Algebraïsche grafentheorie: van polaire ruimten tot onderzoekend leren

Faculteit Wetenschappen Vakgroep Wiskunde

Algebra¨ısche grafentheorie: van polaire ruimten tot onderzoekend leren Linda Van Puyvelde Promotor: dr. Jan De Beule Co-promotor: prof. dr. Hendrik Van Maldeghem

Masterproef ingediend tot het behalen van de academische graad van Master in de Wiskunde, afstudeerrichting Zuivere Wiskunde. Academiejaar 2013-2014

Voorwoord In het eerste deel van deze thesis bestuderen we toepassingen van algebra¨ısche grafentheorie in de eindige meetkunde, meer bepaald in de studie van deelstructuren van eindige klassieke polaire ruimten zoals ovo¨ıden, spreads en tight sets. Zo bespreken we onder andere een resultaat van F. Vanhove over een scherpe bovengrens voor de grootte van een partiële spread in H(4n + 1, q 2 ) dat hij zowel met behulp van algebra¨ısche grafentheorie bewees als op puur meetkundige manier. We bespreken ook een artikel van Bose en Shrikhande dat de link legt tussen partiële meetkundes, (pseudo-)meetkundige grafen en designs. Dit leidt tot een resultaat over veralgemeende vierhoeken van orde (s, s2 ) dat in het vierde hoofdstuk gebruikt wordt. Verder geven we een overzicht van de resultaten in verband met het bestaan van ovo¨ıden in eindige klassieke polaire ruimten, waaronder een aantal zeer korte bewijsjes voor niet-bestaansresultaten van eindige klassieke polaire ruimten van lage rang, die gebruik maken van het bestaan van bepaalde tight sets. Deze korte bewijzen kunnen er in principe op wijzen dat de open gevallen via deze techniek bestudeerd kunnen worden. Het is in dit verband dat we het resultaat van Bose en Shrikhande zullen gebruiken. In het kader van deze niet-bestaansresultaten is er ook een paragraaf in verband met hemisystemen, meerbepaald over het resultaat van J.A. Thas dat iedere m-ovo¨ıde van een veralgemeende vierhoek van orde (s, s2 ) een hemisysteem is. We bewijzen dit via tight sets en ook hier gebruiken we het resultaat van Bose en Shrikhande. Het spreekt voor zich dat we, vooraleer we tot deze interessante resultaten komen, eerst een grondige basis leggen op het vlak van de algebra¨ısche grafentheorie en de link met meetkundige structuren. In het tweede deel van deze thesis werden twee lessenreeksen uitgewerkt voor het secundair onderwijs. Eerst geven we een introductie en motivatie in verband met de keuze van de onderwerpen van deze twee lessenreeksen, daarna wordt elke les in detail besproken. In het laatste hoofdstuk kan u mijn reflecties lezen over de tien lessen die ik gegeven heb in de derde graad van het secundair onderwijs. Het eerste lessenpakket gaat over de Hoffmangrens voor coklieken in reguliere grafen. Het doel van de lessenreeks is om samen met de leerlingen tot een bewijs van deze stelling te komen. Daarbij krijgen de leerlingen eerst een aantal lessen in verband met grafen, adjacentiematrices, karakteristieke vectoren en positief semi-definiete matrices, waarin de theorie wordt opgebouwd die nodig is om tot een elementair bewijs van de Hoffmangrens te komen. In de lessenreeks is ook een toets opgenomen, net als een les over toepassingen van grafen in het dagelijks leven. Voor het tweede lessenpakket was het de bedoeling om een lessenreeks te ontwikkelen voor onderzoekend leren in de wiskunde, en ook dit lessenpakket gaat over grafen. Het programma Grinvin, dat ontwikkeld werd aan de Universiteit Gent, bleek ideaal om onderzoekend leren in het secundair onderwijs te stimuleren. De eerste les uit deze reeks is een inleiding in de grafentheorie, waar de leerlingen kennismaken met de basisbegrippen in verband met grafen. De andere drie lessen zijn bedoeld om te geven in een computerlokaal, waarbij de leerlingen alleen of per twee werken aan allerlei opdrachten. In deze drie lessen fungeert de leerkracht als een coach die de leerlingen begeleidt en ondersteunt in hun leerproces. De lessenpakketten zijn integraal terug te vinden in de appendices bij deze thesis. i

ii

Dankwoord Ik zou deze thesis willen opdragen aan Frédéric Vanhove, die in november 2013 overleed. In zijn lessen van het vak Capita Selecta in de Meetkunde maakte ik kennis met algebra¨ısche grafentheorie en de stelling van Hoffman. Het bewijs dat ik in het secundair onderwijs gegeven heb van deze stelling, is gebaseerd op de versie die ik van hem heb geleerd. Zonder hem zou deze thesis er helemaal anders uitgezien hebben. Deze thesis zou er helemaal niét gekomen zijn zonder de hulp, de begeleiding en het enthousiasme van mijn promotor dr. Jan De Beule. Ik wil hem bedanken voor zijn bereidheid om mee te stappen in het nieuwe idee van een meetkundig ge¨ınspireerde thesis met een didactisch gedeelte, voor de inspiratie en de opdrachten die hij me gaf en voor zijn hulp wanneer ik er zelf niet uitgeraakte. Daarnaast wil ik ook mijn co-promotor prof. dr. Hendrik Van Maldeghem bedanken, die het didactische gedeelte van deze thesis voor zijn rekening nam. Het deed me plezier dat zowel dr. De Beule als prof. Van Maldeghem zeer ge¨ıntereseerd waren om de lessen bij te wonen die ik gegeven heb in het kader van het didactische deel van deze thesis. Zonder de kritische opmerkingen en suggesties van Gommaar Maes waren de lessenreeksen niet zo haalbaar geweest als ze nu bleken. Dank ook aan Lien en Annelies voor het uittesten van de oefeningen en de toets, en hun nuttige suggesties in verband met de lessen. Ik wil ook graag professor emeritus Frank De Clerck bedanken, die me op weg zette om een onderwerp binnen de meetkunde te vinden dat te combineren zou zijn met een didactisch gedeelte in mijn thesis. Ik bedank ook mijn vriend Erik Rijcken voor zijn niet-aflatende steun en aanmoedigingen en Maarten De Boeck met wie ik over meetkundige of grafentheoretische constructies kon praten. Uiteraard wil ik hier ook een bedankje richten aan de twee wiskundeleerkrachten van wie ik in totaal 10 lessen cadeau kreeg om de lessenpakketten die ik samengesteld heb voor deze thesis, in praktijk te kunnen brengen. Zonder de steun van mijn ouders zou ik deze studie niet aangevat hebben, en zonder mijn vrienden en vriendinnen in en buiten de wiskunde-opleiding zou ik deze studie wellicht niet volgehouden hebben. Linda Van Puyvelde

iii

iv

Inhoudsopgave Voorwoord

i

Dankwoord

ii

I Toepassingen van algebra¨ısche grafentheorie in eindige klassieke polaire ruimten 1 1 Inleiding 1.1

3

Projectieve en polaire ruimten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1

De vijf types van eindige klassieke polaire ruimten . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Veralgemeende vierhoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3

Deelstructuren van klassieke polaire ruimten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3.1

Ovo¨ıden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3.2

Spreads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3.3

Tight sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

Algebra¨ısche grafentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4

2 Grafen geassocieerd aan meetkundes

13

2.1

Associatieschema’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.2

Afstandsreguliere grafen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.2.1

Eigenwaarden van afstandsreguliere grafen . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.3

De polaire graaf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.4

Gewogen intrigerende verzamelingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.5

De duale polaire graaf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.6

Bovengrens op de grootte van partiële spreads van H(4n + 1, q 2 )

. . . . . . . . .

27

2.6.1

Grafentheoretisch bewijs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.6.2

Meetkundig bewijs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

v

vi

INHOUDSOPGAVE

3 (Pseudo-)Meetkundige grafen 3.1

3.2

3.3

31

Meetkundige grafen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

3.1.1

Partiële meetkundes en sterk reguliere grafen . . . . . . . . . . . . . . . .

31

3.1.2

Designs en associatieschema’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

Pseudo-meetkundige grafen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

3.2.1

Van pseudo-meetkundige grafen naar SRGD designs . . . . . . . . . . . .

35

3.2.2

Pseudo-meetkundige grafen en het design D(θ0 ) . . . . . . . . . . . . . . .

37

Partiële meetkundes en meetkundige grafen (q 2 + 1, q + 1, 1) . . . . . . . . . . .

4 Bestaan en niet-bestaan van ovo¨ıden

II

39 41

4.1

Niet-bestaan van ovo¨ıden in Q− (5, q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

4.2

Niet-bestaan van ovo¨ıden in H(4, q 2 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

4.3

Niet-bestaan van ovo¨ıden in W(5, q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

4.4

Hemisystemen in Q− (5, q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

4.5

Een overzicht: wat we (nog niet) weten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

Grafentheorie in het secundair onderwijs

55

1 Introductie en motivatie

57

1.1

De Hoffmangrens voor coklieken van reguliere grafen . . . . . . . . . . . . . . . .

58

1.2

Onderzoekend leren met grafen en Grinvin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

2 Beschrijving van de lessenreeksen 2.1

2.2

61

De Hoffmangrens voor coklieken van reguliere grafen . . . . . . . . . . . . . . . .

61

2.1.1

Les 1: Grafentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

2.1.2

Les 2: Eigenwaarden, eigenvectoren en eigenruimten . . . . . . . . . . . .

62

2.1.3

Les 3: Aanloop naar het bewijs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

2.1.4

Les 4: Het bewijs van de stelling van Hoffman

. . . . . . . . . . . . . . .

62

2.1.5

Les 5: Evaluatiemoment - Toepassingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

2.1.6

Les 6: En verder... tweede deel van de stelling van Hoffman . . . . . . . .

63

Onderzoekend leren met grafen en Grinvin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

2.2.1

Les 1: Onderzoekend leren met grafen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

2.2.2

Les 2: Kennismaking met Grinvin en invarianten van grafen . . . . . . . .

64

2.2.3

Les 3: Vermoedens en tegenvoorbeelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

2.2.4

Les 4: Verder redeneren met Grinvin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

3 Reflectie op deze lessenreeksen

67

3.1

Reflectie op De Hoffmangrens voor coklieken van reguliere grafen . . . . . . . . .

67

3.2

Reflectie op Onderzoekend leren met grafen en Grinvin . . . . . . . . . . . . . . .

69

INHOUDSOPGAVE

vii

Appendices

72

A English summary

75

B Lessenpakket 1

77

C Lessenpakket 2

123

Referenties

165

Deel I

Toepassingen van algebra¨ısche grafentheorie in eindige klassieke polaire ruimten

1

Hoofdstuk 1

Inleiding We beginnen met het herhalen van een aantal concepten. We veronderstellen hierbij dat de lezer een basiskennis in verband met projectieve meetkunde en grafentheorie bezit.

1.1

Projectieve en polaire ruimten

Voor de volledigheid herhalen we ook de definities van een incidentiemeetkunde en van een projectieve meetkunde. Definitie 1.1.1. Een incidentiemeetkunde van rang n is een geordende verzameling (S, I, ∆, σ), waarbij S een nietledige verzameling van variëteiten, I een binaire symmetrische incidentierelatie, ∆ een eindige verzameling van grootte n is en σ een surjectieve type-afbeelding van S naar ∆, zodanig dat geen enkel geordend paar van elementen van S met hetzelfde type bevat is in I. Definitie 1.1.2. De projectieve ruimte of projectieve meetkunde PG(n, K) is de incidentiemeetkunde (S, I, ∆, σ), afgeleid van een linkse vectorruimte V (n + 1, K) van dimensie n + 1 over een delingsring K. De verzameling S bestaat uit de deelruimten van V (n + 1, K) verschillend van de ledige deelruimte en de volledige vectorruimte, I is de symmetrische strikte inclusie, ∆ is de verzameling {1, 2, . . . , n}, en σ beeldt iedere deelruimte af op haar projectieve dimensie (d.w.z. vectoriële dimensie verminderd met één) over K. We zullen in deze thesis enkel werken met projectieve ruimten over een eindig veld, waarbij we PG(n, GF(q)) noteren als PG(n, q). Definitie 1.1.3. Een polaire ruimte S van rang n met n > 2 is een incidentiemeetkunde (S, I, {1, . . . , n}, σ), waarbij alle variëteiten deelverzamelingen zijn van σ −1 (1) (dit is de verzameling van variëteiten van type 1, ook wel de punten genoemd), en incidentie wordt gedefinieerd als een symmetrische strikte inclusie, die voldoet aan de volgende axioma’s: • De incidentiestructuur verkregen door het beschouwen van alle variëteiten die strikt bevat zijn in een gegeven variëteit van grootte minstens twee, is isomorf met een projectieve ruimte van projectieve dimensie m met 1 6 m 6 n − 1, en in dat geval zeggen we dat de variëteit projectieve dimensie m heeft. • De doorsnede van twee variëteiten is ofwel opnieuw een variëteit ofwel ledig.

• Zij π een variëteit van projectieve dimensie n − 1 en p een punt dat niet bevat is in π, dan bestaat er een unieke variëteit π 0 zodanig dat p ∈ π 0 en dat π ∩ π 0 projectieve dimensie n − 2 heeft. Bovendien bevat π 0 alle punten van π die in een gemeenschappelijke variëteit zitten met p. • Er bestaan twee disjuncte variëteiten van projectieve dimensie n − 1. 3

4

HOOFDSTUK 1. INLEIDING

In een polaire ruimte noemen we de variëteiten van projectieve dimensie 1 de rechten, de variëteiten van projectieve dimensie 2 noemen we de vlakken van de polaire ruimte en de variëteiten van projectieve dimensie n − 1 noemen we generatoren. We noteren de verzameling van de punten van een polaire ruimte met P, de verzameling van de rechten van een polaire ruimte met L en de verzameling van de generatoren van een polaire ruimte S noteren we met G(S). Wanneer een punt en een rechte incident zijn, zeggen we dat het punt op de rechte ligt, of dat de rechte het punt bevat of door het punt gaat. Wanneer twee verschillende punten incident zijn met eenzelfde rechte, noemen we deze punten collineair. Wanneer twee verschillende rechten incident zijn met eenzelfde punt, dan noemen we deze rechten concurrent of zeggen we dat deze rechten snijden in dat punt. Twee verschillende rechten die niet snijden noemen we scheef. Het aantal m-dimensionale ruimten in een projectieve ruimte PG(n, q) noteren we als n+1 m+1 q , waarbij [ab ]q de Gauss coëfficiënt genoemd wordt, en gedefinieerd is als [ab ]q

1.1.1

=

(Q b

i=1

0

q a+1−i −1 q i −1

als a > b en a, b ∈ N = {0, 1, . . .} anders

.

De vijf types van eindige klassieke polaire ruimten

Er zijn vijf verschillende types van eindige klassieke polaire ruimten, die, op een coördinatentransformatie na, beschreven kunnen worden als volgt: • De elliptische kwadriek Q− (2n + 1, q), n > 1, bestaande uit alle punten van PG(2n + 1, q) die voldoen aan de standaardvergelijking x0 x1 + . . . + x2n−2 x2n−1 + f (x2n , x2n+1 ) = 0, waarbij f een homogeen irreduciebel polynoom van graad 2 is over Fq . • De parabolische kwadriek Q(2n, q), n > 1, bestaande uit alle punten van PG(2n, q) die voldoen aan de standaardvergelijking x0 x1 + . . . + x2n−2 x2n−1 + x22n = 0. • De hyperbolische kwadriek Q+ (2n+1, q), n > 0, bestaande uit alle punten van PG(2n+1, q) die voldoen aan de standaardvergelijking x0 x1 + . . . + x2n−2 x2n−1 + x2n x2n+1 = 0. • De symplectische polaire ruimte W(2n + 1, q), n > 0, die bestaat uit alle punten van PG(2n + 1, q) samen met alle totaal isotrope deelruimten met betrekking tot de standaard symplectische vorm θ(x, y) = x0 y1 − x1 y0 + . . . + x2n y2n+1 − x2n+1 y2n . • De Hermitische variëteit H(n, q 2 ), n > 1, bestaande uit alle punten van PG(n, q 2 ) die voldoen aan de standaardvergelijking xq+1 + . . . + xq+1 = 0. n 0

5

1.1. PROJECTIEVE EN POLAIRE RUIMTEN

Voor de kleinste toegelaten n zijn dit puntenverzamelingen, die we eindige klassieke polaire ruimten van rang 1 noemen, voor de volgende n zijn dit eindige klassieke polaire ruimten die voldoen aan Definitie 1.1.3. Merk op dat een kwadriek en een Hermitische variëteit volledig bepaald zijn door hun puntenverzameling; ze kunnen dus inderdaad beschreven worden als de verzameling van alle punten die voldoen aan een zekere standaardvergelijking. Hun deelruimten zijn dan precies die deelverzamelingen van punten waarvoor geldt dat de projectieve rechte door twee willekeurige punten van die puntenverzameling volledig bevat is in die puntenverzameling (waarbij we een rechte identificeren met de punten die erop gelegen zijn). Hieronder geven we een overzicht van de rang, het aantal punten en het aantal generatoren. Notatie Q− (2n

+ 1, q)

Rang n

Aantal punten (q n+1

+

n −1 1) qq−1 n

−1 (q n + 1) qq−1

Aantal generatoren (q 2

+ 1)(q 3 + 1) · · · (q n+1 + 1)

(q + 1)(q 2 + 1)(q 3 + 1) · · · (q n + 1)

Q(2n, q)

n

Q+ (2n + 1, q)

n+1

(q n + 1) q

W(2n + 1, q)

n+1

(q n+1 + 1) q

H(2n, q 2 )

n

−1 (q 2n+1 + 1) qq2 −1

2n

(q 3 + 1)(q 5 + 1) · · · (q 2n+1 + 1)

H(2n + 1, q 2 )

n+1

(q 2n+1 + 1) q q2 −1−1

2n+2

(q + 1)(q 3 + 1) · · · (q 2n+1 + 1)

n+1 −1

q−1

n+1 −1

q−1

2(q + 1)(q 2 + 1) · · · (q n + 1) (q + 1)(q 2 + 1) · · · (q n+1 + 1)

We voeren nu een parameter ε in, met de bedoeling om een aantal eigenschappen voor alle eindige klassieke polaire ruimten tegelijk te kunnen opschrijven.   0 als S symplectisch of parabolisch is      −1 als S hyperbolisch is ε= 1 als S elliptisch is   1  als S Hermitisch is in even dimensie   2   −1 als S Hermitisch is in oneven dimensie 2 Men controleert eenvoudig dat we het aantal punten en het aantal generatoren van een polaire ruimte S van rang n als volgt kunnen samenvatten. Eigenschap 1.1.4. Het aantal punten van een klassieke polaire ruimte S van rang n met parameter ε is gelijk aan qn − 1 |P| = (q n+ε + 1) . q−1

Het aantal generatoren van een klassieke polaire ruimte S van rang n met parameter ε is gelijk aan n Y q (n−i+ε+1) + 1. i=1

Voor het geval van een Hermitische polaire ruimte is het noodzakelijk dat q een kwadraat is.

6


1.2

Veralgemeende vierhoeken

Definitie 1.2.1. Een veralgemeende vierhoek S is een incidentiestructuur van punten en rechten zodanig dat: • elk paar van verschillende punten op hoogstens één rechte ligt,

• er natuurlijke constanten s en t bestaan zodanig dat elke rechte precies s + 1 punten bevat en dat elk punt op precies t + 1 rechten ligt, • gegeven een punt p en een rechte L niet incident met p, er een unieke rechte bestaat door p die L snijdt. We zeggen dan dat de veralgemeende vierhoek orde (s, t) heeft. Polaire ruimten van rang 2 zijn voorbeelden van veralgemeende vierhoeken. We zullen enkel dikke veralgemeende vierhoeken beschouwen, dat zijn de veralgemeende vierhoeken waarbij zowel s > 1 als t > 1. We merken nog op dat de duale van een veralgemeende vierhoek van orde (s, t) opnieuw een veralgemeende vierhoek is, met orde (t, s). Er zijn vijf klassieke veralgemeende vierhoeken. Hieronder geven we een overzicht met hun bijhorende paramaters. Naam Orde

W(3, q) (q, q)

Q(4, q) (q, q)

Q− (5, q) (q, q 2 )

H(3, q 2 ) (q 2 , q)

H(4, q 2 ) (q 2 , q 3 )

Merk op dat we nu de notatie ε kunnen gebruiken om de orde van een klassieke veralgemeende vierhoek op te schrijven als (q, q ε+1 ), waarbij q een kwadraat is in de Hermitische gevallen. In [20] vinden we het volgende elegante bewijsje voor het aantal punten en het aantal rechten van een veralgemeende vierhoek. Eigenschap 1.2.2. In een veralgemeende vierhoek S met puntenverzameling P en rechtenverzameling L geldt dat |P| = (s + 1)(st + 1) en |L| = (t + 1)(st + 1). Bewijs. Kies een rechte L van S en tel op twee verschillende manieren het aantal koppels (p, M ) ∈ P × L met p niet incident met L, p op M en L en M snijdend. Dan vinden we: |P| − s − 1 = (s + 1)ts, vermits we (s+1)t keuzes hebben voor M , en op elke dergelijke rechte hebben we s mogelijkheden voor p. Zo vinden we dat |P| = (s + 1)(st + 1). Wegens dualiteit vinden we meteen dat |L| = (t + 1)(st + 1). Notatie: voor een punt p ∈ P van een veralgemeende vierhoek S noteren we met p⊥ de verzameling van alle punten in P die collineair zijn met p. We spreken af dat elk punt collineair is met zichzelf. Voor een deelverzameling A ⊆ P van punten van een veralgemeende vierhoek S noteren we met A⊥ de verzameling van alle punten uit P die collineair zijn met alle punten van de verzameling A. Eigenschap 1.2.3. Gegeven een punt p van een veralgemeende vierhoek S, zijn er s(t + 1) andere punten van S die collineair zijn met p. Bewijs. We zoeken dus |p⊥ \ {p}|. Door p gaan precies t + 1 rechten. Op elk van die rechten liggen precies s punten verschillend van p. Bijgevolg is het aantal punten van S, collineair met p, gelijk aan s(t + 1).

1.3. DEELSTRUCTUREN VAN KLASSIEKE POLAIRE RUIMTEN

7

Notatie: we zullen p⊥ \ {p} ook wel noteren als p∼ . Zij x en y twee niet-collineaire punten van een veralgemeende vierhoek S. Wegens het laatste axioma van een veralgemeende vierhoek, is |{x, y}⊥ | = t + 1 en hebben we ook dat 2 6 |{x, y}⊥⊥ | 6 t + 1 omdat er slechts t + 1 rechten door een punt gaan. De verzameling van de punten van {x, y}⊥⊥ noemen we de hyperbolische rechte door x en y. Merk op dat x en y inderdaad bevat zijn in {x, y}⊥⊥ . Definitie 1.2.4. De sluiting cl(x, y) van een paar {x, y} verschillende punten van een veralgemeende vierhoek wordt gedefinieerd als de verzameling van alle punten die collineair zijn met een punt in {x, y}⊥⊥ . Dit betekent dat, voor x en y twee niet-collineaire punten, de sluiting bestaat uit alle punten op alle rechten die een punt van {x, y}⊥ verbinden met een punt van {x, y}⊥⊥ .

1.3 1.3.1

Deelstructuren van klassieke polaire ruimten Ovo¨ıden

Ovo¨ıden van polaire ruimten van rang n > 2 werden voor het eerst ingevoerd door J.A. Thas in 1972 (zie [24]). Ze worden gedefinieerd als volgt. Definitie 1.3.1. Zij S een eindige klassieke polaire ruimte van rang n > 2. Een ovo¨ıde is een verzameling O van punten van S, die met elke generator van S precies één punt gemeenschappelijk heeft. Eigenschap 1.3.2. Een ovo¨ıde van Q− (2n − 1, q), Q(2n, q), Q+ (2n + 1, q) of W(2n − 1, q) bevat q n + 1 punten. Een ovo¨ıde van H(2n, q 2 ) of H(2n + 1, q 2 ) bevat q 2n+1 + 1 punten. Bewijs. Zij Sn de polaire ruimte van rang n waarvoor we het gestelde willen nagaan. We tellen dan het aantal elementen van de verzameling S met S = {(p, π)||p ∈ O, π een generator door p} op twee manieren. We noteren met g het aantal generatoren door een punt. Startend met p vinden we |S| = |O| · g; startend met π vinden we |S| = (|G(Sn )|) · 1. Bovendien is aantal generatoren door een punt van Sn (g dus) gelijk aan het aantal generatoren van Sn−2 . Terugkijkend naar de tabel in paragraaf 1.1.1 vinden we inderdaad het gestelde. Het is interessant om te onderzoeken in welke eindige klassieke polaire ruimten er effectief ovo¨ıden bestaan. Dit doen we dan ook in één van de volgende hoofdstukken. Wanneer voor een bepaalde eindige klassieke polaire ruimte bewezen is dat ze geen ovo¨ıden heeft, is een mogelijke volgende stap het onderzoeken van (een bovengrens op) de mogelijke grootte van een partiële ovo¨ıde. Definitie 1.3.3. Een partiële ovo¨ıde van een eindige klassieke polaire ruimte S van rang n > 2 is een verzameling O ⊂ P van punten zodanig dat elke twee punten van O niet-collineaire punten zijn. Voor een partiële ovo¨ıde O geldt dus dat elke generator van de polaire ruimte hoogstens één punt van O bevat. In 1989 breidde J.A. Thas het concept van ovo¨ıden uit naar m-ovo¨ıden voor veralgemeende vierhoeken (en dus ook voor polaire ruimten van rang 2) in [25]. Definitie 1.3.4. Een m-ovo¨ıde O van een veralgemeende vierhoek S is een verzameling van punten zodanig dat elke rechte juist m punten van de verzameling O bevat.

8


Opmerking. Het duale van een m-ovo¨ıde, namelijk een verzameling van rechten die elk punt m keer bedekken, werd, voor H(3, q 2 ) en zijn duale Q− (5, q), al veel eerder ingevoerd en bestudeerd door B. Segre in [21]. Een dergelijke verzameling wordt een m-cover genoemd. Eigenschap 1.3.5. Een m-ovo¨ıde O van een veralgemeende vierhoek S bevat m(st + 1) punten. Bewijs. We vinden dit via een dubbele telling: we tellen het aantal koppels (p, L), met p ∈ O, L een rechte van S en p ∈ L. Beginnend met p vinden we |O| · (t + 1). Beginnend met L vinden we |L| · m = (t + 1)(st + 1)m, waaruit meteen volgt dat |O| = (st + 1)m.

1.3.2

Spreads

In 1964 werden spreads in projectieve ruimten ge¨ıntroduceerd door R.H. Bruck en R. C. Bose in [9]. In 1967 definieerde D. Mesner in [18] partiële spreads in PG(3, q). Definitie 1.3.6. Een spread is een verzameling van paarsgewijs disjuncte generatoren die een partitie vormen van de puntenverzameling P van de polaire ruimte. Een partiële spread van een polaire ruimte is een verzameling van paarsgewijs disjuncte generatoren. Definitie 1.3.7. Een maximale partiële spread is een partiële spread die niet kan uitgebreid worden tot een grotere partiële spread. Ook voor spreads is het interessant om te bestuderen in welke eindige klassieke polaire ruimten ze bestaan. Indien geweten is dat ze niet bestaan, wordt ook hier gezocht naar (een bovengrens op) de grootte van een maximale partiële spread. Een dergelijk resultaat van F. Vanhove, dat in eerste instantie verkregen werd via technieken uit de algebra¨ısche grafentheorie, zullen we in het volgende hoofdstuk in detail bespreken. Eigenschap 1.3.8. Een spread van Q− (2n − 1, q), Q(2n, q), Q+ (2n + 1, q) of W (2n − 1, q) bevat q n + 1 generatoren. Een spread van H(2n, q 2 ) of H(2n + 1, q 2 ) bevat q 2n+1 + 1 generatoren. Bewijs. Omdat een spread een verzameling van generatoren is die een partitie vormt van de puntenverzameling, vinden we eenvoudig dat het aantal elementen van een spread gelijk is aan het aantal punten van de polaire ruimte, gedeeld door het aantal punten in een generator van die polaire ruimte. Terugkijkend naar de tabel in paragraaf 1.1.1, vinden we inderdaad het gestelde. Opmerking. Voor een veralgemeende vierhoek is het meteen duidelijk dat spreads en ovo¨ıden duale begrippen zijn.

1.3.3

Tight sets

In 1987 werden de tight sets door S.E. Payne ingevoerd en nauwkeurig bestudeerd in [19]. Er zijn verschillende equivalente definities van tight sets. We geven hieronder eerst de oorspronkelijke definitie van Payne uit [19] en daarna één die explicieter weergeeft wat we ons mogen voorstellen bij dit concept, uit [2]. In het volgende hoofdstuk zullen we nog een meer algebra¨ısche definitie zien van tight sets, uit [1], die we dan zullen uitbreiden tot een definitie voor gewogen tight sets. Definitie 1.3.9. Een puntenverzameling T van een veralgemeende vierhoek S van orde (s, t) is tight als gemiddeld elk punt p ∈ T collineair is met het maximale aantal punten van T . Als dit maximale aantal s + i is, dan noemen we de verzameling T een i-tight set.

1.4. ALGEBRAÏSCHE GRAFENTHEORIE

9

Definitie 1.3.10. Een verzameling van punten T van een veralgemeende vierhoek S van orde (s, t) is een i-tight set als ( s + i als p ∈ T , |p⊥ ∩ T | = i als p ∈ / T. We noemen een verzameling van punten van een veralgemeende vierhoek een tight set als het een i-tight set is voor een zekere i. Eigenschap 1.3.11. Een i-tight set T van een veralgemeende vierhoek S van orde (s, t) bevat i(s + 1) punten. Bewijs. Dit vinden we via een dubbele telling. We tellen het aantal koppels (p, q), met p ∈ T , q∈ / T en p collineair met q. Beginnend met p vinden we |T |·(s(t+1)+1−(s+i)) = |T |·(st+1−i), aangezien elk punt p in T collineair is met s(t + 1) + 1 punten (inclusief p zelf) en daarvan zijn er s + i punten bevat in T , die dus niet de rol van q kunnen spelen. Beginnend met q vinden we |P \ T | · i = ((s + 1)(st + 1) − |T |) · i, aangezien elk punt q buiten T collineair is met i punten van T . Hieruit vinden we dan dat |T | · (st + 1) = (s + 1)(st + 1)i, waaruit het gestelde volgt.

1.4

Algebra¨ısche grafentheorie

Definitie 1.4.1. Een simpele eindige graaf Γ is een koppel (V Γ, EΓ) waarbij V Γ een eindige verzameling van toppen is, en EΓ een eindige verzameling van bogen. Een boog is een paar van twee verschillende toppen. In de algebra¨ısche grafentheorie kan een gegeven simpele eindige graaf met n toppen voorgesteld worden als een matrix. We nummeren de toppen op een willekeurige, maar vanaf nu vaste manier, en definiëren een n × n-matrix A = (aij ), als volgt: ( 1 aij = 0

als i ∼ j, anders.

Zo verkrijgen we een matrix, opgebouwd uit nullen en enen, met nullen op de diagonaal. Definitie 1.4.2. De graad van een top in een graaf is het aantal buren van die top. Wanneer elke top van een graaf dezelfde graad k heeft, dan noemen we die graaf (k)-regulier, met valentie k. Definitie 1.4.3. Een sterk reguliere graaf Γ met parameters (n, k, λ, µ) is een niet-ledige, niet-complete reguliere graaf met n toppen en valentie k, zodanig dat elke twee verschillende adjacente toppen precies λ gemeenschappelijke buren hebben en elke twee verschillende nietadjacente toppen precies µ gemeenschappelijke buren hebben. We beschrijven nu een fundamentele stelling zoals die terug te vinden is in [8]. Deze stelling is ook met bewijs terug te vinden in de cursus Grafentheorie van prof. Van Maldeghem.

10


Stelling 1.4.4. Zij A = (aij ) de adjacentiematrix van een samenhangende sterk reguliere graaf Γ met parameters (n, k, λ, µ). Dan heeft A drie verschillende eigenwaarden, namelijk k, e+ en e− met multipliciteiten 1, f + en f − respectievelijk: p λ − µ + (λ − µ)2 + 4(k − µ) + e = , 2 p λ − µ − (λ − µ)2 + 4(k − µ) , e− = 2 k(e− + 1)(k − e− ) f+ = , (k + e+ e− )(e+ − e− ) k(e+ + 1)(k − e+ ) f− = . (k + e+ e− )(e− − e+ )

Merk op dat e+ > 0 en e− < 0.

2 Bewijs. We bepalen Pneerst de elementen van A = (bij ). We hebben bij = r=1 air ajr , wat betekent dat we een bijdrage één krijgen voor iedere combinatie van i en j waarvoor air = ajr = 1. Voor i = j tellen we het aantal toppen r die verbonden zijn met top i, dit is precies de valentie k. Voor i 6= j waarbij top i adjacent is met top j tellen we het aantal toppen r die zowel met top i als met top j verbonden zijn, dat aantal is precies gelijk aan λ. Als nu i 6= j en top i en j zijn bovendien niet adjacent, dan tellen we opnieuw het aantal toppen r die zowel met top i als met top j verbonden zijn, en in dit geval is dat aantal precies gelijk aan µ. Dus is A2 = kI + λA + µ(J − I − A), waarbij I de identiteitsmatrix is en J de matrix waarvan elk element gelijk is aan 1. Dit kunnen we nog herschrijven als

A2 + (µ − λ)A + (µ − k)I = µJ.

(1.4.1)

Veronderstel nu dat m een eigenwaarde is van A met eigenvector v = (v1 , . . . , vn ). Uit (1.4.1) volgt dan dat v ook een eigenvector is van de matrix µJ. Vermenigvuldigen we nu beide leden van (1.4.1) met v, dan krijgen we: 2

(m + (µ − λ)m + (µ − k))vj = µ

n X

vi

j = 1, . . . , n.

(1.4.2)

i=1

Als het rechterlid van deze uitdrukking verschillend is van nul, dan zijn alle vj (j = 1, . . . , n) gelijk, en dan is m = k vermits Aj = kj (met j = (1, . . . , 1)). In het bijzonder hebben we dan k 2 + (µ − λ)k + µ − k = µn, en omdat de eigenruimte horende bij de eigenwaarde k voortgebracht wordt door j, is deze ééndimensionaal. Omdat A symmetrisch is, en dus diagonaliseerbaar, is de multipliciteit van de eigenwaarde k dus gelijk aan 1. Als het rechterlid van (1.4.2) gelijk is aan nul, dan voldoet m aan de kwadratische vergelijking x2 + (µ − λ)x + µ − k = 0. Aangezien A zeker een negatieve eigenwaarde heeft (de eigenwaarde k > 0 en het spoor van A is 0) en de constante term µ − k van de kwadratische vergelijking kleiner dan of gelijk aan nul is, zijn er twee oplossingen, x = e+ en x = e− met e+ > 0 en e− < 0. √ √ λ−µ+ (λ−µ)2 +4(k−µ) λ−µ− (λ−µ)2 +4(k−µ) + − Dus e = en e = . 2 2 Bovendien geldt e− e+ = µ − k, e− + e+ = λ − µ en (k − e− )(k − e+ ) = µn. In het bijzonder hebben we dat k = e+ ⇔ µ = 0, wat niet kan wegens de gebruikte definitie van een sterk reguliere graaf en het feit dat de graaf in deze stelling samenhangend verondersteld wordt.

1.4. ALGEBRAÏSCHE GRAFENTHEORIE

11

Aangezien n > 0, volgt uit (k − e− )(k − e+ ) = µn dat k > e+ > e− . Om de multipliciteiten f + en f − van de eigenwaarden e+ en e− respectievelijk te berekenen, gebruiken we een stelsel van twee lineaire vergelijkingen in twee onbekenden f + en f − . Enerzijds weten we dat de som van de multipliciteiten gelijk is aan het aantal toppen: 1 + f + + f − = n, anderzijds hebben we dat de som van alle eigenwaarden, multipliciteiten meegerekend, gelijk moet zijn aan nul: k + e+ f + + e− f − = 0. Men kan nagaan dat dit het volgende oplevert: f+ =

k(e− + 1)(k − e− ) (e− + 1)k(k − e− ) = (k + e+ e− )(e+ − e− ) µ(e− − e+ )

en f− =

k(e+ + 1)(k − e+ ) = n − 1 − f +. (k + e+ e− )(e− − e+ )

Beschouw nu de vectorruimte C(V Γ) van alle functies van de verzameling van toppen V Γ naar de complexe getallen, waarbij Γ een sterk reguliere graaf is. Een voorbeeld van een dergelijke functie is de volgende. Zij S een deelverzameling van de toppenverzameling V Γ van Γ, dan definiëren we de afbeelding ( 1 als v ∈ S, χS : V Γ → C; v 7→ 0 als v ∈ / S. We noemen dit de karakteristieke functie geassocieerd aan de toppenverzameling S. De adjacentiematrix A induceert een endomorfisme op deze vectorruimte: X f A := v 7→ f (w). A(v,w)=1

Vermits de adjacentiematrix A van de (sterk reguliere) graaf Γ symmetrisch is, vormen de drie eigenruimten V 0 , V + en V − , met bijhorende eigenwaarden k, e+ en e− respectievelijk, een directe ontbinding van de vectorruimte C(V Γ): C(V Γ) = V 0 ⊕ V + ⊕ V − . Zij ~j de constante afbeelding met waarde 1, of dus ~j = χV Γ . Uit het bewijs van Stelling 1.4.4 bleek dat V 0 = h~ji: we hebben namelijk A~j = k~j. We kunnen ~j ook als een vector beschouwen, in dat geval is het duidelijk dat ~j de vector is die enkel bestaat uit 1’en. Functies in C(V Γ) die voldoen aan de equivalente voorwaarden van het volgende lemma, corresponderen met zogenaamde gewogen intrigerende verzamelingen. Dit wordt uitgebreider besproken in het volgende hoofdstuk. Lemma 1.4.5. Zij f een functie in C(V Γ) en zij σ ∈ {−, +}. Dan zijn de volgende uitspraken equivalent: (a) f ∈ (V σ )⊥ ; (b) Er bestaat een b ∈ C zodanig dat Af = e−σ f + b~j; (c) Er bestaat een a ∈ R en b ∈ C zodanig dat Af = af + b~j, met a > 0 en a 6= k als σ = − en met a < 0 als σ = +; (d) Er bestaat een b ∈ C zodanig dat (e−σ − k)f + b~j ∈ V −σ .

12


Bewijs. Veronderstel eerst dat (a) waar is. Dan hebben we f ∈ V 0 + V −σ , dus f = t~j + v met t ∈ C en v ∈ V −σ . Dan is Af = tk~j + e−σ v = tk~j + e−σ (f − t~j) = e−σ f + t(k − e−σ )~j. Stellen we nu b = t(k − e−σ ), dan geldt (b) inderdaad. Het is meteen duidelijk dat (b) impliceert dat (c) geldt. Veronderstel dat (c) geldt, dus Af = af + b~j. Dan is (a − k)f + b~j een eigenvector van A horende bij de eigenwaarde a: A((a − k)f + b~j) = aAf − kAf + bA~j = a(af + b~j) − k(af + b~j) + bk~j = a(af − kf + b~j). Vermits a 6= k, betekent dit dat ofwel a = e+ als σ = − ofwel dat a = e− als σ = +. Bijgevolg geldt (d) inderdaad. ~j+v Veronderstel dat (d) geldt, dus dat (e−σ − k)f + b~j = v met v ∈ V −σ . Dan is f = e−b −σ −k ∈ V 0 + V −σ = (V σ )⊥ , dus geldt (a).

Hoofdstuk 2

Grafen geassocieerd aan meetkundes 2.1

Associatieschema’s

Bose en Shimamoto introduceerden al in 1952 het concept van een associatieschema in [5]. Door associatieschema’s te relateren aan meetkundige structuren, kan dikwijls heel wat combinatorische informatie over de meetkundige structuur gevonden worden. Dit wordt aan het eind van dit hoofdstuk meer in detail besproken. Definitie 2.1.1. Een d-klasse associatieschema op een eindige niet-ledige verzameling Ω is een koppel (Ω, R), met R = {R0 , R1 , . . . , Rd } een verzameling van symmetrische niet-ledige relaties op Ω zodanig dat aan de volgende axioma’s voldaan is: • R0 is de identieke relatie. • R is een partitie van Ω × Ω. • Er bestaan constanten pkij , de intersectiegetallen genoemd, zodanig dat voor elke (x, y) ∈ Rk , het aantal elementen z in Ω met (x, z) ∈ Ri en (z, y) ∈ Rj gelijk is aan pkij . De relaties Ri zijn symmetrische relaties met valentie p0ii , en definiëren dus reguliere grafen op Ω. Met elke relatie Ri kunnen we dus een adjacentiematrix Ai associëren, in dit geval gedefinieerd als ( 1 als (k, `) ∈ Ri , (Ai )k` = 0 als (k, `) ∈ / Ri . Noteren we met J de matrix waarvan elk element gelijk is aan 1, dan vertalen de axioma’s van een associatieschema zich in de volgende identiteiten van de matrices Ai : d X

Ai = J,

A0 = I,

ATi = Ai ,

i=0

Ai Aj =

d X

pkij Ak .

k=0

Uit de eerste identiteit, het feit dat de matrices Ai enkel nullen en enen bevatten en dat geen enkele van de matrices Ai de nulmatrix is, zien we dat deze matrices Ai lineair onafhankelijk zijn. Uit de derde en vierde identiteit halen we dat deze matrices een (d + 1)-dimensionale commutatieve algebra A van symmetrische matrices genereren. Deze algebra A wordt de BoseMesner algebra van het associatieschema genoemd. 13

14

HOOFDSTUK 2. GRAFEN GEASSOCIEERD AAN MEETKUNDES

Een idempotente matrix E in de Bose-Mesner algebra (d.w.z. E 2 = E) noemen we minimaal als deze matrix niet geschreven kan worden als de som van twee niet-nul idempotenten. De volgende stelling vinden we terug in [29], maar werd al eerder bewezen in [8]. Stelling 2.1.2. De Bose-Mesner algebra van een d-klasse associatieschema (Ω, {R0 , . . . , Rd }) heeft een unieke basis {E0 , . . . , Ed } van minimale idempotenten. Dit betekent dat we elke adjacentiematrix Aj van het associatieschema kunnen uitdrukken als lineaire combinatie van de minimale idempotenten Ei die een basis vormen voor de Bose-Mesner algebra: d X Aj = Pij Ei . i=0

Zo worden de matrices P = (Pij ) gedefinieerd, die we de matrices van eigenwaarden van het associatieschema noemen. Anderzijds kunnen we ook de minimale idempotenten Ej uitdrukken in functie van de adjacentiematrices die de Bose-Mesner algebra genereren: d

1 X Ej = Qij Ai . |Ω| i=0

Zo worden de matrices Q = (Qij ) gedefinieerd, die we de duale eigenwaardenmatrices van het associatieschema noemen. We definiëren nu nog twee matrices in verband met associatieschema’s. Definitie 2.1.3. We noteren met ∆n de (d + 1)×(d + 1)-diagonaalmatrix waarvoor (∆n )jj de valentie p0jj van de relatie Rj is. We noteren met ∆m de diagonaalmatrix waarbij (∆m )ii de dimensie van de eigenruimte Vi is. De matrices P en Q voldoen aan de volgende twee relaties, die ook terug te vinden zijn in [29] (en met bewijs in [8]). Eigenschap 2.1.4. Voor de matrices P , Q, ∆n en ∆m geassocieerd aan een d-klasse associatieschema (Ω, {R0 , . . . , Rd }), geldt: P Q = QP = |Ω|I

en

∆n Q = P T ∆m .

Delsarte definieerde in 1973 in [13] de zogenaamde inwendige distributievector. Definitie 2.1.5. De inwendige distributievector ~a = (a0 , a1 , . . . , ad ) van een niet-ledige deelveri }| zameling X ⊆ Ω wordt gedefinieerd als ai = |{(X×X)∩R voor elke i ∈ {0, . . . , d}. |X| Dit betekent dat het i-de element van ~a gelijk is aan het gemiddelde aantal elementen x0 ∈ X zodanig dat (x, x0 ) ∈ Ri voor een zekere x ∈ X. Uit de definitie van een associatieschema volgt nu meteen dat voor elke niet-ledige deelverzameling X ⊆ Ω, a0 = 1 en dat de som van alle elementen van ~a gelijk is aan |X|. Het bewijs van de volgende eigenschap is terug te vinden in [29]. Eigenschap 2.1.6 (Delsarte). Elk element van de rijmatrix ~aQ is niet-negatief. Het onderstaande gevolg wordt gebruikt in het grafentheoretisch bewijs van F. Vanhove voor de scherpe bovengrens op de grootte van een maximale partiële spread in H(4n + 1, q 2 ) aan het einde van dit hoofdstuk.

15

2.2. AFSTANDSREGULIERE GRAFEN

T Gevolg 2.1.7. Elk element van de rijmatrix ~a∆−1 n P is niet-negatief, waarbij ∆n de diagonaal0 matrix is met (∆n )jj de valentie pjj van de relatie Rj .

Bewijs. Zij ∆m de diagonaalmatrix waarbij (∆m )ii de dimensie van de eigenruimte Vi is. Dan T kunnen we de duale matrix van eigenwaarden Q = |Ω|P −1 ook berekenen als ∆−1 n P ∆m wegens Eigenschap 2.1.4. Uit Eigenschap 2.1.6 weten we dat elk element van ~aQ niet-negatief is, en T dus, is ook elk element van ~a∆−1 n P ∆m niet-negatief. Bovendien zijn de elementen van ∆m ook niet-negatief, en vermits dit een diagonaalmatrix is, mogen we hieruit besluiten dat dus elk T element van ~a∆−1 n P niet-negatief is.

2.2

Afstandsreguliere grafen

Er zijn twee equivalente definities van een afstandsreguliere graaf. We geven ze hieronder allebei, en we bewijzen ook dat ze equivalent zijn. In deze paragraaf is Γ = (V, E) een samenhangende simpele eindige graaf met diameter d. Notatie: Voor elke i ∈ {0, 1, . . . , d} noteren we met Γi de graaf met toppenverzameling V , waarbij twee toppen adjacent zijn als en slechts als ze op afstand i liggen in de graaf Γ. We noteren met Γi (x) de verzameling van toppen in V op afstand i van x, of dus de buren van x in de graaf Γi . Definitie 2.2.1. We zeggen dat een eindige graaf Γ met diameter d afstandsregulier is als er constanten bi en ci zijn, zodanig dat voor elke x en y op afstand i in Γ: |Γi−1 (x) ∩ Γ1 (y)| = ci , ∀i ∈ {1, . . . , d},

|Γi+1 (x) ∩ Γ1 (y)| = bi , ∀i ∈ {0, . . . , d − 1}. Een afstandsreguliere graaf is in het bijzonder een k-reguliere graaf: nemen we x = y in de vorige definitie, dan vinden we dat voor elke x ∈ V het aantal buren gelijk is aan b0 = k. We definiëren nog ai als |Γi (x) ∩ Γ1 (y)|, waaruit meteen volgt dat ai + bi + ci = k. De constanten ai , bi en ci (i ∈ {0, . . . , d}) worden de intersectiegetallen van de afstandsreguliere graaf genoemd. De andere definitie maakt gebruik van de eerder gedefinieerde associatieschema’s: Definitie 2.2.2. Voor een samenhangende simpele eindige graaf Γ = (V, E) met diameter d definiëren we de relaties Ri als volgt: (x, y) ∈ Ri als en slechts als d(x, y) = i in Γ. Dan noemen we Γ afstandsregulier als en slechts als (V, {R0 , . . . , Rd }) een associatieschema is. De adjacentiematrices Ai die we aan dit associatieschema kunnen hechten, zijn dan precies de matrices met ( 1 als d(k, `) = i (Ai )k` = 0 anders, waarbij d(k, `) de afstand tussen top k en top ` is. Lemma 2.2.3. De matrices Ai voldoen aan de volgende relaties: A0 = I,

A1 = A,

AAi = ci+1 Ai+1 + ai Ai + bi−1 Ai−1

(2.2.1) (i = 0, . . . , d),

A0 + A1 + . . . + Ad = J

(2.2.2) (2.2.3)

waarbij A de adjacentiematrix is van de graaf Γ, J de matrix is waarvan alle elementen gelijk zijn aan 1, A−1 en Ad+1 de nulmatrix zijn en b−1 en cd+1 niet gedefinieerd zijn.

16


Bewijs. Voor een willekeurige top in Γ is er slechts één top die op afstand 0 ligt, namelijk de top zelf. Daarmee is (2.2.1) al duidelijk. Omdat de diameter d van Γ eindig is, is voor elke twee toppen u en v in Γ de afstand d(u, v) goed gedefinieerd. Voor elke i en j is er dus juist één matrix Ak te vinden met k ∈ {0, . . . , d} waarvoor (Ak )ij = 1. Dit verklaart uitspraak (2.2.3). Om (2.2.2) uit te leggen, interpreteren we de betekenis van een element (AAi )k` . Hierbij nummeren we de toppen van de graaf Γ als v1 , . . . , vs met s = |V |. (AAi )k` =

s X

(A)kr (Ai )r`

r=1

= |{toppen op afstand 1 van top vk en op afstand i van top v` }|   ci+1 als d(vk , v` ) = i + 1 = ai als d(vk , v` ) = i   bi−1 als d(vk , v` ) = i − 1

Dit laatste is precies de interpretatie van het rechterlid, wat het bewijs vervolledigt. Een onmiddellijk en nuttig gevolg hiervan is: Gevolg 2.2.4. De matrices Ai kunnen geschreven worden als polynomen in A van de graad i, Ai = vi (A) (i = 0, . . . , d + 1), waarbij de vi polynomen van de graad i zijn die recursief gedefinieerd worden door: v−1 (x) = 0, v0 (x) = 1, v1 (x) = x, ci+1 vi+1 = (x − ai )vi (x) − bi−1 vi−1 (x), (i = 0, . . . , d). Het bewijs van de volgende stelling is gedeeltelijk terug te vinden in [8]. Stelling 2.2.5. Definitie 2.2.1 van een afstandsreguliere graaf is equivalent met definitie 2.2.2 van een afstandsreguliere graaf. Bewijs. ⇒ . Uit de tweede relatie van Lemma 2.2.3 en Gevolg 2.2.4 dat zegt dat Ai = vi (A) voor i = 0, . . . , d + 1, volgt dat de matrices Ak voldoen aan Ai Aj =

d X

pìj A` ,

`=0

voor zekere getallen pìj . Vanaf nu veronderstellen we dat top r op afstand ` van top t ligt. Beschouwen we nu in beide leden van bovenstaande gelijkheid het matrixelement op rij r en in kolom t, dan vinden we in het rechterlid pìj en in het linkerlid (Ai Aj )rt =

s X

(Ai )rk (Aj )kt

k=1

= |{toppen op afstand i van top r en op afstand j van top t}|, waarbij s het aantal toppen van de graaf is. We hebben dus dat pìj = |{toppen op afstand i van top r en op afstand j van top t}|. Dit betekent inderdaad dat de toppenverzameling van een afstandsreguliere graaf met diameter d, samen met de afstandsrelaties, een d-klasse associatieschema vormt.

17

2.2. AFSTANDSREGULIERE GRAFEN

⇐. Omgekeerd, vertrekken we van een d-klasse associatieschema op een niet-ledige verzameling Ω met relaties R0 , . . . , Rd , dan kunnen we hiermee een afstandsreguliere graaf Γ associëren, als volgt. De toppen van de graaf zijn de elementen van de verzameling Ω, en we zeggen dat twee toppen op afstand i liggen als en slechts als de corresponderende elementen van Ω bevat zijn in de relatie Ri , (i = 0, . . . , d). We moeten nu nog aantonen dat er constanten bi en ci zijn, zodanig dat voor elke x en y op afstand i in Γ: |Γi−1 (x) ∩ Γ1 (y)| = ci , ∀i ∈ {1, . . . , d},

|Γi+1 (x) ∩ Γ1 (y)| = bi , ∀i ∈ {0, . . . , d − 1}. In een d-klasse associatieschema beschikken we over de intersectiegetallen pkij . Nu is |Γi−1 (x) ∩ Γ1 (y)| = pi1,i−1 en |Γi+1 (x) ∩ Γ1 (y)| = pi1,i+1 , dus kunnen we ci definiëren als ci := pi1,i−1 en kunnen we bi definiëren als bi := pi1,i+1 , wat het gestelde bewijst. In het bijzonder zijn de getallen pìj uit deel 1 van het bovenstaande bewijs gehele getallen waarvoor p`0i = |{toppen op afstand i van top r en op afstand 0 van top t}| = δi` . Er geldt ook dat p0ij = |{toppen op afstand i van top x en op afstand j van top x}| = δij ki , waarbij we met ki het aantal toppen op afstand i van een willekeurige top x noteren. Lemma 2.2.6. De getallen pìj voldoen aan de volgende relaties: pìj

= 0 als ` > i + j of ` < |i − j|,

pi−1 = bi−1 , 1i pìj

pi1i = ai ,

pi+1 1i = ci+1 ,

= p`ji .

Bewijs. Het is duidelijk dat pìj = 0 als de afstand ` tussen r en s groter is dan i + j. Voor het andere geval kunnen we eerst veronderstellen dat i > j. Als dan ` < |i − j| = i − j, en stel dat pìj > 1, dan is er dus een top x die op afstand i ligt van top r en op afstand j van top s, wat niet kan, omdat ` + j < i, dus die top x ligt dan op afstand ` + j van top r in plaats van op afstand i. Het geval dat j > i leidt op analoge manier tot pìj = 0 als ` < |i − j| = j − i. Voor de volgende relaties passen we de interpretatie van de getallen pìj toe. Zijn m en n twee toppen op afstand i − 1 van elkaar, dan is i−1 p1i = |{toppen op afstand 1 van top m en op afstand i van top n}| = bi−1 . Zijn m en n nu twee toppen op afstand i van elkaar, dan is pi1i = |{toppen op afstand 1 van top m en op afstand i van top n}| = ai . Zijn m en n nu twee toppen op afstand i + 1 van elkaar, dan is pi+1 1i = |{toppen op afstand 1 van top m en op afstand i van top n}| = ci+1 . Verder is het duidelijk dat voor toppen r en t op afstand ` van elkaar, pìj = |{toppen op afstand i van top r en op afstand j van top t}| = |{toppen op afstand i van top t en op afstand j van top r}| = p`ji ,

vermits we de rol van r en t kunnen omwisselen (wegens de symmetrie van de afstandsrelatie). Zo hebben we alle bovenstaande relaties in verband met de getallen pìj aangetoond.

18

2.2.1


Eigenwaarden van afstandsreguliere grafen

De adjacentiematrix A van een afstandsreguliere graaf Γ heeft minstens d + 1 verschillende eigenwaarden, vermits de matrices vi (A) = Ai , (i = 0, . . . , d) lineair onafhankelijk zijn. Maar vd+1 (A) = Ad+1 = 0 en dus heeft de matrix A precies d + 1 verschillende eigenwaarden, namelijk de nulwaarden van vd+1 (x). Noteren we deze eigenwaarden met θ0 > θ1 > . . . > θd , dan hebben we als gevolg van de relatie 2.2.2 dat, voor elke eigenwaarde θ van A: θvi (θ) = ci+1 vi+1 (θ) + ai vi (θ) + bi−1 vi−1 (θ)

(i = 0, . . . , d),

waarbij v−1 (θ) = vd+1 (θ) = 0 en b−1 en cd+1 niet gedefinieerd zijn. Houden we nu nog rekening met het feit dat ai = k − bi − ci , dan hebben we de volgende eigenschap bewezen: Eigenschap 2.2.7. Als θ een eigenwaarde is van een afstandsreguliere graaf Γ, dan is er een reeks van eigenwaarden λi van de geassocieerde grafen Γi , die als volgt op recursieve manier gedefinieerd zijn: λ0 = 1, λ1 = θ en θλi = ci+1 λi+1 + (k − bi − ci )λi + bi−1 λi−1 , voor alle i ∈ {1, . . . , d − 1}.

2.3

De polaire graaf

Er zijn verschillende mogelijkheden om een graaf te associëren aan een incidentiemeetkunde; de polaire graaf is er één van. Definitie 2.3.1. De puntgraaf Γ van een veralgemeende vierhoek S van orde (s, t) wordt als volgt gedefinieerd: Γ heeft als toppenverzameling de verzameling P van punten van S en twee toppen zijn adjacent als ze collineair én verschillend zijn. Ondanks het feit dat we afgesproken hebben dat voor een punt p ∈ P geldt dat p ∈ p⊥ , is een top in de puntgraaf dus nooit adjacent met zichzelf. We noteren met p∼ alle toppen die adjacent zijn met p, dit correspondeert dus zoals eerder gezegd met p⊥ \ {p}. De polaire graaf is het analogon van de puntgraaf, voor polaire ruimten van rang n > 3.

Definitie 2.3.2. De polaire graaf Γ van een polaire ruimte S van rang n > 3 heeft als toppenverzameling de verzameling P van punten van S en twee toppen zijn adjacent als ze collineair én verschillend zijn. Opmerking. Als een polaire ruimte een ovo¨ıde heeft, dan correspondeert dit met een maximale cokliek in de polaire graaf. Omgekeerd correspondeert een maximale cokliek in de polaire graaf met een maximale (partiële) ovo¨ıde. Eigenschap 2.3.3. De puntgraaf Γ van een veralgemeende vierhoek S van orde (s, t) is sterk regulier met valentie s(t + 1). De andere eigenwaarden zijn e+ = s − 1 en e− = −(t + 1). Bewijs. Uit Eigenschap 1.2.3 volgt meteen dat de graad van elke top van S gelijk is aan s(t + 1). We zoeken nu eerst uit of λ en µ inderdaad goed gedefinieerd zijn, en dan kunnen we met behulp van de uitdrukkingen voor e+ en e− uit Stelling 1.4.4 de concrete eigenwaarden berekenen. We nemen eerst twee willekeurige collineaire punten x, y ∈ P. Het aantal punten λ dat collineair is met beide, is precies s − 1, namelijk het aantal punten op de rechte door x en y, verschillend van x en y. Zij x, y ∈ P nu niet-collineair. Dan is het aantal punten µ dat collineair is met beide, |{x, y}⊥ |, gelijk aan t + 1 wegens het laatste axioma van veralgemeende vierhoeken.

2.4. GEWOGEN INTRIGERENDE VERZAMELINGEN

19

Zo vinden we: p (λ − µ)2 + 4(k − µ) e = p2 s − t − 2 + (s − t − 2)2 + 4(st + s − (t + 1)) = 2 √ s − t − 2 + s2 − 2st − 4s + t2 + 4t + 4 + 4st + 4s − 4t − 4 = 2 p s − t − 2 + (s + t)2 = 2 =s−1 +

λ−µ+

en

p (λ − µ)2 + 4(k − µ) e = p2 s − t − 2 − (s + t)2 = 2 = −t − 1. −

2.4

λ−µ−

Gewogen intrigerende verzamelingen

We kunnen de vectorruimte C(V Γ) uit het vorige hoofdstuk op een natuurlijke manier uitrusten met een inproduct, als volgt: X f · g := f (v)g(v) met f, g ∈ C(V Γ). v∈V Γ

Gewogen intrigerende verzamelingen kunnen we algemeen definiëren als vectoren in (V σ )⊥ , met σ ∈ {−, +}. Met een vector v = (v1 , v2 , . . . , v|V Γ| ) ∈ (V σ )⊥ correspondeert dan een verzameling S van toppen waarvoor x ∈ S ⇔ vx 6= 0 en elke top in S heeft gewicht vx . We noemen de vector v in dit geval ook wel de karakteristieke vector van de gewogen verzameling S, en noteren die als χS . De toppenverzameling S is dus een gewogen intrigerende verzameling als en slechts als χS voldoet aan de equivalente voorwaarden van Lemma 1.4.5. Het is duidelijk dat de definities van m-ovo¨ıde en i-tight set overeenstemmen met deze algemene definitie. Voor een m-ovo¨ıde O hebben we: ( (m − 1)(t + 1) + 1 als p ∈ O, |p⊥ ∩ O| = m(t + 1) als p ∈ / O. Dit kunnen we ook algebra¨ısch uitdrukken, en dan vinden we, vermits een punt collineair is met zichzelf, maar in de polaire graaf niet adjacent is met zichzelf: AχO = −(t + 1)χO + m(t + 1)~j. Wegens Lemma 1.4.5 (deel(b)) is χO ∈ (V + )⊥ en bijgevolg is χO een (gewogen) intrigerende verzameling. Voor een tight set T hadden we:

( s + i als p ∈ T , |p ∩ T | = i als p ∈ / T, ⊥

20


en dit betekent nu, opnieuw omdat een punt collineair is met zichzelf, maar in de polaire graaf niet adjacent is met zichzelf, dat AχT = (s − 1)χT + i~j. Dit betekent dat χT ∈ (V − )⊥ wegens Lemma 1.4.5 (deel (c)) en bijgevolg is χT een (gewogen) intrigerende verzameling. We komen nu tot de definitie van een gewogen m-ovo¨ıde en een gewogen tight set. Definitie 2.4.1. Een gewogen m-ovo¨ıde O is een gewogen intrigerende verzameling O waarvoor geldt dat χO ∈ (V + )⊥ , waarbij het getal m staat voor het feit dat voor elke rechte ` geldt dat χO · χ` = m. Een gewogen tight set T is een gewogen intrigerende verzameling T waarvoor dus geldt dat χT ∈ (V − )⊥ . Wegens Lemma 1.4.5 voldoet een gewogen tight set aan AχT = (s − 1)χT + b~j voor een zeker geheel getal b; we noemen T dan ook een gewogen b-tight set.

Het volgende resultaat uit [1] laat toe om allerlei tight sets te construeren. We zullen het in Hoofdstuk 4 een aantal keer gebruiken. Stelling 2.4.2. Zij x en y twee niet-collineaire punten van een veralgemeende vierhoek S van orde (s, t). Dan is αχ{x,y}⊥⊥ + βχ{x,y}⊥ een gewogen (α + β)-tight set als en slechts als αs = βt, |{x, y}⊥⊥ | =

s2 t

+ 1 en voor alle z ∈ / cl(x, y), |{x, y, z}⊥ | =

t s

+ 1.

Bewijs. Wegens Lemma 1.4.5 (deel (b)), weten we dat χT := αχ{x,y}⊥⊥ + βχ{x,y}⊥ tot (V − )⊥ behoort (of dus dat T een gewogen b-tight set is) als en slechts als AχT = (s − 1)χT + b~j voor een zekere b ∈ C. Dit kunnen we herschrijven als AχT = (α(s − 1) + b)χ{x,y}⊥⊥ + (β(s − 1) + b)χ{x,y}⊥ + b(~j − χ{x,y}⊥⊥ − χ{x,y}⊥ ).

(2.4.1)

Meetkundig kunnen we inzien dat: • χp∼ · χT = (t + 1)β, voor p ∈ {x, y}⊥⊥ , • χp∼ · χT = |{x, y}⊥⊥ |α, voor p ∈ {x, y}⊥ , • χp∼ · χT = α + β, voor p op een rechte tussen {x, y}⊥ en {x, y}⊥⊥ , maar niet in één van die beide verzamelingen, • χp∼ · χT = |{x, y, p}⊥ |β, voor de overige punten p, dat betekent, voor p ∈ / cl(x, y). Bij definitie van de sluiting cl(x, y) zijn zulke punten collineair met geen enkel punt van {x, y}⊥⊥ , vandaar dat er geen term met α opduikt. Veronderstel nu eerst dat T een gewogen tight set is. Dan moet wegens (2.4.1) α(s − 1) + b = (t + 1)β, β(s − 1) + b = |{x, y}⊥⊥ |α en b = α + β = |{x, y, p}⊥ |β. Uit de eerste eis en b = α + β volgt meteen dat αs = βt. Daarmee kunnen we de tweede eis herschrijven en we vinden dat 2 2 |{x, y}⊥⊥ |α = β(s − 1) + b = α st − β + b, waaruit we hebben dat |{x, y}⊥⊥ | = 1 + st . Tenslotte t hebben we nog |{x, y, p}⊥ | = α+β / cl(x, y). β = s + 1 voor alle z ∈ 2

Onderstel nu omgekeerd dat αs = βt, |{x, y}⊥⊥ | = st + 1 en voor alle z ∈ / cl(x, y), |{x, y, z}⊥ | = t s + 1. Dan hebben we   als p ∈ {x, y}⊥⊥ ,  (t + 1)β = α(s − 1) + (α + β)  |{x, y}⊥⊥ |α = β(s − 1) + (α + β) als p ∈ {x, y}⊥ , χp∼ · χT =  α+β als p ∈ cl(x, y) \ ({x, y}⊥⊥ ∪ {x, y}⊥ ),    |{x, y, p}⊥ |β = α + β als p ∈ / cl(x, y)

Bijgevolg is AχT = (s−1)χT +(α+β)~j en dus is T inderdaad een gewogen (α+β)-tight set.

2.5. DE DUALE POLAIRE GRAAF

2.5

21

De duale polaire graaf

Definitie 2.5.1. De duale polaire graaf Γ van een polaire ruimte van rang n > 2 wordt als volgt gedefinieerd: Γ heeft als toppenverzameling de verzameling van variëteiten van projectieve dimensie n − 1, en twee toppen zijn adjacent als de corresponderende variëteiten snijden in een (n − 2)-dimensionale variëteit. Opmerking. De duale polaire graaf geassocieerd aan een veralgemeende vierhoek S wordt ook wel de lijngraaf van S genoemd. De volgende stelling wordt onder andere bewezen in [23]. Eigenschap 2.5.2. De duale polaire graaf van een polaire ruimte van rang n > 2 is afstandsregulier met diameter n, en twee generatoren liggen op afstand i als en slechts als ze snijden in een (n − 1 − i)-dimensionale ruimte. Bewijs. We bewijzen dit per inductie op de afstand i. Het is duidelijk dat de stelling geldt voor i = 0 en i = 1. Veronderstel nu dat de stelling klopt voor i ∈ {0, 1, . . . , i0 }. Stel dat d(u, v) = i0 + 1. Dan is er zeker een top x met d(u, x) = i0 en d(x, v) = 1. Dit betekent dat dim(u ∩ x) = n − 1 − i0 en dim(v ∩ x) = n − 2. Beide doorsneden liggen in x, en dus is dim(u ∩ v ∩ x) > n − 2 − i0 = n − 1 − (i0 + 1) en bijgevolg is dim(u ∩ v) > n − 2 − i0 . Uit de inductiehypothese volgt nu echter dat enkel dim(u ∩ v) = n − 2 − i0 = n − 1 − (i0 + 1) mogelijk is, want anders zou d(u, v) 6 i0 zijn, een strijdigheid met onze veronderstellingen. Veronderstel nu omgekeerd dat dim(u ∩ v) = n − 1 − i0 − 1 = n − 2 − i0 . In de quotiëntmeetkunde van u∩v komen u en v overeen met de (i0 +1)-dimensionale deelruimten u0 en v 0 die disjunct zijn. Een (i0 + 1)-dimensionale deelruimte x0 in deze meetkunde die u0 snijdt in een projectief punt, en v 0 in een hypervlak, bestaat zeker, en komt overeen met een (n − 1)-dimensionale deelruimte x die u snijdt in een (n − 1 − i0 )-dimensionale deelruimte, en v in een (n − 2)-dimensionale deelruimte. Uit de inductiehypothese volgt d(u, x) = i0 en d(x, v) = 1, en dus d(u, v) 6 i0 + 1. Uit de inductiehypothese volgt nu dat enkel d(u, v) = i0 + 1 mogelijk is, want anders zou ook dim(u ∩ v) > n − 1 − i0 , strijdig met onze veronderstellingen. In [8] (Lemma 9.4.3) vinden we, met een andere notatie weliswaar, de intersectiegetallen bi en ci terug voor de duale polaire graaf van alle eindige klassieke polaire ruimten. Lemma 2.5.3. De intersectiegetallen bi en ci van de duale polaire graaf van een eindige klassieke polaire ruimte met parameter ε worden gegeven door bi = q i+ε+1 1n−i q en ci = i1 q .

Gevolg 2.5.4. De valentie k van de duale polaire graaf van een eindige klassieke polaire ruimte met parameter ε wordt gegeven door k = q ε+1 [n1 ]q . Bewijs. We weten dat k = b0 , dus stellen we i = 0 in de waarde voor bi in Lemma 2.5.3, dan vinden we meteen dat k = q ε+1 [n1 ]q . In datzelfde Lemma 9.4.3 in [8] vinden we ook de eigenwaarden van de duale polaire grafen terug: θr = q ε+1 n−r − [r1 ]q , voor alle r met 0 6 r 6 n. 1 q

Bijgevolg is − [n1 ]q (stel r = n) een eigenwaarde van de duale polaire graaf.

22


Zij Γ de duale polaire graaf van een polaire ruimte S, dan is Γi de graaf met dezelfde toppenverzameling, waarbij twee toppen adjacent zijn als en slechts als de corresponderende generatoren snijden in een (n − 1 − i)-dimensionale ruimte. Bijgevolg zijn toppen in Γ0 enkel adjacent met zichzelf, en is Γ1 gewoon de afstandsreguliere graaf Γ. Als we ge¨ınteresseerd zijn in spreads van deze polaire ruimte, dan zijn we dus in het bijzonder ge¨ınteresseerd in de graaf Γn , die we de oppositiegraaf noemen. In deze graaf zijn twee toppen adjacent als en slechts als de corresponderende generatoren disjunct zijn. We noemen dergelijke generatoren ook wel opposiet, vandaar de naam oppositiegraaf. We willen nu de valentie van die oppositiegraaf Γn bepalen. Daarvoor hebben we eerst een eigenschap en een stelling nodig. De onderstaande eigenschap is in een algemenere vorm terug te vinden in [16]. Het bewijs hieronder is ge¨ınspireerd op het bewijs dat daarin terug te vinden is. Eigenschap 2.5.5. Voor elk natuurlijk getal n > 1 en elke q, t ∈ R geldt dat n−1 Y

(q k t + 1) =

k=0

n X

q

k(k−1) 2

[nk ]q tk .

k=0

Bewijs. We bewijzen dit met inductie op n. Voor n = 1 zijn zowel linkerlid als rechterlid gelijk aan t + 1. Veronderstel nu dat de eigenschap geldt tot en met n − 1. n−1 ]q . 1). We bewijzen dat [nk ]q = q n−k [n−1 k−1 ]q + [k Tel op twee verschillende manieren het aantal (k − 1)-dimensionale ruimten in een (n − 1)dimensionale ruimte. Enerzijds is dit gelijk aan het linkerlid, want dat is precies hoe we deze notatie gedefinieerd hebben. Anderzijds kan je ook eerst het aantal (k − 1)-dimensionale ruimten tellen die volledig in een vaste (n − 2)-dimensionale ruimte π gelegen zijn, plus het aantal (k − 1)-dimensionale ruimten die juist een (k − 2)-dimensionale ruimte gemeen hebben met π. Dit laatste kan je als volgt tellen. Er zijn [n−1 k−1 ]q (k − 2)-dimensionale ruimten in een (n − 2)-dimensionale ruimte. Door elk van deze (k − 2)-dimensionale ruimten gaan [1n−k+1 ]q verschillende (k − 1)-dimensionale ]q in π liggen. Aangezien [1n−k+1 ]q − [1n−k ]q = q n−k , volgt inderdaad dat ruimtes, waarvan er [n−k 1 n−1 n−1 n n−k [k ]q = q [k−1 ]q + [k ]q . 2). We moeten nu bewijzen dat n−1 Y

(q k t + 1) =

k=0

n X

q

k(k−1) 2

[nk ]q tk ,

k=0

Pn−1 k(k−1) n−1 k Q k 2 waarbij we gebruik mogen maken van n−2 [k ]q t wegens de induck=0 q k=0 (q t + 1) = tiehypothese. Gebruiken we in het gestelde de identiteit die we net aangetoond hebben, dan krijgen we: n X

q

k(k−1) 2

[nk ]q tk

=

k=0

n X

q

k(k−1) 2

n−1 (q n−k [n−1 ]q )tk k−1 ]q + [k

k=0

=

=

n X

q

k=0 n−1 X

`=−1

n−k

q

k(k−1) 2

n−1 [k−1 ]q tk

+

n X

q

k(k−1) 2

[n−1 ]q tk k

k=0

q n−`−1 q

(`+1)` 2

[n−1 ]q t`+1 + `

n−1 X

q

k(k−1) 2

[n−1 ]q tk k

k=0

waarbij we in de laatste stap de variabele k waarover gesommeerd wordt, vervangen hebben door ` + 1 in de eerste som, en in de tweede som werd opgemerkt dat de term voor k = n nul wordt, waardoor we ons kunnen beperken tot een sommatie gaande van nul tot n − 1.

23

2.5. DE DUALE POLAIRE GRAAF

Nu kunnen we in de eerste som de sommatie laten starten bij ` = 0 in plaats van bij ` = −1. `(`−1) (`+1)` Bovendien is q n−`−1 q 2 = q n−1 q 2 . Zonderen we nu de gemeenschappelijke factoren af en nemen we dezelfde sommatie-index k in beide sommen, dan krijgen we n−1 X

q

k(k−1) 2

[n−1 ]q tk (q n−1 t + 1). k

k=0

Gebruiken we nu de inductiehypothese, dan vinden we n−2 Y k=0

k

(q t + 1)(q

n−1

t + 1) =

n−1 Y

(q k t + 1),

k=0

hetgeen we moesten bewijzen. Stelling 2.5.6. De valentie ki van de graaf Γi horende bij een eindige klassieke polaire ruimte met parameter ε is gelijk aan q i(i+1+2ε)/2 [ni ]q . Bewijs. De valentie ki van de graaf Γi is in feite het aantal toppen in Γ op afstand i van een vaste (willekeurige) top. Dit is dus het aantal generatoren ((n−1)-dimensionale ruimten) die een vaste generator snijden in een (n − 1 − i)-dimensionale ruimte. Dit is gelijk aan het aantal (n − 1 − i)dimensionale deelruimten van een (vaste) (n − 1)-dimensionale deelruimte vermenigvuldigd met het aantal generatoren die juist die (n − 1 − i)-dimensionale deelruimte gemeen hebben met deze vaste generator. De eerste factor is gelijk aan [nn−i ]q , wat wegens dualiteit (in de projectieve ruimte) gelijk is aan [ni ]q . De tweede factor varieert naargelang in welke eindige klassieke polaire ruimte we ons bevinden. We bewijzen nu de formule met inductie op de rang n van de eindige klassieke polaire ruimte met parameter ε. Voor de inductiebasis n = 3 beschouwen we de vier mogelijke waarden van i: i = 0, i = 1, i = 2 en i = 3. Voor i = 0 beschouwen we de graaf Γ0 , waarin voor elke top geldt dat die enkel adjacent is met zichzelf. We vinden daar dus dat de valentie k0 = 1, aangezien het aantal vlakken dat een vast vlak snijdt in een vlak gelijk is aan 1. Voor i = 1 hebben we n − i − 1 = 1, dus om de valentie k1 te berekenen, tellen we het aantal vlakken die een vast vlak π snijden in een rechte L. Dit is gelijk aan het aantal rechten in een vlak, vermenigvuldigd met één minder dan het aantal vlakken door een rechte. Het aantal rechten in een vlak is [32 ]q = [31 ]q , de andere factor bepalen we door gebruik te maken van de quotiëntruimte van een willekeurig punt p op de rechte L. Zo krijgen we een veralgemeende vierhoek met parameters (s, t) = (q, q ε+1 ), waarin we het aantal rechten door een punt moeten tellen, verschillend van de rechte corresponderend met π. Dit aantal is duidelijk gelijk aan q ε+1 . Zo vinden we dat de valentie k1 inderdaad gelijk is aan q 1+ε [31 ]q . Voor i = 2 is n − i − 1 = 0 en dus tellen we voor de valentie k2 het aantal vlakken die een vast vlak π snijden in een punt. Dit is gelijk aan het aantal punten in een vlak, [31 ]q = [32 ]q , vermenigvuldigd met het aantal vlakken die een vast vlak π in juist een punt p snijden. Nemen we nu de quotiëntruimte van het punt p, dan kunnen we die laatste telling uitvoeren in een veralgemeende vierhoek met parameters (s, t) = (q, q ε+1 ), waar we het aantal rechten tellen dat disjunct is aan een gegeven rechte. Dit aantal is gelijk aan (st+1)(t+1)−t(s+1)−1 = st2 = q 3+2ε . Zo vinden we inderdaad dat k2 = q 3+2ε [32 ]q . Voor i = 3 tenslotte, hebben we dat n − i − 1 = −1. Om de valentie k3 te bepalen, tellen we dus het aantal vlakken disjunct met een vast vlak π. Daarvoor tellen we eerst het totaal aantal vlakken, en daarvan moeten we dan een aantal vlakken aftrekken, namelijk die vlakken die juist een punt gemeen hebben met π, die vlakken die juist een rechte gemeen hebben met π en het vlak

24


π zelf. Vermits het aantal vlakken in deze polaire ruimte gelijk is aan (q 3+ε +1)(q 2+ε +1)(q 1+ε +1) wegens Eigenschap 1.1.4, hebben we dat k3 = (q 3+ε + 1)(q 2+ε + 1)(q 1+ε + 1) − k2 − k1 − 1. Zo vinden we achtereenvolgens: k3 = (q 3+ε + 1)(q 2+ε + 1)(q 1+ε + 1) − q 3+2ε [32 ]q − q 1+ε [31 ]q − 1

= (q 5+2ε + q 3+ε + q 2+ε + 1)(q 1+ε + 1) − q 3+2ε (q 2 + q + 1) − q 1+ε (q 2 + q + 1) − 1 = q 6+3ε + q 5+2ε + q 4+2ε + q 3+ε + q 3+2ε + q 2+ε + q 1+ε + 1 − q 5+2ε − q 4+2ε − q 3+2ε − q 3+ε − q 2+ε − q 1+ε − 1

= q 6+3ε = q 6+3ε [33 ]q

en dit is precies wat we moesten bewijzen. We onderstellen nu dat de formule geldt tot en met n−1, en bewijzen dat ze dan ook moet gelden voor een eindige klassieke polaire ruimte van rang n. Om de valentie ki te bepalen, moeten we het aantal generatoren tellen die juist een (n − 1 − i)-dimensionale deelruimte β gemeen hebben met een vaste generator π, en dit vermenigvuldigen we dan met [ni ]q . Dit tellen we als volgt. We nemen de quotiëntruimte van de (n − 1 − i)-dimensionale deelruimte β. Dit geeft ons een polaire ruimte van rang n − (n − i − 1) − 1 dus van rang i, waarin we het aantal generatoren moeten tellen die disjunct zijn aan een vaste generator (corresponderend met π in de oorspronkelijke polaire ruimte). Uit Eigenschap 1.1.4 kunnen we opnieuw het totaal aantal generatoren halen. Dit aantal moeten we verminderen met het aantal generatoren die juist een punt gemeen hebben met π, en het aantal generatoren die juist een rechte gemeen hebben met π, . . ., en het aantal generatoren die π juist in een hypervlak snijden en tenslotte moeten we dit aantal nog verminderen met één omwille van de generator π zelf. We hebben dus: ki =

i Y

j=1

=

i Y

j=1

(q (i−j+ε+1) + 1) − ki−1 − ki−2 − . . . − k2 − k1 − 1 (q (i−j+ε+1) + 1) − q

(i−1)(i+2ε) 2

[ni−1 ]q − q

(i−2)(i−1+2ε) 2

[ni−2 ]q − . . . − q 3+2ε [n2 ]q

− q 1+ε [n1 ]q − 1. i(i+1+2ε

We moeten bewijzen dat ki = q 2 [ni ]q . Daartoe volstaat het om te bewijzen dat de volgende gelijkheid geldt: i Y

(q i−j+ε+1 + 1) = q

i(i+1+2ε 2

[ni ]q + q

(i−1)(i+2ε) 2

[ni−1 ]q + q

(i−2)(i−1+2ε) 2

[ni−2 ]q

j=1

+ . . . + q 3+2ε [n2 ]q + q 1+ε [n1 ]q + 1.

Het rechterlid kunnen we herschrijven als i X

q

`(`+1+2ε) 2

[ni ]q ,

`=0

terwijl we door de commutativiteit van het product het linkerlid kunnen herschrijven als i−1 Y

`=0

(q i−`+ε + 1) =

i−1 Y

(q `+1+ε + 1).

`=0

Nemen we nu t = q 1+ε , k = ` en n = i in Eigenschap 2.5.5 dan vinden we dat deze gelijkheid inderdaad geldt.

25

2.5. DE DUALE POLAIRE GRAAF Een direct gevolg van deze stelling is het volgende. Gevolg 2.5.7. In het bijzonder is de valentie van de oppositiegraaf Γn gelijk aan q n(n+1+2ε)/2 .

We gaan nu op zoek naar de eigenwaarden van de oppositiegraaf Γn . Het onderstaande lemma zal in het bewijs van het daaropvolgende lemma goed van pas komen. Lemma 2.5.8. Voor alle i ∈ {1, 2, . . . , n} geldt dat n+1−i n = i1 q [ni ]q . 1 q i−1 q

Bewijs. Beschouw een (n − 1)-dimensionale projectieve ruimte PG(n − 1, q). We voeren nu een dubbele telling uit op het aantal elementen van de verzameling S = {(V, W )|| dim(V ) = i − 2, dim(W ) = i − 1, V ⊂ W } met V ⊂ PG(n − 1, q), W ⊂ PG(n − 1, q).

We herhalen nog even de interpretatie van de Gauss coëfficiënt [ni ]q ; dit is het aantal (i − 1)dimensionale deelruimten in PG(n − 1, q). Tellen we eerst W , dan krijgen we |S| = [ni ]q

i

i−1 q

= [ni ]q

i

1 q

,

vermits een deelruimte evenveel punten als hypervlakken bevat. Tellen we eerst V , dan vinden we |S| =

n

i−1 q

· a,

waarbij a gelijk is aan het aantal (i−1)-dimensiolale deelruimten die een vaste (i−2)-dimensionale deelruimte bevatten. Dit aantal is gelijk het aantal punten in een (n − i)-dimensionale ruimte, waarbij n − i = n − 1 − (i − 2) − 1. Zo krijgen we |S| = ni−1 q 1n−i+1 q ,

wat de identiteit bewijst. Het is duidelijk dat dit geldt voor alle i ∈ {2, . . . , n}. Voor i = 1 vinden we bij elke telling |S| = aantal punten in een (n − 1)-dimensionale projectieve ruimte,

en ook de identiteit die we hierboven bewezen hebben, geldt nog voor i = 1, rekening houdend met ni−1 q = [n0 ]q = 1.

We weten dat we via Eigenschap 2.2.7 de eigenwaarden van de grafen Γi recursief kunnen bepalen uit de eigenwaarden van Γ, die we hierboven reeds vermeld hebben. Lemma 2.5.9. De eigenwaarde θ = − [n1 ]q van de duale polaire graaf levert de volgende reeks van eigenwaarden λi van de grafen Γi op: i

λi = (−1)i q (2 ) [ni ]q , voor alle i ∈ {0, . . . , n} en dus heeft de oppositiegraaf Γn de eigenwaarde (−1)n q n(n−1)/2 .

26


Bewijs. We zullen eerst per inductie bewijzen dat de volgende recursieve formule geldt voor de eigenwaarden λi : i λi = −q i−1 λi−1 n+1−i / 1 q, 1 q voor alle i ∈ {0, . . . , n}. Daarna zullen we via inductie het gestelde bewijzen.

Voor i = 1 geldt de recursieformule inderdaad, want λ0 = 1 is de eigenwaarde van Γ0 (vermits die als adjacentiematrix de identiteitsmatrix heeft) en dan vinden we inderdaad λ1 = θ. Veronderstel nu dat de formule geldt voor i ∈ {0, . . . , n − 1}. We hebben via Eigenschap 2.2.7 dat θλi = ci+1 λi+1 + (k − bi − ci )λi + bi−1 λi−1 . Vullen we hierin nu de waarden voor de valentie k van Γ en de intersectiegetallen bi en ci in uit Lemma 2.5.3, dan kunnen we deze recursierelatie herschrijven als: i+1 i ε+1 n i+ε+1 n−i n i+ε n+1−i λ + q [ ] − q − + [ ] λ = 0. 1 q 1 q 1 q λi + q 1 1 1 q i+1 q q i−1 Nu kunnen we de inductiehypothese gebruiken, en n+1−i λ = −q −(i−1) i1 q λi substitueren 1 q i−1 in bovenstaande gelijkheid, en zo vinden we: i+1 i ε+1 n i+ε+1 n−i n i+ε −(i−1) i λ = − q [ ] − q − + [ ] q 1 q 1 q 1 q λi + q 1 q λi 1 1 q i+1 q λ = −(q ε+1 + 1) [n1 ]q − i1 q λi + q i+ε+1 n−i 1 q i

Er geldt dat

[n1 ]q = q n−1 + q n−2 + . . . + q + 1 = q i (q n−i−1 + q n−i−2 + . . . + q + 1) + q i−1 + q i−2 + . . . q + 1 = q i n−i + i1 q . 1 q

en wanneer we dit substitueren in bovenstaande gelijkheid, dan vinden we: i+1 i i ε+1 i n−i i+ε+1 n−i λ = −(q + 1) q + − λ + q λ i+1 i 1 1 1 1 1 q q q q q i = −q i n−i λ. 1 q i

Dit bewijst dat de formule voor i + 1, en dus hebben we inderdaad dat igeldt λi = −q i−1 λi−1 n+1−i / , voor alle i ∈ {0, . . . , n}. 1 q 1 q

We zullen nu per inductie bewijzen dat i

λi = (−1)i q (2 ) [ni ]q , voor alle i ∈ {0, . . . , n}. Het is duidelijk dat de formule geldt voor i = 0, vermits λ0 = 1. Veronderstel nu dat de formule geldt voor i ∈ {0, . . . , n − 1}. Dan kunnen we via de recursierelatie die we net bewezen hebben, een uitdrukking vinden voor λi+1 , en daarna kunnen we de inductiehypothese gebruiken. Zo vinden we: i+1 / 1 q λi+1 = −q i λi n−i 1 q i+1 i = (−1)i+1 q i q (2 ) [ni ]q n−i / 1 q. 1 q n Gebruiken we nu de identiteit uit Lemma 2.5.8 n+1−i = i1 q [ni ]q die geldt voor alle 1 q i−1 q i ∈ {1, . . . , n}, dan kunnen we dit nog vereenvoudigen tot: λi+1 = (−1)i+1 q i+i(i−1)/2 ni+1 q = (−1)i+1 q i(i+1)/2 ni+1 q ,

wat het bewijs per inductie vervolledigt. Stellen we nu i = n, dan vinden we inderdaad dat λn = (−1)n q n(n−1)/2 , wat het gestelde volledig bewijst.

¨ 2.6. BOVENGRENS OP DE GROOTTE VAN PARTIELE SPREADS VAN H(4n + 1, q 2 ) 27

2.6

2.6.1

De bovengrens op de grootte van een parti¨ ele spread van 2 H(4n + 1, q ) Grafentheoretisch bewijs

Hier beschrijven we hoe F. Vanhove in [27] op grafentheoretische wijze een scherpe bovengrens bewees voor de grootte van maximale partiële spreads van H(4n + 1, q 2 ). Dat deze grens wel degelijk scherp is, volgt uit de constructie van een maximale partiële spread van D. Luyckx die we terugvinden in [17]. De strategie is als volgt. Een partiële spread is een verzameling van paarsgewijs disjuncte generatoren. Beschouwen we nu de duale polaire graaf gehecht aan H(4n + 1, q 2 ), dan is in deze nieuwe setting een spread eigenlijk een kliek in de oppositiegraaf Γn . Wanneer we nu via een grafentheoretische stelling een bovengrens kunnen vinden op de grootte van een kliek in deze graaf, dan kunnen we daaruit ook conclusies trekken over de grootte van een partiële spread van de eindige klassieke polaire ruimte die we in beschouwing nemen. We beginnen dus met een algemeen resultaat over de grootte van een kliek in grafen corresponderend met bepaalde relaties in associatieschema’s. Dit is een veralgemening van de zogenaamde Hoffmangrens. Lemma 2.6.1. Zij Γ een graaf die correspondeert met één van de relaties van een associatieschema, met valentie k. Als C een kliek is in deze graaf, dan geldt voor elke eigenwaarde λ < 0 van de graaf Γ dat de volgende ongelijkheid geldt: |C| 6 1 − λk . Bewijs. De inwendige distributievector ~a van C heeft een 1 op de positie corresponderend met de relatie R0 (=de identiteitsrelatie), en |C|(|C|−1) = |C| − 1 op de positie corresponderend |C| met de relatie die de graaf Γ definieert. Alle andere posities in deze vector ~a zijn nul, omdat de relaties van een associatieschema een partitie vormen. De vector ~a∆−1 n ziet er dus uit als T bestaat volledig uit enen, en op de (1, 0, . . . , 0, |C|−1 , 0, . . . , 0). De eerste rij van de matrix P k j-de rij vinden we de eigenwaarden van de relatie Rj van het associatieschema, waarbij het i-de element van de rij precies die eigenwaarde is die correspondeert met de eigenruimte Vi . T We beschouwen nu de vector ~a∆−1 n P . Het i-de element van deze vector wordt gegeven door λi 1 + (|C| − 1) k waarbij λi de eigenwaarde van Γ is corresponderend met de eigenruimte Vi . We kunnen i zodanig nemen dat λi < 0. Wegens Gevolg 2.1.7 kan deze waarde 1 + (|C| − 1) λki niet k negatief zijn. Dus 1 + |C|−1 k/λi > 0, wat inderdaad de bovengrens |C| 6 1 − λi oplevert. We kunnen nu de bovengrens op de grootte van een partiële spread van H(4n + 1, q 2 ) bewijzen. Stelling 2.6.2. Een partiële spread in H(4n + 1, q 2 ) heeft hoogstens q 2n+1 + 1 elementen. Bewijs. Voor deze eindige klassieke polaire ruimte hebben generatoren dimensie 2n en is ε = − 21 . We merken op dat we rekening moeten houden met het feit dat we hier over Fq2 werken in plaats van over Fq . In de praktijk betekent dit dat we in eerdere uitdrukkingen q zullen moeten vervan2 gen door q 2 . De valentie k van de oppositiegraaf is hier q (2n+1)(2n+2−1) = q (2n+1) . Anderzijds weten we dankzij Lemma 2.5.9 dat λ = −q 2n(2n+1) een eigenwaarde is van de oppositiegraaf. Passen we nu de bovengrens uit Lemma 2.6.1 toe voor een kliek in deze graaf, dan vinden we de volgende bovengrens voor de grootte van een partiële spread in H(4n + 1, q 2 ): 2

q (2n+1) k 1 − = 1 + 2n(2n+1) = 1 + q 2n+1 . λ q

28

2.6.2


Meetkundig bewijs

Nadat F. Vanhove op grafentheoretische wijze een scherpe grens bewezen had voor de grootte van een partiële spread van H(4n+1, q 2 ), heeft hij in [28] ook een zeer elegant meetkundig bewijs opgesteld voor dit resultaat. De techniek die hier gebruikt wordt, kan echter niet toegepast worden voor het geval van H(4n + 3, q 2 ), vermits dit een negatieve ondergrens oplevert voor de grootte van een partiële spread. We vermelden eerst een resultaat van J.A. Thas, dat terug te vinden is in [26]. Dit resultaat is, met bewijs, ook terug te vinden in [22], vandaar dat we het (lange) bewijs hier achterwege laten. Lemma 2.6.3. Zij π1 , π2 en π drie onderling disjuncte generatoren van H(2n + 1, q 2 ). De verzameling van de punten in π1 die op een (noodzakelijk unieke) rechte liggen van H(2n + 1, q 2 ) die zowel π als π2 snijdt, vormt een niet-singuliere Hermitische variëteit in π1 . Gevolg 2.6.4. Zij π1 , π2 en π drie onderling disjuncte generatoren van H(2n + 1, q 2 ). Het aantal generatoren die π snijden in een (n − 1)-ruimte, en π1 en π2 snijden in een punt, is gelijk n+1 n )(q n −(−1)n ) aan |H(n, q 2 )| = (q +(−1) . q 2 −1 Bewijs. We noteren met ⊥ de Hermitische polariteit van PG(2n + 1, q 2 ) die geassocieerd is aan de polaire ruimte. Elke generator die π snijdt in een (n − 1)-ruimte, kan met π1 en π2 nog hoogstens één punt gemeen hebben. Anderzijds hebben we door elk punt p1 ∈ π1 een unieke generator hp1 , p⊥ 1 ∩ πi die π snijdt in een (n − 1)-ruimte. Bijgevolg moeten we het aantal punten p1 ∈ π1 bepalen waarvoor de generator hp1 , p⊥ eén punt gemeen heeft met π2 . 1 ∩ πi juist ´ Veronderstel eerst dat we een punt p1 ∈ π1 hebben zodanig dat de generator hp1 , p⊥ 1 ∩ πi snijdt met π2 in een punt p2 . In dat geval is de rechte p1 p2 een rechte van H(2n + 1, q 2 ) die ook π ⊥ snijdt, vermits p⊥ 1 ∩ π een hypervlak is van hp1 , p1 ∩ πi. Omgekeerd, veronderstel dat een punt 2 p1 ∈ π1 gelegen is op een rechte van H(2n + 1, q ) die π snijdt in het punt p en die π2 snijdt in het punt p2 . In dat geval zijn p en p1 beide in de generator hp1 , p⊥ 1 ∩ πi gelegen. Bijgevolg is dan de hele rechte pp1 , inclusief het punt p2 , gelegen in die generator. Het gewenste resultaat volgt nu meteen uit Lemma 2.6.3. We beschrijven nu het meetkundige bewijs van de bovengrens op de grootte van een partiële spread van H(4n + 1, q 2 ) van F. Vanhove uit [28]. Stelling 2.6.5. De grootte van een partiële spread S in H(4n + 1, q 2 ), n > 1, is hoogstens q 2n+1 + 1. Als |S| > 1 en π ∈ S, dan zal elke generator die π snijdt in een (2n − 1)-ruimte, hetzelfde aantal andere elementen van S snijden in precies één punt als en slechts als |S| = q 2n+1 + 1. In dat geval is dat aantal gelijk aan q 2n . Bewijs. Zij S een partiële spread van grootte minstens 2 in H(4n + 1, q 2 ). Beschouw een vast element π ∈ S. Zij {Ni ||i ∈ I} de verzameling van generatoren die π snijden in een (2n − 1)4n+2 ruimte. Het aantal (2n−1)-ruimten in een generator (= een (2n)-ruimte) is gelijk aan q q2 −1−1 , en door een (2n − 1)-ruimte in H(4n + 1, q 2 ) gaan precies q + 1 generatoren. Het aantal generatoren 4n+2 die π snijden in een (2n − 1)-ruimte is dus gelijk aan |I| = q q2 −1−1 q. Merk op dat een generator Ni en een generator in S \ {π} ofwel disjunct zijn ofwel snijden in juist één punt. Voor elke Ni , i ∈ I noteren we met ti het aantal generatoren in S \ {π} die Ni snijden in een punt. We tellen nu de koppels (Ni ,π 0 ), met π 0 een element van S \ {π} dat Ni snijdt in een punt, op twee manieren.

¨ 2.6. BOVENGRENS OP DE GROOTTE VAN PARTIELE SPREADS VAN H(4n + 1, q 2 ) 29 Door elk punt p0 van een element π 0 ∈ S \ {π} is er een unieke generator die π snijdt in een 4n+2 (2n − 1)-ruimte, en een generator bevat q q2 −1−1 punten dus vinden we: X i∈I

ti = (|S| − 1)

q 4n+2 − 1 . q2 − 1

(2.6.1)

Nu tellen we de drietallen (Ni ,π1 ,π2 ), met π1 en π2 twee verschillende elementen van S \ {π} die allebei snijden met Ni in een punt. Uit Gevolg 2.6.4 weten we al dat er voor elke twee 2n+1 +1)(q 2n −1) verschillenden generatoren van S \ {π} precies |H(2n, q 2 )| = (q generatoren Ni q 2 −1 zullen zijn die beide generatoren snijden in een punt. Op die manier vinden we: X i∈I

ti (ti − 1) = (|S| − 1)(|S| − 2)

(q 2n+1 + 1)(q 2n − 1) . q2 − 1

(2.6.2)

Combineren we nu 2.6.1 en 2.6.2, dan vinden we: X q 2n+1 + 1 (q 2n+1 − 1) + (|S| − 2)(q 2n − 1) . t2i = (|S| − 1) 2 q −1 i∈I

P

P We weten dat ( i∈I ti )2 6 ( i∈I t2i )|I|, met gelijkheid als en slechts als alle ti gelijk zijn. Dit impliceert, toegepast op het voorgaande: (|S| − 1)

2

q 4n+2 − 1 q2 − 1

2

4n+2 q 2n+1 + 1 q −1 2n+1 2n 6 (|S| − 1) 2 (q − 1) + (|S| − 2)(q − 1) q, 2 q −1 q −1

met gelijkheid als en slechts als alle ti gelijk zijn. Vermits we veronderstelden dat |S| > 1, kunnen we in beide leden onder andere een factor (|S| − 1) wegdelen, en zo vereenvoudigen tot: 2n+1 2n+1 2n (|S| − 1)(q − 1) 6 (q − 1) + (|S| − 2)(q − 1) q. Dit kunnen we nog verder vereenvoudigen; eerst brengen we alle termen met een factor |S| naar het linkerlid van de ongelijkheid: |S|(q 2n+1 − 1 − q 2n+1 + q) 6 (q 2n+1 − 1)(q + 1) − 2q(q 2n − 1) ⇐⇒ |S|(q − 1) 6 q 2n+2 − q + q 2n+1 − 1 − 2q 2n+1 + 2q ⇐⇒ |S|(q − 1) 6 (q 2n+1 + 1)(q − 1),

of dus, we vinden dat |S| 6 q 2n+1 + 1, met gelijkheid als en slechts als alle ti gelijk zijn. In dat geval moet hun constante waarde gelijk zijn aan 4n+2 P (|S| − 1) q q2 −1−1 ( i∈I ti ) |S| − 1 = = = q 2n , 4n+2 −1 q |I| q q 2

q −1

wat het gestelde volledig bewijst.

30


Hoofdstuk 3

(Pseudo-)Meetkundige grafen In dit hoofdstuk zullen we tot een resultaat van R. C. Bose en S. S. Shrikhande komen uit 1972, waarvan we in het volgende hoofdstuk gebruik zullen maken. Dit hoofdstuk is dan ook gebaseerd op het artikel [6] van R. C. Bose en S. S. Shrikhande. In dit artikel gaat het enkel over meetkundige en pseudo-meetkundige grafen van het type (q 2 + 1, q + 1, 1). In dit artikel wordt bovendien een andere notatie gebruikt dan diegene die wij tot hiertoe hanteerden. De notatie die Bose en Shrikhande invoerden, heeft echter ook zijn voordelen, dus zullen we in dit hoofdstuk afwijken van de tot nu toe gebruikte notatie, om verwarring met eerder gebruikte letters te vermijden. De notatie die in de andere hoofdstukken gebruikt wordt, is echter een meer gangbare notatie in de literatuur.

3.1 3.1.1

Meetkundige grafen Parti¨ ele meetkundes en sterk reguliere grafen

Definitie 3.1.1. Een partiële meetkunde (r, k, t) is een systeem van punten en rechten met een incidentierelatie die voldoet aan de volgende vier axioma’s: 1. Elke twee punten zijn incident met hoogstens één rechte. 2. Elk punt is incident met r rechten. 3. Elke rechte is incident met k punten. 4. Voor een punt P niet incident met een rechte `, zijn er precies t rechten door P die ` snijden (met t > 1). Het volgende lemma is het analogon van Eigenschap 1.2.2 voor partiële meetkundes. Lemma 3.1.2. Het aantal punten v en het aantal rechten b van een partiële meetkunde (r, k, t) wordt gegeven door: v = b =

k((r − 1)(k − 1) + t) , t r((r − 1)(k − 1) + t) . t 31

32

HOOFDSTUK 3. (PSEUDO-)MEETKUNDIGE GRAFEN

Bewijs. We zullen v en b bepalen via twee dubbele tellingen. Neem een rechte L vast en tel voor elk punt p ∈ / L het aantal elementen van de verzameling S = {(p, M )||p ∈ M, M een rechte die de rechte L snijdt}. Tellen we eerst het aantal punten p, dan vinden we |S| = (v − k) · t. Tellen we eerst het aantal rechten M , dan vinden we |S| = k(r − 1)(k − 1), vermits er k punten gelegen zijn op L, door elk van die punten r − 1 rechten M gaan, verschillend van L, en op elk van die rechten k − 1 punten liggen die niet op L gelegen zijn. Zo vinden we dat (v − k)t = k(k − 1)(r − 1), of dus dat v = kt ((k − 1)(r − 1) + t). Tellen we nu het aantal elementen van de verzameling V = {(p, L)||p ∈ L} met L een willekeurige rechte op twee manieren. Tellen we eerst p, dan vinden we |V | = (aantal punten)(aantal rechten door een punt) = v · r. Tellen we eerst L, dan vinden we |V | = (aantal rechten)(aantal punten op een rechte) = b · k. r Dus b = vr k = t ((r − 1)(k − 1) + t), wat we moesten bewijzen. Net zoals we aan een eindige klassieke polaire ruimte een polaire graaf konden hechten, kunnen we ook aan een partiële meetkunde een graaf associëren. Definitie 3.1.3. Een meetkundige graaf (r, k, t) is de graaf van een partiële meetkunde (r, k, t) waarbij de toppen van de graaf precies de punten van de partiële meetkunde zijn, en de adjacentie overeenstemt met collineariteit. Opmerking. We noteren in dit hoofdstuk de parameters van een sterk reguliere graaf Γ met (v, n1 , p111 , p211 ). Merk op dat we aan een sterk reguliere graaf een 2-klasse associatieschema kunnen hechten, waarbij relatie R1 correspondeert met adjacentie, en relatie R2 met niet-adjacentie. Hierbij is n1 dus het aantal toppen adjacent met een zekere top, dus de valentie van de graaf Γ en met n2 zullen we het aantal toppen aanduiden dat niet-adjacent is met een zekere top. De notatie pijk komt dan overeen met de eerdere definitie van intersectiegetallen van een associatieschema in het begin van het vorige hoofdstuk. Daarbij is p111 dus precies hetzelfde als λ in de andere notatie van de parameters (n, k, λ, µ) van een sterk reguliere graaf, en p211 komt overeen met µ in die andere notatie. De reden dat we de algemeen gebruikte notatie voor de parameters van een sterk reguliere graaf in dit hoofdstuk niet wensen te gebruiken, is dat we k gebruiken bij de definitie van een partiële meetkunde en van een design (waar de notatie van Bose en Shrikhande wél overeenkomt met de gangbare notatie in de literatuur). De volgende eigenschap vinden we zonder bewijs terug in [6], maar is toch de moeite om eens na te gaan. Eigenschap 3.1.4. De parameters v, ni , pijk , (met i, j, k = 1, 2) van een sterk reguliere graaf voldoen aan de volgende relaties: n1 + n2 = v − 1,

pi12 = pi21 , i = 1, 2

p111 + p112 + 1 = n1 = p211 + p212 p212 + p222 + 1 = n2 = p112 + p122 n1 p112 = n2 p211 ,

n1 p122 = n2 p212

Bewijs. Nemen we een willekeurige top x, dan geldt voor elke andere top dat die ofwel adjacent is met top x ofwel niet-adjacent is met top x. Dit verklaart de eerste relatie.

3.1. MEETKUNDIGE GRAFEN

33

De tweede relatie volgt meteen uit de symmetrie van de relaties ’adjacent zijn’ (voor i = 1) en ’niet-adjacent zijn’ (voor i = 2). Tellen we het aantal toppen n1 dat adjacent is met een willekeurige top x, dan kunnen we één van die buren beschouwen, en tellen hoeveel toppen er verder met beide adjacent zijn, en hoeveel toppen er adjacent zijn met x en niet met die buur, dit geeft ons n1 = p111 + p112 + 1. Anderzijds kunnen we ook een top y beschouwen die niet-adjacent is met top x, en tellen hoeveel toppen er adjacent zijn met beide, of enkel met x en niet met y. Dit levert ook alle buren van top x op, dus hebben we n1 = p211 + p212 . Voor de vierde relatie kunnen we analoog tellen hoeveel toppen n2 niet-adjacent zijn met een willekeurige top x. We nemen bijvoorbeeld eerst een top y die niet-adjacent is met top x, en tellen daarbij het aantal toppen die niet-adjacent zijn met beide, en het aantal toppen die nietadjacent zijn met top x maar wel met top y. Dit geeft n2 = p212 + p222 + 1. Anderzijds konden we ook een buur van x beschouwen, en tellen hoeveel toppen er niet-adjacent zijn met beide, en hoeveel toppen er niet-adjacent zijn met x maar wel met die buur van x. Dit levert dan n2 = p112 + p122 . Voor de laatste relaties tellen we enerzijds het aantal toppen op ’afstand’ twee van een willekeurige top x op twee manieren. Ofwel kiezen we eerst een buur van x (n1 mogelijkheden) en daarna een top die adjacent is met die buur maar niet met x (p112 mogelijkheden); ofwel kiezen we eerst een top die niet-adjacent is met x (n2 mogelijkheden) en daarna een top die adjacent is met beide toppen (p211 mogelijkheden). Dat geeft inderdaad n1 p112 = n2 p211 . Anderzijds tellen we op twee manieren het aantal toppen dat niet-adjacent is met een willekeurige top x én niet-adjacent met één van de buren van x. We zouden eerst een buur kunnen kiezen van x (op n1 manieren) en voor elk van die buren zijn er p122 mogelijkheden voor een top die aan de voorwaarde voldoet. Maar we kunnen ook beginnen met een top y die niet-adjacent is met x (n2 mogelijkheden), en daarna het aantal toppen tellen die een buur zijn van x maar die niet-adjacent zijn met top y. Dit geeft dan n1 p122 = n2 p212 en nu hebben we alle relaties van het gestelde bewezen. Ook de volgende eigenschap vinden we (zonder bewijs) in het artikel terug. Eigenschap 3.1.5. Een meetkundige graaf (r, k, t) is sterk regulier met parameters ( kt ((r − 1)(k − 1) + t), r(k − 1), (t − 1)(r − 1) + k − 2, rt). Bewijs. Het aantal toppen van de meetkundige graaf (r, k, t) volgt meteen uit Lemma 3.1.2. De valentie van de graaf is het aantal toppen dat adjacent is met een willekeurige top p, dit is dus gelijk aan het aantal rechten door een punt vermenigvuldigd met het aantal punten verschillend van p op elke rechte, dit geeft r(k − 1). De parameter p111 is gelijk aan het aantal gemeenschappelijke adjacente toppen van twee adjacente toppen p en q. Enerzijds hebben we de k − 2 punten gelegen op de rechte door p en q, anderzijds gaan er door het punt q juist r − 1 rechten verschillend van de rechte pq, en voor elk van deze rechten zijn er juist t − 1 rechten door p die één van de r − 1 rechten door het punt q snijdt in een punt verschillend van q. Zo vinden we dat p111 = k − 2 + (r − 1)(t − 1). De parameter p211 is het aantal gemeenschappelijke adjacente toppen van twee niet-adjacente toppen p en q. Door het punt q gaan r rechten, en voor elk van die rechten zijn er juist t snijpunten met een rechte die door p gaat. Zo vinden we p211 = rt, wat het bewijs vervolledigt. We komen nu tot de definitie van een pseudo-meetkundige graaf. Definitie 3.1.6. Een pseudo-meetkundige graaf (r, k, t) is een sterk reguliere graaf met dezelfde parameters als een meetkundige graaf (r, k, t).

34

3.1.2


Designs en associatieschema’s

Definitie 3.1.7. Een design D met parameters (v, b, r, k) is een verzameling van v punten, geordend in b blokken, zodanig dat ieder punt voorkomt in r blokken, en dat elk blok k verschillende punten bevat. In het artikel van Bose en Shrikhande worden deze punten ’treatments’ genoemd, maar wij zullen hier de meer gangbare benaming ’punten’ gebruiken, waarbij de link naar meetkundes ook iets duidelijker is. Definitie 3.1.8. De incidentiematrix van D is een (v × b)-matrix (nij ) met nij = 1 als het punt i voorkomt in het blok j en nij = 0 als het punt i niet voorkomt in het blok j. Definitie 3.1.9. Een design D wordt een gebalanceerd incompleet blok (BIB) design genoemd als het aan de bijkomende voorwaarde voldoet dat elke twee verschillende punten samen voorkomen in precies λ blokken. De parameters van het design zijn dan v, b, r, k en λ. Opmerking. In de literatuur wordt een BIB-design meestal genoteerd als een 2 − (v, k, λ)-design. Algemener is een t − (v, k, λ)-design een design waarbij elke verzameling van t verschillende punten bevat is in precies λ blokken. Vertrekkende van een 2-klasse associatieschema (Ω, {R0 , R1 , R2 }) met |Ω| = v en parameters p011 = n1 , p022 = n2 en pijk , (i, j, k = 1, 2) kunnen we een (2-klasse) partieel gebalanceerd incompleet blok (PBIB) design construeren dat gebaseerd is op dit associatieschema, waarbij de punten precies de objecten zijn uit de verzameling Ω van het associatieschema, en waarbij elke twee verschillende punten samen voorkomen in precies λ1 blokken als de punten tot relatie R1 behoren in het associatieschema, en waarbij elke twee punten samen voorkomen in precies λ2 blokken als de punten tot relatie R2 behoren in het associatieschema. Bijzondere associatieschema’s Er zijn twee bijzondere klassen van associatieschema’s, namelijk de group divisible en de negatieve-Latijnse-vierkanten-associatieschema’s, die van belang zijn voor het vervolg van dit hoofdstuk. Ze worden hieronder beschreven. Als v = mn objecten verdeeld worden over m disjuncte verzamelingen die elk n objecten bevatten, dan krijgen we een group divisible (GD) associatieschema op de volgende manier: twee objecten behoren tot de relatie R1 als ze in dezelfde verzameling bevat zijn; en twee objecten behoren tot de relatie R2 als ze niet in dezelfde verzameling bevat zijn. De parameters van dit associatieschema zijn v = mn, n1 = n − 1, p111 = n − 2, p211 = 0. Een PBIB design dat gebaseerd is op een GD associatieschema noemen we een group divisible of GD design. Twee punten die bevat zijn in dezelfde verzameling komen samen voor in λ1 blokken, en twee punten die niet bevat zijn in dezelfde verzameling komen samen voor in λ2 blokken. De parameters van zo’n design zijn v, b, r, k, m, n, λ1 , λ2 . Er zijn drie types van GD designs: singulier, semi-regulier en regulier, naargelang r = λ1 ofwel r > λ1 en rk − λ2 v = 0 ofwel r > λ1 en rk − λ2 v > 0. De volgende eigenschap zullen we verderop één keer nodig hebben in de opbouw naar het resultaat dat we uiteindelijk wensen te bewijzen over veralgemeende vierhoeken van de orde (s, s2 ). Eigenschap 3.1.10. In een semi-regulier group divisible (SRGD) design bevat elk blok precies k m punten uit elke verzameling.

3.2. PSEUDO-MEETKUNDIGE GRAFEN

35

We gaan hier verder niet in op deze eigenschap, meer informatie hierover is te vinden in een artikel van Bose en Connor uit 1952 (namelijk [4]). Een ander belangrijk associatieschema is het negatieve-Latijnse-vierkanten-associatieschema met parameters v = k 2 , n1 = r(k+1), p111 = (r+1)(r+2)−(k+2), p211 = r(r+1). De corresponderende graaf noemen we een N Lr (k)-graaf. Van een sterk reguliere graaf naar een design D(θ0 ) corresponderend met een top θ0 Beschouw nu een sterk reguliere graaf Γ met parameters (v, n1 , p111 , p211 ) en adjacentiematrix A. Zij θ0 een zekere top van Γ. Zij B de (n1 ×n2 )-deelmatrix van A waarvan de rijen corresponderen met de n1 buren θ1 , θ2 , . . . , θn1 van θ0 en waarvan de kolommen corresponderen met de n2 toppen β1 , β2 , . . . , βn2 die niet-adjacent zijn met θ0 . Er zijn precies p112 enen in de rij van B die correspondeert met top θi , vermits er precies p112 toppen zijn onder de toppen β1 , β2 , . . . , βn2 die adjacent zijn met θi en niet-adjacent zijn met θ0 . Analoog bevat de kolom van B die correspondeert met top βj precies p211 enen, vermits er juist p211 toppen zijn onder de toppen θ1 , θ2 , . . . , θn1 die zowel adjacent zijn met θ0 als met βj . Bijgevolg is B de incidentiematrix van een design met parameters v = n1 , b = n2 , r = p112 en k = p211 . We zeggen dat dit design correspondeert met de top θ0 , en noteren dit design als D(θ0 ). In de volgende paragraaf zullen we de link bestuderen tussen een meetkundige of pseudomeetkundige graaf (q 2 + 1, q + 1, 1) en het design D(θ0 ) corresponderend met een zekere top θ0 .

3.2 3.2.1

Pseudo-meetkundige grafen Van pseudo-meetkundige grafen naar SRGD designs

Zij Γ een pseudo-meetkundige graaf (r, k, 1). Definitie 3.2.1. We zeggen dat de graaf Γ eigenschap (P) heeft met betrekking tot top θ0 als er een partitie bestaat van de r(k − 1) toppen die adjacent zijn met θ0 in r disjuncte verzamelingen S1 , S2 , . . . , Sr zodanig dat elke twee toppen die tot dezelfde verzameling Si behoren, adjacent zijn (voor i = 1, . . . , r). In dit geval is Ki = Si ∪ θ0 een kliek van grootte k. Vermits t = 1, is geen enkele top θiu ∈ Si adjacent met een top θi0 u0 ∈ Si0 , voor i 6= i0 . Bekijken we de waarde voor p111 uit Eigenschap 3.1.5, rekening houdend met t = 1, in de parameters van de sterk reguliere pseudo-meetkundige graaf, dan hebben we p111 = k − 2, wat precies het aantal elementen in Si verschillend van die ene top θiu is, en dus kan geen enkele andere top nog adjacent zijn met zowel θ0 als met θiu . Definitie 3.2.2. We zeggen dat de graaf Γ de bijkomende eigenschap (P*) heeft, als elke twee verschillende toppen βj en βj 0 die niet-adjacent zijn met θ0 en die zowel adjacent zijn met θiu als met θi0 u0 , onderling niet-adjacent zijn, waarbij θiu een willekeurige top is in Si en θi0 u0 een willekeurige top is in Si0 , en i 6= i0 .

36

HOOFDSTUK 3. (PSEUDO-)MEETKUNDIGE GRAFEN θiu

θ0

βj

βj 0

θi0 u0

Figuur 3.1: Eigenschap (P*) is equivalent met het niet-bestaan van bovenstaande deelgraaf.

Stelling 3.2.3. Zij Γ een pseudo-meetkundige graaf (q 2 + 1, q + 1, 1) met eigenschap (P) met betrekking tot de top θ0 . Dan is het design D(θ0 ) corresponderend met de top θ0 een semi-regulier group divisible (SRGD) design met parameters v 0 = q(q 2 + 1), b0 = q 4 , r0 = q 3 , k 0 = q 2 + 1, m0 = q 2 + 1, n0 = q, λ01 = 0 en λ02 = q 2 . Bewijs. Gebruikmakend van Eigenschap 3.1.4 vinden we de parameters van Γ: k((r − 1)(k − 1) + t) = (q + 1)(q 2 · q + 1) = (q 3 + 1)(q + 1), t = r(k − 1) = (q 2 + 1)q,

v = n1

n2 = v − 1 − n1 = q 4 + q 3 + q − (q 3 + q) = q 4 ,

p111 = (t − 1)(r − 1) + k − 2 = q − 1,

p112 = p121 = n1 − 1 − p111 = q 3 + q − 1 − (q − 1) = q 3 , p122 = n2 − p112 = q 4 − q 3 ,

p211 = rt = q 2 + 1,

p212 = p221 = n1 − p211 = q 3 + q − q 2 − 1 = (q 2 + 1)(q − 1), p222 = n2 − 1 − p212 = q 4 − 1 − (q 3 − q 2 + q − 1) = q 4 − q 3 + q 2 − q = q(q 2 + 1)(q − 1).

De punten van D(θ0 ) corresponderen met de toppen van Γ die adjacent zijn met θ0 , en de blokken van D(θ0 ) corresponderen met de toppen van Γ die niet-adjacent zijn met θ0 . Bijgevolg is het aantal punten v 0 gelijk aan v 0 = n1 = q(q 2 + 1) en het aantal blokken b0 is gelijk aan b0 = n2 = q 4 . Zij S de verzameling van de q(q 2 +1) toppen van Γ die adjacent zijn met θ0 en zij B de verzameling van de q 4 toppen van Γ die niet-adjacent zijn met θ0 . Vermits Γ de eigenschap (P) heeft met betrekking tot de top θ0 , kunnen de toppen in de verzameling S gepartitioneerd worden in q 2 + 1 disjuncte verzamelingen S1 , S2 , . . . , Sq2 +1 van grootte q, zodanig dat elke twee toppen die tot dezelfde verzameling Si behoren, adjacent zijn (voor i = 1, 2, . . . , q 2 + 1) en zodanig dat elke twee toppen die behoren tot verschillende verzamelingen Si en Si0 (met i 6= i0 ), niet-adjacent zijn. Dit levert ons een partitie van de q(q 2 + 1) punten van D(θ0 ) in q 2 + 1 verzamelingen van grootte q, waarbij twee punten tot dezelfde verzameling behoren als en slechts dan als de corresponderende toppen tot dezelfde verzameling Si behoren. We noteren de toppen in de verzameling Si als volgt: θi1 , θi2 , . . . , θiq . Het punt van D(θ0 ) dat correspondeert met de top θiu zullen we eveneens noteren met θiu . We noteren de toppen van Γ die tot de verzameling B behoren met β1 , β2 , . . . , βq4 . Het blok van D(θ0 ) dat correspondeert met de top βj zullen we eveneens noteren met βj . Bij definitie is het punt θiu bevat in blok βj als en slechts als de top θiu adjacent is met de top βj . Vermits elke top in S adjacent is met p112 = q 3 toppen in B, is elk punt van D(θ0 ) bevat in r0 = q 3 blokken.

3.2. PSEUDO-MEETKUNDIGE GRAFEN

37

Analoog is elke top in B adjacent met p211 = q 2 + 1 toppen in S, dus elk blok van D(θ0 ) bevat k 0 = q 2 + 1 punten. Zij nu θiu en θiu0 twee toppen die tot dezelfde verzameling Si behoren. Dan zijn θiu en θiu0 beide adjacent met alle andere q − 2 toppen in Si , en ook met θ0 . Vermits p111 = q − 1, volgt hieruit dat θiu en θiu0 geen andere gemeenschappelijke buren meer kunnen hebben in Γ. In het bijzonder is geen enkele top in B adjacent met zowel θiu als θiu0 . Bijgevolg kunnen twee punten θiu en θiu0 van D(θ0 ), die tot dezelfde verzameling Si behoren, niet samen voorkomen in éénzelfde blok. Dus λ01 = 0. Zij nu θiu en θi0 u0 twee toppen van Γ die adjacent zijn met θ0 en die tot verschillende verzamelingen Si en Si0 behoren. Dan kunnen θiu en θi0 u0 geen gemeenschappelijke buren hebben in S. Ze zijn wel beide adjacent met θ0 . Bijgevolg zijn ze adjacent met precies p211 − 1 = q 2 toppen in B. Bijgevolg zullen elke twee punten θiu en θi0 u0 van D(θ0 ) die tot verschillende verzamelingen behoren, samen optreden in juist q 2 blokken van D(θ0 ), dus λ02 = q 2 . We hebben nu bewezen dat D(θ0 ) een group divisible design is met parameters zoals vermeld in de stelling. Vermits r0 = q 3 > λ01 = 0 en λ02 v 0 − r0 k 0 = q 2 · q(q 2 + 1) − (q 3 (q 2 + 1)) = 0, is dit een semi-regulier group divisible design. Gevolg 3.2.4. Elke top die niet-adjacent is met θ0 , is adjacent met precies één top in elk van de verzamelingen S1 , S2 , . . . , Sq2 +1 uit het bewijs van de vorige stelling. Bewijs. Dit volgt meteen uit Eigenschap 3.1.10 en de vorige stelling waaruit blijkt dat k = m k en dus m = 1.

3.2.2

Pseudo-meetkundige grafen en het design D(θ0 )

Definitie 3.2.5. Twee blokken van D(θ0 ) noemen we first associates als ze corresponderen met twee toppen in B die adjacent zijn, en we noemen ze second associates als ze corresponderen met twee toppen in B die niet-adjacent zijn, waarbij B de verzameling is van de toppen die niet-adjacent zijn met de top θ0 . Gevolg 3.2.6. Zij Γ een pseudo-meetkundige graaf (q 2 + 1, q + 1, 1) met eigenschap (P) met betrekking tot de top θ0 en beschouw het design D(θ0 ) corresponderend met de top θ0 . Als een punt voorkomt in een blok βj van D(θ0 ), dan komt het q − 1 keer voor onder de blokken die first associates zijn van βj , en q 3 − q keer onder de blokken die second associates zijn van βj . Als een punt niet voorkomt in een blok βj van D(θ0 ), dan komt het q 2 keer voor onder de blokken die first associates zijn van βj , en q 3 − q 2 − 1 keer onder de blokken die second associates zijn van βj . Bewijs. Vermits elke top in B adjacent is met p212 = (q 2 + 1)(q − 1) andere toppen van B, en niet-adjacent is met p222 = q(q 2 + 1)(q − 1) andere toppen in B, is elk blok van D(θ0 ) first associate met m01 blokken en second associate met m02 blokken, waarbij m01 = (q 2 + 1)(q − 1) en m02 = q(q 2 + 1)(q − 1). Zij nu θiu een punt dat optreedt in blok βj . Dan is de top θiu ∈ Si adjacent met de top βj ∈ B. Nu hebben θiu en βj juist p111 = q − 1 gemeenschappelijke buren. Deze toppen moeten allemaal behoren tot B, vermits βj niet-adjacent is met θ0 , βj niet adjacent kan zijn met een andere top uit Si dan θiu (wegens Gevolg 3.2.4) en θiu kan niet adjacent zijn met een top in S \ Si . Dit bewijst dat het punt θiu voorkomt in precies q − 1 blokken die first associates zijn van βj . Omdat het punt θiu moet voorkomen in r0 − 1 = q 3 − 1 blokken verschillend van βj , komt het voor in precies q 3 − q blokken die second associates zijn van βj .

38


Zij nu θiu0 een punt dat niet voorkomt in blok βj . Dan is de top θiu0 ∈ Si niet-adjacent met de top βj ∈ B. Zij θiu de unieke top in Si die adjacent is met βj (deze top is uniek wegens Gevolg 3.2.4). Nu hebben θiu0 en βj p211 = q 2 + 1 gemeenschappelijke buren in Γ. Al deze toppen behoren tot B, behalve θiu . Dit bewijst dat het punt θiu0 juist q 2 keer voorkomt onder de blokken die first associates van βj zijn, en dus q 3 − q 2 − 1 keer onder de blokken die second associates zijn van βj . We kunnen nu iets zeggen over het aantal punten dat twee blokken gemeenschappelijk kunnen hebben, naargelang deze twee blokken first associates dan wel second associates zijn, in het geval dat de pseudo-meetkundige graaf Γ de eigenschap (P ∗ ) heeft met betrekking tot de top θ0 . Stelling 3.2.7. Zij Γ een pseudo-meetkundige graaf (q 2 + 1, q + 1, 1) met eigenschap (P) en de bijkomende eigenschap (P*) met betrekking tot de top θ0 . Dan heeft het design D(θ0 ) corresponderend met de top θ0 de eigenschap dat elke twee blokken die first associates zijn, juist één punt gemeenschappelijk hebben, en dat elke twee blokken die second associates zijn, juist q + 1 punten gemeenschappelijk hebben. Bewijs. Beschouw een blok βj dat twee punten θiu en θi0 u0 bevat. Dan behoren deze punten noodzakelijk tot verschillende verzamelingen wegens Gevolg 3.2.4. Dus de top θiu behoort tot Si en de top θi0 u0 behoort tot Si0 met i 6= i0 . Als het paar θiu , θi0 u0 voorkomt in een blok βj 0 dat first associate is met βj , dan heeft Γ een deelgraaf zoals in Figuur 3.1, dit geeft een strijdigheid met het feit dat we veronderstellen dat Γ de eigenschap (P*) heeft. Bijgevolg kunnen twee blokken van D(θ0 ) die first associates zijn, hoogstens één punt gemeenschappelijk hebben. Vermits elk punt in blok βj q − 1 keer voorkomt onder de first associates van βj , is het aantal blokken die first associates zijn van βj en die precies één punt van βj bevatten, gelijk aan (q 2 + 1)(q − 1). Elk blok βj bevat namelijk q 2 + 1 punten. Maar dit aantal is precies het totaal aantal first associates van βj , waaruit we kunnen besluiten dat elke twee blokken van D(θ0 ) die first associates zijn, precies één punt gemeenschappelijk hebben. Beschouw nu de verdeling van de k 0 = q 2 + 1 punten die behoren tot het blok βj van D(θ0 ) over de m02 blokken die second associates zijn van βj met m02 = q(q − 1)(q 2 + 1). Zij xi het aantal gemeenschappelijke punten van βj en het i-de blok dat second associate is met βj , i = 1, 2, . . . , m02 . Wegens Gevolg 3.2.6 komt elk punt van βj precies q 3 − q keer voor onder de second associates van βj . We hebben dus 0

m2 X i=1

xi = (q 2 + 1)(q 3 − q).

Bovendien moeten elke twee punten die beide tot βj behoren, precies λ02 − 1 = q 2 − 1 keer voorkomen onder de second associates van βj , vermits ze niet kunnen voorkomen onder de first associates. Dit geeft 0

m2 X i=1

xi (xi − 1) = (q 2 + 1)q 2 (q 2 − 1).

Definiëren we nu 0

m2 X xi (q 2 + 1)(q 3 − q) (q 2 + 1)q(q − 1)(q + 1) x ¯= = = = q + 1. m02 q(q − 1)(q 2 + 1) q(q − 1)(q 2 + 1) i=1

¨ 3.3. PARTIELE MEETKUNDES EN MEETKUNDIGE GRAFEN (q 2 + 1, q + 1, 1)

39

We hebben bovendien 0

m2 X i=1

0

2

(xi − x ¯) =

m2 X i=1

0

2

(xi − (q + 1)) = m02

m02

=

X i=1

(x2i − xi ) +

X

(x2i

m02 (q

m02

=

X i=1

− xi ) +

i=1

m2 X i=1

x2i + (q + 1)2 − 2(q + 1)xi

((q + 1)2 − (2q + 1)xi ) 0

2

+ 1) − (2q + 1)

m2 X

xi .

i=1

Gebruiken we nu in de tweede term dat 0

0

m2 m2 X X xi 0 2 0 0 = (q + 1) xi , m2 (q + 1) = m2 (q + 1)¯ x = m2 (q + 1) m02 i=1

i=1

0

m2 X

dan krijgen we: 0

m2 X i=1

0

(xi − x ¯)2 =

m2 X i=1

(x2i − xi ) + (q + 1)

= (q 2 + 1)q 2 (q 2 − 1) − q

m2 X i=1

0

xi − (2q + 1)

0

m2 X

xi

i=1

xi

i=1 3

= q 2 (q 4 − 1) − q(q 2 + 1)(q − q)

= q 6 − q 2 − (q 3 + q)(q 3 − q) = 0.

Dit toont aan dat xi − x ¯ = 0, d.w.z. dat elke twee blokken van D(θ0 ) die second associates zijn, precies q + 1 punten gemeenschappelijk hebben. Definitie 3.2.8. De eigenschap van een design dat elke twee blokken die first associates zijn, juist één punt gemeenschappelijk hebben, en dat elke twee blokken die second associates zijn, juist q + 1 punten gemeenschappelijk hebben, noemen we vanaf nu eigenschap(I1 ).

3.3

Parti¨ ele meetkundes en meetkundige grafen (q 2 + 1, q + 1, 1)

Zij P een partiële meetkunde (q 2 + 1, q + 1, 1), zoals we gedefinieerd hebben in paragraaf 4.1. Zij Γ de meetkundige graaf van de partiële meetkunde P. Dan weten we uit Eigenschap 3.1.5 dat Γ sterk regulier is, met parameters ( kt ((r − 1)(k − 1) + t), r(k − 1), (t − 1)(r − 1) + k − 2, rt), met r = q 2 + 1, k = q + 1 en t = 1. Uit Gevolg 3.2.6 hebben we dat, als Γ de eigenschap (P) heeft met betrekking tot de top θ0 en als θiu een punt is dat bevat is in blok βj van D(θ0 ), er juist q − 1 andere blokken zijn die first associates zijn van βj en die het punt θiu bevatten. Definitie 3.3.1. We zeggen dat het design D(θ0 ) de eigenschap (I2 ) heeft als de q − 1 blokken waarover we het hierboven hebben, onderling allemaal first associates zijn. Stelling 3.3.2. Zij Γ de graaf van een partiële meetkunde (q 2 + 1, q + 1, 1), dan is het design D(θ0 ) dat correspondeert met een willekeurige top θ0 SRGD met parameters v 0 = q(q 2 + 1), b0 = q 4 , r0 = q 3 , k 0 = q 2 + 1, m0 = q 2 + 1, n0 = q, λ01 = 0 en λ02 = q 2 en bezit dit design de eigenschappen (I1 ) en (I2 ).

40


Bewijs. Zij θ0 een willekeurige top van Γ, of dus een punt van P. Zij ì (i = 1, 2, . . . , q 2 + 1) de rechten van P die incident zijn met θ0 . Noteer met Si de verzameling van de q punten, verschillend van θ0 , die incident zijn met de rechte ì . Dan is S, de verzameling van de punten die adjacent zijn met θ0 , precies de unie van de disjuncte verzamelingen S1 , S2 , . . . , Sq2 +1 en de graaf Γ bezit de eigenschap (P) met betrekking tot de top θ0 want elke twee toppen die tot dezelfde verzameling Si behoren, zijn adjacent (voor i = 1, 2, . . . , q 2 + 1) en elke twee toppen die tot verschillende verzamelingen Si , Si0 behoren (i 6= i0 ), zijn niet-adjacent.

Omdat t = 1 zijn er geen driehoeken in de meetkunde P, dus als θ1 , θ2 en θ3 drie verschillende willekeurige punten zijn, die paarsgewijs adjacent zijn, dan moeten ze noodzakelijk incident zijn met eenzelfde rechte `. Hieruit volgt dat Γ de bijkomende eigenschap (P ∗ ) heeft met betrekking tot θ0 . Dit zien we als volgt. Zij θiu en θi0 u0 twee willekeurige toppen, die respectievelijk tot Si en Si0 behoren, met i 6= i0 . Zij βj en βj 0 twee toppen die niet-adjacent zijn met θ0 , maar wel beide adjacent zijn met de toppen θiu en θi0 u0 . Als βj en βj 0 adjacente punten zijn, zij dan ` de rechte door deze twee punten. Aangezien nu βj , βj 0 en θiu paarsgewijs adjacent zijn, moet θiu incident zijn met de rechte `. Uit een analoge redenering volgt dat θi0 u0 incident moet zijn met de rechte `. Maar dit betekent dat θiu en θi0 u0 adjacent zijn, wat een contradictie is (want we veronderstelden i 6= i0 ). Bijgevolg moeten βj en βj 0 noodzakelijk niet-adjacente punten zijn. Uit Stelling 3.2.3 en Stelling 3.2.7 volgt nu dat het design D(θ0 ) dat correspondeert met de top θ0 een SRGD design is met parameters v 0 = q(q 2 + 1), b0 = q 4 , r0 = q 3 , k 0 = q 2 + 1, m0 = q 2 + 1, n0 = q, λ01 = 0 en λ02 = q 2 , dat de eigenschap (I1 ) bezit dat elke twee blokken van D(θ0 ) ofwel juist 1 ofwel juist q + 1 punten gemeenschappelijk hebben. Uit Gevolg 3.2.6 volgt bovendien dat, als θiu een willekeurig punt is van een blok βj van D(θ0 ), dan zijn er precies q − 1 andere blokken die first associates zijn van βj en die het punt θiu bevatten. We tonen nu aan dat in het huidige geval, D(θ0 ) ook de eigenschap (I2 ) bezit, dus dat deze q − 1 blokken onderling allemaal first associates zijn. We noteren deze blokken met βjw , w = 1, 2, . . . q − 1. Zij ` de rechte van de partiële meetkunde P die incident is met de punten θiu en βj . Vermits βjw adjacent is met zowel θiu als met βj , volgt uit het feit dat er geen driehoeken bestaan in de partiële meetkunde P dat βjw incident moet zijn met de rechte `. Dus zijn de toppen βj1 , βj2 , . . . βj,q−1 paarsgewijs adjacent, en de corresponderende blokken zijn dus onderling allemaal first associates, zodanig dat elke twee van deze blokken enkel het punt θiu gemeenschappelijk hebben. Dit beëindigt het bewijs.

Het volgende resultaat is van toepassing bij de studie van veralgemeende vierhoeken van de orde (s, s2 ) (zoals Q− (5, q)). Gevolg 3.3.3. Voor elke drie punten θ0 , θ1 , θ2 van een partiële meetkunde (q 2 + 1, q + 1, 1), die paarsgewijs niet-collineair zijn, kunnen we een verzameling van q + 1 punten ϕ0 , ϕ1 , . . . , ϕq vinden die paarsgewijs niet-collineair zijn en waarvan elk punt adjacent is met θ0 , θ1 en θ2 . Bewijs. We noemen Γ de meetkundige graaf horende bij de partiële meetkunde (q 2 + 1, q + 1, 1) en we beschouwen het design D(θ0 ) met betrekking tot de top θ0 . Dan kunnen we θ1 en θ2 beschouwen als blokken van dit design, die second associates zijn (omdat ze niet-collineair zijn in de meetkunde en dus niet-adjacent in de graaf Γ). Wegens Stelling 3.2.7 hebben θ1 en θ2 precies q + 1 punten gemeenschappelijk, die we noteren met ϕ0 , ϕ1 , . . . , ϕq . Wegens Gevolg 3.2.4 moeten punten in eenzelfde blok noodzakelijk tot verschillende verzamelingen Si behoren, wat betekent dat ϕi en ϕj niet-adjacent zijn in de graaf Γ voor j 6= i, of dus dat we de q + 1 paarsgewijs niet-collineaire punten uit het gestelde gevonden hebben. Merk op dat een veralgemeende vierhoek (uiteraard) een partiële meetkunde is. Beschouwen we Q− (5, q), dan zien we eenvoudig in dat |{x, y, z}⊥ | = q+1 als de drie punten x, y, z twee aan twee niet-collineaire punten zijn. Dat deze eigenschap veralgemeend kan worden naar willekeurige veralgemeende vierhoeken van de orde (s, s2 ) heeft belangrijke gevolgen in hun studie.

Hoofdstuk 4

Bestaan en niet-bestaan van ovo¨ıden 4.1

Niet-bestaan van ovo¨ıden in Q− (5, q)

We beginnen deze sectie met een stelling uit [2] in verband met de grootte van de doorsnede van een i-tight set met een m-ovo¨ıde, die bij een aantal niet-bestaansresultaten van ovo¨ıden een belangrijke rol zal spelen. Stelling 4.1.1. Zij S een veralgemeende vierhoek, zij O een m-ovo¨ıde van S en zij T een i-tight set van S. Dan snijden O en T in mi punten. Bewijs. Zij P de puntenverzameling van een veralgemeende vierhoek S van orde (s, t), en zij A de adjacentiematrix van de puntgraaf van S. Beschouw A als een lineaire afbeelding op de P vectorruimte van functies van P naar P R . Dat betekent dat A een functie f zal afbeelden op de functie die elk punt p afbeeldt op {f (Q)||Q ∼ P, Q 6= P }. Merk op dat het bepalen van de grootte van de doorsnede van O en T neerkomt op het berekenen van het inproduct van χO en χT . Bij definitie van een m-ovo¨ıde hebben we AχO = −(t + 1)χO + m(t + 1)~j. met ~j de constante functie met waarde 1. Analoog hebben we, bij definitie van een i-tight set AχT = (s − 1)χT + i~j. Vermits de valentie k van elk punt van de puntgraaf van S gelijk is aan s(t + 1), hebben we A~j = s(t + 1)~j. Nu is

m ~ A χO − j s+1

ms(t + 1)~ = −(t + 1)χO + m(t + 1)~j − j s+1 ms ~ = −(t + 1) χO − (m − )j s+1 m ~ = −(t + 1) χO − j s+1 41

42

HOOFDSTUK 4. BESTAAN EN NIET-BESTAAN VAN OVOÏDEN

en A χT −

i ~ j st + 1

is(t + 1)~ = (s − 1)χT + i~j − j st + 1 st + s ~ = (s − 1)χT + i 1 − j st + 1 i ~ j = (s − 1) χT − st + 1

m ~ i ~ j en χT − st+1 j eigenvectoren van A, met verschillende eigenwaarden, Bijgevolg zijn χO − s+1 wat betekent dat ze orthogonaal moeten zijn. Dus m ~ i ~ χO − j χT − j = 0. s+1 st + 1

Hieruit kunnen we een uitdrukking voor χO · χT halen: χO · χT = mi

~j · χT ~j · ~j χO · ~j − + (s + 1)i (s + 1)(st + 1) (st + 1)m

!

In de veralgemeende vierhoek S geldt dat ~j · χT = |T | = (s + 1)i wegens Eigenschap 1.3.11. Verder hebben we wegens Eigenschap 1.3.5 dat ~j · χO = |O| = (st + 1)m en wegens Eigenschap 1.2.2 geldt in S dat ~j · ~j = |P| = (s + 1)(st + 1). Dus |O ∩ T | = χO · χT = mi en dus snijden O en T in mi punten. Hiermee kunnen we nu zeer kort het niet-bestaan van ovo¨ıden in Q− (5, q) aantonen. We beginnen met Q− (5, q) vermits dit het gemakkelijkste geval is. Daarna onderzoeken we in de volgende paragraaf hoe het zit voor H(4, q 2 ). Het zal blijken dat, mits een kleine aanpassing, de gebruikte techniek ook in dit geval toepasbaar is. Het bestaan van een bepaalde tight set in Q− (5, q) in combinatie met de voorgaande stelling, zal het bestaan van een ovo¨ıde van Q− (5, q) uitsluiten. Deze tight set vinden we als gevolg van Stelling 2.4.2. Ook dit bewijs is terug te vinden in [1]. We formuleren, zoals in [1], de stelling voor willekeurige veralgemeende vierhoeken van orde (q, q 2 ). Gevolg 4.1.2. Zij x en y twee niet-collineaire punten van een veralgemeende vierhoek van orde (q, q 2 ), met q > 1. Dan is qχ{x,y} + χ{x,y}⊥ een gewogen tight set. Bewijs. Wegens Gevolg 3.3.3 van Bose en Shrikhande, is de grootte van {x, y, z}⊥ gelijk aan q + 1, waarbij x, y en z paarsgewijs niet-collineair zijn. Merk op dat we in dit geval hebben dat s = q, t = q 2 , α = q en β = 1. Dus hebben we inderdaad |{x, y, z}⊥ | = q + 1 = st + 1 en dat αs = βt. Veronderstel dat we een punt z hebben in {x, y}⊥⊥ \ {x, y}, dan zou dat punt niet-collineair zijn met x en y, en dan zou |{x, y, z}⊥ | = t + 1 = q 2 + 1 6= q + 1. Dus een dergelijke z bestaat niet, hieruit leren we dat χ{x,y}⊥⊥ = χ{x,y} . Daardoor hebben we dan inderdaad |{x, y}⊥⊥ | = s2 t

+ 1 = 2 want {x, y}⊥⊥ = {x, y}, en dus zijn alle voorwaarden van Stelling 2.4.2 voldaan, zodat we kunnen besluiten dat qχ{x,y} + χ{x,y}⊥ een gewogen (q + 1)-tight set is.

We komen nu tot een eerste resultaat over het niet-bestaan van ovo¨ıden.

4.2. NIET-BESTAAN VAN OVOÏDEN IN H(4, q 2 )

43

Stelling 4.1.3. Q− (5, q) heeft geen ovo¨ıden. Bewijs. Zij O een ovo¨ıde, dan is voor x, y ∈ O, 2q = (qχ{x,y} + χ{x,y}⊥ ) · χO = q + 1. Dit geeft q = 1, een strijdigheid. Merk op dat dit dus geldt voor willekeurige veralgemeende vierhoeken van de orde (q, q 2 ). Hieronder geven we een uitgebreider bewijs dat Q− (5, q) geen ovo¨ıden heeft, met wat meer motivatie bij de verschillende stappen, hoewel de essentie van het bewijs precies die ene regel hierboven is. Stelling 4.1.4. Q− (5, q) heeft geen ovo¨ıden. Bewijs. Veronderstel dat Q− (5, q) wél een ovo¨ıde O heeft. Neem nu x, y ∈ O willekeurig. Dan zijn x en y niet collineair. Gevolg 4.1.2 zegt dan dat χT = qχ{x,y} + χ{x,y}⊥ ∈ (V − )⊥ een (q + 1)-gewogen tight set is. Maar χT · χO = (q + 1) · 1 wegens Stelling 4.1.1. Uit het bewijs van die stelling blijkt dat het niet uitmaakt dat χT een gewogen tight set is. Anderzijds is χT · χO = qχ{x,y} · χO + χ{x,y}⊥ · χO = 2q, vermits x en y tot O behoren en {x, y}⊥ ∩ O = ∅. Dit geeft q = 1, een strijdigheid. Opmerking. We hadden ook kunnen opteren om enkel x ∈ O te kiezen, en y een willekeurig punt van Q− (5, q), niet collineair met x. Dan vinden we dat q + 1 = χT · χO = |O ∩ T | = 1, wat de strijdigheid q = 0 oplevert.

4.2

Niet-bestaan van ovo¨ıden in H(4, q 2 )

We bekijken nu de situatie voor H(4, q 2 ). We onderzoeken eerst wat we ons in dit geval moeten voorstellen bij de hyperbolische rechten {x, y}⊥⊥ . Lemma 4.2.1. Als x en y twee niet-collineaire punten zijn van H(4, q 2 ), dan is {x, y}⊥⊥ een projectieve rechte die H(4, q 2 ) in juist q + 1 punten snijdt. Bewijs. Gebruikmakend van de hermitische polariteit zien we in dat {x, y}⊥ een vlak π is. Passen we nu nog eens de hermitische polariteit toe op π, dan vinden we dat {x, y}⊥ = π ⊥ een zekere projectieve rechte L is, die x en y bevat. Aangezien L twee niet-collineaire punten van H(4, q 2 ) bevat, kan de doorsnede van L met H(4, q 2 ) geen generator (rechte van de veralgemeende vierhoek) zijn. Vermits de rechte L wel al twee punten van H(4, q 2 ) bevat, moet de rechte L dus snijden met H(4, q 2 ) in precies q + 1 punten. Ook hier hebben we, als gevolg van Stelling 2.4.2 een tight set die zal leiden tot het niet-bestaan van ovo¨ıden in H(4, q 2 ). Het onderstaande gevolg vinden we onder andere terug in [1]. Gevolg 4.2.2. Zij x en y twee niet-collineaire punten van H(4, q 2 ). Dan is qχ{x,y}⊥⊥ + χ{x,y}⊥ een gewogen tight set. Bewijs. Zij z een punt van H(4, q 2 ) \ cl(x, y). Dan is het vlak hx, y, zi een niet-ontaard vlak, wat betekent dat het geen rechten van H(4, q 2 ) bevat. Dan is ook de rechte hx, y, zi⊥ een nietontaarde rechte (dus geen rechte van H(4, q 2 )), en vermits de rechte hx, y, zi⊥ reeds drie punten van H(4, q 2 ) bevat, bevat deze rechte precies q + 1 punten van H(4, q 2 ). Dus |{x, y, z}⊥ | = q + 1. Wegens Lemma 4.2.1 bevat elke hyperbolische rechte van H(4, q 2 ) precies q + 1 punten, wat 2 gelijk is aan st + 1 voor deze veralgemeende vierhoek. Verder hebben we ook t = qs, en dus volgt het gestelde uit Stelling 2.4.2.

44


Als we nu dezelfde techniek willen gebruiken als in het vorige geval, zullen we iets moeten te weten komen over de doorsnede van een ovo¨ıde en een hyperbolische rechte. We geven dus eerst nog een lemma over het aantal hyperbolische rechten door een punt vooraleer we bewijzen dat H(4, q 2 ) geen ovo¨ıden kan hebben. Lemma 4.2.3. Door elk punt van H(4, q 2 ) gaan precies q 6 hyperbolische rechten. Bewijs. Neem een willekeurig punt x ∈ H(4, q 2 ). Dan is er voor elk punt y ∈ H(4, q 2 ), nietcollineair met x, een hyperbolische rechte {x, y}⊥⊥ . Maar wegens Lemma 4.2.1 bestaat elke hyperbolische rechte van H(4, q 2 ) uit q + 1 punten. Er zijn dus q mogelijkheden voor y die dezelfde hyperbolische rechte opleveren. Zo vinden we dat het aantal hyperbolische rechten door x gelijk is aan het aantal punten van H(4, q 2 ), verschillend van x, dat niet collineair is met x, gedeeld door q. We krijgen dus: |H(4, q 2 )| − 1 − |x⊥ \ {x}| q

(q 2 + 1)(q 5 + 1) − 1 − q 2 (q 3 + 1) q 7 5 2 q + q + q + 1 − 1 − q5 − q2 = q 6 = q . =

Stelling 4.2.4. H(4, q 2 ) heeft geen ovo¨ıden. Bewijs. Veronderstel dat H(4, q 2 ) wél een ovo¨ıde O heeft. Dan is χO − q21+1~j, met ~j de vector bestaande uit enen, een eigenvector van de adjacentiematrix A van H(4, q 2 ), met eigenwaarde −(q 3 + 1). In het bijzonder hebben we dus dat χO − q21+1~j ∈ V − . Gevolg 4.2.2 zegt dat χS = qχ{x,y}⊥⊥ + χ{x,y}⊥ ∈ (V − )⊥ een (q + 1)-gewogen tight set is, voor x en y niet-collineaire punten van H(4, q 2 ). Neem nu x ∈ O willekeurig. Door x gaan q 6 hyperbolische rechten wegens Lemma 4.2.3. Veronderstellen we nu even dat op iedere hyperbolische rechte door x, nog een ander punt ligt van de ovo¨ıde O. Dan hebben we minstens q 6 + 1 punten in O, een strijdigheid, want |O| = q 5 + 1. Dus, er bestaat een punt y ∈ H(4, q 2 ) waarvoor de hyperbolische rechte {x, y}⊥⊥ slechts één punt gemeen heeft met O, namelijk het punt x. Het punt y is uiteraard niet collineair met x. Dus moet χS · (χO − q21+1~j) = 0 wegens orthogonaliteit van de vectoren. Het linkerlid geeft χS · (χO −

1 ~ χS · ~j j) = (qχ ⊥⊥ + χ{x,y}⊥ ) · χO − {x,y} q2 + 1 q2 + 1 2 (q + 1)(q + 1) = q|O ∩ ({x, y}⊥⊥ )| − . q2 + 1

(4.2.1) (4.2.2)

Dit laatste volgt omdat de grootte van een i-tight set gelijk is aan i(s + 1). Wegens onze keuze van y is |{x, y}⊥⊥ ∩ O| = 1, dit geeft 0 = −1, de gezochte strijdigheid.

4.3

Niet-bestaan van ovo¨ıden in W(5, q)

Analoog aan de bewijzen voor H(4, q 2 ) en Q− (5, q) trachten we ook voor het symplectische geval een tight set te construeren die het bestaan van een ovo¨ıde uitsluit. De veralgemeende vierhoek W(3, q) heeft ovo¨ıden als en slechts als q even is. We komen hier op terug op het einde van dit hoofdstuk. Het bewijs dat we daar beschrijven, is niet vertaalbaar naar een bewijs met tight sets zoals we er in de voorgaande paragrafen gezien hebben. In wat volgt, blijkt dat het niet-bestaan van ovo¨ıden in W(5, q) wel kan bewezen worden met behulp van tight sets.

4.3. NIET-BESTAAN VAN OVOÏDEN IN W(5, q)

45

Eerste probleem: W(5, q) is geen veralgemeende vierhoek, en tight sets werden tot nu toe enkel gedefinieerd voor veralgemeende vierhoeken. We gaan eerst na of W(5, q) een polaire graaf heeft die sterk regulier is, want in dat geval hebben we drie (verschillende) eigenwaarden, die we voorlopig k, e− en e+ noteren, met bijhorende eigenruimten V 0 , V − en V + . Om na te gaan of de polaire graaf gehecht aan W(5, q) een sterk reguliere graaf is, gaan we na of k, λ en µ goed gedefinieerd zijn: • k = |p⊥ \ {p}| = q 4 + q 3 + q 2 + q; • λ = (q + 1)(q 2 + q + 1 − (q + 1)) + q + 1 − 2 = q 2 (q + 1) + q − 1 = q 3 + q 2 + q − 1, waarbij q + 1 zowel het aantal generatoren door een rechte als het aantal punten op een rechte is, en q 2 + q + 1 het aantal punten in een generator is; • µ = |{x, y}⊥ | = |W(3, q)| = q 3 + q 2 + q + 1. We kunnen nu aan de hand van bovenstaande waarden, de eigenwaarden e− en e+ bepalen voor dit specifieke geval: p λ − µ + (λ − µ)2 + 4(k − µ) + e = 2 p −2 + (−2)2 + 4(q 4 − 1) = 2 −2 + 2q 2 = 2 2 = q − 1, −

e =

λ−µ−

p (λ − µ)2 + 4(k − µ) 2

−2 − 2q 2 2 = −q 2 − 1. =

We kunnen een tight set van W(5, q) nu als volgt definiëren. Definitie 4.3.1. Een verzameling S van punten van W(5, q) wordt een b-tight set genoemd als en slechts als de karakteristieke vector χS van S voldoet aan χS ∈ (V − )⊥ of dus, als en slechts als er een b bestaat zodanig dat AχS = (q 2 − 1)χS + b · ~j, met A de adjacentiematrix van de polaire graaf van W(5, q). We kunnen ook gewogen kegels definiëren. We doen dit hier voor W(5, q). Verderop zal blijken dat deze gewogen kegels voorbeelden zijn van (q + 1)-ovo¨ıden. Definitie 4.3.2. Zij p een punt van W(5, q). Zij Cp de verzameling van alle punten die collineair zijn met p, waarbij elk punt gewicht 1 heeft, behalve het punt p zelf, dat gewicht −q 2 + 1 heeft. Dan is C een gewogen kegel, waarbij χCp = (−q 2 + 1)χp + χp∼ . Het volgende lemma uit [1] zullen we nodig hebben in het vervolg van deze paragraaf. Lemma 4.3.3. Zij f en g twee functies in C(V Γ), waarbij f ∈ (V + )⊥ en g ∈ (V − )⊥ . Dan is f ·g =

|f ||g| . |V Γ|


46

Bewijs. Wegens Lemma 1.4.5 bestaan er een b+ en een b− ∈ C zodanig dat (e− −k)f +b−~j ∈ V − en (e+ − k)g + b+~j ∈ V + . Vermits deze elementen orthogonaal zijn, en ~j orthogonaal is met beide, hebben we (k − e− )(f · ~j) = b−~j · ~j,

(k − e+ )(g · ~j) = b+~j · ~j

en (e− − k)(e+ − k)(f · g) = −b− (e+ − k)(g · ~j) − b+ (e− − k)(f · ~j) − b− b+ (~j · ~j).

Combineren we nu dit alles, dan vinden we

(e− − k)(e+ − k)(f · g) = b− b+ (~j · ~j) + b+ b− (~j · ~j) − b− b+ (~j · ~j) = b− b+ (~j · ~j). Daaruit volgt nu dat

b− b+ (~j·~j)2 (f (f ·~j)(g·~j)

· g) = b− b+ (~j · ~j) en dus hebben we inderdaad dat f ·g =

|f ||g| . ~j · ~j

We kunnen nu Lemma 4.2 uit [1] veralgemenen zodat het bruikbaar wordt voor W(5, q). Lemma 4.3.4. Zij χO de karakteristieke vector van een verzameling van punten O waarvan elk punt een geheel gewicht heeft. Dan is χO ∈ (V + )⊥ als en slechts als er een constante m ∈ C bestaat zodanig dat χπ · χO = m voor elk vlak π van W(5, q). Bewijs. Veronderstel eerst dat er een constante m ∈ C bestaat zodanig dat χπ · χO = m voor elk vlak π. Dan hebben we ! X X AχO = χπ\{p} · χO χp p∈P

=

π3p

X X

p∈P

π3p

m − χp · χO

!

χp

Vermits er door elk punt p juist (q + 1)(q 2 + 1) vlakken gaan, hebben we X AχO = m(q + 1)(q 2 + 1) − (q + 1)(q 2 + 1)χp · χO χp p∈P

= m(q + 1)(q 2 + 1)

X

p∈P

χp − (q + 1)(q 2 + 1)

= m(q + 1)(q 2 + 1)~j − (q + 1)(q 2 + 1)χO = (q + 1) m(q 2 + 1)~j − (q 2 + 1)χO

X

p∈P

(χp · χO )χp

We kunnen dus inderdaad besluiten dat χO ∈ (V + )⊥ .

Veronderstellen we nu anderzijds dat χO ∈ (V + )⊥ , en zij π een vlak. Dan hebben we Aχπ = (q 2 − 1)χπ + (q + 1)~j en dus geldt voor elk vlak π dat χπ ∈ (V − )⊥ . Wegens Lemma 4.3.3 hebben we nu dat χπ · χO =

|χO |(q 2 + q + 1) |χO | = 3 , 3 2 (q + 1)(q + q + 1) q +1

wat niet afhangt van de keuze van het vlak π, dus we nemen m = ledigt.

|χO | , q 3 +1

wat het bewijs vervol-

4.3. NIET-BESTAAN VAN OVOÏDEN IN W(5, q)

47

Definitie 4.3.5. Een puntenverzameling O ⊆ P waarvoor χO voldoet aan de equivalente voorwaarden uit Lemma 4.3.4 noemen we een gewogen m-ovo¨ıde. Als gevolg van Lemma 4.3.4 zijn gewogen kegels ook gewogen (q + 1)-ovo¨ıden. Gevolg 4.3.6. De gewogen kegel Cp in W(5, q) met χCp = (−q 2 + 1)χp + χp∼ is een gewogen (q + 1)-ovo¨ıde. Bewijs. Wegens Lemma 4.3.4 volstaat het om aan te tonen dat de doorsnede van een gewogen kegel Cp met een willekeurig vlak π steeds juist (q+1) (gewogen) punten bevat. We onderscheiden verschillende gevallen naargelang de ligging van het vlak π. Omdat we in W(5, q) werken, kan het vlak π niet zodanig gelegen zijn dat het enkel de top p van de kegel gemeen heeft met Cp . Veronderstel dus dat het vlak π de top p gemeen heeft met de kegel Cp , en een rechte M van de basis van de kegel. Dan is inderdaad χCp · χπ = −q 2 + 1 + (q + 1)q = q + 1. Een andere mogelijkheid is dat het vlak π niet door het punt p gaat, dan is π ∩ p⊥ een rechte L, die zeker niet door het punt p gaat. Ieder punt van deze rechte heeft gewicht 1 in de gewogen kegel Cp , dus vinden we χCp · χπ = |L| = q + 1. We zoeken nu een tight set in W(5, q). Ge¨ınspireerd door Stelling 2.4.2 en de gevolgen daarvan die we in de gevallen van Q− (5, q) en H(4, q 2 ) gebruikt hebben, blijkt dat we een gewogen tight set kunnen construeren aan de hand van een projectieve rechte L in W(5, q) (dus een rechte die niet bevat is in W(5, q)). Om te bewijzen dat dit wel degelijk een tight set is, zullen we de volgende veralgemening van Lemma 4.3 uit [1] bewijzen. Lemma 4.3.7. Zij T een verzameling van punten van W(5, q) waarbij aan elk punt een geheel gewicht is toegekend, en zij χT de karakteristieke vector horende bij T . Dan is χT ∈ (V − )⊥ als en slechts als er een constante b ∈ C bestaat zodanig dat χCp · χT = b voor iedere gewogen kegel Cp . Bewijs. Veronderstel eerst dat er een constante b bestaat zodanig dat χCp · χT = b voor iedere gewogen kegel Cp . Dan hebben we X AχT = (χp∼ · χT )χp p∈P

=

X

p∈P

=

X

p∈P

((χCp + (q 2 − 1)χp ) · χT )χp (χCp · χT )χp + (q 2 − 1)

= b~j + (q 2 − 1)χT

X

p∈P

(χp · χT )χp

We kunnen dus inderdaad besluiten dat χT ∈ (V − )⊥ .

T Omgekeerd, veronderstel dat χT ∈ (V − )⊥ en stel b = (q+1)χ . Zij Cp een gewogen kegel, dan q 2 +q+1 2 2 3 zien we eenvoudig in dat |Cp | = −q + 1 + (q + 1)(q + 1)q = (q + 1)(q + 1). Bovendien weten we wegens Lemma 4.3.4 dat Cp een gewogen (q + 1)-ovo¨ıde is en dus χCp ∈ (V + )⊥ . Wegens Lemma

4.3.3 hebben we nu dat χCp · χT = keuze van het punt p.

|χT |(q 3 +1)(q+1) (q 3 +1)(q 2 +q+1)

=

(q+1)χT q 2 +q+1

= b, wat niet afhankelijk is van de

Met behulp van de voorgaande lemma’s kunnen we nu bewijzen dat we een gewogen tight set kunnen construeren aan de hand van een projectieve rechte L in W(5, q).

48


Stelling 4.3.8. Gegeven een projectieve rechte L die niet bevat is in W(5, q). Dan is χT = qχL + χL⊥ een gewogen (q + 1)-tight set. Bewijs. Wegens Lemma 4.3.7 is het voldoende om te bewijzen dat χT iedere gewogen kegel Cp in een vast aantal punten snijdt. We onderscheiden verschillende gevallen naargelang de ligging van het punt p (dat de gewogen kegel Cp bepaalt) ten opzichte van de rechte L. Veronderstel eerst dat het punt p op de rechte L ligt en dat L⊥ precies de basis van de kegel Cp is. Dan is χCp · χT = (−q 2 + 1)χp + χp∼ · (qχL + χL⊥ ) = (−q 2 + 1)q + (q 2 + 1)(q + 1) = (q + 1)2 . Wegens Lemma 4.3.4 weten we dat iedere gewogen kegel Cp een gewogen (q + 1)-ovo¨ıde is. Bovenstaande berekening is dus in overeenstemming met het gestelde dat χT een gewogen (q+1)tight set zou zijn. We trachten nu aan te tonen dat we voor andere liggingen van het punt p eenzelfde (gewogen) aantal punten in de doorsnede van χT en χCp vinden. Veronderstel nu dat p ∈ L⊥ . Dat betekent dat p collineair is met alle punten van L, dan is L ⊆ p⊥ en aangezien L 6⊆ L⊥ weten we zeker dat p ∈ / L. We hebben dan (−q 2 + 1)χp · qχL = 0 2

χp∼ · qχL = q(q + 1)

(−q + 1)χp · χL⊥ χp∼ · χL⊥

= (−q 2 + 1) · 1 = (q + 1)q,

waarbij de laatste gelijkheid volgt omdat L⊥ ∩p⊥ een vlak is, en we het punt p zelf niet meetellen. Dan is χCp · χT = (−q 2 + 1)χp + χp∼ · (qχL + χL⊥ ) = (q + 1)q − q 2 + 1 + (q + 1)q = q + 1 + q 2 + q = (q + 1)2 .

Veronderstel nu dat het punt p gelegen is op een rechte door een punt q van L en een punt r van L⊥ . Dan is p⊥ ∩ L⊥ opnieuw een kegel met basis een rechte M maar met een punt verschillend van p als top. We krijgen dan χCp · χT = (−q 2 + 1)χp + χp∼ · (qχL + χL⊥ ) = q + (q + 1)q + 1

= q 2 + 2q + 1 = (q + 1)2 . Een laatste mogelijke ligging van het punt p is dat p niet in één van de vorige gevallen ligt. Opnieuw snijdt p⊥ met L⊥ in een vlak, waar een symplectische polariteit eruitziet als een kegel met top een punt en basis een rechte M . Bovendien is er opnieuw één punt q ∈ L dat collineair is met p, omdat p⊥ snijdt met L in een punt. We krijgen dus precies hetzelfde resultaat voor χCp · χT als in het vorige geval. Dit korte gevallenonderzoek bewijst dat χT wel degelijk een (q + 1)-tight set is van W(5, q).

4.4. HEMISYSTEMEN IN Q− (5, q)

49

Lemma 4.3.9. Door ieder punt van W(5, q) gaan precies q 4 + q 3 + q 2 projectieve rechten (die niet behoren tot W(5, q)). Bewijs. Het aantal projectieve rechten door een willekeurig punt x van W(5, q) is het aantal punten in een vier-dimensionale projectieve ruimte, of dus q 4 + q 3 + q 2 + q + 1. Daarvan moeten 2 we nu nog het aantal rechten van W(5, q) aftrekken die x bevatten. Dit zijn er q +q+1−1 = q + 1. q 4 3 2 Bijgevolg zijn er q + q + q projectieve rechten door x die niet behoren tot W(5, q). We kunnen nu bewijzen dat W(5, q) geen ovo¨ıden heeft. Stelling 4.3.10. W(5, q) heeft geen ovo¨ıden. Bewijs. Veronderstel dat W(5, q) wel een ovo¨ıde O heeft. Beschouw nu een punt x van de ovo¨ıde O. Door x gaan precies q 4 + q 3 + q 2 projectieve rechten wegens Lemma 4.3.9. Veronderstel nu dat op elk van die rechten nog minstens één ander punt van de ovo¨ıde O gelegen is. Dan bevat die ovo¨ıde minstens q 4 + q 3 + q 2 + 1 punten, dit geeft een strijdigheid want een ovo¨ıde van W(5, q) zou q 3 + 1 punten bevatten. Dus is er zeker een projectieve rechte L door x die geen andere punten van de ovo¨ıde O bevat. We weten nu dankzij Stelling 4.3.8 dat χT = qχL +χL⊥ een gewogen (q+1)-tight set is. Dan is enerzijds χO ·χT = q+1 wegens Stelling 4.1.1. Anderzijds is χO · χT = χO · (qχL + χL⊥ ) = qχO · χL + χO · χL⊥ = q. Er zou dus gelden dat 1 = 0, een strijdigheid.

4.4

Hemisystemen in Q− (5, q)

Ook deze paragraaf gaat over een (niet-)bestaansresultaat van m-ovo¨ıden. Dit wordt duidelijker wanneer we de definitie van een hemisysteem in beschouwing nemen. Definitie 4.4.1. Een hemisysteem is een m-ovo¨ıde met m =

q+1 2 .

In 1965 bewees B. Segre in [21] dat, als O een m-ovo¨ıde is van Q− (5, q), dan noodzakelijk geldt dat m = q+1 2 , of dus dat O een hemisysteem is. In 1989 werd dit resultaat door J.A. Thas veralgemeend, hij bewees namelijk in [25] de volgende stelling. Stelling 4.4.2. Zij S een veralgemeende vierhoek van orde (s, s2 ). Als O een m-ovo¨ıde is van S met 0 < m < q + 1, dan is O een hemisysteem van S. We zullen hier niet het bewijs van Thas geven, maar een alternatief bewijs uit [1]. In feite volgt uit de bovenstaande stelling ook dat er in het bijzonder geen ovo¨ıden zijn in Q− (5, q), wat we al eerder dit hoofdstuk bewezen. Opmerking. We noteren met Ox de puntenverzameling O \ x⊥ . We bewijzen eerst een stelling over m-ovo¨ıden van veralgemeende vierhoeken van de orde (s, t). Stelling 4.4.3. Zij O een m-ovo¨ıde van een veralgemeende vierhoek S van de orde (s, t), en 2 zij x een punt buiten O. Veronderstel dat voor elk punt y ∈ Ox , |{x, y}⊥⊥ | = st + 1 en |{x, y, u}⊥ | = st + 1 voor elk punt u ∈ / cl(x, y). Dan geldt dat X

z∈Ox

|O ∩ {x, z}⊥⊥ | = m2 (s2 − 2s − t) + ms(t + 1).

50

HOOFDSTUK 4. BESTAAN EN NIET-BESTAAN VAN OVOÏDEN 2

Bewijs. We nemen een vast maar willekeurig punt x buiten O en zij c = st + 1. We zullen een dubbele telling gebruiken, in het bijzonder zullen we op twee manieren de som bepalen van alle elementen van een matrix M . Voor elke y ∈ Ox definiëren we vy als de vector tχ{x,y}⊥⊥ + sχ{x,y}⊥ . Wegens Stelling 2.4.2 is vy een gewogen (s + t)-tight set. Deze vectoren vy vormen de rijen van de matrix M , waarbij we de kolommen wel beperken tot deze die overeenkomen met punten van de m-ovo¨ıde O. Uit Eigenschap 1.3.5 zien we meteen dat er |O| = m(st + 1) kolommen zijn in de matrix M , en |O| − |O ∩ x⊥ | = m(st + 1) − m(t + 1) = mt(s − 1) rijen. We bepalen nu de som van alle elementen van de matrix M , waarbij we eerst de som nemen van alle elementen van een rij, en daarna deze resultaten optellen. De som van de elementen van een rij is een constante aangezien voor y ∈ Ox , elke vector vy een gewogen tight set is. We kunnen dus Lemma 4.3.3 toepassen en we krijgen: (χO · ~j)(vy · ~j) m(st + 1)(tc + s(t + 1))) = |P| (s + 1)(st + 1) m(s + t)(s + 1) = = m(s + t), s+1

v y · χO =

en vermenigvuldigen we dit getal nu met het aantal rijen in de matrix M , dan vinden we dat de som van alle elementen van deze matrix M precies gelijk is aan m2 t(s − 1)(s + t). We bepalen nu de som van alle elementen van de matrix M , waarbij we eerst de som nemen van alle elementen van een kolom, en daarna deze resultaten optellen. In dit geval zijn er twee mogelijke waarden voor de som van de elementen van een kolom. Beschouw een punt z ∈ O. Dan is de corresponderende kolomsom gelijk aan X Nz := v y · χz . y∈Ox

Als z ∈ x⊥ , dan hebben we Nz∈x⊥ =

X

y∈Ox

=

X

y∈Ox

tχ{x,y}⊥⊥ · χz + sχ{x,y}⊥ · χz sχ{x,y}⊥ · χz = s|Ox ∩ z ⊥ | = (m − 1)st,

waarbij tχ{x,y}⊥⊥ · χz = 0 omdat in {x, y}⊥⊥ geen enkel punt kan zitten dat collineair is met x (of met y) omdat we dan driehoeken zouden hebben. Als z ∈ / x⊥ , dan hebben we X Nz ∈x tχ{x,y}⊥⊥ · χz + sχ{x,y}⊥ · χz / ⊥ = y∈Ox

=

X

y∈Ox

tχ{x,y}⊥⊥ · χz = t

X

y∈Ox

χ{x,z}⊥⊥ · χy ,

waarbij we gebruikt hebben dat de hyperbolische rechte opgespannen door x en y in dit geval dezelfde is als de hyperbolische rechte opgespannen door x en z. Nu krijgen we x ⊥⊥ Nz ∈x | = t|O ∩ {x, z}⊥⊥ |. / ⊥ = t|O ∩ {x, z} Dus we hebben dat de som van alle elementen van de matrix M gelijk is aan X X |O ∩ x⊥ |Nz∈x⊥ + Nz ∈x = m(t + 1)(m − 1)st + t |O ∩ {x, z}⊥⊥ |. ⊥ / z∈Ox

z∈Ox

4.4. HEMISYSTEMEN IN Q− (5, q)

51

Combineren we nu deze twee tellingen, dan vinden we dat X

z∈Ox

|O ∩ {x, z}⊥⊥ | = m2 (s − 1)(s + t) − m(m − 1)s(t + 1) = m2 (s2 + st − s − t) − m2 5(st + s) + ms(t + 1)

= m2 (s2 − 2s − t) + ms(t + 1), wat we moesten bewijzen.

Gevolg 4.4.4. Zij O een m-ovo¨ıde van een veralgemeende vierhoek van de orde (s, s2 ) en zij x een punt dat niet bevat is in O. Dan is X

z∈Ox

|O ∩ {x, z}⊥⊥ | = ms(s2 − 2m + 1).

Bewijs. Neem een punt y dat niet collineair is met x. Dan geldt wegens Gevolg 3.3.3 van Bose en Shrikhande, voor elk punt u dat niet bevat is in de sluiting van x en y, dat |{x, y, u}⊥ | = s+1, wat gelijk is aan st +1 in dit geval. Veronderstel nu dat er een punt z bestaat met z ∈ {x, y}⊥⊥ \{x, y}, dan is z niet collineair met x en ook niet met y, en bovendien zou |{x, y, z}⊥ | = s2 + 1 6= s + 1. Zo’n punt z kan dus onmogelijk bestaan, waaruit volgt dat |{x, y}⊥⊥ | = 2, wat in dit geval gelijk 2 is aan st + 1. De voorwaarden van Stelling 4.4.3 zijn dus voldaan, waaruit volgt dat X

z∈Ox

|O ∩ {x, y}⊥⊥ | = m2 (s2 − 2s − t) + ms(t + 1),

wat in dit geval gelijk is aan −2sm2 + ms(s2 + 1) = ms(−2m + s2 + 1), wat precies datgene is dat we moesten bewijzen. We kunnen nu Stelling 4.4.2 bewijzen. Bewijs. Zij O een niet-triviale m-ovo¨ıde, d.w.z. m 6= 0 en m 6= s + 1. Dan bedekt O niet de volledige puntenverzameling, en dus kunnen we een punt x ∈ / O beschouwen. Uit het bewijs van het vorige gevolg weten we dat voor iedere z die niet collineair is met x, geldt dat {x, z}⊥⊥ = {x, z}. We hebben dus |Ox | =

X

z∈Ox

|O ∩ {x, z}⊥⊥ | = ms(s2 − 2m + 1).

Anderzijds weten we uit het bewijs van Stelling 4.4.3 dat |Ox | = mt(s − 1) = ms2 (s − 1). We hebben dus s2 −2m+1 = s(s−1). Dit kunnen we vereenvoudigen tot −2m+1 = −s waaruit volgt dat m = s+1 ıde van een veralgemeende vierhoek van 2 , en dus is iedere niet-triviale m-ovo¨ 2 orde (s, s ) inderdaad een hemisysteem. In het bijzonder geldt Stelling 4.4.2 voor de klassieke veralgemeende vierhoek Q− (5, q) met s = q.

52

4.5


Een overzicht: wat we (nog niet) weten

In deze paragraaf geven we een overzicht van wat tot op dit moment geweten is wat betreft het bestaan en niet-bestaan van ovo¨ıden in eindige klassieke polairen ruimten. We bekijken eerst welke resultaten we kunnen afleiden uit de bewijzen die eerder in dit hoofdstuk gegeven werden. Daarvoor bekijken we het volgende lemma uit [10], dat ondanks zijn eenvoud meteen veel resultaten oplevert. Lemma 4.5.1. Als O een ovo¨ıde is van een eindige klassieke polaire ruimte S van rang r > 3, dan induceert O een ovo¨ıde van een eindige klassieke polaire ruimte van hetzelfde type van rang r − 1. Bewijs. Beschouw een willekeurig punt p ∈ / O van de polaire ruimte S. De quotiëntruimte van p is een polaire ruimte S 0 van rang r − 1 van hetzelfde type. Elke generator van S die door p gaat, bevat juist één punt van de ovo¨ıde O, dus O induceert inderdaad een ovo¨ıde van S 0 . Bijgevolg is het voldoende om van een eindige klassieke polaire ruimte van lage rang te bewijzen dat ze geen ovo¨ıden heeft, om hieruit te kunnen besluiten dat alle eindige klassieke polaire ruimten van hetzelfde type van hogere rang geen ovo¨ıden kunnen hebben. Het onderstaande gevolg is ook terug te vinden in [10], maar kan hier rechtstreeks uit Lemma 4.5.1 en de voorgaande paragrafen afgeleid worden. Gevolg 4.5.2. De eindige klassieke polaire ruimten Q− (2n + 1, q), H(2n, q 2 ) en W(2n + 1, q), met n > 2 bevatten geen ovo¨ıden. Bewijs. Dit volgt meteen uit Lemma 4.5.1 gecombineerd met Stelling 4.1.4 voor Q− (2n + 1, q), met Stelling 4.2.4 voor H(2n, q 2 ) en met Stelling 4.3.10 voor W(2n + 1, q). Opmerking. Merk op dat Q− (3, q) zelf een ovo¨ıde is, aangezien de generatoren precies de punten zijn van deze polaire ruimte. Dit is ook het geval bij de Hermitische kromme H(2, q 2 ) en de symplectische rechte W(1, q). Behalve de resultaten die we konden afleiden uit de voorgaande paragrafen, zijn er uiteraard nog meer gekende bestaans- en niet-bestaansresultaten in verband met ovo¨ıden. Gebruiken we nu voor het geval dat q even is, het isomorfisme tussen W (2n − 1, q) en Q(2n, q), dan krijgen we wegens het niet-bestaan van ovo¨ıden in W (5, q) het volgende. Gevolg 4.5.3. De polaire ruimte Q(2n, q), q even, n > 3 heeft geen ovo¨ıden. In feite geldt zelfs een sterker resultaat in verband met de parabolische kwadrieken, dat we in de overzichtstabel in [10] terugvinden. Stelling 4.5.4. De polaire ruimte Q(2n, q), n > 4 heeft geen ovo¨ıden. Het bewijs is anders voor het geval waarin q even is (dat volgt namelijk uit het bovenstaande) als voor het geval dat q oneven is. Voor oneven q hebben A. Gunawardena en G. E. Moorhouse in [15] via een graaf bewezen dat Q(8, q) geen ovo¨ıden heeft. De bovenstaande stelling, voor oneven q, volgt dan door toepassing van Lemma 4.5.1. Het is mogelijk dat het bewijs voor Q(8, q), q oneven, te vertalen is naar een bewijs met tight sets. In [10] vinden we ook het volgende resultaat, dat ons van de niet-bestaansresultaten naar de bestaansresultaten over ovo¨ıden brengt. Uit dit bewijs zal ook duidelijk worden waarom dit resultaat tot nog toe niet bewezen kon worden gebruikmakende van tight sets.

4.5. EEN OVERZICHT: WAT WE (NOG NIET) WETEN

53

Eigenschap 4.5.5. De polaire ruimte W(3, q) heeft ovo¨ıden als en slechts als q even is. Bewijs. Als q even is, dan is W(3, q) isomorf met Q(4, q) en een ingebedde kwadriek Q− (3, q) in Q(4, q) levert een ovo¨ıde op van W(3, q). Veronderstellen we omgekeerd dat O een ovo¨ıde is van W(3, q), dan is |O| = q 2 + 1. We beschouwen nu een projectieve rechte L door twee punten van de ovo¨ıde O. Deze rechte is dus niet bevat in W(3, q), aangezien elke generator van W(3, q) exact één punt van de ovo¨ıde bevat. We hebben dus |L ∩ O| = c > 2. We tellen nu het aantal koppels van punten in de verzameling S = {(p, q)|p ∈ L, q ∈ O \ L}. Voor elk punt p ∈ L \ O snijden de q + 1 generatoren van W(3, q) door p de ovo¨ıde O in juist één punt. Dit geeft |S| = (q + 1 − c)(q + 1). Anderzijds gaat door elk punt q van O \ L juist één generator van W(3, q) die de rechte L snijdt in een punt buiten de ovo¨ıde O. Dit levert S = q 2 + 1 − c op. Nemen we deze twee tellingen samen, dan geldt dat (q + 1 − c)(q + 1) + c = q 2 + 1, wat altijd strijdig is, behalve voor c = 2. We hebben nu voor elk punt p ∈ W(3, q) \ O dat er in het vlak p⊥ precies q + 1 punten gelegen zijn van de ovo¨ıde O. Het is namelijk zo dat elke generator van W(3, q) precies één punt van O bevat, en dus bevat ook elk van de q + 1 generatoren door p juist één punt van de ovo¨ıde O. Deze q + 1 punten in p⊥ vormen samen met het punt p zelf een verzameling H van q + 2 punten waarvoor geldt dat iedere rechte er ofwel geen enkel punt ofwel twee punten mee gemeen heeft. Het is duidelijk dat een rechte van p⊥ niet méér dan twee punten gemeen kan hebben met H, omdat c = 2. Stel dat we een rechte M vinden in p⊥ die slechts één punt r gemeen heeft met H. Op de q andere rechten door r liggen hoogstens twee punten van H, waarvan r er al één is. Op die manier vinden we hoogstens q + 1 punten in H, dus een dergelijke rechte M kan inderdaad niet bestaan. Dus H is een hyperovaal in PG(2, q) en dus moet q even zijn (zie [12]). We noemen nu uit de overzichtstabel in [10] nog een aantal andere polaire ruimten van lage rang die wél ovo¨ıden bezitten. Deze vergen in feite meer onderzoekswerk, aangezien men dan probeert na te gaan hoe alle mogelijke ovo¨ıden dan geconstrueerd kunnen worden. Stelling 4.5.6. De polaire ruimten Q(4, q), Q(6, q), H(3, q 2 ), Q+ (3, q) en Q+ (5, q) bevatten allen ovo¨ıden. Tot hier toe hebben we enkel gevallen vermeld die ‘gekend’ zijn. Hieronder geven we een kort overzicht van de open problemen in verband met (niet-)bestaansresultaten van ovo¨ıden in eindige klassieke polaire ruimten. We beperken ons tot de kleinste gevallen die nog open zijn. • H(5, q 2 ): enkel voor H(5, 4) is geweten dat er geen ovo¨ıden bestaan (zie [11]). • Q+ (7, q): nog niets geweten voor de gevallen waarbij q = ph , p > 3 priem en h even, of waarbij q = ph , p ∼ = 1 mod 3, p priem, h oneven. • Q+ (9, q): voor q = ph , p priem en p4 > 8+p − 6+p (dit is voor p = 2 en p = 3) weet 9 9 men dat er geen ovo¨ıden bestaan (zie [3] en [14]). Het zou kunnen dat (sommige van) de bovenstaande open gevallen opgelost kunnen worden met de techniek die in dit hoofdstuk ge¨ıllustreerd werd bij Q− (5, q), H(4, q 2 ) en W(5, q).

54


Deel II

Grafentheorie in het secundair onderwijs Algebra¨ısche grafentheorie en onderzoekend leren met Grinvin

55

Hoofdstuk 1

Introductie en motivatie Er zijn een aantal concepten uit het eerste gedeelte van deze thesis die, met wat vereenvoudigingen, in aanmerking komen om uit te leggen aan leerlingen in de derde graad van het secundair onderwijs. Ik had kunnen kiezen voor de eindige meetkunde, en uitleggen wat een polaire ruimte of een veralgemeende vierhoek is, maar wat me het meest aanspreekt met het oog op dit publiek, is de algebra¨ısche grafentheorie. Dit sluit ook goed aan bij de voorkennis van de leerlingen, in die zin dat ze (meestal in het vijfde middelbaar) al heel wat gezien hebben in verband met matrices. Het aspect grafen zal natuurlijk nieuw zijn, maar dit zijn geen al te complexe structuren om mee te leren werken, en ik verwacht dat de leerlingen hier snel voeling mee zullen krijgen. Hoewel grafen op zich zeer abstract zijn, (en daarom toepasbaar in vele andere domeinen van de wiskunde, zoals hier ook in het eerste gedeelte van deze thesis ge¨ıllustreerd wordt) zijn ze gemakkelijk visueel voor te stellen, wat het inzicht kan vergroten, zeker voor beginnelingen. Bovendien is het een onderwerp dat nog voor veel leerlingen nieuw zal zijn, terwijl ik er zelf toch van overtuigd ben dat leerlingen aan het einde van het secundair onderwijs eigenlijk wel zouden mogen weten wat een graaf is. Ongetwijfeld zijn er af en toe mogelijkheden om grafen als model te gebruiken, ik denk hierbij al meteen aan Lesliematrices en migratiematrices. Verder denk ik ook dat grafentheorie een onderwerp is dat leerlingen aanspreekt en kan boeien. Hierbij lijkt het algebra¨ısche aspect, met de adjacentiematrices bijvoorbeeld, mij een enorme meerwaarde, want het wijst de leerlingen erop dat de theorie die ze in verband met matrices gezien hebben, niet het einde is, maar toegepast kan worden in verschillende andere contexten, bijvoorbeeld via een vertaling naar grafen. Volgens mij zijn grafen bovendien uitermate geschikt als onderwerp voor een lessenreeks rond onderzoekend leren. Het programma Grinvin leek me hiervoor ideaal, en was de basis voor een tweede lessenreeks over grafentheorie voor het secundair onderwijs. Nogal wat leerkrachten worstelen met de opdracht om hun leerlingen onderzoeksvaardigheden te laten ontwikkelen, en met deze lessenreeks wil ik hen een manier aanbieden waarop dat kan gebeuren.

57

58

1.1

HOOFDSTUK 1. INTRODUCTIE EN MOTIVATIE

De Hoffmangrens voor coklieken van reguliere grafen

In het stukje van het grafentheoretisch bewijs van de bovengrens op de grootte van een partiële spread in H(4n+1, q 2 ) wordt er op een elegante manier gebruik gemaakt van een bovengrens op de grootte van een kliek in een bepaald soort graaf. Dit is een veralgemening van de Hoffmangrens. Deze bestaat eigenlijk uit twee delen, één deel dat een bovengrens geeft voor de grootte van een cokliek in reguliere grafen, en één deel dat een bovengrens geeft voor de grootte van een kliek in sterk reguliere grafen. De kracht van deze grens spreekt me zo aan, dat ik in dit stuk wil onderzoeken hoe (een deel van) de Hoffmangrens in het secundair onderwijs kan uitgelegd én bewezen worden. Hierbij komen bijvoorbeeld ook eigenwaarden en eigenvectoren aan bod, iets wat de leerlingen nog niet gezien hebben, maar wat wel dicht aansluit bij de voorkennis die ze al hebben in verband met matrices en determinanten. In dit gedeelte onderzoek ik dus het antwoord op de volgende vraag. Vraag: Hoe kunnen we de Hoffmangrens voor de grootte van een cokliek van een reguliere graaf begrijpelijk uitleggen aan en bewijzen met leerlingen van het zesde middelbaar? Ik formuleer hier eerst het gedeelte van de stelling en het bewijs dat ik wens uit te leggen. Deze stelling is (met een andere notatie) terug te vinden in [8]. Het bewijs zelf komt uit [23]. Stelling 1.1.1 (Hoffman). Zij G een reguliere graaf met niet-ledige toppenverzameling Ω, valentie k > 0 en kleinste eigenwaarde m. Dan geldt: |Ω| Als C een cokliek is van G, dan is |C| 6 1− / C hetzelfde k , en bij gelijkheid heeft elke top v ∈ m

aantal buren in C (namelijk −m).

Bewijs. Merk op dat m < 0 aangezien k > 0. Als A de adjacentiematrix is van G, dan is A − mI positief semi-definiet, en dus geldt in het bijzonder T |C| |C| χΩ (A − mI) χC − χΩ > 0. χC − |Ω| |Ω|

We kunnen dit uitwerken, dit geeft (χC )T AχC = 0 omdat C een cokliek is, (χΩ )T AχC = (χC )T AχΩ = k|C| omdat G een k-reguliere graaf is, en (χΩ )T AχΩ = k|Ω|, ook omwille van de k-regulariteit. Dit levert: 0− ⇔ ⇔

k|C|2 m|C|2 k|C|2 k|C|2 m|C|2 m|C|2 − m|C| + − + + − >0 |Ω| |Ω| |Ω| |Ω| |Ω| |Ω| (m − k) |C| 6

|C|2 − m|C| > 0 |Ω|

−m|Ω| |Ω| = k−m 1 − k/m

en bij gelijkheid moet (A − mI)(χC − |C| |Ω| χΩ ) = 0, dus moet χC − A voor de eigenwaarde m zijn. In dit geval levert: |C| AχC = A χΩ + w |Ω| |C| =k χΩ + mw |Ω| |C| |C| =k χΩ + m(χC − χΩ ) |Ω| |Ω| |C| = (k − m)χΩ + mχC , |Ω|

|C| |Ω| χΩ

een eigenvector w van

1.1. DE HOFFMANGRENS VOOR COKLIEKEN VAN REGULIERE GRAFEN wat door |C| =

|Ω| 1−k/m

=

−m|Ω| k−m

59

vereenvoudigd kan worden tot:

|Ω| |C| (k − m)χΩ + mχC = (k − m)χΩ + mχC |Ω| |Ω|(1 − k/m) −m(k − m) = χΩ + mχC k−m = −mχΩ + mχC wat −mχΩ\C is, en dus hebben we inderdaad dat iedere top buiten C adjacent is met precies −m elementen van C. Het is duidelijk uit dit bewijs dat er in de lessen voorafgaand aan de les over dit bewijs, aandacht besteed zal moeten worden aan de interpretatie van de vermenigvuldiging van adjacentiematrices met karakteristieke vectoren, en dat een aantal begrippen, zoals positief semi-definiete matrices, nog zullen moeten ingevoerd worden. Ik onderzocht in dit deel dus welke stukken theorie, zowel uit de lineaire algebra als uit de grafentheorie, er nodig zijn om tot het bewijs van deze stelling te kunnen komen, en hoe ik deze kan aanbrengen bij leerlingen uit een sterk-wiskundige richting in het secundair onderwijs. De lessenreeks van 6 lessen die hieruit voortvloeide, werd ook effectief gegeven in januari 2014 aan leerlingen in het zesde middelbaar van de Heilige Familie in Sint-Niklaas, die 8 lestijden wiskunde per week hebben.

60

1.2

HOOFDSTUK 1. INTRODUCTIE EN MOTIVATIE

Onderzoekend leren met grafen en Grinvin

In het kader van mijn thesis kwam ik ook in aanraking met het programma Grinvin, dat aan de UGent werd ontwikkeld en als free-ware op het net beschikbaar is. Al snel was ik onder de indruk van de mogelijkheden die dit programma biedt om kennis te maken met grafen, én om te leren redeneren over deze interessante structuren. Ik vat even de belangrijkste functionaliteiten van het programma samen. Behalve een heleboel mogelijkheden om zelf grafen te tekenen, grafen te genereren in zogenaamde fabrieken en een uitgebreide grafenbibliotheek met voorgedefinieerde grafen, is er ook de zogenaamde vermoedensmotor of vermoedensgenerator. Dit is eigenlijk de kern van het programma. Men moet een aantal invarianten selecteren uit een zeer uitgebreide lijst (gaande van ’aantal toppen’ tot ’diameter’, ’kliekgetal’ en ’grootste eigenwaarde’) en daarnaast ook één of meerdere grafen selecteren, en deze in de daarvoor voorziene lijsten plaatsen. Daarna moet men één van de invarianten kiezen als basisinvariant, en een zogenaamde comparator (6 of >). Dan kan men vragen aan Grinvin om een vermoeden te genereren dat er als volgt uitziet: ‘basisinvariant 6 functie(overige invarianten)’. Dit vermoeden is zodanig ontworpen dat het waar is voor alle grafen die reeds in de lijst geplaatst werden. Men kan dan op zoek gaan naar een tegenvoorbeeld voor het vermoeden, dit toevoegen aan de lijst en een nieuw vermoeden laten genereren, of men kan proberen het gegenereerde vermoeden te bewijzen als men geen tegenvoorbeeld kan vinden. De gebruiksvriendelijkheid en de mooie lay-out van Grinvin zorgen er mee voor dat dit programma zeker geschikt is om te gebruiken in het secundair onderwijs. In de lessen Vakdidactiek Wiskunde en Didactiek Wetenschappen die ik vorig jaar volgde in het kader van de minor Onderwijs, werd duidelijk dat het niet zo evident is om leerlingen aan ontdekkend en onderzoekend leren te laten doen. Hoewel grafentheorie niet tot het leerplan behoort, is het zeker niet te moeilijk om aan te brengen in het secundair onderwijs en zo zag ik hierin een kans om een lessenpakket uit te werken over grafentheorie met de focus op ontdekkend en onderzoekend leren aan de hand van het programma Grinvin. Het is de bedoeling dat de tweede, derde en vierde les van dit lessenpakket kunnen doorgaan in een computerlokaal, zodat alle leerlingen een computer ter beschikking hebben (eventueel volstaat één computer per twee leerlingen). Er wordt dus verwacht van de leerlingen dat ze actief (mee)werken aan de opdrachten die hen gegeven worden in het programma Grinvin. Een aantal opdrachten in verband met vermoedens en tegenvoorbeelden uit dit lessenpakket zijn overgenomen uit [7]. Ik werkte in dit gedeelte een lessenreeks uit van 4 lessen én gaf dit lessenpakket bij leerlingen in het vijfde middelbaar van de eerder genoemde school, in januari 2014. Deze leerlingen hebben ook 8 lestijden wiskunde per week. Dit lessenpakket laat leerlingen kennismaken met grafen aan de hand van het programma Grinvin. De leerlingen leren correct redeneren en ontdekken de mogelijkheden van grafen en Grinvin.

Hoofdstuk 2

Beschrijving van de lessenreeksen 2.1

De Hoffmangrens voor coklieken van reguliere grafen

In deze reeks van zes lessen is het de bedoeling om de leerlingen kennis te laten maken met een stukje universitaire wiskunde, namelijk (een deeltje van) de algebra¨ısche grafentheorie. In het bijzonder heb ik onderzocht hoe ik de stelling van Hoffman zou kunnen bewijzen in het zesde middelbaar. Het werd als snel duidelijk dat er een heleboel zaken aan vooraf moeten gaan, en dat zes lessen ontoereikend zouden zijn om alles in detail uit te spitten. Het was bijvoorbeeld noodzakelijk om diagonaliseerbaarheid van matrices links te laten liggen. Hoewel dat qua niveau niet onmogelijk zou zijn om uit te leggen aan deze leerlingen kon dit niet binnen de beperkte tijd van zes lesuren. Toch is deze lessenreeks een mooi geheel geworden, waarbij er zowel aandacht is voor voorbeelden en oefeningen als voor eigenschappen en bewijzen. Ook toepassingen van grafen in het dagelijks leven komen aan bod. Zo wordt duidelijk gemaakt aan de leerlingen dat deze –voor hen nieuwe– theorie over grafen zowel toepassingen heeft binnen de wiskunde als in het echte leven. Voor deze hele lessenreeks heb ik een cursus geschreven voor de leerlingen, inclusief oefeningen (en achteraan ook oplossingen van de oefeningen). De handouts van de slides uit de eerste en vijfde les worden achteraan dit lessenpakket toegevoegd bij deze thesis, net als een overzichtsblaadje uit de vierde les. Voor deze lessenreeks heb ik ook een toets gemaakt, die de leerlingen in de vijfde les maken. Ook die wordt achteraan het lessenpakket toegevoegd, inclusief een opgeloste versie ervan en een overzicht met de te kennen leerstof voor de leerlingen.

2.1.1

Les 1: Grafentheorie

In deze les maken de leerlingen kennis met (enkele basisbegrippen in verband met) grafen aan de hand van slides. Hierbij ligt de nadruk op de terminologie die nodig is om alle begrippen in de stelling van Hoffman te begrijpen: grafen, toppen, bogen, orde, grootte, buren, adjacentie van toppen en bogen, reguliere grafen, de valentie van een reguliere graaf, complete grafen, klieken, coklieken, ... Ook adjacentiematrices van grafen worden in deze les al ge¨ıntroduceerd. De les eindigt met een korte quiz met 4 meerkeuzevragen waarin getest wordt in hoeverre de leerlingen de nieuwe begrippen onder de knie hebben. Ze moeten daarna ook aan elkaar uitleggen waarom bepaalde antwoorden juist of fout zijn. Het is de bedoeling dat de leerlingen in deze les actief meewerken, ze hoeven niet te noteren en krijgen bij het begin van de les blaadjes met daarop de geziene stof en een aantal oefeningen die ze tegen de volgende les moeten voorbereiden. 61

62

HOOFDSTUK 2. BESCHRIJVING VAN DE LESSENREEKSEN

Het doel van deze les is dat de leerlingen alle begrippen in de stelling van Hoffman begrijpen, met uitzondering van het begrip eigenwaarde (dat komt in les 2 aan bod), en dat ze vlot met deze begrippen overweg kunnen.

2.1.2

Les 2: Eigenwaarden, eigenvectoren en eigenruimten

Aan het begin van het lesuur bespreken we kort de oefeningen die de leerlingen moesten voorbereiden ter verwerking van de leerstof uit de eerste les. In deze les gebruik ik geen slides, maar werk ik aan het bord. Het is niet de bedoeling dat de leerlingen alles noteren wat ik op bord schrijf, ze krijgen bij het begin van de les blaadjes met daarop de theorie en een oefening op het bepalen van de eigenwaarden en eigenruimten van een (3 × 3)-matrix die ze tegen de volgende les moeten maken. Af en toe moeten de leerlingen wel eens iets uitrekenen op een kladblaadje, bijvoorbeeld de vermenigvuldiging van een (3 × 3)adjacentiematrix met een (eigen)vector, of de eigenwaarden van een (2 × 2)-matrix. Verder is het de bedoeling dat ze actief meewerken, vragen beantwoorden, meedenken, suggesties doen,... Ze krijgen uiteraard ook de kans om vragen te stellen als dat nodig is. Het doel van deze les is dat de leerlingen begrijpen wat eigenwaarden en eigenvectoren zijn, en dat ze die (voor (2 × 2)- en (3 × 3)-adjacentiematrices) kunnen bepalen. Ze komen aan het einde van deze les met behulp van ondersteunende vragen ook tot een bewijs van de stelling dat een reguliere graaf altijd de vector bestaande uit enen als eigenvector heeft met als bijhorende eigenwaarde de valentie van die reguliere graaf.

2.1.3

Les 3: Aanloop naar het bewijs

In deze les leggen we in feite de basis voor de volgende les, waarin het bewijs van de stelling van Hoffman zal gegeven worden. We beschouwen en bewijzen een aantal eigenschappen van positief semi-definiete matrices, we definiëren een karakteristieke vector, we staan stil bij de interpretatie van de vermenigvuldiging van een adjacentiematrix met een karakteristieke vector, ... Om de leerlingen meer voeling te laten krijgen met deze karakteristieke vectoren en de interpretaties, wordt er in de les rond een voorbeeld gewerkt, en krijgen de leerlingen een gelijkaardige opgave als huiswerk. De leerlingen krijgen opnieuw blaadjes waarop ze kunnen meevolgen wat ik op het bord uitleg aan de hand van een onderwijsvraaggesprek.

2.1.4

Les 4: Het bewijs van de stelling van Hoffman

In deze les wordt een overzichtsblaadje uitgedeeld met alle hulpstellingen uit de vorige les(sen) die nodig zijn tijdens het bewijs van de stelling van Hoffman. Zo zien de leerlingen meteen welke van deze lemma’s op welke plaats in het bewijs nodig zijn. Dit overzicht wordt achteraan bij de handouts uit les 1 en les 5 toegevoegd. De leerlingen krijgen aan het begin van de les een getypte versie van het bewijs, zodat ze kunnen meevolgen. Het bewijs wordt aan bord gebracht, met de nodige uitleg. Telkens wordt gevraagd welke eigenschap van het overzichtsblaadje nodig is om de volgende stap te nemen. Zo zien de leerlingen in waarvoor de eerdere resultaten precies gebruikt worden.

2.2. ONDERZOEKEND LEREN MET GRAFEN EN GRINVIN

2.1.5

63

Les 5: Evaluatiemoment - Toepassingen

Deze les beginnen we met een evaluatiemoment: de leerlingen krijgen een toets over het bewijs van de stelling van Hoffman. Het overzichtsblaadje dat de leerlingen in de vorige les gebruikten, is tijdens de toets zichtbaar als een slide die geprojecteerd wordt. De leerlingen krijgen een onvolledige versie van het bewijs van de stelling van Hoffman en moeten een aantal zaken in het bewijs aanvullen, bijvoorbeeld het verklaren van een aantal tussenstappen. Er worden ook een aantal definities gevraagd van begrippen waar de leerlingen al veel mee gewerkt hebben in de voorbije lessen, en waarmee ze dus voeling zouden moeten hebben. De toets wordt achteraan aan het lessenpakket toegevoegd, net als een opgeloste toets en een overzicht van de te kennen leerstof. De leerlingen krijgen maximum 20 minuten tijd om aan deze toets te werken. In het tweede deel van de les bespreken we een aantal toepassingen van grafen in de chemie en de biologie (DNA-sequencing), in het dagelijkse leven (onder andere als model van netwerken en vriendschapsrelaties) en staan we ook stil bij twee historische problemen in de grafentheorie: de zeven bruggen van K¨ onigsberg, en het vierkleurenprobleem. In de les zullen we dit bespreken aan de hand van slides, maar ook in de cursus voor de leerlingen staat wat uitleg over de verschillende toepassingen. Het is de bedoeling dat ze dat gedeelte van de cursus eens doorlezen tegen de volgende les.

2.1.6

Les 6: En verder... tweede deel van de stelling van Hoffman

In de laatste les van deze lessenreeks beginnen we met een korte bespreking van de toetsvragen die slecht beantwoord werden. Zo krijgen leerlingen meteen de kans om vragen te stellen bij de delen of concepten die ze nog niet goed genoeg begrepen, of worden sommige tussenstappen in het bewijs nog eens verduidelijkt. Daarna introduceren we het begrip sterk reguliere grafen en het tweede deel van de stelling van Hoffman. Dit bewijzen we niet in de les, maar we halen een voorbeeld aan van een zeer grote graaf waarin de stelling van Hoffman nuttig is, en verder maken we vier oefeningen om het werken met sterk reguliere grafen en de stelling van Hoffman nog wat in te oefenen. Hierbij wordt de nadruk meer gelegd op inzicht dan op reken- of geheugencapaciteit. Ook hier wordt vermeld dat de leerlingen aan het einde van de les uitgetypte oplossingen krijgen, ze moeten dus wel actief meewerken (op een kladblaadje), maar verliezen geen tijd met het (netjes) noteren van de oplossing/redenering.

2.2

Onderzoekend leren met grafen en Grinvin

Voor deze lessenreeks maakte ik slides en een theoriecursus voor de eerste les, en een bundeltje Begeleid Zelfstandig Leren voor de tweede, derde en vierde les, waarin de leerlingen experimenteren met het programma Grinvin en met grafen in Grinvin. De theoriecursus en het bundeltje vormen samen het lesmateriaal voor de leerlingen. In het bundeltje staan allerlei opdrachten. Bij deze opdrachten hoort telkens een hint. Deze hints staan niet in het bundeltje, maar worden achteraan het lesmateriaal toegevoegd. In het bundeltje zijn ook extra uitdagingen voorzien om te kunnen differentiëren, in dit geval voor de leerlingen die sneller werken dan hun klasgenoten. De handouts van de slides uit de eerste les worden eveneens aan dit lessenpakket toegevoegd.

64

2.2.1


Les 1: Onderzoekend leren met grafen

We beginnen de les met een opdracht in verband met het probleem van de 7 bruggen van Königsberg. De leerlingen krijgen een tekening van de situatie met de 7 bruggen en er wordt gevraagd om een wandeling door de stad uit te stippelen waarbij ze elke brug juist één keer passeren. Dit is een uitdagende opdracht voor alle leerlingen, ongeacht hun wiskundige voorkennis. Ze gaan zelf op onderzoek uit en proberen verschillende routes. Dit leidt tot een gezonde frustratie, want de gevraagde wandeling bestaat niet. Daarna worden grafen aangebracht als middel om de situatie abstract voor te stellen. Daarbij komt ook al wat basisterminologie aan bod die nodig is om vlot met grafen te kunnen werken: graaf, toppen, bogen, graad, adjacentie, orde en grootte van een graaf. De oplossing voor het probleem wordt uitgelegd, indien mogelijk door één van de leerlingen. Daarna komen nog een aantal belangrijke definities, die gerelateerd kunnen worden aan het probleem van de 7 bruggen: wandeling, (Euleriaans) spoor, Euleriaans circuit, reguliere graaf, (Hamiltoniaans) pad, cykel, samenhangende graaf, lengte van een wandeling of pad, afstand tussen twee toppen, diameter van een graaf en complete graaf. De les eindigt met een korte quiz met 4 meerkeuzevragen waarin getest wordt in hoeverre de leerlingen de nieuwe begrippen onder de knie hebben. Ze moeten daarna ook aan elkaar uitleggen waarom bepaalde antwoorden juist of fout zijn. De bedoeling is dat de leerlingen aan het eind van deze les genoeg voeling hebben met grafen om in de volgende les met Grinvin aan de slag te gaan en oefeningen te maken over grafen met dit computerprogramma.

2.2.2

Les 2: Kennismaking met Grinvin en invarianten van grafen

In deze les is het nog meer de bedoeling dat de leerlingen actief meedoen, elk op een eigen computer. Ze mogen wel samenwerken per twee als ze dat wensen. De leerlingen maken in deze les kennis met Grinvin, en gaan op ontdekkingstocht in dit programma, en op die manier ook in de grafentheorie. Dit doen ze zelfstandig via opdrachten in een bundeltje. In dit bundeltje staan niet alleen opdrachten, maar ook nieuwe begrippen (definities), eigenschappen, voorbeelden, afbeeldingen, denkvragen. Bij iedere opdracht kunnen de leerlingen een hint vragen aan de leerkracht. Leerlingen die snel klaar zijn met de opdrachten, kunnen daarna de uitdagingen oplossen, die na de opdrachten staan. Doorheen de bundel maken de leerlingen kennis met verschillende aspecten van Grinvin: de grafeneditor waar ze zelf grafen kunnen tekenen en bewerken, de grafenbibliotheek waar een heleboel grafen en hun eigenschappen voorgedefinieerd zijn, het werkblad waar ze eigenschappen van grafen kunnen laten bepalen, de fabrieken waar ze speciale grafen (complete, bipartiete, cykel- en padgrafen bv.) kunnen genereren,...

2.2.3

Les 3: Vermoedens en tegenvoorbeelden

In deze les beginnen we met een klassikaal (half-uitgewerkt) voorbeeld over het werken met de vermoedensmotor. Samen met de leerlingen gaat de leerkracht op zoek naar tegenvoorbeelden voor de door Grinvin gegenereerde vermoedens. Op die manier krijgen de leerlingen een duidelijk beeld van wat er van hen verwacht wordt bij dergelijke oefeningen. Na een drietal tegenvoorbeelden met argumentatie mogen de leerlingen per twee op eigen tempo verder werken aan deze oefening. Daarna volgen nog vier opdrachten over vermoedens en tegenvoorbeelden, waar de leerlingen per twee aan kunnen werken. Ook hier kunnen de leerlingen een hint vragen bij iedere tussenstap.

2.2. ONDERZOEKEND LEREN MET GRAFEN EN GRINVIN

65

Naarmate het bundeltje vordert, wordt het niveau van de opdrachten stilaan uitdagender. Via de mogelijkheid om hints te vragen, is het ook voor de iets tragere of minder sterke leerlingen mogelijk om vooruitgang te boeken. Uiteraard kunnen leerlingen tijdens de les ook extra uitleg vragen over een bepaald onderwerp of concept. In deze les worden dus oefeningen gemaakt met de vermoedensmotor van Grinvin, waarbij de leerlingen steeds een kleinste tegenvoorbeeld moeten vinden om een vermoeden te ontkrachten, ofwel het bewijs moeten vinden voor het vermoeden dat door Grinvin gegenereerd werd.

2.2.4

Les 4: Verder redeneren met Grinvin

In deze les mogen de leerlingen per twee verder werken aan de oefeningen met de vermoedensmotor van Grinvin. Er zijn voldoende opdrachten voorzien, en op die manier krijgen ook de leerlingen die iets trager werken de kans om meer dan één oefening op te lossen (eventueel met gebruik van de hints). Er wordt voor deze les ook een opdracht voorzien die gequoteerd kan worden. Deze opdracht wordt achteraan het bundeltje toegevoegd, inclusief een opgelost exemplaar.

66


Hoofdstuk 3

Reflectie op deze lessenreeksen 3.1

Reflectie op De Hoffmangrens voor coklieken van reguliere grafen

De bedoeling van deze lessenreeks was aantonen dat het voor (sterke) leerlingen uit het secundair onderwijs wel degelijk mogelijk is om wiskunde van een hoog niveau te begrijpen op een relatief korte tijd mits voldoende en goede uitleg. Hoewel de leerlingen bij het zien van de stelling van Hoffman enigzins onder de indruk waren, voornamelijk omwille van de vele onbekende begrippen, waren ze aan het einde van de eerste les al helemaal gerustgesteld. Na één lesuur waren alle nieuwe begrippen (op één na) duidelijk, en bleek de stelling al heel wat minder angstaanjagend. Voor mezelf voelde het heel goed om weer voor de klas te staan, ik besefte meteen weer dat lesgeven precies is wat ik nog vele jaren wil doen. Het verschil tussen de eerste, zeer visuele en concrete les en de tweede, abstracte les over eigenwaarden, was vrij groot. Toch waren de leerlingen enthousiast genoeg om deze meer theoretische les te overleven. Ook het begin van de derde les was vrij moeilijk voor de leerlingen, ze slaagden er niet goed in om te redeneren over een willekeurige positief semi-definiete matrix. Het tweede deel van de derde les, over karakteristieke vectoren, ging dan weer beter dan verwacht. In plaats van een algemene en abstracte aanpak had ik daar gekozen om met een voorbeeld te werken, één concrete graaf met vijf toppen die de rest van de les gebruikt werd om alle interpretaties van producten van karakteristieke vectoren en de adjacentiematrix uit te leggen. Op bepaalde momenten werd ik positief verrast door leerlingen die meer inzicht toonden dan ik had verwacht. Ze slaagden er dus wel degelijk in om met de nieuwe begrippen en notaties om te gaan, zolang het maar over een concrete graaf ging waarvan ze een tekening konden zien op het bord. Ze hadden geen moeite met het vermenigvuldigen van een (5 × 5)-matrix met een (5 × 1)-matrix, het leek er eerder op dat ze al blij waren dat er concrete getallen in die matrices stonden. In de vierde les gingen we nog een stapje verder, want in deze les hadden we alle eerdere resultaten nodig om stap voor stap het bewijs van de stelling van Hoffman te voltooien. De leerlingen kregen een klein overzichtsblaadje met alle stellingen, lemma’s en eigenschappen die we tot nu toe gezien hadden. Bij elke stap in het bewijs vroeg ik hen: Welke stelling of eigenschap op het blaadje gaat ons hier redden? De leerlingen leerden op die manier de eerdere resultaten toe te passen en kregen inzicht in de reden waarvoor een eigenschap precies nodig was. Af en toe werd het bewijs onderbroken wanneer een leerling extra uitleg vroeg over een bepaalde stap. Toch is het gelukt om op één lesuur het bewijs te geven, en ook de leerlingen gaven een tevreden indruk wanneer het bewijs eindelijk afgerond was. Ik had het gevoel dat ze vrij goed voorbereid waren voor de toets in les 5. 67

68

HOOFDSTUK 3. REFLECTIE OP DEZE LESSENREEKSEN

Zoals verwacht waren de resultaten van de toets erg goed, met punten tussen 5,5/10 en 9,5/10 en een gemiddelde van 8,5/10. Ik vond het erg moeilijk om op voorhand in te schatten hoe lang de leerlingen erover zouden doen om de toets te maken. De leerlingen moesten immers niet veel schrijven, maar wel goed nadenken, vermits de eerste vraag een korte theorievraag was en tweede vraag een echte inzichtsvraag. Na een kwartier waren negen van de twaalf leerlingen al klaar, dat was zeker sneller dan verwacht. De rest van het vijfde lesuur werd gespendeerd aan een overzicht van allerlei toepassingen van grafentheorie in het dagelijks leven, iets wat de leerlingen erg aansprak. De laatste les was grotendeels een oefeningenles, en dat viel duidelijk in goede aarde bij de leerlingen. Rekenen en tellen, zoeken op visuele voorstelling van een graaf, dat viel echt in de smaak. Ik had een heel goed gevoel na die zes lessen en heb mijn leerlingen dan ook verteld dat ik het echt heel fijn vond om aan hun klas les te geven.

Feedback van de leerlingen Nadat ik vier lessen had gegeven uit deze reeks van zes, besloot ik een vragenlijst op te stellen om aan de leerlingen voor te leggen en op die manier te peilen naar hun mening over de lessenreeks tot nu toe. Ik koos bewust voor open vragen in plaats van bolletjes kleuren gaande van helemaal niet akkoord tot helemaal akkoord of een scoring van 1 tot 5. Ik wou graag weten waarom de leerlingen een bepaalde les het meest interessant/moeilijkst/makkelijkst/minst duidelijk uitgelegd/best uitgelegd vonden. Ik stelde één vraag in verband met het niveau, waar de leerlingen een antwoord moesten omcirkelen maar ook gevraagd werden om hun keuze eventueel te verduidelijken. Ik voeg de vragenlijst toe achteraan deze thesis bij de andere bijlagen. De vragenlijsten werden afgenomen na de vijfde les. De laatste les was een oefeningenles. Sommige leerlingen geven in de enquête aan dat ze meer oefeningen hadden willen maken, maar dat stond dus sowieso al op de planning voor die laatste les. De antwoorden van de leerlingen waren erg leerrijk. Ze geven een eerlijke kijk op de lessenreeks vanuit hun standpunt. Alle leerlingen kozen voor de eerste of vijfde les als leukste/interessantste les. De eerste les omwille van het nieuwe, onbekende onderwerp, de visuele voorstellingen in de slides, de quiz aan het einde. De toepassingen van grafentheorie in het dagelijks leven uit de vijfde les vonden de leerlingen écht interessant, ze zagen door deze les het nut in van die grafen. De meerderheid van de leerlingen vond les 4 (het bewijs van de stelling van Hoffman) het moeilijkst, anderzijds waren er even veel leerlingen die les 4 als les 1 uitkozen als best uitgelegde les. De leerlingen kozen bijna unaniem voor goed bij de vraag over het niveau. Ik denk zelf dat dat te maken heeft met het hoge niveau van de leerlingen zelf; in een minder sterke klas was het veel moeilijker geweest om deze lessenreeks tot een goed einde te brengen. Maar het is duidelijk dat het haalbaar is met een sterke groep leerlingen. Hieronder staan een aantal citaten van leerlingen die ik uit de vragenlijsten haalde. • Het was een uitdaging, maar een uitdaging die nog net haalbaar was. • U stelt veel vragen en duidt zomaar iemand aan, dit zorgt ervoor dat we onze aandacht erbij houden gedurende het hele uur. • Door te luisteren i.p.v. non-stop te schrijven onthoud je veel meer uit de les, dus achteraf minder werk om te leren. • Het was niet te moeilijk, maar het was te veel voor die korte tijd. • Als je zelf moet meewerken in de klas, onthoud je de leerstof beter.

3.2. REFLECTIE OP ONDERZOEKEND LEREN MET GRAFEN EN GRINVIN

69

Ik concludeer uit deze vragenlijsten dat mijn aanpak met de kladblaadjes en uitgetypte cursus werkt: leerlingen zijn verplicht actief mee te werken, ze moeten immers niet overschrijven wat ik op het bord noteer, en ze zien daar zelf ook de voordelen van in. Wat meegeholpen heeft voor deze aanpak, is dat ik vooraf de namen van de leerlingen kon instuderen aan de hand van fotootjes en op die manier alle namen kende van de leerlingen nog vóór de eerste les. Zo kon ik zorgen dat elke leerling aan bod kwam in de les, maar ook dat ik leerlingen die even niet aan het opletten waren, meteen weer bij de les kon betrekken. Ik had immers geen tijd te verliezen als ik deze lessenreeks volledig wou geven zoals ik ze voorbereid had. Een aantal leerlingen gaf ook aan dat ze thuis nog eens naar de les hadden moeten kijken vooraleer ze alles begrepen hadden. In dat opzicht had ik geluk met deze klas; de leerlingen waren zelfstandig en gedisciplineerd genoeg om in te zien dat ze het nodig hadden om thuis nog eens te herhalen, en ze deden dat dan ook. Deze lessenreeks was voor mij een geslaagd experiment!

3.2

Reflectie op Onderzoekend leren met grafen en Grinvin

Mijn bedoeling bij het maken van een lessenreeks rond grafen en Grinvin was vooral om aan te tonen dat dit onderwerp en dit computerprogramma uitermate geschikt zijn om de onderzoekscompetenties van leerlingen aan te scherpen. Het feit dat de leerkracht in wiens klas ik deze lessen gegeven heb meteen bereid is om deze lessen volgend jaar opnieuw te geven in het kader van onderzoekend leren, bevestigt dat ik dit doel heb bereikt. De eerste les met als inleidend probleem de zeven bruggen van Königsberg was meteen een schot in de roos. De leerlingen vonden het tof om te ontdekken dat de opdracht die ze kregen onmogelijk was, en merkten dat ze met abstractie en logisch redeneren het concrete probleem inderdaad konden oplossen. Zelf vond ik het in die les wat vervelend dat ik nog niet alle namen van de leerlingen kende. Daardoor moest ik vooral de leerlingen aan het woord laten die hun hand opstaken en kon ik er minder voor zorgen dat elke leerling eens moest antwoorden. Maar eigenlijk had de kwaliteit van de les daar niet onder te lijden. De timing verliep ook iets anders dan ik gepland had, de les was te snel gedaan, wat ik niet heb laten blijken; de oefeningen die als huiswerk gepland waren, hebben we in de klas gemaakt. Na de les was de leerkracht van deze klas, die zelf ook nog niets van grafentheorie kende, zeer enthousiast en hij vertelde dat hij deze les volgend jaar zeker opnieuw wou geven, zo goed vond hij ze. De tweede les was de eerste die in het computerlokaal plaatsvond. De leerlingen waren nogal laat in het lokaal en we verloren wel wat tijd met het aanmelden op de computers. De leerlingen zaten elk aan een computer en konden individueel aan de opdrachten werken, hoewel per twee overleggen ook toegestaan was. Ik had alle hints op aparte strookjes afgedrukt en uitgeknipt, maar eigenlijk was dat absoluut overbodig. Met een klas van 14 leerlingen was het zeer goed te doen om rond te gaan en mondelinge hints te geven, wat ook veel natuurlijker overkwam. Ik merkte dit al snel en heb dus veel minder hints op papier uitgedeeld dan ik gepland had, en heb vooral individueel en mondeling hints gegeven over hoe ze iets konden terugvinden in het programma. Behalve de leerkracht leek niemand het frustrerend of lastig te vinden dat er geen klassikale uitleg was over de werking na het programma. Ik had dat uiteraard wel kunnen doen, maar dan is het volgens mij minder ontdekkend en onderzoekend leren. Ik blijf er dus bij dat het ook op deze manier kan, de huidige generatie leerlingen houdt echt wel van experimenteren, zeker met computerprogramma’s. De derde les was weer anders om te geven, het begon klassikaal, daarna werkten de leerlingen

70


per twee verder aan de opdracht waarmee ik hen op weg had gezet, terwijl ik rondliep en de verschillende groepjes de begeleiding aanbood die nodig was. Tot mijn verwondering gingen alle groepjes ongeveer even snel, en een kwartier voor het einde van de les zaten ze zowat allemaal zonder inspiratie; op zoek naar een bewijs voor het laatste vermoeden. Doordat deze leerlingen nog maar weinig bewijstechnieken kennen (toch zeker in vergelijking met wiskundestudenten), was het voor hen heel moeilijk om een strategie te vinden om dit probleem aan te pakken. Veelal raakten ze niet verder dan testen op een aantal voorbeelden en zien dat het vermoeden telkens waar is voor die gevallen. Nadenken over een graaf zonder dat ze concreet wisten hoe die eruit zag, was echt lastig voor hen. Ik heb het bewijs klassikaal uitgelegd en mits een aantal voorbeelden bij de tussenstappen, lukte het hen wel om dit te begrijpen. Maar zelf tot zo’n bewijs komen was een stap te ver. Dat was ook te merken bij de opdracht die de leerlingen voor punten maakten in de vierde les. Het redeneren en vinden van tegenvoorbeelden bij de vermoedens ging vlot, maar zelf een bewijs opstellen voor de eigenschap die ze ontdekt hadden, was voor de meeste leerlingen een brug te ver. Achteraf gezien vind ik dat vrij normaal, deze leerlingen uit het vijfde jaar hebben (nog) weinig ervaring met bewijzen en bewijstechnieken, en zo goed als geen ervaring met echt abstract redeneren. Bovendien was er in deze vier lessen te weinig tijd om daar echt veel op te oefenen. In principe zou men ook een lessenreeks kunnen ontwikkelen waarin bewijstechnieken centraal staan, en ook daarvoor zouden grafen waarschijnlijk een dankbaar onderwerp zijn, maar dat was bij mij niet de hoofddoelstelling. De resultaten van de opdracht voor punten waren erg goed, en varieerden tussen 12/15 en 15/15.

Feedback van de leerlingen Ook in deze groep heb ik een vragenlijst laten invullen, waarin de vragen weliswaar aangepast werden aan deze lessenreeks. Hieruit bleek dat er met het programma eigenlijk niet echt problemen waren, dat ze het aangenaam vonden om eens in de computerklas aan wiskunde te doen, en dat ze over het niveau van de lessenreeks ook best tevreden waren. Deze vragenlijst werd ingevuld na de derde les. Een aantal leerlingen gaf aan dat ze nog meer opdrachten zouden willen doen omtrent die vermoedens en tegenvoorbeelden, wat inderdaad op de planning stond voor de vierde les. Andere leerlingen waren nieuwsgierig naar toepassingen in het dagelijks leven en vonden de opdracht in de eerste les met de bruggen heel interessant. Helaas was daar in deze beperkte lessenreeks van vier lessen geen tijd meer voor. Maar ik vind het wel heel goed om te weten dat ook deze leerlingen er zeker baat bij zouden hebben om te weten wat het nut is van grafen, en dat ze een les zoals de vijfde les in de andere lessenreeks zeker zouden waarderen. Er was een grote verscheidenheid in de antwoorden over welke les de leerlingen het leukst vonden. De meningen waren gespreid over alledrie de lessen. Les 1 werd tof gevonden omwille van de concrete instap en het totaal nieuwe onderwerp, in les 2 vonden een aantal andere leerlingen het dan weer heel leuk om zelf te mogen experimenteren en individueel te mogen werken, terwijl nog andere leerlingen les 3 het leukst vonden omwille van het samenwerken per twee en het redeneren en zoeken naar tegenvoorbeelden, gebruikmakend van wat ze in de eerdere lessen geleerd hadden over grafen en over de werking van het programma. Ook over de vraag welke les het moeilijkst was, waren de leerlingen het niet eens. Sommigen vonden de eerste les het moeilijkst omwille van de vele nieuwe begrippen, anderen vonden de tweede les het moeilijkst, en weer anderen kozen de derde les, en dan in het bijzonder het zelf bewijzen van een eigenschap. Zoals eerder gezegd is dit laatste te wijten aan hun gebrek aan ervaring met abstracte bewijzen. Hieronder staan een aantal citaten van leerlingen die ik uit de vragenlijsten haalde. • De lessen in de computerklas waren heel leerrijk omdat je dan zelf aan de slag kon. • Leuk om wiskunde eens op een plezante manier te beleven.

3.2. REFLECTIE OP ONDERZOEKEND LEREN MET GRAFEN EN GRINVIN

71

• Met zelf uitzoeken leer je meer, maar de hints waren zeker nodig. • Les 3 was moeilijk maar ook leuk.

• Het was een goed idee om de eerste les voldoende tijd te geven om de basisbegrippen onder de knie te krijgen. De leerkracht gaf aan dat de lessenreeks eigenlijk nog 1 of 2 lessen langer had mogen duren. Dat had ik zelf ook gemerkt, zowel op voorhand bij het opstellen van de cursus voor deze lessenreeks, als bij het geven van de lessen. Maar ik had nu eenmaal maar vier lessen ter beschikking, en die heb ik optimaal proberen te gebruiken. Voor mij is ook deze lessenreeks zeer geslaagd, zeker omdat ik merk dat leerkrachten heel erg ge¨ınteresseerd zijn om deze lessenreeks ook daadwerkelijk te geven om te werken aan de onderzoekscompetenties van de leerlingen.

72


Appendices

73

A

English summary

In this English summary we will shortly discuss the main ideas of this thesis, following the structure of the Dutch text. This thesis consists of two parts, the first being about how algebraic graph theory can give interesting results in finite geometry. The second part is dedicated to graph theory in secondary education, with the emphasis on the didactical approach of algebraic graph theory in the first course package and of inquiry learning in the second course package.

Part 1: Applications of algebraic graph theory in finite classical polar spaces In chapter 1 we give an introduction into the most important subjects which are investigated in the next chapters. We repeat the notions of a projective and a polar space, we state the five kinds of finite classical polar spaces and provide some basic information about generalised quadrangles. Afterwards we describe three important substructures of finite classical polar spaces: (m-)ovoids, spreads and tight sets. We conclude this chapter with a short introduction on graph theory with special attention to strongly regular graphs and their eigenvalues. In the second chapter, called Graphs associated with geometries, we start by defining and studying association schemes and distance regular graphs, and the relation between them. We introduce the polar graph of a polar space and study the eigenvalues of the polar graph of a generalised quadrangle. In that case, we call this graph the point graph. By then, we are ready to study the weighted intriguing sets, and we redefine the notions of (weighted) m-ovoids and (weighted) tight sets of generalised quadrangles in terms of the characteristic vector of a weighted point set and the eigenspaces of the point graph of a generalised quadrangle. We conclude that section with a characterisation of weighted tight sets. Studying the dual polar graph of a classical finite polar space, we are interested in determining the valency and the eigenvalues of the opposition graph. The valency has been determined in a more general context (see Lemma 9.4.2 in [8]), but in this thesis we managed to do this by making use of merely counting and combinatorial arguments. At the end of this chapter, we discuss a result of F. Vanhove about a sharp upper bound on the size of a maximal partial spread of H(4n + 1, q 2 ), which we prove both in a graph theoretical way as in a geometrical way, following the articles of Vanhove. The third chapter, (Pseudo-) Geometrical graphs, is a special chapter, completely dedicated to an article of Bose and Shrikhande from 1972, see [6]. The main result of the article is the following. Theorem. Given any three points θ0 , θ1 , θ2 of a partial geometry (q 2 + 1, q + 1, 1), which are pairwise non-adjacent, we can find a set of q + 1 points ϕ0 , ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕq which are pairwise non-adjacent and each of which is adjacent to θ0 , θ1 and θ2 . It takes quite some work to attain this result, but it is interesting to study some new concepts as (pseudo-) geometrical graphs, designs, group divisible association schemes and negative Latin square association schemes. In particular, this chapter first investigates the relation between pseudo geometrical graphs and semi regular group divisible designs. Afterwards, we study geometrical graphs with parameters (q 2 + 1, q + 1, 1) in more detail and we get the result stated above. The fourth chapter, Existence and non-existence of ovoids, provides some very elegant results using the existence of a certain tight set. We give a one-line proof of the non-existence of ovoids in Q− (5, q), along with a slightly longer proof which states more explicitly which arguments are necessary. We also prove the non-existence of ovoids in H(4, q 2 ) using a tight set. Then we look at W(5, q), which is not a generalised quadrangle, but since its polar graph is still strongly regular, we can define weighted ovoids and weighted tight sets using the eigenspaces of W(5, q). 75

76

BIJLAGE A. ENGLISH SUMMARY

Using weighted cones, we build a weighted tight set, which turns out to be the main reason why an ovoid of W(5, q) does not exist. We conclude this chapter with a section about hemisystems in Q− (5, q), which are defined as ( q+1 2 )-ovoids. Here we discuss an alternative proof of a result by J.A. Thas that says the following. Theorem. If S is a generalised quadrangle of order (s, s2 ) and O is an m-ovoid of S with 0 < m < q + 1, then O has to be a hemisystem of S.

Part 2: Graph theory in secondary education In the second part of this thesis, Graph theory in secondary education, we give an introduction and motivation in the first chapter about the choice of the subject and then we describe shortly the purpose of each course package. The first course package deals with the Hoffman bound for cocliques of regular graphs. The purpose is to prove this bound with the pupils. We state the theorem for completeness. Theorem. Let Γ be a k-regular graph, k > 0, with set of vertices Ω 6= ∅ and with smallest |Ω| eigenvalue λ. If C is a coclique of Γ, then |C| 6 1− k , with equality if and only if every vertex λ

v∈ / C has the same number of neighbours (namely −λ) in C.

To attain this goal, the pupils have to investigate adjacency matrices, characteristic vectors and some results about positive semi-definite matrices. After giving a rather elementary proof of this bound, there is a test and an overview of applications of graph theory in reality, as well as a lesson with exercises on the Hoffman bound. The aim of the second course package was to make a useful set of lessons for inquiry learning, in this case about graphs. I made use of a user friendly and very clear computer programme called Grinvin, which was developed at Ghent University. The lessons in this course package, apart from the first one which is an introduction to graph theory, take place in a computer room, where pupils can work either alone or together on the tasks stated in the course notes. In these computer lessons, the teacher should guide the pupils individually, like a coach, rather than giving instruction to the whole class. The second chapter of this part concerns a detailed description of each lesson of both course packages. In the third and last chapter you can find my reflections about these ten lessons I thaught in the third grade in the context of this thesis. The course packages are included entirely as appendices.

B

Lessenpakket 1

De Hoffmangrens voor coklieken van reguliere grafen Algebra¨ısche grafentheorie in het secundair onderwijs

Linda Van Puyvelde

77

Inhoudsopgave 1 Grafentheorie

2

2 Eigenwaarden, eigenvectoren en eigenruimten

6

3 Aanloop naar het bewijs

9

4 Het bewijs van de stelling van Hoffman

14

5 Evaluatiemoment - Toepassingen

16

6 En verder... tweede deel van de stelling van Hoffman

21

Oplossingen van de oefeningen

23

Slides bij les 1

31

Slides bij les 4

34

Leerstof Toets

34

Toets Les 5

37

Slides bij les 5

39

Opgeloste toets

42

Evaluatie van de Lessenreeks

44

1

1

Grafentheorie

In deze lessenreeks zullen we de volgende stelling (en het bewijs ervan) proberen te begrijpen. Deze stelling is erg belangrijk in de wiskunde, zowel binnen de algebra¨ısche grafentheorie als in andere domeinen. Stelling 1 (Hoffman). Zij G een reguliere graaf met niet-ledige toppenverzameling V , valentie k > 0 en kleinste eigenwaarde m. Dan geldt: |V | als C een cokliek is van G, dan is |C| 6 1− k , en bij gelijkheid heeft elke top m

v∈ / C hetzelfde aantal buren in C (namelijk −m).

Zoals je gemerkt hebt, staan er in deze stelling al meteen heel wat onbekende begrippen. Dat zullen we meteen verhelpen! Nog voor het einde van de eerste les zal je alle nieuwe begrippen en concepten (behalve eigenwaarde, dat is voor de tweede les) begrijpen en zelf kunnen gebruiken in een wiskundige context! Eerst geven we je een inleiding in de grafentheorie. Hier zullen we ons wel beperken tot de terminologie die je nodig hebt om de stelling van Hoffman te begrijpen. Definitie 1. Een simpele eindige graaf G is een koppel G = (V, E), met V een eindige verzameling van toppen, en E een eindige verzameling van bogen, waarbij een boog bestaat uit een paar van twee verschillende elementen uit V . De orde van een graaf G is het aantal toppen van deze graaf. De grootte van een graaf G is het aantal bogen van deze graaf. Twee toppen u en v noemen we buren als er een boog bestaat tussen u en v. We noemen u en v dan ook adjacente toppen. Notatie: u ∼ v. Definitie 2. De graad van een top is het aantal buren van die top. We noteren dit getal voor een top v als deg(v). Als alle toppen van een graaf dezelfde graad k hebben, dan noemen we de graaf (k-)regulier. Het getal k noemen we dan ook wel de valentie van de reguliere graaf. Definitie 3. We noemen een graaf compleet als elke top een buur is van iedere andere top. Oefening 1. Vul de tabel hieronder in met de orde, grootte en valentie van deze complete grafen.

Orde Grootte Valentie 2

Definitie 4. Een kliek in een graaf G = (V, E) is een deelverzameling K ⊆ V van toppen zodat iedere top uit K verbonden is met iedere andere top uit K. Definitie 5. Een cokliek of onafhankelijke verzameling in een graaf G = (V, E) is een deelverzameling O ⊆ V van toppen zodat voor elke top uit O geldt dat deze top met geen enkele andere top uit O verbonden is. Figuur: Een graaf met een kliek (links) en een graaf met een cokliek (rechts), van telkens drie toppen.

Oefening 2. Bepaal de grootte en de orde van de onderstaande graaf: Grootte = ..................................... Orde = .......................................... Is deze graaf regulier? Waarom (niet)? ..................................................................................................................... Geef twee toppen die adjacent zijn: ....................................................... Geef een zo groot mogelijke toppenverzameling die een kliek vormt. ...................................................................................................................... Geef een zo groot mogelijke toppenverzameling die een cokliek vormt. ......................................................................................................................

3

Oefening 3. Bepaal de grootte en de orde van de onderstaande graaf: Grootte = ..................................... Orde = .......................................... Is deze graaf regulier? Waarom (niet)? ..................................................................................................................... Geef twee toppen die adjacent zijn: ....................................................... Geef een zo groot mogelijke toppenverzameling die een kliek vormt. ...................................................................................................................... Geef een zo groot mogelijke toppenverzameling die een cokliek vormt. ......................................................................................................................

Wat is algebra¨ısche grafentheorie? In de algebra¨ısche grafentheorie wordt een graaf met |V | = n toppen voorgesteld als een matrix, op de volgende manier. We nummeren de toppen op een willekeurige, maar vanaf nu vaste manier. We definiëren nu een (n × n)-matrix A = (aij ) op de volgende wijze: ( 1 als i ∼ j, aij = 0 anders. De diagonaalelementen van de adjacentiematrix van een simpele graaf zijn dus allemaal gelijk aan nul, vermits een top nooit adjacent is met zichzelf. Bovendien kunnen we opmerken dat iedere adjacentiematrix een symmetrische matrix is, vermits adjacentie in een graaf een symmetrische relatie is. (D.w.z. als top u adjacent is met top v dan is top v ook adjacent met top u.) In de algebra¨ısche grafentheorie gaan wiskundigen op zoek naar eigenschappen van grafen via stellingen over en eigenschappen van de adjacentiematrices van die grafen. Deze onrechtstreekse aanpak leidt vaak tot sterke(re) resultaten. 4

Voorbeeld. We beschouwen een complete graaf met drie toppen. Denk dus aan een driehoek, waarbij de hoekpunten de toppen van de graaf zijn, en de zijden zijn dan de bogen. De adjacentiematrix van deze graaf ziet er als volgt uit: 

 0 1 1 1 0 1 1 1 0 De adjacentiematrix van een complete graaf met n toppen is de (n × n)-matrix met overal enen, behalve op de diagonaal, daar staan nullen: 

0

 1 .  ..  .  .. 1

 ... ... 1 ..  ... 0 . . . . . . . ..  . . . .   .. .. . 1 . 1 ... 1 0 1

Oefening 4. Geef twee verschillende adjacentiematrices van de volgende graaf, en bepaal ook de determinant van die adjacentiematrices (op het zicht):

5

2

Eigenwaarden, eigenvectoren en eigenruimten

In de vorige les hebben we de adjacentiematrix van een complete graaf met 3   toppen bepaald. 0 1 1 Die zag er als volgt uit: A = 1 0 1. 1 1 0 Merk op dat dit een reguliere graaf is, met valentie = ... Opmerking: met een vector bedoelen we steeds een kolommatrix. Vermenigvuldig nu deze adjacentiematrix met de vector bestaande uit enen:    0 1 1 1 1 0 1 1 = . . . 1 1 0 1

Definitie 6. Een (kolom)vector v, verschillend van de nulvector, waarvoor geldt dat Av = mv voor een zekere m ∈ R, noemen we een eigenvector van de matrix A. Het getal m noemen we de eigenwaarde van de matrix A behorende bij de eigenvector v.   1  In dit voorbeeld hebben we dus een eigenvector v = 1 met eigenwaarde m = 2. 1 Merk op dat elk veelvoud van deze vector, ook een eigenvector is van de matrix A bij de eigenwaarde m = 2. Inderdaad, nemen we een willekeurig getal a ∈ R, dan geldt het volgende:             0 1 1 a 0 1 1 1 2 1 a 1 0 1 a = a · 1 0 1 1 = a · 2 = 2a · 1 = 2 · a. 1 1 0 a 1 1 0 1 2 1 a Er zijn dus oneindig veel eigenvectoren bij de eigenwaarde 2, namelijk alle mogelijke veelvouden van een eigenvector bij die eigenwaarde. Daarom kijken we vanaf nu enkel nog naar eigenvectoren op een veelvoud na. Definitie 7. Twee vectoren v1 en v2 waarvoor geldt dat v1 = a · v2 noemen we lineair afhankelijk. Als voor twee vectoren geldt dat de ene geen veelvoud is van de andere, dan noemen we ze lineair onafhankelijk. We berekenen nu de onderstaande producten.    0 1 1 1 1 0 1  0 = . . . 1 1 0 −1    0 1 1 0 1 0 1  1 = . . . 1 1 0 −1 We merken dat we bij de eigenwaarde −1 twee lineair onafhankelijke eigenvectoren kunnen vinden. We zeggen dan ook wel dat de eigenwaarde −1 twee keer meetelt als eigenwaarde van de matrix A, of nog, dat deze eigenwaarde multipliciteit twee heeft. Besluit: de (adjacentie)matrix A heeft drie eigenwaarden: −1, −1, en 2. 6

Eigenwaarden en eigenwaarden van een matrix bepalen Enkel vierkante matrices hebben eigenvectoren, dus vanaf nu zal A steeds een vierkante matrix zijn. We zijn op zoek naar een eigenvector v van deze matrix. We zoeken dus een vector v, verschillend van de nulvector, waarvoor geldt dat Av = mv voor een zekere reële waarde m. Dit kunnen we als volgt herschrijven: Av = mv ⇔ Av − mv = 0 ⇔ Av − mIv = 0 ⇔ (A − mI)v = 0 waarbij I de eenheidsmatrix is met dezelfde dimensie als A, en 0 de nulvector. We zoeken dus een niet-nuloplossing van het stelsel Bv = 0 waarbij B = A − mI. De voorwaarde opdat een dergelijk stelsel een niet-nul oplossing heeft, is dat de determinant van B gelijk is aan nul. Opdat de matrix A een eigenvector v zou hebben, moet dus gelden dat det(A − mI) = 0, waarbij m de eigenwaarde is behorende bij de eigenvector v. We bepalen dus eerst alle waarden van m waarvoor det(A−mI) = 0 en dan weten we zeker dat er voor die waarden van m een eigenvector v bestaat die voldoet aan (A − mI)v = 0 of dus aan Av = mv.

Het bepalen van die eigenvector v komt dan neer op het oplossen van het stelsel (A − mI)v = 0. Voorbeeldoefening. Bepaal alle eigenwaarden en eigenvectoren van de volgende (adjacentie)matrix: 0 1 A= . 1 0 We zoeken eerst de waarden van m waarvoor det(A − mI) = 0. −m 1 ⇔ m2 − 1 = 0. 0 = 1 −m

De eigenwaarden van A zijn dus m = −1 en m = 1. x We zoeken nu de eigenvector v = behorende bij de eigenwaarde −1, dat is y de vector v die moet voldoen aan: 0 −m 1 x 1 1 x = = , of dus, bijvoorbeeld 0 1 −m y 1 1 y x 1 x 2 = , en = zijn eigenvectoren van de matrix A. y −1 y −2 1 1 x 0 De oplossingsverzameling van het stelsel = noemen we de 1 1 y 0 eigenruimte bij de eigenwaarde m = −1 en noteren we als E−1 . a In dit geval hebben we dat E−1 = a∈R . −a 7

We bepalen nu nog de eigenruimte behorende bij de eigenwaarde m = 1. We zoeken dus de oplossingsverzameling van het stelsel 0 −m 1 x −1 1 x = = . 0 1 −m y 1 −1 y a We hebben dus E1 = a∈R . a

Definitie 8. De verzameling van alle eigenwaarden van een vierkante matrix A noemen we het spectrum van A. In de bovenstaande voorbeeldoefening is het spectrum van A gelijk aan {−1, 1}.

Adjacentiematrices van eenzelfde graaf kunnen in elkaar omgezet worden door verwisselingen van rijen en kolommen. Omdat de determinant hetzelfde blijft wanneer we rijen én kolommen verwisselen, zullen alle adjacentiematrices van een graaf dezelfde eigenwaarden hebben, spreken we dus over de eigenwaarden van een graaf, en ook over het spectrum van een graaf. Oefening 5. Bepaal alle eigenwaarden en eigenruimten van deze (adjacentie)matrix:   0 1 0 A = 1 0 1. Doe dit op een apart blaadje papier, dat je hierbij voegt. 0 1 0

Eigenschap 2. De som van alle eigenwaarden van de adjacentiematrix van een graaf is altijd gelijk aan nul. We kunnen hier helaas niet verder op in gaan in deze korte lessenreeks, maar dit geeft je wel een manier om bijvoorbeeld bij oefening 3 je resultaat te controleren, en we zullen deze eigenschap later nog nodig hebben. Ook de volgende eigenschap zullen we niet bewijzen, omdat we op deze korte tijd niet alles kunnen doen natuurlijk. Eigenschap 3. Een graaf met n toppen heeft altijd precies n (niet noodzakelijk verschillende) eigenwaarden. We bewijzen nu een handige eigenschap waardoor we voor elke adjacentiematrix van een reguliere graaf meteen al een eigenwaarde en een eigenvector kennen. Stelling 4. Een k-reguliere graaf heeft steeds de vector bestaande uit enen als eigenvector, en de bijhorende eigenwaarde is de valentie k. Bewijs. Neem een willekeurige k-reguliere graaf met n toppen, genummerd van 1 tot en met n. Bekijken we de adjacentiematrix van deze graaf, dan weten we zeker dat er op de eerste rij precies k keer ’1’ staat, want de eerste top in de nummering is adjacent met juist k (andere) toppen van de graaf. Ook op alle andere rijen van de adjacentiematrix vinden we precies k keer ’1’. Wanneer we deze matrix nu vermenigvuldigen met de vector bestaande uit enen, dan vinden we dus als resultaat de vector waarvan elk element gelijk is aan k, of dus eigenlijk k keer de vector bestaande uit enen. Dit bewijst de stelling. 8

3

Aanloop naar het bewijs

Positief semi-definiete matrices Definitie 9. We noemen een reële vierkante matrix A positief semi-definiet als en slechts als voor elke niet-nul vector v geldt dat v T Av > 0. Merk op dat v T Av een (1 × 1)-matrix is, en dus een getal, en dat we dus wel degelijk v T Av > 0 kunnen schrijven. Voor positief semi-definiete matrices gelden de volgende handige eigenschappen. Eigenschap 5. Een vierkante matrix A is positief semi-definiet als en slechts als alle eigenwaarden van A groter dan of gelijk aan nul zijn. Bewijs. ⇒ . Veronderstel dat voor elke niet-nul vector v geldt dat v T Av > 0. Neem een eigenvector v van de (n × n)-matrix A, met bijhorende eigenwaarde m. Dan is 0 6 v T Av = v T mv = mv T v. Vermits v T v = v12 + v22 + . . . + vn2 > 0, want een eigenvector is nooit de nulvector, hebben we nu ook dat m > 0 moet zijn. ⇐ . Dit gedeelte van het bewijs maakt gebruik van diagonaliseerbaarheid van reële symmetrische matrices, en zullen we hier niet behandelen. Eigenschap 6. Voor een positief semi-definiete matrix A geldt dat v T Av = 0 voor een zekere niet-nul vector v als en slechts als Av = 0. Bewijs. ⇐ Als Av = 0 dan is v T Av = v T 0 = 0.

⇒ We definiëren de reële tweedegraadsveelterm p(x) = (v + xw)T A(v + xw) = v T Av + 2xwT Av + x2 wT Aw met w een willekeurige vector. We gebruiken nu definitie 9, dan vinden we dus dat p(x) > 0 vermits A positief semi-definiet is. Opnieuw omdat A positief semi-definiet is, hebben we dat wT Aw > 0, en dus moet de discriminant D van p(x) kleiner dan of gelijk aan nul zijn. Dus moet D = 4((wT Av)2 − (wT Aw)(v T Av)) 6 0. Vermits we verondersteld hebben dat v T Av = 0, volgt hieruit dat wT Av = 0. Vermits w willekeurig was, hebben we wT Av = 0 voor alle w. Av is een kolomvector b = (b1 , . . . , bn )T . Nemen we nu w = (1, 0, . . . , 0), dan vinden we dat 0 = wT Av = wT b = b1 . Nemen we w = (0, 1, 0, . . . , 0), dan vinden we b2 = 0. Zo kunnen we verdergaan tot we w = (0, . . . , 0, 1)T nemen, en we bn = 0 vinden. Dus uit wT Av = 0 voor alle w volgt dat b = Av = 0, en dit was wat we uiteindelijk moesten bewijzen. We hebben nog één eigenschap van vierkante matrices nodig. Hier hoeft de matrix dus niet positief semi-definiet te zijn. Eigenschap 7. Zij A een vierkante matrix met eigenwaarden m1 , m2 , . . . , mn . Dan zijn de eigenwaarden van de matrix B = A + xI gelijk aan m1 + x, m2 + x, . . . , mn + x waarbij x een reëel getal is. Bewijs. Neem een eigenvector vi van A die hoort bij de eigenwaarde mi . Dan is (A + xI)vi = Avi + xIvi = mi vi + xvi = (mi + x)vi voor een willekeurige i ∈ {1, . . . , n}. Bijgevolg is vi een eigenvector van de matrix B = A + xI bij de eigenwaarde mi + x. Dit kunnen we doen voor elke i ∈ {1, 2, . . . , n}, wat de stelling bewijst. 9

Karakteristieke vectoren We beschouwen een graaf G met n toppen, die we nummeren van 1 tot en met n, en we noteren de toppenverzameling met V = {v1 , v2 , . . . , vn }. Voor een willekeurige deelverzameling S van toppen uit V definiëren we nu de kolommatrix χS op de volgende manier: ( 1 als vi ∈ S, (χS )i = 0 als vi ∈ / S. We tonen meteen wat dit wordt met een concrete graaf. Beschouw in de volgende graaf met toppenverzameling V = {a, b, c, d, e} de toppenverzamelingen S1 = {a, b, c} en S2 = {c, d}.

Om een adjacentiematrix A van deze graaf op te stellen, moeten we de toppen nummeren. We kunnen dit doen door top a als top 1 te beschouwen, top b als top 2, . . . , tot top e die we als top 5 nummeren. Zo vinden we een adjacentiematrix en de bijhorende karakteristieke vectoren χS1 en χS2 : 

0 1  A= 0 0 1

1 0 1 0 0

0 1 0 1 0

0 0 1 0 1

 1 0  0 , 1 0

χS1

    1 0 1 0      en χS2 = 1 . 1 =     0 1 0 0

Wanneer we nu de matrix A vermenigvuldigen met de kolommatrix χS1 , dan vinden we      0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 2          AχS1 =  0 1 0 1 0 1 = 1 . 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1

Hoe moeten we dit nu interpreteren? Bekijk het eerste element van de resulterende kolommatrix. Voor elke 1 in de karakteristieke vector χS1 op plaats i waarvoor er ook een 1 staat in de eerste rij op de i-de plaats van de matrix A, krijgen we een bijdrage 1 voor het eerste element van de resulterende kolommatrix. Dat betekent dat we eigenlijk tellen hoeveel buren van de eerste top er in de verzameling S1 liggen. 10

Op dezelfde manier is het tweede element van de resulterende kolommatrix (2 dus) gelijk aan het aantal buren van de tweede top die in de verzameling S1 liggen (inderdaad, top a en top c zijn buren van top b en liggen in de verzameling S1 ). Voor het product AχS2 krijgen we:  0 1 1 0  AχS2 =  0 1 0 0 1 0

0 1 0 1 0

0 0 1 0 1

    1 0 0 0 1 0         0  1 = 1 . 1 1 1 0 0 1

We interpreteren dit als: er is geen enkele buur van top a die in de verzameling S2 ligt, en voor alle andere toppen is er precies één buur die in de verzameling S2 ligt. We bekijken dit nu algemener. Wanneer we de adjacentiematrix A van de graaf G vermenigvuldigen met de kolomvector χS1 , dan krijgen we opnieuw een kolomvector, die we noteren met b. Dus AχS1 = b. We interpreteren nu de betekenis van de elementen b1 , b2 , . . . , bn van deze kolomvector b. We hebben      b1 a11 a12 . . . a1,n−1 a1n (χS1 )1    b2   a21 a22 . . . ... a2n       (χS1 )2  b =  ..  =  .. .. .. .. ..   .. . .  . . . . .  .  bn an1 an2 . . . an,n−1 ann (χS1 )n Het element b1 is het resultaat van de vermenigvuldiging van de eerste rij van A met de kolomvector χS1 . Dit is dus de vermenigvuldiging van een rijvector met een kolomvector, en beide vectoren bestaan enkel uit enen en nullen. In de rijvector hebben we een 1 voor elke top die adjacent is met top v1 , en in de kolomvector hebben we een 1 voor elke top die in de verzameling S zit. De enige manier waarop we een bijdrage krijgen voor b1 , is wanneer er op positie i van de rijvector (dit is element a1i ) én positie i van de kolomvector (dit is element (χS1 )i ) een 1 staat. Dat betekent dat top vi een buur moet zijn van top v1 én dat top vi in de verzameling S moet zitten. Het aantal toppen vi dat aan deze twee voorwaarden voldoet, is precies het getal b1 . Analoog is bj het aantal buren van top vj dat in de verzameling S1 gelegen is. We hebben dus het volgende bewezen. Lemma 8. (AχS1 )i = het aantal buren van top vi dat bevat is in verzameling S1 . Beschouwen we nu twee deelverzamelingen van toppen S1 en S2 die bevat zijn in de verzameling V , dan kunnen we de volgende vermenigvuldiging beschouwen: (χS1 )T AχS2 . 11

Het resultaat van deze vermenigvuldiging is een getal. We interpreteren nu de betekenis van dit getal in het bovenstaande voorbeeld. We hebben:

(χS1 )T AχS2



0 1  = 1 1 1 0 0  0 0 1

1 0 1 0 0

0 1 0 1 0

0 0 1 0 1

    1 0 0 0 1 0     1 = 1 1 1 0 0 1 = 2. 0     1 1 1 0 0 1

We krijgen dus telkens een toename voor een top in S1 die een buur is van een top in S2 , dus we tellen eigenlijk het aantal bogen in de graaf waarvan de ene eindtop in de verzameling S1 ligt en de andere eindtop in de verzameling S2 . In dit geval zijn dat inderdaad 2 bogen, namelijk de boog bc en de boog cd.

We interpreteren dit getal nu algemener: we kennen de betekenis van AχS2 , dit is een kolomvector waarvan het j-de element gelijk is aan het aantal buren van top vj dat bevat is in de toppenverzameling S2 . Deze kolomvector wordt links vermenigvuldigd met een rijvector die bestaat uit enen en nullen. Dit betekent dat we bij het uitvoeren van deze vermenigvuldiging, eigenlijk de som nemen van sommige elementen uit de kolomvector AχS2 . De som van welke elementen? Wel, precies deze elementen waarvoor de corresponderende positie i in de rijvector gelijk is aan 1, of dus precies die elementen waarvoor de corresponderende top vi bevat is in de verzameling S1 . We tellen dus het aantal koppels (v1 , v2 ) waarvoor geldt dat top v1 ∈ S1 én top v2 ∈ S2 en v1 adjacent is met v2 . We hebben dus het volgende bewezen. Lemma 9. Er geldt dat (χS1 )T AχS2 = |{(v1 , v2 ) || v1 ∈ S1 , v2 ∈ S2 , v1 ∼ v2 }|. We kunnen ook het aantal elementen |S1 ∩ S2 | in de doorsnede van twee toppenverzamelingen S1 en S2 schrijven in termen van karakteristieke vectoren. We moeten voor iedere top die zowel in S1 als in S2 zit een bijdrage 1 hebben, en voor de andere toppen bijdrage nul. Beschouwen we nu de vermenigvuldiging van de rijvector (χS1 )T met de kolomvector χS2 , dan krijgen we een bijdrage 1 voor elke top die zowel in S1 als in S2 gelegen is, en nul voor de andere toppen. We hebben dus het volgende lemma bewezen. Lemma 10. Er geldt dat |S1 ∩ S2 | = (χS1 )T χS2 We kunnen dit controleren in het geval van de bovenstaande voorbeeldoefening. We krijgen (χS1 )T χS2 = 1, en inderdaad, er is één top die de twee toppenverzamelingen S1 en S2 gemeenschappelijk hebben: top c. Gevolg 11. Er geldt dat |S| = (χS )T χS . Bewijs. Wegens het vorige lemma hebben we (χS )T χS = |S ∩ S| = |S|. 12

Oefening 6. Beschouw in de volgende graaf met toppenverzameling V = {a, b, c, d, e} de toppenverzamelingen S1 = {a, b} en S2 = {b, d, e}. Stel de adjacentiematrix A op van de graaf, bepaal de karakteristieke vectoren χS1 en χS2 en bereken dan AχS1 , AχS2 en (χS1 )T AχS2 .

13

4

Het bewijs van de stelling van Hoffman

Stelling 12 (Hoffman). Zij G een reguliere graaf met niet-ledige toppenverzameling V , valentie k > 0 en kleinste eigenwaarde m. Dan geldt: |V | als C een cokliek is van G, dan is |C| 6 1− k , en bij gelijkheid heeft elke top m

v∈ / C hetzelfde aantal buren in C (namelijk −m).

Bewijs. Neem een cokliek C en noteer de bijhorende karakteristieke vector met χC . De vector waarvan elk element 1 is, kunnen we schrijven als de karakteristieke vector van de volledige toppenverzameling V : χV . De kleinste eigenwaarde m is kleiner dan of gelijk aan nul omdat de som van alle eigenwaarden gelijk moet zijn aan nul (zie Eigenschap 2). Als de kleinste eigenwaarde nul is, zou dat betekenen dat alle eigenwaarden nul zijn. Dit is onmogelijk omdat k > 0 een eigenwaarde is van de adjacentiematrix wegens Stelling 4. Gebruiken we nu Eigenschap 7 met x = −m, dan zien we dat alle eigenwaarden van A − mI groter dan of gelijk aan nul zijn. Dus is wegens Eigenschap 5 de matrix A − mI positief semi-definiet, wat per definitie betekent dat voor elke niet-nulvector v geldt dat v T (A − mI)v > 0. |C| χ dat In het bijzonder geldt dan voor een vector v = χC − |V | V (χC −

|C| |C| χV )T (A − mI)(χC − χV ) > 0. |V | |V |

Dit kunnen we uitwerken als volgt: |C| |C| (χC )T AχV − m(χC )T IχC + m |V (χC )T IχV |V | | |C| 2 |C| |C| 2 ( |V ) (χV )T AχV + m |V (χV )T IχC − m( |V ) (χV )T IχV > | | |

(χC )T AχC −

+

−

0.

|C| (χV )T AχC |V |

Via de lemma’s over karakteristieke vectoren kunnen we nu de volgende termen die in de bovenstaande ongelijkheid voorkomen, interpreteren: • (χC )T IχC = |C| wegens Gevolg 11, • (χV )T IχC = (χC )T IχV = |C| wegens Lemma 10, • (χV )T IχV = |V | wegens Gevolg 11, • (χC )T AχC = |{(v1 , v2 ) || v1 ∈ C, v2 ∈ C, v1 ∼ v2 }| wegens Lemma 9 en dus (χC )T AχC = 0 want C is een cokliek, • (χC )T AχV = (χV )T AχC = (χC )T kχV wegens Stelling 4, en dus hebben we (χC )T AχV = (χV )T AχC = k|C| wegens Lemma 10, • (χV )T AχV = (χV )T kχV = k|V |, opnieuw wegens Stelling 4 en nu wegens Gevolg 11.

14

Vullen we dit nu in bij de bovenstaande ongelijkheid, dan vinden we: 2 2 2 2 |V | 2 2 |V | 0 − k|C| − m|C| + m|C| − k|C| + k|C| + m|C| − m|C| >0 |V | |V | |V | |V |2 |V | |V |2 ⇐⇒ (m − k)

|C|2 − m|C| > 0. |V | 2

Dit laatste kunnen we herschrijven als −m|C| > (k − m) |C| of nog als |V | −m > (k − m)

|C| |V |

|C| 6 |V |

⇐⇒

−m |V | = k k−m 1− m

waarbij we in de laatste stap teller en noemer gedeeld hebben door −m.

We moeten nu nog de bewering nagaan over wat er gebeurt als we gelijkheid |C| |C| χ )T (A − mI)(χC − |V χ ) = 0, wat hebben. Bij gelijkheid hebben we (χC − |V | V | V wegens Eigenschap 6 equivalent is met (A − mI)(χC − |C| χC − |V χ | V

|C| χ ) |V | V

= 0.

Dit betekent eigenlijk dat een eigenvector w is van de matrix A horende bij de eigenwaarde m. Dus Aw = mw. Nu kunnen we AχC herschrijven als |C| χV + w AχC = A |V | |C| =k χV + mw |V | |C| |C| χV + m(χC − χV ) =k |V | |V | |C| = (k − m)χV + mχC . |V | Omdat we verondersteld hebben dat er gelijkheid is, weten we dat |C| = Zo kunnen we dus het voorgaande nog verder herschrijven, en vinden we: AχC =

|V | k 1− m

.

|C| (k − m)χV + mχC |V | |V | 1−k/m

(k − m)χV + mχC |V | −m(k − m) = χV + mχC (k − m) = −mχV + mχC = −mχV \C . =

Wanneer we nu rekening houden met Lemma 8, dan vinden we inderdaad dat elke top buiten C adjacent is met juist −m toppen in C en dat toppen in C adjacent zijn met geen enkele andere top in C.

15

5

Evaluatiemoment - Toepassingen

Toepassingen van grafen • Toepassingen van grafen in de wetenschappen – Chemie In de chemie kunnen we moleculen gaan modelleren in de vorm van grafen. Zeker voor zeer grote moleculen krijgen we een beter zicht door wat afstand te nemen, en slechts enkele kenmerken in beschouwing te nemen. Hieronder zie je een voorbeeld voor een kleine molecule C2 H5 OH.

Door de toppen te kleuren afhankelijk van welk atoom ze voorstellen, verliezen we minder informatie dan in de figuur hierboven. – Biologie Vooral bij het onderzoek naar DNA worden grafen en hun eigenschappen gebruikt. Op de onderstaande afbeelding zie je hoe men uit de verzameling S (die stukjes DNA van lengte drie bevat) het grotere oorspronkelijke stuk DNA probeert te reconstrueren. Elk element uit de verzameling S wordt voorgesteld door een gerichte boog. ATG wordt bijvoorbeeld voorgesteld door de gerichte boog tussen AT en TG.

In de graaf die zo ontstaat zoekt men dan een Euleriaans spoor, dit is een spoor dat elke boog juist één keer gebruikt. Een dergelijk spoor kan men dan vertalen naar een DNA-string, in dit geval zijn er twee mogelijke Euleriaanse sporen, ATGGCGTGCA en ATGCGTGGCA. 16

• In het dagelijks leven – Netwerken van openbaar vervoer We kunnen het openbaar vervoer-netwerk in Keulen voorstellen als een graaf. Hierbij kunnen twee haltes (toppen) verbonden zijn door meerdere bogen, als er meerdere tramlijnen langs deze haltes passeren bijvoorbeeld.

Ook het treinnetwerk in België kunnen we modelleren met een graaf. Toppen met een lage graad zijn dan treinstations die moeilijk(er) te bereiken zijn. Stations met een hoge graad zoals Gent, Antwerpen, Brussel, Charleroi en Luik zijn vanuit bijna elke andere stad (goed) te bereiken.

17

– Modellen voor (vrienschaps)relaties De relatie bevriend zijn met elkaar in het echte leven of op Facebook, is een symmetrische relatie. We kunnen de vrienschapsrelaties in een groep van mensen (bijvoorbeeld op een school, in een klas, onder de personeelsleden van een bepaald bedrijf, ...) modelleren met een graaf. Hierbij zijn de mensen de toppen van de graaf, en we tekenen een boog tussen twee mensen als ze met elkaar bevriend zijn. Ook voor Facebook-vriendschappen kan men dit doen. De onderstaande afbeelding is hier een voorbeeld van.

Men heeft hier alle vrienden van één persoon in kaart gebracht, en ook de vriendschappen tussen die vrienden onderling. De persoon linksonderaan die vrij veel vrienden gemeenschappelijk heeft met de bestudeerde persoon, is de partner van die persoon. Deze graaf komt uit een artikel in de Metro van donderdag 31 oktober 2013, waarin men een onderzoek aanhaalde in verband met dergelijke grafen. In het onderzoek had men vastgesteld dat men relatief goed kon voorspellen wie van je Facebook-vrienden je (toekomstige) partner was. Soms vindt de methode uit het onderzoek géén partner tussen je vrienden, hoewel je er (volgens je Facebookinstellingen) wel één hebt. Dit zou dan voorspellen dat de relatie niet lang meer zou blijven duren. Dergelijke onderzoeken vallen uiteraard niet onder de exacte wetenschap, maar illustreren wel de mogelijkheden van grafen in het dagelijks leven om bepaalde relaties te modelleren. 18

– Architectuur Wanneer je besluit om een huis te bouwen, dan kan je aan een architect vragen om een plan te tekenen van je droomhuis.

Ook dit kan je modelleren met een graaf, waarbij de toppen van de graaf de kamers in het huis zijn, en de bogen zijn de deuren/doorgangen tussen kamers. Een centraal gelegen kamer, zoals de keuken of de living, zal dan liefst corresponderen met een top die een hoge graad heeft. Toppen met een lage graad corresponderen dan met kamers waar je meer privacy wil, zoals de badkamer of de slaapkamer. • Historische toepassingen – De 7 bruggen van Königsberg Door de stad Königsberg stroomt een rivier, de Pregel, en in de 17e eeuw waren er in deze stad 7 bruggen, om de verschillende stadsdelen met elkaar te verbinden. Het volgende probleem werd opgelost door de wiskundige Euler: zoek een manier om door de stad te wandelen zo dat je iedere brug juist één keer volledig oversteekt.

19

De gezochte wandeling bestaat niet, en Euler kon dit vrij eenvoudig bewijzen. Hierbij gebruikte hij grafen om het probleem te modelleren, en zodoende de belangrijke zaken te onderscheiden van de bijzaken.

– Het vierkleurenprobleem Er werd heel lang vermoed dat het mogelijk moest zijn om een landkaart in te kleuren met slechts vier kleuren, zodanig dat aangrenzende landen een verschillende kleur hadden. Een hoekpunt gemeenschappelijk hebben wordt hierbij niet als ’aangrenzend’ beschouwd. Hieronder zie je een kaart van de V.S. die inderdaad met vier kleuren werd ingekleurd.

Het vierkleurenvermoeden werd in 1852 geformuleerd. In 1879 beweerde een wiskundige dat hij het bewezen had, maar in 1890 ontdekte Heawood, een andere wiskundige, een fout in het bewijs. Heawood bewees daarna met behulp van grafentheorie dat een landkaart altijd ingekleurd kan worden met vijf kleuren. Pas in 1976, meer dan honderd jaar nadat het vermoeden voor het eerst geformuleerd werd, is er een bewijs gevonden. Sommige wiskundigen zijn echter niet tevreden met het bewijs, omdat men gebruik gemaakt heeft van de computer om bepaalde speciale gevallen uit te rekenen. Het bewijs is niet gemakkelijk. 20

6

En verder... tweede deel van de stelling van Hoffman

We beginnen met de definitie van een sterk reguliere graaf. Definitie 10. Een sterk reguliere graaf G met parameters (n, k, λ, µ) is een nietledige, niet-complete reguliere graaf met n toppen en valentie k, zodanig dat elke twee verschillende adjacente toppen precies λ gemeenschappelijke buren hebben en elke twee verschillende niet-adjacente toppen precies µ gemeenschappelijke buren hebben. De stelling van Hoffman bevat eigenlijk nog een tweede deel, dat we in deze les wat nader gaan bekijken. Stelling 13 (Hoffman, deel 2). Zij G een sterk reguliere graaf met parameters (n, k, λ, µ) en kleinste eigenwaarde m. Dan geldt: k , met gelijkheid als en slechts als elke als C een kliek is van G, dan is |C| 6 1 − m µ top v ∈ / C hetzelfde aantal buren in C heeft (namelijk precies − m ).

We zullen deze stelling niet bewijzen, maar we gaan ze wel toepassen op een aantal grafen. Deze stelling is in het bijzonder nuttig voor grote grafen met een grote dichtheid. Dat betekent dat er niet alleen veel toppen zijn, maar ook veel bogen. De ’kans’ dat een dergelijke graaf een grote kliek bevat is veel groter/kleiner (schrap wat niet past) dan bij een graaf met evenveel toppen en weinig bogen. Er bestaat bijvoorbeeld een 205-reguliere graaf die 216 toppen heeft, die een kliek bevat met 81 toppen. Het spreekt voor zich dat je dat niet meer op zicht kan tellen. In de onderstaande oefeningen zal je wel steeds kunnen terugvallen op de visuele voorstelling, maar je weet nu toch al dat er ook gevallen zijn waarin we genoodzaakt zijn om de stelling van Hoffman te gebruiken om iets te weten te komen over klieken of coklieken in een bepaalde graaf. Opmerking. Elke sterk reguliere graaf is in het bijzonder een reguliere graaf, en we kunnen dus ook steeds het eerste deel van de stelling van Hoffman toepassen op sterk reguliere grafen. Oefening 7: de Petersengraaf. Bepaal de bovengrens op de grootste kliek in de onderstaande sterk reguliere graaf met parameters (10, 3, λ, µ). Je hoeft zelf de eigenwaarden niet te berekenen, de kleinste eigenwaarde van deze graaf is m = −2. Wat kan je zeggen over de orde van de grootste cokliek in deze graaf? Klopt dat met wat je ziet op de visuele voorstelling van deze graaf? Bepaal ook λ en µ aan de hand van deze visuele voorstelling.

21

Oefening 8: de Paleygraaf van orde 13. De onderstaande graaf is sterk regulier. Vul de parameters (13, k, λ, µ) aan. Bepaal dan de bovengrens op de grootste kliek in deze graaf, als je weet dat de √ −1− 13 . kleinste eigenwaarde gelijk is aan m = 2 Wat kan je zeggen over de orde van de grootste cokliek in deze graaf? Klopt dat met wat je ziet op de visuele voorstelling van deze graaf?

Oefening 9. Bewijs dat de cykelgraaf met 5 toppen een sterk reguliere graaf is en bepaal de parameters (n, k, λ, µ).

22

Oplossingen van de oefeningen Oefening 1. Vul de tabel hieronder in met de orde, grootte en valentie van deze complete grafen.

Orde Grootte Valentie

3 3 2

4 6 3

5 10 4

Oefening 2. Bepaal de grootte en de orde van de onderstaande graaf:

Grootte = 10 = aantal bogen. Orde = 8 = aantal toppen. Is deze graaf regulier? Waarom (niet)? Nee, er zijn toppen van graad nul, van graad één, van graad twee, van graad drie en zelfs toppen van graad vier. Het is duidelijk dat niet elke top dezelfde graad heeft, en dus is de graaf niet regulier. Geef twee toppen die adjacent zijn: De volgende paren van toppen zijn adjacent: b en c, b en d, b en e, b en g, c en d, c en e, c en h, d en e, g en h, h en f . Geef een zo groot mogelijke toppenverzameling die een kliek vormt. De toppenverzameling {b, c, d, e} is een (maximale) kliek.

Geef een zo groot mogelijke toppenverzameling die een cokliek vormt. De toppenverzamelingen {a, f, g, c}, {a, f, g, d} en {a, f, g, e} zijn (maximale) coklieken. 23

Oefening 3. Bepaal de grootte en de orde van de onderstaande graaf: Grootte = 18 = aantal bogen. Orde = 12 = aantal toppen. Is deze graaf regulier? Waarom (niet)? Ja, deze graaf is 3-regulier want iedere top heeft graad drie. Geef twee toppen die adjacent zijn: De volgende paren van toppen zijn adjacent: a en b, a en c, a en d, b en c, b en f , c en h, d en e, d en i, e en f , e en j, f en g, g en h, g en l, h en l, i en j, i en k, j en k, k en l. Geef een zo groot mogelijke toppenverzameling die een kliek vormt. De toppenverzamelingen {a, b, c}, {g, h, l} en {i, j, k} zijn (maximale) klieken. Geef een zo groot mogelijke toppenverzameling die een cokliek vormt. De toppenverzameling {c, d, f, j, l} is een (maximale) cokliek.

Oefening 4. Geef twee verschillende adjacentiematrices van de volgende graaf, en bepaal ook de determinant van die adjacentiematrices (op het zicht).



     0 1 0 0 0 1 0 1 1 Mogelijke antwoorden zijn 1 0 1, 0 0 1 en 1 0 0. 0 1 0 1 1 0 1 0 0

De determinanten van deze matrices zijn telkens gelijk aan nul, er zijn namelijk steeds twee gelijke rijen.

24

Oefening 5. Bepaal alle eigenwaarden en eigenvectoren van deze (adjacentie)matrix:   0 1 0 A = 1 0 1. 0 1 0

We bepalen eerst de eigenwaarden van A: −m 1 0 −m 1 1 0 3 − 1 ⇔ −m 0 = 1 −m 1 −m + 0 = 0 ⇔ −m + 2m = 0. 1 −m 0 1 −m √ De oplossingen van deze derdegraadsvergelijking zijn m = 0 en m = ± 2. We zoeken nu de eigenruimten E−√2 , E0 en E√2 . E0 is de oplossingsverzameling van het stelsel      0 0 1 0 x 0 = 1 0 1 y . 0 0 1 0 z Dit  1 0 0

kunnen we via rijreductie herleiden naar het stelsel        0 1 x 0 a          1 0 y = 0 , waaruit volgt dat E0 = 0 a ∈ R .   0 0 z 0 −a

E−√2 is de oplossingsverzameling van het stelsel   √   2 √1 0 0 x 0 =  1   y . 2 √1 0 z 2 0 1

Dit  1 0 0

kunnen we via rijreductie herleiden naar het stelsel        0 √ −1 a x 0   √ 2 y  = 0, waaruit volgt dat E−√2 = − 2a a ∈ R . 1   z 0 0 0 a

E√2 is de oplossingsverzameling van het stelsel    √   − 2 0 0 x √1 0 =    y . 1 − 2 √1 0 z 0 1 − 2 Dit  1 0 0

kunnen we via rijreductie herleiden naar het stelsel        0 −1 a x 0   √ √ 1 − 2 y  = 0, waaruit volgt dat E√2 =  2a a ∈ R .   z 0 0 0 a 25

Oefening 6. Beschouw in de volgende graaf met toppenverzameling V = {a, b, c, d, e} de toppenverzamelingen S1 = {a, b} en S2 = {b, d, e}. Stel de adjacentiematrix A op van de graaf, bepaal de karakteristieke vectoren χS1 en χS2 en bereken dan AχS1 , AχS2 en (χS1 )T AχS2 .

Om een adjacentiematrix A van deze graaf op te stellen, moeten we de toppen nummeren. We kunnen dit doen door top a als top 1 te beschouwen, top b als top 2, . . . , tot top e die we als top 5 nummeren. Zo vinden we een adjacentiematrix en de bijhorende karakteristieke vectoren χS1 en χS2 : 

0 1  A= 1 1 1

1 0 1 0 1

1 1 0 1 0

1 0 1 0 1

 1 1  0 , 1 0

We berekenen nu het product AχS1 :  0 1 1 1 0 1  AχS1 =  1 1 0 1 0 1 1 1 0

χS1

    1 0 1 1      en χS2 = 0 . 0 =     0 1 0 1

1 0 1 0 1

    1 1 1     1 1 1  0 = 2 . 0     1 0 1 0 0 2

We kunnen dit nu interpreteren zoals in Lemma 8. Het aantal buren van top 1 (dus top a) dat in de verzameling S1 ligt, is gelijk aan 1 (namelijk top b). Het aantal buren van top 2 (dus top b) dat in de verzameling S1 ligt, is gelijk aan 1 (namelijk top a). Het aantal buren van top 3 (dus top c) dat in de verzameling S1 ligt, is gelijk aan 2 (namelijk top a en top b), enz..

26

Voor het product AχS2 krijgen we:  0 1 1 0  AχS2 =  1 1 1 0 1 1

1 1 0 1 0

1 0 1 0 1

    1 0 3     1 1 1  0 = 2 . 0     1 1 1 0 1 2

We interpreteren dit als: er zijn drie buren van top a die in de verzameling S2 liggen (namelijk top b, top d en top e), er is één buur van top b die in de verzameling S2 ligt (namelijk top e), enz.. Er werd ook gevraagd om het product (χS1 )T AχS2 te berekenen. We hebben:      0 1 1 1 1 0 3 1 0 1 0 1 1 1          (χS1 )T AχS2 = 1 1 0 0 0  1 1 0 1 0 0 = 1 1 0 0 0 2 = 4. 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 2

Inderdaad, met behulp van Lemma 9 zien we dat het aantal bogen waarbij de ene eindtop in verzameling S1 ligt en de andere eindtop in verzameling S2 ligt, gelijk is aan 4; namelijk de bogen ab, ad, ae en be. Oefening 7: de Petersengraaf. Bepaal de bovengrens op de grootste kliek in de onderstaande sterk reguliere graaf met parameters (10, 3, λ, µ) die als kleinste eigenwaarde m = −2 heeft. Wat kan je zeggen over de orde van de grootste cokliek in deze graaf? Klopt dat met wat je ziet op de visuele voorstelling van deze graaf? Bepaal ook λ en µ aan de hand van deze visuele voorstelling.

De Petersengraaf k Als we een kliek C hebben in de Petersengraaf, dan bevat die hoogstens 1 − m = 3 1 + 2 = 2, 5 toppen, dus hoogstens 2 toppen. Dit betekent dat de Petersengraaf geen driehoeken bevat, en dat zien we ook op de figuur.

27

Als we een cokliek C 0 hebben in de Petersengraaf, dan bevat die hoogstens 10 1+ 32

|V | k 1− m

=

= 4 toppen. We zien op de figuur inderdaad een cokliek met 4 toppen. Dit betekent dat we gelijkheid hebben in het eerste deel van de stelling van Hoffman, of dat elke top buiten deze cokliek adjacent moet zijn met juist −m = 2 toppen. Ook dit zien we duidelijk op de visuele voorstelling. We bepalen nu de waarden voor λ en µ. • λ = het aantal gemeenschappelijke buren van 2 willekeurige adjacente toppen. Op de figuur zien we dat er zo geen gemeenschappelijke buren zijn, dus λ = 0. Merk op dat iedere gemeenschappelijke buur van twee adjacente toppen aanleiding zou geven tot een driehoek. Het klopt dus met onze eerdere bevindingen dat er geen dergelijke gemeenschappelijke buren zijn. • µ = het aantal gemeenschappelijke buren van 2 willekeurige niet-adjacente toppen. Op de figuur zien we dat elke twee niet-adjacente toppen precies één gemeenschappelijke buur hebben. Dus µ = 1. De parameters van deze sterk reguliere graaf zijn dus (10, 3, 0, 1). Oefening 8: de Paleygraaf van orde 13. De onderstaande graaf is sterk regulier. Vul de parameters (13, k, λ, µ) aan. Bepaal dan de bovengrens op de grootste kliek in deze graaf, als je weet dat de √ −1− 13 . kleinste eigenwaarde gelijk is aan m = 2 Wat kan je zeggen over de orde van de grootste cokliek in deze graaf? Klopt dat met wat je ziet op de visuele voorstelling van deze graaf?

Elke top heeft graad 6, dus k = 6. We bepalen nu de waarden voor λ en µ.

28

• λ = het aantal gemeenschappelijke buren van 2 willekeurige adjacente toppen. Op de figuur zien we dat er zo juist twee gemeenschappelijke buren zijn, dus λ = 2. Merk op dat iedere gemeenschappelijke buur van twee adjacente toppen aanleiding geeft tot een driehoek. • µ = het aantal gemeenschappelijke buren van 2 willekeurige niet-adjacente toppen. Op de figuur zien we dat twee niet-adjacente toppen steeds op afstand twee liggen. Voor elke twee niet-adjacente toppen zijn er precies drie gemeenschappelijke buren. Dus µ = 3. De parameters van deze sterk reguliere graaf zijn dus (13, 6, 2, 3). Als theoretische bovengrens voor de grootte van een kliek C in een sterk reguliere k √ = 1 − −1−6√13 = 1 + 1+12 ≈ 3.61. graaf hebben we |C| 6 1 − m 13 2

We zien inderdaad driehoeken in de figuur hierboven, maar geen complete deelgrafen van orde 4. Als we een cokliek C hebben in deze graaf, dan is |V | 13 |C| 6 1− ≈ 3, 61. k = 1+ 12 √ m

1+ 13

We zien inderdaad op de visuele voorstelling dat het mogelijk is om 3 onderling niet-adjacente toppen te vinden, maar dat het onmogelijk is om deze cokliek uit te breiden met nog een vierde top.

Oefening 9. Bewijs dat de cykelgraaf met 5 toppen een sterk reguliere graaf is en bepaal de parameters (n, k, λ, µ).

Om te bewijzen dat een graaf sterk regulier is, gaan we na dat deze graaf regulier is en dat de parameters λ en µ goed gedefinieerd zijn. We zien meteen dat iedere top in deze graaf graad twee heeft, dus dit is een 2-reguliere graaf. Beschouwen we nu twee willekeurige adjacente toppen, dan is er geen enkele andere top die adjacent is met deze beide toppen. Inderdaad, er zijn geen driehoeken in deze graaf. We besluiten dat λ = 0. Nemen we nu twee willekeurige niet-adjacente toppen, dan zien we dat er voor elke keuze van deze twee toppen, precies één andere top van de graaf adjacent is met beide. We besluiten dat µ = 1. De cykelgraaf met vijf toppen is dus inderdaad een sterk reguliere graaf met parameters (5, 2, 0, 1). 29

Slides bij les 1

De stelling van Hoffman

Stelling (Hoffman) Zij G een reguliere graaf met niet-ledige toppenverzameling V , valentie k > 0 en kleinste eigenwaarde m. Dan geldt:

Geavanceerde grafentheorie in het secundair onderwijs

als C een cokliek is van G , dan is |C | 6

Linda Van Puyvelde

|V | k 1− m

, en bij gelijkheid

heeft elke top v ∈ / C hetzelfde aantal buren in C (namelijk −m). 18 mei 2014

Wat is een graaf? - Voorbeelden

Stelling (Hoffman) Zij G een reguliere graaf met niet-ledige toppenverzameling V , valentie k > 0 en kleinste eigenwaarde m. Dan geldt: als C een cokliek is van G , dan is |C | 6

|V | k 1− m

, en bij gelijkheid

heeft elke top v ∈ / C hetzelfde aantal buren in C (namelijk −m).

Wat is een graaf?

Wat is een reguliere graaf?

Definities

Definitie

Een simpele eindige graaf G is een koppel G = (V , E ), met V een eindige verzameling van toppen, en E een eindige verzameling van bogen, waarbij een boog bestaat uit een paar van twee verschillende toppen.

De graad van een top is het aantal buren van die top. Notatie: deg(v ). Als alle toppen van een graaf dezelfde graad k hebben, dan noemen we de graaf (k-)regulier. Het getal k noemen we dan ook wel de valentie van de reguliere graaf. Welke van onderstaande grafen is regulier? Wat is hun valentie?

De orde van een graaf G is het aantal toppen van deze graaf. De grootte van een graaf G is het aantal bogen van deze graaf. Twee toppen u en v noemen we buren als er een boog bestaat tussen u en v . We noemen u en v dan ook adjacente toppen. Notatie: u ∼ v .

30

Definities

Visuele voorstellingen van grafen

We noemen een graaf compleet als elke top verbonden is met iedere andere top. Een kliek in een graaf G is een deelverzameling K ⊆ V van toppen zodat iedere top uit K verbonden is met iedere andere top uit K . Een cokliek in een graaf is een deelverzameling C ⊆ V van toppen zodat voor elke top uit C geldt dat deze top met geen enkele andere top uit C verbonden is.

Wiskundige manier om grafen voor te stellen Hoe zouden we deze graaf op een wiskundige manier kunnen voorstellen, zodanig dat een computer zou kunnen ’begrijpen’ welke graaf we bedoelen?

Wiskundig manier om grafen voor te stellen: Adjacentiematrices Voorbeeld: 

0 1  0 1 

0 0  1 1

1 0 1 0

0 1 0 1

 1 0  1 0

0 0 1 1

1 1 0 0

 1 1  0 0

Hernummeren ↔ verwisselen corresponderende rijen & kolommen!

Adjacentiematrices

Adjacentiematrix van een complete graaf Voorbeeld:

Definitie In de algebra¨ısche grafentheorie wordt een graaf met n toppen voorgesteld als matrix, als volgt: We nummeren de toppen op een willekeurige, maar vanaf nu vaste manier.

Schrijf de adjacentiematrix op van deze graaf:   0 1 1 1 0 1 1 1 0

We bouwen nu een n × n-matrix A = (aij ) op, op de volgende manier: ( 1 als i ∼ j, aij = 0 anders.

De adjacentiematrix van een complete graaf met n toppen is de (n × n)-matrix met overal enen, behalve op de diagonaal, daar staan nullen.

Wat kunnen we zeggen over de diagonaalelementen van zo’n adjacentiematrix?

31

Stelling (Hoffman)

Stelling (Hoffman)

Zij G een reguliere graaf met niet-ledige toppenverzameling V , valentie k > 0 en kleinste eigenwaarde m. Dan geldt:



|V | k 1− m


, en bij gelijkheid


QUIZ! - Vraag 1: welke uitspraak is waar? a. b. c. d.

Deze Deze Deze Deze

graaf graaf graaf graaf

is is is is

a. b. c. d.

Deze Deze Deze Deze


, en bij gelijkheid

QUIZ! - Oplossing vraag 1

regulier met valentie 2. regulier met valentie 18. niet-regulier. regulier met orde 12.

QUIZ! - Vraag 2: welke uitspraak is waar?

|V | k 1− m


a. b. c. d.

Deze Deze Deze Deze


is is is is

regulier met valentie 2. regulier met valentie 18. niet-regulier. regulier met orde 12.


bevat een cokliek van 4 toppen. bevat een cokliek van 5 toppen. bevat een kliek van 3 toppen. is niet-regulier.

a. b. c. d.

32

Deze Deze Deze Deze


bevat een cokliek van 4 toppen. bevat een cokliek van 5 toppen. bevat een kliek van 3 toppen. is niet-regulier.


Deze Deze Deze Deze



Deze Deze Deze Deze



heeft een kliek met 4 toppen. is regulier met orde 6. is niet-regulier met grootte 12. heeft een cokliek van 3 toppen.

is is is is

a. Deze graaf heeft een kliek met 4 toppen. b. Deze graaf is regulier met orde 6. c. Deze graaf is niet-regulier met grootte 12. d. Deze graaf heeft een cokliek van 3 toppen.


regulier met valentie 4. regulier met orde 7. niet-regulier met grootte 12. niet-regulier met orde 12.

a. b. c. d.

33

Deze Deze Deze Deze


is is is is

regulier met valentie 4. regulier met orde 7. niet-regulier met grootte 12. niet-regulier met orde 12.

Slides bij les 4

Stelling (Hoffman) Zij G een reguliere graaf met niet-ledige toppenverzameling V , valentie k > 0 en kleinste eigenwaarde m. Dan geldt: als C een cokliek is van G , dan is |C | 6

|V | k 1− m

, en bij gelijkheid


Eigenschap 2. De som van alle eigenwaarden van een graaf is gelijk aan nul. Stelling 4. Een k-reguliere graaf heeft steeds de vector bestaande uit enen als eigenvector, en de bijhorende eigenwaarde is de valentie k. Eigenschap 5. Een vierkante matrix A is positief semi-definiet ⇔ alle eigenwaarden van A positief zijn.

Eigenschap 7. Een vierkante matrix A heeft eigenwaarden m1 , . . . , mn . Dan zijn de eigenwaarden van de matrix A + xI gelijk aan m1 + x, . . . , mn + x.

Lemma 8. (AχS )i = het aantal buren van top vi dat bevat is in de verzameling S. Lemma 9. (χS1 )T AχS2 = |{(v1 , v2 ) || v1 ∈ S1 , v2 ∈ S2 , v1 ∼ v2 }|.

Lemma 10. |S1 ∩ S2 | = (χS1 )T χS2 Gevolg 11. |S| = (χS )T χS

34

Leerstof voor de toets van 23 januari 2014 Definities van de onderstaande begrippen: (op de toets worden er vier gevraagd) • simpele eindige graaf, • orde, grootte, graad, • reguliere graaf, valentie, • complete graaf, • kliek, • cokliek, • eigenwaarde, eigenvector, • twee lineair (on)afhankelijke vectoren, • spectrum van een graaf, • positief semi-definiete matrix. Verder moet je elke stap in het bewijs van de stelling van Hoffman begrijpen (enkel het deel dat we in de les gezien hebben), en tijdens de toets wordt het overzicht van de eigenschappen (zoals op het kleine blaadje uit les 4) geprojecteerd. Op de toets zullen een aantal tussenstappen in dat bewijs weggelaten worden, die jullie moeten aanvullen. Het is dus belangrijk dat je weet hoe en waar de eigenschappen gebruikt worden, en wat de eigenschappen precies zeggen. Het bewijs van de stelling van Hoffman is het enige bewijs waarover jullie ondervraagd zullen worden. De andere bewijzen die we gezien hebben in de lessen zijn dus geen leerstof. Het is wel belangrijk om stellingen en eigenschappen te kunnen toepassen. Het is dus absoluut niet de bedoeling dat jullie bewijzen uit het hoofd leren.

35

Naam: Klas: Klasnr.: Datum: Schooljaar: 2013-2014 Leerkracht: Linda Van Puyvelde

Toets: De stelling van Hoffman 1. . . . /3)

Geef een definitie van de volgende begrippen:

(a) een reguliere graaf + de valentie van een reguliere graaf,

(b) een cokliek in een graaf,

(c) een eigenvector,

(d) het spectrum van een graaf.

36

Naam: 2. . . . /7) Hieronder vind je de stelling van Hoffman met het eerste deel van het bewijs. Er ontbreken echter een aantal zaken, die vervangen werden door een letter. Vul hieronder aan wat er bij welke letter moet staan. Dat kan een getal zijn, een woord, een verwijzing naar een bepaalde eigenschap of een verklaring. Stelling (Hoffman). Zij G een reguliere graaf met niet-ledige toppenverzameling V , valentie k > 0 en kleinste eigenwaarde m. Dan geldt: |V | als C een cokliek is van G, dan is |C| 6 1− / C k , en bij gelijkheid heeft elke top v ∈ hetzelfde aantal buren in C (namelijk −m).

m

Bewijs. Neem een cokliek C en noteer de bijhorende karakteristieke vector met χC . De vector waarvan elk element 1 is, kunnen we schrijven als de karakteristieke vector van de volledige toppenverzameling V : χV . De kleinste eigenwaarde m is kleiner dan of gelijk aan nul omdat (a). Als de kleinste eigenwaarde nul is, zou dat betekenen dat alle eigenwaarden nul zijn. Dit is onmogelijk omdat k > 0 een eigenwaarde is van de adjacentiematrix wegens Stelling 4. Gebruiken we nu (b) met x = −m, dan zien we dat alle eigenwaarden van A − mI groter dan of gelijk aan nul zijn. Dus is wegens (c) de matrix A − mI positief semi-definiet, wat per definitie betekent dat voor elke niet-nulvector v geldt dat v T (A − mI)v > 0. |C| In het bijzonder geldt dan voor een vector v = χC − |V | χV dat (χC −

|C| |C| χV )T (A − mI)(χC − χV ) > 0. |V | |V |

Dit kunnen we uitwerken als volgt: |C| |C| T T T |V | (χC ) AχV − m(χC ) IχC + m |V | (χC ) IχV |C| 2 |C| |C| 2 T T T ( |V | ) (χV ) AχV + m |V | (χV ) IχC − m( |V | ) (χV ) IχV >

(χC )T AχC − +

−

0.

|C| T |V | (χV ) AχC

Via de lemma’s over karakteristieke vectoren kunnen we nu de volgende termen die in de bovenstaande ongelijkheid voorkomen, interpreteren: • (χC )T IχC = |C| wegens (d), • (χV )T IχC = (χC )T IχV = |C| wegens (e), • (χV )T IχV = |V | wegens (f ), • (χC )T AχC = |{(v1 , v2 ) || v1 ∈ C, v2 ∈ C, v1 ∼ v2 }| wegens (g) en dus (χC )T AχC = (h) want (i), • (χC )T AχV = (χV )T AχC = (χC )T kχV wegens (j) en dus hebben we (χC )T AχV = (χV )T AχC = k|C| wegens (k), • (χV )T AχV = (χV )T kχV = (l), opnieuw wegens (m) en nu wegens (n). Vullen we dit nu in bij de bovenstaande ongelijkheid, dan vinden we: 2 2 m|C|2 k|C|2 k|C|2 |V | m|C|2 |V | + m|C| >0 0 − k|C| |V | − m|C| + |V | − |V | + |V |2 |V | − |V |2 ⇐⇒ (m − k)

|C|2 − m|C| > 0. |V |

37

2

Dit laatste kunnen we herschrijven als −m|C| > (k − m) |C| |V | of nog als −m > (k − m)

|C| |V |

|C| 6 |V |

⇐⇒

−m |V | = k k−m 1− m

waarbij we in de laatste stap teller en noemer gedeeld hebben door −m.

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) (m) (n)

38

Slides bij les 5

Eigenschap 2. De som van alle eigenwaarden van een graaf is gelijk aan nul.

Stelling (Hoffman)

Stelling 4. Een k-reguliere graaf heeft steeds de vector bestaande uit enen als eigenvector, en de bijhorende eigenwaarde is de valentie k.


Eigenschap 5. Een vierkante matrix A is positief semi-definiet ⇔ alle eigenwaarden van A positief zijn.


|V | k 1− m

Eigenschap 7. Een vierkante matrix A heeft eigenwaarden m1 , . . . , mn . Dan zijn de eigenwaarden van de matrix A + xI gelijk aan m1 + x, . . . , mn + x.

, en bij gelijkheid


Lemma 8. (AχS )i = het aantal buren van top vi dat bevat is in de verzameling S. Lemma 9. (χS1 )T AχS2 = |{(v1 , v2 ) || v1 ∈ S1 , v2 ∈ S2 , v1 ∼ v2 }|.

Lemma 10. |S1 ∩ S2 | = (χS1 )T χS2 Gevolg 11. |S| = (χS )T χS

Toepassingen van grafentheorie - in wetenschappen

Toepassingen van grafentheorie - in wetenschappen

Biologie Chemie Modelleren van moleculen met grafen:

Toepassingen van grafentheorie - in het dagelijks leven


Netwerken: Openbaar vervoer in Keulen

Netwerken: Treinen in België

39


Modelleren van vriendschappen: Facebook


Toepassingen van grafentheorie - historisch

De 7 bruggen van Königsberg

Architectuur





40


Het vierkleurenprobleem Inkleuren van een kaart in vier kleuren: de V.S.

41

Naam: Klas: Klasnr.: Datum: Schooljaar: 2013-2014 Leerkracht: Linda Van Puyvelde

Toets: De stelling van Hoffman 1. . . . /3)

Geef een definitie van de volgende begrippen:

(a) een reguliere graaf + de valentie van een reguliere graaf, Een reguliere graaf is een graaf waarvan elke top dezelfde graad k heeft. Deze waarde k noemen we de valentie van de reguliere graaf. (b) een cokliek in een graaf, Een cokliek O in een graaf G = (V, E) is een toppenverzameling O ⊆ V zodanig dat geen enkele top uit O verbonden is met een andere top uit O. (c) een eigenvector, Een eigenvector v van een matrix A is een (kolom)vector zodanig dat Av = mv voor een zeker reëel getal m. (d) het spectrum van een graaf. Het spectrum van een graaf is de verzameling van alle eigenwaarden van die graaf. 2. . . . /7) Hieronder vind je de stelling van Hoffman met het eerste deel van het bewijs. Er ontbreken echter een aantal zaken, die vervangen werden door een letter. Vul hieronder aan wat er bij welke letter moet staan. Dat kan een getal zijn, een woord, een verwijzing naar een bepaalde eigenschap of een verklaring. Stelling (Hoffman). Zij G een reguliere graaf met niet-ledige toppenverzameling V , valentie k > 0 en kleinste eigenwaarde m. Dan geldt: |V | / C als C een cokliek is van G, dan is |C| 6 1− k , en bij gelijkheid heeft elke top v ∈

hetzelfde aantal buren in C (namelijk −m).

m

Bewijs. Neem een cokliek C en noteer de bijhorende karakteristieke vector met χC . De vector waarvan elk element 1 is, kunnen we schrijven als de karakteristieke vector van de volledige toppenverzameling V : χV . De kleinste eigenwaarde m is kleiner dan of gelijk aan nul omdat (a). Als de kleinste eigenwaarde nul is, zou dat betekenen dat alle eigenwaarden nul zijn. Dit is onmogelijk, omdat k > 0 een eigenwaarde is van de adjacentiematrix wegens Stelling 4. Gebruiken we nu (b) met x = −m, dan zien we dat alle eigenwaarden van A − mI groter dan of gelijk aan nul zijn. Dus is wegens (c) de matrix A − mI positief semi-definiet, wat per definitie betekent dat voor elke niet-nulvector v geldt dat v T (A − mI)v > 0. |C| In het bijzonder geldt dan voor een vector v = χC − |V | χV dat (χC −

|C| |C| χV )T (A − mI)(χC − χV ) > 0. |V | |V |

Dit kunnen we uitwerken als volgt:

42

|C| |C| T T T |V | (χC ) AχV − m(χC ) IχC + m |V | (χC ) IχV |C| |C| 2 |C| 2 T T T ( |V | ) (χV ) AχV + m |V | (χV ) IχC − m( |V | ) (χV ) IχV >

(χC )T AχC − +

−

0.

|C| T |V | (χ) AχC

Via de lemma’s over karakteristieke vectoren kunnen we nu de volgende termen die in de bovenstaande ongelijkheid voorkomen, interpreteren: • (χC )T IχC = |C| wegens (d), • (χV )T IχC = (χC )T IχV = |C| wegens (e), • (χV )T IχV = |V | wegens (f ), • (χC )T AχC = |{(v1 , v2 ) || v1 ∈ C, v2 ∈ C, v1 ∼ v2 }| wegens (g) en dus (χC )T AχC = (h) want (i), • (χC )T AχV = (χV )T AχC = (χC )T kχV wegens (j) en dus hebben we (χC )T AχV = (χV )T AχC = k|C| wegens (k), • (χV )T AχV = (χV )T kχV = k|V |, opnieuw wegens (l) en nu wegens (m). Vullen we dit nu in bij de bovenstaande ongelijkheid, dan vinden we: 2 2 m|C|2 k|C|2 k|C|2 |V | m|C|2 |V | 0 − k|C| + m|C| >0 |V | − m|C| + |V | − |V | + |V |2 |V | − |V |2 ⇐⇒ (m − k)

|C|2 − m|C| > 0. |V |

2

Dit laatste kunnen we herschrijven als −m|C| > (k − m) |C| |V | of nog als −m > (k − m)

|C| |V |

|C| 6 |V |

⇐⇒

waarbij we in de laatste stap (n).

−m |V | = k k−m 1− m

(a) De som van alle eigenwaarden gelijk moet zijn aan nul (zie Eigenschap 2). (b) Eigenschap 7 (c) Eigenschap 5 (d) Gevolg 11 (e) Lemma 10 (f) Gevolg 11 (g) Lemma 9 (h) 0 (i) C is een cokliek. (j) Stelling 4 (k) Lemma 10 (l) k|V |

(m) Stelling 4 (n) Gevolg 11 43

Evaluatie Lessenreeks Stelling van Hoffman Hieronder vind je een aantal vragen waarmee ik wil peilen naar jullie mening omtrent de lessen die jullie van mij tot nu toe gekregen hebben. Je mag dit anoniem invullen, je mag er bovenaan ook je naam op zetten als je dat wil. (a) Welk deel van de lessenreeks uit les 1 t.e.m. 5 vond je • het leukst/meest interessant? Probeer ook uit te leggen waarom.

• het moeilijkst? Probeer ook uit te leggen waarom.

• het minst goed/duidelijk uitgelegd? Probeer ook uit te leggen waarom.

• het best/duidelijkst uitgelegd? Probeer ook uit te leggen waarom.

44

(b) Ik vond het niveau van de lessenreeks tot nu toe: (omcirkel wat van toepassing is) veel te laag / iets te laag / goed / iets te hoog / veel te hoog. Eventuele verduidelijking hierbij:

(c) Wat vond je van het systeem van een kladblaadje voor berekeningen in combinatie met een uitgetypte cursus in plaats van zelf overschrijven van het bord?

(d) Heeft deze lessenreeks jouw beeld van wiskunde of wiskunde aan de universiteit veranderd? Zo ja, hoe dan?

(e) Over welk deel van de lessenreeks had je graag nog meer bijgeleerd?

(f) Andere opmerkingen, suggesties... (Wat zou je liever anders gezien hebben? Wat vond je van de lessenreeks als geheel? ...)

45

C

Lessenpakket 2

Redeneren over grafen met behulp van Grinvin Onderzoekend leren met grafen en Grinvin in het secundair onderwijs

Linda Van Puyvelde

123

Inhoudsopgave Les 1: inleiding tot grafen

2

Les 2: invarianten met Grinvin

7

Les 3 en 4: redeneren met Grinvin - vermoedens en tegenvoorbeelden

12

Oplossingen van de oefeningen

21

Slides bij les 1

31

Hints bij les 2

33

Hints bij les 3 en 4

34

Opgave Evaluatie

37

Oplossing Evaluatie

40

Evaluatie van de Lessenreeks

41

1

Les 1: inleiding tot grafen Opdracht K¨ onigsberg Hieronder zie je een afbeelding van de stad Königsberg in de 17e eeuw. Zoals je ziet stroomt er door de stad een rivier, die de Pregel hhet. Deze rivier verdeelt de stad in vier verschillende stadsdelen (aangeduid met de hoofdletters A, B, C en D), waaronder één eiland. Deze stadsdelen zijn met elkaar verbonden door middel van 7 bruggen (aangeduid met de letters a, b, c, d, e, f, g).

Zoek een manier om door de stad te wandelen zodat je iedere brug juist één keer volledig oversteekt. (Een brug half oversteken en terugkeren is verboden.) Je hoeft niet te eindigen in het stadsdeel waar je vertrokken bent.

2

Abstractie Om dit probleem op te lossen, kijken we eerst welke zaken er in dit probleem belangrijk zijn, en welke niet. De bruggen zijn belangrijk, maar hoe ze eruit zien maakt niet uit. Wat écht belangrijk is, is het feit dat ze een verbinding vormen tussen twee stadsdelen. De rivier is dus minder belangrijk dan de bruggen. Ook de stadsdelen zijn belangrijk, maar het is niet belangrijk hoe groot of mooi ze zijn. Wel is het belangrijk om te weten welk stadsdeel verbonden is met welke andere stadsdelen, en met hoeveel bruggen. In het onderstaande schema zie je precies die zaken die van belang zijn om het probleem op te lossen.

We noemen een dergelijke voorstelling een graaf. De stadsdelen worden hier voorgesteld met blauwe ’bollen’, die we toppen noemen, en de verbindingslijnen (die de bruggen voorstellen) noemen we bogen. Definitie 1. Een eindige graaf G is een koppel G = (V, E) met V een eindige verzameling van toppen, en E een eindige verzameling van paren van verschillende elementen uit V , die we bogen noemen. Hierbij spreken we dus af dat er enkel bogen kunnen bestaan tussen twee verschillende toppen, en dat er tussen twee verschillende toppen meerdere bogen kunnen zijn. Definitie 2. De graad van een top is het aantal bogen dat vertrekt vanuit die top. Dat is hier dus het aantal bruggen die naar een bepaald stadsdeel leiden. Schrijf bij elke top de graad van de top. Definitie 3. Het aantal toppen in een graaf noemen we de orde van de graaf. Het aantal bogen van een graaf noemen we de grootte van de graaf. Voor de bovenstaande graaf is de orde gelijk aan ... en de grootte gelijk aan .... 3

Oplossing van het probleem Wanneer we toekomen in een stadsdeel via een brug, zullen we dat stadsdeel ook weer verlaten via een brug. In wiskundige taal wordt dit: Telkens we een top passeren in de wandeling, zal de graad van die top met twee eenheden toenemen. Voor het stadsdeel van waaruit we vertrekken, komt daar nog één brug bij, namelijk die waarover we vertrekken uit dat stadsdeel; voor het stadsdeel waar we eindigen, komt daar ook nog één brug bij, namelijk die waarover we toegekomen zijn in dat stadsdeel. In wiskundige taal wordt dit: De begin- en eindtop van de wandeling hebben oneven graad, de andere toppen hebben allemaal even graad. Besluit: als er zo’n wandeling bestaat die alle bruggen juist één keer passeert, dan hebben alle toppen een even graad, behalve twee toppen: die waar je begint met de wandeling en die waar je eindigt. Dit verklaart waarom er zo geen wandeling bestaat in Königsberg, want de vier toppen in de corresponderende graaf hebben allemaal oneven graad. Opmerking. Als je vertrekt en aankomt in hetzelfde stadsdeel (dus in dezelfde top), dan hebben alle toppen even graad. Nog een aantal begrippen in verband met dit probleem Zonet hebben we gewerkt met een intu¨ıtief begrip van een wandeling in een graaf. Definitie 4. Een wandeling W van lengte l in een graaf is een opeenvolging van toppen en bogen, dus W = (v0 , b0 , v1 , b1 , . . . , vl−1 , bl−1 , vl ), zodanig dat de eindpunten van elke boog bi de toppen vi en vi+1 zijn, voor i = 0, 1, . . . , l − 1.

In het probleem over de 7 bruggen zochten we een wandeling die elke boog juist één keer passeerde. We noemen dit een Euleriaans spoor, genoemd naar Euler, die in 1736 als eerste bewees dat de gezochte wandeling in Königsberg niet bestond. Definitie 5. Een spoor in een graaf is een wandeling waarbij elke boog hoogstens éénmaal voorkomt. Een Euleriaans spoor is een wandeling waarbij elke boog juist één keer voorkomt. Een Euleriaans spoor dat begint en eindigt in dezelfde top, noemen we een Euleriaans circuit.

Een spoor (blauw) en een Euleriaans circuit (genummerd).

4

Wat een Euleriaans circuit is ten opzichte van de bogen, is een Hamiltoniaans pad ten opzichte van de toppen van een graaf. Het zoeken naar Hamiltoniaanse paden is over het algemeen veel ingewikkelder dan het zoeken naar Euleriaanse circuits. Definitie 6. Een pad in een graaf is een wandeling waarbij elke top A ∈ V hoogstens éénmaal voorkomt. Een Hamiltoniaans pad is een pad waarin elke top juist éénmaal voorkomt. Een cykel is een pad waarvan de begin- en eindtop samenvallen.

Een padgraaf met 3 toppen en een cykelgraaf met 5 toppen.

Oefening 1. Teken hieronder een padgraaf met 5 toppen en een cykelgraaf met 3 toppen.

Veelgebruikte begrippen in de grafentheorie Definitie 7. We noemen een graaf compleet als elke top met elke andere top verbonden is door één boog. Als alle toppen van een graaf dezelfde graad k hebben, dan noemen we de graaf (k-)regulier. Het getal k wordt de valentie van de reguliere graaf genoemd. Oefening 2. Vul de tabel hieronder in met de orde, grootte en valentie van deze complete grafen.

Orde Grootte Valentie 5

Definitie 8. We noemen een graaf samenhangend als voor elke twee verschillende toppen A en B ∈ V een wandeling van A naar B bestaat. De lengte van een wandeling of een pad is het aantal bogen in deze wandeling of dit pad. De afstand tussen twee toppen u en v is de lengte van het kortste pad tussen A en B en noteren we als d(A, B). De diameter van een samenhangende graaf is de grootste afstand tussen twee toppen van die graaf. Oefening 3. Vul de tabel hieronder in met de orde, grootte, diameter en de lengte van de langste en kortste cykel in de onderstaande grafen.

Orde Grootte Diameter Lengte langste cykel Lengte kortste cykel Oefening 4. Vul de onderstaande zinnen aan. In een complete graaf met n toppen (n > 2) heeft elke top graad ....................... Dit betekent dat elke complete graaf (met n > 2) een ......................................... graaf is. In een complete graaf (met n > 2) is de afstand van een willekeurige top tot iedere andere top gelijk aan ....... Dit zorgt ervoor dat de diameter van zulke complete grafen gelijk aan ....... is.

6

Les 2: invarianten in Grinvin In deze bundel vinden jullie definities van nieuwe begrippen, voorbeelden, figuren, denkvragen en een aantal opdrachten. Door deze opdrachten te vervullen en de vragen op te lossen, zal je gaandeweg kennis maken met het programma Grinvin. Bij iedere opdracht hoort een hint. Als je er dus niet in slaagt om de vraag/opdracht op te lossen, kan je een hint vragen; bij de eerste opdracht krijg je die al cadeau. Als het met de hint nog steeds niet lukt, kan je uitleg vragen aan de leerkracht. Er zijn ook uitdagingen voor wie zeer vlot met het programma overweg kan (dat betekent dat je (bijna) geen hints nodig had bij de opdrachten voordien). Bij iedere uitdaging kan je ook een hint vragen. Veel succes! In het programma Grinvin draait alles om INVARIANTEN. Maar wat is een invariant? Definitie 9. Een invariant van een graaf is een eigenschap die enkel afhangt van de abstracte structuur van deze graaf, en niet van de manier waarop deze graaf (visueel) wordt voorgesteld. Voorbeeld: het aantal toppen van een graaf is een invariant van een graaf. Hoe we een bepaalde graaf ook tekenen, de graaf zal altijd hetzelfde aantal toppen hebben. Hieronder in de figuur zie je twee visuele voorstellingen van een complete graaf met vier toppen. Je merkt inderdaad dat in beide voorstellingen het aantal toppen gelijk is aan vier. Merk op dat in de linkse figuur twee bogen (diagonalen van het vierkant) elkaar snijden, maar dat het snijpunt GEEN top van de graaf is!

Opdracht 1. Open Grinvin en zoek uit hoe de volgende invarianten gedefinieerd zijn: • Gemiddelde graad

7

• Dichtheid

• Acyclisch

Hint: klik eens met je rechtermuisknop op de invarianten uit de opgave. Opdracht 2. Formuleer duidelijk wat het verschil is tussen een invariant (rood hekje) en een invariantfabriek (paars hekje), bijvoorbeeld tussen de invariant Aantal toppen met een oneven graad en de invariantfabriek Aantal toppen van een gegeven graad.

Opdracht 3. Klik in de werkbalk bovenaan op Instrumenten, en dan op Grafeneditor. Teken in dit venster een graaf met dichtheid 1 en gemiddelde graad 2 die niet acyclisch is. Teken die graaf ook hieronder op papier.

8

Je kan als volgt controleren of jouw graaf de vereiste eigenschappen heeft. • Ga naar het hoofdvenster van Grinvin, en klik op Werkblad - Nieuw. Er verschijnt een venster met twee delen, bovenaan een ’roze’ gedeelte voor invarianten, onderaan een groen gedeelte voor grafen. • Sleep de drie invarianten Gemiddelde graad, Dichtheid, en Acyclisch in het bovenste gedeelte. • Ga nu terug naar de Grafeneditor, waar de graaf staat waarvan je de eigenschappen wil controleren. • Klik daar op het uiterst rechtse icoontje, dat eruitziet als een fototoestel. Er verschijnt in de rechterkolom een verkleinde versie van jouw graaf. • Sleep deze graaf nu in het werkblad bij het groene gedeelte. Meteen daarna verschijnen de waarden van de drie invarianten voor deze graaf. • Nu kan je controleren of deze waarden overeenstemmen met de opgave van Opdracht 3. Opdracht 4. Je zag al eerder in het eerste voorbeeld dat eenzelfde graaf meerdere visuele voorstellingen kan hebben. Ga op zoek in Grinvin naar twee verschillende visuele voorstellingen van de Petersengraaf. Wat is het belangrijkste verschil tussen deze twee voorstellingen?

Opdracht 5. a) Hoeveel toppen en bogen heeft de Hyperkubus met dimensie 5?

b) Teken deze graaf ook in de Grafeneditor. Aan welk lichaamsdeel doet de figuur je denken?

9

Opdracht 6. a) Zoek in Grinvin wat de omschrijving is van de Grötzschgraaf.

b) Geef ook een omschrijving voor het chromatisch getal.

c) Teken de graaf hieronder over en kleur dan de toppen met vier kleuren zodanig dat toppen die met elkaar verbonden zijn, niet dezelfde kleur hebben.

Uitdaging 1. Hoeveel toppen en bogen heeft de veralgemeende Petersengraaf G(n, k) met parameters n = 10 en k = 3?

10

Uitdaging 2. Ook aantal toppen + (gemiddelde excentriciteit · gemiddelde afstand) aantal driehoeken − aantal bruggen is een invariant. Wat is de waarde van deze invariant voor de D¨ urergraaf?

Uitdaging 3. Teken de volgende vier compleet bipartiete grafen één voor één in de Grafeneditor: K2,2 , K2,3 , K3,3 en K4,3 . Ontwerp nu zelf een definitie voor compleet bipartiet graaf van orde n, m.

Uitdaging 4. a) Waarom heet een webgraaf precies een ‘webgraaf’ volgens jou?

b) Teken nu een aantal webgrafen met n = 3 en n = 4 en laat r variëren. Vind je de benaming ‘webgraaf’ nog steeds passend?

Uitdaging 5. Zoek de definitie van een antiprisma-graaf in Grinvin, en teken hieronder een dergelijke graaf met in totaal tien toppen.

11

Les 3 en 4: redeneren met Grinvin - vermoedens en tegenvoorbeelden Uitgewerkt voorbeeld: werken met de vermoedensmotor. Opmerking. Vanaf hier doen we alsof er enkel samenhangende simpele grafen bestaan. We laten dus de onsamenhangende grafen buiten beschouwing. Een simpele graaf is een graaf waarbij er hoogstens één boog kan zijn tussen twee verschillende toppen. Open een nieuw werkblad, en ga bovenaan in de werkbalk naar Beeld. Zet een vinkje bij Vermoedensmotor. Er verschijnt onderaan je werkblad een derde deel, in het grijs. Voeg in het bovenste gedeelte de volgende invarianten toe: Aantal toppen, Aantal bogen, Grootste graad. Sleep een complete graaf met drie toppen naar het groene gedeelte, kies als basisinvariant Aantal bogen en als comparator 6. Klik nu rechtsonderaan het werkblad op

.

Je krijgt nu onderaan ook een Lijst van expressies te zien, waarin momenteel staat: “Aantal bogen 6 Aantal toppen”. Een dergelijke uitdrukking noemen we een vermoeden. Merk op dat het vermoeden waar is voor de graaf die we in het groene gedeelte geplaatst hebben. Dit zal altijd het geval zijn: Grinvin genereert een vermoeden dat waar is voor alle grafen in het groene gedeelte van het werkblad. Dit betekent echter niet dat het vermoeden waar is voor alle grafen! Als we nadenken over alle grafen, dan kan het vermoeden waar of vals zijn. Veronderstel dat het vermoeden vals is. Dan bestaat er een tegenvoorbeeld voor dit vermoeden, dat wil zeggen een graaf waarvoor het vermoeden niet geldt. We gaan nu op zoek naar zo’n tegenvoorbeeld. Opmerking. Het is niet nodig om als tegenvoorbeeld opnieuw een complete graaf te kiezen, ook al zijn we begonnen met een complete graaf. Je kan uit alle samenhangende simpele grafen kiezen als je op zoek bent naar een tegenvoorbeeld. We zoeken een graaf die meer bogen heeft dan toppen. Teken een graaf met tien toppen. Lukt het om in deze graaf meer dan tien bogen te tekenen? Waarom wel/niet?

12

We gaan nu op zoek naar het kleinste tegenvoorbeeld. We zoeken dus een graaf met zo weinig mogelijk toppen en zo weinig mogelijk bogen, zodanig dat het vermoeden vals is. We denken eerst na over heel kleine grafen. Voor de graaf bestaande uit één top en geen bogen, is het vermoeden wél waar. Voor de graaf bestaande uit twee toppen en één boog, is het vermoeden ook waar. Er zijn meerdere grafen met drie toppen, maar we kunnen daarin nooit meer dan drie bogen tekenen. We hebben dus zeker vier toppen nodig. In een cykelgraaf met vier toppen kunnen we nog één of twee bogen toevoegen, en zo vinden we twee grafen met vier toppen waarvoor het vermoeden vals is. Omdat we de kleinste graaf zochten, kiezen we die met het kleinste aantal bogen, dus die met vijf bogen.

Teken dit kleinste tegenvoorbeeld via de Grafeneditor, en voeg deze graaf toe aan de lijst van grafen in het groene gedeelte van het werkblad. 13

Wanneer we nu weer op het vraagteken klikken, gaat Grinvin op zoek naar een nieuw vermoeden over de opgegeven invarianten, dat bovendien waar is voor beide grafen in het groene gedeelte. Het werkblad ziet er nu als volgt uit.

We krijgen dus nu als vermoeden “Aantal bogen 6 Aantal toppen + 1”. We veronderstellen opnieuw dat dit vermoeden vals is, dat het dus niet geldt voor alle grafen, en we zoeken het kleinste tegenvoorbeeld. In de vorige redenering hadden we een graaf gevonden met vier toppen en zes bogen, namelijk de complete graaf met vier toppen, en als je de redenering hierboven nog eens herleest, zal je zien dat er geen kleinere tegenvoorbeelden zijn voor het vermoeden dat we nu bespreken.

Voeg dit kleinste tegenvoorbeeld toe aan de lijst met grafen in het werkblad, en genereer een nieuw vermoeden. We vinden als vermoeden “Aantal bogen 6 2 · Grootste graad”.

Als we nu weer veronderstellen dat het vermoeden fout is, dan moeten we op zoek naar een graaf waarvan het aantal bogen groter is dan twee keer de grootste graad. We kunnen voor een gegeven grootste graad steeds op zoek gaan naar een graaf met zoveel mogelijk bogen. Er is slechts één samenhangende graaf met grootste graad gelijk aan één, namelijk de graaf met twee toppen en één boog. Voor deze graaf is het vermoeden waar. Er zijn oneindig veel grafen met grootste graad gelijk aan twee, alle cykelgrafen (en padgrafen) hebben namelijk grootste graad gelijk aan twee. We kunnen dus een cykelgraaf kiezen met zoveel bogen als we maar willen. Om een tegenvoorbeeld te hebben voor het vermoeden, volstaat een cykelgraaf met vijf toppen (en dus vijf bogen). 14

Nu moeten we ons nog afvragen of er ook tegenvoorbeelden bestaan met minder toppen. Een samenhangende graaf met drie toppen heeft grootste graad twee, en het is onmogelijk om hierin vijf bogen te tekenen. Een samenhangende graaf met vier toppen en grootste graad twee is een cykelgraaf met vier toppen, of een padgraaf met vier toppen. Ook deze twee grafen vormen geen tegenvoorbeeld. De samenhangende grafen met drie of vier toppen en grootste graad drie zijn de twee grafen die al in de lijst staan in het werkblad, en de stergraaf met drie ’spaken’. Ook deze laatste graaf is zeker geen tegenvoorbeeld voor het vermoeden. We besluiten dat de cykelgraaf met vijf toppen het kleinste tegenvoorbeeld is voor dit vermoeden.

Voeg dit kleinste tegenvoorbeeld toe aan de lijst met grafen in het werkblad, en genereer een nieuw vermoeden. Je werkblad ziet er intussen als volgt uit.

15

Nu is het aan jou! Vul de onderstaande tabel aan en vervolledig de oefening. Grafen in de lijst

Vermoedens

V1: aantal bogen 6 aantal toppen.

V2: aantal bogen 6 aantal toppen +1.

V3: aantal bogen 6 2· grootste graad.

V4: aantal bogen 6 aantal toppen +2.

16

Redenering tegenvoorbeeld Als het aantal toppen daalt, dan ook aantal bogen. We voegen dus een top toe, en laten tegelijk het aantal bogen nog meer stijgen. Een graaf met vier toppen en vijf bogen is dus het kleinste tegenvoorbeeld. We kunnen in de vorige graaf nog een boog toevoegen zonder dat we eerst een top moeten toevoegen, dit vormt een tegenvoorbeeld. Grafen met minder toppen of minder bogen zijn geen tegenvoorbeeld. We zoeken een graaf met kleinste grootste graad en veel bogen, voor grootste graad twee hebben we padgrafen en cykelgrafen. Vijf bogen volstaan, bij een cykelgraaf hebben we dan slechts vijf toppen nodig, tegenover zes toppen bij een padgraaf.

Let op! Grinvin kan ook vermoedens genereren die wél waar zijn voor alle grafen! Als je dus echt geen tegenvoorbeeld vindt, dan kan dat erop wijzen dat er geen tegenvoorbeelden bestaan, omdat het vermoeden waar je mee bezig bent, waar is voor alle grafen. Om er zeker van te zijn dat het vermoeden écht waar is voor alle grafen, moet je het natuurlijk wel bewijzen... Om het bewijs te vinden van dit vermoeden, kan je een hint vragen om je op weg te helpen. Bewijs.

Opdracht 1. Open een nieuw werkblad, en kies als invarianten Grootste graad en Aantal toppen. In de lijst met grafen begin je met een padgraaf die vier toppen heeft. Kies als Basisinvariant Grootste graad. Genereer vermoedens en zoek kleinste tegenvoorbeelden. Bewijs het vermoeden dat waar is. Grafen in de lijst Vermoedens Redenering tegenvoorbeeld

Bewijs.

17

Definitie 10. De taille van een graaf G = (V, E) die minstens één cykel bevat, is de lengte van de kleinste cykel van G. Notatie: g(G). Dus g(G) = min{`(C)||C is een cykel in G}. Definitie 11. Een graaf die geen cykels bevat, noemen we een acyclische graaf. Opdracht 2. Open een nieuw werkblad, en kies als invarianten Kleinste graad, Taille, Aantal toppen met een oneven graad en Aantal toppen met een even graad. In de lijst met grafen begin je met een complete graaf met drie toppen. Kies als Basisinvariant Taille. Genereer vermoedens en zoek kleinste tegenvoorbeelden. Voor de tegenvoorbeelden mag je geen acyclische grafen gebruiken, maar je hoeft je uiteraard niet te beperken tot complete grafen of cykelgrafen! Bewijs het vermoeden dat waar is voor alle niet-acyclische grafen. Grafen in de lijst

Redenering tegenvoorbeeld

Vermoedens

Bewijs.

18

Definitie 12. Een graaf G = (V, E) is een boom als en slechts als G samenhangend en acyclisch is. Opdracht 3. Open een nieuw werkblad, en kies als invarianten Grootste graad, Diameter en Aantal toppen van graad 1. In de lijst met grafen begin je met een padgraaf met twee toppen. Kies als Basisinvariant Grootste graad. Genereer vermoedens en zoek kleinste tegenvoorbeelden. Voor de tegenvoorbeelden mag je enkel bomen gebruiken, maar je hoeft je uiteraard niet te beperken tot padgrafen! Bewijs het vermoeden dat waar is voor alle bomen. Grafen in de lijst


Vermoedens

Bewijs.

19

Opdracht 4. Open een nieuw werkblad, en kies als invarianten Aantal bogen, Grootste graad, Kleinste graad, Aantal toppen met grootste graad en Aantal toppen van graad 1. In de lijst met grafen begin je met een graaf met één top. Kies als Basisinvariant Aantal toppen van graad 1. Genereer vermoedens en zoek kleinste tegenvoorbeelden. Bewijs het vermoeden dat waar is. Grafen in de lijst


Vermoedens

Bewijs.

20

Oplossingen van de oefeningen Les 1 Opdracht K¨ onigsberg De graad van elke top in de graaf is oneven. De orde van de graaf is vier, de grootte van de graaf is zeven. Verder hebben we deg(A) = 5, deg(B) = 3, deg(C) = 3 en deg(D) = 3. Oefening 1. Teken hieronder een padgraaf met 5 toppen en een cykelgraaf met 3 toppen.

Oefening 2. Vul de tabel hieronder in met de orde, grootte en valentie van deze complete grafen.

Orde Grootte Valentie

3 3 2

4 6 3

5 10 4

Oefening 3. Vul de tabel hieronder in met de orde, grootte, diameter en de lengte van de langste en kortste cykel in de onderstaande grafen.

Orde Grootte Diameter Lengte langste cykel Lengte kortste cykel

5 8 2 5 3

4 5 2 4 3 21

6 15 1 6 3

Oefening 4. Vul de onderstaande zinnen aan. In een complete graaf met n toppen heeft elke top graad n-1. Dit betekent dat elke complete graaf een (n-1)-reguliere graaf is. In een complete graaf is de afstand van een willekeurige top tot iedere andere top gelijk aan 1. Dit zorgt ervoor dat de diameter van iedere complete graaf gelijk aan 1 is.

Les 2 Opdracht 1. Open Grinvin en zoek uit hoe de volgende invarianten gedefinieerd zijn: • Gemiddelde graad: de gemiddelde graad van een graaf is de som van de graden van de toppen van de graaf gedeeld door het totaal aantal toppen in de graaf. • Dichtheid : de dichtheid van een graaf is het aantal aanwezige bogen gedeeld door het grootst mogelijke aantal bogen voor deze graaf. • Acyclisch: een graaf is acyclisch als hij geen cykels bevat. Opdracht 2. Formuleer duidelijk wat het verschil is tussen een invariant en een invariantfabriek, bijvoorbeeld tussen de invariant Aantal toppen met een oneven graad en de invariantfabriek Aantal toppen van een gegeven graad. Bij een invariantfabriek is er een parameter waarmee je verschillende invarianten kan genereren, bijvoorbeeld aantal toppen van graad 1 of aantal toppen van graad 4, of ... Bij een ’gewone’ invariant is er geen dergelijke parameter en kan je je invariant niet ’personaliseren’. Opdracht 3. Klik in de werkbalk bovenaan op Instrumenten, en dan op Grafeneditor. Teken in dit venster een niet-acyclische graaf met gemiddelde graad 2, dichtheid 1. Teken die graaf ook hieronder op papier. Een graaf met dichtheid 1 is een complete graaf, want dit zijn de enige grafen die het grootst mogelijke aantal bogen bezitten. In een complete graaf met n toppen heeft elke top graad n − 1, dus als de gemiddelde graad 2 moet zijn, moeten we een complete graaf met drie toppen nemen. Dit is inderdaad een niet-acyclische graaf.

22

Opdracht 4. Je zag al eerder in het eerste voorbeeld dat eenzelfde graaf meerdere visuele voorstellingen kan hebben. Ga op zoek in Grinvin naar twee verschillende visuele voorstellingen van de Petersengraaf. Wat is het belangrijkste verschil tussen deze twee voorstellingen? De ene visuele voorstelling is tweedimensionaal, de andere is driedimensionaal.

Opdracht 5. a) Hoeveel toppen en bogen heeft de Hyperkubus met dimensie 5? De hyperkubus met dimensie 5 heeft 32 toppen en 80 bogen. b) Teken deze graaf ook in de Grafeneditor. Aan welk lichaamsdeel doet de figuur je denken? Deze graaf doet me denken aan een oog.

Opdracht 6. a) Zoek in Grinvin wat de specifieke kenmerken zijn van de Grötzschgraaf. De Grötzschgraaf is de kleinste graaf met chromatisch getal vier die geen driehoek bevat. b) Geef ook een omschrijving voor het chromatisch getal. Het chromatisch getal van een graaf is het minimum aantal kleuren dat nodig is om alle toppen van een graaf te kleuren zodanig dat geen twee toppen met dezelfde kleur verbonden zijn. c) Teken de graaf hieronder over en kleur de toppen met vier kleuren.

23

Uitdaging 1. Hoeveel toppen en bogen heeft de veralgemeende Petersengraaf G(n, k) met parameters n = 10 en k = 3? Deze graaf heeft 20 toppen en 30 bogen. Uitdaging 2. Ook aantal toppen + (gemiddelde excentriciteit · gemiddelde afstand) aantal driehoeken − aantal bruggen is een invariant. Wat is de waarde van deze invariant voor de D¨ urergraaf? De waarde van deze invariant bedraagt 9, 5 voor de D¨ urergraaf. Uitdaging 3. Teken de volgende vier compleet bipartiete grafen één voor één in de Grafeneditor: K2,2 , K2,3 , K3,3 en K4,3 . Ontwerp nu zelf een definitie voor compleet bipartiet graaf van orde n, m. Een compleet bipartiete graaf van de orde n, m is een graaf met een toppenverzameling die bestaat uit twee deelverzamelingen, één van de orde n en één van de orde m, zodanig dat iedere top uit de ene verzameling verbonden is met iedere top uit de andere verzameling, en twee toppen uit dezelfde deelverzameling zijn nooit verbonden. Uitdaging 4. a) Waarom heet een webgraaf precies een ’webgraaf’ volgens jou? Omdat webgrafen op spinnenwebben lijken. b) Teken nu een aantal webgrafen met n = 3 en n = 4 en laat r variëren. Vind je de benaming webgraaf nog steeds passend? De benaming is minder goed passend voor n = 3 en n = 4. Uitdaging 5. Zoek de definitie van een antiprisma-graaf in Grinvin, en teken hieronder een dergelijke graaf met in totaal tien toppen. Een antiprisma is een lichaam dat bestaat uit twee n-hoeken als grond- en bovenvlak en 2n driehoeken als zijvlakken. Een antiprisma-graaf is een ‘skelet’van een dergelijk lichaam. Een dergelijke graaf met in totaal tien toppen, heeft een vijfhoek als grond en bovenvlak, en tien driehoeken als zijvlakken.

24

Les 3 en 4 Grafen in de lijst

Vermoedens

V1: # bogen 6 aantal toppen.

V2: # bogen 6 aantal toppen +1.

V3: # bogen 6 2· grootste graad.

Redenering tegenvoorbeeld Als het aantal toppen daalt, dan ook aantal bogen. We voegen dus een top toe, en laten tegelijk het aantal bogen nog meer stijgen. Een graaf met 4 toppen en 5 bogen is dus het kleinste tegenvoorbeeld. We kunnen in de vorige graaf nog een boog toevoegen zonder dat we een top hoeven toe te voegen, dit vormt een tegenvoorbeeld. Grafen met minder toppen of minder bogen zijn geen tegenvoorbeeld. Zoek een graaf met kleinste grootste graad en veel bogen, voor grootste graad 2 hebben we padgrafen en cykelgrafen. 5 bogen volstaan, bij een cykelgraaf hebben we dan slechts 5 toppen nodig, bij een padgraaf 6.

V4: # bogen 6 aantal toppen +2.

Zonder toppen toe te voegen, kunnen we het linkerlid vergroten door drie bogen toe te voegen

V5: # bogen 6 2· grootste graad + 1.

Een cykelgraaf met 6 toppen zou een tegenvoorbeeld zijn. Houden we het bij 5 toppen, dan wordt de grootste graad 4 en moeten we minstens 10 bogen hebben in de graaf.

V6: # bogen 6 2· (grootste graad +1).

Wanneer we grootste graad 3 nemen, kunnen we met 6 toppen en 9 bogen een tegenvoorbeeld vormen. Wanneer we grootste graad 2 nemen, hebben we een cykelgraaf met 7 toppen als tegenvoorbeeld.

V7: # b. 6 12 (grootste gr.)(# toppen).

25

Bewijs. Noem n het aantal toppen en M de grootste graad. Dan wordt het totaal aantal bogen als volgt berekend: n

1 1X deg(vi ) = (deg(v1 ) + deg(v2 ) + . . . + deg(vn )) 2 i=1 2 1 6 (M + M + . . . M ) 2 n·M = 2

Opdracht 1. Open een nieuw werkblad, en kies als invarianten Grootste graad en Aantal toppen. In de lijst met grafen begin je met een padgraaf die vier toppen heeft. Kies als Basisinvariant Grootste graad. Genereer vermoedens en zoek kleinste tegenvoorbeelden. Bewijs het vermoeden dat waar is. Grafen in de lijst

Vermoedens

V1: grootste graad 6

1 2

aantal toppen.

Redenering tegenvoorbeeld Voor de padgraaf met één top en die met twee toppen geldt het vermoeden wel. Voor grafen met drie toppen is zowel de padgraaf als de cykelgraaf een tegenvoorbeeld. We kiezen de padgraaf (heeft minder bogen).

V2: grootste graad 6 aantal toppen - 1. Bewijs. Uiteraard kan de grootste graad niet groter zijn dan het totaal aantal toppen verminderd met één. Je kan een top immers niet met nog méér andere toppen verbinden.

26

Opdracht 2. Open een nieuw werkblad, en kies als invarianten Kleinste graad, Taille, Aantal toppen met een oneven graad en Aantal toppen met een even graad. In de lijst met grafen begin je met een complete graaf met drie toppen. Kies als Basisinvariant Taille. Genereer vermoedens en zoek kleinste tegenvoorbeelden. Voor de tegenvoorbeelden mag je geen acyclische grafen gebruiken, maar je hoeft je uiteraard niet te beperken tot complete grafen en cykelgrafen! Bewijs het vermoeden dat waar is voor alle niet-acyclische grafen. Grafen in de lijst

Vermoedens


V1: taille 6 # toppen met even graad.

De taille moet vergroten, dus voegen we een top toe. De cykelgraaf met 4 toppen is geen tegenvoorbeeld, dus voegen we een boog toe. Dit levert wel een tegenvoorbeeld op.

V2: taille 6 kleinste graad +1.

De taille vergroten en de kleinste graad behouden, kunnen we doen met de cykelgraaf met 4 toppen.

V3: taille 6 # toppen met even graad +1.

Zo weinig mogelijk toppen met even graad lukt niet met drie toppen, maar wel met vier toppen, als we de complete graaf nemen, die taille drie heeft en geen enkele top met even graad.

V4: taille 6 # toppen met even graad + # toppen met oneven graad. Bewijs. Iedere top heeft ofwel een even graad, ofwel een oneven graad. De taille is uiteraard kleiner dan het totaal aantal toppen, vermits in een cykel elke top slechts één keer mag voorkomen.

27

Opdracht 3. Open een nieuw werkblad, en kies als invarianten Grootste graad, Diameter en Aantal toppen van graad 1. In de lijst met grafen begin je met een padgraaf met twee toppen. Kies als Basisinvariant Grootste graad. Genereer vermoedens en zoek kleinste tegenvoorbeelden. Voor de tegenvoorbeelden mag je enkel bomen gebruiken, maar je hoeft je uiteraard niet te beperken tot padgrafen! Bewijs het vermoeden dat waar is voor alle bomen. Grafen in de lijst

Vermoedens


V1: grootste graad 6 diameter.

Toppen toevoegen zonder een cykel te maken, maakt de diameter groter dan of gelijk aan 2, zodat de grootste graad minstens 3 moet zijn. De stergraaf met 3 spaken is dus het kleinste tegenvoorbeeld.

V2: grootste graad 6 # toppen van graad 1. Bewijs. Neem een top v waarvan de graad gelijk is aan de grootste graad, die we M noemen. Beschouw de M bogen die v met elk van zijn bogen verbinden, en maak ze startbogen van paden die je zo ver mogelijk verlengt. De eindtop van zo’n pad moet dan graad 1 hebben, (anders kon je het pad nog langer maken), en de eindtoppen van verschillende paden moeten verschillend zijn (anders ontstaan er cykels en bovendien zou de graad dan niet 1 zijn). Er zijn bijgevolg minstens zoveel toppen van graad 1 als de waarde van de grootste graad.

28

Opdracht 4. Open een nieuw werkblad, en kies als invarianten Aantal bogen, Grootste graad, Kleinste graad, Aantal toppen met grootste graad en Aantal toppen van graad 1. In de lijst met grafen begin je met een graaf met één top. Kies als Basisinvariant Aantal toppen van graad 1. Genereer vermoedens en zoek kleinste tegenvoorbeelden. Bewijs het vermoeden dat waar is voor alle grafen. Grafen in de lijst


Vermoedens

V1: # toppen van graad 1 6 grootste graad. V2: # toppen van graad 1 6 # toppen met grootste graad.

V3: # toppen van graad 1 6 2· kleinste graad.

Door de graaf minimaal uit te breiden, krijgen we de padgraaf met 2 toppen. Dit is meteen een tegenvoorbeeld. We kunnen het rechterlid kleiner maken door één top toe te voegen met graad 2. Zonder toppen toe te voegen, vinden we enkel de cykelgraaf met 3 toppen, en die is geen tegenvoorbeeld. We voegen dus een top toe zodanig dat het linkerlid minstens 3 wordt, en de kleinste graad nog steeds 1 is.

V4: # toppen van graad 1 6 # bogen +1.

Bewijs. Als de graaf slechts 2 toppen telt, dan geldt het vermoeden uiteraard. Veronderstel nu dat de graaf meer dan twee toppen heeft. Met elke top van graad 1 correspondeert één boog, (namelijk die waarvan die top het eindpunt is). Al die bogen kunnen we verschillend kiezen (als toppen v1 en v2 van graad 1 uitsluitend via boog v1 v2 verbonden zijn, is de graaf niet samenhangend). Bijgevolg zijn er minstens zoveel bogen als toppen van graad 1, dus is het aantal toppen van graad 1 zeker kleiner dan het aantal bogen vermeerderd met één.

29

Slides bij les 1

De stad Königsberg in 1652

De bruggen van Königsberg Onderzoekend leren met grafen in het secundair onderwijs Linda Van Puyvelde

29 april 2014


Abstractie

Zoek een manier om door de stad te wandelen zodat je iedere brug juist één keer volledig oversteekt. Een brug half oversteken en terugkeren is verboden. Je hoeft niet te eindigen in het stadsdeel waar je vertrokken bent.

Terminologie

Weglaten wat onbelangrijk is, schematiseren wat wel belangrijk is.

Terminologie We zeggen dat A en D buren zijn. Dat betekent dat top A verbonden is met top D, we noemen deze toppen ook wel adjacente toppen. Top C is geen buur van top B.

A, B, C en D noemen we toppen. a, b, c, d, e, f , g noemen we bogen. Het geheel noemen we een graaf.

Definitie Een eindige graaf G is een koppel G = (V , E ) met V een eindige verzameling van toppen, en E een eindige verzameling van bogen, waarbij we geen bogen toelaten die een top met zichzelf verbinden.

De graad van een top is het aantal bogen dat vertrekt vanuit die top. De orde van een graaf is het aantal toppen in die graaf. De grootte van een graaf is het aantal bogen in die graaf.

De bovenstaande graaf kunnen we dus als volgt beschrijven: G = (V , E ) met V = {A, B, C , D} en E = {a, b, c, d, e, f , g }.

Schrijf bij elke top de graad van die top; notatie: deg(A) =...

30

Oplossing van het probleem

Observaties en vertaling naar wiskundige taal Toekomen in stadsdeel via brug ⇒ stadsdeel ook weer verlaten via brug. Telkens we een top passeren in de wandeling: +2 voor de graad van die top. Stadsdeel van waaruit we vertrekken: +1 brug; stadsdeel waar we eindigen: +1 brug. De begin- en eindtop van de wandeling hebben oneven graad. Als er zo’n wandeling is die juist één keer over elke brug gaat: alle toppen even graad, behalve 2 toppen: begin- en eindtop. ⇒ Er bestaat zo geen wandeling in Königsberg, want de 4 toppen in de corresponderende graaf hebben allemaal oneven graad.

Euleriaanse circuits

Hamiltoniaanse paden Wat een Euleriaans circuit is ten opzichte van de bogen, is een Hamiltoniaans pad ten opzichte van de toppen van een graaf.

Definitie Een wandeling W van lengte ` in een graaf is een opeenvolging van toppen en bogen W = (v0 , b0 , v1 , b1 , . . . , v`−1 , b`−1 , v` ) zodanig dat de eindpunten van elke boog bi de toppen vi en vi+1 zijn, voor i = 0, 1, . . . , ` − 1.

Definities Een pad in een graaf is een wandeling waarbij elke top u ∈ V hoogstens éénmaal voorkomt. Een Hamiltoniaans pad is een pad waarin elke top juist éénmaal voorkomt. Een cykel is een pad waarvan de begin- en eindtop samenvallen.

Definitie

Een spoor in een graaf is een wandeling waarbij elke boog hoogstens éénmaal voorkomt. Een Euleriaans spoor is een wandeling waarbij elke boog juist één keer voorkomt. Een Euleriaans spoor dat begint en eindigt in dezelfde top, noemen we een Euleriaans circuit.

Figuur : Een padgraaf met 3 toppen en een cykelgraaf met 5 toppen.

Het zoeken naar Hamiltoniaanse paden is over het algemeen veel ingewikkelder dan het zoeken naar Euleriaanse circuits.

Figuur : Een spoor (blauw) en een Euleriaans circuit (genummerd).

Veelgebruikte begrippen in de grafentheorie

Veelgebruikte begrippen in de grafentheorie

Definitie

Definities

Als alle toppen van een graaf dezelfde graad k hebben, dan noemen we de graaf (k-)regulier. Het getal k noemen we dan ook wel de valentie van de reguliere graaf. Welke van onderstaande grafen is regulier? Wat is de valentie?

De lengte van een wandeling of een pad is het aantal bogen in deze wandeling of dit pad. De afstand tussen twee toppen A en B is de lengte van het kortste pad tussen A en B en noteren we als d(A, B). De diameter van een graaf is de grootste afstand tussen twee toppen van die graaf.

Definitie We noemen een graaf compleet als elke top verbonden is met elke andere top. Figuur : Wat is de diameter van bovenstaande grafen?

31


Deze Deze Deze Deze


is is is is

QUIZ! - Oplossing vraag 1.

regulier met valentie 2 regulier met valentie 18 niet-regulier regulier met orde 12


a. b. c. d.

a. b. c. d.

Deze Deze Deze Deze


is is is is

a. b. c. d.

Deze Deze Deze Deze


is is is is

regulier met valentie 2 regulier met valentie 18 niet-regulier regulier met orde 12

Een complete graaf ... a. is altijd regulier en heeft diameter 1 b. is altijd regulier en heeft diameter 2 c. is nooit regulier en heeft diameter 1 d. is soms regulier en heeft diameter 2


regulier met valentie 4 regulier met orde 7 niet-regulier met grootte 12 niet-regulier met orde 12




Een complete graaf ... a. is altijd regulier en heeft diameter 1 b. is altijd regulier en heeft diameter 2 c. is nooit regulier en heeft diameter 1 d. is soms regulier en heeft diameter 2


Deze Deze Deze Deze

a. b. c. d.

Deze Deze Deze Deze


is is is is

regulier met valentie 4 regulier met orde 7 niet-regulier met grootte 12 niet-regulier met orde 12

QUIZ! - Oplossing vraag 4. a. b. c. d.

bevat een cykel van lengte 6 heeft diameter 1 en grootte 13 heeft diameter 3 en orde 6 is niet-regulier en heeft grootte 6

32

Deze Deze Deze Deze


bevat een cykel van lengte 6 heeft diameter 1 en grootte 13 heeft diameter 3 en orde 6 is niet-regulier en heeft grootte 6

Hints bij les 2 Hint bij Opdracht 2. Het woord parameter is hier van belang. Hint bij Opdracht 3. Denk na over wat het betekent voor grafen om dichtheid 1 te hebben. Welke ‘soort’ grafen zijn dat? Kies daarna uit deze verzameling van grafen een graaf met gemiddelde graad 2. Merk op dat deze graaf inderdaad niet-acyclisch is. Hint bij Opdracht 4. Ga naar Grafenbibliotheek, dubbelklik op Standaardgrafen, dubbelklik op Petersengraaf. Je krijgt een nieuw scherm, links zie je inbedding 1 en inbedding 2. Klik bij inbedding 2 op de figuur en sleep met je muis. Hint bij Opdracht 5a. Ga naar Fabrieken, sleep de Hyperkubus naar het groene gedeelte van je werkblad, kies dimensie 5 en neem als invarianten Aantal toppen en Aantal bogen. Hint bij Opdracht 5b. Ga naar Fabrieken, sleep de Hyperkubus naar de Grafeneditor en kies als dimensie 5. Hint bij Opdracht 6 a). Ga naar de Grafenbibliotheek, zoek de Grötzschgraaf en hou je cursor boven de naam van deze graaf. Er verschijnt een kadertje met de specifieke kenmerken. Hint bij Opdracht 6 b). Het chromatisch getal van een graaf is een invariant van een graaf. Hint bij Opdracht 6 c). Ga naar de Grafenbibliotheek, zoek de Grötzschgraaf en dubbelklik erop. Je krijgt een nieuw venster met een afbeelding van de graaf, die je kan overtekenen en inkleuren volgens de opgave. Hint bij Uitdaging 1. Een veralgemeende Petersengraaf kan je genereren via Fabrieken; sleep hem naar het werkblad om de gevraagde waarden af te lezen. Hint bij Uitdaging 2. De D¨ urergraaf vind je in de Grafenbibliotheek. Via het hoofdvenster - Instrumenten - Expressie-editor kan je uit bestaande invarianten nieuwe invarianten opbouwen. Let op, plaats voldoende haakjes, zoals bij een GRM! Gebruik dan het werkblad om de gevraagde invariant te laten berekenen door Grinvin. Hint bij Uitdaging 3. Probeer te ontdekken wat de getallen 2, 3, 4 in de namen voorstellen. Bekijk goed de adjacentierelaties. Als het echt niet lukt kan je eens met de rechtermuisknop klikken op de Fabriek van compleet bipartiete grafen Bipar(*) en zo op zoek gaan naar een bestaande definitie, die je dan in je eigen woorden probeert te formuleren. 33

Hint bij Uitdaging 4a. Denk aan een fenomeen in de natuur. Teken webgrafen met n = 5, n = 6, en laat r variëren tussen 3 en 8. Hint bij Uitdaging 5. Je kan dit controleren door zo’n graaf uit de Fabrieken naar de Grafeneditor te slepen.

Hints bij les 3 en 4 Hints bij het inleidend voorbeeld. • Bij tegenvoorbeeld 4: probeer het linkerlid te vergroten

• Bij tegenvoorbeeld 5: probeer het linkerlid te vergroten.

• Bij tegenvoorbeeld 6: probeer het linkerlid te vergroten. Lukt dit zonder een top toe te voegen? • Bij het bewijs: tel het totaal aantal bogen, maak hierbij gebruik van de graad van elke top; deze waarde kan je vergroten door naar de grootste graad te verwijzen... Hints bij Opdracht 1. • Bij tegenvoorbeeld 1: denk na over de allerkleinste grafen en voeg toppen en bogen toe tot je een tegenvoorbeeld vindt. • Bij het bewijs: hoe groot kan de graad van een top maximaal zijn? Hints bij Opdracht 2. • Bij tegenvoorbeeld 1: probeer het rechterlid te verkleinen, door een top en een aantal bogen toe te voegen. • Bij tegenvoorbeeld 2: probeer het linkerlid te vergroten, maar zoek daarbij een graaf met zo weinig mogelijk toppen. • Bij tegenvoorbeeld 3: zoek een niet-acyclische graaf die geen enkele top van even graad heeft. • Bij het bewijs: waaraan is het rechterlid van het vermoeden eigenlijk gelijk? Hints bij Opdracht 3. • Bij tegenvoorbeeld 1: wat gebeurt er met het rechterlid als je toppen toevoegt? Voeg dan toppen toe zodanig dat het linkerlid toch groter wordt dan het rechterlid. 34

• Bij het bewijs: neem een top waarvan de graad gelijk is aan de grootste graad (= M ), en bekijk de M bogen die uit deze top ’vertrekken’. Maak nu zo lang mogelijke paden, en argumenteer waarom deze paden eindigen in verschillende bogen van graad 1. Werk dan het bewijs af. Hints bij Opdracht 4. • Bij tegenvoorbeeld 1: probeer de graaf minimaal uit te breiden en kijk of het vermoeden nog steeds klopt. • Bij tegenvoorbeeld 2: probeer het rechterlid te verkleinen.

• Bij tegenvoorbeeld 3: probeer het linkerlid te vergroten met behoud van het rechterlid. • Bij het bewijs: beschouw eerst het geval waarin de graaf slechts twee toppen heeft. Veronderstel daarna dat de graaf meer dan twee toppen heeft. Probeer met elke top van graad 1 een boog te associëren, en verklaar waarom al deze bogen verschillend zijn. Argumenteer dan waarom het vermoeden zeker waar is.

35

Naam: Datum: Klas: Klasnr.: Vak: Wiskunde Schooljaar: 2013-2014 Leerkracht: L. Van Puyvelde

Opdracht onderzoekscompetenties:

Grafen in Grinvin

Open een nieuw werkblad in het programma Grinvin, en kies als invarianten Aantal bogen en Aantal toppen. Ga via het hoofdvenster - Instrumenten naar Expressie-editor. Sleep Aantal toppen in het blauwe gedeelte, typ daarna ‘-1’ en neem een fotootje. In het gele venster Expressies verschijnt nu Aantal toppen - 1.

Deze invariant sleep je nu bij de andere invarianten in het werkblad. Kies als Basisinvariant Aantal bogen en begin met een padgraaf met twee toppen. Genereer vermoedens met Grinvin en zoek telkens het kleinste tegenvoorbeeld voor het vermoeden. Als je geen tegenvoorbeelden meer kan vinden, probeer dan het vermoeden te bewijzen. Schrijf je redenering goed en duidelijk op: beargumenteer hoe je je tegenvoorbeeld hebt gevonden en waarom dit het kleinste tegenvoorbeeld is dat je kan vinden. Eerste vermoeden: ................................................................................. Tekening tegenvoorbeeld + redenering om tot het 1e tegenvoorbeeld te komen:

Tweede vermoeden: ................................................................................. Tekening tegenvoorbeeld + redenering om tot het 2e tegenvoorbeeld te komen:

36

Naam: Derde vermoeden: ................................................................................. Tekening tegenvoorbeeld + redenering om tot het 3e tegenvoorbeeld te komen:

Vierde vermoeden: ................................................................................. Tekening tegenvoorbeeld + redenering om tot het 4e tegenvoorbeeld te komen:

Vijfde vermoeden: ................................................................................. Tekening tegenvoorbeeld + redenering om tot het 5e tegenvoorbeeld te komen:

Zesde vermoeden: ................................................................................. Bewijs.

37

Naam: Datum: Klas: Klasnr.: Vak: Wiskunde Schooljaar: 2013-2014 Leerkracht: L. Van Puyvelde

Opdracht onderzoekscompetenties: Grafen in Grinvin Open een nieuw werkblad in het programma Grinvin, en kies als invarianten Aantal bogen en Aantal toppen. Ga via het hoofdvenster - Instrumenten naar Expressie-editor. Sleep Aantal toppen in het blauwe gedeelte, typ daarna ‘-1’ en neem een fotootje. In het gele venster Expressies verschijnt nu Aantal toppen - 1.

Deze invariant sleep je nu bij de andere invarianten in het werkblad. Kies als Basisinvariant Aantal bogen en begin met een padgraaf met twee toppen. Genereer vermoedens met Grinvin en zoek telkens het kleinste tegenvoorbeeld voor het vermoeden. Als je geen tegenvoorbeelden meer kan vinden, probeer dan het vermoeden te bewijzen. Schrijf je redenering goed en duidelijk op: beargumenteer hoe je je tegenvoorbeeld hebt gevonden en waarom dit het kleinste tegenvoorbeeld is dat je kan vinden. Eerste vermoeden: aantal bogen 6 aantal toppen −1.

Tekening tegenvoorbeeld + redenering om tot het 1e tegenvoorbeeld te komen: De graaf met één top is geen tegenvoorbeeld, de padgraaf met drie toppen ook niet. De complete graaf met drie toppen is het kleinste tegenvoorbeeld. Tweede vermoeden: aantal bogen 6 aantal toppen. Tekening tegenvoorbeeld + redenering om tot het 2e tegenvoorbeeld te komen:

We zoeken een graaf met meer bogen dan toppen. Dit lukt niet met drie toppen. Vanaf vier toppen kunnen we vijf bogen tekenen.

38

Naam: Derde vermoeden: aantal bogen 6 2· (aantal toppen −1). Tekening tegenvoorbeeld + redenering om tot het 3e tegenvoorbeeld te komen:

De complete graaf met vier toppen is geen tegenvoorbeeld. Nemen we een graaf met vijf toppen, dan moeten we negen bogen tekenen.

Vierde vermoeden: aantal bogen 6 aantal toppen + aantal toppen −1. Tekening tegenvoorbeeld + redenering om tot het 4e tegenvoorbeeld te komen:

De complete graaf met vijf toppen is het kleinst mogelijke tegenvoorbeeld.

Vijfde vermoeden: aantal bogen 6 2· aantal toppen. Tekening tegenvoorbeeld + redenering om tot het 5e tegenvoorbeeld te komen:

Om een tegenvoorbeeld te vinden moeten we een graaf hebben met minstens zes toppen, en daarin dan minstens dertien bogen.

Zesde vermoeden: aantal bogen 6

aantal toppen (aantal toppen −1) . 2

Bewijs. Het maximale aantal bogen in een graaf is het aantal mogelijkheden om twee verschillende toppen te kiezen uit het totaal aantal toppen. We noteren het totaal aantal toppen met n. De eerste top kunnen we op n mogelijke manieren kiezen. De tweede top kunnen we nu nog op n − 1 manieren kiezen, omdat die verschillend moet zijn van de eerste top. We hebben nu echter alle bogen twee keer geteld, want een boog tussen top a en top b is dezelfde boog als die tussen top b en top a. Het maximale aantal bogen dat we dus kunnen vinden is aantal toppen (aantal toppen − 1) n(n − 1) = . 2 2

39

Evaluatie Lessenreeks Onderzoekend Leren met Grinvin Hieronder vind je een aantal vragen waarmee ik wil peilen naar jullie mening omtrent de drie lessen die jullie van mij tot nu toe gekregen hebben. Je mag dit anoniem invullen, je mag er bovenaan ook je naam op zetten als je dat wil. 1. Welk deel van de lessenreeks uit les 1 t.e.m. 3 vond je • het leukst/meest interessant? Probeer ook uit te leggen waarom.

• het moeilijkst? Probeer ook uit te leggen waarom.

• het makkelijkst? Probeer ook uit te leggen waarom.

2. Over welk deel van de lessenreeks had je graag nog meer bijgeleerd?

40

3. Ik vond het niveau van de lessenreeks tot nu toe: (omcirkel wat van toepassing is) veel te laag / iets te laag / goed / iets te hoog / veel te hoog. Eventuele verduidelijking hierbij:

4. Wat vond je van de lessen in de computerklas? Vond je Grinvin een aangenaam programma om mee te werken?

5. Wat zou er beter kunnen aan het programma Grinvin? Waren er problemen of moeilijkheden met het programma?

6. Wat vond je van het systeem van de hints? Vond je het lastig om zelf te moeten uitzoeken hoe je allerlei zaken kunt doen?

7. Andere opmerkingen, suggesties... (Wat zou je liever anders gezien hebben? Wat vond je van de lessenreeks als geheel? ...)

41

Bibliografie [1] J. Bamberg, A. Devillers, en J. Schillewaert. Weighted intriguing sets of finite generalised quadrangles. J. Algebraic Combin., 36(1):149–173, 2012. [2] J. Bamberg, M. Law, en T. Penttila. Tight sets and m-ovoids of generalised quadrangles. Combinatorica, 29(1):1–17, 2009. [3] A. Blokhuis en G. E. Moorhouse. Some p-ranks related to orthogonal spaces. J. Algebraic Combin., 4(4):295–316, 1995. [4] R. C. Bose en W. S. Connor. Combinatorial properties of group divisible incomplete block designs. Ann. Math. Statistics, 23:367–383, 1952. [5] R. C. Bose en T. Shimamoto. Classification and analysis of partially balanced incomplete block designs with two associate classes. J. Amer. Statist. Assoc., 47:151–184, 1952. [6] R. C. Bose en S. S. Shrikhande. Geometric and pseudo-geometric graphs ((q 2 + 1, q + 1, 1)). J. Geometry, 2:75–94, 1972. [7] G. Brinkmann en L. Coppens. Redeneren in GrInvIn. [8] A. E. Brouwer, A. M. Cohen, en A. Neumaier. Distance-regular graphs, volume 18 of Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results in Mathematics and Related Areas (3)]. Springer-Verlag, Berlin, 1989. [9] R. H. Bruck en R. C. Bose. The construction of translation planes from projective spaces. J. Algebra, 1:85–102, 1964. [10] J. De Beule, A. Klein, en K. Metsch. Substructures of finite classical polar spaces. Current Research Topics in Galois Geometry, pages 33–59, 2012. [11] J. De Beule en K. Metsch. The Hermitian variety H(5, 4) has no ovoid. Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin, 12(5):727–733, 2005. [12] F. De Clerck en N. Durante. Constructions and characterizations of classical sets in PG(n,q), pages 1–32. Current research topics in Galois geometry. Nova Science, 2012. [13] P. Delsarte. An algebraic approach to the association schemes of coding theory. Philips Res. Rep. Suppl., (10):vi+97, 1973. [14] R. H. Dye. Maximal sets of nonpolar points of quadrics and symplectic polarities over GF(2). Geom. Dedicata, 44(3):281–293, 1992. [15] A. Gunawardena en G. E. Moorhouse. The non-existence of ovoids in O9 (q). European J. Combin., 18(2):171–173, 1997. [16] M. E. Larsen. Summa summarum. CMS Treatises in Mathematics. Canadian Mathematical Society, Ottawa, ON, 2007. 165

166

BIBLIOGRAFIE

[17] D. Luyckx. On maximal partial spreads of H(2n + 1, q 2 ). Discrete Math., 308(2-3):375–379, 2008. [18] D. M. Mesner. Sets of disjoint lines in PG(3, q). Canad. J. Math., 19:273–280, 1967. [19] S. E. Payne. Tight pointsets in finite generalized quadrangles. Congr. Numer., 60:243–260, 1987. Eighteenth Southeastern International Conference on Combinatorics, Graph Theory, and Computing (Boca Raton, Fla., 1987). [20] S. E. Payne en J. A. Thas. Finite generalized quadrangles. EMS Series of Lectures in Mathematics. European Mathematical Society (EMS), Z¨ urich, second edition, 2009. [21] B. Segre. Forme e geometrie hermitiane, con particolare riguardo al caso finito. Ann. Mat. Pura Appl. (4), 70:1–201, 1965. [22] L. Storme. Cursus Galoismeetkunde. 2012. [23] L. Storme en F. Vanhove. Cursus Capita Selecta in de Meetkunde. 2013. [24] J. A. Thas. Ovoidal translation planes. Arch. Math. (Basel), 23:110–112, 1972. [25] J. A. Thas. Interesting pointsets in generalized quadrangles and partial geometries. Linear Algebra Appl., 114/115:103–131, 1989. [26] J. A. Thas. Old and new results on spreads and ovoids of finite classical polar spaces. In Combinatorics ’90 (Gaeta, 1990), volume 52 of Ann. Discrete Math., pages 529–544. North-Holland, Amsterdam, 1992. [27] F. Vanhove. The maximum size of a partial spread in H(4n + 1, q 2 ) is q 2n+1 + 1. Electron. J. Combin., 16(1):Note 13, 6, 2009. [28] F. Vanhove. A geometric proof of the upper bound on the size of partial spreads in H(4n + 1, q 2 ). Adv. Math. Commun., 5(2):157–160, 2011. [29] F. Vanhove. Incidence geometry from an algebraic graph theory point of view. PhD thesis, Ghent University, 2011.

Algebraïsche grafentheorie: van polaire ruimten tot onderzoekend leren

Recommend Documents