ALGEBRA – LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC
Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
Prostějov 2009
2
Lineární rovnice a nerovnice
Úvod Vytvořený výukový materiál pokrývá předmět matematika, která je vyučována v osnovách a tematických plánech na gymnáziích nižšího a vyššího stupně. Mohou ho však využít všechny střední a základní školy, kde je vyučován předmět matematika, a které mají dostatečné technické vybavení a zázemí.
Cílová skupina: Podle chápání a schopností studentů je stanovena úroveň náročnosti vzdělávacího plánu a výukových materiálů. Zvláště výhodné jsou tyto materiály pro studenty s individuálním studijním plánem, kteří se nemohou pravidelně zúčastňovat výuky. Tito studenti mohou s pomocí našich výukových materiálů částečně kompenzovat svou neúčast ve vyučovaném předmětu matematika, formou e-learningového studia.
Lineární rovnice a nerovnice
3
Obsah Lineární rovnice a nerovnice ...................................................................................................... 8 Lineární rovnice ..................................................................................................................... 8 Lineární rovnice ............................................................................................................... 10 Varianta A ........................................................................................................................ 10 Lineární rovnice ............................................................................................................... 11 Varianta B ........................................................................................................................ 11 Lineární rovnice ............................................................................................................... 12 Varianta C ........................................................................................................................ 12 Řešení rovnice v daném oboru, zkouška při řešení rovnice ................................................. 13 Řešení rovnice v daném oboru, zkouška při řešení rovnice ............................................. 14 Varianta A ........................................................................................................................ 14 Řešení rovnice v daném oboru, zkouška při řešení rovnice ............................................. 15 Varianta B ........................................................................................................................ 15 Řešení rovnice v daném oboru, zkouška při řešení rovnice ............................................. 16 Varianta C ........................................................................................................................ 16 Rovnice s neznámou ve jmenovateli a grafické řešení lineární rovnice .............................. 17 Rovnice s neznámou ve jmenovateli a grafické řešení lineární rovnice .......................... 18 Varianta A ........................................................................................................................ 18 Rovnice s neznámou ve jmenovateli a grafické řešení lineární rovnice .......................... 19 Varianta B ........................................................................................................................ 19 Rovnice s neznámou ve jmenovateli a grafické řešení lineární rovnice .......................... 20 Varianta C ........................................................................................................................ 20 Lineární rovnice s absolutní hodnotou ................................................................................. 25 Lineární rovnice s absolutní hodnotou ............................................................................. 26 Varianta A ........................................................................................................................ 26 Lineární rovnice s absolutní hodnotou ............................................................................. 27
4
Lineární rovnice a nerovnice
Varianta B ........................................................................................................................ 27 Lineární rovnice s absolutní hodnotou ............................................................................. 28 Varianta C ........................................................................................................................ 28 Lineární nerovnice................................................................................................................ 30 Lineární nerovnice............................................................................................................ 31 Varianta A ........................................................................................................................ 31 Lineární nerovnice............................................................................................................ 32 Varianta B ........................................................................................................................ 32 Lineární nerovnice............................................................................................................ 33 Varianta C ........................................................................................................................ 33 Lineární nerovnice s absolutní hodnotou ............................................................................. 34 Lineární nerovnice s absolutní hodnotou ......................................................................... 35 Varianta A ........................................................................................................................ 35 Lineární nerovnice s absolutní hodnotou ......................................................................... 36 Varianta B ........................................................................................................................ 36 Lineární nerovnice s absolutní hodnotou ......................................................................... 37 Varianta C ........................................................................................................................ 37 Kvadratické rovnice a nerovnice .............................................................................................. 40 Rovnice v součinovém tvaru ................................................................................................ 40 Rovnice v součinovém tvaru ............................................................................................ 41 Varianta A ........................................................................................................................ 41 Rovnice v součinovém tvaru ............................................................................................ 42 Varianta B ........................................................................................................................ 42 Rovnice v součinovém tvaru ............................................................................................ 43 Varianta C ........................................................................................................................ 43 Kvadratická rovnice ............................................................................................................. 44 Kvadratická rovnice ......................................................................................................... 45
Lineární rovnice a nerovnice
5
Varianta A ........................................................................................................................ 45 Kvadratická rovnice ......................................................................................................... 46 Varianta B ........................................................................................................................ 46 Kvadratická rovnice ......................................................................................................... 47 Varianta C ........................................................................................................................ 47 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice ....................................................... 48 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice ................................................... 49 Varianta A ........................................................................................................................ 49 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice ................................................... 50 Varianta B ........................................................................................................................ 50 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice ................................................... 51 Varianta C ........................................................................................................................ 51 Grafické řešení kvadratické rovnice a nerovnice ................................................................. 52 Grafické řešení kvadratické rovnice a nerovnice ............................................................. 54 Varianta A ........................................................................................................................ 54 Grafické řešení kvadratické rovnice a nerovnice ............................................................. 57 Varianta B ........................................................................................................................ 57 Grafické řešení kvadratické rovnice a nerovnice ............................................................. 59 Varianta C ........................................................................................................................ 59 Umocňování rovnice ............................................................................................................ 61 Umocňování rovnice ........................................................................................................ 62 Varianta A ........................................................................................................................ 62 Umocňování rovnice ........................................................................................................ 63 Varianta B ........................................................................................................................ 63 Umocňování rovnice ........................................................................................................ 64 Varianta C ........................................................................................................................ 64 Řešení rovnic užitím substituce............................................................................................ 66
6
Lineární rovnice a nerovnice
Řešení rovnic užitím substituce........................................................................................ 67 Varianta A ........................................................................................................................ 67 Řešení rovnic užitím substituce........................................................................................ 68 Varianta B ........................................................................................................................ 68 Řešení rovnic užitím substituce........................................................................................ 70 Varianta C ........................................................................................................................ 70 Soustavy rovnic a nerovnic ...................................................................................................... 72 Lineární rovnice se dvěma neznámými ................................................................................ 72 Lineární rovnice se dvěma neznámými ............................................................................ 73 Varianta A ........................................................................................................................ 73 Lineární rovnice se dvěma neznámými ............................................................................ 76 Varianta B ........................................................................................................................ 76 Lineární rovnice se dvěma neznámými ............................................................................ 79 Varianta C ........................................................................................................................ 79 Lineární nerovnice se dvěma neznámými ............................................................................ 83 Lineární nerovnice se dvěma neznámými ........................................................................ 84 Varianta A ........................................................................................................................ 84 Lineární nerovnice se dvěma neznámými ........................................................................ 88 Varianta B ........................................................................................................................ 88 Lineární nerovnice se dvěma neznámými ........................................................................ 92 Varianta C ........................................................................................................................ 92 Soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými ...................................................... 96 Soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými .................................................. 98 Varianta A ........................................................................................................................ 98 Soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými ................................................ 100 Varianta B ...................................................................................................................... 100 Soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými ................................................ 102
Lineární rovnice a nerovnice
7
Varianta C ...................................................................................................................... 102 Soustavy lineárních rovnic s více neznámými a soustavy rovnice lineární a kvadratické . 106 Soustavy lineárních rovnic s více neznámými a soustavy rovnice lineární a kvadratické ........................................................................................................................................ 108 Varianta A ...................................................................................................................... 108 Soustavy lineárních rovnic s více neznámými a soustavy rovnice lineární a kvadratické ........................................................................................................................................ 111 Varianta B ...................................................................................................................... 111 Soustavy lineárních rovnic s více neznámými a soustavy rovnice lineární a kvadratické ........................................................................................................................................ 114 Varianta C ...................................................................................................................... 114 Soustavy lineárních nerovnic ............................................................................................. 116 Soustavy lineárních nerovnic ......................................................................................... 117 Varianta A ...................................................................................................................... 117 Soustavy lineárních nerovnic ......................................................................................... 119 Varianta B ...................................................................................................................... 119 Soustavy lineárních nerovnic ......................................................................................... 121 Varianta C ...................................................................................................................... 121 Lineární nerovnice v součinovém a podílovém tvaru ........................................................ 123 Lineární nerovnice v součinovém a podílovém tvaru .................................................... 124 Varianta A ...................................................................................................................... 124 Lineární nerovnice v součinovém a podílovém tvaru .................................................... 126 Varianta B ...................................................................................................................... 126 Lineární nerovnice v součinovém a podílovém tvaru .................................................... 128 Varianta C ...................................................................................................................... 128 Lineární rovnice a nerovnice s parametrem ........................................................................... 130 Lineární rovnice a nerovnice s parametrem ....................................................................... 130
Lineární rovnice a nerovnice
8
Lineární rovnice a nerovnice s parametrem ................................................................... 131 Varianta A ...................................................................................................................... 131 Lineární rovnice a nerovnice s parametrem ................................................................... 133 Varianta B ...................................................................................................................... 133 Lineární rovnice a nerovnice s parametrem ................................................................... 136 Varianta C ...................................................................................................................... 136
Lineární rovnice a nerovnice Lineární rovnice Základní pojmy Definice: Lineární rovnicí s neznámou x nazýváme každou rovnici ve tvaru: , kde
.
Lineární rovnicí dále nazýváme každou rovnici, kterou lze pomocí tzv. ekvivalentních úprav převést na rovnici ve výše uvedeném tvaru. Mezi základní ekvivalentní úpravy patří:
-
Přičtení stejného čísla (výrazu) k oběma stranám rovnice.
-
Odečtení stejného čísla (výrazu) od obou stran rovnice.
-
Vynásobení obou stran rovnice číslem (výrazem) různým od nuly.
-
Vydělení obou stran rovnice číslem (výrazem) různým od nuly.
Lineární rovnice a nerovnice
9
10
Lineární rovnice a nerovnice
Lineární rovnice Varianta A Řešte rovnici
√
.
Příklad: Ekvivalentní úpravy provádíme tak, abychom na jedné straně rovnice (zpravidla levé) osamostatnili neznámou. Prováděné úpravy zapisujeme za svislou čáru vpravo od rovnice. |
√
| √
√
√ √ Příklad:
√
√
√
Výsledek řešení:
Varianta A
√
Varianta B Varianta C
Příklady k procvičení: 1) Řešte rovnici
.
2) Řešte rovnici 3) Řešte rovnici 4) Řešte rovnici
√
√ .
[ ] .
[ ]
.
[1] [ ]
Lineární rovnice a nerovnice
11
Lineární rovnice Varianta B Řešte rovnici
.
Příklad: Ekvivalentní úpravy provádíme tak, abychom na jedné straně rovnice (zpravidla levé) osamostatnili neznámou. Prováděné úpravy zapisujeme za svislou čáru vpravo od rovnice. | | (
Příklad:
)
Výsledek řešení:
Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 5) Řešte rovnici
√
√ .
6) Řešte rovnici
[ .
7) Řešte rovnici
√
8) Řešte rovnici
√
√ . √ .
√
√
[ √
[
] √
[NŘ]
]
]
12
Lineární rovnice a nerovnice
Lineární rovnice Varianta C Řešte rovnici
.
Příklad: Vyskytují-li se v lineární rovnici zlomky, měla by první ekvivalentní úprava směřovat k odstranění zlomků. To provedeme tak, že obě strany rovnice vynásobíme společným (nejlépe nejmenším) násobkem všech jmenovatelů. | | |
Příklad:
Výsledek řešení:
Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 9) Řešte rovnici
.
[
]
10) Řešte rovnici
.
[NŘ]
11) Řešte rovnici
.
[
12) Řešte rovnici
.
[
] ]
Lineární rovnice a nerovnice
13
Řešení rovnice v daném oboru, zkouška při řešení rovnice Základní pojmy Není-li uveden obor čísel, v němž hledáme řešení rovnice, míní se zpravidla obor všech reálných čísel. Velmi často se však stává (např. při řešení slovních úloh), že je obor řešení dané rovnice omezen (např. na kladná čísla, atd.). V praxi postupujeme tak, že danou rovnici vyřešíme v nejširším možném oboru ( ) a řešení pak konfrontujeme s oborem, ve kterém rovnici řešíme. Dosazením čísla za neznámou na obou stranách rovnice se výrazy s proměnnou změní na číselné výrazy. Jsou-li hodnoty obou číselných výrazů stejné, je toto číslo řešením dané rovnice, v opačném případě nikoliv. V praxi postupujeme tak, že zvlášť určíme číselnou hodnotu výrazu na levé straně, zvlášť na pravé straně a pak hodnoty porovnáme. Tomuto postupu se říká zkouška při řešení rovnice. Pokud jsme při řešení rovnice používali pouze ekvivalentní úpravy, není zkouška nezbytnou součástí řešení rovnice.
14
Lineární rovnice a nerovnice
Řešení rovnice v daném oboru, zkouška při řešení rovnice Varianta A Zjistěte, zda rovnice
má řešení v množině racionálních čísel.
√
Příklad: Ekvivalentní úpravy provádíme tak, abychom na jedné straně rovnice (zpravidla levé) osamostatnili neznámou. Prováděné úpravy zapisujeme za svislou čáru vpravo od rovnice. |
√
| √
√
√ √
√
√
√
Řešením dané rovnice je iracionální číslo, řešení v množině racionálních čísel tedy neexistuje. Příklad: Varianta A Varianta B
Výsledek řešení: Řešení v množině racionálních čísel neexistuje.
Varianta C
Příklady k procvičení: 1) Zjistěte, zda rovnice
má řešení v množině racionálních čísel.
2) Zjistěte, zda rovnice 3) Zjistěte, zda rovnice
má řešení v množině celých čísel. √
√
[Ano, ] [Ne]
√ má řešení v množině přirozených čísel. [Ano, 2]
4) Zjistěte, zda rovnice
má řešení v množině reálných čísel.
[Ne]
Lineární rovnice a nerovnice
15
Řešení rovnice v daném oboru, zkouška při řešení rovnice Varianta B Řešte rovnici
a proveďte zkoušku.
Příklad: Ekvivalentní úpravy provádíme tak, abychom na jedné straně rovnice (zpravidla levé) osamostatnili neznámou. Prováděné úpravy zapisujeme za svislou čáru vpravo od rovnice. | | (
)
Zkouška: (
)
(
)
(
)
(
)
Příklad:
Výsledek řešení:
Varianta A Varianta B Varianta C
(
)
(
)
(
)
(
)
Příklady k procvičení: 5) Řešte rovnici
√
6) Řešte rovnici
√ a proveďte zkoušku. a proveďte zkoušku.
[
√
[
; ;
7) Řešte rovnici
√
√ a proveďte zkoušku.
[NŘ]
8) Řešte rovnici
√
√ a proveďte zkoušku.
[ √ ;
√
] ]
√ ]
16
Lineární rovnice a nerovnice
Řešení rovnice v daném oboru, zkouška při řešení rovnice Varianta C Řešte rovnici
a proveďte zkoušku.
Příklad: Vyskytují-li se v lineární rovnici zlomky, měla by první ekvivalentní úprava směřovat k odstranění zlomků. To provedeme tak, že obě strany rovnice vynásobíme společným (nejlépe nejmenším) násobkem všech jmenovatelů. |
| | (
)
( ) ( )
Příklad:
Výsledek řešení:
Varianta A Varianta B Varianta C
( ) ( )
Příklady k procvičení: 9) Řešte rovnici 10) Řešte rovnici 11) Řešte rovnici 12) Řešte rovnici
a proveďte zkoušku. a proveďte zkoušku. a proveďte zkoušku. a proveďte zkoušku.
[
;
]
[17; [8; [
] ]
;
]
Lineární rovnice a nerovnice
17
Rovnice s neznámou ve jmenovateli a grafické řešení lineární rovnice Základní pojmy V rovnicích s neznámou ve jmenovateli se vyskytují lomené výrazy. Dříve, než takovou rovnici řešíme, určíme všechny podmínky, za kterých mají jednotlivé lomené výrazy smysl. Poté rovnici řešíme standardním způsobem, tj. odstraněním zlomků a následným řešením dalšími ekvivalentními úpravami. Výsledné řešení pak musíme konfrontovat se všemi podmínkami jednotlivých lomených výrazů. Každou lineární rovnici lze zapsat ve tvaru
. Jedná se tak vlastně o zápis
rovnosti dvou lineárních funkcí:
Řešení původní rovnice pak odpovídá x-ové souřadnici průsečíků grafů obou lineárních funkcí. Jelikož je grafem lineární funkce přímka, mohou pro vzájemnou polohu obou grafů a tedy i pro řešení lineární rovnice nastat tři případy:
Přímky jsou různoběžné – existuje jeden průsečík a rovnice má jedno řešení.
Přímky jsou rovnoběžné různé – neexistuje žádný průsečík a rovnice nemá řešení.
Přímky jsou totožné – existuje nekonečně mnoho společných bodů a rovnice má nekonečně mnoho řešení.
18
Lineární rovnice a nerovnice
Rovnice s neznámou ve jmenovateli a grafické řešení lineární rovnice Varianta A Řešte rovnici
.
Příklad: Nejprve stanovíme podmínky, za kterých mají lomené výrazy, vyskytující se v rovnici, smysl.
Ekvivalentní úpravy provádíme tak, abychom na jedné straně rovnice (zpravidla levé) osamostatnili neznámou. Prováděné úpravy zapisujeme za svislou čáru vpravo od rovnice. | (
)
| | Řešení není v rozporu s výše uvedenou podmínkou a je tedy řešením dané rovnice. Příklad: Varianta A
Výsledek řešení:
Varianta B Varianta C
Příklady k procvičení: 1) Řešte rovnici
.
2) Řešte rovnici 3) Řešte rovnici 4) Řešte rovnici
[7; .
[ [NŘ;
. .
[
] ;
] ] { };
]
Lineární rovnice a nerovnice
19
Rovnice s neznámou ve jmenovateli a grafické řešení lineární rovnice Varianta B Řešte rovnici: (
)
Příklad: Nejdříve stanovíme podmínky:
(
|
)
(
( (
)
) )
| |
Příklad:
Výsledek řešení:
Varianta A Varianta B Varianta C
Příklady k procvičení: 5) Řešte rovnici
.
6) Řešte rovnici 7) Řešte rovnici 8) Řešte rovnici
[ .
(
)
;
]
[2; .
[NŘ;
.
[
] ] ;
]
20
Lineární rovnice a nerovnice
Rovnice s neznámou ve jmenovateli a grafické řešení lineární rovnice Varianta C Řešte graficky rovnici
.
Příklad: Jedná se tak vlastně o zápis rovnosti dvou lineárních funkcí:
Řešení původní rovnice pak odpovídá x-ové souřadnici průsečíků grafů obou lineárních funkcí.
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Výsledek řešení:
Lineární rovnice a nerovnice
Příklady k procvičení: 9) Řešte graficky rovnici
.
21
22
Lineární rovnice a nerovnice
10) Řešte graficky rovnici
.
Lineární rovnice a nerovnice
11) Řešte graficky rovnici
.
23
24
Lineární rovnice a nerovnice
12) Řešte graficky rovnici
NŘ
.
Lineární rovnice a nerovnice
25
Lineární rovnice s absolutní hodnotou Základní pojmy Definice: Absolutní hodnota čísla a) | |
je definována takto:
pro
b) | |
pro
Věta: Pro libovolná čísla
platí:
1.) | | 2.) | | 3.) | 4.) | |
|
|
| | | | |
| | | | ,
Poznámka:
Číslo | | se pro libovolné
rovná vzdálenosti obrazu čísla a na číselné ose od
počátku (tj. od obrazu čísla 0).
Číslo |
|
|
a, b na číselné ose.
| se pro libovolná čísla
rovná vzdálenosti obrazů čísel
26
Lineární rovnice a nerovnice
Lineární rovnice s absolutní hodnotou Varianta A Řešte rovnici | |
.
Příklad: Absolutní hodnota z čísla x je rovna vzdálenosti tohoto čísla na číselné ose od počátku, tedy od čísla 0. Můžeme sestrojit pomocnou kružnici se středem v bodě 0 a poloměrem 3 jednotky. Tato kružnice protne číselnou osu v těch bodech, které jsou řešením uvedené rovnice.
Z obrázku je vidět, že rovnice má dvě řešení: Příklad: Varianta A
.
Výsledek řešení:
Varianta B Varianta C
Příklady k procvičení: 1) Řešte rovnici | |
.
2) Řešte rovnici | | 3) Řešte rovnici | | 4) Řešte rovnici | |
[ .
.
]
[ [0]
.
[NŘ]
]
Lineární rovnice a nerovnice
27
Lineární rovnice s absolutní hodnotou Varianta B Řešte rovnici |
|
.
Příklad: Absolutní hodnota z čísla
je rovna vzdálenosti čísla x na číselné ose od čísla 1. Můžeme
sestrojit pomocnou kružnici se středem v bodě 1 a poloměrem 3 jednotky. Tato kružnice protne číselnou osu v těch bodech, které jsou řešením uvedené rovnice.
Z obrázku je vidět, že rovnice má dvě řešení: Příklad: Varianta A
.
Výsledek řešení:
Varianta B Varianta C
Příklady k procvičení: 5) Řešte rovnici |
|
.
[7, 15]
6) Řešte rovnici |
|
.
[4,
]
7) Řešte rovnici |
|
.
[3,
]
8) Řešte rovnici |
|
.
[NŘ]
Lineární rovnice a nerovnice
28
Lineární rovnice s absolutní hodnotou Varianta C Řešte rovnici |
|
|
|
.
Příklad: Řešení rovnic s větším počtem absolutních hodnot provádíme jiným způsobem. Nejdříve stanovíme tzv. nulové body všech absolutních hodnot, tedy body, v nichž se výrazy uvnitř jednotlivých absolutních hodnot rovnají nule. Množinu reálných čísel pak rozdělíme pomocí těchto nulových bodů na jednotlivé disjunktní intervaly. V každém intervalu zvlášť pak zkoumáme znaménko jednotlivých výrazů v absolutních hodnotách a absolutní hodnoty zde v souladu s definicí nahrazujeme přímo tímto výrazem nebo výrazem opačným. Celý postup zpravidla zapisujeme do přehledné tabulky. NB:
〉
(
|
|
(
)
|
|
(
)
〉
( ( (
I.
II.
(
)
)
(
)
)
(
) III.
V každém z intervalů I., II. a III. Pak řešíme zvlášť lineární rovnici, ale absolutní hodnoty nahrazujeme příslušnými výrazy z tabulky. I. (
)
(
)
| | ( (
) 〉
Lineární rovnice a nerovnice
II.
(
)
(
)
| 〉
(
III. (
)
(
)
| | (
)
Řešení mají tedy rovnice pouze v intervalech I. a II. Původní rovnice má tak dvě řešení. Množinu řešení můžeme zapsat ve tvaru
Příklad:
{
}.
Výsledek řešení:
Varianta A {
Varianta B
}
Varianta C
Příklady k procvičení: 9) Řešte rovnici | 10) Řešte rovnici
|
|
|
|
|
11) Řešte rovnici | |
|
12) Řešte rovnici |
|
.
|
| |
|
.
. |
|
|
.
[
{
[
{ }]
[
{
[
{
}]
}] }]
29
30
Lineární rovnice a nerovnice
Lineární nerovnice Základní pojmy Definice: Lineární nerovnicí s neznámou x nazýváme každou nerovnici v jednom z těchto tvarů:
kde
a)
,
b)
,
c)
,
d)
,
.
Lineární nerovnicí dále nazýváme každou nerovnici, kterou lze pomocí tzv. ekvivalentních úprav převést na nerovnici ve výše uvedeném tvaru. Při řešení lineárních nerovnic používáme stejné ekvivalentní úpravy jako při řešení lineárních rovnic, s jednou podstatnou výjimkou: Násobíme-li nerovnici záporným číslem, mění se znaménko nerovnosti v opačné!
Lineární rovnice a nerovnice
31
Lineární nerovnice Varianta A Řešte rovnici
√
.
Příklad: Ekvivalentní úpravy provádíme tak, abychom na jedné straně nerovnice (zpravidla levé) osamostatnili neznámou. Prováděné úpravy zapisujeme za svislou čáru vpravo od rovnice. |
√
| √
√
√ √ Řešení zpravidla zapisujeme pomocí intervalu: Příklad:
√
√ 〈√
√ ).
Výsledek řešení:
Varianta A
〈√
Varianta B
)
Varianta C
Příklady k procvičení: 1) Řešte rovnici
.
2) Řešte rovnici 3) Řešte rovnici 4) Řešte rovnici
. √
√
. .
〉]
[
(
[
〈
[
(
)]
[
(
)]
)]
32
Lineární rovnice a nerovnice
Lineární nerovnice Varianta B Řešte rovnici
.
Příklad: Ekvivalentní úpravy provádíme tak, abychom na jedné straně nerovnice (zpravidla levé) osamostatnili neznámou. Prováděné úpravy zapisujeme za svislou čáru vpravo od nerovnice. | | (
Řešení zpravidla zapisujeme pomocí intervalu:
Příklad:
〈
)
).
Výsledek řešení:
Varianta A 〈
Varianta B
)
Varianta C Příklady k procvičení: 5) Řešte rovnici
√
√ .
6) Řešte rovnici
.
7) Řešte rovnici
√
8) Řešte rovnici
√
√ . √ .
[
(
[
〈
[
(
[
√
√ 〉]
)] √
]
√
)]
Lineární rovnice a nerovnice
33
Lineární nerovnice Varianta C Řešte rovnici
.
Příklad: Vyskytují-li se v lineární nerovnici zlomky, měla by první ekvivalentní úprava směřovat k odstranění zlomků. To provedeme tak, že obě strany nerovnice vynásobíme společným (nejlépe nejmenším) násobkem všech jmenovatelů. | | | Řešení zpravidla zapisujeme pomocí intervalu: Příklad: Varianta A
〈
).
Výsledek řešení: 〈
)
Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 9) Řešte nerovnici
.
[
10) Řešte nerovnici
.
[NŘ]
11) Řešte nerovnici
.
[
12) Řešte nerovnici
.
[
(
(
〉]
] )]
34
Lineární rovnice a nerovnice
Lineární nerovnice s absolutní hodnotou Základní pojmy Definice: Absolutní hodnota čísla c) | |
je definována takto:
pro
d) | |
pro
Věta: Pro libovolná čísla
platí:
5.) | | 6.) | | 7.) | 8.) | |
|
|
| | | | |
| | | | ,
Poznámka:
Číslo | | se pro libovolné
rovná vzdálenosti obrazu čísla a na číselné ose od
počátku (tj. od obrazu čísla 0).
Číslo |
|
|
a, b na číselné ose.
| se pro libovolná čísla
rovná vzdálenosti obrazů čísel
Lineární rovnice a nerovnice
35
Lineární nerovnice s absolutní hodnotou Varianta A Řešte nerovnici | |
.
Příklad: Absolutní hodnota z čísla x je rovna vzdálenosti tohoto čísla na číselné ose od počátku, tedy od čísla 0. Můžeme sestrojit pomocný kruh se středem v bodě 0 a poloměrem 3 jednotky. Průnik tohoto kruhu s číselnou osou je řešením uvedené nerovnice.
K
Z obrázku je vidět, že řešením nerovnice je interval: Příklad: Varianta A
〈
〉.
Výsledek řešení:
Varianta B
〈
〉
Varianta C
Příklady k procvičení: 1) Řešte nerovnici | |
.
2) Řešte nerovnici | | 3) Řešte nerovnici | | 4) Řešte nerovnici | |
.
[
〈
[
(
〉] 〉
[NŘ]
. .
[
]
〈
)]
36
Lineární rovnice a nerovnice
Lineární nerovnice s absolutní hodnotou Varianta B Řešte nerovnici |
|
.
Příklad: Absolutní hodnota z čísla
je rovna vzdálenosti čísla x na číselné ose od čísla 1. Můžeme
sestrojit pomocný kruh se středem v bodě 1 a poloměrem 3 jednotky. Průnik vnější části tohoto kruhu a jeho hraniční kružnice s číselnou osou je řešením uvedené nerovnice.
K
Z obrázku je vidět, že řešením nerovnice je sjednocení intervalů: Příklad: Varianta A
(
〉
〈
).
Výsledek řešení:
Varianta B
(
〉
〈
)
Varianta C
Příklady k procvičení: 5) Řešte nerovnici |
|
.
[
(
) )]
6) Řešte nerovnici |
|
.
[
(
7) Řešte nerovnici |
|
.
[
(
8) Řešte nerovnici |
|
.
[NŘ]
(
〉
)]
〈
)]
Lineární rovnice a nerovnice
37
Lineární nerovnice s absolutní hodnotou Varianta C Řešte nerovnici |
|
|
|
.
Příklad: Řešení nerovnic s větším počtem absolutních hodnot provádíme jiným způsobem. Nejdříve stanovíme tzv. nulové body všech absolutních hodnot, tedy body, v nichž se výrazy uvnitř jednotlivých absolutních hodnot rovnají nule. Množinu reálných čísel pak rozdělíme pomocí těchto nulových bodů na jednotlivé disjunktní intervaly. V každém intervalu zvlášť pak zkoumáme znaménko jednotlivých výrazů v absolutních hodnotách a absolutní hodnoty zde v souladu s definicí nahrazujeme přímo tímto výrazem nebo výrazem opačným. Celý postup zpravidla zapisujeme do přehledné tabulky. NB:
〉
(
|
|
(
)
|
|
(
)
〉
( ( (
I.
II.
(
)
)
(
)
)
(
) III.
V každém z intervalů I., II. a III. Pak řešíme zvlášť lineární nerovnici, ale absolutní hodnoty nahrazujeme příslušnými výrazy z tabulky. I. (
)
(
)
| | (
(
)
〉
38
Lineární rovnice a nerovnice
Nyní stanovíme průnik tohoto řešení s intervalem, v němž řešení provádíme, tedy:
〉
(
〉
(
〉
(
II.
(
)
(
)
|
〈
)
Nyní stanovíme průnik tohoto řešení s intervalem, v němž řešení provádíme, tedy: 〈
)
〉
(
{
}
III. (
)
(
)
| |
〈
)
Nyní stanovíme průnik tohoto řešení s intervalem, v němž řešení provádíme, tedy: 〈
)
(
)
(
)
Řešením původní nerovnice je pak sjednocení jednotlivých dílčích řešení jednotlivých intervalů: (
Příklad:
〉
{
}
(
)
(
Výsledek řešení:
Varianta A Varianta B Varianta C
(
〉
〈
)
〉
〈
)
Lineární rovnice a nerovnice
39
Příklady k procvičení: 9) Řešte nerovnici | 10) Řešte nerovnici
|
|
|
|
|
11) Řešte nerovnici | |
|
12) Řešte nerovnici |
|
.
|
| |
|
.
. |
|
|
.
〉
[
(
[
{ }]
[
(
)]
[
(
)
〈
(
)]
)]
40
Lineární rovnice a nerovnice
Kvadratické rovnice a nerovnice Rovnice v součinovém tvaru Základní pojmy Definice: Rovnicí v součinovém tvaru s neznámou x nazýváme každou rovnici ve tvaru: ( ) kde výrazy
( ),
( ), …,
( )
( )
,
( ) jsou lineární dvojčleny.
Rovnicí v součinovém tvaru dále nazýváme každou rovnici, kterou lze převést na rovnici ve výše uvedeném tvaru. Při řešení těchto rovnic využíváme poznatek, že součin dvou anebo více výrazů je roven nule právě tehdy, když alespoň jeden výraz je roven nule.
Lineární rovnice a nerovnice
Rovnice v součinovém tvaru Varianta A Řešte rovnici (
) (
)
.
Příklad: Výraz na levé straně rovnice je roven nule právě tehdy, když: a)
, nebo
b)
.
Řešení této rovnice se tedy rozpadá na řešení dvojice lineárních rovnic. Řešením první lineární rovnice je číslo 10, řešením druhé lineární rovnice číslo {
rovnice lze tedy zapsat ve tvaru
Příklad:
. Množinu řešení dané
}.
Výsledek řešení:
Varianta A
{
Varianta B
}
Varianta C
Příklady k procvičení: 1) Řešte rovnici ( 2) Řešte rovnici
√ ) ( (
)
3) Řešte rovnici (
) (
4) Řešte rovnici (
√ ) (
)
.
. )
. )
.
[
{√
[
{
}]
[
{
}]
[
{
√
}]
}]
41
42
Lineární rovnice a nerovnice
Rovnice v součinovém tvaru Varianta B Řešte rovnici
.
Příklad: Výraz na levé straně rovnice lze rozložit na součin podle vzorce do následujícího tvaru: (
)(
)
.
Je roven nule právě tehdy, když: a)
, nebo
b)
.
Řešení této rovnice se tedy rozpadá na řešení dvojice lineárních rovnic. Řešením první lineární rovnice je číslo 5, řešením druhé lineární rovnice číslo {
rovnice lze tedy zapsat ve tvaru Příklad:
. Množinu řešení dané
}.
Výsledek řešení:
Varianta A
{
}
Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 5) Řešte rovnici 6) Řešte rovnici
. .
[
{
}]
[
{√
√ }]
7) Řešte rovnici
.
[
{
}]
8) Řešte rovnici
.
[
{√
√ }]
Lineární rovnice a nerovnice
43
Rovnice v součinovém tvaru Varianta C Řešte rovnici
.
Příklad: Rovnice nejdříve převedeme pomocí ekvivalentních do anulovaného tvaru: | (
)
Výraz na levé straně rovnice lze rozložit na součin vytknutím před závorku do následujícího tvaru: (
)
.
Je roven nule právě tehdy, když: a)
, nebo
b)
.
Řešení této rovnice se tedy rozpadá na řešení dvojice lineárních rovnic. Řešením první lineární rovnice je číslo 0, řešením druhé lineární rovnice číslo {
rovnice lze tedy zapsat ve tvaru
Příklad:
. Množinu řešení dané
}.
Výsledek řešení:
Varianta A {
Varianta B
}
Varianta C Příklady k procvičení: 9) Řešte rovnici (
)
(
10) Řešte rovnici 11) Řešte rovnici ( 12) Řešte rovnici (
)(
).
. )(
) )(
. )
.
[
{
}]
[
{
}]
[
{
}]
[NŘ]
44
Lineární rovnice a nerovnice
Kvadratická rovnice Základní pojmy Definice: Kvadratickou rovnicí s neznámou x nazýváme každou rovnici ve tvaru: , kde
;
.
Kvadratickou rovnicí dále nazýváme každou rovnici, kterou lze pomocí ekvivalentních úprav převést na rovnici ve výše uvedeném tvaru. Výraz
nazýváme kvadratický člen, výraz
nazýváme lineární člen a člen
absolutní
člen. Věta: Řešení kvadratické rovnice
je určeno následujícím vztahem:
√
Poznámka 1: Výraz
nazýváme diskriminant kvadratické rovnice a podle jeho
hodnoty mohou pro řešení kvadratické rovnice nastat tři možnosti: a)
- rovnice má v oboru
dvě různá řešení,
b)
- rovnice má v oboru
jedno dvojnásobné řešení,
c)
- rovnice nemá v oboru
žádné řešení.
Poznámka 2: Podle výše uvedeného vztahu lze řešit libovolnou kvadratickou rovnici. Existují však speciální typy kvadratických rovnic, které lze řešit i jiným (zpravidla jednodušším) způsobem. Mezi tyto speciální typy řadíme nejčastěji tzv. neúplné kvadratické rovnice: a) Rovnice
se nazývá rovnice bez absolutního členu a s výhodou ji
řešíme převedením na součinový tvar vytknutím. b) Rovnice
se nazývá ryze kvadratická rovnice a výhodou ji řešíme
převedením na součinový tvar pomocí vzorce (pokud je to možné).
Lineární rovnice a nerovnice
45
Kvadratická rovnice Varianta A Řešte kvadratickou rovnici bez absolutního členu
.
Příklad: Výraz na levé straně upravíme na součin vytknutím na tvar: (
)
.
Výraz na levé straně rovnice je roven nule právě tehdy, když: c)
, nebo
d)
.
Řešení této rovnice se tedy rozpadá na řešení dvojice lineárních rovnic. Řešením první lineární rovnice je číslo 0, řešením druhé lineární rovnice číslo {
rovnice lze tedy zapsat ve tvaru
Příklad: Varianta A
. Množinu řešení dané
}.
Výsledek řešení:
Varianta B
{
}
Varianta C
Příklady k procvičení: 1) Řešte kvadratickou rovnici bez absolutního členu
.
[
{
}]
2) Řešte kvadratickou rovnici bez absolutního členu
.
[
{
}]
3) Řešte kvadratickou rovnici bez absolutního členu
.
[
{
}]
. [
{
4) Řešte kvadratickou rovnici bez absolutního členu
}]
46
Lineární rovnice a nerovnice
Kvadratická rovnice Varianta B Řešte ryze kvadratickou rovnici
.
Příklad: Výraz na levé straně rovnice lze rozložit na součin podle vzorce do následujícího tvaru: (
)(
)
.
Je roven nule právě tehdy, když: c)
, nebo
d)
.
Řešení této rovnice se tedy rozpadá na řešení dvojice lineárních rovnic. Řešením první lineární rovnice je číslo , řešením druhé lineární rovnice číslo {
rovnice lze tedy zapsat ve tvaru
Příklad:
. Množinu řešení dané
}.
Výsledek řešení:
Varianta A Varianta B
{
}
Varianta C Příklady k procvičení: 5) Řešte ryze kvadratickou rovnici
.
6) Řešte ryze kvadratickou rovnici
.
7) Řešte ryze kvadratickou rovnici
.
8) Řešte ryze kvadratickou rovnici
.
[
{
[
{
[
{
}] }] √
√
}]
[NŘ, výraz nelze rozložit na součin podle vzorce]
Lineární rovnice a nerovnice
47
Kvadratická rovnice Varianta C Řešte kvadratickou rovnici
.
Příklad: Srovnáním s obecným tvarem kvadratické rovnice dostáváme: . Dosazením do vzorce pro řešení kvadratické rovnice dostáváme: (
√
)
)
√(
(
)
√
√
Množinu řešení dané rovnice lze tedy zapsat ve tvaru Příklad:
{
}.
Výsledek řešení:
Varianta A
{
}
Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 9) Řešte kvadratickou rovnici
.
[
10) Řešte kvadratickou rovnici
.
[NŘ]
11) Řešte kvadratickou rovnici 12) Řešte kvadratickou rovnici
. .
{
[
{√
[
{ }]
}]
√ }
]
48
Lineární rovnice a nerovnice
Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice Základní pojmy Definice: Kvadratickou rovnicí s neznámou x nazýváme každou rovnici ve tvaru: , kde
;
.
Kvadratickou rovnicí dále nazýváme každou rovnici, kterou lze pomocí ekvivalentních úprav převést na rovnici ve výše uvedeném tvaru. Výraz
nazýváme kvadratický člen, výraz
nazýváme lineární člen a člen
absolutní
člen. Věta 1: Pro kořeny
kvadratické rovnice
platí následující vztahy: , .
Věta 2: Jsou-li čísla
kořeny kvadratické rovnice
, pak platí: (
)(
).
Uvedenému výrazu na pravé straně rovnosti říkáme rozklad kvadratického trojčlenu na kořenové činitele.
Lineární rovnice a nerovnice
49
Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice Varianta A Pomocí vztahů mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice určete řešení kvadratické rovnice
.
Příklad: Srovnáním s obecným tvarem kvadratické rovnice dostáváme: . Dosazením do vztahů mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice dostáváme:
Hledáme tedy dvě čísla, jejichž součet je 5 a součin 6. Takovým podmínkám vyhovují čísla 2 a 3. Množinu řešení dané rovnice lze tedy zapsat ve tvaru Příklad: Varianta A
{
}.
Výsledek řešení:
Varianta B
{
}
Varianta C
Příklady k procvičení: 1) Pomocí vztahů mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice určete řešení kvadratické { }] rovnice . [ 2) Pomocí vztahů mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice určete řešení kvadratické { }] rovnice . [ 3) Pomocí vztahů mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice určete řešení kvadratické { }] rovnice . [ 4) Pomocí vztahů mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice určete řešení kvadratické { }] rovnice . [
50
Lineární rovnice a nerovnice
Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice Varianta B Sestavte kvadratickou rovnici s kořeny
.
Příklad: Dosazením do vztahů mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice dostáváme:
(
)
Úpravou uvedených vztahů dostáváme:
Prostým srovnáním zlomků na levé a pravé straně obou rovností dostáváme: Kvadratickou rovnici tedy můžeme psát ve tvaru: Příklad:
.
Výsledek řešení:
Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 5) Sestavte kvadratickou rovnici s kořeny
.
[
6) Sestavte kvadratickou rovnici s kořeny
.
[
7) Sestavte kvadratickou rovnici s kořeny 8) Sestavte kvadratickou rovnici s kořeny
. √
[ √ .
[
] ] ] ]
Lineární rovnice a nerovnice
51
Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice Varianta C Kvadratický trojčlen
rozložte na součin kořenových činitelů.
Příklad: Srovnáním kvadratického trojčlenu s obecným tvarem kvadratické rovnice dostáváme: . Dosazením do vzorce pro řešení příslušné kvadratické rovnice dostáváme: (
√
)
)
√(
(
)
√
√
Kvadratický trojčlen lze tedy psát ve tvaru: (
)(
)
(
)[
(
)]
Po úpravě: ( Příklad: Varianta A
)(
)
Výsledek řešení: (
)(
)
Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 9) Kvadratický trojčlen
rozložte na součin kořenových činitelů. (
[ 10) Kvadratický trojčlen
)(
)]
rozložte na součin kořenových činitelů. [nelze rozložit]
11) Kvadratický trojčlen
rozložte na součin kořenových činitelů. (
[ 12) Kvadratický trojčlen
√ )(
√ )]
rozložte na součin kořenových činitelů. [
(
)(
)]
52
Lineární rovnice a nerovnice
Grafické řešení kvadratické rovnice a nerovnice Základní pojmy Definice: Kvadratickou rovnicí s neznámou x nazýváme každou rovnici ve tvaru: , kde
;
.
Kvadratickou rovnicí dále nazýváme každou rovnici, kterou lze pomocí ekvivalentních úprav převést na rovnici ve výše uvedeném tvaru. Výraz
nazýváme kvadratický člen, výraz
nazýváme lineární člen a člen
absolutní
člen. Vydělíme-li kvadratickou rovnici číslem a, dostáváme kvadratickou rovnici v tzv. normovaném tvaru.
Definice: Kvadratickou rovnicí v normovaném tvaru s neznámou x nazýváme každou rovnici ve tvaru: , kde
.
Takovou rovnici pak lze psát v následujícím tvaru: Jedná se vlastně o rovnost dvou funkcí, funkce kvadratické na straně levé a funkce lineární na straně pravé. Znázorníme-li grafy obou funkcí do jednoho obrázku, je řešením původní kvadratické rovnice x-ová souřadnice průsečíků obou grafů. Uvedený postup je návodem na grafické řešení kvadratické rovnice.
Lineární rovnice a nerovnice
53
Věta 1: Pro vzájemnou polohu paraboly (grafu kvadratické funkce) a přímky (grafu lineární funkce) mohou nastat následující možnosti: a) parabola a přímka mají dva průsečíky, příslušná kvadratická rovnice má dvě řešení, b) parabola a přímka mají jeden společný bod (přímka je tečnou paraboly), příslušná kvadratická rovnice má jedno řešení, c) parabola a přímka nemají žádný společný bod, příslušná kvadratická rovnice nemá žádné řešení.
Definice: Kvadratickou nerovnicí s neznámou x nazýváme každou nerovnici v jednom z těchto tvarů: , , , , kde
;
.
Na levé straně nerovnice je výraz zápisem kvadratické funkce. Grafem této funkce je parabola, která protíná osu x v těch bodech, které jsou řešením příslušné kvadratické rovnice. Část tohoto grafu pak může ležet pod osou x, část na ose x a část nad osou x. Na základě této vzájemné polohy pak lze graficky určit řešení příslušné kvadratické nerovnice.
54
Lineární rovnice a nerovnice
Grafické řešení kvadratické rovnice a nerovnice Varianta A Řešte graficky kvadratickou rovnici
.
Příklad: Pomocí ekvivalentních úprav převedeme rovnici na tvar: Do jednoho grafu pak zakreslíme grafy funkcí
a
Obě křivky tedy mají dva průsečíky a jejich x-ové souřadnice (
a 3) jsou řešením příslušné
kvadratické rovnice. Množinu řešení dané rovnice lze tedy zapsat ve tvaru Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Výsledek řešení: {
}
{
}.
Lineární rovnice a nerovnice
Příklady k procvičení: 1) Řešte graficky kvadratickou rovnici
[
{
}]
2) Řešte graficky kvadratickou rovnici
[
{
.
}]
.
55
Lineární rovnice a nerovnice
56
3) Řešte graficky kvadratickou rovnici
[
{
}]
4) Řešte graficky kvadratickou rovnici
[NŘ]
.
.
Lineární rovnice a nerovnice
Grafické řešení kvadratické rovnice a nerovnice Varianta B Řešte kvadratickou nerovnici
.
Příklad: Nejdříve vyřešíme příslušnou kvadratickou rovnici. Výraz na levé straně upravíme na součin vytknutím na tvar: (
)
.
Výraz na levé straně rovnice je roven nule právě tehdy, když: e)
, nebo
f)
.
Řešení této rovnice se tedy rozpadá na řešení dvojice lineárních rovnic. Řešením první lineární rovnice je číslo 0, řešením druhé lineární rovnice číslo rovnice lze tedy zapsat ve tvaru kvadratické funkce osu x.
{
. Množinu řešení dané
}. V těchto bodech protne graf příslušné
57
58
Lineární rovnice a nerovnice
Hledáme ty části grafu, které podle zadání původní nerovnice leží pod osou x nebo na ose x. Řešení je v obrázku vyšrafováno červeně a je vidět, že nerovnici vyhovují všechna x z intervalu 〈
Příklad:
〉.
Výsledek řešení:
Varianta A Varianta B
〈
〉
Varianta C Příklady k procvičení: 5) Řešte kvadratickou nerovnici
.
6) Řešte kvadratickou nerovnici 7) Řešte kvadratickou nerovnici 8) Řešte kvadratickou nerovnici
. . .
[
(
)
[
〈
〉]
[
(
[
(
√
√
(
)]
)] 〉
〈
)]
Lineární rovnice a nerovnice
59
Grafické řešení kvadratické rovnice a nerovnice Varianta C Řešte kvadratickou nerovnici
.
Příklad: Nejdříve vyřešíme příslušnou kvadratickou rovnici. Dosazením do vzorce pro řešení kvadratické rovnice dostáváme: √
(
)
√(
)
(
)
√
√
Množinu řešení dané rovnice lze tedy zapsat ve tvaru graf příslušné kvadratické funkce osu x.
{
}. V těchto bodech protne
60
Lineární rovnice a nerovnice
Hledáme ty části grafu, které podle zadání původní nerovnice leží nad osou x nebo na ose x. Řešení je v obrázku vyšrafováno červeně a je vidět, že nerovnici vyhovují všechna x z množiny (
〉
Příklad: Varianta A
〈
).
Výsledek řešení: (
〉
〈
)
Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 9) Řešte kvadratickou rovnici
.
[
10) Řešte kvadratickou rovnici
.
[NŘ]
11) Řešte kvadratickou rovnici
.
[
12) Řešte kvadratickou rovnici
.
[
(
〈
)
〉] { }]
(
)]
Lineární rovnice a nerovnice
61
Umocňování rovnice Základní pojmy Věta: Pro libovolná dvě čísla
platí:
Uvedená věta ovšem neplatí naopak. Z tohoto poznatku plyne pro umocnění rovnice následující skutečnost: Věta: Umocněním obou stran rovnice na druhou dostaneme rovnici, pro kterou platí: Každý kořen původní rovnice je současně kořenem i rovnice umocněné, ale ne naopak. Umocněná rovnice může mít kořeny, které nejsou kořeny rovnice původní. Umocnění rovnice je tzv. důsledkovou úpravou. Použijeme-li při řešení rovnice důsledkovou úpravu, je nezbytnou součástí řešení rovnice zkouška.
62
Lineární rovnice a nerovnice
Umocňování rovnice Varianta A Řešte rovnici √
.
Příklad: Nejdříve umocníme rovnici: |
√ | |
Jelikož jsme provedli důsledkovou úpravu, je nezbytnou součástí řešení zkouška. √
( )
√
√
( )
Původní rovnice tedy nemá řešení. Příklad: Varianta A Varianta B
Výsledek řešení: Rovnice nemá řešení.
Varianta C Příklady k procvičení: 1) Řešte rovnici √
.
[
{
}]
2) Řešte rovnici √
.
[
{
}]
3) Řešte rovnici √
.
[NŘ]
4) Řešte rovnici √
.
[NŘ]
Lineární rovnice a nerovnice
Umocňování rovnice Varianta B Řešte rovnici √
.
Příklad: Nejdříve umocníme rovnici: |
√ (
) |
(
) ;
Jelikož jsme provedli důsledkovou úpravu, je nezbytnou součástí řešení zkouška. ( )
√
√
√
√
( )
( )
( ) Řešením původní rovnice je pouze číslo 5. Příklad:
Výsledek řešení:
Varianta A
{ }
Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 5) Řešte rovnici √ 6) Řešte rovnici √
. .
7) Řešte rovnici √ 8) Řešte rovnici √
. .
[
{
}]
[
{ }]
[
{
[
{
}] }]
63
64
Lineární rovnice a nerovnice
Umocňování rovnice Varianta C Řešte rovnici √
√
.
Příklad: Nejdříve umocníme rovnici: √
√
(√
√
| )
√ √ |
√ √
|
√ √ |
√ √ (
)
(
) | | |
Jelikož jsme provedli dvě důsledkové úpravy, je nezbytnou součástí řešení zkouška. ( )
√
√ ( )
Řešením původní rovnice je tedy číslo 1. Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Výsledek řešení: { }
Lineární rovnice a nerovnice
65
Příklady k procvičení: 9) Řešte rovnici √
√
10) Řešte rovnici √
√
11) Řešte rovnici √ 12) Řešte rovnici √
. .
√ √
. .
[
{ }]
[
{
[
{ }]
[
{
}]
}]
66
Lineární rovnice a nerovnice
Řešení rovnic užitím substituce Základní pojmy Substitucí rozumíme nahrazení výrazu v zápisu rovnice obsahujícího proměnnou jinou proměnnou. Daná rovnice se substitucí zpravidla zjednoduší. Tuto jednoduší rovnici s novou neznámou vyřešíme a poté se vrátíme zpět k původní neznámé. Pro volbu substituce neplatí žádné obecné pravidlo, je třeba jistého matematického citu a zkušenosti.
Lineární rovnice a nerovnice
67
Řešení rovnic užitím substituce Varianta A Řešte rovnici
.
Příklad: Nejdříve provedeme substituci
.
Původní rovnice se změní následovně: Jedná se o kvadratickou rovnici, kterou řešíme dosazením do vzorce: (
)
√(
)
√
Nyní se s oběma řešeními postupně vrátíme k původní proměnné x. a)
b)
V obou případech se jedná o ryze kvadratické rovnice. První má kořeny
a druhá
a
. Množinu řešení původní rovnice lze tedy psát ve tvaru Příklad: Varianta A
{
}
Výsledek řešení:
Varianta B
{
}
Varianta C Příklady k procvičení: 1) Řešte rovnici
.
[
{√
√ }]
2) Řešte rovnici
.
[
{√
√
3) Řešte rovnici
.
[
{
}]
[
{
4) Řešte rovnici
.
√ }]
√
}]
a
68
Lineární rovnice a nerovnice
Řešení rovnic užitím substituce Varianta B Řešte rovnici (
)
.
Příklad: Nejdříve provedeme substituci
.
Původní rovnice se změní následovně: Jedná se o kvadratickou rovnici, kterou řešíme dosazením do vzorce: (
)
√(
)
√
Nyní se s oběma řešeními postupně vrátíme k původní proměnné x. a)
b)
V obou případech se jedná o lineární rovnice s neznámou ve jmenovateli (
). Každou
z nich řešíme vynásobením jmenovatelem x. Řešením první rovnice je číslo
, řešením
druhé rovnice číslo
.
Množinu řešení původní rovnice lze tedy psát ve tvaru
Příklad:
Výsledek řešení:
Varianta A Varianta B Varianta C
{
}
{
}
Lineární rovnice a nerovnice
69
Příklady k procvičení: 5) Řešte rovnici (
)
.
[
{
6) Řešte rovnici (
)
.
[
{
7) Řešte rovnici (
)
.
[
{
[
{
8) Řešte rovnici
(
)
.
}] }] }] }]
70
Lineární rovnice a nerovnice
Řešení rovnic užitím substituce Varianta C Řešte rovnici
.
Příklad: Nejdříve provedeme substituci
.
Původní rovnice se změní následovně: | | Jedná se o kvadratickou rovnici, kterou řešíme dosazením do vzorce: (
)
)
√( √
Nyní se s oběma řešeními postupně vrátíme k původní proměnné x. a)
b)
V obou případech se jedná o lineární rovnice s neznámou ve jmenovateli ( z nich řešíme vynásobením jmenovatelem druhé rovnice číslo
. Řešením první rovnice je číslo , řešením
.
Množinu řešení původní rovnice lze tedy psát ve tvaru
Příklad:
Výsledek řešení:
Varianta A Varianta B Varianta C
{
}
). Každou
{
}
Lineární rovnice a nerovnice
Příklady k procvičení: 9) Řešte rovnici
.
10) Řešte rovnici 11) Řešte rovnici 12) Řešte rovnici
. . .
[
{
[
{
[
{
[
{
}] }] }] }]
71
72
Lineární rovnice a nerovnice
Soustavy rovnic a nerovnic Lineární rovnice se dvěma neznámými Základní pojmy Definice: Lineární rovnicí se dvěma neznámými x, y nazýváme každou rovnici ve tvaru: , kde
.
Lineární rovnicí se dvěma neznámými dále nazýváme každou rovnici, kterou lze pomocí tzv. ekvivalentních úprav převést na rovnici ve výše uvedeném tvaru. Mezi základní ekvivalentní úpravy patří:
-
Přičtení stejného čísla (výrazu) k oběma stranám rovnice.
-
Odečtení stejného čísla (výrazu) od obou stran rovnice.
-
Vynásobení obou stran rovnice číslem (výrazem) různým od nuly.
-
Vydělení obou stran rovnice číslem (výrazem) různým od nuly.
Řešením rovnic se dvěma neznámými jsou uspořádané dvojice reálných čísel, které můžeme graficky znázornit v rovině. Při řešení lineární rovnice může nastat jedna z následujících možností: a) … řešením je množina bodů tvořících přímku různoběžnou s oběma osami soustavy souřadnic. b)
… řešením je množina bodů tvořících přímku rovnoběžnou s osou x.
c)
… řešením je množina bodů tvořících přímku rovnoběžnou s osou y.
d)
… řešením je libovolná uspořádaná dvojice reálných čísel x, y.
e)
… rovnice nemá řešení.
Lineární rovnice a nerovnice
Lineární rovnice se dvěma neznámými Varianta A Řešte rovnici
.
Příklad: Všechna řešení dané rovnice dostaneme např. tak, že neznámou x volíme libovolně a pak z rovnice vyjádříme neznámou y. | Množinu všech řešení původní rovnice lze tedy psát ve tvaru současně znázornit graficky v kartézské soustavě souřadnic.
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Výsledek řešení: {[
]
}
{[
]
}a
73
74
Lineární rovnice a nerovnice
Příklady k procvičení: 1) Řešte rovnici
2) Řešte rovnici
.
.
[
{[
[
{[
]
]
}]
}]
Lineární rovnice a nerovnice
3) Řešte rovnici √
4) Řešte rovnici
.
.
[
{[
[
{[
√
]
]
}]
}]
75
76
Lineární rovnice a nerovnice
Lineární rovnice se dvěma neznámými Varianta B Řešte rovnici
.
Příklad: Všechna řešení dané rovnice dostaneme tak, že neznámou y volíme libovolně a pak z rovnice vyjádříme neznámou x. |
Množinu všech řešení původní rovnice lze tedy psát ve tvaru znázornit graficky v kartézské soustavě souřadnic.
Příklad:
Výsledek řešení:
Varianta A Varianta B Varianta C
{[
]
}
{[
]
} a současně
Lineární rovnice a nerovnice
77
Příklady k procvičení: 5) Řešte rovnici
6) Řešte rovnici
.
.
[
{[
]
[
{[
]
}]
}]
78
Lineární rovnice a nerovnice
7) Řešte rovnici
√ .
[
{[
8) Řešte rovnici
.
[
{[
√
]
]
}]
}]
Lineární rovnice a nerovnice
79
Lineární rovnice se dvěma neznámými Varianta C Řešte rovnici
v množině přirozených čísel.
Příklad: Při řešení postupujeme obdobně jako při řešení v množině reálných čísel. Všechna řešení dané rovnice v množině reálných čísel dostaneme např. tak, že neznámou x volíme libovolně a pak z rovnice vyjádříme neznámou y. | |
Množinu všech řešení znázorníme graficky v kartézské soustavě souřadnic a na vzniklé přímce pak hledáme pouze ty body, jejichž obě souřadnice jsou přirozená čísla.
Množinu řešení původní rovnice lze tedy psát ve tvaru
{[
] [
] [
]}
80
Lineární rovnice a nerovnice
Příklad: Varianta A
Výsledek řešení: {[
] [
] [
]}
Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 9) Řešte rovnici
v množině přirozených čísel.
[
{[
]}]
Lineární rovnice a nerovnice
10) Řešte rovnici
11) Řešte rovnici
v množině přirozených čísel.
[
{[
]}]
] [
] [
] [
v množině přirozených čísel. [
{[
]}]
81
82
Lineární rovnice a nerovnice
12) Řešte rovnici
v množině přirozených čísel.
[NŘ]
Lineární rovnice a nerovnice
83
Lineární nerovnice se dvěma neznámými Základní pojmy Definice: Lineární nerovnicí se dvěma neznámými x, y nazýváme každou rovnici v jednom z těchto tvarů: , , ,
kde
.
Lineární nerovnicí dále nazýváme každou nerovnici, kterou lze pomocí tzv. ekvivalentních úprav převést na nerovnici ve výše uvedeném tvaru. Při řešení lineárních nerovnic používáme stejné ekvivalentní úpravy jako při řešení lineárních rovnic, s jednou podstatnou výjimkou:
-
Násobíme-li nerovnici záporným číslem, mění se znaménko nerovnosti v opačné!
Řešením rovnic se dvěma neznámými jsou uspořádané dvojice reálných čísel, které můžeme graficky znázornit v rovině. Při řešení lineární rovnice může nastat jedna z následujících možností: a)
… řešením je množina bodů tvořících polorovinu s hraniční přímkou různoběžnou s oběma osami soustavy souřadnic.
b)
… řešením je množina bodů tvořících polorovinu s hraniční přímkou rovnoběžnou s osou x.
c)
… řešením je množina bodů tvořících polorovinu s hraniční přímkou rovnoběžnou s osou y.
d) … řešením je libovolná uspořádaná dvojice reálných čísel x, y nebo nerovnice nemá žádné řešení podle použitého znaménka nerovnosti. e) … řešením je libovolná uspořádaná dvojice reálných čísel x, y nebo nerovnice nemá žádné řešení podle použitého znaménka nerovnosti.
84
Lineární rovnice a nerovnice
Lineární nerovnice se dvěma neznámými Varianta A Řešte nerovnici
.
Příklad: Rovnici hraniční přímky dostaneme tak, že z rovnice vyjádříme neznámou y. | Danou přímku zobrazíme v soustavě souřadnic a zvolíme libovolný bod ležící v jedné ze dvou polorovin, např. bod [
]. Souřadnice tohoto bodu dosadíme do původní nerovnice:
Vidíme, že jsme dostali pravdivou nerovnost. Řešením je tedy ta polorovina, ze které byl „zkušební“ bod. Pokud bychom obdrželi nerovnost nepravdivou, řešením by byla polorovina opačná. Jelikož bylo v zadání nerovnice znaménko neostré nerovnosti, je řešením nerovnice i hraniční přímka, pokud je v zadání nerovnice znaménko ostré nerovnosti, je řešením polorovina bez hraniční přímky.
Lineární rovnice a nerovnice
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení:
85
86
Lineární rovnice a nerovnice
Příklady k procvičení: 1) Řešte nerovnici
2) Řešte rovnici
.
.
Lineární rovnice a nerovnice
3) Řešte rovnici √
4) Řešte rovnici
.
.
87
88
Lineární rovnice a nerovnice
Lineární nerovnice se dvěma neznámými Varianta B Řešte rovnici
.
Příklad: Rovnici hraniční přímky dostaneme tak, že z rovnice vyjádříme neznámou x. |
Danou přímku zobrazíme v soustavě souřadnic a zvolíme libovolný bod ležící v jedné ze dvou polorovin, např. bod [
]. Souřadnice tohoto bodu dosadíme do původní nerovnice:
Vidíme, že jsme dostali pravdivou nerovnost. Řešením je tedy ta polorovina, ze které byl „zkušební“ bod. Pokud bychom obdrželi nerovnost nepravdivou, řešením by byla polorovina opačná. Jelikož bylo v zadání nerovnice znaménko neostré nerovnosti, je řešením nerovnice i hraniční přímka, pokud je v zadání nerovnice znaménko ostré nerovnosti, je řešením polorovina bez hraniční přímky.
Lineární rovnice a nerovnice
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení:
89
90
Lineární rovnice a nerovnice
Příklady k procvičení: 5) Řešte rovnici
6) Řešte rovnici
.
.
Lineární rovnice a nerovnice
7) Řešte rovnici
√ .
8) Řešte rovnici
.
91
92
Lineární rovnice a nerovnice
Lineární nerovnice se dvěma neznámými Varianta C Řešte rovnici
v množině přirozených čísel.
Příklad: Při řešení postupujeme obdobně jako při řešení v množině reálných čísel. Rovnici hraniční přímky dostaneme tak, že z rovnice vyjádříme neznámou y. | |
Danou přímku zobrazíme v soustavě souřadnic a zvolíme libovolný bod ležící v jedné ze dvou polorovin, např. bod [
]. Souřadnice tohoto bodu dosadíme do původní nerovnice:
Vidíme, že jsme dostali pravdivou nerovnost. Řešením v množině reálných čísel je tedy ta polorovina, ze které byl „zkušební“ bod. Pokud bychom obdrželi nerovnost nepravdivou, řešením by byla polorovina opačná. Jelikož bylo v zadání nerovnice znaménko neostré nerovnosti, je řešením nerovnice i hraniční přímka, pokud je v zadání nerovnice znaménko ostré nerovnosti, je řešením polorovina bez hraniční přímky. A nakonec vybereme z této poloroviny pouze ty uspořádané dvojice, které jsou tvořené pouze přirozenými čísly
Lineární rovnice a nerovnice
Množinu řešení původní rovnice lze tedy psát ve tvaru {[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [
] [
] [
] [
] [
93
]}
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: {[
] [
] [
] [
] [
] [
] [
] [
] [
] [
] [
] [
[
{[
]}]
Příklady k procvičení: 9) Řešte rovnici
v množině přirozených čísel.
]}
Lineární rovnice a nerovnice
94
10) Řešte rovnici [
{[
] [
v množině přirozených čísel. ] [
11) Řešte rovnici [
{[
] [
] [
] [
]}]
v množině přirozených čísel. ] [
] [
] [
] [
]}]
Lineární rovnice a nerovnice
12) Řešte rovnici
v množině přirozených čísel.
[NŘ]
95
96
Lineární rovnice a nerovnice
Soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými Základní pojmy Definice: Soustavou dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými x, y nazýváme každou soustavu rovnici ve tvaru: , ,
kde
.
Soustavou dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými dále nazýváme každou soustavu, kterou lze pomocí tzv. ekvivalentních úprav převést na soustavu rovnic ve výše uvedeném tvaru. Mezi základní ekvivalentní úpravy patří:
-
Přičtení stejného čísla (výrazu) k oběma stranám rovnice.
-
Odečtení stejného čísla (výrazu) od obou stran rovnice.
-
Vynásobení obou stran rovnice číslem (výrazem) různým od nuly.
-
Vydělení obou stran rovnice číslem (výrazem) různým od nuly.
Při řešení soustav rovnic dále nově používáme tyto ekvivalentní úpravy: -
Dosazení výrazu, kterým z jedné rovnice vyjádříme některou neznámou pomocí druhé neznámé, za příslušnou neznámou do zbývající rovnice.
-
Přičtení některé rovnice soustavy k zbývající rovnici této soustavy.
-
Vynásobení některé rovnice soustavy nenulovým číslem a současné přičtení násobku zbývající rovnice soustavy k této násobené rovnici.
Řešením soustavy dvou rovnic se dvěma neznámými jsou uspořádané dvojice reálných čísel.
Lineární rovnice a nerovnice
97
Při řešení soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými může nastat jedna z následujících možností: a) Soustava má jediné řešení. b) Soustava má nekonečně mnoho řešení. (Tato řešení tvoří v kartézské soustavě souřadnic přímku.) c) Soustava nemá řešení. Soustavu dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými můžeme řešit několika způsoby. K těm nejčastějším patří dosazovací metoda, sčítací metoda a grafická metoda. Všechny tyto metody jsou popsány v následujících příkladech.
98
Lineární rovnice a nerovnice
Soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými Varianta A Řešte soustavu rovnic dosazovací metodou:
Příklad: Dosazovací metoda spočívá v tom, že z jedné ze dvou rovnic vyjádříme jednu neznámou, toto vyjádření dosadíme do druhé rovnice. Řešení tak převedeme na řešení jedné lineární rovnice s jednou neznámou. V tomto konkrétním případě je výhodné vyjádřit z první rovnice neznámou y. | Tento výraz dosadíme do druhé rovnice za neznámou y. (
) | |
Řešení této rovnice pak dosadíme do výrazu vyjadřující neznámou y a vypočteme i tuto druhou neznámou.
Řešením této soustavy je tedy uspořádaná dvojice [ Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Výsledek řešení: {[
]}
].
Lineární rovnice a nerovnice
Příklady k procvičení: 1) Řešte soustavu rovnic dosazovací metodou:
[
{[
]}]
2) Řešte soustavu rovnic dosazovací metodou:
[
{[
]
}…nekonečně mnoho řešení]
3) Řešte soustavu rovnic dosazovací metodou:
[NŘ] 4) Řešte soustavu rovnic dosazovací metodou:
[
{[
]}]
99
100
Lineární rovnice a nerovnice
Soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými Varianta B Řešte soustavu rovnic sčítací metodou:
Příklad: Sčítací metoda spočívá v tom, že jednu nebo obě rovnice vynásobíme vhodně takovými čísly, aby se po sečtení obou rovnic jedna z neznámých anulovala. Řešení tak opět převedeme na řešení jedné lineární rovnice s jednou neznámou. V tomto konkrétním případě je výhodné první rovnici vynásobit číslem 2. |
_______________
_______________ Takto upravené rovnice soustavy sečteme, tedy sečteme levé strany a pravé strany. | Řešení této rovnice pak dosadíme do libovolné ze dvou původních rovnic a vypočteme i neznámou y. V tomto případě dosadíme do první rovnice. |
Řešením této soustavy je tedy uspořádaná dvojice [ Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Výsledek řešení: {[
]}
].
Lineární rovnice a nerovnice
Příklady k procvičení: 5) Řešte soustavu rovnic sčítací metodou:
[
{[
]}]
6) Řešte soustavu rovnic sčítací metodou:
[
{[
}…nekonečně mnoho řešení]
]
7) Řešte soustavu rovnic sčítací metodou:
[NŘ] 8) Řešte soustavu rovnic sčítací metodou:
[
{[
]}]
101
102
Lineární rovnice a nerovnice
Soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými Varianta C Řešte soustavu rovnic graficky:
Příklad: Grafická metoda spočívá v tom, že z každé rovnice vyjádříme neznámou y. Vzniknou tak dvě rovnice lineárních funkcí. Do jedné soustavy souřadnic pak nakreslíme oba grafy (přímky) a v souladu s možnými výsledky řešení soustavy dvou rovnic se dvěma neznámými jsou tyto přímky buď různoběžné (soustava má jedno řešení), rovnoběžné různé (soustava nemá řešení), anebo rovnoběžné totožné (soustava má nekonečně mnoho řešení).
| | ________________________________ | | ________________________________ | | ________________________________
Lineární rovnice a nerovnice
Řešením této soustavy jsou souřadnice průsečíku obou přímek, tedy uspořádaná dvojice [ ].
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Výsledek řešení: {[
]}
103
104
Lineární rovnice a nerovnice
Příklady k procvičení: 9) Řešte soustavu rovnic graficky: [
{[
]}]
[
{[
]}]
10) Řešte soustavu rovnic graficky:
Lineární rovnice a nerovnice
11) Řešte soustavu rovnic graficky: [NŘ]
12) Řešte soustavu rovnic graficky: [
{[
]
}]
105
106
Lineární rovnice a nerovnice
Soustavy lineárních rovnic s více neznámými a soustavy rovnice lineární a kvadratické Základní pojmy U soustav více lineárních rovnic s více neznámými je zpravidla použití metody dosazovací i sčítací méně vhodné. Jako naprosto univerzální se jeví tzv. Gaussova eliminační metoda, která bude blíže vysvětlena v následujících příkladech u soustav tří a čtyř lineárních rovnic se třemi a čtyřmi neznámými. Naopak u soustavy rovnice lineární a kvadratické se dvěma neznámými je většinou nejvhodnější metoda dosazovací. Při řešení opět používáme tzv. ekvivalentní úpravy. Mezi základní ekvivalentní úpravy patří:
-
Přičtení stejného čísla (výrazu) k oběma stranám rovnice.
-
Odečtení stejného čísla (výrazu) od obou stran rovnice.
-
Vynásobení obou stran rovnice číslem (výrazem) různým od nuly.
-
Vydělení obou stran rovnice číslem (výrazem) různým od nuly.
Při řešení soustav rovnic dále nově používáme tyto ekvivalentní úpravy: -
Dosazení výrazu, kterým z jedné rovnice vyjádříme některou neznámou pomocí druhé neznámé, za příslušnou neznámou do zbývající rovnice.
-
Přičtení některé rovnice soustavy k zbývající rovnici této soustavy.
-
Vynásobení některé rovnice soustavy nenulovým číslem a současné přičtení násobku zbývající rovnice soustavy k této násobené rovnici.
Řešením soustavy dvou rovnic se dvěma neznámými jsou uspořádané dvojice reálných čísel. Řešením soustavy tří rovnic se třemi neznámými jsou uspořádané trojice reálných čísel. Řešením soustavy čtyř rovnic se čtyřmi neznámými jsou uspořádané čtveřice reálných čísel.
Lineární rovnice a nerovnice
107
Při řešení soustavy více lineárních rovnic s více neznámými může nastat jedna z následujících možností: a) Soustava má jediné řešení. b) Soustava má nekonečně mnoho řešení. (Tato řešení tvoří v kartézské soustavě souřadnic přímku, rovinu, nadrovinu.) c) Soustava nemá řešení. Při řešení soustavy lineární a kvadratické rovnice se dvěma neznámými může nastat jedna z následujících možností: a) Soustava má dvě řešení. b) Soustava má jediné řešení. c) Soustava nemá řešení.
108
Lineární rovnice a nerovnice
Soustavy lineárních rovnic s více neznámými a soustavy rovnice lineární a kvadratické Varianta A Řešte soustavu rovnic Gaussovou eliminační metodou:
Příklad: Při řešení soustavy rovnic Gaussovou eliminační metodou bývá obvyklé provádět zápis řešení tzv. maticovým způsobem. Celou soustavy pak můžeme přepsat takto: (
|
)
Gaussova eliminační metoda spočívá v tom, že ekvivalentní úpravy volíme tak, abychom matici soustavy převedli na tzv. trojúhelníkový tvar. Pod hlavní úhlopříčkou matice tak vzniknou samé nuly. V tomto konkrétním případě postupujeme tak, že od druhého řádku odečteme dvojnásobek prvního řádku a od třetího řádku odečteme trojnásobek prvního řádku. ( Třetí řádek můžeme vydělit číslem
|
)
|
)
. (
Nyní k pětinásobku třetího řádku přičteme druhý řádek. (
|
)
Tím je matice soustavy převedena na trojúhelníkový tvar a nyní se vrátíme k původnímu zápisu soustavy.
Lineární rovnice a nerovnice
Poslední rovnici vydělíme čtyřmi a dostáváme
. Dosazením do druhé rovnice
dostáváme: | | (
)
Nyní dosadíme do první rovnice soustavy: | Řešením této soustavy je tedy uspořádaná trojice [ Příklad:
].
Výsledek řešení:
Varianta A
{[
Varianta B
]}
Varianta C
Příklady k procvičení: 1) Řešte soustavu rovnic Gaussovou eliminační metodou:
[
{[
]}]
2) Řešte soustavu rovnic Gaussovou eliminační metodou:
[
{[
]}]
3) Řešte soustavu rovnic Gaussovou eliminační metodou:
[
{[
]}]
109
110
Lineární rovnice a nerovnice
4) Řešte soustavu rovnic Gaussovou eliminační metodou:
[
]
Lineární rovnice a nerovnice
111
Soustavy lineárních rovnic s více neznámými a soustavy rovnice lineární a kvadratické Varianta B Řešte soustavu rovnic Gaussovou eliminační metodou:
Příklad: Při řešení soustavy rovnic Gaussovou eliminační metodou bývá obvyklé provádět zápis řešení tzv. maticovým způsobem. Celou soustavy pak můžeme přepsat takto: (
|
)
Gaussova eliminační metoda spočívá v tom, že ekvivalentní úpravy volíme tak, abychom matici soustavy převedli na tzv. trojúhelníkový tvar. Pod hlavní úhlopříčkou matice tak vzniknou samé nuly. V tomto konkrétním případě postupujeme tak, že od druhého řádku odečteme dvojnásobek prvního řádku, od třetího řádku odečteme trojnásobek prvního řádku a od čtvrtého řádku odečteme čtyřnásobek prvního řádku. ( Třetí řádek vydělíme číslem
|
a čtvrtý řádek číslem (
) .
|
)
Třetí řádek a čtvrtý řádek postupně vynásobíme číslem 5 a přičteme k nim druhý řádek. ( Čtvrtý řádek vynásobíme číslem
|
)
a přičteme k němu třetí řádek.
112
Lineární rovnice a nerovnice
(
|
)
Tím je matice soustavy převedena na trojúhelníkový tvar a nyní se vrátíme k původnímu zápisu soustavy.
Poslední rovnici vydělíme pěti a dostáváme
. Dosazením do třetí rovnice dostáváme: | |
Nyní dosadíme do druhé rovnice soustavy: | | (
)
A nakonec dosadíme do první rovnice soustavy: |
Řešením této soustavy je tedy uspořádaná čtveřice [ Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Výsledek řešení: {[
]}
].
Lineární rovnice a nerovnice
Příklady k procvičení: 5) Řešte soustavu rovnic Gaussovou eliminační metodou:
[
{[
]}]
6) Řešte soustavu rovnic Gaussovou eliminační metodou:
[
{[
]}]
7) Řešte soustavu rovnic Gaussovou eliminační metodou:
[
{[
]}]
8) Řešte soustavu rovnic Gaussovou eliminační metodou:
[
{[
]}]
113
114
Lineární rovnice a nerovnice
Soustavy lineárních rovnic s více neznámými a soustavy rovnice lineární a kvadratické Varianta C Řešte soustavu rovnic:
Příklad: U soustavy rovnice lineární a kvadratické zpravidla používáme dosazovací metodu. Z lineární rovnice vyjádříme jednu neznámou a dosazením do druhé rovnice dostaneme kvadratickou rovnici s jednou neznámou. Z druhé rovnice tedy vyjádříme y a dosadíme do první rovnice: (
)
Vzniklou rovnici postupně upravujeme: | | Dostali jsme tak kvadratickou rovnici, kterou řešíme dosazením do vzorce. √ (
)
)
√(
(
)
√ √
; Nyní dosadíme oba dva výsledky postupně do rovnice pro vyjádření neznámé y z lineární rovnice. (
)
Lineární rovnice a nerovnice
Řešením dané soustavy jsou tedy dvě uspořádané dvojice [ Příklad:
Výsledek řešení:
Varianta A
{[
] [
]}
Varianta B Varianta C
Příklady k procvičení: 9) Řešte soustavu rovnic: (
[
{[
] [
]}]
10) Řešte soustavu rovnic:
[
{[
] [
]}]
11) Řešte soustavu rovnic:
[
{[
] [
]}]
12) Řešte soustavu rovnic:
[
{[
]}]
)
(
)
]a[
].
115
116
Lineární rovnice a nerovnice
Soustavy lineárních nerovnic Základní pojmy Soustava lineárních nerovnic je tvořena větším počtem lineárních nerovnic s jednou neznámou. Definice: Lineární nerovnicí s neznámou x nazýváme každou nerovnici v jednom z těchto tvarů:
kde
a)
,
b)
,
c)
,
d)
,
.
Lineární nerovnicí dále nazýváme každou nerovnici, kterou lze pomocí tzv. ekvivalentních úprav převést na nerovnici ve výše uvedeném tvaru. Při řešení lineárních nerovnic používáme stejné ekvivalentní úpravy jako při řešení lineárních rovnic, s jednou podstatnou výjimkou: Násobíme-li nerovnici záporným číslem, mění se znaménko nerovnosti v opačné!
Soustavu lineárních nerovnic zpravidla řešíme tak, že každou nerovnici vyřešíme zvlášť a řešení celé soustavy pak určíme jako průnik všech dílčích řešení jednotlivých nerovnic
Lineární rovnice a nerovnice
117
Soustavy lineárních nerovnic Varianta A Řešte soustavu lineárních nerovnic:
Příklad: | |
| |
Řešení první nerovnice tedy můžeme psát ve tvaru tvaru
(
). Řešení celé soustavy pak najdeme jako průnik obou intervalů: (
Řešením této soustavy je tedy interval
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
) a řešení druhé nerovnice ve
〈
Výsledek řešení: 〈
)
〈
) 〈
) ).
〈
)
Lineární rovnice a nerovnice
118
Příklady k procvičení: 1) Řešte soustavu lineárních nerovnic:
[NŘ] 2) Řešte soustavu lineárních nerovnic:
[
(
)]
3) Řešte soustavu lineárních nerovnic:
[
(
)]
4) Řešte soustavu lineárních nerovnic:
[
(
)]
Lineární rovnice a nerovnice
119
Soustavy lineárních nerovnic Varianta B Řešte soustavu lineárních nerovnic:
Příklad: | |
| |
Řešení první nerovnice tedy můžeme psát ve tvaru tvaru
(
). Řešení celé soustavy pak najdeme jako průnik obou intervalů: (
Řešením této soustavy je tedy interval
Příklad:
Výsledek řešení:
Varianta A Varianta B Varianta C
) a řešení druhé nerovnice ve
〈
〈
)
)
〈 〈
) ).
〈
)
Lineární rovnice a nerovnice
120
Příklady k procvičení: 5) Řešte soustavu rovnic sčítací metodou:
[NŘ] 6) Řešte soustavu rovnic sčítací metodou:
[
(
)]
7) Řešte soustavu rovnic sčítací metodou:
[
〈
)]
8) Řešte soustavu rovnic sčítací metodou:
[
(
〉]
Lineární rovnice a nerovnice
121
Soustavy lineárních nerovnic Varianta C Řešte soustavu lineárních nerovnic:
Příklad: | (
)
(
)
| |
| (
)
(
)
| |
Řešení první nerovnice tedy můžeme psát ve tvaru tvaru
(
) a řešení druhé nerovnice ve
(
〉. Řešení celé soustavy pak najdeme jako průnik obou intervalů: (
〉
(
)
Řešením této soustavy je prázdná množina, soustava nemá řešení.
Lineární rovnice a nerovnice
122
Příklad:
Výsledek řešení:
Varianta A
Řešením této soustavy je prázdná množina, soustava nemá řešení.
Varianta B Varianta C
Příklady k procvičení: 9) Řešte soustavu rovnic graficky:
[
(
〉]
10) Řešte soustavu rovnic graficky:
[
〈
〉]
11) Řešte soustavu rovnic graficky:
[
〈
)]
12) Řešte soustavu rovnic graficky:
[
{ }]
Lineární rovnice a nerovnice
123
Lineární nerovnice v součinovém a podílovém tvaru Základní pojmy Lineární nerovnicí v součinovém nebo podílovém tvaru s neznámou x nazýváme každou nerovnici, ve které je v součinu nebo v podílu jeden nebo více lineárních dvojčlenů. Lineární nerovnicí v součinovém nebo podílovém tvaru dále nazýváme každou nerovnici, kterou lze pomocí tzv. ekvivalentních úprav převést na nerovnici ve výše uvedeném tvaru. Při řešení tohoto typu rovnic používáme buď metodu převodu dané rovnice na řešení soustavy nerovnic (zpravidla v případě, kdy se v nerovnici vyskytují v součinu nebo podílu pouze dva lineární dvojčleny), anebo metodu nulových bodů (v případě většího počtu lineárních dvojčlenů).
124
Lineární rovnice a nerovnice
Lineární nerovnice v součinovém a podílovém tvaru Varianta A Řešte nerovnici (
)(
)
.
Příklad: Na levé straně nerovnice je součin dvou výrazů, který je podle zadání nezáporný. Součin dvou výrazů je ale nezáporný pouze ve dvou případech: a) oba výrazy jsou současně nezáporné, b) oba výrazy jsou současně nekladné. Tuto skutečnost můžeme matematicky zapsat takto: a) Řešíme tedy vlastně soustavu nerovnic. | |
|
Řešení první nerovnice tedy můžeme psát ve tvaru tvaru
〈
). Řešení celé soustavy pak najdeme jako průnik obou intervalů: 〈
Řešením této soustavy je tedy interval b)
) a řešení druhé nerovnice ve
〈
)
〈
〈
)
).
〈
)
Lineární rovnice a nerovnice
125
Řešíme tedy vlastně soustavu nerovnic. | |
|
Řešení první nerovnice tedy můžeme psát ve tvaru tvaru
(
〉 a řešení druhé nerovnice ve
(
〉. Řešení celé soustavy pak najdeme jako průnik obou intervalů: (
〉
Řešením této soustavy je tedy interval
(
〉
(
〉.
(
〉
Řešením původní nerovnice je pak sjednocení výsledků z obou dílčích částí, tedy: (
Příklad: Varianta A
〉
〈
)
Výsledek řešení: (
Varianta B
〉
〈
)
Varianta C
Příklady k procvičení: 1) Řešte rovnici (
)(
)
.
[
(
)]
2) Řešte rovnici (
)(
)
.
[
(
)
3) Řešte rovnici (
)(
)
.
[
〈
〉]
)
.
[
(
〉
4) Řešte rovnici (
)(
(
〈
)]
)]
126
Lineární rovnice a nerovnice
Lineární nerovnice v součinovém a podílovém tvaru Varianta B Řešte nerovnici
.
Příklad: Na levé straně nerovnice je podíl dvou výrazů, který je podle zadání nezáporný. Podíl dvou výrazů je ale nezáporný pouze ve dvou případech: a) čitatel je nezáporný, jmenovatel je kladný, b) čitatel je nekladný, jmenovatel je záporný. Tuto skutečnost můžeme matematicky zapsat takto: a) Řešíme tedy vlastně soustavu nerovnic. |
| Řešení první nerovnice tedy můžeme psát ve tvaru tvaru
(
) a řešení druhé nerovnice ve
〈
). Řešení celé soustavy pak najdeme jako průnik obou intervalů: 〈
)
Řešením této soustavy je tedy interval
( 〈
)
〈
)
).
b) Řešíme tedy vlastně soustavu nerovnic. |
| Řešení první nerovnice tedy můžeme psát ve tvaru tvaru
(
〉 a řešení druhé nerovnice ve
(
). Řešení celé soustavy pak najdeme jako průnik obou intervalů: (
Řešením této soustavy je tedy interval
〉
(
)
(
).
(
)
Lineární rovnice a nerovnice
Řešením původní nerovnice je pak sjednocení výsledků z obou dílčích částí, tedy: ( Příklad:
)
〈
)
Výsledek řešení:
Varianta A
(
)
〈
)
Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 5) Řešte nerovnici
.
[
(
6) Řešte nerovnici
.
[
(
[
(
[
(
7) Řešte nerovnici 8) Řešte nerovnici
. .
)
〈
)]
)
(
)]
〉]
)]
127
Lineární rovnice a nerovnice
128
Lineární nerovnice v součinovém a podílovém tvaru Varianta C (
Řešte rovnici
)( (
)
.
)
Příklad: Vyskytuje-li se v nerovnici větší počet lineárních dvojčlenů, jeví se jako výhodnější metoda nulových bodů. Tato metoda spočívá v tom, že celou množinu reálných čísel rozdělíme na intervaly pomocí nulových bodů všech lineárních dvojčlenů. Přitom ještě dáváme pozor, které nulové body „pochází“ ze jmenovatele (u těchto nulových bodů bude vždy otevřený interval), a které z čitatele. U nulových bodů z čitatele bude v případě neostré nerovnosti uzavřený interval a v případě ostré nerovnosti otevřený interval. V každém takovém intervalu určíme znaménko jednotlivých lineárních dvojčlenů a také výsledné znaménko (podle toho, zda celkový počet záporných znamének je sudý nebo lichý). NB:
(
)
(
( ) ( ) ( )
〉
〈
( ) ( ) ( )
〉
( ) ( ) ( )
〈
)
( ) ( ) ( )
Původní výraz v nerovnici má být nezáporný, řešení nerovnice tedy vyhovují intervaly ze druhého a čtvrtého sloupce. Řešení nerovnice tedy zapíšeme jako sjednocení intervalů z uvedených sloupců, tedy: ( Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
〉
〈
).
Výsledek řešení: (
〉
〈
)
Lineární rovnice a nerovnice
129
Příklady k procvičení: 9) Řešte rovnici
(
)( (
) )
10) Řešte rovnici
(
)(
11) Řešte rovnici
(
)(
)
(
)(
)
12) Řešte rovnici
(
)(
)
(
)(
)
(
) )
〉
〈
)]
.
[
(
.
[
(
)
〈
〉]
.
[
(
)
(
)
.
[
(
)
(
)]
(
)]
130
Lineární rovnice a nerovnice
Lineární rovnice a nerovnice s parametrem Lineární rovnice a nerovnice s parametrem Základní pojmy V lineární rovnici resp. nerovnici se kromě neznámé x vyskytuje ještě tzv. parametr. Jedná se tak vlastně o zápis většího množství rovnic (nerovnic), neboť pro různé hodnoty parametru se jedná o různé rovnice (nerovnice). Vyřešit takovou rovnici (nerovnici) s parametrem znamená vyřešit tyto rovnice, tedy stanovit množiny všech řešení v závislosti na hodnotě parametru.
Lineární rovnice a nerovnice
131
Lineární rovnice a nerovnice s parametrem Varianta A Řešte rovnici s neznámou x a parametrem a: (
)
Příklad: Za předpokladu, že platí
, je koeficient u neznámé x na levé straně různý od nuly.
Rovnice pak má jedno řešení, které určíme následující ekvivalentní úpravou: (
)
|
(
(
)
)
Pro hodnoty parametru 0 a 1 musíme danou rovnici vyřešit zvlášť. a) (
)
Řešením takové rovnice je libovolné reálné číslo x. b) (
)
Tato rovnice nemá žádné řešení. Získané výsledky zpravidla zapisujeme do přehledné tabulky: a
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Množina řešení
Výsledek řešení: a
Množina řešení
132
Lineární rovnice a nerovnice
Příklady k procvičení: 1) Řešte rovnici s neznámou x a parametrem a:
a
(
)(
Množina řešení
(
)
2) Řešte rovnici s neznámou x a parametrem a:
a
Množina řešení
3) Řešte rovnici s neznámou x a parametrem a:
a
Množina řešení
4) Řešte rovnici s neznámou x a parametrem a:
a
Množina řešení {
}
)
Lineární rovnice a nerovnice
Lineární rovnice a nerovnice s parametrem Varianta B Řešte rovnici s neznámou x a parametrem a:
Příklad: Jedná se o kvadratickou rovnici, kterou lze pro větší přehlednost zapsat takto: (
)
Rovnici řešíme dosazením do vzorce pro řešení kvadratické rovnice. (
)
)
√(
( (
√
)
√ √ (
√
)
√ (
)
√ √
Řešitelnost kvadratické rovnice závisí na hodnotě diskriminantu. a)
… rovnice má dvě řešení | (
b)
)
… rovnice má jeden dvojnásobný kořen | (
)
)
133
Lineární rovnice a nerovnice
134 c)
… rovnice nemá řešení | (
)
Získané výsledky zpravidla zapisujeme do přehledné tabulky: Množina řešení
a
Příklad:
(
)
(
)
√
Výsledek řešení:
Varianta A
Množina řešení
a
Varianta B
(
)
(
)
√
Varianta C
Příklady k procvičení: 5) Určete, pro které hodnoty reálného parametru a má rovnice (
)
řešení v oboru reálných čísel. [
〈
)]
6) Určete, pro které hodnoty reálného parametru b má rovnice ( řešení v oboru reálných čísel. [
〈
)]
)
(
)
Lineární rovnice a nerovnice
7) Řešte rovnici s neznámou x a parametrem m: (
)
(
) Množina řešení
m
8) Řešte rovnici s neznámou x a parametrem c: (
) Množina řešení
c
; dvojnásobný kořen √
)
(
(
)
; dva
různé reálné kořeny (
)
135
136
Lineární rovnice a nerovnice
Lineární rovnice a nerovnice s parametrem Varianta C Řešte nerovnici s neznámou x a parametrem a:
Příklad: Na levé straně nerovnice nejdříve vytkneme x. ( Za předpokladu, že platí Pokud je
(
)
, je koeficient u neznámé x na levé straně různý od nuly.
), je koeficient u neznámé x na levé straně nerovnice záporný a po
vydělení nerovnice tímto koeficientem musíme změnit znaménko nerovnosti v opačné, tedy:
Řešením je tedy interval Pokud je
(
〈
).
), je koeficient u neznámé x na levé straně nerovnice kladný a po
vydělení nerovnice tímto koeficientem dostáváme:
Řešením je tedy interval
〉.
(
Pro hodnotu parametru 2 musíme danou nerovnici vyřešit zvlášť. (
)
Řešením takové nerovnice je libovolné reálné číslo x. Získané výsledky zpravidla zapisujeme do přehledné tabulky: Množina řešení
a
(
)
〈
)
(
)
(
〉
Lineární rovnice a nerovnice
Příklad:
Výsledek řešení:
Varianta A
Množina řešení
a
Varianta B Varianta C (
)
〈
)
(
)
(
〉
Příklady k procvičení: 9) Řešte nerovnici s neznámou x a parametrem m:
Množina řešení
m
Nerovnice nemá smysl. (
)
(
〉
(
)
〈
)
(
〉
(
)
10) Řešte nerovnici s neznámou x a kladným parametrem k: (
) Množina řešení
k
(
) (
)
(
)
(
)
137
138
Lineární rovnice a nerovnice
11) Řešte nerovnici s neznámou x a parametrem
Množina řešení
p
(
) ( (
:
) )
(
)
(
)
12) Řešte nerovnici s neznámou x a parametrem a:
Množina řešení
a
{ } (
)
(
)
(
)
(
)
