Časová hodnota peněz
(2015-01-18)
Základní pojem moderní teorie financí. Říká nám, že peníze svoji hodnotu v čase mění. Díky časové hodnotě peněz jsme schopni porovnat různé investiční nebo úvěrové nabídky s platbami v různých časových okamžicích, například: • je výhodnější leasing auta se splatností 2, 3 nebo 4 roky? • je lepší nízká akontace u leasingu a vyšší měšíční splátky nebo naopak? • kolik musíme dnes uložit do banky (při úrokové sazbě x % p.a.), abychom si za 4 roky mohli koupit auto za 400 000 Kč? • je výhodnější hypotéka s krátkou splatností (vyšší splátky, ale zaplatím méně na úrocích) nebo s dlouhou splatností (nižší splátky, ale na úrocích zaplatím více)?
Budoucí hodnota (future value) - vyjadřuje hodnotu peněz v budoucnosti. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Budoucí hodnota Kn počátečního kapitálu K0 po n úrokových obdobích při složeném úročení:
ܭ = ܭ ∗ ሺ1 + ݅ሻ , kde ݅ =
ଵ
Rovnice S-BH
Kn ... budoucí hodnota kapitálu K0 po n úrokových obdobích K0 ... současná hodnota neboli počáteční (základní) kapitál i ... úroková sazba (interest rate), cena peněz vyjádřená desetinným číslem; ݅ = ଵ n ... počet úrokových období p ... procentní zhodnocení (úroková sazba) za jedno úrokové období ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Příklad: Budoucí hodnota kapitálu při ročním připisování úroků (vzrůst hodnoty) Uložili jsme částku 120 000 Kč. Jaká bude výše kapitálu za 5 let při složeném úročení, jestliže úrokové období je roční a roční úroková sazba činí 1,5 % p.a.? Řešení: ݊ = 5, ݅ = 0,015 ܭ = 120 000 Kč ܭ = ?
ܭ = ܭ ∗ ሺ1 + ݅ሻ = 120 000 ∗ 1,015ହ = 129 274,08 =ሶ 129 274 Kč Odpověď: Za 5 let bude výše kapitálu 129 274 Kč. (Konec příkladu) Evropský sociální fond Praha a EU – Investujeme do vaší budoucnosti
Časová hodnota peněz - 1
Současná hodnota (present value) - vyjadřuje dnešní hodnotu peněz, hodnotu peněz v současnosti. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Současná hodnota K0 neboli základní kapitál. Současnou hodnotu K0 při složeném úročení získáme vyjádřením z předchozí rovnice S-BH:
ܭ = ሺଵାሻ , kde ݅ =
ଵ
Rovnice S-SH
K0 ... současná hodnota neboli počáteční (základní) kapitál Kn ... budoucí hodnota kapitálu K0 po n úrokových obdobích i ... úroková sazba (interest rate), cena peněz vyjádřená desetinným číslem; ݅ = ଵ n ... počet úrokových období p ... úroková sazba za jedno úrokové období ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Příklad: Vztah mezi současnou a budoucí hodnotou peněz (kapitálu) Kolik musíme dnes vložit do banky, chceme-li si za 4 roky koupit auto za 400 000 Kč při úrokové míře 2 % p.a.? Řešení: 400 000 Kč ... Kn ... budoucí hodnota K0 ... současná hodnota 400 000 Kč ... ? i = 0,02
ସ
ܭ = ሺଵାሻ = ሺଵା,ଶሻర = 369 538,17 =ሶ 370 000 Kč
Odpověď: Dnes musíme vložit do banky 370 000 Kč. Poznámka (k příkladu): • současná hodnota 400 000 Kč, které dostanu za 4 roky, je 370 000 Kč, je-li úroková míra (cena peněz) 2 % p.a. • budoucí hodnota dnešních 370 000 Kč za 4 roky při ceně peněz 2 % p.a. je 400 000 Kč • 370 000 Kč dnes je totéž jako 400 000 Kč za 4 roky při ceně peněz 2 % p.a. (Konec příkladu)
Evropský sociální fond Praha a EU – Investujeme do vaší budoucnosti
Časová hodnota peněz - 2
Nejčastější chyby plynoucí z neznalosti časové hodnoty peněz: • • •
hodnocení výhodnosti leasingu auta podle leasingového koeficientu rozhodování se u hypoték podle zásady „o kolik přeplatím na úrocích“ podcenění vlivu inflace v dlouhodobém horizontu (uvažování podle šablony: „za 20 let mi skončí penzijní připojištění, budu tam mít 600 000 Kč, což mi bude stačit“ místo toho, abychom si položili další otázku: „a co si budu moci za těch 600 000 Kč za 20 let koupit?“)
Počáteční kapitál K0 představuje současnou hodnotu budoucího kapitálu Kn. Současná hodnota kapitálu nám říká, jak velký kapitál K0 musíme dnes uložit, abychom po n úrokových obdobích při úrokové sazbě i a za předpokladu reinvestování (kapitalizace) úroků, tj. při složeném úročení, dosáhli hodnoty kapitálu Kn. Velký význam současné hodnoty tkví v tom, že nám umožňuje navzájem porovnat peněžní částky v čase. Nesmíme totiž zapomenout, že obnos získaný dnes má pro nás větší cenu než tentýž obnos získaný za n let. Čím dříve máme kapitál, tím dříve jej můžeme investovat a tím dříve nám přináší i úroky.
Příklad: Prodej domu - porovnání různě vysokých splátek v různých časových obdobích Představme si, že jsme zdědili rodinný domek, který chceme prodat. Máme 3 zájemce o koupi: 1. zájemce nabízí zaplatit 3 100 tisíc Kč hned 2. zájemce by platil ve 3 splátkách po 1 200 tisíc Kč, 1. splátku hned, 2. po roce a 3. po dvou letech; zaplatil by tedy celkem 3 600 tisíc Kč 3. zájemce by zaplatil 4 100 tisíc Kč přesně za dva roky Kterou nabídku využijeme? Zdroj: KFP, vzdělávací společnost: Metodické listy pro učitele, www.kfp.cz
Řešení:
Můžeme jednotlivé částky jen tak sčítat? Evropský sociální fond Praha a EU – Investujeme do vaší budoucnosti
Časová hodnota peněz - 3
Je jasné, že 1 200 dnes je něco jiného než 1 200 za rok nebo 1 200 nebo 4 100 za dva roky. Potřebujeme zjistit, jakým dnešním částkám odpovídájí budoucí platby - viz nákres:
Jednotlivé šipky znamenají převod BUDOUCÍ HODNOTY na její SOUČASNOU HODNOTU. Použijeme vztah: ܭ =
ሺଵାሻ
, kde ݅ =
ଵ
(Rovnice S-SH)
Za „݅“ dosadíme 10 %, což odpovídá tomu, na co bychom peníze získané prodejem použili; investovali bychom do akcií s očekávanou výnosností 10 % ročně. 1. zájemce ܭ = 2. zájemce ܭ = 3. zájemce ܭ =
ଷ ଵ ሺଵା,ଵሻబ ଵ ଶ
=
ଷ ଵ ଵ
= 3 100
ଵ ଶ
ሺଵା,ଵሻబ ସ ଵ ሺଵା,ଵሻమ
ଵ ଶ
+ ሺଵା,ଵሻభ + ሺଵା,ଵሻమ = 1 200 + 1 091 + 992 = 3 283 = 3 388
Která nabídka je tedy nejvýhodnější? Přepočítejme ještě pro „݅“ rovno 15 % (10 % výnos + 5 % riziková přirážka) a „݅“ rovno 20 % (10 % výnos + 10 % riziková prémie) - viz tabulka:
1. nabídka 2. nabídka 3. nabídka
10 % 3 100 3 283 3 388
15 % 3 100 3 151 3 100
20 % 3 100 3 033 2 847
Na rostoucí cenu peněz („݅“) doplácí nabídky s pozdějšími platbami, 2. nabídka a hlavně 3. nabídka. Můžeme také říci, že čím je 3. nabídka rizikovější, tím je pro nás méně zajímavá. 1. nabídka je „imunní“ vůči ceně peněz v čase, protože všechny peníze dostaneme hned. (Konec příkladu) Evropský sociální fond Praha a EU – Investujeme do vaší budoucnosti
Časová hodnota peněz - 4
Příklad: Vztah mezi současnou a budoucí hodnotou peněz (kapitálu) Kolik musíme uložit na termínovaný vklad, abychom na konci pátého roku měli naspořeno 10 000 Kč při složeném úročení roční úrokovou sazbou 15 % p.a.? Řešení: ݊ = 5; ܭ = 10 000; ݅ = 0,15
ଵ
ܭ = ሺଵାሻ = ሺଵା,ଵହሻఱ = 4 971,77 =ሶ 4 972 Kč
Odpověď: Musíme uložit 4 972 Kč. Poznámka (k příkladu): • současná hodnota 10 000 Kč, které dostanu za 5 let, je 4 972 Kč, je-li úroková míra (cena peněz) 15 % p.a. • budoucí hodnota dnešních 4 972 Kč za 5 let při ceně peněz 15 % p.a. je 10 000 Kč • 4 972 Kč dnes je totéž jako 10 000 Kč za 5 let při ceně peněz 15 % p.a. (Konec příkladu)
Evropský sociální fond Praha a EU – Investujeme do vaší budoucnosti
Časová hodnota peněz - 5
