VEKTOR
Dalam mempelajari fisika kita selalu berhubungan dengan besaran, yaitu sesuatu yang dapat diukur dan dioperasikan. Ada besaran yang cukup dinyatakan dengan nilai (harga magnitude) dan satuannya saja, tidak perlu ditambahkan penjelasan lain. Besaran ini disebut skalar. Contoh besaran skalar antara lain waktu, massa, temperatur, dan sebagainya. Pengoperasian besaran skalar sama dengan pengoperasian bilangan dalam aljabar biasa; penjumlahan dan perkaliannya sama dengan yang kita kenal sehari-hari. Ada juga besaran yang disamping nilai dan satuannya perlu juga dinyatakan arahnya. Besaran semacamini disebut vector. Contoh besaran vektor adalah kecepatan, percepatan, gaya, dan sebagainya. Aturan pengoperasian vektor tidak sama dengan bilangan yang biasa kita pakai sehari-hari. Penjumlahan dan perkalian vektor mempunyai aturan tersendiri. Aturan ini akan kita pelajari, seperti yang tercantum di bawah ini.
1.
Representasi Vektor Besaran vektor biasa dituliskan dengan huruf vokal tebal, contoh A , atau dengan huruf biasa yang diberi panah di atasnya, contoh ⃗. Besar atau nilai vektor (tidak peduli arahnya) dinyatakan dengan ⃗ atau cukup A saja. Nilai vektor adalah skalar dan tidak pernah negatif. Vektor dapat direpresentasikan secara grafis dengan menggunakan anak panah ⃗ P Arah anak panah menyatakan arah vektor tersebut, dan panjang anak panah sebanding dengan nilai vektornya. Titik pangkal vektor (P) disebut titik tangkap vektor, dan garis yang berimpit dengan vektor disebut garis kerja vektor. Vektor
dapat
juga
direpresentasikan
secara
analitis
dengan
menyebutkan nilainya dan arahnya. Misalnya vektor kecepatan angin
besarnya 0,5 m/s ke arah barat, atau gaya ⃗ = 50 newton membentuk sudut 300 dengan garis vertikal. Cara lain menyatakan vektor adalah dengan menggunakan komponen dalam sistem koordinat tertentu. Di titik tangkap vektor tersebut kita bayangkan ada tiga buah sumbu koordinat yang saling tegak lurus, sebut saja sumbu x, sumbu y, dan sumbu z. Proyeksi vektor ⃗ dalam arah sumbu x disebut Ax, dalam arah sumbu y disebut Ay, dan dalam arah sumbu z disebut Az. Ketiga proyeksi ini, Ax, Ay, dan Az disebut komponen vektor ⃗. Dalam notasi ini ⃗ dapat dituliskan sebagai pasangan terurut ketiga komponennya, ⃗=
,
Vektor ̂, ̂, dan
⃗=
,
̂+
̂+
berturut-turut adalah vektor yang panjangnya satu
dalam arah x, y, dan z. Dimana panjangan vektor ⃗ dapat dituliskan sebagai berikut : = ⃗ =
+
+
Arahnya diwakili oleh sudut yang dibentuk oleh ⃗ dengan ketigas umbu koordinat, cos
2.
=
, cos
=
, cos =
Operasi Dasar Vektor a. Kesamaan Vektor ⃗ dinyatakan sama dengan vektor ⃗ bila besarnya dan arahnya sama. Titik tangkap dan garis kerjanya tidak harus sama. Dalam notasi komponen kedua vektor dikatakan sama bila ketiga komponennya sama, ⃗= ⃗ ↔
=
,
=
,
=
b. Perkalian dengan Skalar Vektor ⃗ =
⃗ adalah sebuah vektor yang panjangnya | | kali panjang
vektor ⃗ dan arahnya sama bila m positif dan arahnya berlawanan bila m
negatif. Jika m = 0, maka diperoleh vektor nol yang panjangnya nol dan arahnya tak tentu. Dalam notasi komponen, Jika ⃗ = Vektor satuan
⃗ maka
=
,
=
,
=
adalah vektor dalam arah ⃗ yang panjangnya satu. Jadi, =
⃗
Khususnya vektor satuan dalam arah sumbu x, y, dan z biasa dinyatakan dengan ̂, ̂,
,
,
c. Penjumlahan Vektor Jumlah vektor ⃗ dan ⃗ adalah sebuah vektor ⃗ yang diperoleh lewat aturan jajaran-genjang atau dengan menempatkan vektor ⃗ di ujung vektor ⃗, lalu pangkal vektor ⃗ dihubungkan dengan ujung vektor ⃗ untuk mendapatkan vektor ⃗. Jumlah ini dituliskan sebagai ⃗ = ⃗ + ⃗. Selisih dua buah vektor didefinisikan sebagai ⃗ − ⃗ = ⃗ + − ⃗ = ⃗ + (−) ⃗ Adapun panjang resultan ⃗ = ⃗ ± ⃗ adalah = ⃗ =
+
±2
cos
Dengan adalah sudut yang diapit oleh vektor ⃗ dan vektor ⃗. Arahnya diberikan oleh sin
=
sin
=
sin
Dengan adalah sudut apit ⃗ dan ⃗, dan β adalah sudut apit ⃗ dan ⃗. Bila dituliskan dalam komponen, maka untuk ⃗ = ⃗ ± ⃗, kita dapatkan : =
±
,
=
±
,
=
±
Adapun sifat-sifat berikut berlaku bagi operasi dasar vektor : a.
⃗ + ⃗ = ⃗ + ⃗ (Hukum Komutatif bagi penjumlahan)
b.
⃗+ ⃗+ ⃗ =
c.
⃗= ⃗
⃗ + ⃗ + ⃗(Hukum Asosiatif bagi penjumlahan)
(Hukum Komutatif bagi Perkalian dengan Skalar)
⃗ = 2(
d.
3.
) ⃗ (Hukum Asosiatif bagi Perkalian dengn Skalar)
e. (
+ )⃗=
⃗+
⃗ (Hukum Distributif)
f.
⃗+ ⃗ =
⃗+
⃗ (Hukum Distributif)
Perkalian Antar Vektor Perkalian antar vektor adalah hal yang baru, karena itu perlu didefinisikan dahulu aturannya. Ada tiga macam perkalian vektor, yaitu perkalian titik ⃗ . ⃗, perkalian silang ⃗ × ⃗, dan perkalian dyadic ⃗ ⃗; masing-masing mempunyai arti dan sifat yang sangat berlainan, karena itu hati-hatilah dalam menuliskan perkalian vektor, jangan dikacaukan satu dengan yang lainnya.
a. Perkalian Titik (Dot Product) Perkalian titik didefinisikan sebagai ⃗. ⃗ =
cos , 0 ≤
≤
Dengan adalah sudut yang diapit oleh ⃗
⃗ . Hasil perkalian ini
adalah skalar bukan vektor, karena itu perkalian titik sering juga disebut perkalian skalar. Bila dinyatakan dalam komponen, perkalian titik menjadi ⃗. ⃗ =
+
+
Jelas dari defenisi di atas bahwa panjang suatu vektor dapat dituliskan sebagai perkalian titik, = ⃗
= ⃗. ⃗=
+
+
Secara geometri, perkalian titik mengandung arti proyeksi. Bila BA = B cos adalah panjang proyeksi ⃗ sepanjang ⃗, maka ⃗. ⃗ = Khususnya, bila
adalah vektor satuan, maka panjang proyeksi ⃗ pada ⃗
adalah : =
cos
= ⃗.
=
⃗. ⃗
Jadi bila ̂, ̂,
berturut-turut adalah vektor satuan dalam arah sumbu
x, y, dan z, maka komponen-komponen suatu vektor ⃗ dapat dituliskan sebagai : = ̂ . ⃗,
= ̂ . ⃗,
. ⃗
=
Perkalian titik dapat juga dipakai untuk mencari sudut antara dua buah vektor dengan menggunakan persamaan : cos
⃗. ⃗
=
+
=
+
+
+
+
+
Sifat-sifat berikut berlaku bagi perkalian titik : a. ⃗ . ⃗ = ⃗. ⃗ (Hukum Komutatif) b. ⃗ . ⃗ + ⃗ = ⃗ . ⃗ + ⃗ . ⃗ (Hukum Distributif) c.
⃗. ⃗ =
d. ̂ . ̂ = ̂ . ̂ =
. ⃗ . ⃗ = ⃗. .
. ⃗ =
= 1; ̂ . ̂ = ̂ .
=
⃗. ⃗
. ̂=0
e. Jika ⃗ . ⃗ = 0 dan ⃗ dan ⃗ bukan vektor nol, maka ⃗ haruslah tegak lurus ⃗
b. Perkalian Silang Berlainan dengan perkalian titik, hasil perkalian silang ⃗ × ⃗ adalah vektor. Perkalian silang didefinisikan sebagai : ⃗ × ⃗=(
sin ) , 0 ≤
Dengan adalah sudut antara ⃗
≤
⃗ . Vektor satuan n adalah vektor
yang tegak lurus kepala bidang yang dibentuk oleh ⃗ menuruti gerak sekrup yang berputar dari ⃗
⃗ dan berarah
⃗ melalui sudut . Dalam
komponen perkalian silang ditulis sebagai : ⃗× ⃗ = ̂
+ ̂(
−
a.
⃗× ⃗ =− ⃗× ⃗
b.
⃗× ⃗+ ⃗ = ⃗× ⃗+ ⃗× ⃗
c. m( ⃗ × ⃗ ) = d.
̂ × ̂= ̂ × ̂=
⃗ × ⃗= ⃗× ×
−
⃗ =
= 0; ̂ × ̂ =
)+
−
⃗× ⃗ , ̂ ×
= ̂, × ̂= ̂
e.
⃗ × ⃗ = luas jajaran genjang yang dibentuk oleh ⃗
f. Jika ⃗ × ⃗ = 0 dan ⃗ ⃗ g.
⃗
⃗ bukan vektor nol, maka haruslah
⃗
⃗ × ⃗ × ⃗ = ⃗ . ⃗ ⃗ − ( ⃗ . ⃗) ⃗
c. Perkalian Dyadic Perkalian dyadic ⃗ ⃗ menghasilkan suatu besaran baru yang bukan vektor, bukan pula skalar. Besaran baru ini disebut dyadic atau tensor rank 2. Skalar cukup dinyatakan dengan sebuah bilangan, vektor membutuhkan 3 bilangan (komponen) untuk menetapkannya, sedangkan dyadic membutuhkan 9 bilangan (komponen) untuk menetapkannya. Contoh besaran dyadic adalah tensor tegangan (stress), tensor regangan (strain), tensor konduktivitas untuk bahan non isotropik, dan sebagainya.
4.
Sistem Koordinat Polar Telah disebutkan di depan bahwa sembarang vektor ⃗ dapat dinyatakan dengan menuliskan komponen-komponennya dalam sistem koordinat (xyz) atau disebut juga sistem koordinat kartesian, yaitu ⃗=
̂+
̂+
Dimanapun letak vektor tersebut, vektor satuan ̂, ̂,
selalu sama, baik
besar maupun arahnya. Sistem koordinat lain yang banyak dipakai, khususnya untuk membahas gerak dalam bidang, adalah sistem koordinat polar. Dalam hal ini komponen-komponen vektor ⃗ dinyatakan dalam komponen radial ̂ dan komponen tangensial . ⃗=
̂+
Arah vektor satuan radial ̂ adalah dari titik asal koordinat ke titik tangkap vektor (radial ke luar), sedangkan arah vektor satuan tangensial adalah tegak lurus kepada vektor radial ke arah membesarnya sudut polar . Adapun hubungan antara koordinat polar dan koordinat kartesian dapat ditunjukkan dengan mudah, = cos ;
=
+
=
sin ;
=
Sedangkan hubungan antara vektor-vektor satuannya adalah : ̂ = cos = − sin
̂ + sin ̂ + cos
̂ ̂
