19
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Konsep Dasar Analisis Regresi Perubahan nilai suatu variabel dapat disebabkan karena adanya perubahan pada variabel-variabel lain yang mempengaruhinya.Misalnya pada seorang karyawan terhadap perubahan tingkat produktivitas karena adanya perubahan upah yang diterimanya. Dalam artian bahwa karyawan tersebut semakin produktif sebagai akibat adanya tambahan upah yang diterimanya. Dalam hal ini berarti bahwa perubahan produktivitas disebabkan oleh adanya perubahan upah. Dalam fenomena alam banyak sekali kejadian yang saling berkaitan sehingga perubahan pada variabel lain berakibat pada perubahan variabel yang lainnya. Teknik yang digunakan untuk menganalisis hal-hal semacam ini disebut dengan analisis regresi.
Analisis regresi (regression analysis) merupakan suatu teknik untuk membangun persamaan dan menggunakan persamaan tersebut untuk membuat perkiraan(prediction). Dengan demikian,analisis regresi sering disebut sebagai analisis prediksi. Karena merupakan prediksi, maka nilai prediksi tidak selalu tepat dengan nilai riilnya,semakin kecil tingkat penyimpangan antara nilai prediksi dengan nilai riilnya,maka semakin tepat persamaan regresi yang kita bentuk.
Sehingga dapat didefinisikan bahwa : analisa regresi adalah metode statistika yang digunakan untuk menentukan kemungkinan bentuk hubungan antara variabel-
Universitas Sumatera Utara
20
variabel, dengan tujuan pokok dalam penggunaan metode ini adalah untuk meramalkan atau memperkirakan nilai dari suatu variabel lain yang diketahui.
2.2 Persamaan Regresi
Persamaan Regresi (regression equation) adalah suatu persamaan matematis yang mendefinisikan hubungan antara dua variabel. Persamaan regresi yang digunakan untuk membuat taksiran mengenai variabel dependen disebut persamaan regresi estimasi, yaitu suatu formula matematis yang menunjukkan hubungan keterkaitan antara satu atau beberapa variabel yang nilainya sudah diketahui dengan satu variabel lain yang nilainya belum diketahui.
Sifat hubungan antarvariabel dalam persamaan regresi merupakan hubungan sebab akibat (causal relationship). Oleh karena itu, sebelum menggunakan persamaan regresi dalam menjelaskan hubungan antara dua atau lebih variabel,maka perlu diyakini terlebih dahulu bahwa secara teoritis atau perkiraan sebelumnya,dua atau lebih variabel tersebut memiliki hubungan sebab akibat. Variabel yang nilainya akan mempengaruhi nilai variabel lain disebut dengan variabel bebas(independent variabel),sedangkan variabel yang nilainya dipengaruhi oleh nilai variabel lain disebut variabel tergantung (dependent variabel).
2.2.1 Persamaan Regresi Linier Sederhana
Universitas Sumatera Utara
21
Regresi linier sederhana yaitu suatu prosedur untuk mendapatkan hubungan matematis dalam bentuk persamaan antara variabel bebas tunggal dengan variabel tak bebas tunggal. Regresi linier sederhana hanya memiliki satu peubah bebas X yang dihubungkan dengan satu peubah tak bebas Y.
Bentuk umum dari persamaan regresi linier untuk populasi adalah sebagai berikut : µy,x = β0 + β1X Dengan β0 dan β1 merupakan parameter-parameter yang ada dalam regresi itu. Jika β0, β1 ditaksir oleh b0 dan b1,maka bentuk regresi linier sederhana untuk sampel adalah sebagai berikut : Ŷ = b0 + b1X
2.2.2 Persamaan Regresi Linier Berganda
Banyak persoalan penelitian/pengamatan yang terjadi sebagai akibat lebih dari dua variabel, atau dengan kata lain memerlukan lebih dari satu peubah bebas dalam membentuk model regresi. Sebagai salah satu contoh,IPK (Indeks Prestasi Kumulatif) seorang mahasiswa (Y) bergantung pada jumlah jam belajar (X1),banyaknya buku yang dibaca (X2),jumlah uang (X3) dan banyak faktor lainnya. Untuk memberikan gambaran tentang suatu permasalahan/persoalan,biasanya sangat sulit ditentukan sehingga diperlukan suatu model yang dapat memprediksi dan meramalkan respon yang penting terhadap persoalan tersebut,yaitu regresi linier berganda.
Bentuk umum model regresi linier berganda untuk populasi adalah : µy,x = β0 + β1X1 + β2X2 + … + βkXk
Universitas Sumatera Utara
22
Dimana β0, β1, β2,…, βk adalah koefisien atau parameter model.
Model regresi linier berganda untuk populasi di atas dapat ditaksir berdasarkan sebuah sampel acak yang berukuran n dengan model regresi linier berganda untuk sampel,yaitu :
Ŷ = b0 + b1X1 + b2X2 +…+ bkXk Dengan :
Ŷ
= nilai penduga bagi variabel Y
b0
= dugaan bagi parameter konstanta β0
b1,b2,…,bk
= dugaan bagi parameter konstanta β1, β2,…, βk
e
= galat dugaan (error)
Untuk mencari nilai b0, b1,b2,…,bk
diperlukan n buah pasang data
(X1,X2,….,Xk,Y) yang dapat disajikan dalam tabel berikut. Tabel 2.1 : Data Hasil Pengamatan dari n Responden (X1,X2,….,Xk,Y) Responden
X1
X2
……..
Xk
Y
1 2 . . . n
X11 X12 . . . X1n
X21 X22 . . . X2n
…….. …….. . . . ……...
Xk1 Xk2 . . . Xkn
Y1 Y2 . . . Yn
Universitas Sumatera Utara
23
Dari tabel 2.1 dapat dilihat bahwa Y1 berpasangan dengan X11,X21,….,Xk1, data Y2 berpasangan dengan X12,X22,….,Xk2 dan umumnya data Yn berpasangan dengan X1n,X2n,…,Xkn.
Persamaan regresi berganda dengan dua variabel bebas X1,X2 ditaksir oleh :
Ŷ = b0 + b1X1 + b2X2
Dan diperoleh tiga persamaan normal yaitu : ΣYi
= b0n
+ b1ΣX1i
+ b2ΣX2i
ΣYiΣ1i
= b0ΣX1i
+ b1ΣX1i2
+ b2ΣX1iX2i
ΣYiΣX2i
= b0ΣX2i
+ b1ΣX2iX1 + b2ΣX2i2
Sehingga dalam bentuk matriks dapat dituliskan :
=
Dalam penelitian ini,penulis menggunakan regresi linier berganda dengan 4 variabel, yaitu satu variabel tak bebas (dependent variable) dan tiga variabel bebas (independent variabel).
Untuk regresi linier berganda dengan tiga variabel X1,X2,X3 ditaksir oleh : Ŷ = b0 + b1X1 + b2X2 + b3X3 Untuk rumus di atas harus diselesaikan dengan empat persamaan normal yaitu :
Universitas Sumatera Utara
24
ΣYi
= b0n
+ b1ΣX1i
+ b2Σ2i + b3ΣX3i
ΣYiX1i
= b0ΣX1i + b1ΣX1i2
ΣYiX2i
= b0ΣX2i + b1ΣX2iX1i + b2ΣX2i2
ΣYiX3i
= b0ΣX3i + b1ΣX3iX1i + b2ΣX2iX3i + b3ΣX3i2
+ b2ΣX1iX2i + b3ΣX1iX3i + b3ΣX2iX3i
Sehingga dalam bentuk matriks dapat dituliskan :
=
Dengan :
Ŷ
= variabel terikat ( nilai duga Y )
X1,X2,X3
= variabel bebas
b0,b1,b2,dan b3 = koefisien regresi linier berganda b0
= nilai Y , apabila X1=X2=X3=0
b1
= besarnya kenaikan/penurunan Y dalam satuan,jika X1 naik/turun satu satuan dimana X2,X3 konstan.
b2
= besarnya kenaikan/penurunan Y dalam satuan,jika X2 naik/turun satu satuan dimana X1,X3 konstan.
b3
= kenaikan/penurunan Y dalam satuan,jika X3 naik/turun satu satuan dimana X1,X2 konstan.
= atau -
= tanda yang menunjukkan arah hubungan antara Y dengan variabel bebas X.
Harga-harga b0,b1,b2 dan b3 yang telah didapat kemudian disubstitusikan ke dalam persamaan sehingga diperoleh model regresi linier berganda Y atas X1,X2,X3.
Universitas Sumatera Utara
25
Dalam persamaan model regresi linier yang diperoleh,maka antara nilai Y dengan Ŷ akan menimbulkan perbedaan hasil yang sering disebut sebagai kekeliruan. Ukuran tersebut dapat dihitung oleh kekeliruan baku taksiran S2y.12…k , yang dapat ditentukan oleh rumus :
S2y.12…k = Dengan : Yi
= nilai data hasil pengamatan
Ŷ
=nilai hasil regresi
n
= ukuran sampel
k
= banyak variabel bebas
2.3 Uji Regresi Linier Berganda
Pengujian hipotesis bagi koefisien-koefisien regresi linier berganda dapat dilakukan secara serentak atau keseluruhan. Pengujian regresi linier perlu dilakukan untuk mengetahui apakah variabel-variabel bebas secara bersamaan memiliki pengaruh terhadap variabel tak bebas.
Langkah-langkah pengujiannya adalah sebagai berikut : 1) Menentukan formulasi hipotesis H0:b1=b2=b3=…=bk=0(X1,X2,…Xk tidak mempengaruhi Y) H1: minimal ada satu parameter koefisien regresi yang tidak sama dengan nol atau
mempengaruhi Y.
Universitas Sumatera Utara
26
2) Menentukan taraf nyata α dan nilai Ftabel dengan derajat kebebasan v1=k dan v2=n-k-1. 3) Menentukan kriteria pengujian H0 diterima bila Fhitung ≤ Ftabel H0 ditolak bila Fhitung > Ftabel 4) Menentukan nilai statistik F dengan rumus : F=
Dengan : JKreg
= jumlah kuadrat regresi
JKres
= jumlah kuadrat residu(sisa)
(n-k-1) = derajat kebebasan JKreg
=
+ …+
Dengan : x1i = X1ix2i = X2ixki = XkiJKres = 5) Membuat kesimpulan apakah H0 diterima atau ditolak.
2.4 Koefisien Determinasi
Koefisien determinasi yang dinyatakan dengan R2 untuk pengujian regresi linier berganda yang mencakup lebih dari dua variabel. Koefisien determinasi adalah untuk mengetahui proporsi keberagaman total dalam variabel tak bebas Y yang dapat
Universitas Sumatera Utara
27
dijelaskan atau diterangkan oleh variabel-variabel bebas X yang ada dalam model persamaan regresi linier berganda secara bersama-sama. Maka R2 akan ditentukan oleh rumus :
R2 = Dengan : JKreg = jumlah kuadrat regresi =
–
2.5 Koefisien Korelasi
Analisis korelasi adalah alat statistik yang dapat digunakan untuk mengetahui adanya derajat hubungan linear antara satu variabel dengan variabel yang lain. Hubungan antara satu variabel dengan variabel yang lainnya dapat merupakan hubungan yang kebetulan belaka,tetapi dapat juga merupakan hubungan sebab akibat.
Dua variabel dikatakan berkorelasi apabila perubahan pada satu variabel akan diikuti oleh perubahan variabel lain, baik dengan arah yang sama maupun dengan arah yang berlawanan. Hubungan antar variabel dapat dikelompokkan menjadi 3 jenis hubungan sebagai berikut : 1. Korelasi Positif Terjadinya korelasi positif apabila perubahan pada variabel yang satu diikuti dengan perubahan variabel yang lain dengan arah yang sama (berbanding lurus). Artinya,apabila variabel yang satu meningkat,maka akan diikuti dengan peningkatan variabel lain.
Universitas Sumatera Utara
28
2. Korelasi Negatif Korelasi negatif terjadi apabila perubahan pada variabel yang satu diikuti dengan perubahan variabel yang lain dengan arah yang berlawanan (berbanding terbalik ). Artinya apabila variabel yang satu meningkat, maka akan diikuti dengan penurunan pada variabel yang lain dan sebaliknya.
3. Korelasi nihil Korelasi nihil terjadi apabila perubahan pada variabel yang satu diikuti perubahan pada variabel yang lain dengan arah yang tidak teratur ( acak ), artinya apabila variabel yang satu meningkat , kadang diikuti dengan peningkatan pada variabel yang lain dan kadang diikuti dengan penurunan pada variabel yang lain
Besarnya hubungan antara variabel yang satu dengan variabel yang lain dinytakan dengan koefisien korelasi yang disimbolkan dengan “r”. Besarnya koefisien korelasi berkisar antara -1≤ r ≤ +1.
Untuk mencari korelasi antara variabel Y terhadap Xi atau ry.1,2,…,k dapat dicari dengan rumus: ry.1,2,…,k =
Sedangkan untuk mengetahui korelasi antar variabel bebas dengan tiga buah variabel bebas adalah :
Universitas Sumatera Utara
29
1. Koefisien korelasi antara X1 dan X2
r12 =
2. Koefisien korelasi antara X1 dan X3
r13 =
3. Koefisien korelasi antara X2 dan X3
r23 =
Nilai koefisien korelasi adalah -1≤ r ≥1. Jika dua variabel berkorelasi negatif maka nilai koefisien korelasi akan mendekati -1 ; jika dua variabel tidak berkorelasi maka koefisien korelasi akan mendekati 0 ; sedangkan jika dua variabel berkorelasi positif maka nilai koefisien korelasi akan mendekati +1.
Untuk lebih memudahkan mengetahui seberapa jauh derajat keeratan antara variabel tersebut ,dapat dilihat pada perumusan berikut : -1,00 ≤ r ≥ -8,00 berarti berkorelasi kuat secara negatif -0,79 ≤ r ≥ -0,50 berarti berkorelasi sedang secara negatif -0,49 ≤ r ≥ 0,49 berarti berkorelasi lemah 0,50 ≤ r ≥ 0,79 berarti berkorelasi sedang secara positif 0,80 ≤ r ≥ 1,00 berarti berkorelasi kuat secara positif
Universitas Sumatera Utara
30
2.6 Uji Koefisien Regresi Ganda
Keberartian adanya variabel-variabel bebas dalam regresi linier ganda perlu diuji untuk menunjukkan seberapa besar pengaruh yang diberikan pada variabel tak bebas. Dan cara yang tepat untuk mengujinya adalah dengan menggunakan uji statistik t ( tstudent).
Dimisalkan populasi mempunyai model regresi berganda sebagai berikut : µy,x = β0+ β1X1 β2X2…+ βkXk yang akan ditaksir oleh regresi berbentuk : Ŷ = b0 + b1X1 + b2X2 + … + bkXk . Adanya kriteria bahwa variabel-variabel tersebut memberikan pengaruh yang berarti atau tidak terhadap variabel tak bebas akan diuji hipotesis H0 melawan hipotesis tandingan H1 dalam bentuk: H0 = βi = 0,i = 1,2…,k. H1 = βi ≠ 0,i = 1,2…,k.
Untuk menguji hipotesis tersebut digunakan kekeliruan baku taksiran
.
Jadi untuk melihat kekeliruan baku dari koefisien bi adalah :
Dengan :
Universitas Sumatera Utara
31
Perhitungan statistik t : ti =
Dengan distribusi t-student serta dk = (n-k-1), ttabel =
,dimana kriteria
pengujian adalah: tolak H0 jika ti > ttabel, dan terima H0 jika ti < ttabel.
Universitas Sumatera Utara
