ANALISA KESTABILAN Fatchul Arifin (
[email protected])
Pole, Zero dan Pole-Zero Plot Numerator dan denominator pada fungsi NALISArasional juga mempunyai nilai nol. Nilai nol dari numerator disebut ZERO dan nilai nol dari denominator disebut POLE. Pole dan zero merupakan bilangan kompleks. Gambaran grafis pole dan zero tentulah pada bidang kompleks. Gambaran grafis pole dan zero pada bidang kompleks disebut pole-zero plot. Contoh 1. Sebuah sistem mempunyai transfer function H(s)=1/(s+1). Maka zeronya tidak ada, dan polenya terletak di s=-1. Contoh 2. Sistem diskret H(z)=z/(z-0.7) mempunyai zero di z=0 dan pole di z=0.7. Contoh 3. Sistem H(s)=5/s(s+2) tidak mempunyai zero dan mempunyai pole di s=0 dan s=-2. Contoh 4. Sistem H(s)=(s+2)/(s2+2s+5) mempunyai zero di s=-2 dan pole di s=-1-j2 dan s=-1+j2. Pole zero plot dari keempat sistem pada contoh 1 sampai contoh 4 terlihat pada gambar ini. Ingat keempatnya merupakan bidang kompleks, sumbu mendatar adalah bagian riel dan sumbu vertikal adalah bagian imajiner.
1
mial dengann mudah dappat dihitungg dengan MaatLab. Perinntah yang diigunakan addalah roots. Nilaii nol polinom Sebaagai contoh untuk u menccari nilai noll dari polinoomial s2+2s+ +5 maka dim masukkan pperintah beriikut: =[1 2 5];rooots(POL) POL= makaa akan munccul jawabann ans = -1.00000 + 2.00000i -1.00000 - 2.00000i Perhaatikan: untuuk mencari nnilai nol pollinomial s3+ +4s, maka peerintah yangg dimasukkaan adalah POL= =[1 0 4 0];rroots(POL) h sistem diketahui, maka m transfe fer function n sistem daapat dihitun ng asalkan Jika pole dan zzero sebuah gain sistem jugaa diketahuii. m dengan gaain=2, zero ttidak ada daan pole di s= =-2 mempunnyai numeraator N(s)=1, Conttoh 1. Sistem denominator D(ss)=s+2 sehinngga transfeer functionnnya adalah H H(s)=2/(s+2) m dengan gaain=4, zero di s=-1, dann pole di s=--1+j dan s=--1-j mempunyai numerator Conttoh 2. Sistem N(s)= =s+1, denom minator D(s)=(s+1-j)(s+ +1+j)=s2+2 sehingga traansfer functtionnya adallah 2 H(s)= =4(s+1)/(s + +2)
Roo ot Locus:
Karaakteristik tanggappan transient sisttem looop tertutuup dapat ditentukan d n dari lokkasi pole-pole (looop tertutuupnya).
S System stabiil pole-pole loop tertutuup terletak ddisebelah kirri bidang-s
2
Bila K berubah, maka letak pole-pole nya juga berubah. Perlu pemahaman pola perpindahan letak pole-pole dalam bidang s. Desain sistem kendali melalui gain adjusment: pilih K sehingga pole-pole terletak ditempat yang diinginkan. Desain sistem kendali melalui kompensasi: memindahkan letak pole yang tak diinginkan melalui pole-zero cancellation. Xxxxxxxxxxxxxxxxxxx
3
Perrsamaan K Karakterisstik: s2 + 2s + K =00
Akar-akar Persamaann Karakterristik :
s=
− 2 ± 4 − 4K = −1 ± 1 − K 2
K 0 1 2 10 1001
s1 0 --1 -1+ +j1 -1+ +j3 -1+ +j10
s2 -2 -1 -1+j1 -1+j3 -1+j10
4
W.R. Evan mengembangkan metoda untuk mencari akar-akar persamaan orde tinggi : metoda Root Locus. Root Locus: tempat kedudukan akar-akar persamaan karakterstik dengan K = 0 sampai K = tak hingga. Melalui Root Locus dapat diduga pergeseran letak pole-pole terhadap perubahan K, terhadap penambahan pole-pole atau zero-zero loop terbuka.
• ROOT = akar-akar • LOCUS = tempat kedudukan • ROOT LOCUS – Tempat kedudukan akar-akar persamaan karakteristik dari sebuah sistem pengendalian proses – Digunakan untuk menentukan stabilitas sistem tersebut: selalu stabil atau ada batas kestabilannya? Root locus merupakan suatu teknik grafis yang memberikan kita deskripsi kualitatif mengenai performa suatu sistem kontrol. Root locus dapat juga digunakan untuk menaksir stabilitas.
Root Locus mempunyai sifat simetri terhadap sumbu nyata.
Root Locus cukup bermanfaat dalam desain sistem kendali linear karena Root Locus dapat menunjukkan pole-pole dan zero-zero loop terbuka mana yang harus diubah sehingga spesifikasi unjuk kerja sistem dapat dipenuhi.
Pendekatan desain melalui Root Locus sangat cocok diterapkan untuk memperoleh hasil secara cepat.
Sistem kendali yang membutuhkan lebih dari 1 parameter untuk diatur masih dapat menggunakan pendekatan Root Locus dengan mengubah hanya 1 parameter pada satu saat.
5
Root Locus sangat memudahkan pengamatan pengaruh variasi suatu parameter (K) terhadap letak pole-pole.
Adapun cara-cara untuk mengetahui atau mencari root locusnya sebagai berikut: • Cara 1: Mencari akar-akar persamaan karakteristik pada tiap inkremen harga Kc (controller gain) • Cara 2: – Mencari harga pole dan zero – Menentukan harga breakaway point, center of gravity,asimtot – Mencari harga wu (titik potong dengan sumbu imajiner, menggunakan substitusi langsung) Dan untuk mengetahui kestabilan tersebut tentu juga kita harus mengetahui pole dan zero dari persamaan TF total dari blok diagram:
6
MET TODE ROU UTH HURW WITZ
Transfer function f darii suatu sistem m loop tertutup berbentu uk :
C ( s) b0 s m b1s m 1 ... bm 1s bm B(s) R( s) a0 s n a1s n 1 ... an 1s an A(s) Hal pertam ma memffaktorkan A((s) A(s) A : persam maan karakterristik Pemfaktooran polinom mial dengan oorde lebih darri 2 cukup su ulit, sehinggaa digunakan Kriteria K Kestabilan Rou uth Kriteria kestabilan k Ro outh memberri informasi ada a tidaknya akar positiif pada persaamaan karakterissitik bukan nilai n akar terssebut
· Unttuk sistem m kendali, ketabilaan mutlak k langsung g dapat diketahui dari kkoefisien-ko oefisien pe ersamaan kkaraktristik k. S System stabiil pole-pole loop tertutu up terletak disebelah d kiiri bidang-ss Dengan D men nggunakan kkriteria kesttabilan Routth, dapat dikketahui jum mlah p loop terrtutup yang terletak did pole daerah tak stabil tanpa pperlu mencari soolusi persam maan karaktteristi A(s) F Fungsi alih loop l tertutupp:
Kriteriaa Kestabilan n Routh Hu urwitz Kriteria K ini menunjukan m n adalah akaar-akar tak stabil s persam maan polino om ordee n (n=berhingga) tanpaa perlu men nyelesaikann nya Untuk U system m kendali, kkestabilan mutlak m langssung dapat ddiketahui dari koeffisien-koefissien persam maan karakteeristik PRO OSEDUR 1 Tulis peersamaan orrde-n dalam bentuk sebagai berikuut: 1. 7
Dengan koefisien-kkoefisien: beesaran nyataa dan an ≠00 2 Bila adaa koefisien yyang bernilaai 0 atau neg 2. gative disam mping adanya koefisien n positif, m maka hal ini menunjukan n ada satu aakar atau ak karakar imaajiner a atauu memiliki bagian b real positif (systtem tak stab bil). Kondisi pewrlu (tettapu belum cukup) untu uk stabil addalah semuaa n persamaaan polinom positif p dan lengkap. l koefisien 3 Bila sem 3. mua koefisieen positif, buat b tabel Ro outh debagaai berikut:
Dengan koefisien-kkoefisien :
4 Kriteria kestabilan R 4. Routh : ban nyaknya akaar tak stabil = banyakny ya perubah han tanda paada kolom pertama p tabeel Routh 5 Syarat pelu 5. p dan cukkup untuk stabil s : Sem mua koefisienn persamaaan karakterisstik positif ddan Sem mua suku padda kolom peertama tabel routh berttanda positiff. oh: ........... Conto 8
ANALISIS SISTEM KENDALI 1. Langkah pertama analisis : penurunan model matematis sistem. 2. Ada beberapa metoda analisis unjuk kerja sistem : - Analisis Kestabilan : Routh Hurwith, Root Locus, Bode Plot Nyquist Plot. - Analisis Waktu Alih : spesifikasi koefisien redaman dan frekuensi natural. - Analisis Keadaan mantap : Konstanta mantap statik - Analisis Kepekaan 3. Untuk memudahkan analisis, digunakan beberapa sinyal uji dengan fungsi waktu sederhana. 4. Sinyal-Sinyal Pengujian : - fungsi step : ganguan yang muncul tiba-tiba - fungsi ramp : fungsi berubah bertahap terhadap waktu - fungsi percepatan - fungsi impuls : gangguan sesaat yang muncul tiba-tiba - fungsi sinusoidal : linearitas sistem 5. Pemilihan sinyal uji harus mendekati bentuk input sistem pada kondisi kerjanya. 6. Tanggapan waktu : - waktu alih : keadaan awal hingga keadaan akhir. - keadaan tunak : tanggapan pada waktu t ® ~ 7. Kriteria Unjuk Kerja Sistem Kendali : - Kestabilan mutlak : sistem stabil bila keluarannya dapat kembali ke nilai semula setelah ada gangguan. - Kestabilan relatif (tanggapan waktu alih) : sistem harus cukup cepat tanggapannya terhadap perubahan masukan dan kembali ke keadaan mantapnya. - Galat keadaan mantap : perbedaan antara keluaran dengan masukan yang menunjukkan ketelitian sistem. - Kepekaan sistem terhadap perubahan karakteristik komponennya.
9
