Buletin Ilmiah Math. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 5, No. 03 (tahun), hal 321 – 330.
ANALISIS KESTABILAN MELALUI DINAMIKA NOL SISTEM OUTPUT TEGANGAN DAN ARUS SEARAH KONVERTER BUCK-BOOST Selviana, Helmi, Fransiskus Fran INTISARI Komponen utama dari sistem catu daya adalah konverter DC-DC yang berfungsi mengkonversikan daya elektrik bentuk DC (arus searah) ke DC lainnya. Dikatakan arus searah karena arus listrik mengalir terus menerus dari kutub positif ke kutub negatif. Sumber arus searah lainnya adalah akumulator atau aki. Konverter Buck-Boost (penurun-penaik tegangan) merupakan sistem pengubahan daya DC atau konverter DC-DC. Masalah utama dari konverter Buck-Boost adalah menghasilkan riak arus yang tinggi baik di sisi masukan maupun di sisi keluaran. Secara geometri masalah tersebut dapat digambarkan ke dalam grafik solusi suatu sistem dinamik dari persamaan diferensialnya. Penelitian ini menganalisis model dari rangkaian konverter Buck-Boost dan menganalisis kestabilan dari dinamika internal pada sistem output tegangan dan arus searah. Dengan menggunakan tehnik pemodelan rata-rata ruang keadaan, dibangun sistem affine nonlinear dari konverter Buck-Boost. Selanjutnya melalui dinamika nol dianalisis kestabilan dinamika internal dengan output yang diwakili oleh rata-rata tegangan kapasitor dan rata-rata arus induktor. Hasilnya yaitu sistem dengan output yang diwakili oleh rata-rata tegangan kapasitor merupakan sistem yang dinamika nolnya tidak stabil dan berfase nonminimum dan sistem yang diwakili oleh rata-rata arus induktor merupakan sistem yang dinamika nolnya stabil dan berfase nonminimum. Kata Kunci: Konverter Buck-Boost, Nonlinear, Dinamika Nol, Stabilisasi
PENDAHULUAN Kestabilan dari suatu sistem merupakan hal yang sangat penting untuk diketahui sehingga harus diperiksa secara teliti karena menyangkut masalah keselamatan terutama dalam bidang teknik. Ketika suatu sistem tidak stabil maka dapat menyebabkan situasi yang buruk. Contohnya adalah kecepatan mobil yang meningkat tanpa batas dan tidak terkendali dapat menyebabkan kecelakaan. Contoh lainnya adalah reaktor nuklir yang tidak stabil menyebabkan bencana yang besar, seperti bocornya reaktor nuklir yang dapat menyebabkan kanker. Penelitian ini melihat kestabilan sistem melalui dinamika nol. Konsep dari dinamika nol adalah dasar dari teori kontrol yang dapat digunakan sebagai referensi untuk penelitian lebih lanjut, seperti pengontrolan pada sistem tersebut dan penelitian lebih lanjut pada bagian yang tidak stabil. Cara lain dalam melihat kestabilan yaitu dengan metode Lyapunov. Akan tetapi metode Lyapunov ini memiliki kekurangan yaitu sulitnya mencari suatu fungsi Lyapunov dari suatu sistem nonlinear yang memenuhi syarat-syarat dalam menentukan kestabilan tersebut [1]. Sistem catu daya nonlinear yang bekerja pada mode pensaklaran (switching) mempunyai efisiensi yang lebih tinggi dibanding sistem catu daya linear. Oleh karenanya, hampir semua catu daya modern bekerja dalam mode pensaklaran atau dikenal sebagai SMPS (Switched Mode Power Supply). Komponen utama dari sistem catu daya adalah konverter DC-DC yang berfungsi mengkonversikan daya elektrik bentuk DC ke DC lainnya. Konverter DC-DC adalah sistem switching tipe nonlinear [2]. Secara umum ada tiga rangkaian dasar konverter DC-DC yaitu Buck (penurun tegangan), Boost (penaik tegangan), dan Buck-Boost (penurun dan penaik tegangan). Masalah utama dari konverter Buck-Boost adalah menghasilkan riak arus yang tinggi disisi arus masuk dan arus keluar. Oleh karena itu perlu diteliti kestabilan dari konverter Buck-Boost melalui dinamika nol agar stabil dan dapat dikontrol. Penelitian ini bertujuan untuk menganalisis model matematika dari rangkaian konverter Buck-Boost dan menganalisis kestabilan melalui dinamika nol pada sistem output tegangan dan arus searah dengan
321
SELVIANA, HELMI, F.FRAN
322
input tunggal dan output tunggal. Langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini yaitu diawali dengan mendefinisikan variabel. Selanjutnya yaitu menentukan derajat relatif. Setelah diperoleh derajat relatif, dilihat apakah derajat relatif tersebut sama dengan dimensi sistem. Jika tidak, maka harus menemukan 𝑎 = 𝑛 − 𝑟 fungsi agar 𝑛 = 𝑎 + 𝑟. Kemudian, melakukan perubahan koordinat dalam bentuk normal. Setelah itu, dibentuk matriks transformasi Jaccobi. Ketika entri dari matriks transformasi Jaccobi tidak bernilai konstan dengan koordinat 𝜂 berdimensi 𝑎, maka turunkan 𝜂(𝑥) agar dinamika internal sistem dapat ditentukan. Kemudian ditentukan dinamika nol sistem. Terakhir yaitu menganalisis kestabilan sistem. SISTEM SINGLE-INPUT SINGLE OUTPUT (SISO) AFFINE NONLINEAR Sistem nonlinear mempunyai bentuk persamaan keadaan sebagai berikut. 𝑥1 = 𝑓1 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 + 𝑔11 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 𝑢1 + ⋯ + 𝑔𝑚1 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 𝑢𝑚 𝑥2 = 𝑓2 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 + 𝑔12 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 𝑢1 + ⋯ + 𝑔𝑚2 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 𝑢𝑚 ⋮ 𝑥𝑛 = 𝑓𝑛 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 + 𝑔1𝑛 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 𝑢1 + ⋯ + 𝑔𝑚𝑛 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 𝑢𝑚 dan persamaan output 𝑦1 = 1 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ⋮ 𝑦𝑛 = 𝑚 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 Persamaan 1 dan 2 dapat ditulis dalam bentuk berikut ini [3]: 𝑿 𝒕 =𝒇 𝑿 𝑡
+
𝑚
𝑖=1
𝒈𝒊 𝑿 𝑡 . 𝒖𝒊 𝑡
1
(2)
(3)
𝒀 𝑡 =𝒉 𝑿 𝑡 dengan 𝑿 ∈ adalah vektor keadaan, 𝑢𝑖 𝑖 = 1, … , 𝑚 adalah variabel input, sedangkan 𝒀(𝒕) adalah output, untuk 𝒀(𝒕) ∈ ℝ𝑚 , 𝑓(𝑿) ∈ ℝ𝒏 , 𝒈𝒊 𝑿 ∈ ℝ𝒏 . 𝑓 𝑿 dan 𝑔(𝑿) adalah vektor fungsi. Sistem kontrol nonlinear pada Persamaan 1,2, dan 3 mempunyai bagian vektor keadaan 𝑿(𝑡) yang nonlinear, tetapi linear untuk variabel input 𝑢𝑖 𝑖 = 1, … , 𝑚 yang disebut sistem affine nonlinear. Diberikan sistem nonlinear dengan SISO [4]. 𝒙=𝒇 𝒙 +𝒈 𝒙 𝒖 (4) 𝒚=𝒉 𝒙 Jika fungsi 𝒚 = 𝒉(𝒙) diturunkan terhadap 𝒙, maka diperoleh 𝜕 𝒚= 𝒙 𝜕𝑥 𝜕 = 𝒇 𝒙 +𝒈 𝒙 𝒖 𝜕𝑥 𝜕 𝜕 = 𝒇 𝒙 + 𝒈 𝒙 𝒖 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝒚 = 𝐿𝑓 𝒉 𝒙 + 𝐿𝑔 𝒉 𝒙 𝒖 (5) 𝑛 dengan 𝐿𝑔 𝒉 𝒙 ≠ 0 ∀ 𝒙𝜖ℝ dan 𝐿𝑓 𝒉 𝒙 disebut sebagai turunan Lie dari terhadap 𝑓 atau turunan sepanjang 𝑓. Jika 𝐿𝑔 𝒉 𝒙 = 0 pada Persamaan 5 maka turunannya terhadap 𝒙 diperoleh ℝ𝒏
𝒚 = 𝐿2𝑓 𝒉 𝒙 + 𝐿𝑔 𝐿𝑓 𝒉 𝒙 𝒖 𝒙𝜖ℝ𝑛 .
dengan 𝐿𝑔 𝐿𝑓 𝒉 𝒙 ≠ 0 ∀ Sistem Persamaan 4 dikatakan mempunyai derajat relatif 𝑟 di ℝ𝑛 jika [5]: 1. 𝐿𝑔 𝐿𝑘𝑓 𝒉 𝒙 = 0 ∀ 𝑘 < 𝑟 − 1 dan 𝑛 2. 𝐿𝑔 𝐿𝑟−1 𝑓 𝒉 𝒙 ≠ 0 ∀ 𝒙𝜖ℝ .
(6)
Analisis Kestabilan Melalui Dinamika Nol...
323
DINAMIKA NOL Sistem dinamik dikelompokkan berdasarkan tingkah lakunya dibagi menjadi dinamika eksternal dan dinamika internal. Berdasarkan Persamaan 4 yang mempunyai derajat relatif 𝑟, ketika output sistem (𝒚) diturunkan terhadap waktu untuk semua orde adalah nol diperoleh sebagai berikut: 𝑦 𝑡 = 0, 𝑦 𝑡 = 0, … , 𝑦 𝑟−1 𝑡 = 0, ∀𝑡 ≥ 0. (7) Dalam bentuk koordinat normal, Persamaan 7 dapat ditulis sebagai berikut: 1 (t ) y (t ) 0 (t ) y (t ) 0 2 ( r 1) (t ) 0 r (t ) y
∀𝑡 ≥ 0.
Dinamika internal dari sistem Persamaan 7 dinyatakan oleh persamaan: 𝜂 = 𝑞(𝜉, 𝜂) agar output sistem selalu nol, maka 𝜉 𝑡 =0 ∀𝑡 ≥ 0. Oleh karena itu, dinamika nol dari sistem Persamaan 7 berupa [4]: 𝜂 = 𝑞(0, 𝜂). Jika 𝜂 = 𝑞(0, 𝜂) stabil asimtotik, maka sistem Persamaan 7 dikatakan dalam fase minimum. Jika 𝜂 = 𝑞(0, 𝜂) bukan stabil asimtotik, maka sistem Persamaan 7 dikatakan dalam fase nonminimum. ANALISIS KESTABILAN DARI KONVERTER BUCK-BOOST Konverter Buck-Boost merupakan gabungan dari konverter Buck dan konverter Boost. Dalam rangkaian konverter Buck-Boost, jika saklar ditutup maka arus induktor akan naik, jika saklar dibuka maka arus induktor akan turun dan mengalir menuju beban. Oleh karena itu, nilai rata-rata tegangan beban sebanding dengan rasio antara waktu pembukaan dan penutupan saklar. Akibatnya, nilai ratarata tegangan beban bisa lebih tinggi maupun lebih rendah dari tegangan sumbernya. Rangkaian dari konverter Buck-Boost ditunjukkan dalam Gambar 1 berikut.
𝑆 𝐸 𝑢𝑐 𝒊𝒐 Gambar 1 Rangkaian utama dari konverter Buck-Boost Sumber: Shuai, 2012 Model dari rangkaian konverter Buck-Boost dengan menggunakan teknik rata-rata ruang keadaan diberikan pada Persamaan 8 dan 9. 𝑑𝑖𝐿 𝐿 = 1 − 𝑢 𝑢𝑐 + 𝑢𝐸 8 𝑑𝑡 𝑑𝑢 𝑢𝑐 𝐶 𝑐 = − 1 − 𝑢 𝑖𝐿 − (9) 𝑑𝑡 𝑅 dengan 𝐿 adalah induktor, 𝑖𝐿 adalah arus induktor, 𝑢 adalah duty cycle dari saklar S, 𝑢𝐶 adalah output
SELVIANA, HELMI, F.FRAN
324
kapasitor, 𝐸 adalah katub konstan sumber tegangan eksternal, 𝐶 adalah kapasitor, dan 𝑅 adalah resistor. 𝐿, 𝐶, 𝑅 ≠ 0 yang artinya rangkaian tersebut mempunyai nilai induktansi, kapasitansi dan resistansi. Berdasarkan Persamaan 8 dan 9 didefinisikan 𝑖𝐿 = 𝑥1 dan 𝑢𝐶 = 𝑥2 , sehingga diperoleh: 𝐿𝑥1 = 1 − 𝑢 𝑥2 + 𝑢𝐸
⇔
1
1
dan 𝐶𝑥2 = − 1 − 𝑢 𝑥1 −
⇔ dengan 𝑥1 =
𝑑𝑖 𝐿 , 𝑑𝑡
𝑥2 =
𝑑𝑢 𝑐 𝑑𝑡
𝐸𝑢
𝑥1 = 𝐿 𝑥2 − 𝐿 𝑥2 𝑢 +
1
(10)
𝐿
𝑥2 𝑅
1
1
𝑥2 = − 𝐶 𝑥1 − 𝑅𝐶 𝑥2 + 𝐶 𝑥1 𝑢.
(11)
.
Berdasarkan Persamaan 8 dan 9 diperoleh nilai 𝒇(𝒙) dan 𝒈(𝒙) untuk Persamaan 4 sebagai berikut: 1 𝑥 𝐿 2
𝒇 𝒙 =
1 1 − 𝑥1 − 𝑥 𝐶 𝑅𝐶 2
dan (𝐸 − 𝑥2 ) 𝐿 𝒈 𝒙 = . 1 𝑥1 𝐶
ANALISIS KESTABILAN SISTEM OUTPUT TEGANGAN SEARAH Output tegangan yang dihasilkan harus selalu konstan agar peralatan listrik yang disuplai oleh generator tidak cepat rusak. Berdasarkan Persamaan 4, output kapasitor tegangan searah yaitu output yang diwakili oleh tegangan kapasitor sebagai berikut: 𝒉 𝒙 = 𝑥2 − 𝑈𝑟𝑒𝑓 (12) dan ketika konverter Buck-Boost dioperasikan dalam CCM (Continuous Conduktor Mode), 𝒙 ≠ 0, yang artinya arus tidak pernah jatuh ke nol selama pertukaran arus listrik. Langkah-langkah dalam menganalisis kestabilan sistem melalui dinamika nol sebagai berikut. Langkah pertama yang dilakukan adalah menurunkan 𝒚 terhadap 𝒙 sampai didapatkan derajat relatif r. 1
𝐿𝑓 𝒉 𝒙 =
𝜕𝒉 𝒙 𝜕𝒙
∙𝒇 𝒙 = 0
𝐿𝑔 𝒉 𝒙 =
𝜕𝒉(𝒙) 𝜕𝒙
1
𝐿
1
𝑥2
1
1
− 𝐶 𝑥1 − 𝑅𝐶 𝑥2 𝐸−𝑥 2
∙𝒈 𝒙 = 0
1
1 𝐶
𝐿
𝑥1
1
= − 𝐶 𝑥1 − 𝑅𝐶 𝑥2
(13) 1
= 𝐶 𝑥1 ≠ 0
Derajat relatif dari sistem Persamaan 13, adalah 𝑟 = 1 ≠ 𝑛 = 2. Selanjutnya lakukan perubahan koordinat agar sistem Persamaan 13 berubah menjadi bentuk normal, yaitu: 1 1 𝜉 = 𝐿𝑓 𝒉 𝒙 = − 𝑥1 − 𝑥 𝐶 𝑅𝐶 2
karena 𝑛 = 2 dan 𝑟 = 1 maka perlu koordinat 𝜂 berdimensi 𝑛 − 𝑟 = 1 yang memenuhi 𝐿𝑔 𝜂 𝒙 = 𝜕𝜼(𝒙) ∙ 𝜕𝒙
𝒈 𝒙 = 0 dengan dinamika internal sistem Persamaan 4 adalah 𝜂 = 𝑞(𝜉, 𝜂), dan 𝒉 𝒙 = 𝒚 =
𝜉 = 𝑥2 − 𝑈𝑟𝑒𝑓 . Akibatnya, 𝜕𝜂 1 𝜕 𝑥1
𝜕𝜂 1 𝜕𝑥 2
𝐸−𝑥 2 𝐿 1 𝑥 𝐶 1
=0
Analisis Kestabilan Melalui Dinamika Nol...
325
dengan demikian diperoleh persamaan berikut: 𝜕𝜂 𝒙 1 𝜕𝜂 𝒙 1 ∙ 𝐸 − 𝑥2 + ∙ 𝑥 = 0. 𝜕𝑥1 𝐿 𝜕𝑥2 𝐶 1
(14)
Salah satu solusi dari Persamaan 14 yaitu 𝜂 𝒙 = 𝐿𝑥12 + 𝐶 𝐸 − 𝑥2
diperoleh 𝑥1 = ±
𝜼 𝒙 −𝐶 𝐸−𝑥 2 2 𝐿
2
(15)
untuk 𝑥2 = 𝜉 + 𝑈𝑟𝑒𝑓 .
Persamaan 4, 8, 9, dan 10 dapat ditulis kembali sebagai berikut: 𝜕𝜂 𝒙 = 2𝐿𝑥1 𝑥1 − 2𝐶 𝐸 − 𝑥2 𝑥2 𝜕𝒙 = 2𝐿𝑥1 𝑥1 + −2𝐶𝐸 + 2𝐶𝑥2 𝑥2 1 1 1 − 𝑥1 + 𝑥1 𝑢 − 𝑥 𝐶 𝐶 𝑅𝐶 2 2 2𝑥2 2𝐸𝑥2 = 2𝑥1 𝑥2 − 2𝑢𝑥1 𝑥2 + 2𝑢𝐸𝑥1 − 2𝑥1 𝑥2 + 2𝑥1 𝑥2 𝑢 − + 2𝐸𝑥1 − 2𝐸𝑥1 𝑢 + 𝑅 𝑅 2𝑥22 2𝐸𝑥2 = 2𝑢𝐸𝑥1 − + 𝑅 𝑅 𝜕𝜂 𝒙 2𝑥2 𝐸 − 𝑥2 = 2𝐸𝑥1 + 𝜕𝒙 𝑅 = 2𝐿𝑥1
1 1 𝐸𝑢 𝑥 − 𝑥 𝑢+ + 2𝐶𝑥2 − 2𝐶𝐸 𝐿 2 𝐿 2 𝐿
Berdasarkan Persamaan 15, diperoleh nilai
𝜕𝜂 𝒙 𝜕𝒙
untuk 𝑥1 =
𝜂 𝒙 −𝐶 𝐸−𝑥 2 2 𝐿
dan 𝑥1 = −
𝜼 𝒙 −𝐶 𝐸−𝑥 2 2 𝐿
berikut ini: 1.
Untuk 𝑥1 =
𝜂 𝒙 −𝐶 𝐸−𝑥 2 2 𝐿
diperoleh dinamika internal sistem sebagai berikut.
𝜂 𝒙 − C 𝐸 − (𝜉 + 𝑈𝑟𝑒𝑓 ) 𝜕𝜂 𝒙 = 2𝐸 𝜕𝒙 𝐿
2
+
2(𝜉 + 𝑈𝑟𝑒𝑓 ) 𝐸 − 𝜉 + 𝑈𝑟𝑒𝑓 𝑅
.
Selanjutnya mencari dinamika nol dari sistem Persamaan 4 dengan 𝜉 = 0 dan mengakibatkan 𝑥2 = 𝑈𝑟𝑒𝑓 , diperoleh hasil sebagai berikut: 𝜂 𝒙 − C 𝐸 − 𝑈𝑟𝑒𝑓 𝜕𝜂 𝒙 = 2𝐸 𝜕𝒙 𝐿
2
+
2𝑈𝑟𝑒𝑓 𝐸 − 𝑈𝑟𝑒𝑓 𝑅
Diperoleh output solusi dengan nilai sebagai berikut, 𝐶 = 32 𝜇𝐹; 𝑈𝑟𝑒𝑓 = 20 𝑉; 𝐸 = 22; 𝐿 = 752 𝜇𝐻; 𝑅 = 38. Untuk Persamaan 16 diperoleh grafik solusi pada Gambar 2 berikut.
𝜂(𝒙)
𝒙
Gambar 2 Grafik solusi dari dinamika nol terhadap tegangan searah 𝑥1 =
𝜂 𝒙 − 𝐶 𝐸 − 𝑥2 𝐿
2
(16)
SELVIANA, HELMI, F.FRAN
326
2.
Untuk 𝑥1 = −
𝜂 𝒙 −𝐶 𝐸−𝑥 2 2 diperoleh 𝐿
dinamika internal sistem sebagai berikut. 2
𝜂 𝒙 − C 𝐸 − 𝜉 + 𝑈𝑟𝑒𝑓 2(𝜉 + 𝑈𝑟𝑒𝑓 ) 𝐸 − 𝜉 + 𝑈𝑟𝑒𝑓 𝜕𝜂 𝒙 = −2𝐸 + . 𝜕𝒙 𝐿 𝑅 Selanjutnya mencari dinamika nol dari sistem Persamaan 5 dengan 𝜉 = 0 dan mengakibatkan 𝑥2 = 𝑈𝑟𝑒𝑓 , diperoleh hasil sebagai berikut: 𝜂 𝒙 − C 𝐸 − 𝑈𝑟𝑒𝑓 𝜕𝜂 𝒙 = −2𝐸 𝜕𝒙 𝐿
2
+
2𝑈𝑟𝑒𝑓 𝐸 − 𝑈𝑟𝑒𝑓 . 𝑅
(17)
Diperoleh output solusi dengan nilai sebagai berikut, 𝐶 = 32 𝜇𝐹; 𝑈𝑟𝑒𝑓 = 20 𝑉; 𝐸 = 22; 𝐿 = 752 𝜇𝐻; 𝑅 = 38. Untuk Persamaan 17 diperoleh grafik solusi pada Gambar 3 berikut.
𝜂(𝒙)
𝒙
Gambar 3 Grafik solusi dari dinamika nol terhadap tegangan searah 𝑥1 = −
𝜂 𝒙 − 𝐶 𝐸 − 𝑥2 𝐿
2
Dari Gambar 2 dapat dilihat bahwa grafik solusi dari dinamika nol terhadap tegangan searah tidak stabil dan pada Gambar 3 dapat dilihat bahwa grafik solusi dari dinamika nol terhadap tegangan searah stabil. Akibatnya, sistem nonlinear Persamaan 4 adalah sebuah sistem fase nonminimum. Jadi, konverter Buck-Boost dapat dikontrol melalui regulasi tegangan kapasitor dengan cara meminimumkan fase nonminimum tersebut. ANALISIS KESTABILAN MELALUI SISTEM OUTPUT ARUS SEARAH Ketika konverter Buck-Boost mendapat tegangan, maka arus listrik mengalir. Berdasarkan Persamaan 4, output dari konverter Buck-Boost yang diwakili oleh arus induktor sebagai berikut: 𝒉 𝒙 = 𝑥1 − 𝐼𝑑 (18) dengan 𝑈𝑟𝑒𝑓 1 𝐼𝑑 = ( − )𝑈𝑟𝑒𝑓 𝑅𝐸 𝑅 Langkah-langkah dalam menganalisis kestabilan sistem melalui dinamika nol sebagai berikut. Langkah pertama yang dilakukan adalah turunkan 𝑦 terhadap 𝒙 sampai didapatkan derajat relatif.
Analisis Kestabilan Melalui Dinamika Nol...
𝐿𝑓 𝒉 𝒙 =
𝜕 𝒙 𝜕𝒙
𝐿𝑔 𝒉 𝒙 =
∙𝒇 𝒙 = 1
𝜕 𝒙 𝜕𝒙
1 𝑥 𝐿 2
0
∙𝒈 𝒙 = 1 0
1 − 𝑥1 𝐶 𝐸−𝑥 2 𝐿 1 𝑥 𝐶 1
1 𝐿
= 𝑥2
1 𝑅𝐶
𝑥2
=
𝐸−𝑥 2 𝐿
−
327
(19) ≠0
Derajat relatif dari sistem Persamaan 19 dengan output diwakili oleh arus induktor adalah 𝑟 = 1 ≠ 𝑛 = 2. Selanjutnya lakukan perubahan koordinat agar sistem Persamaan 19 berubah menjadi bentuk normal, yaitu: 1 𝜉 = 𝐿𝑓 𝒉 𝒙 = 𝑥2 𝐿 karena 𝑛 = 2 dan 𝑟 = 1 maka perlu koordinat 𝜂 berdimensi 𝑛 − 𝑟 = 1 sehingga memenuhi 𝐿𝑔 𝜂 𝒙 = 𝜕𝜂 𝜕𝒙
∙ 𝒈 𝒙 = 0.
Akibatnya, 𝜕𝜂1 𝜕𝑥1
𝜕𝜂1 𝜕𝑥2
𝐸 − 𝑥2 𝐿 =0 1 𝑥1 𝐶
dengan demikian diperoleh persamaan berikut: 𝜕𝜂 𝒙 𝜕𝑥 1
1
∙ 𝐿 𝐸 − 𝑥2 +
𝜕𝜂 𝑥
1
∙ 𝐶 𝑥1 = 0
𝜕𝑥 2
sehingga diperoleh salah satu solusinya, yaitu: 𝜂 𝒙 = 𝐿𝑥12 + 𝐶 𝐸 − 𝑥2 dan diperoleh 𝑥2 = 𝐸 ±
𝜂 𝑥
−𝐿𝑥 12
20
2
(21)
untuk 𝑥1 = 𝜉 + 𝐼𝑑 .
𝐶
Dari Persamaan 19, 20, 21 dapat ditulis kembali sebagai berikut: 𝜕𝜂 𝒙 = 2𝐿𝑥1 𝑥1 + 2𝐶 𝐸 − 𝑥2 𝑥2 𝜕𝒙 1 1 𝐸𝑢 1 1 1 = 2𝐿𝑥1 𝑥2 − 𝑥2 𝑢 + + 2𝐶 𝐸 − 𝑥2 − 𝑥1 + 𝑥1 𝑢 − 𝑥 𝐿 𝐿 𝐿 𝐶 𝐶 𝑅𝐶 2 𝜕𝜂 𝒙 2𝑥2 𝐸 2𝑥22 = 2𝐸𝑥1 + − 𝜕𝒙 𝑅 𝑅 Berdasarkan Persamaan 20, diperoleh nilai
𝜕𝜂 𝒙 𝜕𝒙
untuk 𝑥2 = 𝐸 +
𝜂 𝒙 −𝐿𝑥 12 𝐶
dan 𝑥2 = 𝐸 −
berikut ini 1.
Untuk 𝑥2 = 𝐸 +
𝜂 𝒙 −𝐿𝑥 12 𝐶
diperoleh dinamika internal sistem sebagai berikut.
𝜕𝜂 𝒙 2𝑥2 𝐸 2𝑥22 = 2𝐸𝑥1 + − 𝜕𝒙 𝑅 𝑅 𝜂 𝒙 −𝐿𝑥 12
2𝐸 𝐸 + = 2𝐸𝑥1 +
= 2𝐸𝑥1 +
𝐶
𝑅 2𝐸2 𝑅
+
2𝐸
2 𝐸+ −
𝜂 𝒙 −𝐿𝑥 12 𝐶
𝑅
−
𝜂 𝒙 −𝐿𝑥 12
2
𝐶
𝑅 − 𝐿𝑥12
2 𝜂 𝒙 𝑅𝐶
−
4𝐸
𝜂 𝒙 −𝐿𝑥 12 𝐶
𝑅
−
2𝐸2 𝑅
𝜂 𝒙 −𝐿𝑥 12 𝐶
SELVIANA, HELMI, F.FRAN
328
𝜂 𝒙 −𝐿𝑥 12
2𝐸
2𝜂 𝒙 2𝐿𝑥12 = 2𝐸 𝜉 + 𝐼𝑑 − − + 𝑅 𝑅𝐶 𝑅𝐶 Selanjutnya mencari dinamika nol dari sistem Persamaan 4 dengan 𝜉 = 0 dan mengakibatkan 𝑥1 = 𝐼𝑑 , diperoleh hasil sebagai berikut: 𝐶
𝜂 (𝒙)−𝐿𝐼𝑑2
𝜕𝜂 𝒙 2𝜂(𝒙) 2𝐿𝐼𝑑2 2𝐸 = 2𝐸𝐼𝑑 − + − 𝜕𝑥 𝑅𝐶 𝑅𝐶 𝑅 Diperoleh output solusi dengan nilai sebagai berikut, 𝐶 = 32 𝜇𝐹; 𝑈𝑟𝑒𝑓 = 20 𝑉; 𝐸 = 22; 𝐿 = 752 𝜇𝐻; 𝑅 = 38; dan 𝐼𝑑 =
𝑈 𝑟𝑒𝑓 𝑅𝐸
−
1 𝑅
𝐶
.
(22)
𝑈𝑟𝑒𝑓 .
Untuk Persamaan 22 diperoleh grafik solusi pada Gambar 4 berikut.
𝜂(𝒙)
𝒙 Gambar 4 Grafik solusi dari dinamika nol terhadap arus searah 𝑥2 = 𝐸 +
2.
Untuk 𝑥2 = −
𝜂 𝒙 −𝐿𝑥 12 𝐶
𝜕𝜂 𝒙 = 2𝐸𝑥1 + 𝜕𝒙 = 2𝐸𝑥1 − = 2𝐸𝑥1 − = 2𝐸𝑥1 +
+ 𝐸 diperoleh dinamika internal sistem sebagai berikut.
2𝐸 −
2𝐸
𝜂 𝒙 −𝐿𝑥 12
𝜂 𝒙
−𝐿𝑥 12 𝐶
𝜂 𝒙 −𝐿𝑥 12 𝐶
+ +
2𝐸 2 𝑅 2𝐸 2 𝑅
𝜂 𝒙 −𝐿𝑥 12 𝐶
𝑅 𝜂 𝒙 −𝐿𝑥 2
2 −
𝜂 𝒙 −𝐿𝑥 12
−
𝑅
𝑅 2𝐸
+𝐸
𝐶
𝑅 2𝐸
𝜂 𝒙 − 𝐿𝑥12 𝐶
−2
−2 −2
𝐶
2
+𝐸
𝑅 𝜂 𝒙 −𝐿𝑥 12 𝐶
𝜂 𝒙 −𝐿𝑥 12 𝐶
− 2𝐸
+ 𝐸2
𝑅 𝜂 𝒙 − 𝐿𝑥1 𝑅𝐶
2
−
2𝐸2 𝑅
+
4𝐸
𝜂 𝒙 −𝐿𝑥 12 𝐶
𝑅
𝜂 𝒙 − 𝐿𝑥1 2 𝑅𝐶
1 2𝐸 𝜕𝜂 𝒙 2𝜂 𝒙 2𝐿𝐼𝑑2 𝐶 = 2𝐸𝑥1 + −− + 𝜕𝒙 𝑅 𝑅𝐶 𝑅𝐶 Selanjutnya mencari dinamika nol dari sistem Persamaan 4 dengan 𝜉 = 0 dan mengakibatkan 𝑥1 = 𝐼𝑑 , diperoleh hasil sebagai berikut:
Analisis Kestabilan Melalui Dinamika Nol...
2𝐿𝐼𝑑2
𝜕𝜂 𝒙 2𝜂 = 2𝐸𝐼𝑑 − + + 𝜕𝒙 𝑅𝐶 𝑅𝐶 Diperoleh output solusi dengan nilai sebagai berikut:
2𝐸
329
𝜂 𝒙 −𝐿𝐼𝑑2 𝐶
.
𝑅
𝐶 = 32 𝜇𝐹; 𝑈𝑟𝑒𝑓 = 20 𝑉; 𝐸 = 22; 𝐿 = 752 𝜇𝐻; 𝑅 = 38; dan 𝐼𝑑 =
𝑈 𝑟𝑒𝑓 𝑅𝐸
−
23 1 𝑅
𝑈𝑟𝑒𝑓 .
Untuk Persamaan 23 diperoleh grafik solusi pada Gambar 5 berikut.
𝜂(𝒙)
𝒙 Gambar 5 Grafik solusi dari dinamika nol terhadap arus searah 𝑥2 = 𝐸 −
𝜂 𝒙 − 𝐿𝑥12 𝐶
Dari Gambar 4 dan 5 dapat dilihat bahwa grafik solusi dari dinamika nol terhadap arus searah stabil, akibatnya sistem nonlinear Persamaan 4 adalah sebuah sistem fase nonminimum. Jadi, konverter BuckBoost dapat dikontrol melalui regulasi arus induktor dengan cara meminimumkan fase nonminimum tersebut. PENUTUP Berdasarkan pembahasan tersebut dapat ditarik kesimpulan, yaitu: 1. Menggunakan teknik rata-rata ruang keadaan, model dari rangkaian konverter Buck-Boost sebagai berikut: 𝑑𝑖 𝐿 𝐿 = 1 − 𝑢 𝑢𝑐 + 𝑢𝐸 𝑑𝑡 𝑑𝑢 𝑐 𝑢𝑐 = − 1 − 𝑢 𝑖𝐿 − 𝑑𝑡 𝑅 Sistem dengan output yang diwakili oleh rata-rata tegangan kapasitor merupakan sistem yang tidak stabil dan berfase nonminimum, dan sistem dengan output yang diwakili oleh rata-rata arus induktor merupakan sistem yang stabil dan berfase nonminimum. 𝐶
2.
DAFTAR PUSTAKA [1]. Ginting, Iwan, 2010, Teori Kestabilan Lyapunov, Institut Teknologi Bandung, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Bandung, (Thesis). [2]. Shuai, Dingxing, 2012, Input-Output Linearization and Stabilization Analysis of Internal Dynamic of Buck-Boost Converters, Proceding of the 31𝑠𝑡 Chinese Control Conference, 25-27 Juli, 2012, Hefei, China. [3]. Lu, et all, 1993, Nonlinear Control System and Power System Dynamics, Springer Science+Business Media Dordrecht, Beijing.
330
SELVIANA, HELMI, F.FRAN
[4]. Khalil, K. Hassan, 2002, Nonlinear System Third Edition, Prentice-Hall, Ic. [5]. Isidori, A.,1985, Nonlinear Control System, Ed ke-2, Springer, Verlag London. SELVIANA HELMI FRANSISKUS FRAN
: Jurusan Matematika FMIPA Untan, Pontianak,
[email protected] : Jurusan Matematika FMIPA Untan, Pontianak,
[email protected] : Jurusan Matematika FMIPA Untan, Pontianak,
[email protected]
