ARATÓ MIKLÓS NEM-ÉLETBIZTOSÍTÁSI MATEMATIKA

ARATÓ MIKLÓS

NEM-ÉLETBIZTOSÍTÁSI MATEMATIKA

EGYETEMI TANKÖNYV 2001

Lektor:

Michaletzky György

Az „Általános biztosításmatematika” egyetemi jegyzet (Eötvös Kiadó, 1997) javított, bıvített kiadása

ELİSZÓ 1997-ben jelent meg az Általános biztosításmatematika címő egyetemi jegyzet, melynek ez a tankönyv bıvített és javított kiadása. Az azóta eltelt idıben több egyetemen is indítottak biztosításmatematikai képzést, a biztosítóintézeteknél is egyre többen foglalkoznak aktuáriusi feladatokkal. Többen javasolták, hogy az eredeti anyagot bıvítsem néhány az alkalmazásban nagyon fontos témával. Ezért foglalkoznak új fejezetek a bónusz-málusz rendszerekkel és a nem-életbiztosítási tartalékolási módszerekkel. A bónusz-málusz rendszerekrıl szóló fejezetben J. Lemaire – az aktuárius szakmában általánosan elfogadott – [19] könyv felépítését követtem. A számítások ellenırzésében nagy segítségemre volt Regıs Gábor, aki szakdolgozata elkészítésénél a tankönyvben szereplıtıl eltérı módszerekkel elvégezte a magyar kötelezı gépjármő-felelısségbiztosításra vonatkozó hasonló számításokat. A nem-életbiztosítási tartalékokról szóló részben szereplı módszerek közül többnél az angol aktuáriusok tartalékolási kézikönyvét [13] vettem alapul. Szeretném hangsúlyozni, hogy jelen könyv oktatási célokat szolgál és a gyakorlati munkában a körülmények, hatályos jogszabályok figyelembe vétele mellett használható csak fel. A könyvben szereplı példák és feladatok közül néhányat már kitőztem a Magyar Aktuárius Társaság feladatmegoldó versenyein. Boncz András, Hanák Gábor és Mócsy Miklós megoldásainak néhány gondolatát felhasználtam a példák tárgyalásánál. Köszönetet szeretnék mondani Arató Mátyásnak, Hanák Gábornak, Korándi Mártának, Marosi Juditnak és Prokaj Vilmosnak, akik a készülı tankönyv egy-egy részét elolvasták és észrevételeikkel segítették munkámat. Végül, de nem utolsósorban, megköszönöm Michaletzky György figyelmes lektori munkáját. Észrevételeit figyelembe véve a kéziratot több helyen is pontosítottam. Budapest, 2001. április 15. Arató Miklós

3

ELİSZÓ AZ 1997. ÉVI KIADÁSHOZ A jegyzet, amit az olvasó a kezében tart, az ELTE TTK Matematikus szakán 1993 tavasza óta tartott Díjkalkuláció elıadás anyagai alapján készült. Tehát a jegyzet elsısorban matematikus hallgatók számára íródott, de remélem, haszonnal forgatják a biztosításmatematika iránt érdeklıdı más szakos hallgatók és esetleg a korábban végzettek is. Elıször tisztázni szeretném a talán nem teljesen érthetı címet. Az általános biztosításmatematika elnevezés leginkább az angol general insurance mathematics fogalomnak akar megfelelni. A nem-életbiztosítási matematika elnevezést nemcsak rossz hangzása miatt nem akartam használni, hanem mert az itt tárgyalt eszközök esetenként alkalmazhatók az életbiztosításban is. A kötet megértéséhez általában elegendı egy standard valószínőségszámítási kurzus ismerete. A matematikai statisztika ismeretének hiánya ugyan csak néhány példa megértését nehezítheti meg, de azért hangsúlyozni szeretném, hogy a biztosításmatematikai munkák elvégzéséhez elsısorban alapos matematikai statisztikai tudás és csak másodsorban a speciális biztosításmatematikai ismeretek szükségesek. A jegyzet a biztosítási alapfogalmak ismertetésével kezdıdik. Ez a nagyon rövid ismertetı kíván segítséget nyújtani a biztosítási munka elkezdéséhez, és segít megérteni a példákat és feladatokat. Az elsı fejezet az összkár eloszlásának meghatározásával foglalkozik. Az itt szereplı eloszlásokat és modelleket ténylegesen alkalmazzák a biztosítási gyakorlatban. A második fejezet különbözı díjkalkulációs elveket vezet be, és ezek tulajdonságait vizsgálja. A gyakorlatban ezeket az eredményeket kevéssé alkalmazzák, de ismeretük ötleteket adhat a munkában. A harmadik fejezet pont ellenkezıleg, a gyakorlatban nagyon jól alkalmazható elmélettel, a credibility elmélettel foglalkozik. Ez utóbbi nem más, mint a biztosításmatematika bayesi megközelítése. Az utolsó, negyedik fejezetben inkább csak leíró jelleggel ismertetem a bónusz-rendszerekkel és a tartalékolással kapcsolatos problémákat. Ezt a részt a késıbbiekben mindenképpen bıvíteni szeretném. Mit nem tartalmaz a jegyzet? Nincs benne szó a kockázati folyamatokról és viszontbiztosításról. Ezeket a témákat tanszékünk külön óra keretében oktatja, jegyzetek is készültek ([3], [22], [23]). Nem térek ki olyan fontos témákra, mint szolvencia, befektetések optimalizálása, infláció elemzése és még sok másra, mivel ezzel jelentısen túllépném egy féléves tárgy jegyzetének kereteit. Nem talál az olvasó valóságos káradatokat sem, néhány kivételtıl elte-

4

kintve, amikor cikkekben vagy más könyvekben szereplı példákra hivatkozom. Ennek oka, hogy lényegében nem rendelkezem publikus káradatokkal. Igyekeztem a fogalmak, problémák biztosítási hátterét megvilágítani, ezért több feladatot és példát szerepeltetek. Azokban az esetekben, amikor egy példa kidolgozásánál felhasználom egy-egy volt diákom megoldását, akkor hivatkozom rájuk, de valamennyi példát kiszámoltam magam is. Nagyon ajánlom az olvasónak, hogy oldja meg a feladatokat, melyek között nehezek és könnyőek egyaránt szerepelnek, mivel a témát így értheti meg legjobban. Tudomásom szerint a jegyzet témájában magyarul eddig három könyv (jegyzet) jelent meg [24], [21] és [11]. Mindhárom könyv más-más olvasóközönséget célzott meg és tematikájuk jelentısen eltér az adott jegyzetétıl, ezért tartottam szükségesnek megírását. Más nyelveken most már igen sok biztosításmatematikai könyv jelent meg, ezek közül én a [12] és [25] könyvekbıl tanultam a legtöbbet. A díjkalkulációs elvek témakörében a [24] jegyzet a legpontosabb az összes általam ismert közül. Köszönetet szeretnék mondani Arató Mátyásnak, Ikonomu Ágnesnek, Korándi Mártának, Márkus Lászlónak, Zavodnyik Józsefnek és Zsigri Gábornak, akik a készülı jegyzet egyegy részét elolvasták és észrevételeikkel segítették munkámat. A jegyzet elkészítéséhez szükséges számítógépes ismeretekbıl sokat adott át nekem Zsigri Gábor. Végül, de nem utolsósorban, megköszönöm a lektorok figyelmes munkáját. Észrevételeiket és javaslataikat figyelembe véve a kéziratot több helyen is pontosítottam, például a 2.1.3. Állítás élesítését és bizonyításának egyszerősítését Móri Tamás javasolta. Budapest, 1997. március 6. Arató Miklós

5

TARTALOMJEGYZÉK BEVEZETÉS............................................................................................................................ 10 1. FEJEZET KÁRÖSSZEG MEGHATÁROZÁSA ..................................................................................... 16 1.1. EGYÉNI KOCKÁZAT MODELLJE ........................................................................... 16 Kárösszeg rekurziós meghatározása ............................................................................... 17 Normális közelítés .......................................................................................................... 21 1.2. NEVEZETES KÁRSZÁMELOSZLÁSOK.................................................................. 24 (a,b,0) eloszlások ............................................................................................................ 24 Negatív binomiális kárszám............................................................................................ 26 További kárszámmodellek .............................................................................................. 28 A kárszám eloszlásának azonosítása............................................................................... 31 1.3. NEVEZETES KÁRELOSZLÁSOK............................................................................. 34 Hagyományos káreloszlások ........................................................................................... 35 Önrészek és káreloszlások .............................................................................................. 40 Infláció és káreloszlások ................................................................................................. 43 1.4. ÖSSZETETT KOCKÁZAT MODELLJE.................................................................... 43 Panjer-rekurzió................................................................................................................ 44 Összetett Poisson-eloszlások .......................................................................................... 47 2. FEJEZET DÍJKALKULÁCIÓS ELVEK .................................................................................................. 52 2.1. KLASSZIKUS DÍJELVEK .......................................................................................... 52 A várható érték elve ........................................................................................................ 52 A maximális veszteség elve ............................................................................................ 53 Kvantilis elv .................................................................................................................... 54

6

Szórásnégyzet elv............................................................................................................ 55 Szórás elv ........................................................................................................................ 55 Féloldali szórásnégyzet elv ............................................................................................. 55 2.2. AZ ÁTLAGOS ÉRTÉK ELVE .................................................................................... 57 Az átlagos érték elv karakterizációja .............................................................................. 59 2.3. ELMÉLETI DÍJELVEK ............................................................................................... 65 A zéró hasznosság elve ................................................................................................... 65 A svájci díjkalkulációs elv .............................................................................................. 66 Veszteségfüggvény elv.................................................................................................... 67 2.4. DÍJKALKULÁCIÓS ELVEK TULAJDONSÁGAI .................................................... 68 A várható érték túllépése és a no-ripoff feltétel .............................................................. 68 Rendezésmegtartás.......................................................................................................... 69 Homogenitás ................................................................................................................... 69 Additivitás és eltolásinvariancia ..................................................................................... 69 Iterálhatóság .................................................................................................................... 70 Szubadditivitás................................................................................................................ 71 3. FEJEZET CREDIBILITY ELMÉLET ÉS A TAPASZTALATI DÍJSZÁMÍTÁS.................................... 73 3.1. Credibility modellek ..................................................................................................... 75 Bühlmann-modell (eredeti) ............................................................................................. 75 Bühlmann-modell (klasszikus) ....................................................................................... 77 Bühlmann–Straub-modell ............................................................................................... 81 3.2. Tapasztalati díjszámítás................................................................................................ 82 4. FEJEZET BÓNUSZ RENDSZEREK ....................................................................................................... 85 4.1. KÁRMENTESSÉGI DÍJVISSZATÉRÍTÉSEK ........................................................... 85 7

4.2. KÁRMENTESSÉGI ENGEDMÉNY........................................................................... 91 4.3. BÓNUSZ–MÁLUSZ RENDSZER .............................................................................. 91 4.4. VISZONYLAGOS STACIONÁRIUS KÖZÉPSZINT ................................................ 94 4.5. DÍJAK SZÓRÁSI EGYÜTTHATÓJA....................................................................... 101 4.6. BÓNUSZ–MÁLUSZ RENDSZEREK ELASZTICITÁSA....................................... 103 5. FEJEZET TARTALÉKOLÁS................................................................................................................. 108 5.1. A BIZTOSÍTÓK ÉVES BESZÁMOLÓJA ................................................................ 108 5.2. MEG NEM SZOLGÁLT DÍJAK TARTALÉKA....................................................... 109 5.3. MATEMATIKAI TARTALÉK.................................................................................. 112 5.4. FÜGGİKÁROK TARTALÉKA ............................................................................... 114 Kifutási háromszögek ................................................................................................... 116 Kifizetett károk elırevetítése ........................................................................................ 117 Tételes függıkárok és kifizetett károk elırejelzése ...................................................... 128 Kárhányadon alapuló elırejelzések............................................................................... 130 Szeparációs módszer ..................................................................................................... 131 IBNR tartalékolás.......................................................................................................... 133 5.5. EREDMÉNYTİL FÜGGETLEN DÍJVISSZATÉRÍTÉSI TARTALÉK .................. 135 5.6. EREDMÉNYTİL FÜGGİ DÍJVISSZATÉRÍTÉSI TARTALÉK............................ 141 5.7. KÁRINGADOZÁSI TARTALÉK ÉS A NAGYKÁROK TARTALÉKA ................ 141 5.8. EGYÉB BIZTOSÍTÁSTECHNIKAI TARTALÉK.................................................... 141 6. FEJEZET EGYÉB BIZTOSÍTÁSI PROBLÉMÁK ................................................................................ 144 8

6.1. KÁRARÁNY ELİREJELZÉSE MINT A LEGEGYSZERŐBB KALKULÁCIÓS MÓDSZER ........................................................................................................................ 144 6.2. EGY BALESETBIZTOSÍTÁSI PÉLDA.................................................................... 149 1. sz. FÜGGELÉK: NEVEZETES KÁRSZÁMELOSZLÁSOK........................................... 156 2. sz. FÜGGELÉK: NEVEZETES KÁRELOSZLÁSOK...................................................... 157 3.sz. FÜGGELÉK: DÍJELVEK TULAJDONSÁGAI............................................................ 158 4. sz. FÜGGELÉK: A LAPLACE-TRANSZFORMÁLT TULAJDONSÁGAI.................... 159 5. sz. FÜGGELÉK: VÉGES MARKOV-LÁNCOK NÉHÁNY TULAJDONSÁGA ........... 160 6. sz. FÜGGELÉK: A MAGYARORSZÁGI BÓNUSZ–MÁLUSZ RENDSZER PARAMÉTERMEGHATÁROZÓ MAPLE PROGRAMJA ................................................. 161 7. sz. FÜGGELÉK: A BIZTOSÍTÓK MÉRLEGÉNEK ÉS EREDMÉNYKIMUTATÁSÁNAK SZERKEZETE ............................................................. 164 IRODALOM........................................................................................................................... 168 TÁRGYMUTATÓ ................................................................................................................. 170

9

BEVEZETÉS A bevezetésben szeretnénk összefoglalni azokat a biztosítási fogalmakat, amelyek ismeretére a jegyzet olvasása során szükség lesz. Természetesen ez az összefoglaló nagyon rövid, összeállításánál nem törekedhettünk teljességre. Leírjuk, hogy milyen valószínőségszámítási objektumokat feleltetünk meg a legfontosabb biztosítási fogalmaknak, és ismertetjük alkalmazott jelöléseinket. Mi is a biztosítás? Összetettsége miatt nem is próbálkozunk meghatározásával, csak körülírásával: valaki valakinek, bizonyos esemény bekövetkezte esetén, fizet. Ki fizet? A biztosító. A jegyzetben biztosítónak fogjuk nevezni a biztosító részvénytársaságokon kívül a biztosító szövetkezetet és egyesületet, az önkéntes kölcsönös pénztárakat és a viszontbiztosítókat is. Hogy jön létre általában a biztosítás? A biztosítóval szerzıdést köt a szerzıdı, így biztosítása lesz. A biztosítás bizonyos idıre szól, ezt az idıt nevezik a biztosítás tartamának. A biztosítás lehet határozatlan vagy határozott tartamú. Határozott tartam esetén a szerzıdés meghatározott idıre, például öt évre szól. Határozatlan tartam esetén a biztosítás addig érvényes, amíg meg nem szőnik (például a biztosító vagy a szerzıdı fel nem mondja, illetve díjnemfizetés miatt). A tartamot gyakran felosztják rögzített idıtartamokra, a biztosítási idıszakokra, melyek végén a biztosító módosíthatja a díjat, szerzıdést bonthat (bizonyos megszorításokkal). A szerzıdı az, aki a biztosítónak fizet. Mit fizet? A biztosítási díjat. Miért fizet? Mert valamilyen jövıbeli esemény bekövetkezte esetén pénzt vár a biztosítótól. Ezt a jövıbeli eseményt nevezik biztosítási eseménynek. Mi a biztosítási esemény? Olyan esemény, amely a biztosítotthoz kapcsolódik. Leggyakrabban a biztosítási esemény valami rosszat jelent a biztosítottnak, például meghal, de jelenthet jót is, például gyermekszületést. Általában követelmény az, hogy a biztosítási esemény bekövetkezte vagy annak ideje legyen bizonytalan. Új fogalom: a biztosított. A biztosított személye gyakran megegyezik a szerzıdıével, de nem feltétlenül. Lehet természetes és jogi személy is. Azt az idıszakot, mely alatt a biztosítási esemény bekövetkezhet, a szerzıdés hatályának (tartamának) nevezik.

10

Ha a biztosító meggyızıdött a biztosítási esemény bekövetkeztérıl és arról, hogy szolgáltatnia kell, az esetben káresemény történt. Ekkor fizetni kell, és azt az összeget, amit a biztosító kifizet, nevezik szolgáltatásnak, illetve a biztosító szempontjából kárnak. Mennyit kell fizetni? Ez elsısorban a biztosítási összegtıl függ. Ha szerepel a szerzıdésben, meghatározza a maximálisan kifizethetı összeget. A kifizetés lehet maga a biztosítási összeg, vagy annak megfelelı százaléka, és lehet a károsodás mértéke is. Ki kapja a szolgáltatást? A kedvezményezett, illetve felelısségbiztosításoknál alapesetben a károsult. Személye gyakran megegyezik a szerzıdıvel vagy biztosítottal, ezért vagyonbiztosítások esetén általában nem is írják ki a szerzıdésben. Hogy egy kissé megvilágítsuk az elıbbi fogalmak jelentését, tekintsük a következı két példát. 0.1. Példa: Kis János a Cérna Mővek alkalmazásában áll, portásként dolgozik. Kis János és a Cérna Mővek is a HORGOL Biztosító Egyesület tagjai. A Cérna Mővek baleseti rokkantságra szóló biztosítást kötött Kis Jánosra a HORGOL Egyesülettel 1993. december 21-én. A biztosítás szerint, ha Kis János 1994-ben bekövetkezı balesetben megrokkan, akkor az egyesület 100 ezer Ft-nak a megrokkanási fok szerinti százalékát fizeti ki Kis Jánosnénak. A Cérna Mővek 250 Ft-ot fizetett az egyesületnek 1993. december 21-én. Kis János 1994. december 31-én 11 óra 49 perckor villamos alá esett, minek következtében 1995. január 1-én jobb lábát amputálták. 1995. november 5-ére az egyesület megállapította Kis János megrokkanását és 1996. január 10-én kifizette Kis Jánosnénak a 100 ezer Ft 50%-át, 50 ezer Ft-ot. Használjuk erre a példára a biztosítási alapfogalmakat: 1. Biztosító: HORGOL Biztosító Egyesület 2. Szerzıdı: Cérna Mővek 3. Biztosított: Kis János 4. Kedvezményezett: Kis Jánosné 5. Biztosítás tartama: 1 év, 1994.I.1.-1994.XII.31. (határozott tartam) 6. Biztosítási esemény: Kis János baleseti megrokkanása 7. Biztosítási összeg: 100 ezer Ft 8. Biztosítási díj: 250 Ft 9. Káresemény: Kis János 1994. december 31-i balesete miatti testi sérülése 10. Szolgáltatás (kár): 50 ezer Ft

11

0.2. Példa: Szabó Gyöngyvér lopás CASCO biztosítást köt LADA gépkocsijára a Magyarország Biztosítóval 1994. február 25-én. Havi díja 1000 Ft, az elsı díjat szerzıdéskötésnél befizette. Ekkor: 1. Biztosító: Magyarország Biztosító 2. Szerzıdı: Szabó Gyöngyvér 3. Biztosított (ezt nem szokták kiírni): Szabó Gyöngyvér 4. Kedvezményezett (ezt nem szokták kiírni): Szabó Gyöngyvér 5. Biztosítás tartama: határozatlan tartamú 6. Biztosítási idıszak: 1 év 7. Biztosítási esemény: Szabó Gyöngyvér LADA gépkocsijának ellopása 8. Biztosítási összeg: Szabó Gyöngyvér LADA gépkocsijának értéke 9. Biztosítási díj: 1000 Ft/hó Miért kötnek az emberek biztosítást? Többnyire azért, mert úgy gondolják, hogy bizonyos események bekövetkezte esetén pénzre (vagy például egészségpénztár esetén szolgáltatásra) lesz szükségük, és ezt önerıbıl nem, vagy csak nehezen tudják fedezni. Tehát leggyakrabban védelmet, biztonságot várnak a biztosítás megkötésétıl. Mi a célja az üzleti biztosítónak a biztosításokkal? Természetesen nyerni szeretne rajta. A két cél nem mond ellent egymásnak, hiszen a biztosítottak védelemben részesülnek, összességében pedig a biztosító nyer az üzleten. Ebben az esetben egy picit más a biztosító egyesület és az önkéntes pénztár helyzete, hiszen a biztosítottak egyben tagok is, és elvileg nem cél a profitszerzés. A biztosító biztosítástípusait, -fajtáit csoportokba sorolja, ezek a következık (bıvülı sorrendben): módozat, biztosítási ágazat, biztosítási ág. Magyarországon két biztosítási ág van az élet ág és a nem-élet ág. A régebben alapított biztosítók mindkét biztosítási ágat mővelhetik, az 1995 után csak egy ágra lehet biztosítót alapítani. Az ágazatok hasonló jellegő vagy típusú biztosítások összességei. Az egy módozathoz tartozó biztosítások azonos feltételszövegőek (a biztosítási szerzıdés tipizált, elıre nyomtatott része), legfeljebb paramétereik különböznek. Az alábbiakban megpróbálunk néhány alapvetı biztosítástípust felsorolni, általában az ágazati és ági besorolás ezek alapján történik. a) Életbiztosítás: a biztosítási esemény általában a biztosított (nem jogi!) személy életbenlétéhez vagy halálához kapcsolódik. A szolgáltatás leggyakrabban elıre rögzített (a biztosítási összeg).

12

b) Balesetbiztosítás: a biztosító a biztosított személy baleseti sérülésébıl adódó halála, megrokkanása, csonttörése stb. esetén fizethet. c) Betegségbiztosítás: értelemszerően betegség esetén fizet a biztosító. A szolgáltatás lehet fix összegő, ekkor a szerzıdéskötés során rögzítik, hogy milyen betegség, mőtét esetén, kórházban töltött napra mennyit fizet a biztosító. Másrészt a szolgáltatás a gyógyítás költségfedezetét adhatja. Például az egészségpénztárak csak ez utóbbi szolgáltatást vállalhatják. Az eddig felsorolt biztosításfajtákat összefoglalóan személybiztosításnak nevezik. d) Vagyonbiztosítás: szők értelemben a vagyontárgyak biztosítását jelenti, amely a vagyontárgyakban bekövetkezett károk esetén nyújt szolgáltatást. A tágabb értelmezés szerint, mely általánosan elfogadott, vagyonbiztosításnak tekintik a felelısségbiztosításokat, kereskedelmi és hitelkockázatokhoz tartozó biztosításokat is. e) Felelısségbiztosítás: a biztosított által másnak okozott kár esetén nyújt fedezetet. f) Viszontbiztosítás: a biztosított ebben az esetben maga is biztosító, a biztosítási esemény az általa kötött biztosításokhoz kapcsolódik. A b), c), d), e) biztosítástípusokat együttesen nem-életbiztosításoknak nevezik. A neméletbiztosítások a viszontbiztosításokkal

együtt alkotják az általános biztosítást (general

insurance). A jegyzetben ez utóbbi fogalomba beleértjük a kockázati életbiztosításokat (amikor a biztosító csak a biztosított halála esetén fizet) is. Szükségünk lesz még néhány biztosítási alapfogalomra. A biztosítónak természetesen költségei vannak, ezért a biztosítási díj nemcsak a biztosítási szolgáltatás, hanem a költségek fedezetét is nyújtja. A teljes díjat bruttó díjnak nevezik. A díj, mely csak a szolgáltatások fedezetét nyújtaná, a nettó díj (ennek meghatározása nem mindig történik meg). A biztosító egy módozatához (ágazatához, ágához, egész biztosítóhoz) tartozó biztosítások összességét veszélyközösségnek (portfóliónak, kockázatközösségnek) nevezik. A biztosító biztonságos mőködésének egyik legfontosabb feltétele a megfelelı veszélyközösség létrehozása. Az egy biztosításra vagy biztosítások csoportjára kifizetendı pénzösszeget (nagysága bizonytalan!) nevezzük a jegyzetben kockázatnak. Külön szeretnénk hangsúlyozni, hogy a jegyzetben használjuk így ezt a fogalmat. Ez a szóhasználat megfelel a [8] és [10] könyvek terminológiájának, de a biztosítási és közgazdasági irodalomban a kockázatnak a legkülönbözıbb más meghatározásai is elıfordulnak /lásd errıl bıvebben az [1] könyvet/. A biztosítási üzlet egyik legnagyobb nehézsége az, hogy a díjfizetés, káresemény, kár13

bejelentés és szolgáltatás idıpontjai eltérnek egymástól, elıfordul, hogy évek vagy akár évtizedek is eltelhetnek közöttük. Ezért elengedhetetlen a biztosítási tartalékok képzése. A tartalékok megképzése módszerének kidolgozása a biztosító matematikusának egyik legfontosabb feladata. Mi a biztosítási tartalék? Általában azt mondhatjuk, hogy az a pénzösszeg, amit a tartalékolás idıpontja elıtt megkötött biztosításokra félre kell rakni, mivel a késıbbi befizetések nem feltétlen fedezik a késıbbi szolgáltatásokat. Felsoroljuk a legfontosabb tartalékfajtákat: a) Meg nem szolgált díjak tartaléka: gyakran a befizetett díj által fedezett idıszak átnyúlik a tartalékolás utáni idıre, ekkor általában a díjat a kezdeti költségek levonása után arányosan megosztják a tartalékolás elıtti és utáni idıszak között. b) Matematikai tartalék: életbiztosításokra, betegségbiztosításokra, járadékokra képzett tartalék. c) Függıkártartalék: a tartalékolás idıpontja elıtt bekövetkezett (beleértve az okozottakat is) de még nem vagy nem teljesen kifizetett károkra képzett tartalék. Két részre oszlik, egyrészt a már ismert (bejelentett) károkra képzett tartalékra, másrészt a biztosító által még nem ismert (nem bejelentett) károkra képzett tartalékra. Ez utóbbi károk nemzetközileg elismert rövidítése IBNR. d) Káringadozási tartalék: a biztosító eredményébıl a kedvezıtlen évekre tartalékolt összeg. Ez tartalmilag teljesen különbözik az összes többi tartaléktól, mert ebben az esetben nem feltétlenül a már meglévı szerzıdések szolgáltatásaira történik a tartalékolás. Amikor a biztosító a tapasztalatok alapján a biztosítások mőködését értékeli, néhány alapvetı mérıszámot alkalmaz: a) kárhányad: a kárkifizetések és a beszedett díjak hányadosa; b) kárarány: a kárkifizetések és a biztosítási összegek összegének hányadosa; c) kárgyakoriság: a kárszám és a szerzıdésszám hányadosa (bizonyos esetekben szerzıdésszám helyett más szerepel, pl. utaskilométer); Az eddig ismertetett fogalmakra a következı matematikai modellt alkalmazzuk. A kockázatnak nemnegatív, a kárszámnak nemnegatív egész értékő, a kárnak pozitív valószínőségi változót feleltetünk meg. Tehát a jegyzetben a kockázat, a kárszám és a kár valószínőségi változó! Mivel nemnegatív változókról van szó, ezért egyik legfıbb eszközünk a Laplacetranszformált, kárszám esetében a generátorfüggvény is. Ha ξ ≥ 0 nemnegatív valószínőségi változó, akkor a következı jelöléseket alkalmazzuk:

14

Qξ : ξ eloszlása, Fξ : ξ eloszlásfüggvénye, fξ : ξ sőrőségfüggvénye (ha abszolút folytonos eloszlású). Eξ : ξ várható értéke, Dξ : ξ szórása, D 2ξ : ξ szórásnégyzete.

( ) ( z ) = E(z ), z ≤ 1 : ξ

L ξ ( s ) = E e − sξ , s ≥ 0 : ξ eloszlásának Laplace-transzformáltja. Gξ

ξ

generátorfüggvénye ( ξ egész értékő is).

Végül egy formai megjegyzés: a bizonyítások végét *** jelzi.

15

1. FEJEZET

KÁRÖSSZEG MEGHATÁROZÁSA

Egy biztosító számára létkérdés, hogy ismerje szerzıdésenként, módozatonként, ágazatonként a jövıben kifizetendı károk összegének tulajdonságait. Egy picit matematikusabban fogalmazva azt mondhatjuk, hogy ismernünk kell a kárösszeg eloszlását. Természetesen, hogy az ismeret megszerzéséhez elıször a korábbi károk statisztikai vizsgálatát kell elvégezni. Mi a továbbiakban azzal a feladattal foglalkozunk, hogyan lehet a kárösszeg eloszlását meghatározni, közelíteni, ha adottak bizonyos alapeloszlások. Ennek a feladatnak alapvetıen két megközelítése van: Az egyéni kockázat modellje, amikor a szerzıdések kockázatait összegezzük. Az összetett kockázat modellje, ahol a károk összegét tekintjük.

1.1. EGYÉNI KOCKÁZAT MODELLJE Veszélyközösségünk n szerzıdésbıl áll és az összkár:

S = X 1 + X 2 + ... + X n , ahol X i : az i. szerzıdésre jutó kárkifizetés, amelyekrıl feltételezzük, hogy függetlenek és eloszlásuk ismert. Milyen esetekben alkalmazzák ezt a modellt? Elsısorban akkor, amikor veszélyközösségünk nem homogén, azaz az X i -k nem azonos eloszlásúak. Természetesen a modell alkalmazható homogén esetben is, de ilyenkor mindig meg kell gondolni, hogy nem kényelmesebbe az összetett modell alkalmazása. Biztosításfajtákat tekintve leggyakrabban balesetbiztosítások vagy kockázati életbiztosítások esetén alkalmazzák ezt a modellt, hiszen ott gyakran egy szerzıdésnél csak egyfajta, elıre rögzített kárnagyság lehet, ami, mint látni fogjuk, nagyban megkönnyíti a számolást. Valószínőségszámítási kurzusokból ismert, hogy több eloszlás konvolúciójának meghatározása általában igen nehéz feladat. Így S eloszlását nem mindig tudjuk meghatározni, de 16

persze bizonyos jellemzıit igen, mint például a várható értékét, szórásnégyzetét, Laplacetranszformáltját. A következıkben néhány speciális esetet vizsgálunk meg.

Kárösszeg rekurziós meghatározása Tekintsük a következı modellt, mely jól írja le például egy életbiztosítási vagy baleseti halál esetére szóló módozat veszélyközösségét:

P( X j = 0 ) = p j , P( X j = b j ) = q j = 1 − p j , ahol b j (a j. szerzıdés biztosítási összege) pozitív egész, j = 1,2,..., n. Jelölje az elsı j szerzıdés összkárát S j : S j = X 1 + X 2 + ... + X j ,

ekkor nyilvánvalóan:

p j ⋅ P(S j −1 = k ), k < b j  P(S j = k ) =  .  p j ⋅ P(S j −1 = k ) + q j ⋅ P (S j −1 = k − b j ), k ≥ b j Nem túl nagy n-ekre ez az eljárás jól alkalmazható, amit tapasztalhatunk, ha megoldjuk a következı életbiztosítási feladatot.

1.1.1. Feladat: ([14] 136. oldal) Egy kis kanadai vállalat csoportos életbiztosítást kötött 14 személyre. A biztosított személyek adatait az alábbi táblázat tartalmazza.

Biztosított

Kor

j

év

1

20

2

Nem

Biztosítási összeg

Halálozási valószínőség

bj

qj

Férfi

15 000

0,00149

23

Férfi

16 000

0,00142

3

27

Férfi

20 000

0,00128

4

30

Férfi

28 000

0,00122

5

31

Férfi

31 000

0,00123

6

46

Férfi

18 000

0,00353

7

47

Férfi

26 000

0,00394

8

49

Férfi

24 000

0,00484

9

64

Férfi

60 000

0,02182

10

17

Nı

14 000

0,00050

11

22

Nı

17 000

0,00050

12

26

Nı

19 000

0,00054

13

37

Nı

30 000

0,00103

17

14

55

Nı

55 000

Összesen

0,00479

373 000

Jelöljük S-sel a biztosító által erre a szerzıdésre egy év alatt kifizetendı összeget. Határozzuk meg S eloszlását és következı jellemzıit minden k-ra:

ES , D 2 S , P(S ≤ k ), E S − k . +

1.1.2. Feladat: Oldjuk meg ugyanezt a feladatot magyar halandósági adatokkal! Az alább ismertetett rekurzió alkalmazásakor feltételezzük, hogy veszélyközösségünkben minden biztosítottnak megint csak egyfajta, elıre rögzített kára lehet. A szerzıdéseket a biztosítási összeg nagysága (i) és a kár bekövetkeztének valószínősége (0< q j <1) szerint csoportosítjuk; az egyes csoportokban ni , j szerzıdés van: P( X i , j ,l = i ) = q j = 1 − P (X i , j ,l = 0 ), i = 1,..., r , j = 1,..., m , l = 1,..., ni , j , (1.1.1)

S = ∑ X i , j ,l i , j ,l

S eloszlását generátorfüggvények segítségével akarjuk meghatározni. S generátorfüggvénye X i , j ,l generátorfüggvényeinek szorzata: r

m

ni , j

r

m

i =1

j =1

(

G S ( z ) = ∏∏∏ G X i , j ,l ( z ) = ∏∏ 1 − q j + q j z i i =1

j =1 l =1

)

ni , j

.

Ebbıl r

m

(

)

ln G S ( z ) = ∑∑ ni , j ln 1 − q j + q j z i , i =1 j =1

és ′ r m G S (z ) ′ = (ln G S ( z )) = ∑∑ iq j ni , j z i −1 1 − q j + q j z i G S (z ) i =1 j =1

(

Így −1  r m  q j i  q j i    zG S ( z ) = ∑∑ ini , j  z 1 + z  G S ( z ) =     1 − q 1 − q j j  i =1 j =1     l  r m  ∞   q r ∞    j = ∑∑ ini , j ∑ (−1) l −1  z i  G S ( z ) = ∑∑ h(i, l ) z il G S ( z ) =   l =1  i =1 l =1   i =1 j =1  1 − q j  

′

  = ∑  ∑ h(i, l )P(S = k − il ) z k , k > 0  il ≤ k 

18

)

−1

.

  1− q j ha z < min1, min  i, j  q  j 

1/ i

   

  , ahol  

 qj h(i, l ) = i (−1) ∑ ni , j  1− q j =1 j  l −1

m

l

  , i = 1,..., r , l = 1,2,... .  

Mivel ′ zG S ( z ) = z ∑ P(S = k )kz k −1 = ∑ (kP(S = k ))z k , k >0

k >0

ezért az elızıekbıl kapjuk a következı állítást.

1.1.1. Állítás: (De Pril) Legyen S eloszlása az (1.1.1) formulával meghatározva, ekkor teljesülnek a következı rekurzív azonosságok: r

m

i =1

j =1

P(S = 0 ) = ∏∏ (1 − q j ) i , j , n

[k ]

r m 1 min( k ,r ) i ( ) P (S = k ) = h ( i , l ) P S = k − il , k = 1 , 2 ,..., ini , j . ∑ ∑ ∑∑ k i =1 l =1 i =1 j =1

Írjuk fel a rekurzió néhány elsı tagját! P(S = 1) = h(1,1)P(S = 0 ) 1 (h(1,1)P(S = 1) + (h(1,2) + h(2,1) )P(S = 0 )) 2 1 P(S = 3) = (h(1,1)P(S = 2 ) + (h(1,2) + h(2,1) )P(S = 1) + (h(1,3) + h(3,1) )P(S = 0 )) ... 3 P (S = 2 ) =

1.1.1. Példa: Tekintsük a következı, hangsúlyozottan egyszerősített életbiztosítási példát ([20]-ban találhatóhoz hasonlít). Egy biztosító egyéves tartamú kockázati életbiztosításokkal rendelkezı veszélyközössége 30, 50 és 70 éves férfiakból áll. A lehetséges biztosítási összegek: 1, 5 és 10 millió Ft. A veszélyközösség megoszlását a következı táblázat mutatja.

Biztosítási összeg 1 5 10

30 1/10 1/5 1/30

Életkor 50 1/10 1/5 1/30

70 1/10 1/5 1/30

Határozzuk meg az összkár eloszlását magyar halandósági adatok alapján, ha a veszélyközösség létszáma K = 60, ill. 300!

19

Az 1988. évi néphalandósági tábla szerint q1 = q (30) = 0,00227, q 2 = q (50) = 0,01295, q 3 = q (70) = 0,05177. Az (1.1.1) formula jelöléseivel r = 30, m = 3, n1, j = K / 10, n5, j = K / 5, n10, j = K / 30, j = 1,2,3, ni , j = 0, i ≠ 1,5,10.

A

Pril-algoritmust alkalmazva kapjuk, hogy K = 60 esetén n

P (S = n )

P (S ≤ n )

n

P (S = n )

P (S ≤ n )

n

P (S = n )

P (S ≤ n )

0

0,25428

0,25428

20

0,01732

0,98162

40

0,00004

0,99997

1

0,10679

0,36107

21

0,00727

0,98889

41

0,00002

0,99998

2

0,02001

0,38108

22

0,00136

0,99026

42

0,00000

0,99999

3

0,00221

0,38329

23

0,00015

0,99041

43

0,00000

0,99999

4

0,00016

0,38345

24

0,00001

0,99042

44

0,00000

0,99999

5

0,21358

0,59703

25

0,00489

0,99531

45

0,00001

0,99999

6

0,08969

0,68672

26

0,00205

0,99736

46

0,00000

1,00000

7

0,01681

0,70353

27

0,00038

0,99774

47

0,00000

1,00000

8

0,00186

0,70539

28

0,00004

0,99779

48

0,00000

1,00000

9

0,00013

0,70552

29

0,00000

0,99779

49

0,00000

1,00000

10

0,12047

0,82600

30

0,00117

0,99896

50

0,00000

1,00000

11

0,05059

0,87659

31

0,00049

0,99945

51

0,00000

1,00000

12

0,00948

0,88607

32

0,00009

0,99955

52

0,00000

1,00000

13

0,00105

0,88712

33

0,00001

0,99956

53

0,00000

1,00000

14

0,00008

0,88719

34

0,00000

0,99956

54

0,00000

1,00000

15

0,05113

0,93832

35

0,00024

0,99980

55

0,00000

1,00000

16

0,02147

0,95979

36

0,00010

0,99990

56

0,00000

1,00000

17

0,00402

0,96382

37

0,00002

0,99992

57

0,00000

1,00000

18

0,00044

0,96426

38

0,00000

0,99992

58

0,00000

1,00000

19

0,00003

0,96429

39

0,00000

0,99992

59

0,00000

1,00000

Kiszámolva ugyanezt K = 300-ra is kapjuk, hogy:

20

n

P (S = n )

P (S ≤ n )

n

P (S = n )

P (S ≤ n )

n

P (S = n )

P (S ≤ n )

0

0,00106

0,00106

20

0,02400

0,26252

40

0,01400

0,81673

1

0,00223

0,00330

21

0,04260

0,30511

41

0,02240

0,83912

2

0,00229

0,00559

22

0,04270

0,34784

42

0,02210

0,86120

3

0,00154

0,00713

23

0,02850

0,37630

43

0,01460

0,87585

4

0,00076

0,00788

24

0,01400

0,39027

44

0,00718

0,88302

5

0,00475

0,01260

25

0,02570

0,41592

45

0,00926

0,89228

6

0,00947

0,02210

26

0,04430

0,46021

46

0,01450

0,90680

7

0,00965

0,03180

27

0,04420

0,50442

47

0,01430

0,92106

8

0,00646

0,03820

28

0,02940

0,53384

48

0,00945

0,93051

De

9

0,00317

0,04140

29

0,01440

0,54827

49

0,00463

0,93513

10

0,01120

0,05260

30

0,02360

0,57190

50

0,00563

0,94077

11

0,02140

0,07400

31

0,03970

0,61161

51

0,00866

0,94942

12

0,02170

0,09570

32

0,03950

0,65107

52

0,00847

0,95789

13

0,01450

0,11024

33

0,02620

0,67731

53

0,00561

0,96350

14

0,00712

0,11736

34

0,01290

0,69017

54

0,00275

0,96624

15

0,01860

0,13592

35

0,01920

0,70935

55

0,00317

0,96942

16

0,03410

0,17001

36

0,03150

0,74081

56

0,00478

0,97420

17

0,03440

0,20438

37

0,03110

0,77194

57

0,00466

0,97886

18

0,02290

0,22730

38

0,02070

0,79262

58

0,00308

0,98195

19

0,01120

0,23855

39

0,01010

0,80275

59

0,00151

0,98346

 qj Szemléletesen látszik, hogy ha q j -k kicsik, akkor nagy l-re  1− q j 

l

  -ek és h(i,k)-k is  

azok. Ezt a megérzést próbáljuk meg alátámasztani a következı feladat megoldásával!

1.1.3. Feladat: ([7]) Legyen d egy pozitív egész szám. Határozzuk meg segítségével a következı "levágott" számsorozatot: p0d = P(S = 0 ) 1 min( k ,r ) p = ∑ k i =1

( [ i ])

min d , k

∑

d k

r

m

h(i, l ) pkd−il , k = 1,2,..., ∑∑ ini , j .

l =1

i =1 j =1

Mutassuk meg, hogy M

∑ P (S = k ) − p

d k

≤ eδ (d ) − 1 ,

k =1

ahol r

m

M = ∑∑ ini , j i =1 j =1

a legnagyobb lehetséges kár, és 1− q j 1 r m δ (d ) = ni , j ∑∑ d + 1 i =1 j =1 1 − 2q j

 qj  1− q j 

   

d +1

.

Mit tudunk mondani P(S ≤ k ) hasonló közelítésérıl?

Normális közelítés

21

A centrális határeloszlás tétel alapján S-et legtermészetesebben a normális eloszlással közelíthetjük. A közelítés hibájának becslése során Berry–Esséen típusú tételekre van szükségünk, ezért emlékeztetıül felírjuk a következı két tételt:

1.1.1. Tétel: (Esséen) Legyenek X j -k független valószínőségi változók, melyeknek létezik harmadik abszolút momentumuk. A következı jelölésekkel: n

m j = EX j , σ 2j = D 2 X j , Bn = ∑ σ 2j , j =1 n n   3 Fn ( x ) = P Bn−1 2 ∑ ( X j − m j ) < x  , Ln = Bn−3 2 ∑ E X j − m j , j =1 j =1  

igaz, hogy sup Fn ( x ) − Φ ( x ) ≤ 0,7915 ⋅ Ln ,

−∞ < x <∞

ahol Φ(x) a standard normális eloszlás eloszlásfüggvénye.

1.1.2. Tétel: (Berry–Esséen) Legyenek X j -k független, azonos eloszlású valószínőségi változók, melyeknek létezik harmadik abszolút momentumuk. A következı jelölésekkel: m = EX 1 , σ 2 = D 2 X 1 , ρ =

 1 Fn ( x ) = P σ n

n

∑ (X j =1

j

E X1 − m

3

σ3

 − m ) < x  , 

igaz, hogy sup Fn ( x ) − Φ ( x ) ≤ 0,7655 ⋅

−∞ < x <∞

ρ n

.

Megjegyzés: A tételekben szereplı konstansok I.S. Siganov eredményei (lásd [26] 157. és 283. oldal).

1.1.2. Példa: Térjünk vissza az 1.1.1. példához. Ott meghatároztuk az eloszlás pontos értékeit 60 és 300 fıs veszélyközösség esetén. Nézzük meg, hogy ebben az esetben mit ad a normális közelítés! Az 1.1.1. ábra mutatja be a tényleges (pontokkal jelölt) és becsült (folyamatos vonallal jelölt) eloszlásfüggvényt 60 fıs veszélyközösség esetén.

22

1.1.1. Ábra

Tapasztalhattuk, hogy a közelítés a 10-nél kisebb értékekre nagyon pontatlan. A közelítés már sokkal pontosabb, ha 300 fıs veszélyközösségrıl van szó, amit az 1.1.2. ábra is mutat, de itt is látható, hogy az eltérés jelentıs.

1.1.2. Ábra

Megjegyezzük, hogy a normális közelítés még sokkal pontatlanabb, ha az eloszlást közelítjük az eloszlásfüggvény helyett.

1.1.4. Feladat: A Napfény Biztosító csoportosan biztosítja az óvónıket baleseti halál esetére. Korábbi tapasztalatok alapján a baleseti halál valószínőségét 2 ezreléknek veszik. 5000 óvónınek 0,5 M Ft-os, 1000-nek 1 M Ft-os és 500-nak 5 M Ft-os a biztosítási összege. Milyen nagynak kell választani az összdíjat (nettó), hogy az legalább 99,5%-os valószínőséggel elég legyen a kifizetésekre? (Próbálkozzunk különbözı módszerekkel!)

23

1.2. NEVEZETES KÁRSZÁMELOSZLÁSOK Egy adott idıszak kárainak számát jelöljük η-val. Korábban a biztosítókat ennek csak egyetlen jellemzıje, a várható értéke érdekelte. Ezt az egy szerzıdésre (vagy utaskilométerre stb.) jutó károk számával, a kárgyakorisággal, becsülték. Ebben a pontban számunkra teljesen mindegy lesz, hogy milyen kárszámról lesz szó, ez lehet egy szerzıdés, módozat vagy ágazat egyéves, kétéves vagy egy más idıtartam (esetleg nem is idı, hanem például utaskilométer) kárszáma. Természetesen η csak nemnegatív egész értékeket vehet fel, ezt a továbbiakban nem fogjuk kiírni. A leggyakrabban alkalmazott kárszámeloszlás a Poisson, ezt gyakorlati tapasztalatok és elméleti megfontolások is alátámasztják (lásd pl. [23]). A következıkben néhány olyan eloszlással foglalkozunk, amelyek szintén gyakran elıfordulnak.

(a,b,0) eloszlások Definíció: η (a,b,0) eloszlású, ha b  P(η = n ) =  a + P(η = n − 1) , n = 1,2,... . n  Mint késıbb látni fogjuk, (a,b,0) eloszlású kárszám esetén az összkár eloszlása jól számolható. Az (a,b,0) eloszlásokat eddig is jól ismertük, csak nem ilyen módon definiáltuk ıket. Ezt mutatja a következı állítás.

1.2.1. Állítás: η (a,b,0) eloszlású pontosan akkor, ha Poisson vagy binomiális, vagy negatív binomiális eloszlású.

Megjegyzések: Negatív binomiális eloszláson a „0-ba eltolt” negatív binomiális eloszlást értjük (lásd az 1. sz. függeléket). Vigyázat! Az állítás nem mondja azt, hogy minden a,b-re létezik (a,b,0) eloszlás.

Bizonyítás: Legyen pn = P(η = n ) . Elıször a fordított irányt lássuk be. Ha η Poisson-eloszlású, akkor pn =

24

λn e − λ n!

, n = 0,1,... ⇒

pn λ = , n = 1,2,... ⇒ a = 0, b = λ . p n −1 n

 m m −n Ha η B(m,p) eloszlású, akkor pn =   p n (1 − p ) , n = 0,1,..., m és így n

pn pn −1

m! m −n p n (1 − p ) m − n +1 p (m − n )!n! = = , n = 1,2,..., m . m! m − n +1 n 1− p p n −1 (1 − p ) (m − n + 1)!(n − 1)!

Ez teljesül n = m+1 -re is, így pn m − n +1 p p (m + 1) p 1 , n = 1,2,..., m + 1 ⇒ a = − p , b = (m + 1) p . = =− + pn −1 n 1− p 1 − p (1 − p ) n 1− p (1 − p ) Ha η NB(r,q) eloszlású, akkor pn =

Γ (r + n ) (1 − q ) r q n , n = 0,1,... és így Γ(r )n!

pn Γ(r + n ) 1 r + n −1 r −1 = q= q =q+ q , n = 1,2,... ⇒ a = q, b = (r − 1)q . pn −1 Γ(r + n − 1) n n n Megkaptuk azt is, hogy a q paraméterő Pascal- (geometriai) eloszlás egyben (q,0,0) eloszlás. A másik irány bizonyításánál megnézzük a és b lehetséges értékeit, és azt, hogy ekkor milyen eloszlásokat kapunk. Ha a = 0, akkor pn =

b bn pn −1 , és így pn = p0 , n = 0,1,2,... . Ebbıl következik, hogy η b pan n!

raméterő Poisson-eloszlású ( b ≥ 0 ). Ha a > 0 és b < − a , akkor a + b < 0 , és így p1 < 0 , ami lehetetlen. Ha a > 0 és b = − a , akkor p1 = (a + b) p0 = 0 , és így pn = 0, n = 1,2,... . Tehát η az azonosan 0 elfajuló valószínőségi változó, ami B(0,p) eloszlás. Ha 0 < a < 1 és b > − a , akkor megmutatjuk η-ról, hogy NB(1+b/a,a) eloszlású. Legyen {vn } egy NB(1+b/a,a) eloszlásnak megfelelı számsorozat. Ekkor teljes indukcióval megmutatjuk, hogy

pn

p0

=

vn

v0

. Ez n = 0-ra persze nyilvánvaló. Tegyük fel, hogy (n-1)-re is igaz. Így n-re

pn

(

)

b b  pn −1 b  Γ 1 + a + n − 1 n −1   a . = a+  = a+  p0  p0  n n (n − 1)!

Ennek kell megegyezni a

(

)

Γ 1+ b + n n a a n!

25

hányadossal, ami teljesül is (ellenırizhetjük például a gamma-függvényre érvényes Γ( x + 1) = xΓ( x), x > 0 azonosság felhasználásával). Mivel mindkét számsorozat összege 1, ezért a tagok is egyenlık. Ha a ≥ 1 és b > − a , akkor a + pn = Tehát

∞

b 1 n −1 > a (1 − ) ≥ . Ebbıl n n n

pn pn −1 p2 n −1 n − 2 1 p ... p1 ≥ ... p1 = 1 . pn −1 pn − 2 p1 n n −1 2 n

∞

1 , amibıl következik, hogy p1 = 0 , ami ebben az esetben lehetetlen. n =1 n

∑ pn ≥ p1 ∑ n =1

Ha a < 0 és b < − a , akkor a + b < 0 , ami, mint már láttuk, lehetetlen. Ha a < 0 és b = − a , akkor p1 = (a + b) p0 = 0 , és így pn = 0, n = 1,2,... . Tehát η az azonosan 0 elfajuló valószínőségi változó. Ha a < 0 és b > − a , akkor létezik olyan K , hogy a +

b b < 0 n > K -ra, amibıl a + = 0 . Ten K

a   hát η B K − 1,  eloszlás. *** a −1  

Hogyan jelenhetnek meg ezek az eloszlások? A Poisson-eloszlást már említettük korábban. A binomiális eloszlás természetes módon jelenik meg azon módozatoknál, ahol egy szerzıdés esetén 0 vagy 1 kár lehet. A negatív binomiális eloszlást külön pontban vizsgáljuk.

Negatív binomiális kárszám 1.2.1. Példa: Tekintsük a következı példát ([25] 204. oldal). Kaliforniai gépjármővezetık kárszámát vizsgálták kétéves (1961–1962) periódusban. A 148 006 vezetı adatait az alábbi táblázat tartalmazza.

Kárszám

0

Vezetık száma 129 524

1

2

16 267 1 966

3

4

5

6

7

>7

Összesen

211

31

5

1

1

0

148 006

A kárszámeloszlás meghatározásánál kiderült, hogy a Poisson-eloszlás nem illeszkedik jól az adatokra, viszont a negatív binomiális igen:

26

Kárszám

0

Tapasztalat 129 524

1

2

3

4

5

6

7

>7

16 267

1 966

211

31

5

1

1

0

Poisson

128 433

18 218

1 292

61

2,2

0,06

0,001

3E-05

5E-07

Negatív

129 541

16 237

1 962

234

28

3,3

0,39

0,05

0,006

binomiális

Magyarázatot is adtak erre, mégpedig a következıt. Minden egyes vezetı kárszáma Poissoneloszlású, de a paraméterek különböznek. Az adott esetben, ha a Poisson-paraméter maga is valószínőségi változó, méghozzá 0,709 várható értékő és 0,0679 szórásnégyzető gammaeloszlású, akkor az illeszkedés nagyon pontos. Nézzük meg ezt részletesen! Tegyük fel, hogy rögzített υ mellett η eloszlása υt paraméterő Poisson, tehát a feltételes generátorfüggvénye:

(

)

Gη υ ( z ) = E zη υ = eυt ( z −1) . Ebbıl η generátorfüggvénye:

{(

)} (

)

G η ( z ) = E E z η υ = E eυt ( z −1) = Lυ (t (1 − z ) ) .

(1.2.1)

Ha υ (λ , α ) paraméterő gamma-eloszlás, akkor Laplace-transzformáltja α

 λ  Lυ ( s) =   . λ+s α

−α

  λ t t      = 1 − ( z − 1)  , ez pedig NB α , Így η generátorfüggvénye G η ( z ) =    λ   t+λ   λ + t (1 − z )  eloszlású változó generátorfüggvénye. Ebbıl látszik, hogy a negatív binomiális eloszlás egyben keverék Poisson-eloszlás is (gamma-eloszlású keverı valószínőségi változóval).

Definíció: Az η valószínőségi változó keverék Poisson-eloszlású, ha van olyan τ valószínőségi változó, hogy η -nak τ -ra vonatkozó feltételes eloszlása τ paraméterő Poisson-eloszlás.

Megjegyzés: τ -t keverı valószínőségi változónak szokták nevezni. Az alábbiakban megmutatjuk, hogy a negatív binomiális eloszlás összetett Poisson is.

Definíció: Az η valószínőségi változó összetett Poisson-eloszlású, ha η = M 1 + ... + M N , ahol N Poisson-eloszlású, és M i -k egymástól és N -tıl is független azonos eloszlású valószínőségi változók.

1.2.2. Példa: Tekintsünk megint egy autóbiztosítási példát ([18], [25] 210. oldal) 4000 szerzıdés káradatait vizsgálták meg. Az adatokat az alábbi táblázat tartalmazza.

27

Kárszám

0

1

2

3

4

5

>5

Összesen

Vezetık száma

3719

232

38

7

3

1

0

4000

Amikor a kárszámeloszlást próbálták meghatározni, itt is kiderült, hogy a Poisson-eloszlás nem illeszkedik jól az adatokra, viszont a negatív binomiális igen. A magyarázat ebben az esetben a következı volt. Egy káreseménynél több különbözı kár is elıfordulhat. Itt az egy káreseménynél elıforduló károk számát logaritmikus eloszlással közelítették, melynek generátorfüggvénye G M ( z) =

ln(1 − qz ) . ln(1 − q )

Ha a káresemények N-száma Poisson-eloszlású, akkor az η = M 1 + ... + M N kárszám generátorfüggvénye az alábbi lesz

( ) [(

)] [

]

Gη ( z ) = E zη = E E zη N = E (G M ( z ) ) = G N (G M ( z ) ) . N

(1.2.2)

Ismerjük mindkét generátorfüggvényt:   ln(1 − qz )   Gη ( z ) = exp(λ (G M ( z ) − 1)) = exp λ − 1  = ln( 1 − q )     1 − qz     1− q 

λ

ln(1− q )

  q = 1 − ( z − 1)  1− q 

 λ   −  −  ln(1− q ) 

.

  λ ,q  eloszlású. Tehát a kárszám NB  ln(1 - q)  Gyakorlati alkalmazásoknál további kárszámeloszlásokra is szükség lehet.

További kárszámmodellek Az alábbiakban felsorolásra kerülı eloszlások – és ebben az alpontban lényegében csak definiáljuk ıket – három csoportból származnak: (a,b,0) eloszlások általánosításai, összetett és keverék eloszlások. b  Definíció: η (a,b) eloszlású, ha P(η = n ) =  a + P(η = n − 1) , n = 2,3,... . n 

28

Elsı pillantásra úgy tőnik, hogy az eltérés az (a,b,0) eloszlásoktól jelentéktelen, hiszen a rekurzió teljesülését csak az n = 1 pontban nem követeljük meg. Az eltérés azonban mégis jelentıs. Az (a,b,0) alosztályon kívül a legfontosabbak a szigorúan pozitív eloszlások.

Definíció: η (a,b,1) eloszlású, ha (a,b) eloszlású és P(η= 0) = 0 . 1.2.1. Feladat: Mutassuk meg, hogy a logaritmikus eloszlás (a,b,1)! Adjuk meg a paramétereit!

1.2.2. Feladat: "Készítsünk" a Poisson és negatív binomiális eloszlásból (a,b,1) eloszlásút! Az alábbi feladat mutatja, hogy valójában elég az (a,b,0) és (a,b,1) alosztályokat ismerni.

τ

1.2.3. Feladat: Mutassuk meg, ha η (a,b) eloszlású, akkor létezik olyan α ≥ 0 szám és (a,b,0) vagy (a,b,1) eloszlású valószínőségi változó, hogy P(η= 0 ) = 1 − α + α P(τ = 0 ), P(η= n ) = α P(τ = n ), n > 0.

A kárszámok egy másik nagy csoportja összetett Poisson-eloszlású. (1.2.2) szerint egy ilyen kárszám generátorfüggvénye Gη ( z ) = exp(λ(G M ( z ) − 1)) , ahol G M egy nemnegatív egész értékő valószínőségi változó generátorfüggvénye. Ezen eloszlások közül talán a két legismertebb az, amikor M binomiális, illetve Poisson-eloszlású.

[(

)]

Definíció: η Poisson-binomiális eloszlású, ha generátorfüggvénye exp λ (1 + p ( z − 1) ) − 1 . m

[

]

Definíció: η A típusú Neyman-eloszlású, ha generátorfüggvénye exp λ1(exp(λ 2 ( z − 1) ) − 1) . Természetesen nemcsak a Poisson-eloszlás szerint vannak összetett eloszlások, "népszerőek" az alkalmazásokban a geometriai összetett eloszlások is. Itt két eloszlást definiálunk, amikor M szintén geometriai, illetve Poisson-eloszlású.

Definíció: η geometriai-geometriai eloszlású, ha generátorfüggvénye    1 − 1 1 − β1   1 − β 2 ( z − 1)  

−1

alakú.

Definíció: η geometriai Poisson-eloszlású, ha generátorfüggvénye [1 − β (exp(λ ( z − 1) ) − 1)]

−1

alakú.

1.2.4. Feladat: Határozzuk meg a geometriai Poisson-eloszlás elsı három momentumát!

29

Ebben a pontban még a keverék Poisson-eloszlásokat is megemlítjük. Ekkor jól ismert (pl. [27] 223. és 226.oldal), hogy

(

)

E(E(η τ )) = Eη, D 2η = D 2 (E(η τ )) + E D 2 (η τ ) . Ebbıl rögtön adódik a keverék λ -Poisson-eloszlás várható értéke és szórásnégyzete (ha létezik a keverı valószínőségi változó elsı két momentuma): Eη = λ Eτ , D 2η = λ 2 D 2τ + λ Eτ .

1.2.3. Példa: Tegyük fel, hogy a keverı valószínőségi változó eloszlásának Laplacetranszformáltja: Lτ ( s ) = exp[µ (exp(− s ) − 1)] , azaz a keverı valószínőségi változó µ paraméterő Poisson-eloszlású. Ekkor (1.2.1) szerint a keverék eloszlás generátorfüggvénye Gη ( z ) = Lτ [λ (1 − z )] = exp[µ(exp(λ ( z − 1) ) − 1)] . Kissé meglepı módon ismét az A típusú Neyman-eloszlást kaptuk meg. Az alábbi állítás azonban mutatja, hogy ez az egybeesés nem véletlen.

Definíció: Egy eloszlás korlátlanul osztható, ha minden természetes n-re n azonos eloszlás konvolúciója.

1.2.2. Állítás: Tegyük fel, hogy η eloszlása olyan keverék Poisson-eloszlás, melyben a keverı eloszlás korlátlanul osztható. Ekkor η összetett Poisson-eloszlású.

Bizonyítás (vázlat): Jelöljük a keverı eloszlás Laplace-transzformáltját L-lel. Mivel ez egy korlátlanul osztható eloszlás Laplace-transzformáltja, ezért L n = n L szintén Laplacetranszformált. Az (1.2.1) formula szerint η generátorfüggvénye Gη ( z ) = L(λ (1 − z ) ) = [L n (λ (1 − z ) )] = [G n ( z )] . n

n

Mivel G n szintén egy keverék Poisson-eloszlás generátorfüggvénye, és ez a felírás minden természetes n-re elvégezhetı, ezért η korlátlanul osztható eloszlású. Egy nemnegatív egész értékeket felvevı, korlátlanul osztható eloszlású valószínőségi változó azonban csak összetett Poisson-eloszlású lehet (ezt nem bizonyítjuk). ***

1.2.4. Példa: A gyakorlatban leginkább olyan keverı valószínőségi változókat alkalmaznak, melyek két vagy három értéket vehetnek fel. Például egy biztosító megfigyelése szerint a méhek biztosításánál vannak jó és rossz évek. A jó években a kárgyakoriság kisebb, mint a roszszakban. A tapasztalatok alapján a következı modellt alkalmazzák a kárszámra: 30

{ τ = 0,051 }={jó év}, { τ = 0,102 }={rossz év}, η =károk száma, P(τ = 0,051) = 0,8, P(τ = 0,102 ) = 0,2 , P(η = n τ ) =

τn n!

e −τ , n = 0,1,... .

Természetesen még rengeteg más eloszlás is vizsgálható lenne. Aki további részletekre kíváncsi, annak a [25] könyvet ajánljuk.

A kárszám eloszlásának azonosítása Mint már többször említettük, feltételezzük, hogy az olvasó rendelkezik legalább elemi statisztikai ismeretekkel, a statisztikai módszerek ismertetése nem célunk ebben a jegyzetben, mégis megemlítünk egy ilyen kérdést, mivel egy speciális biztosítási problémáról van szó. Tegyük fel, hogy a biztosítónak rendelkezésére áll egy kárszámokra vonatkozó adatsor. Tehát hány szerzıdésnél nem történt kár, hánynál volt egy, kettı stb. kár. Valójában egy ilyen adatsort nem is könnyő összeállítani, hiszen a szerzıdések nem ugyanakkor kezdıdnek, és tartamuk is különbözı lehet. Most feltételezzük, hogy az adatgyőjtés és a rendszerezés már megtörtént. Az elsı lépés, hogy kiválasszuk a megfelelı modellt. Elıször érdemes az (a,b,0) eloszlásokkal próbálkozni. Mit tudunk róluk? 1.: vagy Poisson, vagy binomiális, vagy negatív binomiális eloszlásról van szó. 2.: ha pn = P(η = n ) , akkor legyen qn = (n + 1)

pn +1 = a + b + na . pn

Ha az eloszlás Poisson, akkor D 2η = Eη , továbbá a = 0 és így qn konstans. Ha az eloszlás binomiális, akkor D 2η < Eη , továbbá a < 0 és így qn lineárisan csökken. Ha az eloszlás negatív binomiális, akkor D 2η > Eη , továbbá a > 0 és így qn lineárisan nı. Ezen ismeretek birtokában eljárásunk a következı. Jelöljük U i -vel azon szerzıdések számát, melyekre a károk száma i-vel egyenlı. A szerzıdések száma K, a legnagyobb kárszám j. Ekkor az r-edik tapasztalati momentum j

Mr =

1 K

∑i U r

i

,

i =1

a tapasztalati (nem korrigált!) szórásnégyzet 2

S 2 = M 2 − M1 . Legyen

31

Tn = (n + 1)

U n +1 , n = 0,1,... j − 1 . Un

Ha S 2 közel egyenlı M 1 -gyel, továbbá Tn közel állandó, akkor a kárszámeloszlást Poissoneloszlással fogjuk közelíteni. Ha S 2 kisebb M 1 -nél, továbbá Tn csökken, akkor a kárszámeloszlást binomiális eloszlással fogjuk közelíteni. Ha S 2 nagyobb M 1 -nél, továbbá Tn nı, akkor a kárszámeloszlást negatív binomiális eloszlással fogjuk közelíteni. Egyáltalán nem biztos azonban, hogy a kárszámeloszlásunk (a,b,0). Gyanút ébreszthet bennünk például, ha Tn lineárisnál gyorsabban nı. Ekkor érdemes megbecsülni a harmadik centrális momentumot:

κ = M 3 − 3M 2 M 1 + 2M 13 . Ha η negatív binomiális eloszlású, akkor harmadik centrális momentuma

(

)

2

2 D 2η − Eη 3D η − 2Eη + . Eη 2

2(S 2 − M 1 ) -gyel. Ha körülbelül egyenlıek, akkor Ezért κ -t hasonlítsuk össze 3S − 2M 1 + M1 2

2

negatív binomiálisnak fogadjuk el, ha κ a nagyobb, akkor gyakran A típusú Neyman vagy Poisson-geometriaival közelítünk. Ha κ a kisebb, akkor próbálkozzunk többfajta keverék Poisson-eloszlással. Az eloszlástípus kiválasztása után, természetesen, a paraméterbecslés következik. Nézzük meg ezt a feladatot részletesebben a negatív binomiális esetre! Legyen η1 ,η2 ,...,η K K elemő független NB(r,q) minta. Ekkor, mint tudjuk, P(η i = n ) =

Γ ( r + n) rq rq . (1 − q ) r q n , n = 0,1,..., Eη = , D 2η = Γ(r )n! 1− q (1 − q ) 2

A momentum módszer egyenletrendszere: rq rq = M1, = S2. 2 1− q (1 − q ) Ennek megoldásai a paraméterek becslései: 2

M M 1 − qˆ qˆ = 1 − 21 , rˆ = M 1 = 2 1 . qˆ S S − M1

32

(1.2.3)

A maximum likelihood becslés meghatározása ennél jóval bonyolultabb feladat. Írjuk fel a likelihood függvényt:

Γ ( r + ni ) (1 − q) r q ni . i =1 Γ ( r ) n ! i K

L(r , q) = Pr ,q (η1 = n1 ,...,η K = n K ) = Π Ebbıl a loglikelihood függvény K

K ni −1

K

i =1

i =1 m = 0

i =1

l (r , q) = ln L(r , q) = rK ln(1 − q) + ln q∑ ni + ∑∑ ln(r + m) − ∑ ln(ni !) . Deriválással kapjuk a likelihood egyenleteket: 1 1 K ∂l = − rK + ∑ ni = 0, 1 − q q i =1 ∂q K n −1 1 ∂l = K ln(1 − q ) + ∑ ∑ = 0. ∂r i =1 m = 0 r + m i

Ebbıl rq = M 1 (mint a momentum módszernél!), 1− q

ln(1 − q) =

1 K

K ni −1

1

∑∑ r + m . i =1 m = 0

Belátható, hogy ha a korrigált tapasztalati szórásnégyzet nagyobb a tapasztalati középnél, akkor ennek az egyenletrendszernek pontosan egy megoldása létezik. A becslések elvégzése után χ 2 -próbával ellenırizhetjük, hogy mennyire jól illeszkedik a negatív binomiális eloszlás az adatainkra. Ne higgye senki, hogy az elıbbiek elvégzésén kívül semmilyen más tennivaló nincsen. Például a kárszám jellemzıi évrıl évre változhatnak, megfigyelhetı a kárgyakoriság, ami a kárszám várható értékének egy becslése, változása. A változások típusaiból néhányat felsorolunk. a) A kárgyakoriságban trend figyelhetı meg. Lehet határozott növekedés vagy csökkenés. Ennek oka lehet motorizáció, halandóságváltozás, új építési módok bevezetése stb. b) Periodikusság rövid ciklusokkal, amit okozhat az éghajlat és járványok éves periodicitása. c) Periodikusság hosszú ciklusokkal, ami kapcsolatban lehet az általános gazdasági folyamatokkal. Magyarországon ilyen vizsgálatot a biztosításban még nem nagyon lehet végezni. 33

d) Egyszerő véletlen ingadozás. Mindezekkel az idısorok elmélete foglalkozik.

1.3. NEVEZETES KÁRELOSZLÁSOK Az elızı pontban kárszámokkal foglalkoztunk, ami persze nagyon fontos, de a biztosítót elsısorban a kifizetendı pénz érdekli. Ahhoz, hogy ezt ismerjük, segítséget nyújt az egyes károkra kifizetett összeg eloszlásának ismerete. Mivel a kifizetések mindig valamilyen pénzegységben történnek és Magyarországon például nem szoktak fillérekkel számolni, ezért elvben elég lenne csak pozitív egész értékő valószínőségi változókkal foglalkozni. Hagyományosan is úgy alakult azonban, hogy ahol a lehetséges kárértékek száma nagy, ott abszolút folytonos eloszlásokat illesztenek. Amikor káreloszlást illesztünk, mindig figyelembe kell venni azt, hogy a kár végleges összege gyakran egy hosszú folyamat eredményeként alakul ki. A kár bekövetkezése és a kár bejelentése között is jelentıs idı telhet el, különösen a felelısségbiztosításoknál. A késıbb bejelentett károk lehetnek akár sokkal nagyobbak is, mint a korán bejelentettek. Miután a kárt bejelentik, a kárkifizetések (egy kárra!) idıben elhúzódhatnak és több részletben történhetnek. Mivel a pénz különbözı idıpontokban mást és mást ér, ezért egy lezárt kárnál sem egyértelmő a kár nagysága. Ezen felül gyakorta a kárstatisztikáink is hiányosak, emiatt a károkról gyakran csak nagyon kevés adatunk van, például ismerjük a tapasztalati közepet és a szórásnégyzetet. Az is rögtön látszik, hogy ez az ismeret önmagában nem elegendı új önrészosztályok díjának meghatározásához, mindenképpen szükség van az eloszlás becslésére. Mielıtt rátérnénk a nevezetes káreloszlásokra, nézzük meg a következı nagyon egyszerő példát (hasonlít [12] 134. oldal példájára), mely mutatja, hogy még ilyen egyszerő esetben is könnyő tévedni.

1.3.1. Példa: A Kürt Biztosító kutyasétáltatói magánvállalkozók felelısségbiztosítását vezetette be 1990-ben. A biztosító vállalta a kutya sérülésébıl, nem kívánt terhességébıl és elvesztésébıl eredı dologi és eszmei károk megtérítését. A biztosító 1992-tıl az elızı évi átlagkár és kárszám alapján számolja díjait. 1995-ben észreveszik, hogy 1994-ben csökkent az átlagkár, és csökkentik díjaikat. Helyesen tették-e? Nézzük meg a károk összesítı táblázatát! 34

Kárkifizetés éve Kár éve

1990

1991

1992

1993

1994

1995

Összesen

Kár- E Ft Kár- E Ft Kár- E Ft Kár- E Ft Kár- E Ft Kár- E Ft Kárszám

szám

szám

szám

szám

szám

E Ft

szám

Átlagkár

1990

100 1000 100 2000

1991

100 1000 100 2000

1992

100 1000 100 2000

1993

100 1000 100 2000

1994

200 2000 200 4000

200 3 000

15

200 3 000

15

200 3 000

15

200 3 000

15

400 6 000

15

Összesen 100 1000 200 3000 200 3000 200 3000 300 4000 200 4000 1200 18 000 Átlagkár

10

15

15

15

13,3

20

15

Ha figyelmesen megnézzük a táblázatot, azt látjuk, hogy a kár évében kifizetett kár átlagos értéke 10 ezer Ft, a következı évben kifizetetté 20 ezer, az átlagkár 15 ezer. 1994-ben valójában nem a károk nagysága változott meg, hanem a szerzıdésszám nıtt kétszeresére. Így túlsúlyba kerültek a kárévi kifizetések, és ez vezetett az 1994-es átlagkárcsökkenéshez, tehát a díjcsökkentés nem volt jogos, amit az 1995-ös adatok is alátámasztanak.

Hagyományos káreloszlások Talán a legrégebben alkalmazott káreloszlás az exponenciális: FX ( x) = 1 − e − λ x , x > 0, f X ( x) = λ e − λ x , x > 0 . Népszerőségének nem az az oka, hogy nagyon gyakran illeszkedik jól a káradatokra, hanem sokkal inkább kényelmi szempont. Egyrészt már a tapasztalati középbıl megbecsülhetı a paramétere, másrészt könnyen lehet vele számolni. Gyakran nagyon jó illeszkedést mutat a lognormális eloszlás. Emlékeztetünk arra, hogy az X valószínőségi változó ( µ , σ 2 ) paraméterő lognormális eloszlású, ha logaritmusa ( µ , σ 2 ) paraméterő normális eloszlású, tehát sőrőségfüggvénye  1  ln x − µ  2  f X ( x) = exp −   , x > 0 . σ x 2π    2  σ 1

Ekkor várható értéke és szórásnégyzete

(

EX = exp µ + σ

2

2

), D X = exp(2µ + σ 2

2

)[exp(σ

2

]

) −1 .

35

Ha ismerjük a tapasztalati közepet ( M 1 ) és szórásnégyzetet ( S 2 ), akkor a momentum módszer egyenletrendszerébıl kapjuk, hogy

exp σˆ 2 = 1 + exp µˆ =

S2 , 2 M1

M1 exp σˆ 2

.

Tekintsünk egy nagyon egyszerő példát.

1.3.2. Példa: A Magyarország Biztosító mezıgazdasági csotrogányokat biztosít. Az 1994. évi károkról a következı kárstatisztika áll rendelkezésre. A károk ezer forintban értendık.

Kárnagyság

0–10

10–20

20–30

30–40

40–50

50–60

60–70

70–80

>80

Kárszám

3

26

35

22

9

5

2

1

0

Rögtön meg lehet kérdezni, hogy a kárstatisztika miért ilyen, miért nincsenek meg a tényleges káradatok. Sajnos nagyon gyakran még ennél is rosszabb a kárstatisztika. Sokszor a publikus statisztikák (KSH, TB) is ilyen szerkezetőek. Az adatokat grafikonon is ábrázoljuk: db 35 30 25 20

Kárszám

15 10 5 0 0–10

20–30

40–50

>80

60–70

ezer Ft

1.3.1. Ábra: Csotrogánybiztosítás

Becsüljük meg a várható értéket és szórásnégyzetet nagyon egyszerő módszerrel, feltételezve, hogy a károk az intervallum közepére esnek (ez természetesen torzításhoz vezet!).

M 1 = (5 ⋅ 3 + 15 ⋅ 26 + ... + 75 ⋅ 1) / 103 = 28,50 ,

S 2 = (5 2 ⋅ 3 + 15 2 ⋅ 26 + ... + 75 2 ⋅ 1) / 103 − M 1 = 180,02 . 2

36

Ebbıl

σˆ 2 = 0,2002 , µˆ = 3,2496 . Ellenırizzük χ 2 -próbával, hogy megfelelı-e az illesztésünk. Teljes eseményrendszernek a következıt választjuk:

A1 = {kár<20}, A2 = {20 ≤ kár<30}, A3 = {30 ≤ kár<40}, A4 = {40 ≤ kár<50}, A5 = {50 ≤ kár }. Ha az X kár ( µ , σ 2 ) paraméterő lognormális eloszlású, akkor az események valószínősége könnyen számítható, hiszen  ln b − µ   ln a − µ  P(a < X < b ) = Φ  − Φ .  σ   σ 

(

)

Így a χ 2 statisztika értéke 0,1185. Mivel P χ 22 > 0,1185 = 0,942 , ezért természetesen elfogadjuk a hipotézist. A tapasztalati és illesztett sőrőségfüggvény 1.3.2. ábrája is mutatja, hogy ezzel az egyszerő módszerrel is meglepıen jó közelítést kaptunk.

,

1.3.2. Ábra: Lognormális közelítés

Próbálkozzunk azért meg a maximum likelihood becsléssel is!

1.3.1. Feladat: Végezzük el a fenti példára a maximum likelihood becslést is! Az elızı két káreloszlás már jól ismert a valószínőségszámításban tanultakból. A Pareto-eloszlásról, amit alább definiálunk, viszont azt lehet mondani, hogy speciálisan "biztosítási" eloszlás.

Definíció: Az X valószínőségi változó (α , β ) paraméterő Pareto-eloszlású, ha eloszlásfüggvénye

37

0  α   β  FX ( x) =   1−    β + x  

x≤0 .

x>0

Megjegyzés: A Pareto-eloszlás fenti meghatározása általánosan elfogadott Amerikában, Európában (c, a ) paraméterő Pareto-eloszlásúnak nevezik az  0 a  F ( x) =   c  1−   x 

x≤c x>c

eloszlásfüggvényő valószínőségi változót. Persze rögtön látszik, hogy ha X (α , β ) paraméterő Pareto-eloszlású, akkor X + β európai értelemben Pareto-eloszlású ( β , α ) paraméterekkel. A Pareto-eloszlású kárt veszélyesnek mondják, és ezért alkalmazzák gyakran tőzbiztosítások modellezésénél, hiszen várható értéke csak α > 1 -re, szórásnégyzete pedig csak α > 2 -re véges: ∞

∞

EX = ∫ (1 − FX ( x) )dx = ∫ 0

0 ∞

( ) dx = α β− 1, α > 1 , β α β +x ∞

EX 2 = ∫ 2 x(1 − FX ( x) )dx = ∫ 2 x 0

0

2

2

( ) dx = α2 β− 2 − α2 β− 1, α > 2 , β

α

β +x

2

2β 2 2β 2  β  αβ 2 − − D X = ,α > 2 .  = α − 2 α −1  α −1 (α − 1) 2 (α − 2) 2

Az 1.3.3. ábrán 2 várható értékő exponenciális, lognormális ((ln2 − 12 , 1) paraméterekkel) és Pareto-eloszlás ((2, 2) paraméterekkel) sőrőségfüggvényét ábrázoltuk.

1.3.3. Ábra: Exponenciális, lognormális és Pareto-eloszlások sőrőségfüggvénye

38

A Pareto-eloszlásra azt mondják, hogy "nagy farkú" eloszlás, mert sőrőségfüggvénye lassabban cseng le, mint a korábban említett eloszlásoké, és így a nagy összegő károknak nagyobb a valószínősége. Ezt az elıbbi ábra „folytatása” is mutatja:

1.3.4. Ábra: Exponenciális, lognormális és Pareto-eloszlások sőrőségfüggvénye nagy értékekre

Az ábra azonban azt is mutatja, hogy a Pareto-eloszlás veszélyessége gyakran nagyon viszonylagosnak mondható, hiszen például esetünkben egy 2 várható értékő eloszlásnál csak jóval 100 felett lett a Pareto-eloszlás sőrőségfüggvénye nagyobb a lognormálisénál. Hogyan jelenhet meg ez az eloszlás? Tegyük fel például, hogy X rögzített θ = y mellett y paraméterő exponenciális eloszlású. Ha θ gamma-eloszlású ( β , α ) paraméterekkel, akkor Laplace-transzformáltja α

 β   . Lθ ( s) =  β +s

Így X eloszlásfüggvénye

(

FX ( x) = E(χ {X < x} ) = E (E(χ {X < x} θ )) = E 1 − e

−θ x

)

α

 β   . = 1 − Lθ ( x) = 1 −  β +x

Tehát X (α , β ) paraméterő Pareto-eloszlású.

1.3.2. Feladat: Mutassuk meg, hogy ha az X valószínőségi változó (α , β ) paraméterő Paretoeloszlású, akkor ln(1 + X β ) exponenciális eloszlású α paraméterrel.

1.3.3. Feladat: ([28]) Legyen X 1 ,..., X n n elemő független Pareto-minta ismert β paraméterrel. Mutassuk meg, hogy

39

αˆ =

n n

∑ ln(1 + β ) Xi

i =1

α maximum likelihood becslése, továbbá, hogy Eαˆ =

n n2 α , D 2αˆ = α2 2 n −1 (n − 1) (n − 2)

és

α~ =

n −1 αˆ n

hatásos becslése α -nak.

1.3.4. Feladat: Legyen M 1 egy n elemő Pareto-minta tapasztalati közepe és S 2 tapasztalati szórásnégyzete. Mutassuk meg, hogy S 2 > M 1 esetén a momentum módszer egyenletrendszerének létezik megoldása és az

αˆ =

(

2S 2 2

S − M1

2

2

)

M S 2 + M1 . , βˆ = 1 2 2 S − M1

Káreloszlásként az elıbbi három eloszlástípust alkalmazzák a leggyakrabban. Ritkábban illesztik a gamma- és Weibull-eloszlást.

Definíció: Az X valószínőségi változó (α , λ ) paraméterő Weibull-eloszlású, ha eloszlásfüggvénye  0 FX ( x) =  − λ xα 1 − e

x≤0 x>0

.

Megjegyzés: Ez az eloszlás leggyakrabban a megbízhatóságelméletben fordul elı, és másik elfogadott neve a Weibull–Gnedenko-eloszlás.

Önrészek és káreloszlások A vagyonbiztosítások esetén általánosan elfogadott az önrészek alkalmazása. A legegyszerőbb esetben a biztosító csak egy adott kárösszeg (az önrész) felett fizet és csak a kár önrész feletti részét. Képlettel leírva, ha az önrész c és a biztosított kára X, akkor a biztosító káreloszlása

QY = QX −c X >c . Már ennél a pontnál megmutatkozik a káreloszlás illesztésének fontossága. Hiszen a biztosító nagyon gyakran meg akarja változtatni vagy bıvíteni az önrészbesorolásokat, és az új díjak

40

számítását nagyban segítheti egy megbízható káreloszlásbecslés. De itt váratlan problémákkal is szembekerülhetünk. Például a különbözı önrészosztályokat választó gépkocsivezetık gyakran egészen másképp okozzák a károkat (a jobb vezetık a magasabb önrészeket választják a tapasztalatok szerint). Nézzük meg, hogy az önrész hogyan változtatja meg az eddig tárgyalt káreloszlásokat. Ha a biztosított kára exponenciális eloszlású, akkor a biztosító kárának eloszlásfüggvénye a következı P ( X − c < x, X > c ) F X ( x + c ) − F X ( c ) e − λ c − e − λ ( c + x ) P(Y < x ) = = = = 1 − e −λ x , x > 0 . − λc P( X > c ) 1 − FX ( c ) e Tehát a káreloszlás nem változik. Természetesen mindezt nem is kellett volna számolni, hiszen mindenki jól ismeri az exponenciális eloszlás örökifjú tulajdonságát. Ha az eloszlás lognormális, akkor az új eloszlásfüggvény  ln( x + c) − µ   ln(c) − µ  Φ  − Φ  F X ( x + c ) − F X (c ) σ σ     , x > 0. P(Y < x ) = = 1 − F X (c )  ln(c) − µ  1 − Φ  σ  

Ebbıl a sőrőségfüggvény

 1  ln( x + c) − µ  2  1 1 f Y ( x) = exp −   , x > 0 . σ 2  ln(c) − µ  σ ( x + c) 2π      1 − Φ  σ   Tehát az eloszlás típusa megváltozott. Számoljuk ki elsı két momentumát! ∞

[ (

[ ( ) ]dx /(1 − Φ( ) ]dx / (1 − Φ( )) − c

)]

EY = ∫ x / σ ( x + c) 2π exp − 12 0 ∞

∫ [1 / (σ

[

)]

2π exp − 12

(

ln( x + c ) − µ 2

σ

ln( x + c ) − µ 2

σ

ln( c ) − µ

σ

∫ [e

σ s+µ

)] [ ]ds /(1 − Φ(

(

s2 2

/ 2π exp −

ln( c ) − µ

σ

σ

)) =

=

s = (ln( x + c ) − µ ) / σ

0 ∞

ln( c ) − µ

)) − c =

(1.3.1)

ln c − µ

σ

∫ [e

∞

µ +σ 2 / 2

)] [

(

2

] ( (

/ 2π exp − ( s −2σ ) ds / 1 − Φ

ln( c ) − µ

σ

)) − c =

ln c − µ

σ

(

2

exp µ + σ / 2

1− Φ

)

(

ln( c ) − µ

1− Φ

σ

(

−σ

ln( c ) − µ

σ

)

) − c.

Hasonlóan határozható meg a második momentum is:

41

(

)

(

)

 1 − Φ ln( cσ) − µ − 2σ σ 2  1 − Φ ln( cσ) − µ − σ  EY = exp 2µ + σ − 2c exp µ + + c 2. ln( c ) − µ ln( c ) − µ 1− Φ σ 2  1− Φ σ 

(

2

2

)

(

)

(

)

Most már meg tudjuk oldani a következı példát.

1.3.3. Példa: A Gyarmat Biztosító a Suzuki autók CASCO biztosítását akarja módosítani. Eddig a biztosítások 10 ezer Ft önrészőek voltak. Az 1994. évi kárstatisztika szerint a kifizetett károk átlaga (az önrész levonása után) 49 ezer Ft volt, szórása 29 ezer. 1996-ban már csak 20 ezer Ft-os önrésszel lehet szerzıdést kötni. Becsüljük meg az 1996. évi átlagkár-kifizetést! A biztosító nem számol inflációval, és tapasztalatai szerint az önrész nélküli károk lognormális eloszlásúak. Az (1.3.1) formula szerint, ha 1994-ben a kárkifizetés várható értéke m1994 volt, akkor 1996ban ez a következı lesz: m1996

(

)

(

)

−µ −µ 1 − Φ ln10000 1 − Φ ln 20000 −σ σ σ = (m1994 + 10000 ) − 20000. ln 10000 − µ ln 20000 − µ 1− Φ σ −σ 1− Φ σ

(

)

(

)

Becsüljük meg a paramétereket momentum módszerrel (mással nem is tudnánk adataink alapján). Az elméleti elsı és második momentum ismeretében egyenleteink a következık:

(

)

ln 10000 − µ  σ 2 1− Φ σ −σ  exp µ + − 10000 = 49000 , −µ 2  1 − Φ ln 10000  σ

(

exp 2 µ + σ 2

(

)1 −1Φ−(Φ(

)

ln 10000 − µ

σ

− 2σ

ln 10000 − µ

σ

(

)

)− )

−µ  −σ σ 2  1 − Φ ln10000 σ  20000 exp µ + + 10000 2 = 29000 2 + 49000 2. ln 10000 − µ 2  1− Φ σ 

(

)

Ezt az egyenletrendszert numerikusan megoldva (Hegyi Zoltán megoldása) kapjuk

µˆ = 10,875, σˆ = 0,465 . Ebbıl becslésünk az 1996. évi átlagkárra 39764,32 Ft. Látszik, hogy nem tévedtünk volna sokat, ha az 1994. évi átlagkárból egyszerően levontunk volna 10 ezer Ft-ot, de azért a 764 Ft eltérés sem olyan kevés, és nagyobb önrésznél az eltérés még nagyobb lett volna. Nézzük meg végül, hogy mi történik a Pareto-eloszlással önrész bevezetése esetén. Az új eloszlásfüggvény F ( x + c ) − F X (c ) = P(Y < x ) = X 1 − F X (c )

( ) −( ( ) β α β +c

β β +c

)

α β β + x +c α

α

 β +c   , x > 0 . = 1 −  β +c+ x

Tehát az új káreloszlás is Pareto lesz (α , β + c) paraméterekkel. Így az új várható érték és szórásnégyzet

42

EY =

α ( β + c) 2 β +c ,α > 1, D 2Y = ,α > 2 . α −1 (α − 1) 2 (α − 2)

Infláció és káreloszlások A biztosítók kárstatisztikái természetesen a múlt adatait dolgozzák fel, miközben elıre jelezni a következı évekre kell. Az árak közben nınek, és ezt a biztosító matematikusának figyelembe kell vennie a legtöbb vagyonbiztosításnál. Egyáltalán nem biztos, hogy lehet találni olyan inflációs számot, ami pontosan megfelel a károk inflálódásának, ezért ennek statisztikai vizsgálata is feladata a matematikusnak (aktuáriusnak). Ebben az alpontban nagyon egyszerő feladattal foglalkozunk, nevezetesen azzal, hogy ha ismerjük X eloszlását, akkor mi lesz dX (d>0, általában 1-nél is nagyobb) eloszlása. Szerencsére nevezetes káreloszlásaink invariánsak erre a mőveletre, csak paramétereik változnak: Ha X λ paraméterő exponenciális, akkor dX λ

d

exponenciális.

Ha X ( µ , σ 2 ) paraméterő lognormális eloszlású, akkor dX ( µ + ln d , σ 2 ) lognormális. Ha X (α , β ) paraméterő Pareto-eloszlású, akkor dX (α , dβ ) Pareto.

1.3.5. Feladat: Oldjuk meg az elızı alpont 1.3.3. példáját, feltételezve, hogy két év alatt az infláció 35%-os!

1.4. ÖSSZETETT KOCKÁZAT MODELLJE Egy adott idıszakra (pl. egy évre) az összkár a következı módon áll elı: S = X 1 + X 2 + ... + X η ,

(1.4.1)

ahol X i az i. kárra jutó kifizetés, η az idıszak kárainak száma. Feltételezzük, hogy η és X i k független, ismert eloszlásúak, utóbbiaké azonos. Miért általánosan elfogadott ennek a modellnek az alkalmazása? Egyrészt az adatok gyakran káronként vannak nyilvántartva és nem szerzıdésenként, másrészt sokszor (talán egy picit meglepı módon) kényelmesebb az összetett modell alkalmazása. Persze ebben az esetben sem könnyő meghatározni az S összkár eloszlását. Írjuk fel elıször legfontosabb jellemzıit, amiket megkaphatunk a teljes várható érték tétel segítségével ES = EX 1 Eη (Eη < ∞), D 2 S = Eη D 2 X 1 + D 2η (EX 1 )

2

(D 2η < ∞), 43

∞

( )

(

)

L S ( s ) = E e − sS = ∑ E e − sS η = n P(η = n ) = n=0 ∞

[

]

(

(1.4.2)

)

= ∑ L X1 ( s ) P(η = n ) = G η L X 1 ( s ) . n

n =0

A következı pontban rekurziós módszert adunk az összkáreloszlás meghatározására.

Panjer-rekurzió A kárszámeloszlások tárgyalásánál kiemelkedı szerepet szántunk az (a,b,0) eloszlásoknak. Az alábbi tétel mutatja, hogy ez nem volt véletlen. Az egyszerőség érdekében vezessük be a következı jelölést.

Jelölés: Tetszıleges Y egész értékő valószínőségi változóra legyen pY (n) = P(Y = n ) . 1.4.1. Tétel: (Panjer) Legyen η (a,b,0) eloszlású és X 1 pozitív egész értékő valószínőségi változó, ekkor az (1.4.1) formulával meghatározott összkár eloszlására teljesül a következı rekurzív azonosság

p S (0) = pη (0), y  p S (n) = ∑  a + b  p X 1 ( y ) p S (n − y ), n = 1,2,... . n y =1  n

Bizonyítás: Mivel pontosan akkor nincs kárkifizetés, ha nincs kár, tehát a kárszám 0, ezért az elsı azonosság nyilvánvalóan teljesül. A következı lépésben írjuk fel a generátorfüggvényeket ∞

G X 1 ( z ) = ∑ p X 1 ( n) ⋅ z n , n =1

∞

∞

[

(1.4.3)

]

G S ( z ) = ∑ pS (n) ⋅ z = ∑ pη (n) ⋅ G X 1 ( z ) . n

n =0

n

n =0

Mivel η (a,b,0) eloszlású, ezért pn = pη (n) -re npn = anpn −1 + bpn −1 = a (n − 1) pn −1 + (a + b) pn −1 ,n = 1,2,... . (1.4.4) alapján

[p (G n

X1

( z)

) ]′ = np [G ( z )] G′ ( z ) = [G ( z )] G′ ( z)G ( z ) + (a + b) p [G

a (n − 1) pn −1

n −1

n

n

X1

X1

n−2

X1

X1

X1

Ezt összegezve 1-tıl végtelenig kapjuk, hogy

44

n −1

X1

( z)

]

n −1

G′X 1 ( z ).

(1.4.4)

′ ∞ ∞  n − p G ( z ) p = a G ( z ) pn −1 G X 1 ( z ) ∑ ∑ n X 0 X   1 1 n =1  n =0 

(

[(

)

) ]′ + (a + b)G′ n −1

X1

∞

[

( z )∑ pn −1 G X 1 ( z )

]

n −1

.

n =1

Ez és (1.4.3) alapján

[G S ( z )]′ = a[G S ( z )]′ G X ( z ) + (a + b)G S ( z )G′X ( z ) . 1

1

Ebbıl ∞ ∞ ∞ ∞ n −1 k −1   l m  i −1  p ( n ) nz = a p ( k ) kz p ( l ) z + ( a + b ) p ( m ) z ∑ S ∑ S  ∑ X 1  ∑ S  ∑ p X 1 (i )iz  . n =1  k =1   l =1  m=0   i =1  ∞

Írjuk fel z n −1 együtthatóját mindkét oldalon! np S (n) = a

∑p k ,l ≥1 k +l =n

S

(k )kp X 1 (l ) + (a + b)

∑p m ≥ 0 ,i ≥1 m +i= n

S

(m) p X 1 (i )i .

Az egyenlet pontosan tételünk rekurzióját adja. ***

1.4.1. Példa: Egy cég fogászati egészségpénztárat akar alapítani. Egyszerőbb beavatkozásnál (húzás, tömés) 1000 Ft-ot fizetnek az orvosnak, komolyabbnál (híd stb.) 10 000 Ft a pénztár költsége (az esetleges többletet a pénztártag állja). Egy éven keresztül a cég mind a száz dolgozója bejelentette fogászati beavatkozásait. Kiderült, hogy a beavatkozások 95%-a volt egyszerő, továbbá a kárszámok átlaga 0,1, tapasztalati szórásnégyzete 0,2. A cég által alkalmazott aktuárius a kárszám eloszlását negatív binomiálisnak feltételezte, és a paramétereket momentum módszerrel becsülte. Ekkor (1.2.3) szerint becsléseink az ismeretlen paraméterekre: qˆ = 1 −

M1 0,1 1 − qˆ = 1− = 0,5, rˆ = M 1 = 0,1 ⋅1 = 0,1 . 2 S 0,2 qˆ

Ha tehát az egy tagra jutó kárszám eloszlását NB(0,1 , 0,5) eloszlásúnak fogadom el, akkor a pénztár összkárszáma NB(10 , 0,5) eloszlású, ami (a,b,0) eloszlás a = 0,5 és b = 4,5 paraméterekkel. Káreloszlásnak (ebben az esetben szolgáltatáseloszlásnak kellene nevezni) a következıt fogadjuk el: P( X 1 = 1) = 0,95, P( X 1 = 10) = 0,05 (ezer Ft-ban számolunk). Az összkár eloszlását Panjer-rekurzióval határozhatjuk meg. Tételünk szerint

p S (0) = pη (0) = 0,510 , p S (n) = (0,5 + 4,5 / n)0,95 p S (n − 1) + (0,5 + 45 / n)0,05 p S (n − 10), n = 1,2,... . Az alábbi táblázatban az összkáreloszlás és az eloszlásfüggvény értékeit írtuk fel. Ezek segítségével határozhatók meg a tagdíjak, és lehet tárgyalni a viszontbiztosításról is.

45

n

pS (n)

P (S ≤ n )

n

pS (n)

P (S ≤ n )

n

pS (n)

P (S ≤ n )

0

,9765625000e-3

,9765625000e-3

25

,1525214298e-1

,8819647801

50

,4631028213e-3

,9975009354

1

,4638671875e-2

,5615234375e-2

26

,1375170582e-1

,8957164859

51

,3964677994e-3

,9978974032

2

,1211853027e-1

,1773376465e-1

27

,1257018896e-1

,9082866748

52

,3384385879e-3

,9982358418

3

,2302520752e-1

,4075897217e-1

28

,1153754415e-1

,9198242190

53

,2873651377e-3

,9985232069

4

,3554516411e-1

,7630413628e-1

29

,1052715172e-1

,9303513707

54

,2424478059e-3

,9987656547

5

,4727506826e-1

,1235792045

30

,9475632208e-2

,9398270029

55

,2033500355e-3

,9989690048

6

,5613914356e-1

,1797183481

31

,8381492669e-2

,9482084956

56

,1698525460e-3

,9991388573

7

,6095107015e-1

,2406694183

32

,7287065186e-2

,9554955608

57

,1416334377e-3

,9992804908

8

,6152248644e-1

,3021919047

33

,6251852612e-2

,9617474134

58

,1181899163e-3

,9993986807

9

,5844636212e-1

,3606382668

34

,5327630534e-2

,9670750439

59

,9886833394e-4

,9994975490

10

,5299198243e-1

,4136302492

35

,4543154999e-2

,9716181989

60

,8295075375e-4

,9995804998

11

,4683058906e-1

,4604608383

36

,3900772539e-2

,9755189715

61

,6975046729e-4

,9996502502

12

,4150311484e-1

,5019639531

37

,3382222431e-2

,9789011939

62

,5868388941e-4

,9997089341

13

,3792288149e-1

,5398868346

38

,2958638343e-2

,9818598322

63

,4930413761e-4

,9997582383

14

,3619463621e-1

,5760814708

39

,2600179962e-2

,9844600122

64

,4129757850e-4

,9997995358

15

,3578106047e-1

,6118625313

40

,2282874832e-2

,9867428870

65

,3445525034e-4

,9998339911

16

,3585430147e-1

,6477168328

41

,1991894287e-2

,9887347813

66

,2863474580e-4

,9998626258

17

,3563792564e-1

,6833547584

42

,1721451291e-2

,9904562326

67

,2372575472e-4

,9998863516

18

,3462039498e-1

,7179751534

43

,1472261786e-2

,9919284944

68

,1962675953e-4

,9999059783

19

,3261671526e-1

,7505918687

44

,1247994381e-2

,9931764888

69

,1623439229e-4

,9999222127

20

,2975116022e-1

,7803430289

45

,1052093422e-2

,9942285822

70

,1344283694e-4

,9999356556

21

,2637661513e-1

,8067196440

46

,8858384192e-3

,9951144206

71

,1114892161e-4

,9999468045

22

,2293656270e-1

,8296562067

47

,7478173144e-3

,9958622379

72

,9258673766e-5

,9999560632

23

,1981599536e-1

,8494722021

48

,6344678348e-3

,9964967058

73

,7692324712e-5

,9999637555

24

,1724043502e-1

,8667126371

49

,5411268208e-3

,9970378326

74

,6386350995e-5

,9999701418

Az eloszlásfüggvény értékeit az 1.4.1. grafikonon is ábrázoljuk:

1.4.1. Ábra

Megjegyzés: 1. Mint majdnem minden rekurziónál, itt is kulcsfontosságú a rekurzió kezdeti pontja. Elıfordulhat, és elı is fordul nagy szerzıdésszám mellett, hogy pS (0) = pη (0) olyan 46

kicsi, hogy a számítógép, ha nem figyelünk oda, 0-nak tekinti, és így minden értékre 0-t kapunk. 2. A Panjer-rekurziót ki lehetne mondani egy kicsit módosított formában akkor is, ha a kár a 0 értéket is pozitív valószínőséggel veszi fel. Úgy tőnhet, hogy a 0 kárnak nem sok értelme van, de elıfordulhat, hogy a biztosító kárszámnak a kárbejelentések számát tekinti, és ha a kárbejelentésre nem fizetnek, akkor a kár 0. A következı feladat két szempontból is általánosítja az 1.4.1. tételt, egyrészt lehet 0 kár is, másrészt a kárszámeloszlás (a,b) és nem (a,b,0).

1.4.1. Feladat: Legyen η (a,b) eloszlású és X 1 nemnegatív egész értékő valószínőségi változó. Mutassuk meg, hogy ekkor az (1.4.1) formulával meghatározott összkár eloszlására teljesül a következı rekurzív azonosság ∞

[

k

]

p S (0) = ∑ pη (k ) p X 1 (0) ,

[1 − ap

k =0

X1

]

( 0) p S ( n ) =

n   y ∑  a + b  p X 1 ( y ) p S (n − y ) + ( pη (1) − (a + b) pη (0) ) p X 1 (n), n = 1,2,... . n  y =1  

Meg lehet kérdezni, hogy mit tegyünk nem rácsos káreloszlások esetében. A legtermészetesebb megoldás ilyenkor a diszkretizálás. Rendeljük hozzá kárainkhoz az alábbi egész értékő valószínőségi változókat ( h > 0 rögzített konstans): Xj
(

)

(

)

hS a = h Y1a + ... + Yηa ≤ S = X 1 + ... + X η ≤ h Y1 f + ... + Yηf = hS f .

(1.4.5)

Ha kárszámeloszlásunk (a,b) eloszlású, akkor a Panjer-rekurzió segítségével meg tudjuk határozni S a és S f eloszlását és eloszlásfüggvényét. Az (1.4.5) formulából rögtön adódik, hogy

( h ) ≥ F ( x) ≥ F (x h ), x ≥ 0 .

FS a x

S

Sf

Tehát az összkár eloszlásfüggvényét korlátok közé tudjuk szorítani. Ha a károk abszolút folytonos eloszlásúak, akkor az összkár eloszlása abszolút folytonos komponense sőrőségfüggvényére Volterra–típusú integrálegyenletet lehet felírni. További részletek megtalálhatók [23] 84–88. oldalán.

Összetett Poisson-eloszlások 47

Mint

már

többször

említettük,

a

Poisson-eloszlás

a

leggyakrabban

alkalmazott

kárszámeloszlás. Ebben a pontban η egy idıszak kárainak száma, λ paraméterő Poissoneloszlású valószínőségi változó. Az idıszak összkára a következı módon áll elı: (1.4.6)

S = X 1 + X 2 + ... + X η ,

ahol X i az i. kárra jutó kifizetés, az X i -k egymástól és η-tól független, azonos eloszlásúak. Tehát S összetett Poisson-eloszlású valószínőségi változó. Ekkor az (1.4.2) formula szerint

(

)

[(

)]

ES = λEX 1 , D 2 S = λ D 2 X 1 + (EX 1 ) = λEX 12 , L S ( s ) = exp λ L X 1 ( s ) − 1 . 2

Ebben az esetben a Panjer-rekurzió is egészen egyszerő alakban írható fel. Legyen X 1 pozitív egész értékő valószínőségi változó, ekkor az (1.4.6) formulával meghatározott összkár eloszlására teljesül a következı rekurzív azonosság:

p S (0) = e − λ , p S ( n) =

λ n

n

∑ yp y =1

X1

( y ) p S (n − y ), n = 1,2,... .

1.4.2. Példa: Egy kis autóbiztosítási egyesület nem túl nagy kár esetén 10 ezer Ft-ot, totálkárnál 20 ezer Ft-ot térít. Évente átlagosan 10 kárra fizetnek. A kifizetések 95%-a 10 ezer Ft-os. Határozzuk meg az összkár eloszlását, ha feltételezzük, hogy a kárszám Poisson-eloszlású! A feltételek szerint η 10 paraméterő Poisson-eloszlású és P( X 1 = 1) = 0,95, P( X 1 = 2) = 0,05 (10 ezer Ft-ban számolunk). A Panjer-rekurzió az összkár eloszlására az alábbiakat adja: p S (0) = e −10 , p S (1) = 9,5e −10 , p S ( n) =

10 (0,95 p S (n − 1) + 0,1 p S (n − 2)), n = 2,3,... . n

Rögtön látszik, hogy a rekurziót fordított irányban is felírhatjuk: pS (n) = (n + 2) pS (n + 2) − 9,5 p S (n + 1),n = 0,1,... .

(1.4.7)

Elvégeztük a rekurziót egy táblázatkezelı program segítségével az eloszlás elsı 30 tagjára, és utána visszafelé is számoltunk az (1.4.7) formula szerint. A kapott eredményeket az alábbi táblázatban írtuk fel (f pS (n) a fordított rekurzióval számított érték).

48

n 0

pS (n) 4,54E-05

f pS (n) 1,3E+08

n 5

pS (n) 0,032572

f pS (n) -1364,64

n 10

pS (n) 0,118379

f pS (n) 0,129818

1

0,000431

-1,3E+07

6

0,054312

134,0895

11

0,112609

0,111532

2

0,002071

1362513

7

0,078363

-12,9701

12

0,099013

0,099114

3

0,006703

-137625

8

0,099845

1,359189

13

0,081018

0,081009

4

0,016438

13768,62

9

0,114099

-0,00642

14

0,062049

0,06205

n pS (n) 15 0,044699

f pS (n) 0,044699

n 20

pS (n) 0,003955

f pS (n) 0,003955

n 25

pS (n) 0,000121

f pS (n) 0,000121

16 0,030418

0,030418

21

0,002125

0,002125

26

5,44E-05

5,44E-05

17 0,019628

0,019628

22

0,001097

0,001097

27

2,36E-05

2,36E-05

18 0,012049

0,012049

23

0,000546

0,000546

28

9,96E-06

9,96E-06

19 0,007058

0,007058

24

0,000262

0,000262

29

4,08E-06

4,08E-06

Egy kissé lesújtó, hogy a fordított rekurzióval számított eredmények nem adják vissza az eredeti eloszlást, sıt nem is eloszlást kapunk. Ezért javasoljuk, hogy számításoknál nagy pontosságú matematikai programcsomagokat alkalmazzanak. Az alkalmazások során nagyon gyakran kell különbözı veszélyközösségeket vagy kockázatokat egyesíteni, ezeknél az eseteknél segíthet a következı állítás.

1.4.1. Állítás: Legyenek S1 , S 2 ,...S k független összetett Poisson-eloszlású valószínőségi változók λ1 , λ2 ,...λk Poisson-paraméterekkel és F1 , F2 ,...Fk káreloszlásfüggvényekkel. Ekkor S = S1 + S 2 + ... + S k szintén összetett Poisson-eloszlás λ = λ1 + λ2 + ... + λk Poisson-paraméterrel és

λj Fj j =1 λ k

F =∑ káreloszlásfüggvénnyel.

Bizonyítás: Jelöljük L j -vel a j-edik káreloszlás Laplace-transzformáltját. Ekkor az (1.4.2) formula szerint

[

]

L S j ( s ) = exp λ j (L j ( s ) − 1) , amibıl k

k

j =1

j =1

[

]

L S ( s ) = ∏ L S j ( s ) = ∏ exp λ j (L j ( s ) − 1) =  k    k λj   = exp  ∑ λ j L j ( s )  − λ  = exp λ  ∑ L j ( s ) − 1.  j =1    j =1 λ  

Mivel 49

∞

L F ( s) = ∫ e 0 k

λj

∞

∑ λ ∫e j =1

− sx

 k λj  dF ( x) = ∫ e − sx d  ∑ F j ( x) = 0  j =1 λ  ∞

− sx

λj L j ( s) , j =1 λ k

dF j ( x) =∑

0

ezért L S ( s ) = exp[λ (L F ( s ) − 1)] , ami pont az állítást adja. ***

1.4.2. Feladat: Az 1.4.2. példa biztosító egyesülete úgy döntött, hogy a gépkocsik lopáskockázatát is vállalja. Ez esetben 15 ezer Ft-ot térítenek. Úgy gondolják, hogy a kárszám ebben az esetben 9 paraméterő Poisson-eloszlású lesz. Alkalmazzuk az elızı állítást, és határozzuk meg numerikusan az összkár eloszlását. Gyakran elıfordul, hogy a biztosítóknak csak bizonyos kárnagyság esetén keletkezik kára. Ez lehet önrész és viszontbiztosítás miatt is. Ebben az esetben a következı állítás segíthet.

1.4.2. Állítás: Tegyük fel, hogy S = X 1 + X 2 + ... + X η ,

λ paraméterő összetett Poisson-eloszlású valószínőségi változó. Legyen A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ Am a pozitív félegyenes egy diszjunkt felbontása. Ekkor a

pi = P( X 1 ∈ Ai ), Bi = {j :1 ≤ j ≤ η , X j ∈ Ai }, η i = Bi , S i =

∑X

j

j∈Bi

jelölésekkel η1 ,...ηm egymástól független λpi paraméterő Poisson-eloszlásúak, továbbá S1 ,...S m egymástól független λpi paraméterő összetett Poisson-eloszlásúak QX 1 X 1∈Ai káreloszlásokkal.

Megjegyzés: Nyilvánvaló, hogy η1 ,...ηm összege η , tehát a kárszámot független kárszámok összegére bontottuk. Hasonlóan S1 ,...S m összege S.

Bizonyítás: Csak az állítás elsı felét látjuk be, tehát megmutatjuk, hogy η1 ,...ηm független Poissonok.

50

P(η1 = n1 ,...η m = n m ) = P(η1 = n1 ,...η m = n m η = n )P(η = n ) = −λ n e −λ p1 (λp1 ) n1 e −λ p2 (λp 2 ) n2 ...e −λ pm (λp m ) nm λ n! n1 n2 nm e p1 p 2 ... p m = = n1!n 2 !...n m ! n! n1!n 2 !...n m ! m

=∏ j =1

e

−λ p j

(λp j ) n1 n j!

.

Tehát η j -k Poisson-eloszlásúak (λ p j ) paraméterekkel és függetlenek. ***

1.4.3. Feladat: Tekintsük újra az 1.3.5. feladatot. A Gyarmat Biztosító a Suzuki autók CASCO biztosítását akarja módosítani. Eddig a biztosítások 10 ezer Ft önrészőek voltak. Az 1994. évi kárstatisztika szerint a szerzıdések 9,3%-ánál történt kifizetés, és a kifizetett károk átlaga 49 ezer Ft volt, szórása 29 ezer. 1996-ban már csak 20 ezer Ft-os önrésszel lehet szerzıdést kötni. A biztosító tapasztalatai szerint az önrész nélküli kárszám Poisson-eloszlású. Két év alatt 35%-os inflációt feltételezve becsüljük meg az 1996. évi kárszám eloszlását!

51

2. FEJEZET

DÍJKALKULÁCIÓS ELVEK

A fejezet célja, hogy bemutasson néhány díjkalkulációs elvet és ezek tulajdonságait. Itt kockázatokhoz határozunk meg díjakat. Emlékeztetünk arra, hogy kockázaton mindig nemnegatív valószínőségi változót értünk. Feltételezzük, hogy a kockázat eloszlása ismert. Megjegyezzük, hogy ebben a fejezetben számunkra mindegy, hogy minek a kockázatáról van szó, lehet ez egy szerzıdésé vagy egy módozaté, vagy akár egy ágazaté is. A 2. fejezetben nem lesznek alkalmazások, de azért az itt tanultak segíthetnek a gyakorlatban is, ötletet adhatnak, hogy milyen összdíjat számoljunk, hogyan osszuk meg a díjakat a szerzıdések között. Természetesen csak a kockázati (nettó) díjjal foglalkozunk. Térjünk át a pontos definíciókra. Jelöljük H-val a nemnegatív félegyenesre koncentrált eloszlások halmazát. Díjat csak ilyen eloszlásokra határozunk meg.

Definíció: Π díjkalkulációs elv, vagy rövidebben díjelv, ha Π :H Π ⊆ H → R 0+ =R 0+ ∪{∞} leképezés. Az eloszláshoz rendelt érték az eloszlás díja. A díjkalkulációs elveket természetes módon értelmezhetjük valószínőségi változókon és eloszlásfüggvényeken is.

Definíció: A Π díjelv a következı díjakat határozza meg tetszıleges nemnegatív ξ valószínőségi változóra és a nemnegatív félegyenesre koncentrált tetszıleges F eloszlásfüggvényre: Π v (ξ ) := Π (Qξ ) ; Π F (F ) := Π (QF ) . Elıször néhány nevezetes díjelvet vezetünk be.

2.1. KLASSZIKUS DÍJELVEK A várható érték elve A legegyszerőbb és a leggyakrabban alkalmazott díjelv a várható értéken alapuló elv. 52

Definíció: Π

λ paraméterő (λ ≥ 0) várható érték elv, ha Π v (ξ ) = (1+ λ )Eξ minden

nemnegatív ξ valószínőségi változóra.

Megjegyzés: A 0 paraméterő várható érték elvet nettó várható érték elvnek nevezik. A díjkalkulációs elvek irodalmának döntı része ún. karakterizációs tételekbıl áll, tehát olyan tételekbıl, melyek megmondják, hogy milyen tulajdonságok határozzák meg pontosan az adott díjelvet. Ahhoz, hogy ki tudjuk mondani a várható érték elv egyik fı karakterizációs tételét, definiálnunk kell a folytonos díjelv fogalmát.

Definíció: Π folytonos díjelv, ha Qξ ,Qξ n ∈ H Π és E ξ n - ξ n → 0 -ból következik, hogy →∞ Π (Q n ) n → Π (Q ) . →∞

Jelölés: Jelölje δ c a c konstanshoz tartozó eloszlást. 2.1.1. Állítás: A Π díjelv várható érték elv pontosan akkor, ha (i) folytonos, (ii) Π (δ c ) = (1 + λ )c , (iii) Π (tQ + (1 − t ) S ) = tΠ (Q ) + (1 − t )Π (S ) minden 0 ≤ t ≤ 1, Q, S ∈ H esetén.

Bizonyítás: A várható érték elv triviálisan kielégíti a három tulajdonságot. A másik irány bizonyításánál elıször tekintsünk egy ξ ≥ 0 véges várható értékő valószínőségi változót. Ekkor, mint tudjuk, léteznek olyan véges sok értéket felvevı nemnegatív ξ n ≤ ξ változók, melyekre

E ξ − ξ n n → 0 . (ii) és (iii) szerint Π v (ξ n ) = (1+ λ )Eξ n , (i) szerint Π v (ξ n ) n → Π v (ξ ) , →∞ →∞ tehát Π v (ξ ) = (1+ λ )Eξ . Ha ξ ≥ 0 nem véges várható értékő, akkor (iii) szerint

(

)

(

)

Π v (ξ ) = Π v (χ (ξ ≤n )ξ + χ (ξ >n )ξ ) = P(ξ ≤ n )Π Qξ ξ ≤ n + P(ξ > n )Π Qξ ξ >n ≥

(

)

P(ξ ≤ n )Π Qξ ξ ≤n = P(ξ ≤ n )(1 + λ )E(ξ ξ ≤ n ) = (1 + λ )E (χ (ξ ≤ n )ξ ). A monoton konvergencia tétel szerint ez utóbbi tag (1 + λ )Eξ = ∞ -hez tart, tehát valóban várható érték elvrıl van szó. ***

A maximális veszteség elve Definíció: Π p paraméterő maximális veszteség elv, ha Π v (ξ ) = pEξ + (1 − p ) sup{x : P(ξ > x ) > 0}

(0 < p < 1) ,

53

minden nemnegatív ξ valószínőségi változóra.

Megjegyzés: A díjelv teljesen érthetı meggondoláson alapszik, a nagy kár veszélyes, azt büntetni kell.

Kvantilis elv Definíció: Π (1 − ε , p ) paraméterő kvantilis elv, ha Π v (ξ ) = pEξ + (1 − p ) inf {x : P(ξ < x ) ≥ 1 − ε } (0 < p < 1,0 < ε < 1) , minden nemnegatív ξ valószínőségi változóra.

Megjegyzés: A díjelv hasonló meggondoláson alapszik, mint a maximális veszteség elve, itt is a nagy károkat "büntetik". A kvantilis díjat meg lehet becsülni a várható érték és a szórás segítségével:

2.1.2. Állítás: Ha Π (1 − ε , p ) paraméterő kvantilis elv, és σ 2 = D 2ξ < ∞ , akkor

Eξ - (1 − p)σ

ε 1− ε

≤ Π v (ξ ) ≤ Eξ + (1 − p)σ

1− ε

ε

.

Bizonyítás: Elıször lássunk be egy nagyon egyszerő lemmát! Lemma: Legyen A egy tetszıleges pozitív valószínőségő esemény, ekkor

{E(ξ A) − Eξ }

2

≤σ2

1 − P ( A) . P( A )

Bizonyítás:

{E(ξ A) − Eξ }

2

2

 χ  =  ∫ A ξ dP − ∫ ξ dP  = Ω Ω P( A)  2

 χA  (ξ − Eξ )dP − ∫ (ξ − Eξ )dP  = ∫ Ω P ( A ) Ω  2

  χA   − 1(ξ − Eξ )dP  . ∫  Ω  P ( A )  

A Cauchy–Schwarz-egyenlıtlenség miatt ez kisebb-egyenlı 2   χ   1 − P( A ) 2  2 A   − 1 d P σ -nél. *** ∫  ∫ (ξ − Eξ ) dP  =  P ( A) Ω  P( A)  Ω 

Jelöljük az (1 − ε ) kvantilist rε -nal:

54

rε = inf {x : P(ξ < x ) ≥ 1 − ε } . A lemmát az A = {ξ < rε } eseményre alkalmazva kapjuk

Π v (ξ ) = pEξ + (1 − p)rε ≥ pEξ + (1 − p)E(ξ ξ < rε ) = = Eξ + (1 − p )(E(ξ ξ < rε ) − Eξ ) ≥ Eξ − (1 − p )σ Eξ − (1 − p )σ

ε 1− ε

1 − P(ξ < rε ) ≥ P(ξ < rε )

,

mivel P(ξ < rε ) ≤ 1 − ε ≤ P(ξ ≤ rε ) . Ezt és a lemmát az A = {ξ ≥ rε } eseményre alkalmazva kapjuk meg az egyenlıtlenség másik irányát:

Π v (ξ ) = pEξ + (1 − p )rε ≤ pEξ + (1 − p )E(ξ ξ ≥ rε ) = Eξ + (1 − p )(E(ξ ξ ≥ rε ) − Eξ ) ≤ Eξ + (1 − p )σ Eξ + (1 − p )σ

1− ε

ε

1 − P(ξ ≥ rε ) ≥ P(ξ ≥ rε )

. ***

Szórásnégyzet elv Definíció: Π β paraméterő ( β ≥ 0) szórásnégyzet elv, ha Π v (ξ ) = Eξ + β D 2ξ , minden nemnegatív ξ valószínőségi változóra.

Megjegyzés: Végtelen szórásnégyzető kockázat díja végtelen.

Szórás elv Definíció: Π α paraméterő (α ≥ 0) szórás elv, ha Π v (ξ ) = Eξ + α Dξ , minden nemnegatív

ξ valószínőségi változóra. Megjegyzés: A várható érték elv mellett talán ez a leggyakrabban alkalmazott díjelv.

Féloldali szórásnégyzet elv Az elızı két díjelv mintegy a várható értéktıl történı eltérést bünteti. Jogos lehet a kérdés, miért büntessük azt az esetet, amikor a kockázat kisebb a várható értéknél. Ez indokolja a következı díjelv bevezetését, amihez elıbb be kell vezetnünk a féloldali szórásnégyzetet.

55

(

Definíció: D 2+ξ = E ξ − Eξ

)

+ 2

+

féloldali szórásnégyzet ( x : x pozitív része).

Definíció: Π β paraméterő ( β ≥ 0) féloldali szórásnégyzet elv, ha Π v (ξ ) = Eξ + β D 2+ξ , minden nemnegatív ξ valószínőségi változóra.

Megjegyzés: Vigyázat! A féloldali szórásnégyzet nem ξ − Eξ

+

szórásnégyzete.

Egyes esetekben kényelmes lehet a következı egyenlıtlenség, mely a várható érték és szórásnégyzet segítségével ad felsı korlátot a féloldali szórásnégyzetre.

2.1.3. Állítás: Legyen ξ korlátos valószínőségi változó, 0 ≤ ξ ≤ M , Eξ = µ , D 2ξ = σ 2 . Ekkor

σ2 σ 2 + µ2

≤

D +2ξ

σ2

≤

(M − µ )2 . σ 2 + (M − µ )2

Ez a becslés éles: tetszılegesen adott µ és σ 2 esetén, ha 0 < µ < M és 0 < σ 2 < µ ( M − µ ), mindkét oldali becsléshez található olyan ξ valószínőségi változó, amelyre egyenlıség teljesül.

Bizonyítás: A Cauchy–Schwarz-egyenlıtlenségbıl kiindulva Eξ 2 E( ξ - Eξ

+ 2

+

) ≥ E 2 (ξ ξ - Eξ

).

Itt E(ξ ξ - Eξ

+

) ≥ E(ξ (ξ - Eξ )) = D 2ξ ,

ebbıl az alsó becslés következik. Alkalmazzuk ezt most az M − ξ valószínőségi változóra: ( M − ξ - E(M - ξ )

+

−

= ξ - Eξ ,

ezért

E( ξ - Eξ

σ4 D 4 ( M-ξ ) = ) ≥ . E( M − ξ ) 2 σ 2 + ( M − µ ) 2

_ 2

Ebbıl

D +2ξ

σ2

_

σ 2 − E( ξ - Eξ ) 2 σ2 (M − µ )2 = ≤ 1 − = . σ2 σ 2 + (M − µ )2 σ 2 + (M − µ )2

Az alsó becslésben pontosan akkor teljesül egyenlıség, ha ξ +

(1 valószínőséggel)

konstansszorosa ξ − Eξ -nak, azaz ξ = 0 , amikor ξ ≤ Eξ , és ξ csak egy olyan értéket vehet fel, amely nagyobb, mint Eξ : 56

 σ2 P ξ = µ + µ 

 σ2 µ2  = 2 , P(ξ = 0) = 2 . 2 µ +σ 2  µ +σ

Ennek megfelelıen a felsı becslésben pedig pontosan akkor teljesül az egyenlıség, ha

 σ2 σ2  µ2  = ( ) P ξ = µ − , P = M = . *** ξ M − µ  (M − µ ) 2 + σ 2 (M − µ ) 2 + σ 2  Az eddig felsorolt díjelvek még többször elı fognak fordulni mint egyes általánosabb díjelvek speciális esetei, és tulajdonságaikat is meg fogjuk vizsgálni.

2.2. AZ ÁTLAGOS ÉRTÉK ELVE Legyen f folytonos és szigorúan monoton függvény [0, ∞) -en. Segítségével határozhatjuk meg a következı díjelvet.

Definíció: Ha Ef (ξ ) véges, akkor az f ( p) = Ef (ξ ) egyenlet egyetlen p gyöke ξ átlagos érték elv alapján számított díja.

Jelölés: A díjelv jelölése Π (., f ) . Megjegyzés: 1. Az elnevezés nagyon hasonlít a várható érték elvre, ne tévesszük össze! 2. A lineáris függvényekhez tartozó díjelv a nettó várható érték elvet adja vissza (csak az értelmezési tartománya szőkebb).

Definíció: Az exponenciális függvényhez tartozó Π v (ξ ) = 1 ln{E exp(αξ )} díjelv az expo-

α

nenciális elv (α > 0) .

Jelölés: Jelöljük B-vel a korlátos kockázatokhoz tartozó eloszlások halmazát és Bv -vel a korlátos valószínőségi változók összességét. A következı állítás mutatja, hogy mikor egyezik meg két átlagos érték elv.

2.2.1. Állítás: Az f és g folytonos, szigorúan monoton függvényekhez tartozó díjelvek pontosan akkor egyeznek meg a korlátos kockázatok halmazán, ha létezik olyan α és β ≠ 0 konstans, hogy g ( x) = α + βf ( x) ∀x ∈ [0, ∞) .

Bizonyítás: Ha g és f egymás lineáris transzformáltjai, akkor minden ξ ∈ Bv -re

α + β f (Π v (ξ , g )) = g (Π v (ξ , g )) = Eg (ξ ) = α + β Ef (ξ ) = α + β f (Π v (ξ , f )) . Ebbıl adódik a két díjelv megegyezése, hiszen β ≠ 0 és f szigorúan monoton. 57

A másik irány bizonyításánál elıször rögzítsük a 0 ≤ t ≤ 1, 0 < a konstansokat, és ezek segítségével vegyük a következı ξ ≥ 0 véges valószínőségi változót:

P(ξ = 0) = t , P(ξ = a ) = 1 − t . Jelöljük e kockázat díját pt -vel: pt = Π v (ξ , f ) = Π v (ξ , g ) . A várható érték azonnal kiszámolható: Ef (ξ ) = tf (0) + (1 − t ) f (a) . Mivel átlagos érték elvrıl van szó, ezért f ( pt ) = tf (0) + (1 − t ) f (a ) . Ebbıl kifejezhetjük t-t: t=

f ( pt ) − f (a ) . f ( 0) − f ( a )

(2.2.1)

Vegyünk egy tetszıleges 0 ≤ p ≤ a -t és legyen f ( p) − f (a) . f ( 0) − f ( a )

s=

Mivel f szigorúan monoton, ezért s ∈ [0,1] . Így a (2.2.1) formula szerint s=

f ( ps ) − f ( a ) . f ( 0) − f ( a )

Mivel f szigorúan monoton, ezért p = p s . Mindezeket felírhattuk volna g-re is, így a (2.2.1) formulából s=

g ( ps ) − g (a ) . g ( 0) − g ( a )

Tehát tetszıleges 0 ≤ p ≤ a esetén f ( p ) − f (a ) g ( p ) − g ( a ) = . f ( 0) − f ( a ) g ( 0) − g ( a ) Így a [0, a ] intervallumon g ≡ αa + βa f . Ha a < a , , akkor

α a + β a f ( p ) = g ( p) = α a + β a f ( p), 0 ≤ p ≤ a , ,

,

ebbıl

α a − α a = ( β a − β a ) f ( p), 0 ≤ p ≤ a , ,

,

és így f szigorú monotonitása miatt α a = α a , , β a = β a , , amivel beláttuk az állítást. *** A következı állítás segít a különbözı függvényekhez tartozó díjak összehasonlításánál.

58

2.2.2. Állítás: Az f és g folytonos, szigorúan monoton növı függvényekhez tartozó díjelvekre Π v (ξ , f ) ≤ Π v (ξ , g ),∀ξ∈ Bv , pontosan akkor, ha a h = g
f −1 függvény konvex.

Bizonyítás: A Jensen-egyenlıtlenség egyszerő következménye, hogy egy h függvény pontosan akkor konvex, ha h(Eξ ) ≤ E(h(ξ )),∀ξ ∈ Bv (alkalmazzuk az egyenlıtlenséget egy kétértékő, nemnegatív valószínőségi változóra!). Ha h konvex, akkor

[E( f (ξ ))] = h[Ef (ξ )] ≤ E(h( f (ξ ))) = E( g (ξ )) = g (Π v (ξ , g )) . g (Π v (ξ , f )) = g
f

−1

Mivel g szigorúan monoton, ezért Π v (ξ , f ) ≤ Π v (ξ , g ),∀ξ ∈ Bv . Ha ez utóbbi egyenlıtlenség teljesül, akkor minden ξ ∈ Bv esetén:

( (Eξ )) = g ( f (E( f ( f (ξ ))))) = g (Π ( f (ξ ), f )) ≤ g (Π ( f (ξ ), g )) = g (g (E(g ( f (ξ ))))) = E(h(ξ )) .

h(Eξ ) = g f

−1

−1

−1

−1

−1

v

−1

−1

v

Így a Jensen-egyenlıtlenség következménye szerint h konvex. ***

Az átlagos érték elv karakterizációja A valószínőségszámításban a valószínőségeloszlások és változók többfajta részben rendezése is ismert. Nekünk a továbbiakban a következıre lesz szükségünk.

Definíció: ξ < st η (sztochasztikusan kisebb), ha E(w(ξ )) ≤ E(w(η )) minden nem-csökkenı w függvényre. A következı állítás mutatja, hogy rendezésünket meghatározhattuk volna más módon is.

2.2.3. Állítás: A következı három állítás ekvivalens: (i) ξ < st η , (ii) Fξ ( x ) ≥ Fη ( x ), ∀x , d ~d ~ (iii) léteznek olyan ξ = ξ és η~ =η valószínőségi változók, melyekre ξ ≤ η~ 1 valószí-

nőséggel.

59

Bizonyítás: (i) ⇒ (ii) Tetszıleges valós x-re legyen w = χ [ x , +∞ ) . Mivel ez nemcsökkenı, ezért 1 − Fξ ( x ) = Ew(ξ ) ≤ Ew(η ) = 1 − Fη ( x ) . ~ ~ ~ (ii) ⇒ (iii) Legyen Ω = (0,1), A = Lebesgue-mérhetı halmazok, P = Lebesgue-mérték. Vegyük eloszlásfüggvényeink általánosított inverzeit: ~ ξ (t )= Fξ−1 (t ) = sup{s :Fξ (s ) < t }, η~ (t ) = Fη−1 (t ) = sup{s :Fη (s ) < t }. Mint jól ismert, ezen függvények – mint valószínőségi változók – eloszlásfügvényei pont az eredeti eloszlásfüggvények. Mivel Fξ ( x ) ≥ Fη ( x ),∀x, ezért ~

ξ (t ) = Fξ−1 (t ) ≤ Fη−1 (t ) = η~ (t ),∀t .

()

~ (iii) ⇒ (i) Nyilvánvaló, hogy Ew(ξ ) = Ew ξ ≤ Ew(η~ ) = Ew(η ) . *** Most már kimondhatjuk karakterizációs tételünket.

2.2.1. Tétel: A korlátos kockázatokon értelmezett Π díjelv pontosan akkor egy (szigorúan) monoton növı függvényhez tartozó átlagos érték elv, ha a következı feltételek teljesülnek: (i) Ha ξ < st η és Fξ ≡/ Fη , akkor Π v (ξ ) < Π v (η ) . (ii) Π (δ c ) = c, ∀c ≥ 0 . (iii) Ha Q1 , Q2 , Q3 korlátos kockázatokhoz tartozó eloszlások és Π (Q1 ) = Π (Q2 ) , akkor tetszıleges p ∈ [0,1] -re Π ( pQ1 + (1 − p )Q3 ) = Π ( pQ2 + (1 − p )Q3 ) .

Megjegyzés: Ha belegondolunk, akkor az elsı két tulajdonság teljesen természetes. Hiszen 'nagyobb' kockázatnak nagyobb díj jár, a biztos kifizetés díja (nettó!) önmaga. Az erıs megszorítás a harmadik tulajdonság, amely szerint egy azonos díjúra történı 'csere' nem kell, hogy változtasson a díjon.

Bizonyítás: Ha Π átlagos érték elv, akkor a következıket mondhatjuk d ~d (i) Ha ξ < st η és Fξ ≡/ Fη , akkor az elızı állítás szerint léteznek ξ = ξ és η~ =η valószínőségi

~ ~ változók, amelyekre ξ ≤ η~ 1 valószínőséggel és P(ξ < η~ ) > 0 . Ebbıl

( ( ))

~ Π v (ξ ) = f −1 (Ef (ξ )) = f −1 Ef ξ < f −1 (Ef (η~ )) = f −1 (Ef (η )) = Π (η ) . v

Itt felhasználtuk azt, hogy f szigorúan monoton nı. 60

(ii) Ez a tulajdonság természetesen teljesül: Π (δ c ) = f −1 (Ef (c )) = c . (iii) Ha Π (Q1 ) = Π (Q2 ) , akkor

{p ∫ f ( x)dQ ( x) + (1 − p )∫ f ( x)dQ ( x)}= {pf (Π(Q )) + (1 − p )∫ f ( x)dQ ( x)}= f {pf (Π(Q )) + (1 − p )∫ f ( x)dQ ( x)}= {p ∫ f ( x)dQ ( x) + (1 − p )∫ f ( x)dQ ( x)}= Π( pQ + (1 − p)Q ) ,

Π ( pQ1 + (1 − p )Q3 ) = f f

−1

f

−1

−1

1

3

−1

1

3

2

2

3

2

3

3

amivel az egyik irányt beláttuk. Tegyük fel most, hogy teljesülnek az (i)–(iii) tulajdonságok, és rögzített a > 0 mellett vezessük be a következı ϕ a : [0,1] → R függvényt:

ϕ a ( p ) = Π ( pδ a + (1 − p )δ 0 ) . (i) miatt ϕ a szigorúan monoton nı, (ii) miatt ϕ a (0 ) = 0, ϕ a (1) = a . Megmutatjuk, hogy a függvény folytonos is. (ii) miatt tetszıleges q ∈ [0,1] -re

(

)

Π δ ϕ a ( q ) = ϕ a (q ) = Π (qδ a + (1 − q )δ 0 ) . Így már alkalmazhatjuk (iii)-at a következı szereposztásban: Q1 = δ ϕ a ( q ) , Q2 = qδ a + (1 − q )δ 0 , Q3 = δ ϕ a ( r ) , p = 12 . Ebbıl

(

)

Π 12 δ ϕ a ( q ) + 12 δ ϕ a ( r ) = Π

( [qδ 1 2

a

)

+ (1 − q )δ 0 ] + 12 δ ϕ a ( r ) .

Most legyen Q1 = δ ϕ a ( r ) , Q2 = rδ a + (1 − r )δ 0 , Q3 = qδ a + (1 − q )δ 0 , p = 12 . Megint (iii)-at alkalmazva kapjuk, hogy

(

)

Π 12 δ ϕ a ( q ) + 12 δ ϕ a ( r ) = Π ( 12 [qδ a + (1 − q)δ 0 ] +

[rδ a + (1 − r )δ 0 ]) = Π ( 12 (q + r )δ a + (1 − 12 (q + r ) )δ 0 ) = ϕ a ( 12 (q + r ) ) . 1 2

(2.2.2)

Tegyük fel indirekt módon, hogy ϕ a egy p0 pontban jobbról nem folytonos:

ϕ a ( p0 ) < lim ϕ a ( p0 + ε ) = α . ε ↓0

Ebbıl és (2.2.2)-bıl

ϕ a ( 12 ( p + p0 ) ) = Π (12 δ ϕ

(

)

a(

p)

) (

)

+ 12 δ ϕ a ( p0 ) < Π 12 δ ϕ a ( p ) + 12 δ α ≤ (i )

Π 12 δ ϕ a ( p ) + 12 δ ϕ a ( p0 +ε ) = ϕ a ( 12 ( p + p0 + ε ) ) = ϕ a ( 12 ( p + p 0 ) + 12 ε ) .

61

Tehát tetszıleges p-re függvényünk a ( p + p0 ) / 2 pontban sem folytonos, ami ellentmondás, mert egy monoton függvénynek legfeljebb megszámlálható sok szakadási helye lehet. Teljesen hasonló módon mutatható meg, hogy a függvény balról is folytonos. Jelöljük f a -val ϕ a inverzét. Ekkor

Π (δ u ) = u = ϕ a ( f a (u )) = Π ( f a (u )δ a + (1 − f a (u ))δ 0 ) . ( ii )

(2.2.3)

(iii)-ból következik (teljes indukcióval), hogy ha Π (Q j ) = Π (Q′j ) j = 1,..., n és

n

∑p

j

= 1, p j ≥ 0 ,

j =1

akkor

 n   n    Π ∑ p j Q j  = Π  ∑ p j Q′j  .  j =1   j =1  Ebbıl és (2.2.3)-ból c j ∈ [0, a ] -re ( j = 1,2,..., n )

 n   n  Π ∑ p j δ c j  = Π ∑ p j f a (c j )δ a + (1 − f a (c j ))δ 0  =  j =1   j =1  n  n      n  Π ∑ p j f a (c j )δ a + 1 − ∑ p j f a (c j )δ 0  = ϕ a  ∑ p j f a (c j )  = ϕ a (Ef a (ξ )) ,  j =1    j =1    j =1  

[

]

ahol P(ξ = c j ) = p j , j = 1,..., n . Ha ξ ≤ a tetszıleges valószínőségi változó, akkor léteznek olyan ξ ′j ≤ ξ ≤ ξ ′j′≤ a változók, amelyek véges sok értéket vesznek fel, és Ef a (ξ ′j ) +

1

j

≥ Ef a (ξ ) ≥ Ef a (ξ ′j′) −

1

j

.

Ekkor az elızıek szerint Π (ξ ′j ) ≤ Π (ξ ) ≤ Π (ξ ′j′) és f a (Π (ξ ′j )) = Ef a (ξ ′j ), f a (Π (ξ ′j′)) = Ef a (ξ ′j′) . Így

f a (Π (ξ )) +

Ef a (ξ ′j′ ) −

1

1

j

j

≥ f a (Π (ξ ′j )) +

= f a (Π (ξ ′j′ )) −

1

1

j

j

= Ef a (ξ ′j ) +

1

j

≥ Ef a (ξ ) ≥

≥ f a (Π (ξ )) − 1 j, ∀j ≥ 1 .

Tehát f a (Π (ξ )) = Ef a (ξ )⇒ Π (ξ ) = f a−1 (Ef a (ξ )) .

(2.2.4)

A függvény még függ a-tól, és értelmezési tartománya sem az egész nemnegatív félegyenes. Ezt a problémát azonban már könnyő megoldani. 62

Ha a < b , akkor u < a -ra

f b (u ) = f b (Π ( f a (u )δ a + (1 − f a (u ))δ 0 )) = f a (u ) f b (a) . ( 2.2.4 )

Ebbıl 1 ≤ a < b -re f b (u ) f a (u ) f a (1) f b (a ) f a (u ) f b (1) f a (u ) = = = . f b (1) f a (1) f b (1) f a (1) f b (1) f a (1) Legyen u > 0 -ra f a (u ) , f a (1)

f (u ) =

a > max(u ,1) .

Az elızı azonosság szerint ez értelmes meghatározás, továbbá f folytonos, szigorúan monoton növı függvény és (2.2.4) miatt

f (Π (ξ )) = Ef (ξ ) minden korlátos valószínőségi változóra. *** Elég természetes feltételnek tőnik, hogy egy kockázatot konstans hozzáadásával növelve, a díj pontosan ezzel a konstanssal változzon meg.

Definíció: A Π díjelv eltolásinvariáns, ha c > 0, Qξ , Qξ +c ∈ H Π -bıl következik, hogy Π v (ξ + c ) = Π v (ξ ) + c . A következı tétel mutatja, hogy az átlagos érték elvek közül csak kevés eltolásinvariáns.

2.2.2. Tétel: Az f függvényhez tartozó átlagos érték elv pontosan akkor eltolásinvariáns, ha a függvény lineáris vagy exponenciális.

Bizonyítás: (Kodaj Bence házifeladat megoldása alapján) Ha f lineáris, akkor a díjelv a nettó várható érték elv, amely nyilvánvalóan eltolásinvariáns. Ha másrészt

f ( x) = d1 exp(αx) + d 2 , akkor

Π v (ξ + c ) = f

(Ef (ξ + c )) = 1α log(E(exp(α (ξ + c )))) = 1 log(E (exp(αξ )) exp(αc )) = 1 log(E (exp(αξ ))) + c = Π (ξ ) + c . α α v −1

A másik irány bizonyításánál elıször rögzítsük a 0 ≤ t ≤ 1, 0 < a konstansokat, és ezek segítségével vegyük a következı ξ ≥ 0 véges valószínőségi változót:

P(ξ = 0) = t , P(ξ = 2a ) = 1 − t . A

várható

érték

azonnal

kiszámolható:

Ef (ξ ) = tf (0) + (1 − t ) f (2a) ,

Ef (ξ + c ) = tf (c) + (1 − t ) f (2a + c) . Mivel átlagos érték elvrıl van szó, ezért

63

Π v (ξ ) = f

−1

(tf (0) + (1 − t ) f (2a) ), Π v (ξ + c ) =

f

−1

(tf (c) + (1 − t ) f (2a + c) ) .

Ebbıl az eltolásinvariancia miatt

[

f f

−1

(tf (0) + (1 − t ) f (2a)) + c] = tf (c) + (1 − t ) f (2a + c) .

(2.2.5)

Mivel f szigorúan monoton, ezért létezik olyan 0 < t < 1 , hogy f (a ) = tf (0) + (1 − t ) f (2a ) . Alkalmazzuk (2.2.5)-öt c = a -ra: f (2a ) = tf (a ) + (1 − t ) f (3a ) =

f ( a ) − f ( 2a ) ( f (a) − f (3a) ) + f (3a ) . f ( 0) − f ( 2 a )

Ebbıl f (3a ) − f (2a ) f (2a ) − f (a ) = . f ( 2a ) − f ( a ) f ( a ) − f ( 0) (2.2.5)-öt c = 2a -ra alkalmazva hasonlóan kapjuk, hogy f (4a ) − f (3a ) f (3a ) − f (2a ) f (2a ) − f (a ) = = . f (3a ) − f (2a ) f ( 2a ) − f ( a ) f ( a ) − f ( 0) Teljes indukcióval adódik, hogy f ((k + 1)a ) − f (ka ) f (2a ) − f (a ) = , k ≥1. f (ka) − f ((k − 1)a ) f ( a ) − f ( 0) Alkalmazzuk (2.2.6)-ot a helyébe

(2.2.6)

a -t írva k = 2,3 -ra! 2

f ( 2a ) − f ( 3 2 a ) f ( 3 2 a ) − f ( a ) f ( a ) − f ( 1 2 a ) = = =r. f ( 3 2 a) − f (a) f ( a ) − f ( 1 2 a ) f ( 1 2 a ) − f ( 0) Ebbıl

f (2a) − f ( 3 2 a ) = r 3 ( f ( 1 2 a) − f (0) ) , f ( 3 2 a) − f (a) = r 2 ( f ( 1 2 a) − f (0) ) , f (a ) − f ( 1 2 a) = r ( f ( 1 2 a) − f (0) ) . Így

(

)

f (2a ) − f (a ) = r 3 + r 2 ( f ( 1 2 a ) − f (0) ) = r 2 (r + 1)( f ( 1 2 a ) − f (0) ) = r 2 ( f (a ) − f (0) ) . Tehát f (a) − f ( 12 a) = f ( 1 2 a ) − f ( 0)

f (2a ) − f ( a ) . f ( a ) − f ( 0)

(2.2.7)

Itt felhasználtuk, hogy f szigorúan monoton, és így r > 0 . Legyen g folytonos, szigorúan monoton függvény, mely szintén kielégíti (2.2.6)-ot és (2.2.7)-et,

64

továbbá

f (0) = g (0), f (1) = g (1), f (2) = g (2) .

(2.2.7)-bıl következik, hogy

f ( 12 ) = g ( 12 ) , továbbá teljes indukcióval f

( ) = g ( ), ∀m ≥ 0 egészre. Így (2.2.6)-ból megint 1 2m

1 2m

teljes indukcióval kapjuk, hogy

f

( ) = g ( ),∀k , m ≥ 0 egészre. k 2m

k 2m

Tehát f ≡ g a nemnegatív félegyenesen. Most már meg tudjuk mutatni, hogy f valóban lineáris vagy exponenciális függvény. Ezek a függvények kielégítik (2.2.6)-ot és (2.2.7)-et, mivel a hozzájuk tartozó átlagos érték elv, mint láttuk, eltolásinvariáns. Ha f (2) − f (1) = f (1) − f (0) , akkor pontosan egy olyan a ≠ 0 és b létezik, hogy f (i ) = a + bi,i = 0,1,2 -re. Így az elızıek szerint f ( x) = a + bx,∀x ≥ 0 . Ha f (2) − f (1) ≠ f (1) − f (0) , akkor az

α = ln

f (2) − f (1) f (1) − f (0) ≠ 0, d1 = , d 2 = f ( 0) − d1 , f (1) − f (0) eα − 1

választással f (i ) = d eαi + d 2 ,i = 0,1,2 , és így f ( x) = d1eαx + d 2 ,∀x ≥ 0 . *** Az elızı tételek egyszerő következménye az alábbi tétel.

2.2.3. Tétel: A korlátos kockázatokon értelmezett Π díjelv pontosan akkor nettó várható érték elv vagy exponenciális elv, ha a következı feltételek teljesülnek: (i) Ha ξ < st η és Fξ ≡/ Fη , akkor Π v (ξ ) < Π v (η ) . (ii) Π (δ 0 ) = 0 . (iii) Ha Q1 , Q2 , Q3 korlátos kockázatokhoz tartozó eloszlások és Π (Q1 ) = Π (Q2 ) , akkor tetszıleges p ∈ [0,1] -re Π ( pQ1 + (1 − p )Q3 ) = Π ( pQ2 + (1 − p )Q3 ) . (iv) Π eltolásinvariáns.

2.3. ELMÉLETI DÍJELVEK A következı díjelveket a gyakorlatban kevésbé használják, ezért mi is csak érintılegesen foglalkozunk velük. Aki további részletekre kíváncsi, annak [24] vagy [9] tanulmányozását javasoljuk.

A zéró hasznosság elve

65

Tegyük fel, hogy a biztosító döntései egy olyan u : R → R differenciálható hasznossági függvény alkalmazásán alapulnak, melyre a következık teljesülnek: a) folytonos nemcsökkenı, b) u ′ csökkenı és u ′(0) = 1 , c) u (0) = 0 . Ennek segítségével határozhatjuk meg új díjelvünket. Definíció: Az Eu ( p − ξ ) = 0 egyenlet p gyöke ξ zéró hasznosság elv alapján számított díja. Megjegyzés: Az elnevezés nem jelenti azt, hogy a biztosítónak nem lesz haszna! 2.3.1. Példa: Az u ( x) = x választással a nettó várható érték elvet kapjuk vissza.

(

)

2.3.2. Példa: Az u ( x) = α1 1 − e −αx függvény az α paraméterő exponenciális elvet adja.

A következı két feladat megoldása segíthet a díjelv megértésében. 2.3.1. Feladat: Mutassuk meg, hogy korlátos kockázatokra létezik zéró hasznossági díj! 2.3.2. Feladat: Legyen f szigorúan monoton növı folytonos és u egy hasznossági függvény.

Mutassuk meg, hogy ekkor a hozzájuk tartozó átlagos érték, illetve zéró hasznossági díjelv pontosan akkor egyezik meg a korlátos kockázatok halmazán, ha u ( y) =

f (b) − f (b − y ) ,∀b ≥ max(0, y ) . f ′(b)

A svájci díjkalkulációs elv A svájci elv általánosítja mind az átlagos érték, mind a zéró hasznossági elvet. Legyen f folytonos szigorúan monoton függvény R-en, továbbá z ∈ [0,1] . Definíció: Az Ef (ξ − zp ) = f ((1 − z ) p ) egyenlet p gyöke ξ svájci díjelv alapján számított díja. Jelölés: A díjelv jelölése Π (., f , z ) . Megjegyzés: 1. A díjelvnek valószínőleg semmi köze sincs a svájciakhoz. 2. A z = 0 választással az átlagos érték elvet kapjuk vissza. 3. Ha z = 1, f (0) = 0 és u ( x) = f (− x) a hasznossági függvény, akkor a zéró hasznosság elvé-

hez jutunk. 2.3.3. Feladat: Mutassuk meg, hogy korlátos kockázatokra létezik svájci díjelv alapján számí-

tott díj!

66

Veszteségfüggvény elv Természetes, hogy egy kockázat díja és a ténylegesen bekövetkezett kár nagyon ritkán esik egybe. Az eltérések különbözı kárt okozhatnak. Ha nagyobb a kár, mint a díj, az persze veszteség a biztosítónak. De a biztosító vigyáz arra, hogy a díj ne legyen sokkal nagyobb, mint a tényleges kár, hiszen így elveszítheti ügyfeleit. A veszteségek modellezésére használják az ún. veszteségfüggvényt: L : R 0+ × R 0+ → R . Ennek a függvénynek a segítségével határozzuk meg az alábbi díjelvet, melybıl speciális esetként több korábbi elvet is visszakapunk. Definíció: A p → EL(ξ , p ) függvény minimumhelye a ξ kockázat veszteségfüggvény elv

alapján számított díja. Jelölés: A díjelv jelölése Π (., L) .

Az alábbiakban néhány speciális veszteségfügvényre felírjuk a segítségükkel kapott díjat. 1. Ha L( x, a ) = ( x − a ) 2 , akkor a díj a nettó várható érték díj.

(

2. Az L( x, a ) = e d x − e d a

)

2

függvény a d paraméterő exponenciális elvet adja.

3. Ha L( x, a ) = (1 − ε ) x − a + ε x − a , akkor +

−

h(a ) = EL(ξ , a ) = (1 − ε )E ξ − a + ε E ξ − a = +

∞

a

a

0

−

(1 − ε )∫ (1 − Fξ ( x))dx + ε ∫ Fξ ( x)dx . Ennek minimumhelyére adódik, hogy:

− (1 − ε )(1 − F ( p) ) + ε F ( p) = 0 , azaz az (1 − ε ,0) paraméterő kvantilis elvet kaptuk meg. 4. Legyen L( x, a ) = ( x − a ) 2 e hx . Ekkor

( ) ( )

E ξ e hξ Π v (ξ , L ) = . E e hξ Definíció: A fenti veszteségfüggvénnyel kapott díjat Esscher-díjnak nevezik. 2.3.4. Feladat: Mi lesz a díj, ha L( x, a ) = x( x − a ) 2 ? 2.3.5. Feladat: Mutassuk meg, hogy ha L veszteségfüggvény, u viszont hasznossági függvény

és u (a − x) =

∂ L ( x, a ) , ∂a 67

akkor az általuk meghatározott díjelvek megegyeznek!

2.4. DÍJKALKULÁCIÓS ELVEK TULAJDONSÁGAI A fejezetben eddig többfajta díjelvet definiáltunk, és vizsgáltuk ezek tulajdonságait. Ebben az alfejezetben összefoglaljuk az eddig kapott eredményeket, miközben új szempontok szerint is vizsgáljuk díjelveinket. Megjegyezzük, hogy a 3. számú függelékben egy összefoglaló táblázat található a nevezetes díjelvek tulajdonságairól.

A várható érték túllépése és a no-ripoff feltétel Két természetes tulajdonságról van szó. A biztosító a várható kárnál mindenképpen nagyobb díjat kíván beszedni, viszont a szerzıdı nem fog több díjat fizetni, mint a lehetı legnagyobb kár. Definíció: A Π várható értéket túllépı díjelv, ha Eξ ≤ Π v (ξ ),∀ξ:Qξ ∈ H Π . Definíció: A Π díjelv teljesíti a no-ripoff feltételt, ha

Π v (ξ ) ≤ sup{x : P(ξ > x ) > 0},∀ξ:Qξ ∈ H Π . Ezek a tulajdonságok általában nagyon könnyen ellenırizhetık. Például rögtön látszik, hogy a várható érték, szórás és szórásnégyzet elv várható értéket túllépı. A kvantilis elv viszont már nem, bár tetszıleges véges várható értékő kockázathoz választható olyan ε , hogy a kockázat (1 − ε , p ) paraméterő kvantilis díja meghaladja várható értékét. A 2.2.2. állításból következik, hogy az átlagos érték elv pontosan akkor várható értéket túllépı, ha a függvény, melynek megfelel, konvex. Az is rögtön látszik, hogy a zéró hasznosság elve is várható értéket túllépı. 2.4.1. Feladat: Mutassuk meg, hogy egy konvex függvénynek megfelelı svájci díjelv várható

értéket túllépı. A várható érték elvek közül csak a nettó teljesíti a no-ripoff feltételt. A szórás és szórásnégyzet elv sem teljesíti ezt a feltételt egész értelmezési tartományán, persze minden kockázathoz található olyan paraméter, hogy a díj megfelelı legyen. Nyilvánvalóan a svájci díjelv (így az átlagos érték és zéró hasznosság elve is) kielégíti a no-ripoff feltételt.

68

Rendezésmegtartás Ezzel a tulajdonsággal már találkoztunk az átlagos érték elv karakterizációjánál. Természetes követelmény a biztosításban: nagyobb a kockázat, nagyobb a díj. Definíció:

A

Π

díjelv

rendezésmegtartó,

ha

ξ 1 < st ξ 2 -bıl

következik,

hogy

Π v (ξ 1 ) ≤ Π v (ξ 2 ), ξ 1 , ξ 2 : Qξ 1 , Qξ 2 ∈ H Π . Az átlagos érték elvrıl tudjuk, hogy rendezésmegtartó. Nézzük meg a többi díjelvet is! 2.4.2. Feladat: Rendezésmegtartó-e az Esscher-, zéró hasznosság és svájci díjelv?

Homogenitás Természetessége ellenére sokat vitatják az alábbi tulajdonság szükségességét. Definíció: A Π díjelv homogén, ha

Π v (cξ ) = cΠ v (ξ ), ∀c ≥ 0, ξ : Qξ , Qcξ ∈ H Π . Miért vitatják e tulajdonság szükségességét? Tegyük fel, hogy egy ember két baleseti halálra szóló biztosítást köt. Az egyik kötvény biztosítási összege 10 000 Ft, a másiké 10 millió Ft. Biztosak vagyunk-e abban, hogy a második biztosítás díjának az elsı ezerszeresének kell lennie? Ebben egyáltalán nem lehetünk biztosak. Ugyanis, ha ez teljesülne, akkor 1000 különbözı biztosítottú és 10000 Ft-os biztosítási összegő biztosítás kockázati összdíja megegyezne a 10 millió Ft-os biztosítási összegő biztosítás kockázati díjával, miközben ez utóbbi kockázatnak sokkal nagyobb a szórásnégyzete. A bruttó díj esetében viszont azt kellene figyelembe venni, hogy egy szerzıdés költsége általában kisebb, mint 1000 szerzıdésé. A hagyományos díjelvek körében a homogenitás ellenırzése nagyon egyszerő. Más esetekben azonban lehet bonyolultabb is, amit mutat a következı feladat is. 2.4.3. Feladat: Legyen f folytonos, szigorúan monoton függvény R-en, továbbá z ∈ [0,1] . Mu-

tassuk meg, hogy ekkor Π (., f , z ) pontosan akkor homogén, ha

 α + β x r , x ≥ 0, f ( x) =  r α − γ (− x) , x < 0, ahol α tetszıleges, β , γ , r > 0 .

Additivitás és eltolásinvariancia 69

Az eltolásinvarianciát már korábban definiáltuk, az additivitás ennél erısebb tulajdonság. Definíció: A Π díjelv additív, ha minden független ξ1 és ξ 2 -re (melyre Qξ1 , Qξ 2 , Qξ1 +ξ 2 ∈ H Π )

Π v (ξ1 + ξ 2 ) = Π v (ξ1 ) + Π v (ξ 2 ) . E tulajdonság megkövetelése is erısen kétséges, hiszen az ember érzi, hogy minél több független kockázata van egy biztosítónak, annál alacsonyabb díjakat tud megállapítani. Klaszszikus díjelvekre megint egyszerően ellenırizhetı e tulajdonságok megléte vagy hiánya. Például rögtön látszik, hogy a szórás elv eltolásinvariáns, de nem additív, a szórásnégyzet elv viszont additív. Az átlagos érték elvrıl a 2.2.2. tételbıl tudjuk, hogy pontosan mikor eltolásinvariáns. Megjegyezzük, hogy a tételben az eltolásinvarianciát felválthatnánk az additivitásra, mert a nettó várható érték elv és az exponenciális elv is nyilvánvalóan additív. A zéró hasznosság elve eltolásinvariáns, de nem minden esetben additív, amit a következı példa mutat. 2.4.4. Feladat: Tegyük fel, hogy u kétszer deriválható hasznossági függvény. Mutassuk meg,

hogy ekkor a megfelelı díjelv pontosan akkor additív, ha a függvény lineáris vagy exponenciális! 2.4.5. Feladat: Mikor lesz egy svájci díjelv eltolásinvariáns?

Iterálhatóság Mindenki, aki egy csepp valószínőségszámítást is tanult, emlékszik a teljes várható érték tételre: E[E(ξ η )] = Eξ . Ennek megfelelıje díjelvekre a következı tulajdonság, mely nem a díjelv tartalmára (pl. biztonságosság), hanem számítási egyszerőségére vonatkozik. Definíció: A Π díjelv iterálható, ha

( ( ))

Π v Π Qξ η = Π v (ξ ), ∀ξ ,η: Qξ , Qξ η ∈ H Π .

( )

Jelölés: Π v (ξ η ) = Π Qξ η .

Hogy egy picit megvilágítsuk a "feltételes díj" fogalmát, tekintsük a következı példát: 2.4.3. Példa: Egy biztosító betöréses lopás elleni biztosításokat ad el Kukutyin városában.

Már 90 éves kártapasztalatuk van, és a következıket figyelték meg. A városban történı éves betörésszám (az adatot évente megkapják a rendırségtıl) jól közelíthetı (10 000,1/10) paraméterő binomiális eloszlással. Ha a városban η = y betörés van, akkor annak a valószínősége,

70

hogy a biztosító egy szerzıdésénél kár van,

y

10000

. Ha van kár, akkor nagysága 20 000 várható

értékő exponenciális eloszlású. A biztosító a díjakat 1/100 000 paraméterő szórásnégyzet elv alapján határozza meg. Nézzük meg, mik lesznek a díjak: −y y Qξ η = y = 10000 10000 δ 0 + 10000 Qexp .

Ebbıl y E(ξ η= y ) = 10000 20000 = 2 y,

és y D 2 (ξ η= y ) = 10000 2 ⋅ 20000 2 − 4 y 2 = y (80000 − 4 y ) .

Tehát a "feltételes díj" Π (ξ η= y ) = 2 y +

1 100000

y2 y (80000 − 4 y ) = 2,8 y − . 25000

 η2  Így az "iterált díj" számításánál 2,8η−  -re kell díjat számolnunk, mintegy elfeledkez25000   hetünk a biztosító saját kockázatáról, elég nekünk a betörések számának ismerete. De mint kiszámolhatjuk (feladat!), ez a díj nem fog megegyezni a ξ -re számolt díjjal. Tehát máris találtunk olyan díjelvet, amelyik nem iterálható. Hasonlóan nem iterálható a kvantilis és szórás elv sem. Ezzel szemben az átlagos érték elv iterálható, hiszen Π v (ξ ) = f

f

−1

−1

[Ef (ξ )] =

[E( f {Π (ξ η )})] = Π v

[E(E( f (ξ )η ))] = f [E( f {f [E( f (ξ )η )]})] = (Π (ξ η )) .

−1

f v

−1

−1

v

Egy kis megszorítással a megfordítás is igaz: 2.4.6. Feladat: Tegyük fel, hogy a korlátos kockázatokon értelmezett Π díjelvre tetszıleges

a > 0 -ra a φ a (q ) = Π (qδ a + (1 − q )δ 0 ) függvény folytonos és szigorúan növı, továbbá

φ a (0) = 0, φ a (1) = a . Ekkor a díjelv pontosan akkor iterálható, ha átlagos érték elv.

Szubadditivitás Az ügyfél és a biztosító szempontjából is természetes, hogy két biztosítás díjának, ha együtt kötjük ıket, kisebbnek kell lennie mint ha külön kötjük ıket. Definíció: A Π díjelv szubadditív, ha minden ξ1 -re és ξ 2 -re (melyre Qξ1 ,Qξ 2 ,Qξ1 +ξ 2 ∈ H Π ) Π v (ξ1 + ξ 2 ) ≤ Π v (ξ1 ) + Π v (ξ 2 ) .

71

Mindjárt látszik, hogy a várható érték és szórás elv szubadditív. Vigyázni kell azonban, hogy az additivitásból nem következik a szubadditivitás. Ezt az alábbi példa mutatja, melybıl kiderül, hogy az exponenciális elv nem szubadditív. 2.4.4. Példa: Egy férfi egy évre szóló kockázati életbiztosítást köt. Halandósági valószínősége

p = 0,00534 . Legyen ξ 1 = ξ 2 = 1 millió Ft biztosítási összeg melletti kifizetés. A díjszámítás

α paraméterő exponenciális elv alapján történt: Π (ξ 1 ) = Π (ξ 2 ) = α1 ln ((1 − p) + peα ) , és Π (ξ 1 + ξ 2 ) = α1 ln ((1 − p) + pe 2α ) . Tehát a 2 millió Ft biztosítási összegő biztosítás díja nagyobb, mint a kétszer 1 milliósé. A példából azért az is látszik, hogy a szubadditivitás megkövetelése sem teljesen egyértelmő, hiszen a kockázatkoncentrációt is büntetni kellene. A fejezetet összefoglalva: remélhetıleg ez a rövid kis ismertetı is megmutatta, hogy nincs és nem is lehet tökéletes díjelv, mindig a körülményeknek legjobban megfelelıt kell kiválasztani. Többen a következı módszert tartják leggyakrabban alkalmazhatónak: a kollektív díj számítása történjen szórás, a felosztás pedig exponenciális vagy szórásnégyzet elv szerint.

72

3. FEJEZET

CREDIBILITY ELMÉLET ÉS A TAPASZTALATI DÍJSZÁMÍTÁS

Egy biztosítási matematikus gyakran kerül szembe azzal a problémával, hogy mennyire veheti figyelembe a biztosító saját tapasztalatát, és mennyire kell támaszkodnia más biztosítók rendelkezésre álló adataira. Ehhez hasonló probléma, amikor a szerzıdések díjosztályokba vannak sorolva, és elıfordulhat hogy egy-egy díjosztályban kevés szerzıdés van, és el kell dönteni, hogy a díjosztály díját milyen mértékben határozza meg saját kártapasztalata. Ilyen feladatok esetében nyújthat jelentıs segítséget a credibility elmélet, ami végül is nem más, mint a biztosítási matematika bayesi megközelítése. Hogy elképzeljük a fejezetben elıforduló problémák jellegét, tekintsük a következı példát. 3.0.1. Példa: ([12] 164. oldal példájához hasonlít) Egy biztosító gépjármő-biztosítást akar be-

vezetni. A díjakat a kárgyakoriság alapján határozza meg, ehhez a két évvel ezelıtti publikus országos adatot használja fel, ami 0,096. A biztosító vezetısége úgy érzi, hogy biztosítottjaik kárszámának átlagos értéke nagy valószínőséggel nem tér el ettıl 25%-nál többel. A mőködés elsı évében a biztosított gépkocsik átlagos száma 1523, a károk száma 197 volt. Becsüljük meg a biztosító biztosítottjai kárszámának átlagos értékét! Fogadjuk el a következı feltételezést (az 1.2.1. példa következtetése egy picit hasonlít erre): minden egyes vezetı kárszáma θ paraméterő Poisson-eloszlású (rögzített θ mellett feltételesen függetlenek). A θ paraméter, mely biztosítónként változik, maga is valószínőségi változó, méghozzá gamma-eloszlású. Feladatunk tehát becslést adni θ -ra. Jelöljük ηi -vel az i. szerzıdés kárszámát, és próbáljuk formálisan felírni ismereteinket: P(η i = k θ = q ) =

fθ ( s) =

q k e −q , k = 0,1,2,... , k!

λα α −1 −λs s e , s > 0, Eθ = 0,096, Dθ = 12 ⋅ 0,25 ⋅ Eθ = 0,012 . Γ(α )

73

Itt talán csak azt kell megmagyarázni, hogy miért vettük ennyinek θ szórását. A magyarázat nagyon heurisztikus. A biztosító vezetısége szerint biztosítottjaik kárszámának átlagos értéke nagy valószínőséggel nem tér el 0,096-tól 25%-nál többel. Márpedig, ha a szórás a fenti, akkor a Csebisev-egyenlıtlenség szerint P(θ − Eθ ≤ 0,25Eθ ) ≥ 1 −

D 2θ = 0,75 , (0,25Eθ )2

ami már "nagy valószínőség". Ebbıl θ gamma paramétereire

α α = 0,096, 2 = (0,012) 2 ⇒ λ = 666 23 , α = 64 . λ λ Írjuk fel a Bayes-formula segítségével θ feltételes sőrőségfüggvényét: fθ (η1 ,...,ηn ) (s (k1 ,..., k n )) = = c(k1 ,..., kn )s

P(η1 = k1 ,...,ηn = k n θ = s ) fθ ( s ) = P(η1 = k1 ,...,ηn = k n )

 n   ki +α  −1  i =1  −( n + λ ) s

∑

e

.

n   Tehát θ feltételes eloszlása is gamma-eloszlás  λ + n,∑ ki + α  paraméterekkel, így feltétei =1   n   les várható értéke E(θ η1 = k n ,...,ηn = k n ) = α + ∑ ki  (λ + n) . i =1  

Esetünkben a feladat θ , tehát a Poisson-paraméter becslése volt, ezt megtehetjük feltételes várható értékével megbecsülve:

θˆ =

64 + 197 = 0,119 , 666 23 + 1523

ami a korábbi 0,096-os értéknél jelentısen nagyobb, ezért a biztosító díjemelésre kényszerül. Meg kell jegyezni, hogy az elıbbi becslést erısen befolyásolta a θ paraméter szórásának részben önkényes becslése. Például, ha ezt a szórást felére csökkentjük, akkor a kárszám átlagos értékének becslése 0,108-ra módosul. A példa esetében felmerülhet az a kérdés, hogy egyáltalán szükségesek-e az országos adatok egy éves megfigyelés után. Ezt, vagyis, hogy elegendıek-e saját adataink a megfelelı becsléshez vagy döntéshez, mindig el kell dönteni. Ha a saját kártapasztalat elegendı, akkor az így kapott becslést teljes credibility becslésnek nevezik.

74

3.1. Credibility modellek Feltételezzük, hogy egy szerzıdéshez (vagy szerzıdések egy csoportjához) rizikóparaméter tartozik, mely jelentıs mértékben befolyásolja a kockázat paramétereit. A rizikóparaméter eloszlásfüggvényét U-val jelöljük. Vizsgáljuk meg a legegyszerőbb modellt.

Bühlmann-modell (eredeti) Tegyük fel, hogy az X 1 ,..., X t kockázatok rögzített θ rizikóparaméter mellett feltételesen függetlenek, azonos eloszlásúak. Vezessük be a következı jelöléseket:

µ (q ) = E( X i θ = q ), m = EX i = E(µ (θ )), a = D 2 [E( X i θ )] = D 2 [µ (θ )] ,

σ 2 (q ) = D 2 ( X i θ = q ), s 2 = E[D 2 ( X i θ )] = E(σ 2 (θ )) .

A feladat: minél pontosabban meghatározni θ vagy valamilyen h függvényének értékét az X 1 ,..., X t megfigyelések alapján. A legfontosabb µ (θ ) becslése. Ha a pontosságot a négyzetes eltéréssel mérjük, akkor h(θ ) legjobb becslése a feltételes várható érték lesz:

E(h(θ ) X 1 ,..., X t ) . Ennek a feltételes várható értéknek a credibility elméletben más nevet is adtak. Definíció: E(h(θ ) X 1 ,..., X t ) a h(θ ) credibility becslése.

A feltételes várható értéket a Bayes-formula segítségével számolhatjuk ki (mint például a 3.0.1. példánál), ami sajnos nem végezhetı el mindig könnyen. Ezért gyakran a megfigyelések lineáris kombinációi között keressük a legjobb közelítést. A következı állítás jól ismert és jól alkalmazható. 3.1.1. Állítás: cov(X i , X j ) = a + s 2δ i , j , cov(µ (θ ), X i ) = a . Bizonyítás: Azonos átalakításokkal kapjuk, hogy

cov(X i , X j ) = E(X i X j ) − EX i EX j = E (E(X i X j θ )) − EX i EX j = E(cov(X i , X j θ ) + E( X i θ )E(X j θ )) − EX i EX j =

(

)

E δ i , j D 2 ( X i θ ) + cov(E( X i θ ), E(X j θ )) = δ i , j s 2 + a .

Hasonlóan adódik az állítás másik része is. *** A következı tétel nevezhetı a credibility elmélet alaptételének, annak ellenére, hogy egyszerő következménye jól ismert többdimenziós statisztikai eredményeknek.

75

3.1.1. Tétel: A lineáris

g ( x1 ,..., xt ) = c0 + c1 x1 + ... + ct xt

alakú függvények között az

E(µ (θ ) − g ( X 1 ,..., X t ) ) várható értéket a 2

g ( x1 ,..., xt ) = z

x1 + ... + xt at + (1 − z )m, z = 2 t s + at

függvény minimalizálja. Definíció: z

X 1 + ... + X t + (1 − z )m a µ (θ ) lineáris credibility becslése. t

Megjegyzés: A z paramétert Bühlmann-faktornak nevezik. A tétel más szavakkal azt mondja,

hogy a várható érték becslésénél z-edrésznyire kell figyelembe venni a saját tapasztalon alapuló becslést (ez

X 1 + ... + X t ) és (1-z)-edrésznyire az általános értéket (ez m). t

Bizonyítás: Az E(µ (θ ) − g ( X 1 ,..., X t ) ) várható értéket kell minimalizálnunk. Írjuk fel ezt 2

mint a c paraméterek függvényét!

f (c0 , c1 ,..., ct ) = E(µ (θ ) − g ( X 1 ,..., X t ) ) = E(µ (θ ) − c0 − c1 X 1 − ...ct X t ) . 2

2

Ebbıl azonnal adódik, hogy t   c0 = m1 − ∑ ci   i =1 

Így a minimalizálandó függvényre a 3.1.1. állítást felhasználva kapjuk, hogy t

f (c0 , c1 ,..., ct ) = D 2 µ (θ ) − 2∑ ci cov(µ (θ ), X i ) + ∑ ci c j cov(X i , X j ) = i =1

i, j

t   2 a − 2∑ ci a + ∑ ci c j a + s 2δ i , j = a1 − 2∑ ci + ∑ ci c j  + ( s 2 + a )∑ ci . i =1 i, j i =1 i≠ j i =1  

(

t

)

t

Ezt a változók szerint deriválva kapjuk a következı egyenletrendszert:

  a − 2 + 2∑ c j  + 2ci ( s 2 + a) = 0, i = 1,2,...,t . j ≠i   Ezt átalakítva adódik, hogy t   a ci s 2 = a1 − ∑ c j ⇒ c1 = c 2 = ... = ct ⇒ ci = 2 , i = 1,2,...,t . *** s + at j =1  

Megjegyzés: Ha µ (θ ) helyett X t +1 -et akarjuk megbecsülni, akkor becslésünk ugyanaz lesz,

hiszen a kovarianciái X 1 ,..., X t -vel ugyanazok.

76

3.1.1. Példa: A Speciál Biztosító jelentıs tapasztalatokkal rendelkezik a gépjármő-

felelısségbiztosítás területén. Ezen tapasztalatok szerint az egyes díjosztályokhoz tartozó károk mind exponenciális eloszlásúak, csak az eloszlás paramétere függ a díjosztálytól. A paramétert θ -val jelölve, a 15 díjosztály többévi megfigyelése a következıt eredményt adja (ezer Ft-ban) E 1 = 34 , D 2 1 = 100 .

θ

θ

A biztosító 1994-ben egy új díjosztályt vezetett be a terepjárókra. Ebben az évben 27 káresemény történt, a károk átlaga 49 ezer Ft volt. Becsüljük meg a díjosztályi károk várható értékét! Alkalmazhatjuk a 3.1.1. tételt, annak ellenére, hogy ebben az esetben károkról és nem kockázatokról van szó, de a tétel feltételeit ezek is kielégítik. A tétel jelöléseivel

( )

µ (θ ) = 1θ , m = 34, a = 100, s 2 = E 1 2 = 100 + 34 2 = 1256, t = 27 . θ A Bühlmann-faktor ekkor z=

at 100 ⋅ 27 = = 0,6825 . s + at 1256 + 100 ⋅ 27 2

Így a terepjárók kárainak várható értékére becslésünk z 49 + (1 − z )34 = 44,2375 ezer Ft. A fenti modell nagyon leegyszerősített, de segítségével a credibility elmélet jobban megérthetı. Térjünk át a többi modell vizsgálatára.

Bühlmann-modell (klasszikus) Tegyük fel, hogy k elemő veszélyközösséget figyeltünk meg t éven keresztül. A j-edik szerzıdéshez tartozó megfigyelések: X j = ( X j1

X j 2 . . . X jt ) , j = 1,...,k . T

A megfigyelésekrıl két kiinduló feltételezésünk van, az elsıt jelöljük (B1)-gyel és a következıt mondja:

(

)

E X jr θ j = q = µ (q ), r = 1,...,t , j = 1,...,k ,

(

) [

]

cov X j θ j = q = E (X j − µ (q )1)(X j − µ (q )1) θ j = q = σ 2 (q )I t , j = 1,...,k , T

ahol I t a t × t dimenziójú identitásmátrix, a másodikat (B2)-vel jelöljük:

( X 1 ,θ1 ),...,( X k ,θ k ) független azonos eloszlású változók. 77

Tehát feltételezzük, hogy szerzıdéseink függetlenek, beleértve a szerzıdésekhez tartozó θ j rizikóparamétereket is. Természetesen ezt a modellt alkalmazhatjuk más szereposztásban is, például, hogy nem veszélyközösséget vizsgálunk, hanem k darab biztosítót és θ j a j-edik biztosítóhoz tartozó rizikóparaméter. Megtartjuk elızı pontunk jelöléseit:

(

)

µ (q ) = E X jr θ j = q , m = EX jr = E(µ (θ j )), a = D 2 [E(X jr θ )] = D 2 [µ (θ j )] ,

(

[ (

)

)]

σ 2 (q ) = D 2 X jr θ j = q , s 2 = E D 2 X jr θ j = E (σ 2 (θ j )) . Célunk most is a rizikóparaméterek minél pontosabb meghatározása. Az elsı állítás azt mutatja, hogy a közös várható érték (m) ismerete esetén µ (θ j ) becsléséhez elegendı a j-edik szerzıdés kártapasztalata. 3.1.2. Állítás: A lineáris g ( x1 ,..., x t ) = c0

( j)

k

t

+ ∑∑ cir

( j)

xir alakú függvények között az

i =1 r =1

E(µ (θ j ) − g ( X 1 ,..., X t ) ) várható értéket a 2

g ( x1 ,..., x t ) = z

x j1 + ... + x jt t

+ (1 − z )m, z =

at s + at 2

függvény minimalizálja. Megjegyzés: Az állítás azt mondja, hogy a j-edik szerzıdés várható értékének becslésénél z-

edrésznyire kell figyelembe venni a szerzıdés saját tapasztalatán alapuló becslést (ez Mj =

X j1 + ... + X jt t

) és (1-z)-edrésznyire az általános értéket (ez m).

Bizonyítás: Fejtsük ki az E(µ (θ j ) − g ( X 1 ,..., X t ) ) várható értéket: 2

E(µ (θ j ) − g ( X 1 ,..., X t ) )

2

2

  ( j) ( j) = E µ (θ j ) − c 0 − ∑ cir X ir  = i,r   2

t t k t     ( j)    ( j) ( j) ( j )   ( ) E  µ θ j − m − ∑ c jr ( X jr − m) − ∑∑ cir ( X ir − m) − c0 − m1 − ∑∑ cir   =  r =1 i =1 r =1   i ≠ j r =1       2

2

t t k t  ( j)    ( j) ( j) 2 ( j )  E  µ (θ j ) − m − ∑ c jr ( X jr − m) + ∑∑ cir D 2 X ir + c0 − m1 − ∑∑ cir  . r =1 i ≠ j r =1 i =1 r =1      ( j) Rögtön látszik, hogy e kifejezés minimalizálása esetén cir − t (i ≠ j , r = 1,...,t ) 0-nak kell

(

)

választani. Így feladatunkat visszavezettük a 3.1.1. tétel esetére és megkaptuk állításunkat. ***

78

Általában nem ismerjük a közös várható értéket, m-et, ezért különösen fontos következı tételünk. 3.1.2.

Tétel:

A

k

t

g ( x1 ,..., x t ) = ∑∑ cir

lineáris

( j)

alakú

xir

függvények

között

az

i =1 r =1

 k t  2 ( j) E(µ (θ j ) − g ( X 1 ,..., X t ) ) várható értéket az E ∑∑ cir X ir θ  = µ (θ ) feltétel mellett a  i =1 r =1  k

x j1 + ... + x jt

g ( x1 ,..., x t ) = z

t

t

∑∑ x

ir

+ (1 − z )

i =1 r =1

kt

függvény minimalizálja. Megjegyzés: Az állítás azt mondja, hogy a j-edik szerzıdés várható értékének lineáris

credibility becslésénél z-edrésznyire kell figyelembe venni a szerzıdés saját tapasztalatán alapuló becslést (ez M j =

X j1 + ... + X jt t

) és (1-z)-edrésznyire az összes megfigyelés átlagát (ez

k

∑M M0 =

i =1

k

i

).

Bizonyítás: A tétel feltétele szerint feltételes minimumhelyet kell keresnünk, ahol a feltétel k

t

∑∑ c

( j) ir

(3.1.1)

=1

i =1 r =1

alakú. Írjuk fel azt a függvény, amit minimalizálnunk kell: f (c ) = E(µ (θ j ) − g ( X 1 ,..., X t ) )

2

j

2

  ( j) = E µ (θ j ) − ∑ cir X ir  = i ,r   2

  ( j) E µ (θ j ) − m − ∑ cir ( X ir − m)  = i ,r   2

2

t    t  ( j) ( j) E  µ (θ j ) − m − ∑ c jr ( X jr − m) + ∑ E ∑ cir ( X ir − m) . r =1 i≠ j    r =1 

Itt felhasználtuk a c együtthatókra tett (3.1.1) feltételt és a (B2) feltételt. Alkalmazva a 3.1.1. állítást kapjuk, hogy k

t

(

f (c j ) = (a + s 2 )∑∑ cir i =1 r =1

)

( j) 2

k t t  ( j) ( j) ( j)  + a1 + ∑∑∑ cir cip − 2∑ c jr  . i =1 r =1 p ≠ r r =1  

(3.1.1) feltételünk szerint

79

k

t

g (c j ) = ∑∑ cir

( j)

−1 = 0 .

i =1 r =1

Alkalmazzuk a Lagrange-féle multiplikátor módszert a feltételes minimumhely meghatározására! Ekkor egyenletrendszerünk a következı lesz. Ha i ≠ j , akkor

∂f ∂ cir

( j)

−λ

∂g ∂ cir

( j)

= 2cir

( j)

(a + s 2 ) + 2a ∑ cip

( j)

− λ = 0, r = 1,...,t .

p≠r

Ebbıl

cir

( j)

=

1 s2

t λ   − a ∑ cip ( j ) , r = 1,...,t . 2  p =1  

(3.1.2)

Tehát ez az együttható nem függ r-tıl. Ezért t

∑c

( j) ip

= tcir

( j)

,

p =1

így (3.1.2)-bıl cir

( j)

λ/2

=

s 2 + at

.

Ha i = j , akkor

∂f ∂ c jr

( j)

−λ

∂g ∂ c jr

( j)

= 2c jr

( j)

(a + s 2 ) + 2a ∑ c jp

( j)

− 2a − λ = 0, r = 1,...,t .

p≠r

Ebbıl

c jr

( j)

=

1 s2

t λ   + a − a ∑ c jp ( j ) , r = 1,..., t . 2  p =1  

(3.1.3)

A fentiekhez hasonlóan közvetlenül adódik, hogy cir

( j)

=

λ/2+a s 2 + at

.

Behelyettesítve (3.1.1)-be kapjuk, hogy

λ/2 2

s + at

tk +

ta =1, s + at 2

amibıl c (jrj ) =

a 1 at  ( j ) 1  at  + 1 − 2 , cir = 1 − 2 , (i ≠ j ) , tk  s + at  s + at tk  s + at  2

ami pont tételünk állítását adja.*** 3.1.2. Példa: A Vidék Biztosító 15 állatbiztosítási módozatot mővel az utóbbi 7 évben. Felté-

80

telezik, hogy a j-edik módozat káraránya (%-ban kifejezve) az r-edik évben, amit X jr -rel jelö-

(

lünk, N m j ,c j

2

) eloszlású, és a kárarányok teljesítik a (B1) és (B2) feltételt. Más módozatok 2

tapasztalataira támaszkodva úgy gondolják, hogy D 2 m j = 2, Ec j = 1, j = 1,2,...,15 . A tehénbiztosítás kárarányainak eddigi átlaga 7%, az összes állatbiztosítás eddigi kárarányainak átlaga 9% (vigyázat, ez nem az összesített kárarány!). Adjunk lineáris credibility elırejelzést a tehénbiztosítás kárarányának jövı évi értékére! Mint már említettük, a keresett credibility elırejelzés megegyezik a tehénbiztosítás káraránya várható értékének credibility becslésével, így alkalmazhatjuk a 3.1.2. tételt. E tétel jelöléseivel

(

2

)

((

µ m j , c j = m j ,a = D2 µ m j , c j

(

2

)) = D m 2

)

j

=2,

σ 2 (u, v) = D 2 X jr m j = u,c j 2 = v = v ,

(

2

)

.

2

s 2 = E σ 2 (m j , c j ) = Ec j = 1, t = 7, k = 15, M 1 = 7, M 0 = 9 . A Bühlmann-faktor ekkor z=

at 2⋅7 = = 0,9333 . s + at 1 + 2 ⋅ 7 2

Tehát elırejelzésünk a tehénbiztosítás kárarányára zM 1 + (1 − z ) M 0 = 7,133 . Még a klasszikus Bühlmann-modell is csak speciális esetekben alkalmazható. A következı modell már jóval általánosabb, miközben a szükséges matematikai eszközök ugyanazok maradnak.

Bühlmann–Straub-modell Tartsuk meg az elızı pont jelöléseit. A klasszikus Bühlmann-modellhez képest a (B1) feltétel változik meg, a (B2) lényegében változatlan marad. Az új feltételt (BS1)-gyel jelöljük, és ez a következıt mondja:

(

)

E X jr θ j = q = µ (q ), r = 1,...,t, j = 1,...,k ,

(

)

cov X jr , X jp θ j = q =

σ 2 (q) w jr

δ r , p , r , p = 1,...,t , j = 1,...,k .

A (BS2) feltétel a (B2) feltétel (BS1)-nek megfelelı értelemszerő módosítása:

(θ

j

,X

j

) változók függetlenek, θ

j

-k azonos eloszlásúak.

81

Hogyan jelenhet meg ez a modell? Például, ha a θ j rizikóparaméterhez az r-edik évben w jr szerzıdés tartozik, és ezek eredményének az átlagát jelöljük X jr -rel. Vezessük be az alábbi jelöléseket: t

aw j •

r =1

s 2 + aw j •

w j • = ∑ w jr , z j =

k

t

w jr

j =1

r =1

w j•

, z• = ∑ z j , M j = ∑

k

zj

j =1

z•

X jr , M 0 = ∑

Mj.

Lássuk be a következı feladatban szereplı állítást! 3.1.1. Feladat: Tegyük fel, hogy teljesül a (BS1) és (BS2) feltétel, ekkor ismert m esetén

µ (θ j ) lineáris credibility becslése (1 − z j )m + z j M j . Ha m nem ismert, akkor a lineáris credibility becslés (1 − z j ) M 0 + z j M j . 3.1.2. Feladat: Alkalmazzuk az elızı feladatot arra az esetre, amikor feltételezzük, hogy díj-

osztályaink kárainak eloszlása exponenciális, és becslést akarunk adni a díjosztálykárok várható értékére!

3.2. Tapasztalati díjszámítás Az elızı alfejezetben az eddigi kártapasztalatok alapján becsültük meg E(ξ θ ) -t, ahol ξ például a következı évi kockázat, θ pedig a hozzá tartozó rizikóparaméter. Díjkalkulációs szempontból tekintve ezzel a kockázat nettó várható érték elv alapján számított díját becsüljük meg. Definíció: ξ (lineáris) nettó tapasztalati díja µ (θ ) = E(ξ θ ) (lineáris) credibility becslése.

A díjkalkulációs fejezetbıl tudjuk, hogy a várható érték elven kívül még sok más díjelv létezik. A tapasztalati díjszámításhoz mi a veszteségfüggvény elvet választjuk ki, melynek több nevezetes díjelv is speciális esete. A továbbiakban rögzítjük a ξ kockázatot, θ-val jelöljük a hozzá tartozó rizikóparamétert és X -szel az eddigi kártapasztalatot. Ha a rizikóparaméter értéke ismert, akkor a veszteségfüggvény elvvel számolt díj: D* (q ) = Π v (ξ , L θ = q ) = minhely[E(L(ξ , p )θ = q )] . p

82

A tapasztalati díj meghatározására több javaslat is van, ezeket alább felsoroljuk (az elnevezések nem általánosan elfogadottak). Definíció: A ξ kockázat tapasztalati díja az X = x tapasztalat esetén

d * ( x) = minhely[E(L(D* (θ ), d ) X = x )] . d

Megjegyzés: Vegyük részre, hogy a tapasztalati díjat ugyanaz a veszteségfüggvény határozza

meg, mint amelyik az eredeti díjat. Ez nem szükségszerő, hiszen az "igazi" díjtól való eltérést nem feltétlenül úgy kell büntetni, mint a kockázattól való eltérést. Definíció: A ξ kockázat Bayes-díja az X = x tapasztalat esetén

d ** ( x) = minhely[E(E(L(ξ , d )θ ) X = x )] = minhely[E(L(ξ , d ) X = x )] . d

d

Megjegyzés: Ha a veszteségfüggvény L( x, a ) = ( x − a ) 2 , akkor a tapasztalati és Bayes-díj

megegyezik a nettó tapasztalati díjjal, hiszen ekkor

Π v (ξ , L ) = Eξ , D* (q) = Π v (ξ , L θ = q ) = E(ξ θ = q ) , amibıl

[

]

d * ( x) = minhely E (E(ξ θ ) − d ) X = x = E[E(ξ θ ) X = x ] , d

2

ami pont a nettó tapasztalati díj. Másrészt

[((

)

)]

d ** ( x) = minhely[E (E (L(ξ , d )θ ) X = x )] = minhely E E (ξ − d ) θ X = x = d

2

d

[(( ) ] ) minhely[− 2dE (E (ξ θ ) X = x ) + d ] = E (E(ξ θ ) X = x ) = d ( x) .

minhely E E ξ 2 θ X = x − 2dE (E(ξ θ ) X = x ) + d 2 = d

2

*

d

Definíció: A ξ kockázat lineáris tapasztalati díja az X = x tapasztalat esetén

ld* ( x) = g ( x ) , ahol g a lineáris függvények között minimalizálja az

E(L(ξ , g ( x )) X = x ) kifejezést. Megjegyzés: A lineáris tapasztalati díj formailag a Bayes-díjhoz áll közelebb, ezért lineáris

Bayes-díjnak is nevezik. 3.2.1. Példa: Tegyük fel, hogy az X 1 ,..., X t , X t +1 kockázatok teljesítik az eredeti Bühlmann-

modell feltételeit, továbbá a rizikóparaméter gamma-eloszlású, a kockázatok feltételes eloszlása Poisson (minden kárra ugyanannyit fizetnek):

83

q k e −q , i = 1,2,..., t + 1, k = 0,1,2,... , k!

P(X i = k θ = q ) =

fθ (q) =

λα α −1 −λq q e , q > 0. Γ(α )

Határozzuk meg X t +1 exponenciális tapasztalati díját (a tapasztalat: X = ( X 1 ,..., X t ) , a veszT

(

)

2

teségfüggvény: L( x, a ) = e γx − e γa )! Ismert rizikóparaméter mellett a díj

D* (q) =

1

γ

((

))

ln E eγX t +1 θ = q =

1

γ

(

)

q eγ − 1 = q

(e

γ

).

−1

γ

1   Az 1.2.1. példából tudjuk, hogy X t +1 NBα ,  eloszlású valószínőségi változó (emlékez 1+ λ  zünk rá, hogy a gamma-keverıjő keverék Poisson-eloszlás negatív binomiális). Így γ paraméterő exponenciális díja:

Π v ( X t +1 ) =

1

γ

(

ln Ee

γX t +1

)

  e γ − 1  −α  α   = ln λ − ln λ + 1 − eγ . = ln 1 − γ  λ   γ  

1

(

(

))

A 3.0.1. példából tudjuk, hogy a θ rizikóparaméter feltételes eloszlása az X = x feltétel melt   lett, megint csak gamma-eloszlás,  λ + t ,∑ xi + α  paraméterekkel. Mindezekbıl a tapasztalai =1  

ti díj      eγ − 1    eγ − 1         d * ( x) = minhelyE Lθ ,d  X = x  = minhely E  exp γ θ γ γ   d d        

(

)

(

  1   λ +t 1   eγ − 1     X = x  = ln  ln E exp γ θ γ γ    γ    γ  λ + t − e − 1 

(

)

(

)

   X = x  =  

)  − exp(γ d )  

2

t

∑  α + ∑ xi  i =1  i =1  ln (λ + t ) − ln λ + t + 1 − e γ = γ   t

α+

xi

[

(

3.2.1. Feladat: Határozzuk meg az elızı példára a lineáris tapasztalati és a Bayes-díjat! 3.2.2. Feladat: Határozzuk meg az Esscher- lineáris tapasztalati díjat az eredeti Bühlmann-

modellben! Összefoglalva a fejezetet: az itteni eredmények mutatják, hogy még rövid tapasztalat vagy kis veszélyközösségek esetén is figyelembe kell venni saját adatainkat.

84

)] .

4. FEJEZET

BÓNUSZ RENDSZEREK A biztosítók elemi érdeke, hogy érdekeltté tegyék a biztosítottakat a kár elhárításában. Különösen a gépjármő-biztosítások esetén a vezetı óvatossága nagy szerepet játszik kármentességében. Ha valaki kárt okoz, és ezután több díjat kell fizetnie, a késıbbiekben talán óvatosabb lesz. A biztosítók megfigyelték azt is, hogy a korábban kevesebb kárt okozók általában késıbb is kevesebb kárt okoznak (ez nem biztos, hogy a biztosított viselkedésétıl, hanem például csoportos balesetbiztosítás esetén a munka jellegétıl függ). Ezek a meggondolások vezettek a különbözı díjengedmények, díjvisszatérítések és díjnövelések rendszereinek kialakulásához, melyek legfıbb típusait foglaljuk össze nagyon röviden.

4.1. KÁRMENTESSÉGI DÍJVISSZATÉRÍTÉSEK Egy ilyen rendszerben a szerzıdı visszakapja díja egy részét (ezt az összeget nevezik bónusznak), ha kármentes vagy alacsony kárú volt. Ez a díjvisszatérítés függhet a módozat eredményétıl, tehát csak abban az esetben fizet a biztosító, ha a módozat nyeresége (amit a kárkifizetésen túl például költségelemek is befolyásolhatnak) elért egy bizonyos szintet, és az e fölötti részt osztja szét a biztosító. A módszert nagyon gyakran alkalmazzák a nonprofit biztosítók (egyesületek, pénztárak). Más esetben a visszatérítés független az összesített eredménytıl, csak a szerzıdés káralakulása érdekes. Napjainkban már kevéssé elterjedt ez a módszer, Magyarországon gépjármő-biztosításoknál azonban még gyakran elıfordul. A díjvisszatérítéses biztosítások egy jelentıs részét modellezhetjük a következı módon. Legyen ξ = X 1 + ... + X η a kockázat díjvisszatérítés nélkül ( η a károk száma) és d a bruttó díj. Ekkor a kockázat díjvisszatérítéssel:



K

J



k =0

j =1



ζ = ξ + d ∑ α k χ (η = k ) + ∑ β j χ (c j −1 < ξ ≤ c j ) , 

(4.1.1)

ahol K, J adott pozitív egészek, 0 ≤ α k , β j , 0 = c0 < c1 < ... < cJ adott konstansok. A leggyakoribb az, hogy kármentesség vagy alacsony összkár esetén térítenek vissza díjat. Ezekben az esetekben az elızı formula egyszerőbb alakot vesz fel:

85

ζ = ξ + dαχ (η = 0) , ζ = ξ + dβχ (ξ ≤ c ) .

(4.1.2)

Látszik, hogy díjvisszatérítéses esetben a biztosító kockázata egy nemnegatív valószínőségi változóval nı, amelyik pozitív valószínőséggel határozottan pozitív (az érdektelen eseteket kivéve). Így az esetek döntı részében a díjvisszatérítés növeli a díjat! Erre a tényre az aktuárius köteles felhívni a biztosító vezetıinek figyelmét. Határozzuk meg általános esetben a várható érték elvvel a díjat! 4.1.1. Állítás: A biztosító λ paraméterő várható érték elvvel határozza meg a kockázatok brut-

tó díját. Amennyiben a biztosítási idıszak alatt k kár (k=0, 1,...,K) következik be, akkor a biztosító a díj α k részét téríti vissza a biztosítási idıszak végén, amennyiben továbbá a kárkifizetés eléri c j −1 -et, de nem haladja meg c j -t, akkor a biztosító a díj β j részét téríti vissza a biztosítási idıszak végén. Ekkor a díj ∞

(1 + λ ) ∫ xdF ( x) 0 J K  1 − (1 + λ )∑ α k p k + ∑ β j (F (c j + ) − F (c j −1 ) ) j =1  k =0 

,

ahol p k a k darab kár bekövetkezésének valószínősége, F a díjvisszatérítés nélküli kockázat eloszlásfüggvénye. Megjegyzés: A λ paraméterrel be tudjuk állítani a megfelelı költségrészt és biztonsági

pótlékot. Az állításból rögtön látszik, hogy a díjvisszatérítés növeli a díjat, hiszen díjvisszaté∞

rítés nélkül a díj (1 + λ ) ∫ xdF ( x) lenne. 0

Bizonyítás: A (4.1.1) formulából azonnal adódik, hogy a díj kielégíti a következı

egyenletet J  K  d = (1 + λ )Eζ = (1 + λ )Eξ + d ∑ α k P(η = k ) + ∑ β j P(c j −1 < ξ ≤ c j ) .  j =1  k =0 

Ebbıl d-t kifejezve kapjuk az állítást. *** Más díjkalkulációs elvekkel a díj meghatározása már bonyolultabb feladat. A következı állítás a leggyakrabban alkalmazott díjvisszatérítés, a kármentességi, esetén mutatja meg a szórásnégyzet elv alapján számított díjat.

86

4.1.2. Állítás: A biztosító a bruttó díj ρ részét szánja költségekre, a kockázati díjat µ paramé-

terő szórásnégyzet elvvel határozza meg. Amennyiben a biztosítási idıszak alatt nem következik be kár, akkor a biztosító a bruttó díj α részét téríti vissza a biztosítási idıszak végén. Ekkor a bruttó díj a következı másodfokú egyenletet elégíti ki

µα 2 p (1 − p)d 2 + (αp − 2µαpm − 1 + ρ )d + m + µσ 2 = 0 , ahol p = P(η = 0), m = Eξ , σ 2 = D 2ξ . Bizonyítás: A (4.1.2) formula szerint ζ = ξ + dαχ (η = 0 ), és így

Eζ = Eξ + dαEχ (η = 0 ) = m + αdp , D 2ζ = D 2ξ + d 2α 2 D 2 χ (η = 0 ) + 2dα cov(ξ , χ (η = 0 )) =

σ 2 + d 2α 2 p(1 − p) + 2dα {E(ξχ (η = 0 )) − EξEχ (η = 0)} = σ 2 + d 2α 2 p(1 − p) − 2dαmp . Ez a E(ξχ (η = 0)) = 0 azonosság miatt teljesült. Felhasználva, hogy (1 − ρ )d = Eζ + µD 2ζ , kapjuk a kívánt másodfokú egyenletet. *** 4.1.1. Feladat: Határozzuk meg a szórásnégyzet elvvel kalkulált díjat, ha a díjvisszatérítés c-

nél kisebb kárösszegnél történik! 4.1.1. Példa: Bergengóciában a Bergengóc Biztosító Rt. 1994-tıl mőveli a lovaskocsik CAS-

CO biztosítását. Szerzıdései éves tartamúak. Kármentesség esetén a szerzıdı 10%-os díjviszszatérítésben részesül (a bruttó díjból). A bruttó díj 20%-a költség, ennek fele kezdeti. A kártapasztalat 1994–97-ben a következı volt: Kárszám

0

1

2

>2

Szerzıdések száma

8100

1800

100

0

A károk átlaga 1 millió arany, szórása 0,5 millió volt. Tornya Ubul 1998. július 1-jén kötött egy ilyen biztosítást. Mennyi lesz a biztosítási díja, ha a) a kockázati díjat nettó várható érték elv alapján határozzák meg, b) a kockázati díjat 1/100 paraméterő szórásnégyzet elv alapján határozzák meg? Rögtön észrevehetjük, hogy a szórásnégyzet elv nem skálainvariáns, ezért meg kell mondanunk, hogy mi az egységnyi kár. A megoldásban 1 millió arany egységgel dolgozunk. Vezessük be a következı jelöléseket: Y: a szerzıdéshez tartozó kockázat, N: károk száma egy év alatt (1998. VII. 1– 1999. VI. 30.), Xi: i. kár nagysága, 87

d1: bruttó díj (várható érték elv), d2: bruttó díj (szórásnégyzet elv), T: tartalék 1998. XII. 31-ére. A feladat feltételei és az 4.1.1. állítás szerint (itt λ=0,25): d1 =

1,25ENEX 1 . 1 − 1,25 ⋅ 0,1P( N = 0 )

A 4.1.2. állításból és az (1.4.2) formulából adódik a másodfokú egyenlet a másik bruttó díjra d 2 0,01 ⋅ 0,12 P( N = 0 )(1 − P( N = 0 ))+ d 2 (0,1P( N = 0 ) − 2 ⋅ 0,01 ⋅ 0,1ENEX 1 P( N = 0 ) − 0,8) + 2

(

)

ENEX 1 + 0,01 END 2 X 1 + D 2 N (EX 1 ) 2 = 0 . Most térjünk át a konkrét adatokra. Jó lenne kárszámeloszlást illeszteni, ahogy ez az 1.2. alfejezetben történt. Elıször Poisson-közelítéssel próbálkozunk. A paraméter becslésére 0,2 adódik. Az illeszkedés azonban elfogadhatatlanul rossz: 0

1

2

>2

tapasztalat

8100

1800

100

0

Poisson-közelítés

8187,308

1637,462

163,7462

11,48481

χ2

49.3635

A negatív binomiális közelítést nem érdemes kipróbálni, mert a tapasztalati szórásnégyzet /0,18/ kisebb a tapasztalati középnél. Így a díjak meghatározásánál a tapasztalati értékeket írjuk be a kárszám és káreloszlás paramétereire:

P( N = 0 ) = 0,81, EN = 0,2 , D 2 N = 0,22 , EX 1 = 1, D 2 X 1 = 0,25 . Ezekkel az adatokkal a díjak: d 1 = 278 164 arany, d 2 = 281 363 arany. A szórásnégyzet elv díjára egy másik eredmény is kijött, méghozzá megdöbbentıen nagy, 46 718,58 millió arany. Elvileg ez a díj is kielégíti a feladat feltételeit, de gyakorlati realitása nincs. Amennyiben nem lett volna díjvisszatérítés, a díjak jóval kisebbek lettek volna: d1 = 250 000 arany, d 2 = 252 875 arany. Érdekesség, hogy az elıbbi példában a 10%-os díjvisszatérítés több mint 10%-os díjemelést eredményezett. A következı példa mutatja, hogy alacsony kárvalószínőség mellett az emelés mértéke még nagyobb lehet. 88

4.1.2. Példa: Labanc Lujza baleseti halál esetére szóló egy éves tartamú biztosítást kötött a

Szirén Biztosítóval. Mivel véleménye szerint a biztosítók csak nyerészkedni akarnak, ezért olyan egyedi szerzıdést kötött, hogy amennyiben nem hal meg balesetben egy év alatt, akkor

ı vagy örököse visszakapja befizetett díja 50%-át. 1 millió forintos biztosítási összeg esetén mennyi lesz a díja? A biztosító 30%-os költséggel, 0,7‰-es baleseti halál valószínőséggel és várható érték elvvel kalkulálja díjait. Így a díjvisszatérítés nélküli eredeti díj 1000 forint lett volna. Az új díj a 4.1.1. állítás szerint 1 700 0,7 1 1− 0,5(1 − 0,0007) 0,7

= 3 487,793 .

A szükséges emelés mértéke közel 249%, így Lujza sokkal rosszabbul járt. Az elızı példákban a díjvisszatérítés a kármentesség jutalma volt. Az alfejezet utolsó példájában azonban a kedvezı káralakulást jutalmazzák. 4.1.3. Példa: Bulisztánban a Belügyminisztérium tendert hirdetett a rendırök biztosítására. A

Rizikó Biztosító korábbi tapasztalatai és a tender feltételei alapján úgy gondolja, hogy az egy rendırre jutó várható kifizetés 500 buli, a szórás 12 000. A biztosító 5%-os költségrészt tervez erre a biztosításra, továbbá 50% alatti kárhányad esetén a díj 40%-át, 50 és 80% közötti kárhányad esetén a díj 10%-át térítenének vissza. Mennyi lesz a biztosító által ajánlott díj 100 ezer rendır esetén? Várható érték elvvel számolva és elhanyagolva a díjvisszatérítést, a díj (millió buliban) 500 ⋅ 100000 / 0,95 = 52,631579 1000000 millió buli lenne. A díjvisszatérítéssel is számolva szükségünk lesz az összkár eloszlásának közelítésére. Ugyanis az összkárt S-sel jelölve, a díjra az 4.1.1. állítás a következı egyenletet adja (millió buliban számolva):

d=

1 50 0,95 1 {0,4P(S < 0,5d ) + 0,1P(0,5d ≤ S < 0,8d )} 1− 0,95

.

Normális közelítést alkalmazva kapjuk, hogy

89

        50 0 , 5 50 0 , 5 − 50 S − d − d  ~ 1 − Φ , P(S < 0,5d ) = P < 12000 12000   12000 1000000  1000000  1000000    1000000  1000000   1000000          − − 50 0 , 5 d 50 0 , 8 d  − Φ . P(0,5d ≤ S < 0,8d ) ~ Φ  12000 1000000   12000 1000000       1000000   1000000  Ebbıl következik, hogy d a következı egyenlet megoldásához van közel.           − d − d 50 0 , 5 50 0 , 8  + 0,1Φ  = 50 . d 0,55 + 0,3Φ 12000 12000      1000000  1000000      1000000   1000000  Ezt az egyenletet nem nehéz numerikusan megoldani. Elıször ábrázoljuk az egyenlet bal oldalát d függvényében! 50,1 50,05 50 49,95 49,9 49,85 49,8

4.1.1. Ábra

A megoldás 52,741679 millió buli, ami 0,110100 millió bulival több az eredeti díjnál. A megoldás során észrevehettük, hogy az 50% alatti kárhányad valószínősége elenyészı, a díjat így ez a díjvisszatérítés lényegében nem befolyásolja. A megoldásnál hangsúlyosan felhasználtuk azt, hogy pontosan ismertük a biztosítottak szolgáltatásának várható értékét és szórását. Amennyiben ez nem így van, akkor a díjvisszatérítésnek lényegesen nagyobb is lehet a valószínősége. 4.1.2. Feladat: Egy egészségbiztosítási módozat kárstatisztikái azt mutatják, hogy az egy biz-

tosítottra jutó éves kárszám B(10, 1) eloszlású, a káreloszlás 12 várható értékő és 11 szórású 90

(ezer Ft-ban) lognormális. A tervek szerint kármentes év után a díj 15%-át visszatérítik. Határozzuk meg az egy biztosítottra jutó díjat 0,01 paraméterő szórásnégyzet elv segítségével, ha van díjvisszatérítés, és ha nincs!

4.2. KÁRMENTESSÉGI ENGEDMÉNY A rendszer, melynek rövidített neve NCD (no claim discount), a kármentességet díjengedménnyel jutalmazza. A szerzıdık díjfizetési fokozatokba vannak sorolva, 1-tıl k-ig. Az elsı fokozat a legmagasabb díjú, a k-adik a legalacsonyabb. Általában az új szerzıdı az elsı fokozatba kerül, és a teljes díjat fizeti. Egy kármentes év után (esetenként a feltételek több évet is megkövetelhetnek) eggyel (vagy kettıvel) magasabb fokozatba lehet kerülni. Minden kár egy fokozat visszalépést jelent, de az elsınél rosszabba nem lehet kerülni. Mik e módszer elınyei? a) Mint már korábban említettük, a biztosítottak érdekeltek a kármentességben, ezért jobban vigyáznak. b) A kis károkat általában be sem jelentik, inkább a díjengedményre tartanak igényt. Így a kárkifizetések is és a kárrendezési költségek is csökkennek. c) A szerzıdık tényleges kockázatuknak jobban megfelelı díjakat fizetnek. d) A biztosító heterogén kockázatú veszélyközösségét homogénabb csoportokra osztja. Ez segíthet például kiszőrni a veszélyes szerzıdéseket. Persze beszélni kell a hátrányokról is: a) Felelısségbiztosítások esetén a károkozók gyakran nem ismerik el károkozásukat, mivel így anyagi kár érné ıket. b) Bonyolódik az adminisztráció, a díjszámítás és a tartalékolás.

4.3. BÓNUSZ–MÁLUSZ RENDSZER Európában általánosan elterjedt módszerrıl van szó, mely az elızıtıl annyiban tér el, hogy vannak negatív fokozatok is, melyeket máluszosztályoknak neveznek. A pozitív fokozatok a bónuszosztályok. Tehát ebben az esetben a kezdeti fokozathoz képest rosszabb fokozatba is lehet kerülni. Ennek a rendszernek az elızıhöz képest elınye, hogy még nagyobb óvatosságra kényszeríti a szerzıdıket. Hátránya azonban, hogy a máluszosztályba kerülık ténylegesen

91

nem kerülnek oda, mert vagy kilépnek a rendszerbıl (átmennek egy másik biztosítóhoz), vagy új belépınek álcázzák magukat, és ekkor középen kezdenek. Az eddig ismertetett rendszereket általában a következı módon modellezik. Jelölje Z(n) egy biztosítás n-edik évi díjfokozatát. A fokozatokat 1,..., K-val jelöljük. Ez persze nemcsak az NCD, hanem a bónusz–málusz rendszert is modellezi, hiszen jelölhetjük 1-gyel a legmagasabb máluszfokozatot. A bónuszrendszer szabályai a következı K × K − s mátrixok segítségével írhatók le:

( )

Tk = tik, j , k = 0, 1, 2, ... , amennyiben az i fokozatú k kár esetén a j-edikbe kerül, akkor tik, j = 1 , különben 0. A rendszer vizsgálatához szükségünk van a P (Z ( n + k ) = j Z ( n ) = i ), n ≥ 0, k ≥ 1, 1 ≤ i , j ≤ K

(4.2.1)

valószínőségekre. Általában feltételezzük, hogy

P(Z (n) = i Z (0),Z (1),...,Z (n − 1) ) = P(Z (n) = i Z (n − 1) ), n ≥ 1, 1 ≤ i ≤ K , egy valószínőséggel, tehát hogy Z(n) Markov-lánc. E jegyzet keretein túllépne a Markovláncok elméletének ismertetése, ezért azoknak, akik még nem tanulták azt, ajánlható például a magyar nyelvő [16] könyv. A véges Markov-láncok legfontosabb tulajdonságai megtalálhatók az 5. sz. függelékben. Megjegyezzük, hogy a Markov-tulajdonság miatt a (4.2.1) valószínőségek meghatározásához elegendı a P (Z ( n + 1) = j Z ( n ) = i )= p n ( i , j ), n ≥ 0, 1 ≤ i , j ≤ K

valószínőségek ismerete. A biztosítási modelleknél nagyon gyakran feltételezik, hogy a p n (i, j ) értékek nem függnek n-tıl. Ekkor természetesen a számolások nagyon leegyszerősödnek. Alapvetı feladat annak eldöntése, hogy vajon a p(i, j) valószínőségek mitıl függnek. Hiszen ha kiderül, hogy csak az i-j különbségtıl, akkor a bónuszrendszerek egyik legfıbb elınye vész el, nevezetesen az, hogy a különbözı bónuszfokozatúak kockázata különbözik. Mégis gyakran kénytelenek vagyunk ezt feltenni, különösen, ha most indítunk el egy új bónuszrendszert. Ekkor a p(i,j) valószínőségek meghatározhatók a kárszám eloszlásának ismeretében. Ezt mutatja be az alábbi példa. 4.2.1. Példa: Egy gépjármő-biztosítás NCD rendszerben mőködik, két bónuszosztállyal. Kár-

mentes év esetén egy osztállyal feljebb lehet kerülni, minden kár egy osztály visszalépést je92

lent. Az egy vezetı által okozott károk száma 0,1 paraméterő Poisson-eloszlású. Határozzuk meg a p(i, j) valószínőségeket! Jelöljük p , p -gyel a 0, illetve 1 kár okozásának valószínőségét. Ekkor 0

1

 1 − p0  P = ( p (i, j )) =  1 − p 0 1 − p − p 0 1 

p0 0 p1

0  1 − e −0,1   p0  =  1 − e − 0,1 p 0  1 − e −0,1 − 0,1e −0,1

e −0,1 0 0,1e −0,1

0   e −0,1  . e −0,1 

Természetesen az elıbbi modell nagyon egyszerősített, nem vesszük figyelembe, hogy a biztosítottak ki is és be is léphetnek a rendszerbe. Ezek figyelembevétele a modell általánosításaihoz vezet. A vizsgálatoknál a Markov-láncok elméletének segítségével általában meghatározzák a stacionárius állapotokat és azt, hogy a rendszer milyen gyorsan konvergál ehhez. Még nem esett szó a bónuszrendszerek díjakra gyakorolt hatásáról. Ez a hatás alapvetıen a következıktıl függ: a) A bónuszosztály díjengedménye (vagy díjvisszatérítése és a máluszosztály díjnövelése) elıre rögzítve van-e? b) A díjak egy vagy több évre vannak-e rögzítve? Egyszerő a helyzet, ha a díjengedmény és a díj közül legalább az egyik nincs rögzítve. Hiszen ha a díjengedmények (díjnövelések) nincsenek elıre rögzítve, akkor úgy határozhatjuk meg azokat, hogy az összdíj pontosan a szükséges legyen. Ez történhet például úgy, hogy minden bónuszosztály pontosan a kockázatának megfelelı díjat fizeti. Ebben az esetben is nagyon ajánlható a credibility módszerek alkalmazása. Ha a díjengedmények mértékei elıre rögzítettek, de a díj nem, akkor olyan alapdíjat kell meghatározni, mely alapján az összdíj pont a szükséges. Tehát ebben a két esetben az új díjak pontosan megfelelnek az új kockázatoknak, nem kell igénybe venni a korábbi díjakat. Ennek következménye, hogy egy évre kell díjat számolnunk, és nem kell ún. bónusztartalékot képeznünk. Ha azonban minden rögzítve van, akkor a díjszámításnál figyelembe kell venni a késıbbi engedményeket és visszatérítéseket. A továbbiakban Lemaire [19] könyvét követve meghatározzuk a bónuszrendszerek azon jellemzıit, melyek segítségével azok összehasonlíthatóak. Az összehasonlítások alapvetıen két szempontból történhetnek, egyrészt a biztosítottakéból, másrészt a biztosítóéból. Gyakrabban vizsgálnak a biztosítottak szempontjából, mert itt egyszerőbb modellek írhatók fel. Ugyanis kárszámokra és károkra az 1.2. és 1.3. alfejezetekben szereplı modelleket szokták illeszteni. Az 1.2.1. példához hasonlóan általánosan elfogadott

93

P((Z (n) = i ) = qi , i = 1,..., K , n ≥ 1 (legalábbis a gépjármő-biztosításoknál) az, hogy a biztosítottak kárszáma külön-külön Poisson-eloszlású, de összességében összetett Poisson. A vizsgálatokat így különbözı paraméterő Poisson-eloszlású kárszámok esetére végzik el. A bónuszrendszer szabályainak és a biztosított kárszámeloszlásának ismeretébıl meg tudjuk határozni a biztosított bónuszosztályaihoz rendelt Markov-lánc átmenetvalószínőség mátrixát: ∞

p (i, j ) = ∑ pk tijk , k =0

ahol

{ pk }

a biztosított kárszámának eloszlása. Amennyiben ez λ paraméterő Poisson-

eloszlás, akkor ∞

p(i, j ) = ∑ k =0

λk e − λ k!

t ijk .

4.4. VISZONYLAGOS STACIONÁRIUS KÖZÉPSZINT A nemzetközi tapasztalat szerint a bónuszrendszer bevezetése után az összesített díjengedmények mértéke több éven keresztül növekszik, aztán ez a mérték stabilizálódik. Másképpen megfogalmazva: a Markov-lánc konvergál a stacionárius állapothoz. A konvergencia sebessége természetesen jelentısen függ a bónusz szabályaitól. A továbbiakban feltételezzük, hogy a bónuszrendszer Markov-lánca homogén, irreducibilis és aperiodikus. Az elsı tulajdonság mindig teljesül, mivel a Markov-láncokat ez esetben az egylépéses átmenetvalószínőségek segítségével határozzuk meg. Az irreducibilitás a gyakorlatban már nem mindig teljesül, például Németországban a kezdı vezetıknek külön osztályuk van, ahová már nem lehet visszakerülni. Az aperiodicitás viszont általában nem okoz gondot, mivel kármentesség esetén a vezetı a legjobb bónuszosztályban marad, így a legjobb bónuszosztálynak megfelelı állapot 1 periódusú, ami irreducibilis esetben elég az aperiodicitáshoz (lásd 5. sz. függelék). Tehát feltételezéseink a legtöbb esetben helytállóak, a néhány kivétel is hasonló módon kezelhetı. Általában az elsı kérdés az, hogy mihez tart az átlagos díj nagysága. Ezt a következı módon határozzuk meg. Legyen {qi }i =1,.., K a Markov-lánc stacionárius eloszlása, tehát P( Z ( 0) = i) = q i , i = 1,..., K -ból következik, hogy P( Z ( n ) = i) = qi , i = 1,..., K , n ≥ 1. Ez kielégíti a következı egyenletet:

94

K

qi = ∑ p( j, i )q j , j =1 K

∑q

j

=1 .

j =1

Vektor alakban felírva ez q = PT q ,  q1    K q =  ⋮  , P = ( p (i, j ) )i , j =1 . q   K Amennyiben az i-edik fokozat díja d i , akkor a stacionárius díj K

d stac = ∑ d i q i . i =1 K

Ez megegyezik lim Ed Z ( n ) = lim ∑ d i P( Z ( n ) = i) -vel, mivel lim P( Z ( n ) = i) = qi , i = 1,..., K . n→∞

n→∞

n→∞

i =1

4.4.1. Példa: Magyarországon a kötelezı gépjármő-felelısségbiztosításban a személygépkocsik esetében egy alaposztály, 4 máluszosztály és 10 bónuszosztály van. Az alapfokozat díját 1-nek tekintve a díjak: Osztály

Díj

M4

2,00

M3

1,60

M2

1,35

M1

1,15

A0

1,00

B1

0,95

B2

0,90

B3

0,85

B4

0,80

B5

0,75

B6

0,70

B7

0,65

B8

0,60

B9

0,55

B10

0,50

A szabályok a következık: egy balesetmentes év egy osztály javulást eredményez, egy baleset két visszaugrást okoz, az újak A0-ban kezdenek. Legalább 4 károkozás esetén M4-be kerül a 95

szerzıdı, függetlenül elıéletétıl. Amennyiben feltételezzük, hogy egy vezetı esetében az egy éven belüli kármentességnek és az egy kár bekövetkezésének is pozitív a valószínősége, akkor a rendszerhez készített Markov-lánc irreducibilis és aperiodikus. Ugyanis bármelyik osztályból el lehet jutni néhány éven belül minden évben egy kárt okozva M4-be. M4-bıl viszont kármentességgel fokozatosan az összes osztályba eljuthatunk. Így bármelyik osztályból bármelyikbe pozitív valószínőséggel jutunk el, ami az irreducibilitás feltétele. Ha B10-ben vagyunk, akkor ott is maradunk, ha nem okozunk kárt, tehát B10 egyperiódusú állapot, ami mutatja a lánc aperiodikusságát. Most írjuk fel Poisson-eloszlású kárszámot feltételezve az átmenetvalószínőségek mátrixát!

 1− e − λ  1− e − λ  1− e − λ  1− ( λ +1) e − λ  1− ( λ +1) e − λ  1−(λ2 / 2!+ λ +1)e −λ  1−(λ2 / 2!+ λ +1)e −λ  1− λ3e −λ / 3!+ λ2 / 2!+ λ +1 e −λ )  ( 3 −λ 1−(λ e / 3!+ λ2 / 2!+ λ +1)e − λ   1−(λ3e −λ / 3!+ λ2 / 2!+ λ +1)e −λ  ⋮    3 −λ 2 −λ  1−(λ e / 3!+ λ / 2!+ λ +1)e

e −λ

0

... ...

0

0 e−λ

0

e −λ

...

0

0

0

e −λ

... 0

0

0 λ3e − λ / 3!

⋱

⋱

0 λe − λ

e −λ

...

0

0 λe − λ

0

0

e −λ

0

⋱

0

0

e −λ

0

...

0

⋱

0

0

e −λ

...

0

0 − e λ

0

0

e−λ

0

0

e−λ

...

0

0

0

e −λ

0 0

λe − λ 0 λ2e − λ / 2!

e −λ 0 λe − λ

⋱

0

0

...

0

0

...

0 0

   0 0  0  0   0  0  0  0  0  0  0  e −λ   e −λ  0

0

⋱

0

0

0

⋱

⋱

⋱

⋱

⋱

⋱

⋱

⋱

⋱

0

0

0

0

0

0

0

λ3e − λ / 3!

0

λ2e − λ / 2!

0

...

0

λe − λ

0

0 0

Ebbıl meghatározhatjuk a stacionárius díjat, ami például 10%-os átlagos kárgyakoriság mellett 0,5227 lesz. Tehát ilyen kárgyakoriság és Poisson-eloszlású kárszám mellett az átlagos díj az A0-ás díj 52,27 százalékához fog tartani. Érdemes a stacionárius eloszlást is felírni.

96

q1

0,94 10-5

q2

1,42 10-5

q3

2,59 10-5

q4

4,94 10-5

q5

1,11 10-4

q6

2,25 10-4

q7

5,60 10-4

q8

1,08 10-3

q9

2,98 10-3

q10

5,07 10-3

q11

0,0163

q12

0,0222

q13

0,0905

q14

0,0819

q15

0,779

Látszik, hogy a magas bónuszfokozatok valószínősége a legnagyobb. A következı két ábra a várható díjakat (A0-ban kifejezve) mutatja az elsı 40 évben 10, illetve 50%-os paraméterő Poisson-eloszlást és A0-ás indulást feltételezve.

4.4.1. Ábra: Várható díj az elsı 40 évben (10%-os átlagos kárgyakoriság )

Jól látszik, hogy a díj monoton csökken és egyre közelebb kerül a 0,5227 stacionárius díjhoz. 50%-os esetben a tendencia egészen más. A várható díj gyorsan közelíti az 1,372 stacionárius díjat.

97

4.4.2. Ábra: Várható díj az elsı 40 évben (50%-os átlagos kárgyakoriság )

A számításokat a MAPLE programcsomag segítségével végeztük el. A program leírása a 6. sz. függelékben található meg. A stacionárius díj önmagában még nem teszi lehetıvé a különbözı rendszerek összehasonlítását, hiszen nagymértékben függ a skálázástól. Ezért vezették be a következı fogalmat.

Definíció: A bónusz–málusz rendszer viszonylagos stacionárius középszintje az avsk =

d stac − d K , d1 − d K

arányszám, ahol d1 a legmagasabb máluszosztályhoz, d K a legmagasabb bónuszosztályhoz tartozó díj. Az a vsk tört alacsony értéke az átlagosan magas engedményeket mutatja, és így megadja a rendszer egy jellemzıjét. A következı táblázat 10%-os átlagos kárgyakoriságok mellett hasonlítja

össze

a

viszonylagos

stacionárius

középszintet

a

kötelezı

felelısségbiztosításokra /[19] 83.oldal kiegészítve a magyar 1,52%-os adattal/.

Ország

98

avsk (%-ban)

1.

Kenya

28,79

2.

Spanyolország

25,67

3.

Malajzia

21,17

4.

Finnország (új)

16,04

5.

Svédország

14,20

6.

Hollandia

11,78

7.

Nagy-Britannia (védett)

11,37

8.

Tajvan

9,55

9.

Finnország (régi)

8,46

10.

Hongkong

8,35

11.

Thaiföld

8,03

12.

Nagy-Britannia (nem védett)

7,07

13.

Portugália

6,75

14.

Norvégia (régi)

6,61

15.

Svájc (új)

6,47

16.

Németország (új)

5,85

17.

Japán (új)

4,63

18.

Belgium (új)

4,05

gépjármő-

19.

Dánia

3,78

20.

Svájc (régi)

2,90

21.

Franciaország

2,12

22.

Norvégia (új)

2,11

23.

Brazília

1,85

24.

Magyarország

1,52

25.

Dél-Korea

1,37

26.

Luxemburg (új)

1,36

27.

Olaszország (új)

1,30

28.

Luxemburg (régi)

1,01

29.

Japán (régi)

0,88

30.

Belgium (régi)

0,74

31.

Olaszország (régi)

0,01

A legmagasabb értékő három országban nagyon egyszerő a rendszer, hiszen a balesetet okozó rögtön a legrosszabb máluszosztályba kerül, elvesztve összes addigi kedvezményét. Olaszországban ténylegesen nincs ennyi engedmény, mert a kárgyakoriság lényegesen több 10%-nál. A magyar adat a 24. helyen van, ami a kedvezmények magas szintjét mutatja, amit a szakirodalomban nem mondanak túl kedvezınek. A másik fontos jellemzı az, hogy mennyire büntetik a kezdı vezetıket. A kezdı vezetın érthetnek új szerzıdıt vagy fiatalt is.

Definíció: A bónusz–málusz rendszer kezdıket büntetı többlete az akezdı =

d kezdı − d stac d stac

arányszám. Egyes országokban más módon is diszkriminálják a kezdıket, például önrész bevezetésével. Itt is érdemes összehasonlítani a különbözı országokat (10%-os átlagos kárgyakoriságok mellett, [19] 84.oldal kiegészítve a magyar 91,30%-os adattal). Ország

akezdı (%-ban)

1.

Németország (új)

212,97

2.

Norvégia (új)

195,80

3.

Dánia

189,50

4.

Norvégia (régi)

159,13

5.

Svédország

158,89

6.

Hollandia

146,29

99

7.

Japán (régi)

144,12

8.

Finnország (régi)

143,39

9.

Finnország (új)

142,57

10.

Korea

135,51

11.

Hongkong

122,04

12.

Japán (új)

121,76

13.

Olaszország (új)

121,38

14.

Luxemburg (új)

100,89

15.

Nagy-Britannia (nem védett)

98,75

16.

Svájc (régi)

94,10

17.

Luxemburg (régi)

92,25

18.

Magyarország

91,30

19.

Nagy-Britannia (védett)

84,65

20.

Franciaország

77,55

21.

Malajzia

76,65

22.

Kenya

74,60

23.

Tajvan

68,20

24.

Svájc (új)

67,88

25.

Olaszország (régi)

64,26

26.

Brazília

52,33

27.

Thaiföld

50,55

28.

Belgium (új)

41,87

29.

Belgium (régi)

39,26

30.

Spanyolország

28,70

31.

Portugália

26,95

Látszik, hogy különösen Németországban óvatosak az új szerzıdıkkel szemben. Magyarország a középmezıny alján helyezkedik el. Meg kell jegyezni, hogy csak alacsony kárgyakoriságok esetében beszélhetünk büntetésrıl, hiszen a nagyon veszélyes kezdık inkább engedményt kapnak, amint ez a magyar a kezdı (átlagos kárgyakoriság függvényében ábrázolt) 4.4.3. grafikonról leolvasható:

100

4.4.3. Ábra: Kezdıket büntetı többlet

4.5. DÍJAK SZÓRÁSI EGYÜTTHATÓJA A biztosításoknál a biztosítottak átadják kockázatukat a biztosítónak. Amennyiben nincs bónuszrendszer, akkor a díj nem függ a kártörténettıl, teljes a veszélyközösségen belül a szolidaritás. Bónuszrendszereknél ez a szolidaritás gyengül, a díjak évrıl évre változhatnak. A nagymértékő változás azt mutatja, hogy a rendszer igen érzékeny a kártapasztalatra. Természetesen egy rendszertıl elvárják, hogy a díjak változékonysága kisebb legyen, mint a kockázaté.

Definíció: Egy bónusz–málusz rendszer díjainak szórási együtthatója E(d Z ( n +1) − d Z ( n ) )

2

s=

d stac

arányszám, ahol Z(n) a rendszer stacionárius Markov-lánca.

Megjegyzés: Egy valószínőségi változó szórási együtthatója általában a szórása osztva várható értékével. A szórási együtthatót egyszerő módon meghatározhatjuk a stacionárius eloszlás ismeretében:

101

∑ q E((d K

E(d Z ( n +1) − d Z ( n ) )

2

s=

d stac

i

− d i ) Z ( n) = i 2

Z ( n +1)

i =1

=

) =

K

∑q d i

i

i =1 K

K

∑ q ∑ p(i, j )(d i

i =1

K

− di )

j

j =1

i

=

K

∑q d i

K

∑∑ q p(i, j )(d

2

− di )

2

j

i =1 j =1

.

K

∑q d

i

i

i =1

i

i =1

A következı táblázatban a különbözı országok szórási együtthatóit láthatjuk (10%-os átlagos kárgyakoriságok mellett, [19] 88.oldal kiegészítve a magyar 0,0769-es adattal). Ország

102

s

1.

Svájc (új)

0,4595

2.

Norvégia (régi)

0,3900

3.

Kenya

0,3835

4.

Finnország (új)

0,3834

5.

Svédország

0,3769

6.

Hollandia

0,3532

7.

Japán (új)

0,3283

8.

Tajvan

0,3162

9.

Malajzia

0,3075

10.

Dánia

0,3017

11.

Svájc (régi)

0,2700

12.

Finnország (régi)

0,2570

13.

Németország (új)

0,2536

14.

Hongkong

0,2518

15.

Nagy-Britannia (nem védett)

0,2419

16.

Luxemburg (új)

0,2147

17.

Norvégia (új)

0,2140

18.

Belgium (új)

0,2128

19.

Franciaország

0,2049

20.

Portugália

0,1956

21.

Thaiföld

0,1925

22.

Spanyolország

0,1533

23.

Korea

0,1271

24.

Japán (régi)

0,1261

25.

Nagy-Britannia (védett)

0,1260

26.

Luxemburg (régi)

0,1075

27.

Olaszország (új)

0,0934

28.

Magyarország

0,0769

29.

Belgium (régi)

0,0586

30.

Brazília

0,0304

31.

Olaszország (régi)

0,0046

Ezek a szórási együtthatók sokkal kisebbek, mint a kockázatoké, még Svájc esetében is csak a kockázat szórási együtthatójának alig több mint 7%-a ([19] 87.oldal). A magyar szórási együttható nagyon kicsi, tehát a díjak változékonysága igen csekély. Ezt mutatja az átlagos kárgyakoriság függvényében ábrázolt 4.5.1. grafikon is.

4.5.1. Ábra: Szórási együttható

4.6. BÓNUSZ–MÁLUSZ RENDSZEREK ELASZTICITÁSA A bónusz–málusz rendszerek egyik legfontosabb célja a jó vezetık díjának csökkentése és a rosszak díjnövelése. Általában feltételezik, hogy a károk száma és a károk nagysága független egymástól, így a bónuszosztályba sorolás csak az addigi kárszámtól függ. Mi is ezzel – a gyakorlatban nem mindig teljesülı – feltételezéssel élünk. E mellett a feltételezés mellett a vezetı várható kárszáma (Poisson-esetben a λ ) jól jellemzi a kockázatot. Az elaszticitás a rendszer stabilitását méri az átlagos kárgyakoriság változásával szemben. Értelmes rendszertıl természetesen elvárható, hogy a hosszú távon kifizetett díj λ monoton növı függvénye legyen. Ideális esetben ez lineáris lenne, ami a gyakorlatban soha nem teljesül. Mindez jól követhetı a magyar rendszer 4.6.1. grafikonján. 103

4.6.1. Ábra: Stacionárius díj az átlagos kárgyakoriság függvényében

Látszik, hogy a díj alacsonyabb kárgyakoriságok esetében alig nı. Például 5%-os átlagos kárgyakoriság mellett 0,509 a díj, és a kockázat négyszeresére növelésénél (tehát 20%-os átlagos kárgyakoriság nál) mindössze 14,4%-kal 0,582-re nı. A λ paraméterő Poisson-kárszámú vezetı stacionárius díját d stac (λ ) -val jelölve bevezethetjük a következı mennyiséget.

Definíció: A bónusz–málusz rendszer elaszticitása a ∂d stac (λ ) ∂λ η (λ ) = d stac (λ ) / λ hányados.

Megjegyzés: Amennyiben a díj annyiszorosára nıne, ahányszorosára az átlagos kárgyakoriság, az elaszticitás 1 lenne. Mint már említettük, a mőködı rendszerekben ez az érték kisebb. Az elaszticitást a következı módon határozhatjuk meg. A stacionárius eloszlásnál is jelezve a

λ -tól való függést: K

d stac (λ ) = ∑ d i qi (λ ) = d q (λ ) , i =1

∂d stac (λ ) T ∂ q (λ ) =d . ∂λ ∂λ

104

T

∂ q (λ ) ∂λ

-t a következı egyenletrendszerbıl kaphatjuk meg: ∂ q (λ ) ∂λ

= P (λ ) T

∂ q (λ ) ∂λ

+

∂P(λ ) T q (λ ) . ∂λ

Ezt az egyenletrendszert megoldva azonnal adódik az elaszticitás értéke.

4.6.1. Példa: A magyar rendszerre is kiszámolhatjuk az elaszticitás értékeit. Az eredményeket a 4.6.2. ábra mutaja be.

4.6.2. Ábra: Elaszticitás az átlagos kárgyakoriság függvényében

10%-os átlagos kárgyakoriság mellett a magyar rendszer elaszticitása 0,064, ami a vizsgált országok közül az egyik legkisebb érték. A bónusz–málusz rendszert jellemezhetjük más adatokkal is, például meghatározhatjuk az optimális megtartást. Ugyanis a rendszerek nagy részében a szerzıdı kifizetheti az általa okozott kárt a biztosító helyett, és így mentesül a károkozás következményei alól. A feladat ilyenkor az, hogy meghatározzuk azokat az értékeket, melyek alatt érdemesebb saját magunknak kifizetni a kárt, mint magasabb díjakat fizetni a jövıben.

4.6.1. Feladat: Határozzuk meg a magyar rendszer optimális megtartását a következı feltételezések mellett! A kárszám 7% paraméterő Poisson-eloszlású, a káreloszlás 100 ezer forint várható értékő exponenciális. A díjak úgy vannak meghatározva, hogy a stacionárius díj 10%kal több legyen a kockázat várható értékénél. A kifizetéseket 2%-os technikai kamat segítségével diszkontáljuk.

105

Egy másik lehetséges jellemzése a rendszernek az "optimálissal" történı összehasonlítása. Itt az optimálison azt értjük, hogy a bónuszosztály díja (költségek nélküli) pontosan megegyezik az osztály tényleges kockázatának díjával. Ezt az összehasonlítást a credibility elmélet eszközeivel végezhetjük el. A fejezetben több olyan kérdést nem érintettünk, amelyek igen fontosak lehetnek egy bónusz– málusz rendszer teljes vizsgálatánál. A teljesség igénye nélkül felsorolunk néhányat: kilépések és belépések hatása, a kárszám és a kár eloszlásának meghatározása a különbözı bónuszosztályokban, a máluszosok „eltőnése”. Befejezésül álljon itt néhány feladat.

4.6.2. Feladat: Határozzuk meg a 4.2.1. példához tartozó stacionárius eloszlást! 4.6.3. Feladat: Tekintsük megint a 4.2.1. példát! Tételezzük fel, hogy egy kár 30 ezer várható értékő exponenciális eloszlású. Egy biztosított 0,15 valószínőséggel szünteti meg biztosítását minden biztosítási évfordulón. Határozzuk meg azt az alapdíjat, melynél a várható bevételek és kiadások megegyeznek!

4.6.4. Feladat: Határozzuk meg Hongkong és Kenya bónuszrendszereinek jellemzıit! A kapott eredményeket hasonlítsuk össze a táblázatokban szereplı értékekkel! Hongkong esetében a rendszer a következı: Osztály Osztály

Díj

0

1

>1

kár esetén 6

100

5

6

6

5

80

4

6

6

4

70

3

6

6

3

60

2

6

6

2

50

1

4

6

1

40

1

3

6

A kezdı osztály a 6-os, hasonlóan Kenyához, ahol a kezdık szintén a legrosszabb osztályba kerülnek, de a rendszer még egyszerőbb. Osztály Osztály

Díj

0

>1

kár esetén 7

106

100

6

7

6

90

5

7

5

80

4

7

4

70

3

7

3

60

2

7

2

50

1

7

1

40

1

7

107

5. FEJEZET

TARTALÉKOLÁS Korábban már többször említettük, hogy a biztosításokhoz több – gyakran egymástól jelentısen eltérı – idıtartam tartozik. Ezek az eltérések teszik szükségessé tartalékok képzését. A tartalékok képzési módszereirıl fog szólni a jelen fejezet.

5.1. A BIZTOSÍTÓK ÉVES BESZÁMOLÓJA A biztosító pénzügyi rendszerének szempontjából a legfontosabb a két egymást követı mérlegzárás közötti idıszak. Mivel Magyarországon a jogszabályok általában december 31-i mérlegzárási idıpontot követelnek meg, ezért a alapidıszaknak a naptári évet tekintjük. Egyre több biztosító már negyedéves mérleget is készít, de mi a továbbiakban csak éves idıszakokról fogunk beszélni, hiszen az itt kapott eredmények értelemszerően átvihetık más tartamokra is. Feltétlenül szólni kell arról, hogy mi is az a mérleg. Itt, a jelen jegyzet jellegébıl adódóan, természetesen nem pontos számviteli meghatározások szerepelnek, hanem az aktuárius tanulmányokhoz szükséges fogalmak. Amikor egy év eltelik, akkor minden gazdálkodó szervezetnek számba kell vennie az év történéseit, meg kell határoznia mennyi pénze maradt, és milyen kötelezettségei vannak. Ez a számbavétel történik meg az éves beszámoló elkészítésekor. Az éves beszámoló két fı része az eredménykimutatás és a mérleg. A 2000-ben érvényes biztosítói eredménykimutatás és mérleg táblázatai a 7. sz. függelékben találhatók meg. Az eredménykimutatás mutatja be az év történéseit, olyanokat mint a díjbevétel, kárkifizetés stb. Az eredménykimutatás talán legfontosabb sora a mérleg szerinti eredmény, ugyanis ez az öszszes addigi sor összegzése, ami megmutatja, hogy a biztosító milyen eredménnyel zárta az évet. A mérleg a december 31-i állapotot mutatja be, az összes eszközt és az összes kötelezettséget. A biztosító aktuáriusainak legfontosabb feladata, hogy a mérlegben szereplı sorok közül meghatározza a biztosítástechnikai tartalékokat. Mint korábban is említettük, a tartalékokat azért kell megképezni, mert a december 31-éig megkötött szerzıdésekre december 31-e után is történnek kifizetések. A biztosítástechnikai tartalékokra összességében (a káringadozá108

si és nagy károk tartalékának kizárásával) az életbiztosítási díjtartalékoknál is alkalmazott formulához hasonló írható fel: biztosítástechnikai tartalékok = várható szolgáltatások - várható díjbevételek(5.1.1) Itt a szolgáltatások és a díjbevételek is a biztosító december 31-éig élt szerzıdéseire vonatkoznak, tehát az olyanokra is, amelyek korábban már megszőntek. A várható díjbevételeket addig a legkorábbi idıpontig kell számolni, amikor a szerzıdés megszőnik vagy felmondható, vagy díjmódosítás lehetséges. A szolgáltatásokat is az eddig az idıpontig keletkezı kötelezettségekre kell számolni. Történetileg úgy alakult, hogy a biztosítástechnikai tartalékot több részre bontották a szolgáltatások típusa szerint. Ezeket a résztartalékokat gyakran egymástól teljesen függetlenül határozzák meg. A továbbiakban látni fogjuk, hogy a tartalékképzési módszerek különbözıek lehetnek, és ezek a módszerek gyakran igen eltérı nagyságú tartalékokat eredményeznek. Mivel a tartalékképzés erısen befolyásolja a biztosítók fizetıképességét, továbbá a befizetendı adók nagyságát (minél nagyobb a tartalék, annál kisebb az eredmény), ezért szinte minden országban államilag szabályozzák a tartalékképzési módszereket. Magyarországon a jegyzet írásának idıpontjában (2000-ben) az általános elveket a biztosítási törvény, a speciális szabályokat pedig a 12/1996 PM rendelet (a továbbiakban: tartalékrendelet) határozza meg. A tartalékképzés döntıen befolyásolja a biztosító eredményességét. Magyarországon 1999ben a nem-életbiztosítási kárkifizetés 109 milliárd forint, a nem-életbiztosítási tartalék nagysága 123 milliárd forint volt. Több esetben a tartalék sikeres befektetése biztosította a biztosítók nyereséges mőködését. Érdekes optimalizálási feladat lehet a tartalékok (a tulajdonos nyereségességének szempontjából) optimális szintjének meghatározása. A szabályozás szerint a tartalékokat ágazati bontásban kell megképezni. Ez nem jelenti azt, hogy a tartalékokat egyes esetekben ne lehessen vagy ne kelljen módozatra vagy akár szerzıdésre megképezni, de ágazati szinten minden tartalékot ismerni kell.

5.2. MEG NEM SZOLGÁLT DÍJAK TARTALÉKA E tartalékforma korábbi elnevezése díjátviteli tartalék volt. Képzésének indoka az, hogy a szerzıdı által befizetett díj gyakran nemcsak a mérlegzárási idıpontig fedezi a kockázatot, hanem további idıszakra is szól.

109

5.2.1. Példa: Kovács Lajos 10 ezer forintért vásárol egy egyéves tartamú baleseti halál esetére szóló biztosítást november 10-én, és szerzıdéskötéskor kifizeti a teljes biztosítási díjat. December 31-éig nem következett be a haláleset. Nyilvánvaló, hogy a biztosítónak a 10 ezer forint egy részét félre kell raknia. A kérdés az, hogy mennyit. Általában a különbözı országok jogszabályai nagyon egyszerő képzési módszert javasolnak. A magyar rendelet például a következıket írja: " A meg nem szolgált díjak tartalékát a tárgyév mérleg fordulónapjával ... szerzıdésenként egyedileg kell megállapítani és megképezni a következıképpen: a) – a közvetlen biztosításnál a díjelıírás összegét idıarányosan, illetve a módozattervben foglaltak szerint kell megosztani a tárgyév és az azt követı idıszakok között;”

Tehát a tartalékot egyszerő arányosítással kell képezni.

5.2.2. Példa: A Narancs Biztosító CASCO biztosításokat terjeszt. Korábbi tapasztalatok alapján a biztosító aktuáriusa azt feltételezi, hogy a Tia típusú gépjármővek éves kárszáma 0,1 paraméterő Poisson-eloszlású, káreloszlása 210 várható értékő (ezer forintban) exponenciális eloszlású lesz a 2000–2002-es években. Az éves kockázati díjat nettó várható érték elv segítségével határozzák meg. A kezdeti költség az éves bruttó díj 10%-a, a folyamatos költség a bruttó díj 15%-a. Próbáljuk meghatározni egy 2000. november 1-jétıl 2001. október 30-ig hatályos szerzıdés meg nem szolgált díjak tartalékát! A kockázati díj 210 000 × 0,1 = 21 000 forint. A bruttó díj 210 00/0,75=28 000 forint. Ebbıl 2800 forint a kezdeti költség. 2001. január 1-tıl október 30-ig a szerzıdés 10/12-e marad hátra. Így a szükséges tartalék (28 000 - 2 800) ×

10 = 21 000 forint. 12

Mi változna, ha 0,2 paraméterő várható érték elv segítségével határozná meg a biztosító a kockázati díjat? Ekkor a kockázati díj 210 000 × 0,1 × 1,2 = 25 200 , a bruttó 25 200/0,75 = 33 600 forint lesz. A meg nem szolgált díjak tartaléka (33 600 - 3 360) ×

10 = 25 200 -ra változik. 12

Ebbıl 4 200 forint jut a költségekre és 21 000 forint a kockázatra. A várható kárkifizetés 17 500 forint. Tehát amennyiben nem nettó várható érték elvvel határozzák meg a kockázati díjat, akkor a meg nem szolgált díjak tartalékának képzésekor sérülhet az (5.1.1) formula. Egy további, hatásában általában nem túl jelentıs probléma a következı. Jogos-e az a követelmény, hogy csak az élı szerzıdésekre szabad és kell megképezni ezt a tartalékot? A kérdés fel sem merül az esetek döntı részében, hiszen általában a szerzıdések nem szőnnek meg egy biztosítási esemény bekövetkeztekor, legalább addig érvényesek, amíg a szerzıdés díja ki van fizetve. A probléma legfeljebb a kockázati életbiztosításoknál és baleseti halál ese110

tére szóló biztosításoknál jelentkezhet. A következı – hangsúlyozottan egyszerősített – példával megpróbáljuk alátámasztani azt, hogy valóban célszerőbb csak élı szerzıdésekre képezni a meg nem szolgált díjak tartalékát.

5.2.3. Példa: Az UMBULDA Biztosítónál 10 ezer ember vásárolt egyéves tartamú baleseti halál esetére szóló biztosításokat 1999. július 1-jén. A biztosítási összegek egységesen 1 M Ftosak voltak. A biztosító aktuáriusa 0,7‰-es éves baleseti halál valószínőséggel és nettó várható érték elv alkalmazásával határozta meg a kockázati díjat, ami így 700 Ft volt. A kezdeti költségek 200, a folyamatosak 100 Ft-ot tettek ki. Az 1000 Ft-os biztosítási díjakat a szerzıdık a biztosítás kezdetekor fizették ki. Mennyi meg nem szolgált díjak tartalékát kell képeznie a biztosítónak ezekre a szerzıdésekre 1999. december 31-én, ha eddig az idıpontig háran haltak meg baleset miatt? Kezdeti költségekre 200 Ft ment el, így a 800 Ft arányos részét kell venni, ami esetünkben 400 Ft. A 9997 élı szerzıdésre a meg nem szolgált díjak tartaléka: 9997·400 = 3 998 800 Ft. Amennyiben a nem élı szerzıdéseket is figyelembe vettük volna, a tartalék 1 200 Ft-otal több lenne, ami a tartalék mindössze 0,03%-a. Látszik, hogy a különbség ebben az esetben jelentéktelen, de azért próbáljuk megnézni, hogy melyik eljárás a 'helyesebb'. Jelöljük p2-vel annak valószínőségét, hogy egy biztosított fél éven belül meghal balesetben. Nem túl erıs feltevés a következı: (1 − p2 ) 2 = 1 − 0,0007 . Ebbıl

p2=0,000350061

és

így

a

biztosító

várható

kárkifizetése

és

költsége

9997·(50+1000000·0,000350061) = 3 999 410 forint. A meg nem szolgált díjak tartaléka 610 forinttal kevesebb ennél, miközben, ha az elhunytakat is figyelembe vettük volna, akkor 590 forint többletünk lenne. Általában azonban a meg nem szolgált díjak tartaléka jobban közelít, amit a következıkben mutatunk be. Jelöljük továbbra is p2-vel annak valószínőségét, hogy egy biztosított fél éven belül meghal balesetben, M-mel a biztosítottak számát, a-val a kezdeti, b-vel a folyamatos költségeket, dvel a bruttó díjat és N-nel az elsı félévben balesetben elhunytak számát. T1 a meg nem szolgált díjak tartaléka, T2 a biztosító várható kárkifizetése és költsége a második félévben, T3 a meg nem szolgált díjak tartaléka, ha a megszőnt szerzıdéseket is figyelembe vesszük. Ekkor:

111

d = 1 − (1 − p 2 ) 2 + a + b , d −a , 2 T2 = (M − N )( p 2 + b / 2 ) , T1 = (M − N )

T3 = M

d −a . 2

Ebbıl megkaphatjuk az eltérések várható értékét: p 22 , 2 p2 b E(T3 − T2 ) = M 2 + Mp 2 . 2 2

E(T2 − T1 ) = M (1 − p 2 )

Tehát a második esetben az eltérés várható értéke nagyobb.

5.3. MATEMATIKAI TARTALÉK Ez a tartalék négy részbıl áll: élet- és betegségbiztosítási díjtartalék, valamint a felelısség- és balesetbiztosítási járadéktartalék. A jegyzet nem tárgyalja az élet- és hosszútávú betegségbiztosításokat, ezért az elsı két tartalékfajtával nem foglalkozunk. Felelısségbiztosítási járadéktartalékot olyan esetben kell képezni, amikor felelısségbiztosítás alapján a biztosító járadékot köteles szolgáltani. Ekkor a tartalékot járadékosonként általában a következı egyszerő formulával határozzák meg (éves járadék esetében): n −1

l x+k 1 ( S k (1 + d ) + b) . k k = 0 l x (1 + i )

∑

(5.3.1)

A jelölések a következık: x: a járadékos kora, lx: a megfelelı halandósági táblából vett adat, n: a járadékfolyósításból hátralévı évek száma, Sk: az éves járadék nagysága a tartalékolás utáni (k+1)-edik évben, i: technikai kamat, d, b: költségtényezık, általában az egyik 0. A formula nagyon egyszerő, a nehézséget a paraméterek meghatározása okozza. Tekintsük a legfontosabbakat! A halandóság megválasztásánál fontos megkülönböztetni a saját jogú járadékost a hozzátartozói járadékostól. Általában a saját jogú járadékosok rokkantak, ezért életkilátásaik gyakran 112

rosszabbak az átlagosnál. Amennyiben a biztosítónál lehetıség van a járadék helyett egyöszszegő megváltást igényelni, akkor a járadékot választók a jobb életkilátásúak. A felelısségbiztosítási járadékoknál gyakran csak a kezdeti járadékot lehet ismerni. Egyes esetekben semmiféle jövendı járadékemelésrıl nincs szó, máskor fix vagy inflációkövetı emelésben egyeznek meg (elıfordulhat, hogy bíróság dönt a kérdésben). Még megegyezés esetén is történhet járadékváltoztatás, például mert drágább gyógykezelésre van szükség. Adóés járulékváltoztatások is okozhatnak járadékváltozást. A biztosítónak a tartalékon elért hozamait is nehéz elıre jelezni. Így az S k -k és az i technikai kamat meghatározása nehéz feladat, és gyakran egyszerre történik. Nézzünk végig néhány esetet a következı példa kapcsán!

5.3.1. Példa: Pál Mária férjét 1994-ben halálosan megsebesítette egy irodaházról leesı vakolatdarab. Az irodaház tulajdonosa a Magyarország Biztosítónál rendelkezett felelısségbiztosítással. A bíróság az 1944-ban született háztartásbeli Pál Máriának férje fizetésének felét, évi egy millió forintot ítélt meg. Az esetleges jövıbeli járadékemelésrıl a bíróság nem határozott. A biztosító által felajánlott 6 milliós egyösszegő megváltást az özvegy nem fogadta el. Az elsı járadékot 1995. január 2-án köteles folyósítani a biztosító. Az aktuárius úgy gondolja, hogy a jövıben lesznek emelések, és ezeket a biztosító hozamából kell fedezni, ezért 0 százalékos technikai hozammal és állandó S k -val számol. Mivel az özvegy nem fogadta el az egyösszegő megváltást, ezért az 1990-es nıi halandósági táblával számol, de az elsı két évre a halandósági valószínőségeket a harmadára csökkenti. A biztosító költségeit a járadék 3%-ban határozza meg. A tartalékolás legfontosabb adatait (millió forintban) a következı táblázat tartalmazza. Tartalék

Járadék

Hozam (%-ban) Lebonyolítási eredmény

1994

23,195

1995

22,265

1

21

4,55

1996

21,339

1

16

3,29

1997

35,079

1

14

-11,93

1998

33,906

1,7

13

4,49

1999

32,759

1,7

11

3,65

Látszik, hogy a lebonyolítási eredmény 1997-ig erısen pozitív volt, 1997-ben azonban jelentıs veszteség mutatkozott, mivel Pál Mária ügyvédje 1997. szeptemberében 800 ezer forintos 113

járadékemelési ígényt nyújtott be. A biztosítóval végül 1997. novemberében 700 ezer forintos emelésben egyeztek meg, amit 1998-tól folyósítottak. 1998 és 1999-ben az eredmény újfent pozitív volt. Hogyan lehetne elkerülni ezeket az ingadozásokat? Amennyiben a biztosító sok járadékossal rendelkezik, akkor az eredmények kiegyenlíthetik egymást, de gondolni kell arra a veszélyes esetre is, amikor nagyon sok járadékos esetében következik be emelés. Megfelelı tapasztalatok esetében érdemes megbecsülni a hozamok és emelések egymáshoz viszonyított arányát, figyelembe venni azt is, hogy mikor történt az utolsó járadékemelés, és azóta mennyi az inflációs elmaradás. Ennek a tartaléknak a jelentısége várhatóan egyre jobban nıni fog, hiszen már elıfordulnak félmillió forintos havi járadékok, és akár egy ilyen járadék megjelenése is hatással lehet az egész biztosító eredményére. Amikor a felelısségbiztosítások kártapasztalatát vizsgálják, akkor járadékos kár esetében kárnak a kezdeti járadéktartalékot tekintik. Ez lesz az alapja az új díjak kalkulációjának. Ha azonban a módozat eredményességét vizsgálják, akkor – mint már korábban említettük – figyelembe veszik a járadéktartalék hozamát és a járadékkifizetéseket is. Balesetbiztosítási járadéktartalékot olyan esetben kell képezni, amikor balesetbiztosítás alapján a biztosító járadékot köteles szolgáltani. Ezt leggyakrabban a balesetben megrokkant személy kapja, de lehet a baleseti halál kedvezményezettje is. A járadéktartalék formulája itt is általában (5.3.1). A meghatározás annyiban könnyebb ebben az esetben, hogy a járadék összege szinte minden esetben állandó. Fontos megjegyezni, hogy szemben az életbiztosítási díjtartalékkal, e két járadéktartaléknál Magyarországon a biztosítók nem kötelesek megosztozni a tartalékon elért hozammal sem a biztosítottakkal, sem a járadékosokkal, sem a szerzıdıkkel.

5.4. FÜGGİKÁROK TARTALÉKA Ez a tartalék nagysága miatt messze a legjelentısebb az összes nem-életbiztosítási tartalék közül. Ezt szemlélteti az 5.4.1. ábra is, ahol az 1999. évi magyarországi összesített adatokat mutatjuk be.

114

100 000 000 90 000 000 80 000 000 70 000 000 60 000 000 50 000 000 40 000 000 30 000 000 20 000 000 10 000 000 0

5.4.1. Ábra: Nem-élet ági tartalékok Magyarországon 1999-ben (ezer forintban)

A függıkártartalékot azokra a már megtörtént károkra képezik meg, melyekre a kárkifizetés nem, vagy csak részben történt meg. Mi okozza a káresemény és a szolgáltatás (kárkifizetés) idıpontjai közti, esetenként több éves idıeltolódást? Ennek alapvetıen két oka van: a) Késedelem a kárrendezésben. b) Késedelem a kárbejelentésben. A késedelem nagysága nagyon nagy mértékben függ a biztosítási módozat jellegétıl. Például a baleset, és CASCO biztosítási eseményeket általában gyorsan bejelentik. Míg a CASCOkárokat nem sokkal a bejelentés után kifizetik (a néhány hónapnál hosszabb várakozás aránylag ritka), addig a balesetbıl eredı rokkantság megállapítása több éves folyamat is lehet. Felelısségbiztosításoknál gyakori a több éves kárbejelentési késés. Például egy építészfelelısségbiztosításnál a ház megtervezése után 20 évvel is összedılhet hibás tervezés miatt. Lehet, hogy az építész azóta már nyugdíjba ment, nincs is biztosítása, de a biztosítónak a tervezés ideje alatt érvényes szerzıdés alapján kell fizetnie. A tartalékolást nehezíti a különbözı évek különbözı árszintje is. Erısen ingadozó infláció mellett nehéz kiértékelni a korábbi évek statisztikai adatait, még nehezebb elırejelezni a késıbbi kárkifizetéseket. Figyelembe kell venni a tartalékokon elérhetı hozamokat is. 115

A függıkártartalékok képzésénél két megközelítés élesen elkülönül egymástól. Az egyik szerint a már ismert károkra egyedileg, kárszakértık segítségével kell meghatározni a tartalékot. Ezt a tartalékot tételes függıkártartaléknak nevezik. A már bekövetkezett, de még be nem jelentett károkat késıi vagy IBNR (incurred but not reported) károknak, a rájuk képzett tartalékot IBNR tartaléknak nevezik. A másik megközelítés statisztikai módszereket alkalmaz. Több országban az elemzések azt mutatták, hogy a statisztikai módszerekkel történı meghatározás pontosabb. Gyakran érdemes a károkat több csoportra bontani, például a kiugróan nagy vagy a járadékos károkat külön kezelni. Mielıtt rátérnénk a nevezetes tartalékképzési módszerek tárgyalására, nézzük meg, hogy a függıkárok tartalékolásához milyen adatokat használnak fel és azokat milyen formába rendezik. Megjegyezzük, hogy a költségtartalékokkal nem foglalkozunk, mivel a jelenlegi gyakorlat szerint a költségekre a tartalék egy meghatározott százalékát kell tartalékolni.

Kifutási háromszögek Egy-egy módozat vagy ágazat korábbi éveinek kárstatisztikáját leggyakrabban egy összesített kártáblázatban, az ún. kifutási háromszögben szokták összefoglalni, ami nem más, mint a kárkifizetések összegei a kár keletkezése és kifizetése évének megfelelı bontásban:

Kár keletkezésének éve

1

Kár kifizetésének éve a kár évéhez képest 2 ... t-1

t

1

X1,1

X1, 2

...

X 1,t −1

X 1,t

2

X 2,1

X 2, 2

...

X 2,t −1

...

...

...

...

...

...

...

t

X t ,1

Ahol X i , j jelöli az i-edik év káraira az (i+j-1)-edik évben kifizetett összeget. A tartalékolási feladat nem más, mint a táblázat hiányzó elemeinek (az alsó háromszögnek) megbecslése. Ez a táblázat akkor ad teljes képet a károk kifutásáról, ha tudjuk, hogy a kár bekövetkezte után t

116

év elteltével már nincsenek kárkifizetések. Ha ez nem így van, akkor X 1,t + -szal jelöljük az elsı év becsült kárkifizetéseit a t-edik év után, és ezt is szerepeltetjük a táblázatban. Gyakran a kifutási háromszögben más adatokat szerepeltetnek. Az alábbiakban felsorolunk néhány lehetıséget. A táblázat (i,j)-edik eleme lehet: Az i-edik év káraira az (i+j-1)-edik év végéig összesen kifizetett összeg (kumulált kárkifutási háromszög). Az i-edik év káraira az (i+j-1)-edik év végéig összesen kifizetett összeg és az (i+j-1)edik év végi tételes függıkártartalék (bejelentett károk kumulált kárkifutási háromszöge). Az i-edik év kárai közül az (i+j-1)-edik évben bejelentettek száma. Az i-edik év kárai közül az (i+j-1)-edik év végéig bejelentettek száma. Az i-edik év kárai közül az (i+j-1)-edik év végéig lezárt károkra összesen kifizetett összeg. A gyakorlatban elfogadott függıkár-tartalékolási módszerek általában a fenti kifutási háromszögek egyikét használják alapadatnak.

Kifizetett károk elırevetítése Az e pontban felsorolt módszereknél mindig csak a ténylegesen kifizetett pénzeket vesszük figyelembe, az alapadat a kumulált kárkifizetések kifutási háromszöge:

Kár keletke-

Kár kifizetésének éve a kár évéhez képest

zésének éve

1

2

...

t-1

t

1

X 1,1

X 1, 2

...

X 1,t −1

X 1,t

2

X 2,1

X 2, 2

...

X 2,t −1

...

...

...

...

...

...

...

t

X t ,1

Az i-edik év káraira olyan tartalékot kellene beállítani, amely minél közelebb lenne

(X

i, t +

)

− X i, t +1−i -hez. Tehát meg kell becsülni egy adott évben bekövetkezett károkra az ösz-

117

szes

kifizetést.

Négyzetes

(

hiba

esetén

a

legjobb

becslés

persze

)

Xɵ i , t + = E X i , t + X u, v , u + v ≤ t + 1 , tehát a tartalék az i-edik év káraira Vi = Xɵ i, t + − X i, t +1−i . A baj csak az, hogy általában nemcsak a kifutási háromszögben szereplı változók együttes eloszlását nem ismerjük, hanem kovarianciájukat sem. Ezért a gyakorlatban gyakran egyszerősítenek. Például a következıkben ismertetett módszerek alapgondolata nagyon egyszerő. Feltételezik azt, hogy a bekövetkezés utáni j-edik év végéig az összes kár hányad részét fizetik ki, nem függ erısen a kárbekövetkezés évétıl.

Jéghegy módszer A módszer, amit növekedésinek (Grossing Up Method) is neveznek, arról kapta nevét, hogy a jéghegy teljes tömegét meg lehet becsülni a látható része alapján. Mielıtt rátérnénk az eljárás pontos ismertetésére, nézzünk meg egy példát!

5.4.1. Példa: Az egyik biztosító CASCO módozatainak nem kumulált káradatokat (millió Ftban) tartalmazó kifutási háromszöge a következı: Kár keletkezésének éve

1

Kár kifizetésének éve a kár évéhez képest 2 3 4

1995

223

311

252

127

1996

254

378

249

153

1997

312

411

276

1998

359

435

1999

384

5 29

Becsüljük meg e módozatok függıkártartalékát! Elıször is határozzuk meg a kumulált kifutási háromszöget!

118

Kár keletkezésének éve

1

Kár kifizetésének éve a kár évéhez képest 2 3 4

1995

223

534

786

913

1996

254

632

881

1034

1997

312

723

999

1998

359

794

1999

384

5 942

Rögtön felmerül, hogy lehetséges-e kárkifizetés a kár bekövetkezte után 5 évvel? Erre csak a korábbi évek káradatait felhasználva tudunk válaszolni. Kár keletkezésének éve

Kifizetés az 5. év végéig

Összes kifizetés

Arány %

1990

780

830

93,98

1991

810

890

91,01

1992

800

860

93,02

2390

2580

92,64

Összesen

Ebbıl az 1995. évi károkra történı összes kifizetést 942/0,9264=1017-el becsüljük. Ez lesz az alapja a különbözı évekre jutó kárkifizetési becslésnek is: Kár keletkezé-

Kár kifizetésének éve a kár évéhez képest

sének éve

1

2

3

4

5

Összesen

1995

223

534

786

913

942

1017

21,9

52,5

77,3

89,8

92,6

100,0

Arány %-ban

Feltételezzük, hogy a többi évben bekövetkezett károkra is igazak ezek az arányok: Kár keletkezé-

Kár kifizetésének éve a kár évéhez képest

sének éve

1

2

3

4

5

Összesen

1995

223

534

786

913

942

1017

1996

254

632

881

1034

1997

312

723

999

1998

359

794

1999

384

1152 1292 1512 1751

Ebbıl már megállapíthatjuk a tartalékokat a különbözı évekre és összesen is: Kár keletkezésének éve

Tartalék

1995

75

1996

118

1997

293

1998

718

1999

1367

119

Összesen

2571

Most térjünk vissza az általános esetre! Az i-edik évben bekövetkezett károkra történı összes kárkifizetést Xi,t+-szal jelöljük. Feltételezzük, hogy az (Xi,j /Xi,t+) hányadosok nem függnek erısen i-tıl (a kárbekövetkezés évétıl). Korábbi évek tapasztalata alapján becslést adunk (X1,t /X1,t+)-re, ezt dt-vel jelöljük. Ebbıl megbecsüljük az elsı évben bekövetkezett károkra történı összes kárkifizetést: Xɵ 1,t + = X 1,t / d t .

(5.4.1)

Amennyiben egyáltalán nincs adatunk a korábbi évekrıl, akkor Xɵ 1,t + -t vagy más biztosítások tapasztalata alapján, vagy a tételes függıkárok segítségével becsüljük. Ezután a következı hányadosokat számoljuk ki:

d t −1 =

X1,t −1 X X , d t −2 = 1,t −2 , ... , d1 = 1,1 . Xɵ 1,t + Xɵ 1,t + Xɵ 1,t +

(5.4.2)

Ezen együtthatók segítségével becsüljük meg a többi évben bekövetkezett károkra jutó összes kárkifizetést: Xɵ 2,t + = X 2,t −1 / d t −1 , Xɵ 3,t + = X 3,t −2 / d t −2 , ... , Xɵ t ,t + = X t ,1 / d1 .

(5.4.3)

Ebbıl az i-edik év káraira képzett függıkártartalék, valamint a teljes tartalék t

Vi = Xɵ i,t + − X i ,t +1−i , V = ∑ Vi .

(5.4.4)

i =1

Látszik, hogy a módszer nagyon jelentıssé teszi az elsı év szerepét, hiszen csak a dt együttható meghatározásában használjuk fel más évek adatait. A módszer lényegét nem érintve változtathatunk rajta úgy, hogy az elsı év szerepe csökkenjen.

1. módosítás: A dt együttható meghatározásakor már felhasználtuk az elsı év elıtti évek adatait. Elıfordulhat, hogy ezekre az évekre rendelkezésre állnak a kárkifizetések évenkénti bontásban is, tehát meghatározhatjuk az arra az évre jellemzı d-ket. Jelöljük az (5.4.2) formulával az elsı évre kapott di-ket di(1)-gyel, a többi évre kapottakat di(-1), di(-2), ... , di(-k)-val. Ekkor az (5.4.1) és (5.4.3) képletekben szereplı di-ket az együtthatók átlagára cseréljük: di =

d i (1) + d i ( −1)+...+ d i ( − k ) . k +1

5.4.1. Példa (folytatás): Az 1990–92-es évekre is megvannak a káradatok.

120

(5.4.5)

Kár keletkezé-

Kár kifizetésének éve a kár évéhez képest

sének éve

1

2

3

4

5

Összesen

1990

170

422

660

750

780

830

20,5

50,8

79,5

90,4

94,0

100,0

140

435

680

782

810

890

15,7

48,9

76,4

87,9

91,0

100,0

132

428

670

780

800

860

15,3

49,8

77,9

90,7

93,0

100,0

223

534

786

913

942

1017

Arány %-ban

21,9

52,5

77,3

89,8

92,6

100,0

Átlag %-ban

18,4

50,5

77,8

89,7

92,7

100,0

Arány %-ban 1991 Arány %-ban 1992 Arány %-ban 1995

Az utolsó sor adatait beírva az (5.4.3) formulába kapjuk: Kár keletkezésének éve

Becsült összkár

Tartalék

1995

1017

75

1996

1153

119

1997

1284

285

1998

1572

778

1999

2090

1706

Összesen

2964

Látszik, hogy jóval nagyobb tartalékot kaptunk, alapvetıen az 1999. évi károkra képzett nagyobb tartalék miatt. Gyakran mondják, hogy az aktuáriusnak mindig a legrosszabbra kell felkészülni. A következı változat is egy ilyen hozzáálláson alapszik.

2. módosítás: Abban tér el az elızıtıl, hogy az (5.4.5) formulát a legrosszabb esetre készülve változtatjuk meg: d i = min( d i (1), d i ( −1), ... , d i ( − k )) .

5.4.1. Példa (folytatás): A 2. módosítás szerint együtthatóink a következık: Min. %-ban

15,3

48,9

76,4

87,9

91,0

100,0

Most ezt írjuk be az (5.4.3) formulába: 121

Kár keletkezésének éve

Becsült összkár

Tartalék

1995

1035

93

1996

1177

143

1997

1308

309

1998

1625

831

1999

2502

2118

Összesen

3493

A szükséges tartalék ebben az esetben még nagyobb lett. Az elızı változatokban nagyon fontos szerepet játszottak a korábbi, a kifutási háromszög elıtti évek. A következı módosításokban már jóval nagyobb a kifutási háromszögben szereplı adatok jelentısége.

3. módosítás: A kezdeti lépés ugyanaz, mint az eredeti és az elsı módosítású változatnál, megbecsüljük Xɵ 1,t + -et és ebbıl di(1)-eket. Ezután adunk becslést a 2. év összkárkifizetésére: Xɵ 2,t + = X 2,t −1 / d t −1 (1) , ami megegyezik az eredeti becsléssel. Így már felírhatjuk a 2. évhez tartozó együtthatókat:

d t −2 (2) =

X 2 ,t − 2 X , ..., d1 (2) = 2,1 . Xˆ 2,t + Xˆ 2,t +

Ekkor d t − 2 -nek a két együttható átlagát választjuk, és ennek segítségével írjuk fel a 3. évi kárkifizetésekre a becslést: d t −2 =

d t − 2 (1) + d t − 2 ( 2 ) ɵ , X 3,t + = X 3,t −2 / d t − 2 . 2

(5.4.6)

Ezután d t −3 -at már mint 3 év átlagos értékét határozzuk meg, és ugyanígy folytatjuk az eljárást, amíg csak az utolsó évet el nem érjük.

5.4.1. Példa (folytatás): A 3. módosítás szerint 1995-re együtthatóink és kárkifizetéseink a következık: Kár keletkezésének éve

1

2

3

4

5

Összesen

1995

223

534

786

913

942

1017

21,9

52,5

77,3

89,8

92,6

100,0

Arány %-ban

122

Kár kifizetésének éve a kár évéhez képest

Ebbıl 1996-ra kapjuk, hogy Kár keletkezé-

Kár kifizetésének éve a kár évéhez képest

sének éve

1

2

3

4

1996

254

632

881

1034

22,1

54,9

76,5

Arány %-ban

5

Összesen 1152

89,8

100,0

Ez 1997-re adja, hogy Kár keletkezé-

Kár kifizetésének éve a kár évéhez képest

sének éve

1

2

3

1997

312

723

999

24,0

55,6

76,9

Arány %-ban

4

5

Összesen 1299 100,0

Hasonlóan 1998 és 1999-re Kár keletkezé-

Kár kifizetésének éve a kár évéhez képest

sének éve

1

2

1998

359

794

24,6

54,3

Arány %-ban 1999 Arány %-ban

3

4

5

Összesen 1461 100,0

384

1659

23,1

100,0

Mindezek alapján a tartalék Kár keletkezésének éve

Becsült összkár

Tartalék

1995

1017

75

1996

1152

118

1997

1299

300

1998

1461

667

1999

1659

1275

Összesen

2434

Eddig ez az eljárás adta a legkisebb tartalékot. A következı változatban újra a legrosszabbra készülünk fel.

123

4. módosítás: Az eljárás megegyezik a 3. módosítással, csak a 2. módosításhoz hasonlóan az együtthatók meghatározásánál átlag helyett minimumot veszünk. Például az (5.4.6) formula helyett: d t − 2 = min ( d t − 2 (1), d t − 2 ( 2 )) , Xɵ 3,t + = X 3,t − 2 / d t − 2 .

5.4.1. Példa (folytatás): A 4. módosítás szerint együtthatóink és kárkifizetéseink a következık: Kár keletkezé-

Kár kifizetésének éve a kár évéhez képest

sének éve

1

2

3

4

5

Összesen

1995

223

534

786

913

942

1017

21,9

52,5

77,3

89,8

92,6

254

632

881

22,0

54,9

76,5

312

723

999

1306

23,9

55,4

76,5

100,0

359

794

23,7

52,5

Arány %-ban 1996 Arány %-ban 1997 Arány %-ban 1998 Arány %-ban 1999

1034

1152

89,8

100,0

1512 100,0

384

Arány %-ban

100,0

1753

21,9

100,0

A táblázat a tartalékra a következıt adja: Kár keletkezésének éve

Becsült összkár

Tartalék

1995

1017

75

1996

1152

118

1997

1306

307

1998

1512

718

1999

1753

1369

Összesen

6740

2587

A 3. és 4. módosításokat arab módszernek is nevezik, mert a kifutási háromszög felhasználása jobbról balra történik.

Láncszemhányados módszer 124

A láncszemhányados (link ratio) módszer nagyon hasonlít a jéghegy módszerre, csak bizonyos értelemben a fordítottja. Itt a kifutási háromszög felhasználása balról jobbra történik. Ennek a módszernek is több változata van, amelyeket a továbbiakban összefoglalunk. Feltételezzük, hogy az c j ( i ) =

X i , j +1 X i, j

hányadosok nem függnek erısen i-tıl, körülbelül cj-vel

egyenlık. Ezért elıször ezeket a hányadosokat számoljuk ki. A ct =

X i, t + 1 ≈ együttható dt X i, t

meghatározása dt-hez hasonlóan korábbi évek tapasztalata vagy a tételes függıkártartalék segítségével történik. A többi cj-t a tényleges cj(i) hányadosok valamilyen függvényeként állítjuk elı. Az alkalmazott függvények változtatásával kapjuk a módszer különbözı módosításait. A kárkifizetések becslése és a tartalék meghatározása a következı módon történik.

Xˆ 1,t + = ct X 1,t , V1 = Xˆ 1,t + − X 1,t = (ct − 1)X 1,t ,

⋮ Xˆ i ,t + = ct ct −1 ...ci X i ,t +1−i , Vi = Xˆ i ,t + − X i ,t +1−i = (ct ct −1...ci − 1) X i ,t +1−i ,

⋮ Xˆ t ,t + = ct ct −1 ...c1 X t ,1 , Vi = Xˆ t ,t + − X t ,1 = (ct ct −1 ...c1 − 1)X t ,1 . Felsoroljuk a módszer leggyakoribb változatait.

Alapváltozat. Az együtthatók csak az elsı évtıl függnek: c j = c j (1), j = 1,..., t − 1.

1. módosítás. Az együtthatókat az átlaggal határozzuk meg:

cj =

c j (1) + c j ( 2)+...+ c j ( t − j ) t− j

, j = 1,..., t − 1 .

2. módosítás. Feltételezzük a legrosszabbat:

(

)

c j = max c j (1), c j ( 2 ), ..., c j ( t − j ) , j = 1,..., t − 1.

3. módosítás. Az együtthatókat súlyozott átlaggal határozzuk meg: cj =

α 1, j c j (1) + α 2, j c j ( 2)+...+α t − j , j c j ( t − j ) , j = 1,..., t − 1 . α 1, j + α 2, j +...+α t − j , j

Láthatjuk, hogy a 3. módosítás speciális esetként tartalmazza az elızıeket. A legkülönbözıbb súlyozásokat lehet kitalálni, ezek közül az egyik, az eredeti súlyokkal történı vezet a legszélesebb körben alkalmazott tartalékolási módszerhez, a lánc-létra módszerhez.

125

Lánc-létra módszer A lánc-létra módszer nagyon népszerő egyszerősége és a tapasztalatok szerinti megbízhatósága miatt. E láncszemhányados módszernél az együtthatók a következık: cj =

X 1, j c j (1) + X 2, j c j ( 2 )+...+ X t − j , j c j ( t − j ) X1, j + X 2, j +...+ X t − j , j

=

X1, j +1 + X 2, j +1 +...+ X t − j , j +1 X 1, j + X 2, j +...+ X t − j , j

, j = 1,..., t − 1 .

Tehát itt a kifutási háromszög oszlopaiban szereplı értékeket kell összeadnunk. Látszólag nincs szükség a dj és cj(i) együtthatók meghatározására. Mivel a lánc-létra módszert alkalmazzák a leggyakrabban, sokszor elhanyagolják ezen értékek kiszámítását, amit ajánlatos mindig elvégezni, hiszen az együtthatók táblázatából gyakran leolvasható trend, anomália stb. Most térjünk vissza numerikus példánkhoz!

5.4.1. Példa (folytatás): A cj(i) együtthatók táblázata a következı. Kár keletkezé-

Kár kifizetésének éve a kár évéhez képest

sének éve

1

2

3

4

1995

2,394619

1,471910

1,161578

1,031763

1996

2,488189

1,393987

1,173666

1997

2,317308

1,381743

1998

2,211699

1,079447

Ennek a táblázatnak a segítségével meghatározhatjuk a különbözı láncszemhányados módszerek szerinti tartalékokat. Az eredményeket az alábbi összefoglaló táblázat tartalmazza.

Jéghegy alap

1. mód.

2. mód.

Láncszem 3. mód.

4. mód.

alap

1.mód

Lánc-létra 2.mód

Kár Tart. Kár Tart. Kár Tart. Kár Tart. Kár Tart. Kár Tart. Kár Tart. Kár Tart. Kár Tart. 1995 1017 75

1017

75

1035

93

1017

75

1017

75

1017

75 1017

75 1017

75 1017

75

1996 1152 118 1153 119 1177 143 1152 118 1152 118 1152

118 1152

118 1152

118 1152

118

1997 1292 293 1284 285 1308 309 1299 300 1306 307 1292

293 1299

300 1306

307 1300

301

1998 1512 718 1572 778 1625 831 1461 667 1512 718 1512

718 1462

668 1528

734 1458

664

1999 1751 1367 2090 1706 2502 2118 1659 1275 1753 1369 1751 1367 1664 1280 1838 1454 1648 1264 Össz 6724 2571 7116 2964 7647 3493 6589 2436 6740 2587 6724 2571 6593 2440 6840 2687 6573 2420

126

A táblázatból jól látszik, hogy a különbözı módszerek más és más eredményt adtak. Valójában még sok változatot fel lehetne írni, és gyakran a körülmények ismeretében erre szükség is van. A kárgyakoriság, kárrendezési gyakorlat változásainak felderítéséhez segítséget nyújthat a dj(i) és cj(i) együtthatók táblázatainak áttekintése. A nagymértékő állományváltozások és az infláció is jelentıs torzításokat eredményeznek. Ez utóbbi esetben objektívebb képet kaphatunk, ha a nem kumulált kárkifizetéseket tartalmazó kifutási háromszög értékeit az utolsó év árszintjére infláljuk, és utána készítjük el a kumulált táblázatot. Módszereinket már erre a táblázatra alkalmazhatjuk. Az állományban más változások is elıfordulhatnak. A következı feladat az ilyenkor fellépı nehézségeket akarja szemléltetni.

5.4.1. Feladat: Brumi szigetén virágzik a gazdaság. Az utóbbi 20 évben lényegében nem volt infláció, de defláció sem. A Brumi Motor Insurance Company (BMIC) biztosító csak CASCO biztosításokkal foglalkozik. Szerzıdéseik az utóbbi 5 évben egységesek voltak minden szerzıdıre, csak az önrész nagysága változott évenként. A szerzıdésszámok és önrészek a következık voltak.

Év

Szerzıdések száma

Önrész (1000 brimiben)

1995

10 000

5

1996

11 000

10

1997

10 500

8

1998

11 000

5

1999

14 000

7

A kárszámok és kárkifizetések adatai a következı táblázatban találhatók meg.

A bejelentés éve A kár éve

1995

1996

1997

1998

1999

1995

296

153

62

0

0

137

97

46

0

180

114

51

325

168

1996 1997 1998

127

1999

284 Kárszámok

A kárkifizetés éve A kár éve

1995

1996

1997

1998

1999

1995

1333

1818

1459

522

110

825

1292

1134

425

972

1450

1233

1466

2000

1996 1997 1998 1999

1453 Kárkifizetések 1000 brimiben

Határozzuk meg a BMIC szükséges függıkártartalékát (természetesen az IBNR tartalékot is beleértve), ha tudjuk, hogy a BMIC kárrendezési gyakorlatában a kár bejelentésének éve utáni második év végére fejezik be legkésıbb a kárkifizetést!

Tételes függıkárok és kifizetett károk elırejelzése Az elızıekben a tartalékot úgy határoztuk meg, mintha a már ismert károkról semmilyen információnk nem lenne. Azonban ez általában nem így van. Már említettük, hogy az ismert károkra a biztosító kárszakértıi tételes függıkártartalékot képeznek. Ezt idıszakonként felülvizsgálják. A két felülvizsgálat között a tartalék egyenlı az elızı felülvizsgálatnál meghatározott tartalék, mínusz az azóta történt kifizetések. A tartalék meghatározásánál újra a kumulált kárkifizetések kifutási háromszögébıl indulunk ki. Ezekhez az adatokhoz hozzáadjuk a tételes függıkártartalékot, és így a bejelentett károk kumulált kárkifutási háromszögével dolgozunk:

128

Kár keletkezésének éve

1

Kár kifizetésének éve a kár évéhez képest 2 ... t-1

t

1

Z1,1

Z1, 2

...

Z1, t −1

Z1, t

2

Z 2, 1

Z 2, 2

...

Z2, t −1

...

...

...

...

...

...

...

Zt, 1

t

ahol Zi, j az i-edik év káraira az (i+j-1)-edik év végéig összesen kifizetett összeg és az (i+j-1)edik év végi tételes függıkártartalék, tehát Zi, j = X i , j + Yi, j ( Yi, j az (i+j-1)-edik év végi tételes függıkártartalék). A jéghegy és a láncszemhányados módszereket újra végigszámolhatjuk, de alapadatnak ezt a kifutási háromszöget tekintjük. Z1,t+-nak vagy X1,t+Y1,t-t, vagy X1,t/dt-t veszszük a számításokban. Egy másik megközelítésnél azt határozzuk meg, hogy a tételes függıkártartalék hány százaléka a szükségesnek. Ekkor elıször az elsı sorhoz tartozó együtthatókat számoljuk ki: f j (1) =

Y1, j X 1, t + − X 1, j

.

Ennek segítségével megbecsüljük a második év kárkifizetéseit: Xɵ 2, t + = X 2, t −1 + Y2, t −1 / f t −1 (1), Vi = Y2, t −1 / f t −1 (1) . Ennek az értéknek a segítségével történik a második sorhoz tartozó együtthatók meghatározása:

f j ( 2) =

Y2, j Xɵ 2, t + − X 2, j

, j = 1,..., t − 2 .

A harmadik év kárkifizetési becslésénél több lehetıségünk is van:

Xɵ 3, t + = X 3, t −2 + Y3, t −2 / f t −2 (1), Vi = Y3, t −2 / f t −2 (1) , Xɵ 3, t + = X 3, t −2 + Y3, t −2 / (( f t −2 (1) + f t −2 ( 2)) / 2) , Vi = Y3, t −2 / (( f t −2 (1) + f t −2 ( 2)) / 2) , Xɵ 3, t + = X 3, t −2 + Y3, t −2 / min( f t −2 (1), f t −2 ( 2)), Vi = Y3, t −2 / min( f t −2 (1), f t −2 ( 2 )). A további sorokat az ebben a sorban választott módszerrel töltjük ki.

5.4.2. Feladat: Az 5.4.1. példában ismertek a tételes függıkártartalékok is: Kár keletkezésének éve

Kár kifizetésének éve a kár évéhez képest 2 3 4

1

1995

700

480

250

100

1996

742

482

250

100

1997

900

513

280

1998

1150

620

1999

1200

5 80

129

Becsüljük meg különbözı módszerekkel a teljes kárkifizetést és a szükséges tartalékokat! Hasonlítsuk össze a kapott eredményeket a korábbiakkal!

Kárhányadon alapuló elırejelzések Az elızıekben csak a károkkal kapcsolatos adatokat használtuk fel. Az állományt azonban más adatok is jellemzik, például a díjak. Különösen új módozat esetén minden adatra szükségünk lehet.

Naív kárhányad módszer Feltételezzük, hogy a biztosítási díjak megállapítása helyes volt. Az i-edik év díjának várhatóan (1-ρi)-ad részét fizetik ki károkra. Ekkor a tartalék: t

Vi = Pi (1 − ρ i ) − X i , t +1−i , V = ∑ Vi , i =1

ahol Pi az i-edik év megszolgált díja. Az elnevezésben szereplı naív kifejezés a módszer túlzott egyszerőségére utal, hiszen a kártapasztalatból semmit nem vesz figyelembe. Alkalmazását leginkább új biztosítók számára lehet ajánlani.

Bornhuetter–Ferguson módszer Ennél az eljárásnál felhasználják mind a díjadatokat, mind a kártapasztalatot. A láncszemhányados és a jéghegy módszereknél is azt feltételeztük, hogy a kár bekövetkezte utáni j-edik év végéig kifizetett károk összege osztva a összes kárral nem függ erısen a kár évétıl: dt =

X X X X 1 1 1 1 ≈ i ,t , d t −1 = ≈ i ,t −1 , d t −2 = ≈ i,t −2 , ... , d1 = ≈ i,1 . ct ct ct −1 ct ct −1ct −2 ct ct −1... c1 Xɵ i,t + Xɵ i ,t + Xɵ i,t + Xɵ i,t +

A tartalékok ebbıl:

130

 1 V1 = (1 − d t ) Xɵ 1,t + = 1 −  Xɵ 1,t + ,  ct   1  ɵ V2 = (1 − d 2 ) Xɵ 2,t + = 1 −  X 2,t + ,  ct ct −1    ɵ 1 V3 = (1 − d 3 ) Xɵ 3,t + = 1 −  X 3,t + ,  ct ct −1ct −2 

(5.4.6)

⋮

  ɵ 1 Vt = (1 − d t ) Xɵ t ,t + = 1 −  X t ,t + .  ct ct −1 ... c1  A Bornhuetter–Ferguson módszernél elıször jéghegy vagy láncszemhányados módszerrel meghatározzuk a d, illetve a c együtthatókat. Az összkárkifizetéseket viszont a naív kárhányad módszerrel megegyezıen a díjakból becsüljük meg: Xɵ i , t + = Pi (1 − ρ i ) . Végül az így kapott értékeket az (5.4.6) formulába behelyettesítve kapjuk meg a tartalékokat.

5.4.3. Feladat: Az 5.4.1. példa esetében ismertek a díjak:

Díj

1995

1996

1997

1998

1999

1200

1400

1600

1900

2000

A díjakat várható érték elvvel határozták meg, a díj 20%-a költség. Határozzuk meg a tartalékokat!

Szeparációs módszer A nem kumulált káradatokat tartalmazó kifutási háromszöget használjuk ennél a módszernél. Feltételezzük, hogy a t-edik év végéig az összes kárt kifizetik ( X i ,t + = 0 ), továbbá, hogy X i , j = ni r j λ i + j −1 , i, j = 1,..., t , ahol ni az i-edik év kárainak száma (beleértve a késıbbi években bejelentetteket), amit ismertnek tételezünk fel. Az éves kárszámokat megbecsülhetjük például lánc-létra módszerrel, vagy a következı alpontban ismertetett eljárással. t

Ha

∑r

j

= 1 (aritmetikus szeparációs módszer), akkor a modellre szemléletes magyarázatot

j =1

lehet adni. Ugyanis r j mutatja, hogy a kár keletkezésétıl számított j-edik évben a károk ha-

131

nyadrészét fizetik ki. A

λk

λ1 mutatja a k-adik év inflációs növekedését az elsı évhez képest.

Az r j , λ k együtthatók meghatározása a következı módon történik. Elıször osszuk végig a sorokat ni -kkel: pi , j =

X i, j

,

ni

és így a Kár keletkezésének éve

1

Kár kifizetésének éve a kár évéhez képest 2 ... t-1

t

1

r1λ1

r2 λ 2

...

rt −1λ t −1

rt λt

2

r1λ 2

r2 λ3

...

rt −1λ t

...

...

...

...

...

...

...

t

r1λ t

táblázatot kapjuk. Ezután összegezzük az átlókban álló értékeket, így elıször kapjuk, hogy t

(r1 + r2 + ... + rt )λ t = ∑ p j ,t +1− j , j =1 t p amibıl λˆ t = ∑ p j ,t +1− j , rˆt = 1,t ˆ . A következı mellékátlót összegezve: λ j =1

t

t −1

(r1 + r2 + ... + rt −1 )λ t −1 = ∑ p j ,t − j , j =1

amibıl t −1

λˆ t −1 =

∑p j =1

j ,t − j

, rˆ = (1 − rˆt ) t −1

( p1,t −1 + p 2,t −1 )

. (λˆ t + λˆ t −1 )

Az eljárást folytatva meghatározzuk az összes együtthatót. Ezután inflációs várakozásainknak megfelelıen, vagy a λˆ1 ,...,λˆt statisztikai vizsgálatával, elırejelezzük a λˆt +1 ,λˆt + 2 ,... együtthatókat. Mindezek alapján megkaptuk a következı évek kárkifizetéseinek becslését: Xˆ i , j = ni rˆj λˆ i + j −1 , i + j ≥ t + 2 ,

132

t

amibıl az i-edik év káraira képzett függıkártartalék: ni

∑ r λˆ j

i + j −1

.

j =t + 2 −i t

Hasonlóan mőködik a geometriai szeparációs módszer, amikor az r együtthatókról

∏r

j

=1 a

j =1

feltételezésünk. A különbség csak az, hogy az együtthatók meghatározásához az átlókban lévı elemek szorzatát és nem összegét kell venni.

5.4.4. Feladat: Az 5.4.1 példában az éves kárszámok 2986, 2876, 3013, 2981, 2807. Határozzuk meg az 1999. december 31-i függıkártartalékot szeparációs módszerrel!

IBNR tartalékolás Mint emlékszünk, az IBNR károk azok, amelyek bekövetkeztek, de még nem jelentették ıket (ideértjük a még csak okozott károkat is, melyek még nem "tárgyiasultak"). Az ilyen károkra képzett tartalék a függıkártartalék része. Ha a függıkártartalék-képzést az összes függıkárra egyszerre végzik el, például lánc-létra módszerrel, akkor nem kell külön képezni az IBNR károkra a tartalékot. Mondhatjuk azt is, hogy az IBNR károk tartaléka a függıkárok tartaléka, mínusz a tételes függıkártartalék. Azonban gyakran elıfordul, hogy szükség van az IBNR tartalék külön képzésére. A képzési mód sokszor a következı: IBNR tartalék = IBNR károk becsült száma × IBNR károk átlagos értéke. Vegyük észre, hogy nem az átlagkárral számolunk, mivel ettıl jelentısen eltérhet az IBNR károk átlagos értéke. Látszik, hogy legfontosabb feladatunk megbecsülni az IBNR kárszámot. Megjegyezzük, hogy erre a becslésre más esetben is szükség lehet, például a szeparációs módszer alkalmazásánál. A becslések általánosan elfogadott alapadata a késlekedési táblázat, mely azt mutatja, hogy az eddigi tapasztalatok alapján a károk milyen részét jelentették be egy-egy idıpontig:

Késlekedés ideje

1

2

...

t-1

t

Arány (kumulált)

u1

u2

...

ut −1

ut = 1

Ahol ui =(a kár után i-edik pillanatig bejelentett károk száma)/(összes kárszám).

133

Az idıegység általában hónap szokott lenni, de elıfordulhat év, negyedév és nap is. Ha a kár és bejelentése közötti idı eloszlásfüggvényét F-fel jelöljük, akkor a táblázat nem más, mint egy F eloszlásfüggvényhez tartozó minta tapasztalati eloszlásfüggvénye értékeinek felsorolása. A késlekedési táblázatot megbecsülhetjük a korábban tárgyalt módszerekkel a kifutási háromszögbe kárszámokat és nem károkat írva. Természetesen, ha ebben a kifutási háromszögben azok az adatok szerepelnek, amik alapján az IBNR kárszámot meg akarjuk becsülni, akkor az eljárás során közvetlenül megkapjuk az IBNR kárszám becslését. Ha ut = 1 , tehát a kár idıpontja után t-vel a kárt már biztosan bejelentették, akkor jelöljük mi vel a tartalékolás idıpontjában ismert, a tartalékolás elıtti i-edik idıegységben bekövetkezett károk számát. Ekkor az IBNR károk számára egy egyszerő, de gyakran alkalmazott becslés: t   1 Nˆ IBNR = ∑ mi ⋅  − 1 , (u 0 = 0) . i =1  (u i + u i −1 ) / 2 

A becslést természetesen finomítani lehet, ha a kárbejelentési késlekedés eloszlására eloszlást illesztünk, melynek paramétereit megbecsüljük.

5.4.5. Feladat: Egy lakásbiztosítási módozat kárbejelentési késlekedési táblázata a következı (hónapban):

Késlekedés ideje

1

2

3

4

Arány (kumulált)

0,59

0,83

0,96

1

Az 1994. december 31-ig bejelentett 1994. évi károk száma az alábbi volt:

Kár hónapja

I.

II.

III.

IV.

V.

VI.

VII

VIII.

IX.

X.

XI.

XII.

167

546

321

124

287

.

Bejelentett

178

243

564

259

321

177

187

károk száma

Becsüljük meg az 1994. évi károk számát! Mint említettük, az elıbb felírt tartalékolási módszerek igen elterjedtek. Persze elıfordulhat, hogy nem vagyunk megelégedve az így kapott eredményekkel. Ilyenkor érdemes a legkülönbözıbb statisztikai módszereket kipróbálni (például regresszió, credibility, autoregressziós

134

modell, Kálmán-szőrı), melyekhez ötletek találhatók [10]-ben. Mindenképpen érdemes elemezni a korábbi adatok alapján a tartalékok lebonyolítási eredményét, és a jövıben a legjobban bevált módszert alkalmazni.

5.5. EREDMÉNYTİL FÜGGETLEN DÍJVISSZATÉRÍTÉSI TARTALÉK A tartalék elnevezése egy picit megtévesztı. Ez a tartalék a biztosító eredményétıl nem függ, de a konkrét biztosítási szerzıdés eredményétıl annál inkább. Abban az esetben kell megképezni, ha a szerzıdés szerint a biztosító díjvisszatérítésre, díjcsökkentésre vagy bármilyen más szolgáltatásra kötelezett, ha a biztosítási szerzıdés kedvezı káralakulású, és a mérlegzárásig teljesült ez a kedvezı káralakulás. Az ilyen típusú szerzıdésekkel a 4. fejezetben már foglalkoztunk. Legyen annak megfelelıen a kockázat



K

J



j =0



ζ = ξ + d ∑ α k χ (η = k ) + ∑ β j χ (c j −1 < ξ ≤ c j ) ,  k =0

tehát amennyiben a biztosítási idıszak alatt k kár (k=0, 1,...,K) következik be, akkor a biztosító a díj α k részét téríti vissza a biztosítási idıszak végén, amennyiben továbbá a kárkifizetés eléri c j −1 -et, de nem haladja meg c j -t, akkor a biztosító a díj β j részét téríti vissza a biztosítási idıszak végén. A kockázatot bontsuk fel mérlegzárás elıtti és utáni részre:

ζ = ζ 1 + ζ 2 , η = η1 + η 2 , ξ = ξ1 + ξ 2 , továbbá legyen d 2 a mérlegzárás utáni idıszakban fizetendı díj, vagy a meg nem szolgált díjak tartaléka. A díj ρ része megy költségekre. Mérlegzárásig k1 darab kár következett be és x1et fizettek ki. A mérlegzárás utáni kockázat és díj különbségének várható értéke a következı lesz:

V1 = E(ζ 2 − (1 − ρ )d 2 η1 = k1 , ξ 1 = x1 ) = E(ξ 2 η1 = k1 , ξ 1 = x1 ) − (1 − ρ )d 2 + K − k1  d  ∑ α k1 +l P(η 2 = l 2 η1 = k1 , ξ 1 = x1 ) + ∑ β j P(c j −1 < ξ 2 + x1 ≤ c j η1 = k1 , ξ1 = x1 ) .  l =0  c j < x1 Az (5.1.1) formulának az felelne meg a legjobban, ha ez az érték lenne az eredménytıl független díjvisszatérítési tartalék. Vegyük észre, hogy ebben az esetben elıfordulhat, hogy a tartalék negatív. Ez akkor történhet meg, amikor mérlegzárásig kedvezıtlen volt a káralakulás, és így már kevés díjvisszatérítés várható. A magyar szabályozás azonban más tartalékot ír elı: „Az eredménytıl független díjvisszatérítési tartalékot a tárgyév mérleg fordulónapján az érvényben levı szerzıdések alapján kell megképezni. Amennyiben valamely szerzıdésnél a mérleg fordulónapján a díj-

135

visszatérítés feltételei fennállnak, abban az esetben tartalékként a várható éves díj-visszatérítési összeg idıarányos részét kell megképezni.”

Így V1 helyett a tartalék: V2 =

t1 d t1 + t 2

K − k1  ∑ α k1 + l P(η 2 = l 2 η1 = k1 , ξ 1 = x1 ) + ∑ β j P c j −1 < ξ 2 + x1 ≤ c j 2 η1 = k1 , ξ 1 = x1  l = 0 c j < x1

(



) , 

ahol t1 a szerzıdésbıl a mérlegzárásig eltelt idı, t2 a hátralévı idı. Látszik, hogy a két tartalék nem egyezik meg, ezért bár a biztosító aktuáriusa köteles a második tartalékot megképezni, de mindig össze kell hasonlítania az elsıvel is.

5.5.1. Példa: A Szedertermelık Országos Egyesülete 1000 tagja részére csoportos balesetbiztosítást kötött a Napfény Biztosítóval 1999. október 1-tıl egy éves tartamra. A biztosító 1 millió forintot fizet baleseti halál esetén. Az egyesület havonta 125 ezer forint biztosítási díjat fizet. Amennyiben a tagok közül legfeljebb egy ember hal meg balesetben, a biztosító 500 ezer forintot visszafizet az egyesületnek. Mennyi eredménytıl független díjvisszatérítési tartalékot kellett képeznie erre a szerzıdésre a biztosítónak 1999. december 31-én? A válasz megadásához még további adatokra van szükségünk. Elıször is, hogy milyen baleseti halál valószínőséggel számolt a biztosító. 0,5‰-es esetben a kockázat (ezer forintban) és várható értéke:

ζ = ξ + 500 χ (η ≤ 1),

(

)

Eζ = Eξ + 500P(η ≤ 1) = 500 + 500 ⋅ (1 − 0,0005) + 1000 ⋅ 0,0005(1 − 0,0005) = 954,917. A díj többi (545,083 ezer forint) része költség. Annak valószínőségét, hogy egy biztosított 3, 1000

999

illetve 9 hónapon belül meghal balesetben 1 − (1 − 0,0005)

3/12

, illetve 1 − (1 − 0,0005)

tételezzük fel. A tartalékokat tehát a következı módon határozhatjuk meg.

V1 = E(ξ 2 η1 = k1 ) − (1 − ρ )d 2 + 500 ⋅ P(η 2 ≤ 1 − k1 η1 = k1 ) =

(

(1000 − k1 ) 1 − (1 − 0,0005)

(

9 /12

+500 χ ( k1 = 0 ) (1 − 0,0005) +500 χ ( k1 = 1)(1 − 0,0005) V2 = 500 ⋅

) − 9 ⋅ 954,917 / 12 + + 1000(1 − (1 − 0,0005) )(1 − 0,0005)

9000 /12

9 /12

9⋅999 /12

)+

9⋅999 /12

3 P(η 2 ≤ 1 − k1 η1 = k1 ) χ ( k1 ≤ 1) = 12

(

(

)

)

9000 /12 9 /12 125 χ ( k1 = 0 ) (1 − 0,0005) + 1000 1 − (1 − 0,0005) (1 − 0,0005) 9⋅999/12 +

+ χ ( k1 = 1)(1 − 0,0005)

9⋅999 /12

)

Az alábbi táblázat a tartalékok numerikus értékeit mutatja be.

136

9 /12

-nek

k1

V1

V2

0

131,359

118,131

1

2,577

85,9351

2

-341,914

0

3

-342,289

0

4

-342,664

0

5

-343,039

0

6

-343,414

0

7

-343,789

0

8

-344,164

0

9

-344,540

0

10

-344,915

0

Látható, hogy a két tartalékolás jelentısen eltérı eredményeket ad. Az állami szabályozás szerint a tartalék nem lehet negatív. Ez óvatosságnak is felfogható, hiszen a kezdeti rossz káralakulás jelezheti azt, hogy a kockázat rosszul volt kezelve. Most határozzuk meg a tartalékokat a leginkább gyakori esetben, amikor kármentesség esetén térít vissza díjat a biztosító! E(ξ 2 η1 = 0) − (1 − ρ )d2 + dαP(η 2 = 0 η1 = 0), ha η1 = 0 , V1 =  E(ξ 2 η1, ξ1 ) − (1 − ρ )d2 , ha η1 > 0

(5.5.1)

 t1 dαP(η 2 = 0 η1 = 0), ha η1 = 0  . V2 =  t1 + t 2 0, ha η > 0 1 

(5.5.2)

Az (5.5.1) és (5.5.2) képleteket tovább lehet egyszerősíteni, ha a kárfolyamatról további feltételezéseket teszünk. Például, ha a mérlegzárás elıtti és utáni káresemények, kárkifizetések függetlenek egymástól, akkor

E(ξ ) − (1 − ρ )d 2 + dαP(η 2 = 0), ha η1 = 0 V1 =  2 , E(ξ 2 ) − (1 − ρ )d 2 , ha η1 > 0

(5.5.3)

 t1 dαP(η 2 = 0), ha η1 = 0  V2 =  t1 + t 2 . 0, ha η > 0 1 

(5.5.4)

137

Amennyiben az éves díjat a várható érték elvvel határozták meg ρ költség mellett, akkor feltételezve, hogy egy idıszak kockázata és díja arányos az idıszak hosszával, kapjuk a 4.1.1. állítás segítségével: d=

Eξ Eξ = , 1 − ρ − αP(η = 0 ) 1 − ρ − αP(η1 = 0 )P(η 2 = 0 )

Eξ 2 = d2 =

t2 d (1 − ρ − αP(η1 = 0 )P(η 2 = 0 )), t1 + t 2

t2 d. t1 + t 2

Ebbıl az elsı tartalékra E(ξ 2 ) − (1 − ρ )d 2 + dαP(η 2 = 0 ) =  d  t 2 [1 − ρ − αP(η = 0 )P(η = 0 ) − (1 − ρ )] + αP(η = 0 ) =  1 2 2   t1 + t 2   V1 =    t2 P(η1 = 0 ), ha η1 = 0 dαP(η 2 = 0 )1 −  t1 + t 2    t E(ξ 2 ) − (1 − ρ )d 2 = − dαP(η1 = 0 )P(η 2 = 0 ) 2 , ha η1 > 0  t1 + t 2

(5.5.5)

Így a két tartalék különbsége: t2  dαP(η 2 = 0) t + t [1 − P(η1 = 0)], ha η1 = 0  1 2 V1 - V2 =  − dαP(η = 0)P(η = 0) t 2 , ha η > 0 1 2 1  t1 + t 2

5.5.2. Példa: Tekintsük a 4.1.1. példát, és határozzuk meg Tornya Ubul szerzıdésének ered-

ménytıl független díjvisszatérítési tartalékát 1998. december 31-ére! Feltesszük, hogy az elsı félévi kifizetés független a második félévitıl. Ekkor N, N1, N2-vel jelölve a kárszámokat, a következı eloszlások pont megfelelnek a tapasztalatnak: P( N i = 0 ) = 0,9 , P( N i = 1) = 0,1.

P( N = 0) = 0,81, P( N = 1) = 0,18, P( N = 2) = 0,01.

A meg nem szolgált díjak tartaléka az egyszeri díj fele: T=

d 139 082 arany = , 2 140 682 arany

ahol az elsı érték a várható érték elv alapján meghatározott díjból, a második a szórásnégyzet elv alapján meghatározottból származik. Az (5.5.4) formula azonnal adja a jogszabály szerinti eredménytıl független díjvisszatérítési tartalékot. 138

Várható érték elv esetén: 1  278164 ⋅ 0,1 ⋅ 0,9 = 12517 arany, ha N 1 = 0 . V2 =  2 0, ha N 1 > 0 Szórásnégyzet elv esetén: 1  281363 ⋅ 0,1 ⋅ 0,9 = 12661 arany, ha N 1 = 0 . V2 =  2 0, ha N 1 > 0 Várható érték elv esetén közvetlenül alkalmazhatjuk V1 meghatározására az (5.5.5) képletet:   1  278164 ⋅ 0,1 ⋅ 0,9 1 − 2 0,9 = 13769 arany, ha N 1 = 0   . V1 =  1 − 278164 ⋅ 0,1 ⋅ 0,9 ⋅ 0,9 = −11266 arany, ha N > 0 1  2

A szórásnégyzet elvnél vissza kell térnünk az (5.5.4) képlethez: 1000000 ⋅ 0,1 − 0,8 ⋅ 281363 / 2 + 281363 ⋅ 0,1 ⋅ 0,9 = 12777 arany, ha N 1 = 0 . V1 =  1000000 ⋅ 0 , 1 − 0 , 8 ⋅ 281363 / 2 = − 12545 arany, ha N > 0  1

Az eredmények azt sejtetik, hogy a jogszabály szerinti tartalék megint óvatosabb. Hasonlítsuk össze a két tartalék várható értékét akkor, amikor a díjat várható érték elvvel határozták meg.

EV1 = 0,9 ⋅ 13769 + 0,1( −11266) = 11266 , EV1 = 0,9 ⋅ 12517 + 0,1 ⋅ 0 = 11266. Látszik, hogy a két tartalék várható értéke meglepı módon megegyezik. Ennek kapcsán adódik a következı feladat. 5.5.1. Feladat: Hasonlítsuk össze a meg nem szolgált díjak tartalékainak várható értékét álta-

lános esetben! Gyakori, hogy a mérlegzárás elıtti és utáni történések függnek egymástól. Ez fordul elı például akkor, amikor a biztosított kárszáma rögzített rizikóparaméter mellett Poisson-eloszlású és a rizikóparaméter gamma-eloszlású. Ekkor a kárszám negatív binomiális eloszlású (lásd az 1.2.1. példát). A következıket feltételezzük:

139

(t1 x) k e − t1 x (t 2 x) k e − t2 x P(η1 = k υ = x ) = , P(η 2 = k υ = x ) = , k = 0,1,2,... k! k! P(η1 = k1 , η 2 = k 2 υ = x ) = P(η1 = k1 υ = x )P(η1 = k 2 υ = x ), fυ ( x) =

λα x α −1e −λx , Γ(α )

t  Γ(α + k )  1 − 1  P(η1 = k ) = Γ(α )k 2 !  t1 + λ  η1

η1 +η2

i =1

i =η1 +1

ξ1 = ∑ X i , ξ 2 =

k1 +α

k2

 t1    ,  t1 + λ 

∑X , i

EηEX 1 Eξ d= = = 1 − ρ − αP(η = 0 ) 1 − ρ − αP(η = 0 )

(t1 + t 2 ) α EX 1 λ

 λ 1 − ρ − α   λ + t1 + t 2

  

α

.

A 3.0.1. példából tudjuk, hogy az {η1 = k1} feltétel mellett υ feltételes eloszlása is gamma, de a (λ, α) paraméterek (λ+t1, k1+α)-ra változnak. Ebbıl  t2 Γ ( k1 + α + k 2 )  P(η 2 = k2 η1 = k1 ) = 1 −  Γ( k1 + α )k2 !  t 2 + t1 + λ 

k1 +α

k2

  t2   .  t 2 + t1 + λ 

A tartalékokra így az (5.5.1) és (5.5.2) formulák segítségével kapjuk, hogy

α  α + ( t t ) EX 1  1 2   t1 + λ   t2 t2 λ   , ha η1 = 0 + α  (1 − ρ ) EX 1 − α α t1 + t 2     λ + t1 + t 2   λ  λ + t1  1 − ρ − α     λ + t1 + t 2  V1 =  α  ( t1 + t 2 ) EX 1 t2 t2 ( λ , ha η1 = k1 α  α + k1 ) λ + t EX 1 − (1 − ρ ) t + t   1 1 2 λ   1 − ρ − α    λ + t1 + t 2   α (t1 + t 2 )α EX 1  t1  t1 + λ  λ  , ha η1 = 0 α   α λ t + t + t + t    1 2  λ V2 =  1 2 .  1 − ρ − α    λ + t1 + t 2   0, ha η1 > 0 5.5.2. Feladat: A Magyarország Biztosító gépjármő-biztosításánál a szerzıdık kárszámának

eloszlása megegyezik az 1.2.1. példában illesztett eloszlással. Egy kár várható értéke 2 millió forint. A biztosító kármentes év után a díj 20%-át visszatéríti. A díjat várható érték elvvel és

140

25%-os költségrésszel határozták meg. Készítsen táblázatot, melyben a meg nem szolgált díjak tartalékai szerepelnek!

5.6. EREDMÉNYTİL FÜGGİ DÍJVISSZATÉRÍTÉSI TARTALÉK Ezt a tartalékot leginkább életbiztosításoknál képzik a többlethozam visszajuttatására. Elıfordul képzése azonban nem-életbiztosításnál is, amikor szerzıdések egy csoportjának kedvezı káralakulása esetén a biztosító többletszolgáltatást vállal. E tartalékkal kapcsolatos matematikai problémák teljesen megegyeznek az eredménytıl független díjvisszatérítési tartalék problémáival, csak itt a kockázat egyedi kockázatok összegével egyezik meg. Neméletbiztosításoknál érdemesebb úgy megadni a kereteket, hogy eredménytıl független díjvisszatérítési tartalékot kelljen képezni, mivel az eredménytıl függı tartalék felhasználása nem egyszerő.

5.7. KÁRINGADOZÁSI TARTALÉK ÉS A NAGYKÁROK TARTALÉKA E tartalékok arra szolgálnak, hogy a biztosító az eredményes évekrıl tartalékoljon a rosszabb évekre. Alapvetı különbség a többi tartalékhoz képest, hogy ezt a tartalékot nem a fennálló kötelezettségek miatt kell képezni. Az ágazatok nyereségébıl lehet (a nagykároknál egyes esetekben kell) ezt a tartalékot úgy képezni, hogy az a jogszabály adta méreteket ne lépje túl. Fontos megkötés, hogy csak az adott ágazat vesztesége esetén lehet felhasználni. Tehát, ha a biztosító erısen veszteséges, de a nagy káringadozási tartalékkal rendelkezı ágazat nyereséges, akkor ehhez a tartalékhoz nem szabad nyúlni. Emiatt ezt a tartalékot a nem nyereségorientált biztosító egyesületeknek nem is ajánlott képezni, hiszen ık a nyereségüket minden veszteség nélkül tıkéjük növelésére fordíthatják. A biztosító részvénytársaságok esetében az ágazat sajátosságain túlmenıen figyelembe kell venni a biztosító általános helyzetét és az adózási környezetet is.

5.8. EGYÉB BIZTOSÍTÁSTECHNIKAI TARTALÉK Ennek a tartaléknak létezése lehetıvé teszi azt, hogy a biztosító tartalékai elérjék legalább az (5.1.1) képlettel meghatározott értéket. Ugyanis a jogszabály a következıket mondja.

141

„1. Az egyéb biztosítástechnikai tartalék az egy vagy több biztosítási módozat saját vagy viszontbiztosításba vett mővelése során az olyan nagy valószínőséggel bekövetkezı, jövıbeni veszteség fedezetére szolgál, amelyet a fennálló szerzıdési kötelezettségek miatt nem vagy csak a késıbbi idıszakban lehet megszüntetni. 2. A várható veszteség nagyságrendjét az adott biztosítási módozatok mővelésének legalább 2 évi adatai alapján készített eredményelszámolás és az adott szerzıdések érvényességéig várható kár- és költségráfordításait alapulvevı kalkulációval kell megállapítani, figyelemmel a módozatok díjkalkulációjára. 3. A tartalékot évente a mérleg fordulónapján, a mérlegkészítés idıpontjáig rendelkezésre álló információkat figyelembe véve, más biztosítástechnikai tartalékokban rendelkezésre álló fedezet beszámításával kell megállapítani. A tartalékszükséglet az e fedezetet meghaladó várható veszteségek összegével egyenlı.”

Tehát e tartalék nagysága: Egyéb biztosítástechnikai tartalék = max(0, várható szolgáltatások - várható díjbevételek - többi biztosítástechnikai tartalék) . Milyen esetekben van szükség ilyen tartalék képzésére? Elsısorban akkor, amikor kiderül, hogy az alkalmazott díjtételek nem megfelelıek, de azokat módosítani vagy a szerzıdést felmondani csak egy késıbbi idıpontban lehet. Ritkább az az eset, amikor a a jogszabályi elıírások nem teszik lehetıvé a megfelelı tartalékképzést, és a tartalékhiányt az egyéb tartalék képzésével pótolják. 5.8.1. Példa: Tekintsük az 5.5.2. példát! Tegyük fel, hogy az adott módozatban csak Tornya

Ubul szerzıdése maradt meg 1998-ra, aki ebben az évben nem okozott kárt. A régebbi szerzıdések kárait teljesen lezárták. A példában megállapítottuk, hogy a jogszabály szerinti meg nem szolgált díjak tartaléka 12 517 arany, miközben a szükséges érték 13 769 arany. Mivel a módozatot már több mint két éve mőveli a biztosító, ezért 1252 arany értékben egyéb tartalékot képez 1998. december 31-re. A fejezet végén még egyszer szeretnénk hangsúlyozni az aktuárius felelısségét a tartalékok képzésénél. Amennyiben a tartalékokat túl alacsony szinten állítja be, akkor megnöveli az év eredményét. Ez azt eredményezi, hogy összességében pénzt von el a biztosítótól, mivel a késıbbiekben többet kell kifizetnie, mint amennyit tartalékolt, de az alultartalékolásból származó többlet egy része addigra már elúszott (adóra, osztalékra stb.). Ha viszont túl magas tartalékot képez, akkor ront a biztosító eredményén, és az állam se jut az ıt megilletı részhez. Technikailag se könnyő meghatározni a szükséges mértéket. Láttuk, hogy a különbözı módszerek jelentısen különbözı tartalékokat eredményeznek. Az is jelentıs befolyásoló tényezı,

142

hogy milyen adatokat veszünk figyelembe és melyeket hagyunk el. Soha nem szabad ellenırzés nélkül, csak formálisan számolni!

143

6. FEJEZET

EGYÉB BIZTOSÍTÁSI PROBLÉMÁK

Ebben a fejezetben két speciális biztosítási feladatot tárgyalunk, melyek megoldásánál alkalmazzuk az elızıekben megismert eszközöket.

6.1. Kárarány elırejelzése mint a legegyszerőbb kalkulációs módszer Mint a bevezetésben említettük, biztosítások csoportjának (díjosztály, módozat, ágazat stb.) egy adott idıszakra vonatkozó káraránya a csoport idıszak alatt bekövetkezett kárainak és a csoport biztosítási összegeinek a hányadosa. Magyarországon az utóbbi idıig általánosan elterjedt módszer volt a kárarány becslésén alapuló díjmeghatározás. A módszer a következı volt: a díjosztály korábbi kárarányainak segítségével valamilyen szintő felsı korlátot adtak a következı év kárarányára. Egy biztosítás nettó díja ezután biztosítási összeg × kárarány felsı korlátja . E módszer elınye egyszerőségében rejlik. A felsı korlát meghatározására volt egy kidolgozott egyszerő és hibás metodika ([15]), amit a biztosításban dolgozók elfogadtak, és amit minden elıképzettség nélkül lehetett alkalmazni. Megpróbáljuk felsorolni a módszer hátrányait és veszélyeit, melyek még helyes metodika mellett is megmaradnak: a) Nem veszi figyelembe az évek állománykülönbségét. b) A károk teljesen rejtve vannak, a különösen veszélyes károkat nem "bünteti". c) A kárarányok idısorát általában nehéz részletes statisztikai vizsgálatnak alávetni, mert hossza a legritkább esetben éri el a 10 évet. Mikor alkalmazzuk mégis ezt a módszert? Csak akkor, ha semmilyen más adatunk nincsen. Jelöljük ξ i -vel az i-edik év kárarányát. Feltételezzük, hogy ezek független normális eloszlásúak. Ha a kárarányok idısora nem mutat trendet, akkor az azonos eloszlást is feltételezzük. Tekintsük most ezt az esetet:

144

ξ i ~ N (m, σ 2 ), i=1, 2,..., n, n+1, függetlenek.

(6.1.1)

ξ1 ,ξ 2 ,...,ξ n -t figyeltük meg, és ξ n +1 -re akarunk olyan korlátot, mely alatt az (1 − ε ) valószínőséggel marad. Ha m és σ 2 ismert lenne, akkor nagyon egyszerő dolgunk lenne, mivel ξ − m  P(ξ n +1 < m + uε σ ) = P n +1 < uε  = Φ(uε ) = 1 − ε ,  σ  ahol Φ a standard normális eloszlás eloszlásfüggvénye, és uε ennek (1 − ε ) -kvantilise. A probléma azonban pont abból adódik, hogy az eloszlás paraméterei ismeretlenek. Természetes megoldásnak tőnik a várható érték és szórásnégyzet helyébe a tapasztalati értékeket beírni. Ekkor azonban az uε együtthatót is meg kell változtatni, hogy ξ n +1 (1 − ε ) valószínőséggel a korlát alatt maradjon. Hogy milyen együtthatót kell alkalmazni, mutatja a következı állítás. 6.1.1. Állítás: Tegyük fel, hogy teljesül a (6.1.1) feltétel, ekkor az n

∑ξi mˆ n =

i =1

n

n

2 és σˆ n =

∑ (ξ

− mˆ n )

2

i

i =1

n −1

jelölésekkel

(

P ξ n +1 < mˆ n + t n −1,ε

)

σˆ n = 1 − ε ,

n +1 n

ahol t n −1,ε az (n-1) szabadságfokú t-eloszlás (Student-eloszlás) (1 − ε ) kvantilise. Bizonyítás: Nevezetes tény, hogy normális minta esetén a tapasztalati közép és szórás függet-

lenek. Mivel ξ n +1 független ξ1 ,ξ 2 ,...,ξ n -tıl, így az is független a tapasztalati szórástól. Tehát a

ξ n +1 − mˆ n  σ2   , független az (n-1) szabadságfokú χ 2 eloszlású változó, melynek eloszlása N 0, σ 2 + n   n −1

σ

2

σˆ n 2 -tıl.

Ennek következtében a n n +1

(ξ n+1 − mˆ n ) σˆ n

változó (n-1) szabadságfokú t-eloszlású. Tehát

(

P ξ n +1 < mˆ n + t n −1,ε

n +1 n

)

  

σˆ n = P

n +1 n

(ξ n+1 − mˆ n ) σˆ n

 < t n−1,ε  = 1 − ε ,  

ami pont a tétel állítását adja. *** 145

6.1.1. Példa: A Napfény Biztosító épületbiztosítási módozatot akar bevezetni 1996-tól. Egyik

munkatársa korábban a Magyarország Biztosítónál dolgozott és tudja, hogy a biztosító épületbiztosítási káraránya 1992-ben 2,5, 1993-ban 2,7 és 1994-ben 2,6 ezrelék volt. Új munkahelyére elhozta a tarifakönyvet is, melyrıl tudta, hogy 2,7 ezrelékes kárarányt feltételezve készült, 40 százalékos költségrészt számolva. A Napfény Biztosító 35 százalékos költségrészt alkalmaz, és mérsékelten biztonságos díjat akar meghatározni a bevezetı 1996-os évre. Milyen tarifákat alkalmazzon? Mivel a rendelkezésre álló információk minimálisak, elsı megközelítésben érdemes a másik biztosító tarifakönyvét és kárarányait alapul venni. Tételezzük fel, hogy a kárarányok független, azonos eloszlású normálisak. A tapasztalati közép és szórás azonnal kiszámolható: mˆ 3 = 2,6 , σˆ 3 = 0,1 . Alkalmazni akarjuk a 6.1.1. állítást, ezért szükségünk van a 2 szabadságfokú t-eloszlás kvantiliseire: t 2, 0,1 = 1,8856 , t 2, 0, 05 = 2,9200 . Az állítás szerint az 1996-os kárarány 90%-os szintő felsı határa mˆ 3 + t3−1,0.1

3+1 3

σˆ 3 = 2,8177 ,

mˆ 3 + t3−1, 0.05

3+1 3

a 95%-os

σˆ 3 = 2,9372 .

Természetesen ezek a másik biztosító kárarányára felsı határok, de kénytelenek vagyunk ezt alkalmazni. A Magyarország Biztosító díjtételét d-vel jelölve, az új díjtétel 0,6d

2 ,8177 2,7

0,65

= 0,9633d ,

vagy 0,6d

2 , 9372 2,7

0,65

= 1,0042d

lenne. E számítások alapján a biztosító a díjtételek pontos átvételérıl döntött. 6.1.2. Példa: Folytassuk az elızı példát! A Magyarország Biztosító felül akarja vizsgálni épü-

letbiztosítási díjtételeit 1996-ra. A termék menedzsere csak a kárarányokon alapuló díjszámítási módszert ismerte, így 8,8%-os díjemelést javasolt (mivel 2,9372/2,7~1,088). Elfogadhatóe ebben az esetben is ez a módszer?

146

Semmiképpen nem. Hiszen a biztosító legalább 3 év részletes kárstatisztikájával rendelkezik. Egyáltalán nem biztos, hogy a régi tarifakönyv jó díjarányokat határozott meg a különbözı díjosztályok között (credibility!!!). Elképzelhetı, hogy az önrészek nincsenek összhangban a díjakkal. Mindenképpen meg kell vizsgálni a kárszámokat, a káreloszlásokat és még sok egyebet is. Természetesen a 6.1.1 állítás nemcsak kárarányokra alkalmazható, hanem például kárhányadokra, kárvalószínőségekre is. Ezt mutatja a következı példa is. 6.1.3. Példa: Az 57 millió lakosú Bretvániában 4 éve közli a helyi statisztikai hivatal a baleset

miatt elhunytak számát. A 18 és 60 év közötti balesetben elhunytak számának és a korosztály létszámának hányadosai a következık voltak: 1,3, 1,25 , 1,31 és 1,29 ezrelék. Egy biztosító egy évre szerzıdést köt az állami vasúttársasággal, hogy biztosítja annak dolgozóit baleseti halál esetére. 20 ezer embernek 1 millió riti, 5 ezer embernek 5 millió riti és ezer embernek 10 millió riti a biztosítási összege. Becsüljük meg annak valószínőségét, hogy a költségek levonása után megmaradt 100 millió ritis díj nem lesz elég a kifizetésekre! Mivel a 18 és 60 közötti korosztály létszáma mind a négy évben meghaladta a 25 milliót, ezért nem fogadhatjuk el azt a hipotézist, hogy a baleseti halál valószínősége mind a négy évben ugyanaz volt (miért?). Ezért tekintsük a következı táblázatot, mely azt mutatja, hogy ha a baleseti halál valószínősége ( ξ -vel jelöljük) 1,25 és 1,45 ezrelék közé esik, akkor mennyi lesz az összkár (S-sel jelöljük) várható értéke, szórása és annak valószínősége, hogy 100-nál kisebb (1 millió ritiben számolunk). Megjegyezzük, hogy a valószínőségeket nem normális közelítéssel, hanem a De Pril módszerrel számoltuk (1.1.1. állítás), mivel az összkár eloszlásának normális közelítése pontatlan (kb. 0,5% a hiba) eredményt ad ebben az esetben a nagy szórások miatt.

1,25

ES 68,75000000

D2 S 17,48905908

P(S ≤ 100) ,9555149657

1,26

69,30000000

17,55878806

,9524692021

1,27

69,85000000

17,62823983

,9492723923

1,28

70,40000000

17,69741766

,9459209541

1,29

70,95000000

17,76632476

,9424114579

1,30

71,50000000

17,83496426

,9387406403

1,31

72,05000000

17,90333923

,9349053830

ξ (ezrelékben)

147

1,32

72,60000000

17,97145270

,9309027872

1,33

73,15000000

18,03930762

,9267301303

1,34

73,70000000

18,10690691

,9223848968

1,35

74,25000000

18,17425342

,9178647898

1,36

74,80000000

18,24134995

,9131677791

1,37

75,35000000

18,30819924

,9082920266

1,38

75,90000000

18,37480400

,9032359747

1,39

76,45000000

18,44116687

,8979983273

1,40

77,00000000

18,50729046

,8925780424

1,41

77,55000000

18,57317731

,8869743600

1,42

78,10000000

18,63882995

,8811868215

1,43

78,65000000

18,70425084

,8752152255

1,44

79,20000000

18,76944240

,8690596941

1,45

79,75000000

18,83440701

,8627206276

A táblázatból rögtön látszik, hogy a biztosító elég nagy kockázatot vállal, hiszen még az 1,25 ezrelékes baleseti halálvalószínőség mellett is közel 5 százalék annak valószínősége, hogy nem lesz elég a díj. Nyilvánvalóan igaz a következı egyenlıtlenség: P(S ≥ 100 ) ≤ P(S ≥ 100 ξ ≤ p )P(ξ ≤ p ) + P(ξ > p ) ≤ ≤ P(S ≥ 100 ξ = p )P(ξ ≤ p ) + P(ξ > p ) .

(6.1.2)

Alkalmazva a 6.1.1. állítást, kapjuk a P(ξ ≤ p ) valószínőségekre az alábbi táblázatot.

p (ezrelék) 1,25

P(ξ ≤ p ) ,1459925780

p (ezrelék) 1,32

P(ξ ≤ p ) ,8251447295

p (ezrelék) 1,39

P(ξ ≤ p ) ,9800582553

1,26

,2093251709

1,33

,8779456722

1,40

,9842776928

1,27

,2968208685

1,34

,9139163995

1,41

,9874172816

1,28

,4075782135

1,35

,9382361213

1,42

,9897927693

1,29

,5312003436

1,36

,9547943650

1,43

,9916180736

1,30

,6502987711

1,37

,9662352216

1,44

,9930406347

1,31

,7500810482

1,38

,9742849711

1,45

,9941637962

148

A két táblázatot kombinálva adódik, hogy

P(S > 100) ≤ P(S > 100 ξ =0,00135)P(ξ ≤ 0,00135) + P(ξ > 0,00135) = 0,158 . 6.1.1. Feladat: Adjunk jobb becslést P(S > 100) -ra a (6.1.2) egyenlıtlenségnél pontosabbat

alkalmazva. Nagyon gyakran elıfordul, hogy a kárarányok idısora trendet tartalmaz, melynek paramétereit szintén a legritkább esetben ismerjük. Ilyenkor segít a következı feladat megoldása. 6.1.2. Feladat: A ξ i1 , ξ i2 ..., ξ in kárarányokat figyeltük meg az i1 , i 2 ... és in -edik évben. Adjunk

meg az in +1 -edik év kárarányára, ξ in+1 -re olyan korlátot, mely alatt az (1 − ε ) valószínőséggel marad, ha a kárarányok függetlenek és a k-adik évhez tartozó eloszlás ξ k ~ N (a + b ⋅ k , σ 2 ) , ahol a, b és σ 2 ismeretlenek. Hogy lássuk, mennyit változtat a trend feltételezése, oldjuk meg a következı feladatot. 6.1.3. Feladat: Oldjuk meg a 6.1.1. példát azzal a módosítással, hogy a kárarányok lineáris

növekedését feltételezzük.

6.2. EGY BALESETBIZTOSÍTÁSI PÉLDA*

Egy biztosítónál 60 000 (=N) balesetbiztosítást kötöttek. Az országos adatok alapján a baleseti halál valószínőségét 0,664‰-nek veszik (Magyarországon a 100 000 lakosra jutó balesetben meghaltak számának átlaga az 1996–98-as évekre 66,4). Egy év elteltével azonban a biztosítónak rendelkezésére áll saját tapasztalata is, n-en haltak meg. A kérdés az, hogy a biztosító a továbbiakban is mővelt balesetbiztosításokkal kapcsolatos döntésekhez milyen mértékben vegye figyelembe saját tapasztalatát. Fogadjuk el a következı feltételezést: minden egyes biztosított halálozási valószínősége θ, ahol a θ rizikóparaméter biztosítónként változik. P(Xi=1 θ = p) = p, P(Xi=0 θ = p) = 1-p, 0 ≤ p ≤ 1. Az adatokat a következı módon lehet összefoglalni (természetes feltételezés az, hogy θ várható értéke megegyezik az országos adattal):

*

Az alfejezet példa megírásához Komor Anasztázia szakdolgozata nyújtott segítséget.

149

µ ( p ) = E( X i θ = p ) = p, m = EX i = E(θ ) = 0,00064, a = D 2 [E( X i θ )] = D 2 (θ ) ,

σ 2 ( p ) = D 2 ( X i θ = p ) = p(1 − p ), s 2 = E[D 2 ( X i θ )] = E(θ (1 − θ ) ) = E(θ ) − E 2 (θ ) − D 2 (θ ) . Elıször becsüljük meg a biztosító rizikóját lineárisan!

θ lineáris credibility becslése: X 1 + ... + X 60000 n + (1 − z )m = z + (1 − z )0,00064, 60000 60000 60000D 2 (θ ) z= . 0,00064 − 0,00064 2 − D 2 (θ ) + 60000D 2 (θ ) z

(6.2.1)

Tehát a Bühlmann-faktor meghatározásához a rizikóparaméter szórására is szükségünk van. A faktor értékeit a 6.2.1. grafikon ábrázolja a szórás függvényében.

6.2.1. Ábra: Bühlmann-faktor

A 6.2.2. ábra a rizikóparaméter lineáris credibility becslését mutatja be n függvényében Dθ = m/2 (karika) és m/8-ra (kereszt). Négyzetekkel jelöltük az országos adatot. Ekkor a faktorok 90,57, illetve 37,52%. Jól látható, hogy mennyire kevésbé kell figyelembe venni a saját tapasztalatot Dθ = m/8 esetén.

150

6.2.2. Ábra: A rizikóparaméter becslése

Most nézzük meg, hogy adott apriori eloszlás esetén milyen becsléseket tudunk adni. Elıször tekintsük az egyenletes eloszlás esetét. Legyen a rizikóparaméter az országos adat egy kis környezetére koncentrálva. θ ~ E(m(1 − 1 / c ), m(1 + 1 / c )) . Ekkor a szórásnégyzet: D 2 (θ ) =

4m 2 / c 2 m 2 = 2. 12 3c

Az elıbb vizsgált szórásértékek c=1,154 és 4,619-re jönnek ki. Megpróbálkozhatunk más apriori eloszlással is. Mivel θ értékei 0 és 1 közé esnek, ezért kézenfekvı választás a béta-eloszlás alkalmazása. A következıkben θ béta-eloszlású α és β paraméterekkel:  Γ(α + β ) α −1 p (1 − p ) β −1 , p ∈ [0,1];  f θ ( p ) =  Γ(α )Γ( β ) 0, p ∉ [0,1]  Eθ =

α α+β

, D 2θ =

αβ . (α + β ) (α + β + 1) 2

A béta-eloszlás paramétereit úgy határozzuk meg, hogy a várható értéke m-nek adódjon, hiszen ez az összes apriori információnk:

α α +β

= m = 0,00064 .

Ekkor a szórásnégyzet α függvényében:

D 2θ =

m 2 (1 − m) 0,00064 2 ⋅ 0,99936 0,000000409 = = . α +m α + 0,00064 α + 0,00064 151

Így az elıbb vizsgált szórások α = 3,9968 illetve 63,9584-re jönnek ki. A rizikóparaméter aposteriori sőrőségfüggvénye a Bayes-formula szerint:

fθ X ( p x ) =

P( X = x θ = p) f θ ( p ) 1

=

p n (1 − p ) N − n fθ ( p ) 1

∫ P( X = x θ = t ) fθ ( t )dt ∫ t 0

n

(1 − t )

N −n

N

,

∑x

i

= n . (6.2.2)

i =1

f θ ( t )dt

0

Ebbıl a rizikóparaméter credibility becslése (a feltételes várható értéke): 1

∫p

E(θ X = x ) =

n +1

(1 − p ) N − n f θ ( p )dp

0 1

∫t

N

, n

(1 − t )

N −n

∑x

i

= n.

i =1

fθ ( t )dt

0

Egyenletes eloszlás esetén az elızı formulákból adódik, hogy m(1+1/ c ) n +1

fθ X ( p x ) =

p (1 − p ) n

m(1+1/ c ) n

∫t

(1 − t )

N −n

N −n

, E(θ X = x ) =

∫t

m(1−1/ c ) m(1+1/ c ) n

∫t

dt

m(1−1/ c )

(1 − t ) N − n dt

N

, (1 − t )

N −n

dt

∑x

i

= n.

i =1

m(1−1/ c )

Béta-eloszlás esetében a helyzet egyszerőbb, mert (6.2.2) szerint a feltételes eloszlás újfent béta-eloszlás lesz, csak α és β paraméterek helyett α+n és β+N-n paraméterekkel: fθ X ( p x ) =

p n (1 − p ) N − n 1

∫t 0

n

(1 − t ) N − n

Γ(α + β ) α −1 p (1 − p ) β −1 N Γ(α )Γ( β ) = konstans ⋅ p n +α −1 (1 − p ) N − n + β −1, ∑ xi = n . Γ(α + β ) α −1 i =1 t (1 − t ) β −1 dt Γ(α )Γ( β )

Ezek szerint a várható érték: E(θ X = x ) =

α+n , α +β+N

N

∑x

i

=n .

i =1

Ez utóbbi formulából látszik, hogy béta apriori eloszlás esetén a lineáris credibility becslés egybeesik a credibility becsléssel. Most hasonlítsuk össze a lineáris credibility becslést (karika) az egyenletes apriori (kereszt) melletti credibility becsléssel. A becsléseket n függvényében ábrázoljuk. Elıször a 6.2.3. ábrán akkor, amikor a rizikóparaméter szórása m/2.

152

6.2.3. Ábra: A rizikóparaméter becslései (m/2 szórás)

Ezután tekintsük azt az esetet, amikor a szórás m/8.

6.2.4. Ábra: A rizikóparaméter becslései (m/8 szórás)

A biztosító 2001-ben már 70 000 (=N2) embernek akarja eladni ezt a balesetbiztosítást egységesen 1 millió forint biztosítási összeggel. Feltételezzük, hogy az új szerzıdık rizikója megegyezik a már biztosítottakkal. Mennyi lesz az a kockázati összdíj, ami 99%-os valószínőséggel elég lesz a kárkifizetésekre? Amennyiben a baleseti halál valószínősége pont m, akkor az összkárt S-sel jelölve: 153

K  N2 P( S ≤ K ) = ∑   mk (1 − m) N 2 − k . k =0  k 

Ez numerikusan azt adja, hogy P( S ≤ 60) = 0,9878, P( S ≤ 61) = 0,9914 . Tehát 61 millió forint több mint 99%-os valószínőséggel elég lenne a kárkifizetésekre. A kártapasztalatot és a (6.2.2) formulát felhasználva kapjuk, hogy

 K N   P( S ≤ K X = x) = E(P( S ≤ K θ , X = x) X = x ) = E ∑  2 θ k (1 − θ ) N 2 − k X = x  =  k =0  k   1

t ∫

N = ∑  2  0 k =0  k  K

n+k

(1 − t ) N 2 − k + N − n f θ (t )dt .

1

∫t

n

(1 − t )

N −n

f θ (t )dt

0

Egyenletes eloszlás esetén ez a következıt adja: m (1+1 / c ) n+k

∫t

(1 − t ) N 2 − k + N − n dt

 N  m (1−1 / c ) P( S ≤ K X = x) = ∑  2  m (1+1 / c ) k =0  k  n N −n ∫ t (1 − t ) dt K

.

m (1−1 / c )

Ha a szórás m/2 és 37 haláleset következett be (tehát a várható 38,4-nél kevesebb), akkor P( S ≤ 68 ∑ X i = 37 ) = 0,9896 , P( S ≤ 69 ∑ X i = 37 ) = 0,9911. Így bár az elsı évben a várhatónál kevesebb haláleset következett be, a 61 millió 69 millióra változott (ez annak következménye, hogy a baleseti halál valószínősége lehet nagyobb is a várhatónál). A szórást m/8-ra változtatva ez az érték 65-re csökken: P( S ≤ 64 ∑ X i = 37 ) = 0,9891 , P( S ≤ 65 ∑ X i = 37 ) = 0,9918 . Béta-eloszlás esetén

154

1  N 2  1 n+k N 2 − k + N − n α −1 β −1 P( S ≤ K X = x) = ∑   ∫ t (1 − t ) t (1 − t ) dt / ∫ t n (1 − t ) N − n t α −1 (1 − t ) β −1 dt = k =0  k  0 0 1 1 K N  = ∑  2  ∫ t n+ k +α −1 (1 − t ) N 2 − k + N − n + β −1 dt / ∫ t n +α −1 (1 − t ) N − n + β −1 dt = k =0  k  0 0 K  N  Γ ( n + k + α )Γ ( N 2 − k + N − n + β ) / Γ ( n + k + α + N 2 − k + N − n + β ) = ∑  2  = Γ ( n + α )Γ ( N − n + β ) / Γ ( n + α + N − n + β ) k =0  k  K  N  Γ ( n + k + α )Γ ( N 2 − k + N − n + β ) Γ ( N + α + β ) = ∑  2  = Γ ( n + α ) Γ ( N − n + β )Γ ( N 2 + N + α + β ) k =0  k  K  N  (n + k + α − 1)!( N 2 − k + N − n + β − 1)!( N + α + β − 1)! = ∑  2  . (n + α − 1)!( N − n + β − 1)!( N 2 + N + α + β − 1)! k =0  k  K

Számítsuk ki most is a kvantiliseket n=37 esetén! Amennyiben a rizikóparaméter szórása m/2, akkor P( S ≤ 67 ∑ X i = 37) = 0,98997, P( S ≤ 68 ∑ X i = 37) = 0,992 . m/8 szórásnál ezek az értékek a következıkre módosulnak P( S ≤ 63 ∑ X i = 37) = 0,9883, P( S ≤ 64 ∑ X i = 37) = 0,9912 .

6.2.1. Feladat: A Napsugár Biztosító 1997-ben és 1998-ban kerékpárosokat biztosított baleseti halál esetére. 1997-ben 20 000 biztosítottból 17-en, 1998-ban 22 000-bıl 23-an haltak meg balesetben. 2000-ben 18 000 kerékpárosnak 1 millió forint, 3000-nek 3 millió forint, 2000nek 5 millió forint a biztosítási összege. Becsüljük meg azt az összeget, amelynél a biztosító 99%-os valószínőséggel kevesebbet fog kifizetni!

155

pozitív

156

nomiális

0 ≤ q < 1.

r: pozitív,

Negatív bi-

NB(r,q)

0 < p ≤1

Geometriai

0 ≤ p ≤1.

egész,

n:

terek

Paramé-

λ ≥0

B(n,p)

Jelölés

Poisson

Binomiális

Eloszlás Eη

, k = 0,1, ...

k = 0,1,... .

Γ (r + k ) (1 − q ) r q k , Γ (r ) k !

k = 0,1,... .

(1 − p) k p,

k!

λ k e−λ

k = 0,1,...,n.

rq 1− q

1− p p

λ

np n k   p (1 − p) n− k , k 

P(η = k )

rq (1 − q) 2

1− p p2

λ

np (1 − p )

D 2η

rq (1 + q) (1 − q)3

(1 − p)(1 − 2 p) p3

λ

np (1 − p )(1 − 2 p )

3

E (η − Eη )

NEVEZETES KÁRSZÁMELOSZLÁSOK

 1− q     1 − qz 

r

p 1 − (1 − p) z

e λ ( z −1)

[1 + p( z − 1)]n

( )

E zη

p p , b = (n + 1) . 1− p 1− p

a = q, b = (r − 1)q .

(a,b,0) eloszlású,

(a,b,0) eloszlású, a = 1 − p, b = 0 .

NB(1,1-p) eloszlású és

(a,b,0) eloszlású, a = 0, b = λ .

a=−

(a,b,0) eloszlású ( 0 ≤ p < 1 ),

Megjegyzés

1. sz. FÜGGELÉK

*

Γ(.,.) a nem teljes gamma függvény.

Gnedenko

αλx α −1e − λx

α,λ > 0 α

χ ( x > c)

Weibull-

a +1

λα x α −1e − λx Γ(α )

a  c   c  x

λ ,α > 0

c ,a > 0

)[ ( ) ]

k  + 1 α 

λ− k / α Γ 

α (α + 1)...(α + k − 1) λk

a k c ,a>k a−k

 2  2 

2 1   1   

λ−2/α  Γ   − 2 Γ     α  α  α   α   

α λ2

ac 2 ,a>2 (a − 1) 2 (a − 2)

exp 2µ + σ 2 exp σ 2 − 1

c

∫e

∞

0

∞

x

a +1

1

2

)

− x2 dx

)

α

*

157

dx = a (cs) a Γ ( −a , cs)

αλ ∫ e − sx x α −1e − λx dx

α

− sx

−∞

σx + µ

(

E e − sX

∫ exp(− se

∞

 λ     λ + s

ac

a

1 2π

λ+s

λ

2

λ

λ

1

k

(

D2 X

k!

EX k

  1  ln x − µ  2  k 2σ 2  1   µ exp k + exp −     2  σx 2π   2  σ  

λe − λx

Sőrőségfüggvény ( x > 0)

Gamma

(európai)

Pareto

µ,

Lognormális

σ2 >0

λ >0

terek

Paramé-

Exponenciális

Eloszlás

NEVEZETES KÁRELOSZLÁSOK

2. sz. FÜGGELÉK

+ + + + +

+

+

+

-

+

+

-

+

Szórásnégyzet

Szórás

Féloldali szórásnégyzet

Átlagos érték

Exponenciális

Zéró hasznosság

Svájci

Esscher

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

-

+

+

+

+

-

-

-

+

+

158

Ha egy díjelv valamely paraméterre nem teljesíti a tulajdonságot, akkor nem teljesítõnek írjuk.

+: a díjelv teljesíti a tulajdonságot, -: nem teljesíti

+

-

Kvantilis

*

+

+

Maximális veszteség

-

+

-

+

Várható érték

+

-

+

+

-

+

+

+

+

+

-

+

+

+

+

Nettó várható érték

+

riáns

megtartó

Π(δ c ) = c

túllépı

No-ripoff

Eltolásinva-

Várható értéket

Rendezés-

Díjelv\Tulajdonság

DÍJELVEK TULAJDONSÁGAI*

+

-

-

+

-

-

-

+

-

+

+

+

Additív

-

-

-

-

-

-

+

-

-

+

+

+

Szubadditív

-

-

-

-

-

-

+

-

+

+

+

+

Homogén

-

-

-

+

+

-

-

-

-

+

-

+

Iterálható

3.sz. FÜGGELÉK

4. sz. FÜGGELÉK

A LAPLACE-TRANSZFORMÁLT TULAJDONSÁGAI

( )

Az Lξ ( s ) = E e − sξ ,s ≥ 0

függvény a nemnegatív ξ

valószínőségi változó Laplace-

transzformáltja. Tulajdonságok: Lξ (0) = 1. Lξ ( s ) analitikus s > 0 esetén. Lξ +η ( s ) = Lξ ( s )Lη ( s ) független ξ és η -ra.

L aξ +b ( s ) = e −bs Lξ (as ),a,b ≥ 0. Egy nemnegatív ξ valószínőségi változó eloszlását egyértelmően meghatározza Laplacetranszformáltja:

P(ξ < x ) = lim ∑ ( −ks!) L(ξk ) ( s ) k

s →∞

k ≤ sx

az eloszlásfüggvény minden folytonossági pontjában (unicitás).

(

)

L(ξk ) ( s ) = (−1) k E ξ k e − sξ ,s > 0 (bederiválhatóság).

159

5. sz. FÜGGELÉK

VÉGES MARKOV-LÁNCOK NÉHÁNY TULAJDONSÁGA Az 1, 2, ..., K értékkészlető Z(0), Z(1), Z(2), ... valószínőségi változó sorozat Markov-lánc (1, 2, ..., K a Markov-lánc állapotai), ha P( Z ( n + k ) = j Z ( 0 ) = i0 , Z (1) = i1 ,..., Z ( n − 1) = in −1 ) = P( Z ( n + k ) = j Z ( n − 1) = in −1 ), n ≥ 1, k ≥ 0,1 ≤ il ≤ K . A Markov-lánc • homogén, ha P( Z ( n ) = j Z ( n − 1) = i) = P( Z (1) = j Z ( 0) = i) = p( i, j ), ∀n ≥ 1 , • irreducibilis, ha minden 1 ≤ i, j ≤ K -hoz ∃m ≥ 0: P( Z ( m) = j Z ( 0) = i) = p ( m) ( i, j ) > 0 ,

{

}

• aperiodikus, ha ∀ i - re max d : d m ∀m: p ( m ) ( i, i ) > 0 = 1 (irreducibilis esetben ezt a tulajdonságot elég egyetlen állapotra leellenırizni). A homogén Markov-lánc m lépés alatti átmenetvalószínőségei könnyen meghatározhatók az átmenetvalószínőségek mátrixai segítségével:

(

)

P ( m) = P m , ahol P ( m ) = p ( m ) ( i, j )

K i , j =1

, P = ( p( i, j )) i , j =1 . K

Homogén, irreducibilis és aperiodikus véges Markov-láncra teljesül, hogy • visszatérı: P(σ i < ∞ Z ( 0) = i) = 1, σ i = inf {m ≥ 1: Z ( m) = i}, ∀1 ≤ i ≤ K , • pozitív: E(σ i Z ( 0) = i) = µ i < ∞, ∀1 ≤ i ≤ K , • ergodikus: lim p ( n ) ( i, j ) = µ −j 1 = q j , ahol {qj} ez esetben a Markov-lánc egyetlen stacionán→∞

rius

eloszlása

(amennyiben

P( Z ( n ) = i) = qi , 1 ≤ i ≤ K ).

160

P( Z ( 0 ) = i) = qi , 1 ≤ i ≤ K ,

akkor

minden

n-re

6. sz. FÜGGELÉK

A MAGYARORSZÁGI BÓNUSZ–MÁLUSZ RENDSZER PARAMÉTERMEGHATÁROZÓ MAPLE PROGRAMJA A programban a magyarországi bónusz–málusz rendszert tekintjük. A kárszámról feltesszük, hogy x paraméterő Poisson-eloszlású. Meghatározzuk a stacionárius eloszlást, díjat (az elsı koordináta), viszonylagos stacionárius középszintet (a második), kezdıket büntetı többletet (a harmadik) és a szórási együtthatót (a negyedik). Végül az elaszticitást is. > with(linalg); > stac:=proc(x) > local P, i, B, C, j, v, u, u15, s, d, k, kk, i1, j1, u2; > P:=matrix(15,15,0): > for i from 1 to 14 do > P[i,i+1]:=exp(-x): > od: > P[15,15]:=exp(-x): > for i from 3 to 15 do > P[i,i-2]:=x*exp(-x): > od: > for i from 5 to 15 do > P[i,i-4]:=x^2*exp(-x)/2: > od: > for i from 7 to 15 do > P[i,i-6]:=x^3*exp(-x)/6: > od: > for i from 1 to 15 do > P[i,1]:=1-sum(P[i,j],j=2..15): > od: > B:=matrix(14,14,0): > for i from 1 to 14 do > B[i,i]:=1: > od: > C:=matrix(14,14,0): > for j from 1 to 14 do > for i from 1 to 14 do > C[i,j]:=B[i,j]-P[j,i]+P[15,i]: > od: > od: > v:=vector(14,0): > for i from 1 to 14 do > v[i]:=P[15,i]: > od: > u:=linsolve(C,v):

161

> u15:=1-sum(u[k],k=1..14): > s:=vector(15,0): > for i from 1 to 14 do > s[i]:=u[i]: > od: > s[15]:=u15: > d:=vector(15,0): > d[1]:=2. : > d[2]:=1.6 : > d[3]:=1.3 : > d[4]:=1.15 : > for k from 0 to 10 do > d[k+5]:=1. -k*0.05: > od: > u2[1]:=sum(d[kk]*s[kk],kk=1..15): > u2[2]:=(u2[1]-d[15])/(d[1]-d[15]); > u2[3]:=(d[5]-u2[1])/u2[1]; > u2[4]:=(sum(sum((d[j1]-d[i1])^2*s[i1]*P[i1,j1],i1=1..15),j1=1..15))^0.5/u2[1]: > RETURN(u2) > end; stac := proc(x) local P, i, B, C, j, v, u, u15, s, d, k, kk, i1, j1, u2; P := matrix(15, 15, 0); for i to 14 do P[i, i + 1] := exp(-x) od; P[15, 15] := exp(-x); for i from 3 to 15 do P[i, i - 2] := x*exp(-x) od; for i from 5 to 15 do P[i, i - 4] := 1/2*x^2*exp(-x) od; for i from 7 to 15 do P[i, i - 6] := 1/6*x^3*exp(-x) od; for i to 15 do P[i, 1] := 1 - sum(P[i, j], j = 2 .. 15) od; B := matrix(14, 14, 0); for i to 14 do B[i, i] := 1 od; C := matrix(14, 14, 0); for j to 14 do for i to 14 do C[i, j] := B[i, j] - P[j, i] + P[15, i] od od; v := vector(14, 0); for i to 14 do v[i] := P[15, i] od; u := linsolve(C, v); u15 := 1 - sum(u[k], k = 1 .. 14); s := vector(15, 0); for i to 14 do s[i] := u[i] od; s[15] := u15; d := vector(15, 0); d[1] := 2.; d[2] := 1.6;

162

d[3] := 1.3; d[4] := 1.15; for k from 0 to 10 do d[k + 5] := 1. - .05*k od; u2[1] := sum(d[kk]*s[kk], kk = 1 .. 15); u2[2] := (u2[1] - d[15])/(d[1] - d[15]); u2[3] := (d[5] - u2[1])/u2[1]; u2[4] := sum( sum((d[j1] - d[i1])^2*s[i1]*P[i1, j1], i1 = 1 .. 15), j1 = 1 .. 15)^.5/u2[1]; RETURN(u2) end > elaszt:=proc(x) > x*1000000*(stac(x+0.000001)[1]-stac(x)[1])/stac(x)[1]: > end; elaszt := proc(x) 1000000*x*(stac(x + .1*10^(-5))[1] - stac(x)[1])/stac(x)[1] end > plot(stac(x)[1], x=0.0..1.); > plot(stac(x)[2], x=0.0..1.); > plot(stac(x)[3], x=0.0..1.); > plot(stac(x)[4], x=0.0..1.); > plot(elaszt(x), x=0.0..1.);

163

7. sz. FÜGGELÉK

A BIZTOSÍTÓK MÉRLEGÉNEK ÉS EREDMÉNYKIMUTATÁSÁNAK SZERKEZETE Mérleg Eszközök (aktivák) A. Immateriális javak 1. Biztosítási állomány megszerzéséért fizetett díjak 2. Egyéb immateriális javak 3. Immateriális javak értékhelyesbítése B.Befektetések I. Ingatlanok II. Részesedések 1. Kapcsolódó vállalkozások részvényei, üzletrészei 2. Kapcsolódó vállalkozások értékpapírjai 3. Adott kölcsönök kapcsolódó vállalkozásoknál III. Egyéb befektetések 1. Értékpapírok (a II/2. kivételével) 1.1. Állam által garantált értékpapírok 1.2. Részvények, üzletrészek (a II/1. kivételével) 1.3. Egyéb értékpapírok 2. Adott kölcsönök (a II/3. kivételével) 2.1. Jelzáloggal fedezett kölcsönök 2.2. Egyéb kölcsönök 3. Betétek hitelintézeteknél 4. Más befektetések IV.Viszontbiztosításba vett biztosítási ügyletbôl V. A befektetések értékhelyesbítése C. Életbiztosítási kötvények befektetési ... D. Követelések I. Közvetlen biztosítási ügyletbôl származó követelések 1. Követelések a biztosítási kötvénytulajdonosoktól 2. Követelések a biztosítási közvetítôktôl II. Követelések viszontbiztosítói ügyletekbôl III. Viszontbiztosítókkal szembeni követelés a biztosításIV. Egyéb követelések E. Egyéb eszközök 1. Tárgyi eszközök (az ingatlanok kivételével), készletek 2. Bankbetétek, pénztár 3. Visszavásárolt saját részvények 4. Egyéb F. Aktív idıbeli elhatárolások 1. Kamatok, bérleti díjak 2. Halasztott életbiztosítási szerzési költségek 3. Egyéb aktív idôbeli elhatárolások

164

Források (passzívák) G. Saját tôke I. Jegyzett tôke ebbôl visszavásárolt tulajdonosi részesedés névértéken II. Jegyzett, de még be nem fizetett tôke (–) III. Tôketartalék IV. Eredménytartalék (+-) V. Értékelési tartalék VI. Mérleg szerinti eredmény (+-) H. Alárendelt kölcsöntôke I. Biztosítástechnikai tartalékok 1. Meg nem szolgált díjak tartaléka 1.1. bruttó összeg 1.2. viszontbiztosításba adott összeg (–) 2. Matematikai tartalékok a) életbiztosítási díjtartalék - ebbôl viszontbiztosításra jutó összeg b) betegségbiztosítási díjtartalék 1. bruttó összeg 2. viszontbiztosításba adott összeg (–) c) balesetbiztosítási járadéktartalék 1. bruttó összeg 2. viszontbiztosításba adott összeg (–) d) felelôsségbiztosítási járadéktartalék 1. bruttó összeg 2. viszontbiztosításba adott összeg (–) 3. Függôkár tartalékok a) bekövetkezett és bejelentett károk tartaléka (tételes függôkár tartalék) 1. bruttó összeg 2. viszontbiztosításba adott összeg (–) b) bekövetkezett, de még be nem jelentett károk tartaléka (IBNR) 1. bruttó összeg 2. viszontbiztosításba adott összeg (–) 4. Eredménytôl függô díjvisszatérítési tartalék 4.1. bruttó összeg 4.2. viszontbiztosításba adott összeg (–) 5. Eredménytôl független díjvisszatérítési tartalék 5.1. bruttó összeg 5.2. viszontbiztosításba adott összeg (–) 6. Káringadozási tartalék 7. Nagy károk tartaléka 8. Törlési tartalék 8.1. bruttó összeg 8.2. viszontbiztosításba adott összeg (–) 9. Egyéb biztosítástechnikai tartalék 9.1. bruttó összeg 9.2. viszontbiztosításba adott összeg (–) J. Biztosítástechnikai tartalékok az életbiztosítási ... K. Céltartalékok 1. Céltartalék várható veszteségekre 2. Céltartalék a várható kötelezettségekre 3. Egyéb céltartalék L. Viszontbiztosítóktól kapott letétek M. Kötelezettségek I. Kötelezettségek közvetlen biztosítási ügyletekbôl II. Kötelezettségek viszontbiztosítási ügyletekbôl III. Kötelezettségek kötvénykibocsátásból IV. Hitelek V. Egyéb kötelezettségek N. Passzív idôbeli elhatárolások

165

Eredménykimutatás 01. Megszolgált díjak a) bruttó díj b) viszontbiztosítónak átadott díj (–) c) meg nem szolgált díjak tartalékának változása (+-) d) a viszontbiztosító részesedése a meg nem szolgált díjak tartalékának változásából (+-) 02. Törlési tartalék változása (+-) 03. Biztosítástechnikai bevételek befektetésekbôl (csak életbiztosítási ágnál) a) kapott osztalék és részesedés b) biztosítási állományhoz kapcsolódó tárgyi eszközök bevételei c) kapott kamatok és kamatjellegő bevételek d) pénzügyi mőveletek egyéb bevételei e) életbiztosításból allokált befektetési bevételek (–) 04. Biztosítottaknak visszajuttatandó befektetési eredmény (csak nem-életbiztosítási ágnál) 05. Egyéb biztosítástechnikai bevétel I. BIZTOSÍTÁSI BEVÉTELEK ÖSSZESEN (01(+-)02+03+04+05) 06. Károk ráfordításai a) bruttó összeg b) viszontbiztosító részesedése (–) c) kárrendezési költségek d) bevételek kármegtérítésbôl és kárrendezési költségtérítésekbôl (–) 07. Függô károk tartalékainak változása (+-) a) tételes függôkár tartalék (+-) a) bruttó összeg b) viszontbiztosító részesedése (–) b) IBNR tartalék (+-) a) bruttó összeg b) viszontbiztosító részesedése (–) 08. Káringadozási tartalék változása (+-) 09. Nagy károk tartalékának változása (+-) 10. Matematikai tartalékok változása (+-) a) életbiztosítási díjtartalék (+-) ebbôl viszontbiztosításra jutó összeg b) betegségbiztosítási díjtartalék (+-) a) bruttó összeg b) viszontbiztosító részesedése (–) c) balesetbiztosítási járadéktartalék (+-) a) bruttó összeg b) viszontbiztosító részesedése (–) d) felelôsségbiztosítási járadéktartalék (+-) a) bruttó összeg b) viszontbiztosító részesedése (–) 11. Bekövetkezett károkkal kapcsolatos, valamint a károk, kötelezettségek fedezetére képzett ráfordítások (06+-07+-08+-09+12. Eredménytôl függô díjvisszatérítési tartalék változása (+-) a) bruttó összeg b) viszontbiztosító részesedése (–) 13. Eredménytôl független díjvisszatérítési tartalék változása (+-) a) bruttó összeg b) viszontbiztosító részesedése (–) 14. Egyéb biztosítástechnikai tartalék változása (+-) a) bruttó összeg b) viszontbiztosító részesedése (–) 15. Nettó mőködési költségek a) tárgyévben felmerült szerzési költségek

166

b) elhatárolt szerzési költségek változása (+-) c) igazgatási költségek d) viszontbiztosítótól járó jutalékok és nyereségrészesedések (–) e) saját tulajdonú és használatú ingatlanok miatti korrekció 16. Biztosítástechnikai ráfordítások befektetésekbôl (csak életbiztosítási ágnál) a) fizetett kamatok és kamatjellegő ráfordítások b) pénzügyi befektetések leírásai c) pénzügyi mőveletek egyéb ráfordításai d) biztosítási állományhoz kapcsolódó tárgyi eszközök ráfordításai e) befektetések egyéb ráfordításai 17. Egyéb biztosítástechnikai ráfordítások II.BIZTOSÍTÁSI RÁFORDÍTÁSOK ÖSSZESEN (+-11+-12+-13+-14+15+16+17) A) BIZTOSÍTÁSTECHNIKAI EREDMÉNY (I–II) III. Egyéb bevételek IV. Egyéb ráfordítások B) BIZTOSÍTÁS ÜZLETI EREDMÉNYE (+-A+III–IV) 18. Kapott osztalék és részesedés 19. Kapott kamatok és kamatjellegő bevételek 20. Befektetett tárgyi eszközök bevételei 21. Saját tulajdonú, saját használatú ingatlanok bevételkorrekciója (15/e. sorral egyezôen) 22. Pénzügyi mőveletek egyéb bevételei 23. Életbiztosításból allokált befektetési bevétel (03/e. sorba) 24. Biztosítottaknak visszajuttatandó befektetési eredmény (–) (egyezôen a 04. sorral) V. Befektetések nettó bevétele (18+19+20+21+22+23–24) 25. Fizetett kamatok és kamatjellegő ráfordítások 26. Pénzügyi befektetések leírásai 27. Pénzügyi mőveletek egyéb ráfordításai 28. Befektetett tárgyi eszközök ráfordítása 29. Befektetések egyéb ráfordításai VI. Befektetések ráfordításai (25+26+27+28+29) C) BEFEKTETÉSI EREDMÉNY (V–VI) VII. Nem biztosítási tevékenység bevételei VIII. Nem biztosítási tevékenység ráfordításai D) NEM BIZTOSÍTÁSI TEVÉKENYSÉG EREDMÉNYE (VII–VIII) E) SZOKÁSOS VÁLLALKOZÁSI EREDMÉNY (+-B+-C+-D) IX. Rendkívüli bevételek X. Rendkívüli ráfordítások F) RENDKÍVÜLI EREDMÉNY (IX–X) G) NEM BIZTOSÍTÁSTECHNIKAI EREDMÉNY (III–IV+-C+-D+-F) H) ADÓZÁS ELÔTTI EREDMÉNY (+-E+-F) XI. Adófizetési kötelezettség I)ADÓZOTT EREDMÉNY (+-H–XI) 30. Eredménytartalék igénybevétele osztalékra, részesedésre 31. Fizetett (jóváhagyott) osztalék, részesedés J) MÉRLEG SZERINTI EREDMÉNY (+-I+30–31)

167

IRODALOM [1] Bácskai Tamás, Huszti Ernı, Meszéna György, Mikó Gyula, Szép Jenı. A gazdasági kockázat és mérésének módszerei, Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó, Budapest, (1976) [2] R. E. Beard, T. Pentikäinen, E. Pesonen. Risk theory, Methuen, London, (1969). [3] Bognár Katalin. A viszontbiztosítás matematikai módszerei, ÁB (Biztosítási matematika III.), Budapest, (évszám nélkül). [4] N. L. Bowers, H. U. Gerber, J. C. Hickman, D. A. Jones, C. J. Nesbitt. Actuarial mathematics, Society of Actuaries, Itasca, (1986). [5] H. Bühlmann. Mathematical methods in risk theory, Springer, New York, (1970). [6] C. Daykin, T. Pentikäinen, E. Pesonen. Practical risk theory for actuaries, Chapman & Hall, London, (1993). [7] J. Dhaene, N. De Pril. On a class of approximative computation methods in the individual risk model, Insurance: Mathematics and Economics 14, 181–196 (1994). [8] H. U. Gerber. An introduction to mathematical risk theory, University of Pennsylvania, Philadelfia, (1979). [9] M. J. Goovaerts, F. De Vylder, J. Haezendonck. Insurance premiums, North–Holland, Amsterdam, (1984). [10] M. J. Goovaerts, R. Kaas, A. E. van Heerwaarden, T. Bauwelinckx. Effective actuarial methods, North–Holland, Amsterdam, (1990). [11] R.–W. Heilman. A kockázatelmélet alapjai, MKKE Biztosítási Kutató Csoport, Budapest, (évszám nélkül). [12] I. B. Hossack, J. H. Pollard, B. Zehnwirth. Introductory statistics with applications in general insurance, Cambridge University Press, Cambridge, (1983). [13] Institute of Actuaries. Claims reserving manual I–II, Institute of Actuaries, Oxford, (). [14] R. Kaas, M. J. Goovaerts, A. E. van Heerwaarden. Ordering of actuarial risks, CAIRE, Brussels, (1994). [15] Kalmár László. A kockázati díj számítása a vagyonbiztosításban, Biztosítási szemle, (évszám nélkül). [16] S. Karlin, H. M. Taylor. Sztochasztikus folyamatok, Gondolat, Budapest, (1985). [17] Kováts Antal, Ribényi Ákos. Casco bónusz, kézirat, (1999). [18] J. Lemaire. Automobile insurance, Kluwer, Boston, (1985). 168

[19] J. Lemaire. Bonus–malus systems in automobile insurance, Kluwer, Boston, (1995). [20] V. Malinovszkij. Расчет общего числа страховых выплат и предельные теоремы

теории вероятностей, Страховое дело, 3 (1), 42–46, (1995). [21] Matits Ágnes. A kockázati díjak kalkulációja a kárbiztosításban, MKKE Biztosítási Kutató Csoport (Biztosításelméleti füzetek 4.), Budapest, (1988). [22] Michaletzky György. A biztosítási kockázat, mint sztochasztikus folyamat, ÁB (Biztosítási matematika II.), Budapest, (évszám nélkül). [23] Michaletzky György. Kockázati folyamatok, ELTE Eötvös Kiadó, Budapest, (1995). [24] Mogyoródi József. A biztosítási díjkalkuláció matematikai elveirıl, ÁB (Biztosítási matematika I.), Budapest, (évszám nélkül). [25] H.H. Panjer, G.E. Willmot. Insurance risk models, Society of Actuaries, Schaumburg, (1992). [26] V.V. Petrov. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин,

Наука, Москва, (1987). [27] Rényi Alfréd. Valószínőségszámítás, Tankönyvkiadó, Budapest, (1966). [28] M. Rytgaard. Estimation in the Pareto distribution, Astin Bulletin, 20 (2), 201–215, (1990).

169

TÁRGYMUTATÓ F

A,Á A típusú Neyman-eloszlás, 29, 30, 32

felelısségbiztosítás, 13, 112

additivitás, 70

féloldali szórásnégyzet elv, 56

általános biztosítás, 13 G

arab módszer, 124 átlagos érték elv, 57, 60, 63, 66, 68, 69, 71

geometriai-geometriai eloszlás, 29

B

H

balesetbiztosítás, 13

határozatlan tartam, 12

balesetbiztosítási járadéktartalék, 112, 165, 166

határozott tartam, 10, 11

betegségbiztosítás, 13

homogenitás, 69

binomiális eloszlás, 24, 26, 31, 156 I,Í

biztosítás tartama, 10 biztosítási ág, 12

infláció, 43, 115, 127

biztosítási ágazat, 12

irreducibilis Markov-lánc, 94, 96, 160

biztosítási díj, 10, 13

iterálhatóság, 70

biztosítási esemény, 10 J

biztosítási idıszak, 10 biztosítási összeg, 11, 12, 14, 17, 144

jéghegy módszer, 118, 125, 129, 130

biztosított, 10 K

bónusz, 92 Bornhuetter–Ferguson módszer, 130, 131

kár, 11, 14, 114

bruttó díj, 13

kárarány, 14, 144 C

credibility, 73, 75, 82, 93, 106, 134, 147 E,É

kárgyakoriság, 14, 33, 127 kárhányad, 14 kárösszeg, 16, 17 keverék Poisson-eloszlás, 27, 30, 32 kifutási háromszög, 116, 117

egyéb biztosítástechnikai tartalék, 141, 165, 166

korlátlanul osztható, 30

életbiztosítás, 12

korlátlanul osztható eloszlás, 30

eltolásinvariancia, 63, 70

kvantilis elv, 54, 67, 68

eredménykimutatás, 108 eredménytıl független díjvisszatérítési tartalék, 135

L

exponenciális eloszlás, 35, 41, 43

lánc-létra, 125, 126, 131, 133

exponenciális elv, 57, 65, 66, 67, 70, 72

láncszemhányados módszer, 125, 126, 129, 130 Laplace-transzformált, 14, 30, 159

170

R

logaritmikus eloszlás, 28, 29 lognormális eloszlás, 35, 41, 43

rizikóparaméter, 75, 78, 82, 139, 150

M Markov-lánc, 92, 93, 94, 160

S svájci díjkalkulációs elv, 66

Markov-lánc stacionárius eloszlása, 95 maximális veszteség elv, 53 meg nem szolgált díjak tartaléka, 110 mérleg, 108

Sz szeparációs módszer, 131 szerzıdés hatálya, 10

módozat, 12, 114

szolgáltatás, 11 N

szórás elv, 55, 70, 71, 72 szórásnégyzet elv, 55, 68, 70, 72, 87

naív kárhányad módszer, 130

szubadditivitás, 72

NCD, 91, 92 negatív binomiális eloszlás, 24, 26, 27, 31, 32, 139, 156

T tapasztalati díj, 82, 83

nem-életbiztosítás, 13, 109, 114

tételes függıkárok, 120, 128

nettó díj, 13, 144 no-ripoff feltétel, 68

V Ö,İ

vagyonbiztosítás, 13 várható érték elv, 53, 57, 65, 66, 68, 70, 82, 86

önrész, 41, 51, 100

veszélyközösség, 13

összetett Poisson-eloszlás, 27, 29, 48, 50, 51, 94 P

veszteségfüggvény elv, 67, 82 viszontbiztosítás, 13, 51 viszonylagos stacionárius középszint, 98

Panjer-rekurzió, 44, 47, 48, 169 Pareto-eloszlás, 38, 39, 40, 43, 157 Poisson eloszlás, 156

W Weibull-eloszlás, 40, 157

Poisson-binomiális eloszlás, 29 Poisson-eloszlás, 24, 31, 48, 94, 139

Z zéró hasznosság elve, 65, 68, 69, 70

171