ANALISIS MODEL PELUANG BERTAHAN HIDUP DAN APLIKASINYA
SUNARTI FAJARIYAH
SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009
2
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis berjudul Analisis Model Peluang Bertahan Hidup dan Aplikasinya adalah karya saya sendiri dengan arahan dan bimbingan dari komisi pembimbing serta belum pernah diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan oleh pihak lain telah penulis sebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.
Bogor, Januari 2009
Sunarti Fajariyah NRP G551060301
3
ABSTRACT SUNARTI FAJARIYAH. Survival Analysis Model and Its Application. Supervised by HADI SUMARNO and N.K. KUTHA ARDANA. Mortality is one of three demograpic components which influence population change, besides fertilities and migration. Information on probability of death according to age in a region is presented in a table known as life table. Life table model reflects a survival model, which model express probability that someone can live on or more than certain time. Although modeling in mathematical demography are usually based on continuous models, but in practice, they are approximated using discrete models. The objectives of this thesis are to estimate the parameters of survival function based on certain distribution function; and to apply the survival function to Banten life table data on the year 2005 to obtain the model of Banten survival function. To obtain the parameters of survival function based on some distribution functions, hypothetical data are implemented. The hypothetical data are generated from exponential, Weibull, log-normal, log-logistic and Gompertz distribution. Maximum likelihood method is used to estimate the distribution parameters. The results of analysis on the hypothetical data show good value of R 2 when an appropriate distribution are chosen. Regarding the life table of Banten, Weibull distribution shows the best fit compared to the other distributions. . Keywords: distribution functions, maximum likelihood method
4
RINGKASAN SUNARTI FAJARIYAH. Analisis Model Peluang Bertahan Hidup dan Aplikasinya. Dibimbing oleh HADI SUMARNO dan N.K.KUTHA ARDANA. Mortalitas atau kematian merupakan salah satu di antara tiga komponen demografi yang dapat mempengaruhi perubahan penduduk, selain fertilitas (kelahiran) dan migrasi. Informasi tentang kematian penting baik bagi pemerintah maupun lembaga swasta. Salah satu diantaranya adalah perlunya angka peluang kematian menurut umur dalam proyeksi penduduk. Informasi tentang peluang kematian menurut umur suatu wilayah disajikan dalam bentuk tabel, yang dikenal dengan sebutan life table (tabel hayat/tabel mortalitas). Tabel hayat merupakan komponen penting dalam proyeksi penduduk yang dapat digunakan dalam bidang pendidikan yaitu untuk memperkirakan jumlah penduduk usia sekolah, jumlah murid, jumlah guru, gedung-gedung sekolah dan pendidikan pada masa yang akan datang (Pollard et al., 1982). Seperti halnya model-model yang ada dalam bidang demografi lainnya, model teoritis dari life table merupakan model yang kontinu. Namun informasi saat ini pada umumnya masih dalam bentuk diskret. Model life table merupakan model Survival, yang menyatakan peluang seseorang dapat bertahan hidup hingga atau lebih dari waktu tertentu. Secara teoritis, banyak model-model Survival yang telah dikenal dan sering digunakan. Maksud dari penelitian ini adalah mencari model teoritis dari fungsi Survival yang sesuai dengan model life table. Berdasarkan hal tersebut di atas, maka penelitian ini bertujuan untuk melakukan pendugaan parameter fungsi Survival terhadap fungsi sebaran yang sering digunakan, serta mengaplikasikan fungsi Survival terhadap data tabel hayat Banten tahun 2005 untuk memperoleh model fungsi Survival Banten. Metode penelitian yang digunakan adalah studi pustaka, dengan menggunakan 2 macam data, yaitu data hipotetik dan Survival Banten (data tabel hayat Banten tahun 2005). Langkah pertama membangkitkan data hipotetik dengan menggunakan lima fungsi sebaran, kemudian melakukan pendugaan parameter dengan menggunakan metode Maximum Likelihood terhadap sebaran eksponensial, Weibull, log-normal, log-logistik dan Gompertz. Langkah kedua dengan menggunakan data Survival Banten dan metode Maximum Likelihood, dilakukan pendugaan parameter terhadap sebaran eksponensial, Weibull, lognormal, log-logistik dan Gompertz untuk memperoleh model fungsi Survival Banten. Untuk menguji kesesuaian data dan model dilakukan uji R 2 (koefisien determinasi). Pendugaan parameter dilakukan dengan menggunakan metode Maximum Likelihood, dibantu software Mathematica 6.0. Fungsi Survival merupakan fungsi tak naik, pada saat x = 0, S ( x) = 1; x → ∞, S ( x) → 0 . Fungsi Survival sebaran eksponensial S ( x) = e − λ x ,
sebaran
Weibull
S ( x) = e
1 − ( x )λ
γ
,
sebaran
log-normal
5
Log[ x ]− μ
S ( x) = 1 −
σ
∫ 0
2 2 1 1 e − ( t − μ ) /(2σ ) dt , sebaran log-logistik S ( x) = 1 + eθ x k σ 2π
−
dan
eλ ( −1+ eγ x )
γ sebaran Gompertz S ( x) = e . Berdasarkan fungsi Survival tersebut dilakukan pendugaan parameter dengan metode Maximum Likelihood. Dari hasil penelitian disimpulkan: 1) Metode Maximum Likelihood dapat digunakan untuk melakukan pendugaan parameter dengan baik terhadap fungsi Survival bila dapat memilih fungsi sebaran yang tepat, 2) Model life table dapat didekati dengan model kontinu, yaitu dengan menggunakan sebaran Weibull, lognormal dan log-logistik, 3) Berdasarkan metode Maximum Likelihood dengan menggunakan data Survival Banten, sebaran Weibull merupakan fungsi sebaran yang terbaik dibandingkan dengan empat fungsi sebaran lainnya.
Kata kunci : fungsi sebaran, metode maximum likelihood
6
©Hak cipta milik Institut Pertanian Bogor, tahun 2008 Hak cipta dilindungi Undang-undang 1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumber. a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik dan tinjauan suatu masalah. b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar Institut Pertanian Bogor. 2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis ini dalam bentuk apapun tanpa izin Institut Pertanian Bogor.
7
ANALISIS MODEL PELUANG BERTAHAN HIDUP DAN APLIKASINYA
SUNARTI FAJARIYAH
Tesis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Departemen Matematika
SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009
8
Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis : Ir. Retno Budiarti, MS
9
Judul Tesis Nama NRP
: Analisis Model Peluang Bertahan Hidup dan Aplikasinya : Sunarti Fajariyah : G551060301
Disetujui Komisi Pembimbing
Ir.N.K. Kutha Ardana, M.Sc Anggota
Dr. Ir. Hadi Sumarno, MS Ketua
Diketahui Ketua Program Studi Matematika Terapan
Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS
Tanggal ujian : 21 Januari 2009
Dekan Sekolah Pascasarjana
Prof. Dr. Ir. Khairil Anwar Notodiputro, MS
Tanggal Lulus : 05 Februari 2009
10
PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat serta hidayah-Nya sehingga sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Shalawat dan salam semoga senantiasa tercurahkan kepada junjungan kita nabi besar Muhammad SAW beserta keluarga dan para sahabat, serta seluruh umat manusia yang mengikuti petunjuk dan ajaran beliau. Ungkapan terima kasih penulis sampaikan kepada orang tua dan seluruh keluarga yang telah memberikan dukungan, do’a dan kasih sayangnya. Selanjutnya penulis sampaikan terima kasih kepada: 1. Dr. Ir. Hadi Sumarno, MS dan Ir. N.K. Kutha Ardana, M.Sc selaku pembimbing yang telah memberikan bimbingan dan motivasi dengan penuh kesabaran kepada penulis. 2. Ir. Retno Budiarti, MS selaku penguji luar komisi yang telah memberikan saran dan kritiknya. 3. Departemen Agama Republik Indonesia yang telah memberikan beasiswa kepada penulis selama menempuh pendidikan program magister di Institut Pertanian Bogor. 4. Rekan-rekan mahasiswa S-2 Matematika Terapan IPB angkatan 2006 baik BUD maupun regular atas persahabatannya selama ini dan semoga tidak akan berakhir. 5. Semua pihak yang telah membantu penulis, yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu. Penulis menyadari bahwa tulisan ini masih jauh dari sempurna. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi penulis khususnya dan bagi pihak lain yang membutuhkan. Bogor, Januari 2009 Sunarti Fajariyah
11
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Tangerang pada tanggal 7 Agustus 1972 dari ayah H. Abdurrahman dan Ibu Hj. Munih. Penulis merupakan anak ketiga dari lima bersaudara. Tahun 1991 penulis lulus dari SMA Negeri 1 Tangerang kota Tangerang dan pada tahun yang sama penulis melanjutkan pendidikan sarjana pada jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam IKIP Muhammadiyah Jakarta lulus tahun 1995. Tahun 1996 penulis bekerja sebagai staf pengajar honorer di SMA Muhammadiyah 17 Cipondoh kota Tangerang sampai tahun 2006. Tahun 1997 penulis masuk Pegawai Negeri Sipil di Departemen Agama Republik Indonesia, sebagai staf pengajar di Madrasah Tsanawiyah Negeri Tangerang 1, kota Tangerang Banten sampai sekarang. Pada tahun 2006 penulis masuk program magister pada Program Studi Matematika Terapan Sekolah Pascasarjana Institut Pertanian Bogor melalui jalur Beasiswa Utusan Daerah Departemen Agama Republik Indonesia dan menyelesaikannya pada tahun 2009.
12
DAFTAR ISI Halaman DAFTAR TABEL........................................................................................... xi DAFTAR GAMBAR...................................................................................... xii DAFTAR LAMPIRAN.................................................................................. xiii I PENDAHULUAN.................................................................................... 1.1 Latar Belakang ................................................................................... 1.2 Tujuan Penelitian ................................................................................
1 1 1
II TINJAUAN PUSTAKA ......................................................................... 2.1 Latar Belakang .................................................................................... 2.2 Tabel Hayat ......................................................................................... 2.3 Teori Peluang ....................................................................................... 2.4 Survival ................................................................................................ 2.5 Metode Kemungkinan Maksimum....................................................... 2.6 Koefisien Penentu (Determinasi) ........................................................ 2.7 Fungsi Sebaran ..................................................................................... 2.8 Pendugaan Parameter ...........................................................................
3 3 4 8 9 10 11 11 16
III METODOLOGI PENELITIAN ........................................................... 3.1 Sumber Data ......................................................................................... 3.2 Langkah-langkah Penelitian .................................................................
22 22 22
IV HASIL DAN PEMBAHASAN ................................................................ 4.1 Pendugaan Parameter Fungsi Survival ................................................ 4.2 Pendugaan Parameter Fungsi Survival Banten .................................. 4.3 Model Tabel Hayat Kontinu Rachmadani............................................
23 23 27 31
V KESIMPULAN DAN SARAN ................................................................ 5.1 Kesimpulan ......................................................................................... 5.2 Saran.....................................................................................................
33 33 33
DAFTAR PUSTAKA ...................................................................................
34
LAMPIRAN...................................................................................................
36
13
DAFTAR TABEL
Halaman 1. Tabel hayat Jepang tahun 2005 ..................................................................
5
2. Perbandingan nilai R 2 fungsi Survival ......................................................
26
3. Perbandingan nilai R 2 fungsi Survival Banten ..........................................
31
xi
14
DAFTAR GAMBAR Halaman 1. Nilai qx pada model Timur, Utara, Selatan dan Barat ketika e& = 25, e& =50
dan e& =70. ...................................................................................................
7
2. Kurva fungsi Survival sebaran eksponensial pada saat λ = 0, 05 (mulus) dan λ = 0, 03 (putus-putus). ........................................................
12
3. Kurva fungsi Survival sebaran Weibull pada saat λ = 3 (mulus) dan λ = 1 (putus-putus)..............................................................................
13
4. Kurva fungsi Survival sebaran log-normal pada saat σ = 0,35 (mulus) dan σ = 1 (putus-putus) .............................................................................
14
5. Kurva fungsi Survival sebaran log-logistik pada saat σ = 3 (mulus) dan σ = 2,5 (putus-putus) .........................................................................
15
6. Kurva fungsi Survival sebaran Gompertz pada saat γ = 0, 001 (mulus) dan γ = 0, 02 (putus-putus) ......................................................................
16
7. Kurva fungsi Survival sebaran eksponensial.............................................
23
8. Kurva fungsi Survival sebaran Weibull ....................................................
24
9. Kurva fungsi Survival sebaran log-normal ...............................................
25
10. Kurva fungsi Survival sebaran log-logistik ...............................................
25
11. Kurva fungsi Survival sebaran Gompertz .................................................
26
12. Kurva lx penduduk laki-laki .....................................................................
28
13. Kurva lx penduduk wanita ........................................................................
28
14. Kurva lx penduduk laki-laki dan wanita ...................................................
29
15. Kurva lx penduduk Banten .......................................................................
29
16. Kurva fungsi Survival Banten dengan menggunakan sebaran Weibull (kurva mulus) .............................................................................................
30
17. Kurva fungsi Survival Banten dengan menggunakan sebaran log-normal (kurva mulus) .............................................................................................
30
18. Kurva fungsi Survival Banten dengan menggunakan sebaran log-logistik (kurva mulus)…………………………………………………………... ..
31
19. Perbandingan kurva fungsi Survival model Rachmadani dan Weibull......
32 xii
15
DAFTAR LAMPIRAN Halaman
1. Tabel hayat Banten tahun 2005 ..................................................................
37
2. Program Maximum Likelihood sebaran eksponensial (data hipotetik) .....
40
3. Program Maximum Likelihood sebaran Weibull (data hipotetik) .............
41
4. Program Maximum Likelihood sebaran log-normal (data hipotetik) ........
42
5. Program Maximum Likelihood sebaran log-logistik (data hipotetik) ........
43
6. Program Maximum Likelihood sebaran Gompertz (data hipotetik) ..........
44
7. Program Maximum Likelihood sebaran Weibull (data Banten ) ...............
45
8. Program Maximum Likelihood sebaran log-normal (data Banten) ...........
46
9. Program Maximum Likelihood sebaran log-logistik (data Banten)...........
47
xiii
16
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang
Mortalitas atau kematian merupakan salah satu di antara tiga komponen demografi yang dapat mempengaruhi perubahan penduduk, selain fertilitas (kelahiran) dan migrasi. Informasi tentang kematian penting baik bagi pemerintah maupun lembaga swasta. Salah satu diantaranya adalah perlunya angka peluang kematian menurut umur dalam proyeksi penduduk. Informasi tentang peluang kematian menurut umur suatu wilayah disajikan dalam bentuk tabel, yang dikenal dengan sebutan life table (tabel hayat/tabel mortalitas). Seperti telah dijelaskan sebelumnya, tabel hayat merupakan komponen penting dalam proyeksi penduduk, di samping fertilitas dan migrasi. Selanjutnya proyeksi penduduk dapat digunakan dalam bidang pendidikan yaitu untuk memperkirakan jumlah penduduk usia sekolah, jumlah murid, jumlah guru, gedung-gedung sekolah dan pendidikan pada masa yang akan datang (Pollard et al., 1982). Selain itu model tabel hayat juga dapat diaplikasikan dalam bidang pendidikan untuk menduga angka harapan melanjutkan sekolah dan tingkat putus sekolah. Seperti halnya model-model yang ada dalam bidang demografi lainnya, model teoritis dari life table merupakan model yang kontinu. Namun informasi saat ini pada umumnya masih dalam bentuk diskret. Model life table merupakan model Survival, yang menyatakan peluang seseorang dapat bertahan hidup hingga atau lebih dari waktu tertentu. Secara teoritis, banyak model-model Survival, yang telah dikenal dan sering digunakan. Maksud dari penelitian ini adalah mencari model teoritis dari fungsi Survival yang sesuai dengan model life table. 1.2 Tujuan Penelitian
Dengan memperhatikan latar belakang masalah bertujuan:
maka penelitian ini
17
1 Melakukan pendugaan parameter fungsi Survival terhadap sebaran yang sering digunakan. 2 Mengaplikasikan fungsi Survival terhadap data tabel hayat Banten tahun 2005 untuk memperoleh model fungsi Survival Banten.
18
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Latar Belakang
Dari zaman dahulu hingga zaman modern ini orang tertarik mengetahui tentang umur tertinggi yang ingin ia capai. Hidup adalah suatu persoalan pribadi yang sukar diramalkan bilamana akan berakhirnya. Kadang-kadang ada orang yang dapat mencapai umur sangat tua, seperti seorang warga Negara Denmark yang bernama Chtisten Jacobsen Drakenberg yang lahir pada tahun 1626, meninggal pada umur 146 tahun (Iskandar, 1981). Sekalipun kita tidak dapat mengetahui panjangnya umur seseorang secara pribadi, jika kita tinjau secara aggregative atau keseluruhan menurut kelompokkelompok umur dan jenis kelamin, dapat kita lihat adanya suatu ketentuan yang mengikuti pola-pola tertentu. Jika pada suatu saat di suatu negara andaikan telah dilahirkan 1000 orang laki-laki, maka berdasarkan data-data tertentu ditetapkan berapa banyak dari mereka nanti akan mencapai umur, misalnya umur 1 tahun, 2 tahun, 20 tahun, 40 tahun, 60 tahun dan seterusnya. Jika sisa mereka akhirnya setelah umur sekian meninggal juga, maka dapat dihitung umur rata-rata dari 1000 orang yang pada saat dan tempat yang sama telah dilahirkan sebagai bayi dan telah bersama-sama mengalami kejadian-kejadian yang sama di tempat itu sepanjang hidup mereka. Keterangan-keterangan tentang jumlah yang meninggal pada berbagai tingkat umur, yang bertahan hidup pada berbagai tingkat umur dan tentang umur rata-rata yang mereka capai diterangkan oleh apa yang disebut tabel hayat atau life
table. John Graunt pada pertengahan abad ke-17 telah melakukan observasi pada daftar kematian London dan telah menemukan gambaran awal apa yang kemudian disebut tabel hayat. Tabel hayat ini dalam menduga besarnya angka kematian anak dilakukan dengan teliti, dalam tabel hayat sekarang disebut kolom kematian dan kolom yang dapat bertahan hidup. Tabel Graunt setelah 40 tahun kemudian telah membuat Halley, seorang astronom, untuk menyusun tabel hayat modern pertama dari kota Breslau pada tahun 1687 – 1691 ( Coale & Demeny, 1983).
19
Empat puluh tahun kemudian Kresseboom menyusun tabel yang lain berdasarkan catatan tahunan kehidupan di Holland yang terdapat pada tahun 1738, dan tabel yang terkenal dari Deparcieux telah dipublikasikan pada tahun 1746. Macam-macam tabel hayat yang telah disusun di atas merupakan dasar untuk menyusun model tabel hayat. 2.2 Tabel Hayat
Tabel hayat berguna untuk menggambarkan aspek kematian manusia secara singkat dan jelas serta menunjukkan kematian sebagai sebuah fungsi dari umur (Coale & Demeny, 1983). Penelitian tentang tabel hayat yang telah ada misalnya Barendregt et al. pada tahun 1996 telah menerapkan tabel hayat multi-state pada bidang kesehatan masyarakat. State adalah keadaan tentang kesehatan, yaitu tentang penyakit yang diderita secara individu misalnya penyakit cardiovascular yang diderita secara terus-menerus. Shavelle & Strauss (1999), telah melakukan penelitian tentang tabel hayat
multi state untuk waktu yang lama dengan menggunakan data micro. Metodologi tabel hayat multi state adalah menggunakan asumsi Markov kejadian sekarang tidak bergantung pada kejadian sebelumnya, misalnya pada sistem biologi dan proses pada masalah sosial. Penelitian lain tentang tabel hayat dilakukan oleh Muller et al. (2004) yang meneliti tentang menyusun tabel hayat dan menduga fungsi survival dari individuindividu yang ditandai pada umur yang tidak diketahui. Penelitian ini dilakukan pada populasi binatang liar, dengan sampel yang diambil secara acak. Data untuk menyusun tabel hayat diperoleh dari data tanggal kelahiran subjek yang tidak diketahui. Model yang diperoleh merupakan titik awal yang dapat dikembangkan dalam bidang demografi. De Roos (2008) telah melakukan penelitian tentang analisis demografi dari perjalanan hidup dengan waktu kontinu. Pada penelitian ini dilakukan pendekatan komputasi untuk menghitung laju pertumbuhan penduduk dengan parameterparameter yang sangat sensitif
terhadap sebaran penduduk stabil dan
menghasilkan pertumbuhan penduduk yang eksponensial. Untuk menghitung laju
20
pertumbuhan penduduk,
metode yang digunakan adalah persamaan integral
Lotka. 2.2.1 Tabel Hayat Coale–Demeny
Berdasarkan karakteristik pola kematian pada penduduk di negara-negara Eropa, model tabel hayat diklasifikasikan menjadi 4 model yaitu model Timur (East model), model Utara (North model), model Selatan (South model) dan model Barat (West model), setiap model terdiri dari 24 level. Ke-4 model ini dipublikasikan oleh Coale & Demeny tahun 1966. Untuk menyusun tabel hayat Coale-Demeny diperlukan data tentang angka kematian bayi yang kemudian dibuat model angka harapan hidup. Berikut ini salah satu contoh tabel hayat model Barat pada negara Jepang tahun 2005 (Tabel 1). Tabel 1 Tabel hayat Jepang tahun 2005 Wanita x
lx
0 1 5 10 15 20
100000 99748 99658 99614 99576 99489
dx 252 34 11 7 12 26
25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 114
99338 99178 98966 98665 98232 97566 96549 95086 93077 90058 85054 76839 62965 42706 20840 6090 808 32 1
32 37 52 74 111 172 256 347 499 802 1338 2227 3586 4511 3740 1711 334 18 0
qx 0.00252 0.00034 0.00011 0.00007 0.00012 0.00026
Lx 99800 99730 99653 99611 99571 99476
Tx 8551573 8451773 8052997 7554824 7056838 6559144
e&x 85.52 84.73 80.81 75.84 70.87 65.93
0.00032 0.00037 0.00053 0.00075 0.00113 0.00176 0.00265 0.00364 0.00536 0.0089 0.01574 0.02898 0.05696 0.10563 0.17947 0.28088 0.41302 0.57053 0.70259
99322 99160 98940 98628 98177 97481 96423 94914 92831 89664 84396 75746 61193 40453 18938 5202 629 22 0
6062060 5565763 5070372 4576253 4083942 3594327 3108874 2629605 2158898 1700476 1261615 855184 502782 236336 78555 15470 1370 36 1
61.02 56.12 51.23 46.38 41.57 36.84 32.20 27.66 23.19 18.88 14.83 11.13 7.99 5.53 3.77 2.54 1.70 1.12 0.82
21
Keterangan kolom-kolom pada tabel di atas sebagai berikut: 1. x : umur-tepat penduduk 2. lx : banyaknya orang yang dapat bertahan hidup pada umur-tepat x 3. d x : banyaknya kematian antara umur x sampai x + 1 4. qx : peluang kematian pada umur x sebelum mencapai umur x +1 5. Lx : banyaknya penduduk umur x sampai x +1 6. Tx : total penduduk berumur x sampai akhir hayatnya 7. e&x : angka harapan hidup pada umur x Angka harapan hidup dibedakan atas pria dan wanita. Setelah diketahui angka harapan hidup penduduk dari suatu negara, dengan menggunakan tabel hayat
model Coale-Demeny dapat diketahui letak level tabel hayat tersebut,
kemudian dapat disusun tabel hayat. Tabel hayat model Timur (East model) berasal dari negara Austria, German (sebelum tahun 1900), Republik Federal German (setelah perang dunia ke-2), Italia Utara dan Pusat, Polandia dan Czechoslovakia. Pola tabel-tabel ini bila dibandingkan dengan pola yang mayoritas digunakan, terdapat penyimpangan. Ciri dari tabel hayat model Timur adalah tingginya angka kematian bayi dan peningkatan dengan cepat angka kematian setelah umur 50 tahun, bila digambar grafiknya berbentuk huruf U ( Coale & Demeny, 1983). Tabel hayat model Utara (North model) diamati berdasarkan tabel hayat Islandia (1941-1950), Norwegia (1856-1880 dan 1946-1955) dan Swedia (18511890). Ciri dari tabel hayat model Utara adalah angka kematian bayi rendah, pada anak angka kematiannya tinggi dan umur diatas 50 tahun angka kematian meningkat pada musim gugur, mungkin pola kematiannya karena endemic
tuberculosis. Model ini direkomendasikan pada negara yang memilki kejadian penyakit tuberculosis yang tinggi ( Coale & Demeny, 1983). Tabel hayat model Selatan (South model) berdasarkan tabel hayat Spanyol, Portugal, Italia, Italia Selatan dan daerah Sisilia dari tahun 1876 hingga tahun 1957. Ciri tabel hayat model Selatan adalah tingginya angka kematian di bawah
22
umur 5 tahun, umur 40 sampai 60 tahun angka kematiannya rendah tetapi tinggi untuk umur di atas 65 tahun ( Coale & Demeny, 1983). Tabel hayat model Barat (West model) disusun berdasarkan tabel hayat yang dikumpulkan dari negara-negara yang mempunyai tradisi pencatatan kelahiran dan kematian, sehingga mutu data statistik dikatakan memuaskan. Negara-negara yang tercakup oleh tabel hayat model Barat bukan hanya negara-negara Barat, tetapi juga negara di Timur Tengah (Israel), di
Timur (Jepang, Taiwan), di
Selatan (Afrika Selatan) dan Selandia Baru ( Coale & Demeny, 1983).
Gambar 1 Nilai qx pada model Timur, Utara, Selatan dan Barat ketika e& = 25, e& =50 dan e& =70. Pada Gambar 1 di atas dapat dilihat perbedaan angka kematian untuk tabel hayat model Timur, Utara, Selatan dan Barat, dengan nilai qx dikali 1000. Indonesia memperoleh data kependudukan dari sensus (setiap 10 tahun) dan survei (setiap 5 tahun), belum memiliki data statistik yang lengkap mengenai
23
kematian, dalam membuat tabel hayat menggunakan model Barat, demikian juga dengan provinsi Banten. 2.3 Teori Peluang
Definisi 2.3.1 ( Ruang Contoh dan Kejadian )
Himpunan semua kemungkinan dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh, dan dinotasikan dengan Ω. Suatu kejadian A adalah himpunan bagian dari ruang contoh Ω. (Grimmet & Stirzaker, 1992) Definisi 2.3.2 (Field F ) Suatu himpunan F yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian dari Ω disebut
field jika memenuhi syarat-syarat berikut: 1 jika A, B ∈ F maka A ∪ B ∈ F dan A ∩ B ∈ F 2 jika A ∈ F maka Ac ∈ F 3 Ø∈F (Grimmet & Stirzaker, 1992) Definisi 2.3.3 (Medan – σ)
Medan – σ adalah suatu himpunan F yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian dari Ω yang memenuhi syarat-syarat berikut: 1 Ø∈F 2 Jika A1 , A2 , ... ∈ F , maka
∞
UA
i
∈
F
i =1
3 Jika A ∈ F maka Ac ∈ F (Grimmet & Stirzaker, 1992) Definisi 2.3.4 ( Peubah Acak )
Suatu peubah acak
X
adalah suatu fungsi
X :Ω → R
dengan sifat
{ω ∈ Ω : X (ω ) ≤ x} ∈ F untuk setiap x ∈ R . F adalah suatu field (Grimmet & Stirzaker, 1992) Peubah acak dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya X, Y, Z. Sedangkan nilai peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil seperi x, y, z.
24
Definisi 2.3.5 (Fungsi Sebaran)
Fungsi sebaran dari suatu peubah acak X adalah suatu fungsi F : R → [0,1] yang diberikan oleh F ( x) = P( X ≤ x). (Grimmet & Stirzaker,1992)
Definisi 2.3.6 (Fungsi Kepekatan Peluang)
Fungsi kepekatan peluang adalah limit dari peluang suatu individu mengalami kejadian pada interval pendek t ke t + Δt persatuan panjang Δt , dan dapat diekspresikan sebagai,
P (t ≤ T < t + Δt ) Δt → 0 Δt
f (t ) = lim
(Cox & Oakes, 1984) Definisi 2.3.7 (Peubah Acak Kontinu)
Peubah acak X dikatakan kontinu jika fungsi sebarannya dapat dinyatakan sebagai x
F ( x) =
∫
f (u ) du
x ∈ R,
−∞
dengan f : R → [0, ∞) adalah fungsi yang terintegralkan. Fungsi f dikatakan fungsi kepekatan peluang dari peubah acak X . (Grimmet & Stirzaker, 1992) 2.4 Survival Definisi 2.4.1 (Data Survival)
Data Survival adalah data tentang pengamatan jangka waktu dari awal pengamatan sampai dengan terjadinya suatu peristiwa, peristiwa itu dapat berupa kematian, respon, timbul gejala dan lain-lain. (Lee, 1992) Definisi 2.4.2 (Fungsi Survival)
Fungsi Survival S(t) adalah fungsi yang menyatakan peluang seseorang dapat bertahan hidup hingga atau lebih dari waktu t. Rumus umum dari fungsi Survival didefinisikan sebagai berikut:
S (t ) = P (T ≥ t ) = 1 − F (t ) Dengan metode fungsi sebaran F (t ) didefinisikan sebagai berikut:
25
t
F (t ) = P(T ≤ t ) = ∫ f (u ) du 0
Peubah acak T mempunyai fungsi kepekatan peluang f(t) adalah − dS (t ) dt
f (t ) = Teorema 1
Jika fungsi Survival S dengan S (t ) = P (T ≥ t ) maka fungsi kepekatan peluang dari T adalah f dengan: − dS (t ) dt
f (t ) = Bukti: ∞
S (t ) = ∫ f ( x) dx t
t
karena
∫
−∞
∞
f ( x)dx + ∫ f ( x)dx = 1 t
t
maka
∫
f ( x)dx =1 − S (t )
−∞ t
d [ ∫ f ( x)dx] −∞
dt
f (t ) = −
=
d [1 − S (t )] dt
dS (t ) dt
terbukti. (Collet, 1994)
2.5 Metode Kemungkinan Maksimum
Metode kemungkinan maksimum merupakan salah satu metode pendugaan parameter yang menghasilkan nilai dugaan dengan memaksimumkan fungsi kemungkinan (likelihood). Misal X 1 ,..., X n adalah suatu contoh acak berukuran n yang ditarik dari suatu populasi diskret atau kontinu dengan fungsi kepekatan peluangnya f ( x;θ ) , maka fungsi kemungkinannya didefinisikan sebagai: n
L(θ ; X 1 ,..., X n ) = ∏ f ( X i ;θ ). i =1
26
yang merupakan fungsi kepekatan bersamanya. Untuk suatu fungsi kemungkinan
L(θ ) , θˆ merupakan penduga kemungkinan maksimum bagi θ (Serfling, 1980). Seringkali penduga θˆ diperoleh dengan menyelesaikan sistem persamaan fungsi kemungkinan, ∂ log L = 0, (i = 1,..., k ), ∂θi θ =θˆ Jika θˆ merupakan penduga kemungkinan maksimum bagi θ maka untuk sembarang fungsi g (θ ) penduga kemungkinan maksimum bagi g (θ ) adalah g (θˆ). 2.6 Koefisien Penentu (Determinasi)
Nilai koefisien penentu (determinasi) yang dilambangkan dengan R 2 menunjukkan sejauh mana peubah bebas (X) dapat menjelaskan keragaman di dalam peubah tak bebas (Y)(Agresti&Finlay, 1999). n
R2 = 1 −
∑ ( y − yˆ ) i =1 n
i
∑ ( y − y) i =1
2
i
2
dengan yi = aktual, yˆi = dugaan, dan y = rata-rata
i
2.7 Fungsi Sebaran 2.7.1 Sebaran Eksponensial
Sebaran eksponensial merupakan sebaran yang paling sederhana dan banyak digunakan dalam masalah bertahan hidup. Sebaran eksponensial hanya memiliki satu parameter yaitu λ , yang menunjukkan penskalaan. Fungsi kepekatan peluang dari sebaran eksponensial adalah f ( x ) = λ e − λ x . Dapat dibuktikan bahwa fungsi Survival sebaran eksponensial adalah S ( x) = e− λ x .
Bukti: x
x
0
0
Karena F ( x) = ∫ f (u )du , maka F ( x) = ∫ λ e − λu du S ( x) = 1 − F ( x)
27
x
= 1 − ∫ λ e − λu du 0
= 1 − e − λu
x 0
= 1 − (1 − e − λ x )
S ( x) = e− λ x
(Lee, 1992)
Pada Gambar 2 dapat dilihat kurva fungsi Survival sebaran eksponensial
λ = 0, 05 Sx 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2
20
Gambar 2
2.7.2
40
60
80
100
Umur x
Kurva fungsi Survival sebaran eksponensial pada saat λ = 0, 05 (mulus) dan λ = 0, 03 (putus-putus).
Sebaran Weibull
Sebaran Weibull merupakan bentuk umum dari sebaran eksponensial. Ciri dari sebaran Weibull adalah adanya 2 parameter yaitu γ dan λ . Nilai γ menunjukkan kemiringan kurva sebaran, sedangkan nilai λ menunjukkan penskalaan. Fungsi f ( x) = λγ
−λ
λ −1
x λ −( )
x e
adalah S ( x) = e
kepekatan peluang dari
γ
1 −( x)λ
γ
sebaran Weibull
adalah
. Dapat dibuktikan bahwa fungsi Survival sebaran Weibull
.
Bukti : x
x
0
0
Karena F ( x) = ∫ f (u )d (u ), maka F ( x) = ∫ λγ − λ u λ −1e
u − ( )λ
γ
du.
28
Misal S ( x) = e
1 −( x)λ
γ
− ( )λ λ u maka ds = − ( )λ −1 e γ du , γ γ u
Sehingga x
∫− 0
x λ u λ −1 − ( γ )λ ( ) e du = − ∫ ds γ γ 0 u
F ( x) = − s
x 0
= −e
1 − ( u )λ x
γ
0
= 1− e
1 − ( x )λ
γ
.
Jadi S ( x) = 1 − F ( x) = 1 −1 + e =e
1 − ( x )λ
γ
1 − ( x )λ
γ
.
(Lee, 1992)
Pada Gambar 3 dapat dilihat kurva fungsi Survival sebaran Weibull.
γ = 58 Sx 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2
20
40
60
80
100
Umur x
Gambar 3 Kurva fungsi Survival sebaran Weibull pada saat λ = 3 (mulus) dan λ = 1 (putus-putus).
2.7.3
Sebaran Log-normal Secara sederhana bentuk sebaran log-normal dapat didefinisikan sebagai
sebaran suatu peubah dalam bentuk logaritma yang menyebar normal. Sebaran log-normal memiliki 2 parameter yaitu μ dan σ , dengan μ menunjukkan rata-
29
rata, σ menunjukkan simpangan baku dari ln (X). Fungsi kepekatan peluang dari sebaran log-normal adalah f ( x) =
1
2
xσ 2π
e −[ln( x ) − μ ]/(2σ ) , dengan fungsi sebaran
⎛ ln( x) − μ ⎞ kumulatif F ( x) = Φ ⎜ ⎟ , maka fungsi Survival sebaran log-normal adalah σ ⎝ ⎠ ⎛ ln( x) − μ ⎞ S ( x) = 1 − Φ ⎜ ⎟ , dimana Φ adalah fungsi kumulatif dari sebaran normal σ ⎝ ⎠ baku.(http://id.wikipedia.org). Log[ x ]− μ
S ( x) = 1 −
σ
∫ 0
2 2 1 e − ( t − μ ) /(2σ ) dt . Pada Gambar 4 dapat dilihat kurva fungsi σ 2π
Survival sebaran log-normal.
μ = 3,95 Sx 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2
20
40
60
80
100
Umur x
Gambar 4 Kurva fungsi Survival sebaran log-normal pada saat σ = 0,35 (mulus) dan σ = 1 (putus-putus). 2.7.4
Sebaran Log-logistik
Sebaran log-logistik memiliki 2 parameter θ dan k . Fungsi kepekatan peluangnya adalah f ( x) =
eθ kx k −1 . (1 + eθ x k ) 2
Fungsi sebarannya adalah
F ( x) = ∫
eθ ky k −1 dy (1 + eθ y k ) 2 0 x
Misal u = 1 + eθ y k du = keθ y k −1dy du dy = θ k −1 ke y
30
eθ ky k −1 dy (1 + eθ y k ) 2 0 x
maka F ( x) = ∫
eθ ky k u 2
x
=
∫ 0
x
=
∫
u
−2
−1
du ke y θ
k −1
du
0
= − (1 + e θ y = −
1
= 1 − =
F ( x) =
jadi
1 + 1
k
) −1
x 0
1 + 1 + eθ x k 1 1 + eθ x k eθ x k − 1 + eθ x k
eθ x k . 1 + eθ x k
Fungsi Survival dari sebaran log-logistik adalah S ( x) = 1 − F ( x) S ( x) = 1 −
eθ x k 1 + eθ x k
=
1 + eθ x k − eθ x k 1 + eθ x k
=
1 1 + eθ x k
(Nurmaulidah, 2007)
Pada Gambar 5 dapat dilihat kurva fungsi Survival sebaran log-logistik.
θ = −10 Sx 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2
20
40
60
80
100
Umur x
Gambar 5 Kurva fungsi Survival sebaran log-logistik pada saat σ = 3 (mulus) dan σ = 2,5 (putus-putus).
31
2.7.5 Sebaran Gompertz
Sebaran Gompertz memiliki 2 parameter λ peluangnya adalah f ( x) = e x
1 ( λ +γ x ) − ( eλ +γ x − eλ )
γ
Fungsi sebarannya F ( x) = ∫ e
dan γ . Fungsi kepekatan
.
1 ( λ + γ t ) − ( eλ +γ t − eλ )
γ
dt
0
= 1− e Fungsi
Survival
S ( x) = e
−
dari
−
eλ ( −1+ eγ x )
γ
sebaran
Gompertz
adalah
S ( x) = 1 − F ( x) ,
eλ ( −1+ eγ x )
γ
. Pada Gambar 6 dapat dilihat kurva fungsi Survival sebaran
Gompertz.
λ = −3,12 Sx 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2
20
40
60
80
100
Umur x
Gambar 6 Kurva fungsi Survival sebaran Gompertz pada saat γ = 0, 001 (mulus) dan γ = 0, 02 (putus-putus). 2.8
Pendugaan Parameter
Pendugaan parameter dilakukan terhadap sebaran eksponensial, Weibull, log-normal,
log-logistik
dan
Gompertz
dengan
menggunakan
metode
kemungkinan maksimum (Maximum Likelihood). 2.8.1
Metode Kemungkinan Maksimum Sebaran Eksponensial
Sebaran eksponensial memiliki fungsi kepekatan peluang f ( x ) = λ e − λ x . Berikut ini tahapan pendugaan parameter.
32
1) L(λ )
n
= ∏ f ( Xi λ) i =1
=e
(−
n
∑ Xi )λ i =1
(λ ) n n
2) Log L(λ ) = n log[λ ] − λ ∑ X i i =1
Untuk memperoleh nilai penduga λ yang memaksimumkan fungsi loglikelihood maka turunan pertama dari L(λ ) terhadap λ harus sama dengan 0 sehingga 3)
∂ log L(λ ) n n = − ∑ Xi = 0 ∂λ λ i =1 n n ⇔ = ∑ Xi
λ
i =1
⇔λ=
n n
∑X i =1
Jadi λˆ =
n n
∑X i =1
2.8.2
i
i
Metode Kemungkinan Maksimum Sebaran Weibull Sebaran
Weibull
memiliki
fungsi
kepekatan
peluang
γ
f ( x) = λγ (λ x)γ −1 e − ( λ x ) . Berikut ini tahapan pendugaan parameter.
1) L(λ , γ )
n
= ∏ f ( X i λ, γ ) i =1
=e
⎛ ⎜ ⎜ −⎜ ⎜ ⎜ ⎝
⎞
n
∑ X i ⎟⎟ i =1
γ
⎟ ⎟ ⎟ ⎠
λ
( X i )λ −1 (γ − nλ )(λ ) n n
n
i =1
i =1
2) Log L(λ , γ ) = −nλ log[γ ] + n log[λ ] − ∑ log[ X i ] + λ ∑ log[ X i ] − n
γ − λ ∑ log[ X i ]X iλ i =1
Untuk memperoleh nilai penduga λ dan γ yang memaksimumkan fungsi log-likelihood maka turunan pertama dari L(λ , γ ) terhadap γ dan L(λ , γ ) terhadap λ harus sama dengan 0, sehingga :
33
3)
n ∂ log L(λ , γ ) nλ =− + γ −1−λ λ ∑ X i λ = 0 ∂γ γ i =1
1
⇔ nλ = ⇔
1
γ
γ
λ ∑ X iλ i =1
nλ
=
λ
n
λ
n
λ ∑ X iλ i =1
n
∑X λ
⇔γλ =
i
i =1
n
⎛ n λ ⎜ ∑ Xi ⇔ γ = ⎜ i =1 ⎜ n ⎜ ⎝ ⎛ n λˆ ⎜ ∑ Xi Jadi γˆ = ⎜ i =1 ⎜ n ⎜ ⎝ 4)
1
⎞λ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
1
⎞ λˆ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
n n ∂ log L(λ , γ ) n = − n log[γ ] + ∑ log[ X i ] +γ − λ log[γ ]∑ X i λ − ∂λ λ i =1 i =1 n
γ − λ ∑ log[ X i ] X i λ = 0 i =1
Hasil turunan parsial
∂ log L(λ , γ ) =0 tidak dapat disajikan dalam bentuk ∂λ
analitik/eksak, sehingga λˆ tidak dapat diperoleh secara eksplisit, dengan bantuan software Mathematica 6.0 diperoleh hasil secara numerik.
2.8.3
Metode Kemungkinan Maksimum Sebaran Log-normal Sebaran
f ( x) =
1 xσ 2π
log-normal ⎡ − (ln( x ) − μ ) 2 /(2σ 2 ) ⎤ ⎦
e⎣
memiliki
fungsi
kepekatan
peluang
. Berikut ini tahapan pendugaan parameter.
34
n
= ∏ f ( X i μ ,σ )
1) L( μ , σ )
i =1
n ⎛ ⎞ ⎜ ( − μ + log[ X i ]) 2 ⎟ ⎜ ⎟ i =1 −⎜ ⎟ 2σ 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
∑
e
=
n
n
( 2π ) n ∑ X iσ n i =1
2) Log L( μ , σ ) = −
n
n
i =1
i =1
n( μ 2 + σ 2 log[2π ] + 2σ 2 log[σ ]) − 2μ ∑ log[ X i ] + 2σ 2 ∑ log[ X i ] 2σ 2 2
n
−
∑ log[ X i ] i =1
2σ 2
Untuk memperoleh nilai penduga μ dan σ yang memaksimumkan fungsi loglikelihood maka turunan pertama dari L( μ , σ ) terhadap μ dan L(λ , γ ) terhadap
σ harus sama dengan 0, sehingga : n
3)
2nμ − 2∑ log[ X i ]
∂ log L( μ , σ ) =− ∂μ
i =1
2σ 2
=0
n
⇔ nμ = ∑ log[ X i ] i =1
n
⇔u=
∑ log[ X ] i
i =1
n
n
Jadi uˆ =
∑ log[ X ] i
i =1
n
.
n
Dengan
σˆ =
menyubstitusi
n
n
i =1
i =1
uˆ =
−(∑ log[ X i ]) 2 + n∑ log[ X i ]2 n
∑ log[ X ] i
i =1
n
ke
∂ log L(μ,σ ) diperoleh ∂σ
35
Metode Kemungkinan Maksimum Sebaran Log-logistik
2.8.4
Sebaran f ( x) =
log-logistik
memiliki
fungsi
kepekatan
peluang
eθ kx k −1 . Berikut ini tahapan pendugaan parameter. (1 + eθ x k ) 2
1) L(θ , κ )
n
= ∏ f ( X i θ ,κ ) i =1
n
=
e nθ κ n ∑ X i −1+κ θ
(1 + e
i =1 n
∑X κ) i =1
2
i
n
n
n
i =1
i =1
i =1
2) Log L(θ , κ ) = nθ + n Log[κ ] − ∑ Log[ X i ] + κ ∑ Log[ X i ] − 2∑ Log[1 + eθ X iκ ]
3)
n eθ X iκ ∂ log L(θ , κ ) = n − 2∑ =0 θ κ ∂θ i =1 1 + e X i
Hasil turunan parsial
∂ log L(θ , κ ) =0 tidak dapat disajikan dalam bentuk ∂θ
analitik/eksak, sehingga θˆ tidak dapat diperoleh secara eksplisit, dengan bantuan software Mathematica 6.0 diperoleh hasil secara numerik.
4)
n eθ Log[X i ] X iκ ∂ log L(θ , κ ) n n = + ∑ Log[X i ] − 2∑ =0 ∂κ κ i =1 1 + eθ X iκ i =1
∂ log L(θ , κ ) =0 tidak dapat disajikan dalam bentuk Hasil turunan parsial ∂κ
analitik/eksak, sehingga κˆ tidak dapat diperoleh secara eksplisit, dengan bantuan software Mathematica 6.0 diperoleh hasil secara numerik.
2.8.5
Metode Kemungkinan Maksimum Sebaran Gompertz Sebaran
f ( x) = e
Gompertz
1 ( λ +γ x ) − ( eλ +γ x − eλ )
γ
memiliki
fungsi
kepekatan
. Berikut ini tahapan pendugaan parameter.
peluang
36
1) L(λ , γ )
n
= ∏ f ( X i λ,γ ) i =1
n ∑ X iγ + λ
=e
−
− neλ + ei =1
+
γ
n
∑ X iγ + nλ i =1
n
2) Log L(λ , γ ) =
eλ n
γ
+
nγ − ∑ eλ +γ X i i =1
γ
n
3)
∂ log L(λ , γ ) eλ n = + ∂λ γ
nγ − ∑ eλ +γ X i i =1
γ
=0
∂ log L(λ , γ ) =0 Hasil turunan parsial tidak dapat disajikan dalam bentuk ∂λ analitik/eksak, sehingga λˆ tidak dapat diperoleh secara eksplisit, dengan bantuan software Mathematica 6.0 diperoleh hasil secara numerik. ∂ log L(λ , γ ) −e λ n =− 2 − 4) ∂γ γ
n
n
i =1
i =1
nγλ − ∑ eλ +γ X i + γ 2 ∑ X i
γ2 n
+
n
nλ + 2γ ∑ X i − ∑ eλ +γ X i X i i =1
i =1
γ
=0
∂ log L(λ , γ ) =0 ∂γ tidak dapat disajikan dalam bentuk Hasil turunan parsial analitik/eksak, sehingga γˆ tidak dapat diperoleh secara eksplisit, dengan bantuan software Mathematica 6.0 diperoleh hasil secara numerik.
37
BAB III METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Sumber Data
Penelitian ini menggunakan dua jenis data, yaitu: 1 Data hipotetik. 2 Data Survival Banten (data tabel hayat Banten tahun 2005). Data hipotetik digunakan untuk melakukan pendugaan parameter beberapa fungsi Survival. Sedangkan untuk aplikasi model digunakan data Survival Banten. 3.2 Langah-langkah Penelitian
1 Membangkitkan data hipotetik dengan menggunakan lima fungsi sebaran, kemudian melakukan pendugaan parameter dengan menggunakan metode Maximum Likelihood terhadap sebaran-sebaran eksponensial, Weibull, lognormal, log-logistik dan Gompertz, dibantu software Mathematica 6.0. 2 Dengan menggunakan data Survival Banten dan metode Maximum Likelihood, dilakukan pendugaan parameter terhadap sebaran eksponensial, Weibull, lognormal, log-logistik dan Gompertz, dibantu software Mathematica 6.0 untuk memperoleh model fungsi Survival Banten. 3 Untuk menguji kesesuaian data dan model dilakukan uji R 2 (koefisien determinasi).
38
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN
Dalam bab ini disajikan hasil utama dari penelitian, yang terdiri atas bagian utama, yaitu hasil pendugaan parameter dan pengujian model dengan menggunakan koefisien determinasi R 2 . Pendugaan parameter dengan
menggunakan metode kemungkinan
maksimum (Maximum likelihood) terhadap fungsi kepekatan peluang terhadap sebaran - sebaran eksponensial, Weibull , log-normal, log-logistik dan Gompertz dengan bantuan software Mathematica 6.0. 4.1 Pendugaan Parameter Fungsi Survival 4.1.1
Pendugaan Parameter Fungsi Survival Sebaran Eksponensial
Dengan menggunakan data hipotetik yang dibangkitkan berdasarkan parameter λ = 0,05 + RandomReal [{-0,007 , 0,007}], menghasilkan nilai penduga
parameter
λ = 0,052, sehingga persamaan fungsi Survival pada
sebaran eksponensial adalah S ( x) = e −0,052 x , seperti terlihat pada Gambar 7 di bawah ini. S ( x) = e −0,052 x
R 2 = 0,990
Sx 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2
20
40
60
______Nilai Dugaan
80
100
Umur x
....... Nilai Sebenarnya
Gambar 7 Kurva fungsi Survival sebaran eksponensial.
39
4.1.2 Pendugaan Parameter Fungsi Survival Sebaran Weibull
Dengan menggunakan data hipotetik yang dibangkitkan berdasarkan parameter λ = 1,5 + RandomReal [{-0,2 , 0,2}] dan γ = 30 + RandomReal [{-2 , 2}], menghasilkan nilai-nilai penduga parameter
λ = 1,50 dan γ = 31,32
sehingga
sebaran
S ( x) = e
−(
persamaan 1 x )1,5 31,32
fungsi
Survival
pada
Weibull
adalah
, seperti terlihat pada Gambar 8 di bawah ini. S ( x) = e
−(
1 x )1,5 31,32
R 2 = 0,996
Sx 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2
20
40
60
_____ Nilai Dugaan
80
100
Umur x
....... Nilai Sebenarnya
Gambar 8 Kurva fungsi Survival sebaran Weibull. 4.1.3
Pendugaan Parameter Fungsi Survival Sebaran Log-normal
Dengan menggunakan data hipotetik yang dibangkitkan berdasarkan parameter μ = 4 + RandomReal [{-0,1 , 0,1}] dan σ = 0,2 + RandomReal [{-0,02 , 0,02}], menghasilkan nilai-nilai penduga parameter μ = 4,00 dan σ = 0,202, sehingga
persamaan Log[ x ]− 4 0,2
S ( x) = 1 −
∫ 0
bawah ini.
1 0, 2 2π
fungsi e − ( t − 4)
2
Survival /(2(0,2)2 )
pada
dt , seperti
sebaran
log-normal
adalah:
terlihat pada Gambar 9 di
40
Log[ x ]− 4 0,2
∫
S ( x) = 1 −
0
1 0, 2 2π
e− ( t − 4)
2
/(2(0,2) 2 )
dt
R 2 = 0,985
Sx 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2
20
40
_____ Nilai Dugaan
60
80
100
Umur x
....... Nilai Sebenarnya
Gam bar 9 Kurva fungsi Survival sebaran log-normal. 4.1.4 Pendugaaan Parameter Fungsi Survival Sebaran Log-logistik
Dengan menggunakan data hipotetik yang dibangkitkan berdasarkan parameter θ = -10 + RandomReal [{-0,4 , 0,4}] dan κ = 3 + RandomReal [{-0,05 , 0,05}] pada
sebaran log-logistik menghasilkan nilai-nilai penduga parameter
θ = -10,27 dan k = 3,07, sehingga persamaan fungsi Survival pada sebaran loglogistik adalah S ( x) =
1 1+ e
−10,27 3,07
x
S ( x) =
, seperti terlihat pada Gambar 10 di bawah ini.
1
R 2 = 0,992
1 + e−10,27 x3,07
Sx 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2
20
40
_____ Nilai Dugaan
60
80
100
Umur x
....... Nilai Sebenarnya
Gambar 10 Kurva fungsi Survival sebaran log-logistik.
41
4.1.5
Pendugaan Parameter Fungsi Survival Sebaran Gompertz
Dengan menggunakan data hipotetik yang dibangkitkan berdasarkan parameter λ = -3 + RandomReal [{-0,6 , 0,6}] dan γ = -0,01 + RandomReal [{0,001 , 0,001}]. Pendugaan parameter fungsi Survival pada sebaran Gompertz menghasilkan nilai-nilai penduga parameter λ = -2,56 dan γ = -0,003 sehingga persamaan S ( x) = e
−
e
fungsi
−2,56
− 0,003 x
( −1+ e −0,003
pada
Survival
sebaran
Gompertz
adalah
)
, seperti terlihat pada Gambar 11 di bawah ini.
S ( x) = e
−
e−2,56 ( −1+ e− 0,003 x ) −0,003
R 2 = 0,959
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
20 _____ Nilai Dugaan40
60 80 ....... Nilai Sebenarnya
0
100
Gambar 11 Kurva fungsi Survival sebaran Gompertz. Berdasarkan hasil pendugaan parameter dari beberapa sebaran fungsi Survival di atas, pada Tabel 2 dapat dilihat nilai koefisien penentu (determinasi) yang dilambangkan dengan R 2 masing-masing fungsi Survival. Tabel 2 Perbandingan nilai R 2 fungsi Survival sebaran eksponensial
R2 Nilai
Weibull
log-normal
log-logistik
Gompertz
0,996
0,985
0,992
0,959
0,990
R 2 dinilai baik jika mendekati 1
42
Berdasarkan hasil di atas dapat dinyatakan bahwa jika kita melakukan pendugaan parameter dengan menggunakan metode Maximum Likelihood, dengan memilih sebaran yang tepat, akan diperoleh hasil dugaan yang sangat baik. Oleh karena itu hal yang paling penting dalam pemilihan model adalah memperhatikan bentuk sebaran dari data yang digunakan. 4.2 Pendugaan Parameter Fungsi Survival Banten
Dengan mengaplikasikan hasil penelitian tentang pendugaan parameter pada sebaran-sebaran di atas, maka dilakukan pendugaan parameter fungsi Survival Banten dengan menggunakan metode Maximum Likelihood terhadap data Survival Banten tahun 2005. Pendugaan parameter fungsi Survival
Banten
dilakukan dengan
menggunakan sebaran Weibull, log-normal dan log-logistik. Sebaran eksponensial dan Gompertz tidak digunakan dalam pendugaan parameter karena bentuk kurva seperti terlihat pada Gambar 7 dan 11 di atas, yang sangat berbeda dengan bentuk kurva data Survival Banten (Gambar 15). 4.2.1 Tabel Hayat Provinsi Banten
Tabel hayat provinsi Banten bentuk diskret disusun dengan menggunakan model Brass. Berdasarkan data SUPAS tahun 2005 angka harapan hidup laki-laki provinsi Banten 65,4 dan wanita 69,3 yang terletak diantara level 20 dan 21 pada tabel hayat model Barat Coale-Demeny. Hasil interpolasi angka harapan hidup laki-laki terletak pada level 20,74 dan wanita 20,72. Pada tabel hayat model Barat Coale-Demeny nilai α dan β dibedakan atas umur 0 sampai 15 tahun dan umur lebih dari 15 tahun. Hasil interpolasi nilai α laki-laki usia 0 sampai 15 adalah -0,7976 dan nilai β adalah 0,6287, sedangkan hasil interpolasi nilai α
wanita
usia 0 sampai 15 tahun
adalah
-0,9194,
untuk umur lebih dari 15 tahun hasil interpolasi nilai α laki-laki adalah
-
0,41896 dan β adalah 1,2169, sedangkan untuk umur lebih dari 15 tahun nilai α wanita adalah -0,4172 dan nilai β adalah 1,2154.
43
⎡ l (0) − l ( x) ⎤ Rumus nilai λ level 16 adalah λ = 0.5ln ⎢ ⎥ . Nilai lx diperoleh dengan ⎣ l ( x) ⎦ menggunakan rumus l( x ) =
l
1+ e
(0) (2(α + ( βλ )))
. Pada Gambar 12 di bawah ini
ditampilkan gambar kurva lx laki-laki. lx (Laki-Laki) 120000 100000
lx
80000 60000
lx (Laki-Laki)
40000 20000 0 1
13 25 37
49 61 73 85 97
Um ur(x)
Gambar 12 Kurva lx penduduk laki-laki. Kurva lx wanita ditampilkan pada Gambar 13 di bawah ini: lx (Wanita) 120000 100000
lx
80000 60000
lx (Wanita)
40000 20000 0 1
13 25 37 49 61 73 85 97 Um ur(x)
Gambar 13 Kurva lx penduduk wanita.
44
Perbedaan banyaknya penduduk laki-laki dan wanita yang bertahan hidup di provinsi Banten dapat dilihat pada Gambar 14 di bawah ini. Perbandingan Kurva lx 120000 100000 lx
80000
lx (Wanita)
60000
lx (Laki-Laki)
40000 20000 0 1
16 31 46 61 76 91 Umur(x)
Gambar 14 Kurva lx penduduk laki-laki dan wanita. Pada Gambar 14 dapat dilihat banyaknya penduduk wanita yang bertahan hidup lebih tinggi dari laki-laki karena pada angka harapan hidup wanita lebih tinggi dari laki-laki. Berdasarkan Gambar 14 untuk umur 0 sampai 40 tahun antara penduduk laki-laki dan wanita banyaknya yang bertahan hidup masih relatif sama, setelah umur 40 tahun penduduk laki-laki mulai terlihat tidak dapat bertahan hidup dan yang dapat bertahan hidup semakin menurun sampai mendekati 0 pada umur 100 tahun. Tabel hayat Banten 2005 diperoleh dari gabungan tabel hayat laki-laki dan wanita Banten seperti pada Gambar 15 berikut. lx Banten 120000 100000 lx
80000 lx Banten
60000 40000 20000 0 1
16
31 46
61
Umur (x)
Gambar 15 Kurva lx penduduk Banten.
76 91
45
4.2.2
Pendugaan Parameter Fungsi Survival Sebaran Weibull
Hasil pendugaan parameter pada data Survival
Banten dengan
menggunakan sebaran Weibull dapat dilihat pada Gambar 16.
S ( x) = e
−(
1 x )4 75,04
R 2 = 0,958
Sx 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2
20
40
60
_____ Nilai Dugaan
80
100
Umur x
....... Data Banten
Gambar 16 Kurva fungsi Survival Banten dengan menggunakan sebaran Weibull (kurva mulus). 4.2.3
Pendugaan Parameter Fungsi Survival Sebaran Log-normal
Hasil pendugaan parameter pada data Survival
Banten dengan
menggunakan sebaran log-normal dapat dilihat pada Gambar 17. Log[ x ]− 4,11 0,29
S ( x) = 1 −
∫ 0
2 2 1 e− (t −4,11) /(2(0,29) ) dt 0, 29 2π
R 2 = 0,852
Sx 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2
20
40
_____ Nilai Dugaan
60
80
100
Umur x
....... Data Banten
Gambar 17 Kurva fungsi Survival Banten dengan menggunakan sebaran lognormal (kurva mulus).
46
4.2.4
Pendugaan Parameter Fungsi Survival Sebaran Log-logistik
Hasil pendugaan parameter pada data Survival
Banten dengan
menggunakan sebaran log-logistik seperti terlihat pada Gambar 18. S ( x) =
1 1+ e
R 2 = 0,870
−15,03 3,58
x
Sx 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2
20
40
_____ Nilai Dugaan
60
80
100
Umur x
....... Data Banten
Gambar 18 Kurva fungsi Survival Banten dengan menggunakan sebaran loglogistik (kurva mulus). Berdasarkan hasil pendugaan parameter dari sebaran di atas, pada Tabel 3 dapat dilihat perbedaan nilai koefisien penentu (determinasi) yang dilambangkan dengan R 2 pada masing-masing fungsi Survival Banten. Tabel 3 Perbandingan nilai R 2 fungsi Survival Banten Sebaran R2
Weibull 0,958
log-normal 0,852
log-logistik 0,870
Dari Tabel 3 terlihat nilai R 2 yang tinggi terdapat pada fungsi Survival sebaran Weibull. Berdasarkan hal tersebut fungsi Survival Banten dapat di dekati sebaran Weibull dengan persamaan fungsi Survival S ( x) = e
−(
1 x )4 75,04
.
4.3 Model Tabel Hayat Kontinu Rachmadani
Rachmadani (2006) telah melakukan penelitian untuk menyusun tabel hayat dengan menggunakan pendekatan kontinu dengan menganalisis data tentang laju kematian ( μ ( x) ). Model yang diperoleh adalah S ( x) = e( −0,0157 e
0,051 x
+ 0,0157)
.
47
Dengan menggunakan data Survival Banten tahun 2005 pada model Rachmadani 2
dan model fungsi Survival Weibull, diperoleh nilai R = 0,942 untuk model Rachmadani, sedangkan untuk model fungsi Survival Weibull diperoleh nilai R 2 = 0,958 . Nilai R 2 model fungsi Survival Weibull lebih tinggi dari model Rachmadani, yang menunjukkan model fungsi Survival Weibull lebih baik dalam pengepaskan data Survival Banten (lihat Gambar 19). Perbandingan Kurva S(x) 1.2 1 0.8 S(x)
S(x) Data 0.6
S(x) Weibull S(x) Kontinu R
0.4 0.2 0 1
8
15 22 29 36 43 50 57 64 71 78 85 92 99 Umur (x)
Gambar 19 Perbandingan kurva fungsi Survival model Rachmadani dan Weibull.
48
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN 5.1 Kesimpulan
Berdasarkan hasil pendugaan parameter dan hasil penghitungan R 2 terhadap sebaran eksponensial, Weibull, log-normal, log-logistik dan Gompertz maka dapat disimpulkan bahwa : 1 Metode Maximum Likelihood dapat digunakan untuk melakukan pendugaan parameter dengan baik terhadap fungsi Survival bila dapat memilih fungsi sebaran yang tepat. 2 Model life table dapat didekati dengan model kontinu, yaitu dengan menggunakan sebaran Weibull, log-normal dan log-logistik. 3 Berdasarkan metode Maximum Likelihood dengan menggunakan data Survival Banten, sebaran Weibull merupakan sebaran yang terbaik dibandingkan dengan empat sebaran lainnya. 5.2 Saran
Perlu dikembangkan fungsi Survival lain yang lebih representatif dalam menggambarkan perilaku data.
49
DAFTAR PUSTAKA Agresti A, Barbara, F. 1986. Statistical Methods for the Social Sciences. Ed. Ke-2. California. D. ellen Publishing Company. Brown, R.L.1997. Introduction to the Mathematics of Demography. Ed ke-3. Winsted: Actec Publications. Barendregt, J.J, Oortmarssen, G.V, Van Hout, B, Van Den Bosch, J.M. 1998. Coping With Multiple Morbidity In a Life Table. Mathematical Population Studies 7(1): 29 – 49. Coale A.J , Paul, D. 1983. Regional Model Life Tables and Stable Population. Ed ke-2. New York: Academic Press. Cox D.R, Oakes. 1984. Analysis of Survival Data. Cambridge: University Press. De Roos, A.M. 2008. Demographic analysis of continuous-time life-history models. Ecology Letters 11: 1 – 15. Grimmett G.R, Stirzaker, D.R. 1992. Probability and Random Processes. Ed ke-2. Clarendon Press. Oxford. Lee, E.T. 1992. Statistical Methods for Survival Data Analysis. Ed ke-2. New York: A Wiley Interscience Publication. Muller, H.G et al. 2004. Demographic window to aging in the wild: constructing life tables and estimating survival functions from marked individuals of known age. J Aging Cell. Vol 3. pp 125 – 131. Nurmaulidah. 2007. Model dan Analisis Data Survival Menggunakan Sebaran Log-Logistik. Skripsi. Departemen Matematika FMIPA-IPB. Pollard, A.H, Yusuf Farhat, Pollard, G.N.1982. Teknik Demografi. Munir Rozy, Budiarto, penerjemah, Jakarta: Bina Aksara. Terjemahan dari: Demographic Techniques. Rachmadani, N. 2006. Penyusunan Tabel Hayat. Skripsi. Departemen Matematika FMIPA-IPB. Serfling, R.J. 1980. Approximation Theorems of Mathematical Statistics. New York: John Wiley and Sons. Shavelle, Strauss, D. 1999. A Long Period Multistate Life Table Using Micro Data. Mathematical Population Studies 7(2): 161 – 177.
50
United Nations. 1983. Manual X Indirect Techniques for Demographic Estimation. New York. www.mhlw.gojp/english/database/db-hw/lifetb2oth/dl/data.pdf-[15 Juni 2008]
51
LAMPIRAN
52
Lampiran 1 Tabel hayat Banten tahun 2005 TABEL HAYAT BANTEN 2005
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
Wanita lx 100000 96714 96257 96029 95869 95735 95633 95557 95504 95469 95448 95441 95437 95431 95415 95385 95300 95198 95079 94948 94806 94664 94514 94357 94194 94024 93851 93672 93487 93296
dx
3286 457 228 160 134 102 76 53 35 21 7 4 6 16 30 85 102 119 131 142 142 150 157 163 170 173 179 185 191 198
Lx
98357 96486 96143 95949 95802 95684 95595 95531 95487 95459 95445 95439 95434 95423 95400 95343 95249 95139 95014 94877 94735 94589 94436 94276 94109 93938 93762 93580 93392 93197
TABEL HAYAT BANTEN 2005 Tx
6878296 6779939 6683453 6587310 6491361 6395559 6299875 6204280 6108750 6013263 5917805 5822360 5726921 5631487 5536064 5440664 5345322 5250073 5154934 5059921 4965044 4870309 4775720 4681284 4587009 4492900 4398962 4305201 4211621 4118230
e&x
69 70 69 69 68 67 66 65 64 63 62 61 60 59 58 57 56 55 54 53 52 51 51 50 49 48 47 46 45 44
Laki-laki lx x 0 100000 1 95178 2 95046 3 94979 4 94927 5 94890 6 94851 7 94811 8 94772 9 94735 10 94701 11 94698 12 94693 13 94683 14 94661 15 94623 16 94533 17 94424 18 94296 19 94153 20 93996 21 93830 22 93654 23 93469 24 93277 25 93079 26 92886 27 92688 28 92484 29 92275
dx
4822 132 67 52 37 39 40 39 37 34 3 5 10 22 38 90 109 128 143 157 166 176 185 192 198 193 198 204 209 216
Lx
97589 95112 95013 94953 94909 94871 94831 94792 94754 94718 94700 94696 94688 94672 94642 94578 94479 94360 94225 94075 93913 93742 93562 93373 93178 92983 92787 92586 92380 92167
Tx
6547436 6449847 6354735 6259723 6164770 6069861 5974991 5880160 5785368 5690615 5595897 5501197 5406502 5311814 5217142 5122500 5027922 4933443 4839083 4744859 4650784 4556871 4463129 4369568 4276195 4183017 4090034 3997247 3904661 3812282
e&x
65 68 67 66 65 64 63 62 61 60 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50 49 49 48 47 46 45 44 43 42 41
53
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65
93098 92894 92683 92465 92239 92006 91765 91516 91257 90989 90711 90425 90128 89818 89494 89154 88806 88439 88047 87630 87182 86700 86181 85623 85022 84375 83702 82971 82175 81303 80348 79300 78152 76894 75519 74018
204 211 218 226 233 241 249 259 268 278 286 297 310 324 340 348 367 392 417 448 482 519 558 601 647 673 731 796 872 955 1048 1148 1258 1375 1501 1617
92996 92789 92574 92352 92123 91886 91641 91387 91123 90850 90568 90277 89973 89656 89324 88980 88623 88243 87839 87406 86941 86441 85902 85323 84699 84039 83337 82573 81739 80826 79824 78726 77523 76207 74769 73210
4025033 3932037 3839248 3746674 3654322 3562200 3470314 3378674 3287287 3196164 3105314 3014746 2924470 2834497 2744841 2655517 2566537 2477914 2389671 2301833 2214427 2127486 2041045 1955143 1869821 1785122 1701084 1617747 1535174 1453435 1372610 1292786 1214060 1136537 1060330 985562
43 42 41 41 40 39 38 37 36 35 34 33 32 32 31 30 29 28 27 26 25 25 24 23 22 21 20 19 19 18 17 16 16 15 14 13
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65
92059 91838 91608 91369 91121 90861 90592 90309 90011 89696 89364 89014 88642 88247 87828 87381 86914 86414 85878 85301 84680 84013 83293 82516 81678 80774 79816 78779 77656 76437 75114 73671 72110 70423 68606 66650
221 230 239 248 260 269 283 298 315 332 350 372 395 419 447 467 500 536 577 621 667 720 777 838 904 958 1037 1123 1219 1323 1443 1561 1687 1817 1956 2115
91949 91723 91489 91245 90991 90727 90451 90160 89854 89530 89189 88828 88445 88038 87605 87148 86664 86146 85590 84991 84347 83653 82905 82097 81226 80295 79298 78218 77047 75776 74393 72891 71267 69515 67628 65593
3720115 3628166 3536443 3444955 3353710 3262719 3171992 3081542 2991382 2901528 2811998 2722809 2633981 2545537 2457499 2369895 2282747 2196083 2109937 2024348 1939357 1855011 1771358 1688453 1606356 1525130 1444835 1365538 1287320 1210274 1134498 1060106 987215 915949 846434 778806
40 40 39 38 37 36 35 34 33 32 31 31 30 29 28 27 26 25 25 24 23 22 21 20 20 19 18 17 17 16 15 14 14 13 12 12
54
66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
72401 70637 68711 66612 64325 61762 59004 56058 52928 49621 45988 42228 38385 34503 30626 26766 23008 19404 16008 12871 10272 7982 5995 4309 2918 1958 1253 761 443 260 173 144 132 99 5
1764 1926 2099 2287 2563 2758 2946 3130 3307 3633 3760 3843 3882 3877 3860 3758 3604 3396 3137 2599 2290 1987 1686 1391 960 705 492 318 183 87 29 12 33 94 5
71519 69674 67662 65469 63044 60383 57531 54493 51275 47805 44108 40307 36444 32565 28696 24887 21206 17706 14440 11572 9127 6989 5152 3614 2438 1606 1007 602 352 217 159 138 116 52 3
912352 840833 771159 703498 638029 574986 514603 457072 402579 351304 303500 259392 219085 182641 150077 121381 96494 75288 57582 43142 31571 22444 15455 10303 6690 4252 2646 1639 1037 686 469 311 173 57 5
13 12 11 11 10 9 9 8 8 7 7 6 6 5 5 5 4 4 4 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 2 1 1 1
66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
64535 62273 59862 57298 54579 51617 48516 45295 41972 38567 34988 31392 27824 24330 20958 17837 14909 12198 9729 7529 5804 4351 3151 2183 1426 893 523 287 157 104 100 98 97 96 2
2262 2411 2564 2719 2962 3101 3221 3323 3405 3579 3596 3568 3494 3372 3121 2928 2711 2469 2200 1725 1453 1200 968 757 533 370 236 130 53 4 2 1 1 94 2
63404 61068 58580 55939 53098 50067 46906 43634 40270 36778 33190 29608 26077 22644 19398 16373 13554 10964 8629 6667 5078 3751 2667 1805 1160 708 405 222 131 102 99 98 97 49 1
713214 649810 588742 530162 474224 421126 371059 324154 280520 240251 203473 170283 140675 114598 91954 72557 56184 42630 31667 23038 16371 11294 7543 4876 3071 1912 1204 799 577 446 344 245 148 51 2
11 10 10 9 9 8 8 7 7 6 6 5 5 5 4 4 4 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 3 4 4 3 3 2 1 1
