ANALISIS ELEMEN CANGKANG AKSISIMETRI SAXI_K BERKETEBALAN KONSTAN TERHADAP PROBLEM STATIS DAN GETARAN BEBAS

ANALISIS ELEMEN CANGKANG AKSISIMETRI SAXI_K BERKETEBALAN KONSTAN TERHADAP PROBLEM STATIS DAN GETARAN BEBAS Bing Santosa

ABSTRAKSI Perancangan struktur berbentuk cangkang, misalnya terowongan, pipa, kubah masjid, silo, dan reaktor nuklir banyak dijumpai kesulitan dalam penggunaan teori eksak, karena kompleksnya bentuk struktur dan tipe pembebanannya. Solusi pendekatan teoritis klasik tidak lagi dapat memberikan jawaban yang memuaskan, maka diperlukan suatu metode yang mampu menganalisis struktur tersebut dan menghasilkan solusi yang sama atau mendekati dengan kenyataan. Salah satu yang handal dan dapat dipertanggungjawabkan untuk menyelesaikan masalah di atas yaitu Metode Elemen Hingga. Struktur cangkang yang dievaluasikan adalah cangkang putar atau aksisimetri yang didasarkan pada hipotesa Love-Kirchhoff jika deformasi Geser Transversal (GT) diabaikan. Cangkang aksisimetri ini diformulasikan menggunakan elemen SAXI_K dengan tebal konstan. Elemen SAXI_K adalah suatu elemen tronkonik yang mempunyai dua titik nodal dengan tiga derajat kebebasan pada tiap nodal dan dikembangkan berdasarkan pada sifat-sifat aksisimetri yang dikemukakan pada hipotesa Love-Kirchhoff. Elemen-elemen ini diprogram dengan bahasa FORTRAN dan digabungkan dengan program utama dari PC-FEAP. Evaluasi yang dilakukan yaitu pengujian kehandalan elemen SAXI_K terhadap problem statis dan getaran bebas serta membandingkan hasil-hasil numerik dengan program SAP90, GTSTRUDL, dan solusi eksaknya Elemen SAXI_K yang didasarkan pada teori Love/Kirchhoff baik digunakan untuk kasus cangkang yang tipis dan mempunyai kecepatan konvergensi yang cukup tinggi, serta memberikan hasil yang sangat baik. Hasil uji numerik yang telah dilakukan terhadap beban statis pada pelat melingkar dengan beban merata dan getaran bebas pelat melingkar berlubang, yaitu mendekati hasil solusi eksaknya, Hasil perhitungan pada kasus kerucut terpancung dengan beban merata mendekati hasil dari program SAP90, serta pada kasus getaran bebas kerucut terpancung mendekati hasil dari program GTSTRUDL. Kata kunci : Cangkang Aksisimetrik SAXI_K, Tebal Konstan, Problem Statis, Getaran Bebas

1. PENDAHULUAN Dewasa ini teknologi konstruksi semakin hari semakin berkembang, baik bahan bangunan yang dipergunakan maupun model strukturnya. Beberapa contoh dapat dilihat pada struktur yang berbentuk cangkang, misalnya terowongan, pipa, kubah masjid, silo, dan reaktor nuklir. Dalam perancangan struktur tersebut banyak dijumpai kesulitan dalam penggunaan teori eksak, karena kompleksnya bentuk struktur dan tipe pembebanannya. Karena kompleksitas pekerjaan perancangan struktur-struktur tersebut dan solusi pendekatan teoritis klasik tidak lagi dapat memberikan jawaban yang memuaskan, maka diperlukan suatu metode Analisis Elemen Cangkang Aksisimetri SAXI_K Berketebalan Konstan Terhadap Problem Statis Dan Getaran Bebas (Bing Santosa)

65

yang mampu menganalisis struktur tersebut dan menghasilkan solusi yang sama atau mendekati dengan kenyataan. Diantara metode numerik yang ada, salah satu yang handal dan dapat dipertanggungjawabkan untuk menyelesaikan masalah di atas yaitu Metode Elemen Hingga. Metode Elemen Hingga adalah suatu teknik khusus pendekatan fungsi solusi dengan mendiskritisasi struktur menjadi elemen-elemen. Gabungan dari elemen-elemen tersebut diharapkan tetap memiliki sifat-sifat struktur yang sebenarnya, seperti bentuk geometri, energi, kekakuan, dan medan lendutan. Hasil analisis yang diperoleh tidak akan banyak berbeda dengan metode eksak, walaupun metode ini merupakan suatu metode pendekatan. Dalam penelitian ini, struktur cangkang yang dimodelisasi adalah struktur cangkang putar atau aksisimetri menggunakan elemen SAXI_K yang mempunyai dua titik nodal dengan tiga derajat kebebasan tiap nodal dan dikembangkan berdasarkan pada sifat-sifat aksisimetri yang dikemukakan pada hipotesa Kirchhoff-Love dengan tidak memperhitungkan efek geser transversal (GT), serta hanya dapat memperhitungkan ketebalan konstan. 1.1. Permasalahan Berdasarkan latar belakang masalah yang telah diuraikan, maka perlu dilakukan penelitian untuk mengetahui kemampuan dari elemen SAXI_K terhadap problem statis dan getaran bebas. 1.2. Tujuan Penelitian Penelitian ini bertujuan untuk memodelisasi struktur cangkang putar atau aksisimetri menggunakan elemen SAXI_K dan memformulasikan elemen tersebut dengan Metode Elemen Hingga, serta mengevaluasi performa dari elemen SAXI_K dengan melakukan pengujian terhadap problem statis dan getaran bebas, serta membandingkan hasil-hasil numerik dengan program SAP90, GTSTRUDL, dan solusi eksak. 1.3. Batasan Masalah Masalah yang dibahas dibatasi pada formulasi dan evaluasi kinerja elemen SAXI_K berketebalan konstan, material homogen (terbuat dari material yang sama), isotropik (karakteristik dari material yang tidak tergantung sistem koordinat atau nilainya tetap ke segala arah), serta linier elastis dengan tipe pembebanan statis dan getaran bebas.

2. TINJAUAN PUSTAKA Suatu cangkang putar secara geometri didefinisikan oleh permukaan tengah A dan tebal h = 2t. Permukaan tengah diperoleh dengan putaran suatu garis lengkung atau meridian mengelilingi sumbu putar Z. Tebal h dianggap kecil terhadap dimensi lainnya daripada cangkang dan didefinisikan dalam arah normal pada permukaan tengah (Gambar 1). Teori cangkang yang dinamakan Kirchhoff berbasiskan pada hipotesa konservasi normal : ”Titiktitik material yang terdapat pada normal n pada permukaan tengah A sebelum deformasi, tetap berada pada normal n pada permukaan tengah struktur terdeformasi”. Dianggap juga bahwa deformasi geser transversal diabaikan (Batoz, J. L., Dhatt, G., 1990). Penelitian tentang elemen SAXI_K dengan beban statis telah diteliti oleh Johnhan (1996) dan menyimpulkan bahwa Elemen SAXI_K yang didasarkan dengan teori Love/Kirchhoff baik digunakan untuk kasus cangkang yang tipis, elemen tersebut mampu merepresentasikan tiga gerakan benda kaku secara eksak dengan memberikan nilai deformasi dan energi internal nol pada uji gerakan benda kaku, elemen mempunyai kecepatan konvergensi yang cukup tinggi. 66

Volume 7 No. 1, Oktober 2006 : 65 - 79

~

Konvergensi dan akurasi elemen secara keseluruhan memberikan hasil yang sangat baik, yaitu mendekati solusi eksak dan hasil perhitungan program SAP90 sebagai salah satu pembanding, dan tidak ada Shear Locking dan Membrane Locking untuk kasus cangkang tipis. Elemen SAXI_L pada kasus cangkang tebal yang memperhitungkan efek geser transversal (GT) berdasarkan teori Mindlin (Bing Santosa, Jurnal Media Komunikasi, 2003) dan memberikan hasil yang sangat baik, yaitu mendekati solusi eksak, serta mendekati hasil perhitungan program SAP90 dan GTSTRUDL sebagai pembanding yang diuji terhadap beban statis dan getaran bebas. Paralel

Meridian

Permukaan tengah A

Ruang Parameter

Ruang Riil

Gambar 1. Deskripsi Geometrik Permukaan Tengah

3. LANDASAN TEORI 3.1. Umum Elemen Tronkonik SAXI_K adalah suatu elemen tronkonik berbasiskan pada teori Kirchhoff dimana komponen kurvilin u(s) dan w(s) didefinisikan oleh aproksimasi linier dan kubik secara berturutan. 3.2. Aproksimasi Peralihan dan Deformasi Elemen diformulasikan dengan menggunakan komponen kurvilin u dan w dari u p : ~ u p = u(s) t + w(s) n (1) ~ ~ u(s) adalah linier (2 variabel) dan w(s) adalah kubik dalam s, tipe Hermite (4 variabel) diperlihatkan pada Gambar 2. Aproksimasi u(ξ) dengan −1 ≤ ξ ≤ 1 : Analisis Elemen Cangkang Aksisimetri SAXI_K Berketebalan Konstan Terhadap Problem Statis Dan Getaran Bebas (Bing Santosa)

67

~

1− ξ 1+ ξ ; N 2L = 2 2 1 2 dengan u ,ξ = ( u 2 − u 1 ) ; u ,s = u ,ξ ξ,s = u ,ξ 2 L Aproksimasi w(ξ) : w = 〈 N 〉 {w n } ; 〈 w n 〉 = 〈 w 1 θ1 w 2 θ 2 〉 u( ξ ) = N 1L u1 + N 2L u 2 ; N 1L =

(2)

(3)

Z

s, u 2 L

z, w

U2 W2 θ2

θ = -w,s

-1 1

0

1 2

1 ξ

Elemen referensi

U1 W1 θ1

r

Elemen riil Gambar 2. Elemen Tronkonik SAXI_K.

1 L (1 − ξ) 2 (2 + ξ) ; N 2 = − (1 − ξ 2 )(1 − ξ) 4 8 1 L N 3 = (1 + ξ ) 2 (2 − ξ ) ; N 4 = − ( −1 + ξ 2 )(1 + ξ) 4 8 3 1 N 1,s = ( −1 + ξ 2 ) ; N 2,s = − ( −1 − 2ξ + 3ξ 2 ) 2L 4 3 1 N 3,s = (1 − ξ 2 ) ; N 4,s = − ( −1 + 2ξ + 3ξ 2 ) 2L 4 6 1 N 1,ss = 2 ξ ; N 2,ss = − ( −1 + 3ξ ) L L 6 1 N 3,ss = − 2 ξ ; N 4,ss = − (1 + 3ξ ) L L Deformasi membran didefinisikan : u ,s  e   {e} =  s  =  1  = [B m ] {u n }loc e θ   r (u C − w S)  N1 =

dengan

〈 u n 〉 loc = 〈 u1 w 1 θ1 u 2 w 2 θ 2 〉

sedangkan kelengkungan Kirchhoff (1/ R s = 0 ) :  χ s   − w ,ss  {χ} =   =  C  = [ B b ] {u n } loc χ θ  − r w ,s 

68

(4)

(5)

(6)

(7)


3.3. Matriks Kekakuan Persamaan (5) sampai dengan (7) dipakai untuk mendefinisikan matriks kekakuan suatu elemen : L

e Wint = 2 π ∫ (〈e∗ 〉 ([H m ] {e} + [H mb ] {χ}) + 〈χ∗ 〉 ([H mb ] {e} + [ H b ] {χ})) r ds 0

〈 u ∗n 〉 loc

= [k]loc {u n }loc ∗ (〈 u n 〉 loc didefinisikan seperti pada persamaan (6) : L 1 L [ k ]loc = 2 π [k ξ ] ds = 2 π [k ξ ] dξ 0 -1

∫

∫

2

(8)

(9)

dengan [ k ξ ] = ([ B m ] T ([H m ] [B m ] + [ H mb ] [B b ]) + [B b ]T ([H mb ] [B m ] + [ H b ] [B b ])) r Matriks [ B m ] dan [B b ] diberikan oleh persamaan (5) dan (7). Matriks [ H m ], [H mb ] , dan [ H b ] didefinisikan :

E h 1 υ E h 3 1 υ E h 3 S 1 0  ; [H ] = ; [H ] = − b mb       (10) 1 − υ2 υ 1  12(1− υ2 ) υ 1  12(1− υ2 )rm 0 − 1 Skema integrasi numerik tipe Gauss dengan dua titik memungkinkan untuk mempertahankan rang sama dengan 5 : 2 L [ k ]loc = 2 π ∑ [k ξ (ξ = ξ i )] ω i (11) 2 i=1 [H m ] =

ξ i = m1 / 3 dan ω i = 1

dengan

Setelah evaluasi [ k ]loc , perlu untuk mentransformasi variabel {u n } loc yang didefinisikan dalam koordinat lokal elemen dalam fungsi variabel nodal koordinat silinderik, sebelum melakukan penggabungan. Matriks transformasi [T] :  [ t ] [ 0]  {u n } loc = [ T] {u n } ; [T] =   [ 0] [ t] 

[Q]T [ t] =   0

(12)

C −S 0   ; [Q] = [ t n] =  ~ ~  S C  1 

dengan

Winte = 〈 u ∗n 〉 [k] {u n } 〈 u n 〉 = 〈 U1 W1 θ1 U 2 W2 θ 2 〉

(13)

dan

[ k ] = [T]T [k]loc [T] 3.4. Matriks Massa Matriks massa koheren dari elemen diperoleh dengan menggunakan persamaan :

Analisis Elemen Cangkang Aksisimetri SAXI_K Berketebalan Konstan Terhadap Problem Statis Dan Getaran Bebas (Bing Santosa)

69

L

&& + θ * ρ b && Wme = 2 π ∫ ( u * ρ m &&u + w * ρ m w θ + u * ρ mb && θ + θ * ρ mb &&u ) r ds 0 ∗ n loc

= 〈u 〉

&& n } loc [m]loc {u

(14)

dengan

&& ,s θ* = − w *,s ; && θ = −w &&u && && = &&u w θ &&u n loc

1

1

1

2

&& 2 && w θ2

L 1 L [ m]loc = 2π ∫0 [ mξ ] ds = 2π ∫−1 [ mξ ] dξ 2 L L C [ m ξ ] = {N } ρ m N + {N } ρ m N C

(

)

+ {N C,s } ρ b N C,s − {N L } ρ mb N C,s − {N C,s } ρ mb N L r dengan

〈 N L 〉 = 〈 N1L

0

〈NC 〉 = 〈 0

N1

0 N2

N 2L 0

0 〉

0 N3

N4 〉

〈 N C, s〉 = 〈 0 N1,s N 2,s 0 N 3,s Matriks massa diagonalnya adalah : m = 2π ρ h a b c d e f dengan :

L (2r1+r2) ; b = 6 L d = (r1+2r2) ; e = 6 a=

(15)

N 4,s 〉 (16) 2

L L (7r1+3r2) ; c = - (3r1+2r2) 20 60 L L2 (3r1+7r2) ; f = (2r1+3r2) 20 60

3.5. Beban Ekivalen Untuk beberapa tipe pembebanan volumik dan permukaan, vektor beban ekivalen didefinisikan oleh:

Wfe = 2 π

L

∫0

(u ∗p ⋅ f + β ∗ m s ) r ds ~

(17)

~

dengan u∗ ⋅ f = U∗ f r + W∗ f Z = u ∗ f s + w ∗ f z ~p L L Wfe ~= 2 π ∫ (u∗p ⋅ f~ + β∗ ms ) r ds = 2 π ∫ (u∗ fs + w∗ fz − w∗,s ms ) r ds 0

~

0

(18)

 fs   C S   f r   =    f z   −S C   f Z  Vektor beban ekivalen elemen SAXI_K adalah :

dengan

L dξ -1 2 {f ξ } = {N L } f s + {N C } f z − {N ,Cs } m s 1

Wfe = 〈 u ∗n 〉 {f n } dengan {f n } = 2 π ∫ {f ξ } r dan

(19)

Matriks {N L }, {N C }, dan {N ,Cs } didefinisikan oleh persamaan (15).

70


Dua tipe pembebanan volumik fV yaitu : a). beban akibat gaya gravitasi dengan f v = −ρ g k , untuk ρ g konstan didapat : ~ 2 3 ~ S h fr =0 , f Z = −ρ g h dan m s = ρ g (20) r 12 b). beban akibat gaya sentrifugal akibat rotasi uniform Ω (dalam rad/det) mengelilingi Z : h3 6 c). beban akibat tekanan p n bekerja pada permukaan superior didapat : ~ L h h ∗ Wext = 2 π ∫ (u p + β ∗ t ) ⋅ p n (r − S) ds 0 ~ 2 ~ ~ 2 L h = 2 π ∫ ( − U ∗ S + W ∗ C) p (r − S) ds 0 2 hS hS dengan f r = −S p (1 − ) ; f Z = C p (1 − ) ; ms = 0 2r 2r f r = ρ Ω 2 r h ; f Z = 0 dan m s = −ρ Ω 2 C S

(21)

(22)

3.6. Gaya Resultan dan Tegangan Bilamana variabel nodal {u n } diketahui, deformasi membran dan kelengkungan dievaluasi pada s = L/2 pada persamaan (5) dan (7) : {e} = [Bm] {un}loc ; {χ} = [Bb] {un}loc Gaya resultan {N} dan {M} juga diperoleh : {N} = [ H m ] {e} + [ H mb ] {χ} + {N o }

{M} = [ H mb ] {e} + [ H b ] {χ} + {M o }

(23)

(24)

Matriks [ H m ], [H mb ] dan [H b ] diberikan persamaan (10) dalam kasus homogen. {e}, {χ}, {N} dan {M} dievaluasi pada pertengahan (s = L/2) dari elemen. Deformasi dalam arah tebal ε s ( z) dan ε θ ( z) diberikan oleh ( α1 = 1 ) : 1 S (25) ε s = e s + z χ s dan ε θ = (e θ + z χ θ ) ; α 2 = 1 − z α2 r {un}loc = [T] {un} (persamaan 12) Pada elemen tersebut, deformasi dan tegangan dapat dievaluasi pada beberapa titik (titik integrasi, nodal sudut). (26) {rn } loc = [T] ([k] {u n } − {f n }) dengan 〈 rn 〉 loc = 2 π 〈− r1N s1 − r1Ts1 − r1M s1 r2 N s2 r2 Ts2 r2 M s2 〉

4. METODE PENELITIAN Metode penelitian ini adalah dengan studi literatur dari berbagai buku. Evaluasi numeric elemen SAXI_K dilakukan dengan membuat program komputer. Program ini Analisis Elemen Cangkang Aksisimetri SAXI_K Berketebalan Konstan Terhadap Problem Statis Dan Getaran Bebas (Bing Santosa)

71

merupakan subroutine perhitungan matriks kekakuan elemen, gaya nodal elemen, tegangan, dan gaya-gaya dalam yang ditulis dalam bahasa FORTRAN menggunakan Microsoft FORTRAN sebagai kompilatornya. Sebagai program utama digunakan software PC FEAP yang listing program utamanya dapat ditemukan pada buku The Finite Element Method 3rd Ed. jilid 1, karangan Zienkiewicz, O. C. Kemudian dilakukan uji numerik pada kasus pelat melingkar dengan beban merata dan getaran bebas pelat melingkar berlubang dibandingkan dengan solusi eksaknya, pada kasus kerucut terpancung dengan beban merata dibandingkan dengan hasil dari program SAP90, serta getaran bebas kerucut terpancung dibandingkan dengan program GTSTRUDL.

5. UJI NUMERIK 5.1. Pelat Melingkar dengan Beban Merata Pengujian ini menggunakan suatu elemen linier yang diputar terhadap sumbu putar Z 360 sehingga terbentuk suatu pelat lingkaran berjari-jari R = 5 m. Pengujian terhadap pelat lingkaran ini dilakukan dengan kondisi batas, yaitu jepit (u = w = β =0) pada sekeliling pelat. Uji pertama yang dilakukan ialah dengan mendiskritisasi elemen linier menjadi 2, 4, 6, 8, 10 dan 12 buah elemen masing-masing dengan panjang yang sama dan dengan dua variasi rasio antara radius pelat dan tebalnya sebesar 5 dan 50. Beban yang digunakan adalah beban terbagi rata di seluruh permukaan pelat sebesar 100 kg/m2. Uji yang dilakukan yaitu untuk mengetahui peralihan arah w, gaya dalam Ms dan Mθ elemen SAXI_K dibandingkan dengan solusi eksak. o

Z

fz C

JUMLAH ELEMEN Gambar 3A. Peralihan w di Pusat Pelat (h=0,1 m)

72

SAXI-K

12

10

8

EKSAK

6

12

10

8

6

4

EKSAK

8 6 4 2 0 2

-6

w (10e )

PERALIHAN w SAXI-K

2

-3

w (10E )

PERALIHAN w 8 6 4 2 0

4

R

h

Data : E = 2E9 kg/m2 ; υ = 0,3 R = 5 m ; h = 0,1 m , 1,0 m Beban merata : fz = 100 kg/m2 Berat sendiri diabaikan Kondisi batas : Jepit : u = w = β = 0

JUMLAH ELEMEN Gambar 3B. Peralihan w di Pusat Pelat (h=1 m)


MOMEN M θ 130

80 60 40 20 0

120 M

SAXI-K EKSAK

SAXI-K

110

EKSAK

JUMLAH ELEMEN

Gambar 4 . Momen Ms pada R/2

20

10

8

6

4

2

12

10

8

6

4

100 2

MS

MOMEN M S

JUMLAH ELEMEN

Gambar 5. Momen Mθ pada R/2

Pada Gambar 3A. terlihat bahwa cangkang SAXI_K mempunyai kecepatan konvergensi yang cukup tinggi pada kasus cangkang tipis dibandingkan solusi eksaknya, sedangkan pada kasus cangkang tebal (Gambar 3B) hasilnya menjauhi solusi eksaknya. Hasil perhitungan momen MS dan Mθ juga mempunyai kecepatan konvergensi yang cukup tinggi pada kasus cangkang tipis dibandingkan solusi eksaknya (Gambar 4 dan Gambar 5).

5.2. Kerucut Terpancung dengan Beban Merata Pengujian ini menggunakan suatu elemen linier yang membentuk suatu kerucut terpancung dengan jari-jari bagian atas (Ratas) = 2 m dan jari-jari bagian bawah (Rbawah) = 10 m serta dengan perletakan jepit (u = w = β = 0) pada sekeliling dasar kerucut. Uji yang dilakukan ialah dengan mendiskritisasi elemen linier menjadi 6, 8, 10, 16, 20, 24, 28, 32, 26, 40, 44, 48, 52, 56, dan 60 buah elemen yang masing-masing panjangnya sama. Beban yang digunakan adalah beban terbagi rata diseluruh permukaan kerucut sebesar 10 satuan. Uji ini dimaksudkan untuk mengetahui harga dari peralihan arah u dan w, gaya normal Ns dan Nθ dan momen Ms dan Mθ untuk dibandingkan dengan hasil perhitungan yang dilakukan dengan program SAP90. Z Data :

• •

•

r

7

E = 6,825 x 10 ; ν = 0,3 Ratas = 2 ; Rbawah = 10 ; h = 0,4 Beban merata : ρ = 10

Kondisi batas pada alas kerucut :Jepit : u = w = β = 0


73

60

44

SAP90

36

28

20

10

SAXI-K

52

10 9 8 7 6 5 4 6

-6

w (10e )

PERALIHAN w

JUMLAH ELEMEN

Gambar 6. Peralihan Arah w

MOMEN Ms

SAP90

52

44

36

28

20

10

6

SAXI-K

60

MS

10 8 6 4 2 0

JUMLAH ELEMEN

Gambar 7. Momen MS

MOMEN M θ 3 M

2

SAXI-K

1

SAP90

60

52

44

36

28

20

10

6

0 JUMLAH ELEMEN

Gambar 8. Momen Mθ Hasil uji numerik pada kasus kerucut terpancung dengan beban merata baik pada peralihan w, momen MS, dan Mθ (Gambar 6, Gambar 7, dan Gambar 8) mendekati hasil perhitungan dari program SAP90.

5.3. Getaran Bebas Pelat Melingkar Berlubang Pengujian ini menggunakan suatu elemen linier yang membentuk suatu pelat melingkar berlubang dengan jari-jari luar (Rluar) = 6 m, jari-jari lubang (Rdalam) = 1,8 m dan 74


tebal h = 0,6 m serta dengan perletakan sederhana (w = 0) pada sekeliling pelat.Uji yang dilakukan ialah dengan mendiskritisasi elemen linier menjadi 2, 4, 6, 8, 10, dan 12 buah elemen yang masing-masing panjangnya sama. Beban yang digunakan adalah getaran bebas dengan ρ = 8.000 kg/m3. Uji ini dimaksudkan untuk mengetahui harga dari frekuensi alami struktur pada Mode 1, 2, dan 3. 9 Data : E = 200 x 10 N/m2 ; ν = 0,3 Z Rluar = 6 m ; Rdalam = 1,8 m ; h = 0,6 m Massa jenis : ρ = 8.000 kg/m3 Kondisi batas : Perletakan sederhana : w = 0 h

20

EKSAK

18

14

12

10

SAXI-K

16

19.0 18.8 18.6 18.4 18.2 18.0 8

FREKUENSI (Hz)

MODE 1

JUMLAH ELEMEN

Gambar 9. Frekuensi Alami Pelat Melingkar Berlubang pada Mode 1

20

18

16

EKSAK

14

12

10

SAXI-K

8

FREKUENSI (Hz)

MODE 2 160 150 140 130 120 110 100

JUMLAH ELEMEN

Gambar 10. Frekuensi Alami Pelat Melingkar Berlubang pada Mode 2


75

20

18

EKSAK

16

14

12

10

SAXI-K

8

FREKUENSI (Hz)

MODE 3 224.5 224.2 223.9 223.6 223.3 223.0

JUMLAH ELEMEN

Gambar 11. Frekuensi Alami Pelat Melingkar Berlubang pada Mode 3 Hasil uji numerik getaran bebas pada pelat melingkar berlubang memberikan hasil yang baik pada mode 1, mode 2, maupun mode 3 dibandingkan dengan solusi eksaknya (Gambar 9, Gambar 10, dan Gambar 11).

5.4. Getaran Bebas Kerucut Terpancung Pengujian ini menggunakan suatu elemen linier yang membentuk suatu kerucut terpancung dengan jari-jari bagian atas (Ratas) = 2 m dan jari-jari bagian bawah (Rbawah) = 10 m serta dengan perletakan jepit (u = w = β = 0) pada sekeliling dasar kerucut. Uji yang dilakukan ialah dengan mendiskritisasi elemen linier menjadi 6, 8, 10, 16, dan 20 buah elemen yang masing-masing panjangnya sama. Beban yang digunakan adalah getaran bebas dengan ρ = 100 kg/m3. Uji ini dimaksudkan untuk mengetahui harga dari frekuensi alami struktur pada Mode 1, 2, dan 3. 7

Data : E = 6,825x10 kg/m2 ; ν = 0,3 Ratas = 2 m ; Rbawah = 10 m ; h = 0,4 m Massa jenis : ρ = 100 kg/m3 Kondisi batas : Jepit : u = w = β = 0

z

r r

MODE 1 FREKUENSI (RAD/DETIK)

150 100 SAXI-K

50

GTSTRUDL

0 6

8 10 16 JUMLAH ELEMEN

20

Gambar 12. Frekuensi Alami Kerucut Terpancung pada Mode 1 76


MODE 2 FREKUENSI (RAD/DETIK)

150 100 SAXI-K

50

GTSTRUDL

0 6


20

Gambar 13. Frekuensi Alami Kerucut Terpancung pada Mode 2

FREKUENSI (RAD/DETIK)

MODE 3 200 150 100

SAXI-K

GTSTRUDL

50 0 6


20

Gambar 14. Frekuensi Alami Kerucut Terpancung pada Mode 3 Hasil uji numerik getaran bebas pada kerucut terpancung memberikan hasil yang baik pada mode 1, mode 2, maupun mode 3 dibandingkan dengan hasil dari program GTSTRUDL (Gambar 12, Gambar 13, dan Gambar 14).

6. KESIMPULAN Dari hasil uji numerik yang telah dilakukan terhadap problem statis maupun getaran bebas, dapat ditarik kesimpulan yang berkaitan dengan karakteristik elemen Tronkonik tanpa geser transversal (GT) SAXI_K, yaitu : 1. Elemen SAXI_K yang didasarkan pada teori Love/Kirchhoff baik digunakan untuk kasus cangkang yang tipis. 2. Tidak ada Shear Locking dan Membrane Locking untuk kasus cangkang tipis. 3. Elemen SAXI_K mempunyai kecepatan konvergensi yang cukup tinggi dan memberikan hasil yang sangat baik dari hasil uji numerik yang telah dilakukan terhadap beban statis pada pelat melingkar dengan beban merata dan getaran bebas pelat melingkar berlubang, yaitu mendekati hasil solusi eksaknya, hasil perhitungan pada kasus kerucut terpancung dengan beban merata mendekati hasil program SAP90, serta pada kasus getaran bebas kerucut terpancung mendekati hasil program GTSTRUDL. Analisis Elemen Cangkang Aksisimetri SAXI_K Berketebalan Konstan Terhadap Problem Statis Dan Getaran Bebas (Bing Santosa)

77

DAFTAR PUSTAKA Batoz, J.L., Dhatt, G., 1990, Modélisation des Structures par Éléments Finis, Vol. 1: Solides Elastiques, 1st ed., Édition Hermès,Paris Batoz, J.L., Dhatt, G., 1990, Modélisation des Structures par Éléments Finis, Vol. 2: Poutres et Plaques, 1st ed., Édition Hermès, Paris Batoz, J.L., Dhatt, G., 1992, Modélisation des Structures par Éléments Finis, Vol. 3: Coques, 1st ed., Édition Hermès, Paris Bing Santosa, 2003, Analisis Elemen Cangkang Aksisimetri SAXI_L Berketebalan Konstan Terhadap Problem Statis dan Getaran Bebas, Jurnal Media Komunikasi Universitas Diponegoro, Semarang Cook, R., Malkus, D.S., Plesha, M.E., 1989, Concepts and applications of finite element element analysis, 3rd ed.., John Wiley, New York Johnhan, 1996, Analisis Elemen Cangkang Aksisimetri SAXI_K Berketebalan Konstan Terhadap Problem Statis, Tugas Akhir Universitas Tarumanegara, Jakarta Noor, A.K., 1990, Bibliography of monographs and surveys on shells, Applied Mechanics Review, Vol. 43, No. 9, p. 223-234, Prentice Hall, New York Zienkiewicz, O.C., R.L. Tylor, 1977, The finite element method Vol 1: Basic Formulation and Linear Problem, 4th ed., McGraw-Hill, London

DAFTAR NOTASI ~ ∗ ∫ {} [] GT X, Y, Z

ε

σ β h E GSZ ν ri , Zi Si , Ci [Bm],[Bb],[Bs] [Hm],[Hb],[Hmb] [Hs] [k]loc,[k]glob [km],[kb],[ks] [kmb] {e},{χ} {fn},{fnv} {N},{M},{T} {No},{Mo},{To} {rn} 78

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

tanda vektor (contoh u ) ~ tanda virtuil integral vektor kolom matriks (juga digunakan untuk menyatakan referensi) geser transversal koordinat kartesian global tensor deformasi tensor tegangan rotasi cangkang tebal cangkang modulus Young modulus geser rasio Poisson koordinat x nodal i , koordinat y nodal i sinus nodal i , cosinus nodal i matriks yang mendefinisikan deformasi membran, lentur dan GT matriks sifat homogen membran, lentur dan kopel membran-lentur matriks sifat global pada GT matriks kekakuan elementer pada koordinat lokal dan global matriks elementer membran, lentur dan GT kekakuan membran-lentur deformasi membran, kelengkungan (”Curvature”) vektor beban ekivalen elementer dan global vektor gaya resultan membran, lentur, GT vektor gaya resultan inisial vektor reaksi nodal elementer Volume 7 No. 1, Oktober 2006 : 65 - 79

{un},{U} {εt},{εs} Ni ρm, ρb, ρmb t~ , n~ t i , ni U, W u, v, w ~up,~uq fr, fZ, fs, fz R, (Rs, Rθ)

= = = = = = = = = = =

vektor dof elemen, vektor dof komponen deformasi dalam arah basis kurvilin fungsi bentuk nodal i inersia homogen membran, lentur, kopel membran-lentur vektor satuan arah sumbu s dan arah sumbu z lokal vektor satuan nodal i arah sumbu s dan arah sumbu z lokal peralihan dalam koordinat silindrik arah s dan Z peralihan dalam koordinat kurvilin s, θ, z (atau arah x, y, z) peralihan titik p, q pembebanan dalam arah paralel jari-jari kelengkungan (meridian, paralel)

RIWAYAT PENULIS Ir. Bing Santosa, MT., adalah staf pengajar Program Studi Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Janabadra Yogyakarta.


79

ANALISIS ELEMEN CANGKANG AKSISIMETRI SAXI_K BERKETEBALAN KONSTAN TERHADAP PROBLEM STATIS DAN GETARAN BEBAS

Recommend Documents