Aplikasi Turunan. Diadaptasi dengan tambahan dari slide Bu Puji Andayani, S.Si, M.Si, M.Sc

Aplikasi Turunan Diadaptasi dengan tambahan dari slide Bu Puji Andayani, S.Si, M.Si, M.Sc

1

Menggambar Grafik Fungsi Informasi yang dibutuhkan: A. Titik potong dengan sumbu x dan sumbu y B. Asimtot fungsi Definisi 5.1: Asimtot fungsi adalah garis lurus yang didekati oleh grafik fungsi. Ada Tiga jenis asimtot fungsi, yakni (i) Asimtot Tegak Garis 𝒙 = 𝒄 disebut asimtot tegak dari 𝑦 = 𝑓(𝑥) jika lim f ( x)   x c (ii) Asimtot Datar Garis 𝒚 = 𝒃 disebut asimtot datar dari 𝑦 = 𝑓(𝑥) jika lim f ( x)  b x   (iii) Asimtot Miring Garis 𝒚 = 𝒂𝒙 + 𝒃 disebut asimtot miring jika

2

f ( x) lim a x   x

dan

lim f ( x)  ax  b

x  

Asimtot tegak a

a

𝑥 = 𝑎 asimtot tegak Dalam kasus

𝑥 = 𝑎 asimtot tegak Dalam kasus

lim f ( x)  

lim f ( x)  

x a 

dan

dan

lim f ( x)  

x a

3

x a 

lim f ( x)  

x a

Asimtot datar 𝑦= 𝑏

Garis 𝑦 = 𝑏 asimtot datar karena lim f ( x)  b x 

Asimtot datar mungkin dipotong oleh grafik fungsi untuk 𝑥 hingga Tapi, jika untuk 𝑥 menuju tak hingga asimtot datar dihampiri oleh Grafik fungsi(tidak dipotong lagi)

4

Asimtot miring 𝑦 = 𝑓(𝑥)

y  ax  b Garis 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 asimtot miring

Asimtot miring bisa dipotong oleh kurva untuk nilai 𝑥 hingga. Untuk satu fungsi tidak mungkin ada sekaligus asimtot datar dan asimtot miring

5

x 2  2x  4 Contoh : Tentukan semua asimtot dari f ( x)  x2 Jawab :

(i) Asimtot tegak : 𝑥 = 2, karena x  2x  4   dan x2 2

lim

x 2

(ii) Asimtot datar :

x 2  2x  4 lim  x 2 x2

x 2 (1  2x  x42 )

x  2x  4 lim f ( x)  lim  lim 2 1 2 x  x  x  x2 x ( x  x2 )

 lim

x 

2

(1  2x  x42 ) (  ) 1 x

2 x2

Maka asimtot datar tidak ada 6



(iii) Asimtot miring

f ( x) x2  2x  4 1 a  lim  lim . x  x   x x2 x  lim

x 

x 2 (1  2x  x42 ) x (1  ) 2

2 x

 lim

x 

x2  2x  4  lim x  x2  2x (1  2x  x42 ) (1  ) 2 x

1

x 2  2 x  4  x( x  2) b  lim f ( x)  ax  lim x  x  x2 2 2 2 x  2x  4 x  2 x  4  x  2 x  lim x  lim x  x2 x  x2

4  lim 0 x  x  2

Asimtot miring 𝑦 = 𝑥 7

Soal Latihan Tentukan semua asimtot dari fungsi berikut :

8

1.

1 f ( x)  x 1

2.

f ( x)  x 

3.

x2  2x f ( x)  2 x 1

4.

f ( x) 

5.

x2  2x f ( x)  2 x 1

1 x3

2x x3

6.

x2 1 f ( x)  2x2

7.

f ( x) 

1 x x2 1

Kemonotonan Fungsi Definisi 2 Fungsi 𝑓(𝑥) dikatakan monoton naik pada interval 𝐼 jika untuk

x1  x2  f x1   f x2  ,  x1 , x2  I f(x2)

f(x1)

x1

I

Fungsi 𝑓(𝑥) monoton naik pada selang 𝐼 9

x2

monoton turun pada interval I jika untuk

x1  x2  f x1   f x2  ,  x1, x2 I f(x1) f(x2)

x1

I

x2

Fungsi f monoton turun pada selang I

10

Critical Points

Contoh 3

Bukan critical points

Critical points

Teorema 1 : Andaikan 𝑓 diferensiabel di selang 𝐼, maka  

Fungsi 𝑓(𝑥) monoton naik pada 𝐼 jika f '( x) 0  x  I Fungsi 𝑓(𝑥) monoton turun pada 𝐼 jika f '( x) 0  x  I

x 2  2x  4 Contoh : Tentukan selang kemonotonan dari f ( x)  x2 Jawab : 2x 2  6x  4  x 2  2x  4 (2 x  2)( x  2)  1( x 2  2 x  4) f ' ( x)   2 ( x  2) ( x  2) 2

x 2  4 x x( x  4)   2 ( x  2) ( x  2) 2

Tidak 0 0 +++++++ ------------ada--------- ++++++ 0

𝑓(𝑥) monoton naik pada (,0) dan (4,) 𝑓(𝑥) monoton turun pada (0,2) dan (2,4). 15

2

4

𝑓’(𝑥) 𝑥

Fungsi naik dan Fungsi Turun

Example 2

Tes pada turunannya!, bukan pada fungsi asalnya

Tes Turunan Pertama

Tentukan dimana saja fungsi ini naik dan turun Critical Points:

t=-2 dan t=2 bukan maksimum atau minimum 12 𝑡=− 𝑚𝑒𝑟𝑢𝑝𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑢𝑚 , 𝑡 = 5

12 𝑚𝑒𝑟𝑢𝑝𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑚𝑎𝑘𝑠𝑖𝑚𝑢𝑚 5

Ekstrim Fungsi Definisi 3 Misalkan 𝑓(𝑥) kontinu pada selang 𝐼 yang memuat 𝑐, 𝑓(𝑐) disebut nilai

maksimum global dari 𝑓 pada 𝐼 jika f (c)  f ( x)  x  I f (c )  f ( x ) minimum

maksimum 𝑓(𝑐) disebut nilai lokal dari 𝑓 pada 𝐼 jika terdapat selang minimum

buka yang memuat 𝑐 sehingga

f (c )  f ( x ) f (c )  f ( x )

untuk setiap 𝑥 pada

selang buka tadi. Nilai maksimum dan minimum fungsi disebut juga nilai ekstrim Titik pada daerah definisi dimana kemungkinan terjadinya ekstrim fungsi disebut titik kritis/critical points. 22

Max lokal

a

Max global Min lokal

b

c

Min global Max lokal d

e

Min lokal

f

Nilai ekstrim fungsi pada selang 𝐼 = [𝑎, 𝑓]

23

Ada tiga jenis titik kritis :

24



Titik ujung selang I



Titik stasioner ( yaitu 𝑥 = 𝑐 dimana f ' (c)  0 ) , secara geometris : garis singgung mendatar dititik (𝑐, 𝑓(𝑐))



Titik singulir ( 𝑥 = 𝑐 dimana f ' (c) tidak ada ), secara geometris: terjadi patahan pada grafik 𝑓 di titik (𝑐, 𝑓(𝑐))

Teorema 3 : Uji turunan pertama untuk ekstrim lokal f ' ( x)  0 pada (c   , c) Jika f ' ( x)  0

f ' ( x)  0 pada f ' ( x)  0 (c, c   ) Maka 𝑓(𝑐) merupakan nilai maksimum lokal minimum dan

f(c) f(c) c f(c) nilai maks lokal Disebelah kiri 𝑐 monoton naik (𝑓 ’ > 0) dan disebelah kanan 𝑐 monoton turun (𝑓’ < 0) 25

c f(c) nilai min lokal Disebelah kiri 𝑐 monoton turun (𝑓 ’ < 0) dan disebelah kanan 𝑐 monoton naik (𝑓’ > 0)

Teorema 4 Uji turunan kedua untuk ekstrim lokal f ' ' (c )  0 Misalkan f ' (c)  0 . Jika ,maka 𝑓(𝑐) merupakan f ' ' (c )  0 maksimum nilai

minimum

lokal 𝑓

x 2  2x  4 Contoh : Tentukan nilai ekstrim dari f ( x)  x2 x( x  4) Jawab:

f ' ( x) 

( x  2) 2

Tidak +++++++ 0 ------------ada--------- 0 ++++++ 0

2

4

𝑓’(𝑥) 𝑥

Dengan menggunakan uji turunan pertama : di 𝑥 = 0 tercapai maksimum lokal dengan nilai f (0)  2

di 𝑥 = 4 tercapai minimum lokal dengan nilai f (4)  6 26

Kecekungan Fungsi y

y

x

Grafik fungsi cekung keatas

x

Grafik fungsi cekung kebawah

Fungsi 𝑓(𝑥) dikatakan cekung ke atas pada interval 𝐼 bila f '( x) naik pada f '( x) interval 𝐼, dan 𝑓(𝑥) dikatakan cekung kebawah pada interval 𝐼 bila turun pada interval I. Teorema 6 Uji turunan kedua untuk kecekungan 1. Jika f "( x)  0 ,  x I , maka f cekung ke atas pada I. 2. Jika f "( x)  0,  x I , maka f cekung ke bawah pada I. 27

x 2  2x  4 Contoh : Tentukan selang kecekungan dari f ( x)  x2 Jawab : x2  4x f ' ( x)  ( x  2) 2

(2 x  4)( x  2) 2  2( x  2)( x 2  4 x) f ' ' ( x)  ( x  2) 4

( x  2)((2 x  4)( x  2)  2( x 2  4 x))  ( x  2) 4 8 2 x 2  8x  8  2 x 2  8x   3 3 ( x  2 ) ( x  2)

Tidak - - - - - ada+++f”(x)

2

Grafik f cekung keatas pada (2, ) dan cekung kebawah pada selang (,2) 28

x





F. Titik belok Definisi 4 Misal f(x) kontinu di x = b. Maka (b,f(b)) disebut titik belok dari kurva f(x) jika : terjadi perubahan kecekungan di x = b, yaitu di sebelah kiri dari x =b, fungsi f cekung ke atas dan di sebelah kanan dari x =b fungsi f cekung ke bawah atau sebaliknya x = b adalah absis titik belok, jika f "(b)  0 atau f "(b) tidak ada.

29

f(c)

f(c)

c

(c,f(c)) titik belok Karena disebelah kiri c cekung keatas dan disebelah kanan c cekung kebawah

30

c (c,f(c)) titik belok

Karena disebelah kiri c cekung kebawah dan disebelah kanan c cekung keatas

f(c)

c

(c,f(c)) bukan titik belok Karena disekitar c tidak Terjadi perubahan kecekungan

31

c

Walaupun di sekitar c Terjadi perubahan Kecekungan tapi tidak ada Titik belok karena f tidak terdefinisi di c

Tentukan titik belok (jika ada) dari

1. f ( x)  2 x3  1 f ' ( x)  6 x 2 , f ' ' ( x)  12 x ------------- 0 +++++++ f”(x) ● 0 x Di x = 0 terjadi perubahan kecekungan, dan f(0)= -1 maka (0,-1) merupakan titik belok

2. f ( x)  x 4 f ' ' ( x)  12 x 2

0 f”(x) +++++++ ● +++++++ 0 x Tidak ada titik belok, karena tidak terjadi perubahan kecekungan 32

x2  2x  4 3. f ( x)  x2 8 f ' ' ( x)  ( x  2)3

Tidak --------------ada +++++ ● 2

f”(x) x

Walaupun di x = 2, terjadi perubahan kecekungan, tidak ada titik belok karena fungsi f(x) tidak terdefinisi di x = 2

33

Cara menentukan nilai ekstrim mutlak: 1. Temukan nilai f pada critical points dan endpoints/ titik ujung 2. Ambil nilai tertinggi dan terendah dari semua nilai yang ditemukan ini

Turunan Eksponensial dan Logaritma

a b c

Tentukan nilai minimum dan maksimumnya

Min

Max

x 2  2x  4 Contoh: Diketahui f ( x)  x2

a. Tentukan selang kemonotonan dan ekstrim fungsi b. Tentukan selang kecekungan dan titik belok c. Tentukan semua asimtot d. Gambarkan grafik f(x)

a. Fungsi f(x) monoton naik pada selang (,0) , (4,) monoton turun pada selang (0,2) dan (2,4). di x = 0 tercapai maksimum lokal dengan nilai f (0)  2 di x = 4 tercapai minimum lokal dengan nilai f (4)  6 b. Grafik f cekung keatas pada (2, ) dan cekung kebawah pada selang (,2) , tidak ada titik belok c. Asimtot tegak x = 2, asimtot miring y = x, tidak ada asimtot datar

38

d. Grafik f(x)

Tidak ++++++0-----ada-----0++++++ 0 2 4 Tidak ---------------------ada +++++++++++ 2 6

-2 y=x

39

2

4

f' x

f '' x

Soal Latihan Tentukan selang kemonotonan dan ektrim fungsi berikut : 1.

f ( x)  2 x5  15x 4  30 x3  6

x 2  3x  1 2. f ( x)  x3 x2  2x  1 3. f ( x)  x2 4.

40

( x  1) 2 f ( x)  x

Soal Latihan Tentukan selang kecekungan dan titik belok fungsi berikut : 1.

f ( x)  2 x5  15x 4  30 x3  6

x 2  3x  1 2. f ( x)  x3 x2  2x  1 3. f ( x)  x2 4.

41

( x  1) 2 f ( x)  x