ANALISA STRUKTUR DENGAN MET ODE MATRIX
CETAKAN KETIGA
IR. F.X. SUPARTONO IR. TEDDY BOEN
FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS INDONESIA
� IJiiQ
PENERBIT UNIVERSITAS INDONESIA (UI-PRESS)
Buku ini ditulis un tuk mengenang j asa para Guru dan Mahaguru y:mg per nah mengajar dan mendidik kedua penulis, karena tanpa jasa mereka, buku ini tidak akan mungkin ditulis.
i
I
PRAKATA Sejak kurang lebih 25 tahun yang lalu, Analisa struktur telah mengahrmi
�
revolusi dengan ·diperkenalkannya analisa cara matrix. Sejak itu, telah banyak ditulis buku-bukli yang menyangkut Analisa struk tur dengan cara matrix. Pacta mulanya buku-buku Analisa struktur adalah problem dan structure oriented, tetapi pacta cara baru buku-buku tersebut adalah method oriented. Aljabar Matrix sangat berguna pada Analisa struktur karena memungkinkan membuat perumusan pemecahannya sebagai satu seri operasi matrix yang cocok untuk komputer digital. Tetapi hal yang lebih penting lagi ialah dengan memakai cara matrix, segala macam struktur dapat dianalisa dengan suatu pendekatan umum dan karena sifat-sifat organisasi suatu matrix, pemakaian matrix juga menguntungkan untuk perhitungan·perhitungan dengan tangan. Cara matrix juga memungkinkan penyajian persamaan-persamaan dalam bentuk yang kompak, yang tentu saja sangat membantu untuk dapat melihat operasi secara keseluruhan dan tidak terbenam dalam detail-detail arithmatic.
metodologi Analisa struktur d e ngan cara matrix sudah harus diajarkan di Pacta
akhir-akhir
ini
banyak penulis
menganggap
bahwa
konsep
dan
Universitas sejak tingkat awal dan menggantikan cara-cara Analisa struktur
yang klasik. Pada buku ini, masih ditempuh cara transisi, yaitu antara lain masih diper
kenalkan struktur s tatis tertentu dan statis tidak tertentu. Hal ini ctilakukan agar mereka yang terbiasa dengan cara-cara klasik. masih dapat mengikuti cara baru ini. Seperti diketahui, sesungguhnya pacta ana!isa struktur ctengan -:ara matrix sulit dibedakan struktur statis tertentu dan st a ti s tidak tertentu. Adapun urut-urutan penyajian adalah sebagai b eriku t Bab
I
Bab
II
:
dapat m engik u t i bab-bab selanjutnya dengan 13.ncar. memperkenalkan metocte-metocte matrix yang d ipaka i untuk
membahas tentang aljabar matrix sekedar untuk mengingatkan k embali . agar
Bab III membahas Metode kekakuan dan dil engkap i dengan contoh soal. Bab IV membahas tentang cara mencari kekakuan elemen analisa struktur:
Bab V
Bab VI mem baha s tentang cara mencari gaya Nodal Ekivalen. yaitu untuk struktur pacta mana pem bebanannya ti dak tepat pacta titik nodal. membahas Metode Flexibilitas
nya.
ir. Sheila R.K. yang telah dengan tekun menyi apkan dan memeriksa konsep Pacta kesempatan ini para penulis ingin mengucapk.an terima kasih kepada:
V
.mtuk Jiketik: :\f y. E .Ko m ariah yang t elah d engan sa bar dan t ekun menge tik nasbh buku; p:.lf a juru gambar Sdr. I nd rawan N gadi. Sdr. Ab dul Azhar, Sdr. Wa kldj o dan Sdr. Sa m idjo yang tel ah menyiapkan gambar- gambar: dan Sd r. E ll y Tjahjo no ya ng t elah membac a ulang nask ah akhir. \1u d ah- mudaha n buku ya ng sangat sed erhana ini, bersama-sama denga n buku !Jinnya y:mg sejenis, dapat menjadi a wal b agi perubahan d i bi dang A nalisa struktur di Indo nesia dari cara klasik ke cara ya ng modern. d emi untu k g enerasi seka rang d an yang akan da tang.
Jak arta. Januari Penu lis .
I�
VI
1980
Keterangan : Untuk memudahkan. maka notasi-notasi tersebut di bawah ditulis juga pacta rumus-rumus dan pasal-pasal yang bersang-, kutan.
Bab 1 . [ 1 I I
( A ]*T
[A] [A]+ [A] -1 a i j bij cij dij eij [I]
Matrix. Determinan. = Transpose Matrix [A]. = Conjugate dari [A]. = Adjoint dari [A]. = Invers dari [A]. = El emen dari [A J. = Elernen dari [ B J. = Elernen dari [ CJ. = Elernen dari [DJ. = Elemen dari [ E]. = \Iatrix satuan. =
=
Bab 2 .
{ D}
[ FJ
{ Q}
[K]
= = = =
Lcndutan pacta titik diskrit. .\1atrix Fleksibilitas. \1atrix Kekakuan Struktur. Gaya-gaya yang bekerja pacta titik diskrit.
Bab 3. [A] [B 1 {.D} { d} {H} [KJ
{Q}
[ S]
=
Matrix Defonnasi. Matrix Statis. = Lendutan dititik diskrit. = Deformasi dari elernen stmktur. = Gaya dalam elernen. = Matrix Kekakuan Stmktur. = Gaya luar yang bekerja dititik diskrit. = Matrix kekokohan intern elernen.
=
Bab 4. [A] A
=
-
Matrixhubungan antara {Q2}dan{Q1}. Luas penampang elernen. vii
[D}
=
Av
{Oj}
= =
=
=
{Of}
= =
�:ob} E
=
[F] G
=
=
I
=
[yy [zz
=
J
= =
[K] [Kj]
= =
=
L uas effektif terhadap geser. Lcndutan dititik diskrit. Matrix lendutan dari elemen ke i terhadap sistim koordinatnya sendiri. Matrix lendutan yang telah ditransfonnasikan ke sistim koordi nat struktural. Matrix lendutan pada elemen ke i yang telah ditransfom1asikan ke sistim koordinat struktural. Lendutan pada titik bebas. Lcndutan diperletakan. Modulus Elastisitas dari bahan. Matrix Fleksibiiitas. Modulus Geser dari bahan. Nlomen Inersia sumbu dari penampang. Momen lnersia terhadap sumbu y. Momen lnersia terhadap sumb u z. \-1omen [nersia polar dari penampang. M atri x Kekakuan. Y1atrix Kekakuan dari elemen ke i terhadap sistim koordinat nya sendiri. \-l atri x Kekakuan yang te!ah ditransfonnasikan ke sistim koordinat struktural.
k
Matrix Kekakuan pada elemen ke i yang telah ditransfonnasi-
=
Koer!sien Kekakuan.
= = = =
=
fQ � {Qb} { Qf } -
'
{Qj} (Q
�
sJ 1
= =
= =
=
=
[T ] TX viii
kan ke sistim koordinat struktural.
=
= =
Panjang Eiemen.
Momen Lcntur akibat gaya l u a r
Momen Lentur virtuil. Gaya nonnal yang timbul. dinyatakan sebagai fungsi x. sebagai Jkibat dikerjakannya gaya luar Q. Gaya nonnal yang t i mb ul . dinyatakan sebagai fungsi x. sebagai akibat dikerjakannya gaya virtuil Q. Gaya luar yang bekerja dititik diskrit. Matrix gaya diperletak an Ma trix gaya pada titik bebas. Matrix gaya dari demen ke i te rhadap sistim koordinatnya sendiri. Ylatrix gaya yang telah ditransfonnasikan ke sistim koordinat , struktu ral. Ylatrix gaya pada eiemen ke i yang telah ditransfonnasikan ke sistim koord in at struktural. M a trix Transfonnasi. Momen torsi akibat gaya luar. .
.
tx
=
\)
=
Vx
=
vx
=
{D}
{ D r 0}
{D
., ' J
':ct}
[dI 1 J FO
}
o] [H I [H
]
[M]
[P] ] O (P
(P1T
{ Q} iR 1
[*J
=
Lendutan dititik diskrit.
=
Matrix
Lendut:m pada elemen-elemen konstruksi statis ter
tentu akibat bekerjanya gaya-gaya luar, dimana vektor len =
tentu akibat bekerjanya gaya redundant, dimana vektor len Matrix
Lendutan pada elemen-elemen konstruksi statis ter
=
Matrix
=
Matrix yang menyatakan deformasi pada elemen-elemen kons
Deformasi yang terjadi pacta elemen dititik diskrit.
=
Matrix yang menyatakan deformasi pada elemen-elemen kons truksi statis tertentu akibat bekerjanya gaya redundant.
=
Matrix Fleksibilitas.
=
Matrix
Fleksibilitas
pacta
e!emen-elemen
y:mg koresponsing dengan vektor redundant. tertentu,
=
akibat
konstruksi
statis
bekerjanya gaya-gaya luar untuk lendutan
Matrix Fleksibilitas pacta eiemen-elemen konstruksi sratis ter t en t u akibat be ke rj a n y a gaya redundant untuk lendutan yang .
\H }
[ r]
Bab 5.
truksi statis tertentu akibat bekerjanya gaya-gaya luar.
[F]
l
Gaya Geser virtuil.
dutan koresponding dengan vektor gaya redundant.
[do}
FI
.
dutanJ
r
[
Pec ahan poisson dari bahan Gaya Geser ak.ibat gaya luar. Momen tors1 virtuil.
= =
=
= = =
koresponding dengan vektor redundant.
Matrix gaya dalam pacta eiemen-elemen konstruksi s t atis ter
Matrix gaya dalam elemen.
tentu, akibat bekerjanya gaya-gaya luar.
tentu, akibat bekerjanya gaya redundant.
Matrix gaya dalam pada dernen-demen konstruksi statis ter Matrix Sifat bahan.
Matrix Statis pada konstruksi statis tertentu akibat bekerjanya Matrix Statis.
gaya-gaya luar. =
Matrix Statis pacta konstruksi statis tertentu akibat bekerjanya
=
Gaya luar yang bekerja dititik d is krit.
gaya redundant. =
Matrix gaya redundant.
=
Matrix Kompatibiliti.
=
�enyatakan besaran virtuil.
r 'H
t
n
Bab 6. \ 0�
[Qil (QjO] [Qijl m [Qijls
[S1
X
=
Yl:atrix reaksi awal.
=
J umlah elemen yang bertemu dititik-i.
=
Beban ekivalen diti tik diskrit.
=
Beban luar yang memang bekerja pada titik diskrit.
= =
=
[QijJ [Qijl
yang sesuai dengan sistim koordinat lokal.
Matrix kekokohan intern elemen.
yang sesuai dengan sistim koordinat stmktur.
DAFI'AR lSl
Ha1aman Prakata .............. ...................... Notasi
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
V vii
.
Bab 1. 1. I.
Penda.huluan ...............................
.
Introduksi.............. ...................
.
.)
1.2.
Pengertian Matrix secara Matematis ..............
.
1 ..,.
1.2.1. Matrix ...................................
.
4
,
1.2.:. Operasi Matrix ............................. .
8
1 .2.3. T rans pose d.:ui Matrix ........................ .
14
1.2.4. Matrix Simetris ..............................
14
1.1.5. Matrix Korr.plex ............................
.
15
1.2.6. Matrix Orthogonal. ..........................
.
17
1.2.7. Determin� ................................
.
17
1.2.8. Adjoin! dari Matrix .......................... .
20
1.2.9. Invers dari Matrix ...........................
20
1 3 .
.
Pcnydes:lian
susunan
.
pnsamaan linier denga11 Mt:icde
:\latrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . !.3.!. Pengcrtian Umurn ............................ 1.3.2. Cara penyeh:!>aian susunan persamaan 1inier .......
.
33 ,
.)
.., .)
35
1.3.3. Mctode Matrix Inve�i .........................
36
1.3 .4. �fetode Cramer .............................
.
38
1. 3.5. Met ode Gauss Jordan ........................
.
1.3.6. Metode Elirninasi Gauss ........................
40 43
1.3.7. �vfetode Iterasi Gauss Seidel.................... . B�b 2.
Metode Matrix untuk Analisa Struktur
. . . . . ... . . .
51
2. I. ..., ..,
Pengertian Urn urn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
2.3.
Metode Fleksibilitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
2.4.
Beberapa Contoh Perbandingan. . . . . .
56
Bab 3.
\-fetode Kekakuan
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
63 65
3.2.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduksi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Derajat Ketidak tentuan K ine ma tis . . . . . . . . . . . . . .
3.3.
Dasar Perhitungan.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Aplikasi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1. Konstntksi Balok Menerus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
3.1.
Metode Kekakuan.
.
.
.
.
.
66 76 76
3.4.2. Ko nstr uksi portal bidang t a n pa pergoyangan dimana deformasi axial diabaikan . . .. . , . . . . . . . . . . . . . 3.4.3. Konstruksi portal bidang dengan pergoyangan dimana
88
deformasi axial diabaikan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.4. Konstruksi rangka batang d�ngan titik hubung �ngsel.
103
.
.
.
\ 18 xi
Bab 4. -i-.1. 4.2. 4.3. 4.4.
�yfetode Superposisi Langsung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Introduksi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . �1etode Inversi untuk menurunkan Matrix Kekakuan Matrix Kelcakuan Elemen Balok . . . . . . . . . . . . . . . . . Transformasi Vektor Linier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 . Superposisi dari Ma trix Kekakuan Eleme n dan Syarat Batas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6. A.plikasi pada Analisa Balok dan Portal Bidang . . . . . . 4. 6.1. K onstr uk si balok menerus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.2. Konstruks i portal bidang tanpa penyangga dimana .J.. 7.
4.8. 4.9.
.
:\plikasi pad a Analisa Konstruksi Grid . . . . . . . . . . . .
deformasi axial diabaikan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aplikasi pada Analisa Rangka Batang.... . . . . . . . . .
�atrix Kekakuan Elemen non prismati s . . . . . . . . . . . 4.10 . Matrix Kekakuan Elemen melingkar . ... :. . . . . . . . .
Bab 5.
5.1. 5.2.
5.4
5.3.
Bab
6.
o. i.
6.2. n.3.
Metode FleksibiJitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Introduksi..................................
.-\plikasi pada konstn1ksi statis tertentu. . . . . . . . . . . .
Dasar Perhitungan.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
! 41 143 143
149 169
173 1 79 1 79
2 04 214 185
255 265
':287
289
.:n 289
..\plikasi pada konstruksi statis tidak tertentu .......
316
Gaya Nodal Ekivalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
335
Penggantian gaya-gaya pada demen menjadi gaya no-
Gaya Axial Ekivalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
340
Daftar Kepustakaan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
}47
dal ekivaien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gaya Transversal Ekivalen......... . . . . . . . . . . . . . Index. . . . .
xii
Halaman
.
.
.
. . . . . . ...... . . . . . .. . . . .. . . .. . .
337
341
349
!
I �·
�-
1 PENDAHULUAN
1.1. INTRODUKSI
I
Perhitungan statis 'untuk struktur yang linear elastis dapat dilakukan dengan metode Matrix. Pacta umumnya struktur mempunyai sifat mechanis dan geometris yang diidealisasikan sebagai :
1 . Material bertingkah laku secara linear dan elastis
2.
Lendutan dari struktur dianggap sangat kecil sehingga analisa dapat dilakukan sebagai struktur yang belum dibebani.
Dengan berkembangnya komputer sebagai alat hitung elektronik yang otomatis, maka metode matrix ini mulai disukai para teknisi dalam analisa struktur, karena formulanya menjadi lebih sederhana dan mudah, dibandingkan dengan metode analisa yJ.ng manual. Banyak hal dapat dilakukan dalam analisa struktur sehubungan dengan penggunaan komputer ini, antara lain :
1 . Analisa struktural, dalam arti kata menghitung gaya-gaya dalam
yang timbul pacta elemen-elemen struktur sebagai akibat bekerja nya gaya luar pacta struktur, dan sekaligus menghitung besarnya tegangan yang terjadi pacta penampang-penampang elemen sebagai akibat timbulnya gaya dalam pacta elemen bersangkutan;
2.
3.
Perencanaan elemen struktur, sebagai hasil dari analisa yang telah disebutkan di atas, sehingga dengan demikian tegangan elemen dan lendutan struktur yang terjadi tidak melampaui tegimgan dan lendutan yang diizinkan. Setelah selesai perencanaan ini, dapat dilakukan penggam baran geometric dari struktur, sebagai hasil dari analisa di atas, lengkap dengan ukuran dan karakteristik bahan dari masing-masing elemen struktur; Data processing dari hasil test pembebanan, yaitu processing untuk mendapatkan tegangan dan lendutan sebagai hasil dari test pembebanan yang dilakukan pacta struktur atau elemen struktur;
4.
Perhitungan banyaknya bahan bangunan yang akan dipakai dan perencanaan biaya;
5.
Perencanaan time schedule.
Untuk keperluan analisa ini, ada tiga macam alat hitung dapat dipakai. yaitu : 1 . kalkulator elektronik: 2 . mini komputer; 3. komputer berkapasitas besar. Sebagai konsekwensi dari kecenderungan di atas, perlu dipelajari lebih 3
mend alam lagi teori m atrix d an hubunganny a d engan penggunaan d alam analisa st ruktur ini, yang selanjutnya akan d ibahas secara men d etail pad a pasal- pasal berikut ini. 1.2. PENGERTIAN MATRIX SECARA MATEMATIS 1.2.1. MATRIX
Bila mempunyai satu susun persamaan linear, misalnya 2 X + 3 y + 2 X +
=
Z
=
y + 3 z
- X + 2 y -
=
z
:
0
( 1 .1 )
0
0
maka koef isien d ari persamaan linear ini d apat d ituliskan atau d ike lompokkan d alam suatu cara penulisan y ang lain, yaitu d alam bentuk jaj aran bilangan, sebagai d itulis di bawah ini :
[
2
-
]
2
3
1
3 - 1
2
matrix,
J aj aran bilangan ( 1.2) d isebut umum: a a
11 21
a a
12 22
a a
13 23
nl1
a
m2
2j
. . . .. . . .
.
. . . . .
a
. . . . . .
. . . . .
a
.
ij mj
. . .
.
a
. a
. .
.
a
lj
. . . . . . .
JTI3
a
yang d apat d ituliskan s ecara
a 3j
. . . .
. .
a
a
a
.
a
i2
. . . . . .
i3
a 33
i1
a
.
a 32
.
. . . . . .
.
a 31
( 1 .2)
2n
a 3
. a
. . .
ln
a
ri
(1.3)
in mn
d i mana m, n ad alah bilangan bulat � l . Biasanya m enand ai suatu m atrix d ip akai tand a [ ] atau ( ), atau { } untuk m atrix baris atau kolom. Bilangan- bilangan aij d isebut elemen- elemen d ari m atrix, di m ana 1. 2. 3 . . . . . . . m d an j = 1, 2, 3, . . . . . . n. B il angan m menuni jukkan bany aknya baris. d an n ad alah banyakny a kolom; sed angkan ked uanya menyatakan o rd e d ari m atrix. De nga n d emikian d apat d ikatakan, m atrix d engan ord e m x n, ad alah =
4
merupakan jajaran persegi dari elemen-elemen atas m buah baris dan tl buah kolom. Kadang-kadang notasi yang dipakai untuk baris memakai index di bawah, sedangkan untuk kolom memakai index di atas: misa1. kan ai menyatakan elemen baris ke-i. ai menyatakan elemen kolom ke j. Sebenarnya matrix ini sudah sering dijumpai dalam kehidupan sehari hari. Misalnya sering dibaca di surat-surat kabar pacta halaman olah raga, suatu laporan hasil bertanding dari beberapa kesebelasan sepak bola yang sedang berkompetisi untuk memperebutkan tempat teratas, dalam susunan seperti di bawah ini : main
nama
A
3
B
,., ..
c D
3 2
menang
I
0
seri
kalah
2
0 0
0
,.,
nilai
4 3 2
( 1 .4)
Susunan bilangan ( 1 .4) di atas sebenarnya telah disusun dalam satu bentuk matrix, yaitu :
2
3 2
0
3 2
0
0
4
�
0
3
-E--
2
2
I
T T r T T c
E
m
Ol c CO c (1)
E
I...
(1) Vl
..c CO
m
CO �
c
�
kesebelasan A. kesebelasan B. kesebelasan c. kesebelasan D.
( 1 .5 )
Matrix di atas In! mempunyai empat baris dan Iima kolom. Empat baris tersebut masing-masing menyatakan satu kesebelasan yang ikut bertanding, sedangkan Iima kolom masing-masing menyatakan keadaan "main'', "menang", "seri"'. "kalah ", ''nilai". Karena matrix dapat memberikan suatu jalan yang cukup sederhana dalam memecahkan berbagai macam persoalan, maka mempelajari matrix menjadi su:.�tu ha! yang mutlak penting dalam berbagai bidang pekerjaan. Sebagai contoh, seorang sarjana teknik ingin mer ;ncanaka �
5
satu b angunan besar seperti gedung bertingkat banyak, rangka batang, jembatan g antung, atap berbentuk tembereng, dan lain sebagainya, maka bila ia ingin menyelesaikan masalahnya tersebut dengan cara yang lebih sederhana, haruslah langkah pertama dari perhitungan pe rencanaannya ialah menyederhanakan masalahnya dan menyajikannya dalam bentuk matrix. Demikian pula di dunia perdagangan, sekarang tidak sedikit diantara pengusaha yang menggunakan perhitungan matrix untuk memperhi tungkan untung rugi suatu transaksi. Karenanya tidaklah aneh bila sekarang disekolah-sekolah menengah, sudah diaj arkan matrix, untuk memberikan dasar bagi analisa-analisa yang akan harus dilakukan diperguruan tinggi. Ada berbagai macam matrix : 1. Matrix bujur sangkar, bila m
[�
2
3
5
6
8
9
E1emen-elemen a11, a2 2 elemen diagonal utama. 2. Matrix baris, bila m
[ 1
., .)
,
4
3
2
=
Matrix kolom, bila n
=
n
( 1. 6)
a3 3 , ... .... . ann disebut elemen-
,
1, yaitu hanya terdiri atas 5
= 1,
6 l
yaitu hanya terdiri atas
1 baris saja.
( 1 .7)
kolom saj a.
1 2 3 4 5 6 4. Matrix nol, bila aij
u
0
0
0
0
0
0
=
(1 .8) 0
n
( 1 .9)
Acta beberapa type dari matrix bujur sangkar, antara lain : 1. Upper Triangular matrix, ialah suatu matrix di mana semua elemen di bawah diagonal utama sama dengan nol. 6
a
0
ll
a ..
0
a
13 2 3
0
a a
14
24
0
a 34 a 44
0
0
·a 33.
0
0
. . . . . .
a
. . . . . .
a
. . . . . .
a
. . . . . .
a
. . . . . .
ln
2n
3 n
(1.10)
4n
a nn
Lower Triangular matrix, i a1ah suatu matrix di m ana semua elemen di atas diagonal utama sama dengan nol.
a
[
0
0
ll
a
21
a
3.
·a 22. 0
0
,.., '-·
a
12
0
. . . . . .
0
0
a 3l a 41
·a 0 a 3 2 3 3. ·a a a 4 3 44 42
a
a
ml
22
a
ffi2
m3
a
ffi4
. . . . . .
. . . . . .
0
0
0
. . . . . .
0
· . . . . . .
a
(1.11)
mn
Matrix Diagonal, ialah suatu matrix di mana semua elemennya sama dengan nol kecuali elemen-elemen diagnonal utamanya.
[
] ..
0 0 0
0
0
. 2 ... 0 0 0
·.3 0
·.
0 0 0
·.:.�
J }
( 1. 12)
4. Matrix Skalar, ialah suatu matrix diagonaL di mana elemen diago nalnya merupakan bilangan yang sama. 2· 0 o 0
0
. '•2.. o 0
0 0
··z... 0
0 0 o
. '• 2
(1.13)
5. Matrix Satuan (unit matrix), ialah suatu matrix skalar. di mana elemen diagnonalnya ialah 1. Matrix satuan disebut juga matrix identitas dan sering ditulis dengan notasi ( 11.
7
•
0 0
6.
a a
11
0
0
0
0
0
0
0
0
(1.14)
0 )
0
Band matrix, ialah suatu m atrix bujur sang ka r, di m ana e lemen elemen y ang bukan no! ( nonz er o elements) di kelo mp okka n meng elilingi diag onal u tarn anya, membentu k su atu j alu r elemen diag onal . a a
12
0
0
..........
0
0
0
0
....... ..
0
0
.. . ......
0
0
22 0
a
0
0
a
0
0
0
0
.............
0
0
0
0
.......
21 0
3 4
3 3"
a
4
a
3
44
....... . .
0
.
a n- 1 . n-1
. ... a n. n- 1
0
(1.15)
a n- 1 . n a n.n
1.2.2. OPERASI MATRIX
l . Kesamaan m atrix. Du a m atri x [A ] dan [ B1 dikatakan sama. bila U ij = bij dim ana aij i al ah elemen dari matrix (A 1 : b ij i alah el emen dari matrix [ B l . Contoh:
[A]
[ B]
=
[�
5
r2
3
1
5
l
3 3
3
] l
( 1.16)
Jelas di si ni ba hwa dua matrix [Al dan [ B 1 tersebu t di atas haru s m empu ny ai orde ya ng s ama . 8
2.
Penjumlahan matrix.
Apabila [A] dan [ B] adalah dua matrix yang mempunyai orde yang sama, maka kedua matrix tersebut dapat dijumlahkan meng hasilkan suatu matrix [C ] = [A] + [B], dimana
cjj
=
(1. 17)
aij + bij
Cij ialah elemen dari matrix [C]:
ai j ialah elemen dari matrix [A] ; b ij ialah elemen dari matrix [B].
Contoh:
3
[A]
5 2 [B] 5
[C]
[c J
[ [
[A] + [B]
[C]
�
2-1
3+2
1 +4
1 +2
5+5
3-3
5
5
10
0
3
] l
Suatu penjumlahan matrix akan mempunyai sifat-sifat sebagai berikut :
1. [A] + [B] = [B] + [A] (comm utatif) -, [A] + [B] + [ C] = ([A] + [B]) + [ C] (associatif) 3 . Akan terdapat suatu matrix [X] sedemikian sehingga [A] +[X] = [B]
3.
Perkalian skalar.
Suatu matrix [A] dapat diperkalikan dengan sua tu skalar k. menghasilkan suatu matrix [ D] = k [A], dimana dij = k.ajj
dij menyatakan elemen dari matrix [DJ; aij menyatakan elemen dari m atrix [A].
( 1. 18)
9
Contoh:
[A] k
=
[D] =
[
(D] =
2
3 3
5 - 3
k. (A]
r-
6
- 9
- 3
-15
-:
1 l
Suatu perka1ian skalar m atrix mempunyai sifat-sifat a ntara lain ( 1 ).
4.
k ([A) + [B)) = (2). k ([A) + [B)) = dim an a k ada1ah ska1ar.
:
k [A) + k [B); +[B)) k : ([A)
Perkalian matrix.
Suatu m atrix [A) denga n orde (m x p), dan m atrix [Bl dengan orde (p x n), dapat diperka1ikan menghasi1kan suatu matrix baru [E) [A]. [B) dengan elemen =
atau
eij
dim ana:
=
p z
k=l
ei j au bij
ai k
( 1 . 20)
b kj
·
e1emen m atrix [E) ' " [A); [B ] ; =
j k
(1.19)
= =
1,
3, 2, 3, 2. 3.
1 , 2, L
.. . .. . . . . . . .. . . . •
•
•
•
•
•
•
0
.,
., ..
m:
n:
p.
Matrix [E) hasil perkalian tersebut akan mempunyai or de (m x n) Contoh:
(l)
.
[A)
a
11
a
12
a
21
a
22
31
a
a
10
3 2
[B ]
�
[ : 1 : 12] 21
22
[E]
=
[A]. [B] a a
=
3
[E]
=
=
2
=
b
21
I
12 22
a 2 1·b 1 1 + a 2 2 ·b 2 1
a 2 1 ·b 1 2 + a 2 2 ·b 2 2
. bll +
[�
5 2
3
a:l
b "3 2 . 2 1
l)
[B]
[A]. [ B ]
[� [
:l
3
J. 3
[]:
+
H
3 ( -l ) + 2.2 I
5
12
]
1 . b l2 + � 2. b 2 2
l
)
H I 4
2 . 3 + J ( - J) + 5 . 2
=
b
b
11
a ll.b 12 + a ,z .b zz
3 1
=
3
b
a ll. bll + a 1 2 · b 2 1
a
[A]
22
a
1
[
12
a
21
a
( 2) .
a
11
=
2
4 2
2 .4 + J. 2 + 5. J
1 .4
+
3.2 + 2 . J
l
J adi teranglah dengan orde ( 2 x 3 )x (3 x 2) akan menghasilkan orde (2 X 2).
II
(3). Kita ambil contoh matrix (1.5). di ha1aman 5. Dari matrix tersebut, diambil satu matrix bagian yang menyata k an keadaan "menang", "seri" dan "kalah", yaitu :
2
[P]
0
I
0
+
2
+
=
0
+
0
+
t
t
men ang
Kesebe l asan A. B. 11
11
c.
11
D.
t
se r i
k a lah
Matrix [P] mempunyai orde (4 x 3) Sekarang untuk tiap pertandingan akan diberi nilai sebagai beri· kut: "menang" berni1ai 2 1 "seri" 0 "ka1ah" Bila dinyatakan secara matrix :
{ }f2
[N]
l
0
n
men � ng
+-se r 1
+-
ka l ah
t
i lai
Di sini matrix [N] mempunyai orde ( 3 x I). Untuk ·mendapatkan jumlah nilai yang sebenarnya didapat oleh masing-masing kesebelasan, maka keadaan ''menang-kalah" perlu dikalikan dengan "nilai masing-masing pertandingan". yaitu secara matrix : [E]
=
[P]
[N]
di man a [E] ialah matrix yang menyatakan jumlah nilai dari ma sing-masing kesebelasan. 12
[E]
=
=
[P]. [N] A
�
B
-t-
..... 0
t Cl c ro c C)
E
"1
l
l I
[E)
:::
0
2
t
t
·-
I...
Q) Vl
2
r
0
I
0
c ....
D
2
l
l �j
+-
menang
+-
seri
+-
kalah
t
-
J: ro
ro
ro .::(.
·-
c
1. 2 + 2.1
+
0 .0
1 . 2 + 1 . 1 + 0 .0
1 . 2 + 0.1 + 2 . 0 0.2 + 1. 1 + 1. 0
r
<
1
4
+-
l�j n i la
B
+-
c
+-
D
+-
t
A
i
Di sini suatu m atrix [P] dengan orde (4 x 3), dikalikan dengan m atrix [N] dengan orde ngan orde ( 4 x 1 ).
(3
x
l ), menghasilkan m atrix [E] de :
( 1) . [A] ([B] + [Cl) = [A] [B] + [A] [C] (distributif pertam a) Pacta perk alian matrix tadapat beberapa sifat penting, a ntara lain
dimana [A]. [B]. [C] adalah m atrix yang m emenuhi syarat untuk penjumlahan dan perkali an m atrix.
(2). ([A]
+
[B]) [C] =[A] [Cl
+
[B] [Cl (distributif kedua)
(3). [A] ([B] [C]) =([A] [B]) [Cl ( associatif) (4).
Pacta umum nya [A] [B]
:i::
( B] [A] :
(5). [A] [B] = 0. belum tentu m engakibat kan [A] = 0 atau [8] = 0: (6). [A] [B] =[A] [C]. belum tentu mengakibatkan [B] =[C]. 13
Apabila [A] adalah suatu matrix dengan orde (m )� n). maka yang dinamaka11 transpose matrix [A] (dengan tanda (A] T) adalah matrix berm·de (n x 111 l dim:::ma baris dan kolom matrix [A] menj
1.2.3. TRANSPOSE DARI MATRIX
[B ] b··
[A]T
=
IJ
(1.21)
Contoh
2
[A]
(1).
5
Beberapa ha! berhubungan dengan transpose dari matrix antara lain
(2).
(3 ). (4).
:
( [A]T)T = [A] (k.[A] )T = k. [A] T +
[B]l T= [A] T + [B] T ( [A]. [B]) T = [B] T. [A] T t [A]
1.2 .4. MATRIX SIMETRIS.
I.
Suatu matrix [A] dikatakan simetris, bila atau
[A]T ajj
Contoh :
[A]
[A]
=
"
=
[A] ( 1.22)
·· aJl
[_
9 2 7
9 2
- 2
7 3
J
disebut matrix simetris karena [A] T = [A]
Suatu matrix dikatakan skew-simetris, bila memenuhi hubungan:
T [A]
14
=
-
[A]
f1.23J
Contoh
r
2
0
l��
(A]
0
-
4
Perhatikan bilangan no! pacta elemen diagonalnya.
1.2.5. MATRIX KOMPLEX I.
Suatu matrix [A] disebut sebagai matrix
komplex
bila elemennya
terdiri dari bilangan-bilangan komplex.
[
Contoh
[ A]
I II
=
2 + 3i
+ i 2"
di mana
V-"1
=
l
Bila suatu matrix komplex [AJ elemen-elemennya diganti dengan conjugate dari masing-masing elemen tersebut, maka matrix yang terjadi disebut sebagai
conjugate
dari matrix [A], dengan notasi
[A]* Contoh
[ [
(A]
[A]''"
2 + 3i
1 + 2 -
i
1
2
di mana bil::mgan kompkx I �m
3i
2
-
+
] l
)
i merupakan conjugate dari bilang
1 + i dan demikian pula demen yang lain. Dengan demikian bila
:,atu matrix I A I*
=
[A]
[A]
semua demennya terdiri dari bilangan riiL maka
: sebaliknya
bila semua elemennya terdiri dari bilangar.
imajiner. rnaka [A]*= -[Al.
3.
Suatu matrix [A] bungan :
([AI
*l
disebut matrix
T
=
[AI
hermitian
bila memenuhi hu11.24; 15
di m ana [A]* ( [A]*) T [A)
c onjugate dari [A] tr anspose dari [A]* matri x k omp le x bujur sangkar
=
= =
Contoh:
[ [ [
[A]
[A]*
( [A]•'-) T
=
l l l
2 + 2 -
3
2 2 +
2
3 2 +
- i
3
[A)
=
D alam ha! i ni . e le me n di agonal dari matri x he rmi ti an akan se lalu te rdiri dari b ilangan-bilangan riil. 4. Suatu matri x [A) dise but matri x skew-hermitian, bila me me nuhi hubun gan : ([A) *) T
- [A]
=
( 1.25)
D alam hal i ni e le me n di agonalnya akan te rdi ri dari bi langan nol atau bi langan i m aji ne r. Contoh [A)
[A].�
( [A]*)T
=
r
0
l-1 + i
=ll l I
16
1
0
- i
0 -
0
I
-1
0 -
+
I
-
0
I
) l l
I ) I
=
- [A]
\.
Suatu
1.2.6. MATRIX ORTHOGONAL.
matrix bujur sangk ar [A] dise but m at rix
memenuhi hubung:m :
[A] [A] T
[A] T [A]
:::
orthogonal t)ill.:
[I]
=
( 1.26)
Jimana [ I] meny atak an mat rix satu an. [A] �
[A]
T =
[A].[A]
T �
[[ [
cos e
si n
sin
e
cos
cos
e
- sin
s in
e
cos 0
0
:J l 1 e
e
=
[I]
Su atu matrix komplex buju r sangkar [A] d ise but se bagai matrix bila memenu hi hu bungan : T [A] .((A],�) ([A) ,':)T_[Aj [I] (1 .27) d im ana[I] menyatakan matrix sa tu an.
unitary
=
Contoh :
l
-
[A]
V3
=
l -
f3
l
+
f3 -
l
·-
f3
Suatu matrix unitary de nga n ele men riil akan meru pak:m matrix orthogonal. Determinan dari sua tu matrix hu j u r s�m,zb: [ .\ l. ditu!i�k�tn :;eb2.gai
1.2.7. DETERMINAN.
17
a a
lA /
=
ll 21
a a
a
12
l 3
a
22
23
..... .. a .... . .. a
ln 2n
a 3
a 3 2
a 33
. .. .. .. a 3 n
a
a
a
.. .. .. . a
nl
n2
n 3
(1.28)
nn
Sebelum membahas tentang deterrninan lebih mendalam. akan diper lihatkan dulu keadaan yang khusus, yaitu untuk matrix dengan orde 2 x 2.
:J
[A]
Determinan [A] untuk orde 2 x 2 ini didefinisikan sebagai
I AI
ad - be
=
Contoh :
( 1 . 2 9)
[: l 2
[A]
4
/AI
l . 4 - 2. 3
4 - 6 - 2.
=
Untuk matrix dengan orde lebih tinggi. sebelum dihitung determinan nya, harus dikenal dulu minor dan cofactor dari elemen m atrix . Minor dari satu elemen aij. dimana aij merupakan satu elemen dari matrix bujur sangkar [A]. didefinisikan sebagai determi nan dari bagi an matrix fA] cliluar baris ke-i dan kolom ke-j, yang cliberi notasi Mij. Contoh :
2
[A]
2 1,
7 18
3
5
6
3
4
6
7
4
5
4
I
3
4
5
6
7
6
5
4
+ Bila Mij diperkalikan dengan ( - I) cofactor dari aij, yang diberi notasi Cij· ci
j
=
J. ,
maka akan menghasilkan
( -- n i+j Mu
(1.30)
Detenninan dari matrix [A] dengan orde n x sebagai a
I AI
il
. c.
I l
+ a.
12
.c.
12
+ a.
I 3
.c. I
3
+
.
.
n
dapJt didefinisikan + a. . c .
.
1n
1n
n
atau :
I
(1 .3 1 )
k=l
Persamaan (1.3 1) ada1ah rumus untuk menghitung determinan dengan expansi menurut baris ke-i. Determinan dapat pula dihitung berdasarkan expansi menurut ko1om ke j, sebagai berikut :
=
+ a ..C . a . . C . + a .C :3 J 3 J 2j 2j lJ lJ
atau :
/A/
=
+
.
.
.
+ a .. C
nJ
n I
nj
.
(1.32)
k=J
Beberapa ha! yang perlu diperhatikan berhubungan dengan perhitung an detenninan ini antara lain :
( 1 ). Apabila dua baris atau dua kolom dari matrix [A] adalah sama. maka /A/ 0
(2). Apabila (A] adalah matrix satuan. maka I A/ (3 ). Apabila satu kolom dari matrix [A] dijumlahkan dengan kolom =
=
yang lain (atau kelipatan dari kolom yang lain), maka I A I tidak berubah. (4 ). Apabila d ua kolom dari matrix [A] ditukar posisinya. maka I A I mengalami perubahan tanda. ( 5). Detenninan dari matrix [A] akan sama dengan detenninan matrix transposenya.
19
1.2.8. ADJOINT DARI MATRIX
Adjoint dari sa tu matrix bujur sangkar [A], yang diberi notasi [A]+. ialah satu matrix 'kngan orde yang sama. yang didapat Jen2:an meng ganti elemen dari [A]T (transpose dari matrix [A] ) dengan cofactor dari elemen yang bersangkutan. a
a
[A)
l
[A]T
=
r
l
[A]+
a
l l
21
3 1
a
a
11
a c
c
c
12 13
ll
12
1 3
a
a
a
a
12
a
22
3
a
a
a 3 1
c
c
c
a 3 2
22 2
2 3
a 33
2
21
a
l 3
a 33
3
21
c 3
2
c 3 3
c 3 2
22 3
Telah diuraikan di atas penjumlahan dun perkalian dari matrix. Tapi proses pembagian tidak dikenal pada operasi matrix. dan sebagai ana loginya, digunakan invcrs dari matrix. Apabila [A] dan [ B] adalah matrix bujur sangkar sehingga [A] . [B] [ B l . fA] matrix satuan. maka [ B l disebut invers dari matrix [A l . Jan fA l adalah invers dari [ B l .
1.2.9. INVERS DARI MATRIX.
=
=
Contoh :
[A)
.20
r I
! i
\
2
3 ") -
3 3 4
II I
!
I J
[B]
[A] . [B]
[A] . [B]
=
=
[: [
6
- 2 0 2
3
0
maka di katakan : [B] [A] atau :
= =
0
3
3
2
l:.
0
0
0
0
- 3
[A] -1 [B l - l
0
) I
[:
6
- 2 I
0
[I]
- 3 0
1
dimana [A] - 1 menyatakan inv er s dari matrix [A], dan ( B] -1 menyatakan i nv er s dari m atrix [B] . Ada beber ap a car a untu k mencar i i nv ers dari matrix, diantaranya metode adjoint (adj oi nt method) metode pemisahan ( m atrix p ar ti tioning) metode Gauss -Jor dan ( Gauss - Jor dan method) metode Cho1esky (Cho1 esky method) Di bawah ini akan di bahas c ar a- car a ter sebut di atas satu per satu. 1.
Metode Adjoint.
Metode i ni menyata ka n sa tu hu bu nga n dal am menghitung inver s dari sa tu matrix bujur sangkar [A] sebagai : [A] - I
dimana[A] --1 [A]+ !A I
( 1.34)
= = =
i nver s dari matri x [A] : adjoint dari matr ix [A 1 : deter mi nan dari m atri x [A 1 .
J adi. i nvers dari satu matri x [A], bisa di dapat Jengan mern bagi adjoint dari matri x bersangkutan Jengan Lkterminannya sendiri. 21
Contoh:
[A]
3 4 3
=
3 3 4
Determinan matrix [A] dapat dicari berdasarkan perhitungan sebagai telah diuraikan pada pasal 1 .2.7.
A
4
3
3
3
+
- 1
=
4
3 =
( 16
=
1.
-
9 )
-
( 12
-
9 )
+
( 9
3
4
3
1
4
3
3
12
Selanjutnya dihitung cofactor dari elemen-elemen matrix [A] .
c
11
12
c
c
1 3
c
21
c
c
') '")
"- -
22
2 3
=
4 3
3 4
=
3 4
=
4 3
=
=
3 3
3 4 3
L,
3 3
=
=
7
-
1
=
-
1
=
-
3
=
=
0
c
3 1
c
3
c
3
=
4
=
3
=
3
2
3 3'
3
3
-
3
0
3
=
4
A djoint dari matrix [A] c c c
=
[
11
12 l 3
c c c
21 22 2 3
- 3
�
0
- I -
c
3 1
c 32 c
3 3' .
l
- 3 0 I
I nvers da ri matrix [A]
[A] - I
=
=
[A] IAI
[- � - 1
d ima na I A \ 2.
+
=
I
Metode pemisahan.
- 3
0
- 3 0
J
Sesua i dengan na ma dari metode ini, ma ka la ngka h perta ma yang dila ku kan dala m proses menca ri invers matr ix ini iala h mela ku ka n pemisa ha n (pa rt it ioning) terha dap mat rix bersa ng kuta n. 2J
a 12 a 22 a3 2
: "1
a 12 II a 2 2 II a3 2 -t1
a1 3 a3 2 a33
Ambil satu m atr ix[A ] :
[A)
a 11 a21 a3 1
=
23 a3 3 )
Lakuk an pemisahan :
[A]
=
a 11 a21 a3 1
-- - - -
(1 .3 5)
- --
A tau dinyatakan dalam sub m atrix :
A1 1
[A]
-- -
\ •
A2 1
1I
+ I I I
A12 ---
A
( 1 .3 6 )
22
dengan p enger tian :
A1 1 A 12 A2 1 A 24
22
( 1 .3 7)
=
=
=
a3
1
a3 3
a3 2 ]
Bila dimisalkan [ A ] - 1 = [ F ] maka akan terdapat hubungan :
[ F] . [ A ] ::::
[I]
a tau
( l .3 8 )
Dengan mengexpansikan perkalian di atas akan didapat :
Fu
Al l
+
Fl2
A2 1
F2 1
Al l
+
Fz z
A2 1
Fl l
A12
+
F 12
Az z
=
Fz 1
A12
+
Fz z
Az z
=
=
0 0
( 1 .39)
Persamaan ( 1 .39), yang m erupakan hasil expansi dari persamaan ( 1 .3 8), merupakan persamaan linier dengan em pat " b esaran anu" yaitu F 1 1 , F 1 2 , F 2 1 , F 2 2 · Dengan menyelesaikan persamaan ( 1 .39), akan didapat hasil :
Fu
An
Frz
=
Fz l
=
F zz
=
-1
+ A u - l A 1 2 ( A z z - A z l A l l - 1 A 1 z ) - 1 Az 1 A 1 1 - 1
-1 - A l l - 1 A 1 2 ( Az z - Az A l - 1 A 1z) l l
- ( A z z - A z 1 A l l - 1 A 1 2 ) - 1 Az 1 A l l - 1 ( Az z - Az 1 A u
-1
( l .40 )
-i A12 )
Persamaan ( 1 .40 ) dapat diuraikan menjadi suatu u ru tan yang sisti matis. yai tu sebagai beriku t :
( 1) . (2) . ( 3) . (4 ) .
(S} .
H i t ung
H i t ung
H i t ung
H i tung
H i t ung
Al l-
An
1
-1
A1 2 Al l
A2 1
-1
{ Has i 1 ( 3) } . A l 2
A zz
-
{
Has i
I (4) }
15
F22
{ Has i l (5 ) }
( 6) .
Hi
t un g
( 7) .
Hi
t un g
( 8) .
F2 l
Hi
t un g
F12 = -{
( 9) .
H i t un g F 1 2· {Has i l
( 10 ) . H i
=
- F zz
. { Has i
Has i l
Contoh :
�
[: [
( 3) }
3
4
3
Lakukan p emisahan :
1
[A ] =
l
1
_
_ _
I
3
I 4
Melihat p ersamaan ( 1 .36) :
A
A
A
A 26
=
11
12
r\
=
21
=
22
=
[l
3 3 3
4
�
�j_]_j 3
I
:J } ]
-
3
l
l ( 3) }
F 22
(2) }
Fl l = A l l - I - { H a s i
t un g
[A]
=
I
(9)}
(1 .4 1 )
Sekarang akan dilakukan operasi seperti diuraikan. dalam persamaan ( 1 .4 1) , dengan urutan yang sama.
(1)
•
(2) .
( 3)
(4 ) .
(5 ) .
(6) . (7) .
1 Au- = 4
Az 1
•
�
A 12
A1 1- l
A1 1 - I
3
•
•
[ I
0 ]
A
[ 3 ] =
F
22 22
=
•
[1]
(_ � ) (_ � ) 4
4
[_
4
[ I
A1 2 =
-1
- [1 ]
-
� J{ : }
(
3 ]
[ I
0
_
]
�
[ 1
- 3
{:}
[ 4 ] - [ 3 ] =
•
{:} J
[ I
0 ]
[ 3 ]
[ 1 ]
=
[ 1
0 ] =
[ -1
0 ]
( 8) .
( 9) .
0 ]
j o)
o
I
( 1 0) .
27
r
Jadi matrix ( F] y ang m erup akan invers dari m atrix [A] d ap at d i susun dari hasil di atas sebagai beriku t :
[F)
[ F)
=
F 11 21
---
F
F 12
i
I I
F
7
- 3
- 1
1
____
- l
J
j- - I
0
1 I
22
- 3
o
l__
l
D engan d emikian invers dari [A] ialah :
[ F)
3.
=
7
- 3
- l
0
-
l
Metode Gauss-Jordan.
Langkah-langkah pent ing yang perlu diam bil untuk mencari invers d ari m atrix [ A ] dengan orde n x n secara garis besar adalah seba gai berikut : ( I ) . Am bi1 m at rix satuan [ I ] d engan orde n x n . (2). Dengan cara operasi baris, ubahlah m at rix [A ] menjadi m a t rix satuan . dengan tahapan sebagai beriku t : ( a) . 28
B agi1ah baris ke- 1 dengan a 1 1 • sehingga a 1 sam a dengan 1 .
1
sekarang
(b). J u mlahkan baris ke-2 dengan baris ke- 1 y ang telah d iper kalikan d engan ( - a 2 1 ) , sehingga a2 1 sekarang m e nj ad i no!. Ul angi langkah (b) untuk baris ke-3 , 4, 5, . . . . . , n . Sekarang kolom ke- 1 m e njadi no! semu a kecuali a 1 1 = I
(c).
( d ) . Ulangi langkah ( a) , ( b ) , (c) untuk baris ke-2 , dimulai dengan m e m b uat a2 2 = I , dan a1 2 = 0 , a3 2 = 0 , a4 2 = 0 , as 2 = 0 . . . ' a n 2 = 0 Ulangi langkah ( d ) untuk baris ke-3 , 4,
(e).
( f). Proses selesai.
5, .
.
.
. .
.
, n.
( 3 ) . Proses (2) sekaligus dilakukan pacta m atrix [ I ] , sehingga setelah proses selesai . m atrix [ I ] telah beru bah m enjadi matrix ( F] . Matrix ( F] i nilah invers dari m atrix [A]
( 4 ). Proses keseluruhan dapat d in yatakan se bagai : . I
[ A
]
ope ra s i ba r i s
Contoh :
[ A]
=
[
( 1 . 42)
F ]
[
3
4
3
Sekarang ingin d icari [A] - 1 d engan nt etodc Gauss-J ordan . No tasi H ik (p ) menyatakan penjumlahan pacta baris ke-i d e ngan baris ke-k y ang sudah d iperkali kan d engan p . Jadi m isal nya H2 1 ( 2 ) menyatakan baris ke-2 dij u m l ahkan dengan 2 kali baris ke- I .
(
iI I
l l
l1 \
3
4 3
T A
3
3
4
0
0
0 0
T
�l H, (- l)r�l l l
,...,__,
3 3
3
0
4
-1
0
0
G
�J 2Q
l 1
l
I
3 1
H
(- 1 )
�
( -:3
H 13
0
0
[A 4.
0
[
)
�
J ad i
3
0
0
3 I I
I I
0
-1
1 1 -1 0
�]
0 0 0
0
0
H
..--.._.,;
7
-3
-1
0
-1
--1'--
I
]-1 �
[:
12
) ( -3
I
F
7
- 3
J
- 3 0
0
Metode Cholesky.
-�
[
1
0
0
0
0
3 I
I
4
-3
1 1 -1
0
0
I
I
-1
�]
l
D asar dari met ode Cholesky ini ialah terletak pada kenyataan bahwa setiap matrix bujur sangkar dap at diubah sebagai p erkalian dari sat u lower t ri angular matrix dengan satu upp er triangular matrix. D engan demikian invers dari m atrix bujur sangkar tersebut dap at diselesaikan dengan mencari i nvers dari masing-masing triangular matrix , dan ini bukanlah suatu pekerjaan yang sukar. D alam analisa struktur dengan metode matrix, akan selalu dijum pai matrix yang simetris. Suatu mat rix simetris, akan selalu dap at diubah menjadi p erkalian dua triangular matrix yang satu sama lain merup akan m atrix t ranspose. Bila ( A ] menyat akan suatu mat rix simetris. dan [ L ] menvatakan suatu lower t riangular m atrix. maka : [A] = [ L] . [ L] T
a a
ll
21
3
a
1
n1
a
a a a
12
22
3
2
nz
a
at au secara keseluruhan : a a
. 1 3
2
3
33
a a
n
a a
3
a
l
2n
3
a
Q,
1n
r'1
nn
Q, =
X.
11
21
3 1
Q.
n1
0 9, 9,
22
3 1
·x.
n2
0 0 X.
3 3" .
X.
n 3
0 0
(\
0
1
Q,
21
X.
22
0
0
0
nn
0
0
Q, 9, .Q,
3 1 3
2
.
n2
l
n
1v
X. n
33
9,
3
nn
0
( 1 43) •
30
. 9,n 1
I
£. .
=
I
I
a. . I I
J
£ :
Da r i pe r sama a n ( 1 . 4 3 ) [A (
( 1·
[A
Bi
1 =
1 [A ] -
ma ka d i ma n a
= 0
ij
£
11
t
21
0 i
22
3
3 1
£,
t
=
t
9�
1
n
0
0
0
0
33
0
£,
2 t
n2
t
n 3
11
n
A,
.u
21
u u
t 3
32
ll
r�
1 1
22
+ ,l ll 3
. .
.
.
.
..
.
2
.u u
j
nn
3
I
l
\
Un
1
u
l
. ...
(j .
u 3 3' 3 l
"'
j
( 1 44) •
( 1 . 46 )
.
( I 47) ( I . 48)
22 2
n2
0
0
u 3 3' . u
n
3
. . .u
ll
.
u 3 1
oj
0
0
0
o =i o I : ,)\ lo
0
0 0
nn
,)
0
I
.
( 1 50)
= t2
21
0
r:
0
0
u
0 +
i
i >
untuk
(1 . 4 5 )
u
21
21
£. .
o·
0
u 3
21
I U
i
u
1 1
= + t
1 r £. J. r
£.
=
( 1 . 49)
S e t e 1 a h d i j a ba r kan 0 "'
1r
r\-:: 1
un tuk
;2
)
JJ
[ L ] . [ U] = [ I ] a t a u seca ra kese l u r uhan
(
i.
=
1
2
T 1 ( [ L ] . [ L] ) l l T ( [L( ) [L( 1 [L] T [ F] = [U] . [ U ]
[U]
la
-1
r=1 j-1
a. . l j
£... . I
i
-
1
.u1 1 t
22
.c 3 1 u 1 1 + Q. 3 2 U 2 1
3 3'
'
a t a u se ea ra umum U. .
n "- • · I I
I I
r r= l u . = - -�� £.. IJ I
i-1
1
i.
r . · rJ
u .
-
I
-
.
U ·I J
·
=
un t u k
0
un t uk
i) j
(I .51 )
•
i
(j
Setelah didapat m a trix [ U ] , m aka m udahl ah untuk m enghitung m atrix [ F ] sesuai dengan persamaan ( 1 .48), y aitu : = [F] [ U] T [ U ] d im ana m atrix [ F ] m erupakan invers dari m atrix [ A ] . 1.3. PENYELESAIAN
SUSUNAN
PERSAMAAN
LINIER
DENGAN
METODE MATRIX. 1.3 . 1 .
PENGERTIAN UMUM.
Mengingat bahwa ban y a k p ro b le m a t i k dalam t e knik sipil y ang di
maka p e r l u l a h k i r a n y a u n t u k mempelaj ari j uga b agaim ana m en yele ny at a k an d al am persamaan l i nier d engan sej u m lah
"
b il an ga n a n u " ,
sai kan persam aan l i n i e r terse b u t sec ara m at rix . S e k arang akan d it u njukkan satu p er sam aan y ang sa ngat sed erhana.
3
X
+
7
y
=
12
( 1 . 52)
Persamaan ( 1 . 5 2) d a p at d iny atakan secara m atrix sebagai :
[ 3
=
7 ]
[ I2
]
( 1 . 53 )
D e m i kian pula p ad a d u a persam aan linier di bawah i n i :
3 X 5
X
+
7 Y
2
Y
=
=
12
3
( l . 54)
D apat d in y at a k an sec ara m at rix sebagai :
( I 55) .
33
s�cara umum n buah persamaan linier dengan n buah "bilangan anu" dapat dituliskan sebagai : a
11
a
X
1
1
+ a + a + a
n1
X
1
+ a
a
11
a
X
12 2
X
22 2
X
3 1 1
a
a
21
X
3 2 2
X
+ a + a + a
X
2
3 3
n2 2
+ a
12
a
X
: 3 "3
X
3
X
X n 3
'3
3
3
+ ...... + a
1n n
X
+ . . . . .. + a .
+
.
...... + a
X 2n n
=
n n
X
3
+ . . . . . . .+ a
=
=
nn n
X
=
b
1
b
2
b
3
b
n
( 1 56) •
Persamaan ( 1 . 56) d ap at dinyatakan secara m atrix seba�ai :
a a
21
a
3 1
a
n1
a
a
22
a
2
a
n2
a
3
1
3
2
3
3 3'
n
... .. a .
.. . .. a .
.. ... a .
2n
3 n
a
3
ln
nn
X
X
X
b
2
3
X
b
1
=
n
b
1
2
3
b
n
( 1 57) •
Persamaan et . 5 7) dap at disederhanakan sebagai :
[A]
. �xt
{ B}
( I 58) .
D engan pengertian : [A] {X} {B }
ialah matrix bujur sangkar yang menunjukkan koefisien p ersamaan linier dimaksud. ialah matrix kolom dari "bilangan anu" ; ialah matrix kolom dari "konstanta ".
Banyak typ� dari matrix koefisien [ A ] . antara lain : �4
1.
Matrix koefisien simetris : Contoh :
Disini m at rix aij = aj i · 2.
3
2
0
X
2
4
-1
X
0
-1
X
5
i A
i X
i B
[A ]
0
1
2
2
=
3
m erup akan m atrix y ang simetris, dim ana
Matrix koefisien jalur (band coefficient matrix) Contoh :
0
0
0
X
0
0
0
X
0
0
2
2
4
2
2
6
2
2
4
2
6
8
4
2
X
2
5
6
4
X
4
2
2
X
6
0 0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
T A
3.
0
5
0
12
1
11
2
0
X 3 X
i X
4
=
7
7 9 5 21
i B
Matrix koefisien terpencar (spare coefficient matrix) Pad a m atrix type ini bilangan no!.
ban yak elemennya yang meru p akan
1.3.2. CARA PENYELESAIAN SUSUNAN PERSAMAAN LINEAR Banyak m e tode un tuk m en yelesaikan· persamaan linier ini, y ang secara garis besar dap at d ibagi atas dua kategori utam a. 35
I.
METODE EKSAK ATAU METODE LANGSUNG.
Metode ini melipu ti seju mlah tertentu perhitungan aritm atik a . yang proporsional dengan jumlah dari persamaan atau ' 'b ilangan anu". Pada akhir dari perhitungan . akan didapat hasil yang e k sak dari perhitungan tersebut di atas. Beberapa metode pe nting yang term asuk d alam kategori ini antara lain : l. .,
Metode i nversi matrix Metode Cramer atau me tode determinan 3. Metode Gauss-J ordan 4. Metode Eliminasi Gauss 5 . Metode Crout 6. Metode Doolittle 7. Metode Cholesky ( khusus untuk matrix koefisien yang yang simetris) II. METODE PENDEKATAN ATAU METODE ITERASI.
Metode i n i dimulai dengan suatu harga permulaan dari "b ilang an anu", yang d il an ju tk an dengan koreksi dan penyempurnaan pada harga-harga "bilangan anu " tersebut dalam beberapa putaran perhi tun gan . Yang termasuk dalam kategori i n i antara lain : 1.
Met ode G radien sekaw a n ( conjugat e gradient method) M etode iterasi G:wss atau J acobi. 3. Metode iterasi G '-l uss-Sc i del 4. Metode relaxasi .,
Di bawah ini akan d ibahas beberapa dari m etodc yang telah d isebutkan di atas. 1.3 . 3.
Dari persamaan ( 1 .58) :
METODE INVERSI MATRIX.
[ A]
.
diperkalikan d e ngan
(A ( 1 [A ]
36
=
{ X}
{ B}
[A] - ! { X}
=
( A ] - l {B}
[ I ] { X}
=
[ A f 1 {B}
{ X}
=
(A ] - l -{ B }
(I . 5 9)
Contoh :
=
Dinyatakan secara m atrix :
[:
l -2 I )
{ � } {: }
3
T A
[A] /AI
X
i
= [: ==
3 -2
(A
1
J
2 ( -2 ) - 3 . 3 - 13
]-1
B
T
: [ l -2
1
-=-13
=
2
n
-3
3 13
=
2 13
3
n
{ s}
{ x}
r
==t =
71
4
/
[A ( 1
•
{ B} jJ
2
X = -
y
3 13
X
26 I3
=
y
]__
n
13 l3
13
7
2
l3
I
D engan demi kian didap at : X
=
2
y 1.3.4. METODE CRAMER
D ari persamaan ( 1 . 5 8) : [A] { X} = { B} D engan metode Cramer akan didap at : .
X .I dim ana:
Xi
D 1· D
= =
=
=
D. I D
( 1 . 60 )
menyatakan "bilangan anu" ke-i yang akan di cari menyatakan determinan dari matri x koefisi en yang sudah diubah, yai tu dengan mengganti kolom ke-i dengan kolom "konstanta" { B } menyatakan determinan dari m atri x [A]
Contoh : 2 x 3
+
X
3 y
=
7
2 y
=
4
Dinyatakan secara matri x :
[ : _: l { : } { : } "T
A
38
t
X
i
B
[A]
{ B}
I AI
D
2 (-2) - 3 . 3 =
-13 r---, I 7 I I I I
=
:
3
4
I I L _-l
-2
7 ( - 2)
-
3 .4
- 26
=
02
,--
2
1 I
,
7
I
I I I I
: 4 : , j
3
_ _
= =
2 . 4 - 3. 7
-13
Jadi menumt rum us pada persamaan ( 1 .60) : D.
X .I
I
=
D
39
maka : X1
D .J. D
=
- 26 -1 3
=
2
=
D � D
=
-1 3 -1 3
=
D engan demikian didapat hasi l :
1 . 3.5.
X
=
y
=
METODE GAUSS-JORDAN .
Metode ini adalah mirip dengan metode men c ari invers dari mat rix . Contoh : (!) .
atau
40
2
X
3
X
[:
+
T A
3 y
2 y
_: l
=
=
Gauss-J ordan
pada proses
7 4
{:} {:} -
T X
T B
Untuk m emudahkan operasi, dilakukan penggabungan matrix
.
dan { B}
=
B]
(A
2
3
7
3
-2
4
[AJ
Sekarang dilakukan operasi baris pada m atrix d i atas ini.
2
7 2
3 2
7
3
;
H( ) l
3
-2
4
3 2
7 2
C/?
_ _!]_ _ .!J.
2
3
( - ...,. ) 2 12
(./')
7 2
( - 13).
(./')
0
l
r - ., I 2 I I I I I I I I I ! j I L-:_j
0
0
t-- x
Dengan d emikian didapat hasil :
(2 ) .
X
=
y
=
X
+
3 y
+
X
+
4 y
+
X
+
3 y
+
2
3 Z 3 Z
4 Z
=
=
=
21
(- 3 )
�
-2
3 2
2
2
H
3
'r
H 0
H
-2 0
1
3
X
4
3
y
3
4
z
0
B)
3
-2
4
3
0
3
4
3
3
-2
0
2
H
3
r-......:J
0
42
0 0
0 0
=
3
0
0
T B
X
A
[A
0
=
T
T
0
-2
3
H
(- 1 ) 21
3
3
-2
4
3
0
3
4
3 0
r--...:J
3
-2
0
2
r-- - ,
I I I I I
I
-1 7 I I I 2 I I
3
I
1 ... _ _ - ..J
12
4
0
3
-8
0
2
L
3
0 0
r--..._;
3
(-3) 0
H 3 1
(- 1 )
1
j
(-3) H
1 3
<---)
Dengan demikian didapat hasil : X
1.3.6.
y
=
-1 7
=
2
z
=
3
METODE ELIMINASI GAUSS.
Metode ini merupakan metode operasi baris juga untuk mencapai suatu upper triangular matrix, untuk selanjutnya diselesaikan de ngan cara eliminasi. Misalnya kita punya satu susun persamaan linier seperti di bawah ini : a
11
X
1
+
a
a
X
+ a
X
+ a
12 2 22 2
a
X
1 3 '3
=
b
2 3 '3
1
=
b
2
=
b 3
33
X
X
3
( 1 . 61 ) ( 1 . 62 ) ( 1 . 63 )
Bila dinyatakan secara m atrix : a
a
11
0
a
0
0
a
12
a
22
a
13
23
33
i
:>';
X X
1
b
2
b
2•
3
b 3
T
T
X
A
=
1
B
dim ana matrix [ A ] merupakan sa tu upper triangular m atrix. Dari persamaan ( 1 .63) : x
3
=
b I 33
a
33
Subsitusikan hasil ini ke persamaan ( 1 .62) X
2
=
X
:
3
) I a 22
43
Untuk �uatu sistim persamaan linier dengan n buah "bilangan anu", akan didapat rumus umum : x
=
n
x. I
b
a nn L:
(b. I
=
un t uk
I
n
s ampa i den gan 1 .
n -
=
j
a .I J. :X.J. ) I a .1 .1
+ 1 s amp a i den ga n n .
( 1 . 6 4)
Uraian di atas ini ialah merupakan dasar pemikiran dari metode eliminasi Gauss ini yang sebelumnya tentu saja harus didahului dengan suatu operasi baris untuk mencapai satu matrix segitiga atas (upper triangular m atrix). Contoh : ( 1 ). X + 3 y + 3 Z = - 2 X X
+ +
+
4 y
3 y
3 z
4 z
+
3
3
4
3
3
4
r 1 r 1 '[: J r r =
-z
T
i X
A
44
=
X
i
[ A
0
=
B ] =
3
3
-2
4
3
0
3
4
B
3
3
-2
4
3
0
3
4
H 3 1 H
21
(- 1 ) ( - 1 ) ('..)
3 0 0
0
3
-2
0
2 ,.. - ., !L- -3-..J:
Dari hasil di atas : z
3
=
Kebet u l a n p u l a seca ra l an gs u n g d i da pa t y
2
Bila harga dari y dan z disubsitusikan ke baris pertama :
Jadi :
.
X
+
3 y
+
3 z
=
-2
X
+
3 (2 )
+
3 (3)
=
-2
=
-17
X
X
-1 7
y
2
z
3
=
(2 ) . 4
3
4
3
X
+
X
+
X
+
3 y
2 y
2 y
2
3
__
\
..
=
13
+ 3 z
=
14
+ 5 z
=
22
X
2
3
y
2
5
z
2
_ ..,
z
3
Dengan menukar p osisi baris
2.
+
4
3
3
2
T A
1
3
dan
2.
=
14 22
akan dida p at : X
y 5
13
14 =
13
z
22
T
T
X
B
45
A
[
B
2 ]
2
H
(- 1 /5)
2 (__../'")
H 3
4
3
3
2
I� l
( 5 /2 4 )
�
0
11 _ 5
3
2
2
11 5
43 5
-4
-4
-20
2
3
14
.
11 y +s .
=
43 5
3 =
.il
y =
2
z
4) H ( 3 2 ,..--...._;
3
:
5
D ari operasi matrix di atas didapat : z
-+6
= 3
2
3
14
0
-5
- 1 1 -43
0
-4
-4
2
43 5
11 5
0
1J
22
5
3 1
14
3
13
(-4 ) Hzl � ( - 3) H
22
5
Subsitusikan ke baris 2
y +
3
13
0 0
4
14
3
14
3
l l
5
0 0
3
0
24 5
-2�
14
43 5 72 5
I :
Subsitusikan ke baris X +
y +
2
X +
2.2
Z
3
+
14
=
3. 3
14
X
J adi didapat hasil : X
=
y z Lih at satu
maan a a
21
3
a
X
ll
a
n
1
l
X X
=
1 =
2
X
=
3
X
n
=
a
a
1 l
+
+ +
+
a a
X
+
a
X
+
a
12 2 22 2
a X 3 2 2
a
x n2 2
+
+
l
+
..
+
a
X
+
.. ......
+
a
X
+
........ ...
2 3 "3
a 33
a
X
3 "3
3
x n 3 "3
.
.. .........
+
•
•
•
.
•
•
•
•
•
•
•
+
+
X
ln n x 2n n
a X 3 n n
a
x nn n
=
b
=
b
=
-
l
2
b 3
b
n
p1insi p nya persamaan di atas diubah bentuknya menjadi b
1
11 b
2
22
a 33
a
susun persamaan linier seperti dituliskan dalam perset·
( 1 .56) :
x
P ade�
X
3
=
METODE ITERASI GAUSS-SEIDEL.
1 .3 . 7 .
X
2
=
nn
- a - a
X
12 2
21
X
l
- a - a
X
1 3 "3
2
X 3 3
-
. ..... - al X ) n n
- a
24
X
4
b 3
- a - a x x x - a 3 1 1 3 2 2 3 4 4
b
- a
n
...... - a
X
2n n
- a
x 3 n n
x - a x - a x n1 1 n2 2 n 3 ·3
( 1 . 65) 47
Langkah pertama ctimulai ctengan menganggap x2 = x 3 = x4 = = xn = 0 , ctan ctengan subsitusi ke persamaan ( 1 .65), akan ctictapat : . . . .
x
l
b
=
l
I a
11
Basil ctari x 1 tersebut ctisubsitusikan kembali untuk mencari x 2 pada persamaan ( 1 . 65), ctimana x 3 , x4 , . . , xn masih sama ctengan nol, akan ctictapat X
a
2
b
22
2
- a
x
21 1
Demikian seterusnya sampai ctictapat harga xn , ctan selesailah suctah perhitungan pacta putaran pertama. Hasil ctari putaran pertama ctisubsitusikan kembali pacta persamaan ( 1 . 65 ) menghasilkan perhitungan putaran kectua, ketiga . . . . . . . . . , ctan seterusnya, sehingga akhirnya ctihentikan setelah ternyata hasil ctari putaran terakhir sama atau hampir sama ctengan hasil dari putaran sebelumnya. Contoh : 5 X
+
4 y
+ 3 z
=
4 X
+
7 y
+ 4 z
=
15
3 X
+
4 y
+ 4 z
=
11
12
Susunan persamaan cti atas bisa ctiubah : X
- 0,8 y - 0 , 57 X
=
y
- 0 , 75 X
z
Putaran I : y
48
2,4
0 , 57 z
+
2,14
+
2 ' 75
y
2, 4
=
X
2,4
z
0
menghasilkan y
+
(J )
0 X
z
0
=
z
menghasilkan ,
0,6
=
(2 ) -0 , 57 . 2 , 4 + 2 , 1 4
=
0 , 722
X
y
menghasilkan Putaran l i :
y
=
2 ,4
=
0 ' 722
z =
=
menghasilkan
l , 685 6
=
1 , 685 6
=
0 , 228
z
menghasilkan y
(1 )
0 , 228
x =
X
=
X
=
y
=
menghasilkan
0 , 228
0 , 722
=
z
(3)
z =
(2 )
1 , 05 l , 685 6 I , 05
(3)
0 , 43
Pu taran Ill :
Diulangi langkah yang sama. Putaran VII
X = 0 , 99
y
Putaran VI I [
X = 0 , 98
y
Putaran IX
I
X = 0 , 99
=
=
1 , 06
1 , 04
I
y ::; 1 , 03
z = 0 , 95 z = 0 , 97
1
z = 0 , 98
Iterasi dihentikan. 49
Dari hasil iterasi di atas didapat hasil :
50
X
0 , 99
y
1 , 03
z
0 , 98
2· METODE MATRIX UNTUK ANALISA STRUKTUR
2.1. PENGERTIAN UMUM Metode Matrix adal ah suatu p emikiran b aru pada analisa struktur, yang berk e m bang b ersam aan d engan m akin popu lern y a penggunaarr komputer o tomatis u n tuk operasi-operasi perhitungan aritm atika. Di dalam ilmu Mekanika T e knik, konstruksi y ang paEng sederhana adalah k o nstru ksi statis terte n tu. Namu n p ada kebanyakan perenca naan te knis y ang nyata, konstru ksi y ang dij um p ai akan m empakan struktur-struktur y ang cukup komplex. A n alisa suatu k onstruksi y ang statis tertentu m e m ang akan dapat segera diselesaikan dengan hanya m e nggunakan beberapa persamaan kesetim bangan. Misalnya kalau ingin me nghitung gaya-gaya batang pada suatu rangka batang y ang statis tertentu baik external m au p u n internal, m aka cukup m e m per gunakan persam aan-persam aan kesetim bangan u n tuk m en y elesaikan nya, tanpa p erlu m enghirauk a n d e form asi yang terjadi pada konstruksi tersebut. Penyelesaian k o nstruksi y ang demikian ini hanya sering dij u mpai pada persoalan teoritis y ang ada dibuku . Tidak demikian halnya dengan konstruksi-konstruksi statis tak tentu, terlebih lagi yang cukup komplex. Suatu konstruksi nyata y ang ada, p acta umum nya akan terdiri dari banyak bagian y ang kom plex. Geom e tri dari elem e n-elem e n individu, atau struktur secara keseluruhan, sering k al i tidak uniform d a n tid ak teratur. K onstruksi-konstmksi demikian sudah tidak mungkin lagi diselesaikan hanya d engan m e m akai persa m aan-persam aan kese timbanga n , sehingga dengan demikian perlu dise derhanakan, diidealisir, dengan harapan agar dapat diselesaikan b e rda sarkan analisa m atem atik y ang sederhana, yaitu sedapat m ungkin d al am hubungan persam aan-persamaan y an g linier. A n alisa stmktur d engan m e tode m atrix telah m em berikan kemungkinan-kemu ngkinan bagi proses idealisasi ini. Seperti diketahui, suatu hal yang utama y ang berhubungan dengan p roses dari perencanaan struktur ialah menganalisa apa akibat dari pembebanan gaya-gaya pada konstruksi yang ditinjau. Tingkah laku dari konstru ksi ini pada umumnya b erhu b u ngan sangat erat d e ngan p eru bahan stress dan strain y ang terjadi padanya. R esultante stress ini b isa dalam b e n tu k gaya dalam, yaitu momen lentur, gaya lintang, gaya norm a l . m om e n torsi, se dangkan strain bisa me nyatakan d e fo rm asi yang terjadi p ada konstruksi. Dalam me nganalisa perubahan ben tuk ini. perhatian akan lebih baik dipusatkan pada lendutan linier a tau anguler yang terj adi pada titik titik diskrit ( titik- titik putus ) dari konstruksi. Dengan demikian yang perlu u ntuk dianalisa mula pertama ialah sifat dan tingkah laku dari elemen-elemennya bila
dibebani oleh gaya-gaya. Di sini bisa didapat
kan keu ntungan bahwa hasil analisa satu elemen, dapat dip akai u n tu k elemen-elemen lain yang sejenis. Kemudian digabu ngkan sifa t-sifat 53
dari elemen itu dalam satu model matematik dari konstruksi. dan mt:nyatakannya dalam suatu kondisi yang tergabung, di m ana dalam hal
ini
syarat kompatibiliti dari segi geometrik konstruksi harus
sudah dipenuhi. Di samping itu, syarat kesetimbangan statis hams juga terpenuhi, baik dipandang dari segi seluruh konstruksi maupun untuk masing-masing elemen. Setiap elemen dari konstruksi harus berada dalam kesetimbangan sebagai akibat dari semua gaya yang bekerja padanya, baik itu beban-beban luar. atau gaya reaksi, maupun juga gaya-gaya yang datang dari elemen-elemen tetangganya. Bila proses ini sudah diselesaikan, maka tingkah laku dari konstruksi keselumhan yang disebabkan oleh bekerjanya gaya-gaya luar akan bisa ditentukan.
Dengan demikian dapat disimpulkan di sini, bahwa hal yang utama dalam analisa struktur untuk menentukan baik itu deformasi ataupun stress yang terjadi pada stru�tur, ialah sampai se jauh mana sudah diketahui sifat karakteristik hubungan gaya dan deformasi dari ele emen-elemen struktur, dan memaksakan terpenuhinya semua syarat komp atibiliti dan kesetimbangan. Jadi. tiga hal mendasari analisa ini. yaitu:
\.
kesetimbangan
1
hubungan stress dan strain, atau gaya dalam dan deformasi
3.
kompatibiliti, atau kontinuitas dari deformasi.
Dalam analisa matrix ini, dikenal dua c ara, yaitu :
1.
metode kekakuan (stiffness method, atau displacement method)
2.
metode
f1eksibilitas
(flexibility
method,
a tau force method).
Kedua metode ini masing-masing akan diuraikan lebih lanjut pada pasal di bawah ini.
2.2. METODE KEKAKUAN Dengan metode kekakuan ini sebenarnya dicari hubungan gaya dengan lendutan. atau dinyatakan secan1 matematis :
[K]. {D}
{Q} {Q}
(2.1)
menyatakan gaya-gaya yang timbul pada titik-titik diskrit akibat
diberikannya lendutan Tentu saja gaya
{Q }
{D}
pada titik-titik tersebut.
adalah gaya yang koresponding dengan lendutan
{ D}. Sedangkan [ K] menyatakan kekakuan dari struktur. 'vletode
kekakuan
ini juga disebut metode lendtltan (displacement
method L karena analisa dimulai dengan "Jendutan ''. sehingga dt:ngan
54
demikian uru tan kerjanya secara garis besar adalah sebagai berikut : 1 . kompatib iliti; yaitu mencari hubungan an tara deform asi dengan lendutan. atau secara t egasnya mencari d e form asi apa y ang t erj adi ' pada elemen-elemen dititik-t i t i k ct i skrit akibat diberikannya len dutan pada struktur dititik-titik tersebu t; .., persam aan hub ungan stress dan strai n . yaitu mencari hubungan mengenai gaya-gaya dalam yang timb ul sebagai a ki b at adanya de formasi pacta eleme n-elemen struktur terse but; 3. keset i m b angan: langkah terakhir y ang m e n ya takan hubu ngan gay a luar d i titik diskrit dengan gaya-gaya d alam . atau m e ncari b erapa besar gaya luar diuj u ng elem e n yang tepat diim b angi oleh gaya gay a dalam elemen d ititik-titik diskrit. Dengan m e nggabung ketiga langkah ini, akan didapatkan hubu ngan gaya dan lendutan sebagai dinyatakan oleh p ersam aan (2.1 ). Perlu kiranya ditam bahkan di sini. karena m e t o de kekakuan ini anali sany a dimulai dengan lendutan, kem udian mencari hubungan p acta gaya-gaya yang tim bul dititik-titik diskrit, m aka akan sangat me ng untungkan untuk m e m akai m e tode ini menganalisa suatu konstruksi dim ana ketidak-ten tuan kin e m a tisnya (yang b erhubungan erat dengan deraj a t kebebasan atau degree of free dom ) adalah lebih kecil bila di ban dingkan dengan ketidak tentuan statisny a. Dengan dem ikian, konstru ksi-konstruksi statis tak tentu yang sering dijum p ai pada umumnya. akan lebih me ngu n tu ngkan b ila dianalisa dengan metode kek akuan ini . kare n a umumnya konstruksi-konstruksi ini mempunyai derajat ketidak-tentuan statis yang besar. 2.3. METODE FLEKSffiiLITAS.
Prinsip dari m e tode fleksibiltias ini adalah ke balikan dari m et ode kekakuan. Dengan m e t od e ini dicari hubungan lendutan dan gaya, a tau din y a takan secara m atem atis :
{D}
=
[F]. {Q}
(2.2)
{ D} m e nyataka n knd u tan d it i ti k d is krit yang korespo nding dengan gaya { Q}. [ F ] men y atakan fleksibilitas d ari struk tur.
\lle tode tleks i b ilitas i n i juga dise b u t sebagai metode gay a (fo rce method ) karen a anal isa dirnulai dengan ''gaya··. yai t u gaya-ga ya diti tik dis krit. Ini ad alah kebalikan dari m e tode kekakuan . sehingga u rutan kerja analisa secara garis besar dalah sebagai b e rikut : I.
kese t i m bangan : yaitu berdasa rkan prinsip kese t im bangan menghi tung gaya d alarn y ang timbul pada elemen -e lemen struktur a kihat 55
..
bekerjanya gaya-gaya luar dititik-titik diskrit; atau dengan kata lain dicari hubungan gaya dalam dan gaya luar: ,.,
persamaan hubungan strain dan stress; yaitu mencari hubungan
mengenai deforrnasi yang terjadi pada elemen akibat adanya gaya gaya dalam tersebut:
3.
kompatibiliti: yaitu mencari hubungan antara lendutan yang ter jadi pada struktur dititik-titik diskrit, ctengan deformasi yang timbul pacta elemen-clemen struktur, dimana antara lendutan ctan deform�!si harus memenuhi syarat kompatibiliti. Di sini ctituntut kontinuitas
dari
cteforrnasi
yang
terjacti
pacta
elemen-elemen
struktur. Dari tiga langkah ini, akan dictapat suatu hubungan seperti yang ctinya takan oleh persamaan (2.2).
Sebagaimana uraian pacta pasal sebelumnya, perlu kiranya ditam bah kan di sini. bahwa karena metode ini dimulai dengan analisa kesetim
bangan gaya untuk mencari gaya dalam sebagai akibat bekerj:mya gaya-gaya luar. maka metode f!eksibilitas ini akan lebih sesuai bila digunakan untuk menganalisa konstruksi dengan derajat ketictak-tentu
an statis yang keciL atau konstruksi-konstruksi yang statis tertentu.
Hanya sayangnya konstruksi semacam ini tictak banyak ctijumpai pada perencanaan struktur yang nyata.
2.4. BEBERAPA CONTOH PERBANDINGAN Di h�1wah
!ni diberikan beberapa contoh alternatif analisa dengan
metocte fleksibilitas dan metocte kekakuan.
56
A�
(1)
'
I
I
l I t 1 J. �;
rnl_B
; ! I
i
1
metode fleksibilitas
k etidak-tentu
-
an statis ketidak-tentu an k inemat is
I
(force method)
I I I
1
I
'
a
h
pertama
I
(displacement method)
1
t- . - .L-J - -.._-._ - �:�-:-:·- - ----+1----�-, ..-t s::ruktur
metode k ekakuan
'
-�,.
.-
D
=
Langkah
�
q£4
·�-- -1 -0 �----��--� -� -fT-< j
1
NI
kedua
Q
D
+ FQ
Q
=
-
=
3 'B'
1
IT
2 qi
=
+ --
4EJ £
0 qi
Q+KD
Kese t i mbangan
Hasi 1 anal i sa
-
K.D K
Kompatibi1iti
=
; -�
--
I � ) :-Q-_il _l_<-:-�:--:
D
i..i-'1-i!_t_:�j'� i
ij
q£
•
0
ot3
1i8ET
4iJ>·r
·.
I
=
=
-
�_,.,
or' /
.
L.BEI
mendapatkan besar gaya
mendapatkan oesa r· 1 en
diujung elemen
dutan diujung elemen
57
(2 )
1
t 2 .
! tode fl eks i i 1 (force method) �1.• ' �:����·�--��;tu:-11me
b 1
1 metode kekakuan (displacement method)
i tas
I statis I
.II
-�
I
I
entuan : i � : :�:� Struktur dasar I Langkah pertaf!\3 �'!:2���it� �x-=-�
1
1
_..
0
=
�
3 ='
50'+
q£.4 -
-t �
1 L hl �� Q
3
I
tFQ
� 1 I
�:} (t�tr;
lH I H
I
F =
.e3 '48EI
---
-
__
� ..-- -w
I
I
!I
I
1
= _!_ 48
I �v l
q. £.2
1 2 - w ot
D�
, \
•
,
"' .
os
I
j
. ..I' .-, I QBc - DC'�/ ,,
·
+ KAsDs Q'sA = KsADA+KssDs Q' se = KssDs + Ksc De Q'c = Kc8Ds+ Kcc De
KAA=Kss=Kcc= � ..!.. 2
£
KAs=KsA=Ksc=Kcs=
=
BE I £ 2E I -'- £ 2 4E I k
58
--
�Q� (.� ·DB �C / ','¥iS� --;\ =
i o"t: / Q� = KAADA II
d1
Q8c=Tiq(2£.) 2
QsA = Q c
._L_a_n__k_a_h_k_e_d _u_ a __._____ _--:----- -� g tQ ,._-
fr----l
�
QA
El
I 1!
--
1,
'-"----- -
1
· l,
_
I
I 1' I
I
I
I
Kompa t i b i
1 i ti
D + FQ -
Q
=
�
]
0 qt
,1>
0
Q
I
C
+
Da ri
I
,.,, \LJ
(3)
Q' = 0 c (1).
384
(2)
dan
(3)
El
0
Has i
I ana 1 i sa
� I
-
•
UJ
t'J:..Ll.Ll
J _.:::''21..
JF___
__
�q 8 L
mendapatkan
besar
ya dititik diskrit
g�
mendapatkan besar
1endut
an dititik diskrit
59
(3) A
J
'
I
t
UJ¥lUJ.lt q
l! H
�
B
x--'2::___--7
_!_i 2
t�
_!_i
met ode kekakuan
metode fleks i b i 1 i tas
I
I
�
ke t idak tentuan
stat is
1 kwdek
(displacement method)
(force method) 3
I
I
ti:�" I
Langkah pertama
- --- ---T I
Laogkah
ked"'
D' A
F AAQA+F ABQB+FA CQC
D' B
FBAQA+FBBQB+FBCQC
QsA
D' c
F CAQA+FCBQB+F CCQC
Qsc
F AA
£
�3fT
=FBA F AB FAC FBB F BC Fee
60
=
£
=
l6E!
;::
-
. CA
1iEET +
KBB
2
= _i_
F CB t
3IT
£ =+-
6EI
.2.2
"i6fl
KBB.DB KBB. 0 B =�=� 1
i 2
.!.
---:-----· -,--Kompa t i b i I i t i
DA + D'A =
0
tJ)
0
(2)
0
(3)
DB + D'B = DC + D'c =
(I)' ( 2 )
Oar i
=
QA QB
+
-
=
=-
1
1iE"
qi
1
2
qi
2
1 1jg"
(3):
dan
qt
2
QBA + QBA + QBC + Q8c=o
Kese t i mbangan
DB =
Has i 1
0
ana1isa
(�
L2
i-Bq
I
=r-___,>
�
�.(.. I
rnendapatkan
v
l..q!. 2
48
besar g�
va-gaya d it i t ik diskrit
�
.. ... __
__......->::zs:
mendapatkan an d it it
..... ___ ..... �
DB• 0
ik
�
be sa r 1endu_! diskrit
I
I
I
61
hd1 apal
. M ula mula d iadakan ''ke kangan-ke kangan . . sehingga struk tur tidak -
dapat bergerak pada waktu dibebani.
Ha! tersebut menjam in tercapain ya kondisi kom patibiliti, tetapi gaya gaya dalam tidak seimbang, karena diperlukan gaya-gaya luar untuk m encegah perpindahan-perpindahan . Selanjutnya "kekangan-kekangan" dihilangkan, satu demi satu. untuk mempertahankan kondisi kom patibiliti dan mengem balikan kondisi keseim bangan stru kt ur tersebut. Ha! ini dilakukan dengan memecahkan satu susun persamaan-persama an keseimbangan. Hal-hal yang tidak diketahui adalah lendutan dari struktur. Tidak diperlukan "j udgement yang sulit" untuk m enentukan bagai mana stmktur harus dipoto ng-potong. Untuk struktur-struktur yang besar dan komplex. m etode ini lebih mengun tungkan. dengan alasan-alasan : Dengan cara ini, pekerj aan dapat dikurangi m enjadi suatu rutin yaitu me nyatakan struktur dan sistim pembebanannya. Kemaj uan kom puter-komputer pada akhir-akhir ini sangat besar dan b iaya pemakaian kom p uter m aki n hari m akin rendah. Dan apakah pula s e b c narn y a metode t1eksibilitas itu ? Perhitungan dimulai dengan mengambil suatu sistim gaya luar dan gaya dalam yan g berada dalam kesetimbangan. Sda n j ut nya sistirn tersebut disesuaikan agar benda tetap dalam kcse tirnban g an dan kondisi kompatibiliti tercapai. Struktur statis tak tertentu harus d ijadikan stati s tcrtentu Jengan jal::m rnem oton g- m o tong s truk t ur ters ebu t . Selanjutnya gaya-gaya d a n lendu tan pada potongan p oton gan ter se but disesuaikan (kondisi kompatibiliti) satu derni satu. sehingga bentuk asli struktur dapat dipulihkan. Hal-hal yang t idak dike tahui adalah gaya-gaya yang diperlukan untuk m en g gab u ng kan struktur menjadi u tuh kem bali. Untuk dapat memakai metode fle ksib ili ta s ini diperlukan Engineering "
"
"
Skilluntuk mcrancang suatu pemecallan yang effisien.
62
-
"
3
METODE KEKAKUAN
3.1. INTRODUKSI
Metode kekakuan iaiah suatu cara untuk analisa stru ktur, dimarra J abm p roses peru m u sa n dari analisanya, diambil lenJutan diti tik-titik diskrit seb agai besaran "anu" yang hendak dicari . Metode kekakuan i n i sebenarnya b u ka n meru pakan cara analisa y ang bam . karena sebenarnya m e t ode ini sudah dikenal sejak tahun 1880. Tapi m e m an g m e t ode i n i baru menjadi berkem bang p csat dan disu kai orang pada w ak t u akh:r-akhir ini, yait u seiring denga n kemaj ua n pesa t d ari penggunaan komputer elektronik otomatis. yang ternyata sangat m e m udahk::m op erasi-operasi m atematiknya. B erhubung dengan hakekat dari m etode kekakuan ini, maka analisa stru k t u r akan selalu dim ulai denga n m em berikan pada struktur ber sangkutan beberapa besaran "anu" yang dalam ha! i ni ialah mempakan lendutan pada titik diskrit sebagai besaran yang hams dicari. Sesuai dengan tahapan-tahapan yan g telah disinggung pada p asal 2.2, m aka dalam p roses analisa terse b u t akan mengenal beberapa matrix yang penting sebagai beri k u t : (I) Matrix deform asi [A), suatu m a t rix yang m e n y atakan hubungan
=
kom p at i b iliti, atau hubungan de form asi dan lend u ta n : {d}
[ A ] {D}
( 3 .1)
dim ana { d} m e n yatakan deformasi dari elemen stru k t u r [ A ] adalah matrix deformasi { D} menyatakan lendutan Ji t i t i k Jis krit . (2) Mat rix ke kokohan intern e!e m e n [ S), suatu m at rix yang meme
nuhi Hukum Hooke. dalam m ana dinyat a kan hubungan antara gaya dalam dan deformasi {H }
= [S] {d}
( 3.2)
dimana { H} menyatakan gay a dalam elemen [S] adalah matrix keko kohan inte rn elemen {d} menyatakan defonn asi clemen . (3 l Mat rix statis [ B I. s u a t u matrix yang menyatakan kese t i m bangan . antara gaya luar dan gaya dalam :
{
Q}
= [ B ] {H}
U .3)
Jim ana {Q} menyatakan gaya l u a r yang be ke!ja d i t i t i k diskrit [ B ] adalah m a t rix statis {H} me nyatakan gava dalam elemen
65
r
Bila ketiga m atrix cti atas cti gabungkan, maka akan ctictapat hubungan { Q}
{Q} {Q} {Q} {Q}
=
[B) {H} [ B J ( [S] {d} ) [B] [S] ( [A] {d}
=
lK} fD}
=
[B]
[S]
( 3 .4) (3 .5)
[A] {D}
(3 .6) (3 .7).
l:'ersamaan (3. 7) men1pak:m pcrsamaan inti d::ri m e t ode kekakuan ini
,
dim ana [ K J adalall rnatrix k·:kakuan struktur, dengan pcngertian :
[ K]
,' :di salah satu
=
-1
• .
l:J;
[A]
tujuan ter1ninal yang
(3 .8)
penting �H.i2.lan1 proses an
ialah dapc.t menurunkcln mauix kekakuan struktur
samaan (3.8).
[ K]
menurut pc!·
Selanjutnya :1k:.m mt:ciah dicapai tuj u an akhir. y:.�itu �malisa lendutan j
dan gaya dalam elemen.
DERAJAT KETIDAK-TENTUAN KINEMATIS
dijelaskan pada pasal 3.1. maka anaiisa akan dimu iai dengan meng�lmbil1enclutan dititik-titik diskrit sebagai sasar::J.n yang harus d ih itu ng. Sebagaimana telah
Untuk mengetahui dim�ma hams dip as ang besaran lendutan yang :J.kan dicari tersebur, maka harus diketahui dahulu berapa derajat ke ci-:lak-tentuan kinematis atau istiiah lainnya de.::ajat kebebasan (Jegree o f freedom) dari struktur. "
"
Derajat ketid ak-tentuan kinematis ialah suatu besaran y:mg menyata �an j uml ah komponen bebas d ari lendutan dititik diskrit yang mung kin terjadi yang b erhubungan dengan diberikannya suatu pem bebanan pacta struktur.
Pacta struktur dua dimensi ( bidang) dengan titik hubung kaku, pada umumnya akan timbul lendutan translasi (linier) d an rotasi (anguler) d it i ti k-ti tik d iskri t . Lendutan translasi selalu dapat d in yatakan oleh dua komponen yang saling tegak lums, sedangkan len dutan rotasi dinyatakan oleh satu komponen anguler. Dengan demikian pacta satu titik pertemuan secara lengkap akan ada tiga kom ponen lendutan. Untuk struktur tiga d im ensi (ruang) d engan titik hubung kaku . pada umum nya secara lengkap akan ada enam buah komponen d ititik bebas dari lendutan yai tu tiga m e nyatakan lendutan translasi, dan tiga iain nya lendutan rotasi. Pada bangunan rangka batang d engan sam bungan engsel. m aka kompo nen rotasi dengan sendirinya tid ak acta. 66
Suatu struktur d engan derajat ketidak-tentuan kin e m atis sam a dengan nol juga disebut kine m atis tertentu .
Di bawah ini dlberikan beberapa m acam struktur bidang y ang akan ditunjukkan berapa deraj a t ketidak-tentuan kinem atisnya.
1
----
Kompor.en bcoa� da;i lendutan dititik pe.rtemuan
r.v==
!' (a) �;...,------4�
� Derajat ketidak-tentuan j kine�atrs
I
I
'5I
I (b)
�
0
·
1
I I
I
i
I
Il(c) 1
I
......::...
� �
--_,
2
2
67
Ko�onen bebas da r i lendutan dititik pertemuan
Derajat ketidak-tentuan ki nemat is
6
(d)
(e)
3
dengan mengabaikan defonmasi axial da ri elemen.
Gam bar 3. 1 Derajat ket idak-tentuan k inematis dari st ruktur di tunjuk kan oleh ha nya knya ve ktor lendutan y�mg mungk i n terjadi dititik bebas. dimana arah vek tor pada gam bar menunjukkan arah ve ktor yang positip .
68
3.3. DASAR PERHITUNGAN.
Dalam pasal ini. akan dijelaskan secara mende tail um t-umtan analisa dari suatu konstruksi bidang ( dua dimensi) dengan m endasarkan p ada metode kekakuan. Sekarang d ilihat sat u konstruksi seperti ditu nj ukkan gam bar 3 .2. (a). Sdanjutnya akan diikuti umtan dari proses analisanya.
�
/"" r 111:, l . �r--�J*u'w'ut�*�·--���----�l------�� ----�\_r------- -�� ----_Jt . �
�
( a ) konstmksi statis tak tentu dengan pembebanan gaya-gaya
(b) deraj at ketidak-tentuan kinematis : 3
Subsitusi harga
� z
x3
dan
X
EI 1 t,
' '
--...-
x�
ke persamaan ( 1 .61) :
b
El2 \2
- a
X 12
I
2
- a EI3 \3
(d l stmktur dasar yang mefupakan
stmktur y ang dikekang.
3
X 3
I �
) I a
-
11
1
e) d iberikan
D1
=
1 satuan
( D dib e rikan D2 = 1 s atuan
(g) diberikan
D3 = l satuan
(h) dia gram H-d. dim ana ( H}
merupak an dikebng yang elemen terhadap reaksi diberikannya deformasi { d}
1j) d iagram kesetimbangan. Camb�tr 3.:. -\rniisa balok d i atas beberapa perletakan. 70
Kon st mksi ini ial ah b al ok menems d i atas empat perle takan . sat u je p it d an t iga sen d i. merup ak an sua t u k onstruksi denga n deraja t ke t idak-ten tu an k inematis se besar 3 (gam bar 4.2.b ). Langkah pert am a ial ah menyel id ik i k om p at i b i 1itas d ari struk t ur, dengan jalan mem berik an berturu t -turut len d u tan 01 = 1. 02 = 1 dan 03 = 1 (gam b ar 3.2.e. 3.2.f dan 3.2.g).
Mu d ah d apat kita l ih at , bah wa :
dz
d3
= ol
atau d isusun se cara s istim atis :
Bil a d in yata kan dalam h u b u ngan m atrix :
(3. 9 )
-�
1
{ d} = (A] {D}
(3. 10)
0
0
0
1 0
0
0 t D1=1
0 t D2=
dz d3
+
0
+
0
+-
0
+
t D 3=1
J
dl
+-
0
0
1
[A] =
0
+
d4
ds d6
(3. 1 1)
Langkah k e d ua ial ah m e ny e 1id iki h ub unga n gaya d a 1am dan d e form a si d e ngan m e l ih at t i ap - qap elem e n seb agai b agian y a ng d isk rit . se perti p a cta gam b ar 3. 2. h . Da ri s ifat e last is d ari eleme n, d idapatkan h ub ungan :
d1
Hlll
1 3
EI 1
--
- 6
E l1
--+ EI 1
(3.12)
Hzll
1 3
Hl ll
1 dz = 6
HzL1
1
EI 1
d im ana d m e ny at ak a n d e form asi yang t e rjadi d i uj ung elem e n. H m e ny atak an gay a d al am y ang ada' d iuj ung elem e n. dal am ha! ini m om e n l e nt ur . Se be narny a p ers. ( 3.12) ini sud ah b u k a n h a ! y ang a si ng l agi. k a re na sudah sering d ij u m p a i d al am analisa s t rukt ur d e ngan me t od e p e rp ut a r an sud u t ( sl ope d e t1e ct ion m e t h od l. Bil a pers. (3.12) d iinv e rskan. akan d id apat :
Hl Hz =
.,,., t_
4 EI Ll
2
1
El 1
Ll
dl + dl +
2
El 1 Ll
4 EI 1
L1
dz dz
( 3. 13)
Analogi dengan pers. (3.13) akan didapatkan hubungan:
dan
H3
=
H4
=
Hs
=
4 E12 Lz
2
El2 Lz
4 EI
d3
+
d3
+
ds
+
Lz
4 E12 Lz
2
3
L3
2 El2
d4
(3. 1 4)
d4
El3 d6
L3
(3 . 15)
Hs
=
2 EI 3 L3
ds +
4 EI 3 d6
L3
Bila hubungan ini dinyatakan d alarn be ntuk matrix .
4 El 1
_L_l_
2
_L_l_
2
E l1
H1
__l _ L
H2
_L_1
H3
0
0
H4
0
0
L2
L2
Hs
0
0
0
0
H6
0
0
0
Cl
_
E11
4 E1 1
0
0
0
0
dl
0
0
0
0
d2
0
0
d3
0
0
d4
4 E1 2
2
E12
"""[2
L2
2 El2
4 E1 2
a tau { H}
=
2 EI 3
_ _3 L
_
__3_ L
2 EI 3
4 EI 3
4 EI 3
[ s] id}
L3
L3
ds
\
d6
( 3. 1 6 )
dimana matrix [ S! mcrupabn band matrix :
73
[ s]
�
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
t dl=l
t d3=1
t d..,=]
Jadi sebenarnya ilLttrix
2
4 El3
El3
t ds=l
d4 = 1 I
ialah
2
L3
_..
lSl
4 El3 L3
0
0
0
0
0
0
EI 3 L3
L3 .._
dEi= I I
(3.1 7 )
suatu matrix yang menyatakan
berapa bcsar g�lY�t Lbbm {H}yang timbul diujung demen bila dititik titik tersebut clibc·rikan satu satuan deformasi
t dt.
menyelidiki tentang kesetimbangan gaya luar dan
Langkah ketiga,
gaya dalam. Melihat gambar 3 .2. !i): .
Ql Q2 Q_,
=
H,
=
H4
=
Hf>
H3
+ +
Hs
(3. 1 8)
Bila Jinyatakan secara m atrix :
0
74
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
(3. 19)
a tau
=
{ Q}
[ B ] {H}
(3 . 20)
dimana, 0
0 =
[B]
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0 0
1 (3. 2 1 )
Satu tuj u an term in a L ialah m e n d apatkan h u bu ngan : {Q} = [ K]
{D}
[ K] = [ B ]
[S]
(3 . 2 2 )
d im ana m e nurut persamaa n (3.8) dapat d inyatakan
[A]
:
(3 . 2 3 )
Un tuk mendapatkan lendutan. m ak a persam aan (3.22) dapat d iin vers kan se bagai : (3 .24) {D} = [Kr 1 {Q} d im an a { Q} men y atak an gay a-g aya luar yang bekerja d it it ik -t itik d is krit, { D} m e n y at a k an 1en du t an dit it ik bersangk u ta n yang koresp on d ing dengan gaya{Q}. D ari persum aan (3. 1 1 ) d an ( 3.2 1 ) . t crn yat a d ida p at kan :
[ B]
=
[A] T
(3.25)
Persam aan (3 .25) ini da pa t dibuktikan d engan pri n s ip kerja virtu il .
��--------��------�����------��----Q
;':
(a) gay a luar virtui1
�--------��--���0-(b) len d u t an aktuil
Cambar 3 .3.
Konstruksi balok rne neru s pada mana di k erj ak an
gaya virtuil .
75
Misal nya pada k onstruk si yang scdang di b ahas tersebut d i kerjakan gaya virtuil Q* (g am ba r 3.3.al sehi ngga tim bul gaya dalam H* pada elemennya. maka dari p rinsip ke rj a v irtuil akan didap atkan hubungan ( dinyataka n dalam p erkalian matrix l : �
{Q·'}
T
{D }
=
,_
{H'·}
T
{d }
(3.26)
D engan melih at :
{d} ''' {Q }
dan
= =
[ A ] {D} ,, [ B ] {H }
(3.27) (3.28 )
T T T {Q'''} = {H'''} [ B ]
atau
(3.29)
m aka p ersamaan (3.26) b isa d itulis kan :
{H>':}
T
[B]
.... T T { D} = {H"} [ A ] {D}
(3.30)
Bila disederh anakan. akan m emberikan :
[B ] T = [A] [ B] = [A] T
(3.3 I )
atau D engan dem i kian persamaan (3.23) akan b isa d ituliskan
[K)
=
[A ] T [S] [A)
(3.32) :
(3.33)
Deng an d em ikian persam aan (3.8) telah diperm udah k an. yaitu untu k menuru n kan ma trix ke kakuan f K ], cukup hanya m enurun kan d u a matrix pembentuknya, yaitu matrix deformasi [ A ] dan matrix ke kokohan intern elemen [ S] . Untuk mengh i tung g ay a dal am, d igunakan hu bunga n atau
{H} = [ S ] {d} {H} = [ S ] [ A ] {D}
:
(3.34) (3.35)
dim ana {D} ialah matrix l endutan d i ti t i k d is kri t yang d iperoleh dari p e rhitungan b e rdasarkan p e rsam aan (3. .24). 3.4. APLIKASI 3.4.1.
KONSTRUKSI B.A LOK MENERUS
Sebniurnya akan dib�..?rikan beberapa contoh pemakaian metode
keLtkuan ini pada analisa struktur. Contoh 3.1
Di bawah ini akan dibahas secant singkat analisa dengan metode
kekakuan untuk konstruksi dengan derajat ketidak-tentuan kinema tis tingkat I. 76
•n•nn•:Fnfnn*n*H"ti'**HH r J er=
A
/'
600
kg/m
10 M
I
I
1
8 M
C
'
I
(a) konstruksi yang akan diana1 isa.
��------�1--�t
( b ) struktur dasar yang dikekang.
)(l)C
t)C
... 5 000
- 5 000
\( I
)\j; ... 3200
- 3200
( c) momen primer (fixed-end moment). Momen primer
; -
t·-
MBC
=
-M CB
(0
�:CS.
=
1
1 12
.600.6
- T2 .600.4 1
2
= -5000 kg.m
2
----tl
-3200 kg.m
--� --i----7-
(d) derajat ketidak-tentuan kinematis
��Q
1,
1800
:
kgm
1
I
(e) gaya 1uar ekiva1en dititik diskrit yang koresponding 5000 - 3 200 [kg. m]. dengan 1 endutan D 1. Ql =
(f) dib erikan
D1
=
1 satuan 77
(g) d i ag ram
H- d
(h) d i ag ram keset i mbangan. Gamba r 3. 4
Balok ata s tiga tump uan .
Melih at gam bar 3.4 (t), d engan mudah akan didapatkan :
[ A) =
+-
0
+-
1
++-
0
dl dz d3 d4
t
D1=1 Da ri gamb a r 3. 4 . (g) 4 El
[S]
-�- 0
2 El
4 El
10
10
0
0
.... I
d l=l 78
2 El
10
0
0
t
d 2= 1
0
0
0
0
4 El -8
-
2 El
--gt ;
d 3= 1
+-
+-
2 El
tr 4 El
�
0
t
d 4=1
+-
+-
Hl
Hz H3 H4
[S]
=
( 0,4
l
Ef
0 ,2
0
0 ,2
0,4
0
0
0
0 ,5
0
0
0 ,2 5
J
I
"
0
/
I
25
0,5
Dar i persamaan (3. 3 3)
T [ K ] = [ A ] [ S] [ A ]
0,4
0 ,2
0
0 ,2
0 ,4
0
0
0
0 ,5
0
0
0,25
I�
{ [K
[K] (l
=
0 ,4
0,2
0, 5
}
o�Jj 0,5
0
El
0
0
EI
0 , 25
0
0,9 E l
l
0 , 9 El
De ngan m engubah gaya q m e njadi g<.�ya t it ik e kivalen d iujung elemen (gam bar 3.4.c dan e) d a n d e ngan m el ihat p ersam aan (3.24):
{D} { D 1} D·1
[K] - l {Q}
=
=
=
�
[ O,
200 0 El
EI
n-_
] { 1 800}
'i
\
,/
-
Dari persamaan (J. 3 5) { H}
=
[S] [ A ] { D} 79
r
{H}
0,4
0,2
0
0
0 ,2
0,4
0
0
0
0
0,5
0,25
0
0
0,25
0,5
/
0 El
2000 El
0
0,2 . 2000
0,4 0,5 0,25 Hl
4ob
Hz
=
800
H3
100 0
H4
500
Hl Hz
=
=
400 kg.m 800 kg. m
H3
100 0 kg . m
H4
500 k g . m
AIV ')\. '
L.OO
)(:&)E
800
Gambar 3.5 D i s t ribusi gaya dal am.
1000
H asi l yang d i t u nju k ka n oleh gambar 3.5 ialah me n y a t a ka n besarny a mome n l e n t ur ( d al am h a! i n i sebagai m omen bat a n g. bukan se bagai mome n t i tik) yang J idist ribu s i k a n ke batang <.'lemen AB dan BC ses u a i d e ngan k e ka k u an m asing-masing. J adi gay a dalam { H} y ang d i dapat dari hasi l perh i tungan ini bu kan meru pakan momen le n t u r yang sebe n arn y a bekerja. Momcn l e n t u r yang sebe n arnya be ketja bisa d iperoleh d e n ga n men gu rangi gay a d alam { H} dengan m omen p rimer e lemen s t ru kt ur . 80
Dengan melihat juga gambar 3.4. (c). akan didapatkan :
r+--4oo l I I!
I
+
: +
,"''
ooo
I
l
I
L -i- _SOG_j
=
c
Boo
1
- r -5�00 1 -
-
I
I I
I
i \ I
I
-4200 kg.m
-"-5000 -
3200
-t-4200 kg.m -2700 kg.rn
+3200 ;
!._ ____,.!
t
" ,-.
mor�e n
p r : me r
�:tcr�:. .. �:��Jkan mon1('1l 1_,�ltang, bukan C:onroh 3.2. :
!) \...!tt..l•...: tl (_)" '11
+ 5400 kg.m
'1
n1on1t..\ll
titik.
Scb�lg:.>i contoh kedu�! ar��in dibah�:·; �lt�llU konstruksi kinem<:tis te:· �entu
sep�rti pada gambar 3.6. (a).
1 a :: xx;..� kg
:4. -------=�--------'' '-· Af!_ El C ��6tvi ------- ---
4M
·-----�; 8 1:::
--
--·
.:;,.
f:
-+-- ------�--------� I
'
--------
{a) konstruksi yang akan di:malisa ckngan beban gaya Q.
(b) struktur dasar yang dikekang
1
\.......?. 02
·.�
;4
'cl
;po,
dcraicit kt'tidC�k-rcntu:lll kincm,;lis
� f:
c
·
:o ..I
i -·
! d) diberi kan D 1
=
l
I
.,.._
sa tu an
81
I
( e ) J iberikan o� = 1 satu an
(t) diagram H-d
1
g ) d ia gram kesetim ba ngan Gam bar 3.6 B
Lang kah p ertam a yang d ilakukan ialah m enganggap konstruk s i i n i ter diri atas Jua elem e n d is k rit. AC eLm CB (gam bar 3.6. b). Titik C sebaga i titik d is krit m em p unyai dua d eraj at kebe basan . y aitu translasi d an rotasi. Mel i h at gam bar 3.6, akan didapatkan hubungan-h u bungan sebaga i beri kut :
[A] =
r: �
82
1
6
0
1
6 1
4 1
4 t
01 =1
0 t
02 = 1
+
dl
+
d2
+
d3
+
d4
4
[ s]
6
0
0
6
6
0
0
0
4
4
0
0
4
4
2 3
I 3
0
0
l
0
0
2
2
El
0
I 3
El
2
6
4
2
2 3
0
0
0
0
4
2 4
3
2 2 3
2
4
I 4
Selanjutnya dihitung matrix kekakuan [ K ] [ K)
=
[ A)
T
[ S)
[ A) 2 3
1
- 6
1
1
- 6 4
0
1 3
4
1
1 3
2 3
0
0
0
0
0
'
1
=
1
3
- 6 1 2
3
3
8
0
- 6
0
0
- 6
2
4
0
1
El
1 1
4
2
- 6
8
- 6
2
4
3
1
0
1
- 6
:dr.L, Ji;flrtr i
0
0
1
El
l
1
4
0
83
f
---- ------
fK]
[ K]
{
D}
=
0 '
=
- 1
!(
1 0.36 1 7 El { Q}
361 7
(
I
i
I
I
E I
....
I
(
46 07,85
I '
575 El
l I
1 1,6667 J
0 , 2083
I� 0,208 3
'
[KJ
{D}
r 0 ,2 4 3 0
=
l
-0
!
i "
' ,
,
El
-o,2os3
·'I" I'-
',boo;
-0,208 3
0,2430
6 66 7
?�o� -0 . �uu5
2 0 83
0 ,2430
"!
I
I
/ I
·.,
I
(
i
-
!
I
i i
)
I
'
000 0
"-
�� J' 9
Selanju tnya akan bisa dihitung gaya dalam { H}
=
( s ] [A ] { D } ( "' 1 3 3 1 2 El 3 3 L
0
0
0
-'"\ "
0
\
L I
1
6
I
l -
,,
0
4
/ � -
;-
I
"7
b
3
.
/
..
-�
.,
<
I
d 3
3
8 84
2
6 9 7 '8 2 El
)
/
)
l
57
f I I I
4
)
�
0
1
6
I
1 2
0
0 ' I
0
,
s� ::;
I"
46 07.8 5 E l 575,89 El
1 I I
/
r
�l .
H1
9 60
Hz
1 1
H3
-1 1
52 52
-14 4 0
H4
:J·�
/'-- 9 60
i152
. �·-------"6--'- M_:__
j' ../� 1152
L. M
ll.L.O
.,.______2��-- -------
___ __
Gambar 3 . 7 D istri b usi gaya dalam. M aka didapatkan h asil anal isa :
MA
B ila
= 960 kg.m MB = - 1440 kg.m M eA = - M c B = 1 1 5 2 kg.m
dibandingkan hasil
1000.6 .4 2
MA
[02 =
rumus yang sudah d i ke ta h u i :
ini dengan
9 6 0 kg.m
=
-- 1000 .624
=
-
1440 kg.m
[02 Tcrnyata hasilnya sama. Contoh 3 .3 . : Pada contoh soal yang selanjutnya ini. akan dipcrlihatkan bagaimana
A t�.
1 1000
�
proses analisa bila konstruksi pada contoh 3.2 dikombinasibn dengan suatu pcrletakan elastis dititik
C.
�---------------
1
-----------------------
E
kg
,
B
6M (a) konstruksi yang akan dianalisa. dengan sa tu perletakan elastis dimana k = 0.5 El
85
V
1' o,
(b) derajat ketidak-tentuan kinematis
(c) diberikan D1 = 1 satuan
l
:
2
Q:- -1000
I
�·o, ---+--
(d) gaya ekivakn dititik diskrit yang koresponding Q: -1CXX)- k 01 clengan lendutan D 1
( 1.')
penyederhanaan dari gambar (d).
Gambar 3.8. konstruksi balok menerus atas perletakan dastis. 86
Persoalan pada contoh soal ini sebenarnya sama dengan contoh 3.2, karena mempunyai elemen batang yang sama dengan derajat kebebas an yang sama pula. Maka proses analisa tidak akan mendetail dibahas lagi di sini, dan langsung akan mendapatkan matrix kekakuan :
[ K]
[K
-1 )
=
[
0 , 2430
0 , 2 08 3
0 , 2083
1 , 66 6 7
1 0 , 3 61 7 E I
]
El
1 ' 66 6 7
- 0 , 2 08 3
- 0 , 20 8 3
0 , 2430
Proses selanjutnya akan terlihat adanya perbedaan dengan analisa con toh soal yang lalu, yaitu dalam menetapkan vektor gaya yang bekerja, yang disamping ditentukan oleh gaya luar yang diketahui Q = 1 000 kg, juga dipengamhi oleh gaya pegas kD 1 . {D}
{ �:}
=
=
Dl
1
{Q}
1
0' 3 6 1 7 E l
r
I
1 , 66 6 7
i
l - 0,208 3 '
1 . 1 , 66 6 7 0 , 3 6 1 7 El
Dl
Dl
[ K) -
=
l r ( - 1 000 J I 0 0 , 24 30 J
- 0 , 208 3
l I I
-
kD
l
)l
�I
j i
( - 10 0 0 - kD 1)
1 ,6 6 6 7 ( - 10 0 0 - 0, 5E I . D 1 ) 0 , 3 6 17 E l
4 6 08 El
- 2 , 3 0 4 D1
4 608 El -1394, 7/E I 87
Dz =
..
D2 =
:
0 ,36 7 E l
(-0 , 2083) ( - 1 00 0 + 0 , 5.E I . 1 394 , 7/E I )
1 74 , 3/EI .
Berd a sa rkan ba sil l en d ut a n D 1 dan D2 yang d idapat, b isa d ibitu n g gaya d al am yang t im b u l p a d a el em en struktu r.
{HJ
I
- 6 =
I
- 6
El
l
HlHz
1
3 2 3
3
8 3
8
- 1 394 , 7/E I 1 74 , 3/E I
2
290 , 5 348 , 7 -384 , 7
H3
-435 , 9
H4
Dengan d em ik ia n d idapatkan basil a nal isa : MA
\'leA
YlcB MB
290 .5 348. 7 = - 348.7 -435 .9 =
=
kg .n 1 kg.m k g. m kg.m
3.4.2. KONSTRUKSI PORTAL B IDANG TANPA PERGOYANGAN PADA MANA DEFORMASI AXIAL D IABAIKAN
Da lam pasal ini akan d ib ahas an al isa Jari k on stru k si p ortal b id a ng. Dik etah u i d ua macam kon st ru k si p ortal b id ang. yaitu p ortal tanp a p er goya ngan dan p ortal Jenga n p erg oyanga n , sep erti d itunj u kkan ol eh gam b ar 3.9 . I
(a ) p ortal tanpa p ergoyangan .
88
i
�
'
i
-'
. . (
rI
.
,///
( b ) portal menerus tanpa pergoyangan.
�,_
-�------.,
•
\
(c) port a l d engan pergoyangan . Gam bar 3 .9 ko nstruksi portal dengan tit i k hubung kaku. Co nto h 3 . 4 : Dalam pasal i n i akan d icoba d i bahas analisa portal bidang tanpa per goyangan. d im ana defom1asi axial dari ekm c n-elemcnnya J iabaikan. 89
q : 300 KG/ M '
B
•
l l l J _l l.LI.! J. J .l f! Jl L� .
2 El
c
600 1<&
600XG El
/.
El
A
3. 00
D
-///h w
(a) portal b idang yang akan dianalisa. dengan bentuk konstruksi dan sisti.m pem b e banan yang sim etris.
0
(b) struktur d asar yaz1g dikek:mg. Momen primer : M
..
M
A B·
B A·
=
MD C
�
=
60 0 . 3 . 2 5
2
=
2
60 0 . 3 . 2 2 5 2
�
Ma c = MCD
-
-
Mc s
- M64 - �A B
= =
=
iz
=
x
- 2 8 8'f kg . :n
+4 3 2 k g . m
300
x
- 4 3Z k g . m
+ 2 88 k g . m
5
2
=
- 6 2 5 kg . m
...
625
288·
1 c) Momen primer.
�----------��� \
� ·
\
(d) Derajat ketidak-tentuan kinematis
:
2
(e) Gaya ekivalen dititik diskrit yang koresponding dengarr· lendutan D. Q1 Q2
=
=
432-625 625 -432
=-
=
193 kg.m 193 kg.m
91
( f) Di berikan D 1
=
1
satuan
.
( g ) D iberikan D 2 == l satuan
-\ \..
1
) H,
_ _
( h ) D iagram H-d
( i ) Di agram
kesetim bangan.
Cam bar 3 . 1 0
Portal simetris.
�
'·
Dengan m em p erh atikan gam bar 3 . 1 0 akan didapatkan :
0
+-
0
+-
0
[A ]
=
+-
0
+-
0
+-
0 0
D 1= 1
D 2= 1
t
4 5
[S]
=
=
2 El
El
--
5
r I I I
i
•
�
I \
t
dz d3
d4 ds d6
2 5
2 5 4 5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2 5
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
4
2
0
0
0
2
4
0
0
0
0
0
0
L
0
0
0
0
2
3
4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
5
4
5
4(2) 5 2 (2) 5
2
i 0 I
I
+-
0
dl
2(2) 5 4(2) -5-
2
4 5
,.,
j
1 I
I
I
2
5
l I
6
I, )
1
2
3 4 5 5
Me1 i h a t pe r s a '!la a n ( 3 . 33 )
[ K]
=
[A]
T
[ S ] [A] 93
[ K]
-5- [ ] 2E 1
=
6
2
2
6
Dengan m engubah gaya-gaya luar menjadi gaya ekivalen terpusat di ujung elemen atau dititik-titik diskrit (gambar 3 . 1 0 . c dan e ) . J :111 dengan melihat persamaan ( 3 . � 4 ) :
5 {: } { D}
=
[ K] -
=
..
=
{
94
l
�
D2 j
o,
1
-
2E I
5
36-4
64ET
(
1 -
i I
l
1 r {- 1 544 l 1 544
{ Q}
8TI5 l� 96
965
SE I
)
I
6
I -2
l
I
)
-2 6
1{ } -1 93
) I
1 93
J ad i putaran sudut d ititik B dan C ialah sebesar :
Dl
-
02
=
96 5
- SIT
Dari persamaan (3 . 3 5 ) :
{ H}
=
[ S] [ A ] { D } 2
=
2E I 5
-
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
4
2
0
0
0
0
2
4
0
0
0
0
0
0
2
1
0
0
0
0
r
l
2
0 =
2
0
4
2
2
4
0
2
0
H2 H4
Hs H5
0 0 1
0 0
96 5 - 8E I 965 + BIT
0
0
19 3 -41 93
T
- 48 , 2 5
Hl
H3
-
0
0
=
- 96 , 5 - 96 , 5 96 , 5 96 , 5 48 , 2 5
\1 elihat momen p rim ern y a pada gambar 3. 1 0
(c).
m a k a akan d id ap a t : 95
r
I
=
l
- 48 , 2 5
I
I
96 , 5 96 , 5
I I
MC D
MD
=
l I
=
J
, - - - -,
96 , 5 96 , 5
L
1
l
:
48 2 5 I _:_ _ j
_
I =
, - - -,
-
-
I
I
-
2 88
I I
+
43 2
1
- 625
1 I
+
625
1
-
432
�
+
I
L
_
t H
I
I
I
1
I
288 I
_:_
t
+
_
= - 5 28 , 5
I
I
I
239 , 75
=
_j
kg . m kg . m
528 , 5
kg . m
-5 28 , 5
kg . m
528 , 5
kg . m
- 2 39 , 7 5
kg . m
momen p r i me r .
Contoh 3 . 5 : Sekara ng akan dibahas an alisa portal pada gamba r 3. 1 1 di bawah ini : � = 6001< G / M '
400KG
ot2_E_I�E����������C I
El
-+- �
2. 00
. 5.00
2.00
5 . 00 ( al
D
5 .00
� �-� ' '�,,-,----------����------------�i� c t-.;
Portal yang akan dianalisa.
6
•
1 h l S t ru k t u r Momen 8 r i me r
Jasar yang d i kt? kang. 400 . 2 800
: ME D ME F
=
-
]
=
-
- M FE - 1 2·
=
kg . m
600 r:: 2 -· "'
+z. 60 0 . 5 2
- g· 1 000 . 4 1
- 1 2 50 IKg m . =
=
- 1 2 50 - 500
kg . m
kg . m
BOO( :�'"1250 I
.I
7ml
(c) Momen primer.
r-=o ,
1250 1250
�DC I
soo
1 251(
\ �
( 02 I
\
\.
'
l (d) Derajat ketidak-tentuan kinematis : 2 ( defonnasi axial diabaikan ).
/
//
/
l e ) Gaya e kivalen Q dititik diskrit yang koresponding
dengan lendutan D .
'
�
'�
�
R.'
V
( [) Diberikan D = 1 satuan
1
/
(g ) Diberikan D 2 = 1 satuan
(h) Diagram H-d G ambar 3. 1 1 Portal menerus tanpa pergoyangan. Dengan memperhatikan gambar 3 . 1 1 . dapat mulai dihitung matrix [ A ] dan [ S ] . 98
'
0 0 0
I
(
El = , T®
+
d4
+
d5
t
+ +
d6 d7 ds
D 2= 1 2
0
0
0
0
0
2
4
0
0
0
0.
0
0
0
0
4 ( 2)
5
2 ( 2)
0
0
0
0
0
0
0
2 (2)
-5-
5
4 (2 )
-5-
0
0
0
0
0
0
0
0
4 4
0
0
0
0
0
0
2 4
2 4 ,
4 4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
5
El
d3
4
5
I
I
0 )
D 1= 1
I
+
+
0
t
d1 d2
+
0 0'
[A] =
[S ]
+
0 0 0
0
8 4 0 0 0 0 0
0
5
5
4
8 0 0 0 0 0 0 2
0 0 0 0 16 8 8 16 0 0 0 0 0 0 0 0 3 4
0 0 0 0 0 0 0 0 10 5 5 10 0 0 0 0 5 5
0
0 0 0 0 0 16 8 7
4 (2 )
2 ( 2)
-5- -54 ( 2)
2 (2 ) 5
0 0 0 0 0
-5
-
'1 '")
"-
3 4 II
Jj
5 5
7
8
8
99
Matrix kekakuan struktur dapat dihitung berdasarkan persamaan :
=
Ei 10
l
(
[ K l = [ A ] T [S] [ A l
0 t .o 0 0 0 1
o o o o
0
0
J
I
\
[ K]
:::
TO
-1
=
4�
El
1
10
ET
X
4 8 0 0 0 0 0 0
8 16
16 8
8 0
[K}
8 4 0 0 0 0 0 0
9 44
[
0 0 0 0 16 8 8 16 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 10
0 0 0 0 5
5 10
� �I � I j
J
l
l
)
42 -8
Sckarang dihitung lendutan dan gaya-gaya dalam.
o
0 0 0
l
l
0
0
0
0 0 10 5
5
1 00
0 0 0 0
0 0 16 8 0 0 8 16
2 36 E l { D } = ( K] - l { Q }
0 0 0 0
0 0 0 0 0
)
�l 0 1
o
I
j I
'
{ D 21}
_
5 � 236 El
- 7 450
}
- 4200
{H}
=
01
=
-37250/236 El
02
=
-21000/236 El
[S]
[A] {D}
r� El 10
=-
4
0
0
0
0
0
0
8
0
0
0
0
0
0
0
a
0
16 8
0
0
0
0
0
o
0
8 16
0
0
0
0
0
0
0
0
0
10 5
0
0
0
o
0
0
0
5 10
0
0
0
0
l�
0
0
0
0
0
16 8
0
0
0
0
0
8 16
l�
0
I
I
II
3 72 5
- 236
0
0
f
37250 236EI 21000 236EI
\
,
ll
2100
0
- 236
0 16
. . !'
/
I .
8
101
- 63 , 1 4 - 1 26 , 2 7 - 3 2 3 , 73 {H}
=
- 26 8 , 6 4 - 88 , 9 8 - 44 , 49
... ...."'
- 1 4 2 , 38 - 71 ' 19 D engan m em perh at ikan momen primer d ari elemen-elemen struktur. m ak a akan didapatkan :
M
r-= � � �4; j
=
A
,1 - 1 26 , 2 7
M
I I l
=
ED
M F E MF
E
MF
B
MF
C
M
I
=
0 -323 ,73
I - 26 8 , 64
=
I - 88 , 98 I
l - 1 42 , 38
=
j
!
l
B
I i
MC
-
4 4 , 49
- 71 , 1 9
L
_ _
_
l
I I
-
-
l
I !
I
-
1 i
I
l
I _�
t
H
t I
I
!
I
kg . m
+ 800 I
kg . m
- 1 2 50
9 2 6 , 2 7 kg . m
I
I
1
+ 1 2 50
I
kg . m
I
I
0
1
I
I
f - �- -l
- 1 5 1 8 , 64 k g . m
I I
- 500
4 1 1 , 02 kg . m
- 1 2 5o
1 1 0 7 , 62 k g . m
l
+ 500
- 5 44 , 49 kg . m
I
] I
+ 1 2 50
_ _ _ _
.
I
_j
- 1 32 1 , 1 9 k g . m
t mome n
pr i me r .
Sekaran� J i t i njau apaka h keset i m batTgan d i t i t i k- ti t ik p e r te m u a n ter penuhi :
\t E
= ·
=
=
\1 F = =
1 02
\l t: A + \t E D + M E F 800 + 9 �6 . .2 7 1 � 6 . .2 7
0
1 memen uhi ).
:VI F B + M Fc - 1 5 1 �.64 + 4 ) 1 .0 � + 1 1 0 7 .6 � 0 ( I11 L'Il1 C ll llh i ). \1 F E +
3.4 .3. KONSTRUKSI
PORTAL
BIDANG
DENGAN
PERGOYANGAN
DIMANA DEFORMASI AXIAL DIABAIKAN.
Setelah pada pasal y ang l al u d ibahas analisa portal tanpa pergoy angan m aka pada pasal 3 . 4 . 3 ini akan d icoba menganalisa konstruksi po rtal de ngan pergoyangan . dim ana d e f01m asi ax ial m asih d iabaikan. Contoh 3 . 6 . : D i b awah i n i d iberik an satu c o ntoh analisa portal sederhana dengan pergoyangan m endatar,
___
&'X> kg
1CDO kg
D c ;__----'---L-----, --l.OO kg 2 El
El
El A
ZM
I _..
_,.___ _ _
l
B
2M
( a) Portal yang a kan dianalisa.
tC:��H��----------�:�·',�\:1D !'
J�,
1
1
( b ) Stru k t u r dasa r yang d ike kang.
'. .
I
� _.-/
A
500 / ' i)
Momen o r i me r 1 M e = - M D = 8' 1000 . 4 C o
,=
500 kg . m
I c ) Momen p rimer. 1 03
( d ) Ocraj a t k e t id a k- tentuan kinem atis 01
:
-�\,..,..
,.�. Q -z :: - 5 00
1
( g) Gaya e kivalen Q d ititik diskri t y an g kores p onding den �an l e n d u t a n D . t satuan 1 sat uan o,
( f) O i berikan 0 1 � 0"2
=
d3 -
l satuan
l i
fgl
1 04
D i b e rikan 0 ,
=
I �a t u a n .
3
' ( h ) Diberikan 0 3 = I satuan
"",""" H L.
dt.,
------'� ��5 "'
.
.--d s \
( i l D iagram H-d
G a m bar 3 . 1 2 P o rt a l d e ngan pergoy �mga n .
D c n gan rn e rn pe rhat i kan g�tm bar 3 . 1 2 . sel;mj u t n ya d it u r u n ka n [ A ] d a n [ S] . ( I I I
4
0
I
[A]
"
0
4
0
0
0
0
0
4
1
0
1
0
4 "'I
I
I
I
I !
- dl +-
+++-
+-
0 )
d2
d3
d t.;
ds
d·5
� I
D 3= 1
1 05
4
2
4
4
0
0
0
0
4
1f
0
0
0
0
0
0
4 (2) -4-
0
0
0
0
2 ( 2) -4-
� �
0
0
0
0
0
0
1f
4
1f
0
0
0
0
4
1f
2
[ S]
El
4
El
-
2
4 ( 2)
2
2
4
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
4
2
0
0
0
0
2
4
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
2
3
4
2 =
2 ( 2)
2 3
4
5
2 5
6
6 •
Selanj u t n y a b is a d ih i t u ng m at r i x k e k a k u a n s t ru k t u r [ K ] . [K] =
(
I - 2 I 0
1 06
I
'
I �4 I
l
0
I 2
(
El
[A] T [S] [ A]
0
4
0
0
0
1
0 0
1
1
0
o I
4 4 0
I !
I
I I
j I I�
0
0
o
l
2
0
0
0
0
o
0
4
2
0
0
0
0
0
0
2
I 0
0
0
o
0
0
4
0 0
2
2
l 0 4
j
1
4
1
I
l
4 1
4
I
o
0
0
ol
0
o
I
o
jI
0 0
I I
I
1
4
0
0
1
3
4
El
2
3
4
0
El
-
2
1
[K ] -
=
El
2
3
4
4
4
6
2
2
6
3.
3
24
8
8
24
rl
1 1248
0
0
0
0
l
0
l
0
4
512
- 48
- 48
- 48
-15
-15
63
- 48
\
63
512
-48
- 48
- 48
63
-15
- 15
-48
[ K ] Ja n f K ]
0
4
3
3
4
3
3
1 1 56 E l
SL· te Lth
4
3
/
1
[ K(
8
-
0
2
3
r
0
0
3
=
2
4
4
El
4
2
4 =
4
0
3
[ K]
3
0
63
!
�J
\I
I
I
)
l d ih i t u n g. m aka besar k n d u t a n d a n g ay a-
g:� y a d a Ll m e� k a n d a p a t U l' ng�m m u d a h d i t e n r u k a n . {D} ( \
D · U )
"
i' '
\,
c1
? /
[ K) -
1
! 56
{Q } 5 12 t. l
- 43
-
48
- 48 63
- l
5
-
1+ 8
'
1 0 0 0 'l
- I 5
;) 3
- 500 1...
5 0 0 Ii 1 07
\
t
5 1 2000
D1 =
02
03 = =
- 5 5 7 , 69 /E I
-
5 7 , 69/E I
[A] { 0 } 2
El {H} = 2
0
0
0 0
it
1
, 4
1
2
o
I o
I
2
0 0
0
r1
0
0
4
2
2
4
0
0
o
0
2
2
4 2
l
< - 1 1 73 , 07
0
0
l
1
I
I
I
2 3
1 - 673 , 0 7
4
l 1 20 1 . 92
5
s
r
�
1i
0
4
0
0
0
2
1
1
0 1
4 1
2
]282 . 05
- 5 5 7 , 69
� I
l
0
0
0
0
: j. 4
92 5 9 1 6 73 . 0 7 •
0
0
0
I� �4 : 3
0
I 1 1 73 . 07
1 08
J
- 9000
3282 , 05/E I
{H } = ( S ]
{H}
?
- 8 7000
5 7 . 69
4
1
j�
0
0
0
0
0
�
0
0
J
{
] 2 82 , 0 5 / E I
- 5 5 7 , 69/E t
- 5 7 , 69/E t
1
J
- r- �-1
D engan memperhatikan momen primer dari elcmen-cle men st ru k tur, m aka akan didapatkan :
MA
MC A MC D
M DC
M DB MB
r 9 5 �9-;-1I
=
I I
=
6 73
,o7
1
1 - 1 1 73 ,07 l l -673 ,07 I ! I 1 1 73 ,07 l 2 I Ll 20 1 , 9_j
=
=
l
=
l
I
=
+ H
_ _
Contoh 3 . 7 :
1
I - I J I
I
kg . m
I
I I. - 500 o
+ 500
i
0
I
= -
I I I I
=
I
momen
673 ,07
kg . m
- 1 1 7 3 , 0 7 kg . m kg . m
L _o_ .J +
kg . m
kg . m
p r i me r
D i bawah ini akan d icoba m enganalisa satu portal sederhana dengan pergoyangan satu arah y aitu m endatar yang dikombi nasik an dengan pegas. dengan konstanta pegas k. B e ban-beban dan ukuran konstruksi diam bil sama dengan con toh 3 .6. _
6 00 k g
C
2000 k g
D +_,___/\ ;.______�...____ . 2 EI !.00 kg
I
El
El
8
A
��c_o_2 (a)
.
k
4c
Portal yang a k an di a na li sa d i kom binasikan perletakan dastis de ngan konstanta pegas k _____ ----� ____��
/. //.
3
;
/
dengan =
1� E l .
'
! h ) Deraj a t k e t id a k- t e n t uan k i n L' m a t is : 3 1 01./
-o,
_ �
o,
\ --... a ,
( c) Gay a e kivalen Q1 dan gay a pegas k. D 1 y an g timbul akibat diberikan lend utan D1 pacta konstruksi portal d iatas.
----� ��----�,-��
o 1 - k . O,
O -z
.#
( d ) Gaya ( Q 1 - kD 1 ) yang koresponding dengan lendu tan D 1 , serta gaya Q 2 dan 03 yang korespond ing den ga n iendutan D � dan D3 . Gamh:tr 3 . 1 3 Portal denga n kom binasi peg:.1s.
Persoalan kl· k:.!ku
[ K]
I I
j
I
� J
l I
E!
8
� 1 [ K} -
1
r- 1'
3
24
8
3
I 512 I'
- �8
• ) 0 c:. i "
1 10
- 48
l
3
3
!
j
24
- 48 '
�
- 48
"J )
- ! )
- l :)
' _;� 'J
i
"\ I
I!
)
{D}
[ K) -
=
Dl
=
D1 =
51 2
- 48
-48
- 48
63
-15
-15
- 48
1 56 E I
03
I
{Q}
l
Dz =
Un tuk k = 4 E
1
1 00 0
1 ?6 E t
1
1 56 E l
3 70 0 0
500
63
48
+
- 9'JOO
48
+
k. D 1
- 5 00
l
5 1 2000 - 5 1 2 k . D 1
-
-
J
k.D1
k.D1
( 5 1 20 0 0 - 5 1 2 k . D 1 }
I
D 1 = 3 2 82 , 0 5 / E I - 0 , 8 2 0 5 D 1 1 , 82 0 5 D1
Dt
=
Dz = Dz
=
03 =
=
3 2 8 2 , 0 5/ E I
1 80 2 , 8 2 / E I
l 1 56 E l
( - 8 7 000 + 4 8 .
- 4 1 9 , 0 1 /E I
1 1 56 E l
( - 9 000 + 4 8 .
DJ = 80 , 9 8 6 / E I
{H }
=
[ S J [A] { D } 3
4 3
4
=
El 2
-
0
0
3
4 3
.,.-
4
2 4
2
0 0
:l 2
4
2
*
�
kD 1
4 5 0 , 7 0 kg .
E l . 1 80 2 , 82/E I )
E l . 1 80 2 , 8 2 /E ! )
(
i 1 80 2 , 8 2 / E I I
-
=
4 1 9 , 0 1 /E ! 80 , '3 8 6 / E l
l
t
)
1 1 1
{ H}
�
466,55 2-757,57,0404 -257,04 57,0 4 J 7716,55
2 3 4 5
6
f42 5766, 04s5 l I , - 7 04 -500 I -257, 04 ! 75 , l -I 257,04 l +500 -757, 04 = 757
Dengan m emperhatikan m omen primer dari elemen-elcmen struktur. maka akan didapatkan :
"A
MC A M
' 'c D MD C
MD B ·'� s
�-- -�
I I
=
I I I
Contoh 3 . 8. :
l
I = I I
l
I l = L��J , Olf
=
I
I
I
I I
I !
l
I
I
I
I,
!
L
H
I l
__
t
_j
kg . m kg . m kg . m kg . m kg . m kg . m
momen p r i me r
C arnbar 3. 1 4 menur.j ukkan satu port<J l yang dapat bergoyang p ada Jrah m e ndatar. d imana saiu kaki n ya B D m iring, d engan sudut kemi" ringan o.
600 kg
t
E
k .l[)O gc
2 El
roo 9 k
3M El
L
� '
1M (a)
l J:�
' ---+--
l. OOkg
D
B lM
2M
2M
Port al y a n g ak
-
L. M
c
"
D '
8
A ( b ) S tru k t u r clasar yang d i ke kang. 400
•
c 6 00 ---4
� �o� '
' 500
'"'
soo
5 00 / '
D
,-----t 400
c Pru
=
� Pe s
., .± 1 /\
c;nn V ( (J' 1 _ \..1\.J _- "u
t.. >-
Po : SOO
A
I
A ( e ) Gay a Q d i t i t i k d i s kri t y ang koresp o n d i n g denga n lendutan D.
..; u
� tx sOO = 8 33, 33
B
B
l 13
i 0, I --+--...J..___..._
o,- 1,
-�d , I
I
I
fJ
!
I
Pembahan bent u k yang terjadi p ada portal bila diberi kan lendutan D 1 •
'
'-......--'
.
i
4 H1
( g ) D iagram H-d . G am b ar 3 . 1 4 Portal d e ngan kaki m iring. Dengan m e m p erhatikan gam ba r 3 . 1 4 dan rn e m perhat i kan bahwa de fo rm asi
14
0
1 4
[A ]
n �
n 5 ? 5 5
' -. )
t DJ=!
l I �·
J
.... d 1
0
.... d 2
0
.... 0 4
J
cl'
:J 2 � I
d3
� os 0 t
D3= l
<- d 6
"
r
i
I
-,
8
.,_
'
r
0
0
4 -
0
3 --
J
-
0
! I
3
0
0
IJ
\
��
2 4
J
[s]
l
o o
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
4
0
0
0
0
2
4 ( 2) 2 ( 2) Ll Ll
2 ( 2) 4 ( 2) Ll Ll
5
1
0
0
0
0
2
10
0
0
3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
3
4
l
1
o o o 1
I
I
1 0
20
10
[S)
l
j I
20 0
10
4
1 8j
8
4
5
6
4
5
I
6
[A)
sl f * l I �
5
0
0
0
10
0
0
0
0
0 20 1 0
0
0
0
0 1 0 20
- J
0
c
� o
0
0
0
0
8
4
0
0
0
0
4
8
10
El
5
4
0
0
T
5
0
0
[A ]
5
0
10
=
5
0
5
I
o
0
0
1+ 1+ - 3 - 3 3 3 0 1
0
0
Se l a n j u t n y a
=
0
0
El
l
0
4 4
= TO
��
0
4
10
[ K}
0
5
0
I
0
_;_
0
Lf
-1
3
-
o
0
1
5
J
�3
0
�3 0
1
J
1 15
,.-
t 4
0
1
::
El 10
-
15
15
5
0
4 4
-10
-10
4
4
10
20
10
0
0
0
10
20
8
4
4 1 3 1
3 1
1 1 , 20 8
[ K ] = TO
-6 , 25
1 El
I 16
0
0
-6
-6 , 25
30
10
-6
10
28
6 8 70 , 1 7
0
0
3
El
0
1
- 3
740
1 15
1 17'5
1 15
2 7 7 ' 82
- 74 , 58
1 17,5
- 7 4 , 58
297 ' 1 8
1 , 077
0 . 1 67
0 ' 1 71
0 , 1 67
0 , 40 4
-0 , 1 09
0 , 1 71
-0 , 1 09
0 , 43 3
0 ' 1 67
0' 1 71
0 , 404
- 0 ' 1 09
- 0 ' 1 09
0 , 433
r333.34 l -1 00
500
0
0
{H }
= [ S ] [A]
{D}
0
0
0
0
0
0
0
0
20
10
0
0
0
0
10
20
0
0
0
0
0
0
8
4
0
0
0
0
10
5
0
5
10
0
= �a E1
15 4 15 4
= �a EI
•
0
I
0
0
1
0 3 1 0 3
1
1
4 8
0
4 2 7 , 82 3/ E I
-10
20
10
-10
10
20
- 3 8 , 9 2 1 /E I
0
1 r
4
0
- 22 1 , 5 1 4 1 0 1 . 560 3 9 8 , 45 1
2 3 4 , 790 Momen a kh i r
A
MC
MC
=
A
MC
MD
MO B
E
D
C
B
= =
= = = =
I
5
i
I
i
!
-
r -- -l l'I I I - 4oo I
:
! -22 1 , 5 1 4 -
- 5 00
1 0 I , 560j -
+5 0 0
I
'
398 , 45 1 1
_:_7 9 0 j L_ � � H
284 , 1 5 2 / E
::J
)
-
'
- -
'
-1
1 40 , 9 7 3 k g . m
=
12I
400
, 5 1 3 kg . m kg . m
==
2 78 , 48 7 kg . m
=
- 3 9 8 , 4 4 0 k g , ,1]
398 . 4S l kg . m
2 8 4 , 7 90 k g . m
"lomen p r i ne r
�1
38 , 92 1 /E I 1
4
f 2 J , ) f )\ I
l
-
3
I 1
'
4 2 7 . 82 3 / E
2
r i4o.9DII I
0
r � l
2 8 4 , 1 52/E I
8
121 ,513
M
1
10
1 40 , 9 7 3
M
0
0
4
=
0
5
4
{H }
I
1i 1 1i 1 - 3 1 - 3
lj
3.4.4. KONSTRUKSI
RANGKA BATANG DENGAN TITIK
HUBUNG
ENGSEL.
Pada pas al-pasal y ang lalu. telah dibahas a nalisa struktur dengan sam bu ngan kaku dimana d c form asi normal m asih diabaikan. Sekar:.mg akan dapat d ianalisa konstruksi rangka batang yang j us t ru dianggap hanya m e ngalami d e fo rm asi normal (axiall saja. Sebenarnya p roses analisa adalah sama dengan yang telah dilakukan pad a p asal-pasal yang lal u . hanya berbeda pad a cara m em beri kan vektor lendutan d i m ana hanya ada vcktor lendutan translasi saj a . dan p a d a m at ri x S yang menyatakan hubungan gaya dalam clan d eform asi. baik gaya d alam m aupun d e form asi yang t im bul hanyal ah bersifat axial saj a. Sekarang lihat contoh d i b aw ah i n i .
J
Contoh 3 .9 : A
AE
OOOKG
B
AE
C
AE
AE
""'--?> 2 . 00
2 00 0 2 . 00
: I . 50
KG
( a) Rangka batang y ang akan dianalisa . .f/
lbl
1
',
-.__./
S t ru kt ur dasar y ang d i kekang.
o, LD-2 5 D3 Ic)
i18
r
D L.
Deraj at ketidak-tentuan ki ncmatis
:
4
Q r = - 1000
( d ) V e k t o r gaya luar yang kores p o n ding d e n ga n l e n d u ta n D .
( e ) Diberikan D 1
=
1 satuan
( f) D iberi kan D2
=
sa tuan
i g ) D iberibn D 3
=
I h 1 D i beri kan
=
D�
1
�atuan
1
s a t u an
1 19
,
-
-��-
( i ) Diagram H
Gambar 3 . 1 5
-d
K onstruksi rangka batang.
Memperhatikan gam bar 3 . 1 5 . akan dengan m udah dapat ditentukan m a trix [Al . yaitu matrix y ang m en ya takan hubungan deform asi dan lendutan. Dari gambar 3 . 1 5 . e , un tuk D 1 dl
d2 d3 d4 d5
= = = = =
d� d3 d4 d5
= = = =
=
=
Dari
d4 LL �
=
gam bar c� , d, d3 d4 d,
! 20
=
-
=
=
=
=-
I
0 l
0 0 0
-I - 1.
Sin Sin
a =
Cos Cos
a =
a =
-
3 . 1 5 . h . untuk D 4
=
=
I
0 0
Dari gam bar 3 . I S . g. un tuk D 3 0 dl J .., = 0 I d ·,' =
I
0 0
Dari gam bar 3 . 1 5 . f. u n tuk D2 dl
=
=
� ' -
.) / )
3/5 =
0
0
0
I. l.
a=
I
4 5 -4 5
J alii mauix [ A ]
0
0
0
0
+
0
-1
0
0
+
0
-1
0
+
3 5 3 5
4 5 4 5
I
t
[A ] = 0
0
0
0
t
t
Dz = l
D1=l
....
D4 = l
D3= l
)
dl d2 d3
+
d4
+
ds
Sesuai dengan apa yang telah d isinggung d i bagian depan pada pasal ini. maka elemen-elemen pada konstruksi rangka batang ini hanya menderi t a deformasi axial saja. yang dengan d em i ki a n hanya m cn im bulkan gaya dalam norm al saj a. K arena d isini mem b ahas konstruksi yang elastis, m aka hukum Hooke akan berlaku karenanya.
I
AE
Gam bar 3. 1 6
L
I :. lI d
'I
H
Batang y ang menderita gaya norm al H dan mengalam i deformasi ax ial d .
Melihat gam bar 3. 1 6 , U.36 l
Dengan d e m i k ia n : H
=
AE d . L
U . 3 7)
J i m an a A E mc nyatakan kckakuan a x i al J a ri bata n g pada gam b ar.
L
Dcngan m e l ihat persam aan 1 3 .3 7 l . m ak a jelas dapat d i k e ta h u i bahwa m atriX f S ] a k an terdiri J a ri clC !ll L'Il-C!em e n ke kakuan ax ial. y a i t ll 12!
A E 1 1 L 1
0 A2E
0
[S]
I l
L
2
2
0
0
0
0
0
0
+
0
+
0
A E.3 3 L 3
0
0
0
0
0
... '
f d l= l
A 4E 4 L4
t
d 4= 1
d 3= 1
I
I
A E5 S L s
0
t
d 2= 1
+
0
0
0
1
0
+
+
H1 H2 H3 H4 Hs
t
d 5= 1
Dengan d e m ik ian sekarang sudah dapat d ihitung m atrix k ekakuan [ K ] , yaitu : [ K ] = [ A] T [ S ] [A ]
=
-1
0
0
l
0
1 .2 2
0
0
0
0
0
3 0 -1 - l 5 5
0 AE
l II I
I�
I I 0 I
r
4 5
0
0
I
\I
4 5
)
2 3 0
II
l
I
l 2
0
0 0 0 0
l2
I
0 0 0
0 0 3. 0 0 3 0 0 0 3. 0 5
0 0 0 0 3. 5 0
0
0
0
2
2
0
0
2 3
6
0
0
0
8
25
25
-
I
J l I
I
6
5
JI
0
0
0 -1
0
0
1
0
3 5
4 5
0
0
25
�
(AE )
0
-
0
0
0
3 0 -5
-
I
4 5
0
0
0
-1
0
0
1
0
-1
0
0
0
3 5
4 5
0
0
3 5
l
4 5
l I
I
)
[ K] = AE
2 3
0
0
0
0
3 58 3 75
0
0
0
2 3
0
2 3 0
0
64 1 25
l
Untuk m e nghi t u n g [ K J -- 1 , d igunakan m e tode partitioning.
2
[ K]
Af
=
�
0 1
- - - - - - - - - -
- � 3
o
: :�
- �
�
I
}�
I
0
i
0 0
- - - - - - - - - - - -
o
375
64 1 25
(i)
1 r- 1 1 J J l 0
°
0
=
3 2
(
-
l
2 3
0
0
0
(i i )
1 :23
{ Ha s i 1
( i i i ) } . K12
�
K2 2 - { H a s i 1 ( j V ) }
(l
=
�
(i i i)
1 -0
[!
l �:�
( j V) 0 0
( 36 I
m 0
Bi 1a
di
d i ma n a
1 :' 4
(v )
t e n t uk a n [ F]
[ K] - 1
maka F zz
-1 = {Has i 1 ( v) }
36 1 25
0
0
1 25
- F22
F2 1
64
•
{ Ha s i 1 ( i i i ) }
3b 1 25
=
(Vj )
0
0
3b
1 25
3b
0
0
0
=
-
0
0
(Vj j )
Fzz
-1
0
36
0
0
0
r 1 25
0
l I
!
I i I I
\
F12
0
1 25
F 1 2 = - { Has i 1 ( i i ) }
r
-1
.., 6
)
0
1 25
II
0
1 25
64 (V j j i )
I
! I
I
0
{ Has i 1 ( i i i )
l
/
}
�6
r 1 25
l
0 0
-
1
0
0
0
1 25
r
�
�
=
1 25
0
0
0
- 36
"
I'
Fll
=
-1
Kl l -
l
J
{ Ha s i 1 ( j X )
[� ] [ [m �l 0
=
( i X)
}
�
- 36 1 25 0
l
36
0
� r l l--�-----�-1--�-----�- - 1 79 36
[F)
=
l AE 1
__
I l I
!
I 25 36
-
o
o
I 25 36
i 1 25 o I I 36
o
I
I
I
o
O
o
1 25 64"
l
J
U n t u k m � ng:h itung lenduta n . tetap d ipakai p e rsam aan ( 3 . 24 ) : {D}
1 26
=
[ K] - 1 { Q }
( I
\
I
I
Dl Dz
D3 l I
D4
= AE1
11
{H }
=
[S]
0
3b 1 25
� 0
=
Selanj u tnya :
��
0
0
0
36
0
0
0
0
1 25
1 25
l
64)
2000
0
AE
- 3 4 7 2 , 22 3906 , 2 5
{D } 1 2
0
0
1 2
0
o
2 3 6 25
0
3
�
- 1 000
- 49 7 2 ' 2 2
2
=
0
0
1 -
[A ]
36 1 25
0
0
0
0
=
r� 1
i
�
- §__ 25
�
- 1 000 208 3 , 3 3
0
1 r\ 1
8 25 8 25
l
I
\
- 4972 , 2 2
�
o
- 3 472 , 22
3 906 , 2 5
)
-4 1 6 , 67 '
)
_., , 1_
Jadi : Gaya batang nomor
H1 0 R2 0 H3 = 1 000 kg H4 = 20 8 3 , 3 3 kg H5 4 1 6 67 kg =
=
3
4 5
-
=-
,
( te kan) ( tarik) ( te kan)
Con toh 3 . 1 0
_...__
I ?,�M I
----
-
GM
GM
t g Cl = 3 / 4
1
(a) Rangka b atang yang akan d ianalisa (dengan luas p enam pang batang dalam c m 2 ) .
CD
k ) D eraj a t k e t idak-tentuan kinem atis : 5
1 28
/.
� - - -·
I
( d ) D i b eri k an D 1
I� · j
·.
-
' .\
' o, � 1
\
ct5 . , _ 1__
\
\
·�\\
=
1 s a tuan
( e ) Diberi kan D2 =
1 satuan
( f) Dibcrikan D3
I satuan
( g ) Di bcri kan D4
=
-=
�
s a tuan
1 29
---- � ---
---
Ds
( i ) D i agram H-d Gambar 3 . I 7 .
Konstruksi rangka b atang statis t erte n t u .
Mem perhatikan gam bar 3 . 1 7 . a k a n didapat matrix ddorm asi [ A] . Perl u d iperhati kan d isi n i . karen a perletakan sebelah kanan �dalah p e rl e takan g:eser. m ak a perlu diletakkan satu vektor Iendutan D d isini (gam bar 3 . 1 7 c ) . sehi ngga deraj at ke t idak-t e n tuan ki n em atisnya m e njadi 5 ( i im a ). Dari gam bar 3 . 1 7 . d . un tuk D 1 J, dl d3 d4 J5
= =
0.8 0
=
0.8
Dari gam bar 3 . 1 7 . e . u n tuk D � J, ct � d} d4 d� 1 30
L
0
= =
=
0.6 0 = 0 =
0_6
=
0
=
I.
D ari gambar 3 . 1 7 . f,
u n t u k D�
=
1.
u n t u k 04
=
1.
ct , = 0 d2 = 0 , 3 8 5 d3 0.385 d4 = 0 =
d
:;
=
-1
Dari gam bar 3 . 1 7 g,
dl
=
d,., d3 d4 d s
=
0 0 �9 � 3
- 0.923
=
=
0
=
0
Gam bar 3 . I 7. h
untuk D5 .
=
0
d2 d3 d4
=
0
ds
= 0
ct ,
=
0,923
=
0.6
=
1.
Jadi m atrix [ A ] :
[A]
0,6
0
0
0
0
0
0 , 38 5
0 , 923
0
0
0
0 , 38 5
- 0 , 923
0 , 923
+
0
0
0,6
+
0,8
r
[ S]
=
-0 , 6 0
-1
t
t
+
D 1=l
0 2= 1
M atrix [ S ] terd iri dari
I
+
0,8
AlEl L2
o
0 A 2E 2
0
0
...
...
I
0 3= 1
elem e n-el emen
0
0
0
0
0
L3
0 A4E4 0
0
0
0
0
d2 d3
d4 ds
O s= l
kekakuan axiaL yaitu :
0
0
+
dl
I
0 4= 1
0
0
+
L4
0 0 AsE s
1
Ls
I}I
r
li
,
il I
25 E 0 0 0 0 2 . l 000 65 E 0 0 0 0 4 . 6so 65 E 0 0 0 0 4 . 65 0 65 E 0 0 0 0 4 . 65 0 55 E 0 0 0 0 6 . 550
[s ]
2
(S]
r
=
Ma t r i x kekakuan
(K]
=
[A]
T
( 025
E
2 0 00
I
I I
I l 1 3 .2
0 50 0 0 0
[s ] [A]
I�
0,8 o.B 0 0 0,6 0 0 -0 , 6 0 0 0 , 385 0 , 385 0 - j 0 ,923 -0 ,923 0 o 0 0 , 92 3 0 , 6 0 0,6 0 0 0 0 , 38 5 0 0 0 , 385 o , 8 -0 , 6 0
0,8
l
0
-1
0 0 ,923 - 0 , 92 3 0 0
0 0 0 25 0
0 0 50 0 0
[ K]
l�
(
0 0 0
4
3
r
I
l I
2
3
4 5
5
0 0 0 0 33 , 33
',
25 0 0 o 0
0 50 0 0 0
0 0 50 0 0
0 l 0 0 ,923 0,6 0
I
0 0 0 0 0 0 25 0 0 33 , 33
E
2000
•
E 2000
20
0
0
20
15
0
0
-1 5
1 9 , 25
1 9 ,25
0
0
0
0
0
0
0 , 385
0 ,923
0
0
0
0 , 38 5 - 0 , 9 2 3 0 , 9 2 3
-33 . 33 0
0
15
0
r
"1'
r
l
-
0
0
0,6
I
0
0
12
18
0
0
-9
0
48. 1 5
0
1 7 .77
0
0
as. 19
0
0
0
0
0
12
0 , 8 -0 , 6
- 33 , 33
65 , 33
-33 , 33
\..
•
0,6
0
46 . 1 5
0
E ( K) = 2000
[
0,8
0
46 ' 1 5 - 4 6 ' 1 5 0
1 K] -
33 , 33
-9
/
- 4 2 , 60 51 '6
1 7 . 7 7 - 4 2 , 60
0 , 086 3 -0 ,0544
0 . 1 02 9
0 , 0 999
s yme t r I s
-0 ' 0726
0 ' 1 4 36
-0 , 0544
0 , 04 7 3
-0 . 0726
0 , 0 59 1
-0 . 1 088
0 , 09 4 7
-0 , 1 452
0 , 09 4 7
0 ' 1 89 1
1 72 , 6 - 1 08 , 8
205 , 8
I
E
l
s
yme t r i s
1 99 , 8
- 1 45 , 2
2 87 , 2
- 1 08 , 8
94 , 6
- 1 45 , 2
1 18.2
-21 7,6
1 8 9 , il
- 29 0 , 4
I 89 , 4
3 78 , 2
/
Lendutan vang t e r j ad i ID\
=
[K]
-I
I Q}
133
r
�------
+
- 1 72 , 6 {D }
+
+ 1 08 , 8
1 00 0 0
+
- 1 99 , 3
E
-- - -
+
+ 1 08 , 8
Dl D2 D3 D4
.... D s
+2 1 7 , 6
Se 1 a n j u t n y a {H}
=
;::-
--
2000
(
\
I
I
-
[S]
[A] { D }
15
20
0
0
0
- 1 72 , 6 1 08 , 8
v
0
1 9 ,25
46 ' 1 5
0
0
0
1 9 , 25
-46 ' 1 5
46 ' 1 5
"
20
33 . 33
-15 0
0 -
- 9 1 00 5874 , 8 5874 , 8
�H}
l
33 , 3 3
\,
- 9 1 00 4533
t
J
0
15
1 08 , 8
0
0
217,6
2 3
4 5
J a d i d i d a o a t g a y a - g ay a b a t a n g - 9 1 00
Hl H2 H3
1 34
=
- 1 99 , 8
k g ( t eka n )
5874 , 8 kg ( t a r i k) 5874 , 8 kg ( t a r i k)
H4
- 9 1 00
kg ( t e ka n )
Hs
4533
kg ( t a r i k )
1 00 0 0 E
Contoh 3 . 1 1
0
A.-4-----+--____. B
( a ) rangka batang yang akan d ianalisa, A E konstan
3 000 kg.
D:J
I�-..J.(S)�s,;...4-.-- -- --71(,--- 0�
� 02
(0
D2
b I d c r.>j a t
kc ti dak- t e n tu a n ki n em at i s : 3 ( m e n gi ngat adanya keadaan sime tris pada rangka batang ini)
-+---+.c; Q3 �?-r �..:Q: 3 -: I' l· , \c) 0 -= �Oz
Q 2 f0
0
v c kt or
y ang
korespond i ng d e nga n w kt o r l e n d u t a n gay a
luar
1 35
\
\
\
\
\ I
I
I
I
I
I
( d ) diberikan I satu an
'/
�1
=
l e n d u ta n
se besar
1 sat u an
- 0.8
( e ) d i berikan l s a t u an
l e n d u ta n
D�
se besar
( f) d iberikan 1 sa tuan
kndutan
D:1
se besar
0. 8
I \ I \
\
I I
I
Gam bar 3 . 1 8 1 36
H
03 = 1
satu:m
anal isa rangk a batan g s ta t is tak t e n tu t i n gkat J .
, d �
Sesuai dengan tahapan yang tebh dijelaskan dibagian depan, m ak a d i bawah i n i akan ditumn kan bert urut-turut matrix ( A ] , ( S ] d a n ( K ] .
[A]
0
0 ,8
- 0,6
0
0,8
- 0,6
0,8
- 0,8
- 0,6
0,8
- 0 ,8
- 0 ,6
0
t
Ar E
[S]
J.
�
�d
�d
AE /
I
..)
c
I
I
I
I I I
2
6
3
AE/
0 5
AE
I I
5 AE /
0
I
[A
5
D
I
(K]
d
4
5
i
l
2
3
I
I
"
/
0
d
f-- d
E---
0
I D
of---
- 2
0
D,
l
6 AE
]T :sJ
AE 1 00 0
(
-
[AJ
-
38 1
256
256
5 ', _?
0
1 92
0
95 4 , 6
j 92
I I
8
I
I
I
I
I
)
J3.7
I�·
{ Q}
{ D}
[ K]
[ K] { D} 1 [ K ( { Q}
==
==
-1
=
4 , 66 5
2 , 333
0 , 93 3
2 , 333
3'1 14
0 , 467
0 , 933
0 , 467
1 , 2 38
1
-
AE
Q
D
1
1
D D
[ K]
==
2
-1
J
Q
2
Q
3
3
I
=
1 AE
r
'
D
i
l
D
2
D
3
Jad i
D D
1 38
2
I
l
4 , 66 5
2 , 333
0 , 9 33
3 000
2 , 333
3'1 14
0 , 46 7
0
0 ,933
0 , 46 7
1 , 2 38
0
1 3 995 1
.A.E
'
6 999 2799
1 3 995
I AE
( -1-
6 999
I AE
(
+
D
3
=
2 799 I AE
D 3 D
3
k i r i a ra h
kanan a ra h
-+ +
Untuk rangka batang d engan deraj at k e tidak-tentuan kinem atis yang besar, m ak a cara analisa de ngan m e tode ke kakuan ini menj adi tidak p raktis lagi. Untuk itu dapat d ipakai cara analisa y:mg lai n , an tara lain : m e tode kekakuan dengan cara superposisi l angsung ; - m e tode f1eksibilitas. Kedu:1 c :.;.ra tcrsebut bert u m t-tuntt akan dibah as dalam bab-bab bcrikut ini.
1 39
4
METODE SUPERPOSISI LANGSUNG
4 . 1 . INTRODUKSI
D alam bab yang lalu. telah dicoba menganalisa stru k t u r dengan m e tode matrix, dalam hal ini metode kekakuan y ang u ru tan kerjanya mem enuhi t iga p rinsip u tama : kontinuitas dari deform asi ( kompatibiliti) hubungan gaya d alam dan d efom1asi elem en kesetim bangan gaya luar dan gaya dalam. Selanjutnya akan d ip erlihatkan cara u n t uk m enyederhanakan p roses an alisa di atas yaitu dengan menu ru n kan suatu matrix kekakuan stan cl a r d ari satu elemen struktur. yang dapat d ipakai sec ara u m u m . A d a beberapa cara y a n g d ikenal u nt u k m e n urunkan matrix ke kakuan
elem en, antara lain : metode unit lendutan teorema cas tigliano ( pertama) metode i nversi. Cara yang pertama. adalah suatu mctode langsung. yaitu secara tang
sung m e nghitung gaya-gaya yang t im b ul clititik-t i t i k d iskri t bila pada satu t itik d i an taranya d i berikan lendutan sc besar satu satuan (u nit len du tan) clan titik yang lain sedemi kian rupa akan clip egang t ega k pad a b isa d i d apat hubungan gaya dengan lencl u tan tem patnya. Seg$1 yang b isa d isaj i kan d alam bentuk matrix . ..
Cara yang kedua adalah berdasarkan penggunaan langsung tcorem a C as t i g l i ano p e rt am a . y a i t u d engan cara m enyatakan persam aa n s t ra i n e n ergy sebagai fu n gs i d ari lendu tan. u n t u k kemu dian pe r sa m a a n ter sebut d i-diferensiir terhadap len dutan yang bersangk u t an . Hasil bagi d i fe re n s i <:>.l i n i akan m ;:mberikan gay a-gay a y a n g t i m b u l titik d iskri t scbagai fu n gsi d a ri l e n d u t a n . De ngan c a n i n i
a k a n bi c,a
di
d iperolch hubungan gaya d en ga n k n d u rJn .
C a ra yang k c tiga. a k a n d i ura ib n
lcbih m e n d e t a i l d i bawah
i ni .
4 . 2 . METODE INVERSI UNTUK MENURUNKAN MATRIX K
Tinjaulah satu s u s u n ga va cl a n k nd u t a n y a ng k o r c s p o n d i n g "
{ Q}
=
[ K] { D }
yang m an a b i l a d ila k u k a n partisi. d a p a t d i hasilkan h u b u n g:J n m a t ri x
�cbagai bcrik u t
:
1 43
(4. 1 )
dimana
{ Ql }
dan
{ D 1 } , { Q2 } dan { D 2 } , m asing-m asing adalah
merupa
kan him punan beberapa gaya dan lendutan yang koresponding satu sama lai n . dan m atrix
f K]
ialah matrix kekakuan yang m enghubung
kan m atrix { Q } dan { D } , yaitu :
[ K] =
[--���-f--���--] K2 1
(4. 2 )
K2 2
I I I
D idasari oleh persamaan (4. l ), maka akan dapat diturunkan matrix kekakuan [ K ] . dengan menggunakan m etode i nversi.
\{engingat pada partisi yang telah d i b uat sesuai dengan persamaan
< 4 . 1 ), maka proses menurunkan m atrix [ K ] secara garis besar dapat dibagi dalam e m p at tahap utama.
TA HAP l
A!n bil D t
=
Dt
,
D2
=0
Qari p rinsip t1eksibilitas. d ituru n kan m a trix t1eksibili
J:a F 1
l · Karena
{ Ql }
dan { D
1}
adalah susunan gay a
Jan lendutan dititik d iskrit yang koresponding satu
sama lain, m aka akan dapat dengan m udah d i t u run kan hubungan :
{ Dl } = [F1 1 )
(4. 3 )
{ Q1 }
dimana matrix [ F 1 1 ] mem pun yai elemcn y ang m eru pakan koetisien tleksibil itas. yaitu suatu koet1sien yang
m e nyatakan berapa harga lendutan kan gaya
{ Q1 }
{01}
b ila d i ke rja
sebesar satu satuan dit itik-t i t i k diskri t .
l n vers d ari persamaan 1 4. 3 ) dapat d inyatakan sebagai :
{Ql }
=
! Ft l !
Dari persamaan < 4 . 1
{Ql }
m aka
T..\ HAP 1 1
1 44
lK!
=
l J =
- I
{D l}
1 :
[Kl l]
{Dl }
lF1 1 I - 1
1 4 .4 )
(4.5 ) 1 4 .6 )
L ih at kcsetim banga n gaya-gaya :.tn tara { Q 1 } dan { Q2 }. Berdasarkun p rinsip k esc t im banga n ga�:a-ga y a . �t kan h is:1 t.l id�tpatkan suatu hubungan :
{ Q2 } { Q2 } =
a tau
d im ana [ A ]
[A ] [A ]
{Ql } = 0 {Q } 1
m e ru p akan hubungan antara { Q2 } dan
(4 . 7 ) (4.8 )
m at rix yang m e n yatakan
{Ql } .
Subst i tu sikan persam aan ( 4 . 5 ) k e dalam persam aan
(4.8)
:
{ Q2 } = [ A ) [ K l l ] { D l }
(4 . 9 )
Dari p ersam aan ( 4 . 1 ) : maka
{ Q2 } = [ K 2 1 J { D l } [ K2 1 l = [ A I [ K 1 1 l
1 4. 1 0)
(4. 1 I )
TA HAP I l l : Dari t e o re m a resipro k , a ka n d idapat : T [ K 1 2 l = [K2 1 l TA HAP I V
Am bil D 1
-=
0. D2
=
( 4 . 1 2)
D2 .
Sama d e n ga n p roses yang d i te m p uh p ad a t a h a p I . d i turu n bn 1 n atrix f1 e k s i b i l i tas [ F 2 2 1 . y a n g m e m e n u h i
h u b u ngan :
{ D2 }
a t au
{ Q2 }
=
[ F 2 2 ] { Q2 }
(4. 1 3 )
[ F2 2 ] - 1 { D 2 }
( 2. 1 4 )
Dari p ersam aan ( 4 . 1 ) :
{ Q2 } m aka
=
[K22 ] { D2 }
( 4. 1 5 I
. t
t
Dengan d e m i k i a n selesailah s u d a h p roses m e n u ru n k an m a t ri x suai d e ngan p ersam aan ( 4 . 2 ).
-.
( 4. 1 6 I
f K ] se
U n t u k m c n u nj a ng penje lasan yang t e l ah d iu ra ik an di a t as . a k a n cli per l i h a tk an s a t u c o n roh yang a m a t sede rhana d i bawah i n i .
0.,
CD
- o,
C a m bar 4 . 1 F k m e n pcgas d e ngan d u a v e k t o r ax ial d i uj u n g ,' k m e n .
Pegas d e ngan K c) e fisien k e ka k u a n k l gam bar 4 . ! 1 m e m p u n v a i d u a v e k tor g a p k nd u t a n y a ng axial d i uj u ng n y a . ;.• a i t u v e k t o r I ( 1 d a n 0 1 ) Q d a n v e k t o r 2 1 02 d a n D 2 ).
S e k �1rang a k a n d i coha u n t u k m e n u ru n ka n m a t rix. k e k a k u an n y:1 . se h i n gga m e m e n u h i h u b u n gan �cperti d i t u nj u k k a n p ersam aan t 4 . ! )
1 45
Sebagai m a n a tclah d iuraikan d i atas. p roses m e n urun kan m atrix [ K ) d i b agi a t as e m p a t tahap. TAHAP I
D ari Hukum Hooke : 01 = k . D1 liidapat M elihat kesc t i m b an ga n gaya 0 1 d a n 0 2
TAHAP ! I
0 1 + 02 = 0 02 = - 0 1
M e l i hat pacta p ersam aan ( 4 . 8 ) :
02 = A · a kan jelas bahwa : A =
-
01
I
M e l ih a t p ad a persamaan ( 4 . 1 1 ) : A . K1 1 K� 1 K� 1 = - l. k
Jadi TAHAP I I I
K� � = - k
Dari teorema resip rok : K l � = [ K� l li i d apat
T AHAP I V
:
]T
D ar i Hukum Hooke : 0�
=
k. D �
akan d idapat p u l a : K, , = k De ngan d e m ikian sdcsailah proses secara kL·seluru h a n . dan d id a p a t m atrix [ K j .
[K]
[ _: : J -
yang b il a d im asukka n pada persam aan ( 4 . 1 ) akan m e n gh asilkan su atu hubungan 146
yang sesuai ctengan keactaan pegas pacta gam bar 4 . 1 . Melihat p roses yang telah ct iuraikan ct i a tas, m ak a u n tu k m e t o ct e inver si ini. telebih ctulu harus ct icari m atrix t1eksibilitas [ F ] . sua tu 1m trix yang men y at a k an hub ungan lenctutan-gaya. U ntuk me ncari berapa harga lenctutan yang terj a ct i aki bat bekerjanya gaya-gaya. b isa ct ipakai prinsip kerj a virtu il . Acta ctua b e n t u k u m um u n t u k m e nyatakan kerj a virtuil e x te rn al ctan kerj a virtuil komplimenter ex ternaL y aitu d an
oW E = Q . o D
oW E = oQ. D
(4. 1 7) (4. 1 8 )
Persam aan ( 4 . 1 7 ) menyatakan kerj a virtu il e x t ernal sebagai akibat d iberikannya suatu lendutan virtuil o D pacta gaya riil Q: sectangkan persam aan ( 4 . 1 8 ) m e n y a takan kerja v irt u il kom plim e n ter sebagai akibat diberikan suatu lendutan riil D pacta gaya virtuil o Q . Dalam hal m e n cari h u b u ngan l e n d u tan ct a n gaya. kita akan m e m akai p rinsip k e rj a virtuil k o m p l i m e n t e r sebagai ctasar perhitungan. D ari p rinsip kerj a ctan en crgi , m aka kerj a v ir t u il e x ternal harus sam a de ngan kcrj a v i rt u il inte rnal. y a i t u : (4. 1 9 )
d im an a 6 W E m c n y a t a k a n kcrj a v i r tu il e x ternal. <S W I m c n y at a k " n kerj a virt u il i n ternal. �1 d i h a t p ada p c rs a m a a n ( 4 . 1 8 ) . m a k a p crsam aan ( 4 . J l) ) b i sa j u ga d i
nyat:tkan sebagai
:
( 4 . 20 )
Se bagaim ana dike tahui, gaya i n t e rn al m d i p u t i gaya nom1 al . gayJ gescr. gaya rnomen l e n t u r d ,tn gaya momcn t o rs i . Masi ng-m asing gay:1 i n te rnal b isa m el a k u k a n k c rj a . yang b c r t u ru t- t u ru t akan d in y a takan oleh p c rsamaan ( 4 . 2 1 l : 1 47
(4 . 2 l . a)
(4 . 2 I . b)
( 4 . 2 1 .c )
f4 . 2 l . d )
nx Nx
=
gay a nonn a l y a n g t im bul din yatakan se bagai fu n gs i x . seba gai a k i b a t d ikerj ak a n n y a gaya v i rt u il o Q . gay a n o rm al yang tim bul. d i n y atakan sebagai fu n gs i x . s e b agai a k i b a t d i k e rj a k a n n y :.t gay a l ua r Q .
vx
=
gaya geser virt u il
Vx
=
gay a geser akibat gaya luar.
mx
=
momen l e n t u r v irtuil.
Mx
=
momen lentur a ki b a t gaya l uar.
tx
=
rn o m e n t orsi v i rt u i l .
Tx
=
m o m e n t orsi a k i b a t gJy a luar. panjang elem e n .
L A Av
luas pe n am p an g elem e n . =
luas effe k t i f terhadap geser. mom e n in ersia sum b u d ari penam pang.
J
m o m e n in ers i a polar d a ri p e n am pang.
E
m o d u l us dastisitas d a ri b a h a n .
G
modu lus geser d a ri b a h a n .
Den g�m J e m i kian b il a d ituliskan �ec ara l e n gkap : 6Q . D
1 48
=
6W 1
( n o rma l )
+
oW 1 ( g e s e r )
+
5W 1 ( l e n t u r )
+
a t au
oQ. o
=
L f
n
0
X
GJ
L 0
n
L dx + f 0
X
V
X
.V
GAv
X
L
dx + f
m
.M
X
El
0
X
dx +
(4 . 2 3 )
dx
o Q = 1 , m a k a p ersam aan (4 . 2 3 ) akan m e njadi :
Am b il
f
X
t .T
0
=
. 1� EA
L f
D
X
X
.N EA
X
L dx + f 0
V
X
.V
GAv
X
L m .M L t .T X X X X dx + f dx + f dx El GJ 0 0
(4 . 2 4 )
Persamaan (4 . 2 4 ) i n i a k a n m enjadi dasar dalam m e n ghitung lenduta n u n tuk menur u n ka n m atrix fleksibili t a s [ F ] p a d a p asal-pasal selanju tnya. 4 . 3 . MATRIX KEKAKUAN ELEMEN BALOK
9
L:x
... ..
12
z
6
G am bar 4 . 2 .
Elemen balok denga n v e k t or-v c k t o r gaya-len d utan d i uj ung elem e n .
L ihat dem e n b al o k l u m s pada gam bar 4 . 2 . denga n v e k t o r-ve k t o r gaya dan lendutan yang sesuai pada u i u ng elemen . Arah positip vekt or vektor terse b u t d i n y atakan oleh arah tanda anak p a n ah vektor ber sangkutan. Selanju tnya harus dituru n ka n kekakuan dari demen bal o k ini. Sesuai dc ngan penjdasan pada pasal sebel u m n y a . digunakan prinsip kerj a v i r t u i l . y a n g dalam b e ntuk umumnya sesuai d e n gan a p a y a n g te lah d id apat p ada persamaan (4 . 2 4 ) , sebagai b e ri k u t : 1 49
r I
=
n N L v V L m M X X d X X d X X d x + x + f x + f o EA o GAv o El dalam hubungan m e nuru n ka n m a trix kekakuan K dari ini, b e b erap a asumsi akan d iam b il . a n t ara lain :
0
L f
L t T f � dx GJ o
eleme n b alok
eleme n d ianggap homogin sem p urna elem e n d ianggap elastis. U n tu k mempermudah p roses m enurunkan m at rix ke k akuan K , d iada kan p artisi vektor gaya dan l e n d u ta n , sebagai berikut :
I
Ql t4;
I I I I I I I K 2 1 I K 2 2 II I I I I I I I I · - - - - - , - - - - - - ,
Q7 Q
- - - · · ·- -
01
I
Kl 3 K1 I 4 I I I I I I - - - - - r - - - - - - r - - - - -- - r - - - Kl l
02
s Ql 2
K1 2
I I I I
-
Q4 K32
K3 1
Q3
Q 5·
I I I I I I
I I
K2 3 - - - - - - -
K3 3
I I I
I
K2
K4 1
Q9 ·�
K4 2
I I I
I ----r I I
K3
Ql
[K l l J
Q2 Q6
Q. 1
�
o
,
02 DE
o,
K34
D12
-
---
(4 . 2 5 )
04 D3 --
K4 4
1 j
G am bar 4 . 3 . balok l u ru s y ang t e r k e n a g a y a n o rm a l . 1 50
--
Ds
-- - - -
01o
+- - I -r- -
----4 X
-
Ds
4
Ql l Se karang d i ti njau :
06
-----
4
I I
I I I I I
-
07
I I I - ----r---- - - r - - - - - - - r -- - --
Ql o
02
Dg ,
l
On
( 4 . 26 )
Oz
=
06
=
+ Q z (GAv
L
L3 ) 3 E I zz
L 1 ( - Qz . x )
f
0
(4 . 3 0 )
dx
E I zz
(4.3 1 )
2 E i zz Melihat akibat b ekerj anya gaya 06 :
(4 .3 2 )
0
06
2E l zz
E l zz
l L . Q5
f
0
dx
E l zz
=
Q5. L
--
(4.33)
E l 72
B ila dinyatakan hubungan d i a tas secara m atrix, akan d idapat :
L EA 0
0
L
- +
GAv
L2
0
3 E 1 22
2 E 1 22
'
L3
L2 2E i n L E l zz
M elihat L
- +
GAv
3 E 1 22
L2 2 E l zz akan didapat :
L3
1
0
L2 2 E l zz L
E I zz
\ I II I
I
J
r Ql l Qz
J
Q3
Qz
.L
Q6
(4.34)
L r_
{ : }f
I
�
Qz
l
Q6
Qz Q6
I
I
l
I
r
)
�= I I
I
J
�
=
L
2
+
GAvE I zz
II
L
I I
I Z ( E i zz ) 2
I
I,
EI
zz
2
L 2E l zz
j
2 L ZE I LZ
E �n 2 L ZE l zz
(
02
I
3 L L GAv .,. 3 E l zz
D fi__
l_
l
� I I
J
I )
---...----�
1 2Ein
L"
-- +
GAvL 2
1 Z ( E i zz ) 2
)
� L_ "' _ o { J + � 7. ) ' 1 2 ( E Lzz ) �
__
J ad i :
L
1 2 ( E i zz )
r I
l I
,
;
,
L2
-
2 E izz
2
,;:, q o,i
L3 L =-+ ::.Av 3 E l zz
/
j
l 6
I
D
�
(4 . 3 5 )
J
l Z E 1 2z
"22
6E !-zz
,( s �
4 I
;.
...
'r i
�
I
E i zz L
4 . 36 )
!53
r <1-z
d im an a
1 2 E 122 GAv L
2
D ari persam aan (4 . 2 8 ) d an ( 4 . 3 6 ) ak an d idapat :
kl l
0
0 0 EA
[Kl l
)
=
0
0
L
1 2 E l zz
0
0
6 E I zz
( 1 + �z ) L
' ) L2 ( 1 + q;-z
(1 +
2
l
(4.3 7 )
) L
U n t u k m e ndapat k an [K2 1 ] . sekarang dili h at pada kesetim b angan gay a-gay a 01 , 0:::. , 0 6 dengan gay a-gay a 0 7 . Os . Q 1 2 .
IQ IQ
X
=
y
IQ z
=
0
Ql + Q7
0
Q2 + Q e
0
- Q6
+
=
0
=
0
Qz . L
Q12
=
0
(4.3 8 )
Da r i pe rs amaan ( 4 . 3 8 ) Q7 Qe
=
=
-Q l -Q z
Q l2 = L . Qz
(4 . 3 9 ) -
Q6
Bila dinyatakan dalam ben tuk m at rix : 1 54
0
( 4 .40 )
-1
L
atau :
( 4.4 I l
dimana :
r
l�
[A)
0
0
-1
-1 L
(4.42)
0
-1
Dari persam aan (4 . 2 6 ) & ( 4 . 4 1 ) :
( 4 .43 )
tap i
(4 . 4 4 )
(4 . 4 5 )
maka
-1
EA L
0
0
-1
0
0
L
-1
0
0
1 2E I zz ( 1 + �z ) L 3 6E Izz
( l + �z ) L 2
l
0
0
6 E I zz
I
( 1 + �z ) L2
( 11
+ �z ) E I zz
( 1 + �z ) L
j
1 55
0
EA
L
1 2 E I zz
0
=
[ K2 1 J
l
0
6 E i zz
( 1 + z ) L2 1> ( 4 + 1> ) E l z zz
( 1 + z) L3 1> 6 E I zz ( 1 + z) L2
0
Berdasarkan t eore m a resi p rok
[ K 1 2 J = [ K2 1 J T
( 1 + cp z ) L
1>
:
( 4.46 )
J
(4.47)
Selanj u tnya analogy dengan persamaan ( 4 . 3 7 ) :
r EAL
[K2 2 J
=
I
I
l i
0 0
0
0
1 2 E I zz (1 +
cl>
z) L
3
6E I zz ( 1 + z) L 2
6E I z z
( 1 + 1> z ) L 2 (4
(4.48)
+
1>
z ) E I zz
(1 +
1>
z)
L
)
M a k a selesailah sudah p roses m enu ru nkan [ K 1 1 ] , [ K 1 2 l , [K 2 1 ] clan [ K 2 2 l ·
G ,nn b a r 4 . 6 bal o k
Dari
l urus
yang terkena
m omen
torsi.
p e rsamaan ( 4 . .2 5 ) :
( 4.49 )
1 56
M elihat gam bar 4.6 :
L t x . Tx dx
D4 = ! 0
GJ
L 1 . Q4
= !
o
-- d x GJ
(4 . 5 0 )
GJ GJ
(4 . 5 1 )
L
De ngan p roses yang sam a seperti p roses m enunm kan persam aan ( 4 . 2 9 ) sampai d e ngan persamaan (4.3 5 ) . a kan d id apat :
1 2E I k33 =
k3s
kss J im ana :
y
=
+
(1
y
ks3
(4
) L3
(1 +
(1 +
cp y
1 2E I GA L
y
2
6E I
yy
+
2
(4 . 5 2 )
) E l yy
) L
V
V
Dari persam aan ( 4 . 5 1 ) Jan ( 4 . 5 2 ) :
( 4 . 53 )
I
Analogy d engan persamaan ( 4 . 4 5 ) : ( 4 . 54 ) 1 57
d imana :
[A]
r -� '
J ad i :
[ K4 3 ]
=
I
0
0
-I
0
-l
-I
GJ L
1
J
0
I
I
I�
y
6E I
0
(I
cl>y )
l
2
[ K4 3 ]
=
I
4l y )
L
2
(4 . 5 6 )
yy
( I + cl>y ) L
Dari teorema resiprok :
[ K3 4]
+
II
yy
( 2 -
yy
(I +
I II
6E I
y
( 1 + q,y ) l 3
0
II
0
1 2E I
I
(4. 5 5 )
)
T
(4 . 5 7 )
Akhirny a analogy dengan persamaan ( 4 .48) : ( I
GJ L
0
0 l 2E I
6E I
yy
0
(r + 6E I
l
0
Dcngan m e lihat bahwa :
( l +
[ K2 3 ]
=
[0 ]
=
[o J
[ K2 4 ] [K3 d
[K32]
=
=
[ K4 1 J [ K4 2 J 1 58
? ·q,y) L �
+
( I + •) L
2
[o ]
[K1 3] [K1 4]
(4
yy
yy
[0 ]
. yy
J
. (4. 5 8 )
maka akan d idapat m atrix kekakuan K untuk dcmen babk seperti
gam bar 4. 2 . sebagai berikut :
[K]
r
.I I
'
:k l I
7
kl.
I
7
k2 . 1 2
7 I �77
k r, . 1 2
:k 2
:k 6
k 72
k75
ka 1
I
k1a
12
k1. 12
ka 2 k a G :ka1 k s . 12 kss k l2 - l k 1 2 - 2 k l 2 . 6 k l 2 . 7k ! 2 - B k l 2 · 1 � - - - - - - - - - · · - - - - - �- - - ------- ---- : 1
0 -- -------------
0
I
�
---� - - - - - - - - - - -
:
I
0
:
f
0
0
0
0
:
-- - - - - - - - - - - - -
k .. �
I
+
----- -----------
k4 3
k ., s
: k4 . 1 0 k 4 9
k4 . 1 1
k 34
k33
k 3 s : k 3 . 1 0 k 39
k3. 1 1
k s4
ks3
k s s : ks . I o k ss
ks. 1 1
I
I
- - - - - - - - - - - - -- -
I
f
---------- ------
: k104 kro3 k 1 o s ! k 1 o 1o k 1 o 9 kl0 - 1 1 I k g ., k9 3 k9 s : ks 1 o k g g k g . u I
o
k 1 14 k 1 1 3 k ! ls: k 1 1 1o k 1 19 k1 1 - 1 1
Sdelah d iadakan penyusunan kem bali. m atrix K dapat d in yatakan
(4
0
0)
sebagai berikut :
( I
r I [K]
I
l
kll
0
k22
0
0
k33
0
0
0
0
0
ks3
0
k62
0
0
k7J
0
0
0
k a2
0
k., ..
s
kss
i me t r i
0
k66
D
0
D
kn
0
0
0
ksG
c
kss
D
kg 3
0
0
D
0
k ss
0
0
D
k9 5
k 10 .4
0
0
0
Q
0
0
0
0
0
0
k ns 0
kl\•11
0
kl
k 1 1.5 0
0
" 1 2-B
0
0
k1
. '
0 J.J
�
0
0
0
k 1 26
k 1o. 10
0
I
I I
k t 2 · 12
I
l I
I
1 59
.
(;)'
4
2
0
EA L 2
0
0 4 5 6
(K]
7
8
9 10
11 12
0 0 0
EA L 0
6
7
a
10
9
11
12
1 2E lzz
( l + � ) L3 0
0
6E i yy
0
( 1 + <1> ) L 2 y
6E 1 zz ( 1 + <1>z )
L
l ZE I
zz ( l + z ) L 3
0
0
0
0
s i me t r l s GJ
L 0
( 4 + <1>y ) E I yy ( l +y ) L
6E I z z ( 1 + <1> ) L 2
z) E I zz ( l + ) L z ( 4+
0
0
0
0
0
0
0
0
6E I zz
2
0
0
1 2 E i yy
( I + y ) L 3
0
0
0
5
0
0
1 2E I
yy ( 1 +<1> y ) L 3 0
6E I
YY
( I + y ) L 2 0
0 GJ
- L 0 0
6E I
yy ( I HY ) L 2 0
( 2 - y ) E I yy ( I + y ) L 0
( l + z ) L 2
EA L
0
I ZE I zz
( I + <1> z) L 3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
( 2 - 'P z ) E I z z z L
( IH )
0
6EI zz
( I + ) L 2
I ZE I yy
( I + ) L 3 y 0
6 E I yy ( I + 0
y) L
GJ
L
2
0 0
( 4+ ) E I yy ( I + y) L 0
( 4 + z) E I z z l z) L (+ (4 . 6 1 )
Untuk balok-balo k panjang. d im ana u kuran panjang dan u kuran pe nam p ang balok m em punyai perbandingan yang cukup besar. maka harga cp menj adi cukup kecil dan bisa d iabaikan. sehingga dengan demikian persamaan (4.6 1 ) menjadi lebih sederhana sebagai beri k u t : 3
2
8
b
9
10
11
12
EA
L'
2
0
1 2E
l z:z _ L_ 3
_
I ZE I
0
0
- -r 6 E 1yy
0
0 6
0 EA
7
[K]
6E i zz
�
8
0
-
L' {)
1 2E i zz
3_ L_
L
0
0
l0
:r
d i mana : L i\
ly
y
=
_
0
0
0
0
0
L yy
--
� 6E i
zz
6E 1 z z
- _L_ 2_
L
2
0
0
0
0
0
0
0
0
-
L
0
yy _L_3_
0
0
2E I 0
zz
� 6E !
0
-
L
L yy
-0-
0
0
GJ
0 6E l
2E i y y
zz
4E i y y 0 --
L
L� 0
4E I 0
0
zz
L
{4 6 2 ) .
panjang balok l u as penam pang balok m o m e n in ersia te rhadap s u m bu y m o m e n inersia terhadap sumbu
l zz E
=
modulus elastisi tas b ahan
=
modulus geser bahan.
G
1 2E i z z
_L_ 3_ 1 2[ 1
=
J
L'
6E I
GJ
6E i
EA
0
Y O __rj_ Y_ 3 2 L L
_ _
0
0
4E l z z
0
0
I ZE I 0
4E ' vv
L
_
0
i me t r i s
--
0
0
0
L
s
GJ
0
0
0
YY
3_ _ L
_
z
m o m e n i nersia polar
161
d an
J i m a n 1.1
( 1 + \.) )
E
2
G
14 . A 3 l
u = p e c a h a n p oi sson d a ri b ah a n .
B i l a el e m c n y a n g d i ti n.i au i t u tid a k secm·a ste r e o s k o p is sccara b i d a n g s aj a . m ak a v e k t o r-V L' k t or l e n d u t a n
.
m cl ain kaJ'
dan g a y a adalah
s e p e r t i t erl i h a t p a d a gam h a r 4 . 1 .
B c r d a s a rk a n p e rsam a an
(4.62 ),
d apat d i n y a t a k a n sl.:'bag:ai b erik u t
:
m a k a m a t ri x
k c k a k u a n c k m e nn y a
EA L 0 [ K)
0
- EA L
0 0
1 2E I
s i me t r i s
L3
6E I
4E I
7
-L-
0
0
- 6E i
- 1 2E I
�
? 2E l
6E l
7
�.=1
L
( 4 . 64 )
EA
T 0
1 2E I -L
0
3
- 6E I
?
4E I L
G ambar 4 . 7
_
-6Jb
-. + 1 :::.=---=--- . ==--.-==--� --
....,f 3 +_ 2__-·
el e m e n balok l u ru s d itinjau secara b i d a n g .
4.
Persam aan ( 4 . 64 ) sebagai k e k a k u a n elem en d alam b i d a n g. ju g
d iturunkan d e n ga n c ara yang l a i n dari yang telah d iuraikan d i atas. y a i t u c ara m e n c ari d efo rm asi elem en t id a k m e n ggun a k an p rinsip kerj a
virtuil kom plem e n tcr. M el i h at gam bar 4. 7, pada t i t ik d iskrit l d an 2 pada elem e n . m asing m asing diberik an tiga vektor gaya l e n du t a n y an g m ewakili gay a len d u t a n n orm al ( ax i al ) , geser d a n lcntur. Lihat gam bar 4 . 8 . Yektor 1 dan 4 m erupakan vektor gaya len d u t a n p a d a a r a h axial ( n orm al ) .
1 62
Q
,-
D, ...
Gambar 4.8
elemen
balok
lurus
dengan vcktor
g.aya
kn
dutan pada arah axial. Menurut hukum
Hookl·.
bila
pad:� titik diskrit 1 dikcriakan gayJ
nonnal 01• maka akan teriadi peruhahan bcntuk axial D1. dimana
Ql. L. 01
=
(4.6:\)
EA
-
Dari persamaan (4.65) akan didapat
Ql
EA
=
L
.
D
(4.66)
1
Mclihat kesetimbangan gaya 01 dan 0 4 :
Q1
+
Q4
Q4
=
-
=
0
Ql
(4.67)
Analogy dengan prose s penurunan d i atas. m aka pada titik diskrit
2 akan didapat :
(4.68)
EA Dari per samaan (4.68) :
Q4
EA
=
L" . o4
(4.69)
Melihat kesetim bangan gay a 01 dan 04 :
Ql
EA
=
-
L
.
D�;
( 4. 70 I
Bila persam aan (4.66), t·-+.67). (4.69). (4.70) disusun secant m atrix. akan mcnghasilkan hubungan :
(4. 71)
163
Sekarang akan d il anj u t kan dengan p roses menu nm kan kekak u an len tur dan geser.
G am bar 4 . 9 elemen balok lurus dengan vektor gaya lendutan geser dan lentur. Gambar 4 . 9 menunj ukkan elem e n balok l u rus de ngan vektor gaya len d u ta n geser dan lentur. B ila pada titik diskrit 1 dikerjakan gaya momen Q3 , dan d iam b il 0 ( gamb a r 4 . 1 0 ) , m aka berdasarkan prinsip kesetim banga n . = akan d idapat dengan m udah :
Q6
Q
2
= - Q
Q
(4. 7 2 )
3 = - \�·/ 5 L Q
Q,
--- --- -( I 3
\_1
t
.!._
--- - - - - - - - --- -.....
......
.....
1
2
.., _
Gambar 4 . 1 0 pada elemen d ikerjakan gaya momen Q3
Qs
d :m 2 Peru b ahan b e n t u k ( anguler ) y ang terj ad i d i titik d iskrit dcngan s end irinya adalah se b a gai akibat gaya m omen Q3 dan g<' Y a geser Q2 . Akibat gaya momen :
Q3 . L
( 4. 7 ) 3 ( 4 . 74 )
.-\ k i b a t gaya geser : D 1 64
11
3
1 1
=
06
G . Av
(4. 75 )
D engan d e m i ki a n didapat perubahan bentuk to tal :
Q3 L + Q3 D 3 = 3ET GAvL
(4. 76)
•
3 . L Q3 Q D 5 = � + GAvL
(4. 77)
-
Analogy dengan p roses d i atas, bila diberikan gay a m om e n 06 dan m ak a akan didapat : d iarn bil Q3 =
0,
Qo L + Q 5 D 3 = '6Ei GAv L L Q5 Q6 Do = 3fT + GAvL
(4.78)
•
-
•
(4. 79) (4. 76)
(4.78), a kan d idapat : 1 1 ) l..L 3 + ( 6 LE I + GAvL L + G Avl )Q (4 80 ) D 3 = (3fT D e ngan m enggabungkan persamaan ( 4. 77) dan ( 4. 79), akan d id apat :
Dengan m enggabungkan persam aan "
L
dan
-
L 1 ) + ( 3fT ( - ffi + B i l a d i nya t a kan s e ca ra mat r i x
D5 =
GAvL Q 3
�
6 I + L
}ET +
l
B ila p ersamaan (
Q3 l
r I
Qo \
I
)
+
JE
+
L 6E l
L
3E I
-
+
) Q6 1 GAvL
G�vl GA vl 1
4.82 ) d iinversibn a k a n d id ap a t :
1_ (_L_I _GAvL t;; L 1 6fT - GAvL
·
0
l 1r Q 3 j I
) l_ ,
Qo
1 1 GAvL 1 GAvL j l D o j
_ _
J f Dg
(4 · 8 1 )
( 4.82 ) )
( 4. 8 3 )
1 65
dimana
L
L ("'i'2ET
3EI
L
L El
1
GAvL)
+
(1
12EI
.Gi_!_
+
L
1
GAvL) (4.84)
Persamaan (4.84) dapat disederhanakan:
?;; ==
L
2
2 2 12E 1
Jengan pengertian
(4.85)
(l +
==
GAvL2
(4.86)
Melihat kesetimbangan pads elemen. Jidapat gaya geser 0, Jan Os :
(4.87) Dari persamaan (4.83) dan (4.87):
+
L
( 4.88)
--
2EI
(4.89)
Bila dinyJtakan secara matrix :
(4.90) 2EI
2EI
Selanjutnya akan ditinjau akibar Jari adanya lcndutan demen.
166
v er t
i kal pada
Gam bar
4. 1 1
Gambar
m e n u nj u kkan terj ad in y a lendutan D � pada elemen
Q2
L , I ,G, E.
4. 1 1
p ad a elemen balok l u rus t c rj ad i lendutan v e rt i kal d i t i t i k dis k ri t .
A kibat terj ad in y a lendutan 0: i n i . akan t im bul 03 d a n 06 d im an a
(4.9 1 ) S u bsitusi persam aan (4 . 9 1 ) k c pcrsam aan
'Z ( 3IT
+ GET)
02
Q6 = '2" ( 6 E I + 3ff)
02
Q3
=
L
l
1
L
L
L
(4.83) :
L L
Bila d isederhanakan :
(4.92) 'Z
1
Q6 =
.
1
(4.93)
D2
2E I
Oaii persam aan ( 4 . 8 7 ) :
Q2 = Qs = \
D2
1
,.. �
El
L
D2
-
c;
(4.94 )
L
El
A nalogy d cngan p roses d i atas. a k an d idapat
2E I
.
2E I
.
:
Ds D5
Ds
El
L
i b7
= "Z l
Qs
Ds
l
ET
.
(4.9 5 )
L
Menyusun kembali hasil-hasil di atas secara matrix akan didapat
Ql Qz Q
3
Q .. Qs
l I
I I I I
r
l
EA
- --c
I
-
I
'
I
6
l �13ET l '
J
CE l L
--2
l 2 c;E I
l
1
+
�Avl
)
L 6£ I
EA l
l Z c;E I
D
1
2 C£ f
I 2 t: E I
I
Q
- --c t;E ! l
I
�
EA
EA
l
�£ I L
-::' 6E I i . L
ZC:£ 1
l t:E I L
1
-
GAvl )
.
L "2 3 £ 1 I
HE I
-
i
...
03 04
I I
I
2 .:;E I
Ds
l
l ) �
l
I
I
D2 I I
I I
I . GAvl)
1
06
� iI
I
I
I
I
/
( 4 .96 )
dim ana dengan pengcrtian
� � � GAvL z
Dengan demikian sudah dapat di turunkan matrix kekakuan elemen dalam b idang, yang bila d isederhanakan kem b ali dengan m em asu k kan harga-harg:J. 1:; d an q, akan d id a pat : EA L
-
eE l
'C.l-.
J '
L
2
L
0
SE !
L 3 ( l + :!> )
0
( I + q, ) 0
?
L�
+
0
SE I
'-
!
....
\. ! '"!"'
,
1
��
L
- ( I+
EA 0
J
0
1 2E I L2 { 1 � DE i
L
2
'
�)
2- � El -J - 1> L
a
0 -
S t: i P)
0
( H · �)
4+ � E l l + ., l
I ZE ! ;__ � ( l
EA - L
0
l 2E I
0
( K]
0
�
ll+
c
5E J
�)
L '"' ( i + ? )
!)
�
2. -
?
L
�
c. ::.. t
(I+
�) ;)
tl L
0
1 2� :
L3 ( 1 + ' -.
�
?
!..: .4..
oE i
L - { 1 + 1> )
; , .., �
El L
14.97 J 1 68
0,
m a k a akan dida Untuk harga
Pada pasal 4 . 3 telah d i t u m n kan matrix ke kakuan dari sat u elem en balok lums. Tapi umumnya, suatu konstmksi , adalah t erdiri dari banyak elemen yang dihubungkan satu sam a lain. m enjadi sat u kesatuan stru k tur. Elemen-elem e n t e rsebu t . tentu saj a tidak sem u anya mendatar. ada yang tegak. ada pula yang rn iring, sehin gga dengan demikian m a t rix ke kak uan seperti persamaan ( 4 .6 2 ) dan ( 4 . 6 4 ) perlu d i t ransfor m asikan secura linier ( dalam hal ini diput a r) agar supaya sesuai d engan posisi elemen yang b e rsangk u t a n . Hal i n i adal ah berdasarkan untuk satu stru ktur. akan dipak ai satu sal i b sumbu bersam a . agar nanti b isa d isuperp osisikan atas dasar satu basis koordinat yang s am a. Sebagai akibat dari pe ngam b il an satu salib sum bu koordinat ini ialah . sum bu elem en tidak selalu beri m p i t dc ngan suJ11 b u koordinat sehingga diperlukan adanya suatu t ransfo rm asi linier u n tu k menyesuaikan . Se karang lihat gam bar 4 . 1 :2 d i bawah ini : w
y V
G am b a r 4 . 1 :2
d u a s ist im saiib sumbu Cartesius. x y z dan vwz, dim ana sumbu z tegak l u m s bidang gam b :.. r
D i sini terlihat adanya d u a sistim salib sum bu Cartesius. x y z clan vwz , d im a n a sum bu z u n t u k kedua sis t im terse b u t beri m p i t . yaitu kduar b id ang kcrt as ini s ccara rcgak l u nts ( tidak t ergam bar disi n i J . Sat�t vektor a pada gam L,«r 4 . 1 :2 m isalkan d a p a t d i tu lis d alam sis tim sum b u koordinat xyz se baga i :
1 4. 9 8 )
1 69
d a n da l am s i s t i m koo r d i n a t
s eb a ga i
vwz
(4. 99) Sekarang a k a n d ip erlih�1 tkan bagaim ana h u b u ngan an tara sistim yang satu d e n gan yang lain. Tinjau rotasi sumbu � � y ke s u m b u vw d i m an a sum bu z sebagai s u m b u putar, dcngan sudut rotasi sebesar a Dalam h a l i n i . hubunga n sistim yang satu terhadap yang lain dapat d i t uliskan d al am hubunga n m atrix sebagai berikut :
.
(4. 1 00 ) a tau
'
V
L
w
L
z
L 3 2
L
12
13
L
22
L
(4. 10 1 )
23 33
dim ana L
L l 3
12
L� �
[L ]
L :5
(4. 1 02)
dan d e ngan dem i k ia n V = w = z
=
I-
--
u. x +
L2 l . X + L3
1
·
X +
L
+
L
Y +
L
1:2" y
L22
·
L3 2. V +
' L
l 3. 23 . 3 3.
z
z
(4. 103 )
z
Yf e lihat gam b a r 4 . 1 .2 . a bn J i d a p a t h u b u ngan :
v =
w =
z
1 70
=
x x
z
Cos
a
+
y
Sin
(- S i na ) +
Y.
ex
Cos a
(4. 104 )
Dengan demikian. d engan m engingat persam aan
Ll l L1 L
=
2
=
1
L 22
Cos a
Sina
0
l3
L2
= =
L 23
-
0
3
3
(4. 1 05)
0
L..
L
S i na
C o sa
I
31 L 32
(4. 1 03) akan didap a t :
0
=
=
a t au
[L ]
-
Cos a
Sin a
0
Sin a
C os a
0
(4. 1 06)
0
0
Untuk suatu t i t ik p e rt e m uan dengan enam dcrajat ke bebasa n . m aka m at ri x t ransform asi yang sesuai untuk t it i k terse b u t menjadi :
:J
[T ]
(4. 1 07 )
dimana [ L ] d inyatakan oleh persamaan
( 4. 1 06 )
.
Untuk suatu balo k l u rus deng:an dua belas deraj a t kcbe basan seperti pada gamba r 4 . 2 . m aka m a t ri x tra nsform asi yang scsuai untuk balok te rsebut dapat dituliskan sebag:ai :
[T ]
r l� I
I
I
L
0
0
0
0
L
0
0
0
L
0
0
0
L
l
J
(4. 1 08)
l71
[ L]
dimana
d in y a t a k a n o l e h persam aan ( 4 . 1 06 ).
A n al ogy d e ngan urutan p e rh i t u ngan seperti d i atas, m ak a u n t u k balok l u rus y a n g hanya cti l i h a t ctalam d u a ct i m e nsi ( h a n y a p acta satu b ict a n g sep e r t i m isaln y a pacta s u a t u k o n s t ru ks i r a n g k a b at a n g d a t a r ) , m a k a m a t ri x transfo rm asi u n t u k b al o k terse b u t dari s i s t i m koorct i n a t x y k e sis tim k o o rct i n at
vw
ct apat d i tuliskan sebagai :
(4. 1 09 )
[T ]
r
d i m ana
[L]
I-
=
l
Cos a
Sin
Sin a
a
Cos a
l j
( 4. 1 1 0 )
S e k arang a k a n d i p e l aj a r i 1 e b ih l anju t h u b u n ga n m a trix t ra n sform asi
[T]
[K]
dalam h u b u n ga n n y a m e n t ra n s for
m a t ri x k e k a k u a n e l e m e n
ke sua tu m atrix k e kakuan
d e n ga n m atrix k e k a k u a n
masikan
[ Kj ]
s t ru k t u ra l d e ngan sistim k o o rd in a t y a n g d ip a k a i oleh stru k t u r secara keseluruhan. B il a d i am bil :
{Q. }
m e n y a t a ka n m at ri x gaya d a ri e l e m e n ke i t e rh ad a p sist i m koor
[ K. ]
m e n ya t a k a n m a t ri x k e k a ku a n d ari e l e m e n ke i terhad a p '; i s t im
{0. } I
m e n ya t a k a n m a t ri x k n d u ta n d a r i elemen ke i krhadap sistim
{ Qs}
m e n y a t a k a n m at ri;.;: :_r : ! y�: d a ri d e m e n ke i y an g tdah d itransfor
[K ] s
m e n y �t t a k a n m a t r i x kekakuan d ari e l e m e n ke
y �m g t e l a h d i-
{D }
m e n y a t ak a n m a t ri x l e n d u t a n d a r i l'lem e n ke
y a n g telah d i-
I
I
s
maka
d i n a t n y a s e n d iri kocrd i na t n y a send iri
koord in a t n y a s e n d i r i masikan ke s i s t i m k oord i n at s t ru k t ur a 1
t ra n s fo rm as i kan ke sis t im koord i n a t s t ru k t u ra l
t ra n s t'o rm asikan k e -;is L i tn l-- o �. ·, rd i na t "> t ru k t ural J a ri
h u b u n ga n
gaya-le n d u t a n
h u bu ngan Ji b a w a h i ni :
{Q. } I
[ K .I l
t,
D. } I
a kan
d idapatkan
b '- t ln; n g c� r,
( 4. 1 1 1 ) (4. 1 1 2 )
1 72
'L- ::ruk Japat m e n t ransform asi k a n m atrix kekakuan elemen ( l o k al l
ic e sistim s t ru k t u ra l ( global). m aka h u bungan m atri x t erseb u t d i o p e ra
sikan sebagai b erik u t :
{Q, }
=
I
[T ] { Q } 5
(4. 1 1 3 )
[T] { D } 5
(4. 1 1 4 )
S u b s t it usikan p e rsam aan (4. 1 1 3 ) d a n ( 4 . 1 1 4 ) ke p e rsam aa n ( 4 . 1 1 1 )
[T ] { Q }
=
[T ] - l [T ] { 5 }
=
5
Q
=
{ Q5 }
:
(4. 1 1 5 )
[ K . ] [T ] { D 5 } I
1 [T ] - [ 1\ ] [ T ] { D s } i
(4.
(T ] - 1 ( K . ] [T ] { D } I
1 16 )
(4. 1 1 7 )
5
Mengi ngat s i fa t orthogc ;;. a l d ari suatu m a t ri x transfo rm ;.;si dL1ldr.a (4. 1 1 8 ) maka p e rsa m a a n ( 4 . 1 1 7 ) a k a n d a p at d i t u l iskan :
{ Q5 }
=
[T]
Menginga t p e rsam aan ( 4 .
(K ] S
dimana
[T]
=
T
[ K . ) [T ] { D 5 } I
(4. 1 1 9 )
1 1 2). m ak a :
[T]
T
(4. 1 20)
( K . ] (T ] I
adalah m at rix" t ra nsfo rm as i d e n ga n orde yang sesu ai
dengan [ K j ] dan [ K 5 j .
Se telah sem u a d e m e n d i t ra n s form asikan seh i ngga m c m p u n y a i basis sumhu
koord i n a t
yan g sam a
( sistim
koord i n a t
st ruk t u ral ).
rn a k a
m udahlah u n tu k selanj u t n y a m c ns u p erposisikan m a t rix - m a rrix tc cse b u t m e nj a d i s a t u m a t ri x kc kakuan s t ru k t u r yang l e n gka p .
4 . 5 . SUPERPOSISI DARI MATRIX KEKAKUAN ELEMEN DAN SYA· RAT BATAS Pada pasal 4 A telah d iuraikan s u a t u m atrix k e k a k u a n e lem e n yang telah d it ra n s formasikan ke sistim koordinat s t ru k t u r sehingga m e m e n u h i h u b u ngan m e n u ru t persam aan ( 4 . 1 1 2 ) :
1 73
{Q } . = [K ] . {D } . S I S
I
S
(4 . 1 2 1 )
I
d im ana { Q5 } i menyatakan matrix gaya pada elemen kc i yang telah d itransfonn asikan ke sistim koordinat struktura 1
[ K5 J i mcnyatakan mat rix ke kakuan pada alemen k e i yang telah ditransfo nn asikan ke sistim koordinat stmktural
{ D5 } i
m en yatakan matrix lendutan pada elemen ke i yang telah d itrans fonn asikan ke sistim koord inat struktural
Da1am p roses menghitung ke kakuan elemen , sebagai telah d iuraikan didepan. syarat kesetim bangannya sudah d ipenuhi. j uga karakteristik bahan atau sifat bahan sudah d im asukkan dalam perhitungan. Jadi masalahnya sekarang bagaim ana membuat terpenuhinya syarat kon tinuitas dari defonnasi yang terjadi pacta elemen ditinjau dari kese luru han stmktur. Untuk memenuhi syarat kontinuitas dari defo nn asi atau syarat kompatibiliti ini, elem en-elemen harus disatukan menjadi struktur kesatuan yang sebenamya. Ini akan dapat d ipenuhi dcngan m ensuper posisikan vektor-vektor dari tiap elem e n y ang sesuai . 5 6
2 3
A
8
9
�7 B
( a ) Sua tu stru kt u r sederhana dengan se m bi1an vektor gay a lendutan
J t c� u
2
>< �
( b l T i njauan pad a tiap demcn dari struk tur pada ( a ) t erhadap sis
tim koordinatnya se n d i ri .
c
�X z
A
( c) Sudut yang d ibuat oleh m asing-masing elemen d e nga n sistim koord inat stmktur. s
6
2
3
9
( d ) Elem e n-elem e n d e ngan b asis k : l n t ra n s form asi C a m bar
4. 1 3
koordinat struktur se t e l ah sesuai dengan g a m b ar ( a ) .
S t ru k t u r y a n g
terdiri d ari d u a elem e n
a t as dua p e rl e t akan s e n d i .
7 d il a k u
b a t a n g l u ru s
.
4. 1 3 (h).
Melihat pada gam b ar m aka d e ng: a n m u dah dapat d ih i tu '1 :_! m at rix ke kaku a n e l e m e n - ele m e n A C d a n CB. demi kian pula rn e n transfo nn as i k a n n y a kl' s i s t i m koord i n a t struktur de n g a n sudut ro tasi a ( G a m bar
4. 1 3 .c. 4. 1 3.d). 4. 1 3.d.
4. 5.
Melih at pada gam bar vektor-vek t o r 6 be rsa m a- sa ma di punyai oleh e l e m a n AC eLm CB. y a i tu pada t i ti k C. Sesuai dengan p rinsip kom patibil i ti atau kontin uitas dari defo rmasi pada elemen struk t u r yang terjadi dititik C m a ka kom ponen vektor 6 d <J ri ke kakuan e l e m e n b a t zmg AC harus disuperposisikan dengan kom ponen vektor 5 . 6 d a ri k e bkuan elemen batang C B .
4. 5.
4.
1 75
Untuk jelasnya dapat ct ilihat tabel d i b aw ah ini : Stru ktur kes eluruhan
ACB CB
AC
Eleme n
Ve ktor bebas p a u a elemen ba tang mul a-mula
I . -') ·
Vektor bebas p acta elemen hatang setelah t ransfo nn asi
I.
,
- ·
4. 5 . 6
3. 1 4.
5.
61
I.
14 .
,
- ·
5.
3. 6.1
� � 1 . 2 . 3 . 1 4. 5 . 6 . 1 7 . 8 . 9
Vcktor b e b as pacta s t ru k t ur keseluruh an Tabel 4 . 1
3.
4. 5.
6
7. 8. 9
Urutan superposisi v e kt or bebas pacta e l e m e n stru k t u r.
Dengan p roses superposisi ini, aka:-: J ict ap at kan suatu m a t rix ke kakuan stru k t u r ctengan orcte 9 x 9 s esu ai d engan jumlah ve ktor bebas pada struktur AC B .
2
3
4
5
6
7
8
9
2 3 4 K AC B
=
5 6 7 8 9
Dengan berhasil ct itur un kannya m a t rix kekakuan struktur K A.C B · berarti sudah dekat pada penyelesa i:.m perhitungan . yaitu selanjutnya dcngan mengoperasikan m at ri x pada p ersam aan : 1 76
{Ds
{ Qs}
[Ks]
{ Ds }
[Ks]-
(4 1 2 3 ) .
}
a tau
1
(4 .1 2 4 )
{Qs }
atau secara 1engkap :
01 02 03 04 Os 06
"
1 l.
' Ql Q2 Qj Q4
1 [Ks]-
Q6
07
Q7
Os
Qg
0'3
Q9
'S
Proses operasi matrix
(4.125)
Qs
)5
selanj utnya untuk mencari gaya-g:.�ya d;.;bm
dapat dilakukan berdasarkan persamaan-persamaan di bawah ini .
{O;}
[T]
(4.126J
{05}
( 4. 1 2 7)
dan dimana :
{ 05}
menyatakan matrix 1endutan str uktura1 yang dida pat dar i persamaan
[T] {0 i }
(4.124)
menyatakan matrix transfomwsi menyatakan
matrix
lendutan
1oka1
pada e1emen
sesuai dengan sistim koordinat 1oka1
[K i]
menyatakan matrix kekakuan e1emcn dalam sistim 1oka1
{ Qi}
menyatakan matrix gay a yang beker ja pada UJung clemcn dalam sistim 1oka1
Untuk mcmpersingkat proses matrix. sering dilakukan pengelompokan Jalam
matrix-matrix
yang
bcrsangkutan pada persamaan
(4.124).
Ha1 ini adalah disebabkan lendutan diperletakan umumnya sama de ngan nol. 01eh karenanya akan sangat menguntungkan bila vektor ve ktor lend u tan pad a persamaan ( 4. 122) dan ( 4. 1 23) disusun kem ba1i. sedemikian schingga dapat dike1ompokkan menjadi dua bagian. yaitu vektor 1endutan pada titik bebas { Df} dan vektor 1endutan diner!e
takan yang harganya sama dengan no!. {Db}.
177
{ D} d i m ana :
(4. 1 2 8 )
{ Df } { Db }
m e n yatakan lendutan pacta t i t i k b ebas m e nyatakan lendutan diperletakan , yang harganya sama de ngan nol.
A nalogi denga n persam aan ( 4 . 1 2 8 ). d isusun kembali m a trix ke kakuan dan y aitu : dan m atrix gaya y ang k oresp onding dengan
[K)
=
( I \
�
dan
{ Q}
=
K ff Kb f
- - - - - -
'
+ I
Kfb Kbb
\
{ Of }
{ Db } ,
( 4. 1 29 )
- - - - - -
{ --��-- }
(4. 1 30)
Dengan dem ikian p ersamaan (4 . 1 24) akan dapat ditulis kan seb agai :
(4. 1 3 1 )
Persam aan ( 4 . 1 3 1 ) i n i b isa d ie kspansikan m e nj a d i :
[ Kf f ] { Of } [ Kb f ] { D f }
+ +
[ Kf b ] { Db} [ Kbb ] { Db }
(4. 1 3 2 ) (4. 1 3 3 )
M e ngingat Maka persam aan (4 . 1 3 2 ) dapat d isederh anakan m e njadi :
{ Of}
atau d im ana
1 78
{ Qf }
[ K f f ) { Df } [ Kff ) - 1 { Q f }
m enyatakan gaya-gaya be bas.
!4. 1 34)
14. 1 3 5 )
luar yang bekerj a pad a titik
Dari persam aan (
4. I 33 ) , akan d ih asilkan b esaran reaksi :
=
(4 . 1 36) (4. 1 36)
R e aksi yang d idapat dari persamaan ini belum merupakan reaksi sebenarnya, tetapi m asih harus d ikurangi dengan gaya-gaya yang langsung d it e ri m a oleh perle takan se bagai gaya aksi , un tuk mendapat kan rcaksi y ang sebenarnya. 4.6. APLIKASI PADA ANALISA BALOK DAN PORTAL B IDANG 4.6 . 1. KONSTRUKSI BALOK MENERUS
D i bawah ini akan d i b ahas suatu co ntoh a n alisa de ngan m e tode super posisi untuk kon stru ksi balok m c nerus yang scclerh ana. Con toh
4. 1 :
( a ) konstruk si yang akan cl ianalisa.
i *
1
f
;;r
1
( b ) s truktur dasar.
I)C _ sooo
::r/·\ + · �
1 "' (
.. 5000
...... 1 ·,
( c ) m omen p rimer
1 3000
- 3200
�
)C]
.. 3200
• •
3000 t t
• 2 L. OO
( d ) reaksi perletakan elcm en pad a t injauan atas
2 L. 00
t
dua pcrle
takan.
1 79
y
)A� l
;)B
)c �X
--------e
(e) vektor ga ya lendutan di titik dis krit yang sesuai dengan koordinat struktur.
(f) vektor gaya lendutan pacta elemen batang AB dan BC yang sesuai dengan sistim koordinat lokaL yang dalam hal ini ju ga sesuai dengan sistim koorindat struktur.
(g) g:aya luar sesuai vektor bcbas (hanya ditinjau satu gaya sesuai dengan deraja t kebebasan struktur) Gam bar 4.14.
konstr uksi balok menerus a tas tiga perletakan yang dianalisa
dengan
metode
superposisi
kekakuan
demcn. Melihat g:ambar 4. I 4 CO. dengan mudah bisa didapatkan kckakuan dari masing-masing ekmen AB dan BC
't
( 12E I
0
[ KAB]
I
6EI
4EI
�
L
l2EI
6E I.
-0
�
6EI
2EI
-�
L
·
12EI
-0
'
180
6E I 2 L
6EI
-�
6EI
2EI
�
L
12EI
0 6EI
-T
6EI 2 l 4EI L /
6
12
= EI
2
3
3
4
7
3
{ Ks c
li
4
El 5
6
6
4
2
12
I
J o3 6
'
2
10
10
4
=EI
1 03
1o
2
2
6
10
-
10 -
4
3
2
10
1 03 6
10
1 03 -
6
10
1
2
:
2
2
2
12
2
2
12
-
10 -
6
1o
2
�J 4
2
3
,012
, 06
-,012
, 06
, 06
,4
- , 06
,2
-,012
- , 06
, 06
,2
- , 06
'4
4
5
6
82
12
6
3 1 2.
83
82 6
- 83 12
6
82
6
4
8
- 82 6
2
8
,01 2
83
3
6 2
- , 06
82 2
8
12
83
- 82 6
1
8
6 2 4
8
18!
El
::::
:r 5
6
I
l
,02 3 ' 0 9375 - , 02 3 ' 0 9375 3
- ,02 3 - , 09375 - ,09375 ,2 5 , 0 9375 , 02 3 - , 0 9375 ,5
,09375 ,5 - ,09375 , 25 4
6
5
J
S " ka ra n g d a p :1 t d isu perposisikan K AB d a n K BC m e njadi sua t u m a t rix kekakuan s t m k t u r :
1
=
EI
5
4
6
, r1-.�2- -�6- --=��-- .�;: 0 2 - ' 06 2 1 ! 06 ' 3 l - ,o12 - ,o6 ��) --:o307S lI - , 02 3 --,o9375 ! 4 1 .�3cl75�) 1- ,09375 ,2 5 j . 2_4 Lo6 1- ,02 3 I - ,09375 , 02 3 , 09375 1 I I 937 - 9375 I � �.� -� �-_j J '
Ks
3
2
'4
_ __
5
0
I
I ,012 ,023� T
I
,4
+
L a n g k a h sda n i u t ny a m c ng::1d a k a n pengel o m )1okan d c n g:a n m ern pcrh a r i
k a n s v a rat b a t as :
1 8:
',. i
'
4
,
4
.;
Q
1 , 06 2 ,2 j
l
2
, 06
,2
3
5
6
, 0 3 0 75 - , 09 3 75
-1, -, 0-_ - -- -- 1 2 , 06 - , 0 1 2 0
[
i I
I I
!
i
, o6
,4
, 0 30 7 5 - , 0 1 2 - , 0 6
1
I
5 , 09 3 75 1
6 ,25
l I
0
0
0
0
- . o6
{ Df}
r
=
- -
0
0
0
, 0 35
- , 02 3
, 09 37 5
- , 02 3
, 02 3
, 09 3 7 5
' 09 3 7 5 - ' 09 3 75
Melihat persam aan (4 . 1 34 ) :
{ 1 800 }
, 25
,5
J
E I (0 , 9 ] . { D f }
1 -1 . { 1 80 0 } = IT [ o , 9 ]
-
2 00 0
_E_I_
D ari persamaan (4. 1 :2 7) : {Q. } I
=
[K. ) I
{D. } I
lJ n tu k batang A B :
1 83
=
El
r 1
l
0.012
0,06
-0,012
0,06
0,06
0, 4
-0,06
0,2
-0,012
-0,06
0,06
0,2
l
0 0 0 2000
-0,0(
0,012
0,4
-0,06
j
El '
[KBc
J
I
·
1 (
'
El
0. 02 3
0,09375
-0,023
0,09375
0,5
-0,09375
-0,0 9
0,023
-0,02 3
0,25
IJ,09375
rQ31 r � Q, I Qs ,
I
i
i
!84
187.5
I
I
'
-0
r"
Qs
I
I
)gc
1000
-187,5
500
)
'093 75
0,09375 0,25 0,09375 0,5
I
I
1; i
i
)
0
2000 El
'
i \ I
0 0
l
l I
I
/
Untuk mendapatkan besar momen Ientur yang sebenarny�' bekerja pada elemen struktur. harga y�ng didap<.i� pada mJtrix gaya {Q}, perlu dikurangi dengan momen primer dari gambar (4. 14 . c). Demikian pula dalam menghitung reaksi perletabn, harga yang didapat pada
{Q}
matrix saya
p er! u
pada gambar (4.14. d).
I I I
I
I
+ Boo
I I
l
I
I
M. ,.. bt...
+i ooo +
L
I
!
I
I
_J
1
-- --,
+120
I I
+ 5coo
I
+
I
- 3200
i I
... 32CS
-187,5
I
I I i
I
� - -----.;.
r
Q
1 -
I
I l I
I
L
300
L:_240�
___
t
I
j
_J
+3120
kg .
lI
+2880
kSJ.
I I
+2587 .5 kg.
I
=
I
I +2212,5 kg.
L
___
T
reaks i
m II kgm. kg .
�----
I
+
2700
I I
kgm.
rnomen sebena rnya
r� � I I l
42oo
+ 4200
! -
primer
+ 24oo
!
I
I
+ 300n I
-!20
D " ,..1...
I
I
mome n
I
�-=�tiOO-kgm .1
1
.. .... I I
,)'.
-
- 5000
I I...-- - --I
Q -
i
I
500
__
dengan reaksi perletakan demen
r----
�---, + 400
dijumlahkan
per I e
reaksi
T
]
I
lI I
I
I
�
perletakan
takan e I emen
e1emen yang sebe-
pada keadaan
narnya
struktur dasar
4.6.2. KONSTRUKSI PORTAL BIDANG TANPA PERGOYANGAN DI MANA DEFORMASI AXIAL DIABAIKAN. Dalam pasal ini. akan dibahas analisa portal bidang tanpa pergoyang· an. dimana Jeformasi �l'>;d dari elcmen-ekmcnnya diabaikan.
Contoh 4.2. :
B
600\cg
GOOkg
•
El
El
3� '
A �� ! --
0 �
+-
(a) portal bidang yang akan dianalisa. dengan bentuk konstruksi dan sistim pembebanan yang simetris.
A
:0"7/ '77/
( b l struktur dasar.
-288,
�.
A
( c) 186
mome n
1 ·r
�
pr
i me r .
./-----.288 0
'\
�
B
c
b'j)
--� 388,8
75ot
388,8
388,8
2)1,2
211,2
-�· D
··-
+ 7SOI
hso (d)
388,8
�··
··-
A
(---
I
reaksi perleta kan elemen pada ttnjauan atas dua perietak.an .
yang kemudian dikombinasikan untuk selumh struktur. b 5 s;-_.--------------��c� '
6
7
11
2
A 3
�. z
0
10
12
(e) vektor gaya-lendutan dititik diskr'it yang sesuai dcngan koor dinat struktur.
:;;J
2
_,J
*;e- �
,
5
6
--
----
--
--
.
-6- -_ .-,�4��--4
--
i_
B
5 ..
A;:-'-
3r 1 c '1
0/�y----5 , ..
( n vektor
gaya-lcnduian
pada
dcmcn
batang
masing-ma:,ing
sesuai dengan sistim koordinat lokal.
187
'
/s G
•
5
.. c 7 9
G
8
c
7 y
X
2
n
12
0
10
( g ) vektor gay a-lendutan p ada elemen batang m asing-m asing sesuai denga n sistim koordinat stru ktur (global).
..
( h)
1 88
ga y a luar
s es ua i vektor be bas ( h a nya dit i nj au dua ¥ay a sesuai de ngan dcraj clt kebehasan struktur l.
B
asc
=
0°
.._ ___:_____:_______ _ _
C CD"27
0
0
I
•o (i) sudut transfom1asi hatang elemen. Gamhar 4.15
portal simetris.
\1elihat gamhar 4.15 ( n. dengan mudah hisa didapatkan kekakuan dari masing-masing clcmen AB. BC dan CD :
/
EA L 0
[KAB
J ·I
0 EA L 0
0 '
0
0
12EI
6EI
�
�
6EI
4EI
�
L
0
0
12EI
6EI
7
�
6EI
2EI
�
L
EA L 0
0
0
0
12EI
6EI
7
�
6EI
2EI
�
L
0
0
L..
EA L 0
0
12EI
7
-
1
6EI
�
6EI
4EI
�
L
I
)
189
0 2
EI
4
6
0
0
12
6
0
m
0
25
5
0
0
0
0
m
0
25
25 4
6
6
12
25 2
6
5
b 25
12
0
m -
0
2.
6
25
5
0
0
0
0
m
6
12
-
0
25 4
6
5
25
4
a
sin
a
0
-s i n a
cos
a
0
cos
0 TA
0
0
B
0
cos
a
s in
a
0
-s i n
a
cos
a
0
0
0
-l
0 .;
0
0
0
f)
0
f)
0
\'
1 90
)
0
0
-I
0
0
0
0
I
I
0
0
0
I
Me l i h a t pe r s a rna a n
I
__ _ _ _ _ _
0
( 4 . 1 20 )
_A__ _
-1
0
0
0
_ __ _
--.,. / - - -
0
0
0
0
12 1 25
'
0
0 0 0 0
\Q
0
0
6 25
0
-
0
0
12 1 25
- 6 25
6
5
0
0
0
0 0
12 - 6 - -1 2 5 25 6
25
2 5
6
0
0
0
-
-
25
0
25
0
L1 5
0
12 - 1 25
0
5
6
0
0
6 25
25
0
r- - - --
-A- - -- - - - - -- - �
0 -1
0
- -- - -
2
4
----""--- - - -- - - - ........,_
0
-1
0
0
0
0
0
0
0
El
0
-1
0
0
0
0
0 0 0
[ KAB ] s = E l
-
12 1 25
6 25 0
12 1 25
6
0
0
0
0
0
-1
0
6
5
0 -
25
2 5
0
0
- 11 22 5
6
25
4
6
6
0
12 1 25
25
0
0
0
0
0
0
0
6
2 5
0 -
2s
5
0
25
2
3
I l
= EI 4
5 6
1 92
0 0
-
4
6
12 25 - 1 25
0
0
0
0
0
g
0
5
0
g
25 -- . .
2 5
6
12 1 25
0
g
0
0
12 1 25 0
4
6
0
0
0
0
6
6
2 5
6
2
3
4
25
25
0
0
0
25 I 6
0
5
0
1
0
0 6
0
0
25
6
12 0 1 25
1,(\,'/ ,/
0
0
25
)
I
6
4
5
6
I
j
\
0
Selanjutnya diturunkan kekakuan elemen BC :
2
[KBC] i
[KAB] i \
0
0
0
0
0
TB C
0
0
=
0
0
0
0
0
[KBC]s
=
[TBC]
0
4
5
6
T
0 24
0
125
0
[T B C]
[KBC] i 0
0 12 25
12
0
0
8
5
125
0 24
0
125 12
0 12
2s 4
0
2s
5
0
0
0
El 7
0
8
0
9
0
-
ol
24 125 12
2s
0
12
2s . 4, 5
24
0
0
m -
12
25
12 25 8 5 /
5
4
6
7
8
9
Akhirnya Jiturunkan kckakuan ckrncn CD.
[KCD] i
=
[KAB]i 193
r
0
-1
0
0
0
0
0
0
\D
'
=
0
0
0
-1
0
0
0
0
'
[K CD]s 12
7
125
8
0 6
9 =
2s
El
10
-
1 1
12
l
/
[T
0
7
0
0
8
(KCD] i -
-
(T
C D]
12 125
0
0
0 6
4
0
0
2s
E
0
0
T
6
0
12 125
6
CD]
0
5
2s
6
12 125
0
·o
0
2s 0 2
6
5
25
9
10
0
11
6
E 0 2
5 6
--g 0 4
5
J
12
Sekarang bisa disuperposisikan [KAsl s· [Kscl s· dan [KcDI s· karena ketiga matrix kekakuan elemcn ini sudah sama-sama menganu t satu sistim ko ordinat struktur yang sama, yang didapat dengan cara transformasi linier.
194
·-�-/
-
r----------- - --- ---� I2 6 12 '6 o -zs -m o -zs I m 1
I I
I
o
I 1_ 6 E 1
1- :�5 : 0
4
I I
5
(K]
6
i
o 0
o 0
6
o 4
5
�5 0
2
o
ol
�
0
�I
2s
; ;�
I I I I
I
o
- --o
0
� 125
6
12
_
5
0
I I
0
_1
15;-o --o--- -o-l I
� 0 12
�
-
121
I
12 I
24
m
25 _
12
0
I
I
-L -='-�-- -� "_:��--�,;-- - �4 -�,----,, o olm o o 25,-m o zs l l I I I 24 121 24 12 25 m 1 1 6 1 iI 12 12 12 2 4 I 6 .J 51-25 L-----51T�--25---6:
E I
7
s
0
8
"
I
0
0
10
0
11
m
0
_
E
0
E
m
I lo I I
6 I 25
12
L
' 2
·
4
5
6
-
TI
-
o
-25
o
o
°
2 5
0
0
0
I
°
5
I
m
12
o
6 -251
o
o
I
6 25
°
I o l
I � I 5 I __j
______________
7
8
9
10
ll
I
12
Selanjutnya dilakukan partisi (pengelompokan) pada vektor dititik bebas dan diperletakan. .
6
/
1
9
6
I I
9
I
2
3
4
5
7
8
10
11
12
I I I
1
2
[K]
I
3
=
4
-------
-j- -
----
-
�-
---
5 7 8 10 11 12
9
6 6
r� l-�-Kbf----� 5
5
9
I
'
1
�
7
K
8
12EI
4EI 5
4EI
10
11
12
fb
----
:b�-----
9
5
12EI 5
j ::1 l
(
3. 3 -
196
5
I
5 9
4
:I
� 5
6
6
3
i
..!1IJ...
5
2
)
3 -1
! :: )
�
3 EI
=
5 32E I
=
, -
l
l-: ) [ 2 -77
772
965 8EI
1
965
SET
Dengan demikian sudah dapat diketahui bahwa lendutan rotasi dititik
8 dan C adalah sebesar :
9 65
-BET Setelah lendutan dititik bebas diketahui. maka dapat dicari gaya-gaya dalam pada tiap-tiap demen. dengan o perasi matrix berdc:sarka11 per samaan
{Q.} I
=
dengan pengertian
[K.] . {0.} I
I
{Di} iahh matrix lendutan yang telah ditransfor
masikan kembali ke sistim koordinat elemen. Untuk batang AB :
D2
Ds
s
197
r,
0
-T
0
0
0
0
0
0
0 0
I
r:
:1
:J
(
s
Ds
0
0
0
0
0
0 965
l- "SIT
0 0
El 0
l 9:5
II I
- SET
)1
0
)
0
0
12
6
6
m
0
25
0
0
II
(
0
25
4 5
2 5
1 98
-1
0
0
I
l II . D
0
l
0
0
-
6 25
2 25
0
0
0
m
- g
6
4
0
12
-
25
0 6
5
I
1!
l
l I
0
I
,I o
0
o
I
r I I
!
I
JET ) 96 5
/
(
Q
Q
I
- 28,95
�
- 48,25
I
2
I
Q :;
l
0
I
;
Q
I
0 4
Q
l
'l;
28,95
i
- 96,5
; h8
Untuk batang BC : '
1
I I l
01
l
02
1
03
02
�
[T B
CJ
I
04
04
Os
Ds
D6
0 !
o
0
1
0 0
0
I
)
0
(
0 0
0 0
0
o
I
I
m� o
I
I
0
0
l
I
6
5
r:
I
0 1
_
I
,.
965
1
0
l .:5 J BEl
199
D
,
02
�
1
0 0 �
.
:
l
Os
J
BC
r
Ql Q2
"'f.l
Qs 0.,
0
BC
l
0 0
965 BET·
12 8
12
5
m 0
0
24
-m
-
12
0
'
Q 2 Q3
1
I
0 0 0
12
25 4
25
Q
0
25
m
0
J
0
24
0
0
Q4
965 BET
0
0
0
Q3
-
I
o.,
D5
1
5
0 0
0 0
l
}
- ')6,5 0
Q 4
0
Qs Q,
0
200
JBC
:36. 5
0 24
-m 12
-25 0 24
m 12
-25
0
0
12
25 4
5 I)
0
965 - BIT 0
12
-25 8
5
0
965 BIT
-
Untuk batang C D :
D
D
1
D2 D3 =
D4
l
71
Ds
[T
D '9 CD]
D
10
Ds
Du
D6
D
12 s
0
-1
0
0
0
0
=
0
r
D2
DJ D4
0
0
-1
0
0
0
0
965 3ET
0
0 0
0 96 5 BET
0
Ds
0
06
0
i
0
0
0
0
D1
0
201
=
El
0
0
0
12 125 6
0
0
6 25
0
4
II
0
0
0
0
0
6 25
0
12 125
2
0
0
Ql
28,95
Q2
I
I
9 6,5
s
'0
Q4
I
l
�
�02
I
Q�
I I
;)
I
I
6
5
CD
Q�
)
0
CD
I I
�
2 8,95
r i
I I
� 8' 25
jI
6 25
1 25
25
5
r
12 --
0
0
0
0
- 25
-
6 E
2
�65'
0
0
6 25
0
� 5
0
25
-
0
BEl
Untuk mendapatkn gaya dalam m om en lentur yang sebenamy a be kerja pada elemen stmktur, harga yang didapat pad a m atrix gay a { Q} , m asih perlu dikurangi dengan momen primer d ari gam bar 4 . 1 5 . ( c ) . Demikian p u l a dalam menghitung reaksi perletakan , harga yang didapat pada matrix gaya { Q} m asih perlu dijumlahkan de ngan reaksi perle takan elemen pada gam bar 4 . 1 5 . (d). =
=
r � 48 2 5 l , I ;
1
- 1 -=�a8l I - I I
- 96 . 5
1 - 625 I
I I
96 , 5
I
I 1 I
96 , 5 48 , 2 5
I 1-- - -
_ _
i
Q r1 ---l - 28 , 9 5 I lI 0 I I 1
28 , 9 5
--
' �
0
t
_
Q
_j
625 - 4 32
t_ _ 2 8� I
_j
t
� I -2 1 1-� ,21
+
I
+
I I
i
I
I
I
750
I I
21 1 ,2
I
L
- 750 -
_ _
t
I
\ I
.J
re a k s i pe r 1 e ta ka n s e s ua i g amba r 4 . 1 5 . (d)
kgm . kg m .
=
5 28 , 5
kg m .
=
- 528 , 5
k gm .
=
5 28 , 5
kgm.
- 2 39 ' 75
kgm .
=
_j
2 3 9 ' 75 - 528 , 5
momen p r i me r
+
+ _
4 32
I
- 96 , 5
I
=
I
mome n a k h i r
: 1-82--, 25 k-g � . =I 1
750
= i 1 82 , 25 I
=
I_ 1
L_
750
I
(+-)
kg . I ( t ) kg .
kg .
_ _ _ _ _
I
j
(t)
re a k s i pe r l e ta ka n y a n g s eben a rnya
.2 0 3
4.7. APLIKASI PADA ANALISA KONSTRUKSI GRID.
Di bawah ini akan dicoba m enganalisa suatu konstruksi grid. Contoh 4. 3 . :
\
\
( a ) konstruksi grid yang akan d ianalisa. E l konstan Ys
9 12 ,,
t:: v
z
X
Xs
( b ) vektor lendutan d it i t ik d is krit. sesuai d L·ngan sistim koord i nat X.
.204
y.
Z.
.
I
, "' B
( c ) vektor gay a Iuar y ang koresponding dengan vektor lendutan
d ititik d iskrit
Gam bar 4 . 1 6
:.m alisu kons tn1ksi grid dengan beban terbagi merata
Gam bar 4 . 1 6 . (a) menunjukkan saw konstmksi grid y ang akan dianalisa. Pada konstruksi grid. melihat vektor-vektor lendutan yang d itunjukkan p ada gam bar 4. 1 6 . ( b ). sebenamya akan terdapat dua jcnis momen bekerja p ada k.onstmksi ini. yaitu mmnen len tu r dan momen torsi. M isalnya vektor nomor 4 adalah menunjukkan suatu Iendu tan rotasi lentur pada batang ADC. nam u n untuk batang B D ia menyatakan suatu lendutan rotasi torsi. Pada contoh soal ini. untuk m udahnya pengamh torsi d iabaikan , jadi hanya mem p erhitungkan pengamh m omen len tu r d an gaya lin tang. Untu k mcm perlancar proses perhitungan. akan dibuat tabel-tabel dibawah ini.
Ti t i k
X
B
0
D
lO
A c
Ta be l
4.2.
10
10
y
0
10
20 10
koord i nat t i t i k d i sk r i t
a ra h u ru t a n vek tor
ba t a n g
l
2
panj a ng
I
I
i
b a t ang
I z 3
I
! I I I
I
I
Mx
0
0 -+ C
10
- 1
0
10
0
1
M'{
diti tik
ke
uj ung
1
10
da ta t i a p e 1 emen
T a be 1 4 . 3 . i
sin a
a
A -+ 0 0 -r B
3
cos
I
di ti ti
UJ ung
I
0 0 - 5000
ke
0
I I !
0
I
0
k I
! Q�
I
I
I
di ti t
ke
u J ung
I
0 -
0 3000
ik I
�
II
!
I My
�'�x d i t i t i k
, UJ ung
I
ke I !
0 0
I I
I I
5000
1 1!
di ti tik ke
UJ Ung
I Qz
d i t i t ik
uj ung ke
0
1 1
0
0
-
0
0 3000
I
I
beban ek i va 1 en pada t i t i k d i sk r i t
Tabe l 4 . 4 .
A n g ka -angka pada t a be 1 4 . 4 . d i dapa t d a r i : M
X
M
X
2 l i T2 q
=
l l
Qz I
=
+
=
2 1 t T2 q
2 2
q £.
q£
=
1 - 12
=
+ 5 000 kgm .
:::
=
1 2
.
6000 . . 1 0
600 . 1 0
- 3000 kg .
2 =
-
- 5 000 kgm.
3 000 k g .
[ Ks ]
=
GJ
[ T]
=
T
T
[ K .I ] [ T ]
0
0
0
4E I L
6E I
0
6E I 2 L
L
[K ] 5
[T]
GJ
L
�
1 2E I
J 0
0
0
2E I L
0
6E I 2 L
6E I - -2
L 1 2E I
J
GJ
L
0 0 GJ
0
0
2E I
6E I
L
6E I - -2 L 0
L
0 0
4E I L 6E I
�
�
1 2E I
-7 0
[T ]
6E I
�
1 2E I
J
dimana [ T ] adalah matrix transformasi sesuai persamaan ( 4 . 1 07). K arena pada contoh soal ini peng:�ruh t orsi d ia baikan. m aka dengan menghilangkan baris dan kolom Jari komponen ve ktor torsi. matrix kekakuan t iap elemen grid sebagai beri ku t :
2
(K ] 1 s
El
4
3
2
5
6
4 TO
0
6 1 00
TO
0
6 I 00
0
0
0
0
0
0
6 l OO
0
12 1 00 0
6 1 00
0
2 10
0
6 1 00
TO
0
0
0
0
0
0
6 - 1 00
0
12 1 00 0
6 l OO
-
4
0
12 - 1 00 0 6 l OO 0 12 1 000
2
3
4
5 6
207
vekto r n o m o r P:1da m atr ix kekak u an elemen 1 d i a ta s i n i . :1d alah kom poncn t orsi. j ad i sam a (k ngan nol.
r [K
2
:;,
5
0
0
l: (
[ K3 ] s
=
El
4
4
TO
0
5
0
0
I
6
2 00
6 1 00
0
TO
4
6 1 00
12 1 000
0
6 l OO
12 1 000
10
6
2
11
5
!
6
I
0
6
4
I
0
2
II
1 00 0
7
J
8
9
12
- 61 00
l
l OO
10
0 0
0
0
12 1 000
0
6 l OO
10
4
5
0
0
0
0
6 1 00
0
12 1 00 0
6 l OO
6
4
0
0
0
0
11
- 6l 00
0
12 1 000
12
2
TO
0
0
0
l OO
12 6 - 1 00 ' 0 - 1 000 208
2 TO
l I
0
2
l OO
0
0
0
-
0
0
l OO
6
9
6 l OO
1 o o o·
-
8
dan 5
1
12
TO -
0 l OO
;' 0
i
7
�
4
0
0
0
TO
0 0
Ei
L
,,
2
10
6
Setelah d ituru n kan m a trix ke kakuan ele m e n , p roses dilanju tkan dengan su perp osisi untu k mem bentu k m atrix ke kakuan struktur.
- [o
la 0
UJ -
0
0
0 '-D
0
0
0
0
0
0
0
0
0 '-D
0
0
0
0 0 ..;)""
0
0 '-D I
0
0 \.0
N
0
0
0
0 '-D
0
0 0 ..;)""
0 \.0 I
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 '-D
\.0 "'"'
0
0 \.0
N
0 \.0
0
0 0 ..;)""
0 '-D
0
0 C) N
0
0
0
0
0
0
0
0 0 N
0
0 \.0 I
0
0
0
0
0
0
0
0
0 '-D
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0 N
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0 N
"
0
0
0
0
lO
0 '-D
0
0
N
N
0
0
N
0 '-D I
N
N
0 \.0 I
N
lJ')
0
0
0
0
.:t
0 0 N
0
0 \.0
0 0 00
0
0 '-D
0
N
0 '-D
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0 ..;)""
0
0 \.0
0 0 N
0
0 \.0
0
0
0
0
0
0
N
�
C")
.:::-
!f)
N
I
lO
\.
"
:::£:
CO
en
0
N
(/)
2 09
Sebnjutnya d ilakukan pemisahan antara vektor dititik bebas dan d iperletakan . 4
u
5 6
[K
s
2
]
3 7 8 9
10
(I 800
5
6
0
0
3
2
7
8
10
':J
12
I
I, - ------- +[ ----- ---- - - -- 1 I
II I
II
I
0
400
0
60
I
I I
I
K t- ,o
60 I 36
i
I
I I
I : I
I
'
Kb f
I
Kb b
I
I
J
1 1 12
[ K ff j
f _!_Q_ I s
I
2 10
ll
l:
-1
{ Qf}
0
0
10
1 00
3
- TB l OO
T8 1 000 27
I I I I
i !
II
J I
I
j
El
1 000
Ii - soo o (
jl :
{ Qf }
3 00
rI
D
10
�
� DI �
1 -
i
l
El
o,
-g-
1
'I
1
0 10
0 -
0
1 00
Tb
D
D
D
-
El
+
- 111111 '1
- 6250
4
+
5
1 6666 , 7
1 6666 , 7
- 111111,1
6
I El I EI
Akhirnya b isa d ihitung reaksi perletakan.
=
0
1 00 0 - --
- 3000
TB
27
f
I II
)
(0)
I El
- 5000
1 00
-
3
6250 =
0
(
V>)
( � )
I:,
2
Q3
Q7 Q
Q Q
Q
Q
8
10
12
0
- 60
0
0
0
60
0
- 12
0
0
0
0
200
60
0
9
11
200
J
- 60
1 000
- 12
200
0
60
0
0
0
- 60
0
- 12 /
- 54 1 6 , 7 0 958 , 3 0
1 2
3
7
- 3 3 3 3-, 3
8
333 , 3
9
79 1 6 , 7 0
1 708 , 3 212
El
10 11 12
fl-
6250
I El
1 66 66 , 7 I E l 1 1 1 1 1 1 ,1 I EI
Untuk m cndap atkan reaksi yang sebenarnya, { Qb} m asih harus diku rangi dengan gaya luar yang bekerj a langsung pacta perletakan (tabel 4 .4 ).
t - - - --, 16 I - 54 ' 7 I I I
I 1
I I
I
I l
I I
I
0
958 , 3 0 3333 , 3 333 , 3 791 6 ' 7 o
I
I
I 1
iI l
I I
I
I
I 1 70 8 ' 3 +- - - - ---L
i
{ Qb }
I
I
-
�----j 0 I
I
I I I I
l
I
I I
I
I I I
- 54 1 6 , 7
I
0 0 o
0 o
500 0 0
I
I I
I
I
I
l
I I
I I
I
I
t_:oo� i
kgm .
0 =
958 , 3
k gm .
0 =
- 3333 , 3
kgm .
=
333 , 3
kgm .
=
- 1 29 1 6 , 7
kgm .
=
0 4 708 , 3
kgm .
gay a luar yang langsung bekerja pada perletakan sebagai gaya aksi
2!3
4.8. APLIKASI P ADA ANALISA RA...�GKABATANG.
Gambar 4 . 1 7 . elemen nngka batang d engan dua v e k tor be b:.ls d i m asing m asing uj ung c!emen.
Gam b a r 4 . 1 7 . m e nunjukb�n satu clemen rangka batang yang m e rupa
k a n b atang l u rus d engan p a njang L dan ke kakuan batang AE, dengan dua vektor b e b as pada tiap t i t ik uj ungn y 3 . Sesuai d engan sifa t dari rangka batang, m ak a d ianggap elemen batangnya t id a k akan mende rita b e kerj an y a gaya momcn a t au l i n tang, m el ainkan hanya m e ndcrita beke rj an y a gay a norm al saja . .\1elihat pada m a trix kekakuan elemen yang telah d iturun kan pada pasal 4 . 3 . d engan melakukan penyesuaian berhubung sifat elemen batang dari konstruksi rangka batang seperti yang t elah d isebut kan di a tas. maka d engan mudah dapat di turu n ka n m atrix kekakuan de men batang Jari konstruksi rangka batang sebagai berikut :
1
2 [ K .' )
I
AE L
0
AE L
0
0
0
0
0
=
( 4 . 1 3 71
3 4
2 14
r
AE L
0
AE L
0
0
0
0
0
2
3
Seperti juga [ nda persoalan analisa portal. tid:1k se rn u a cler0. e n bat;.mg mempunyai sistim kordinat lokal yang berim pit J e n g:m sis £ :m koordi n
l
-
2
T
3 4
2
4
3
cos
CL
sin
a
0
0
sin
CL
cos
CL
0
0
0
0
0
0
-
(4. 1 3 8 )
c os
CL
sin
CL
sin
CL
cos
CL
persamaan ( 4 . 1 :20) d apat Li i turu n kan clcmen batang yang mengikuti sistim koordinat
Dengan Li em ikian sesuai d cngan m atrix
k e k a ku:.m
stru ktur :
[K ] S
[Ks ]
=
COS
CL
- sin
CL
sin
CL
COS
CL
0
=
(T]
T
[K. ] I
[T]
0
-1
0
0
0
0
0
-1
0
0
0
0 AE
L
COS
CL
- s i n CL
sin
CL
COS
CL
COS
CL
sin
CL
- sin
CL
COS
CL
(
0
0 0
0
0
COS
CL
sin
CL
- sin
CL
COS
CL
:2 1 5
l
J
r \
2
2 cos a.
cos a. s i na.
- cos
cosa.s i n a.
. 2 s 1 n a.
- cos a.s i n a.
2 - cos a.
- cos a. s i n a.
- cos a. s i na.
- s 1 n a.
. 2
a.
J C
2000 .l
----;.-
3000 KG
cos a.s i na.
cos a. s i n a.
. 2 s 1 n a. (4. 1 3 9 )
T
I / 6. 00
Q)
AE
k
. 2 - s 1 n a.
2 co s a.
Sekarang m arilah lihat cont oh-con toh soal dibawah ini : Con tofi 4 . 4 . :
- cos a.s i na.
2. 50
(a). rangka batang yang akan dianalisa. 4
l
3
( b ) . vektor gaya lendu tan d i t i t i k diskri t yang sesuai d e ngan koordi n a t struktur. �16
(c). vcktor gaya len duran pada elemen batang m asing-masing suai dengan sistim koo rd i n a t l o k a l
se
.
t
4
4 3
2
�6
2
5
3 i --��----��� 5
( d). ve ktor
gaya
lendutan
pada
demen
batang m asing-masing
sesuai d engan sistim koord inat global s t ru k t u r.
( e ) . vektor gay a luar yang he kerja p ad a titik d iskrit. sesuai dengan sistim koord inat stru ktur.
®
( f) . sudut t ransfo m1 asi elemen batang. Gam bar 4 . 1 8 .
A nalisa ra ngka batang.
Melihat gam bar 4 . 1 8 . ( c ) . ( d ) dan ( f) . k e kakuan d ari m asing-m asing elem e n A C . C B dan AB. de ngan m ud ah dapat d i t urun k an :
tg a 1
Untuk b a tang A C :
12 5
co s a l =
s i n al
cos a 2
[K
AC ] s
cos a s i n a
AE
- cos a
L
2
- cos a s i n a
2
AE 6 ,5
3
4
I
I
-
5 13 12
T3
cos a s i n a
sin a
2
- cos as i n a -
sin a
2
- cosas i na
-
-
2
cos as i na
cos a
cos as i n a
sin a 2
co s a s i na sin a
2
o , 1 4 7S
0 , 35 50
- 0 ' 1 4 79
- 0 , 3550
0 , 3550
0 , 852 1
- 0 , 3550
- 0 , 852 1
0 , 3 5 50
0 ' 1 4 79
0 , 35 5 0
- 0 , 852 1
0 , 3550
0 , 85 2 1
0 , 1 4 79 0 , 3550
-
2
�18
- cos a
3
4
1
I I
I
J
U n tu k batang C B : tg a 2
12 5
-
.L
cos a 2
13
s i n a2 3 : K,.. J \,., B s
=
6,5
4
AE
5 6
12
TI
-
0 ' 1 4 79
- 0 , 3550
- 0 , 1 4 79
0 , 35 5 0
0 , 3550
0 , 852 1
0 , 35 5 0
- 0 , 85 2 1
0 , 1 4 79
+
0 , 3550
0 ' 1 4 79
- 0 , 3550
0 , 35 5 0
- 0 , 852 1
- 0 , 35 5 0
0 , 85 2 1
4
3 Untuk b atang A B : cos
a
3
-
sin
a
3
=
[K ] AB s
AE
5
"'
2 5 6
AE
6,5
5
0
0
-1
0
0
0
0
0
-1
0
0
0
rl - 1 � 3
6
0 0
0
I ,3
0
-I '3
0
0
0
0
0
0
1 '3
0
0
0
0
2
5
5
l
J
S c kara n g a k an d isu p e rposis i ka n K [ Ac l [ K c B l clan [ K A B I . u n t u k 111 l' n d a p a t k a n s a t u m at ri x k c k a k u a n s t ru k t ur . ·
219
I
<'
2
[K]
3
AE b,5
I
II
I
I 0
! , 447 9
0 , 3550
-0 ' ] 11 79
- 0 , 35 50
-! '3
0
0 , 3 550
0 , 85 2 1
-0 , 35 50
- 0 , 8 52 1
0
0
- 0 , 1 4 73
- 0 , 3550
0 , 29 58
0
- 0 ' 1 4 79
0 , 3 5 50
-0 , 3 5 5 0
-0 , 8 5 2 1
-I ,3
0
0
0
�
-
0
I , 7042
0 , 35 5 0
- 0 , 85 2 1
1 u 79
0 , 3 5 50
I , 4 4 79
- 0 , 3 5 50
0 3 5 50
-0 , 3 5 2 1
-0 , 3550
0 , 852 1
o
,
,
2
6
,.
Selanj u t n y a dilakukan partisi pada vektor dititik bebas d an ve kt or cl ipcrl e takan .
r- �� �
4
[K]
-
l
2
5
5
;j
Q_
l '
Q4 1
- -
I
I
\
1l 220
Q::,
Q 3
Q
� !
j'
3
AE
� I I
3
I ' 70 4 2
Kb
f
4l
--- - - - -
-
,
'
r
6
5
2
K fb
.
- -
Kb
AE
-
.
!
I I
- -
)
f
o . o455 0
'
�b
4
- - - - -
't '
)
��
0
0
l i
--
I
I 0 . 2 9 58
4 b,5
- - -
K f b
---
....
l !
L
(
--
0 , 2 622
I
AE I I I
)
D
\
I
o.
:� �
I
04 '
I
4
0
3
II
Jj
.o
I
r---r 1 I
D
I
I
)
::>
.
I I I
I
) I
'\
0 0 , 0 1 1 93
D 3
} 1! 3 000
0
0
3 ,814
j i
0 , 0455
2 1 , 98
!
( �- J
- 20 0 0
6 5 94 0 =
JlE
762 8 - AE"
Dengan demikian sudah dapat dike tahui bahwa lendutan yang terjad i dititik C ialah sebesar :
D 3
=
04
=
6 5 940 AE
(
7628 AE"
( -t )
-+
)
Setelah lendutan dititik b ebas diketahuL gaya-gaya dalam pacta t iap elemen dapat dicari, dengan operasi m atrix berdasarkan persamaan :
{Q . } I
=
[K, ] I
{o . } I
d imana { D j } ialah m atrix lendutan yang telah d itransformasikan kem bali dari sistim koordinat struktur ke sistim koordinat lokal. Untuk batang AC :
Dl
Dl
02 £S D
4
= [T ] AC
02
s D
4
s
al
s i n al
0
0
01
s i n al
cos a l
0
0
02
cos
=
0
0
0
0
5 T3
=
-
s i n al
co s
al
0
0 0
T3 5
0
0
0
0
TI
TI
0
0
12
5
D
Q
2
-
0 1 8 32 0 AE 6 3 802
4
2
7628 - t\E
0
1
(J . l
T3
- n
D 3 D
6 5940 AE
12
5
AE
l
Q
3
D1
=
[K C) i A
02
0:3 · 04
Q4 AC
03
04 s
0
12
12
- n
sin al
T3
D
,., ,., ,., .(.. .(.. i..
al
cos
2
b,5
3
0
0
0
0
0
0
-1
0
0
1 8 3 20 AE
0
0
0
0
6 3 80 2 AE
1
2
3
4
4
Q
0
-1
I
AE
=
Q
(
0
1
- 281 8 1
2
l:
0
=
281 8 0
.
AC
Dengan dem i kian d id apatkan bahwa gaya batang pada batang A C ialah sebesar 2 8 1 8 kg. bersifat tarik. Untuk batang CB :
0]
Oz
1
� · 04
� =
[T
CB J
04 Ds 06
J
s
223
T3
T3
12 0
0
12
T3
5
0
0
0
0
n - T3
0
0
12
5
T3
=
r
r 1 "
=
224
02
12
0
T3
T3
0
5
AE
=
D3
0
04
'
0
Ql Q2
=
Os
AE
5
3 240 3 AE 579 3 4
o,
Q4
r
40 -�� 7628 - ll:E
[ KC B ] i
r
2 ,
D3
04
CB
b,5
r
o
0
-1
0
( 3A240E 3
0
0
0
0
579 3 4
-1
0
0
0
0
0
0
0
0
AE
I
Ql
498 5
Q2
0
=
�
- 4985
Q4
0
CB
D engan demikian didap atkan bahwa gaya batang pada batang sebesar 4985 kg. bersifat tekan. Untuk batang
o
1
0 2
q
AB : 0
·
0
1
02
=
04
Jadi :
C B ialah
0
=
03
0
0
0
4
s
Ql
0
Q2
=
�
0 0
Q4 AB
0
Dengan d em i kian batang AB t id ak m e n derita bekeJjanya ga y a . a t a u dengan k a t a l a i n g a y a batang AB ialah no!. Selanj u tnya u n tuk p e rsamaan :
me nghi tung
reaksi perle takan.
bisa digunakan
r 1 � r l j Q
I
Q
1
l
2
Q
5
Q
0
i
I
=
2
j
I
l
Q
Q2 Q
I
-·
(_ AE
b,5
l
0 , 3550
- 0 , 3 55 0
- 0 , 852 1 0 , 35 5 0 I
- 0 ' 1 4 79
- 0 , 852 1
0 , 3550
4
3
0 ' 1 4 79
- 0 , 3550
0 , 3550
- 0 , 852 1
- 0 ' 1 4 79
0 , 3 55 0
0 , 3550
- 0 , 8 52 1
I
r
l
b,5
5
=
( i
AE
- 0 ' 1 4 79
I-
l
I I j l I
� o
,
l J
65940 AE 76 2 8 AE
- 1 08 3 - 26 0 ! -191 7
5
+460 1
Q 6
)
Demikianlah sud a h dapat d ihitung reaksi perle takan di A d an B.
RA H RA V R BH Rs v
=
1 08 3
kg .
260 1
kg .
=
1 91 7
kg .
=
460 1
kg .
=
(
( ( (
+
... +
) )
t )
Rcaksi y a n g d id apat J a ri b asil operasi m a t ri x i ni s u d ah merupakan n:aksi p e rl e t a kan yang: se benar n y a . kare n a m em ang: t idak a d a reaksi lang:s u n g y ang d i terim a perletakan d ari gaya luar. Sekarang �tkan dicoba u n tu k meneliti kese t i m bangan yang teriadi d i titik C d a n kese t im bangan seluruh struktur.
Untuk kesetim bangan d it i t i k C, p erhatikan gam bar 4. 1 9 .
G am bar 4. 1 9 . Penggam baran gay a dalam d it itik C .
I H
=
I V
=
5 4 98 5 3000 - 281 8 T3 .
2000
+
281 8
.
12 T3
4 98 5
.
.
5 T3
T3
12
luar dan
gay a
"' 0 :0:
0
Tcrnyata setim bang. Untuk kese tim bangan seluru h struk tur. perhatikan gam bar 4 . 2 0 .
t2000 �3000 1083
G am bar 4 . 2 0 . Penggam baran gaya aksi dan reaksi p acla rangka batang.
+--le----*
I H L V
J2601
=
=
3000 - 1 083 2000 2601 +
1 9 1 7 "' 0 4601 0 :0:
Ternyata juga setim bang. ., ., _ __ ,
r C on toh 4 . 5 .
A
B 4
(a) rangka batang yang analisa, AE konstan
akan
di-
3000 kg 3
3 2
�-+=::...._+-��-+-� 5
(b) vektor lendutan dititik diskrit yang sesuai dengan koordinat struktur
Gz
f-�-+-�.L-_:,;,.-�Q s = O ( c l vektor gaya luar yang beke rj a pacta titik d iskrit. yang kores
ponding dengan ve ktor lendutan kg .
'K
( d ) sudut t ransformasi d an tlap-tiap eleme n .
Gam b ar 4 . 2 1 .
analisa rangka batang s tatis tidak t e rt e n tu t ingkat 1 .
dalam
Pada contoh 4 . 5 ini, a k an dicoba m e n gh itung l en dutan dititik A , B , C dengan m e t o d e superposisi langsung.
Melihat gam bar 4 . 2 1 . (b) dan ( d ) . akan dapat dengan m udah diturun kan m at rix kekakuan elemen sesuai dengan rumus.
B atang 1
tg
4 3
Ct
sin a cos a
=
4 5
3 5
2 29
25
12 25
16 25
12 25
16 25
9
25
12 25
25
25
12 25
16 25
12 25
25
2
3
12
9
AE
[K ) l s
-
5
AE
-
25 12
2
12
9
3
16
4
4
0 , 0 96
- 0 , 0 72
- 0 , 096
0 , 096
0 , I 28
- 0 , 096
- 0 , 0 72
- 0 , I 28
- 0 , 096
0 , 0 72
0 , 096
- 0 , 096
- 0 , I 28
0 , 096
0 , I 28
2 a =
2 70 °
sin
a =
- I
cos
a =
0
0
2 ]s
AE 8
3
0
0
2
3
4
4
0 0
0
0
0
0
- I
0
2 230
25
0 , 0 72
Batang 2 :
[K
-
L
25
7
0 -
I
2
0
7 6
8
r
'
f
0 0
AE
=
0 0 ' 1 25
0
0 -
0
0 ' 1 25
[K ] 3
s
=
AE
0:
sin
0:
=
cos
0:
=
5
- 0 ' 1 25
2
0
0
,?
0 ' 1 25
7
8
_L
25
12 2s
8
4
4
5
3
5
25
9
12 25
12 25
16 25
12
2s
16 25
_L
25
12 25
9 25
12 25
5
12
16 25
12 25
E
16
6
2
5
6
2s
AE
0
3
_
-
_
=
=
tg
0
0
2
Batang 3 :
0
2
j
0 , 0 72
- 0 , 0 96
- 0 ' 072
0 , 09 6
- 0 , 096
0 , 1 28
0 , 096
- 0 , 1 28
- 0 , 0 72
0 , 09 6
0 , 0 72
- 0 , 096
0 , 1 28
- 0 , 096
0 ' 1 28
0 , 096
-
2
5
2 5
6
6 23 1
Batang 4 : ex
=
00
s i n ex
=
0
cos ex
=
0
[K ] 4
1
0
0
0
4
0
5 6
0
0
1
0
0
0
0
0
3
4
5
6
3
AE
s
= r -
0 ' 1 67 =
0
0
- 0 , 1 67
0
3
0
0
0
4
0
5 6
AE
0
3 2 3 :2
-
0 , 1 67
0
0
0
4
5
6
Batang 5 :
[K 5 ]
==
s
3 4
tg
a
=
-
sin
a
=
-
cos
a
=
4
5
3 5
0 , 0 72
- 0 , 096
- 0 ' 0 72
0 , 09 6
- 0 , 096
0 , 1 28
0 , 096
- 0 . 1 28
- 0 , 0 72
0 , 096
0 , 072
- 0 , 096
7
0 , 0 96
- 0 ' 1 28
- 0 , 096
0 ' 1 28
8
4
7
8
AE
3 Batang 6 :
[ K6 ]
s
=
AE
3 4
:::
tg
a
sin
a
=
cos a
=
3
4
5
3 5
0 , 0 72
0 , 0 96
- 0 , 072
- 0 , 096
5
0 , 096
0 , 1 28
- 0 , 09 6
- 0 ' 1 28
6
- 0 , 0 72
- 0 , 096
0 , 0 72
0 , 0 96
7
- 0 , 096
0 ,. 1 2 8
0 , 096
0 ' 1 28
8
5
6
7
8 233
IJ w +:>.
;;>;"' Vl f\0 (0 ::::3 (0
� �
'0 � (0 >-; ;;>;"' '0 2
0 ' 1 44
lf
5
6
7
� ..... .
u
?l ·
(0
2
;;>;"' � � ::::3
(0
- Q , 0 72
- 0 , 0 96
- 0 , 0 72
0 , 0 96
0
0
0 ' 38 1
- 0 , 096
- 0 ' 1 28
0 , 09 6
- 0' 1 28
0
- 0 ' 1 25
- 0 ' 0 72
- 0 , 0 96
0 ,31 1
- 0 ' 1 67
0
- 0 , 0 72
0 , 09 6
0 , 09 6
0' 1 28
0
0
0
0 , 096
0 , 1 28
4
- 0 ' 0 72
0 , 0 96
- 0 ' 1 67
0
0
- 0 , 0 72
- 0 , 096
5
V> (0
0 , 096
0 , 1 28
0
0
6
c � ::::3 '<
0
[ K 5]
3
0
AE
0
0
0
- 0 , I 25
0 0 , 2 56
0'31 1 0
0 , 256
0 , 09 6 0 ' J ll 4
- 0 , 0 72
0 , 0 96
- 0 ' 0 72
0 , 096
0 , 09 6
- 0 ' 1 28
0 , 096
- 0 ' 1 28
0
0 , I 28 0 0 ' 38 1
(D' 2
3
7 8
3
(0
::::3
0..
Q;
;:.: '0 �
"'
� ::::3
3
3"
Vl (1) UCI (1)
>-; �
0.. � '0 ;:.:
5 -
;:.:
"'
c I
r Ii
Langkah sel a nj u t n ya ialah melakukan par tisi Jtan pengelom pokan . yaitu d ibagi a tas bagian vektor dititik b e bas dan vektor diperletakan.
Melihat syarat batas : D
D
0
1 =
2
D 7 3
0,31 1
Q
3
Q
\ i
4
Q
5
Q
6
Q Q
I I
l
I
Q Q
0
8 1
2
7
AE
=
4
0 0 , 256
- 0 ' 1 67
0
0
0
0 0 6
5
8
1
-0 , 1 67
0
0 , 0 96
t l
0
0
- 0 ' 1 28
l
0
- 0 , 096
0'31 1
2
l
I
I
I
0 , 0 9 6 -0 ' 1 2 8 - 0 , 096 - 0 ' 1 2 8
0 , 38 1
Kfb
D
5 6
I
D
l
bf
D
D I J
I - - - - - - - - - - - - - - - - - - -� - -
K
l
D 3 4
0 , 2 56 - 0 , 1 2 8
0
7
I
K
bb
8
3 4
5 6
8
D
D
D
2
7)
Matrix [ K rrl m asih cl apat d isederhanakan de ngan suatu t r:msform asi. m engingat adanya keadaan k h usus pacta rangka batang ini :
235
2
7
=
=
Jadi
sekarang
akan
diadakan
suatu pemisalan :
D 3 D D
4
=
suatu
D
-
=
D
transformasi
=
5
=
u
=
u
6
8
u 3 4 8
atau dinyatakan secara matrix :
D 3 D D D D
u
4 5
=
3
u
[Z]
u
6
4
8
8
D 3
.1
0
0
D
0
1
0
D
4
5
3
=
l< D
0
0
u
0
r
0
u
0
0
dimana matrix transformasi :
[Z]
=
r
J 0 0
- 1
0 0
0
0 0
236
u
0 0
0
'+
8
dengan
mengambil
l
1
i
M engingat sifat dari suatu transfonnasi matrix seperti yang telah dijelaskan daiam pasal 4.4 . . m ak a bisa didapatkan m a trix ke kakuan relatif terhadap basis{ U } , y aitu m atrix [ K ff] u :
[ Kf f ] u
=
[ Z ] T [ Kf f ] [ Z ] 3
2
0 , 95 6 [ Kf f ] u
=
0
0
AE
0 , 192
0 , 1 92
0, 51 2
0 , 2 56
- 0 , 25 6
0 , 38 1
2
3
Matrix gaya luar yang sesuai dengan vektor bebas { Qf } :
p,
'
0 0 0
=
l ::
0 - 3 900
Matrix { Q -= } perlu ditransfonnasikan juga kesuatu mang berdim ensi 3 I sehingga sesuai dengan matrix { U} . {Q }
f u
=
[z ]T {Q } f 0
=
- 1
0
0
0 0
0
0
0
0
0
0
0
0 0 - 3 00 0
237
0
Mengingat hubungan : {Q } f u
{U }
J-1
{ Kf f u
r 1
"
u 3 u
u
=
=
[ Kf f ] u
=
-
[ Kf f ] u
4
AE
-
l
.
{ Q f} u
1 , 2 3 8 - 0 , 467 - 0 , 933 2 , 33 3 - 0 , 467 3,1 14 4 ,657 - 0 , 933 2 , 333
1
AE
-
1 , 2 38 =
{U }
·
- 0 , 467
3, 1 14
0, 933
2, 333
8
0
- 0 , 467 - 0 , 933 2 , 333 4 , 657
0 - 3000
279 9 - 6 999 -
1
3971
Sekarang lakukan lagi transform asi melalui matrix t ransformasi { Z} .
{ D}
kem bali
dari
m atrix { U}
ke
m atrix
D 3
4
D
D 5
1
0
0
- 1
=
l
D 6 D 8
(
D 3
4 =
D 5
0
0
2 799
0
- 699 9
0
- 1 3971
6
0
2 799
l
AE
- 2 799
- 1 3971
8
=
2 79 9 I AE
(
-+
)
- 6999 I AE
( .} )
- 2 79 9 I A E
(
6
- 6999 I A.E
( +
8
- 1 3 7 9 1 I AE
(
D 4
=
D 5
=
D
D
1 AE
- 6 999
D
r; 3
0
0
- 6999
D
D
0
+
+
) 239
l Untuk konstm ksi rangka batang mang ( tiga dimensl), proses analisa secara garis besar adalah sam a dengan proses analisa pada rangka b a tang datar. Hanya t erdapat beberapa perbedaan yaitu : Ada 3 vektor bebas d ititik diskrit pada ujung elemen . m asing m asing sesuai dengan arah sum bu x. y dan z (lihat gam bar 4 . 2 2 ).
L f =;; f � � !=:=E.=======/ /��
Matri x transformasi tiga dim ensi.
Gam b ar d . 2 2 . 4 vektor b ebas pada alemen b atang d ari s a u konstruksi rangka batang ruang.
1
3
6
z
r"
Dibawah ini akan ditumnkan m atrix transformasi dari eleme n dalam sistim koordinat Cartesius tiga dim ensi. V
Y.'
)
Gam b ar 4 . 2 3 . elemen batang OA dengan arah { a , b , c}
z
Gam bar 4 . 2 3 . arah { a , b , c} OZ { 0 , 0 , I } •
2 40
men unjukkan satu elem en batang OA dengan koefisien relatif terhadap basis OX { I , 0 , 0} , OY { 0 , I , 0} dan
r
'
Sekarang bila akan dicari hubungan antara sistim koordinat XYZ dengan sistim koordinat lokal elemen OA, yaitu sistim koordinat X'Y'Z', dim ana sum bu X' berimpit dengan sum bu batang OA, sumbu Y' terletak pada bidang diagonal yang melalui sumbu Y , dan sum bu Z' terletak pada bidang XOZ. Dengan demikian sudah dapat dipastikan sumbu X' mempunyai koefisien arah sebagai
X1
. =
{ a , b , c}
(4. 1 40 )
Karena sumbu Z ' terletak pada bidang XOZ, m aka koefisien arah sum bu Z' dapat dituliskan Z'
=
{Z' 0, z'} . 3 1'
(4. 1 4 1 )
Berhubung sumbu X ' ..L Z '
{X'}
mak a :
•
{Z '}
{ a , b , c} a Z' 1
+ c
Z' 1
Z' 3
=
(4. 1 42) -
0
{ z I , 0 , Z '} 1 3 . =
Z' 3 =
=
0
(4. 1 43 )
0 -
c
a
(4. 1 44 )
Dengan demikian koefisien arah snm bu Z ' dapat dinyatakan sebagai
Z'
{ -c , o , a}
:
(4 . 1 4 5 )
sekarang su d ah didapat koefisien arah dari sum bu X ' dan Z '. Untuk men dapatkan v e ktor arah satuan yang panjangnya satu . maka koefisien arah d iatas masih harus ct i b a ?i dengan panjang vektor m asing m asing.
Jadi,
= {. I
J ad i koe fisien arah sumbu X' dinyat akan seb agai
X'
v
a b _ ,-;:===== ,-;:=== c== a 2 + b 2 + c 2 V a 2 + b2 + c 2 V a 2 + b2 + c 2
}
(4. 1 46 )
24 1
dan koefisien arah sumbu Z dinyatakan sebag:ai Z'
=
{-
J
-;=c===;;:. +
a2
c2
14. 1 47)
0
Sumbu Y' ialah satu sumbu yang dinyatakan sebag:ai {Z' }
{Y'}
X
-V;:(
14. 1 48 )
J
1
I
2 2 a + c =========== = ==::... 2 2 2 a + c ) ( a + b 2 . c2 )
I 1-J;::(
c
a
sehingga dapat
{X'}
be ================= · c 2 2 ) ( 2 + 2 + 2) a + a b c
2 2 2 a + b +c
...L X ' d a n � Z '
a
0
J
b
c
J 2 2 2 a +b +c
2 2 a +b +c 2
c
J
a
2 a +b 2+c 2
ab
J ( a 2 +c 2 )
(a 2 + b 2 +c 2 )
Jadi koefisien arah sumbu Y' dapat dinyatakan sebagai a
2 + 2 c
J( 2 2 ) 2 2 2 ) a +c (a +b +c
� ...
,.
.
::
.
.b · � · ·
Dengan demikian matrix transfonnasi [N] dapat dituliskan sebagai 242
}
(4. 1 49 )
r
r:
[N)
(4. 1 5 0 )
J a 2 +b 2 +c 2
J a 2 + b 2 +c 2 b
a
2 2 a +c
J( a 2+ c2 ) ( a 2 +b 2 +c 2 )
J( a 2 +c 2 ) ( a 2+b 2 +c 2 ) ab
a ta u [ N )
c
r:r::z
0
a
J a 2 +b 2 +c 2 c
J( a 2 + c 2 ) (a 2+b 2 + c2 ) be
a
J7::2 a
(4 . 1 5 1 )
Bila pada ken yataannya nanti t ernyata b ahwa titik 0 mempunyai koordinat (Xo , Y 0 . Z 0 ) d a n titik A m e m punyai koordinat ( X 3 , Y a · Z a) . seperti ditunjukkan p ada gam bar 4 . 2 4 , m aka dapat d ilakuk an a. b d an c pada persam aan {4 . 1 5 1 ) dengan eliminasi p ada fak t or fak t or-faktor X0, Y 0 , Z 0 dan X3, Y 3, Z 3 sebagai b e1ikut :
b
..
Ya
r
-
Yo
(4. 1 5 2 )
x'
- x z'
/
z
e l e me n b a t a n g OA den g a n a ra h { X a - Xo , Y a - Y0 , Z a - Zo }
243
Dengan demikian m atrix kekakuan elemen satu rangka batang ruang setelah ditransformasikan dalam sistim koordinat struktur dapat dituliskan sebagai dinyatakan oleh persamaan (4 . 1 20 ) : =
[ Ks ]
[T]
=
1
2
[K] .I
dan
=
[T ]
[ Kj ]
[: : ]
d i ma na [T)
T
;;
(4. 1 5 3 )
4
5
6
AE L
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
2
3
AE L
0
0
0
0
0
0
-
( 4. 1 54 )
4
AE L
0
0
AE L
5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
6
l
Bila persamaan (4 . 1 5 1 ) kemudian disubsitusikan kedalam persamaan (4. 1 5 3 ) untuk selanjutnya ke persamaan (4. 1 20 ) , akan menghasilkan m atrix kekakuan elemen yang sesuai dengan sistim koordinat struktur.
[ K]
s
244
=
J a 2+ b 2 +e 2 AE/L
r
a
2
ab 2
2
-ab
ae
-a
be
-ab
-b
-ae
-be
2
ab
b
ae
be
e
-ab
-ae
a
-be
ab
b
ae
be
-a
2
2
-ab
-b
-ae
- be
-e
2
2
2
ab 2
- ae - be -e
2
ae be e
2
)
a
a tau
[ K] s
2
ab 2
ab
b
ae
be
-a
2
-ab 2
-ab
-b
-ae
-be
-a
be
-ab
-b
-ae
- be
e
2
b e
L
=
=
=
=
X. J
X .I
Y.
J
Y.
J
z.
2
a
- be
ab
b
ae
be
-e
2
ab 2
-ae
I
- be -e
2
ae be e
2
(4. 1 5 5 )
I
z.
J
2
-ab
-ae
dim ana sebagai dinyatakan dalam persamaan ( 4 . 1 5 2 ) : a
2
ae
I
+
a
2
b
2
+
e
(4. 1 56 )
2
dimana titik i d an j mcrup akan titik uj ung elemen rangka batang ruang seperti ditunjukkan gam bar 4 . 2 5 . 5
�X y
3
z
Gambar 4 . 2 5 . satu elemen rangka batang ruang d e ngan vektor bebas yang sesuai dc ngan sistim koord inat stmktur X. Y. Z. .:!45
Selanjutnya akan dipelaj ari contoh soal d ibawah ini. Contoh E
4.6 :
3 000 kg (sejajar batang D C ) 1
a) konst ru ksi rangka b atang ruang yang a kan d ianalisa . ABCD m eru pakan b ujur sangkar, A E ' = E 'C = E'D = E ' B = m . EE' m . A E k o nsta n . =
--- --
B
--
y
4
3
( b ) vektor lend utan d i titik d iskri t , yang sesuai dengan sistim koor lL. d inat struktur x. y , z . E
,.. 0
Q 1 3 = 3 000 k g ( sejajar batang DC)
( c i v e k t or gaya luar yang kores pond ing Jcngan v c kt o r lendu ran.
G am b ar 4 . 2 6 .
kons truksi rangka batang ruang.
X
'
Dalam contoh soal di atas inL akan dicoba m enganalisa satu rangka batang ruang yang sederhana.
Cntuk m e mudahkan p rcses p erhitungan, dibuat b eberapa tabel di bawah ini.
X
Ti tik
0
0
3V2
B
3i2
0
3 1/2
0
0
0
0
3'12 0
D
1n 2
E
Tabe l 4 . 5 .
i Ba tang
r
2
3 4
I I
..
E
B
�
E
c
..
E
D
�
I
I I
E
Tabel 4 .6 .
I Ti t I
II I
I
ik
pan j an g
keka k uan
ax i a l
A
#2 2
4
Tabel koordinat
a rah v e k t o r
1 I
z
A
c
i
y
5
AE
5
AE
J
I
I
5
i
Qy
Qz
A
0
0
0
B
0
0
0
c
0
0
G
D
0
0
0
0
0
Tabcl 4 . 7 .
ai
Df
L
0 , 3Vz
-
Cf
L
0 ,8
-0 , 3Vz
0,8
-0 , 3V2
o,8
0 , 3 V2
0,8
0 3 !- ,
L
vZ
- 0 . 3 Vz 0 , 3 Vz
!
0 , 3 Vz
I
Tabel data tiap batang. Qx
E
I I'
I
AE
AE
(L]
300 0
Tabel gaya luar yang
bekcrja dititik d iskri t . 247
r Berdasarkan data-data pada tabel di atas, dapat diturunkan m atrix kekakuan dari elemen-elemen konstruksi, sesuai dengan rumus yang telah diberikan. 2
I
l lt
1 3
3
( , 18
I
2
[K )
1 5
l 3
l lt 15
·" "'
I
I
l-: ""' -,18
I
I - 18
,18
..
[K J 2
s
=
l
..
' 18
5
, 24Vz
6
3
1 '> 15
3
248
9 s
1 3
, 64
- , 24 Vz
- , 24 Vl
- , 64
- , 2 4Vz
,18
,18
18
, 24Vz
, 24 V2
- , 18
- , 24Vz
,18
'18
, 2 4Vz
- , 64
, 24V2
, 24Vz
, 64
- , 24Vz
- , 24Vz
'18
, 24Vz
-'18
-'18
1 3
6
5
.
,18
l lt
, 24Vz
15 -. 1 8
- , z 4 Vz
' 18
-'18
, 24Vz
-,18
18
, 24 Vz
-'18
'18
- , 24Vz
t 1 8
- , 2 4 Vz
, 64
- , 2 4 V2
- , 241/2
,18
L .
18
' I 8"
- , 18 -. 18
!4
, 2 4Vz
!5
. 18
- , 64 , 2 4 Vz
, 2 4 Vz -'18
8
- . 24Vz
, 64
, 24Vz
, 2 4Vz
, 24Vz
-' 18
l 3
9 -. 18
, 24Vz •
18
-' 18
, 24 Vz •
18
- , 64
' 24Vz
�
, z4V2
:!. 5
14 .
18
- , 64
- , 24Vz
- , 24 112
-,18
I I
I
I I I
, 18
- , 24 112
- , 64
- , 2 4Vz
- , 24Vz
, 64
,. 2 4
- , 2 4 Vz
-. 1a
-. 18
, 24Vz
,J8
AE
5
)
I
1
I
AE
5
-.18
,18
AE
5
'\
'18
-'18
I I
-
- , 24Vz
- , 24 1/2 [K ]
- , 24Vl
, 64
i 7
-'18
,-
'18
, 24 Vz
-
- '18
. :>
- , 2 4112
1 -·
I
, 2 4Vl
•
i
)
11
10
[K :. ] s
1 3
-,I8
- , 2 4 Vz
- , 2 4Vz
- , 64
- , 2 4 Vz
-.18
- , 2 4 Vz
-,I8
10
, I8
, 2 4Vz
'18
11
, 2 4 Vi
, 64
, 2 4Vz
12
,I8
, 24 fi
•
1 3
-. !8
14
- , 24
15
l
V2
, 18
18
- , 2 4Vz
-
- , 64
- , 2 4Vz
- , 2 4 Vz
-,18
,
15
1 '+
12
I8
•
18
•
,64
J8
- , 2 4 Vz
l
5 AE
,I8
241/2.
, 2 4Vz •
- , I8
, 24Vz
,18
Proses superpos1s1 menghasilkan matrix kekakuan struktur secara keseluruhan. 2 2 3 4 5 6 7
[ K5 J
=
AE 5
B
9 10 11 lZ 1 3 14 15
4
5
6
7
8
9
10
11
12
l 3
14
15
t-J V\ 0
2
2 3
'
3
' 18
. z � v2 - , 1 8
, 2 41/2
, 64
- , 24Vz
- , 2 4Vz
, 18
- ' 18
••
0
0
0
5
0
0
0
6
0
0
7
0
0
••
5
6
7
8
9
10
1 1
12
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
' 18
, 24 Vi - , 1 8
0
0
0
0
0
0
-'18
' 2 4 Vz - ' 1 8
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-,18
, 2 4 Vz - , 1 8
, 18
, 18
0
0
0
- , 18
, 2 4 Vz
0
0
0
0
0
0
' 18
� , z 4Vi
,18
- . 2 � Vi
,64
- , 2 4 Vi
0
,18
- ' 2 4Vi
,18
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
9
0
0
0
0
0
0
IU
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1 1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
12
0
0
0
0
0
0
0
0
0
. 24 v2
1 3
- , 18
i ll
- . 2�1/2 - , 64
I S
' 18
-
, 18
-, 18
, 24 Vi - , 1 8
. z � Vi - . 2 � Vi - , 64
, 2 4 Vi - , 1 8
- , 18
, 2 � Vz
, z 4 Vi - , 1 8
-,18
- , 2 4 Vl - , 24Vz
, 2 4Vz
-,18
'18
-, 18
-,18
-,I8
, 2 4Vi - , 64
'18
,18
-'18
- , z 4 Vi
I�
- . 2 � Vi ,64
, 2 4 Vi - , 64
, 2 4 Vi - , 6 4
, 64
. z �Ji - , 241/2 - , 64
, 18
, 2 4Vz
,18
-'18
- , 24Vz - , 1 8
, 72
- , 2 4 1/2 - , 1 8
- , 2 4Vl - , 1 8
, 2 � Vz
,18
- , 24Vz
- , 2 4 1/2 - . 1 8
, 241/2
- , 2 4 112
, 2 4 Vi
-,18
,18
, 64
, 18
- , 2 4 Vz - , 1 8
, 2 4 Vz
- ' 24 Vz
15
'18
, 18
, 2 4 Vi - , 1 8
, 2 4Vi
1 3
0
0
- , 2 4Vz 0
2 , 56 0
- , 2 lt Vz -,18 0
0
, 72
Selanjutnya dilakukan partisi (pengelompokan) yang memisahkan komponen vektor dititik bebas dan vektor diperletakan. l 3
1
3 .
, 72
...
[ Ks ]
=
15
0
0
0
15
\
I
2
2 , 56
0
•
.
•
.
11
12
K
I
3
I
I
Kb f
AE
5
K bb
I
11
I
I
12
I I
{Q } f
=
[ Kf f
{O } f
=
[K
{D
]
ff ]
1 3 ff ]
3
0 , 72
14
15
0
0
2 , 56
0
14
0
15
0
0
1 3
14
l
ff ]
f}
-1 { Qf} l
[K
3 :
1 I
1
[K
2
fb I o o , 72 . I ----- -- + - -- --- - -- -
14
•
14
3
- 1 =14 15
72
AE 5
0 , 72 15
l OO
0
0
0
l OO 256
0
0
0
72
5 AE
l OO
:!5 1
f
{ Qf}
{
D
f
3 00 0
l
[Kf
=
}
13
0
14
0
15
f]
-J
{ Qf}
1 3
14
15
/
D
D
1 3
72
l OO
0
0
14
0
J 00 256
0
15
0
0
1 3
14
D
=
15
D
l
l OO
n
/
I AE
0
=
D
D
2 0833
3
s
AE
0
15
l n i berarti bahwa t i t i k E hanya a kan bergeser sejauh 2083 3 I ,\ E kc arah su rn bu x struktu r saja. Selanju tnya dengan o perasi m atrix akan didapat gay a reaksi perle takan . =
2S2
Q
1
Q
2
1
-, 1B
- , 2 4 Vz
+, 1 8
2
- , 2 41/2
- , 64
+ , 2 4 Vz
+, 1 8
+ , 2 41/2.
-, 18
4
-, 18
+ , 2 4V2
-,18
5
+ , 2 41../2
- , 64
+ , 2 4 Vz
6
-'18
+ , 2 4 Vz
-, I8
7
-,I8
3
Q
3
Q
4
Q
5
Q
7
Q
8
Q
9
Q
10
Q
11
Q
12
I AE
I
+, 1 8
./
8
+ , 2 41../2
- , 64
- , 2 4 Vz
9
+, 1 8
- , 2 4 Vz
-,18
10
-, 18
- , 2 4 Vz
-,18
11
- , 2 4 Vz
- , 64
- , 2 4 V2
12
-, 1 8
- , 2 4V2
-,18
l 3
14
15
Jadi, besarnya gaya reaksi p e rletak a n d i t i t i k A :
Q
l
Q Q
2
3
=
75 0
kg '
l OO O I/2
kg .
7 50
kg .
(
�
)
( -!- )
( /)
253
Ti tik B
Q
Q
Q
Ti t i k
C
Q
Q
4
::;:
- 75 0 1 0001/2
=
5
6
=
7
D
Q
( / )
- 75 0
kg .
( -)
1 ooo\/2
kg .
( t )
750
kg .
( / )
- 7 50
kg .
(-)
=
=
Q
Q
254
=
10
-
l l =
12
( t )
kg .
9
Ti tik
kg
( �)
- 7 50
8
Q
kg .
1 ooov2
- 75 0
kg .
( j
kg .
( / )
)
4.9 . MATRIX KEKAKUAN ELEMEN NON PRISMATIS
Didalam p raktek sering cl ijumpai keaclaan pacla m an a k e kuatan yang cliperlukan p acla ujung b atang yang satu t iclak sama clengan ujung lainnya. Pacla b agian-b agian tertentu b at ang tersebut h ams lebih kuat clari b agian lainnya k arena gaya-gaya clalam y:mg terj acli cliclalam batang ticlak konstan cl ari ujung yang satu sam pai ujung yang lainnya. Agar cliperoleh p ola tegangan yang ham p ir mera ta, m ak a keku atan ba tang harus m engikut i variasi besarnya gaya,-gaya clalam y ang terjacli. Jadi. luas clan momen inertia batang harus b e rubah-u b ah . S ebagai contoh clapat cl iam b il suatu b alok kantilever yang mena h an beban terb agi rata. Untuk balok kan tilever seperti ini, bentuk balok yang p aling ideal h arus berbentuk p ara bola . sehingga tegangan yang terjadi d iujung yang terjepit clan di bagian tengah b alok m e njadi hampir sam a. Oleh sebab itu untuk balok k antilever tersebut tidak perlu cligam bar b alok yang sam a besar. Tetapi pem akaian balok bentu k parab ola pun b iasanya dihindarkan karena m ahal. Biasanya balok yang cl ipakai ad alah balok bertingkat d e ngan irisan-irisan yang berbeda-becla. Tentu saj a ma trix kekakuan batang-batang b ert ingkat agak lain d ari m atrix ke kakuan un tuk b atang seraga m . Cara menc ari m atrix kekakuan batang b ertingkat a n tara lain ad alah :
a.
Cara integrasi Pada cara ini cl ilaku k a n Numerical integration. Dalam ha! ini integrasi clilakukan irisan d em i irisan cle ngan anggap an A . I clan E
masing-m asing irisan a dalah konstan .
b.
Cara dengan mencari matrix f1e ksibilitas Pada c ara ini yang m ula-m ula cl icari a dalah matrix t1e ksibilitas d ari masing-masing segmen bukan m atrix ke kakuannya. B iasanya pacla c ara ke kaku a n . pada ke clua uj ung balok cliadak an
satu u n i t perp inclahan. lalu dihitung gaya-gay a yang diperlukan agar perpindahan terseb u t dapat terj adi. Pada cara i n i dilakukan kebalikannya. yaitu pacla kedua uj ung dipasang unit gaya-gaya. l alu dihitu n g p e rp i n d a h a n-perp in d a han yang cl isebab kan oleh gaya gaya terse but. Sc tdah t1e ksibilitas m atrix Jari seluruh batang d i t e n tukan. d i pero leh matri x kekakuan batang terse b u t dengan m e ng-inver�e m atrix t1e ksib ilitas nya. c.
Cara stru k tur sa t u dimensi.
Pada cara ini b alok-balok bertingkat J ianggap t e rd iri dari satu seri balok-bal o k p ri sm at is dan analisa d i l aku kan dengan m enggunakan kekakuan m asing-m asing segm e n . 255
Di b aw ah ini dicoba m enunjukkan contoh perhitungan tentang penyu sunan m atrix kekakuan dengan cara struktur satu dimensi, pada m a n a b alo k-balok bertingkat dianggap terdiri dari satu seri segmen segmen b alok dengan I dan A masing-m asing segmen yahg berbeda. Sebagai con toh akan diamb il suatu balo k sederhana seperti pada gambar 4.27. y
1'
I
. 'r---------,
--t-------+-·--7 X
(a) elemen non prism atis yang akan dianalisa
elemen 3 Q,---7 o,
-----7-
{
e 1 emen
l
.../''---
i
·-
2 Q2 f-- 2 02 ---7 i
----:. /
------7 e
Q2
02 l emen 2
----7
03
3 ---7 03
( b ) pemisahan m enjadi dua elemen
Gam bar 4. 27.
b alok non prism atis. yang ingin dihitung ke kakuan nya.
Dari gambar 4 . 27. (b) didapat hubungan :
K K
25 6
11 21
K K
12 22
l [ :: l
(4. ! 57)
- Q2
2
K
[
=
Q.
3
[ �I )
K
2
21
K
l
3
(4. 158 )
) [�I l
3 12 K 3 22
21
2
D 3
K
11
K
D
2 12 K 2 22 K
11
(4. 1 59)
D ari persam aan (4. 1 5 7) dan (4. 1 5 8 ) diperoleh p ersamaan-persam aan sbb. :
Q
K
1
Q
K
2
Q
21
K
=
' 2
Q
K
3
D
11
11
1 D
2
D
2
D
21
D
1
+
K
+
K
1 22
2
+
K
12
2
+
K
1
1
12
D
( 1 . 16 1 )
2
2
D 3
2
D 3
22
(4.160)
2
(4.16 2 )
(4.16 3 )
Kalau persam aan ( 4. 16 1) dij um 1ah dengan persam aan ( 4.16 2). m aka didapat persamaan :
(K
22
1+ K 2) D + K 1 D + K 2 1 21 2 11 12
D 3
=
0
pe rkal ikan . ( K D
- (K
2
22
1
+
K
11
2)-1 K
21
D
1
(K
22
l
+ K
22
l + K
ll
2)-l K
11
2 - 1
)
2
12
D
3
(4.164)
Misalkan ( K D
2
=
22
- S.K
+
21
1
K D
ll
2) -l
- S .K
s,
2 D 12 3
persam aan ( 4. 164) m enjadi :
( 1 . 165 )
257
Sdanj utnya subsi t usikan persamaan (4. 1 65) ke da1am persam aan-per samaan (4. 1 6 0) sampai dengan (4. 1 6 3 ) , m enghasilkan :
Q 1
K
11
(K
Q 3
12
12
1.s.K
1.S.K
2.S.K 21 21
(K
-
K
-
1 - K
11
- K
=
1 D
D
1
21
21
1 D
1) D
- K
21
1
- K - (K
1
2.S.K
12
21
12
1.S.K 2.S.K
12
2 D 3
12
2) D 3
(4. 1 66 )
2 D + K 2 D 22 3 3
2.S.K 1 ) D + (K 2 - K 2.S.K 2 ) D 21 21 1 22 21 12 3
(4 ·167)
Dari persam aan-persam aan (4. 1 5 9 ). (4. 166) dan (4. 167) d apat ditu runkan persam aan-persam aan sebagai berikut : K
K
K
3 •1 • 1
=
K
3 12
K
3
K
-
21
K 3 22
1 11
=
K
[
-
K
1 . s .K 1 1 21 12
l . s .K 2 12 12
21
22
2 .s
.K
2 - K
21
(4. 168)
21 z .s
.K
2 12
Akhirn ya dapat disusun matrix kekakuan ba1o k b ertingkat seperti pada contoh di atas sebagai b erikut :
3 [K J
3 12 K 3 22
K 3 11 K 3 21
K
].
(4. 1 6 9 )
S elanj utnya akan dibahas lagi satu contoh balok non prism atis seperti dibaw ah ini. ------·-'- -----·
L2 2
Lz
2
( a) elemen yang d ianalisa 25 8
----4)
X
e
I em en 3
0�====�====0 O======��o elemen 1
elemen 2
(b ) pemisahan m enjadi d ua elemen Gam bar 4.28.
balok non p ri sm a t is yang dianalisa ke kak uannya.
Cara mencari m a t rix kekakuan balo k non prismatis se perti p ada gam bar 4 . 28 secara garis b esar adalah sebagai berikut : 1 . Mula-mula b alok dibagi dalam 2 b agian, m asing-masing elemen 1 ctan elemen 2. ' Selanj u t nya ctihitung K 1 dan K 2 ctengan cara yang sama sepert i y ang ctiperlihatk an ctim uka, 3 . El eme n 1 ctan elemen 2 ctlgabu ng m e njacti elemen 3 . dan K3 dicari d e ngan cara yang sam a sepert i d i m uka. yai t u dengan persam aan (4. 168):
K
3
ll
K
3 12
K
3 21
K 3
22
pacta mana
=
K
11
-K
12
-K
21
K
22
S
l
-
K
1 . S. K
12 12
1 .S . K
2
21
2.s .K 1 1 21 2
-
(K
K
21
22
2 .S.K
+ K
12
11
2
2) 1
Perlu d icatat b ahwa K 1 ctan K2 d isini
-
=
"'K3" pacta con toh te rctah ulu.
259
------
-- - �-----
Sekarang akan d itinjau elemen non prism atis linier. y
--L
lh
--�t-h I
-+----
L
G ambar 4. 2 9 .
El
I b I � I
-----�
I I
elemen n on prism atis linier sim etris.
Gam bar 4. 29 me nunj ukkan satu elemen non prism atis linier sim e tris, yang dipengaruhi oleh param eter a dan B. Persamaan garis linier dikedua uj ung elem e n dapat dim isalk an sebagai : y
=
ax + b
(4. !70)
Koefisicn a ctan b ctapat cticari d cngan m em asuk kan harga-harga ctan Bh kedalam persam aan ( 4. I 70).
al
Un t uk ujung kiri elemen : Pacta
x
0
=
- Bh
y
Substitusikan ke ctalam persam aan (4. 170) : y
=
- Bh
Pacta
X
y
b
ax + b 0 + b
=
al
=
0
- Bh
(4. 171)
Su bsitusikan ke dalam persamaan ( 4. I 70) : ax + b
y
a .al + b
0 0
a 260
=
=
a .al - Bh
2.b_ al
b I
--r-r
(4 172)
Dengan demikian persamaan (4.170) bisa dituliskan rnenjadi : y
=
Bh -x -
y
=
Bh
Bh
al
atau
(
X
al
(4.173)
I
-
}
)
(4.174)
Analogy dengan proses diatas. persamaan linier diujung kanan elemen bisa dihitung juga sebagai berikut :
;: �
Pada
al
-
Subsitusikan ke dalam persamaan (4.170) : y
0
ax
a(L
=
b
-
b Pada
+
al)
b
al)
-
- al ( l
a)
-
}
- Sh
y
-
a(L
l
X
b
+
Substitusikan pula ke dalam persama&n (4.170) y
=
- Bh
(4.175)
:
ax + b
al + b
(4.176)
Melihat persamaan (4.175) dan (4.176) :
- Bh - Bh a
al
=
=
(1
-
al
al (I - a ) -
- �
l
+
a
)
(4.177)
al
Dengan demikian, b
=
b b
-
-
=
Bh
Bh Bh
(
-
+
a
al
_1!!_ a
)
(4.178) 261
J adi persamaan linier d iujung kanan elemen dap at di tuliskan sebagai:
y
8h ---
y
Sh
X
+
8h
(
X - al
+
--
l
al
a
(4.179)
- 1 )
a tau
(
1
a
)
(4. 180)
Selanjutnya sebagaimana pada elernen prismatis dua dimensi. elemen non prismatis ini juga mempunyai 3 vektor bebas pada masing-masing ujungnya (gambar 4.30.). sehingga dengan demikian akan mempunyai suatu matrix kekakuan elemen dengan orde 6 x 6 sebagai dinyatakan oleh persamaan (4.181)
2
3
I
5
6
ot:.L
o(.L
L
Gambar 4.30.
k
vektor bebas diujung cl emen.
1 1
0
k
0
k 32
k 33
k
0
0
[K].
syme t r is
22
2
3 (4.181)
I
0
41
k
k 52
0
k
262
0
4
44 k
5 3
k 52
2
k
3
5 3
5
55
0
k
k 55
4
5
55 6
5 /
Proses menghitung koefisi en-koefisien kekakuan elemen non prism at i s i n i , actalah sam a ctengan proses m en urunkan m atrix kekakuan eleme n pri sm atis. y ait u ctengan bertumt-tumt m em berik an cteform asi axi al , cte fo rm asi geser ctan cteform asi 1entur pacta e 1em e n , untuk kem uctian m enghitung pengaruh m asing-m asing cteform asi terse b ut . S uat u hal yang berbecta disini ialah , b ila pacta elem en prism atis perhit ungan ctapat ctilakukan ctengan m engam bil sat u interval perhi t ungan saj a, yai t u 0 ,;;;;; x � L m aka pada proses m en urunk an ke k akuan e 1emen non prismat is ini. perhi t ungan h arus d il akuk an atas t iga i n t e rv al , y ai t u 0 � x � a L sebagai interv al pertama, a L ,;;;;; x � L - aL seb agai interval k ed ua. ctan L - aL,;;;;; x,;;;;; L sebagai in terval terakhir. Tentu saj a kekak uan 1en t ur (t1exura1 rigidity ) E l dan kekak uan axial (axial rigidity) EA dari ketiga interv al t erse b ut t id aklah sam a sebagai m ana pada alemen prism atis.
Bila kekakuan len t ur ctan axial pad a interval t engah ( aL � x � 1 - aL) diam b il m asing-m asing EI0 ctan EA0, m ak a pacta interval non prism ati s kectua besaran kekak uan t e rseb ut d apat ctihit ung seb agai: El
X
EA X d im an a
El
EA
0 0
=
=
EI
EA 1::
=
1...
=
1:: 1...
0
•
(
0
h
+ y
h
)3
h + y ) h
bh3 I 12 bh
( 4. 182)
( 4.183) (4. 184) ( 4 . 185 )
Dengan proses perhitungan ctiat as. akan didapat :
k41
=
k44 ks z
=
k65 k66
- k zz
�
k:, 3 kss k62
- k 11 ku
2 k 22
=
=
(4. 186)
k3 2
- k
3 2 k 33
263
Sehingga persamaan (4.181) dapat disederhanakan :
k
[ K] .
11 s ymetris
0
k
0
k 32
k 33
0
0
k
k 32
0
k
k
0
- k 32
I
- k 0 0
11
- k
22
22
k 32
63
(4.187) 11 22 k 33
Dengan cara yang sama akan bisa diturunkan j uga hanm koefisicn koefisien kekakuan untuk ele'men non prismatis parabolic;;. sererti Jitunjukkan pada gambar 4.3 !.
L
Gambar 4.31. elemen non prismatis parabolis �64
4.10. MATRIX KEKAKUAN ELEMEN MELINGKAR
Zz
j z,
0 L-�
R
�
� 1 --�-� -:,� :: r- 5 �.
-- --�-- -
Gambar 4.3 2 . elemcn balok melingkar dengan jari-jari R dan sudut pusat a Sebagai pelengkap, di bawah ini akan diturunkan matrix kekakuan elemen melingkar. Gambar 4.3 2 menunjukkan suatu elemen balok me lingkar, dengan jari-jari kelengkungan R, dan sudut pusat Iengkungan sebesar a.
Sebelum dimulainya menurunkan kekakuan dari balok lengkung ini , terlebih dahulu diadakan suatu perjanjian , yaitu bahwa vektor x atau vektor pertama adalah suatu vektor yang tangensial terhadap busur lengkungan sesuai dengan arah berlawanan jarum jam; vektor kedua atau vektor y adalah suatu vektor yang radial ke pusat; sedangkan vektor ketiga atau vektor z adalah suatu vektor yang tegak lurus pada vektor x&y , sesuai dengan Hukum tangan kanan. Lihat gambar 4.33, sua tu pandangan frontal dari elemen balok me lingkar seperti pada gam bar 4.3 2. 265
x,
0
S ekarang akan dicari kekakuan d ari elem en balok m elingkar ini. Dalam hal ini akan digunakan prinsip kerj a virtuil kom plim enter, yang dalam b entuk umumnya ada lah sebagaim ana d inyatakan oleh p ersamaan (4.23) yang diperluas :
Gbr. 4.33 pandangan frontal suatu elemen b al o k m elingkar
oQ.o
=
f 0
L
n
X
.N
E A
+
X
f 0
mYY.MYY
L
0
dx +
X
r·
E
I
X
YY
L
V
X
.V
G A
dx
+
X
dx +
V
f 0
L
t
X
G
0
.
T J
X
f
L
m
zz Mzz . X
E
dx
I
X
zz
(4. 1 8 8 )
Amb il elemen kecil d s , dimana ds adalah panj ang busur yang b erha dapan d engan sudut pusat dij> . Elem en ds m em punyai p osisi m em b entuk sudut seb esar d ari posisi titik 1 (gam bar 4.34.). D ari hubung an m athem atik, d apat dituliskan : ds
=
R
.
d
(4. 1 89)
dimana R adalah j ari-j ari l engkungan . D alam hubungan m enurunkan m atrix kekakuan K d ari elem en balok melingkar ini, beberapa asumsi tetap akan dipakai. antara lain : 1. 2. 3.
elemen dianggap hom ogen sem p urna ; elem en dianggap elastis; pengamh d eformasi axial (norm al) d an geser d iabaikan.
Dengan m elihat asumsi tersebut diatas, serta mensubstitusikan per samaan (4. 1 89 ) ke dalam persam aan (4. 1 8 8), m aka akan didapatkan persam aan (4. 1 9 0) , yaitu p ersam aan kerj a virtuil komplim enter dalam b entuk yang l ebih sed erhana : 266
dx
6Q . D
=
f 0
a
m
zz
X
E
.M I
X
zz
zz
Rd4> +
0
f
a
mYY.MYY X
E I
X
yy
Rd +
f 0
a
t .T X
G J
X
Rd4>
(4. 19 0) D engan m elihat pada persam aan ( 4. 2 5 ), sekarang ditinjau :
(4. 191)
y
Gam bar 4.3 4. meninjau e1emen busur yang sangat keci1 ds
Di bawah ini d ib erikan tabe1 momen dan t orsi yang tim bul sebagai akibat beke rj anya gaya luar Q dan gaya virtuil oQ, sesuai dengan gam bar 4. 3 4. 267
gy vi rtui 1
gy 1
m
=====-=--===========�==-==-=-==�====-=
6Q 1
Ql
6Q6
Qr
oQ 2
aQr
zz 11
+ y
X
Myy
+ y
X
y my
+ y
0
0
0
0
X
-
Q2
Tabel4.9.
X
/
_ E__ I zr.
i f
0
R3 _£__ 1 zz
268
a { R( 1 a
R3 ( 1
(t
zz
zz
0
X
0
0
0
0
)
}
0
0
R
=
* sin
zz
0
zz
0
e
zz
0
zz
I satuan
d
2 2 cos
a - 2 sin a +
zz zz
0
0
0
2
0
I satuan
=
0
cos
0
0
o-
X
p
-
0
0
0
-
zz
I satuan
2
y ds
X
0
0
0
=
Tabel4.10. Tabel gaya dalam sebagai akibat Q6
'"'
0
0
- X
Q6
X
0
+ y
Q6
T
=====m=-===
X
Tabel gaya dalam sebagai akibat Q1
Q6
=
-
t
0
0
0
+ y
+ y
Qz
oQr
X
X
Tabel gaya dalam sebagai akibat Q1
Q2
t5Q2 DQ6
6Q6
zz
-
Qr
Tabe14.8.
6Qz
uar
2 a)
d
(4.192)
El
zz
D zl
cl
=
=
f
0
cl
=
Er z 061 z
a.
zz
E I
R3 R3
zz a
0
f
=
E
012
E!zzD22
R
(
( (
-
cos
R
( l
zz 0
,a
J
(
-
11 1
cos 2
+
4
cos 2
a.
l
)
J
-
=
=
)
drjl I
a.
lo
... l) . 4
14.193 )
) R dljl 0
)
(4. 194 )
) ds
D2 1
=
·cp
t ex. i !
QJ
a
a
) R dcj>
cp
+
cos
-
yx
a.
cos
1 sin 2 - 2
1 sin 2
sin
-
-
2
+
sin
-
a
'
\
sin
cos
c:;
( l
-
cp
R2 =
R3
ds
2
ds
sin
y
a
)
xy
cos
E
D 12
-
-
0
EI
-
R3
r
D51
(
a.
-
=
02 1
a.
(4. 195 )
fa x 2 ds
0
f 0
a R2 sin2 cfJ . R d
R3
l . 2
-
l sin 2
- 4
cfJ
)
a l
0 269
=
0 22
El
R E I
=
zz
R 3
l l fa - 4 sin 2 a ) \ 2
zz
a
=
062
f
0
a f
=
0
El
zz
016
El
zz
=
R E I
=
zz
026
zz
=
0 66
=
R E I
) ds
- R sin 4>. R dcfl
a
l0
(4.197)
0
(4.198) a f
0
0
zz
(
-
X
a 1 .ds f
) ds (4.199)
a R d$ f
a
Berdasarkan prinsip flexibilitas : 270
(4.196)
a y ds f
062
=
X
( cos a - 1 )
0
0 66
-
0 61
026
El
2
=
016
(
- R2 ( - cos
=
06 2
1 l (-a - 4 sin 2 a ) 2
3
(4.200)
[F]. {Q}
{D}
Dl 02
(4.201)
[F u].
R.D5
dimana [F 11 ] berikut:
[F u]
1 J
Ql. R Q2 .R
Q6
(4.202)
yang t elah disederhanakan dapat dituliskan sebagai
R E I
=
bl
CJ
bl
2
zz
al
dl
al
el
2 stn
a - I
(4.203}
el a
yang mana:
al
=
bl
=
CJ
=
dl
=
el
=
a - sin a cos a
+
la 2
1 . 2 sin a +1j'" s1n 2 a
l
2
-
•
2
(4.204)
a - -sin 2 a 4 1
cos a -
Dari
{Q}
=
dan
{Q}
=
[Kll ]
m aka
1
=
1 £fr1 .{o} [Kl.{D} [Fll ]
-
(4.205) (4.206)
I
(4.207)
Misalkan:
Q
l
Q2 Q6
-
-
E I R3
A'
Bl
C1 R/a
D
B'
01
E 1 R/a
D
2 H 1 R /a
D
l
1
zz
Gl
l
1
C' R/a 1
E' R/a 1
1
1
1
2
(4.208)
6 271
dengan pengertian : Gl
1
al e l )
+ al ( bl el - al dl )
2 2 a1 e 1 ) - a1 d1
=
A1I B
=
l
1
d an
=
c�1 01
1
El
1
=
1
=
H'
2 d1a - e 1 - ( b a al e1 1 b1 e l a1 d1 2 cl a - a l - ( c e a1 b1 l l 2 c l d1 - bl
(4.2 09)
(4.2 1 0)
Bila sem u a suku d iperkalikan d engan ( - 1/ C'.), maka akan didapat : G,
l
A1
=
B.
1
1
E
l
H
"
d
1
) +
}d
l l
la
1
- a e /a. b , l 1 a d - b e l l 1 2/ a a c 1 l c, e a b 1 1 1 2 c d b 1 l 1 J.
c
D
- 2a e /c. ) + c ( eL/a 1 l 1 l l 1 2 d e /a ( b
b
=
J.
=
(4.21 1)
Dengan m engingat hasi1-hasi1 di atas. maka :
[K 11]
C 1 R/ a =
ClR /a
E1 R /a
(4.212 )
Melihat kesetim bangan gaya-gaya Q1 , Q2 , Q6 d an Q7 z
Q
z
Q
l:
Q
x2
y2
=
0
Q
=
0
Q
0
Q
z2
7
+ Q cos a 1
+
Q sin a 2
Q sin a + Q cos a 8 1 2
+
l2
,
Os , Ql 2
0 =
Q 6 + Q R ( 1 -cosa) 1
(4. 2 13 )
0 Q R sin a 2
=
0
D ari p ersamaan (4. 2 1 3 ):
(4. 2 14)
Persam aan (4. 2 14) dinyatakan d al am hubungan m atrix:
=
- co s
a
- sin a
0
sin
a
- co s
a
0
co s
a-1
R sin a
-
J
atau:
[A ] .
(4. 2 1 6)
273
Substitusikan persamaan (4.191) ke persamaart (4.216):
Dl
Q7
(4.218)
02
[ A]. [ Kll]
Qg
06
Ql2 Mengingat persamaan (4.25) :
. Q7
,
Qa Ql2
[ Kz1]
m aka
E I
[Kzd
-
k' 71
k' 86
k' 12. 1
k' 12.2 k' 1 2.6
274
[ A]. [ Kll]
zz
r
l
k' 71
(4.220)
k' 72
k' 76
k' 12·2
k' 12·6
81
k' 12. 1
( A 1cosa + B 1sina I
+
D1sina
=
A1 sina
B1cosa
=
B1sina
D1 cosa
=
k' 86
k' 82
k'
C1cosa + E1sina
k' 76
(4.219)
02 06
- \ B1cosa
k' 72
k' 82
I
( K21 l
R3 G 1
dimana:
k' 81
Dl
C1sina
=
{ A1
=
{ B1
=
{ c1
(
( (
R/a
E1cosa ) R/a
cosa -
+ B1sina
C1/a } R
cosa -
+ 01sina
E1/a
cosa -
+ E1 sina
2 H 1} R la
R
(4.221)
Berdasarkan teorema resiprok :
( 4.222}
Analog dengan proses m enurunkan [K11], akan didapat :
E1R/a C 1 R/ a
- E 1 R/a
Dengan demikian sudah len gkap diturunkan [K11 1, [K1 2 [
K22
J.
(4. 2 23)
J, [K2 1 J dan
Sekarang akan ditinjau gambar 4.35. dan gambar 4.36. 10
�
gam bar 4.35. tampak frontal dari clemen balok meling kar.
gambar 4.36. vektor mo men dan uraiannya pada po �isi titik S.
275
==-=== ===================-:=
gy vi r t .
gy luar
zz
X
m
= =======:.::====r ===============�
z Mz
myy
X
Myy
X
t
X
=======----=========== = === ===
Q
OQ!
Q
oQ,
Q
5Q
Q
6Q
oQ oQ
2 0
4
5
3
Q Q
4 4
1
6Q
2
"
4
4
Q Q
Q
oQ
�
4
5 oQ
5 5
.5 Q 5 Q
5
3
Tabel4.12.
1
6Q
6Q
2
6
oQ
cQ
6Q
oQ
4
5
3
X
� Q
3
-
0
0
-
0
0
-
0
0
0
0
0
+
y
-
X
sin<j>
+
0
0
0
+ cos+
sincj>
0
+
0
+
sinq, sinq,
-.
sin$
akibat
+
Q4
cos
yy yy
+
+
coscil
yy
+
coscj>
yy
0
+ 5in+
yy
sin.P
yy
sin.P
YY
si n
xsin
ycoscj>
I
=
satuan.
0
+
cos�
0
0
0
+
cosci>
0
+
+ sincj>·
sincj> cosci>
+
CO� cj>
xcos<»+
+
coscj>
0 0
+
0
0
ysin�
Tabel gay a Jalam
sebagai
+ C05cP
coscj>
+
xs in -
ycos
+ 5 in<j>
yy
+
yy
sin+
+ sinfjl
l · satuan.
Os
+
y
0
0
xcos� ys in�
0
xsi nr ycos<jl
-
X
0
0
ys in
0
xsin� ycos
0
0
0
XS in :ycos
0
-
sin cil
Q
3
0
0
+
cos
Q
0·
0
Tahd 4.13. T .1l>d �.ly,l Jalam
xcos drlys in
XCOS�
XCOS·� ysin
+
xcos xcos<jr+ys in cj>
Q3
=
yy
cos.p
0
0
yy
+
cos�
-
cos+
+ cosql
+
0
=================--==
276
sebagai
0
3
X
sin
sin
cosljl
xcos + ysin a�
dalam
Tabel gay a
�
�
0
0
0
5
5Q 6
oQ
-
4
Tabel4.11.
oQ
+ y
T
X
= -mr-====
cos
+ sin cl> j n :j>yco5 cl> XS
I
xsinq,ycos cj> xs in
cl>-
ycos ci>
XS in q,ycos 4>
satllun, rmam
yy
Berdasarkan prinsip kerja virtuil komplimenter, akan dihitung lendutan yang terjadi.
(lt_.�4)
0
(4.225)
0
(4 .226)
0
0
f
a
2 sin R d /El
yy
t a - f sin2a a
R/4EJ
D ss
f 0
a
I
. 2a R ( 2a +115'"
c
a
3 ..
Dzs
D55
/GJ
yy
+
0
f
a
(4.227)
sint.cos,P R d.P /GJ
+R f 0
yy
i a + t 5in2a ) a
s i n2 .P d(241) /4GJ
(4 .228)
sin2,; R d41 /GJ
+ R /EI yy
I I ( Z a - 11 s 1. n2a ) /GJ
(xco54J+ysin,P) (-sin,P)R dtjl/EJ
yy
+
f
a
0
(4.234)
(xsin.P-ycos/GJ
2 cos� - cos 4> ) d4> /GJ
� D!s
yy
a
(
- R/4GJ ) ( cos2a - I
2 cos � R d,P /E I I
J
+
5 in2� d(24l) /4 El
yy
1 1 + R ( 4> + -4 sin2<j> 2
+ R YY
a
f- co5<j>.sin<jt R d41 /El 0
2 cos 4> R df /GJ
l 0/EJ yy /E I
)
0
- R f
a
a
R (.!. 4>-.!. 4 sin24> ) 2 . R (
f 0
+
/EI +R YY
2
( sin a -
t sin a
- .!. a) /GJ 2
(4.229)
0
(4.230)
0
(4.231)
0
(4 .232}
277
D 35
J
�
(xcos**"ysin+)cos.RdQ./EI Y
o
R2
I
(1
D D
D 0
l 3
2 3
"'
6"3 4
3
2
(
J
a
o
(xsin+-ycos,P)sin.PRd�/GJ
(sin<;�cos�sin.P-sin.Pcosqi)cos�d
o
R �
Y
.
+
1 - cos211
)/4EJYY
2
�
0
J
R2
c:
YY
+
2 (sin tli-cos
( f- cos11
+
i cos2c: )
/GJ
(4.235)
0
(4.236)
0
(4 .237)
0
(4 .238)
D 3 "
(4.239)
0 5 3
D 3 5
0 33·
f o
(4.240)
(1
(xcos� + ysin.P)2Rd9 /El
(1
yy
+
I
o
(xsin� - ycos
( 1 - cos+ } 3 R ( t 11- � sinl11 )/Ei yy
+
2
3 R ( t 11- 2si0!1 +
d,P /GJ
t sin2a
)/GJ
(4.241)
Sekarang ditinjau hubungan
(F
33"
1 J
dapat dinyatakan sebagai ( le
(F
33
278
J
I
b
2
[.:
b
2
a
d
e
e
f
2
2
2
2 2
(4.243)
dengan pengertian :
a b
c
d
D
2
D
=
2
D
54
D
=
2
D
2
D
3 5
D
2
45
(4.244)
=
D 2
4 3
44
55
e
f
D
=
3 4
53
33
Mengingat :
Q
4
Q
[K
=
33
5
Q
.1
]
3
[K
d im ana
33
]
[F
=
33
]
-1
l
D
l I
4
D D
t
5
)
3
maka dimisalkan :
A [K
]
B
G2
33" .
c
B
2
:..
2
2
D
2
E
-
2
(4.245)
(4.247)
1-I .- I !
(4.246)
2.
2
)
dengan pengertian :
G
=
2
dan A
I
�3'1 c
2
d f
2
2
2 2
2
2
b
e
2
b (b f 2
2
2
--
"
- -
)
2 a d
2 2
(4.247)
2
- a
2 2
2
2
- e2
- ( b f
=
2) e
(d f
2
B c
I
- a d 2
e 2 2
2
279
D
:::
c
2
2
2 2
E 2
=
-
H
=
c
2
- a2
f
( c
- a b
e
2 2
- b2
d
(4.248)
2 2
2
2 2
dan perhatikan kesetimbangan gaya-gaya.
Lihat gambar 4.37.
gambar 4.37. tampak frontal dari suatu ballok melingkar, dengan tiga fixed end forces pada masing-masing ujungnya.
Dengan memperhatikan juga gambar 4.36. :
0
L: Q 2 x
=
0
Q-
+ Q si na + Q (xsina-ycosa) + Q cosa=
L: Q Y2
=
0
Q
+ Q cosa + Q (xcosa+ysina) + Q (-si na) =
=
0
Q
I: Q Z2 Q
11
Q
10
Q
10 11
9
+ Q
3
4
5
3
4
0
=
3
=
Q sina + Q (
=
Q ( - cosa )
=
-
4
5
5
4
(4.249)
( 3 .
cosa ) + Q
+ Q ( 5
-
sina )
R
sina
+ Q R ( cosa 3
-
•
1 ) (4.250)
Q
3
9
B ila ditulis secara matrix : Q Q Q
10
ll
9
- cosa =
sina 0
-
R ( 1 - cosa) R si na
sina cosa 0
-
1
Q
Q
4
5
Q 3
(4.251)
0
l�
l
dan dapat dinyatakan sebagai :
'
Q
10
4
[A]
=
11
Q
(4.252)
5
Q
Q
3 .
9
dimana:
[A]
=
R(
- sina - cosa
- cosa sina
R
(4.253)
- 1
0
0
1 - cosa ) sina
Substitusikan persamaan (4.245) ke persamaan (4.252) :
D
Q
10
Q
[K ] .
[A]
=
11.
D
33'
D
Q
D
Q
10
Q
[K ] 43
=
11
Q
jadi
D
.
D
4
(4.255)
5
3
9
[K ] 4 3
[K ] .
[A]
(4.256)
33
k'
k'
k'
k'
k'
k'
k'
k'
k'
10.4
[K ]
(4.254)
5
3
9
tapi
4
G2
=
4 3
11. 4
94
10.3
10. 5
11.5
11.3
95
(4.257)
9 3
dengan pengertian :
k'
=
k'
=
A cosa
10.5
-
2
10.4 -
B
2
cosa -
B
D
2 2
sina -
c
sina -
E
2 2
R(1 -cosa) R(1 -cosa) 281
k'
- C
10.3
k'
"'
k'
•
A
11. 4
11. 5
B
2 2
2
sina -
k' 94
c
- E
k'
95
kI 9 j
-
H
B
- D
slna
E
C· s ina 2
k' 11.3
E
cosa 2 2 2
2
- H
sina
cosa -
c
cosa -
E R
cosa
- H
2
2
2
2
R(l-cosa)
R sina s
lna
R sina
2
2
(4.258)
2
Berdasarkan teorema resiprok : [K
34
)
(4.259)
Dan analog dengan f 13.1 [K
'+4
)
A
G;
- 8 c
- B
2
D
2
- E
2
c
2
- E
2
H
2
2 (4.260)
2 2
Dengan demikian selesailah sudah seluruh proses menurunkan ma trix [ K 1. Persamaan (4.25) dapat clituliskan secara lengkap sebagai berikut Q
Q
Q
1
k
Q�-
8
Q12 �4
----
0
---
Q
5
J
I
D
0
I
I
1
-1
------
I I
0
t 1
------
K 33
;
1
------
K
3
----· ----j: -----t-l ----·-1-- ---3 l 4 I l 0
282
12
0
I
I I ----- ...i-------rI ------4-- - --l ! I 0 I 0 I I K K I 22 I I 21 I I I
2
Q
11
K
1 I
1
1
0
I
I
K
·
I I
4
K
'+'+
D
l
2 D _0_5__
D
D
7 8
--12 04 D
5 0 _ _3_;,_ D 10 0 11 D 9
(4.261)
k
k
0.. � ::l
11 2
1
s k
0
0
0
k
[K]
k
61
71
k 8I
0
k
k
N 00 w
k
k
,, 3
53
62
72
k
k
0.. � '1:1 � ......
� '•
5'•
k
s
55
0
0
0
k
0
0
0
k
0
0
0
k
02 0
k
0
0
k
0
0
k
12. 1
�
k 33
k
0
k
�
22 0
Q
� ...... �.
k
12.2
9 3
I 0 ,3
11 .3 0
k
k
k
9'• 10. '• ll. � 0
k k
k
�5
�
lmetrl s
"'
�
� ::l "' ('!) 0" � (JQ �... ....
66
76
k
77
k tl6
67
0
0
k
86 0
k 99
10.5
11 5
()
0
0
k
0
0
0
k
•.
0
e: ......
k
12.6
k
12. 7
k
12.8
10. 9
11. 9 0
k
k
10. 10
11. 10 0
k
11. 11 0
k
12. 12
(4.262)
dengan pengertian :
k k k
11 =
21 =
22
k 33
=
k
=
k k k k k k k k k k k k k k k k k
284
=
43 =
44
k
D H
1
.E I
53 =
54 =
55
12 1 2
.E I
/G
A /G
61 =
62 =
66 =
71 =
72 =
76
k k
=
81
=
=
27
k
82 =
86 =
87 =
88 =
k k
D
E
2
B
2
1
2
/G
2
/G
2
C .E I
zz
E .E I
zz
1
zz
I
-
-
::::
67 zz
28 68 -
=
8
A cosa
+
8
+ D
l
(
1
cosa
( C cosa 1
+
sina
El
zz
sina
EI
zz
1 1
8
B
E sina
1
D
1
cosa
El
zz
1
cosa
EI
zz
C sina - E cosa
EI
sina -
1
1
1
1
B
zz
H
/ R3 G EI zz
1 2
IG
2
IR 3G 1 3 /R G 1
/ aR 2G El zz
1
A sina -
/ R 3G -
1
1
1
=
.E I
/aR 2G 1 2 /aR G
1
::::
78
RG
!R 3G
18
k 3 9
/G
1
26
k
/ R3G
l
2
16
17
k
2
45
k
zz
2
A .El
77
C
=
H .El
k
/ R 3G zz
=
D /G
1
B .El
2
k 3 5
2
=
/ R 3G 1
k 34
k
zz =
2
=
9 3
A
IR3G 1 IR 3G
1
I R 2G zz
1
1
ic k k
94
k
95
k
99
k
=
1 0 .3
k
k
1 c. 5
k
59
k
{- S cosa - D sina - E R 2 2 2
5. 10
k
k
k
2
4.
11." k k
11.9
11
5. 11
11. 11
k
2
k k 12.6
k
{B
2. 12
k
k
{A
I. 12
12. 7
7.
c 1
12
H
12. 12
Sclanjutnya :
A a
l
A
2
a
2
1
( cosa -
1
( cosa -
8. 12 1
.El
.E
- E
k 12.8
) } /G
zz
s/d
G
s/d
e
s/ d
G
s/d
f
2
2
Rsina
/G
1
I
2 2 2'
2
2
+ B sina - C /a}
( cosa -
1
{C 6. 12
k
2
/G
1 0. 11
12. 2
- cos a
E Rsina
- B /G 2 2
k
) } /G
- cos a )} /G
/G
9. 11
12. 1
k
2
D /G 2 2
k
·:osa
A si na - B cosa - c Rsina 2 2 2
- E /G
11. 10 k
H
- E cosa
B sina - D cosa 2 2
k
k
-
R
2
C sina 2
3 ; ll
k
2
C /G
9. 10 A /G 2 2
11. 5
H
E sina 2
A cosa - B sina - c R 2 2 2
{-
... l 0
k
11.3
2
( - c cosa 2
10.9
k
2
k 3 ; 10
k• 10. 10
k
E /G
H /G 2 2
k
l 0 ...
- C /G 2 2
49
1
EI
1
1
E I zz/R2G
+ D sina - E /a} +
2 /R G
1
E sina 1
- H
}E I
1
zz
/aRG
zz
1
2 /aR G
zz
.EI
/aR2G
zz
/aRG
(4.263)
1
(4. 2 I I)
14.:!641
l
persamaan (4.2 04)
(4::!65)
2
persamaan (11. 248)
14 266)
pe rsamaan
persamaan (4. 244)
(4.:!67)
185
5
METODE FLEKSIBILIT .\S __
5.1. INTRODUKSI.
Pada b ab 2 t elah disebutkan bahwa dalam analisa struktur dengan me tode matri x dikenal dua cara, yakni metode kekakuan (st iffness m et hod) dan m et ode fleksibilitas (flexi bility m ethod). Dibagian muka t elah dibahas m et ode kekakuan untuk analisa struktur, t erm asuk didalamnya c ara superposisi langsung. S ekarang akan dicoba untuk m em bahas m et ode yang lain, yaitu m et ode fleksib litas. B il a m etode kekakuan selalu m engam bil l en du tan pada titik bebas dari suatu konstruksi sebagai b esaran "anu" y an g harus dicari , m aka m etode fleksibilitas sebaliknya m engam bil gaya sebagai b esaran "anu" yang harus dicari (Hal ini akan j elas t erlihat pada penggunaan m etode fleksibilitas untuk analisa k onstruksi statis tidak t ertentu). M etode fleksib ilitas sebenarnya sudah dikenal sejak tahun 1886, dan dikenal sebagai m etode gaya (Force m ethod), sesuai dengan b esaran yang akan dicari dalam proses analisa. D engan dikemb angkannya komputer elektronik otom atis, m ak a m etode ini m enjadi b erkem b ang pesat sesuai dengan kebutuhan. B erhubung dengan hakekat dari m e tode fleksib ilitas ini, m ak a analisa akan dimulai dengan "gaya", yaitu kesetimbangan gaya. Oleh karenanya struktur dasar dari c ara analisa ini ialah suatu konstruksi yang statis t erten tu. Hal ini adalah b erb ecla clengan cara analisa m enggunakan m et ocle kekakuan yang m engam b il sebagai struktur dasarnya suatu konstruksi yang kinem atis tert en tu . Tahapan-tahapan y ang telah clisinggung pacla pasal 2.1, juga tetap mendasari cara analisa ini. Tiga tahapan tersebut ialah : kesetimb angan gaya Juar clan gaya clalam. hubungan antara gaya clalam clan cleformasi elemen struk tur. kontinuitas clari deformasi a tau kom patibiliti. 5.2. DASAR PERHITUNGAN.
S esuai dengan tiga tah apan di atas ini. m aka akan dijumpai beberapa matri x sebagai b erikut :
( 1 ) . M atrix statis [ P] . suatu m atrix yang m enya takan kesetim bangan . antara gaya dalam clan gaya luar.
{ H}
=
dimana : - { H} --
[P]
(C}
[ P ] . { Oj
(5. I)
m enyatakan gaya dalam elemen adalah m atrix statis m enyatak an gaya luar yang b ekerj a dit itik diskrit 289
( 2 ). Matrix sirat bahan [ M ] , y aitu suatu m a trix yang m emenuh i Hu
kum Hooke . y ang m e n y at akan hubungan a ntara d e form asi dan gay a dalam .
{ d} dimana
:
=
(5. 2 )
[ M ] . { H}
meny atakan d e form asi y ang t erj adi pacta ele m e n d i-titik diskrit adalah m at rix si fat bahan menyatakan gaya Llalam elemen
{d} [M] {H}
(3 ) . Matrix kom p atibiliti [ r ] , yaitu sua tu matrix yang menyatakan
hubungan antara lendut an dan d e form asi , d im an a dinyatakan p ad a d e form asi elemen h arus dipaksakan suatu kead aan kom p a tibiliti, yaitu elem en-elem e n diskrit h arus m asih berhubungan satu sam a l ai n sehingga dengan demikian masih b isa mewakili struktur yang sebenarnya.
dimana :
{ D} { D} [r] { d}
=
[ r ] . { d}
( 5.3 )
menyatakan lendutan dititik diskrit adalah m at rix komp atibiliti menyatakan d e formasi elemen dititik diskrit
B ila tiga m a t rix d i atas dihubu ngkan kem b ali, maka akan didapat hubungan
{ D} { D}
[r ] . { d} =
{ D} { D} { D}
= =
[r ]
( [ M ] . { H} )
(5 .4)
[ r ] [ M ] ( [ P ] . { Q}
(5. 5 )
[r ]
(5 .6)
[M]
[ P ] { Q}
[ F ] . { Q}
(5 . 7)
d imana [ F ] ialah m atrix t1e ksibilitas dengan pengertian
[ F]
[ r. ] . [ M ] . [ P ]
(5.8)
Tel ah d ikatakan di atas, bahwa kom patibiliti ialah satu syarat yang harus dipenuhi oleh suatu struktur. bila mem ang dikehendaki satu keadaan yang dapat m e w akili stru ktur yang sebenarn ya. Dalam keadaan syarat kompatibiliti ini dipenuh i . m aka ke rj a luar yang dilakukan oleh gaya-gaya luar virtuil yang b e kerj a pada stru k t ur hams sam a de ngan kerj a dalam yang dilakukan oleh gaya d alam struktur 290
tersebut dengan satu catatan bahwa kesetimbangan memang terjadi dalam struktur itu.
Q�'<
H�'<
D
•
•
(5. 9 )
d
dimana tanda [ * ] m enyatakan besaran virtuil . Bila persam aan (5 . 9 ) dinyatakan secara matri x , bisa dituliskan :
{ Q*} T { D} dimana { Q�'<}
{ H�'<} T { d }
=
(5. 1 0'\
ialah matrix yang menyatakan gay a 1uar virtuil
{D}
ialah matrix yang menyatakan 1endutan aktui1
{ H ,•, }
ialah matrix yang menyatakan gaya dalam virtui1
{ d}
ialah matri x yang m enya takan deformasi a ktuil .
Karena telah dikatakan dalam ha1 ini syarat kesetimbangan harus di penuhi maka akan terdapat hubungan sebagaimana dinyatakan pada persamaan (5. 1 ) :
[P]
{H,'<}
{ Q�'<}
( 5. 1 1 )
Juga karena dipenuhi syarat kompatibiliti, maka akan dipenuhi pula hubungan sebagaimana dinyatakan pada persamaan (5. 3 ) :
{ D}
=
[ r]
(5. 1 2 )
{ d}
Bila persamaan (5 . 1 1 ) dan (5. 1 2) disubsitusikan ke da1am persamaan (5. 1 0) maka akan didapat hubungan :
{ Q"'} T
{ Q* } T
[ r]
{ d}
[r]
{ d}
=
T . ( [ p ] { Q*} ) { Q *} T . [ p ] T .
{ d} { d}
(5. 1 3 ) (5. 1 4 )
Dari persamaan (5 . 1 4 ) dengan mudah didapat :
( r)
=
[P]T
(5 . 1 5 )
S ekarang persamaan (5 . 8 ) dapat dituliskan sebagai :
[F) dimana [ F ]
=
[P ]
T
[M]
[P]
( 5. 1 6 )
menyatakan matrix t1e ksibi1i tas
[ P]
menyatakan matrix st atis
[M]
m enyatakan mat rix sifat bahan 29 I
Jadi, seb agai kesimpulan d apatlah dikatakan, sesuai d engan y ang ditu liskan pada persam aan ( 5 . 7), matrix fleksibilitas [ F ] sebenarnya m e ngandung komponen-komponen fij yang m en yatakan b erapa b esar lendutan t erjadi d ititik i akibat d ikerjakannya gaya satu sat u an diti tik j . Untuk j elasnya baiklah dilihat contoh-contoh pada pasal d ib awah ini. 5.3. APLIKASI PADA KONSTRUKSI STATIS TERTENTU.
Dibawah ini diberikan b eb erapa contoh soal penggunaan m etode flek sib ilitas untuk analisa konstruksi statis t ertentu. Contoh 5. 1 : El
4
2 X
3
L
(a) balok lurus atas dua perletakan
�1 (b) vektor gaya-lend utan d ititik d iskrit
(c) d iagram momen seb agai muatan pada b alok, se bagai akibat gaya satu satuan b ekerj a d ititik 1 .
~ t R� t Ri ( d ) diagr am m omen seba gai mua tan pada b alok , se baga i akib at gaya satu sat uan b ekerj a ditit ik 2 . 29 2
G am b ar 5 . l .(a) menunj u k kan satu balok sederhana terleta k atas d u a t umpuan A d a n B. Diminta m en urun kan m atrix fleksibilitas b erhubung b ekerja nya gaya-gaya vertikal pada t itik 1, 2 dan 3 secara langsung, dan j uga m enghitung len dutan d ititik 1 , 2 dan 3 a kibat pem b e b an an seperti gambar 5 . 1 . (e). Peny elesaian dapat di1a ku kan d engan j alan m enghitung len d u tan dititik-titik 1 , 2 dan 3 akibat gaya satu satuan diker j ak an dititik 1 , 2 dan 3 sec ara b erganti-ganti, sesuai d engan m akna dari fleksib ilitas.
j3000 kg
.A
l
f
(e) Gaya l u ar bekerj a pada titik l d a n 2 Gam bar 5 . 1 .
balok l urus atas du:.� tum puan yang dianalisa secara m etode tle ksibilitas.
D i b awah ini a k a n nHtlai d icari kodisi e n tl e ksibilitJs fij , d e ngan penger t i an fij ialah lendutan yang terj ad i d i t i t i k i akibat bekerj a n y a gay a satu
satuan dititik j . A n alisa d im u lai de ngan m em berikan gaya satu sa tuan yang dikerjakan dititik l . Melihat gam bar 5 . 1 .(c ) . d iagram bidang m om c n dikerj akan sebagai gaya pada balo k A B.
El
RB 1
¥ L 2 ft L 2 % L2
f1 1
RA
-
=
f1
6
8
3
1
1i
L -
'
=
-§- L 2
.
l
3
L
L3 L3
IT
=
293
El
f3 1
=
I
l L - - L 2
RB '
=
7
T2
L
7
L
4
1 L 3
L
3 3
T2 IT
f3 J
Sekarang gaya satu satuan diberikan be kerj a d i titik 2 . Untuk p roses perhi tungan perhati k an gam b ar 5.1 ( d ). .
E l fl2
=
f12
=
E l f zz f2 2
2
L
T2
L
_!_ L 3
3
El
2
2 L L
4 3
=
_!_ 2
l .L - - L 2
1 1
L
f3 2
f 32
L
I
- 2
2 L
L
l l 3
3
IT
f12
ka r e n a s i me t r i L3
I 1
TI IT
=
Terakhir dike rjakan gay a sa tu satuan pad a titik 3 . f
f
f
294
f
l3
7 IT
l3
23
=
f
( teorema resiprok dari Maxwel!)
31
32
L
3
IT =
l l
L
3
T2 IT
..,
f
33
=
f33
=
f1 3
s
( ka re n a
J
i me t r i
L3
IT
1j
D engan dcmikian sudah dapat disusu n m at ri x [ F ]
[ F)
3
==
L T2ff
9
1 1
7
1 1
16
1 J
7
l 1
9
I
I
t
t
d i be r i ka n gaya 1 s a t ua n d i ti ti k
�
l en d u t a n d i t i t i k 2
�
1 en d u t a n d i t i t i k 3
t
d i be r i kan gay a l s a t ua n diti tik
d i be r i kan g ay a 1 s a t ua n diti tik
1
I � l en d u ta n d i t i t i k
3
2
Selanjutnya akan dihitung lendutan y an g terj adi aki bat p em bebanan seperti g a m bar 5 . 1 . ( e ). Menurut persam aa n ( 5 . 7 . ) :
Ql
l
� I 3 )
Q2
=
=
I )
Q
1 \f D
D
l
1
Il
=
L3
T2IT
o,z D
l
: 0 l
)
I
[ F ) { Q}
1/ 23000000 lf 10
{ D}
M e n u rut gam ar 5. 1 . ( e ). :
=
L�
EI
_ __
[ I:
l
7
lf250
1 1 16
11
)
7
11
9
)
[
2000 3 l
00 :I )
58 33, 3
39 1 6 , 7
I
295
Jadi
D
D
Contoh 5 . 2
1 =
2
3
D
4 2 50 L
3
5 8 33 , 3 L 39 1 6 , 7 L
I El 3 3
( + )
I El I
El
+
+
Pada p e rsoalan balok d i atas, h i t u nglah berapa gaya y a ng cl i perlu k an b e ke rj a u i t i t ik I . 2 d an 3 u n t u k m e m b erik a n p acla t i t i k I uan 2 l e n d u tan sebesar I satuan m asing-masing kcatas u :J. n k e baw ah . sedangkan t i t i k 3 d i pert:1hankan kedudukannya.
l )
Q
Q
- 19 , 3 E l I
l =
2
Q 3 Cont oh 5 .3 . :
=
23 , l
-13,3
( t )
L3
(
1-
(
t
E I /L3 El
I L3
3000 \
@
1 3. 00
I
El
A
4 . 00
4 . 00
B I
Too ---r-
(a) portal yang akan d ianalisa.
o,
CD
( b ) v e k t o r l e n t.l u tan y a n g Ji cari . 0 1 d a n 0 2 1 D 1 k n d u t a n l i ne ar. 0 2 k n d u ta n p u t a n 297
Q1 = 3000 KG
( c ) ve k t o r gaya. dan D, .
Q 1 d a n Q: . y a n g ko resp o n d i n g d e n gan D 1
( d l d iagram m o m e n b il a gay a vert ik al titik 1 sesuai d engan gam bar ( c ) .1.. 2
( e ) d iagram m o m e n b ila gay a m om en d i titik 2 sesuai d e nga n garn bar ( c l
l
sa t u a n d i k erj ak a n c! i1
17?77
�a tuan d i k c rj a k a n
l
( f) v e k t o r gaya d a l am d a n d e form asi G a m b ar 5 . 2 .
p or t a l s t a t i s t e rt e n t u .
Gam b a r 5 . .2 . m <: n unj u kk a n s a t u k o n s t ru ksi p ortal s t a t i s terte n tu . y a n g ingin d ic a r i besar l e n d u t a n vert i ka l dititik titik 2.
1
d a n p u taran su d u t d i
Sesuai d e n gan tahapan y a n g d ip e r l u k a n u n tu k a n a l i sa d e n ga n m e t ocl e tle ks i b i l i t as. pert a m a p erlu d i c ari m at ri x '> t a t i s [ P ] .
( c ) d an ( f) . d e n ga n m u d a h a k a n b isa d i
�le l i h a t p a d a gam bar 5 . 2 . i d ) . t ur u n k a n m at r i x [ P ] .
[P ]
0
0
- 2
+ -
2
+ 2
2
1 I
H
l
Hz
H :?
=
0
+ 1
H4
0
0
Hs
0
0
t
Q
l
t
Q
)
Hs
2 299
Selanj u t n y a dicari m atrix sifa t bahan [ M ] . Untuk analisa portal. pada umumnya d itiap elemen clari portal b ek e rj a tiga m acam gaya cl alam . yaitu gaya norm a l . gaya lin tang d a n gaya m o m e n . Berhubung cl e for m asi geser itu cukup kecil hingga bisa diabaikan . m ak a d e form asi yang sering d ip e rhitu ngkan pada satu portal bidang umumnya ialah defor m asi n orm al d a n d e fonn asi m o m e n .
/�,:rH, � H3
�------�L---�·
Gambar 5 . 3 .
:
elemen balok statis tert e n t u .
Gam b ar 5 . 3 . m e nu njukkan satu e l e m e n b a l o k statis terte n tu . d e n gan 3 gaya dalam H1 sebagai gaya normal clan H 2 , H3 sebagai gaya m o men, m asin g-masin g m e n i m bulkan d e form asi d 1 d a n d 2 , d 3 . Menuru t teori elas t isitas : H L
d2
�
( 5 . I 7)
1
dl
__
AE =
H L
H L 2
_3_ 6E I
3E I =
-
2
H L
H L 3
+
__
6E I
(5. 1 8)
(5. 1 9)
3E I
Bila d i nyatakan secara matrix : d
1
d
2
d
3
a tau 300
{ d}
LI I
I
/
I
L
AE
0
L
6fl
0
3fT
0
6E I
[M]
L
i
{ H}
I I
0
L
L
3E
I
l I
j
H H
1
2
(5. 20)
H )
\.
3 ( 5.2 1 )
dimana [ M] i ialah matrix sifat bahan dari satu elemen balok lur1s vang menderita bekerjanya gaya normal dan momen lentur.
L
AE
[M) .I
0
=
0
0
L
L
3E I
L - bET
0
(5.22)
6E I
L
3E I
Untuk balok dimana deformasi normalnya diabaikan, maka matrix sifat bahannya m enjadi lebih sederhana.
[M] .I
=
-
L
L
3IT
bET
L
L 3IT
6E I
(5.23 )
Sedangkan matrix sifat bahan sec ara struktural [ M ] untuk satu struk tur dengan n buah elemen dapat dituliskan sebagai :
[M ]
[M ]
1
' '
\.
\.
[M]
.? '\
'\'
[M]
=
3,_ '
\
\. '\
(5. 24)
' '
[M ] .
'J \
'\ \.
\. '\ \ '
.
fM ]
n
30 1
.
U nt u k k o n s tru ksi portal b i d a n g sep ert i gam bar 5 .:: . m a trix sifat bahan secara struktural m erupakan superposisi d ari m at ri x si Lt t bahan d ari elem e n -elem e n ny a .
-: r�-3�,� --���-1 11 I
I I
[ M)
L
1
_
l
1
1
_
_ _
_
0
I I
I
3E I
_
i
I
L
L
l i- 6 E I
I
1
1
_:__!__j
-- ---2 \
r --
I
I
I
0
==
I 11 I
3
L
-
E I 2
2
2
(
-
1 '25
1 '25
- -
..,
E I 2
L E
2
2
I
0
! r - - - - - - ---r 1
-
I
I
2
-
I
�
L
3 E I3 3
-
1
1
0
3
0
2
4
L
'
6 E- I 3
l
0 -
2
2
2
0
2,5
0
1
6
0
2,5 -
,
L
3
2 rr -�-
0
0
302
2
-
L
,____
l
0
2
- 1
- 1
2
5
6
3
2
3 4
5
6
1
I
l t\a t r i x f l e k s i b i l i t a s :
[ F]
=
[P ]
T
[ t1 ]
[P]
2,5
-
- 1 ,25
[M] [P]
2
3fT
- 5 2 3E!
[F]
=
(P
- 2
2 -
1 2 l 2
- 2 2
0
2 0
0 2
1
0
0
0
0
- 0 , 62 5 1 , 25 - 2 2,5
0
0
0
0
] T [M] [P]
=
(F]
4
-
- 1
0
2,5
-
2
0
0
0
0
2 ,5 0
l =
1 ,25
r_ 2 3E
I
2,5 5 4
- 2
- 0 , 625 1 , 25 - 2 2 ,5
0
0
0
0
2
3IT
303
l
Lendutan yang diminta :
{ D}
=
{ Q}
=
{ D}
{:J [ F ] { Q} 3 00
[_
2
=
3E I
{ :J= [_ 1
ET
D1
=
D2
=
-
-
14
6
:
5 4 1 25
6,5 2 8000 1 3 000
l
{3l :00 }
�
J
28000/E I
( ,._ )
1 3 000/ E I
( .{1 )
Untuk menghitung gaya dalam ( momen lentur) pada elcmen portal, dipakai hubungan :
{ H}
=
( P J { Q}
0 - 2
{H}
304
=
2
0 l 2 I 2
0 0
0
0
0
{ 3:00 }
11
H
0
1
- 6000
2
6000
H
3
H4
0
H
5
0
6 ·
0
H
Da r i
[ kg m ]
=
has i
l
d i a ta s
dapa t
d i ke t a h u i
0
MA M
ti t i k
M
ti t
=
ik 2
Ms
6000
kgm .
0 =
0
Con toh 5 .4 : 3 1DN
3 TON 3
2
,7;77
7
8
B
9
: .t.. OO I
A
�
_L
5
6 '/
3 TON 3 . 00
-l
3 .00
-t
3. 00
3 . 00
3 . 00
( a ) . rangka b a t a n g s L1 t i s tcrten t u yang akan dianalisa . A E k o n s t a n = 1 5 . 00 0 t o n . 305
B
A
( b I. v e k t or gay a-lcn d u t an p a d a t i t i k b c b a s . 1 satuan
-3
-2
+
( C l.
gay a
l
6
sal u s a t u a n d i t i t i k
1.
1 ..V
-2
\
I
+i
...,
-8
t
'
2
+
6
5
( d ) . gay a sa t u sat u a n d it i t i k 2 .
1
sa.t u a n
9
/ /1 '
I ...
-9
-8
+
5
-3
- �,1.
3 5
-2
_,
- 3
I
T2_
�1
5
�r2 5
·4
.. 8
7
satuan
( e ) . gay a sa t u s a t u a n d i t it ik 3 . - 3
- 2
.. 7
-1
-8
9
+6
1
T I� I
. ..
5
sat u a r,
fi. g a y ;; s a t u SJ ! u a n d it i r i k ..:
S esu a i cl e n g a n t a i l a p a n y a n g t cl a h d i s c b u t k an cl i m u k a . perta m �!-Lllll �t d i t u ru n ka n m �1 t ri x s t d t is [ P l
yaitu
m a t ri >. y a n g m c n y at a k a n h u b u n g
a n g a y a d al :l m d a n g�1 � a l u :J r . �: t au j e Lts n y a i al a h m c n y a t ak a n besa rn y a gay a-ga�·a
b� 1 t a n g
��k : b:l t
dititi k bcbas.
b e kei�i a n y �!
gaya
l u a r sebcsar satu
sa t u an
Lihat gam b a r 5 . 4 . ( c ) . g�1 y a s a t u sa t u a n b e k c rj a d i t i t i k 1 . A k a n d e n ga n
m u d ah cl i t e n t u k a n h a rga { P i J } . y ai t u besarn y ;: g a y a b a t an g p a d a b a t a n g k e-i a k i b a t g a y :J satu s a t u an b e kc 1j a p a cl a t i t l k 1 .
p p
=
11 2l
=
- 1
9
- 20
307
p3 1
1
p 41
4
==
p51 D ' 5
3
- 20
==
6
20
==
l2 2.0
==
1
1
- 1i
p71 p 81
p
91
1
4
==
1 - 4
==
An alogi u n t u k gam bar 5 .4 . ( d ) :
p1
2
= -
12 20
p 22
p 3 p p p p p p
308
2
42
==
=
52
=
72
=
92
_ ,L 20
t
18 2o
52
82
2 4
6
2o 2 4 2 4 3
4
Demi kian pula u nt u k gam bar 5 .4 . ( e ) : p
=
l 3
3 - 1\ 18 20
p 2 3
6 20
p 3. 3
2
4
p 4 3 p
=
'5 3
12 20 9
20
p E 3 p
=
7 3
3 4 2
1\
p 8 3
2
- 1\
p 9 3
Terakhir untuk gam b ar 5 . 4 . ( f) :
pl p
=
24
p 3 p
p
=
4
=
=
54
6
- 20 12 20
4
44
1
- 1\
a --'
20 3 09
3
p6
4
p7 4
p p
20 1
4
=
1
84
- 4
=
1
4
=
94
D e ngan dem ikian akan tersusun m atrix statis [ P ]
[P]
1 = 2o
I : ':
I: , j Il
gaya lua1 satu satuan bekerja dititik
-
s 5
+
l-
t
5
l
- 10
- 15
-
-
-
- 12
-- gaya ba tang pada ba tang 3
+
9
� gaya ba tang pada ba tang 5
+
5
- gaya ba tang pada b a tang 7
- 12
9
+ 15
- 18 6
+ 10
+ 18
+ 12
+ 10
+ 15
- 15
- 10
+
6
10
+
9
+ 10
5
-
6
3 5
+
i i
2
3
5
gaya batang pada ba tang 1
-:---- gaya ba tang pada ba tang 2 � gaya ba tan g pada ba tang 4
+ 20 +
--
�
)
gaya b a tang pada ba tang 6
� gaya ba tang pada ba tang 8
- gaya batang pada ba tang 9
4
Selanjut nya diturunkan matri x sifat b ah an [ M ] . Sesuai de ngan d e finisi m atrix [ M ] , y aitu m e ny atakan besarn y a de form asi pada eleme n akibat be kerj anya gaya dalam elemen sebesar satu satuan . m ak a pada elemen rangka batang d e form asi yang terjadi h any alah m erup akan d e form as.i. axial saj a, yaitu d e form asi akibat be kerjanya gaya norm al (gaya batang) yang m engiku t i H u kum Hooke
lil
=
HL
AE
J adi untuk H = 1 satuan : 3 10
(5.25)
[ H ) .I
L.
(5. � 6)
I
=
A. E . I
I
Dengan demikian matrix [ M ]
2
L,
0
AT 3 3
4 5
[H]
6
0
7 8
Lg
2
1
'" 150
4
7
8
9
A9E 9 9
5
0
0
0
0
0
0
0
0
6
0
0
0
0
0
0
0
0
0
6
0
0
0
0
0
0
0
0
0
5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
6
0
0
0
0
0
0
0
0
0
6
0
0
0
0
0
0
0
0
0
5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
5
7
0
3
5
6
7
8
9
9
311
De ngan dituru n kannya m at rix [ P 1 dan [ M ] , m aka sudah dapat d ihi tung m atrix fle ksibilitas [ F ] .
[P] T [M] ( P ]
[ F]
5 6 6
1 )0
I
3000
l [ F]
I
2o
60000
5
5
- 25
- 72
- 1 03
- 36
18
- ;4
-
25
75
36
1 08
72
36
54
72 -
-
25 25
-
25
-
75
50
50
75
-
50
50
-
50
.
- 3
5
6 12
-15
- 5
-12
- 9
-18
- 6
- 6
-12
15
10
20
18
12
9
9
6
-10
-15
5
- 75
36
r
- 10
10
- 50
5.4
.,.
1
0
- l OO
=
6 6
l
312
5
I
[ M] (P ]
.()
- 20
- 9
5
10
- 5
-10
72
l OO 54
13
25 -
25 25
[ P ] T [M] [ P ] 4 1 20
3 1 40
4035
1 70 5
3 1 40
7260
5 740
4035
4035
5 74 0
7260
3 1 40
1 70 5
4035
3 1 40
4 1 20
cm/ ton
3
15
]
5
I
, Dengan dihitungnya matrix [ F ] , maka segera dapat dihitung lendutan dititik bebas akibat bekerjanya gaya { Q }.
{ D}
[ F ] {Q}
=
Dl 1
Dz
6oooo
=
� D
4 1 20
3 1 40
40 35
1 70 5
3
3 1 40
7260
5 740
40 35
3
40 3 5
57 40
72 60
3 1 40
3
1 705
40 3 5
3 1 40
4 1 20
3
4
39000
D1
03
6 0525
04
01 Oz
l 0 , 65
[cm)
( .}
=
1 ' 00 8 75
[ cm]
( -j.
l , 00 8 75
[ cm ]
(
i-
0 , 65
[ cm ]
(
.}
3 =
4
3 9000
=
D
D
60525
1 60000
Dz
Untuk mendapatkan gaya batang, d ipakai persamaan ( 5 . 1 . ) sesuai de ngan tahapan yang pertam a : 313
{H}
[P I
H
-20
-10
-15
- 5
H
- 9
-12
-18
6
- 3
- 9
I' 0
-12
5
15
10
20
6
18
12
12
6
- 5
2
H 3 H
4
H
5
H
6
H H H
1 20
7 8 9
H H H H \
314
H
9
3
10
15
5
5
-10
10
- 5
- 5
-15
-10
5
- 7,5
\
- 6 ' 75 - 4 ,5 7,5
4
6 , 75
5
4 ,5
6
3 , 75
7
0
8 9 r
'
- 3 , 75
3 3 3
9
I
r :: H 3 H
-
)
[ ton ]
3
I
j
J
l Contoh 5 . 5 : Bila konstruksi pada gam bar 5 . 4 . d i pegang sedem i kian rupa seh ingga
pada titik 1 dan 2 tidak terjadi lendutan vertikal. sedangkan pada titik 3 dan 4 dii nginkan teijad i lendu t an m asing-masing 1 cm kebaw ah dan I /2 cm ke atas , m ak a un tuk m encari berapa b esar gaya yang h arus d i kerj akan dititik bebas agar menim bulk a n keadaan seperti yang di m i n t a , matri x yang didapatkan pada so a l 5 .4 dapat dipakai.
{ D} [ Ff
1
{ D}
{ Q}
:::
=
=
[ F ] { Q}
[ Ff [ F]
- 2
D4
I
:::
I0
-
3 , 208
6 , 547
- 5 , 36 2
- 3 , 66 9
0 , 04 1
6 , 40 4
- 3,51 5
- 3 ' 6 30
I , 85 1
- 1 3 , 2 47
9 , 48 1
6 , 542
3 ' 72 3
- 2 , 99 5
0 , 06 8
3 , 2 08
6 , 547
- 5 , 362
- 3 , 66 9
0
0 , 04 1
6 , 404
- 3,515
- 3 , 6 30
0
I , 85 1
- 1 3 , 24 7
9 , 48 1
6 , 54 2
3 ' 72 3
- 2 , 99 5
0 , 068
0 , 06 6 { Q}
=
[ F]
-1
{ D}
/
=
10
{ D}
0
=
�
[F]-
-1
[ F ] { Q}
0
Dl D2
1
-
0 , 06 6
I
315
Q
Q
-
1
2
Q
=
Jad i
6,21
Q
l 2
Q
3
Q
-
4
Q
4
1 '7
10
3
Q
3 , 5 2 75
'
=
-
=
-
=
=
-
3 , 029
35 , 275
to n
t
17
ton
t
62 ' 1
ton
+
30 , 29
ton
t
5.4. APLIKASI PADAKONSTRUKSI STATIS TIDAK TERTENTU.
Didepan telah dibahas metode fleksibilitas untuk analisa konstruksi statis tertentu. Sekarang akan dibahas analisa konstruksi statis tidak tertentu dengan metode fleksibilitas. Scbelum sampai pada penjabaran proses analisa, perlu kiranya d ike tahui, bahwa sebagaimana telah disinggung dibagian depan, struktur dasar dari analisa dengan metode fleksibilitas ini ialah satu konstruksi statis tertentu. Maka untuk konstruksi statis tidak tertentu dengan derajat yang tinggi , m etode ini m enj adi tidak begitu praktis lagi, , karen a besaran ,. anu" yang ingin dicari, dalam hal ini redundant, menj ad i cukup banyak sesuai dengan derajat ketidak tentuan statis dari strukturnya. Dengan demikian , untuk suatu konstruksi statis tidak tertentu derajat tinggi, mungkin akan menjadi lebih p raktis bila dianalisa dcngan metode k e kakuan, terlebih untu k suatu struktur dengan dcraj at ketidak-tentuan kinematis yang kecil. Namu n kiranya tidak ada salahnya b ila di sini juga d ibahas p enggunaan metodc fle ksibilitas ini untuk konstruksi-konstruksi yang statis tidak tertentu. Di bawah ini akan dip e rk enalk an dulu bcberapa no tasi yang akan d ip akai p ada p roses analisanya.
{ Q} { R} ] [M ] O [P
3 16
= = = =
matrix matrix m atri x matrix
gaya luar gaya redundant sifat bahan statis pada konstruksi s tatis tertentu akibat be ker j anya gaya-gaya luar
[ P' ]
=
[ HO]
=
[ H' ]
=
[ dO ]
[ d']
r r-:- o ]
=
=
=
=
{d}
=
=
r *J
matrix t1e ksib ilitas pada c l em e n-elem e n konstruksi 'it:ltis terten tu akiba t b e kcrjanya gaya-gaya luJr u n tuk lcndutan y a n g kore3ponding d eng;m vekt o r redun dant m a t rix 11e ksib ilitas pada dem en-elem e n k o nst ruksi s t a tis
dant. m atrix lendutan p ad a c l e m e n-ele m e n konstruksi statis tert e n tu akibat be kerj anya gaya-gaya l u ar. dimana vektor lendutan koresponcling de ngan vektor gaya redundant matrix lendutan pada elem e n-ele m en konstruksi statis tertentu akibat be kerj anya gaya red u nd a n t . dimana vektor lendutan k oresponding d engan vektor gaya redundant m at rix gaya d al am pada elemen-e l e m e n konstruksi statis tak t e n tu sebagai akibat be kerjanya gaya-gaya luar m atrix yang m enyatakan d e form asi yang terj adi pada elemen-elemen kons truksi statis tak t e n tu se bagai a ki b at bekerjanya gaya-gaya luar m at rix statis p ad a elem en-elem en konstru ksi statis tak tentu se bagai akibat b e ke rjanya gaya-gaya l u ar matrix fleksibilitas pada konstmksi statis t a k ten t u dalam
[F]
{ D}
tert e n t u akibat b e ke rj anya gaya-gaya luar m at rix gaya dalam p ad a elcmen-elem en konstruksi statis tert e n t u akibat bekerj anya gaya redundant m a t rix yang m en yatakan deform asi pacta elemen-elemen konstruksi statis tertentu akibat b e kerj an y a gaya gaya luar m atrix yang men yatakan de formasi pada elem en-elemen
tertentu akibat bekerj anya gay a re dundant untuk kndutan yang koresponding clc ngan vektor redun
{H}
[P]
gaya redundant m a t rix gaya dalam p acta elemen-elem e n konst ruhi statis
konstruksi statis tert e n tu akibat l..J e k c rj a n y a gaya gaya redundant
[ F"]
{DR'}
m at rix statis pada konstruksi statis terten tu akibat bekerja-
=
=
hubungan dengan lendutan clan gaya lu ar dititik bebas m a t rix lendutan pada konstruksi sta t is tak tentu yang koresponding d engan vektor g<Jya luar dititik bebas me nyatakan besa ran virtu il
Sesuai d engan sifat dari struktur d asar pacta a na! isa d engan m e n gguna-
317
kan m e tode fle ksibilitas ini, maka l angkah p ertama y ang harus dilaku kan ialah menjadikan konstruksi t ersebut m enjadi suatu ko nstruksi statis tertentu, d engan j alan m enghilangkan beberapa "anu " dan m en j ad ikan redundant yang nantinya akan d ic ari. Secara sistimatis langkah yang harus ditemp uh ialah se bagai berikut
:
( 1 ) . Turunkan m atrix [ P0 ] , yaitu matri x statis pada konstruksi statis
tertentu, akibat bekerj anya gaya-gaya l u ar yang sesuai d engan vektor bebas, yang memenuhi hubungan :
(5.27) ( 2 ). T urunkan matrix [ P ' l , yaitu matrix statis pad a konstmksi statis terte ntu , seb agai akibat d ari bekerj anya gay a-gaya red undan t , yang m em enuhi hubungan :
{H ' }
( 5 . 28 )
[ P ' ] . { R}
(3). Tentukan m at ri x sifat bahan [ M ]
(M] z' [M ]
==
0
'
0 '
'
'
' [ M ] .I
'
'
(5. 2 9 ) '
'
'
'
'
( 4 ). Tentu kan m a t ri x fle ksibili tas pada konstmksi statis tertentu aki
bat b ekerjanya gaya-gay a luar yang sesuai de ngan vektor bcbas. untuk lendutan yang koresponding dcngan ve ktor red u ndant. yaitu matrix [ FO ] :
( 5.30) Persam aan d i Jtas dapat dibu k t ikan d e ngan p rinsip kerj a virtuil.
{ R:�} T { O R } I
=
ko re s p on d i n g
3 18
ko re s p o n d i n g
==
==
( 5 ). Tentukan m at rix fleksibilitas pada konstruksi statis t ertentu aki b at b ekerj anya gaya-gaya redundant untu k l e ndutan yang koresp on ding dengan vektor redundant, y aitu matrix f F ' ]
[F1 ]
[P 1 ]
==
T
[M]
[P 1 ]
(5.3 1 ) .
Persam aan di atas dapat dibuktikan d engan p rinsip kerj a virtuil .
{ R,�} { R,�} { R;�} J ad i
T T
•
{ D R_}
==
T
. {d I}
( [ P 1 ] { R'�} )
{ D R} [ F I ] { R} [F1 ]
{ H I ;�}
==
==
{ R ,., }
T •
[P 1 ] T [M]
[pl ]
T T
[M] { H 1 } [ M ] [ p I ] { R}
[P1 ]
(6) . Se bagaimana y ang telah d ijelaskan dibagian depan. akan terdapat hubu ngan h u b un ga n sebagai beriku t : -
(5.32)
{ DR 1 }
=
[ F1 )
1
. { R}
(5 .33 )
d i m a n a { D R 0 } d an { D R: } i alah l e n d u tan pada konstruksi statis tertentu yang kores pond ing dengan vektor red undan t . Mengingat sy ara t kom patibiliti p ad a konstruksi sta tis tak tentu , yaitu dalam arti k at a tidak ada lendutan yang korespo n ding d engan vektor red undant terjadi pada konstru ksi y ang sebenar nya, maka : 319
( 5 .3 4 ) (5.3 5)
0
[ F ' ] { R}
{ R}
=
-
[ F1 ]
-1
[ Fo ] { Q}
(5.36)
D e n gan d em i kian gaya redu n d ant sudah d a p a t dihitung. (7) G :: y a d alam y a n g s e b e n�1rnya be �crj a pada eleme n stmktur. yang d inyatakan oleh m at rix { H } d ap at d in y a ta k an se bagai : { H}
fH"}
+
( 5 . 3 7)
{H I }
M elihat p ad a p ersam aan ( 5 . 2 7 ) dan ( 5 . 2 8) : +
[ P 0 ] { Q}
{ H}
[ P 1 ] { R}
Substitusi k an p e rsam aan ( 5 . 3 6 ) ke p e rsamaan ( 5 .3 8) : { H} { rj }
=
.
=
[ p 0 ] { Q} + [ p I ]
(- [FI ]
•
-
l
[ F 0 ] { Q} )
( [ p 0 ] - [ p I ] [ F 1 ] 1 [ F 0 ] ) { Q} -
(5 39) .
( 5 .40)
M en gi n gat p ersam aan ( 5 . 1 )
{ H}
[ P ] { Q}
m aka
d im ana [ P ] ialah tert e n tu .
m a t rix statis pada ko nst ru ksi statis tidak
( 8) . Selanj u t n y a akan dapat d i hitu n g m atrix t1e ksibil itas pada kons truksi statis tak ten t u [ F ] sebagai :
320
.
d e n gan h u b u n ga n yang dinyatakan
[ F)
[P )
=
T
[M)
( 5 .4 1 )
[ P)
( 9 ) Selanjutnya akan d ap at d ihitung lendutan pada arah vektor bebas pada konstruksi yang sebe narnya b erdasarkan persam aan :
{ D}
=
[ F ) { Q}
J uga dapat d ihitung gaya-gaya d alam pada konstruksi yang sebe n arnya berdasarkan persamaan :
{H}
[ P ) { Q}
Dengan d emikian selesailah proses a nalisa ini. Untuk jelasnya baiklah diikuti contoh soal di bawah ini. Contoh 5.5 :
3000 Kg
El
r1 3. 00
2
I I
---r-
4.00
4.00
(a) p ortal bidang yang akan dianalisa Dl
/-
1 1 . 00
+
�
-------
----
D
2
(b l vektor lendutan yang dicari. D 1 dan D2 r D 1 l e n d u t a n l i n e r . 0 2 kndu tan p u t a r ) _, , , .) '- 1
O = z Q r------� Q1= 3000 Kg
'I
,
( c ) v e k t o r gaya
D 1 d an D 2
Ot
d a n Q 2 , yang korespon d i n g d engan
I
A
,j;
( d ) s t ru ktur d i h u a t st atis t e rt e n tu s e b agai s t ru k t u r d asar, d e ngan m e m b e rikan 3 gaya redu nd a n t R l , R 2 • R3
3
( e ) . D iagram m o m e n p a d a konstruksi y a n g s u d ah s t a t i s t e r t e n t u a k ib a t b e k e rj a n y a
322
Rl
=
I satuan
4
4
4
( f). d iagram m omen pada konstru ksi yang sudah stati s terte ntu akibat bekerj anya R 2 1 satuan =
�I
i' I I
{ � ). d iagram m o m e n p ada k o n s t ru k s i y a n g s u d ah statis k r t c n t u
akiba t be kcrj anya R 3
(h ). sistim p e m b e b a n a n tertentu .
=
1 s a tuan
se t e l a h
ko n struksi Jirubah menj adi
s ta t is
323
(i).
d i a gr am
Q1
=
m omen akibat konstruksi statis tert e n tu d ibebani I satuan
\.
(j ).
d iagram momen akibat konstru ksi statis tertentu dibebani 1 satuan
Q2
=
( k ). d iagram H - d Gam bar 5 . 5 .
�mal i s a p o r t al s t a t i s t i d a k t e r te n t u t i n gkat 3 .
Gambar 5 . 5 . menunjukkan analisa portal bidang statis tidak tertentu tingkat 3. Sesuai dengan tahapan yang telah diuraikan dibagian depan, maka langkah pertama yang harus dilakukan ialah mengubah kons truksi portal statis tidak tertentu ini menjadi satu konstruksi statis tertentu dengan memberikan sejumlah gaya redundant yang sesuai dengan derajat ketidak-tentuan statisnya (Gambar 5 . 5 . d ). Melihat gambar 5 . 5 . (h) , (i), (j ) :
o [P )
- 4
0
-
0
0
-
0
0
-
0
0
� H
0
+ I
+--- H
0
-
1
�
1 r
\II elihat gambar 5 . 5 . ( d ), (e l , ( f) , ( g ) :
[pI ]
=
1
H
2
H 3
H
4 5 6
Q2 .
Ql -
H
3
- 4
0
0
0
0
0
- 4
-
1
-
0
+ 4
+ l
-
+ 4
Ll
t R
-
1
t
R
+ 1
-
-
1
oE-
+ l
�
-
2
1
t
R 3
�
H H
1 2
H 3 H H H
4 5 6
325
\tutrix s i fa t b ahan [ M ] u n tu k konstruksi i n i sam a d e n gan m atrix sifa t bahan p a da contoh 5 .3 d i p asal 5 . 3 . y ai tu :
2,5
1 , 25
-
2 ,5
- 1 , 25 [M]
=
2 3E 1
0
--
0
0 2
- 1
- 1
2
0 2
0
0
1
-
-
1 2
Selanjutnya berc!asarkan urutan perhitu ngan sebagaimana d i n yatakan oleh p e rsamaan ( 5 . 3 0 ) sam p ai dengan ( 5 .40) akan didapat m a t rix statis [ P ] pacla konstruksi p ortal yang sebe narnya :
[P]
=
- 0 , 71 5
- 0 , 30 2
H
- 0 , 74 3
- 0 , 09 1
H
+ 0 , 74 3
+ 0 , 09 1
H 3
+ 0 , 733
+ 0 , 4 34
H
- 0 , 733
+
H
- 0 , 688
+ 0 , 2 95
t
0 , 566
t
Qz
Ql
J
H
l 2
4 5 5
D ari persam aan ( 5 . 4 1 ). Jkan d idapat m a t rix t1e ksib ili tas u n tuk kons truksi portal yang sebenarnya.
[ F]
2 , 288 El - 0 , 0 89 6
326
- 0 , 0896 0 , 56 7
Lendutan dititik 1 d a n 2 Japat dihitung berdasarkan persamaan
{ D}
{: } [ F ] { Q} 3 00
{ Q}
1 :J Dl 02
[-
IT
{ D}
=
2 , 288
- 0 , 09
0 , 09
0 , 56 7
] :oo r )
6864 1
IT
- 2 70
)
6864/E I
(
- 2 70 / E I
( C' )
-j.
Gaya d alam elem e n d a p at dihitung be rdasarkan p e rsam aan :
[ P ] { Q}
{H }
II -
/
I
l�
0 , 71 5
- 0 , 302
0 , 74 3
-. 0 , 0 9 1
0 ' 743
0 , 09 1
0 , 73 3
0 , 434
0 , 73 3
0 , 566
0 , 688
0 , 2 95
I J
3000
0
327
H
-r -
1
H
i
2
:3. 1
2 1 45 2229 2 22 9
[ k gm ] 2 1 99
=
I
H H
J ad i
I
:J
- 2 1 99 - 2064
MA
=
M ti ti k
+
-
=
2 2 29
kgm.
- 2 1 99
kg m .
=
M ti t i k 2 Ms
k gm .
- 2 1 45
=
+ 2064
kgm.
Contoh 5 .6 : !
I
3. 00
3 .00 0
4. 00 1
!
2
I
�A l l
t------�o'---+---4 B
i
i 4 . 00'
3
I
l
_J_ I I
c 3000 Kg
( a ). rangka batang yang akan dianalisa. A E k onstan
328
R
i b ). rangka batang dijadikan statis tert e n tu d e ngan gay a batang nom o r 6 seba�ai gJya red un d a n t ( R )
(c ) . lendutan pada titik bebas yang i ngin dihitung, dengan arah nya t ergam bar
329
5
Q,
( d ) . vektor gaya luar yang koresponding d e ngan vektor lendutan dititik bebas . -3 .s
02 = 1
( e ). d iagram statis
satuon
Crerno n a u n t u k 02
=
1
s a t u a n p ad a ra n gk a b a t a n g
t e r te n tu
-z
-3 5
�----t---� Q 3
=
1
sat uan
-4
( f) . u iagram C rc m o n a u n t u k
s t a tis tertentu
Gambar 5 .6 .
.�' 3 0
Q3
=
! sa t u a n p a d a ra n g k a b �1 L 1 n g
rangk a b a t a n g s t a t i s tak t e n t u d alam t i n gk a t I .
Gam bar 5 . 6 . ( a ) menunjukkan rangka batang stat is t ak t e n tu dalam tingkat 1 . Sesuai dengan tahap an y ang h arus d itempuh, m aka langkah pert am a ialah m embuat rangka tersebut m enjadi statis tert e n tu d engan menghilangkan batan g nomor 6 d an m em asang gaya re dundant R d isana. B erhubung dengan perletakan sendi tunggal d ari rangka batang ini, m aka p ada rangka ini tidak dapat d ib erikan pem bebanan yang tidak sime t ris, m ak a vektor lendutan dan vektor gaya luar diberikan seperti pada gamb ar 5 . 6 . (c) dan (d).
[P o )
0
5 ]"
5 6
H
0
5 '[
5 6
H
0
5 - ]"
5 6
H
0
5 - '[
5 b
H
=
0
t
Q
l
L
3
8 6
H
0
0
H
t
t
Q
1
4 5 6
I
Q
3
2
5 0
5
[M]
=
5
1 AE
5 0
8 6 33 1
Akibat gaya redundant R
=
5 - b
[P
t
� H
5 - 6
]
� H
5 - 6
=
+ 1
\I atrix t1�ksibili tas d ari kan pcrsamaan :
[F [F
o] I
l [F
1
]_ T
[p [
]
...,.__
H
�
H
ra n g k a
{ 96
9AE
]
..:.---- H
8 + 6
t
I
2
3
6
R
1
� H
5
l
I satuan :
[M) [P I
4
5 6
s ta t is tenentu dapat dihitung berdasa r
96
253 }
]
30 7 9 AE
Selanj u t nya :
(p]
=
0 , 26 1
0 , 886
- 0 , 1 46
0 , 26 1
0 , 8 86
- 0 ' 1 46
0 , 26 1
- 0 , 364
- 0 ' 1 46
0 , 26 1
- 0 , 36 4
- 0 ' 1 46
0 , 58 3
0 , 583
0 , 2 34
- 0, 31 3
- 0, 31 3
- 0 , 82 4
Matrix fle ksibilitas [ F ] : =
[ F]
=
[ F)
[P]
T
1
-
AE
[M) [ P)
4 , 669
4 , 66 9
I
, 877
4 , 669
1 2 , 48 2
I
, 877
1 , 8 77
1 , 877
4 , 9 38
4 , 669
4 , 669
l
4 , 669
1 2 , 48 2
1 , 877
1 , 8 77
1 , 877
4 , 9 38
Lendutan yang dicari :
{ D}
[ F) { Q }
=
{ D}
=
1
AE
-
'\,
D 2 D 2 D
=
2
3
Jad i
-
AE
r
l
400 7
< 1 4 00 7
I I\
56 3 1
, 8 77
1
I
I
J
3 000 0 0
I
j
( 1 400 7/AE I 7 00 3 / AE 2 8 1 5/AE
l I
... '
(
-1-
( u n t u k titik A kekanan, titik B kekiri)
333
6
GAYA NOD1\L EKIVALEN
6 . 1. PENGGANTIAN GAYA-GAYA PADA ELEMEN MENJADI GAYA NODAL EKIVALEN
Beban-beban yang bekerj a pada satu struktur umumnya dapat b erupa beban terbagi atau beban terpusat. Ciri suatu beban terpusat dit en tukan oleh titik tempat b ekerj an y a beban , arah d an besamya. Suatu be ban terbagi ditentukan oleh d aerah temp at be kerj an y a dan variasi besarnya behan d i daerah tersebut, yait u , pem bagian linier, pembagian t erbagi rata atau pembagian secara umum. Untuk menganalisa secara m at ri x suatu stmktur dengan pembeban an seperti tersebut di atas, perlu terlebih dahulu menentukan beban ekivalen yang be kerj a sebagai beban terpusat pada titik-titik d iskri t . K husus untuk su atu batang yang hanya dibebani clengan b e b a n terpu sat Uac! i tanpa be ban terbagi rat a), cara menganalisa dapat d ilakukan cl e ngan cara m enganggap titik tempat be kerj anya beban terpusat seba gai suatu "tit i k diskrit tam baha n ' ' (extra j oint), j ad i dengan memberi kan nomor bam pada titik disk1it terse but , seperti te rlihat pada gam bar di b awah ini ;
2.-
1 Pz � ----�3 �
----
--
(a)
4
C ara pem berian nomor yang semula Gambar 6 . 1 .
1 Pz s 3 �------�--� 4
(b)
6
Cara pem berian nom or yang bam
penam bahan t it i k cliskrit pada struktur akibat pem bebanan terpusat pada elem en stru k t u r.
Dari penjelasan cli a tas. dengan mudah dapat d il ihat bahwa cara analisa dengan menam bah nomor titik dis krit yang baru akan juga menambah (mem perbesar) ukuran matrix ke kakuan stru k t ur terse but. Hal ini ten� tunya mengurangi ukuran m aximum suatu stmktur yang dapat disele saikan dengan su atu computer tert e n t u , d an j uga seperti d iketahui, makin besar ukuran m a tri x , m akin besar j uga kemungkinan tcrjadinya kesalahan .
337
Maka cara yang paling baik ialah mengubah beban pada elemen m en j ad i beban beban e kivalen yang bekerja pada titik diskrit. Cara penggantian suatu beban pada elemen struktur dengan beban nodal �kivalen d apat d ilukiskan seperti pada gam bar 6 . 2 .
p
( a ). Keadaan 0 .
4
p
+
( b ). Keadaan I . Gambar 6 . 2 .
-
�
�
(c ) . Keadaan 2 .
Uraian dari pembcbanan pada satu portal.
Keadaan 0 dapat dianggap sebagai kombinasi antara keadaan dan 2. Karena kedua uj ung elemen 2 terjepit seperti terlihat pada keadaan I . m aka Q 2 3 dan Q3 2 sebenarnya adalah fixed end reactions. Q 2 1 dan Q 3 4 pada keadaan 2 dinamakan beban nodal ekivalen dan mempunyai nilai yang sama de ngan Q2 3 d an Q3 2 . tetapi selalu d engan tanda yang berlawanan . Disam p ing dua gaya d iatas, tentu saja j uga fixed end mome n ts merupakan beban nodal ekivalen. Secara singkat . cara m enganalisa frame tersebut d apat d iselesaikan dengan urut-urutan langkah sebagai beri kut : 338
Langkah 1 .
Pisahkan elemen-elemen yang terkena beban dan hitung fixed end
reac tions (keadaan 1 ) Biasanya Oij (i = nom or t itik diskrit ; j = nom or titik diskrit pada ujung yang lain dari elemen bersangkutan) dihitung untuk kedua uju ng semua elemen yang dibebani. Oij harus dihitung sesuai dengan jenis hubungan pacta kedua ujung .
elemen (jadi m isalnya hubungan jepi t , hubungan e ngsel dan seb agai nya).
Langkah 2.
Susun vektor beban.
[ Q .I ]
=
[Q. ]
=
I
dimana [ Q i l ( QjO )
[ Q .I 0 ]
+
[Q. 0 ]
+
I
n
I
m=O
n
I
m=O
[Q
I
.
.
J
[ Tm J
]
T
(6. 1 )
S
•
[Q 1 J ] m .
( 6. 2 )
.
=
beban e kivalen dititik diskrit
=
beban luar yang memang bekerja pad a titik diskrit.
=
[ Q ij ] yang struktur.
=
[ Tm 1
n
( O ij l lokal.
sesuai
yang sesuai
dengan sistim dengan
koordinat
sistim koordinat
=
matrix transformasi elemen -m .
=
jumlah elemen yang bertem u dititi k -i
Khusus untuk contoh seperti pada gam bar 6 .:2 . :
Q
=
2
0
+
4-
beban 1 ua r pada t i t i k 2 Q
3
+
=
penga ruh beban pada e l emen 1 .
=
penga r uh beban pada e l emen 2 .
(6. 3 )
(6.4)
J ad i jelas bahwa untuk soal seperti yang d iperlihatkan di a tas. untuk mendapatkan beban-beban nodal ekivalen cukup dihitung reaksi-reaksi uj u ng elemen sesuai dengan jenis hubungan-hu bungan uj ung elemenelemen yang bersangkutan .
339
6 .2. GAYA AXIAL EKIVALEN.
Di sini akan ditinjau suatu elernen batang lurus yang t erkena beban terb agi rata secara axiaL q(x ) per satuan p anjang, p ad a m an a reaksi reaksi uj ung d isebut Q 1 1 dan Q1 2
L Gam bar 6 . 3 . elernen lurus y ang dikerjakan gaya axial t e rb agi rata. M elihat keseim bangan gay a pad a gam bar 6 .3 . :
Q
1
+
1
Q
2
+
1
! 0
L
q
( x ) dx
(6. 5 )
0
Mengingat sy arat kornpatibiliti :
J
o
L N( x)
EA
dx
(6.6)
0
=
d i m ana N ( x ) m erupakan gava norm al yang b e k e rj a dipotongan x .
N (x)
Q
L
1
+
1 1 { Q EA 1
f
0
1
0
f
+
X
q
0
(6.7)
( x) dx
f
X
q
(x) dx }
dx
0
(6.8)
Rcaksi uju ng elemen u ntuk keadaan kedua uju ng tidak dapat bergeser dapat d icari dari k e d u a persamaan ( 6 . 5 ) dan (6 . 8 ) tersebut d iatas.
Q Q
3 40
1 1
1
2
-
=
s
8
-
(6.9) a
(6. 1 0)
a
d i ma n a
f 0
6
L
L
q ( x) dx L
f f 0 dx 0
(6. 1
i '
X
q (x)
(6. 1 2)
( dx)
Selanjutnya untuk beberapa ke adaan p e rletakan yang berbed a d i pero leh hasil sepert i ditunjukkan dalam tabel 6 . I .
�
r
Ql Ql
l
6
-
--o =
Tabel 6 . 1 .
(l
=
6
=
1 o---a 2
0
6
-
2
Ke te rangan
1 e----o 2
1 � 2
-
-a
a
a
0
uj ung yang tak dapat be r ges e r uj ung yang dapat be r gese r ' L f q ( x) d x (' L f 1 f dx L 0 Q
X
q (x)
( d x)
Reaksi axial diujung elernen.
D engan m e ndapat kan reaksi uj u n g elemen a k i b a t gaya q ( x ) . m a k a g a y a n o d al e kivak n b i s a d id a p a t d e n ga n m em b al i k arah gaya re a k si y a n g J i cl ap a t . B i la g a y a ax ial y a n g b e ke rj a b u k a n gay a t e r b a g i rata . m e l ai n k a n g a y a t e rp u sa t . m ak a p roses p e n y e l es a i a n J a p a t J i l a k u k a n d e n ga n
c ara y a n g s a m a sep erti d i atas. h a n y a saj a p e rh i t u n ga n h arus J i b agi a t a s b d w r a p a i n t e rv a l y a n g d ib a t as i o l e h g a y a-gaya a x i a l t e rp usa t t e rse b u t . l g a m bar 6 .4 ).
L G am b a r
6.4.
d e m e n b a t a n g l u rus d e n ga n beban ax ial terpusat .
6.3. GA YA TRANSVERSAL EKIVALEN. Gam b a r b-. . J.:: -.
I11 C I1 Lt 11J· U k k an
sa t u
b e b a n cl an rea ksi-reaksi uj u n g nya .
y .-1'1
eIc m e n
Gam b a r 6 . 5 .
b a t a n g l u ru s J e n ga n b e b a n -
elem en ngan
h a t a n g l u rus de
g a y a l u a r t ra n sv e r
sal.
L 34 1
Mula-m ula d ihitung reaksi perletakan d a n p u taran sudut (rotasi) suatu b al o k sed erhana d iatas 2 tumpuan. sebagai ditunjuk kan gam bar 6 . 6 .
Gam bar 6 . 6 . b alok sederhana atas dua tumpuan d2
L
i
L
q
a =
Dengan m e ngam bil
m aka
(6. 1 3)
( x ) dx
Rl
+
Rz
Rz
=
L /
Rz
L [
Rz
CL
l
-
f 0
L
q ( x) dx
(6 . 1 4)
a
(6. 1 5)
x q ( x) dx
(6 . 1 6 )
L
Li
L
L
X
q ( x) dx - jdx i q ( x) ( dx ) ]
8
(6. 1 7)
dengan p e n gertian :
( 6 . 1 8)
8 Dengan dem ikian akan didapat :
8
(6. 1 9 )
Bcrdasarkan persam aan ters e b u t d iatas . maka matri x rea ksi awal { H } dapat d i nyatakan se bagai : 0
342
{H } 0
Rl
s
0
0
R2
-
a
0
0
(6 . 2 0 1 8
Momen lentur yang bekerj a pada bal o k diatas d u a tump uan terse b u t sej auh
x
d a n uju n g kiri dapat d inyatakan sebagai
a
M
a
( a - x )
J 0
=
q
:
( x ) dx
(6. 2 1 )
Untuk m e nghi t u n g d 1 dan d1 c u k u p d iperhatikan defo rm asi len tur saj a. lend utan : Mel ihat p ada persam aan d asar
(6 . 2 2 )
maka akan d idapat :
dy da y
=
=
J
J J
K ons tanta c l ba tas :
M
EI
IT 1
a
M
dan c2
un t u k
a
untuk
a
a
+ C1
da
(da)
2
+ c la + c 2
(6. 24)
bisa diperoleh dengan memasukkan syara t
0
=
(6.23)
L
y
O ·,
y
0.
(6.25)
Dengan me nyelesaikan persam aan ( 6 . 2 3 ) dan ( 6 . 2 4 ) . akan d idapat :
dl
d2
=
�, da
dy da
l
=
a
a
0
L
2 L IT
( f 6
2 L El
( y - 3
0 )
-
8
-
( 6.26 1
c
)
(6 . .2 7 )
343
dim ana :
L
s
f d x 0f
L
y
X
0
�
Q
)
L
da
L2
J
L
dx
.L
da
1
6
L3 1
L3
•
•
0
0
)
.L
)
0
dx
q
( x) dx r j
0
f
0
0
0
f
a X
a
da
f
0
dx
J
•
0
da
f
0
r x dx
J 0
a X
a
X
q
( x) dx
q
(x) dx
da
(6 . 2 8 )
,a
)
0
dx
0
.X
I J
q
( x) dx
q
( x) d x
(6 .29)
Selanj u t ny a d a p a t d it u l i s k a n reaksi-re a k s i uj u n g d e m e n y a n g terj e p i t
se bagai s u a t u s u p e rp o s i s i s e p e r t i y a n g d i t u nj u k ka n gam bar 6 . 7 .
� I
I
�-
'
.
,
!
.,. /
;
!
:
',
/
(a)
Gambar 6. 7 .
(
I
H
'-:;. :_ ( S ]
(!�)+ (& H
o
1
H 2
(b)
p roses s u p e r p osisi p ad a e l e m e n t e rj e p i t .
( c)
I
2
H 3
I
H 2 2 H 2 3 J im an :! r p a ct a b a b
[ s J
{� } d
d
1
+ { H
2
0
}
( 6 .30)
s J i a l a h m a t r i x kc kokohan h ah a n y an g t e l ah d iu ra i k a n 3 . y a n g m asih h a ru s d is e m p ur n a k a n lagi sesuai dengan
k e a d a a n pcrl e t a k a n uj u n g e l em e n : seda ngkan
( H0 )
ialah m at ri x rea ksi
aw a l d e ngan m e n ga nggap balok s e d e rh a n a atas dua t u m p u a n .
3 44
{
�
kondisi pcrlet:1kan ujung ditu liskan s e bag a i berikut :
lJntuk
dapat
yang
berbeda-beda. matrix
3/L
3/ L •
•
2E I L
[ s ]
S
2
(6.31)
- 3/L
- 3/L
2
0
•
••---o
()---o
de ngan c a ta t an :
3E I L
[ s J
[ s ]
[ s ]
=
3E I L
=
r
l
0
1 /L
0
0
0
( 6.3 2 )
- 1 /L
0
1 /L
0
I
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
- 1 /L
0
----•
rn e n y a ta k a n perlc t a k a n tcrj e p it
--o
rn e n y a t a k an perl c t a k a n e n gsel
(6.33)
( 6.34)
345
D i bawa!J i n i d i b u a t secara tabdaris hasil u r a i a n d ia tas.
�� H
2
H 3
I
a
I
•
2 ( ( y - 2 6 ) + f3 n} 1 +2 n 3 L { 2 ( y - 3 6 ) + ( s - 2 y ) n} 1 +2 n
E>
pe r l e t a k a n e n g se 1
0
a
=
y
=
6
=
J 0
L
H2I
a
q ( x ) dx
- f
L
J
0
1 2 L 1
o
Tabd 6 . 2 . Sama
J
-
11 2 1
a
Hz
-
bisa
J 0
X
f3 dx
=
J 0
1 L
! 0
X
q ( x) d x
uj u n g
elemcn
pada keadaan d id a p a t
d en ga n
d i !J a s i l k a n p e rh i t u nga n d ia t as .
a k i b at
pcm b e b a n a n
rr
pembebanan maka
0 a .- H 2 1
0
'
'
axial,
6
0
X L dx q ( x ) dx J 0
-
I
=
X X X L dx J dx 0J dx J q ( x ) dx 0 0
R e a ksi
d e ngan
e kivalen
dx
'
o--o
�
L 1 + 2 n { ( s -4y+6 6 ) + ( S- 2y ) n} �( 2 +n 6+ 3 6 - 3Y )
3
pe r I e t a ka n t e r j ep i t
-
a
•
•
1 y - 6 ) + f3n} -{ 2 n [ 3 ( f3 - 2 6 ) + S n } 2+n 6 ( 1 (3 -6 6 ) 0 - -( 2 +n
--
H 2 2 H 2 •
0
•
t ra nsversa l . ga y a
nodal
m cm b a l i k r e a k s i uj u n g el c m e n y a n g
12 (1 + 1 ) 1
A L2
....
Daftar Kepustakaan : 1.
Timoshenko , S . and You ng, D . H. : "Theory o f S t ru c t ures". M e G raw H ilL N. Y. \!orris, C . H. and J . B . W ilbur : " Elem e n tary Structural Analysis ' ' , Me G raw Hill B ook Company. N e w York, 1 96 0 .
3.
Pipes, L . A . : "Matri x M et hods for E ngineering", Prentice-Hall . I nc . , E ngle wood Cliffs. N . J . , 1 96 3 .
4.
Livesley , R . L. : "Matri x M ethods o f S truc tural Analysis". Pergam o n Press. New York . 1 964.
5.
Gere. J . M . and Weaver . W . : "Analysis of F ramed S t ru c t u re s ' ' . Van N ostrand, N . J . 1 96 5 .
6.
Ping-Chun Wang : "Numerical a n d M atrix Me thods i n S tructural M echan ics with A p plications to Com puters", John W iley & Sons, Inc . . 1 96 5 .
7
8.
W ang, C . K . : "M atri x M e t hods o f S tructural A n alysis'', Scrantons I nternational Te x t Book Co., 1 96 6 . Gere, J . M . a n d Weaver. W . : "Matrix Algeb ra for E n gineers". V a n N ostrand. N . J . 1 96 6 . .
9.
Weaver. W . : "Com pute r Programs for S tructural Analysis", Van N ostrand. N . J . 1 96 7 .
10.
Przem ie nieck i . J . S . : "Th eory o f M atrix S t ructural A nalysis". M e Graw-Hill N . Y . , 1 96 8 .
1 1.
Meek. J . L. : "Matri x S tructural A nalysis " . Me G raw-Hill, N . Y . . 1 9 7 1 .
1 2.
Hayre t t in K ardestuncer : " E lem e n t ary Matrix Analysis o f S tructures' ' , Me G raw-Hill. 1 9 73 .
1 3 . J . D Todd : "Stru ctural Theory and Analysis ". The Macmillan Press Ltd . 1 9 74. .
.
1 4.
A. Ghali and A . M . N eville : " S t ru c t u ra l Analysis ' ' . l n t c x t E d u ca t i o n a l Publishers. 1 9 7 5 .
1 5.
Fred W . Beau fait : "Basic Concepts o f S t ructural Analysis". Prcn tice H all. I n c . . E nglewood Cliffs . 1 9 7 7 .
16. 17.
N icholas Wille m s and W i l l ia m M. L u c a s : "Stru c t u ral A nalysis fo r Engineers". Me G raw-H ill . 1 9 7 8 .
Be nj a m i n Sugij a tas
" Di kt a t A n alisa M a t ri x " . Fak u l t as
Teknik Un iversi
I n d o nesia. 1 9 7 8 .
347
