Atheneum Wispelberg - Wispelbergstraat Gent Bijlage - Leerfiche (3 e jaar 5u wiskunde): Meetkunde overzicht

Atheneum Wispelberg - Wispelbergstraat 2 - 9000 Gent Bijlage - Leerfiche (3ejaar – 5u wiskunde): Meetkunde overzicht

-1 -

Hoofdstuk 1 : Hoeken Complementaire hoeken ( boek pag 7)

Twee hoeken zijn complementair als .............................. van hun hoekgrootten .......... is. Supplementaire hoeken ( boek pag 7)

Twee hoeken noemen we supplementair als .............................. van hun hoekgrootten ............... is. Nevenhoeken:

Nevenhoeken zijn ....................................................... hoeken met één....................... gemeenschappelijk. Stelling van de nevenhoeken:

De bissectrices van twee nevenhoeken staan ......................................... op elkaar nevenhoeken a b en b c   x bissectrice van a b  ⇒ ........................  y bissectrice van b c 


-2 -

Hoeken met benen paargewijs evenwijdig ( boek pag 9-10) Hoeken waarvan de benen paarsgewijs

evenwijdig zijn in dezelfde zin zijn .......................................................

Twee hoeken waarvan de benen paarsgewijs

evenwijdig in tegengestelde zin, zijn .......................................................... Twee hoeken waarvan één paar benen

evenwijdig is in dezelfde zin en één paar benen evenwijdig is in tegengestelde zin, zijn elkaars ................................................

Hoeken met benen paargewijs loodrecht ( boek pag 12-13)

Twee scherpe hoeken of twee stompe hoeken waarvan de benen

paarsgewijs loodrecht op elkaar staan zijn ........................................

Een scherpe hoek en een stompe hoek waarvan de benen

paarsggewijs loodrecht op elkaar staan zijn ....................................


-3 -

Hoeken gevormd door twee evenwijdige rechten en een snijlijn ( boek pag 16) Bewijs + overzicht : (zie boek pag 16) Geval 1: overeenkomstige hoeken

Beide benen ........................................ en in ........................................... zin

Geval 2 : Verwisselende binnenhoeken

Geval 3: Verwisselende buitenhoeken

Beide benen ........................................ en in

Beide benen ........................................ en in

........................................... zin

........................................... zin

Geval 4: Binnenhoeken aan eenzelfde

Geval 5: Buitenhoeken aan eenzelfde

kant

kant

Één paar benen ........................................

Één paar benen ........................................

en in ......................................... zin en één

en in ......................................... zin en één

paar benen ................................................

paar benen ................................................

en ................................................... zin

en ................................................... zin


-4 -

Samenvatting: Middenparrallel van een driehoek MN ......... BC MN = ......... BC

[ MN ] is een ................................................ van de driehoek

ABC

Een lijnstuk dat de middens van twee zijden van een driehoek verbindt, is ........................................ met de derde zijde en is ..................................... als die derde zijde.

Omgekeerd: Een rechte, door het midden van een zijde van een driehoek evenwijdig met een andere zijde getrokken, gaat door het .........................................van de derde zijde.


-5 -

Hoofdstuk 2 : Som Hoekgrootten van een veelhoek Som hoekgrootten van een driehoek Voor ∆ABC geldt: Aˆ + Bˆ + Cˆ = 180 o

Buitenhoek van een driehoek (boek pag 38) Een nevenhoek van een hoek van een driehoek noemen we een buitenhoek van die driehoek

Stelling van de buitenhoek met symbolen ∆ ABC   ⇒ Aˆ 1 = Bˆ + Cˆ Aˆ 1 buitenhoek 

Samenvatting: Som van de hoekgrootten van een convexe veelhoek Convex : ………………………………………. Niet-convex : ………………………………….. Som hoekgrootten Voor ∆ ABC

: …………………………………

Voor een vierhoek ABCD : ………………………………… Voor een n-hoek

: …………………………………

Formule voor de grootte van een hoek van een regelmatige n-hoek ..............................................................................................


-6 -

Hoofdstuk 3: De stelling van Pythagoras Samenvatting: Stelling van Pythagoras:

∆ABC is rechthoekig in Aˆ

⇔ a 2 = ....................................


⇔ (SCHZ )2 = ..................................


-7 -

Hoofdstuk 4 : Driehoeksmeting Rekenen in een rechthoekige driehoek

Stelling van Pythagoras : ∆ABC is rechthoekig in Aˆ

⇔ a2 = b2 + c2


⇔ (SCHZ ) = (RHZ 1 ) + (RHZ 2 )

2

2

2

Lengte van de overstaande rechthoekzijde = Lengte van de aanliggende rechthoekzijde

AC b = c AB

Goniometrische getallen tan α =

sin α =

Lengte van de overstaande rechthoekzijde Lengte van de schuine zijde

cos α =

Lengte van de aanliggende rechthoekzijde Lengte van de schuine zijde

Let op: 0 ≤ cos α ≤ 1 en 0 ≤ sin α ≤ 1

=

=

AC b = a BC AB c = a BC


Eigenschappen van de goniometrische getallen: (boek pag 98) Eigenschap 1 sin α =

cos (90o -

...........)

cos α =

sin (90o -

...........)

Eigenschap 2:

tan α =

sin α cos α

Eigenschap 3 – !!! GRONDFORMULE !!! sin 2 α + cos 2 α = 1

30°

45°

60°

sinus

1 2

2 2

3 2

cosinus

3 2

2 2

1 2

tangens

3 3

1

3

-8 -


-9 -

Hoofdstuk 5 : De driehoek Congruente figuren zijn figuren die ……………………………………… Congruentiekenmerken voor driehoeken : Eerste congruentiekenmerk : ZZZ

Tweede congruentiekenmerk : ZHZ

Derde congruentiekenmerk : HZH

Gevolg: 4e congruentiekenmerk ZHH

Congruentiekenmerk voor een rechthoekige driehoek de ...................................... zijde en één ........................................................... moeten gelijk zijn.


-10 -

Samenvatting: Soorten lijnen in een driehoek

Een hoogtelijn van een driehoek is de ………………………….. uit een hoekpunt van de driehoek op de ............................................ zijde. De drie hoogtelijnen van een driehoek snijden elkaar in ………………… punt : het ……………………........

Een middelloodlijn van een driehoek is een …………………………………………….. van die ................................. De drie middelloodlijnen van een driehoek snijden elkaar in ……………………………

Een bissectrice (deellijn) van een driehoek is een bissectrice van een ............................. van die driehoek De drie bissectrices van een driehoek snijden elkaar in …………………… punt. Een zwaartelijn is een rechte die door een ……………………… gaat en door het ……………………….. van de ........................................ zijde van die driehoek. De drie zwaartelijnen van een driehoek snijden elkaar in …………………punt : het ……...................


-11 -

Samenvatting: Eigenschappen van de lijnen in een driehoek Bissectricestelling : Een bissectrice van een hoek van een driehoek verdeelt de ................................. zijde in stukken waarvan de lengten ...................... zijn met de lengten van ................................... zijden. ∆ ABC x is bis sec trice van Aˆ D snijpunt van x en BC

  ⇒  

BD DC

=

AB AC

Stelling van het zwaartelijnstuk: Het zwaartepunt verdeelt elk .............................. in twee ....................................... waarvan het ene ....................................zo lang is als het andere

AZ zwaartelijn van ∆ ABC ∆ ABC met zwaartelijnstukken [ BN ], [ CP ]   Z snijpunt BN en CP  ⇒ AZ = 2 ⋅ ZM  M snijpunt van AZ en BZ BZ = 2 ⋅ ZN , CZ = 2 ⋅ ZP  Zwaartelijnstuk in een rechthoekige driehoek De ........................ van een zwaartelijnstuk naar de ......................... zijde van een rechthoekige driehoek is de .............................. van de lengte van die schuine zijde.

∆ ABC met Aˆ = 90 o M is het midden van [ BC ]

 1  ⇒ AM = ⋅ BC 2 


-12 -

Hoofdstuk 6 : Projectie en Stelling van Thales De Projectiestelling Als twee rechten x en y scherpe hoeken met grootte α maken dan geldt voor een lijnstuk

[AB ] en zijn loodrechte projectie [A' B' ] op x :

A' B' = AB ⋅ cos α

Opm: De projectie bewaart het midden. Stelling van Thales: De projectie op een rechte behoudt de verhouding van twee op een zelfde rechte gelegen lijnstukken.

a // b // c // d snijden y in A, B, C , D snijden x in A' , B' , C ' , D'

  ⇒  

AB CD

=

A' B' C ' D'

Omgekeerde stelling van Thales: Als een rechte twee zijden van een driehoek in evenredige stukken verdeelt, dan is die rechte evenwijdig met de derde zijde.

∆ ABC met M ∈ [ AB ] en N ∈[ AC ] AM MB

=

AN NC

   ⇒ 

MN // BC


-13 -

Hoofdstuk 7 : Gelijkvormige figuren a) Gelijkvormigheidskenmerk 1 voor driehoeken Twee driehoeken zijn gelijkvormig als paarsgewijs de .............................................. evenredig zijn.

∆ ABC , ∆ A' B ' C ' A' B ' AB

=

B' C ' BC

=

C ' A' CA

   ⇒ ∆ ABC ............∆ A' B ' C '  

b) Gelijkvormigheidskenmerk 2 voor driehoeken Twee driehoeken zijn gelijkvormige als paarsgewijs ............................. evenredig zijn en de .......................... .................................. even groot is.

∆ ABC , ∆ A' B' C ' A' B' AB Aˆ

=

C ' A' CA

= Aˆ '

    ⇒ ∆ ABC ............∆ A' B' C '   

c) Gelijkvormigheidskenmerk 3 voor driehoeken z

∆ ABC , ∆ A' B ' C ' Aˆ = Aˆ ' Bˆ = Bˆ '

    ⇒ ∆ ABC ............∆ A' B ' C '   


Toepassingen op gelijkvormigheid: schaal

getekende lengte werkelijke lengte

= schaal

-14 -


-15 -

Hoofdstuk 8 : De Cirkel Stellingen over een koorde

De loodlijn uit het middelpunt op een koorde deelt die koorde ..........................................

De rechte die het middelpunt verbindt met het midden van een koorde, ................................... op die koorde.

De middelloodlijn van een koorde gaat ..........................................

Middelpuntshoeken en omtrekshoeken (boek pag 303)

Een middelpuntshoek van een cirkel is hoek waarvan het hoekpunt het middelpunt van de cirkel is.

Een omtrekshoek van een cirkel is een hoek waarvan het hoekpunt gelegen is op de cirkel en waarvan de beide benen de cirkel snijden

of waarvan één been de cirkel snijdt en een ander been de cirkel raakt.


-16 -

Stelling van de omtrekshoek:

In een cirkel is een omtrekshoek half zo groot als de middelpuntshoek die op dezelfde boog staat. ) ) Omtrekshoek A en middelpuntshoek O staan beide op boog [ BC ] ⇓ ) 1 ) A = O 2

Stelling: Omtrekshoek van een cirkel op eenzelfde boog

Stelling: Alle omtrekshoeken van een cirkel die op eenzelfde boog staan zijn even groot. ) ) ) ) A, B, C , P1 zijn omtrekshoeken die op de boog [ MP ] staan

⇓ ) ) ) ) A = B = C = P1


-17 -

Omtrekshoek op een halve cirkel:

Een omtrekshoek van een cirkel waarvan de benen door de grenspunten van een middellijn gaan, is recht. Cirkel met middellijn [AB ]

)  o  ⇒ APB = 90 Omtrekshoek P staat op halve cirkel [ AB ] 

Omgekeerde stelling: Een punt van waaruit een lijnstuk onder een rechte hoek gezien wordt, ligt op de cirkel met dit lijnstuk als middellijn.

Atheneum Wispelberg - Wispelbergstraat Gent Bijlage - Leerfiche (3 e jaar 5u wiskunde): Meetkunde overzicht

Recommend Documents