Autópálya forgalom emissziójának modellezése és optimális szabályzása Csikós A.*, Luspay T.**, Varga I.***
* Budapesti Mőszaki és Gazdaságtudományi Egyetem, Közlekedésmérnöki Kar, Közlekedésautomatikai tanszék, Budapest, 1111. Bertalan Lajos u.2., (email:
[email protected]) ** MTA Számítástechnikai és Automatizálási Kutatóintézet, Budapest, 1111, Kende u.13-17. (email:
[email protected]) *** MTA Számítástechnikai és Automatizálási Kutatóintézet, Budapest, 1111, Kende u.13-17. (email:
[email protected]) Összefoglalás: Cikkünk az autópálya forgalom károsanyag kibocsátásának egy olyan modelljét mutatja be, mely a rendelkezésre álló valósidejő forgalmi méréseket alkalmazza és felhasználásával modell alapú szabályozó tervezhetı. Az értekezés elsı fejezetében bemutatott vizsgálattal számszerősíthetı a különbözı felbontású modellezések közötti különbség autópálya környezetben, és ennek ismeretében megindokoljuk a késıbbi szabályozás során használt emissziómodell megválasztását. A kiválasztott emissziómodell felhasználásával tervezett modell alapú szabályzót alkalmazunk egy autópálya szakaszon. A szabályozás az eljutási idı és a forgalmi kibocsátás közös optimumának elérését célozza. A szabályozott rendszereken futtatott szimulációkból kiderül, hogy a meglévı forgalomirányítási infrastruktúra alkalmazható a károsanyag kibocsátás modellezésére és optimális szabályozására is. 2. EMISSZIÓS MODELL FELÁLLÍTÁSA
1. BEVEZETÉS
Egy jármő pillanatnyi kibocsátását a jármő mozgását leíró folytonos sebesség-idı, gyorsulás-idı függvények segítségével írhatjuk le a legpontosabban, mely függvények a mikroszkopikus forgalmi modellezés alapján állhatnak rendelkezésünkre.
A globális motorizáció elmúlt évtizedekben megfigyelt növekedése komoly környezeti károkat okoz. A klímaváltozást okozó CO2 kibocsátás mintegy 25%-a származik a közlekedésbıl, az összkibocsátás csaknem 20%a közúti eredető [14]. A kipufogógázok további összetevıi (elégetlen szénhidrogének (HC), CO, NOX) is egyaránt okoznak lokális és globális károkat.
Ei ( t ) = f (vi (t ), ai ( t ) ) ahol
A korábbi forgalomszabályozások kizárólag a közlekedés mint folyamat teljesítményének javítását célozták (az eljutási idık csökkentésével), a pillanatnyi kibocsátás számszerősítésével azonban a társadalom egészét terhelı környezetszennyezés is modellezhetı. Kutatásaink célja olyan többkritériumú szabályozási módszer kidolgozása, amellyel a közúti forgalom társadalmi költségei optimalizálhatók.
vi(t):
i. jármő pillanatnyi sebessége [km/h]
ai(t):
i. jármő pillanatnyi gyorsulása [m/s2]
A kibocsátás mikroszkopikus megközelítéső jellemzésére számos modell létezik, ezek hátulütıje azonban, hogy feltételezi az egyes jármővek egyenkénti sebesség és gyorsulásfüggvényeinek ismeretét. Olyan megközelítésre van tehát szükség, mely nem lép ki a rendelkezésre álló mérések körébıl. Az útfelületben elhelyezett hurokdetektorok mérései a forgalom makroszkopikus forgalmi változóiról (forgalomnagyság, jármősőrőség, forgalmi átlagsebesség) adnak információt: a forgalom kibocsátásáról ezen információk alapján kell becslést adnunk. A makroszkopikus forgalomleírás azonban a közúti forgalmat az áramló folyadékhoz hasonlóan írja le. Ez a megközelítés figyelmen kívül hagyja a forgalom elemeinek, az egyéni jármőveknek a viselkedését, egyedül az összefüggı kontinuumra koncentrál. Lehetséges azonban a makroszkopikus változók egyéni jármővek v(t), a(t), x(t) függvényeinek közelítı jellemzésére is: így egy mezoszkopikus forgalmi modellhez jutunk.
Jelen publikációban az autópálya forgalom károsanyag kibocsátásának egy olyan modelljét mutatjuk be, amely kizárólag valós idejő forgalmi mérések alapján ad becslést a kipufogógáz emisszió mértékérıl és alapját képezheti egy modell alapú szabályzásnak. A forgalom szabályozása így az eljutási idık minimalizálásán túl kiterjedhet az emisszió minimalizálására is, és egy többkritériumú optimalizálást valósít meg úgy, hogy kizárólag a meglévı forgalomirányítási infrastruktúra eszközeit alkalmazza.
1
Az alábbi táblázatban a mikroszkopikus modellezés, a valóságos mérések és a helyettesített változókat tekintjük át: Emissziófüggvény változói
Rendelkezésre álló változók
Helyettesített változók
mikroszkopikus
makroszkopikus
mezoszkopikus
vi (t) ai (t) i= 1..N
vj(k) aj(k) qj(k)
vmez,i(k) amez,i(k) qj·Ts
ahol v: a: i=1..N: t: j=1..M
sebesség [km/h] gyorsulás [m/s2] vizsgált jármő sorszáma eltelt idı [s] útszakasz vizsgált szegmensének (mérési pontjának) sorszáma mintavételi idıköz sorszáma forgalomnagyság [jm/h] mintavételi idı [s]
k: q: T s: 1. táblázat
1. ábra
A szimulációs vizsgálat során a referenciának tekintett mikroszkopikus modellezés eredményéhez hasonlítottuk a mezoszkopikus modell által számított értékeket, így jellemezvén pontosságukat. Adott számú jármőbıl álló konvojt vizsgáltunk T ideig: így lehetıvé vált mind a mikro-, mind a makroszkopikus adatok kinyerése. A konvojt olyan szituációban vizsgáltuk, mely a legnagyobb hatással van a jármővek sebesség és gyorsulás dinamikájára: a sebességkorlátozást.
Mezoszkopikus modellezés
Az autópálya forgalom résztvevıinek haladását a helyettesítı változók segítségével írhatjuk le. Így egy mezoszkopikus modellt kapunk, melynek jellemzıje, hogy a forgalmi áramlatot leíró makroszkopikus változókat a jármőegyedek dinamikájának jellemzésére használja az illetı jármő helye alapján a kontinuumnak tekintett forgalomban - térben és idıben diszkrét koordináták szerint.
A szimuláció bemenı paraméterei: - Jármővek száma - Szimuláció idıtartama - Sebességkorlátozás értéke - Sebességkorlátozás érvényessége az útszakaszon - Hurokdetektorok távolsága - Konvojra kezdetben jellemzı makroszkopikus jellemzık: forg.nagyság, forg.sőrőség
E mez ,i = qi ⋅ TS ⋅ Ei (vi (t ), ai (t ) ) = [jm ⋅ g/h] ahol i: q: v: a:
Emissziós modellek vizsgálati módszere
autópálya szegmens sorszáma forgalomnagyság [jm/h] forgalmi átlagsebesség [km/h] makroszkopikus gyorsulás [m/s2]
Az utolsó bemeneti paraméterek megadásával meghatározható a konvojban jellemzı átlagos kovetési távolság és átlagos sebesség. A forgalom valószerővé tétele érdekében ezen értékeket valószínőségi változóként írtuk le, melyeknek várható értékei az átlagos értékek.
A kutatások során két mezoszkopikus modellt alkalmaztunk és hasonlítottunk össze: a vizsgálat alapját képezı emissziófüggvény kétváltozós (sebesség- és gyorsulás változójú) egyenlet, az emissziómodelleket a változók száma különbözteti meg egymástól. Azt vizsgáltuk, hogy az makroszkopikus gyorsulás-idı (a(t)) függvény közelítı ismerete milyen mértékben befolyásolja a mezoszkopikus emissziófüggvény (mikroszkopikus emissziófüggvényhez viszonyított) pontosságát, tehát mekkora különbség van az egy- és kétváltozós modellek között.
A létrehozott emissziómodellek:
mezoszkopikus
megközelítéső
- Kétváltozós modell, változók: gyorsulás, sebesség. E2 = f(a(t),v(t)) A fent ismertetett módon az egyes jármővek mezoszkopikus a(t), v(t) függvényeit figyelembe véve. - Egyváltozós modell, változó: sebesség. E1 = f(v(t)) A fent ismertetett módon az egyes jármővek mezoszkopikus v(t) függvényeit figyelembe véve, a(t)=0 gyorsulást feltételezve.
Egy autópályán haladó forgalom gyorsulását egy sebességváltoztatásra késztetı szituációban nem lehet zárt alakban leírni, mivel az ingerekre adott reakciók, a jármővezetık sebesség és követési távolság megválasztásai mind valószínőségi változók. Így szimuláció készítése szükséges. A szimuláció segítségével megállapítható a kétféle – egy- és kétváltozós – mezoszkopikus emissziófüggvény és összevethetı a valóságosnak tekinthetı mikroszkopikus szimulációs adatokkal (1. ábra).
2.1 Szimulációk A forgalomra jellemzı emisszió-idı függvények összehasonlítását végeztük különbözı markoszkopikus változójú forgalmak esetén. A négyféle szennyezı esetére összesen 20 szimuláció történt; 8 esetben alacsony forgalom, 4 esetben közepes forgalom, 2 esetben pedig torlódott
2
szakaszokon túlbecsülik a valós kibocsátást. Az összehasonlításokból egyértelmően kiderül, hogy az egyváltozós modell ugyan pontatlanabb becslést ad, mint a kétváltozós mezoszkopikus leírást alkalmazó emissziómodell, de ez a különbség soha nem nagyobb 5%-nál. Ezek alapján az egyváltozós modell megfelelı pontosságúnak tekinthetı egy késıbbi szabályozási célú modellek megalkotásához.
forgalom esetén, háromféle sebességkorlátnál (100,80,60 km/h). Valamennyi esetben állandó számú (50 db) jármőbıl álló forgalmat vizsgáltunk. A 2. ábra illusztrálja egy szimuláció eredményét: az emisszió-idı függvényeket. A szimulációs idıtartam elsı szakaszában a jármővek a rájuk jellemzı „kívánt” sebességekre törekszenek, ez a 200. másodpercig tart. Ezután éri el az elsı jármő a sebességkorlátozást, és lassítani kezd: lassítási idıszak (250-350. mp). A teljes forgalom a sebességkorlátot betartva halad a 400. másodperctıl a 950. másodperig, ez a konstans sebességő idıszak. A gyorsítási idıszak a sebességkorlátozást feloldó tábla elérésétıl az egyéni „kívánt” sebességek elérésig tart (1100. mp). A szimuláció utolsó szakaszában ismét konstans sebességgel haladnak a jármővek (1100-1500. mp). CO2 emisszió [g/s]
A modellezés pontosságát alapvetıen befolyásolja a makroszkopikus változókat mérı hurokdetektorok távolsága. A 2. ábraán már bemutatott szimulációt az alábbi mérési távolságokon hasonlítottuk össze (3. ábra): 2000 m; 1000 m; 500 m hurokdetektor távolságokon. Jól látható, hogy sőrőbb mérésekkel javul a modellezés pontossága. Amennyiben nem áll rendelkezésre valós mérés bizonyos szakaszokon található forgalmi változókról, a mérés nélküli szakaszokon alkalmazott állapotbecslı segítségével pontosíthatjuk a forgalom leírását [1].
Mikroszkopikus modell (E(v,a)) Kétváltozós mezoszkopikus modell (E(v,a)) Egyváltozós mezoszkopikus modell (E(v)
CO2 emisszió [g/s]
150
Mikroszkopikus modell Egyváltozós mezo. modell - HD távolság: 2000m Egyváltozós mezo. modell - HD távolság: 1000m Egyváltozós mezo. modell - HD távolság: 500 m
150
125
125
100
100 75
Idı [s] 200
400
600
800
1000
1200
75
1400
Idı [s]
2. ábra Szimuláció eredménye: emisszió-idı függvény. Jármőszám: 50; sebességkorlát: 70km/h.
200
3. ábra 2.2 Eredmények, értékelés A szimulációk során kiderült, hogy a változó sebességő szakaszokon mind a két-, mind az egyváltozós mezoszkopikus leírás hibával közelíti a valós kibocsátásnak tekintett mikroszkopikus modellt. A konstans sebességő szakaszon a modellek között nincs különbség.
Lassítási szakasz Gyorsítási szakasz
2. táblázat
CO
CO2
NOX
5,6
8,7
3,6
7,8
5,4
7,1
4,7
11,3
-1,4
-3,2
-2,4
-5,9
-2,8
-6,1
-3,4
-7,5
800
1000
1200
1400
Mérési távolságok összehasonlítása. (HD távolság: hurokdetektorok távolsága)
Az elızı fejezetben felállított modell alapján szabályozást terveztünk egy 1,5 km hosszú autópálya szakaszra. Az autópálya forgalom szabályozójele a felhajtó-szabályozás (RM – Ramp Metering), melyet a szakasz közepén található autópálya felhajtó dinamikus szabályozásával valósítottunk meg. A szabályozás lényege, hogy a felhajtón átengedett jármővek számát a fıpálya pillanatnyi forgalmi állapota alapján állapítja meg, úgy hogy a fıpálya áramlása optimális legyen. Ez a forgalomirányítási módszer azonban az eljutási idı optimalizálásán kívül más optimum elérését is célozhatja.
Számítási hibák az egyes szennyezıknél [%] HC
600
3. MODELL ALAPÚ SZABÁLYOZÁS
A 2. táblázatban a mezoszkopikus modellek mikroszkopikus reprezentáció alapján számított károsanyagkibocsátáshoz mért relatív hibája olvasható, az egyes szennyezık szerint. Szennyezı Kétváltozós mez. modell Egyváltozós mez. modell Kétváltozós mez. modell Egyváltozós mez. modell
400
A szabályozási cél az összes eljutási idı (TTS – Total Time Spent) és összes károsanyag kibocsátás (TE – Total Emission) együttes optimalizálása (TTS+TE), ezt a célfüggvényt a korábban elterjedten kitőzött célfüggvénnyel (csak TTS minimalizálás) és a csak az emisszió minimumát célzó (csak TE) szabályozással.
Mikroszkopikus modelltıl való eltérések
A szabályozó tervezésének elsı lépése az irányítandó nemlineáris rendszer linearizálása – ezt munkapont körüli
A gyorsítási szakaszokon a mezoszkopikus modellek jellemzıen alulbecsülik a kibocsátás mértékét, míg a lassítási
3
linearizálással végeztük, a munkapontokat a szabályozási célfüggvények alapján határoztuk meg. Az így létrehozott centrált rendszerre egy lineáris kvadratikus alapú, az úgynevezett szakaszonként lineáris szabályzást alkalmaztuk. A szabályozási stratégiák a munkapontok illetve az állapotsúlyozások megválasztásában térnek el egymástól.
30
HC kibocsátás [g/km/]
25
3.1 Munkapontok számítása
TTS optimális szabályzás
20 15 10 5 0 50
A maximális jármőszám akkor bocsátható át egy keresztmetszeten, ha a szegmensben jellemzı jármősőrőség éppen a kritikus sőrőséggel egyenlı. Ezt a törvényszerőséget illusztrálja a 4. ábraán látható fundamentális diagram. Így a választható munkapontokat a ρkrit értékbe célszerő helyezni.
40
100 30
Jármősőrőség [jm/km]
80 60
20
40
10
20 0
5. ábra
Forgalomsebesség [km/h]
0
Távolságfajlagos emisszió-idı függvény
Forgalomnagyság [jm/h] 1800
TTS és TE optimumot célzó szabályzás
1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 0
10
4. ábra
20 ρkrit 30
40
50
60
70
80
Jármősőrőség [jm/km]
Fundamentális (q(ρ)) diagram
A közös optimumot célzó szabályozásnál ugyan célszerő lenne egyszerre kijelölni TTS és TE ideális munkapontokat (ρ és v értékeket), ez azonban nem lehetséges egyes korlátozó feltételek miatt. Olyan optimum célzása szükséges, mely a szakaszra nézve biztosítja a minimális utazási idıt és a minél alacsonyabb kibocsátást. Így a kiválasztott munkapont a szabályozott szakasz utolsó szegmensének sőrősége (ρ3) és az utolsó két szegmens átlagsebessége (v2, v3). Ezzel lehetséges elérni, hogy a kimenı forgalom a kritikus sőrőség közelében legyen (maximális kimeneti forgalomnagyság), és az autópálya szakasz nagy részén a kibocsátás minimumára törekedjen a szabályzás. 3.2 Torlódás szimuláció a szabályozott rendszeren
TE optimális szabályzás
A szabályzók a szabályozott rendszer teljesítménye alapján hasonlíthatók össze: az egy jármőre jutó eljutási idı illetve az egy jármőre jutó idıfajlagos károsanyag kibocsátás elemzésével.
A munkapont meghatározásához a távolságfajlagos kibocsátást használtuk fel. Idıfajlagos kibocsátást tekintve az optimum a v=0, ρ=0 pontban található, ez azonban fogalomtechnikailag nem értelmezhetı cél. A távolságfajlagos emissziófüggvényt tekintve azonban a sebesség függvényében található olyan minimum, mely forgalomtechnikailag megvalósítható és LQ alapú szabályozás során a rendszer energiaminimumaként tekinthetı. A jármősőrőségnek lineáris függvénye a távolságfajlagos kibocsátás.
Egy összetett forgalmi szituáció során a kezdetben szabadáramlási, stabil állapotban zajló fıpálya forgalmon a 350. másodperctıl kezdıdıen torlódás alakul ki (a szabályozott autópálya szakaszt követı szegmensben lévı útszőkület miatt, mely a 800. másodpercig tart). Ez idı alatt az egész autópálya szakaszon torlódott a forgalom, és a forgalmi sebesség 20 km/h alá lassul. Ehhez társul a felhajtón megjelenı közepes nagyságú felhajtani szándékozó forgalom (800 jm/h középértékő szinuszos gerjesztés).
Távolságfajlagos emisszió-idı függvény: adott jármőmennyiség által egységnyi szakaszon kibocsátott károsanyag mennyisége. Etrip=[g/km] (5. ábra)
Az eset szimulációja segítségével vizsgálható a szabályzók dinamikája: reakciójuk a forgalmi helyzetre, és a költségfüggvények alakulása. A torlódást nem a szabályzók közbeavatkozása oldja fel, hanem magától szőnik meg: ugyanakkor az ez idı alatti változások tanulságosak.
Számítása:
Etrip,i = qi ⋅ E (vi (t )) = vi ⋅ ρ i ⋅ E (vi (t )) = [jm ⋅ g/km]
A szabályzók reakcióját vizsgálva (6. ábra) látható, hogy a leggyorsabb reagálású a többkritériumú (TTS+TE) szabályzó: ez a fıpálya jármősőrőségét és forgalomnagyságát is optimalizálni törekszik. Ennél lassabban reagál a csak eljutási idıt célzó (TTS) szabályzó, ugyanakkor jobb fajlagos
4
Jármőre esı távolságfajlagos kibocsátás- HC [mg/km/jm]
eljutási idıket produkál: a felhajtón rekedı jármőszám abban az esetben kisebb. A leglassabban reagáló szabályzó az emisszió optimális (TE) szabályzó: csak akkor reagál, amikor már kialakult a torlódás, és a fıpálya nagy jármősőrősége jelentısen megnöveli a fajlagos kibocsátást. Forgalmi kezdetben:
változók
q0 = 1200 jm/h v0 = 70 km/h ρ4 = 22 jm/km r2 = 800 jm/h
Forgalmi változók a torlódás alatt (300-1000. sec): q0 = 900 jm/h v0 = 15 km/h ρ4 = 60 jm/km r2 = 800 jm/h
1000
Forgalomnagyság [jm/h]
900
Szabályozatlan TTS optimális TE optimális TTS és TE közös optimum
45 40 35 30 25 20 15 10
20
40
800
8. ábra 700
60
80 100 120 Idı [10 sec]
140
160
Jármőegységre jutó idıfajlagos HC kibocsátás
600 500
200
20
40
6. ábra
60
80 100 120 Idı [10 sec]
140
160
A korábbi kibocsátást optimalizáló szabályozók tervezését tekintve a szerzık nem számszerően indokolták az emissziómodellezés megközelítését: bizonyos esetben makroszkopikus megközelítéső modellt alkalmaztak, más esetben mikroszkopikusat, de a választás pontos indoklása minden esetben elmaradt. Az értekezés elsı fejezetében Szabályozatlan bemutatott vizsgálattal számszerősítettük a különbözı TTS optimális felbontású modellezések közötti különbségeket autópálya TE optimális TTS és TE közös optimum környezetben, és ezek eredményeként meg tudtuk indokolni a késıbbi szabályozás során használt emisszió modell felbontásának választását. Az autópálya forgalom kibocsátását kellıen pontosan jellemzi az egyváltozós modell. Ez azonban csak autópálya környezetben érvényes, szintbeli keresztezıdésekbıl álló hálózatok (pl. város) esetén a gyorsulás mint változó elhanyagolása további vizsgálatot igényel.
260 240 220 200 180 160 140 120 20
180
Cikkünkben a napjainkban rendelkezésre álló valósidejő forgalmi mérések felhasználásával végeztünk modellezést az autópálya forgalom keletkezı károsanyag kibocsátására vonatkozóan, a modellt felhasználva a kibocsátást és eljutási idıt optimalizáló szabályozót terveztünk.
Felhajtón átengedett jármővek száma – torlódás
280
100
4. KONKLÚZIÓ
Szabályozatlan TTS optimális TE optimális TTS és TE közös optimum
400 300
Jármőre esı eljutási idı [sec/jm]
50
40
7. ábra
60
80 100 120 Idı [10 sec]
140
Jármőegységre jutó eljutási idı
160
A kiválasztott emissziófüggvény alkalmazásával modell alapú szabályzót terveztünk egy autópálya szakaszon, a felhajtószabályozást választottuk. A 180bemenıjelnek szabályozott rendszeren futtatott szimulációkból kiderült, hogy a meglévı forgalomirányítási infrastruktúra alkalmazható a károsanyag kibocsátás modellezésére és optimális szabályozására is. A megtakarítás csupán néhány %-os nagyságrendő, de egy korszerő, gazdasági és társadalmi költségeket minimalizálni szándékozó közlekedésmérnöki tervezés során szükséges figyelembe venni egy többkritériumú optimalizálás során. A célfüggvények megfelelı súlyozása gazdasági számítások eredményeként állapítható meg.
5
180
A témához kapcsolódóan számos kutatási irány körvonalazódik: legközelebbrıl tekintve a többkritériumú optimalizálás alkalmazása más szabályozástechnikai módszerekkel, más bemenıjelet – például dinamikus sebességkorlátozást – alkalmazva; egy távolabbi megközelítésbıl a kibocsátás mértékének vizsgálata különleges forgalmi körülmények között (pl. lökéshullám); illetve legtágabban tekintve a problémát a rendszer környezetének megváltoztatása: a kibocsátások vizsgálata hálózati környezetben.
KÖSZÖNETNYILVÁNÍTÁS A munka szakmai tartalma kapcsolódik a "Minıségorientált, összehangolt oktatási és K+F+I stratégia, valamint mőködési modell kidolgozása a Mőegyetemen" c. projekt szakmai célkitőzéseinek megvalósításához. A szerzık köszönetet mondanak az ÚMFT TÁMOP-4.2.1/B-09/1/KMR-2010-0002 program, az NKTH és az OTKA közös OTKA CNK 78168 kutatási projekt, valamint a Bólyai János Kutatási Ösztöndíj támogatásáért.
IRODALOMJEGYZÉK [1]
Varga István; Kulcsár Balázs; Luspay Tamás; Tettamanti Tamás: Korszerő szabályozások a közúti forgalomirányításban. A Jövı Jármőve - Jármőipari Innováció 2008./1 34-36.
[2]
Hesham Rakha et al: Development of VT-Micro model for estimating hot stabilized light duty vehicle and truck emissions, Transportation Research Part D 9 (2004) 49–74
[3]
Liping Xia et al.: Modelling of traffic flow and air pollution emission with application to Hong Kong Island, Environmental Modelling & Software 20 (2005) 1175–1188
[4]
Solomon Zegeye, Bart de Schutter, Hans Hellendoorn and Ewald Breunesse: Reduction of Travel Times and Traffic Emissions Using Model Predictive Control, 2009 American Control Conference June 10-12, 2009
[5]
Turner-Fairbank: Traffic Flow Theory and Characteristics (http://www.tfhrc.gov/its/tft/tft.htm)
[6]
Coelho, Fariasa, Rouphail: A methodology for modeling and measuring traffic and emission performance of speed control traffic signals. Atmospheric Environment, 39. 2367-2376. 2005.
[7]
L. Leclerq, S. Moutari: Hybridization of a class of second order models of traffic flow. Simulation Modelling Practice and Theory 15/2007. pp. 918– 934
[8]
Tamás Luspay, Balázs Kulcsár, István Varga: Macroscopic acceleration of traffic flow models. Draft material, 2009.
6
[9]
Mark Brackstone, Mike McDonald: Car-following: a historical review. Transportation Research Part F 2 (1999) 181-196
[10]
Gazis, D.C., Herman, R. Rothery, R.W.Nonlinear follow the leader models of traffic flow. 1961. Opns. Res. 9, 545-567
[11]
S. P. Hoogendoorn and P. H. L. Bovy: State-of-theart of vehicular traffic flow modelling. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part I: Journal of Systems and Control Engineering, 215(4):283–303, 2001.
[12]
K.G. Arvanitis, G. Kalogeropoulos and T.G. Koussiouris: Singular Value Properties of the Discrete-time LQ Optimal Regulator. Progress in system and robot analysis and control design, vol. 243/1999. pp 29-40
[13]
G.F. Wredenhagen, P.R. Belanger: Piecewise linear control for systems with input constraints. Automatica, vol 36/1994. pp. 403-416.
[14]
Török Ádám: A fenntartható közlekedés és a klímaváltozás kapcsolatának elemzése és értékelése. Környezetgazdaságtan PhD konferencia, Corvinus Egyetem, 2007.
