ANALISIS MODEL PERTUMBUHAN PENDUDUK STABIL DAN KUASI-STABIL
IKHSAN DIKA HANGGARA
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014
PERNYATAAN Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Analisis Model Pertumbuhan Penduduk Stabil dan Kuasi-Stabil adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Agustus 2014 Ikhsan Dika Hanggara NIM G54070071
ABSTRAK IKHSAN DIKA HANGGARA. Analisis Model Pertumbuhan Penduduk Stabil dan Kuasi-Stabil. Dibimbing oleh HADI SUMARNO dan RETNO BUDIARTI. Model pertumbuhan penduduk merupakan hal yang penting dalam mengantisipasi persoalan ekonomi, social, dan politik dalam suatu bangsa yang diakibatkan oleh perubahan jumlah penduduk. Perubahan jumlah penduduk dapat dipengaruhi oleh faktor fertilitas, mortalitas , dan migrasi. Karya ilmiah ini bertujuan untuk memodelkan pertumbuhan penduduk stabil dan kuasi-stabil lalu mengaplikasikannya dalam penduduk Indonesia tahun 2000, 2005 dan 2010. Hasil proyeksi akan dibandingkan dengan data sensus lalu akan diperoleh nilai galatnya. Hasil penelitian menunjukkan bahwa model kuasi-stabil dengan adanya faktor perbaikan kematian lebih baik daripada model stabil. Berdasarkan model kuasi-stabil hasil proyeksi penduduk Indonesia tahun 2015 sebesar 255,236,560. Keywords : pertumbuhan penduduk, kuasi-stabil, fertilitas, mortalitas.
ABSTRACT IKHSAN DIKA HANGGARA. Analysis of Stable and Quasi-Stable Population Growth Models. Supervised by HADI SUMARNO and RETNO BUDIARTI. Model of population growth is essential to anticipate problems in the economic, social and political in a nation that affected by the change of population. Changes in a population can be affected by factors of fertility, mortality, and migration. This paper aims to model stable and quasi-stable population growth and then applies these models to population of Indonesia for 2000, 2005 and 2010. The projection results is compared to the census data and then error value will be obtained. The results showed that the quasi-stable model with mortality improvement factor is better than the stable model. Based on the quasistable model, prediction of population of Indonesia in 2015 is 255,236,560. Keywords: population growth, quasi-stable, fertility, mortality
ANALISIS MODEL PERTUMBUHAN PENDUDUK STABIL DAN KUASI-STABIL
IKHSAN DIKA HANGGARA
Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULATAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014
Judul Skripsi : Analisis Model Pertumbuhan Penduduk Stabil dan Kuasi-Stabil Nama : Ikhsan Dika Hanggara NIM : G54070071
Disetujui
Dr Ir Hadi Sumarno, MS Pembimbing I
Ir Retno Budiarti, MS Pembimbing II
Diketahui
Dr Toni Bakhtiar, M Sc Ketua Departemen
Tanggal Lulus : ………………………………
PRAKATA
Alhamdulillah, puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas limpahan rahmat dan karuia-Nya, sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Shalawat dan salam semoga senantiasa tercurah kepada junjungan kita Nabi besar Muhammad SAW beserta keluarga. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak lepas dari peranan berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada: 1. Keluarga tercinta: Ibu dan Bapak (terima kasih atas doa, cinta, kasih sayang, nasehat, didikan dan motivasinya), kakak, adik, ponakan, dan seluruh keluarga keluarga besar bapak maupun ibu (terima kasih atas dukungan, hiburan dan motivasinya). 2. Bpk Dr. Ir. Hadi Sumarno, MS selaku dosen Pembimbing I, Ibu Ir. Retno Budiarti, MS selaku dosen Pembimbing II dan Bpk Dr. Paian Sianturi, MS selaku dosen penguji (terima kasih atas segala ilmu, nasehat, arahan serta bimbingan yang diberikan selama penyusunan karya ilmiah ini). 3. Segenap dosen Departemen Matematika (terima kasih atas semua ilmu dan nasehat yang telah diberikan). 4. Seluruh staf Departemen Matematika IPB (terima kasih atas segala pelayanan dan bantuan yang diberikan). 5. Teman-teman Matematika angkatan 44: Iip, Lukman, Puying, Oli, Aqil, Ikhsan, Pepi, Yogi, Iam, Eka, Aswin, Ayum, Ririh, Indin, Yuli, Wahyu, Endro, Ruhy, Ucu, Selvy, Yuyun, Titi, Deva, Wewe, Fikri, Sri, Fajar, Mutia, Rachma, Ayung, Cita, Tanty, Arina, Devi, Titi, Resha, Sari, Anis, Lilis, Imam, Aze, Ali, Zae, Tandhy, Tyas, Ima, Dora, Nunuy, Siska, Tita dan lainnya (terima kasih atas dukungan, do’a, semangat dan kebersamaannya). 6. Pihak-pihak lain yang telah membantu penyusunan skripsi ini, yang tidak dapat disebutkan satu per satu. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya. Bogor, Agustus 2014
Ikhsan Dika Hanggara
DAFTAR ISI DAFTAR TABEL DAFTAR GAMBAR DAFTAR LAMPIRAN PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
2
TINJAUAN PUSTAKA
2
METODE
5
HASIL DAN PEMBAHASAN
5
Model Penduduk Stabil
6
Model Penduduk Kuasi-Stabil
11
Aplikasi Model Penduduk Stabil
13
Aplikasi Model Penduduk Kuasi-Stabil
14
SIMPULAN DAN SARAN
16
Simpulan
16
Saran
16
DAFTAR PUSTAKA
17
LAMPIRAN
18
RIWAYAT HIDUP
25
DAFTAR TABEL 1. Nilai galat pada setiap model
19
DAFTAR GAMBAR 1. Proyeksi model penduduk stabil
14
2. Proyeksi model penduduk kuasi-stabil
15
DAFTAR LAMPIRAN 1. Bukti Persamaan 15
19
2. Tabel Penduduk Indonesia tahun 2000
20
3. Tabel Penduduk Indonesia tahun 2010
21
4. Tabel Penduduk Indonesia tahun 2005
22
5. Tabel Nilai k
23
6. Nilai regresi k
24
PENDAHULUAN Latar Belakang Orang pertama yang mengemukakan teori mengenai penduduk adalah Thomas Robert Malthus yang hidup pada tahun 1886-1824. Pada Essay on Population tahun 1798 Malthus mengemukakan dua pokok pendapatnya yaitu penduduk dan bahan makanan adalah penting bagi kehidupan manusia, dan napsu manusia tidak dapat tertahan dan tidak terbatas atas dua hal tersebut. Dia mengemukakan pendapatnya bahwa pertumbuhan penduduk jauh lebih cepat dari pertumbuhan bahan makanan. Dalil yang dikemukakan Malthus yaitu jumlah penduduk meningkat secara geometrik (deret ukur) sedangkan kebutuhan hidup kian meningkat secara aritmatika (deret hitung), akibatnya pada suatu saat akan terjadi perbedaan yang besar antara jumlah penduduk dan kebutuhan hidup. Selain meningkatnya kebutuhan hidup akibat pertumbuhan penduduk, pertumbuhan penduduk juga dapat berdampak terhadap ekonomi sosial dan politik. Tingkat pertumbuhan penduduk seperti itu dipengaruhi oleh tiga faktor utama yaitu: kelahiran (fertilitas), kematian (mortalitas), dan perpindahan penduduk (migrasi). Peristiwa kelahiran di suatu daerah menyebabkan perubahan jumlah dan komposisi penduduk, sedangkan peristiwa kematian dapat menambah maupun mengurangi jumlah penduduk di suatu daerah. Mengurangi bagi yang ditinggalkan dan menambah bagi daerah yang didatangi. Selain penyebab langsung seperti kelahiran, kematian dan migrasi terdapat penyebab tidak langsung seperti keadaan sosial, ekonomi, budaya, lingkungan, dan politik. Pertumbuhan penduduk seperti dikemukakan di atas dapat dikatakan terlalu tinggi karena dapat menimbulkan berbagai persoalan. Oleh karena itu diperlukan sebuah model untuk menggambarkan pertumbuhan penduduk yang terjadi. Pada negara-negara yang sedang berkembang biasanya mereka mengalami fase transisi demografi di mana angka kelahiran masih tinggi sementara angka kematian telah menurun. Kedua hal ini disebabkan karena kemajuan pelayanan kesehatan yang menurunkan angka kematian balita dan angka tahun harapan hidup. Ini terjadi pada fase kedua dan ketiga dalam proses kependudukan. Dhawie (2011) menyebutkan bahwa umumnya ada empat tahap proses transisi yaitu: Tahap 1: Masyarakat pra-industri, di mana angka kelahiran tinggi dan angka kematian tinggi menghasilkan laju pertambahan penduduk rendah. Tahap 2: Tahap pembangunan awal, di mana kemajuan dan pelayanan kesehatan yang lebih baik menghasilkan penurunan angka kelahiran. Laju pertumbuhan penduduk naik. Tahap 3: Tahap pembangunan lanjut, di mana terjadi penurunan angka kematian balita, urbanisasi, dan kemajuan pendidikan mendorong banyak pasangan muda berumah tangga menginginkan jumlah anak lebih sedikit hingga menurunkan
1
2 angka kelahiran. Pada tahap ini laju pertambahan penduduk mungkin masih tinggi tetapi sudah mulai menurun. Tahap 4: Kemantapan dan stabil, di mana pasangan-pasangan berumah tangga melaksanakan pembatasan kelahiran dan mereka cenderung bekerja di luar rumah. Banyaknya anak cenderung hanya 2 atau 3 saja hingga angka pertambahan penduduk sangat rendah atau bahkan mendekati nol. Tujuan Penelitian Tujuan utama dari penelitian ini adalah melakukan analisis pada model pertumbuhan penduduk. Secara spesifik adalah sebagai berikut: 1. Memodelkan penduduk stabil. 2. Memodelkan penduduk kuasi-stabil. 3. Mengaplikasikan model pada penduduk Indonesia.
TINJAUAN PUSTAKA FERTILITAS Fertilitas merupakan indikator reproduksi dari seorang wanita atau sekelompok individu yang pada umumnya dikenakan pada seorang wanita atau sekelompok wanita. Dalam ilmu demografi terdapat beberapa ukuran fertilitas, berikut beberapa ukuran fertilitas yang dikenalkan oleh Brown (1997). Crude Birth Rate (CBR) atau angka kelahiran kasar, merupakan ukuran kelahiran yang sering digunakan, CBR dapat dihitung dengan cara: , dengan B(t) merupakan jumlah kelahiran hidup pada waktu t dan P(t) merupakan jumlah penduduk pada waktu t. Pada CBR ini jumlah kelahiran tidak dikaitkan langsung dengan penduduk wanita, melainkan dikaitkan dengan jumlah penduduk secara keseluruhan. Untuk itu, diperlukan ukuran fertilitas yang lebih spesifik yaitu General Fertility Rate (GFR) yang merupakan rasio jumlah kelahiran hidup terhadap jumlah wanita umur reproduksi. Umur Reproduksi adalah umur di mana wanita masih dapat hamil dan melahirkan bayi. , dengan B(t) merupakan jumlah kelahiran hidup pada waktu t dan merupakan jumlah penduduk wanita umur reproduksi pada waktu t. Rasio Anak-Wanita (Child-Woman Ratio) merupakan ukuran fertilitas yang diperoleh dari sensus penduduk (Palmore 1978, diacu dalam Hadi 2008), CWR ini dinyatakan dengan rasio jumlah anak umur selang [c,d] tahun terhadap wanita umur reproduksi selang[h,k] tahun dinyatakan dalam rumus:
3 ,
,
,
dengan merupakan jumlah penduduk selang umur [c,d] tahun dan , merupakan jumlah penduduk wanita selang umur reproduksi [h,k] , tahun. Ukuran fertilitas selanjutnya adalah Age-Specific Fertilty Rate (ASFR) merupakan ukuran fertilitas pada wanita umur tertentu. Fakta empiris menunjukkan bahwa jumlah kelahiran selama jangka waktu tertentu bervariasi menurut umur ibu. , dengan merupakan jumlah kelahiran hidup dari wanita usia x pada merupakan jumlah penduduk wanita umur x pada waktu waktu t dan t, atau juga dapat ditulis: , dengan adalah tingkat fertilitas wanita umur x pada waktu t. Sebagai total dari ukuran fertilitas ASFR di atas, maka Total Fertility Rate (TFR) dapat dinyatakan sebagai: , dengan h dan k merupakan batas bawah dan batas atas umur wanita reproduksi. Jika ukuran-ukuran fertilitas di atas tidak membedakan jenis kelamin bayi maka ukuran reproduksi hanya memperhatikan bayi wanita yang secara langsung bertalian dengan pergantian generasi. Dalam hal ini dikenal dua ukuran reproduksi, yaitu Gross reproduction Rate (GRR) dan Net Reproduction Rate (NRR). Gross Reproduction rate (GRR) ini menyatakan tingkat reproduksi kasar yang tidak memperhatikan unsur kematian. GRR didefinisikan: ,
,
, dengan merupakan tingkat fertilitas wanita umur x terhadap bayi wanita (w) pada waktu t. Sedangkan Net Reproduction Rate (NRR) merupakan ukuran reproduksi yang memperhitungkan unsur kematian, yaitu laju kematian sesaat (μ ) sehingga NRR menyatakan tingkat reproduksi bersih dari wanita selama masa reproduksinya. Hal ini berdasarkan fakta bahwa terdapat peluang wanita meninggal sebelum ia mengakhiri masa reproduksinya. Dengan demikian NRR dapat dinyatakan sebagai:
,
.
4 dengan merupakan peluang bayi wanita hidup sampai umur x. Secara umum, populasi akan bertambah, menuju stabil, atau berkurang, bergantung apakah NRR lebih besar, sama, atau bahkan kurang dari. NRR merupakan sebuah ukuran pertumbuhan dari suatu populasi tanpa memperhitungkan perpindahan penduduk.
MORTALITAS Mortalitas merupakan tingkat kematian dari suatu kelompok individu. berikut beberapa ukuran mortalitas yang dikenalkan oleh Brown (1997). Crude Death Rate (CDR) atau dengan kata lain perkiraan angka kematian secara kasar merupakan suatu ukuran kematian yang sering digunakan, adapun cara perhitungannya sebagai berikut: , dengan merupakan jumlah kematian dalam jangka waktu t dan P(t) merupakan jumlah populasi penduduk yang diambil dalam suatu waktu dalam jangka waktu t, Spesific Mortality Rates merupakan ukuran mortalitas yang lebih spesifik bila dibandingkan dengan CDR. Karena dalam ukuran mortalitas ini mempertimbangkan umur, maka , dengan merupakan tingkat mortalitas umur x pada waktu t, merupakan jumlah kematian pada usia x dalam jangka waktu t, dan adalah banyaknya penduduk usia x dalam jangka waktu t. The Force of Mortality atau laju kematian sesaat merupakan suatu ukuran tingkat kematian bagi penduduk tepat umur x dan dinotasikan dengan
1
1
,
merupakan peluang kematian seseorang yang hidup tepat pada dengan umur x dan akan mati sebelum mencapai umur x+n, merupakan perbandingan antara jumlah rata-rata orang yang hidup dengan jumlah ratarata orang yang mati dari umur x hingga umur x+n, merupakan tingkat mortalitas umur x pada waktu t. Jika periode waktu diubah untuk interval yang pendek dari umur ∆ maka laju kematian penduduk tepat umur x adalah
5 ∆
,
∆
dengan adalah banyaknya orang yang bertahan hidup dari lahir hingga umur x, dan 1 . Jika diasumsikan ∆
0 maka limit lim
adalah: lim
∆
lim
∆
lim
∆
∆ ∆
.
∆
.
ln
METODE PENELITIAN 1. Sumber Data Data penduduk Indonesia yang digunakan merupakan data yang diperoleh dari BPS untuk penduduk tahun 2000, 2005, dan 2010. 2. Langkah langkah penelitian a. Mengkaji model stabil dan kuasi-stabil b. Dapat melakukan simulasi model kuasi-stabil c. Aplikasi model pada penduduk Indonesia
HASIL DAN PEMBAHASAN Pemodelan sistem merupakan kumpulan aktivitas dalam pembuatan model di mana model merupakan perwakilan atau abstraksi dari sebuah obyek atau situasi aktual sutau penyederhanaan dari suatu realitas yang kompleks. Model Pertumbuhan Penduduk Ada beberapa model pertumbuhan penduduk dalam proyeksi penduduk, di antaranya model penduduk stasioner, model penduduk stabil, model penduduk kuasi-stabil dan metode komponen cohort. Model
6 penduduk stasioner merupakan suatu model penduduk di mana jumlah penduduk dianggap konstan sepanjang tahun dengan asumsi tingkat kelahiran sama dengan tingkat kematian, serta migrasi masuk sama dengan migrasi keluar. Model matematis dari penduduk stasioner ini dapat dinyatakan sebagai : . Artinya jumlah penduduk pada waktu t+n sama dengan jumlah penduduk dengan waktu ke t, dengan t=1,2,3,…. Pada model komponen cohort jumlah penduduk berubah sesuai dengan pertumbuhan penduduk dengan asumsi bahwa tingkat mortalitas dan fertilitas berubah. Model Penduduk Stabil Jika B(t) merupakan jumlah kelahiran hidup pada waktu t dan B(t)dt merupakan jumlah kelahiran dalm selang waktu sangat pendek yaitu t ke t+dt, maka jumlah kelahiran bayi dalam satu tahun adalah: .
(1)
Misalkan B(t) menyatakan jumlah kelahiran hidup pada waktu t dan B(t+n) merupakan jumlah kelahiran dalam selang waktu dari t ke t+n dengan asumsi laju pertumbuhan jumlah bayi sebanding dengan jumlah bayi sebelumnya maka diperoleh formula bagi (b+n) sebagai berikut: , di mana Bukti:
0, dan
adalah laju kelahiran bayi, ∆
∆
∆ ∆ ∆
lim
∆
∆
1 1 I
(2)
ln ln
I
0
0 adalah waktu.
7 Bukti tersebut menunjukkan bahwa jumlah kelahiran per tahun dipengaruhi oleh laju kelahiran bayi . Jika adalah laju kelahiran bayi per tahun maka laju pertumbuhan penduduk pada penduduk stabil adalah sama dengan laju kelahiran bayi. Bukti: Misalkan P(t) merupkan jumlah penduduk pada waktu t, dan B(t) merupakan jumlah kelahiran hidup pada waktu t, berdasarkan persamaan (2) maka jumlah kelahiran pada waktu t-x adalah: ,
(3)
Dan jumlah penduduk yang lahir pada waktu t-x (bayi umur nol) sampai umur x pada waktu t adalah B(t-x)S(x), dengan S(x) adalah peluang bayi hidup sampai umur x. Jumlah penduduk yang hidup pada selang waktu t ke t+dt adalah jumlah bayi yang lahir pada waktu t-x dikalikan dengan peluang bayi hidup sampai umur x, dan dinyatakan dalam persamaan sebagai berikut: , (4) Dengan demikian total penduduk wanita pada waktu t adalah
.
(5)
Dan total penduduk wanita pada waktu t+n adalah: .
(6)
S(x) pada persamaan (5) sama dengan S(x) pada persamaan (6) dan dari persamaan (2) , maka diperoleh S(x)dx S(x)dx
(7)
. Dari hasil di atas terbukti bahwa laju pertumbuhan penduduk merupakan laju kelahiran bayi itu sendiri, dari persamaan (2) dan (7) terbukti bahwa P(t) dapat dinyatakan sebagai B(t). Untuk selanjutnya akan dituliskan r sebagai laju pertumbuhan penduduk intrinsik model pertumbuhan penduduk stabil. Sehingga dalam model penduduk stabil persamaan (2) dapat dituliskan sebagai:
8 ,
(8)
Untuk penduduk stabil jumlah penduduk pada suatu selang umur berubah sepanjang waktu, tetapi proporsi penduduk selang tersebut tidak berubah. Bukti: Dari persamaan (4) di mana diketahui bahwa jumlah penduduk umur x sampai x+dx pada waktu t adalah , dan total penduduk pada waktu t adalah P(t), maka proporsi penduduk stabil umur x sampai x+dx pada waktu t adalah: .
9
Karena B(t) bukan fungsi x, maka persamaan (9) menjadi: .
10
Persamaan (10) di atas menyatakan bahwa proporsi penduduk pada suatu selang umur tertentu bukanlah merupkan fungsi dari t, sehingga terbukti proporsi penduduk pada selang tersebut tidak berubah. Berikut akan dituliskan salah satu hal yang penting dalam model penduduk stabil, yaitu persamaan karakteristik penduduk stabil. Dari persamaan (3) dan (4) diperoleh jumlah penduduk (wanita, jika diasumsikan sebagai populasi wanita) yang hidup pada umur x pada waktu t: . Wanita pada persamaan tersebut memiliki fungsi fertilitas yang , sehingga tingkat kelahiran pada waktu t diberikan dituliskan sebagai sebagai: . Jika diintegralkan terhadap x untuk tingkat kelahiran populasi saat waktu t menghasilkan: .
(11)
Dengan membagi B(t) diperoleh: 1.
(12)
9 Jika α dan β adalah batas bawah dan batas atas dari umur produktif, sehingga 0 untuk x<α atau x>β, mka persamaan (12) dapat dituliskan sebagai berikut: 1.
(13)
Laju kelahiran intrinsik dari populasi stabil dapat dinotasikan sebagai , merupakan jumlah kelahiran hidup pada waktu t terhadap jumlah penduduk pada waktu t. Pada definisi diketahui bahwa .
Bila kita memasukkan persamaan (5) maka laju kelahiran menjadi , 1
.
14
Kita tahu bahwa jumlah penduduk yang mati pada tahun t adalah D(t), jadi μ
.
Menurut definisi mortalitas didapat . Dari persamaan (5) didapatkan μ
.
Dari persamaan(14) selanjutnya diperoleh μ Dari persamaan (14) dan (15) dan dan selalu konstan setiap waktu. Selanjutnya
.
15
tidak terpengaruh oleh t, jadi
10 μ
,
μ , dengan menggunakan integral parsial kita dapatkan |
.
Tetapi | dan (12) jadi kita mendapatkan bahwa
1, dari persamaan .
Mencari Nilai r Berdasarkan Data Sensus Pada model penduduk stabil banyaknya populasi didefinisikan oleh fertilitas dan mortalitas yang konstan terhadap proyeksi waktu. Meskipun fertilitas dan mortalitas diasumsikan stabil kedua hal tersebut dipresentasikan oleh angka kematian diskrit dan angka kelahiran diskrit yang berasal dari sensus dan data statistik. Dalam hal ini hasil karakteristik dan pendekatan r yang harus diselesaikan secara eksplisit. Pertama kita akan mengasumsikan persamaan (13) menjadi fungsi diskret .
.
1,
16
dengan adalah tingkat fertilitas wanita umur x pada waktu t, dan adalah dimana x< < x+1 . adalah peluang umur rata-rata wanita didalam bayi hidup sampai umur , dimana kita akan memberikan nilai . Persamaan (16) dapat dipecahkan dengan menggunakan metode iterasi. Salah satu metode yang dapat digunkan adalah metode NewtonRaphson. Untuk menggunakan metode newton-Raphson dibutuhkan fungsi derivative dari persamaan (16). Ditandai sisi kiri dengan , kita mendapatkan .
.
.
17
dengan mengganti nilai awal r ke dalam iterasi. 1
dihasilkan perkiraan nilai r yang secara konvergen mendekati nilai sebenarnya. Jika kita membentangkan persamaan (16) menjadi
ke dalam deret Taylor dimana r=0, maka
11 ∑
∑ . . . Jika persamaan dipotong setelah 1 ∑ ∑ 2
∑ . . ……. 1. didapatkan persamaan kuadratik 1 ∑ 2 1.
(18)
Nilai r dapat ditemukan dengan persamaan kuadratik. Pada tinjauan pustaka telah dijelaskan bahwa NRR adalah jumlah bayi wanita yang dilahirkan oleh wanita selama masa reproduksinya. Atau dapat juga diintrepasikan sebagai jumlah bayi wanita yang akan menggantikan posisi wanita yang melahirkanya, dimana waktu yang dibutuhkan seorang bayi wanita untuk mencapai umur sama dengan umur ibunya saat melahirkanya disebut sex-specific of generation (Brown, 1997), yang dinotasikan sebagai T. Sehingga jika B(t-T) adalah jumlah bayi wanita yang lahir pada waktu t-T maka pada T tahun kemudian B(t-T+T)=B(t) bayi wanita. Rasio antara bayi wanita tahun t dengan tahun t-T ini disebut tingkat reproduksi bersih (NRR), diperoleh persamaan . Dari persamaan (3) kita peroleh : 1 ln
19
Model Penduduk Kuasi-Stabil Pada model penduduk stasioner jumlah penduduk dianggap konstan sepanjang tahun dengan asumsi fertilitas sama dengan mortalitas. Sedangkan pada model penduduk stabil jumlah penduduk berubah menurut tingkat pertumbuhan penduduk (r) yang sama sepanjang tahun, dengan asumsi fertilitas dan mortalitas konstan serta faktor migrasi diabaikan. Pada model penduduk kuasi-stabil diasumsikan fertilitas konstan sedangkan mortalitas berubah. Mortalitas selalu diperbaiki diindikasikan oleh laju kematian sesaat yang turun untuk semua umur, sehingga dari naiknya kelahiran dan turunnya kematian menunjukkan bahwa laju pertumbuhan penduduk lebih besar daripada laju kelahiran bayi. Sehingga , laju pertumbuhan penduduk berubah menurut waktu t dinotasikan oleh karena itu maka menurut persamaan (7) total penduduk pada tahun t+n menjadi:
12 exp
(20)
sedangkan Ringkasnya, pada penduduk stabil penduduk kuasi-stabil untuk semua t jika laju kematian sesaat (μ turun dan untuk semua t jika laju kematian sesaat (μ naik. dan μ Misalkan μ menyatakan laju kematian sesaat dari peduduk umur x, yang lahir pada waktu a dan a+t , dimisalkan pula: μ
μ
untuk semua x , k >0
(21)
Untuk penduduk kuasi-stabil didefinisikan oleh tiga parameter yaitu laju pertumbuhan bayi , mortalitas awal μ , dan faktor perbaikan mortalitas k, k>0. Dengan ketiga parameter tersebut maka jumlah penduduk pada waktu t dapat diperoleh. Banyaknya penduduk pada waktu t, P(t):
exp
μ
exp
μ
exp
μ
exp
μ 22
Dengan menggunakan aturan turunan untuk perkalian P(t) terhadap t, maka diperoleh:
13
.
23
diperoleh dengan membagi persamaan (23) dengan persamaan (22):
.
24
Dengan adalah umur rata-rata yang diperoleh dari penduduk kuasi-stabil pada waktu t. Persamaan (24) menunjukkan perbedaan antara penduduk stabil dengan penduduk kuasi-stabil pada pertumbuhan penduduknya, di mana pada pertumbuhan penduduk kuasi stabil mengandung k, k>0 yaitu faktor perbaikan mortalitas.
APLIKASI PERTUMBUHAN STABIL DAN KUASI STABIL PADA PENDUDUK INDONESIA Model Penduduk Stabil Struktur usia dan pertumbuhan dari suatu populasi ditentukan oleh tingkat kelahiran, kematian, dan migrasi. Pada populasi stabil tidak ada perubahan struktur usia. Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk mecari model pertumbuhan penduduk stabil dan akan dibuat model berdasarkan formula sebagai berikut : 1. Dengan menggunakan persamaan (7) 2005 2000 didapatkan nilai r sebesar 0.012247 2. Dengan menggunakan persamaan r = CBR-CDR didapatkan nilai r sebesar 0.0129 3. Dengan menggunakan metode persamaan (16) didapatkan nilai r sebesar 0.013784
14 240,000,000 235,000,000 230,000,000 225,000,000 Metode 1
220,000,000
Metode 2
215,000,000
Metode 3
210,000,000
Aktual
205,000,000 200,000,000 2005
2006
2007
2008
2009
2010
Gambar 1. Proyeksi Penduduk Stabil
Pada Gambar 1, dapat dilihat hasil proyeksi metode 3 memiliki galat paling kecil di antara metode yang lain yaitu 1.646% , metode 2 2.075% dan metode 1 2.398%. Model Kuasi-Stabil Menurut pembahasan di atas, maka metode stabil kurang bagus untuk menggambarkan kondisi penduduk di Indonesia. Oleh karena itu akan dibahas mengenai aplikasi tentang metode kuasi-stabil untuk penduduk Indonesia. Pada metode ini faktor yang sangat berpengaruh untuk memproyeksikan total penduduk wanita di Indonesia adalah k, yaitu faktor perbaikan kematian. Kematian itu sendiri dapat disebabkan oleh beberapa faktor, antara lain kecelakaan, kematian normal, kematian mendadak, penyakit. Ada tiga faktor utama penyebab kecelakaan antara lain adalah faktor manusia, kendaraan, dan lingkungan. Kematian normal yang dimaksud di sini adalah kematian yang melalui proses menua secara perlahan. Sedangkan untuk kematian mendadak adalah kematian yang terjadi tanpa melalui sakit atau kecelakaan, seperti bunuh diri, ibu yang meninggal pada saat melahirkan dan kematian neonatal. Kematian neonatal adalah kematian bayi yang berumur 0 sampai 28 hari setelah hidup atau bayi berumur 1 bulan (Mc Donald 1990, diacu dalam Sapriana 2006). Kematian dewasa umumnya disebabkan karena penyakit menular, penyakit degeneratif, kecelakaan atau gaya hidup yang beresiko terhadap kematian. Kematian bayi dan balita umumnya disebabkan oleh penyakit sistim pernapasan bagian atas (ISPA) dan diare, yang merupakan penyakit karena infeksi kuman. Faktor gizi buruk juga menyebabkan anak-anak rentan terhadap penyakit menular, sehingga mudah terinfeksi dan menyebabkan tingginya kematian bayi dan balita di sesuatu daerah. Faktor sosial ekonomi seperti pengetahuan tentang kesehatan, gisi dan kesehatan lingkungan, kepercayaan, nilai-nilai, dan kemiskinan merupakan faktor individu dan keluarga, mempengaruhi mortalitas dalam masyarakat. Tingginya kematian
15 Ibu merupakan cerminan dari ketidak tahuan masyarakat mengenai pentingnya perawatan Ibu hamil dan pencegahan terjadinya komplikasi kehamilan(www.datastatistik-indonesia.com). Nilai k akan dapat berubah-ubah dalam kehidupan nyata, nilai dari faktor perbaikan kematian dapat dipengaruhi dari beberapa aspek, di antaranya adalah dengan meningkatkan taraf hidup, memperbaiki aspek kesehatan, dan menurunkan tingkat kriminalitas. Nilai k diperoleh berdasarkan 3 cara: 1. Menghitung nilai k berdasarkan rata-rata dari k(x) ∑ . 2. Menghitung nilai k dengan mengasumsikan bahwa nilai k merupakan fungsi linear terhadap umur. nilai k dihitung dengan menggunakan regresi. 3. Menggunakan k(x) yang asli . Berdasarkan masing-masing metode diperoleh tiga model untuk , yaitu Metode 1 : k dihitung berdasarkan rata-rata dari k(x) dengan menggunakan metode ini didapatkan nilai k sebesar 0.0006966 dan nilai r sebesar 0.026504. Metode 2 : k diasumsikan merupakan fungsi linear terhadap umur, dengan menggunakan metode ini didapatkan nilai 0.002984605 0.0000920777899848987 dengan nilai r sebesar 0.000791. Metode 3 : menggunakan k(x) yang asli didapat nilai r sebesar 0.009437. 245,000,000 240,000,000 235,000,000 230,000,000 225,000,000
Metode 1
220,000,000
Metode 2
215,000,000
Metode 3
210,000,000
Aktual
205,000,000 200,000,000 2000
2001
2002
2003
2004
2005
Gambar 2. Proyeksi Penduduk Kuasi‐Stabil
16
Pada Gambar 2 dapat dilihat bahwa proyeksi metode 1 paling mendekati dengan nilai yang sebenarnya, dengan galat sebesar 1.107% dan nilai k sebesar 0.000696. Tabel 1. Nilai galat setiap model Model Stabil Metode 1 Metode 2 Metode 3 Kuasi-stabil Metode 1 Metode 2 Metode 3
Galat 2.398% 2.075% 1.6457% 1.107% 5.1882% 3.116%
Dari Tabel 1 dapat dilihat bahwa model kuasi-stabil memiliki galat yang paling kecil yaitu pada model 1 sebesar 1.107%. Pada model ini masih mempunyai beberapa kelemahan yaitu tidak ikut disertakannya faktor migrasi, mobilitas sosial, serta angka harapan hidup yang selalu berubahubah setiap tahunnya.
SIMPULAN DAN SARAN Simpulan Berdasarkan pembahasan yang telah dilakukan pada karya ilmiah ini dapat diambil beberapa kesimpulan, antara lain : 1. Data penduduk Indonesia tahun 2005 dan 2010 tidak dapat digunakan untuk model pertumbuhan stabil. Karena masih memiliki nilai galat yang cukup besar yaitu 1.646%. 2. Model kuasi-stabil mendapat hasil terbaik pada tahun 2010 nilai k= 0.0006966 dengan galat sebesar 1.107%. 3. Berdasarkan model kuasi-stabil metode 1 didapatkan hasil proyeksi penduduk Indonesia sebesar 235,236,560. 4. Model ini masih memiliki keterbatasan dalam mengindikasikan angka harapan hidup yang berubah-ubah dalam setiap tahunnya.
Saran Dalam rangka melengkapi dan menyempurnakan karya ilmiah mengenai model pertumbuhan kuasi-stabil beberapa aspek yang diperlukan. Seperti migrasi, mobilitas sosial serta angka harapan hidup yang berubahubah setiap tahunnya.
17
DAFTAR PUSTAKA [BPS] Badan Pusat Stastistik (ID). [internet]. [diunduh 29 Des 2013]. Tersedia pada:http//www.datastatistik-indonesia.com. Brown RL. 1997. Introduction to the Mathematics of Demography. United States of America: ACTEX Dhawie Christ. 2011. Teori Kependudukan. [internet].[diunduh 27 Des 2013]. Tersedia pada: http//christdhawie.blogspot.com/2011/07/teoriteori-kependudukan.html. Gondomono H.2009. Model Pertumbuhan Penduduk Kuasi-Stabil dan Aplikasi Terhadap Data Penduduk Indonesia [Skripsi]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor Hadi FSC. 2008. Modifikasi Metode Rele untuk Model Penduduk KuasiStabil [Tesis]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor. Sapriana. 2006. Analisis Faktor Resiko Kejadian Kematian Neonatal di Rumah Sakit Umum Daerah Undata Palu Periode 2003-2005. Karya Ilmiah. Fakultas Kesehatan Masyarakat Universitas Hasanuddin. Makassar
18 Lampiran 1. Uraian persamaan 16 Di ketahui : Laju kematian sesaat :
Akan dibuktikan .
S(X) adalah peluang hidup bayi sampai umur x. Bukti : Jika
, maka
Jadi .
( 15.1 )
merupakan peluang penduduk umur 0 bertahan hidup sampai dengan umur x,
Dengan mnggunakan persamaan 15.1 didapat . .
. exp 0
.
19 Lampiran 2. Tabel 2. Data Penduduk Indonesia tahun 2000 Populasi Kelompok umur Laki-laki Perempuan
Total
0-4
11,689,126
11,286,663
22,975,789
5-9
11,088,005
11,088,005
22,176,010
10-14
10,811,692
10,483,347
21,295,039
15-19
10,894,682
10,592,934
21,487,616
20-24
10,730,734
10,326,572
21,057,306
25-29
9,860,656
9,458,310
19,318,966
30-34
8,871,346
8,286,038
17,157,384
35-39
7,444,456
7,578,665
15,023,121
40-44
6,275,221
6,821,886
13,097,107
45-49
4,939,556
5,561,111
10,500,667
50-54
3,538,417
3,756,367
7,294,784
55-59
3,298,065
3,591,664
6,889,729
60-64
2,766,891
2,918,499
5,685,390
65-69
2,046,985
2,362,196
4,409,181
70-74
1,329,778
1,495,429
2,825,207
75+
1,207,567
1,428,606
2,636,173
Total
106,793,177
107,036,292
213,829,469
Sumber: Data Sensus Penduduk 2005 - Badan Pusat Statistik Republik Indonesia
20 Lampiran 3. Tabel 3. Data Penduduk Indonesia tahun 2010 Populasi Kelompok umur Laki-laki Perempuan
Total
0-4
11,662,369
11,016,333
22,678,702
5-9
11,974,094
11,279,386
23,253,480
10-14
11,662,417
11,008,664
22,671,081
15-19
10,614,306
10,266,428
20,880,734
20-24
9,887,713
10,003,920
19,891,633
25-29
10,631,311
10,679,132
21,310,443
30-34
9,949,357
9,881,328
19,830,685
35-39
9,337,517
9,167,614
18,505,131
40-44
8,322,712
8,202,140
16,524,852
45-49
7,032,740
7,008,242
14,040,982
50-54
5,865,997
5,695,324
11,561,321
55-59
4,400,316
4,048,254
8,448,570
60-64
2,927,191
3,131,570
6,058,761
65-69
2,225,133
2,468,898
4,694,031
70-74
1,531,459
1,924,872
3,456,331
75-79
842,344
1,135,561
1,977,905
80-84
481,462
661,708
1,143,170
182,432 63,948 36,095 119,630,913
255,529 106,951 68,559 118,010,413
437,961 170,899 104,654 237,641,326
85-89 90-94 95+ Jumlah
Sumber: Data Sensus Penduduk 2010 - Badan Pusat Statistik Republik Indonesia
Lampiran 4. Tabel 4. Data Penduduk Indonesia tahun 2005 Kelompok umur
Laki-laki
Perempuan
Total
e0
lx
Lx
Tx
S
ASFR
0-4 5-9 10-14 15-19 20-24 25-29 30-34 35-39 40-44 45-49 50-54 55-59 60-64 65-69 70-74 75+
9,983,140 11,370,615 11,238,221 10,370,890 9,754,543 9,271,546 8,709,370 8,344,025 7,401,933 6,418,712 5,266,079 3,813,793 2,800,974 1,990,762 1,470,205 1,408,711
9,608,600 10,739,089 10,614,026 9,958,783 10,150,607 9,821,617 9,054,955 8,428,967 7,347,511 6,190,218 4,851,176 3,563,361 2,918,499 2,192,385 1,570,199 1,462,776
19,591,740 22,109,704 21,852,247 20,329,673 19,905,150 19,093,163 17,764,325 16,772,992 14,749,444 12,608,930 10,117,255 7,377,154 5,719,473 4,183,147 3,040,404 2,871,487
66.1816700 68.3435200 65.4472000 60.8844700 56.1083900 51.5044900 47.0000200 42.5310900 38.0922000 33.6981500 29.3728300 25.1631300 21.1275300 17.2913000 13.7568200 10.5974800
100,000 92,702 92,220 91,873 91,338 90,610 89,767 88,782 87,564 86,025 83,921 80,927 76,612 70,074 60,190 46,128
474,013 462,184 460,266 458,081 454,081 451,030 446,472 440,986 434,125 425,077 412,421 394,279 367,369 326,650 267,202 188,279
6,463,380 5,989,366 5,527,182 5,066,916 4,608,835 4,153,889 3,702,860 3,256,387 2,815,402 2,381,276 1,956,200 1,543,778 1,149,499 782,130 455,480 188,279
0.9480270 0.9243680 0.9205320 0.9161620 0.9098910 0.9020600 0.8929440 0.8819710 0.8682510 0.8501540 0.8248430 0.7885570 0.7347380 0.6533000 0.5344030 0.3765570
51 131 143 99 66 19 4 -
21
22
Lampiran 5 Tabel 5. Nilai k pada metode 1 dan 2 Kelompok umur
Laki-laki
Perempuan
e0
S
µ( 2000)
µ (2005)
k
0-4
9,983,140
9,608,600
66.1816700
0.9480270
0.007471
0.018376463
-0.002181093
2.299777868
0.919911147
5-9
11,370,615
10,739,089
68.3435200
0.9243680
0.001189
0.013557291
-0.002473658
6.170721031
0.822762804
10-14
11,238,221
10,614,026
65.4472000
0.9205320
0.000587
0.003882443
-0.000659089
9.073096236
0.725847699
15-19
10,370,890
9,958,783
60.8844700
0.9161620
0.000672
0.001085975
-8.2795E-05
10.81598557
0.618056318
20-24
9,754,543
10,150,607
56.1083900
0.9098910
0.001009
0.00110504
-1.92079E-05
11.4116678
0.507185236
25-29
9,271,546
9,821,617
51.5044900
0.9020600
0.00132
0.001731169
-8.22339E-05
11.03415562
0.401242023
30-34
8,709,370
9,054,955
47.0000200
0.8929440
0.001596
0.002184254
-0.000117651
9.948202513
0.306098539
35-39
8,344,025
8,428,967
42.5310900
0.8819710
0.001985
0.002567957
-0.000116591
8.438416333
0.225024436
40-44
7,401,933
7,347,511
38.0922000
0.8682510
0.002633
0.003063777
-8.61554E-05
6.767374887
0.15923235
45-49
6,418,712
6,190,218
33.6981500
0.8501540
0.003744
0.003800298
-1.12595E-05
5.141148614
0.108234708
50-54
5,266,079
4,851,176
29.3728300
0.8248430
0.005534
0.004987534
0.000109293
3.696194107
0.070403697
55-59
3,813,793
3,563,361
25.1631300
0.7885570
0.008267
0.006973298
0.00025874
2.505835934
0.043579755
60-64
2,800,974
2,918,499
21.1275300
0.7347380
0.012795
0.010072971
0.000544406
1.586952888
0.025391246
65-69
1,990,762
2,192,385
17.2913000
0.6533000
0.020819
0.015205855
0.001122629
0.920322541
0.013634408
70-74
1,470,205
1,570,199
13.7568200
0.5344030
0.035092
0.024033025
0.002211795
0.471601231
0.006504845
75+
1,408,711
1,462,776
10.5974800
0.3765570
0.099097
0.035450126
0.012729375
0.200086214
0.002581758
22
Lampiran 6 Mencari nilai regresi dari nilai k terhadap umur x SUMMARY OUTPUT Regression Statistics Multiple R 0.646993195 R Square 0.418600195 Adjusted R Square 0.377071637 Standard Error 0.002673856 Observations 16 ANOVA Regression Residual Total
Intercept X Variable 1
df 1 14 15
SS 7.20657E‐05 0.000100093 0.000172159
MS 7.20657E‐05 7.14951E‐06
Coefficients ‐0.002986455 9.20778E‐05
Standard Error 0.001338893 2.9002E‐05
t Stat ‐2.230540875 3.174872505
F 10.07981542
Significance F 0.006749507
P‐value 0.042586464 0.006749507
Lower 95% ‐0.005858094 2.98746E‐05
Upper 95% ‐0.000114816 0.000154281
Lower 95.0% ‐0.005858094 2.98746E‐05
Upper 95.0% ‐0.000114816 0.000154281
23
24
RIWAYAT HIDUP Penulis lahir di Wonogiri pada 6 Desember 1989 sebagai anak pertama dari dua bersaudara, anak dari bapak Mursid dan ibu Wiwin Wahyuni. Tahun 2001 penulis menyelesaikan pendidikannya di SDN Sanan II. Tahun 2004 penulis menyelesaikan pendidikannya di SMPN 1 Cangkringan Sleman DIY. Tahun 2007 penulis menyelesaikan pendidikannya di SMAN 3 Depok dan pada tahun yang sama penulis berkesempatan untuk melanjutkan studinya di IPB. Penulis memilih mayor Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama mengikuti perkuliahan, Penulis aktif dalam organisasi kemahasiswaan, seperti organisasi himpunan profesi Departemen Matematika yaitu Gumatika (Gugus Mahasiswa Matematika), BEM FMIPA IPB,Koperasi Mahasiswa dan Lembaga DKM Al - Hurriyah. Penulis juga pernah terlibat dalam berbagai kegiatan mahasiswa, antara lain sebagai panitia penyelenggara Spirit, AC-fest, pesta Sains dan masih beberapa acara mengenai Leadership Training.
