b) Početní řešení Na rozdíl od grafického řešení určíme při početním řešení bod, kterým nositelka výslednice bude procházet. Mějme soustavu sil, která obsahuje n - sil a i - silových dvojic obr.36.
Obr.36. Výslednice prochází vybraným bodem - počátkem souřadnicové soustavy. 1) Všechny síly soustavy tedy přeložíme do počátku a připojíme příslušné dvojice sil. Platí: {F1 , F2 ,.....Fn , M 1 , M 2 ,.....M n , M 1 ,.......M i .} Síly soustavy tvoří pak rovinnou centrální soustavu, silové dvojice leží na společné nositelce. 2) Všechny síly soustavy nahradíme složkami ve směru souřadnicových os. F1x = F1 . cos α 1 ,..........Fnx = Fn . cos α n
F1y = F1 . sin α 1 ,.........Fny = Fn . sin α n . Náhradní silová soustava má tvar
{F
1x
,.....Fnx , F1y ,.....Fny , M 1 ,.......M n , M 1 ,.........M i .}
3) Síly ve směru osy x a y nahradíme výslednicemi.
Fx = ∑ Fix
Fy = ∑ Fiy .
Silové dvojice nahradíme výslednou silovou dvojicí.
M = ∑Mk 4) Síly Fx, Fy nahradíme výslednicí r r r Fy 2 2 F = Fx + Fy , kde F = Fx + Fy a α = arctg . Fx
Získali jsme tedy výslednou náhradní soustavu obsahující sílu F a silovou dvojici M. Výslednice F prochází předem určeným bodem, v našem případě počátkem souřadnicové soustavy.
3.10.2 Podmínky rovnováhy a) Při grafickém řešení Při grafickém řešení jsme nahradily soustavu sil výslednicí F. Aby nastala rovnováha musí platit r r F = 0. Silový obrazec je uzavřen a šipky sil se sledují po obvodě. b) Početní řešení Podmínky rovnováhy obecné rovinné soustavy jsou následující
∑F
ix
= 0,
∑F
iy
= 0,
∑M
i
= 0.
Obecná rovinná soustava sil je v rovnováze, jestliže algebraický součet všech sil ve směru dvou vzájemně kolmých os je roven nule a algebraický součet momentů silových dvojic k libovolnému bodu v rovině je roven nule.
3.11 Soustava rovnoběžných rovinných sil Soustava rovnoběžných rovinných sil je speciálním případem rovinné centrální soustavy sil. Centrum leží v nekonečnu. I tuto soustavu lze nahradit jedinou výslednicí, která je rovnoběžná se silami soustavy.Soustavu rovnoběžných sil - obr.37. nahradíme výslednicí F.
Obr.37.
a) Početní řešení Zavedeme souřadnicovou soustavu tak, aby osa y byla rovnoběžná s nositelkami sil soustavy. Z podmínky
Fy = ∑ Fiy stanovíme velikost výslednice, kterou umístíme na nositelku n rovnoběžnou s nositelkami sil ve vzdálenosti xv od osy y. Protože nahrazujeme soustavu jedinou silou musí platit
∑M
i
=0
a tedy
M 1 = p1 F1 = (x v + k 1 ).F1 ,.....M 2 = p 2 .F2 = ( x v − k 2 ).F2 ,............. F1 .(k 1 + x v ) + F2 .(x v − k 2 ) − .......... = 0 . Řešením poslední rovnice získáme xv tj. souřadnici nositelky síly F.
b) Grafické řešení Grafické řešení provedeme pro soustavu sil F1, F2, F3, F4 - obr.38.
Obr.38. V pravé části obrázku je výslednice určena na základě rovnice
r r r F = F1 + F2 − F3 + F4.
V levé části obrázku je pak poloha nositelky n stanovena na základě pólového a vláknového obrazce.
Důležitým případem je úloha, ve které nahrazujeme danou sílu F dvěma silami, kteréleží na rovnoběžných nositelkách - obr.39.
Obr.39. Použijeme opět pólového a vláknového obrazce. Pólový obrazec není úplný, směr částečné výslednice 2 se určí ve vláknovém obrazci. Tato výslednice vymezí velikost sil F1 a F2. Leží-li síla F vně nositelek n1 a n2, postupuje se dle obr.40. stejným způsobem.
Obr.40.
4. Uložení tělesa v rovině Mezi síly působící na těleso uložené v rovině zařazujeme jak vnější síly, tak i reakce vazeb. Skutečné uložení v plochách a křivkách nahrazujeme fiktivními uloženími v bodech, abychom mohli používat osamělých sil.
K jednoznačnému určení polohy tělesa v rovině je zapotřebí tří souřadnic.
Těleso v rovině má tři stupně volnosti. Takové těleso nazýváme volným tělesem. Je-li těleso vázané na plochu nazýváme tuto vazbu plošná podpora. Pro reakci v této podpoře známe směr nositelky. Zbývá určit velikost reakce. Reakce v podpoře je tedy veličina jednoparametrová ( k určení stačí jedna algebraická rovnice ). Je-li těleso vázáno na křivku, nazýváme tuto vazbu křivková podpora. Pro reakci v této podpoře známe pouze bod, kterým reakce prochází. Je třeba určit směr nositelky a velikost reakce. Reakce v křivkové podpoře je tedy veličina dvouparametrová ( k určení je třeba dvou algebraických rovnic ). Při uložení tělesa v rovině existuje jeden zvláštní případ, kdy je těleso vetknuté. Je vůči rámu připojeno tak, že s rámem tvoří jeden celek. Toto uložení je staticky neurčité - obr.41.
Obr.41.
Souvislost mezi počtem stupňů volnosti a počtem vazeb ukazuje následující tabulka
30 volnosti 20 volnosti 00volnosti 10 volnosti 00 volnosti 00 volnosti -10 volnosti -10 volnosti -10 volnosti -20 volnosti
0 podpor 1 plošná podpora 2 plošné podpory 1 křivková podpora 3 plošné podpory 1 plošná + 1 křivková podpora 4 plošné podpory 2 křivkové podpory 1 křivková podpora + 2 plošné podpory ………….
Na obr.42. jsou rozdělěny případy uložení tělesa v rovině na základě stupně pohyblivosti tělesa. Stupeň pohyblivosti je určen stupněm volnosti.
Obr.42.
Pod pojmem uložení tělesa v rovině rozumíme vzájemné spojení dvou těles, kdy úložné body leží v rovině. Těleso vůči kterému je druhé těleso uloženo nazýváme rámem. Vzájemné spojení tělesa a rámu je buď pohyblivé (těleso se vůči rámu může pohybovat ), nebo nepohyblivé. Dotyk v plochách nebo křivkách nahrazujeme dotykem v bodech. Dotyková místa nazýváme podpory. Budeme se zabývat převážně podporami plošnými a křivkovými.
Na obr.43. jsou zobrazeny plošné podpory. Křivka tělesa se dotýká křivky rámu.
Obr.43.
Pro určení reakcí v dotykových místech jsou význačné polohy dotykových bodů ( křivkové podpory ), a normály v dotykových bodech ( plošné podpory ).
Na obr.44. jsou zobrazeny případy plošných podpor, kdy se bod tělesa dotýká křivky rámu.
Obr.44. Další ukázky plošných podpor kdy se křivka tělesa dotýká bodu rámu jsou na obr.45.
Obr.45.
Na obr.46, 47 a 48 jsou uvedeny ukázky podpor křivkových.
Obr.46.
Obr.47.
Obr.48.
4.1 Vyšetřování reakcí Na obr.49. jsou znázorněny případy nepohyblivého staticky určitého uložení tělesa v rovině.
Obr.49.
Všechny případy mají společnou vlastnost. Buď jsou tělesa uložena ve třech bodech ( na třech plošných podporách ), nebo jsou uložena ve dvou bodech (na jedné křivkové a jedné plošné podpoře ). Připomeňme ještě, že plošná podpora je jednoparametrová veličina a křivková podpora dvouparametrová veličina. K určení reakcí v naznačených případech je nutné určit tři parametry. Dále musíme určit polohu vazebních bodů a směry normál vazebních ploch. a) Početní řešení Při početním řešení dodržujeme následující postup: 1. Určíme typ podpory 2. Těleso, na které působí soustava vnějších sil Fi a v úložných bodech reakce Ri , uvolníme. 3. Řešíme podmínky rovnováhy. Těleso je v klidu, soustava sil Fi, Ri na těleso působící je v rovnováze. Podmínky rovnováhy:
∑F
ix
= 0,........∑ Fiy = 0,........∑ M i = 0.
Jsou to tři algebraické rovnice, ze kterých určíme : - Velikost reakcí ve třech plošných podporách - Velikost a směr reakce v křivkové podpoře a velikost reakce v plošné podpoře. Obecně obsahují podmínky rovnováhy síly, délky a úhly. b) Grafické řešení Při grafickém řešení využíváme grafické metody rovnováhy dvou sil, rovnováhy tří sil a rovnováhy čtyř sil. Rovnováha dvou sil Dvě sily jsou v rovnováze, leží-li na společné nositelce, jsou stejně veliké, opačných smyslů. Na těleso působí ve dvou bodech A, B dvě síly -obr.50., které leží na společné nositelce.
Obr.50.
_ _
Takové těleso ( libovolného tvaru ) můžeme nahradit úsečkou A B , která má na obou koncích klouby. Je důležité, aby uložení v bodech A, B bylo takové, aby bylo způsobilé přenášet síly uvedeného směru. Podpora, která je schopna přenášet síly libovolného směru je podpora křivková. Bude-li těleso uloženo na dvou plošných podporách, musí být normály plošných podpor totožné.
Těleso uložené na dvou křivkových podporách nazýváme binárním členem. Považujeme-li křivkovou podporu jako vazbu na dvě plochy, je obecně binárním členem i těleso, které je k dvěma dalším tělesům vázáno dvěma plošnými podporami, nebo kombinací plošných a křivkových podpor - obr.51.
Obr.51
Zvláštním případem je stav, kdy oba body A, B se vzdálí nade všechny meze, tedy leží v nekonečnu. Pak výslednice leží na úběžné přímce, jejíž všechny body leží v nekonečnu . Binární člen je schopen přenášet pouze silovou dvojici - obr.52. Směry reakcí v bodech A, a B, které leží na společné nositelce jsou na obrázku označeny čárkovaně.
Obr.52 Rovnováha tří sil Tři síly jsou v rovnováze, leží-li v jedné rovině, procházejí jedním bodem, jejich silový obrazec je trojúhelník, v němž se šipky sledují po obvodě v jednom smyslu. Má-li být výslednice třech různoběžných sil, které leží v jedné rovině, rovna nule musí platit
r r r r F1 + F2 + F3 = 0 . Řešíme-li tuto vektorovou rovnici graficky tvoří silový obrazec trojúhelník v němž se šipky sledují po obvodě - obr.53.
Obr.53.
Rovnováha čtyř sil Z našich úvah vyloučíme takové případy, kdy se nositelky tří sil protínají v jednom bodě. Na obr.54. síly ležící na nositelkách a, b, nahradíme výslednicí R1, síly na nositelkách c, d, výslednicí R2.
Obr.54. Výslednice R1 prochází bodem M, výslednice R2 prochází bodem N. Tím jsme převedli úlohu na rovnováhu dvou sil. Síly R1 a R2 budou v rovnováze, budou-li ležet na společné nositelce, která prochází body M a N. Metoda využívající této vlastnosti se nazývá metoda čtyř sil. Přímka spojující body M a N se nazývá Culmanova přímka. Úloha je řešitelná v případě, že jsou známy směry tří sil a úplně zadána čtvrtá síla - obr.55.
Obr.55. Je dána síla F a nositelky tří neznámých sil a, b, c. Máme určit síly Fa, Fb, a Fc. Nejprve určíme průsečíky M, N a tím i směr částečné výslednice v. V průsečíku M se protínají síly F, Fa a F´v. Z pravé části obrázku je zřejmé, že tyto síly jsou v rovnováze. Síla Fv je pak podkladem pro sestrojení velikosti sil Fb a Fc. Síly Fv a Fv′ jsou jenom pomocné.
Při uložení tělesa vůči rámu nepohyblivě rozeznáváme dva případy : a) Uložení na třech plošných podporách. b) Uložení na jedné plošné a jedné křivkové podpoře.
Nepohyblivé uložení tělesa na třech plošných podporách - obr.56.
Obr.56.
Po uvolnění těles, zakreslených na obrázku 56., získáme obecnou rovinnou soustavu sil. Tyto síly rozdělíme do dvou skupin: a) Síly F1 , F2 ,......Fn → vnější.síly b) Síly v úložných bodech R A , R B , R C → reakce. r Vnější síly nahradíme výslednicí F pro kterou platí F = ∑ Fi , a určíme její polohu.
Získáme tak soustavu čtyř sil. Metodou čtyř sil nakonec určíme reakce R A , R B , R C . Tento postup je stejný pro všechny případy, kdy je těleso uloženo na třech plošných podporách.
Nepohyblivé uložení tělesa na jedné plošné a jedné křivkové podpoře -obr.57.
Obr.57. Po uvolnění tělesa od rámu získáme rovinnou soustavu sil, kterou tak jako v předchozí ukázce rozdělíme na síly vnější a reakce. Vnější síly nahradíme výslednicí F a určíme její polohu. Vznikne nám nyní soustava tří sil. Z podmínky rovnováhy určíme směr reakce v bodě B. Pak určíme velikost reakcí RA a RB. Těleso uložené v rovině pohyblivě s jedním stupněm volnosti Těleso je v rovině uloženo pohyblivě s jedním stupněm volnosti ve dvou případech: a) Na dvou plošných podporách - levá část obr. 58. b) Na jedné křivkové podpoře - pravá část obr.58.
Obr.58.
V případech naznačených na obr.58. nemůže být těleso v rovnováze pod působením jakékoli rovinné soustavy sil. Pro silovou soustavu je tu omezující podmínka: 1. Jedná-li se o dvě plošné podpory ( levá část obrázku), nahradíme soustavu vnějších sil výslednicí F a řešíme rovnováhu tří sil F, RA, RB. Tyto síly jsou v rovnováze procházejí-li bodem M. 2. V případě křivkové podpory ( pravá část obrázku ) prochází reakce bodem A. Vazbu bodu A můžeme považovat jako vazbu na dvě plochy. Těleso v rovině uložené pohyblivě se dvěma stupni volnosti.
Obr.59. Těleso je v rovině pohyblivě uloženo s dvěma stupni volnosti na jedné plošné podpoře obr.59. Aby byla soustava sil, která působí na uvolněné těleso v rovnováze, musí výslednice soustavy vnějších sil pro kterou platí r F = ∑ Fi ležet na normále, jejíž směr je určen plošnou podporou.
4. Rovinné soustavy těles Rovinná soustava vzniká spojením několika těles. Těleso soustavy nazýváme člen. Jedno těleso soustavy je rám. Nejjednodušší soustava obsahuje tři členy včetně rámu. Úložné body soustavy leží v jedné rovině; působící síly leží v téže rovině. Soustavy pohyblivé dělíme na mechanismy a diferenciály. Mechanizmy jsou soustavy s jedním stupněm volnosti, diferenciály se dvěma a více stupni volnosti. Nepohyblivé soustavy mají nula nebo záporný stupeň volnosti.
