APLIKASI CAYLEY TREE DALAM MENENTUKAN BANYAK ISOMER SENYAWA ALKANA

APLIKASI CAYLEY TREE DALAM MENENTUKAN BANYAK ISOMER SENYAWA ALKANA

SKRIPSI

Diajukan kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta untuk memenuhi sebagian persyaratan guna memperoleh gelar Sarjana Sains

Disusun oleh: Nely Indra Meifiani 04305144007

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 2008

i

PERSETUJUAN

SKRIPSI

APLIKASI CAYLEY TREE DALAM MENENTUKAN BANYAK ISOMER SENYAWA ALKANA

Telah memenuhi syarat dan siap untuk diujikan

Disetujui pada Hari/tanggal: Rabu, 16 Juli 2008

Menyetujui, Dosen Pembimbing I

Dosen Pembimbing II

Emut M.Si NIP. 131808333

Murdanu M.Pd NIP.132048518

ii

PERNYATAAN

Yang bertanda tangan di bawah ini, saya: Nama

: Nely Indra Meifiani

NIM

: 04305144007

Program Studi

: Matematika

Fakultas

: MIPA

Judul Skripsi

: Aplikasi Cayley Tree Dalam Menentukan Banyak Isomer Senyawa Alkana

Menyatakan bahwa karya ilmiah ini adalah hasil pekerjaan saya sendiri dan sepanjang sepengetahuan saya tidak berisi materi yang dipublikasikan atau ditulis oleh orang lain kecuali sebagai acuan atau kutipan dengan mengikuti tata penulisan karya ilmiah yang telah lazim.

Yogyakarta, 11 Juni 2008 Yang menyatakan

Nely Indra Meifiani NIM. 04305144007

iii

PENGESAHAN

SKRIPSI APLIKASI CAYLEY TREE DALAM MENENTUKAN BANYAK ISOMER SENYAWA ALKANA Disusun oleh: Nely Indra Meifiani NIM. 04305144007 Telah dipertahankan di depan Tim Penguji Skripsi Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta pada hari / tanggal Rabu / 23 Juli 2008 Dan dinyatakan telah memenuhi syarat guna memperoleh Gelar Sarjana Sains

DEWAN PENGUJI Nama Lengkap Ketua Penguji Sekretaris Penguji Utama Penguji Pendamping

: Emut, M. Si NIP. 131808333 : Murdanu, M. Pd NIP. 132048518 : Caturiyati, M. Si NIP. 132255128 : Himmawati P L, M. Si NIP.132280881

Tanda Tangan

Tanggal

.......................

.....................

.......................

.....................

.......................

.....................

.......................

.....................

Yogyakarta, .............................. 2008 Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta Dekan

Dr.Ariswan NIP. 131791367

iv

MOTTO

Tidak ada rahasia untuk menggapai sukses. Sukses itu dapat terjadi karena persiapan, kerja keras, dan mau belajar dari kegagalan...

Barang siapa menempuh jalan untuk mendapatkan ilmu, Allah akan memudahkan baginya jalan menuju surga. (HR Muslim)

Dan mintalah pertolongan (kepada Allah SWT) dengan sabar dan shalat. Dan sesungguhnya yang demikian itu sungguh berat, kecuali bagi orang-orang yang khusyu’. (QS: Al-Baqarah: 45)

v

PERSEMBAHAN Alhamdulillah, karya sederhana ini aku persembahkan untuk...

1. Ibu Bapakku Tercinta Terima kasih atas do’a, kasih sayang, pengertian, kesabaran, pengorbanan, dan dukungannya yang telah diberikan semenjak aku lahir.. 2. Adekku Tersayang Lina Dwi Khusnawati (Nana) Terima kasih atas semuanya Telah membeikan makna indahnya arti persaudaraan.. 3. Mas Ris Terima kasih atas dorongan dan dukungannya Hingga terselesaikannya tugas akhir ini.. 4. Teman-teman Math’04 Anggi, Lia, Do_why, Ria, Nopek, Nia, Anna, Susi, Nupus, Mamie, Irma, Henik, Sigit, Johan, Fajar, Hendro, Sofyan, Yusfi Kalian teman-teman seperjuanganku.. 5. Sahabat-sahabatku Mbak Indri, Diana, Mas Hari, Mas Yudi, Mas Aziz, Mas Heri, Eka,Mbak Umi, Emi, Mas Hendra, Mbak Bina, dll Terima kasih atas dukungan dan bantuannya 6. Teman-teman Kost Samirono CT 6 / 204 7. Guru-guru dalam hidupku Jasamu tiada tara ..............

vi

APLIKASI CAYLEY TREE DALAM MENENTUKAN BANYAK ISOMER SENYAWA ALKANA

Oleh : Nely Indra Meifiani (04305144007) ABSTRAK

Penulisan skripsi ini bertujuan membahas aplikasi teori graf dalam ilmu kimia. Pembahasan lebih ditekankan pada penggunaan Cayley Tree dalam menentukan banyak isomer senyawa alkana, yang pada awalnya perhitungan jumlah isomer terbatas pada perhitungan secara manual, yaitu metode “draw and count”. Objek penulisan ini adalah perhitungan isomer alkana berdasarkan konsep Cayley Tree, karena struktur graf dari senyawa alkana adalah pohon (tree). Dengan membuktikan bahwa senyawa alkana adalah graf pohon yang memenuhi E (G ) = V (G ) − 1 , dengan nilai V (G ) = 3n + 2 dan E (G ) = 3n + 1 . Alkana dengan rumus kimia C n H 2 n+ 2 di mana setiap simpulnya memiliki derajat simpul satu atau empat, oleh karena itu pada perhitungannya digunakan 4 − Cayley Tree . Hasil dari studi dan penulisan menunjukkan bahwa banyak isomer senyawa alkana dapat ditentukan melalui penjumlahan dari banyaknya Centered Tree dan Bicentered Tree. Centered Tree adalah sebuah pohon dengan satu pusat yang mempunyai rumus C 2 h ( z ) = ∑ C 2 h ,n z n dan Bicentered Tree adalah sebuah n≥0

pohon dengan tepat dua pusat (pusat selalu berdekatan) yang mempunyai rumus B2 h +1 ( z ) = ∑ B2 h +1,n z n . n ≥0

vii

KATA PENGANTAR

Alhamdulillah, puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat serta hidayah-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul “Aplikasi Cayley Tree dalam Menentukan Banyak Isomer Senyawa Alkana”. Penulis menyadari bahwa tanpa bantuan dan dorongan dari berbagai pihak, skripsi ini tidak akan terwujud. Oleh karena itu penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada: 1. Bapak Dr. Ariswan selaku Dekan FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta, yang telah memberi izin dan kesempatan kepada penulis dalam menyelesaikan studi. 2. Bapak Dr. Hartono selaku Ketua Jurusan Pendidikan Matematika yang telah memberikan izin kepada penulis untuk menyusun skripsi. 3. Ibu Atmini Dhoruri, M.S. selaku Ketua Program Studi Matematika yang telah turut membantu kelancaran penyusunan skripsi ini. 4. Bapak Emut M.Si sebagai Dosen Pembimbing Utama dan Bapak Murdanu M.Pd sebagai Dosen Pembimbing Pendamping yang telah membimbing, membantu, dan memberikan arahan serta masukanmasukan yang sangat membangun.

viii

5. Seluruh dosen dan karyawan FMIPA UNY yang telah memberikan bantuan dalam bentuk apapun. 6. Kedua orang tuaku dan adikku yang senantiasa mendo’akanku. 7. Semua pihak yang telah membantu baik secara langsung maupun tidak langsung sehingga skripsi ini dapat terselesaikan. Semoga Allah SWT membalas mereka dengan kebaikan yang banyak. Penulis menyadari masih banyak kekurangan dalam penyusunan skripsi ini, oleh karena itu saran dan masukan sangat terbuka lebar. Penulis berharap karya ini dapat bermanfaat bagi kepentingan pendidikan pada khususnya dan dunia keilmuan pada umumnya.

Yogyakarta, 01 Juli 2008 Penulis

Nely Indra Meifiani

ix

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL.....................................................................................

i

HALAMAN PERSETUJUAN......................................................................

ii

HALAMAN PERNYATAAN.......................................................................

iii

HALAMAN PENGESAHAN.......................................................................

iv

HALAMAN MOTTO ..................................................................................

v

HALAMAN PERSEMBAHAN....................................................................

vi

ABSTRAK......................................................................................................

vii

KATA PENGANTAR...................................................................................

viii

DAFTAR ISI..................................................................................................

x

DAFTAR GAMBAR.....................................................................................

xii

DAFTAR TABEL..........................................................................................

xiv

DAFTAR SIMBOL.......................................................................................

xv

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah ....................................................................

1

B. Rumusan Masalah .............................................................................

6

C. Tujuan Penulisan................................................................................

6

D. Manfaat Penulisan .............................................................................

6

BAB II LANDASAN TEORI A. Graf 1. Pengertian Graf.............................................................................

7

2. Jenis-jenis Graf.............................................................................

8

B. Derajat (degree) Simpul.....................................................................

11

C. Keterhubungan 1. Pengertian Dasar dalam Graf........................................................

12

2. Graf Terhubung dan Komponen...................................................

14

x

D. Pohon (Tree).......................................................................................

15

E. Pohon Berakar (Rooted Tree).............................................................

17

F. Operasi Biner......................................................................................

23

G. Grup....................................................................................................

24

H. Orbit dan Cycle...................................................................................

28

I. Graf Cayley (Cayley graph)...............................................................

36

J. Pohon Cayley (Cayley Tree)..............................................................

38

K. Graf Isomorfik...................................................................................

40

L. Hidrokarbon.......................................................................................

42

BAB III PEMBAHASAN A. Penentuan Banyak k-Cayley Tree.......................................................

45

B. Aplikasi Teori Graf dalam Menentukan Banyak Isomer Senyawa Alkana ……………………………………………………………..

61

BAB IV SIMPULAN DAN SARAN A. SIMPULAN .......................................................................................

67

B. SARAN ..............................................................................................

68

DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN

xi

DAFTAR GAMBAR

Gambar

Halaman

Gambar 1.1

C4H10(Butana)……………………………………………….

4

Gambar 1.2

Representasi C4H10(Butana) dalam Graf……………………

5

Gambar 2.1

Graf G1 dengan Lima Simpul dan Tujuh Rusuk……………

8

Gambar 2.2

Graf Tidak Berarah G2............................................................

9

Gambar 2.3

Graf Berarah G3……………………………………………..

9

Gambar 2.4

Graf Sederhana G4..................................................................

10

Gambar 2.5

Graf tidak Sederhana G5 dan G6…………………………….

10

Gambar 2.6

Graf G9 (Jalan, Jejak, Lintasan, Sikel)………………………

13

Gambar 2.7

Graf Terhubung G7 dengan 1 Komponen…………………..

15

Gambar 2.8

Graf Tidak Terhubung G8 dengan 4 Komponen……………

15

Gambar 2.9

Pohon dan Bukan Pohon……………………………………

15

Gambar 2.10

(a) Pohon Berakar (b) Tanda panah pada sisi yang dibuang……………………

Gambar 2.11

17

(a) pohon (b) b sebagai akar (c) e sebagai akar……………………………………………

18

Gambar 2.12

Pohon Berakar………………………………………………

19

Gambar 2.13

Upa Pohon…………………………………………………..

20

Gambar 2.14

Pohon dengan Tinggi 4……………………………………..

21

Gambar 2.15

3-ary tree dengan 2 level.......................................................

21

Gambar 2.16

Complete Binary Tree dengan 3 Level……………………..

23

Gambar 2.17

Fungsi α …………………………………………………...

25

Gambar 2.18

Cayley Graph pada Dihedral group D4…………………….

38

xii

Gambar 2.19

Cayley tree………………………………………………….

38

Gambar 2.20

3-Cayley Tree……………………………………………….

39

Gambar 2.21

Graf Isomorfik………………………………………………

41

Gambar 2.22

Representasi C4H10 (Iso-Butana) dalam Graf……………….

44

Gambar 3.1

(a) Alkana dengan n=1 dalam bentuk Cayley Tree (b) Alkana dengan n=2 dalam bentuk Cayley Tree (c) Alkana dengan n=3 dalam bentuk Cayley Tree...............

46

Gambar 3.2

4-Cayley Tree……………………………………………….

46

Gambar 3.3

Metana, Etana, Propana..........................................................

63

Gambar 3.4

Senyawa Butana…………………………………………….

64

Senyawa Pentana……………………………………………

65

xiii

DAFTAR TABEL

Tabel

Halaman

Tabel 2.1

Tabel Cayley di S 3

27

Tabel 3.1

Tabel Banyak Graf Isomorfik yang Ditentukan Melalui

48

Metode Draw and Count Method

Tabel 3.2

Tabel Banyak Graf Isomorfik yang Ditentukan Melalui

60

Konsep Cayley Tree

Tabel 2.4

Tabel Istilah

61

xiv

DAFTAR SIMBOL

C

Carbon

H

Hidrogen

CH 4

Metana

C2 H 6

Etana

C3 H 8

Propana

C4H10

Butana

C n H 2 n+2

Alkana

Ø

Tidak kosong

V(G)

Himpunan Simpul G

E(G)

Himpunan Rusuk G

V (G )

Banyaknya Simpul G

E (G )

Banyaknya Rusuk G

o (G )

Order dari grup G

d ( v i)

Derajat simpul

δ (G )

Derajat minimum

∆(G )

Derajat maksimum

B

Bilangan bulat

R

Himpunan

∗

Operasi biner

Sn

Grup simetri

~

Ekuivalen

σ µ

Permutasi

xv

S

Himpunan generator

Γ = Γ(G, S )

Cayley graph

α β

Generator

z

Coordination number

θ Φ

Pemetaan satu-satu

≅

Kongruen

C(z)

Centered Tree

B(z)

Bicentered Tree

h

Tinggi pohon

Th ,n

Jumlah (k-1) ary dengan n simpul dan tinggi pohon maksimum

h 2h

Diameter pohon dengan satu pusat (center)

2h+1

Diameter pohon dengan dua pusat (bicenter)

xvi

xvii

1

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah Teori graf pertama kali dikenalkan pada tahun 1736 oleh seorang matematikawan terkenal dari Swiss yang bernama Euler. Teori Graf pertama muncul untuk memecahkan teka-teki masalah Jembatan Konigsberg yang sangat sulit dipecahkan pada masa itu. Konigsberg adalah suatu kota di Prusia bagian Timur Jerman. Kurang lebih seratus tahun setelah lahirnya tulisan Euler tersebut, tidak ada perkembangan yang berarti berkenaan dengan teori graf. Tahun 1847, G. R. Kirchoff (1824-1887) berhasil mengembangkan teori pohon (Theory of Trees) yang digunakan dalam persoalan jaringan listrik. Sepuluh tahun kemudian, Arthur Cayley (1821-1895) juga menggunakan konsep pohon untuk menjelaskan permasalahan kimia yaitu hidrokarbon (Heri Sutarno, 2005: 65). Seiring perkembangan zaman dan kemajuan teknologi yang semakin canggih, aplikasi teori graf telah merambah disiplin ilmu pengetahuan dan membantu memudahkan orang untuk menyelesaikan permasalahan. Penggunaan graf ditekankan untuk memodelkan persoalan. Teori ini juga sangat berguna untuk mengembangkan model-model yang terstruktur dalam berbagai situasi. Dalam implementasinya teori ini banyak dijumpai pada bidang elektro, kimia organik, ilmu komputer, dan lain sebagainya. Bahkan dewasa ini teori graf digunakan secara besar-besaran dalam bidang ekologi, geografi, antropologi, genetika, fisika, elektronika, pemrosesan informasi, arsitektur, dan desain. Dalam ilmu kimia, teori

2

graf dapat diterapkan dalam struktur kuantum elektronis, mekanika molekul, simulasi fase kondensasi, desain struktur molekul, polimer, topografi, energi potensial, dan makromolekul biologik (termasuk protein). Belakangan ini penerapan graf khususnya berkaitan dengan isomer struktur molekul, yaitu molekul yang mengandung karbon (Reisha Humaria, 2007: 1). Seperti halnya senyawa-senyawa organik, dalam senyawa koordinasi dikenal pula adanya isomer. Menurut Kristian H. Sugiyarto (2006: 2.13) isomer adalah senyawa yang mempunyai rumus molekul sama tetapi memiliki struktur berbeda. Lebih jauh lagi, menurut Reisha Humaria (2007: 1) isomerisme bahan kimia merupakan konsep yang sangat penting dalam kimia modern. Pada awal dikenalnya isomer dalam kimia, jumlah isomer dari suatu senyawa ditentukan dengan cara menggambar lalu menghitungnya (Draw and Count Method). Metode ini dilakukan terhadap senyawa yang mempunyai struktur yang sederhana. Akan tetapi, secara umum dibutuhkan suatu metode untuk menghitung isomer senyawa yang lebih kompleks. Perkembangan ilmu pengetahuan di bidang kimia, mendorong para ilmuwan melakukan penelitian dalam menghitung jumlah isomer. Misalnya, tahun 1874 Cayley menghitung banyak isomer senyawa kimia dengan konsep graf. Penelitian dilanjutkan oleh George Polya dengan menggunakan kombinatorial untuk menentukan jumlah isomer senyawa kimia. Teori Polya ini sangat relevan untuk jenis perhitungan kombinatorik. Penentuan isomer dalam ilmu kimia tidak dilakukan secara sembarangan. Ada aturan khusus dalam penentuannya, misalnya dalam penamaan senyawa pada

3

setiap struktur yang terbentuk. Walaupun mempunyai rumus molekul yang sama, tetapi strukturnya berbeda isomer-isomer tersebut mempunyai sifat yang berbeda pula. Dalam teori graf perhitungan jumlah isomer dapat dilakukan dengan mudah dengan cara mengabaikan sifat-sifat dalam kimia. Karena perhitungan isomer dengan graf sifat-sifat dalam kimia tidak mempengaruhi hasil. Bentuk struktur dari susunan kimia adalah sebuah diagram yang menyatakan ikatan antara atom-atom dalam molekul. Salah satu senyawa kimia yang banyak digunakan dalam kehidupan sehari-hari adalah hidrokarbon, yaitu senyawa yang terdiri dari atom Carbon (C) dan atom Hidrogen (H). Hidrokarbon dibagi atas hidrokarbon asiklik dan siklik. Hidrokarbon asiklik memiliki struktur pohon, dan dibagi atas tiga kelompok. Yaitu Alkana dengan rumus kimia C n H 2 n+ 2 di mana mengandung ikatan tunggal, Alkena dengan rumus kimia C n H 2 n di mana mengandung ikatan rangkap, dan Alkuna dengan rumus kimia C n H 2 n−2 di mana mengandung ikatan rangkap tiga. Sementara hidrokarbon siklik ditandai dengan adanya struktur tertutup seperti cincin. Hidrokarbon siklik dibagi atas dua kategori, yaitu Sikloalkana dengan rumus kimia C n H 2 n dan Hidrokarbon aromatik dengan rumus kimia C6 H 6 . Dari semua penggolongan hidrokarbon, atom C dan atom H yang menyusun senyawa tersebut tetap mempunyai sifat yang sama yaitu atom C mempunyai empat tangan, yang dapat berikatan dengan empat atom lainnya dan atom H yang mempunyai satu tangan hanya dapat berikatan dengan satu atom saja. Dengan menyimbolkan atom C dengan simpul hitam putih ( ), dan atom H dengan simpul hitam ( ), senyawa tersebut dapat digambarkan dengan mudah dalam bentuk graf. Semua jenis hidrokarbon di atas dapat

4

ditentukan banyak isomernya, tapi pada skripsi ini penulis hanya membahas penentuan banyak isomer senyawa alkana. Graf dengan teori pohonnya dapat digunakan dengan mudah untuk menyelesaikan masalah dalam kimia, khususnya dalam menentukan banyak isomer senyawa alkana. Karena penyelesaian dalam graf sangat sederhana dan tidak serumit jika ditentukan melalui ilmu kimia, dengan catatan sifat-sifat yang mempengaruhi perhitungan diabaikan. Untuk menyelesaikan permasalahan, senyawa alkana perlu dimodelkan. Graf dengan berbagai teorinya sangat cocok untuk memodelkan senyawa kimia tersebut. Dalam pemodelan menggunakan graf, unsur yang berikatan disimbolkan sebagai simpul dan ikatan-ikatan kimia yang terjadi disimbolkan dengan rusuk. Bentuk graf suatu senyawa mempunyai makna bahwa suatu senyawa yang terdapat di alam dikatakan stabil apabila mempunyai bentuk seperti yang dimodelkan dalam bentuk graf. Sebagai contoh pemodelan adalah senyawa Butana (C4H10).

H

H

H

H

H

C

C

C

C

H

H

H

H

H

Gambar 1.1 C4H10(Butana) Gambar 1.1, merupakan senyawa C4H10 (Butana) yang terdiri dari dua jenis atom penyusun, yaitu atom C sebanyak empat dan atom H sebanyak sepuluh, maka dari Gambar 1.1 diperoleh suatu graf yang merepresentasikan Butana.

5

Gambar 1.2. Representasi C4H10(Butana) dalam Graf Dari Gambar 1.2, dapat ditemukan empatbelas simpul yang merepresentasikan jumlah atom dan tigabelas rusuk yang merepresentasikan jumlah ikatan antar atom pada senyawa Butana. Perhitungan isomer senyawa C4H10 dapat dengan mudah ditentukan dengan cara Draw and Count Methods, akan tetapi untuk senyawa yang lebih kompleks khususnya pada senyawa alkana (CnH2n+2), metode Draw and Count Method tidak mudah untuk diterapkan. Maka dari itu akan dicoba metode lain yang masih dalam ruang lingkup graf, perhitungan dengan menggunakan konsep Cayley Graph yaitu Cayley Tree. Struktur alkana digambarkan sebagai graf. Jumlah isomer yang berkorespondensi dengan jumlah graf yang bisa dibuat. Karena struktur graf dari senyawa alkana merupakan pohon, maka perhitungan dilakukan melalui pohon, yaitu Cayley Tree. Dalam perkuliahan Teori Graf di Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta, Teori Graf telah menyajikan suatu teori yang sangat penting dalam kimia teoritis, yaitu Cayley Tree. Suatu teori yang dapat digunakan untuk memecahkan permasalahan dalam penentuan banyak isomer senyawa kimia. Oleh karena itu, penulis mengkaji salah satu aplikasi Teori Graf pada ilmu kimia yaitu Aplikasi Cayley Tree dalam menentukan banyak isomer senyawa alkana.

6

B. Rumusan Masalah 1. Bagaimana menentukan banyak k-Cayley Tree? 2. Bagaimana aplikasi Teori Graf dalam menentukan banyak isomer senyawa Alkana? C. Tujuan Penulisan 1. Untuk menentukan banyak k-Cayley Tree. 2. Untuk mengetahui aplikasi Teori Graf dalam menentukan banyak isomer senyawa Alkana. D. Manfaat Penulisan 1. Bagi Penulis Dengan mengetahui cara menentukan jumlah isomer senyawa alkana dengan Cayley Tree maka diharapkan dapat menambah referensi pengetahuan teori graf dan aplikasinya di bidang kimia. 2. Bagi Ilmu Pengetahuan Penulisan ini diharapkan dapat memberikan konstribusi bagi pengembangan Teori Graf, khususnya di bidang Ilmu Kimia. 3. Bagi Instansi Penulisan ini diharapkan dapat dijadikan sebagai salah satu referensi informasi bagi pihak yang berkepentingan.

7

BAB II DASAR TEORI

Pada bab ini akan disampaikan materi-materi berkaitan dengan graf khususnya Cayley Tree dan hidrokarbon khususnya alkana, yang merupakan landasan bagi pembahasan pada Bab III. Sebelum membahas Cayley Tree lebih lanjut, akan diuraikan terlebih dahulu mengenai beberapa istilah dasar dalam teori graf dan kimia.

A. Graf 1. Pengertian Graf Menurut Goodaire & Parmenter (2006: 289), Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V (G ), E (G )) , dengan himpunan simpul tidak boleh kosong yang unsur-unsurnya disebut simpul (vertek) dan E (G ) mungkin kosong yang unsur-unsurnya disebut rusuk (edge). Jika v dan w adalah sepasang simpul yang berbeda di G, vw melambangkan rusuk di G, dan jika e=vw adalah rusuk di G, maka: a. v dan w berikatan (adjacent) di G b. rusuk e hadir (joining) simpul v dan w di G c. v dan w adalah simpul-simpul ujung rusuk di e d. rusuk e hadir (incident) di simpul v dan w atau sebaliknya dikatakan simpul v dan w hadir pada rusuk e.

8

Cara mempresentasikan sebuah graf yang paling umum adalah dengan diagram. Dalam diagram tersebut, titik-titik dinyatakan sebagai simpul dan tiap sisi dinyatakan sebagai rusuk sederhana yang menghubungkan tiap dua simpul. Gambar 2.1 menunjukkan suatu contoh representasi graf.

e1 e3 v1 e4

v2 e2

e5 v3

e6

v5 e7 v4

Gambar 2.1 Graf G1 dengan Lima Simpul dan Tujuh Rusuk Dalam sebuah graf, seperti pada Gambar 2.1, dimungkinkan adanya suatu rusuk yang dua simpul ujungnya sama disebut gelang (loop), yaitu e1. Sementara untuk dua simpul berbeda yang dikaitkan oleh dua atau lebih rusuk disebut rusuk ganda atau rusuk rangkap, yaitu e4 dan e5 (Heri Sutarno, 2005: 66-67).

2. Jenis - Jenis Graf Secara umum rusuk pada graf mempunyai orientasi arah. Berdasarkan orientasi arah, graf dapat dikolompokkan menjadi dua jenis (Grimaldi, 1999: 478) yaitu :

a. Graf Tidak Berarah (undirected graph) Graf yang rusuknya tidak mempunyai orientasi arah disebut graf tidak berarah. Pada graf tidak berarah, urutan pasangan simpul yang dihubungkan oleh rusuk tidak diperhatikan. Jadi uv dan vu menyatakan rusuk yang sama. Sebagai contoh Gambar 2.2 adalah graf tidak berarah, dengan v1v2 atau v2v1 menunjukkan rusuk e1, v1v3 atau v3v1 menunjukkan

9

rusuk e2, v2v3 atau v3v2 menunjukkan rusuk e3, dan v3v4 atau v4v3 menunjukkan rusuk e4.

v2 e1 v1

e3 e2 e4

v3

v4 Gambar 2.2 Graf Tidak Berarah G2 b. Graf Berarah (Directed graph) Graf yang setiap rusuknya diberikan orientasi arah disebut graf berarah(directed graph atau digraph). Pada graf berarah, rusuk berarahnya disebut busur (arc). Pada graf berarah uv dan vu menyatakan dua busur yang berbeda. Dengan kata lain, uv ≠ vu. Pada dasarnnya graf berarah tidak berbeda dengan graf yang telah diuraikan pada pengertian graf sebelumnya, hanya saja pada graf berarah setiap rusuk mempunyai arah tertentu. Gambar 2.3 menunjukkan contoh graf berarah dengan rusuk e1 = v1v2, rusuk e2 = v3v1, rusuk e3 = v2v3 dan rusuk e4 = v1v3.

v2 e1 v1

e4 e2

e3 v3

Gambar 2.3 Graf Berarah G3 Graf berarah pada Gambar 5 terdiri dari V = {v1 , v2 , v3 } , E = {e1 , e2 , e3 , e4 } .

10

Sesuai dengan kekhasan strukturnya, graf dapat dibedakan atas dua jenis (Wilson & Watkins, 1990: 10), yaitu :

a. Graf Sederhana Graf yang tidak memuat gelang maupun rusuk ganda dinamakan graf sederhana. Gambar 2.4 merupakan contoh graf sederhana G4. Pada

Gambar 2.4, rusuk-rusuknya tunggal dan tidak terdapat gelang.

v1

v4

v2

v3 Gambar 2.4 Graf Sederhana G4 b. Graf tidak Sederhana Graf yang memuat rusuk ganda atau gelang dinamakan graf tidak sederhana. Gambar 2.5 merupakan contoh graf tidak sederhana.

v1 e4

e5

v1 e1

v4

e4

e1

v2 v4 e2

e3

v2 e5 e2

e3

v3

v3

G5

G6

Gambar 2.5 Graf tidak Sederhana G5 dan G6

11

B. Derajat (Degree) Simpul Banyaknya rusuk yang hadir pada suatu simpul vi (loop dihitung dua kali), disebut derajat (degree) dari simpul tersebut; dinotasikan d (vi ) . Derajat suatu simpul sering juga disebut valensi dari simpul tersebut. Derajat minimum dari graf G dinotasikan dengan δ (G ) dan derajat maksimumnya dinotasikan dengan ∆ (G ) .

Contoh 2.1 Derajat (degree) dari suatu simpul dapat dilihat pada Gambar 2.1 d (v1 ) = d (v3 ) = d (v4 ) = 3, d (v2 ) = 4 , dan d (v5 ) = 1 . Jadi, δ (G ) = 1 dan ∆(G ) =4.

Teorema 2.1 (Chartrand, 1985: 28) Untuk sebarang graf G dengan n simpul dan m rusuk berlaku sifat n

∑ d (v ) = 2m i =1

i

Bukti: Jika semua derajat simpulnya dijumlahkan, maka setiap rusuk dihitung dua kali yaitu masing-masing sekali untuk setiap simpul yang dihubungkannya. Sebagai contoh 2.2, pada Gambar 2.1 d (v1 ) + d (v2 ) + d (v3 ) + d (v4 ) + d (v5 ) = 3 + 4 + 3 + 3 + 1 = 14 = dua kali jumlah rusuk.

C. Keterhubungan Pada subbab ini akan dibahas pengertian dasar keterhubungan dalam suatu graf. Pengertian yang dimaksud adalah jalan (walk), jejak (trail), lintasan (Path),

Sikel (Cycle), serta graf terhubung dan komponen pada graf.

12

1. Pengertian Dasar dalam Graf a. Jalan (walk) Misal G adalah sebuah graf. Sebuah jalan (walk) di G adalah sebuah barisan berhingga (tak kosong) W = (v0 , e1 , v1 , e2 ,..., ek , vk ) yang sukusukunya bergantian simpul dan rusuk, sedemikian hingga vi −1 dan vi adalah simpul-simpul akhir rusuk ei untuk 1 ≤ i ≤ k . W dikatakan sebagai jalan dari v0 ke vk , atau ( v0 , vk ). Simpul v0 dan vk berturut-turut disebut simpul awal dan simpul akhir W. Sedangkan simpul-simpul v1 , v2 ,..., vk −1 disebut simpul-simpul internal dari W dan k disebut panjang W. Panjang jalan W adalah banyaknya rusuk dalam W. Jalan W disebut jalan tertutup jika simpul awal dan simpul akhir W identik sama. Dengan kata lain, W jalan tertutup bila v0 = vk . b. Jejak (trail) Misal W = (v0 , e1 , v1 , e2 ,..., ek , vk ) adalah sebuah jalan di graf G. W disebut jejak (trail) jika semua rusuk e1 , e2 , e3 ,..., ek dalam jalan W berbeda. Dengan kata lain, jejak (trail) adalah jalan tanpa rusuk berulang. c. Lintasan (Path) Misal W = (v0 , e1 , v1 , e2 ,..., ek , vk ) adalah sebuah jalan di graf G. W disebut lintasan (Path) jika semua simpul dan rusuk dalam jalan W berbeda.

13

d. Sikel (Cycle) Sikel (Cycle) adalah sebuah jejak tertutup (closed trail) yang simpul awal dan semua simpul internalnya berbeda. Banyaknya rusuk dalam suatu sikel disebut panjang sikel tersebut. Sikel dengan panjang k disebut ksikel. Sebuah sikel yang memuat semua simpul graf disebut sikel hamilton. Sebuah graf yang memuat sikel hamilton disebut Graf Hamilton. Definisi di atas dapat dijelaskan dengan Gambar 2.6 berikut.

e1

v1

e7

e6 e5

v2 e2

e9

e8 v6

v4

e3

v3

e10 e4 v5 Gambar 2.6 Graf G9 (Jalan, Jejak, Lintasan, Sikel) Diberikan contoh-contoh dari definisi di atas: Jalan (walk): W= (v1 , e7 , v4 , e9 , v2 , e9 , v4 , e3 , v3 ) adalah sebuah jalan di graf G9. Jalan (v1 , v3 ) di graf G9 mempunyai panjang 4. Karena dalam barisan ini rusuk e9 muncul lebih dari sekali, jelas barisan ini bukan jejak.

14

Jejak (Trail): W= (v1 , e1 , v2 , e2 , v3 , e3 , v4 , e9 , v2 ) adalah sebuah jejak di graf G9 dengan panjang 4. Karena v2 muncul dua kali, maka jejak ini bukan lintasan. Lintasan (Path) :

W= (v1 , e1 , v2 , e2 , v3 , e3 , v4 , e4 , v5 , e10 , v6 ) adalah sebuah

lintasan di graf G9 dengan panjang 5. Sikel (Cycle): W=

(v1 , e1 , v2 , e9 , v4 , e8 , v6 , e6 , v1 ) adalah sebuah sikel di graf

G9 dengan panjang 4.

2. Graf Terhubung dan Komponen Sebuah graf G disebut terhubung (connected), jika untuk setiap dua simpul u dan v di G terdapat lintasan di G yang menghubungkan kedua simpul tersebut. Sebaliknya graf G disebut graf tidak terhubung (disconnected), jika ada dua simpul di G yang tidak mempunyai lintasan yang menghubungkan kedua simpul tersebut. Sebuah komponen dari graf G adalah sebuah graf bagian terhubung maksimal (simpul dan rusuk) dari G. Jadi, setiap graf terhubung hanya mempunyai satu komponen, sedangkan graf tak terhubung mempunyai lebih dari satu komponen. Gambar 2.7 menunjukkan contoh graf G7

yang

merupakan graf terhubung dengan satu komponen saja. Sedangkan Gambar

2.8 merupakan contoh graf G8 yang merupakan graf tidak terhubung yang memiliki empat buah komponen.

15

b

d c

a e

f

Gambar 2.7 Graf Terhubung G7 dengan 1 Komponen

a

b

f

g

d

c

h

e

i

j

Gambar 2.8 Graf Tidak Terhubung G8 dengan 4 Komponen

D. Pohon (Tree) Definisi 2.1 (Grimaldi, 1999: 547) Misal G=(V,E) adalah graf sederhana yang tidak berarah. Graf G disebut pohon (tree) jika G terhubung dan tidak memuat sikel.

a

b

a

b

a c

c

c d

e

G10 Pohon

b

d

d f

e

G11 Bukan Pohon

f

e

f

G12 Bukan Pohon

Gambar 2.9 Pohon dan Bukan Pohon

16

Pada Gambar 2.9 terdapat graf G10 yang merupakan pohon. Karena graf G10 terhubung dan tidak memuat sikel. Graf G11 bukan pohon, karena mengandung sikel {a,b}, {b,c}, {c,a}. Graf G12 bukan pohon, karena tidak terhubung. Meskipun G12 bukan pohon, namun setiap komponen dari G12 adalah pohon.

Teorema 2.2 (Grimaldi, 1999: 549) Banyaknya simpul dari pohon T sama dengan banyaknya rusuk ditambah 1 atau

V (T ) = E (T ) + 1 dengan V (T ) = banyaknya simpul T E (T ) = banyaknya simpul T

Bukti : Pembuktian dilakukan dengan induksi matematika pada V (T ) . 1. Untuk simpul n=1, maka rusuk T adalah nol

V (T ) = E (T ) + 1 1 = 0 +1 1=1 Jadi V (T ) = E (T ) + 1 benar. 2. Diasumsikan untuk jumlah simpul n=k Vk (T ) = E k (T ) + 1 benar. Akan dibuktikan benar untuk n=k+1 Artinya Vk +1 (T ) = E k +1 (T ) + 1

17

Misalkan T adalah pohon dengan k+1 simpul dan ℓ adalah sebuah rusuk T. Maka, T- ℓ memiliki tepat dua komponen T1 dan T2, dan masing-masing komponen adalah pohon dengan simpul kurang dari k+1. Selanjutnya

Vk +1 (T ) = Ek +1 (T ) + 1

Vk +1 (T ) = Vk (T ) + V (T )

= Ek (T ) + 1 + Ek (T ) + 1

= ( Ek (T ) + Ek (T ) + 1) + 1 = Ek +1 (T ) + 1

E. Pohon Berakar (Rooted Tree) Pohon yang satu buah simpulnya diperlakukan sebagai akar dan rusukrusuknya diberi arah sehingga menjadi graf berarah dinamakan pohon berakar (rooted tree). Gambar 2.10 mengilustrasikan pohon berakar.

a

b

a

b

d

c

e

e f

h

d

c

i

j

g

f

h

i

(a)

j (b)

Gambar 2.10 (a) Pohon Berakar (b) Tanda panah pada sisi yang dibuang

g

18

Gambar 2.11 menunjukkan pohon dan dua buah pohon berakar yang dihasilkan dari pemilihan dua simpul berbeda sebagai akar e

b a

e b

d

f g

d

d

a c e

c

g

h f

(a)

h

g

f b h a

(b)

c

(c)

Gambar 2.11 (a) pohon (b) b sebagai akar (c) e sebagai akar Sebagaimana pada graf, akan sering menggunakan terminologi yang berhubungan dengan pohon. Di bawah ini didaftarkan beberapa terminologi yang penting pada pohon berakar. Untuk ilustrasi, pohon pada Gambar 2.12 dipakai sebagai contoh untuk menjelaskan terminologi yang dimaksudkan. Simpul-simpul pada pohon diberi label untuk mengacu simpul mana yang dimaksudkan. Kebanyakan terminologi pohon yang ditulis di bawah ini diadopsi dari terminologi botani dan silsilah keluarga.

19

a

b

d

c

e

g f k

h

i

j l

m

Gambar 2.12 Pohon Berakar Definisi 2.2 (Amir Muntaha, 2008: 2) Anak (child atau children) adalah simpul setelah suatu simpul dalam pohon dan Orangtua (Parent) adalah simpul sebelum suatu simpul lain dalam satu pohon. Jadi, dari Gambar 2.12 dapat diketahui bahwa b, c, dan d adalah anak-anak simpul a, a adalah orangtua dari anak-anak itu.

Definisi 2.3 (Amir Muntaha, 2008: 2) Saudara kandung (sibling) adalah simpul yang mempunyai orangtua yang sama. Jadi dari Gambar 2.12 diketahui f adalah saudara kandung e, tetapi g bukan saudara kandung e, karena orangtua mereka berbeda.

Definisi 2.4 (Amir Muntaha, 2008: 2) Upapohon (subtree) adalah pohon yang dibentuk dengan memotong pohon yang sudah ada. Untuk lebih jelasnya, upapohon dapat dijelaskan melalui Gambar 2.13

20

a

b

d

c

e

g f k

h

i

j l

m

Gambar 2.13 Upa Pohon Definisi 2.5 (Amir Muntaha, 2008: 2) Daun (leaf) adalah simpul paling ujung dalam sebuah pohon. Jadi daun tidak mempunyai anak dan berderajat 0. Simpul h, i, j, f, c, l, dan m adalah daun.

Definisi 2.6 (Amir Muntaha, 2008: 2) Simpul yang mempunyai upapohon atau anak disebut Simpul dalam (internal nodes) Simpul b, d, e, g, dan k adalah simpul dalam.

Definisi 2.7 (Amir Muntaha, 2008: 2) Aras (level) maksimum dari suatu pohon disebut tinggi (height) atau kedalaman (depth) pohon tersebut. Pohon pada Gambar 2.14 di bawah mempunyai tinggi 4.

21

Aras

a

0

b

1

d

c e

g

2

k

3

f

h

i

j l

m

4

Gambar 2.14 Pohon dengan Tinggi 4 Definisi 2.8 (Gross & Yellen, 2005: 126) k-ary tree

(k ≥ 2)

adalah pohon berakar yang setiap simpul cabangnya

mempunyai paling banyak k anak (children). Jika k = 2, pohonnya disebut pohon biner (binary tree)

Contoh 2.3

1

2

5

6 7

3

4

8 9 10

Gambar 2.15 3-ary tree dengan 2 Level Definisi 2.9 (Gross & Yellen, 2005: 126) Complete k-ary tree adalah k-ary tree di mana pada setiap simpul internalnya mempunyai tepat k anak dan pada semua daunnya mempunyai tinggi yang sama.

22

Banyaknya simpul internal pohon k-ary dengan tinggi h adalah h −1

1 + k + k 2 + ... + k h −1 = ∑i = 0 k i =

kh −1 k −1

Bukti Misalkan P(h) menyatakan 1 + k + k 2 + ... + k h−1 =

k h −1 k −1

1. untuk h=1, maka k1 −1 k −1 1=1

P(1) = 1 =

Jadi P(h) benar untuk h=1 2. Diasumsikan untuk h=n P(h) benar, yaitu sehingga 1 + k + k + ... + k 2

n −1

k n −1 = k −1

Akan dibuktikan untuk h=n+1 P(h) benar, yaitu 1 + k + k 2 + ... + k n−1 + k n =

k n+1 − 1 k −1

ditunjukkan

k n −1 n +k k −1 k n −1 k −1 k n = + k −1 k −1 n n +1 k −1 + k − k n = k −1 n +1 k −1 = k −1

1 + k + k 2 + ... + k n−1 + k n =

( )

(terbukti)

23

∴ P(h) = 1 + k + k 2 + ... + k h−1 =

k h −1 k −1

Contoh 2.4 Complete binary tree mempunyai 2h − 1 simpul internal. Jika levelnya adalah 3, maka jumlah simpul internalnya adalah 7. Gambar 2.16 berikut merupakan complete binary tree dengan 3 level.

1

3

2 4

8

5

6

7

9 10 1112 13 14 15

Gambar 2.16 Complete Binary Tree dengan 3 Level

F. Operasi Biner Misalkan R suatu himpunan yang tidak kosong. Operasi ∗ pada elemenelemen R disebut operasi biner, apabila setiap dua elemen a, b ∈ R maka

(a ∗ b )∈ R . Atau dapat pula dikatakan bahwa operasi ∗ merupakan pemetaan dari R × R ke R. Sehingga dapat pula dikatakan bahwa operasi ∗ pada R bersifat tertutup.

Contoh 2.5 1. Operasi + pada B dengan B = { b b bilangan bulat} adalah operasi biner. Sebab:

24

a. (∀a, b ∈ Β ) a + b ∈ Β (operasi + tertutup pada B) b. (∀(a1 , b1 ), (a 2 , b2 ) ∈ Β × Β ). (a1 , b1 ) = (a 2 , b2 )

⇒ a1 = a 2 & b1 = b2 ⇒ a1 + b1 = a2 + b2 ∴ (∀a, b ∈ Β ) ⇔ (∀(a, b ) ∈ Β × Β ) (hasil operasi + tunggal) 2. Operasi pembagian bukan suatu operasi biner pada B, sebab terdapat a = 4 ∈ Β dan b = 5 ∈ Β dengan

4 4 ∉ Β atau (∃ 4,5 ∈ Β ) ∉ Β 5 5

G. Grup Dalam matematika, grup adalah suatu himpunan beserta satu operasi biner, seperti perkalian atau penjumlahan. Cabang matematika yang mempelajari grup disebut teori grup. Asal-usul teori grup berawal dari kerja Evariste Galois (1830), yang berkaitan dengan masalah persamaan aljabar.

Definisi 2.10 (Fraleigh, 1998: 52) Misalkan G adalah himpunan yang tidak kosong dan operasi ∗ pada G adalah suatu operasi biner. Himpunan G bersama-sama dengan operasi ∗ ditulis (G, ∗ ), adalah suatu grup bila memenuhi aksioma-aksioma: 1. Bersifat asosiatif

∀a, b, c ∈ G , (a ∗ b ) ∗ c = a ∗ (b ∗ c ) 2. G memuat elemen identitas, misal e ∃e ∈ G ∋ ∀x ∈ G berlaku x ∗ e = e ∗ x = x

25

3. Setiap unsur G mempunyai invers di dalam G pula ∀a ∈ G, ∃a −1 ∈ G,

a −1

adalah

invers

dari

a,

sedemikian

hingga

a ∗ a −1 = a −1 ∗ a = e Definisi 2.11 (Fraleigh, 1998: 94) Permutasi pada sebuah himpunan X dimaksudkan sebagai fungsi dari X ke X yang bersifat satu-satu dan onto.

Contoh 2.6 Misalkan X = {a, b, c} dan terdapat permutasi α : X → X , maka permutasi α dapat ditunjukkan sebagai berikut:

a b c

 α =   c a b Gambar 2.17 merepresentasikan fungsi α dari X ke X

X1

X2

a

a

b

b

c

c

Gambar 2.17 Fungsi α Ditunjukkan fungsi α bersifat satu-satu dan onto 1. a, b ∈ X 1 , a ≠ b maka α (a ) ≠ α (b ) . (satu-satu) 2. ∀a ∈ X 2 , ∃b ∈ X 1 ∋ a = α (b ) . (onto) Jadi α merupakan sebuah permutasi, di mana α (a ) = c; α (b ) = a; dan α (c ) = b .

26

Definisi 2.12 (Fraleigh, 1998: 96) Misalkan X = {1,2,3,..., n}, maka grup dari semua permutasi pada X disebut grup

simetri n, dan dinotasikan sebagai S n . Contoh 2.7 Misalkan X = {1,2,3} maka S 3 memiliki elemen sebanyak 3!=6. Semua permutasi pada X dapat disebutkan sebagai berikut.

1 a =  1 1 b =  2

2 3  = (1), 2 3  2 3  = (1 2 3), 3 1 

1 2 3  = (1 3 2), c =  3 1 2

1 d =  1 1 e =  3

2 3  = (2 3), 3 2  2 3  = (1 3), 2 1 

 1 2 3  = (1 2). f =   2 1 3

Dapat dibuktikan bahwa S 3 = {a, b, c, d , e, f } merupakan sebuah grup terhadap operasi perkalian permutasi.

Contoh 2.8 Jika S 3 adalah himpunan semua pemetaan bijektif dari S ke S dengan S = {1,2,3}, maka S 3 ={(1), (1 2), (1 3), (2 3), (1 3 2), (1 2 3)}. Akan dibuktikan bahwa S 3 dengan komposisi fungsi.

27

Tabel 2.1 Tabel Cayley di S 3

∗

(1)

(1 2)

(1 3)

(2 3)

(1 3 2)

(1 2 3)

(1)

(1)

(1 2)

(1 3)

(2 3)

(1 3 2)

(1 2 3)

(1 2)

(1 2)

(1)

(1 3 2)

(1 2 3)

(1 3)

(2 3)

(1 3)

(1 3)

(1 2 3)

(1)

(1 3 2)

(2 3)

(1 2)

(2 3)

(2 3)

(1 3 2)

(1 2 3)

(1)

(1 2)

(1 3)

(1 3 2)

(1 3 2)

(2 3)

(1 2)

(1 3)

(1 2 3)

(1)

(1 2 3)

(1 2 3)

(1 3)

(2 3)

(1 2)

(1)

(1 3 2)

Dari Tabel Cayley di atas dapat disimpulkan bahwa: 1. Operasi ∗ pada S 3 bersifat tertutup. Hal ini dapat dilihat dari Tabel Cayley yang menunjukkan bahwa hasil dari setiap komposisi dua elemen di S 3 adalah juga elemen dari S 3 2. Operasi

∗

pada

S3

bersifat assosiatif, yaitu

∀a, b, c ∈ S 3

berlaku

(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c ) . Sesuai dengan sifat komposisi fungsi. 3. Ada elemen identitas, yaitu (1), karena ∀a ∈ S 3 , berlaku a ∗ (1) = (1) ∗ a = a 4. Setiap elemen di S 3 mempunyai invers di S 3 . ∀a ∈ S 3 , ∃a −1 ∈ S 3 , dengan a −1 adalah invers dari a, sedemikian sehingga a ∗ a −1 = a −1 ∗ a = e invers dari (1) adalah (1) invers dari (12) adalah (12) invers dari (13) adalah (13) invers dari (23) adalah (23)

28

invers dari (132) adalah (123) invers dari (123) adalah (132) karena operasi ∗ pada S 3 memenuhi aksioma-aksioma dalam Definisi 2.10, maka

(S 3 ,∗) adalah suatu grup. Definisi 2.13 (De Koninck, 2007: 6) Misalkan a, b ∈ Z , m ≠ 0. a kongruen b modulo m (ditulis: a ≡ b(mod m)), jika m|a-b; jika a tidak kongruen b modulo m (ditulis: a

b(mod m))

Contoh 2.9 26 ≡ 4 (mod 11) sama artinya dengan 26 = 11.2 + 4

Definisi 2.14 (Weisstein, 2008: 1) Banyaknya elemen grup G disebut order dari grup G dan ditulis o (G ) .

Contoh 2.10 Misalkan G={1, 2, 3, 4, 5, 6} dengan perkalian bilangan modulo 7 adalah suatu grup, maka o (G ) = 6 karena banyaknya elemen dari grup G adalah 6.

H. Orbit dan Cycle Perkalian permutasi didefinisikan sebagai fungsi komposisi

σ n = σ1o4 σ4 o2 σ4 o ...4 o3 σ n kali

( )

Akan dibuktikan bahwa σ −1

(σ )

−1 n

n

= σ −n

−1 1 1 −1 =σ σ −4 o2 σ −4 o4 ...4 o σ4 14o4 4 3 n kali

29

Misalkan

(σ )

m n

m m m σ m4o4 =σ oσ o2 ... 4 o σ3 14 44 n kali

σ4 σ4 σ σ4 σ4 σ o ... o σ1o4 σ4 σ4 σ =σ o2 o ...4 o3 o σ o2 o ...4 o3 o2 o ...4 o3 1o4 1o4 m kali m kali m kali 144444444444424444444444443 n kali

σ4 σ4 σ o2 o ...4 o3 =σ 1o4

(σ )

m n

m.n kali

= σ m .n

diambil m = −1

(σ ) (σ )

−1 n

= σ −1.n

−1 n

= σ −n

(terbukti)

Akan dibuktikan bahwa σ n+ m = σ n o σ m o2 o ...4 o3 o2 o ...4 o3 σ n .σ m = σ1o4 σ4 σ4 σ o σ1o4 σ4 σ4 σ n kali

m kali

o2 o ...4 o3 =σ σ4 σ4 σ 1o4 ( n + m )kali

σ oσ = σ n

m

n+m

(terbukti)

Misalnya σ suatu permutasi pada himpunan A dan didefinisikan relasi ~ pada A oleh a ~ b jika dan hanya jika b = σ n (a ) , ∀a, b ∈ A , dan n suatu bilangan bulat. Relasi ini bersifat 1. Refleksif, yaitu a ~ a, ∀a ∈ A

Bukti:

σ n (a ) = a Ambil n = 0 ∈ Z Maka σ n (a ) = σ 0 (a ) = a

30

2. Simetris, yaitu a ~ b → b ~ a

Bukti: diketahui a ~ b maka b = σ n (a ) untuk suatu n ∈ Z

b = σ n (a ) → a = σ − n (b ) untuk suatu − n ∈ Z , maka b ~ a 3. Transitif, yaitu a ~ b dan b ~ c maka a ~ c

Bukti: a ~ b → b = σ m (a ) , untuk suatu bilangan bulat m b ~ c → c = σ n (b ) , untuk suatu bilangan bulat n maka

c = σ n (b )

(

)

c = σ n σ m (a ) = σ (n+ m ) (a )

→ a~c

Dari ketiga sifat tersebut menunjukkan bahwa relasi ~ adalah suatu relasi ekuivalensi pada A dan mengakibatkan partisi pada A atas kelas-kelas ekuivalensi.

Definisi 2.15 (Fraleigh, 1998: 123) Misalkan σ

merupakan sebuah permutasi pada himpunan A. Kelas-kelas

ekuivalensi yang ditentukan oleh relasi ekuivalensi

a ~ b ⇔ b = σ n (a ) merupakan orbit-orbit untuk σ .

Contoh 2.11 Ditentukan σ adalah sebuah permutasi pada S 8 .

1 2 3 4 5 6 7 8

 σ =   7 1 5 6 3 8 2 4

31

Pada S 8 dapat dicari orbit dengan mengaplikasikan σ berulangkali sampai kembali pada elemen semula.

σ (1) = 7 maka 1 ~ 7 σ 2 (1) = σ (σ (1)) = σ (7 ) = 2 maka 1 ~ 2 σ 3 (1) = σ (σ 2 (1)) = σ (2 ) = 1 σ 1 (3) = 5 maka 3 ~ 5 σ 2 (3) = σ (σ (3)) = σ (5) = 3 σ (4 ) = 6 maka 4 ~ 6

σ 2 (4) = σ (σ (4 )) = σ (6) = 8 maka 4 ~ 8 σ 3 (4) = σ (σ 2 (4)) = σ (8) = 4 Berikut ini alur yang didapatkan dari permutasi σ di atas. 1 → 7 → 2 → 1, 3 → 5 → 3 , 4 → 6 → 8 → 4 Sehingga orbit-orbit untuk σ adalah

{1,7,2}, {3,5}, {4,6,8} Orbit-orbit σ dapat digambarkan sebagai berikut 1

4

3 2

7

8 5

6

Apabila diperhatikan, maka setiap orbit pada contoh di atas dapat menentukan sebuah permutasi baru dalam S 8 dengan ketentuan bahwa elemen yang menjadi anggota orbit akan ditransformasikan sedangkan elemen-elemen lainnya tetap.

32

Misalkan saja orbit yang pertama {1,7,2} dengan alur 1 → 7 → 2 → 1 dapat membentuk sebuah permutasi

 1 2 3 4 5 6 7 8   7 1 3 4 5 6 2 8

µ = 

Dengan demikian permutasi µ hanya memiliki 1 orbit yang beranggotakan lebih dari 1 elemen. Permutasi yang demikian disebut sebagai cycle. Berikut definisi formalnya.

Definisi 2.16 (Fraleigh, 1998: 125) Sebuah permutasi σ ∈ S n disebut cycle jika σ memiliki paling banyak satu orbit yang memuat lebih dari satu elemen. Panjang sebuah cycle adalah banyaknya elemen pada orbit terbesar.

Contoh 2.12 Sebagaimana telah disebutkan pada permutasi µ , permutasi µ merupakan sebuah cycle dengan panjang 3 dan dinotasikan sebagai

µ = (1,7,2 ) Tidak seperti pada orbit, urutan elemen pada penulisan sebuah cycle akan menentukan

alur

(1,7,2) ≠ (1,2,7 ) .

pemutasinya.

Misalnya

(1,7,2) = (7,2,1) = (2,1,7 )

tetapi

Sebagaimana telah diketahui bahwa himpunan orbit sebuah

permutasi merupakan partisi pada S n , sehingga orbit-orbit sebuah permutasi merupakan hmpunan-himpunan yang saling asing.

33

Cycle Index untuk grup permutasi G ditunjukkan sebagai berikut:

a1j1 ( g )a2j2 ( g )a3j3 ( g ) ... jk ( g ) menunjukkan banyaknya cycle g dengan panjang k dari hasil penguraian cycle g yang saling asing. Misalkan G adalah grup permutasi dengan order m dan derajat n, setiap permutasi g di G mempunyai cycle saling asing yang diuraikan secara tunggal.

Cycle Index untuk grup simetri akan ditentukan sebagai berikut: 1. S 2 = {(1), (1, 2 )} Grup Permutasi

Vertex

Cycle Index

Interchange

1 1 2 2

=

1 2     1 2 

→

a12

1 2 2 1

=

1 2   2 1  

→

a12

Jadi Cycle Index untuk S 2 adalah

(

1 2 a1 + a12 2!

)

2. S 3 ={(1), (1 2), (1 3), (2 3), (1 3 2), (1 2 3)} Grup Permutasi

Vertex

Cycle Index

Interchange

1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 1 2 1 2 3 2 3 1

=

1 2  3      1 2  3 

→

a13

=

1 2 3   3 1 2

→

a31

=

 1 2 3    2 3 1

→

a31

34

1 2 3 1 3 2

=

1 2 3     1 3 2 

→

a12 a11

1 2 3 3 2 1

=

 2  1 3      2  3 1 

→

a12 a11

1 2 3 2 1 3

=

 3  1 2     3 2 1   

→

a12 a11

Jadi Cycle Index untuk S 3 adalah

1 3 ( a1 + 3a12 a11 + 2a31 ) 3!

3. S 4 = {(1), (4 3 1 2), (4 1 2 3), (3 4 2 1), (3 1 4 2), (2 3 4 1), (2 4 1 3), (4 3), (4 2), (3 2), (4 1), (3 1), (2 1), (2 3 1), (3 1 2), (3 4 1), (4 1 3), (2 4 1), (4 1 2), (3 4 2), (4 2 3), (2 1) (4 3), (3 1) (4 2), (4 1) (3 2)} Grup Permutasi

Vertex

Cycle Index

Interchange

1 2 3 4 1 2 3 4

=

1 2  3  4       1 2  3  4 

→

a14

1 2 3 4 4 3 1 2

=

1 2 3 4    4 3 1 2

→

a14

1 2 3 4 4 1 2 3

=

 1 2 3 4    4 1 2 3

→

a14

1 2 3 4 3 4 2 1

=

1 2 3 4   3 4 2 1

→

a14

1 2 3 4 3 1 4 2

=

1 2 3 4   3 1 4 2

→

a14

1 2 3 4 2 3 4 1

=

 1 2 3 4   2 3 4 1

→

a14

1 2 3 4 2 4 1 3

=

1 2 3 4    2 4 1 3

→

a14

35

1 2 3 4 1 2 4 3

=

1 2  3 4      1 2  4 3 

→

a12 a12

1 2 3 4 1 4 3 2

=

1 3  2 4      1 3  4 2 

→

a12 a12

1 2 3 4 1 3 2 4

=

1 4  2 3      1 4 3 2    

→

a12 a12

1 2 3 4 4 2 3 1

=

 2  3  1 4       2  3  4 1 

→

a12 a12

1 2 3 4 3 2 1 4

=

 2  4  1 3       2  4  3 1 

→

a12 a12

1 2 3 4 2 1 3 4

=

 3  4  1 2       3  4  2 1 

→

a12 a12

1 2 3 4 2 3 1 4

=

 4  1 2 3      4  2 3 1 

→

a31 a11

1 2 3 4 3 1 2 4

=

 4  1 2 3      4  3 1 2 

→

a31 a11

1 2 3 4 3 2 4 1

=

 2  1 3 4      2  3 4 1 

→

a31 a11

1 2 3 4 4 2 1 3

=

 2  1 3 4      2  4 1 3 

→

a31 a11

1 2 3 4 2 4 3 1

=

 3  1 2 4      3  2 4 1 

→

a31 a11

1 2 3 4 4 1 3 2

=

 3  1 2 4      3  4 1 2 

→

a31 a11

1 2 3 4 1 3 4 2

=

1 2 3 4     1 3 4 2 

→

a31 a11

1 2 3 4 1 4 2 3

=

1 2 3 4     1 4 2 3   

→

a31 a11

 1 2  3 4      2 1  4 3 

→

a 22

1 2 3 4 2 1 4 3

=

36

1 2 3 4 3 4 1 2

=

 1 3  2 4      3 1  4 2 

→

a 22

1 2 3 4 4 3 2 1

=

 1 4  2 3      4 1  3 2 

→

a 22

Jadi Cycle Index untuk S 4 adalah

1 4 (a1 + 6a12 a12 + 8a31a11 + 3a22 + 6a14 ) 4!

I. Graf Cayley (Cayley Graph) Dalam matematika, Cayley Graph juga dikenal dengan nama Cayley

Colour Graph. Konsep ini diperkenalkan oleh Arthur Cayley, yang merupakan teori dasar untuk memahami Cayley Tree.

Definisi 2.17 (Weisstein, 2008: 1) Himpunan generator dari suatu grup adalah himpunan elemen-elemen dari grup itu sendiri yang memungkinkan pengulangan generator tersebut maupun kombinasi antar generatornya dapat menghasilkan elemen-elemen grup.

Contoh 2.13 Misalkan Z 6 adalah operasi penjumlahan modulo 6 adalah grup, Z 6 ={0, 1, 2, 3, 4, 5}. Himpunan generatornya adalah {1}, {2, 5}, {2, 3, 4}. Diperoleh dengan cara sebagai berikut:

37

Untuk {1}

Untuk {2, 5}

Untuk {2, 3, 4}

1.0 = 0

2.0+ 5.0 = 0

1.0 + 3.1 + 4.2 = 5

1.1 = 1

2.1+ 5.1 = 1

2.1 + 3.1 + 4.2 = 1

1.2 = 2

2.2+ 5.2 = 2

2.3 + 3.1 + 4.3 = 3

1.3 = 3

2.3+ 5.3 = 3

2.1 + 3.2 + 4.2 = 4

1.4 = 4

2.4+ 5.4 = 4

2.5 + 3.4 + 4.2 = 0

1.5 = 5

2.5+ 5.5 = 5

2.1 + 3.4 + 4.3 = 2

Definisi 2.18 (http://en.wikipedia.org/wiki/Cayley_graph) Misalkan G adalah grup dan S adalah himpunan generator. Cayley Graph Γ = Γ(G, S ) adalah Graf berwarna berarah (Colored Directed Graph) yang

dibentuk sebagai berikut: a. setiap elemen g dari G dinyatakan sebagai simpul: himpunan simpul V (Γ ) dari Γ dinyatakan dengan G. b. setiap elemen s dari S dinyatakan sebagai warna. c. untuk setiap g ∈ G, s ∈ S , simpulnya berkorespondensi pada elemen g dan gs yang digabungkan oleh rusuk berarah yang berwarna, yaitu c s . Maka dari itu, himpunan rusuk E (Γ ) terdiri dari pasangan ( g , gs ) , dengan s ∈ S sebagai penyedia warna.

Cayley Graph pada Dihedral group D4 pada dua elemen, misalnya pada α dan β akan di jelaskan malalui Gambar 2.18. Pada Gambar 2.18 tanda panah merah merepresentasikan perkalian kiri oleh elemen α . Sedangkan elemen β adalah inverse terhadap dirinya sendiri, garis biru merepresentasikan perkalian

38

kiri oleh elemen β yang tidak berarah. Oleh karena itu graf ini terbentuk, yang memiliki delapan simpul, delapan tanda panah, dan empat rusuk. Tabel Cayley pada

grup

D4

dapat

ditentukan

melalui

suatu

grup

yaitu

α , β | α 4 = β 2 = e,αβ = βα 3 .

Gambar 2.18 Cayley Graph pada Dihedral group D4

J. Pohon Cayley (Cayley Tree) Cayley Tree atau yang disebut dengan Bethe Lattice, diperkenalkan oleh Hans Bethe pada tahun 1935. Cayley Tree dengan coordination number z adalah graf bercabang yang setiap simpulnya terhubung dengan sebanyak z simpul yang lain dan tidak memuat loop. Gambar 2.19 menunjukkan sejumlah 3-Cayley tree

Gambar 2.19 Cayley tree

39

Cayley tree bisa digambarkan sebagai suatu struktur yang terus mengembang dari simpul pusat, dengan semua simpul disusun melingkari simpul pada level sebelumnya. Simpul pusat dapat disebut juga sebagai akar, seperti pada Gambar

2.20.

Gambar 2.20 3-Cayley Tree Setiap simpul pada Gambar 2.20 digambarkan terhubung pada persekitaran z. Jika z adalah coordination number, maka simpul pada level k bisa di hitung dengan

N k = z ( z − 1)

k −1

untuk k ≥ 0 .

Pada Gambar 2.20 z = 3 dan k=1, 2, 3, 4, 5, 6 sehingga

N1 = 3(3 − 1)

1−1

= 3(2 )

0

=3

N 3 = 3(3 − 1)

3−1

= 3(2)

2

= 12

N 5 = 3(3 − 1)

5−1

= 3(2 )

4

= 48

40

N 4 = 3(3 − 1)

N 2 = 3(3 − 1)

N 6 = 3(3 − 1)

6 −1

4 −1

2 −1

= 3(2 ) = 24

= 3(2 )

= 3(2 )

3

1

=6

5

= 96

K. Graf Isomorfik Definisi 2.19 (Heri Sutarno, 2005: 85) Sebuah graf G disebut isomorfik dengan graf H jika terdapat pemetaan satusatu θ (yang disebut isomorfisme dari V (G ) ke V (H ) ) sedemikian sehingga θ mempertahankan ketetanggaan. Jadi,

(θ (u ),θ (v ))∈ E (H ) . Jika graf

(u, v )∈ E (G )

jika dan hanya jika

G disebut isomorfik dengan graf H , dinotasikan

dengan G ≅ H . Jika G adalah suatu graf dengan himpunan simpul V(G) dan himpunan rusuk E(G). H adalah graf dengan himpunan simpul V(H) dan himpunan rusuk

E(H). G isomorfik dengan H jika dan hanya jika ada korespondensi satu-satu

θ : V (G ) → V (H )

Φ : E (G ) → E (H )

Akibatnya V(G) dan V(H) memiliki elemen yang sama banyaknya, atau G dan H berorder sama. Misalkan u dan v adalah dua titik dari G dan misalkan pula bahwa

θ (u ) = u dan θ (v ) = v , maka u dan v bertetangga dalam G jika dan hanya jika θ (u ) dan θ (v ) bertetangga dalam H. Dengan kata lain uv merupakan rusuk dari G jika dan hanya jika θ (u )θ (v ) merupakan rusuk dari H. Selanjutnya untuk mengetahui dua buah graf adalah isomorfik dapat dilakukan dengan memperhatikan rusuk yang menghubungkan vi dan vj dalam G

41

sama dengan banyaknya rusuk yang menhubungkan pasangan simpul yang berkorespondensi dengan vi dan vj dalam H . Oleh karena itu jika G dan H adalah suatu graf yang isomorfik, maka berakibat

V (G ) = V (H )

dan

E (G ) = E (H ) . Sebagai contoh dua buah graf isomorfik yaitu diperlihatkan pada

Gambar 2.21 A

D

E

H

B

C

G

F

G

H

Gambar 2.21 Graf Isomorfik Graf G dan H pada Gambar 2.21 merupakan dua buah graf isomorfik, karena mempunyai jumlah rusuk dan simpul yang sama, dan terdapat korespondensi

satu-satu

antara

graf

G

dan

H

yakni

A ↔ E, D ↔ H , B ↔ F , C ↔ G . Dari Definisi 2.19 maka dapat diperoleh kesimpulan bahwa dua graf dikatakan isomorfik jika memenuhi syarat-syarat sebagai berikut: 1. Jumlah simpul G = jumlah simpul H (mempunyai jumlah simpul yang sama). 2. Jumlah rusuk G = jumlah rusuk H (mempunyai jumlah sisi yang sama). 3. Jumlah rusuk yang mempunyai derajat tertentu dalam graf G dan H sama (mempunyai jumlah simpul yang sama berderajat tertentu).

42

L. Hidrokarbon Hidrokarbon adalah sebuah senyawa yang terdiri dari unsur C dan H. Seluruh hidrokarbon memiliki rantai C dan atom-atom H yang berikatan dengan rantai tersebut. Hidrokarbon sebagai salah satu senyawa organik merupakan senyawa kimia yang dapat dibagi atas hidrokarbon asiklik dan siklik. Hidrokarbon asiklik memiliki unsur pohon dan bisa dibagi atas tiga kelompok, yaitu alkana, alkena, dan alkuna. Untuk selanjutnya, pembahasan akan dibatasi pada alkana saja.

Definisi 2.20 (Daintith, 1999: 253) Elektron valensi adalah elektron-elektron di atom yang terlibat dalam ikatan kimia. Elektron valensi merupakan jumlah elektron yang terdapat pada kulit paling luar dari sebuah atom netral. Dalam pokok bahasan ini, elektron valensi adalah representasi dari derajat masing-masing simpul.

Definisi 2.21 (Mulyono, 2006: 165) Hidrogen (bahasa Latin: hydrogenium, dari bahasa Yunani: hydro: air, genes: membentuk) adalah unsur kimia pada tabel periodik yang memiliki simbol H dan nomor atom satu. Pada suhu dan tekanan standar, hidrogen tidak berwarna, tidak berbau, bersifat non-logam, dan bervalensi tunggal. Hidrogen hanya dapat berikatan dengan satu unsur saja, karena hidrogen bervalensi tunggal. Hidrogen dilambangkan simpul hitam putih.

43

Definisi 2.22 (Mulyono, 2006: 212) Karbon merupakan unsur kimia yang mempunyai simbol C dan nomor atom enam pada tabel periodik. Karbon merupakan unsur non-logam dan bervalensi empat. Karbon dapat berikatan dengan empat unsur, karena karbon bervalensi empat. Unsur yang berikatan tersebut dapat berupa sesama karbon atau unsur kimia yang lain, misalnya H. Unsur Karbon direpresentasikan sebagai simpul hitam.

Definisi 2.23 (Daintith, 1999: 10) Alkana adalah sebuah hidrokarbon dengan rumus umum CnH2n+2. Alkana adalah senyawa jenuh, dan tidak mengandung ikatan rangkap dua atau rangkap tiga. Setiap n atom carbon pada CnH2n+2 berkorespondensi pada simpul berderajat empat pada graf. Berlaku pula untuk 2n+2 atom hidrogen berkorespondensi pada simpul berderajat satu.

Definisi 2.24 (Kristian H. Sugiyarto: 2006: 2.13) Isomer adalah senyawa yang mempunyai rumus molekul sama tetapi memiliki struktur berbeda. Unsur karbon mempunyai empat elektron valensi dan hidrogen mempunyai satu elektron valensi. Jika memodelkan sebuah senyawa hidrokarbon sebagai sebuah graf, maka atom karbon dan Hidrogen kita simbolkan sebagai simpul dan ikatan antara karbon dengan hidrogen sebagai rusuk. Elektron valensi dari masing-masing atom melambangkan derajat dari masing-masing simpul. Oleh karena atom karbon mempunyai empat elektron valensi, maka simpul yang melambangkan atom karbon mempunyai empat derajat simpul, begitu juga

44

dengan atom hidrogen, atom hidrogen mempunyai satu elektron valensi, maka simpul yang melambangkan atom hidrogen hanya mempunyai satu derajat simpul. Perlu ditekankan bahwa, banyaknya derajat simpul untuk masing-masing simpul harus dipenuhi ketika menggambarkan senyawa (hidrokarbon) dalam bentuk graf. Hal ini penting karena berkaitan dengan kestabilan suatu senyawa (hidrokarbon).

Gambar 2.22 di bawah ini merepresentasikan C4H10 (Iso-Butana) dalam graf.

Gambar 2.22 Representasi C4H10(Iso-Butana) dalam Graf

45

BAB III PEMBAHASAN

Sebagaimana telah diuraikan pada Bab I bahwa permasalahan yang menjadi fokus penulisan ini adalah penentuan banyak k-Cayley Tree dan aplikasi Teori Graf dalam menentukan banyak isomer senyawa Alkana.

A. Penentuan Banyak k-Cayley Tree Pada subbab ini akan dibahas mengenai penentuan banyak k-Cayley Tree yang digunakan dalam perhitungan banyak isomer senyawa alkana. Di mana pada perhitungannya akan digunakan konsep Centered Tree dan Becentered Tree. Mengingat bahwa alkana adalah hidrokarbon asiklik yang memiliki struktur mirip pohon, maka perhitungan isomer senyawa alkana dilakukan dengan menggunakan konsep dasar Cayley Tree. Alkana dengan rumus kimia C n H 2 n+ 2 di mana setiap simpulnya mempunyai derajat satu atau empat, maka pada pembahasan ini menggunkan konsep 4-Cayley Tree. Gambar 3.1 berikut menunjukkan 4-Cayley Tree.

46

(a)

(b) (c) Gambar 3.1 (a) Alkana dengan n=1 dalam bentuk Cayley Tree (b) Alkana dengan n=2 dalam bentuk Cayley Tree (c) Alkana dengan n=3 dalam bentuk Cayley Tree

Gambar 3.1 dapat digambarkan sebagai suatu struktur yang terus mengembang dari simpul pusat dengan semua simpul disusun melingkari simpul pada level sebelumnya seperti contoh pada Gambar 3.2.

Gambar 3.2 4-Cayley Tree Gambar 3.2 adalah Calley Tree dengan akar pohon mempunyai z=4, maka simpul pada level k bisa di hitung dengan N k = z ( z − 1)

k −1

untuk k ≥ 0

47

k = 1 ⇒ N1 = 4(4 − 1)

1−1

= 4(3) =4

0

k = 2 ⇒ N 2 = 4(4 − 1)

2 −1

= 4(3)

1

= 12 k = 3 ⇒ N 2 = 4(4 − 1)

3−1

= 4(3)

2

= 36 k = 4 ⇒ N 2 = 4(4 − 1)

4 −1

= 4(3) = 108

3

Dan seterusnya sampai n. Sebuah graf dengan keunikan yang dimiliki pada simpul v didefinisikan sebagai jarak yang khas dari simpul v ke simpul yang lainnya. Pusat graf adalah simpul yang memiliki sifat tunggal. Sebuah graf dapat mempunyai jumlah simpul yang berbeda pada pusatnya. Untuk sebuah pohon, hanya ada dua kemungkinan, yaitu: 1. Sebuah pohon dengan tepat satu pusat (Centered Tree) 2. Sebuah pohon dengan tepat dua pusat (Bicenterd Tree), dalam kasus ini pusat selalu berdekatan. Untuk lebih jelasnya, maka Centered Tree dan Bicenterd Tree akan ditunjukkan pada Tabel 3.1 sebagai berikut:

48

Tabel 3.1 Tabel Banyak Graf Isomorfik yang Ditentukan Melalui Metode Draw and Count Method n

Centered

Bicentered

Total

1

1

2

1

3

1

4

2

5

3

6

5

7

9

...

...

...

...

49

Tabel 3.1 memperlihatkan perhitungan Centered dan bicentered dengan cara Draw and Count Method, tetapi untuk perhitungan selanjutnya akan digunakan cara yang lebih efisien yaitu dengan rumus yang dalam perhitungannya dibantu dengan program Maple. Suatu Pohon dengan lintasan terpanjang (diameter) 2m mempunyai sebuah simpul yang unik disebut center, pada titik tengah lintasan yang panjangnya 2m. Pada pohon dengan lintasan terpanjang (diameter) 2m+1 terdapat pasangan simpul yang unik disebut bicenter, pada pertengahan lintasan yang panjangnya 2m+1. Oleh karena itu akan dibahas perhitungan isomer berdasarkan konsep center dan bicenter.

1. Centered Tree C ( z ) Untuk suatu k-Cayley Tree, misalkan Th ,n adalah jumlah (k −1) − ary

dengan n adalah simpul dan tinggi pohon maksimum h. Sebagai perjanjian, pohon kosong mempunyai h=-1 Misalkan Th ( z ) = ∑ Th ,n z n , maka n≥0

T−1 ( z ) = 1

T0 ( z ) = 1 + z Dan untuk h>1 Th+1 ( z ) = 1 + zS k −1 (Th ( z ))

50

T1 ( z ) = =

T2 ( z ) = =

T3 (z ) =

=

seterusnya sampai h Keterangan:

T1, 0 ( z ) menyatakan banyak jumlah pohon berakar (k-1)-ary dengan 0 adalah simpul dan tinggi pohon maksimum 1.

T1,1 ( z ) menyatakan banyak jumlah pohon berakar (k-1)-ary dengan 1 adalah simpul dan tinggi pohon maksimum 1.

T3,1 ( z ) menyatakan banyak jumlah pohon berakar (k-1)-ary dengan 1 adalah simpul dan tinggi pohon maksimum 3. Dan seterusnya…. Th+1 ( z ) = 1 + zS k −1 (Th ( z ))

51

S m ( f ( z )) adalah hasil dari subsitusi f ( z ) ke cycle index untuk grup simetri berorder m=3 dan m=4.

S 3 ( f ( z )) = S 4 ( f ( z )) =

( f (z ) + 3 f (z ) f (z )+ 2 f (z )) 3

2

3

3!

( f (z ) + 6 f (z ) f (z ) + 8 f (z ) f (z ) + 3 f (z ) + 6 f (z )) 4

2

2

3

2 2

4

4!

Misalkan C 2 h ,n adalah jumlah center dari k-Cayley trees dengan n adalah simpul dan 2h adalah diameter pohon. Ambil C 2 h ( z ) = ∑ C 2 h ,n z n n≥0

Dengan menghapus simpul center dan sisi yang berdekatan dengannya, akan didapatkan sejumlah pohon yang berkorespondensi dengan k-tuple pohon berakar (k-1)-ary dengan tinggi maksimum h-1. Paling tidak terdapat dua pohon yang tingginya tepat h-1. Karena itu, diperoleh persamaan sebagai berikut C 2 h = (1 + zS k (Th−1 (z ))) − (1 + zS k (Th−2 ( z ))) − (Th−1 (z ) − Th −2 ( z ))(Th−1 ( z ) − 1) Tiga ekspresi dalam persamaan di atas masing-masing menghitung k-tuple pohon dengan tinggi maksimum h-1, k-tuple pohon dengan tinggi maksimum h-2, dan pohon dengan tepat satu sub pohon yang tingginya h-1. Selanjutnya, misalkan C n adalah jumlah k-cayley trees dengan n buah simpul, dan C ( z ) = ∑ C n z n , maka n≥0

C (z ) = ∑ C2 h (z ) h≥0

Jika diuraikan, maka akan diperoleh center suatu pohon.

C ( z ) = C 0 ( z ) + C 2 ( z ) + C 4 ( z ) + C 6 ( z ) + ....

52

Karena

C 2 h = (1 + zS k (Th −1 ( z ))) − (1 + zS k (Th − 2 ( z ))) − (Th −1 ( z ) − Th − 2 ( z ))(Th −1 ( z ) − 1) Dan sudah tentukan bahwa k = 4 maka,

Co ( z ) = (1 + zS 4 (T−1 ( z ))) ) − (1 + zS 4 (T−2 ( z ))) ) − (T−1 ( z ) − T−2 ( z ))(T−1 ( z ) − 1) )

C 2 ( z ) = (1 + zS 4 (T0 ( z ))) ) − (1 + zS 4 (T−1 ( z ))) ) − (T0 ( z ) − T−1 ( z ))(T0 ( z ) − 1) ) C 4 ( z ) = (1 + zS 4 (T1 ( z ))) ) − (1 + zS 4 (T0 ( z ))) ) − (T1 ( z ) − T0 ( z ))(T1 ( z ) − 1) ) C 6 (z ) = (1 + zS 4 (T2 ( z ))) ) − (1 + zS 4 (T1 ( z ))) ) − (T2 ( z ) − T1 ( z ))(T2 ( z ) − 1) ) C8 (z ) = (1 + zS 4 (T3 ( z ))) ) − (1 + zS 4 (T2 ( z ))) ) − (T3 ( z ) − T2 ( z ))(T3 ( z ) − 1) ) C10 ( z ) = (1 + zS 4 (T4 ( z ))) ) − (1 + zS 4 (T3 ( z ))) ) − (T4 ( z ) − T3 ( z ))(T4 ( z ) − 1) ) Dan seterusnya.... 1. S 3 (T0 ( z )) Maka untuk f ( z ) = T0 ( z ) = 1 + z , maka

S 3 (T0 ( z )) =

((1 + z ) + 3(1 + z )(1 + z )+ 2(1 + z )) 3

((1 + 3z + 3z =

2

3

3! 2

) (

) (

+ z3 + 3 1+ z + z + z3 + 2 1+ z3 6 2

1 + 3z + 3z 2 + z 3 + 3 + 3z + 3z + 3z 3 + 2 + 2 z 3 = 6 2 3 6 + 6z + 6z + 6z = 6 2 = 1+ z + z + z3 2

2. S 3 (T1 ( z )) Selanjutnya akan dihitung T1 ( z ) dengan rumus Th+1 ( z ) = 1 + zS k −1 (Th ( z ))

))

53

yaitu, T1 ( z ) = 1 + zS 3 (T0 ( z )) T1 ( z ) = 1 + zS 3 (1 + z ) T1 ( z ) = 1 + zS 3 ( f ( z )) . dan diperoleh,

(

T1 ( z ) = 1 + z 1 + z + z 2 + z 3

)

T1 ( z ) = 1 + z + z 2 + z 3 + z 4 Diperoleh

((T (z )) + 3(T (z ))(T ( z ))+ 2(T ( z ))) S (T (z )) = 3

1

3

2

1

3

1

1

1

3!

= 1 + z + 2 z 2 + 3 z 3 + 4 z 4 + 4 z 5 + 5 z 6 + 4 z 7 + 4 z 8 + 3 z 9 + 2 z 10 + z 11 + z 12 3. S 3 (T2 ( z )) T2 ( z ) = 1 + zS 3 (T1 ( z ))

T2 ( z ) = 1 + z (1 + z + 2 z 2 + 3 z 3 + 4 z 4 + 4 z 5 + 5 z 6 + 4 z 7 + 4 z 8 + 3 z 9 + 2 z 10 + z 11 + z 12 )

T2 ( z ) = 1 + z + z 2 + 2 z 3 + 3 z 4 + 4 z 5 + 4 z 6 + 5 z 7 + 4 z 8 + 4 z 9 + 3 z 10 + 2 z 11 + z 12 + z 13

S 3 (T2 ( z )) =

=

((T (z )) + 3(T (z ))(T ( z ))+ 2(T ( z ))) 3

2

2

2

2

3!

3

2

54

Dan seterusnya, untuk perhitungan S 3 ( f (z )) dilanjutkan dengan program Maple yang telah dilampirkan. 4.

S 4 (T0 ( z )) Maka untuk f ( z ) = T0 ( z ) = 1 + z , maka

((1 + z ) + 6(1 + z )(1 + z ) + 8(1 + z )(1 + z ) + 3(1 + z ) + 6(1 + z )) S (T ( z )) = 4

4

0

2

2

4

4! ( 1 + 4z + 6z + 4z + z + 6 1 + z 2 1 + 2z + z 2 + 8 1 + z 3 + z + z 4 + = 4! 2 4 4 3 1 + 2z + z + 6 1 + z ) 4! 2 1 + 4 z + 6 z + 4 z 3 + z 4 + 6 + 6 z 2 + 12 z + 12 z 3 + 6 z 2 + 6 z 4 + = 4! 3 4 2 8 + 8 z + 8 z + 8 z + 3 + 6 z + 3z 4 + 6 + 6 z 4 4! (1 + 6 + 8 + 3 + 6) + (4 + 12 + 8)z + (6 + 6 + 6 + 6)z 2 + (4 + 12 + 8)z 3 = 24 4 + (1 + 6 + 8 + 3 + 6)z 24 2 = 1+ z + z + z3 + z4

(

2

(

3

) (

(

4

) (

)(

) (

)

)

) (

(

5.

2 2

3

) (

)

) (

)

S 4 (T1 ( z )) Selanjutnya akan dihitung T1 ( z ) dengan rumus Th+1 ( z ) = 1 + zS k −1 (Th ( z )) T1 ( z ) = 1 + z + z 2 + z 3 + z 4 Dengan rekursi diperoleh

((T (z )) S (T ( z )) = 1

4

=

1

4

( ( ))

( ( ))

( ( ))

+ 6 T1 z 2 (T1 ( z )) + 8 T1 z 3 (T1 (z )) + 3 T1 z 2 4! 2

2

( ( )))

+ 6 T1 z 4

55

Dan seterusnya, untuk perhitungan S 4 ( f ( z )) dilanjutkan dengan program Maple yang telah dilampirkan.

C o ( z ) = (1 + zS 4 (T−1 ( z ))) ) − (1 + zS 4 (T− 2 ( z ))) ) − (T−1 ( z ) − T− 2 ( z ))(T−1 ( z ) − 1) ) C o ( z ) = (1 + zS 4 (1) ) − (1 + zS 4 (0) ) − (1 − 0)(1 − 1) ) Co (z ) = z Selanjutnya C 2 ( z )

C 2 ( z ) = (1 + zS 4 (T0 ( z ))) ) − (1 + zS 4 (T−1 ( z ))) ) − (T0 ( z ) − T−1 ( z ))(T0 ( z ) − 1) ) C 2 (z ) = (1 + zS 4 (1 + z ) ) − (1 + zS 4 (0) ) − ((1 + z ) − (0))((1 + z ) − 1) )

(

)

(

)

C 2 (z ) = 1 + z (1 + z + z 2 + z 3 + z 4 ) − (1 + zS 4 (0) ) − ((1 + z ) − (0))((1 + z ) − 1) ) C 2 (z ) = 1 + z + z 2 + z 3 + z 4 + z 5 ) − (1 + 0 ) − (1 + z )( z ) ) C 2 (z ) = 1 + z + z 2 + z 3 + z 4 + z 5 − 1 − z − z 2 C 2 (z ) = z 3 + z 4 + z 5 Selanjutnya C 4 ( z )

C 4 (z ) = (1 + zS 4 (T1 ( z ))) ) − (1 + zS 4 (T0 ( z ))) ) − (T1 ( z ) − T0 ( z ))(T1 ( z ) − 1) )

(

)

C4 ( z ) = (1 + zS 4 (T1 ( z ))) ) − 1 + z (1 + z + z 2 + z 3 + z 4 ) −

((1 + z + z

2

+ z 3 + z 4 ) − (1 + z ))(1 + z + z 2 + z 3 + z 4 − 1)

)

= (1 + z (1 + z + 2 z 2 + 3 z 3 + 5 z 4 + 5 z 5 + 7 z 6 + 7 z 7 + 8 z 8 + 7 z 9 + 7 z 10 + 5 z 11 + 5 z 12 + 3 z 13 + 2 z 14 + z 15 + z 16 )) − (1 + z + z 2 + z 3 + z 4 + z 5 ) − ( z 2 + z 3 + z 4 )(1 + z + z 2 + z 3 + z 4 − 1) = z 5 + 2 z 6 + 5 z 7 + 6 z 8 + 8 z 9 + 7 z 10 + 7 z 11 + 5 z 12 + 5 z 13 + 3 z 14 + 2 z 15 + z 16 + z 17

56

Selanjutnya C6

C 6 (z ) = (1 + zS 4 (T2 ( z ))) ) − (1 + zS 4 (T1 ( z ))) ) − (T2 ( z ) − T1 ( z ))(T2 ( z ) − 1) )

C6 (z ) =

Dan seterusnya, untuk perhitungan C n ( z ) dilanjutkan dengan program Maple yang telah dilampirkan

C ( z ) = ∑ C 2 h ( z ) = C0 ( z ) + C2 ( z ) + C4 ( z ) + C6 ( z ) + .... h≥0

Untuk memperoleh nilai Centered maka akan dilakukan penjumlahan terhadap C ( z ) yang telah dihitung, pada contoh perhitungan di atas akan dilakukan operasi

penjumlahan terhadap C 0 ( z ), C 2 ( z ), C 4 ( z ), C 6 ( z ), C8 ( z ) . Yaitu C ( z ) = C 0 ( z ) + C 2 ( z ) + C 4 ( z ) + C 6 ( z ) + C8 ( z )

= z + z 3 + z 4 + 2 z 5 + 2 z 6 + 6 z 7 + 9 z 8 + 20 z 9 + 37 z 10 + .......... .

57

2. Bicentered Tree B( z ) Misalkan B2 h +1,n adalah jumlah pohon bicenter dari k-Cayley trees dengan n adalah jumlah simpul dan 2h+1 adalah diameter pohon. Ambil B2 h +1 ( z ) = ∑ B2 h +1,n z n , n≥0

Bn adalah jumlah bicenter dari k-Cayley trees yang memiliki n simpul, dan B( z ) = ∑ Bn z n . Karena sebuah pohon bicenter berkorespondensi dengan n≥0

pasangan pohon berakar (k-1)-ary dengan tinggi tepat h diperoleh B2 h −1 ( z ) = S 2 (Th ( z ) − Th −1 ( z )) Maka diperoleh Bicenter suatu pohon adalah B( z ) = ∑ B2 h +1 ( z ) h≥0

Jika diuraiakan diperoleh sebagai berikut B( z ) = B1 ( z ) + B3 ( z ) + B5 ( z ) + B7 ( z ) + B9 ( z ) + ... B1 (z ) = S 2 (T0 ( z ) − T−1 ( z )) B3 ( z ) = S 2 (T1 ( z ) − T0 ( z )) B5 ( z ) = S 2 (T2 ( z ) − T1 ( z )) B7 ( z ) = S 2 (T3 ( z ) − T2 ( z )) B9 ( z ) = S 2 (T4 ( z ) − T3 ( z )) dan seterusnya... Untuk mengitung Bicentere maka digunakan cycle index untuk grup simetri berorder m=2

58

S 2 f (z ) =

f (z ) + f (z 2 ) . 2! 2

Seperti perhitungan sebelumnya, pada center telah diperoleh T−1 ( z ) = 1 T0 ( z ) = 1 + z

T1 ( z ) = 1 + z + z 2 + z 3 + z 4 T2 ( z ) = 1 + z + z 2 + 2 z 3 + 3 z 4 + 4 z 5 + 4 z 6 + 5 z 7 + 4 z 8 + 4 z 9 + 3 z 10 + 2 z 11 + z 12 + z 13 T3 ( z ) =

Dan seterusnya... 1. Maka akan dihitung untuk B1 (z ) = S 2 (T0 ( z ) − T−1 ( z ))

(T0 (z ) − T−1 (z )) = 1 + z -1 = z Karena (T0 ( z ) − T−1 ( z )) = f ( z ) = z, maka 2 ( z ) + (z 2 ) B (z ) = 1

2!

= z2 2. B3 ( z ) = S 2 (T1 ( z ) − T0 ( z ))

(T1 (z ) − T0 (z )) = (1 + z + z 2 + z 3 + z 4 ) - (1 + z ) = z 2 + z 3 + z 4 Karena (T1 (z ) − T0 ( z )) = f ( z ) = z 2 + z 3 + z 4 , maka

59

(z B (z ) =

2

+ z3 + z4

3

) + (z 2

4

+ z6 + z8

)

2!

= 3. B5 ( z ) = S 2 (T2 ( z ) − T1 ( z ))

(T2 (z ) − T1 (z )) = (1 + z + z 2 + 2 z 3 + 3z 4 + 4 z 5 + 4 z 6 + 5 z 7 + 4 z 8 + 4 z 9 + 3z10 + 2 z 11 + z 12 + z 13 ) − (1 + z + z 2 + z 3 + z 4 ) = z 3 + 2 z 4 + 4 z 5 + 4 z 6 + 5 z 7 + 4 z 8 + 4 z 9 + 3z 10 + 2 z 11 + z 12 + z 13 Karena (T2 ( z ) − T1 ( z )) = f ( z ) =

z 3 + 2 z 4 + 4 z 5 + 4 z 6 + 5 z 7 + 4 z 8 + 4 z 9 + 3 z 10 + 2 z 11 + z 12 + z 13 , maka

B5 ( z ) =

(

) )

2 1 3 ( z + 2 z 4 + 4 z 5 + 4 z 6 + 5 z 7 + 4 z 8 + 4 z 9 + 3z 10 + 2 z 11 + z 12 + z 13 + 2! z 6 + 2 z 8 + 4 z 10 + 4 z 12 + 5 z 14 + 4 z 16 + 4 z 18 + 3 z 20 + 2 z 22 + z 24 + z 16 )

(

=

Dan seterusnya, untuk perhitungan Bn ( z ) dilanjutkan dengan program Maple yang telah dilampirkan B( z ) = ∑ B2 h +1 ( z ) = B1 (z ) + B3 ( z ) + B5 ( z ) + B7 ( z ) + B9 (z ) + ... h≥0

Untuk memperoleh nilai Bicentered maka akan dilakukan penjumlahan terhadap B( z ) yang telah dihitung, pada contoh perhitungan di atas akan dilakukan operasi

penjumlahan terhadap B1 ( z ), B3 ( z ), B5 ( z ), B7 ( z ), . Yaitu B( z ) = C1 ( z ) + C 3 ( z ) + C 5 ( z ) + C 7 ( z )

= z 2 + z 4 + z 5 + 3z 6 + 3z 7 + 9 z 8 + 15 z 9 + 38 z 10 + 73z 11 + ..........

60

Dari dua jenis perhitungan di atas, yaitu antara Centered dan Bicentered, maka dapat diperoleh kesimpulan hasil pehitungannya, yaitu:

Tabel 3.2 Tabel Banyak Graf Isomorfik yang Ditentukan Melalui Konsep Cayley Tree n

Centered

Bicentered

Total

1

1

0

1

2

0

1

1

3

1

0

1

4

1

1

2

5

2

1

3

6

2

3

5

7

6

3

9

8

9

9

18

9

20

15

35

10

37

38

75

...

...

...

...

Total pada Tabel 3.2 menyatakan banyak graf isomorfik yang ditentukan melalui penjumlahan antara Centered dan Bicentered.

61

B. Aplikasi Teori Graf dalam Menentukan Banyak Isomer Senyawa Alkana Isomer adalah senyawa yang mempunyai rumus molekul sama tetapi memiliki struktur berbeda. Dalam teori graf, isomer sebetulnya sama dengan graf isomorfik hanya saja sifat-sifat dalam kimia diabaikan. Karena dalam teori graf lebih membahas ke strukturnya saja, sehingga mempermudah dalam menghitung banyak isomer senyawa alkana. Senyawa-senyawa kimia khususnya alkana tidak mudah digambarkan atau dimodelkan. Diperlukan suatu aturan khusus dalam pemodelan senyawa kimia ini. Graf dengan berbagai teorinya sangat cocok untuk memodelkan senyawa kimia tersebut. Dalam kimia, komponen kimia dengan formula C n H 2 n+ 2 di sebut dengan alkana. Senyawa C n H 2 n+ 2 mengandung n atom karbon dan 2n+2 atom hidrogen. Sesuai dengan keperluannya dalam teori graf, banyak kosakata dari kamus kimia yang diubah menjadi kosakata dalam graf dengan tujuan pemahaman.

Tabel 3.3 Tabel Istilah Istilah Kimia

Istilah dalam Teori Graf

Structural formula (rumus struktur) Atom

Graph (graf) Vertex (simpul)

Chemical Bond (ikatan kimia)

Edge (sisi)

Valency of atom

Degree of vertex

(atom valensi)

(derajat simpul)

Acyclic structure

Tree (pohon)

62

Isomer

isomorfik

Berdasarkan Teorema 2.2, akan dibuktikan bahwa senyawa alkana CnH2n+2 adalah suatu pohon.

Teorema 3.1 (Cayley) Struktur senyawa alkana CnH2n+2 merupakan suatu pohon. Bukti: Banyaknya simpul dari CnH2n+2 adalah n + (2n + 2 ) = 3n + 2 Alkana adalah molekul yang setiap atom Carbon mempunyai 4 pengikat, sedangkan setiap atom Hidrogen hanya 1 pengikat. Andaikan G adalah graf sebagai model dari Alkana tersebut, maka G memiliki 3n+2 simpul. Selanjutnya ditunjukkan bahwa banyaknya rusuk di G adalah 3n+1.

V (G ) = 3n + 2 E (G ) =

1 ∑ d (Vi ) 2 vi∈V (G )

1 (d (C ) + d (H )) 2 1 = (n.4 + (2n + 2 ).1) 2 = (4n + 2n + 2 ) / 2 =

= 3n + 1 (terbukti) Oleh karena itu E (G ) = V (G ) − 1 maka struktur senyawa alkana CnH2n+2 merupakan suatu pohon. Bentuk struktur dari susunan kimia adalah sebuah diagram yang menyatakan ikatan antara atom-atom dalam molekul. Rumus molekul C n H 2 n+ 2

63

tidak cukup untuk mengidentifikasi isomer, selama ada isomer yang mempunyai rumus molekul yang sama tetapi berbeda strukturnya. Oleh karena itu perlu adanya penggambaran struktur yang dimaksud. Tiga bentuk pertama dari alkana dapat disajikan pada Gambar 3.3 sebagai berikut. H

H

C

H

H

H

H

H

C

C

H

H

H

H

H

H

H

C

C

C

H

H

H

CH 4

C2 H 6

C3 H 8

Metana

Etana

Propana

H

Gambar 3.3 Ketiga jenis alkana di atas hanya memiliki satu buah isomer. Untuk n>4 dapat diperoleh lebih dari satu isomer C n H 2 n+ 2 .

Gambar 3.4 merupakan isomer dari Butana dan Pentana bila ditentukan melalui metode Draw and Count Method, di mana Butana memiliki dua buah isomer dan Pentana memiliki tiga buah isomer. Perhitungan isomer akan sangat mudah dilakukan bila n kecil, tetapi hal itu sangat susah dilakukan apabila n besar, karena akan membutuhkan waktu yang lama, bahkan kemungkinan melakukan kesalahan besar. Oleh karena itu, pada Bab ini dilakukan perhitungan melalui matematika yaitu menggunakan Cayley Tree. Menurut Teorema 3.1 telah dibuktikan bahwa suatu senyawa alkana merupakan sebuah pohon jika dipandang dari segi matematis. Oleh karena itu,

64

untuk lebih jelasnya bagaimana graf itu sangat penting dalam kimia teoritis khususnya dalam menentukan banyaknya isomer senyawa alkana, di bawah ini akan disajikan representasi graf dalam perhitungan senyawa alkana yang tentunya menggunakan konsep Centered Tree dan Bicentered Tree. Representasi graf akan disajikan pada Gambar 3.4 yaitu pada senyawa Butana (C 4 H 10 ) dan senyawa Pentana (C5 H 12 )

Gambar 3.4 Pada senyawa Butana (C 4 H 10 ) Jika disajikan dalam bentuk graf

Centered

→

Jika disajikan dalam bentuk graf

Bicentered

→

H

H

H

H

H

C

C

C

C

H

H

H

H

H

65

Pada senyawa Pentana (C5 H 12 ) Jika disajikan dalam bentuk graf

Centered

H

H

C

H

H

H

→

C

H

C

C

H

H

C

H

H

H

H

Jika disajikan dalam bentuk graf

Centered

→

H

H

H

H

H

H

C

C

C

C

C

H

H

H

H

H

Jika disajikan dalam bentuk graf

Bicentered

H H

H

C

C

H

C

H

C

H

C

H

→

H

H

H

H

H

H

66

Representasi graf pada senyawa Butana (C 4 H 10 ) dan senyawa Pentana

(C5 H12 )

melalui konsep Centered dan Bicentered pada Gambar 3.4

menunjukkan adanya keterkaitan antara teori graf dan kimia. Melalui konsep teori graf yaitu Cayley Tree dapat mempermudah dalam menghitung banyak isomer senyawa alkana. Oleh karena itu banyak isomer senyawa alkana dapat dilihat hasilnya pada Tabel 3.2, karena dalam menentukan banyak isomer senyawa alkana sebenarnya sama halnya dalam menentukan banyak graf isomorfik yang dapat dibentuk dari sebuah rumus molekul dari alkana yaitu CnH2n+2.

BAB IV PENUTUP

A. KESIMPULAN Kesimpulan yang dapat diambil dari pembahasan dalam skripsi ini adalah sebagai berikut: 1. Struktur senyawa kimia khususnya alkana dengan rumus kimia CnH2n+2 merupakan graf pohon, karena memenuhi E (G ) = V (G ) − 1 . Alkana adalah hidrokarbon asiklik di mana setiap simpulnya mempunyai serajat satu atau empat, sehingga pada pembahasannya menggunakan konsep 4-Cayley Tree. 2. Jumlah isomer senyawa alkana ditentukan berdasarkan jumlahan antara Centered Tree dan Bicentered Tree. Yaitu sebagai berikut:

n

Centered

Bicentered

Total

1

1

0

1

2

0

1

1

3

1

0

1

4

1

1

2

5

2

1

3

6

2

3

5

7

6

3

9

8

9

9

18

9

20

15

35

67

10

37

38

75

...

...

...

...

B. SARAN Dalam skripsi ini penulis hanya membahas aplikasi Cayley Tree dalam menentukan isomer senyawa alkana. Bagi pembaca yang ingin menyelesaikan tugas akhir skripsi dan tertarik diperkuliahan Teori Graf serta aplikasinya pada ilmu kimia, topik mengenai perhitungan jumlah isomer dengan metode kombinatorial yang melibatkan perhitungan permutasi dan kombinasi dapat dijadikan sebagai bahan penulisan tugas skripsi selanjutnya. Dengan adanya kelanjutan penulisan ini akan menambah wawasan dan literatur bagi pembaca yang mendalami ilmu teori graf dan aplikasinya dalam ilmu kimia.

68

DAFTAR PUSTAKA

Amir Muntaha. 2008. Graf Pohon dan Implementasinya dalam Beberapa Persoalan. http://www.ccs.neu.edu/home/fell/CSU200/Lectures/Trees.pdf. Tanggal Akses: 30 April 2008. Chartrand, Gary. 1985. Introductory Graph Theory. Canada: Courier Dover Publications. Daintith, John. 1999. The Facts on File Dictionary of Chemistry. New York NY 10001: Market House Book Ltd. De Koninck, J M & Mercier, Armel. 2007. Problems In Classical Number Theory. Arizona: American Mathematical Society. Fraleigh, John B. 1998. A First Course In Abstract Algebra. New York: Addison-Wesley Publishing Company, Inc. Goodaire, Edgar G & Parmenter, Michael M. 2006. Discrete Mathematics with Graph Theory. United States of America: Pearson Prentice Hall. Grimaldi, Ralph P. 1999. Discrete and Combinatorial Mathematics. United States of America: Addison Wesley Longman, Inc. Groos, Jonathan L & Yellen, Jay. 2005. Graph Theory and Its Applications. New York: Chapman & Hall CRC. Heri Sutarno. 2005. Matematika Diskret. Malang: Universitas Negeri Malang (UM PRESS). Kristian H Sugiyarto. 2006. Dasar-dasar Kimia Anorganik Transisi. Yogyakarta: Universitas Negeri Yogyakarta. Mulyono HAM. 2006. Kamus Kimia. Bumi Aksara: Jakarta. Rains E. M. & Sloane N. J. A. 2008. On Cayley’s Enumeration of Alkanes (or 4-Valent Trees). Journal of Integer Sequences: In formation Sciences Research AT & T Shannon Lab Florham Park.

69

Reisha Humaria. 2007. Beberapa Aplikasi Graf dan Kombinatorial untuk Menentukan Jumlah Isomer Senyawa Kimia. http://.informatika.org/~rinaldi/Matdis/20062007/Makalah/Makalah0607-15. Tanggal akses: 26 November 2007. Trinajstic, Nenad. 1993. Chemical Graph Theory. London: CRC Press. Weisstein, Eric W. 2008. Group Generator. http://mathworld.wolfram.com/GroupGenerators.html. Tanggal akses: 27 Mei 2008. Wikipedia. 2008. Cayley Graph. http://en.wikipedia.org/wiki/Cayley_graph. Tanggal akses: 01 April 2008. Wilson, R. J. & Watkins J.J. 1990. Graphs an Introductory Approach. Toronto: John Wiley & Sons, Inc.

70

LAMPIRAN

O Perhitungan Centered Tree O 1. menghitung Cycle Index untuk grup simetri berorder m = 3 O T0 z d 1 Cz 2

T0 := z/1 Cz 2

d expand T0 z

O T0 z

; 2

2

(2)

T0 z3 := 1 Cz3

(3)

T0 z 3

3

d expand T0 z

O T0 z

:= 1 Cz

;

T0 z

O S3T0 z d expand

(1)

3

2

3

C3$ T0 z $ T0 z C2$ T0 z 6 S3T0 z := 1 Cz2 Cz Cz3

; (4)

O T1 z d expand 1 Cz$ S3T0 z ; 3 2 4 T1 z := 1 Cz Cz Cz Cz O T1 z d 1 Cz Cz3 Cz2 Cz4 2

2

d expand T1 z

O T1 z

O T1 z3 d expand T1 z3

(5)

T1 := z/1 Cz Cz3 Cz2 Cz4

(6)

; T1 z2 := 1 Cz2 Cz6 Cz4 Cz8

(7)

; T1 z3 := 1 Cz3 Cz9 Cz6 Cz12 3

(8)

2

3

C3$ T1 z $ T1 z C2$ T1 z ; 6 S3T1 z := 1 Cz C4 z4 C2 z2 C3 z3 Cz11 C3 z9 Cz12 C4 z8 C5 z6 C4 z5 C4 z7 C2 z10 O T2 z d expand 1 Cz$ S3T1 z ; 2 5 3 4 12 10 13 9 7 6 8 11 T2 z := 1 Cz Cz C4 z C2 z C3 z Cz C3 z Cz C4 z C5 z C4 z C4 z C2 z O S3T1 z d expand

T1 z

(9) (10)

O T2 z d 1 Cz Cz2 C4 z5 C2 z3 C3 z4 Cz12 C3 z10 Cz13 C4 z9 C5 z7 C4 z6 C4 z8 C2 z11 T2 := z/1 Cz Cz2 C4 z5 C2 z3 C3 z4 Cz12 C3 z10 Cz13 C4 z9 C5 z7 C4 z6 C4 z8 C2 z11 (11) O T2 z2 d expand T2 z2 ; T2 z2 := 1 Cz2 Cz4 C4 z10 C2 z6 C3 z8 Cz24 C3 z20 Cz26 C4 z18 C5 z14 C4 z12 C4 z16

(12)

22

C2 z

O T2 z3 d expand T2 z3 ; T2 z3 := 1 Cz3 Cz6 C4 z15 C2 z9 C3 z12 Cz36 C3 z30 Cz39 C4 z27 C5 z21 C4 z18 C4 z24

(13)

33

C2 z

C3$ T2 z $ T2 z2 C2$ T2 z3 ; 6 S3T2 z := 1 Cz C239 z13 C498 z17 C570 z23 C594 z19 C453 z25 C238 z28 C12 z35 C3 z37 O S3T2 z d expand 31

29

T2 z

34

3

38

32

4

2

3

11

24

C89 z C181 z C20 z Cz C56 z C7 z C2 z C4 z C137 z C514 z

(14)

C614 z20 C378 z26 C551 z18 C300 z14 C432 z16 C601 z22 C70 z9 C184 z12 C37 z33 15

36

30

39

27

21

8

6

5

7

C369 z C6 z C128 z Cz C312 z C624 z C47 z C20 z C12 z C31 z 10

C99 z O T3 z d expand 1 Cz$ S3T2 z ; T3 z := 1 Cz C184 z13 C432 z17 C601 z23 C551 z19 C514 z25 C312 z28 C20 z35 C6 z37 31

29

20

26

34

38

32

4

2

3

11

(15)

24

C128 z C238 z C37 z C3 z C89 z C4 z Cz C2 z C99 z C570 z 18

14

16

22

40

9

12

C594 z C453 z C498 z C239 z C369 z C624 z Cz C47 z C137 z 33

15

36

30

39

27

21

8

6

5

C56 z C300 z C12 z C181 z Cz C378 z C614 z C31 z C12 z C7 z 7

10

C20 z C70 z

O T3 z d 1 Cz C184 z13 C432 z17 C601 z23 C551 z19 C514 z25 C312 z28 C20 z35 C6 z37 C128 z31 C238 z29 C37 z34 C3 z38 C89 z32 C4 z4 Cz2 C2 z3 C99 z11 C570 z24 C594 z20 C453 z26 C498 z18 C239 z14 C369 z16 C624 z22 Cz40 C47 z9 C137 z12 C56 z33 C300 z15 C12 z36 C181 z30 Cz39 C378 z27 C614 z21 C31 z8 C12 z6 C7 z5 C20 z7 C70 z10 T3 := z/1 Cz Cz40 Cz39 Cz2 C2 z3 C4 z4 C137 z12 C184 z13 C432 z17 C601 z23 C551 z19 25

28

35

37

31

29

34

38

(16)

32

C514 z C312 z C20 z C6 z C128 z C238 z C37 z C3 z C89 z

C570 z24 C594 z20 C453 z26 C498 z18 C239 z14 C369 z16 C624 z22 C56 z33 C300 z15 C12 z36 C181 z30 C378 z27 C614 z21 C7 z5 C70 z10 C47 z9 C20 z7 C12 z6 C31 z8 C99 z11 O T3 z2 d expand T3 z2 ; T3 z2 := 1 C239 z28 C432 z34 C551 z38 C369 z32 Cz4 Cz2 C624 z44 C56 z66 C614 z42 72

60

22

40

54

24

20

26

18

14

(17)

16

C12 z C181 z C378 z C137 z C70 z C184 z C47 z C20 z C31 z 12

36

30

8

6

10

80

78

46

C99 z C594 z C12 z C498 z C300 z C4 z C2 z C7 z Cz Cz C601 z C514 z50 C312 z56 C20 z70 C6 z74 C128 z62 C238 z58 C37 z68 C3 z76 C89 z64 C570 z48 C453 z52 O T3 z3 d expand T3 z3 ; T3 z3 := 1 C624 z66 C239 z42 C570 z72 C594 z60 C498 z54 C181 z90 C378 z81 C614 z63

(18)

Cz3 C31 z24 C12 z18 Cz120 Cz117 C432 z51 C601 z69 C551 z57 C514 z75 C312 z84 C20 z105 C6 z111 C128 z93 C238 z87 C37 z102 C3 z114 C89 z96 C2 z9 C4 z12 C99 z33 C7 z15 C137 z36 C70 z30 C184 z39 C47 z27 C20 z21 Cz6 C56 z99 C300 z45 C12 z108 C453 z78 C369 z48 C3$ T3 z $ T3 z2 C2$ T3 z3 ; 6 S3T3 z := 1 Cz C2365 z13 C20354 z17 C364555 z23 C55706 z19 C872727 z25 C2980554 z28 O S3T3 z d expand

T3 z

3

C36095102 z35 C66951451 z37 C9246830 z31 C4393287 z29 C26088244 z34 C89755449 z38 C13204526 z32 C8 z4 C758 z112 C338 z113 C62 z115 C27 z116 C4 z118 Cz119 C1710204982 z77 C1235964517 z79 C202984042 z41 C331715843 z43

(19)

C779843029 z47 C1121537006 z49 C2038928979 z53 C2576241555 z55 59

61

71

73

65

67

C3606730433 z C3993437445 z C4277663720 z C4134086103 z 2

44

66

C3356383912 z C2815570112 z C2 z C417359802 z C4229607116 z

C260865858 z42 C3092740855 z72 C3816383212 z60 C2304400735 z54 C79298004 z90 81

63

3

11

24

20

C848181768 z C4227813312 z C4 z C749 z C567206 z C90628 z 26

18

14

16

22

40

120

C1328545 z C33883 z C4129 z C12104 z C231801 z C156284730 z Cz 117

C10 z

51

69

84

105

C436439448 z C88204 z 114

C154 z

57

75

C1545167948 z C3813878148 z C3116054839 z C2249523074 z 111

93

C1604 z

96

87

102

C27675367 z C198431393 z C479339 z

9

12

33

15

36

C8372800 z C225 z C1344 z C18657905 z C7106 z C49418998 z 30

39

99

45

27

21

8

6

C6407683 z C119063149 z C2000536 z C145729 z C121 z C33 z 108

C2174395 z C519559381 z C13348 z

5

7

10

89

C16 z C63 z C415 z C109250394 z

C56695196 z91 C39922778 z92 C18885015 z94 C12677964 z95 C5435626 z97 C3469135 z98 C1338790 z100 C808547 z101 C278280 z103 C158476 z104 C48126 z106 C25584 z107 C6744 z109 C3353 z110 C688882553 z82 C552046535 z83 C340324807 z85 C261713408 z86 C148315264 z88 C1030602778 z80 C1463215476 z78 C639939517 z46 C1323523938 z50 C2848892771 z56 C3599155257 z70 C2532213546 z74 62

58

68

76

C4132169661 z C3371001341 z C3994067586 z C1973755292 z C4276971739 z64 C940236752 z48 C1784589063 z52

O T4 z d expand 1 Cz$ S3T3 z ; T4 z := 1 Cz Cz121 C1344 z13 C12104 z17 C231801 z23 C33883 z19 C567206 z25 28

35

37

31

29

C2000536 z C26088244 z C49418998 z C6407683 z C2980554 z

C18657905 z34 C66951451 z38 C9246830 z32 C4 z4 C1604 z112 C758 z113 C154 z115 C62 z116 C10 z118 C4 z119 C1973755292 z77 C1463215476 z79 C156284730 z41 C260865858 z43 C639939517 z47 C940236752 z49 C1784589063 z53 C2304400735 z55 C3371001341 z59 C3816383212 z61 C4276971739 z65 C4229607116 z67 C3599155257 z71 C3092740855 z73 Cz2 C331715843 z44 C4277663720 z66 C202984042 z42 C3356383912 z72 C3606730433 z60 C2038928979 z54 C109250394 z90 C1030602778 z81 C4132169661 z63 C2 z3 C415 z11 C364555 z24 C55706 z20 C872727 z26 C20354 z18 C2365 z14 C7106 z16 C145729 z22 C119063149 z40 Cz120 C27 z117 C1323523938 z51 C3994067586 z69 C2848892771 z57 C2532213546 z75 C552046535 z84 C158476 z105 C3353 z111 C39922778 z93 C261713408 z87 C808547 z102 C338 z114 C12677964 z96 C121 z9 C749 z12 C13204526 z33 C4129 z15 C36095102 z36 C4393287 z30 C89755449 z39 C1328545 z27 C90628 z21 C63 z8 C16 z6 C3469135 z99 C417359802 z45 C25584 z108 C8 z5 C33 z7 C225 z10 C148315264 z89 C79298004 z91 C56695196 z92 C27675367 z94 C18885015 z95 C8372800 z97 C5435626 z98 C2174395 z100 C1338790 z101 C479339 z103 C278280 z104 C88204 z106

(20)

C48126 z107 C13348 z109 C6744 z110 C848181768 z82 C688882553 z83 C436439448 z85 86

88

80

78

46

C340324807 z C198431393 z C1235964517 z C1710204982 z C519559381 z 50

56

70

74

C1121537006 z C2576241555 z C3813878148 z C2815570112 z

C3993437445 z62 C3116054839 z58 C4134086103 z68 C2249523074 z76 64

48

52

C4227813312 z C779843029 z C1545167948 z

O T4 z d 1 Cz Cz121 C1344 z13 C12104 z17 C231801 z23 C33883 z19 C567206 z25 C2000536 z28 C26088244 z35 C49418998 z37 C6407683 z31 C2980554 z29 34 38 32 4 112 113 115 C18657905 z C66951451 z C9246830 z C4 z C1604 z C758 z C154 z C62 z116 C10 z118 C4 z119 C1973755292 z77 C1463215476 z79 C156284730 z41 C260865858 z43 C639939517 z47 C940236752 z49 C1784589063 z53 C2304400735 z55 59 61 65 67 C3371001341 z C3816383212 z C4276971739 z C4229607116 z C3599155257 z71 C3092740855 z73 Cz2 C331715843 z44 C4277663720 z66 C202984042 z42 C3356383912 z72 C3606730433 z60 C2038928979 z54 C109250394 z90 C1030602778 z81 C4132169661 z63 C2 z3 C415 z11 C364555 z24 20 26 18 14 16 22 C55706 z C872727 z C20354 z C2365 z C7106 z C145729 z C119063149 z40 Cz120 C27 z117 C1323523938 z51 C3994067586 z69 C2848892771 z57 C2532213546 z75 C552046535 z84 C158476 z105 C3353 z111 C39922778 z93 87 102 114 96 9 12 C261713408 z C808547 z C338 z C12677964 z C121 z C749 z C13204526 z33 C4129 z15 C36095102 z36 C4393287 z30 C89755449 z39 C1328545 z27 C90628 z21 C63 z8 C16 z6 C3469135 z99 C417359802 z45 C25584 z108 C8 z5 C33 z7 10 89 91 92 94 C225 z C148315264 z C79298004 z C56695196 z C27675367 z C18885015 z95 C8372800 z97 C5435626 z98 C2174395 z100 C1338790 z101 C479339 z103 C278280 z104 C88204 z106 C48126 z107 C13348 z109 C6744 z110 C848181768 z82 C688882553 z83 C436439448 z85 C340324807 z86 C198431393 z88 C1235964517 z80 C1710204982 z78 C519559381 z46 C1121537006 z50 C2576241555 z56 C3813878148 z70 C2815570112 z74 C3993437445 z62 C3116054839 z58 C4134086103 z68 C2249523074 z76 C4227813312 z64 C779843029 z48 C1545167948 z52 T4 := z/1 Cz C27675367 z94 C10 z118 C4 z119 C1030602778 z81 C3469135 z99 (21) C202984042 z42 C3356383912 z72 C519559381 z46 C1121537006 z50 C4227813312 z64 C779843029 z48 C18885015 z95 C8372800 z97 C1463215476 z79 C156284730 z41 C848181768 z82 C758 z113 C154 z115 C3816383212 z61 C639939517 z47 C940236752 z49 C2576241555 z56 C808547 z102 C338 z114 C2174395 z100 C1338790 z101 C2038928979 z54 C109250394 z90 C688882553 z83 C436439448 z85 Cz120 C2304400735 z55 C3371001341 z59 C2249523074 z76 C3813878148 z70 C2815570112 z74 C4277663720 z66 C3993437445 z62 C1545167948 z52 C119063149 z40 C89755449 z39 C1323523938 z51 C3994067586 z69 C5435626 z98 C27 z117 C1973755292 z77 C4276971739 z65 C4229607116 z67 C479339 z103 C1710204982 z78 C417359802 z45 C25584 z108 C3606730433 z60 C4132169661 z63

C2532213546 z75 C552046535 z84 C148315264 z89 C261713408 z87 C3599155257 z71 111

C3353 z

93

86

109

C39922778 z C340324807 z C13348 z 68

116

C4134086103 z C62 z

2

3

110

C6744 z

88

58

C3116054839 z 80

112

Cz C2 z C198431393 z C1235964517 z C1604 z

C48126 z107 C278280 z104 C88204 z106 C4 z4 C12677964 z96 C158476 z105 C749 z12 13

121

C1344 z Cz 23

57

91

92

17

C2848892771 z C79298004 z C56695196 z C12104 z 19

25

28

35

37

C231801 z C33883 z C567206 z C2000536 z C26088244 z C49418998 z 31

29

34

38

32

24

C6407683 z C2980554 z C18657905 z C66951451 z C9246830 z C364555 z 20

26

18

14

16

22

33

C55706 z C872727 z C20354 z C2365 z C7106 z C145729 z C13204526 z 15

36

30

27

21

5

10

C4129 z C36095102 z C4393287 z C1328545 z C90628 z C8 z C225 z 9

7

6

8

11

73

44

C121 z C33 z C16 z C63 z C415 z C3092740855 z C331715843 z 43

53

C260865858 z C1784589063 z O

O 2. menghitung Cycle Index untuk grup simetri berorder m = 4 O T0 z d 1 Cz

T0 := z/1 Cz

O T0 z2 d expand T0 z2

; 2

:= 1 Cz

3

:= 1 Cz

4

:= 1 Cz

T0 z O T0 z3 d expand T0 z3 4

2

(2)

3

(3)

4

(4)

; T0 z

4

d expand T0 z

O T0 z

(1)

; T0 z

O 1 24

O S4 T0 d expand

2

2

C 3$ T0 z

T0 z

4 4

C 6$ T0 z

C 6$ T0 z2

$ T0 z

2

C 8$ T0 z3

$ T0 z

; 2

3

4

S4 T0 := 1 Cz Cz Cz Cz 3

2

O T1 z d 1 Cz Cz Cz Cz O T1 z2 d expand T1 z2 3

3

d expand T1 z

O T1 z

O T1 z4 d expand T1 z4 O S4 T1 d expand C 3$ T1 z2

1 24 2

(5)

4 3

2

4

T1 := z/1 Cz Cz Cz Cz

(6)

; T1 z2 := 1 Cz2 Cz6 Cz4 Cz8

(7)

; 3 3 9 6 12 T1 z := 1 Cz Cz Cz Cz

(8)

; 4 4 12 8 16 T1 z := 1 Cz Cz Cz Cz

(9)

T1 z

4

C 6$ T1 z4

C 6$ T1 z2

$ T1 z

2

C 8$ T1 z3

$ T1 z

;

S4 T1 := 1 Cz C5 z5 C7 z7 Cz15 C7 z6 C8 z8 C7 z9 C5 z12 C2 z2 C3 z3 C5 z4 C2 z14 10

13

11

(10)

16

C7 z C3 z C5 z Cz

O T2 z d 1 Cz Cz2 C4 z5 C2 z3 C3 z4 Cz12 C3 z10 Cz13 C4 z9 C5 z7 C4 z6 C4 z8 C2 z11 T2 := z/1 Cz Cz2 C4 z5 C2 z3 C3 z4 Cz12 C3 z10 Cz13 C4 z9 C5 z7 C4 z6 C4 z8 C2 z11 (11) O T2 z2 d expand T2 z2 ; T2 z2 := 1 Cz2 Cz4 C4 z10 C2 z6 C3 z8 Cz24 C3 z20 Cz26 C4 z18 C5 z14 C4 z12 C4 z16

(12)

22

C2 z

O T2 z3 d expand T2 z3 ; T2 z3 := 1 Cz3 Cz6 C4 z15 C2 z9 C3 z12 Cz36 C3 z30 Cz39 C4 z27 C5 z21 C4 z18 C4 z24 33

C2 z

(13)

O T2 z4 d expand T2 z4 ; T2 z4 := 1 Cz4 Cz8 C4 z20 C2 z12 C3 z16 Cz48 C3 z40 Cz52 C4 z36 C5 z28 C4 z24 C4 z32

(14)

44

C2 z

1 24

O S4 T2 d expand

2

C 3$ T2 z2

4

T2 z

2

C 6$ T2 z

C 6$ T2 z4

2

$ T2 z

3

C 8$ T2 z

$ T2 z

;

S4 T2 := 1 Cz C13 z5 C1382 z17 C436 z41 C189 z43 C70 z45 Cz51 C22 z47 C6 z49 25

19

23

7

15

6

8

9

(15) 12

C4815 z C2172 z C4056 z C37 z C805 z C23 z C60 z C92 z C305 z 34

42

29

2

36

30

39

27

C3027 z C297 z C5053 z C2 z C2031 z C4823 z C885 z C5184 z

C3110 z21 C3523 z33 C4 z3 C4489 z24 C2639 z20 C5073 z26 C1761 z18 C3608 z22 50

31

37

4

38

46

14

10

13

C3 z C4451 z C1581 z C8 z C1211 z C43 z C597 z C142 z C428 z

C207 z11 C13 z48 C642 z40 Cz52 C5205 z28 C4031 z32 C121 z44 C2498 z35 C1074 z16 O T3 z d 1 Cz C184 z13 C432 z17 C601 z23 C551 z19 C514 z25 C312 z28 C20 z35 C6 z37 C128 z31 C238 z29 C37 z34 C3 z38 C89 z32 C4 z4 Cz2 C2 z3 C99 z11 C570 z24 20 26 18 14 16 22 40 9 12 C594 z C453 z C498 z C239 z C369 z C624 z Cz C47 z C137 z C56 z33 C300 z15 C12 z36 C181 z30 Cz39 C378 z27 C614 z21 C31 z8 C12 z6 C7 z5 C20 z7 C70 z10 26 8 11 18 14 20 24 22 T3 := z/1 Cz C453 z C31 z C99 z C498 z C239 z C594 z C570 z C624 z 16

17

23

19

25

28

35

37

(16)

31

C369 z C432 z C601 z C551 z C514 z C312 z C20 z C6 z C128 z

C238 z29 C37 z34 C3 z38 C89 z32 C2 z3 Cz2 C4 z4 Cz40 Cz39 C184 z13 C7 z5 C70 z10 9

12

7

6

33

15

36

30

27

21

C47 z C137 z C20 z C12 z C56 z C300 z C12 z C181 z C378 z C614 z O T3 z2 d expand T3 z2 ; T3 z2 := 1 C2 z6 C4 z8 C12 z12 C432 z34 C614 z42 Cz2 C498 z36 C300 z30 C137 z24 20

26

18

22

50

4

38

46

14

(17) 10

C70 z C184 z C47 z C99 z C514 z Cz C551 z C601 z C20 z C7 z

C570 z48 C594 z40 C453 z52 C239 z28 C369 z32 C624 z44 C31 z16 C312 z56 C20 z70 C6 z74 C128 z62 C238 z58 C37 z68 C3 z76 C89 z64 Cz80 Cz78 C56 z66 C12 z72 C181 z60 C378 z54 O T3 z3 d expand T3 z3 ; T3 z3 := 1 C20 z105 C128 z93 C238 z87 C6 z111 C601 z69 C514 z75 C312 z84 C551 z57 120

Cz

117

Cz 99

102

C37 z 63

96

114

C89 z C3 z 15

6

45

51

90

(18)

81

108

C300 z C432 z C181 z C378 z C12 z

9

C56 z C614 z C7 z Cz C2 z C4 z12 C239 z42 C137 z36 C70 z30 C184 z39 C47 z27 C20 z21 C99 z33 Cz3 C31 z24 C12 z18 C369 z48 C453 z78 C624 z66 C570 z72 C594 z60 C498 z54 O T3 z4 d expand T3 z4 ; T3 z4 := 1 C614 z84 C181 z120 C570 z96 C378 z108 C453 z104 Cz8 C2 z12 C47 z36 C12 z24 20

4

48

40

52

28

32

44

160

C7 z Cz C137 z C70 z C184 z C20 z C31 z C99 z Cz 124

C128 z

116

C238 z

100

C514 z

112

C312 z

140

C20 z

88

92

156

Cz

C6 z

136

C624 z C601 z C37 z

148

C3 z152

(19)

C89 z128 C56 z132 C12 z144 C4 z16 C239 z56 C432 z68 C551 z76 C369 z64 C594 z80 72

60

C498 z C300 z

1 24

O S4 T3 d expand

2

C 3$ T3 z2

4

T3 z

2

C 6$ T3 z

C 6$ T3 z4

2

$ T3 z

3

C 8$ T3 z

$ T3 z

;

S4 T3 := 1 Cz C17 z5 C31214 z17 C1550622403082 z105 C6301287800999 z93 87

111

84

57

C7793509690628 z C458712279521 z

69

102

120

96

117

C93794870375 z 114

C5026272539007 z C217527660783 z

43

75

C2348296152053 z C4724117551582 z

C7708303031031 z C242092037772 z C36655007315 z C2497757044183 z

(20)

45

41

C1966934355 z

51

47

C4010267620 z C7921540348 z C50501579049 z C15160381201 z 49

25

19

23

90

C28111063505 z C2091250 z C93962 z C768601 z C7290046670650 z

C7061048862026 z81 C882066320497 z108 C3694265689677 z99 C1835238780538 z104 C871268875868 z63 C1297485969724 z106 C576220204190 z110 C69340062364 z118 C18518094573 z122 C4104925184 z126 C746870615 z130 C70 z7 C10013 z15 C36 z6 C138 z8 C3866840616043 z73 C5584126565065 z77 C6385145690072 z79 C261 z9 C1704 z12 C126577786 z34 C2819697371 z42 C14039153 z29 C2 z2 C288434250 z36 C22147548 z30 C934629682 z39 C5506913 z27 C273293 z21 C82852245 z33 C110036672 z134 C12916099 z138 C1185098 z142 C83163 z146 C4356 z150 C166 z154 158

C4 z

3

24

20

26

18

22

C4 z C1273238 z C160997 z C3407710 z C54436 z C460356 z

C37827674279 z50 C34656821 z31 C430225424 z37 C9 z4 C7549926722035 z83 C7803214029356 z85 C7519375814392 z89 C7005971485555 z91 C636644217 z38 46

95

97

101

C11002141658 z C5468753945422 z C4577790450782 z C2872674173438 z

C2151276069645 z103 C1075094178825 z107 C716519844425 z109 C281869703185 z113 C166108337266 z115 C50697647707 z119 C26203330757 z121 C12935448538 z123 C5606 z14 C497 z10 C3096 z13 C919 z11 C87898066770 z53 C20725789894 z48 C1361254083 z40 C66890238732 z52 C8828845 z28 C53801633 z32 C5658612903 z44 Cz160 C28 z156 C19783 z148 C8929893881 z124 C125496238452 z116 C3272923326399 z100 C361444830281 z112 C4039953 z140 C7688524521792 z88 C6673832362646 z92 C38829467 z136 C886 z152 C1796130456 z128 C294617997 z132 C325111 z144 C191835278 z35 C17785 z16 C6091314535 z125 C2732367475 z127 C1165732822 z129 C472234295 z131 C181304759 z133 C65837165 z135 C22562248 z137 C7279523 z139 C2205474 z141 C625713 z143 C165746 z145 C40848 z147 C9331 z149 C1968 z151 C7332317202179 z82 C7831964252014 z86 C5896688157356 z94 C4131352891288 z98 C378 z153 C65 z155 C10 z157 Cz159 C190176647659 z56 C2692871244341 z70 C4291652253163 z74 C718032347790 z62 C305735947199 z58 C2031247019834 z68 C5157445093553 z76 C1048753282517 z64 C6742814244981 z80

C5996134419113 z78 C1483302985527 z66 C3455619681599 z72 C476088716874 z60 54

55

59

61

C114591675124 z C148210808795 z C383045439008 z C587021488597 z 65

67

71

C1252279254458 z C1742820215578 z C3062969620172 z O

O 3. Centered Tree O O S4TK1 z d 1 S4TK1 := z/1

(1)

S4TK2 := z/0

(2)

TK1 := z/1

(3)

TK2 := z/0

(4)

O S4TK2 z d 0 O TK1 z d 1 O TK2 z d 0 O O C0 d expand 1 C z$$ S4TK1 z $ TK1 z K 1 ;

K 1 C z$$ S4TK2 z

K

TK1 z

K TK2 z

C0 := z 2

3

(5)

4

O S4T0 z d 1 Cz Cz Cz Cz S4T0 := z/1 Cz Cz2 Cz3 Cz4 O S4TK1 z d 1 S4TK1 := z/1 O T0 z d 1 Cz

(6) (7)

T0 := z/1 Cz

(8)

TK1 := z/1

(9)

O TK1 z d 1 O C2 d expand 1 C z$$ S4T0 z $ T0 z K 1 ;

K 1 C z$$ S4TK1 z 3

T0 z

K TK1 z

C2 := z Cz Cz

5

(10)

C2 := z3 Cz4 Cz5

(11)

O 5 7 15 6 8 9 12 2 3 4 14 O S4T1 z d 1 Cz C5 z C7 z Cz C7 z C8 z C7 z C5 z C2 z C3 z C5 z C2 z C7 z10 C3 z13 C5 z11 Cz16 S4T1 := z/1 Cz C5 z5 C7 z7 Cz15 C7 z6 C8 z8 C7 z9 C5 z12 C2 z2 C3 z3 C5 z4 C2 z14

(12)

O C2 d z3 Cz4 Cz5

10

13

11

4

K

16

C7 z C3 z C5 z Cz

O S4T0 z d 1 Cz Cz2 Cz3 Cz4 S4T0 := z/1 Cz Cz2 Cz3 Cz4 O T1 z d 1 Cz Cz3 Cz2 Cz4

T1 := z/1 Cz Cz2 Cz3 Cz4

(13) (14)

O T0 z d 1 Cz

T0 := z/1 Cz K 1 C z$$ S4T0 z

(15)

O C4 d expand 1 C z$$ S4T1 z K T1 z K T0 z $ T1 z K1 ; C4 := 7 z11 Cz16 Cz17 C7 z10 C5 z13 C5 z7 C2 z15 C2 z6 C6 z8 C8 z9 C5 z12 C3 z14 Cz5 (16) 11

16

17

10

13

7

15

6

8

9

12

14

5

O C4 d 7 z Cz Cz C7 z C5 z C5 z C2 z C2 z C6 z C8 z C5 z C3 z Cz 11 16 17 10 13 7 15 6 8 9 12 14 5 C4 := 7 z Cz Cz C7 z C5 z C5 z C2 z C2 z C6 z C8 z C5 z C3 z Cz O 5

17

41

43

45

51

47

(17)

49

O S4T2 z d 1 Cz C13 z C1382 z C436 z C189 z C70 z Cz C22 z C6 z C4815 z25 C2172 z19 C4056 z23 C37 z7 C805 z15 C23 z6 C60 z8 C92 z9 C305 z12 34 42 29 2 36 30 39 27 C3027 z C297 z C5053 z C2 z C2031 z C4823 z C885 z C5184 z 21 33 3 24 20 26 18 22 C3110 z C3523 z C4 z C4489 z C2639 z C5073 z C1761 z C3608 z C3 z50 C4451 z31 C1581 z37 C8 z4 C1211 z38 C43 z46 C597 z14 C142 z10 C428 z13 C207 z11 C13 z48 C642 z40 Cz52 C5205 z28 C4031 z32 C121 z44 C2498 z35 C1074 z16 S4T2 := z/1 Cz C1581 z37 C1211 z38 C43 z46 C13 z48 C642 z40 C5205 z28 C4031 z32 (18) 44

35

51

34

33

2

3

4

47

49

C121 z C2498 z Cz C3027 z C3523 z C2 z C4 z C8 z C22 z C6 z 36

30

19

23

39

42

29

27

C2031 z C4823 z C2172 z C4056 z C885 z C297 z C5053 z C5184 z

C3110 z21 Cz52 C1382 z17 C805 z15 C1074 z16 C13 z5 C37 z7 C23 z6 C60 z8 C92 z9 C305 z12 C597 z14 C142 z10 C428 z13 C207 z11 C189 z43 C436 z41 C4815 z25 C70 z45 C4489 z24 C2639 z20 C5073 z26 C1761 z18 C3608 z22 C3 z50 C4451 z31 O S4T1 z d 1 Cz C5 z5 C7 z7 Cz15 C7 z6 C8 z8 C7 z9 C5 z12 C2 z2 C3 z3 C5 z4 C2 z14 C7 z10 C3 z13 C5 z11 Cz16 S4T1 := z/1 Cz C5 z5 C7 z7 Cz15 C7 z6 C8 z8 C7 z9 C5 z12 C2 z2 C3 z3 C5 z4 C2 z14 10

13

11

(19)

16

C7 z C3 z C5 z Cz

O T2 z d 1 Cz Cz2 C4 z5 C2 z3 C3 z4 Cz12 C3 z10 Cz13 C4 z9 C5 z7 C4 z6 C4 z8 C2 z11 T2 := z/1 Cz Cz2 C4 z5 C2 z3 C3 z4 Cz12 C3 z10 Cz13 C4 z9 C5 z7 C4 z6 C4 z8 C2 z11 (20) O T1 z d 1 Cz Cz3 Cz2 Cz4

T1 := z/1 Cz Cz2 Cz3 Cz4

(21)

O O C6 d expand 1 C z$$ S4T2 z K 1 C z$$ S4T1 z K T2 z K T1 z $ T2 z K1 ; C6 := 59 z11 C700 z16 C2031 z37 C6 z50 C4823 z31 C1581 z38 C70 z46 C22 z48 C885 z40 (22) C5184 z28 C4451 z32 C189 z44 C3027 z35 C3 z51 C3523 z34 C4031 z33 C43 z47 C13 z49 C2498 z36 C5053 z30 C1703 z19 C3598 z23 C1211 z39 C436 z42 C5205 z29 C5073 z27 C2611 z21 Cz52 C297 z43 C642 z41 C4487 z25 C121 z45 C4051 z24 C2129 z20 C4814 z26 C1306 z18 C3092 z22 C982 z17 C26 z10 C196 z13 Cz53 Cz7 C485 z15 C3 z8 C11 z9 C109 z12 C313 z14 O C6 d 59 z11 C700 z16 C2031 z37 C6 z50 C4823 z31 C1581 z38 C70 z46 C22 z48 C885 z40 C5184 z28 C4451 z32 C189 z44 C3027 z35 C3 z51 C3523 z34 C4031 z33 C43 z47

C13 z49 C2498 z36 C5053 z30 C1703 z19 C3598 z23 C1211 z39 C436 z42 C5205 z29 C5073 z27 C2611 z21 Cz52 C297 z43 C642 z41 C4487 z25 C121 z45 C4051 z24 20 26 18 22 17 10 13 53 7 C2129 z C4814 z C1306 z C3092 z C982 z C26 z C196 z Cz Cz C485 z15 C3 z8 C11 z9 C109 z12 C313 z14 C6 := 70 z46 C22 z48 C885 z40 C5184 z28 C4451 z32 C1581 z38 C2611 z21 Cz52 C297 z43 24

20

30

37

26

41

25

45

49

(23)

36

C4051 z C2129 z C4814 z C642 z C4487 z C121 z C13 z C2498 z 50

31

42

29

27

53

11

C5053 z C2031 z C6 z C4823 z C436 z C5205 z C5073 z Cz C59 z

C700 z16 C982 z17 C26 z10 C196 z13 Cz7 C485 z15 C3 z8 C11 z9 C109 z12 C313 z14 18

22

44

35

51

34

33

47

C1306 z C3092 z C189 z C3027 z C3 z C3523 z C4031 z C43 z C1703 z19 C3598 z23 C1211 z39

O 5 17 105 93 O S4T3 z d 1 Cz C17 z C31214 z C1550622403082 z C6301287800999 z C7793509690628 z87 C458712279521 z111 C2348296152053 z69 C4724117551582 z75 C7708303031031 z84 C242092037772 z57 C36655007315 z120 C93794870375 z117 C2497757044183 z102 C5026272539007 z96 C217527660783 z114 C1966934355 z41 C4010267620 z43 C7921540348 z45 C50501579049 z51 C15160381201 z47 C28111063505 z49 C2091250 z25 C93962 z19 C768601 z23 C7290046670650 z90 C7061048862026 z81 C882066320497 z108 C3694265689677 z99 C1835238780538 z104 C871268875868 z63 C1297485969724 z106 C576220204190 z110 C69340062364 z118 C18518094573 z122 C4104925184 z126 C746870615 z130 C70 z7 C10013 z15 C36 z6 C138 z8 C3866840616043 z73 C5584126565065 z77 C6385145690072 z79 C261 z9 C1704 z12 C126577786 z34 C2819697371 z42 C14039153 z29 C2 z2 C288434250 z36 C22147548 z30 C934629682 z39 C5506913 z27 C273293 z21 C82852245 z33 C110036672 z134 C12916099 z138 C1185098 z142 C83163 z146 C4356 z150 C166 z154 C4 z158 C4 z3 C1273238 z24 C160997 z20 C3407710 z26 C54436 z18 C460356 z22 C37827674279 z50 C34656821 z31 C430225424 z37 C9 z4 C7549926722035 z83 C7803214029356 z85 C7519375814392 z89 C7005971485555 z91 C636644217 z38 C11002141658 z46 C5468753945422 z95 C4577790450782 z97 C2872674173438 z101 C2151276069645 z103 C1075094178825 z107 C716519844425 z109 C281869703185 z113 C166108337266 z115 C50697647707 z119 C26203330757 z121 C12935448538 z123 C5606 z14 C497 z10 C3096 z13 C919 z11 C87898066770 z53 C20725789894 z48 C1361254083 z40 C66890238732 z52 C8828845 z28 C53801633 z32 C5658612903 z44 Cz160 C28 z156 C19783 z148 C8929893881 z124 C125496238452 z116 C3272923326399 z100 C361444830281 z112 C4039953 z140 C7688524521792 z88 C6673832362646 z92 C38829467 z136 C886 z152 C1796130456 z128 C294617997 z132 C325111 z144 C191835278 z35 C17785 z16 C6091314535 z125 C2732367475 z127 C1165732822 z129 C472234295 z131 C181304759 z133 C65837165 z135 C22562248 z137 C7279523 z139 C2205474 z141 C625713 z143 C165746 z145 C40848 z147 C9331 z149 C1968 z151 C7332317202179 z82 C7831964252014 z86 C5896688157356 z94 C4131352891288 z98 C378 z153 C65 z155 C10 z157 Cz159 C190176647659 z56 C2692871244341 z70 C4291652253163 z74 C718032347790 z62 C305735947199 z58

C2031247019834 z68 C5157445093553 z76 C1048753282517 z64 C6742814244981 z80 C5996134419113 z78 C1483302985527 z66 C3455619681599 z72 C476088716874 z60 54 55 59 61 C114591675124 z C148210808795 z C383045439008 z C587021488597 z C1252279254458 z65 C1742820215578 z67 C3062969620172 z71 S4T3 := z/1 Cz C4 z158 C3455619681599 z72 C1165732822 z129 C4131352891288 z98 (24) 153

C378 z

155

C65 z

95

138

C5468753945422 z C12916099 z

37

38

142

C1185098 z

46

48

C430225424 z C636644217 z C11002141658 z C20725789894 z

C1361254083 z40 C8828845 z28 C53801633 z32 C83163 z146 C5658612903 z44 35

97

137

C191835278 z C4577790450782 z C22562248 z

139

C7279523 z

150

C4356 z

C166 z154 C190176647659 z56 C2692871244341 z70 C5584126565065 z77 79

73

132

C6385145690072 z C3866840616043 z C294617997 z

76

C5157445093553 z

C1048753282517 z64 C38829467 z136 C2031247019834 z68 C87898066770 z53 C69340062364 z118 C18518094573 z122 C2497757044183 z102 C5026272539007 z96 C19783 z148 C8929893881 z124 Cz160 C50501579049 z51 C10 z157 C9331 z149 C1968 z151 C126577786 z34 C625713 z143 C165746 z145 C882066320497 z108 C3694265689677 z99 C82852245 z33 C2 z2 C4 z3 C9 z4 C15160381201 z47 C28111063505 z49 C2205474 z141 C50697647707 z119 C26203330757 z121 C472234295 z131 C181304759 z133 C2872674173438 z101 C2151276069645 z103 Cz159 C288434250 z36 C22147548 z30 C93962 z19 C768601 z23 C934629682 z39 C2819697371 z42 C14039153 z29 C5506913 z27 C273293 z21 C66890238732 z52 C31214 z17 C716519844425 z109 C281869703185 z113 C3272923326399 z100 C361444830281 z112 C7688524521792 z88 C6673832362646 z92 C65837165 z135 C125496238452 z116 C10013 z15 C17785 z16 C17 z5 C70 z7 C36 z6 C138 z8 C261 z9 C1704 z12 C5606 z14 C497 z10 C3096 z13 C919 z11 C871268875868 z63 C1297485969724 z106 C40848 z147 C7803214029356 z85 C4010267620 z43 41

25

104

C1966934355 z C2091250 z C1835238780538 z

81

C7061048862026 z

C7290046670650 z90 C12935448538 z123 C217527660783 z114 C1075094178825 z107 C1742820215578 z67 C3062969620172 z71 C7519375814392 z89 C7005971485555 z91 C7549926722035 z83 C7332317202179 z82 C886 z152 C1796130456 z128 C325111 z144 C383045439008 z59 C587021488597 z61 C6742814244981 z80 C5996134419113 z78 C1483302985527 z66 C746870615 z130 C6091314535 z125 C2732367475 z127 C28 z156 C148210808795 z55 C4104925184 z126 C1252279254458 z65 C4291652253163 z74 C1550622403082 z105 C6301287800999 z93 C7793509690628 z87 C458712279521 z111 C2348296152053 z69 C4724117551582 z75 C7708303031031 z84 C242092037772 z57 C36655007315 z120 C93794870375 z117 C110036672 z134 C576220204190 z110 C718032347790 z62 C305735947199 z58 C476088716874 z60 C114591675124 z54

C7921540348 z45 C1273238 z24 C160997 z20 C3407710 z26 C54436 z18 C460356 z22 50

31

86

94

C37827674279 z C34656821 z C7831964252014 z C5896688157356 z 115

C166108337266 z

140

C4039953 z 13

17

23

19

25

28

35

37

O T3 z d 1 Cz C184 z C432 z C601 z C551 z C514 z C312 z C20 z C6 z 31 29 34 38 32 4 2 3 11 24 C128 z C238 z C37 z C3 z C89 z C4 z Cz C2 z C99 z C570 z 20 26 18 14 16 22 40 9 12 C594 z C453 z C498 z C239 z C369 z C624 z Cz C47 z C137 z 33 15 36 30 39 27 21 8 6 5 C56 z C300 z C12 z C181 z Cz C378 z C614 z C31 z C12 z C7 z 7 10 C20 z C70 z 37 38 40 28 32 35 34 33 2 3 T3 := z/1 Cz C6 z C3 z Cz C312 z C89 z C20 z C37 z C56 z Cz C2 z 4

36

30

19

23

39

29

27

(25)

21

C4 z C12 z C181 z C551 z C601 z Cz C238 z C378 z C614 z 17

15

16

5

7

6

8

9

12

14

C432 z C300 z C369 z C7 z C20 z C12 z C31 z C47 z C137 z C239 z

C70 z10 C184 z13 C99 z11 C514 z25 C570 z24 C594 z20 C453 z26 C498 z18 C624 z22 31

C128 z O C8 d expand 1 C z$$ S4T3 z K 1 C z$$ S4T2 z K T3 z K T2 z $ T3 z K1 ; C8 := 19 z11 C2880 z16 C285713256 z37 C28108605379 z50 C21052387 z31 C427236430 z38 (26) C7918075515 z46 C15157355804 z48 C931197966 z40 C4952142 z28 C33328429 z32 C4006568986 z44 C124431643 z35 C37825519072 z51 C80992776 z34 C52216931 z33 C10998875191 z47 C20723038000 z49 C189398726 z36 C13151248 z30 C26835 z19 C334231 z23 C633414853 z39 C1963248999 z42 C8120988 z29 C2980316 z27 C99655 z21 C50499724321 z52 C2815973856 z43 C1357667868 z41 C1032565 z25 45

24

20

26

18

22

C5655001946 z C592790 z C52411 z C1767688 z C13262 z C184506 z C6337 z17 C4 z10 C191 z13 C7793509690628 z88 C7005971485555 z92

C110036672 z135 C166108337266 z116 C718032254708 z63 C1550622403082 z106 C83163 z147 C7708303031031 z85 C2151276069645 z104 C6742814244981 z81 C7519375814392 z90 C18518094573 z123 C281869703185 z114 C1297485969724 z107 C1483302969771 z67 C2692871242647 z71 C38829467 z137 C12916099 z139 C9331 z150 C5157445093535 z77 C5996134419111 z79 C3455619681149 z73 C7688524521792 z89 C7290046670650 z91 C7332317202179 z83 C7061048862026 z82 C1968 z152 C2732367475 z128 C625713 z144 C305735574429 z59 C476088521880 z61 C6385145690071 z80 C5584126565058 z78 C1252279228882 z66 C1165732822 z130 C8929893881 z125 C4104925184 z127 C65 z156 C114590622444 z55 C6091314535 z126 C1048753242179 z65 C3866840615821 z74 C1835238780538 z105 C6673832362646 z93 C7831964252014 z87 C576220204190 z111 C2031247014336 z69 C4291652253063 z75 C7549926722035 z84 C190175994547 z57 C50697647707 z120 C125496238452 z117 C181304759 z134 C716519844425 z110 C587021352221 z62 C242091538988 z58 C383045166313 z60 C87896770090 z54 C7803214029356 z86 C6301287800999 z94

C217527660783 z115 C7279523 z140 C165746 z146 C36655007315 z121 C746870615 z131 133

C294617997 z 158

C10 z

118

C93794870375 z 149

C19783 z

151

C4356 z

122

C26203330757 z 142

C2205474 z

102

C2872674173438 z

154

C378 z

56

C148209970987 z

C2348296148941 z70 C4131352891288 z99 C5468753945422 z96 C40848 z148 124

C12935448538 z

109

C882066320497 z

72

129

C1796130456 z

113

C3062969619276 z C361444830281 z 153

C886 z

95

145

159

C4 z

100

C3694265689677 z 138

C5896688157356 z C22562248 z

C325111 z

108

C1185098 z

101

C2497757044183 z

C3272923326399 z

132

76

68

141

143 103

64

136

C4724117551537 z C871268813787 z C65837165 z 97

160

C1742820206111 z C5026272539007 z Cz C4039953 z

112

C458712279521 z

155

C166 z

C1075094178825 z

C472234295 z

98

C4577790450782 z

119

C69340062364 z

161

Cz

157

C28 z 15

9

53

C66888672946 z 12

14

C1252 z Cz C62 z C503 z

O C8 d 19 z11 C2880 z16 C285713256 z37 C28108605379 z50 C21052387 z31 C427236430 z38 C7918075515 z46 C15157355804 z48 C931197966 z40 C4952142 z28 C33328429 z32 C4006568986 z44 C124431643 z35 C37825519072 z51 C80992776 z34 C52216931 z33 C10998875191 z47 C20723038000 z49 C189398726 z36 C13151248 z30 C26835 z19 C334231 z23 C633414853 z39 C1963248999 z42 C8120988 z29 C2980316 z27 C99655 z21 C50499724321 z52 C2815973856 z43 C1357667868 z41 C1032565 z25 C5655001946 z45 C592790 z24 C52411 z20 C1767688 z26 C13262 z18 C184506 z22 C6337 z17 C4 z10 C191 z13 C7793509690628 z88 C7005971485555 z92 C110036672 z135 C166108337266 z116 C718032254708 z63 C1550622403082 z106 C83163 z147 C7708303031031 z85 C2151276069645 z104 C6742814244981 z81 C7519375814392 z90 C18518094573 z123 C281869703185 z114 C1297485969724 z107 C1483302969771 z67 C2692871242647 z71 C38829467 z137 C12916099 z139 C9331 z150 C5157445093535 z77 C5996134419111 z79 C3455619681149 z73 C7688524521792 z89 C7290046670650 z91 C7332317202179 z83 C7061048862026 z82 C1968 z152 C2732367475 z128 C625713 z144 C305735574429 z59 C476088521880 z61 C6385145690071 z80 C5584126565058 z78 C1252279228882 z66 C1165732822 z130 C8929893881 z125 C4104925184 z127 C65 z156 C114590622444 z55 C6091314535 z126 C1048753242179 z65 C3866840615821 z74 C1835238780538 z105 C6673832362646 z93 C7831964252014 z87 C576220204190 z111 C2031247014336 z69 C4291652253063 z75 C7549926722035 z84 C190175994547 z57 C50697647707 z120 C125496238452 z117 C181304759 z134 C716519844425 z110 C587021352221 z62 C242091538988 z58 C383045166313 z60 C87896770090 z54 C7803214029356 z86 C6301287800999 z94 C217527660783 z115 C7279523 z140 C165746 z146 C36655007315 z121 C746870615 z131 C294617997 z133 C93794870375 z118 C26203330757 z122 C2872674173438 z102 C10 z158 C19783 z149 C4356 z151 C2205474 z142 C378 z154 C148209970987 z56 C2348296148941 z70 C4131352891288 z99 C5468753945422 z96 C40848 z148 C12935448538 z124 C882066320497 z109 C1796130456 z129 C4577790450782 z98 C3062969619276 z72 C361444830281 z113 C3694265689677 z100 C458712279521 z112 C886 z153 C5896688157356 z95 C22562248 z138 C166 z155

C1185098 z143 C325111 z145 C1075094178825 z108 C3272923326399 z101 C2497757044183 z103 C4 z159 C472234295 z132 C4724117551537 z76 64 136 68 97 160 C871268813787 z C65837165 z C1742820206111 z C5026272539007 z Cz C28 z157 C66888672946 z53 C4039953 z141 C69340062364 z119 Cz161 C1252 z15 Cz9 C62 z12 C503 z14 105 130 80 124 C8 := 1835238780538 z C1165732822 z C6385145690071 z C12935448538 z (27) 91

138

C7290046670650 z C22562248 z 112

C458712279521 z

66

128

C1252279228882 z C2732367475 z 113

C361444830281 z

97

158

C5026272539007 z C10 z

C1796130456 z129 C7918075515 z46 C15157355804 z48 C931197966 z40 69

141

C2031247014336 z C4039953 z 153

C886 z

154

C378 z

28

75

54

C4291652253063 z C87896770090 z

32

38

157

C4952142 z C33328429 z C427236430 z C28 z

137

C38829467 z

C114590622444 z55 C1075094178825 z108 C6673832362646 z93 C99655 z21 C50499724321 z52 C2815973856 z43 C592790 z24 C52411 z20 C1767688 z26 120

C50697647707 z

41

25

45

C1357667868 z C1032565 z C5655001946 z

C20723038000 z49 C189398726 z36 C13151248 z30 C285713256 z37 C28108605379 z50 C21052387 z31 C1963248999 z42 C8120988 z29 C2980316 z27 C66888672946 z53 149

C19783 z

134

C181304759 z

143

C1185098 z

84

133

C294617997 z

70

114

C7549926722035 z C2348296148941 z C281869703185 z 16

17

10

13

15

9

118

C93794870375 z 150

C9331 z

12

11

C19 z

14

C2880 z C6337 z C4 z C191 z C1252 z Cz C62 z C503 z

C7061048862026 z82 C13262 z18 C184506 z22 C7332317202179 z83 C110036672 z135 96

74

111

C5468753945422 z C3866840615821 z C576220204190 z 127

C4104925184 z

121

C36655007315 z

60

132

C472234295 z 148

C383045166313 z C40848 z

C7831964252014 z87 C1048753242179 z65 C1550622403082 z106 C65837165 z136 C4356 z151 C190175994547 z57 C7005971485555 z92 C476088521880 z61 C217527660783 z115 C2205474 z142 C587021352221 z62 C1742820206111 z68 C65 z156 C242091538988 z58 C166108337266 z116 C83163 z147 C4006568986 z44 C124431643 z35 C37825519072 z51 C80992776 z34 C52216931 z33 C10998875191 z47 C6742814244981 z81 C718032254708 z63 C746870615 z131 C305735574429 z59 C325111 z145 C12916099 z139 C2692871242647 z71 C1297485969724 z107 C5584126565058 z78 C3455619681149 z73 C125496238452 z117 C5996134419111 z79 C4577790450782 z98 C6301287800999 z94 C2151276069645 z104 C7803214029356 z86 C69340062364 z119 C26835 z19 C334231 z23 C633414853 z39 C4724117551537 z76 C7279523 z140 C2497757044183 z103 C1483302969771 z67 Cz161 C6091314535 z126 C871268813787 z64 C625713 z144 C5896688157356 z95 C4 z159 C18518094573 z123 C3272923326399 z101 C3694265689677 z100 C8929893881 z125 C4131352891288 z99 C5157445093535 z77 C26203330757 z122 C7708303031031 z85 C148209970987 z56

C3062969619276 z72 C2872674173438 z102 Cz160 C1968 z152 C166 z155 C165746 z146 88

110

C7793509690628 z C716519844425 z

109

90

C882066320497 z

C7519375814392 z

89

C7688524521792 z O C z d expand C0 C C2 C C4 C C6 C C8 ; C z := 1835238780538 z105 C1165732822 z130 Cz C6385145690071 z80 C12935448538 z124 91

138

C7290046670650 z C22562248 z 112

C458712279521 z

129

C1796130456 z

113

C361444830281 z

97

158

C5026272539007 z C10 z

46

69

153

128

48

40

C7918075585 z C15157355826 z C931198851 z 141

C2031247014336 z C4039953 z C886 z

66

C1252279228882 z C2732367475 z

28

154

C378 z

75

32

38

157

C4957326 z C33332880 z C427238011 z C28 z 55

108

C114590622444 z C1075094178825 z

54

C4291652253063 z C87896770090 z 137

C38829467 z

93

21

C6673832362646 z C102266 z

C50499724322 z52 C2815974153 z43 C596841 z24 C54540 z20 C1772502 z26 C50697647707 z120 Cz3 Cz4 C1357668510 z41 C1037052 z25 C5655002067 z45 C20723038013 z49 C189401224 z36 C13156301 z30 C285715287 z37 C28108605385 z50 C21057210 z31 C2 z5 C1963249435 z42 C8126193 z29 C2985389 z27 C66888672947 z53 C19783 z149 C181304759 z134 C1185098 z143 C294617997 z133 C93794870375 z118 C7549926722035 z84 C2348296148941 z70 C281869703185 z114 C9331 z150 C85 z11 C3581 z16 C7320 z17 C37 z10 C392 z13 C6 z7 C1739 z15 C2 z6 C9 z8 C20 z9 C176 z12 C819 z14 C7061048862026 z82 C14568 z18 C187598 z22 C7332317202179 z83 C110036672 z135 C5468753945422 z96 C3866840615821 z74 C576220204190 z111 132

C472234295 z

127

C4104925184 z

121

C36655007315 z

60

C383045166313 z

C40848 z148 C7831964252014 z87 C1048753242179 z65 C1550622403082 z106 C65837165 z136 C4356 z151 C190175994547 z57 C7005971485555 z92 C476088521880 z61 C217527660783 z115 C2205474 z142 C587021352221 z62 C1742820206111 z68 C65 z156 C242091538988 z58 C166108337266 z116 C83163 z147 C4006569175 z44 C124434670 z35 C37825519075 z51 C80996299 z34 C52220962 z33 C10998875234 z47 C6742814244981 z81 C718032254708 z63 C746870615 z131 C305735574429 z59 C325111 z145 C12916099 z139 C2692871242647 z71 C1297485969724 z107 C5584126565058 z78 C3455619681149 z73 C125496238452 z117 C5996134419111 z79 C4577790450782 z98 C6301287800999 z94 C2151276069645 z104 C7803214029356 z86 C69340062364 z119 C28538 z19 C337829 z23 C633416064 z39 C4724117551537 z76 C7279523 z140 C2497757044183 z103 C1483302969771 z67 Cz161 C6091314535 z126 C871268813787 z64 C625713 z144 C5896688157356 z95 C4 z159 C18518094573 z123 C3272923326399 z101 C3694265689677 z100 C8929893881 z125 C4131352891288 z99 C5157445093535 z77 C26203330757 z122 C7708303031031 z85 C148209970987 z56 C3062969619276 z72 C2872674173438 z102 Cz160 C1968 z152

(28)

C166 z155 C165746 z146 C7793509690628 z88 C716519844425 z110 109

C882066320497 z O

90

89

C7519375814392 z C7688524521792 z

O Perhitungan Bicentered Tree O TK1 z d 1 O T0 z d 1 Cz O a = expand T0 z K TK1 z

TK1 := z/1

(1)

T0 := z/1 Cz

(2)

a =z

(3)

a := z/z

(4)

a z2 := z2

(5)

a2 = z2

(6)

B1 := z/z2

(7)

;

O a z dz 2

O a z

2

d expand a z

O B1 z = expand

;

a z 2 C a z2 2

;

O B1 z d z2 2

3

4

O T1 z d 1 Cz Cz Cz Cz

T1 := z/1 Cz Cz2 Cz3 Cz4 O b = expand T1 z K T0 z ; b = z2 Cz3 Cz4

O b z d z2 Cz3 Cz4

b := z/z2 Cz3 Cz4

O b z2 d expand b z2

4

5

2

4

6

8

:= z Cz Cz

b z 2 C b z2 ; 2 B3 z = z4 Cz5 C2 z6 Cz7 Cz8 6

(9) (10)

; b z

O B3 z = expand

(8)

7

(11)

(12)

8

O B3 z d z Cz C2 z Cz Cz B3 := z/z4 Cz5 C2 z6 Cz7 Cz8

(13)

O T2 z d 1 Cz Cz2 C2 z3 C3 z4 C4 z5 C4 z6 C5 z7 C4 z8 C4 z9 C3 z10 C2 z11 Cz12 Cz13 T2 := z/1 Cz Cz2 C2 z3 C3 z4 C4 z5 C4 z6 C5 z7 C4 z8 C4 z9 C3 z10 C2 z11 Cz12 Cz13 (14) O c = expand T2 z K T1 z ; c = z3 C2 z4 C4 z5 C4 z6 C5 z7 C4 z8 C4 z9 C3 z10 C2 z11 Cz12 Cz13 (15) O c z d z3 C2 z4 C4 z5 C4 z6 C5 z7 C4 z8 C4 z9 C3 z10 C2 z11 Cz12 Cz13 c := z/z3 C2 z4 C4 z5 C4 z6 C5 z7 C4 z8 C4 z9 C3 z10 C2 z11 Cz12 Cz13

(16)

O c z2 d expand c z2 ; c z2 := z6 C2 z8 C4 z10 C4 z12 C5 z14 C4 z16 C4 z18 C3 z20 C2 z22 Cz24 Cz26

(17)

c z 2 C c z2 ; 2 7 14 16 18 20 22 24 26 17 19 B5 z = 2 z C55 z C53 z C40 z C23 z C10 z C3 z Cz C45 z C29 z O B5 z = expand

(18)

C53 z15 C12 z9 C23 z10 C30 z11 C42 z12 C47 z13 C14 z21 C5 z23 Cz25 Cz6 C7 z8 7

14

16

18

20

22

24

26

17

19

O B5 z d 2 z C55 z C53 z C40 z C23 z C10 z C3 z Cz C45 z C29 z 15 9 10 11 12 13 21 23 25 6 8 C53 z C12 z C23 z C30 z C42 z C47 z C14 z C5 z Cz Cz C7 z 7 14 16 18 20 22 24 26 17 19 B5 := z/2 z C55 z C53 z C40 z C23 z C10 z C3 z Cz C45 z C29 z

(19)

C53 z15 C12 z9 C23 z10 C30 z11 C42 z12 C47 z13 C14 z21 C5 z23 Cz25 Cz6 C7 z8 13

17

23

19

25

28

35

37

O T3 z d 1 Cz C184 z C432 z C601 z C551 z C514 z C312 z C20 z C6 z C128 z31 C238 z29 C37 z34 C3 z38 C89 z32 C4 z4 Cz2 C2 z3 C99 z11 C570 z24 20 26 18 14 16 22 40 9 12 C594 z C453 z C498 z C239 z C369 z C624 z Cz C47 z C137 z 33 15 36 30 39 27 21 8 6 5 C56 z C300 z C12 z C181 z Cz C378 z C614 z C31 z C12 z C7 z C20 z7 C70 z10 T3 := z/1 Cz C4 z4 C2 z3 Cz2 C453 z26 C498 z18 C239 z14 C56 z33 C300 z15 C12 z36

(20)

C181 z30 C378 z27 C614 z21 Cz40 Cz39 C432 z17 C601 z23 C551 z19 C514 z25 C312 z28 C20 z35 C6 z37 C128 z31 C238 z29 C37 z34 C3 z38 C89 z32 C137 z12 13

5

6

7

8

9

10

11

16

22

C184 z C7 z C12 z C20 z C31 z C47 z C70 z C99 z C369 z C624 z C570 z24 C594 z20

O d = expand T3 z K T2 z ; d = z4 C3 z5 C15 z7 C239 z14 C369 z16 C498 z18 C594 z20 C624 z22 C570 z24 C453 z26 33

36

30

27

40

39

28

35

37

(21)

31

C56 z C12 z C181 z C378 z Cz Cz C312 z C20 z C6 z C128 z

C238 z29 C37 z34 C3 z38 C89 z32 C432 z17 C551 z19 C300 z15 C43 z9 C67 z10 C97 z11 C136 z12 C183 z13 C614 z21 C601 z23 C514 z25 C8 z6 C27 z8 O d z d z4 C3 z5 C15 z7 C239 z14 C369 z16 C498 z18 C594 z20 C624 z22 C570 z24 C453 z26 C56 z33 C12 z36 C181 z30 C378 z27 Cz40 Cz39 C312 z28 C20 z35 C6 z37 C128 z31 C238 z29 C37 z34 C3 z38 C89 z32 C432 z17 C551 z19 C300 z15 C43 z9 C67 z10 C97 z11 C136 z12 C183 z13 C614 z21 C601 z23 C514 z25 C8 z6 C27 z8 d := z/z4 C453 z26 C498 z18 C239 z14 C56 z33 C300 z15 C12 z36 C181 z30 C378 z27

(22)

C614 z21 Cz40 Cz39 C432 z17 C601 z23 C551 z19 C514 z25 C312 z28 C20 z35 C6 z37 C128 z31 C238 z29 C37 z34 C3 z38 C89 z32 C136 z12 C183 z13 C3 z5 C8 z6 C15 z7 C27 z8 C43 z9 C67 z10 C97 z11 C369 z16 C624 z22 C570 z24 C594 z20 O d z2 d expand d z2 ; d z2 := 453 z52 C12 z72 C181 z60 C378 z54 C614 z42 Cz80 C56 z66 C15 z14 C27 z16 18

20

22

24

26

36

30

40

(23) 28

C43 z C67 z C97 z C136 z C183 z C498 z C300 z C594 z C239 z

C432 z34 C551 z38 C369 z32 Cz78 C601 z46 C514 z50 C37 z68 C89 z64 C3 z76 C312 z56 C6 z74 C128 z62 C238 z58 C20 z70 C624 z44 C570 z48 C3 z10 C8 z12 Cz8 O B7 z = expand

d z 2 C d z2 2

; (24)

B7 z = 927589 z52 C454 z72 C136438 z60 C648529 z54 C1842018 z42 Cz80 C12816 z66 14

16

18

20

22

24

(24)

26

C532 z C1986 z C6086 z C16047 z C37433 z C78654 z C150668 z 43

45

47

49

41

71

C1861117 z C1805231 z C1633152 z C1375925 z C1791679 z C847 z

C225 z73 C50 z75 C9 z77 Cz79 C782879 z33 C1212686 z36 C432190 z30 C201860 z27 40

39

28

35

37

31

C1714144 z C1611919 z C265340 z C1065997 z C1355796 z C536232 z 29

34

55

57

38

32

51

53

C341714 z C921663 z C1491120 z C653883 z C1077599 z C782892 z 59

17

19

15

78

C526340 z C326556 z C186385 z C3533 z C10021 z C1047 z C4 z 46

50

68

64

76

56

74

C1732575 z C1229310 z C4752 z C31085 z C24 z C419060 z C114 z 62

58

70

44

48

9

10

C68252 z C249511 z C1566 z C1849226 z C1512942 z C3 z C14 z 11

12

13

21

23

25

8

61

C39 z C108 z C244 z C24812 z C54866 z C109976 z Cz C97497 z 63

65

67

69

C46541 z C20169 z C7878 z C2749 z

O B7 z d 927589 z52 C454 z72 C136438 z60 C648529 z54 C1842018 z42 Cz80 C12816 z66 C532 z14 C1986 z16 C6086 z18 C16047 z20 C37433 z22 C78654 z24 C150668 z26 C1861117 z43 C1805231 z45 C1633152 z47 C1375925 z49 C1791679 z41 C847 z71 C225 z73 C50 z75 C9 z77 Cz79 C782879 z33 C1212686 z36 C432190 z30 C201860 z27 C1714144 z40 C1611919 z39 C265340 z28 C1065997 z35 C1355796 z37 C536232 z31 C341714 z29 C921663 z34 C1491120 z38 C653883 z32 C1077599 z51 C782892 z53 C526340 z55 C326556 z57 C186385 z59 C3533 z17 C10021 z19 C1047 z15 C4 z78 C1732575 z46 C1229310 z50 C4752 z68 C31085 z64 C24 z76 C419060 z56 C114 z74 C68252 z62 C249511 z58 C1566 z70 C1849226 z44 C1512942 z48 C3 z9 C14 z10 C39 z11 C108 z12 C244 z13 C24812 z21 C54866 z23 C109976 z25 Cz8 C97497 z61 C46541 z63 C20169 z65 C7878 z67 C2749 z69 B7 := z/46541 z63 C1791679 z41 C1861117 z43 C2749 z69 C326556 z57 C1229310 z50 (25) C419060 z56 C4752 z68 C24 z76 C1842018 z42 C454 z72 C136438 z60 C50 z75 C1077599 z51 C1805231 z45 C526340 z55 Cz80 C4 z78 C150668 z26 C6086 z18 C532 z14 C782879 z33 C1047 z15 C1212686 z36 C432190 z30 C201860 z27 C24812 z21 74

62

49

53

79

65

58

C114 z C68252 z C1375925 z C782892 z Cz C20169 z C249511 z C1714144 z40 C1611919 z39 C3533 z17 C54866 z23 C10021 z19 C109976 z25

C265340 z28 C1065997 z35 C1355796 z37 C536232 z31 C341714 z29 C921663 z34 C1491120 z38 C653883 z32 C108 z12 C244 z13 Cz8 C3 z9 C14 z10 C39 z11 C7878 z67 C847 z71 C31085 z64 C225 z73 C1986 z16 C37433 z22 C78654 z24 C16047 z20 C1566 z70 C1633152 z47 C186385 z59 C97497 z61 C648529 z54 C1732575 z46 C1512942 z48 C927589 z52 C9 z77 C1849226 z44 C12816 z66 O T4 z d 1 Cz Cz121 C1344 z13 C12104 z17 C231801 z23 C33883 z19 C567206 z25 C2000536 z28 C26088244 z35 C49418998 z37 C6407683 z31 C2980554 z29 C18657905 z34 C66951451 z38 C9246830 z32 C4 z4 C1604 z112 C758 z113 C154 z115 C62 z116 C10 z118 C4 z119 C1973755292 z77 C1463215476 z79 C156284730 z41 C260865858 z43 C639939517 z47 C940236752 z49 C1784589063 z53 C2304400735 z55

C3371001341 z59 C3816383212 z61 C4276971739 z65 C4229607116 z67 C3599155257 z71 C3092740855 z73 Cz2 C331715843 z44 C4277663720 z66 42 72 60 54 C202984042 z C3356383912 z C3606730433 z C2038928979 z C109250394 z90 C1030602778 z81 C4132169661 z63 C2 z3 C415 z11 C364555 z24 C55706 z20 C872727 z26 C20354 z18 C2365 z14 C7106 z16 C145729 z22 40 120 117 51 69 57 C119063149 z Cz C27 z C1323523938 z C3994067586 z C2848892771 z C2532213546 z75 C552046535 z84 C158476 z105 C3353 z111 C39922778 z93 C261713408 z87 C808547 z102 C338 z114 C12677964 z96 C121 z9 C749 z12 33 15 36 30 39 27 C13204526 z C4129 z C36095102 z C4393287 z C89755449 z C1328545 z C90628 z21 C63 z8 C16 z6 C3469135 z99 C417359802 z45 C25584 z108 C8 z5 C33 z7 C225 z10 C148315264 z89 C79298004 z91 C56695196 z92 C27675367 z94 95 97 98 100 101 C18885015 z C8372800 z C5435626 z C2174395 z C1338790 z C479339 z103 C278280 z104 C88204 z106 C48126 z107 C13348 z109 C6744 z110 C848181768 z82 C688882553 z83 C436439448 z85 C340324807 z86 C198431393 z88 C1235964517 z80 C1710204982 z78 C519559381 z46 C1121537006 z50 56 70 74 62 C2576241555 z C3813878148 z C2815570112 z C3993437445 z 58 68 76 64 C3116054839 z C4134086103 z C2249523074 z C4227813312 z C779843029 z48 C1545167948 z52 63 41 43 69 T4 := z/1 Cz C4132169661 z C156284730 z C260865858 z C3994067586 z (26) C2848892771 z57 C6744 z110 C848181768 z82 C688882553 z83 C808547 z102 C2174395 z100 C88204 z106 C48126 z107 C4 z4 C2 z3 C1121537006 z50 C2576241555 z56 C4134086103 z68 C2249523074 z76 Cz2 C202984042 z42 C198431393 z88 C1338790 z101 C479339 z103 C3356383912 z72 C3606730433 z60 C2532213546 z75 C1323523938 z51 C417359802 z45 C2304400735 z55 C27 z117 C3469135 z99 C1235964517 z80 C1710204982 z78 C872727 z26 C20354 z18 C2365 z14 C13204526 z33 C4129 z15 C36095102 z36 C4393287 z30 C1328545 z27 C90628 z21 C2815570112 z74 C3993437445 z62 C154 z115 C62 z116 C940236752 z49 C1784589063 z53 C1463215476 z79 C4276971739 z65 C3116054839 z58 C1604 z112 C39922778 z93 C261713408 z87 C109250394 z90 C1030602778 z81 C758 z113 C119063149 z40 C89755449 z39 C12104 z17 C231801 z23 C33883 z19 C567206 z25 C2000536 z28 C26088244 z35 C49418998 z37 C6407683 z31 C2980554 z29 C18657905 z34 C66951451 z38 C9246830 z32 C749 z12 C1344 z13 C8 z5 C16 z6 C33 z7 C63 z8 C121 z9 C225 z10 C415 z11 C4229607116 z67 C3599155257 z71 Cz121 C4227813312 z64 C79298004 z91 C3092740855 z73 C25584 z108 C18885015 z95 C13348 z109 C338 z114 C12677964 z96 Cz120 C7106 z16 C145729 z22 C364555 z24 C55706 z20 C10 z118 C552046535 z84 C158476 z105 C148315264 z89 C8372800 z97 C5435626 z98 C436439448 z85 C340324807 z86 C56695196 z92 C27675367 z94 C3813878148 z70 C639939517 z47 C3371001341 z59 C3816383212 z61

C2038928979 z54 C519559381 z46 C779843029 z48 C1545167948 z52 C4 z119 77

44

66

111

104

C1973755292 z C331715843 z C4277663720 z C3353 z C278280 z O e d expand T4 z K T3 z ; 52 72 60 54 42 e := 1545167948 z C3356383912 z C3606730433 z C2038928979 z C202984042 z 80

108

C1235964517 z C25584 z 120

Cz

118

C10 z

95

C18885015 z C13348 z

84

105

C552046535 z C158476 z

98

109

85

114

C338 z

96

C12677964 z

89

97

C148315264 z C8372800 z

86

92

94

119

C5435626 z C436439448 z C340324807 z C56695196 z C27675367 z C4 z 111

C3353 z

104

C278280 z

18

66

5

7

14

16

C4277663720 z Cz C13 z C2126 z C6737 z

20

22

24

26

43

C19856 z C55112 z C145105 z C363985 z C872274 z C260865858 z 45

47

49

41

71

C417359802 z C639939517 z C940236752 z C156284730 z C3599155257 z 73

75

77

79

33

C3092740855 z C2532213546 z C1973755292 z C1463215476 z C13204470 z C36095090 z36 C4393106 z30 C1328167 z27 C119063148 z40 C89755448 z39 C2000224 z28 C26088224 z35 C49418992 z37 C6407555 z31 C2980316 z29 C18657868 z34 C66951448 z38 C9246741 z32 C1323523938 z51 C1784589063 z53 C2304400735 z55 C2848892771 z57 C3371001341 z59 C11672 z17 C33332 z19 C6744 z110 C3829 z15 C1710204982 z78 C519559381 z46 C1121537006 z50 C4134086103 z68 C4227813312 z64 C2249523074 z76 C2576241555 z56 C2815570112 z74 C3993437445 z62 C3116054839 z58 C3813878148 z70 C331715843 z44 C779843029 z48 C74 z9 C155 z10 C316 z11 C612 z12 C1160 z13

C90014 z21 C231200 z23 C566692 z25 C4 z6 C32 z8 C109250394 z90 C1030602778 z81 113

C758 z

121

Cz

91

61

63

65

C79298004 z C3816383212 z C4132169661 z C4276971739 z

C4229607116 z67 C3994067586 z69 C808547 z102 C2174395 z100 C88204 z106 C198431393 z88 C1338790 z101 C479339 z103 C48126 z107 C848181768 z82 C688882553 z83 C27 z117 C154 z115 C62 z116 C1604 z112 C39922778 z93 C261713408 z87 C3469135 z99 O e z d 1545167948 z52 C3356383912 z72 C3606730433 z60 C2038928979 z54 C202984042 z42 C1235964517 z80 C25584 z108 C18885015 z95 C13348 z109 C338 z114 C12677964 z96 Cz120 C10 z118 C552046535 z84 C158476 z105 C148315264 z89 C8372800 z97 C5435626 z98 C436439448 z85 C340324807 z86 C56695196 z92 C27675367 z94 C4 z119 C3353 z111 C278280 z104 C4277663720 z66 Cz5 C13 z7 C2126 z14 C6737 z16 C19856 z18 C55112 z20 C145105 z22 C363985 z24 C872274 z26 C260865858 z43 C417359802 z45 C639939517 z47 C940236752 z49 C156284730 z41 C3599155257 z71 C3092740855 z73 C2532213546 z75 C1973755292 z77 C1463215476 z79 C13204470 z33 C36095090 z36 C4393106 z30 C1328167 z27 C119063148 z40 C89755448 z39 C2000224 z28 C26088224 z35 C49418992 z37 C6407555 z31 C2980316 z29 C18657868 z34 C66951448 z38 C9246741 z32 C1323523938 z51 C1784589063 z53 C2304400735 z55 C2848892771 z57 C3371001341 z59 C11672 z17 C33332 z19 C6744 z110 C3829 z15 C1710204982 z78

(27)

C519559381 z46 C1121537006 z50 C4134086103 z68 C4227813312 z64 C2249523074 z76 C2576241555 z56 C2815570112 z74 C3993437445 z62 58 70 44 48 9 10 C3116054839 z C3813878148 z C331715843 z C779843029 z C74 z C155 z C316 z11 C612 z12 C1160 z13 C90014 z21 C231200 z23 C566692 z25 C4 z6 C32 z8 C109250394 z90 C1030602778 z81 C758 z113 Cz121 C79298004 z91 C3816383212 z61 63 65 67 69 102 C4132169661 z C4276971739 z C4229607116 z C3994067586 z C808547 z C2174395 z100 C88204 z106 C198431393 z88 C1338790 z101 C479339 z103 C48126 z107 C848181768 z82 C688882553 z83 C27 z117 C154 z115 C62 z116 C1604 z112 93 87 99 C39922778 z C261713408 z C3469135 z e := z/4132169661 z63 C156284730 z41 C260865858 z43 C3994067586 z69 (28) 57

110

C2848892771 z C6744 z 100

C2174395 z

106

C88204 z

82

83

102

C848181768 z C688882553 z C808547 z 107

C48126 z

50

56

C1121537006 z C2576241555 z

C4134086103 z68 C2249523074 z76 C202984042 z42 C198431393 z88 C1338790 z101 C479339 z103 C3356383912 z72 C3606730433 z60 C2532213546 z75 C1323523938 z51 C417359802 z45 C2304400735 z55 C27 z117 C3469135 z99 C1235964517 z80 C1710204982 z78 C872274 z26 C19856 z18 C2126 z14 C13204470 z33 C3829 z15 C36095090 z36 C4393106 z30 C1328167 z27 C90014 z21 C2815570112 z74 C3993437445 z62 C154 z115 C62 z116 C940236752 z49 C1784589063 z53 C1463215476 z79 C4276971739 z65 C3116054839 z58 C1604 z112 C39922778 z93 C261713408 z87 C109250394 z90 C1030602778 z81 C758 z113 C119063148 z40 C89755448 z39 C11672 z17 C231200 z23 C33332 z19 C566692 z25 C2000224 z28 C26088224 z35 C49418992 z37 C6407555 z31 C2980316 z29 C18657868 z34 38

32

12

13

5

6

7

8

9

C66951448 z C9246741 z C612 z C1160 z Cz C4 z C13 z C32 z C74 z C155 z10 C316 z11 C4229607116 z67 C3599155257 z71 Cz121 C4227813312 z64

C79298004 z91 C3092740855 z73 C25584 z108 C18885015 z95 C13348 z109 C338 z114 96

120

C12677964 z Cz

16

22

24

20

118

C6737 z C145105 z C363985 z C55112 z C10 z

C552046535 z84 C158476 z105 C148315264 z89 C8372800 z97 C5435626 z98 C436439448 z85 C340324807 z86 C56695196 z92 C27675367 z94 C3813878148 z70 C639939517 z47 C3371001341 z59 C3816383212 z61 C2038928979 z54 C519559381 z46 C779843029 z48 C1545167948 z52 C4 z119 C1973755292 z77 C331715843 z44 C4277663720 z66 C3353 z111 C278280 z104 O e z2 d expand e z2

;

e z2 := 872274 z52 C36095090 z72 C4393106 z60 C1328167 z54 C90014 z42 80

108

C119063148 z C2038928979 z

114

C2848892771 z

96

C779843029 z

C3606730433 z120 C3371001341 z118 C202984042 z84 C940236752 z98 C260865858 z86 C519559381 z92 C639939517 z94 C1545167948 z104 C13204470 z66 C13 z14 C32 z16 C74 z18 C155 z20 C316 z22 C612 z24 C1160 z26 C19856 z36 C3829 z30 C55112 z40

(29)

C2126 z28 C11672 z34 C33332 z38 C6737 z32 C2174395 z200 C808547 z204 166

C688882553 z

164

C848181768 z

110

C2304400735 z

220

C6744 z

136

C4134086103 z

138

C3994067586 z 214

C48126 z

212

C88204 z

126

C4132169661 z

152

C2249523074 z

C198431393 z176 C2532213546 z150 C3356383912 z144 C479339 z206 C1338790 z202 78

46

160

C89755448 z C231200 z C1235964517 z 68

64

50

198

C566692 z C3469135 z

76

56

234

C27 z

74

C18657868 z C9246741 z C66951448 z C2000224 z C49418992 z 62

58

70

156

C6407555 z C2980316 z C26088224 z C1710204982 z 48

230

C363985 z C154 z 232

C62 z

226

C758 z 186

C39922778 z

162

C1030602778 z 224

C1604 z

134

C4229607116 z

124

C3993437445 z

148

C2815570112 z 180

C109250394 z 130

C4276971739 z 190

C18885015 z

158

C1463215476 z 174

C261713408 z

10

12

142

Cz C4 z C3599155257 z

216

C25584 z

44

C145105 z

146

C3092740855 z

182

C79298004 z

C4227813312 z128 Cz242 Cz240 C12677964 z192 C338 z228 C13348 z218 C10 z236 C340324807 z172 C436439448 z170 C5435626 z196 C8372800 z194 C148315264 z178 C158476 z210 C552046535 z168 C3813878148 z140 C27675367 z188 C56695196 z184 C3816383212 z122 C278280 z208 C3353 z222 C4277663720 z132 C1973755292 z154 C4 z238 C417359802 z90 C1323523938 z102 C1121537006 z100 C1784589063 z106 88

82

116

C331715843 z C156284730 z C3116054839 z

112

C2576241555 z

2 2 e z Ce z O B9 z = expand ; 2 52 72 60 B9 z = 6259766093074 z C11218727666347244 z C163851650222094 z 54

42

80

C14664942885761 z C60521851541 z C122124274835266420 z C35330881695812604264 z108 C4288208504642376741 z95 109

C40007020305181992148 z

114

C68611757486299828432 z

96

120

C5209111639231253402 z C109266965870413061926 z

C95667291198054236903 z118 C354644565711562960 z84 C23551755982463291831 z105 C1192796043356977500 z89 C6293937731010737849 z97 C7563968511710575920 z98 C456845867480256245 z85 C585377814640481242 z86 C2316658326801026261 z92 C3511248158135461887 z94 C102526323776317138551 z119 C50464167188192380862 z111 C20351506551108494499 z104 C1495315366285546 z66 C293 z14 C2426 z16 C15451 z18 C82471 z20 C387215 z22 C1647090 z24 C6471589 z26 C99247471573 z43 C261206754814 z45 C668746750382 z47 C1667419820538 z49 C36633463637 z41 C8126648571775976 z71 C15404679150040005 z73 C28583484598833063 z75 C51918345433630696 z77 C92317458390481413 z79 C489955876 z33 C2640881355 z36 C82754689 z30 C12505145 z27 C22005251575 z40 C13114567678 z39 C23803671 z28 C1520750150 z35 C4544586619 z37 C151417368 z31 C44673480 z29 C867482574 z34

(30)

C7752686678 z38 C273872839 z32 C4052744456931 z51 C9610001749657 z53 55

57

59

17

C22246449470388 z C50304411556601 z C111163848096835 z C6259 z 19

200

C36304 z C30810136649902 z

204

C4139374466506 z

166

C3623209434694439282 z

C5526686808554640632 z164 C248514157 z220 C130435130929385404907 z138 126

C45055427697820990395 z

123

C138126495292282575357 z

127

C150506108522430213154 z

131

C149658288532895366750 z

135

C135648789919672855248 z

139

C111929061622453355624 z

136

C13427869537 z

C142329721727220286553 z C127903294647190921688 z C145831932831802347262 z C151818191247083342188 z C144152019530797993584 z C124685225465809297893 z C140245293965228377623 z

110

15

C867 z

125 129 133 137 141

214

212

C46088723069 z

C40161914305284347953 z152 C290385246997052170 z176 C51132854732595714074 z150 C91033741939681889905 z144 C1431058075044 z206 C11511040982201 z202 C69415595224499843 z78 C419361698564 z46 C11873078318726987417 z160 C2607706962128 z50 C79456677875277 z198 C2710 z234 C2991102737695405 z68 C731464867961903 z64 C38625495669772446 z76 56

74

62

C33550094363350 z C21039828139493989 z C350052397186492 z

C74993221120769 z58 C5855339764547341 z70 C22980245978979221514 z156 C161579010049 z44 C1059406263660 z48 C102901 z230 C133291828844669960662 z124 C63508015479556779534 z148 C16732437408996135876 z158 C17480 z232 226

C2819723 z

162

C8208092417968004870 z 174

C508922362353834839 z

180

C86625714284168324 z 186

C11259302961268167 z

224

C13323021 z

C151594755082041782353 z130 Cz10 C4 z11 C23 z12 C84 z13 142

C105106743843534630928 z

134

C147306540559076831040 z

21

C181079 z

C807169 z23 C3293841 z25 C2468848990215946 z190 C3732939174 z216 C76965858960456828127 z146 C45246136103935346 z182 C148573439177581231505 z128 Cz242 C83958610709087394596 z145 C70127723378175206467 z147 C57161377296833146597 z149 C45457776294869063070 z151 C35261896505277186645 z153 C26674091058203194482 z155 C19672041265914353233 z157 C14140637215389648340 z159 C9904361376101393901 z161 C6757624090947532459 z163 C4489906346453968711 z165 C2904122867945442009 z167 C1828009746078399895 z169 C1119363836440124343 z171 C666542976815041513 z173 C385811161691435983 z175 C216983527512270656 z177 C118519222124450910 z179 C62842536392391666 z181 C32329679040906886 z183 C16128634513507954 z185 C7798168301584460 z187

C3651907337331969 z189 C1655365283628177 z191 C725787325438980 z193 195

197

C307566189503756 z 240

C5 z

C125872046758204 z 192

C1100725113018229 z

228

C558544 z

143

C98111652423057991779 z 218

C988183230 z

C49705275723434 z199 C18921243484543 z201 C6936330929819 z203 205

C2446052253230 z

213

C25020410259 z

221

C122145335 z 231

C42767 z

207

C828781385109 z 215

C7122392302 z 223

C28292810 z 233

C6928 z

172

C866816904792572461 z 194

C474508171807352 z

217

C1932667815 z 225

C6176898 z

235

C1010 z

209

C269457099897 z

237

C129 z

227

239

241

Cz

170

C1435427776897821721 z 178

C160955818340625726 z 168

C2311974888165277755 z

219

C498814836 z

C1265340 z

C14 z

211

C83945933616 z 229

C241794 z 236

C379 z

196

C197628373837568 z 210

C151217911303 z 140

C118486172592640240163 z

188

C5358053319200586 z

C22923644330229815 z184 C122044426058716919147 z122 C475053764177 z208 C59211930 z222 C151169898543014752592 z132 C30765829518353120478 z154 C47 z238 C1496173030067310642 z90 C160698562225651501 z81 C62274933487573101061 z113 C115802607901231880398 z121 C1866727874076121359 z91 C240160649247963 z61 C507410177334302 z63 65

67

69

C1048691648694441 z C2120595572870717 z C4196242641200573 z C14951662121610445127 z102 C10749768497535425366 z100 C27107798972194012776 z106 C945879367653498900 z88 C12712051498193762550 z101 C17491115844574175706 z103 107

C210336181932527698 z C273846930224260828 z

117

C75178057414191070313 z

C31031722505921977372 z C88772535051022979707 z

82

83

115

C81919278330751560993 z116 C56213412996974985764 z112 93

87

99

C2859715541236212466 z C746091337841597107 z C9041549185056014184 z

O B9 z d 6259766093074 z52 C11218727666347244 z72 C163851650222094 z60 C14664942885761 z54 C60521851541 z42 C122124274835266420 z80 C35330881695812604264 z108 C4288208504642376741 z95 C40007020305181992148 z109 C68611757486299828432 z114 C5209111639231253402 z96 C109266965870413061926 z120 C95667291198054236903 z118 C354644565711562960 z84 C23551755982463291831 z105 C1192796043356977500 z89 C6293937731010737849 z97 C7563968511710575920 z98 C456845867480256245 z85 C585377814640481242 z86 C2316658326801026261 z92 C3511248158135461887 z94 C102526323776317138551 z119 C50464167188192380862 z111 C20351506551108494499 z104 C1495315366285546 z66 C293 z14 C2426 z16 C15451 z18 C82471 z20 C387215 z22 C1647090 z24 C6471589 z26 C99247471573 z43 C261206754814 z45 C668746750382 z47 C1667419820538 z49 C36633463637 z41 C8126648571775976 z71 C15404679150040005 z73 C28583484598833063 z75

C51918345433630696 z77 C92317458390481413 z79 C489955876 z33 C2640881355 z36 C82754689 z30 C12505145 z27 C22005251575 z40 39 28 35 37 C13114567678 z C23803671 z C1520750150 z C4544586619 z C151417368 z31 C44673480 z29 C867482574 z34 C7752686678 z38 C273872839 z32 C4052744456931 z51 C9610001749657 z53 C22246449470388 z55 57 59 17 19 C50304411556601 z C111163848096835 z C6259 z C36304 z C30810136649902 z200 C4139374466506 z204 C3623209434694439282 z166 C5526686808554640632 z164 C248514157 z220 C130435130929385404907 z138 126 110 15 C142329721727220286553 z C45055427697820990395 z C867 z C127903294647190921688 z123 C138126495292282575357 z125 C145831932831802347262 z127 C150506108522430213154 z129 131 133 C151818191247083342188 z C149658288532895366750 z C144152019530797993584 z135 C135648789919672855248 z137 C124685225465809297893 z139 C111929061622453355624 z141 C140245293965228377623 z136 C13427869537 z214 C46088723069 z212 152 176 C40161914305284347953 z C290385246997052170 z 150 144 206 C51132854732595714074 z C91033741939681889905 z C1431058075044 z C11511040982201 z202 C69415595224499843 z78 C419361698564 z46 160 50 198 C11873078318726987417 z C2607706962128 z C79456677875277 z 234 68 64 76 C2710 z C2991102737695405 z C731464867961903 z C38625495669772446 z C33550094363350 z56 C21039828139493989 z74 C350052397186492 z62 58 70 156 C74993221120769 z C5855339764547341 z C22980245978979221514 z 44 48 230 C161579010049 z C1059406263660 z C102901 z C133291828844669960662 z124 C63508015479556779534 z148 158 232 226 C16732437408996135876 z C17480 z C2819723 z 162 180 174 C8208092417968004870 z C86625714284168324 z C508922362353834839 z C11259302961268167 z186 C13323021 z224 C151594755082041782353 z130 Cz10 11 12 13 142 C4 z C23 z C84 z C105106743843534630928 z 134 21 23 25 C147306540559076831040 z C181079 z C807169 z C3293841 z C2468848990215946 z190 C3732939174 z216 C76965858960456828127 z146 C45246136103935346 z182 C148573439177581231505 z128 Cz242 C83958610709087394596 z145 C70127723378175206467 z147 C57161377296833146597 z149 C45457776294869063070 z151 C35261896505277186645 z153 C26674091058203194482 z155 C19672041265914353233 z157 C14140637215389648340 z159 C9904361376101393901 z161 C6757624090947532459 z163 C4489906346453968711 z165 C2904122867945442009 z167 C1828009746078399895 z169 C1119363836440124343 z171 C666542976815041513 z173 C385811161691435983 z175 C216983527512270656 z177 C118519222124450910 z179 C62842536392391666 z181 C32329679040906886 z183 C16128634513507954 z185 C7798168301584460 z187 C3651907337331969 z189 C1655365283628177 z191 C725787325438980 z193 C307566189503756 z195 C125872046758204 z197

C98111652423057991779 z143 C5 z240 C1100725113018229 z192 C558544 z228 C988183230 z218 C49705275723434 z199 C18921243484543 z201 C6936330929819 z203 205 207 209 211 C2446052253230 z C828781385109 z C269457099897 z C83945933616 z C25020410259 z213 C7122392302 z215 C1932667815 z217 C498814836 z219 C122145335 z221 C28292810 z223 C6176898 z225 C1265340 z227 C241794 z229 231 233 235 237 239 241 236 C42767 z C6928 z C1010 z C129 z C14 z Cz C379 z C866816904792572461 z172 C1435427776897821721 z170 C197628373837568 z196 C474508171807352 z194 C160955818340625726 z178 C151217911303 z210 168 140 188 C2311974888165277755 z C118486172592640240163 z C5358053319200586 z C22923644330229815 z184 C122044426058716919147 z122 C475053764177 z208 C59211930 z222 C151169898543014752592 z132 C30765829518353120478 z154 238 90 81 C47 z C1496173030067310642 z C160698562225651501 z C62274933487573101061 z113 C115802607901231880398 z121 C1866727874076121359 z91 C240160649247963 z61 C507410177334302 z63 C1048691648694441 z65 C2120595572870717 z67 C4196242641200573 z69 102 100 C14951662121610445127 z C10749768497535425366 z 106 88 C27107798972194012776 z C945879367653498900 z C12712051498193762550 z101 C17491115844574175706 z103 107 82 83 C31031722505921977372 z C210336181932527698 z C273846930224260828 z 117 115 C88772535051022979707 z C75178057414191070313 z C81919278330751560993 z116 C56213412996974985764 z112 93 87 99 C2859715541236212466 z C746091337841597107 z C9041549185056014184 z 193 63 41 B9 := z/725787325438980 z C507410177334302 z C36633463637 z (31) C99247471573 z43 C498814836 z219 C17480 z232 C4196242641200573 z69 C50304411556601 z57 C45055427697820990395 z110 C210336181932527698 z82 C273846930224260828 z83 C14951662121610445127 z102 100

C27107798972194012776 z

107

C2607706962128 z C33550094363350 z

C10749768497535425366 z C31031722505921977372 z

106

50

56

C2991102737695405 z68 C38625495669772446 z76 C60521851541 z42 C32329679040906886 z183 C16128634513507954 z185 C945879367653498900 z88 C12712051498193762550 z101 C17491115844574175706 z103 C11218727666347244 z72 C163851650222094 z60 C28583484598833063 z75 C4052744456931 z51 C122145335 z221 C28292810 z223 C13427869537 z214 C46088723069 z212 C151169898543014752592 z132 C30765829518353120478 z154 C105106743843534630928 z142 C261206754814 z45 C22246449470388 z55 C88772535051022979707 z117 C6757624090947532459 z163 C9041549185056014184 z99 Cz241 C122124274835266420 z80 C69415595224499843 z78 C4489906346453968711 z165 C2904122867945442009 z167 C13323021 z224 C86625714284168324 z180 C866816904792572461 z172 C6471589 z26

C15451 z18 C293 z14 C489955876 z33 C867 z15 C2640881355 z36 C82754689 z30 27

21

233

C12505145 z C181079 z C6928 z 196

C197628373837568 z

238

C47 z

235

C1010 z

170

C1435427776897821721 z 176

C290385246997052170 z

C51132854732595714074 z150 C149658288532895366750 z133 135

C144152019530797993584 z

C16732437408996135876 z

153

C26674091058203194482 z

C35261896505277186645 z 190

197

C125872046758204 z

168

C2311974888165277755 z

148

C63508015479556779534 z C2468848990215946 z

237

C129 z

158 155

216

C3732939174 z

195

C307566189503756 z 169

C1828009746078399895 z

62

74

C21039828139493989 z

115

C350052397186492 z C75178057414191070313 z 49

222

C59211930 z

116

C81919278330751560993 z

53

79

C1667419820538 z C9610001749657 z C92317458390481413 z C124685225465809297893 z139 C111929061622453355624 z141

C140245293965228377623 z136 C1048691648694441 z65 C74993221120769 z58 C56213412996974985764 z112 C508922362353834839 z174 C11259302961268167 z186 C30810136649902 z200 C98111652423057991779 z143 C40161914305284347953 z152 C133291828844669960662 z124 C45457776294869063070 z151 93

87

90

C2859715541236212466 z C746091337841597107 z C1496173030067310642 z

C160698562225651501 z81 C62274933487573101061 z113 C160955818340625726 z178 C151217911303 z210 C130435130929385404907 z138 C142329721727220286553 z126 C22005251575 z40 C13114567678 z39 C6259 z17 C807169 z23 C36304 z19 25

28

35

37

31

C3293841 z C23803671 z C1520750150 z C4544586619 z C151417368 z 29

34

38

32

C44673480 z C867482574 z C7752686678 z C273872839 z C83958610709087394596 z145 C3623209434694439282 z166 164

C5526686808554640632 z

184

C22923644330229815 z

12

13

10

11

C23 z C84 z Cz C4 z

C385811161691435983 z175 C988183230 z218 C49705275723434 z199 C118486172592640240163 z140 C5358053319200586 z188 C25020410259 z213 C127903294647190921688 z123 C828781385109 z207 C102901 z230 C11873078318726987417 z160 C79456677875277 z198 C2710 z234 C2120595572870717 z67 C8126648571775976 z71 C5 z240 C1100725113018229 z192 C7798168301584460 z187 C3651907337331969 z189 C1655365283628177 z191 C474508171807352 z194 C115802607901231880398 z121 C138126495292282575357 z125 C7122392302 z215 C1932667815 z217 C1119363836440124343 z171 C666542976815041513 z173 C91033741939681889905 z144 C1431058075044 z206 C11511040982201 z202 C62842536392391666 z181 C151594755082041782353 z130 C731464867961903 z64 C1866727874076121359 z91 C15404679150040005 z73 C122044426058716919147 z122

C475053764177 z208 C14140637215389648340 z159 C9904361376101393901 z161 209

C269457099897 z

211

C83945933616 z 108

C35330881695812604264 z

227

C1265340 z

229

C241794 z 95

239

C4288208504642376741 z C14 z

236

C379 z

C40007020305181992148 z109 C68611757486299828432 z114 96

131

C5209111639231253402 z C151818191247083342188 z 120

C109266965870413061926 z 205

C2446052253230 z

226

C2819723 z 147

C70127723378175206467 z 16

137

C135648789919672855248 z

162

C8208092417968004870 z 149

C57161377296833146597 z

22

203

C6936330929819 z

24

201

C18921243484543 z

20

225

C2426 z C387215 z C1647090 z C82471 z C6176898 z 127

C145831932831802347262 z

118

C95667291198054236903 z

129

C150506108522430213154 z

228

C558544 z

84

C354644565711562960 z

C23551755982463291831 z105 C1192796043356977500 z89 C6293937731010737849 z97 C7563968511710575920 z98 C456845867480256245 z85 C585377814640481242 z86 C2316658326801026261 z92 C3511248158135461887 z94 C5855339764547341 z70 C668746750382 z47 C111163848096835 z59 C240160649247963 z61 C14664942885761 z54 C419361698564 z46 C1059406263660 z48 C6259766093074 z52 119

C102526323776317138551 z

77

44

C51918345433630696 z C161579010049 z

C1495315366285546 z66 C50464167188192380862 z111 C20351506551108494499 z104 C4139374466506 z204 C22980245978979221514 z156 C76965858960456828127 z146 C19672041265914353233 z157 C216983527512270656 z177 C118519222124450910 z179 231

C42767 z

242

Cz

220

C248514157 z

134

C147306540559076831040 z

182

128

C45246136103935346 z C148573439177581231505 z O B z d B1 z C B3 z C B5 z C B7 z C B9 z ; B z := 6259767020663 z52 C11218727666347698 z72 C163851650358532 z60 54

42

80

C14664943534290 z C60523693559 z C122124274835266421 z C35330881695812604264 z108 C4288208504642376741 z95 C40007020305181992148 z109 C68611757486299828432 z114 C5209111639231253402 z96 C109266965870413061926 z120 C95667291198054236903 z118 C354644565711562960 z84

C23551755982463291831 z105 C1192796043356977500 z89 C6293937731010737849 z97 C7563968511710575920 z98 C456845867480256245 z85 C585377814640481242 z86 C2316658326801026261 z92 C3511248158135461887 z94 C102526323776317138551 z119 C50464167188192380862 z111 C20351506551108494499 z104 Cz4 C1495315366298362 z66 C880 z14 C4465 z16 C21577 z18 C98541 z20 C424658 z22 C1725747 z24 C6622258 z26 C99249332690 z43 C261208560045 z45 C668748383534 z47 C1667421196463 z49 C36635255316 z41

(32)

C8126648571776823 z71 C15404679150040230 z73 C28583484598833113 z75 77

79

33

36

C51918345433630705 z C92317458390481414 z C490738755 z C2642094041 z 30

27

40

39

28

C83186879 z C12707005 z C22006965719 z C13116179597 z C24069011 z

C1521816147 z35 C4545942415 z37 C151953600 z31 C45015194 z29 C868404237 z34 38

32

51

53

C7754177798 z C274526722 z C4052745534530 z C9610002532549 z 55

57

59

17

C22246449996728 z C50304411883157 z C111163848283220 z C9837 z 19

200

C46354 z C30810136649902 z 164

C5526686808554640632 z

204

C4139374466506 z 220

C248514157 z

166

C3623209434694439282 z 138

C130435130929385404907 z

126

C45055427697820990395 z

123

C138126495292282575357 z

127

C150506108522430213154 z

C142329721727220286553 z C127903294647190921688 z C145831932831802347262 z

110

15

C1967 z

125 129

C151818191247083342188 z131 C149658288532895366750 z133 C144152019530797993584 z135 C135648789919672855248 z137 C124685225465809297893 z139 C111929061622453355624 z141 C140245293965228377623 z136 C13427869537 z214 C46088723069 z212 C40161914305284347953 z152 C290385246997052170 z176 150

C51132854732595714074 z

144

C91033741939681889905 z

206

C1431058075044 z

C11511040982201 z202 C69415595224499847 z78 C419363431139 z46 C11873078318726987417 z160 C2607708191438 z50 C79456677875277 z198 C2710 z234 C2991102737700157 z68 C731464867992988 z64 C38625495669772470 z76 56

74

62

C33550094782410 z C21039828139494103 z C350052397254744 z 58

70

156

C74993221370280 z C5855339764548907 z C22980245978979221514 z

C161580859275 z44 C1059407776602 z48 C102901 z230 C133291828844669960662 z124 148

C63508015479556779534 z

158

C16732437408996135876 z

232

C17480 z

C2819723 z226 C8208092417968004870 z162 C86625714284168324 z180 C508922362353834839 z174 C11259302961268167 z186 C13323021 z224 C151594755082041782353 z130 Cz2 C38 z10 C73 z11 C173 z12 C375 z13 C105106743843534630928 z142 C147306540559076831040 z134 C205905 z21 C862040 z23 C3403818 z25 C2468848990215946 z190 C3732939174 z216 C76965858960456828127 z146 C45246136103935346 z182 C148573439177581231505 z128 Cz242 C83958610709087394596 z145 C70127723378175206467 z147 C57161377296833146597 z149 C45457776294869063070 z151 C35261896505277186645 z153 C26674091058203194482 z155 C19672041265914353233 z157 C14140637215389648340 z159 C9904361376101393901 z161 C6757624090947532459 z163 C4489906346453968711 z165

C2904122867945442009 z167 C1828009746078399895 z169 171

C1119363836440124343 z

177

C216983527512270656 z

173

175

C666542976815041513 z

179

C118519222124450910 z

C385811161691435983 z

181

C62842536392391666 z

C32329679040906886 z183 C16128634513507954 z185 C7798168301584460 z187 189

C3651907337331969 z

195

C307566189503756 z 240

C5 z

191

C1655365283628177 z

197

C125872046758204 z 192

C1100725113018229 z 199

C49705275723434 z

205

C2446052253230 z

213

C25020410259 z

221

C122145335 z

228

C558544 z

201

C18921243484543 z 207

C828781385109 z 215

C7122392302 z 223

C28292810 z

193

C725787325438980 z

143

C98111652423057991779 z 218

C988183230 z

6

8

C3 z C9 z 203

C6936330929819 z 209

C269457099897 z 217

C1932667815 z 225

C6176898 z

211

C83945933616 z 219

C498814836 z 227

C1265340 z

229

C241794 z

C42767 z231 C6928 z233 C1010 z235 C129 z237 C14 z239 Cz241 C379 z236 C866816904792572461 z172 C1435427776897821721 z170 C197628373837568 z196 C474508171807352 z194 C160955818340625726 z178 C151217911303 z210 C2311974888165277755 z168 C118486172592640240163 z140 C5358053319200586 z188 C22923644330229815 z184 C122044426058716919147 z122 C475053764177 z208 222

C59211930 z

132

C151169898543014752592 z

154

C30765829518353120478 z

C47 z238 C1496173030067310642 z90 C160698562225651501 z81 C62274933487573101061 z113 C115802607901231880398 z121 C1866727874076121359 z91 C240160649345460 z61 C507410177380843 z63 65

67

69

9

C1048691648714610 z C2120595572878595 z C4196242641203322 z C15 z 102

C14951662121610445127 z

100

C10749768497535425366 z

C27107798972194012776 z106 C945879367653498900 z88 101

C12712051498193762550 z

103

C17491115844574175706 z

C31031722505921977372 z107 C210336181932527698 z82 C273846930224260828 z83 C88772535051022979707 z117 C75178057414191070313 z115 C81919278330751560993 z116 C56213412996974985764 z112 C2859715541236212466 z93 C746091337841597107 z87 C9041549185056014184 z99 C3 z7 Cz5 O

Jumlah Antara Centered Tree dan Bicentered Tree 105

130

80

O Jumlah d expand 1835238780538 z C1165732822 z Cz C6385145690071 z 124 91 138 66 C12935448538 z C7290046670650 z C22562248 z C1252279228882 z 128 112 113 97 C2732367475 z C458712279521 z C361444830281 z C5026272539007 z 158 129 46 48 40 C10 z C1796130456 z C7918075585 z C15157355826 z C931198851 z 69 141 154 75 C2031247014336 z C4039953 z C378 z C4291652253063 z C87896770090 z54 C886 z153 C4957326 z28 C33332880 z32 C427238011 z38 C28 z157 137 55 108 93 C38829467 z C114590622444 z C1075094178825 z C6673832362646 z 21 52 43 24 20 C102266 z C50499724322 z C2815974153 z C596841 z C54540 z C1772502 z26 C50697647707 z120 Cz3 Cz4 C1357668510 z41 C1037052 z25 45 49 36 30 37 C5655002067 z C20723038013 z C189401224 z C13156301 z C285715287 z 50 31 5 42 29 C28108605385 z C21057210 z C2 z C1963249435 z C8126193 z C2985389 z27 C66888672947 z53 C19783 z149 C181304759 z134 C1185098 z143 C294617997 z133 C93794870375 z118 C7549926722035 z84 C2348296148941 z70 C281869703185 z114 C9331 z150 C85 z11 C3581 z16 C7320 z17 C37 z10 C392 z13 7 15 6 8 9 12 14 82 C6 z C1739 z C2 z C9 z C20 z C176 z C819 z C7061048862026 z C14568 z18 C187598 z22 C7332317202179 z83 C110036672 z135 C5468753945422 z96 C3866840615821 z74 C576220204190 z111 C472234295 z132 C4104925184 z127 121 60 148 87 C36655007315 z C383045166313 z C40848 z C7831964252014 z C1048753242179 z65 C1550622403082 z106 C65837165 z136 C4356 z151 C190175994547 z57 C7005971485555 z92 C476088521880 z61 C217527660783 z115 142 62 68 156 58 C2205474 z C587021352221 z C1742820206111 z C65 z C242091538988 z 116 147 44 35 C166108337266 z C83163 z C4006569175 z C124434670 z C37825519075 z51 C80996299 z34 C52220962 z33 C10998875234 z47 81 63 131 59 C6742814244981 z C718032254708 z C746870615 z C305735574429 z 145 139 71 107 C325111 z C12916099 z C2692871242647 z C1297485969724 z C5584126565058 z78 C3455619681149 z73 C125496238452 z117 C5996134419111 z79 98 94 104 86 C4577790450782 z C6301287800999 z C2151276069645 z C7803214029356 z 119 19 23 39 76 C69340062364 z C28538 z C337829 z C633416064 z C4724117551537 z C7279523 z140 C2497757044183 z103 C1483302969771 z67 Cz161 C6091314535 z126 C871268813787 z64 C625713 z144 C5896688157356 z95 C4 z159 C18518094573 z123 C3272923326399 z101 C3694265689677 z100 C8929893881 z125 C4131352891288 z99 C5157445093535 z77 C26203330757 z122 C7708303031031 z85 C148209970987 z56 C3062969619276 z72 C2872674173438 z102 Cz160 C1968 z152 C166 z155 C165746 z146 C7793509690628 z88 C716519844425 z110 C882066320497 z109 C7519375814392 z90 C7688524521792 z89 C6259767020663 z52 C11218727666347698 z72 C163851650358532 z60 C14664943534290 z54 C60523693559 z42 C122124274835266421 z80 C35330881695812604264 z108 C4288208504642376741 z95 C40007020305181992148 z109 C68611757486299828432 z114 C5209111639231253402 z96 C109266965870413061926 z120 C95667291198054236903 z118 C354644565711562960 z84

C23551755982463291831 z105 C1192796043356977500 z89 C6293937731010737849 z97 C7563968511710575920 z98 C456845867480256245 z85 86 92 94 C585377814640481242 z C2316658326801026261 z C3511248158135461887 z C102526323776317138551 z119 C50464167188192380862 z111 C20351506551108494499 z104 Cz4 C1495315366298362 z66 C880 z14 C4465 z16 18 20 22 24 26 43 C21577 z C98541 z C424658 z C1725747 z C6622258 z C99249332690 z C261208560045 z45 C668748383534 z47 C1667421196463 z49 C36635255316 z41 C8126648571776823 z71 C15404679150040230 z73 C28583484598833113 z75 77 79 33 C51918345433630705 z C92317458390481414 z C490738755 z C2642094041 z36 C83186879 z30 C12707005 z27 C22006965719 z40 C13116179597 z39 C24069011 z28 C1521816147 z35 C4545942415 z37 31 29 34 38 32 C151953600 z C45015194 z C868404237 z C7754177798 z C274526722 z C4052745534530 z51 C9610002532549 z53 C22246449996728 z55 C50304411883157 z57 C111163848283220 z59 C9837 z17 C46354 z19 C30810136649902 z200 C4139374466506 z204 C3623209434694439282 z166 164 220 138 C5526686808554640632 z C248514157 z C130435130929385404907 z 126 110 15 C142329721727220286553 z C45055427697820990395 z C1967 z C127903294647190921688 z123 C138126495292282575357 z125 127 129 C145831932831802347262 z C150506108522430213154 z 131 133 C151818191247083342188 z C149658288532895366750 z C144152019530797993584 z135 C135648789919672855248 z137 139 141 C124685225465809297893 z C111929061622453355624 z 136 214 212 C140245293965228377623 z C13427869537 z C46088723069 z C40161914305284347953 z152 C290385246997052170 z176 150 144 206 C51132854732595714074 z C91033741939681889905 z C1431058075044 z 202 78 46 C11511040982201 z C69415595224499847 z C419363431139 z C11873078318726987417 z160 C2607708191438 z50 C79456677875277 z198 234 68 64 76 C2710 z C2991102737700157 z C731464867992988 z C38625495669772470 z 56 74 62 C33550094782410 z C21039828139494103 z C350052397254744 z C74993221370280 z58 C5855339764548907 z70 C22980245978979221514 z156 C161580859275 z44 C1059407776602 z48 C102901 z230 C133291828844669960662 z124 C63508015479556779534 z148 C16732437408996135876 z158 C17480 z232 C2819723 z226 C8208092417968004870 z162 C86625714284168324 z180 C508922362353834839 z174 C11259302961268167 z186 C13323021 z224 C151594755082041782353 z130 Cz2 C38 z10 C73 z11 C173 z12 C375 z13 C105106743843534630928 z142 C147306540559076831040 z134 C205905 z21 C862040 z23 C3403818 z25 C2468848990215946 z190 C3732939174 z216 C76965858960456828127 z146 C45246136103935346 z182 C148573439177581231505 z128 Cz242 C83958610709087394596 z145 C70127723378175206467 z147 C57161377296833146597 z149 C45457776294869063070 z151 C35261896505277186645 z153 C26674091058203194482 z155

C19672041265914353233 z157 C14140637215389648340 z159 C9904361376101393901 z161 C6757624090947532459 z163 165 167 C4489906346453968711 z C2904122867945442009 z C1828009746078399895 z169 C1119363836440124343 z171 C666542976815041513 z173 C385811161691435983 z175 C216983527512270656 z177 C118519222124450910 z179 181 183 185 C62842536392391666 z C32329679040906886 z C16128634513507954 z C7798168301584460 z187 C3651907337331969 z189 C1655365283628177 z191 C725787325438980 z193 C307566189503756 z195 C125872046758204 z197 143 240 192 228 C98111652423057991779 z C5 z C1100725113018229 z C558544 z C988183230 z218 C3 z6 C9 z8 C49705275723434 z199 C18921243484543 z201 C6936330929819 z203 C2446052253230 z205 C828781385109 z207 C269457099897 z209 211 213 215 217 C83945933616 z C25020410259 z C7122392302 z C1932667815 z C498814836 z219 C122145335 z221 C28292810 z223 C6176898 z225 C1265340 z227 C241794 z229 C42767 z231 C6928 z233 C1010 z235 C129 z237 C14 z239 Cz241 C379 z236 C866816904792572461 z172 C1435427776897821721 z170 C197628373837568 z196 194 178 210 C474508171807352 z C160955818340625726 z C151217911303 z 168 140 188 C2311974888165277755 z C118486172592640240163 z C5358053319200586 z C22923644330229815 z184 C122044426058716919147 z122 C475053764177 z208 222 132 154 C59211930 z C151169898543014752592 z C30765829518353120478 z 238 90 81 C47 z C1496173030067310642 z C160698562225651501 z C62274933487573101061 z113 C115802607901231880398 z121 91 61 63 C1866727874076121359 z C240160649345460 z C507410177380843 z 65 67 69 9 C1048691648714610 z C2120595572878595 z C4196242641203322 z C15 z C14951662121610445127 z102 C10749768497535425366 z100 106 88 C27107798972194012776 z C945879367653498900 z 101 103 C12712051498193762550 z C17491115844574175706 z C31031722505921977372 z107 C210336181932527698 z82 C273846930224260828 z83 117 115 C88772535051022979707 z C75178057414191070313 z 116 112 C81919278330751560993 z C56213412996974985764 z C2859715541236212466 z93 C746091337841597107 z87 C9041549185056014184 z99 C3 z7 Cz5 ; Jumlah := z C47 z238 C558544 z228 C9904361376101393902 z161 C6176898 z225 (1) C6757624090947532459 z163 C1655365283628177 z191 C32329679040906886 z183 C11511040982201 z202 C2446052253230 z205 C3651907337331969 z189 C69421179351064905 z78 Cz241 C1100725113018229 z192 C122145335 z221 C125872046758204 z197 C1119363836440124343 z171 C666542976815041513 z173 C14 z239 C4489906346453968711 z165 C2904122867945442009 z167 C11873078318726987418 z160 C6928 z233 C25020410259 z213 C5358053319200586 z188 C2710 z234 C22923644330229815 z184 C59211930 z222 C241794 z229 Cz2 C7122392302 z215 C1435427776897821721 z170 C1010 z235 C866816904792572461 z172 C1828009746078399895 z169 C197628373837568 z196

C111929061622457395577 z141 Cz3 C269457099897 z209 C2 z4 185

C16128634513507954 z

162

C8208092417968004870 z

69

182

C45246136103935346 z

40

216

C4198273888217658 z C22938164570 z C3732939174 z

54

C14752840304380 z

C28587776251086176 z75 C30765829518353120856 z154 C19672041265914353261 z157 48

38

32

179

C1074565132428 z C8181415809 z C307859602 z C118519222124450910 z 28

195

C29026337 z C307566189503756 z 43

153

C35261896505277187531 z

52

24

C2322588 z

21

93

C102065306843 z C6310266744985 z C308171 z C2859722215068575112 z 219

C498814836 z

108

C35330882770906783089 z 137

C135648789919711684715 z 217

C1932667815 z

55

C22361040619172 z 46

45

41

120

C37992923826 z C109266965921110709633 z

20

25

C427281506724 z C266863562112 z C4440870 z

29

42

26

C8394760 z

5

129

C153081 z C53141387 z C62486942994 z C3 z C150506108524226343610 z C173010810 z31 C2635816796823 z50 C4831657702 z37 C96343180 z30 C2831495265 z36 C1688144234476 z49 C5857688060697848 z70 C354652115638284995 z84 C95667291291849107278 z118 C149658288533189984747 z133 C98111652423059176877 z143 C475053764177 z208

C147306540559258135799 z134 C57161377296833166380 z149 C9676891205496 z53 27

17

16

231

242

C15692394 z C17157 z C8046 z C42767 z

Cz

11

C158 z

C18921243484543 z201 C51132854732595723405 z150 C68611757768169531617 z114 C86625714284168324 z180 C3706 z15 C9 z7 C767 z13 C75 z10 C16732437408996135886 z158 C35 z9 C18 z8 C5 z6 C273854262541463007 z83 97

232

C6293942757283276856 z C17480 z 82

14

22

18

C612256 z C36145 z 12

121

C210343242981389724 z C1699 z C349 z C115802607937886887713 z

C6936330929819 z203 C145831932835907272446 z127 C151169898543486986887 z132 198

C79456677875277 z

111

C50464167764412585052 z

113

C62274933849017931342 z

C21043694980109924 z74 C5209117107985198824 z96 C83945933616 z211 C144152019530908030256 z135 C45457776294869067426 z151 C140245293965294214788 z136 C27107800522816415858 z106 C1049740401956789 z65 C5 z240 C56213413455687265285 z112 C746099169805849121 z87 C63508015479556820382 z148 C164234695524845 z60 C828781385109 z207 C105106743843536836402 z142 C216983527512270656 z177 C75178057631718731096 z115 C240636737867340 z61 C1496567645527244 z66 C2316665332772511816 z92 C148573439180313598980 z128 C50494587877704 z57 C75235312909268 z58 C22980245978979221579 z156 C2992845557906268 z68 C474508171807352 z194 C130435130929407967155 z138 C350639418606965 z62 C679747258768 z47 C542959717 z33 C949400536 z34 C4090571053605 z51 C1646250817 z35 C1866735164122792009 z91 C165587428450 z44

C70127723378175289630 z147 C81919278496859898259 z116 C111469583857649 z59 131

C151818191247830212803 z

107

C31031723803407947096 z

63

81

C508128209635551 z C160705305039896482 z 71

168

C8129341443019470 z C2311974888165277755 z

C124685225465822213992 z139 C379 z236 C83958610709087719707 z145 79

178

C92323454524900525 z C160955818340625726 z 73

23

117

C88772535176519218159 z

19

119

C15408134769721379 z C1199869 z C74892 z C102526323845657200915 z 186

C11259302961268167 z

190

C2468848990215946 z

124

C133291828857605409200 z

104

94

C20351508702384564144 z 98

86

C585385617854510598 z

C3511254459423262886 z 101

C7563973089501026702 z C12712054771117088949 z 123

C127903294665709016261 z

159

C14140637215389648344 z

95

144

C4288214401330534097 z C91033741939682515618 z

64

C732336136806775 z

C142329721733311601088 z126 C2122078875848366 z67 C17491118342331219889 z103 C118486172592647519686 z140 C38630219787324007 z76 C13749595661 z39 C945887161163189528 z88 C76965858960456993873 z146 C26674091058203194648 z155 C40161914305284349921 z152 C14951664994284618565 z102 C62842536392391666 z181 C11221790635966974 z72 56

85

122

C33698304753397 z C456853575783287276 z C122044426084920249904 z

C51923502878724240 z77 C9041553316408905472 z99 C138126495301212469238 z125 C10749772191801115043 z100 C1192803731881499292 z89 C1496180549443125034 z90 C40007021187248312645 z109 C2819723 z226 C45055428414340834820 z110 80

174

C122130659980956492 z C508922362353834839 z 105

C23551757817702072369 z

193

C725787325438980 z

130

C151594755083207515175 z 230

C102901 z

227

C1265340 z

C248514157 z220 C5526686808554640632 z164 C3623209434694439282 z166 204

C4139374466506 z

200

C30810136649902 z

175

C385811161691435983 z

C28292810 z223 C46088723069 z212 C13427869537 z214 C129 z237 C988183230 z218 C151217911303 z210 C290385246997052170 z176 C7798168301584460 z187 C49705275723434 z199 C13323021 z224 C1431058075044 z206 O