BAB 1 PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang Kalkulus merupakan salah satu prestasi tertinggi dari kecerdasan manusia.
Disiplin ilmu Matematika ini secara umum berasal dari penyelidikan oleh Isaac Newton (1642-1727) dan Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) pada abad ke-17. Meskipun sebenarnya beberapa idenya telah ada pada era Archimedes (287-212 SM) dan bermula pada berbagai
budaya seperti Yunani, Mesir, Babilonia, India, Cina dan Jepang.
Sebagian penemuan ilmiah yang membentuk peradaban kita selama tiga abad terakhir ini adalah tidak akan mungkin tanpa peran kalkulus. Tujuan utama kalkulus adalah analisis-analisis masalah-masalah perubahan (misalnya gerak) dan muatan (misalnya, perhitungan luas dan isi). Dua masalah ini sangat mendasar sebab kita hidup di dunia yang terus berubah, yang dipenuhi oleh benda-benda yang bergerak dan fenomena pasang surut. Oleh karena itu, kalkulus tetap menjadi topik hangat, dan pada saat ini teknik penghitungan ini tetap berfungsi sebagai bahasa kuantitatif utama dari ilmu pengetahuan dan teknologi. Salah satu bidang kalkulus yang akan dibahas dalam Skripsi ini adalah Kalkulus Variasi. Metode yang klasik dan elegan dari kalkulus variasi modern memungkinkan dipecahkannya sejumlah besar masalah yang berhubungan dengan optimasi fungsional dalam Ilmu Pengetahuan. Kalkulus variasi yang dikembangkan oleh Bernoulli, Newton dan Euler pada awal abad ke-18, sampai saat ini masih menarik perhatian para matematikawan dan sudah banyak menjadi solusi pemecahan masalah bagi banyak ilmuwan dan berbagai bidang teknik sebagai pencari solusi terbaik yang mungkin ada 1
bagi persoalan yang dihadapi. Perkembangan kalkulus variasi sendiri pada mulanya berawal dari keinginan dasar manusia yang ingin mendapatkan solusi terbaik atau optimal untuk masalah-masalah matematis yang ada. Kalkulus variasi sangat erat kaitannya dengan mencari ekstremal dari fungsional dan dinyatakan sebagai sekumpulan metode yang digunakan untuk mencari fungsifungsi optimal. Adapun beberapa metode atau rumus atau persamaan yang terdapat dalam kalkulus variasi adalah Euler-Lagrange Equations, Emmy Noether's theorem, Hamiltonian formulation, Hamilton Jacoby theory, Weierstrass Method, Jacobian Equations, Rayleigh Principles dan lain-lain. Kalkulus variasi yang merupakan cabang ilmu matematika yang berhubungan dengan fungsi dari fungsi, berbeda dengan kalkulus biasa yang berhubungan dengan fungsi dari bilangan. Fungsional dalam kalkulus variasi dapat dibentuk sebagai integralintegral yang melibatkan sebuah fungsi sembarang dan turunan-turunannya sebagai
b
peubah-peubahnya. Persamaan umumnya berupa J = ∫ F(x, f(x), f' (x))dx .
a
Kunci dari teorema kalkulus variasi sendiri adalah persamaan Euler-Lagrange. Persamaan ini berhubungan dengan syarat stasioner pada sebuah fungsional.
Hal
penting yang juga berhubungan dengan kalkulus variasi adalah metode variasional yang mana merupakan alat yang mampu memecahkan masalah-masalah
nilai batas dan
sebagai alat bantu dalam memecahkan persoalan diferensial atau variasi fungsi. Salah satu tool yang dapat memecahkan persoalan optimasi fungsional adalah Maple 8.0. Dalam Maple versi 8.0 misalnya, terdapat beberapa metode kalkulus variasi yang dapat digunakan untuk memecahkan persoalan optimasi fungsional, seperti Jacobi’s Equation, Euler-Lagrange’s Equation, Weierstrass. Dan salah satu metode 2
dalam kalkulus variasi yang belum dibuat pada Maple versi 8.0 adalah Sistem SturmLiouvile. Metode ini termasuk cukup baru dibandingkan dengan metode-metode yang lain dan pengembangannya dalam program aplikasi juga masih kurang. Penulis tidak akan membahas perbandingan atau cara kerja metode-metode kalkulus variasi yang ada di dalam Maple versi 8.0 maupun metode-metode kalkulus variasi yang lain dalam Skripsi ini. Dalam Skripsi ini penulis akan membahas cara kerja Sistem Sturm-Liouville yang akan mencari nilai eigen dan Fungsi Eigen atau fungsi optimal yang dicari dari suatu persoalan optimasi persamaan diferensial orde dua (Persamaan Sturm-Liouville). Persamaan Sistem Sturm-Liouville diambil dari nama Jacques Charles Francois Sturm (1803-1855) dan Joseph Liouville (1809-1882), merupakan sebuah persamaan diferensial orde dua. Pada persamaan Sistem Sturm-Liouville, terlebih dahulu kita harus menjadikan suatu persamaan menjadi persamaan diferensial orde dua yakni dalam bentuk persamaan Sistem Sturm-Liouville. Metode ini juga mengharuskan user menentukan nilai batas yakni batas bawah dan batas atas serta persamaan syarat batasnya. Jadi, user yang nantinya akan menggunakan program aplikasi ini terlebih dahulu harus mengetahui bentuk persamaan Sistem Sturm-Liouville agar dapat menginput jenis persamaannya. Dari persamaan-persamaan yang diinput dan dari batas bawah, batas atas serta persamaan syarat batasnya, akan diperoleh persamaan nilai eigen di mana persamaan ini akan mengandung fungsi eigen yang dicari. Kemudian akan diasumsikan bentuk persamaan eigen yang dicari lalu dari beberapa tahap perhitungan akan diperoleh dua buah nilai peubah yang mana masing-masing akan menghasilkan nilai eigen yang berbeda. Peubah yang dipilih nilainya untuk dimasukkan ke dalam persamaan fungsi eigen yang diasumsikan adalah variabel yang menghasilkan nilai 3
eigen yang sesuai dengan persamaan nilai eigen sebelumnya. Persamaan fungsi eigen yang diperoleh tidak akan disederhanakan lebih lanjut. Program aplikasi ini dibuat dengan menggunakan bahasa pemrograman Delphi 7.0 dengan satu buah form saja yang meliputi proses input dan output.
1.2
Rumusan Rancangan Membuat program aplikasi optimasi fungsional dalam kalkulus variasi dengan menggunakan Sistem Sturm-Liouville dengan input persamaanpersamaan polinomial maksimal orde dua, dan outputnya adalah fungsi eigen aproksimasi.
1.3
Ruang Lingkup Untuk meningkatkan kualitas pada penulisan Skripsi ini dan agar dapat
menyelesaikan Skripsi ini tepat pada waktunya, penulis memfokuskan pada pembatasan input persamaan Sistem Sturm-Liouville sebagai berikut: 1. Bentuk persamaan yang dapat diinput oleh user hanya persamaan polinomial yang maksimum ordenya dua untuk masing-masing fungsi yang harus diisi oleh user. 2. Tidak membandingkan Sistem Sturm-Liouville dengan metode-metode lain dalam kalkulus variasi. 3. Rancangan
program aplikasi ini menggunakan bahasa pemrograman
Delphi 7.0. 4. Tidak menampilkan uraian setiap langkah pengerjaan perhitungan sampai mendapatkan fungsi eigen aproksimasi yang dicari. 4
5. Tidak menghitung besarnya galat atau persentase perbedaan hasil fungsi aproksimasi dengan fungsi eigen sebenarnya.
1.3
Spesifikasi Rancangan Secara khusus akan mencari fungsi eigen yang merupakan aproksimasi fungsi
optimal dari suatu permasalahan nilai batas dalam kalkulus variasi dengan batasan input persamaan persamaan polinomial dengan maksimal ordenya dua.
1.4
Tujuan Rancangan •
Tujuan Umum Merancang program aplikasi yang dapat mencari fungsi optimal dalam
persoalan nilai batas pada persamaan diferensial dengan menggunakan salah satu metode dalam kalkulus variasi.
•
Tujuan Khusus Menyusun sebuah program aplikasi dengan bahasa pemrograman Delphi
7.0 yang dapat mencari fungsi optimal aproksimasi dari persamaan diferensial Sistem Sturm-Liouville dengan batasan persamaan-persamaan input yang menjadi koefisien peubah atau fungsi yang dicari dalam polinomial yang maksimum berorde dua, yang akan menghasilkan sebuah fungsi aproksimasi optimal dari bentuk persoalan persamaan yang diinput.
5
1.5
Manfaat Rancangan •
Bagi bidang pendidikan Sebagai salah satu alat bantu bagi dosen maupun mahasiswa yang sedang
mempelajari dasar optimasi fungsional dengan Sistem Sturm-Liouville yakni untuk memperoleh jawaban aproksimasi atas fungsional yang akan dioptimasi.
•
Bagi Peneliti lain Sebagai bahan referensi dalam pengembangan program aplikasi optimasi
fungsi dengan Sistem Sturm-Liouville dengan input dan batasan yang lebih kompleks atau luas.
•
Bagi Universitas Bina Nusantara Untuk menambah kepustakaan Perpustakaan Universitas Bina Nusantara
dan kepustakaan Fakultas MIPA khususnya dalam bidang Kalkulus Variasi dengan Sistem Sturm-Liouville.
1.6
Definisi Operasional •
Fungsi ekstremal adalah fungsi maksimum atau fungsi minimum dari suatu fungsional.
•
Nilai eigen adalah disimbolkan dengan λ , tidak ditentukan dalam persamaan dan merupakan nilai yang harus dicari terlebih dahulusebelum mendapatkan persamaan aproksimasi fungsi eigen.
6
•
Fungsi eigen adalah fungsi hasil optimasi dalam kalkulus variasi dengan Sistem Sturm-Liouville yang merupakan solusi dari persoalan yang dihadapi.
•
Persamaan fungsional adalah sebuah persamaan dalam bentuk peubahpeubah bebas dan fungsi-fungsi sembarang, yang mana fungsi tersebutlah yang akan dipecahkan atau dicari solusinya.
•
Kalkulus variasi adalah cabang ilmu matematika yang berhubungan dengan langkah-langkah mencari fungsi optimal dimana nilai dari integral tertentu akan maksimum atau minimum.
•
Persamaan Sturm-Liouville adalah sebuah persamaan diferensial linear orde dua dalam bentuk
d ⎡ dy ⎤ p(x) ⎥ + [q(x) + λr(x)]y = 0 , di mana fungsi ⎢ dx ⎣ dx ⎦
p(x), q(x) dan r(x) kontinu dalam interval tertutup [a,b] dan juga selalu dipasangkan dengan syarat batas, nilai batas dari y dan dy/dx pada titik a dan b.
1.7
Penelitian yang relevan Ada beberapa penggunaan aplikasi Sistem Sturm-Liouville dalam bidang kalkulus variasi yaitu: 1.
Sleign Package. Program aplikasi ini dikembangkan oleh P.B. Bailey, W.N. Everitt dan A. Zettl pada bulan Maret tahun 2001. Program aplikasi ini dijalankan pada Operating Systems UNIX dan Compiler FORTRAN. Program ini merupakan program optimasi fungsional dengan Sistem SturmLioville. Program ini men-generate koefisien fungsi-fungsi p(x), q(x) dan
7
r(x) dan subroutine UV yang menyatakan koefisien-koefisien fungsi –fungsi syarat y(a), y(b), y’(a) dan y’(b) untuk Sleign2. 2.
Mathematical Method of The Sturm-Liouville Problem in Neutron Diffusion in a Nuclear Reactor. Aplikasi ini memecahkan persoalan penentuan distribusi fluks 1-group netron dalam sebuah reaktor silinder panjang yang kritis, dan juga membuktikan bahwa resultan fungsi-fungsi eigen adalah ortogonal dan menghitung norm fungsi-fungsi eigen ortogonal.
8
