu seseorang yang memiliki kekebalan karena telah terinfeksi, dan dapat sembuh.
Sehingga, model epidemik suatu penyakit dapat dituliskan dalam bentuk : dS = a(S, I, R), dt dI = b(S, I, R), dt dR = c(S, I, R), dt
(2.10)
Universitas Sumatera Utara
15 Dengan S ∈ Rr , I ∈ Rs , R ∈ Rn ; r,s,n ≥ ; h(X,0,0) = 0. Dalam model epidemi misalkan S0 = (X ∗ ,0,0) ∈ Rr,s,n adalah titik kesetimbangan bebas penyakit dari sistem persamaan (2.10), yang didapatkan dari persamaan a(S ∗,0,0) = 0, b(I ∗,0,0) = 0, c(R∗ ,0,0) = 0. Kemudian diasumsikan persamaan b(S ∗,I,R) = 0 sehingga diperoleh solusi Y=n(S ˙ ∗,I). Oleh karena itu dapat diperoleh sebuah matriks n x n, |=
∂ h(S ∗ , n(S ˙ ∗, 0), 0). ∂S
Misalkan | dapat dituliskan dalam bentuk | = K − L, Dengan K ≥ 0, (dij ≥ 0) dan L ≥ 0 adalah matriks diagonal.
Universitas Sumatera Utara
