Lecture 3 : model Antrian dan Aplikasinya
[email protected] Teknik industri 2015
Tujuan Model Antrian • Mengetahui/menentukan besaran kinerja sistem • Menganalisa atau memperbaiki performance variabel – variabel sistem • Menentukan suatu bentuk sistem biaya minimum atau keuntungan maksimum
Minimasi Biaya • ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐
Biaya menunggu ( cost of waiting ) Biaya menganggurnya karyawan Kehilangan penjualan Kehilangan langganan Tingkat persediaan yang berlebihan Kehilangan kontrak Kemacetan sistem Kehilangan kepercayaan dalam manajemen
cont Rumus Expected total cost : E(Ct) = E(Cs) + E(Cw) = SCs + ntCw E(Cs) = expected total cost of service E(Cw) = expected total cost of waiting
Kendall’s Notation • Alat yang efisien untuk mengidentifikasi tidak hanya model antrian tetapi juga asumsi – asumsi yang harus dipenuhi • Hampir semua literatur yang membahas antrian menggunakan notasi ini.
Single channel – single phase system (M/M/1)
Kedatangan
Kepergian
Antrian
Fasillitas Layanan
Asumsi • • • • • • •
Kedatangan pelanggan akan dilayani dengan aturan FIFO Tidak terdapat pelanggan yang melakukan balking atau renenging Kedatangan bersifat independent satu sama yang lain Pola kedatangan mengikuti pola distribusi poisson Waktu layanan bersifat variabel dan independent namun rataan diketahui Waktu layanan mengikuti pola distribusi eksponensial Rata‐rata waktu layanan lebih cepat dari pada rata‐rata waktu kedatangan
Model – Model Antrian Model 1 : M/M/1/I/I Model 2 : M/M/S/I/I Model 3 : M/M/1/I/F Model 4 : M/M/S/F/I
Model M/M/1/I Populasi (I)
Antrian (M)
Sumber Tak terbatas
Tingkat kedatangan poisson
Fasilitas Pelayanan (M/1)
Tingkat pelayanan poisson
Keluar
FCFS (Panjang antrian tak terbatas) (I)
Bentuk Model Umum
Tingkat Kedatangan
Tingkat Pelayanan
Model 1 : M/M/1/I/I Model 2 : M/M/S/I/I
Jumlah fasilitas pelayanan
Besarnya populasi
Panjang antrian
Model 3 : M/M/1/I/F Model 4 : M/M/S/F/I
Penjelasan Notasi Singkatan
Penjelasan
M
Tingkat kedatangan dan pelayanan poisson
D
Tingkat Kedatangan atau pelayanan deterministik (diketahui konstan)
K
Distribusi erlang waktu antarkedatangan atau pelayanan
S
Jumlah fasilitas pelayanan
I
Sumber populasi atau kepanjangan antrian tak terbatas (infinite)
F
Sumber populasi atau kepanjangan antrian terbatas (finite)
Notasi untuk model antrian sumber tak terbatas Notasi
Penjelasan
Ukuran
λ
Tingkat kedatangan rata ‐ rata
Unit/jam
1/λ
Waktu antar kedatangan rata ‐ rata
Jam/Unit
µ
Tingkat pelayanan rata ‐ rata
Unit/jam
1/µ
Waktu pelayanan rata ‐ rata
Jam/unit
σ
Deviasi standar tingkat pelayanan
Unit/jam
n
Jumlah individu dalam sistem pada suatu waktu
Unit
Nq
Jumlah individu rata – rata dalam antrian
Unit
nt
Jumlah individu dalam sistem total (antrian dan sistem pelayanan)
unit
Cont Notasi
Penjelasan
Ukuran
Tq
Waktu rata – rata dalam antrian
Jam
Tt
Waktu rata – rata menunggu dalam sistem
Jam
S
Jumlah fasilitas layanan (channels)
Unit pelayanan
P
Tingkat kegunaan fasilitas pelayanan
Ratio
Q
Kepanjangan maksimum sistem (antrian plus ruang pelayanan)
Unit
Pn
Probabilitas jumlah n individu dalam sistem
Frekuensi relatif
Po
Probabilitas tidak ada individu dalam sistem
Frekuensi relatif
Pw
Probabilitas menunggu dalam antrian
Frekuensi relatif
Cs
Biaya pelayanan per satuan waktu per fasilitas pelayanan Rp/Jam/Server
Cw
Biaya untuk menunggu per satuan waktu per individu
Rp/Jam/Unit
Ct
Biaya total = SCs + ntcw
Rp/Jam
Model 2 : M/M/S/I/I Populasi tak terbatas (I)
Fasilitas Pelayanan M/S Antrian (M) FCFS (Panjang antrian tak terbatas) (I)
Keluar Tingkat pelayanan poisson
• Sistem multi channel single phase yang mempunyai antrian tunggal dengan melalui beberapa fasilitas pelayanan • Dua atau lebih individu dapat dilayani pada waktu bersamaan oleh fasilitas fasilitas pelayanan yang berlainan
Model 3 : M/M/1/I/F Populasi (I)
Antrian (M)
Sumber Tak terbatas
Tingkat kedatangan poisson
Fasilitas Pelayanan (M/1)
Tingkat pelayanan poisson
Keluar
FCFS (Panjang antrian terbatas) (F)
Tingkat Kedatangan
Tingkat Pelayanan
Jumlah fasilitas pelayanan
Besarnya populasi
Panjang antrian
Model 4: M/M/S/F/I Populasi terbatas (F)
Fasilitas Pelayanan M/S Antrian (M) FCFS (Panjang antrian tak terbatas) (I)
Keluar Tingkat pelayanan poisson
• Karena formula antrian dengan populasi terbatas sulit di pecahkan tabel – tabel antrian terbatas (finite queuing tables ) telah di generalisasikan untuk beberapa model model yang berbeda. • Untuk dapat menggunakan tabel antrian terbatas harus diketahui nilai N dan M dan menghitung nilai X
Notasi untuk model 4 Notasi
Penjelasan
U
Waktu rata – rata antar kedatangan per unit
T
Waktu rata – rata pelayanan per unit
H
Jumlah rata – rata yang sedang dilayani
J
Jumlah rata – rata unit yang sedang beroperasi
N
Jumlah unit dalam populasi
M
Jumlah channel pelayanan
X
Faktor pelayanan
D
Probabilitas bahwa suatu kedatangan harus menunggu
F
Faktor efisiensi menunggu dalam garis antrian
