ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA – LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC

Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

Prostějov 2010

2

Lineární rovnice a nerovnice

Úvod Vytvořený výukový materiál pokrývá předmět matematika, která je vyučována v osnovách a tematických plánech na gymnáziích nižšího a vyššího stupně. Mohou ho však využít všechny střední a základní školy, kde je vyučován předmět matematika, a které mají dostatečné technické vybavení a zázemí.

Cílová skupina: Podle chápání a schopností studentů je stanovena úroveň náročnosti vzdělávacího plánu a výukových materiálů. Zvláště výhodné jsou tyto materiály pro studenty s individuálním studijním plánem, kteří se nemohou pravidelně zúčastňovat výuky. Tito studenti mohou s pomocí našich výukových materiálů částečně kompenzovat svou neúčast ve vyučovaném předmětu matematika, formou e-learningového studia.


3

Obsah Lineární rovnice a nerovnice ...................................................................................................... 8 Lineární rovnice ..................................................................................................................... 8 Lineární rovnice ............................................................................................................... 10 Varianta A ........................................................................................................................ 10 Lineární rovnice ............................................................................................................... 11 Varianta B ........................................................................................................................ 11 Lineární rovnice ............................................................................................................... 12 Varianta C ........................................................................................................................ 12 Řešení rovnice v daném oboru, zkouška při řešení rovnice ................................................. 13 Řešení rovnice v daném oboru, zkouška při řešení rovnice ............................................. 14 Varianta A ........................................................................................................................ 14 Řešení rovnice v daném oboru, zkouška při řešení rovnice ............................................. 15 Varianta B ........................................................................................................................ 15 Řešení rovnice v daném oboru, zkouška při řešení rovnice ............................................. 16 Varianta C ........................................................................................................................ 16 Rovnice s neznámou ve jmenovateli a grafické řešení lineární rovnice .............................. 17 Rovnice s neznámou ve jmenovateli a grafické řešení lineární rovnice .......................... 18 Varianta A ........................................................................................................................ 18 Rovnice s neznámou ve jmenovateli a grafické řešení lineární rovnice .......................... 19 Varianta B ........................................................................................................................ 19 Rovnice s neznámou ve jmenovateli a grafické řešení lineární rovnice .......................... 20 Varianta C ........................................................................................................................ 20 Lineární rovnice s absolutní hodnotou ................................................................................. 25 Lineární rovnice s absolutní hodnotou ............................................................................. 26 Varianta A ........................................................................................................................ 26 Lineární rovnice s absolutní hodnotou ............................................................................. 27

4


Varianta B ........................................................................................................................ 27 Lineární rovnice s absolutní hodnotou ............................................................................. 28 Varianta C ........................................................................................................................ 28 Lineární nerovnice................................................................................................................ 30 Lineární nerovnice............................................................................................................ 31 Varianta A ........................................................................................................................ 31 Lineární nerovnice............................................................................................................ 32 Varianta B ........................................................................................................................ 32 Lineární nerovnice............................................................................................................ 33 Varianta C ........................................................................................................................ 33 Lineární nerovnice s absolutní hodnotou ............................................................................. 34 Lineární nerovnice s absolutní hodnotou ......................................................................... 35 Varianta A ........................................................................................................................ 35 Lineární nerovnice s absolutní hodnotou ......................................................................... 36 Varianta B ........................................................................................................................ 36 Lineární nerovnice s absolutní hodnotou ......................................................................... 37 Varianta C ........................................................................................................................ 37 Kvadratické rovnice a nerovnice .............................................................................................. 40 Rovnice v součinovém tvaru ................................................................................................ 40 Rovnice v součinovém tvaru ............................................................................................ 41 Varianta A ........................................................................................................................ 41 Rovnice v součinovém tvaru ............................................................................................ 42 Varianta B ........................................................................................................................ 42 Rovnice v součinovém tvaru ............................................................................................ 43 Varianta C ........................................................................................................................ 43 Kvadratická rovnice ............................................................................................................. 44 Kvadratická rovnice ......................................................................................................... 45


5

Varianta A ........................................................................................................................ 45 Kvadratická rovnice ......................................................................................................... 46 Varianta B ........................................................................................................................ 46 Kvadratická rovnice ......................................................................................................... 47 Varianta C ........................................................................................................................ 47 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice ....................................................... 48 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice ................................................... 49 Varianta A ........................................................................................................................ 49 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice ................................................... 50 Varianta B ........................................................................................................................ 50 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice ................................................... 51 Varianta C ........................................................................................................................ 51 Grafické řešení kvadratické rovnice a nerovnice ................................................................. 52 Grafické řešení kvadratické rovnice a nerovnice ............................................................. 54 Varianta A ........................................................................................................................ 54 Grafické řešení kvadratické rovnice a nerovnice ............................................................. 57 Varianta B ........................................................................................................................ 57 Grafické řešení kvadratické rovnice a nerovnice ............................................................. 59 Varianta C ........................................................................................................................ 59 Umocňování rovnice ............................................................................................................ 61 Umocňování rovnice ........................................................................................................ 62 Varianta A ........................................................................................................................ 62 Umocňování rovnice ........................................................................................................ 63 Varianta B ........................................................................................................................ 63 Umocňování rovnice ........................................................................................................ 64 Varianta C ........................................................................................................................ 64 Řešení rovnic užitím substituce............................................................................................ 66

6


Řešení rovnic užitím substituce........................................................................................ 67 Varianta A ........................................................................................................................ 67 Řešení rovnic užitím substituce........................................................................................ 68 Varianta B ........................................................................................................................ 68 Řešení rovnic užitím substituce........................................................................................ 70 Varianta C ........................................................................................................................ 70 Soustavy rovnic a nerovnic ...................................................................................................... 72 Lineární rovnice se dvěma neznámými ................................................................................ 72 Lineární rovnice se dvěma neznámými ............................................................................ 73 Varianta A ........................................................................................................................ 73 Lineární rovnice se dvěma neznámými ............................................................................ 76 Varianta B ........................................................................................................................ 76 Lineární rovnice se dvěma neznámými ............................................................................ 79 Varianta C ........................................................................................................................ 79 Lineární nerovnice se dvěma neznámými ............................................................................ 83 Lineární nerovnice se dvěma neznámými ........................................................................ 84 Varianta A ........................................................................................................................ 84 Lineární nerovnice se dvěma neznámými ........................................................................ 88 Varianta B ........................................................................................................................ 88 Lineární nerovnice se dvěma neznámými ........................................................................ 92 Varianta C ........................................................................................................................ 92 Soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými ...................................................... 96 Soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými .................................................. 98 Varianta A ........................................................................................................................ 98 Soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými ................................................ 100 Varianta B ...................................................................................................................... 100 Soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými ................................................ 102


7

Varianta C ...................................................................................................................... 102 Soustavy lineárních rovnic s více neznámými a soustavy rovnice lineární a kvadratické . 106 Soustavy lineárních rovnic s více neznámými a soustavy rovnice lineární a kvadratické ........................................................................................................................................ 108 Varianta A ...................................................................................................................... 108 Soustavy lineárních rovnic s více neznámými a soustavy rovnice lineární a kvadratické ........................................................................................................................................ 111 Varianta B ...................................................................................................................... 111 Soustavy lineárních rovnic s více neznámými a soustavy rovnice lineární a kvadratické ........................................................................................................................................ 114 Varianta C ...................................................................................................................... 114 Soustavy lineárních nerovnic ............................................................................................. 116 Soustavy lineárních nerovnic ......................................................................................... 117 Varianta A ...................................................................................................................... 117 Soustavy lineárních nerovnic ......................................................................................... 119 Varianta B ...................................................................................................................... 119 Soustavy lineárních nerovnic ......................................................................................... 121 Varianta C ...................................................................................................................... 121 Lineární nerovnice v součinovém a podílovém tvaru ........................................................ 123 Lineární nerovnice v součinovém a podílovém tvaru .................................................... 124 Varianta A ...................................................................................................................... 124 Lineární nerovnice v součinovém a podílovém tvaru .................................................... 126 Varianta B ...................................................................................................................... 126 Lineární nerovnice v součinovém a podílovém tvaru .................................................... 128 Varianta C ...................................................................................................................... 128 Lineární rovnice a nerovnice s parametrem ........................................................................... 130 Lineární rovnice a nerovnice s parametrem ....................................................................... 130


8

Lineární rovnice a nerovnice s parametrem ................................................................... 131 Varianta A ...................................................................................................................... 131 Lineární rovnice a nerovnice s parametrem ................................................................... 133 Varianta B ...................................................................................................................... 133 Lineární rovnice a nerovnice s parametrem ................................................................... 136 Varianta C ...................................................................................................................... 136

Lineární rovnice a nerovnice Lineární rovnice Základní pojmy Definice: Lineární rovnicí s neznámou x nazýváme každou rovnici ve tvaru: 0, kde ,

.

Lineární rovnicí dále nazýváme každou rovnici, kterou lze pomocí tzv. ekvivalentních úprav převést na rovnici ve výše uvedeném tvaru. Mezi základní ekvivalentní úpravy patří: -

Přičtení stejného čísla (výrazu) k oběma stranám rovnice.

-

Odečtení stejného čísla (výrazu) od obou stran rovnice.

-

Vynásobení obou stran rovnice číslem (výrazem) různým od nuly.

-

Vydělení obou stran rovnice číslem (výrazem) různým od nuly.


9

10


Lineární rovnice Varianta A Řešte rovnici 3 √5

10

0.

Příklad: Ekvivalentní úpravy provádíme tak, abychom na jedné straně rovnice (zpravidla levé) osamostatnili neznámou. Prováděné úpravy zapisujeme za svislou čáru vpravo od rovnice. 3 √5 3 √5 √ Příklad:

10

0 |

10

10 |: 3√5 √

·

√

√

√

Výsledek řešení:

Varianta A

√

Varianta B Varianta C

Příklady k procvičení: 1) Řešte rovnici 3

0.

2) Řešte rovnici 0,1 3) Řešte rovnici 4) Řešte rovnici

· √3

[ ]

0,02

0.

[ ]

√3

0.

[1]

0.

[ ]


11

Lineární rovnice Varianta B Řešte rovnici 5

10

8

3.

Příklad: Ekvivalentní úpravy provádíme tak, abychom na jedné straně rovnice (zpravidla levé) osamostatnili neznámou. Prováděné úpravy zapisujeme za svislou čáru vpravo od rovnice. 5

10

8 3

Příklad: Varianta A

3 | 13 |:

10

8

3


Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 5) Řešte rovnici 2 6) Řešte rovnici 0,1

√3

5

0,2

7) Řešte rovnici

√3

8) Řešte rovnici 3

√10

√2. 1,1

3 3

√

[ 0,4.

√5. √8.

√

[ 0,6] [

√

√

[NŘ]

]

]

12


Lineární rovnice Varianta C Řešte rovnici

.

Příklad: Vyskytují-li se v lineární rovnici zlomky, měla by první ekvivalentní úprava směřovat k odstranění zlomků. To provedeme tak, že obě strany rovnice vynásobíme společným (nejlépe nejmenším) násobkem všech jmenovatelů. 7 10 42

15

4

3 20

7 · 60 2 210 |

20

|:



Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 9) Řešte rovnici

[ 12]

.

10) Řešte rovnici

.

[NŘ]

11) Řešte rovnici

.

[

12) Řešte rovnici

.

[14]

]


13

Řešení rovnice v daném oboru, zkouška při řešení rovnice Základní pojmy Není-li uveden obor čísel, v němž hledáme řešení rovnice, míní se zpravidla obor všech reálných čísel. Velmi často se však stává (např. při řešení slovních úloh), že je obor řešení dané rovnice omezen (např. na kladná čísla, atd.). V praxi postupujeme tak, že danou rovnici vyřešíme v nejširším možném oboru ( ) a řešení pak konfrontujeme s oborem, ve kterém rovnici řešíme. Dosazením čísla za neznámou na obou stranách rovnice se výrazy s proměnnou změní na číselné výrazy. Jsou-li hodnoty obou číselných výrazů stejné, je toto číslo řešením dané rovnice, v opačném případě nikoliv. V praxi postupujeme tak, že zvlášť určíme číselnou hodnotu výrazu na levé straně, zvlášť na pravé straně a pak hodnoty porovnáme. Tomuto postupu se říká zkouška při řešení rovnice. Pokud jsme při řešení rovnice používali pouze ekvivalentní úpravy, není zkouška nezbytnou součástí řešení rovnice.

14


Řešení rovnice v daném oboru, zkouška při řešení rovnice Varianta A Zjistěte, zda rovnice 3 √5

2

3 má řešení v množině racionálních čísel.

Příklad: Ekvivalentní úpravy provádíme tak, abychom na jedné straně rovnice (zpravidla levé) osamostatnili neznámou. Prováděné úpravy zapisujeme za svislou čáru vpravo od rovnice. 3 √5 3 √5 5

2

3 | 5 |: 3√5

5

3√5

2

·

√5

3√5 √5

√5 3

Řešením dané rovnice je iracionální číslo, řešení v množině racionálních čísel tedy neexistuje. Příklad: Varianta A Varianta B

Výsledek řešení: Řešení v množině racionálních čísel neexistuje.

Varianta C

Příklady k procvičení: 0 má řešení v množině racionálních čísel.

1) Zjistěte, zda rovnice 2 2) Zjistěte, zda rovnice 0,01 3) Zjistěte, zda rovnice

· √5

0,002 √5

0 má řešení v množině celých čísel.

[Ano, ] [Ne]

√5 má řešení v množině přirozených čísel. [Ano, 2]

4) Zjistěte, zda rovnice

má řešení v množině reálných čísel.

[Ne]


15

Řešení rovnice v daném oboru, zkouška při řešení rovnice Varianta B Řešte rovnici 3

12

8

3 a proveďte zkoušku.

Příklad: Ekvivalentní úpravy provádíme tak, abychom na jedné straně rovnice (zpravidla levé) osamostatnili neznámou. Prováděné úpravy zapisujeme za svislou čáru vpravo od rovnice. 3

12

8 5

3 |

12

15 |:

8

5

Zkouška: L

3

3·

3

12

9

12

P

3

8·

3

3

24

3

L

P

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

21 21

Výsledek řešení: 3 L

3

3·

3

12

9

12

P

3

8·

3

3

24

3

L

P

21 21

Příklady k procvičení: 5) Řešte rovnici 6) Řešte rovnici 0,2

5

√5

0,4

√5 a proveďte zkoušku. 1,6

0,3 a proveďte zkoušku.

√

√

;L

P

[ 0,5; L

P

0,5]

P

4√2]

[


√3

3

√5 a proveďte zkoušku.

[NŘ]


√2

5

√2 a proveďte zkoušku.

[ √2; L

]

16


Řešení rovnice v daném oboru, zkouška při řešení rovnice Varianta C 7

Řešte rovnici

2 a proveďte zkoušku.

Příklad: Vyskytují-li se v lineární rovnici zlomky, měla by první ekvivalentní úprava směřovat k odstranění zlomků. To provedeme tak, že obě strany rovnice vynásobíme společným (nejlépe nejmenším) násobkem všech jmenovatelů. 1 3 2

2 2

1

7

2| · 6

2

42 44

3 9

3 9 |

6 9

12 44

|:

L 5 P 5

5

1 3

5

1 2

7

9

5

2


9



5

L 5

1 3

5

P 5

1 2

7

9

5

2

9

Příklady k procvičení: a proveďte zkoušku.

9) Řešte rovnici

24

10) Řešte rovnici 11) Řešte rovnici 12) Řešte rovnici

1

a proveďte zkoušku.

0 a proveďte zkoušku. 1 a proveďte zkoušku.

[ 4; L

P

5]

[17; L

P

7]

[8; L [11; L

P

0] P

2]


17

Rovnice s neznámou ve jmenovateli a grafické řešení lineární rovnice Základní pojmy V rovnicích s neznámou ve jmenovateli se vyskytují lomené výrazy. Dříve, než takovou rovnici řešíme, určíme všechny podmínky, za kterých mají jednotlivé lomené výrazy smysl. Poté rovnici řešíme standardním způsobem, tj. odstraněním zlomků a následným řešením dalšími ekvivalentními úpravami. Výsledné řešení pak musíme konfrontovat se všemi podmínkami jednotlivých lomených výrazů. Každou lineární rovnici lze zapsat ve tvaru

. Jedná se tak vlastně o zápis

rovnosti dvou lineárních funkcí: :

:

Řešení původní rovnice pak odpovídá x-ové souřadnici průsečíků grafů obou lineárních funkcí. Jelikož je grafem lineární funkce přímka, mohou pro vzájemnou polohu obou grafů a tedy i pro řešení lineární rovnice nastat tři případy: •

Přímky jsou různoběžné – existuje jeden průsečík a rovnice má jedno řešení.

•

Přímky jsou rovnoběžné různé – neexistuje žádný průsečík a rovnice nemá řešení.

•

Přímky jsou totožné – existuje nekonečně mnoho společných bodů a rovnice má nekonečně mnoho řešení.

18


Rovnice s neznámou ve jmenovateli a grafické řešení lineární rovnice Varianta A Řešte rovnici

0.

Příklad: Nejprve stanovíme podmínky, za kterých mají lomené výrazy, vyskytující se v rovnici, smysl. 3

0 3

Ekvivalentní úpravy provádíme tak, abychom na jedné straně rovnice (zpravidla levé) osamostatnili neznámou. Prováděné úpravy zapisujeme za svislou čáru vpravo od rovnice. 2

8 3 2

0 | · 8

2

0 |

3 8

8 |: 2 4

Řešení není v rozporu s výše uvedenou podmínkou a je tedy řešením dané rovnice. Příklad: Varianta A

Výsledek řešení: 4


Příklady k procvičení: 1) Řešte rovnici

1.

[7;

2) Řešte rovnici

10.

[

3) Řešte rovnici 4) Řešte rovnici

6. 3.

[NŘ; [

4] ;

5] 3] 8;

8]


19

Rovnice s neznámou ve jmenovateli a grafické řešení lineární rovnice Varianta B Řešte rovnici: 2

1 3

2

2

2

Příklad: Nejdříve stanovíme podmínky: 2

0 2

1

2 2

3 3 1

2 | · 3

2 2

2·3·

1

6·

2

2 2

6

12 |

13

6 |: 6

12

13 6 Příklad: Varianta A

Výsledek řešení: 13 6


Příklady k procvičení:


[ 1;

.

5) Řešte rovnici

1

.

[2; .

[NŘ;

.

[

0;

1]

0;

8] 4]

;

2;

6;

3]


20

Rovnice s neznámou ve jmenovateli a grafické řešení lineární rovnice Varianta C Řešte graficky rovnici

3

4

3.

Příklad: Jedná se tak vlastně o zápis rovnosti dvou lineárních funkcí: 3

: :

4

3

Řešení původní rovnice pak odpovídá x-ové souřadnici průsečíků grafů obou lineárních funkcí.

2 Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C



Příklady k procvičení: 9) Řešte graficky rovnici

3 2

3

3

3.

21


22

10) Řešte graficky rovnici

2

2

3

3.



1

2

1

4.

23

24



NŘ

2

3

2

1.


25

Lineární rovnice s absolutní hodnotou Základní pojmy Definice: Absolutní hodnota čísla a) | |

0

pro

b) | |

je definována takto: 0

pro

Věta: Pro libovolná čísla , 1.) | |

0

2.) | |

|

| |·| |

| | | |

platí:

|

3.) | · | 4.)

0

,

Poznámka: •

Číslo | | se pro libovolné

rovná vzdálenosti obrazu čísla a na číselné ose od

počátku (tj. od obrazu čísla 0). •

Číslo |

|

|

a, b na číselné ose.

| se pro libovolná čísla ,

rovná vzdálenosti obrazů čísel

26


Lineární rovnice s absolutní hodnotou Varianta A Řešte rovnici | |

3.

Příklad: Absolutní hodnota z čísla x je rovna vzdálenosti tohoto čísla na číselné ose od počátku, tedy od čísla 0. Můžeme sestrojit pomocnou kružnici se středem v bodě 0 a poloměrem 3 jednotky. Tato kružnice protne číselnou osu v těch bodech, které jsou řešením uvedené rovnice.

Z obrázku je vidět, že rovnice má dvě řešení: Příklad: Varianta A

,

3.


Varianta B

,

Varianta C

Příklady k procvičení: 1) Řešte rovnici | |

1.

[ 1]

2) Řešte rovnici | |

12.

[ 12]


0.

[0]


1.

[NŘ]


27

Lineární rovnice s absolutní hodnotou Varianta B Řešte rovnici |

1|

3.

Příklad: 1 je rovna vzdálenosti čísla x na číselné ose od čísla 1. Můžeme

Absolutní hodnota z čísla

sestrojit pomocnou kružnici se středem v bodě 1 a poloměrem 3 jednotky. Tato kružnice protne číselnou osu v těch bodech, které jsou řešením uvedené rovnice.

Z obrázku je vidět, že rovnice má dvě řešení: Příklad: Varianta A

2,

4.

Výsledek řešení: ,


Příklady k procvičení: 5) Řešte rovnici |

11|

6) Řešte rovnici |

1|

5.

[4, 6]

7) Řešte rovnici |1

|

2.

[3, 1]


1|

4.

3.

[7, 15]

[NŘ]


28

Lineární rovnice s absolutní hodnotou Varianta C Řešte rovnici |

1|

|2

3|

1.

Příklad: Řešení rovnic s větším počtem absolutních hodnot provádíme jiným způsobem. Nejdříve stanovíme tzv. nulové body všech absolutních hodnot, tedy body, v nichž se výrazy uvnitř jednotlivých absolutních hodnot rovnají nule. Množinu reálných čísel pak rozdělíme pomocí těchto nulových bodů na jednotlivé disjunktní intervaly. V každém intervalu zvlášť pak zkoumáme znaménko jednotlivých výrazů v absolutních hodnotách a absolutní hodnoty zde v souladu s definicí nahrazujeme přímo tímto výrazem nebo výrazem opačným. Celý postup zpravidla zapisujeme do přehledné tabulky. NB: 1,

∞;

|

1|

|2

3|

2

3 2

3 ; 1 2

1

1

3

2

3

I.

II.

1; ∞ 1 2

3 III.

V každém z intervalů I., II. a III. Pak řešíme zvlášť lineární rovnici, ale absolutní hodnoty nahrazujeme příslušnými výrazy z tabulky. I. 1

2

1 3

2 4

3

1

3 1|

5|: 5 3

3 1 4 3 ∞;

3 2


II.

1

2

1

3

2 2

1

3 1|

1

2 3 ; 1 2

1

III. 1

2

1

3

2

3

4 3

1

3 1|

1 4

3|: 3 1

1; ∞

Řešení mají tedy rovnice pouze v intervalech I. a II. Původní rovnice má tak dvě řešení. ; 1 .

Množinu řešení můžeme zapsat ve tvaru

Příklad:


Varianta A

5 ; 3

Varianta B

1

Varianta C

Příklady k procvičení: 9) Řešte rovnici |

|

1|

3|

5.

10) Řešte rovnici 2|

1|

|

3|


|

3|

2.


1|

|

3|

; 4.

2|

1

1|

1.

;

29

30


Lineární nerovnice Základní pojmy Definice: Lineární nerovnicí s neznámou x nazýváme každou nerovnici v jednom z těchto tvarů:

kde ,

a)

0,

b)

0,

c)

0,

d)

0,

.

Lineární nerovnicí dále nazýváme každou nerovnici, kterou lze pomocí tzv. ekvivalentních úprav převést na nerovnici ve výše uvedeném tvaru. Při řešení lineárních nerovnic používáme stejné ekvivalentní úpravy jako při řešení lineárních rovnic, s jednou podstatnou výjimkou: Násobíme-li nerovnici záporným číslem, mění se znaménko nerovnosti v opačné!


31

Lineární nerovnice Varianta A Řešte rovnici 2 √5

10

0.

Příklad: Ekvivalentní úpravy provádíme tak, abychom na jedné straně nerovnice (zpravidla levé) osamostatnili neznámou. Prováděné úpravy zapisujeme za svislou čáru vpravo od rovnice. 2 √5

10

2 √5 √ Řešení zpravidla zapisujeme pomocí intervalu: Příklad:

0 |

10

10 |: 2√5 √

·

√ √

√

√ ; ∞ .


Varianta A

√ ; ∞



0.

2) Řešte rovnici 0,1 3) Řešte rovnici 4) Řešte rovnici

· √3

0,002 √3 0.

0. 0.

[

∞; ]

[

; ∞ ]

[

∞;

[

]

; ∞ ]

32


Lineární nerovnice Varianta B Řešte rovnici 10

20

16

6.

Příklad: Ekvivalentní úpravy provádíme tak, abychom na jedné straně nerovnice (zpravidla levé) osamostatnili neznámou. Prováděné úpravy zapisujeme za svislou čáru vpravo od nerovnice. 10

20

16 6

6 | 26 |:

Řešení zpravidla zapisujeme pomocí intervalu:


20

16

6

; ∞ .

Výsledek řešení: ; ∞

Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 5) Řešte rovnici 4 6) Řešte rovnici 0,1

√2

5

0,3

7) Řešte rovnici

√2


√10

√3. 1,1

2 2

∞; √

[ 0,7.

√3. √8.

√ ]

; ∞ ]

[ [

√

[

]

√

; ∞ ]


33

Lineární nerovnice Varianta C Řešte rovnici

7.

Příklad: Vyskytují-li se v lineární nerovnici zlomky, měla by první ekvivalentní úprava směřovat k odstranění zlomků. To provedeme tak, že obě strany nerovnice vynásobíme společným (nejlépe nejmenším) násobkem všech jmenovatelů. 7 5 42

2

15

2 3 20

7| · 30 210 |

20

|: Řešení zpravidla zapisujeme pomocí intervalu: Příklad: Varianta A Varianta B

; ∞ .

Výsledek řešení: ; ∞

Varianta C Příklady k procvičení: 9) Řešte nerovnici

11.

10) Řešte nerovnici

.

[NŘ]


.

[


∞;

[

.

[

∞;

] ]

]

34


Lineární nerovnice s absolutní hodnotou Základní pojmy Definice: Absolutní hodnota čísla c) | |

0

pro

d) | |

je definována takto: 0

pro

Věta: Pro libovolná čísla , 5.) | |

0

6.) | |

|

| |·| |

| | | |

platí:

|

7.) | · | 8.)

0

,

Poznámka: •

Číslo | | se pro libovolné

rovná vzdálenosti obrazu čísla a na číselné ose od

počátku (tj. od obrazu čísla 0). •

Číslo |

|

|

a, b na číselné ose.

| se pro libovolná čísla ,

rovná vzdálenosti obrazů čísel


35

Lineární nerovnice s absolutní hodnotou Varianta A Řešte nerovnici | |

3.

Příklad: Absolutní hodnota z čísla x je rovna vzdálenosti tohoto čísla na číselné ose od počátku, tedy od čísla 0. Můžeme sestrojit pomocný kruh se středem v bodě 0 a poloměrem 3 jednotky. Průnik tohoto kruhu s číselnou osou je řešením uvedené nerovnice.

K

3; 3 .

Z obrázku je vidět, že řešením nerovnice je interval: Příklad: Varianta A

Výsledek řešení: ;


Příklady k procvičení: 1) Řešte nerovnici | |

1.

[

1; 1 ]

2) Řešte nerovnici | |

12.

[

∞; 12


0.

[NŘ]


1.

[

]

12; ∞ ]

36


Lineární nerovnice s absolutní hodnotou Varianta B Řešte nerovnici |

1|

3.

Příklad: 1 je rovna vzdálenosti čísla x na číselné ose od čísla 1. Můžeme

Absolutní hodnota z čísla

sestrojit pomocný kruh se středem v bodě 1 a poloměrem 3 jednotky. Průnik vnější části tohoto kruhu a jeho hraniční kružnice s číselnou osou je řešením uvedené nerovnice.

K

∞; 2

Z obrázku je vidět, že řešením nerovnice je sjednocení intervalů: Příklad: Varianta A

4; ∞ .

Výsledek řešení: ∞;

Varianta B

;

∞

Varianta C

Příklady k procvičení: 5) Řešte nerovnici |

11|

6) Řešte nerovnici |

1|

7) Řešte nerovnici |1

|


1|

4.

[

∞; 7

5.

[

6; 4 ]

2.

[

∞; 1

3.

[NŘ]

15; ∞ ] 3; ∞ ]


37

Lineární nerovnice s absolutní hodnotou Varianta C Řešte nerovnici |

1|

|2

3|

1.

Příklad: Řešení nerovnic s větším počtem absolutních hodnot provádíme jiným způsobem. Nejdříve stanovíme tzv. nulové body všech absolutních hodnot, tedy body, v nichž se výrazy uvnitř jednotlivých absolutních hodnot rovnají nule. Množinu reálných čísel pak rozdělíme pomocí těchto nulových bodů na jednotlivé disjunktní intervaly. V každém intervalu zvlášť pak zkoumáme znaménko jednotlivých výrazů v absolutních hodnotách a absolutní hodnoty zde v souladu s definicí nahrazujeme přímo tímto výrazem nebo výrazem opačným. Celý postup zpravidla zapisujeme do přehledné tabulky. NB: 1,

∞;

|

1|

|2

3|

2

3 2

3 ; 1 2

1

1

3

2

I.

3 II.

1; ∞ 1 2

3 III.

V každém z intervalů I., II. a III. Pak řešíme zvlášť lineární nerovnici, ale absolutní hodnoty nahrazujeme příslušnými výrazy z tabulky. I. 1 1 3 3

2

3

2 4

3 1|

5|:

1 4

3 5 3

∞;

1

5 3

38


Nyní stanovíme průnik tohoto řešení s intervalem, v němž řešení provádíme, tedy:

∞;

5 3

3 2

∞;

∞;

5 3

II.

1

2

1

3

2 2

3 1|

1 1

2

1 1; ∞ Nyní stanovíme průnik tohoto řešení s intervalem, v němž řešení provádíme, tedy: 3 ; 1 2

1; ∞

1

III. 1 1 3

2

3

2 4

3 1|

3

1 1 4

3|: 3 1 1; ∞

Nyní stanovíme průnik tohoto řešení s intervalem, v němž řešení provádíme, tedy: 1; ∞

1; ∞

1; ∞

Řešením původní nerovnice je pak sjednocení jednotlivých dílčích řešení jednotlivých intervalů: ∞;


5 3

1

1; ∞

∞;

Výsledek řešení: ∞;

5 3

1;

∞

5 3

1; ∞


Příklady k procvičení: 9) Řešte nerovnici |

|

1|

3|

5.

10) Řešte nerovnici 2|

1|

|

3|


|

3|

2.


1|

|

3|

∞; 4.

; ∞

1 ∞;

2|

1|

1.

∞;

; ∞

39

40


Kvadratické rovnice a nerovnice Rovnice v součinovém tvaru Základní pojmy Definice: Rovnicí v součinovém tvaru s neznámou x nazýváme každou rovnici ve tvaru: · kde výrazy

,

, …,

·

·

0,

jsou lineární dvojčleny.

Rovnicí v součinovém tvaru dále nazýváme každou rovnici, kterou lze převést na rovnici ve výše uvedeném tvaru. Při řešení těchto rovnic využíváme poznatek, že součin dvou anebo více výrazů je roven nule právě tehdy, když alespoň jeden výraz je roven nule.


Rovnice v součinovém tvaru Varianta A 10 · 2

Řešte rovnici

1

0.

Příklad: Výraz na levé straně rovnice je roven nule právě tehdy, když: a)

, nebo

b)

.

Řešení této rovnice se tedy rozpadá na řešení dvojice lineárních rovnic. Řešením první lineární rovnice je číslo 10, řešením druhé lineární rovnice číslo 10;

rovnice lze tedy zapsat ve tvaru

Příklad:

. Množinu řešení dané

.


Varianta A

1 2

10;


Příklady k procvičení: √5 · 3

1) Řešte rovnici 2) Řešte rovnici

·

2


· 3


√3 ·

1

0.

0. 0. 3

2

0.

[

√5; ]

[

0; ]

[

4; ]

[

√

;

]

41

42


Rovnice v součinovém tvaru Varianta B 25

Řešte rovnici

0.

Příklad: Výraz na levé straně rovnice lze rozložit na součin podle vzorce do následujícího tvaru: . Je roven nule právě tehdy, když: a)

, nebo

b)

.

Řešení této rovnice se tedy rozpadá na řešení dvojice lineárních rovnic. Řešením první lineární rovnice je číslo 5, řešením druhé lineární rovnice číslo 5. Množinu řešení dané rovnice lze tedy zapsat ve tvaru Příklad: Varianta A

5; 5 .

Výsledek řešení: 5; 5

Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 5) Řešte rovnici 4 6) Řešte rovnici

49 2

7) Řešte rovnici 100 8) Řešte rovnici 21

7

0.

[

0.

[

144.

[

0.

[

;

]

√2; √2 ] ;

]

√3; √3 ]


43

Rovnice v součinovém tvaru Varianta C Řešte rovnici 3

5

11

10 .

Příklad: Rovnice nejdříve převedeme pomocí ekvivalentních do anulovaného tvaru: |· Výraz na levé straně rovnice lze rozložit na součin vytknutím před závorku do následujícího tvaru: . Je roven nule právě tehdy, když: a)

, nebo

b)

.



Příklad:


.


Varianta A

0;

Varianta B

15 8

Varianta C Příklady k procvičení: 9) Řešte rovnici

1

1 2 5.

10) Řešte rovnici 25 11) Řešte rovnici 12) Řešte rovnici 4

1 .

1 4 16

9 9

0. 0.

[

1; 1 ]

[

4; 5 ]

[ [NŘ]

;

]

44


Kvadratická rovnice Základní pojmy Definice: Kvadratickou rovnicí s neznámou x nazýváme každou rovnici ve tvaru: 0, kde , ,

;

0.

Kvadratickou rovnicí dále nazýváme každou rovnici, kterou lze pomocí ekvivalentních úprav převést na rovnici ve výše uvedeném tvaru. Výraz

nazýváme kvadratický člen, výraz

nazýváme lineární člen a člen absolutní

člen. Věta: 0 je určeno následujícím vztahem:

Řešení kvadratické rovnice

,

Poznámka 1: Výraz

4

√ 2

4

nazýváme diskriminant kvadratické rovnice a podle jeho

hodnoty mohou pro řešení kvadratické rovnice nastat tři možnosti: a)

0 - rovnice má v oboru

dvě různá řešení,

b)

0 - rovnice má v oboru

jedno dvojnásobné řešení,

c)

0 - rovnice nemá v oboru

žádné řešení.

Poznámka 2: Podle výše uvedeného vztahu lze řešit libovolnou kvadratickou rovnici. Existují však speciální typy kvadratických rovnic, které lze řešit i jiným (zpravidla jednodušším) způsobem. Mezi tyto speciální typy řadíme nejčastěji tzv. neúplné kvadratické rovnice: a) Rovnice

0 se nazývá rovnice bez absolutního členu a s výhodou ji

řešíme převedením na součinový tvar vytknutím. b) Rovnice

0 se nazývá ryze kvadratická rovnice a výhodou ji řešíme

převedením na součinový tvar pomocí vzorce (pokud je to možné).


Kvadratická rovnice Varianta A Řešte kvadratickou rovnici bez absolutního členu 4

5

0.

Příklad: 4

Výraz na levé straně upravíme na součin vytknutím na tvar:

5

0.

Výraz na levé straně rovnice je roven nule právě tehdy, když: c) d) 4

0, nebo 5

0.





.



0;

5 4

Příklady k procvičení: 1) Řešte kvadratickou rovnici bez absolutního členu 2

15

2) Řešte kvadratickou rovnici bez absolutního členu 3) Řešte kvadratickou rovnici bez absolutního členu 4) Řešte kvadratickou rovnici bez absolutního členu 0,1

2 1,5

0.

[

0;

0.

[

0; ]

0.

[

0; ]

0. [

]

0; 15 ]

45

46


Kvadratická rovnice Varianta B Řešte ryze kvadratickou rovnici 4

25

0.

Příklad: Výraz na levé straně rovnice lze rozložit na součin podle vzorce do následujícího tvaru: 2

5 2

5

0.

Je roven nule právě tehdy, když: c) 2

5

0, nebo

d) 2

5

0.

Řešení této rovnice se tedy rozpadá na řešení dvojice lineárních rovnic. Řešením první lineární rovnice je číslo , řešením druhé lineární rovnice číslo rovnice lze tedy zapsat ve tvaru


;


.


Varianta B

5 5 ; 2 2

Varianta C Příklady k procvičení: 5) Řešte ryze kvadratickou rovnici 4

49

6) Řešte ryze kvadratickou rovnici 4

121

7) Řešte ryze kvadratickou rovnici 4

3

0.

49

0.

8) Řešte ryze kvadratickou rovnici

0. 0.

;

[

;

[ [

]

√

;

] √

]

[NŘ, výraz nelze rozložit na součin podle vzorce]


47

Kvadratická rovnice Varianta C 7

Řešte kvadratickou rovnici

30

0.

Příklad: Srovnáním s obecným tvarem kvadratické rovnice dostáváme: 1,

7,

30.

Dosazením do vzorce pro řešení kvadratické rovnice dostáváme: ,

√ 2

7

4

7 4·1· 2·1 7

,

√169 2 10;

Varianta A

7

√49 2

120

13 2 3

Množinu řešení dané rovnice lze tedy zapsat ve tvaru Příklad:

7

30

10; 3 .


Varianta B

10; 3

Varianta C Příklady k procvičení: 9) Řešte kvadratickou rovnici 10) Řešte kvadratickou rovnici

2 7

120

0.

[

20

0.

[NŘ]

0.

11) Řešte kvadratickou rovnici 12) Řešte kvadratickou rovnici

2

1

0.

12; 10 ]

[

√5; √5 ;

[

1]

1;

3]

48


Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice Základní pojmy Definice: Kvadratickou rovnicí s neznámou x nazýváme každou rovnici ve tvaru: 0, kde , ,

;

0.




člen. Věta 1: Pro kořeny

,

0 platí následující vztahy:

kvadratické rovnice ·

, .

Věta 2: Jsou-li čísla

,

kořeny kvadratické rovnice

0, pak platí: .

Uvedenému výrazu na pravé straně rovnosti říkáme rozklad kvadratického trojčlenu na kořenové činitele.


49

Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice Varianta A Pomocí vztahů mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice určete řešení kvadratické rovnice

5

6

0.

Příklad: Srovnáním s obecným tvarem kvadratické rovnice dostáváme: ,

,

.

Dosazením do vztahů mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice dostáváme: b

·

c

5 1 6 1

5

6

Hledáme tedy dvě čísla, jejichž součet je 5 a součin 6. Takovým podmínkám vyhovují čísla 2 a 3. Množinu řešení dané rovnice lze tedy zapsat ve tvaru Příklad: Varianta A

2; 3 .


Varianta B

2; 3

Varianta C

Příklady k procvičení: 1) Pomocí vztahů mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice určete řešení kvadratické 11 30 0. [ 5; 6 ] rovnice 2) Pomocí vztahů mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice určete řešení kvadratické rovnice 2 0. [ 1; 2 ] 3) Pomocí vztahů mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice určete řešení kvadratické rovnice 7 12 0. [ 3; 4 ] 4) Pomocí vztahů mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice určete řešení kvadratické rovnice 5 6 0. [ 2; 3 ]

50


Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice Varianta B Sestavte kvadratickou rovnici s kořeny 2 3. Příklad: Dosazením do vztahů mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice dostáváme: b

2

c

·

b

3 c a

2 ·3

Úpravou uvedených vztahů dostáváme: b

b

1

c

c

6

1 1

1 6 1

Prostým srovnáním zlomků na levé a pravé straně obou rovností dostáváme: ,

,

Kvadratickou rovnici tedy můžeme psát ve tvaru: Příklad: Varianta A

6

0.


Varianta B

6

0

Varianta C Příklady k procvičení: 5) Sestavte kvadratickou rovnici s kořeny 5 .

[3

16

5

6) Sestavte kvadratickou rovnici s kořeny 0 .

[3

2

0]

7) Sestavte kvadratickou rovnici s kořeny 2 2.

[

4

0]

[

4

1

8) Sestavte kvadratickou rovnici s kořeny 2

√3 2

√3.

0]

0]


51

Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice Varianta C 7

Kvadratický trojčlen

30 rozložte na součin kořenových činitelů.

Příklad: Srovnáním kvadratického trojčlenu s obecným tvarem kvadratické rovnice dostáváme: ,

,

.

Dosazením do vzorce pro řešení příslušné kvadratické rovnice dostáváme: ,

√ 2

7

4

7 4·1· 2·1 7

√169 2

,

7

30

7

√49 2

120

13 2

10;

3

Kvadratický trojčlen lze tedy psát ve tvaru: 7

30

1·

10

3

Po úpravě: 7 Příklad: Varianta A

30

10

3


Varianta B

30

10

3

Varianta C Příklady k procvičení: 9) Kvadratický trojčlen

2

120 rozložte na součin kořenových činitelů. [

10) Kvadratický trojčlen

7

2

120

12

10 ]

20 rozložte na součin kořenových činitelů. [nelze rozložit]


0·



2

0·

5

√5

√5 ]


2

1

1

1 ]

52


Grafické řešení kvadratické rovnice a nerovnice Základní pojmy Definice: Kvadratickou rovnicí s neznámou x nazýváme každou rovnici ve tvaru: 0, kde , ,

;

0.




člen. Vydělíme-li kvadratickou rovnici číslem a, dostáváme kvadratickou rovnici v tzv. normovaném tvaru. Definice: Kvadratickou rovnicí v normovaném tvaru s neznámou x nazýváme každou rovnici ve tvaru: 0, kde ,

.

Takovou rovnici pak lze psát v následujícím tvaru: Jedná se vlastně o rovnost dvou funkcí, funkce kvadratické na straně levé a funkce lineární na straně pravé. Znázorníme-li grafy obou funkcí do jednoho obrázku, je řešením původní kvadratické rovnice x-ová souřadnice průsečíků obou grafů. Uvedený postup je návodem na grafické řešení kvadratické rovnice.


53

Věta 1: Pro vzájemnou polohu paraboly (grafu kvadratické funkce) a přímky (grafu lineární funkce) mohou nastat následující možnosti: a) parabola a přímka mají dva průsečíky, příslušná kvadratická rovnice má dvě řešení, b) parabola a přímka mají jeden společný bod (přímka je tečnou paraboly), příslušná kvadratická rovnice má jedno řešení, c) parabola a přímka nemají žádný společný bod, příslušná kvadratická rovnice nemá žádné řešení.

Definice: Kvadratickou nerovnicí s neznámou x nazýváme každou nerovnici v jednom z těchto tvarů: 0, 0, 0, 0, kde , ,

;

0.

Na levé straně nerovnice je výraz zápisem kvadratické funkce. Grafem této funkce je parabola, která protíná osu x v těch bodech, které jsou řešením příslušné kvadratické rovnice. Část tohoto grafu pak může ležet pod osou x, část na ose x a část nad osou x. Na základě této vzájemné polohy pak lze graficky určit řešení příslušné kvadratické nerovnice.

54


Grafické řešení kvadratické rovnice a nerovnice Varianta A Řešte graficky kvadratickou rovnici

2

3

0.

Příklad: Pomocí ekvivalentních úprav převedeme rovnici na tvar: 2 Do jednoho grafu pak zakreslíme grafy funkcí :

3 a

:

2

3

Obě křivky tedy mají dva průsečíky a jejich x-ové souřadnice ( 1 a 3) jsou řešením příslušné kvadratické rovnice. Množinu řešení dané rovnice lze tedy zapsat ve tvaru Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C


1; 3 .


Příklady k procvičení: 0.

1) Řešte graficky kvadratickou rovnici

[

0; ]


[

2; 2 ]

4

0.

55

56



[

1

0.

1]

4) Řešte graficky kvadratickou rovnici 2

[NŘ]

2

2

3

0.


Grafické řešení kvadratické rovnice a nerovnice Varianta B Řešte kvadratickou nerovnici 4

5

0.

Příklad: Nejdříve vyřešíme příslušnou kvadratickou rovnici. Výraz na levé straně upravíme na součin vytknutím na tvar:

4

5

0.

Výraz na levé straně rovnice je roven nule právě tehdy, když: e) f) 4

0, nebo 5

0.

Řešení této rovnice se tedy rozpadá na řešení dvojice lineárních rovnic. Řešením první lineární rovnice je číslo 0, řešením druhé lineární rovnice číslo rovnice lze tedy zapsat ve tvaru kvadratické funkce osu x.

0;


. V těchto bodech protne graf příslušné

57

58


Hledáme ty části grafu, které podle zadání původní nerovnice leží pod osou x nebo na ose x. Řešení je v obrázku vyšrafováno červeně a je vidět, že nerovnici vyhovují všechna x z intervalu


; 0 .


Varianta B

5 ; 0 4

Varianta C Příklady k procvičení: 5) Řešte kvadratickou nerovnici 4

49

6) Řešte kvadratickou nerovnici 4

0.

121

7) Řešte kvadratickou nerovnici 4

3

8) Řešte kvadratickou nerovnici

49

[ 0.

0. 0.

∞; ;

[ [ [

; ∞ ]

√

;

] √

∞; 7

] 7; ∞ ]


59

Grafické řešení kvadratické rovnice a nerovnice Varianta C Řešte kvadratickou nerovnici

7

30

0.

Příklad: Nejdříve vyřešíme příslušnou kvadratickou rovnici. Dosazením do vzorce pro řešení kvadratické rovnice dostáváme: ,

√ 2

4

7

7 4·1· 2·1 7

,

√169 2 10;

Množinu řešení dané rovnice lze tedy zapsat ve tvaru graf příslušné kvadratické funkce osu x.

7

30

7

√49 2

120

13 2 3 3; 10 . V těchto bodech protne

60


Hledáme ty části grafu, které podle zadání původní nerovnice leží nad osou x nebo na ose x. Řešení je v obrázku vyšrafováno červeně a je vidět, že nerovnici vyhovují všechna x z množiny

∞; 3


10; ∞ .


Varianta B

∞; 3

10;

∞

120

0.

[

20

0.

[NŘ]

6

0.

[

Varianta C Příklady k procvičení: 9) Řešte kvadratickou rovnici 10) Řešte kvadratickou rovnici

2 7 5

11) Řešte kvadratickou rovnici 12) Řešte kvadratickou rovnici

2

1

0.

[

∞; 10 2; 3 ] 1]

12; ∞ ]


61

Umocňování rovnice Základní pojmy Věta: Pro libovolná dvě čísla ,

platí: .

Uvedená věta ovšem neplatí naopak. Z tohoto poznatku plyne pro umocnění rovnice následující skutečnost: Věta: Umocněním obou stran rovnice na druhou dostaneme rovnici, pro kterou platí: Každý kořen původní rovnice je současně kořenem i rovnice umocněné, ale ne naopak. Umocněná rovnice může mít kořeny, které nejsou kořeny rovnice původní. Umocnění rovnice je tzv. důsledkovou úpravou. Použijeme-li při řešení rovnice důsledkovou úpravu, je nezbytnou součástí řešení rovnice zkouška.

62


Umocňování rovnice Varianta A Řešte rovnici √2

4

3.

Příklad: Nejdříve umocníme rovnici: 3|

4

√2

| |:

Jelikož jsme provedli důsledkovou úpravu, je nezbytnou součástí řešení zkouška. L

√

·

√

P L

P

Původní rovnice tedy nemá řešení. Příklad: Varianta A Varianta B

Výsledek řešení: Rovnice nemá řešení.

Varianta C Příklady k procvičení: 1) Řešte rovnici √2

3

5.

[

11 ]

2) Řešte rovnici √4

1

9.

[

20 ]


3

5.

[NŘ]

4) Řešte rovnici √ 2

3

1.

[NŘ]


Umocňování rovnice Varianta B Řešte rovnici √

4

2.

Příklad: Nejdříve umocníme rovnici: 2|

4

√ 4

2 4

4

4|

0

4

5 5

0

0;

5

Jelikož jsme provedli důsledkovou úpravu, je nezbytnou součástí řešení zkouška. L 0

4

√0

P 0

L 5

0

2

L

P

√5

4

P 5

5 L

2

√4 2

√9 2

3

3

P

Řešením původní rovnice je pouze číslo 5. Příklad: Varianta A


Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 5) Řešte rovnici √2 6) Řešte rovnici √ 7) Řešte rovnici √5 8) Řešte rovnici √

5 3 1 3

10. 3. 3. 3.

[

15 ]

[

6]

[

10 ]

[

3; 4 ]

63

64


Umocňování rovnice Varianta C Řešte rovnici √

√

3

3.

Příklad: Nejdříve umocníme rovnici: √

√

3

√

√

3

3

9

3

2√ √ 2

3|

2√ √

2√ √

3

√ √

3

3 3

9| 2

2

3

6|: 2 3|

3

3

3

6 0

9

9 9

9| 9|

3 9

9|: 9 1

Jelikož jsme provedli dvě důsledkové úpravy, je nezbytnou součástí řešení zkouška. L 1

√1

√1

P 1 L Řešením původní rovnice je tedy číslo 1. Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C


3 P

3

3


65

Příklady k procvičení: 9) Řešte rovnici √ 10) Řešte rovnici √

1

4

√

1

5.

8

√


1

√3


√

2

[

9. 13 2.

]

[ 5.

]

[

]

[

;

]

66


Řešení rovnic užitím substituce Základní pojmy Substitucí rozumíme nahrazení výrazu v zápisu rovnice obsahujícího proměnnou jinou proměnnou. Daná rovnice se substitucí zpravidla zjednoduší. Tuto jednoduší rovnici s novou neznámou vyřešíme a poté se vrátíme zpět k původní neznámé. Pro volbu substituce neplatí žádné obecné pravidlo, je třeba jistého matematického citu a zkušenosti.


67

Řešení rovnic užitím substituce Varianta A Řešte rovnici

13

36

0.

Příklad: Nejdříve provedeme substituci

.

Původní rovnice se změní následovně: 13

36

0

Jedná se o kvadratickou rovnici, kterou řešíme dosazením do vzorce: · ,

·

· √ ,

,

; Nyní se s oběma řešeními postupně vrátíme k původní proměnné x. a)

b)

V obou případech se jedná o ryze kvadratické rovnice. První má kořeny

a

a druhá

. 2; 2; 3; 3 .

Množinu řešení původní rovnice lze tedy psát ve tvaru Příklad: Varianta A

Výsledek řešení: 2; 2; 3;

Varianta B

3

Varianta C Příklady k procvičení: 2

1) Řešte rovnici

0.

[

√2; √2 ]

2) Řešte rovnici

5

6

0.

[

√2; √2; √3; √3 ]

3) Řešte rovnici

2

1

0.

[

1; 1 ]


13

1

0.

[

;

; ;

]

a

68


Řešení rovnic užitím substituce Varianta B 13

Řešte rovnici

36

0.


.

Původní rovnice se změní následovně: 13

36

0


·

· √ ,

,


b)

V obou případech se jedná o lineární rovnice s neznámou ve jmenovateli (

). Každou

z nich řešíme vynásobením jmenovatelem x. Řešením první rovnice je číslo

, řešením

druhé rovnice číslo

.

Množinu řešení původní rovnice lze tedy psát ve tvaru



;

.


69

Příklady k procvičení: 2

5) Řešte rovnici

0.

[

;

6) Řešte rovnici

5

6

0.

[

3;

7) Řešte rovnici

2

1

0.

[

1]


13

1

0.

[

7;

] ]

]

70


Řešení rovnic užitím substituce Varianta C .

Řešte rovnici


.

Původní rovnice se změní následovně: 1 1 · 5

21 · 10 10 |


·

· √ ,

,


b)

V obou případech se jedná o lineární rovnice s neznámou ve jmenovateli ( z nich řešíme vynásobením jmenovatelem druhé rovnice číslo

. Řešením první rovnice je číslo , řešením

.




). Každou

;

.



.

[


.

[

.

[ .

[

9;

]

; ] 2; ; ]

]

71

72


Soustavy rovnic a nerovnic Lineární rovnice se dvěma neznámými Základní pojmy Definice: Lineární rovnicí se dvěma neznámými x, y nazýváme každou rovnici ve tvaru: , kde , ,

.

Lineární rovnicí se dvěma neznámými dále nazýváme každou rovnici, kterou lze pomocí tzv. ekvivalentních úprav převést na rovnici ve výše uvedeném tvaru. Mezi základní ekvivalentní úpravy patří: -


-


-


-


Řešením rovnic se dvěma neznámými jsou uspořádané dvojice reálných čísel, které můžeme graficky znázornit v rovině. Při řešení lineární rovnice může nastat jedna z následujících možností: a) 0 0 … řešením je množina bodů tvořících přímku různoběžnou s oběma osami soustavy souřadnic. b)

0

0 … řešením je množina bodů tvořících přímku rovnoběžnou s osou x.

c)

0

0 … řešením je množina bodů tvořících přímku rovnoběžnou s osou y.

d)

0

0

0 … řešením je libovolná uspořádaná dvojice reálných čísel x, y.

e)

0

0

0 … rovnice nemá řešení.


Lineární rovnice se dvěma neznámými Varianta A Řešte rovnici 2

3.

Příklad: Všechna řešení dané rovnice dostaneme např. tak, že neznámou x volíme libovolně a pak z rovnice vyjádříme neznámou y. 2

3|

2

Množinu všech řešení původní rovnice lze tedy psát ve tvaru současně znázornit graficky v kartézské soustavě souřadnic.


Výsledek řešení: ;3

2 ;

;3

2 ;

a

73

74



2) Řešte rovnici 0,1

5.

0,2

0,3.

[

;5

;

]

[

;

;

]


3



3

1.

0.

[

;

[

;

√

;

;

]

]

75

76


Lineární rovnice se dvěma neznámými Varianta B Řešte rovnici 2

3.

Příklad: Všechna řešení dané rovnice dostaneme tak, že neznámou y volíme libovolně a pak z rovnice vyjádříme neznámou x. 2

3|: 2

Množinu všech řešení původní rovnice lze tedy psát ve tvaru znázornit graficky v kartézské soustavě souřadnic.



;

;

;

a současně


77


1.

[


16.

[

;

;

;

;

]

]

78



√2.

[

;


0.

[

0;

√

;

;

]

]


79

Lineární rovnice se dvěma neznámými Varianta C Řešte rovnici

2

8 v množině přirozených čísel.

Příklad: Při řešení postupujeme obdobně jako při řešení v množině reálných čísel. Všechna řešení dané rovnice v množině reálných čísel dostaneme např. tak, že neznámou x volíme libovolně a pak z rovnice vyjádříme neznámou y. 2

8| |:

Množinu všech řešení znázorníme graficky v kartézské soustavě souřadnic a na vzniklé přímce pak hledáme pouze ty body, jejichž obě souřadnice jsou přirozená čísla.


2; 3 ; 4; 2 ; 6; 1 .

80


Příklad:


Varianta A

2; 3 ; 4; 2 ; 6; 1

Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 9) Řešte rovnici

2


[

1; 1 ]



11) Řešte rovnici

2


[

2; 2 ]

5 v množině přirozených čísel. [

1; 4 ; 2; 3 ; 3; 2 ; 4; 1 ]

81

82



2


[NŘ]


83

Lineární nerovnice se dvěma neznámými Základní pojmy Definice: Lineární nerovnicí se dvěma neznámými x, y nazýváme každou rovnici v jednom z těchto tvarů: , , , kde , ,

.

Lineární nerovnicí dále nazýváme každou nerovnici, kterou lze pomocí tzv. ekvivalentních úprav převést na nerovnici ve výše uvedeném tvaru. Při řešení lineárních nerovnic používáme stejné ekvivalentní úpravy jako při řešení lineárních rovnic, s jednou podstatnou výjimkou: -

Násobíme-li nerovnici záporným číslem, mění se znaménko nerovnosti v opačné!

Řešením rovnic se dvěma neznámými jsou uspořádané dvojice reálných čísel, které můžeme graficky znázornit v rovině. Při řešení lineární rovnice může nastat jedna z následujících možností: a)

0

0 … řešením je množina bodů tvořících polorovinu s hraniční přímkou různoběžnou s oběma osami soustavy souřadnic.

b)

0

0 … řešením je množina bodů tvořících polorovinu s hraniční přímkou rovnoběžnou s osou x.

c)

0

0 … řešením je množina bodů tvořících polorovinu s hraniční přímkou rovnoběžnou s osou y.

d) 0 0 0 … řešením je libovolná uspořádaná dvojice reálných čísel x, y nebo nerovnice nemá žádné řešení podle použitého znaménka nerovnosti. e) 0 0 0 … řešením je libovolná uspořádaná dvojice reálných čísel x, y nebo nerovnice nemá žádné řešení podle použitého znaménka nerovnosti.

84

Lineární rov vnice a nero vnice

Lineární nerovnice se dvě ěma nezná ámými Varianta A Řešte neerovnici

.

Příkladd: Rovnicii hraniční přřímky dostaaneme tak, že ž z rovnicee vyjádříme neznámou y.

Danou přímku p zobrrazíme v sooustavě souřřadnic a zvo olíme libovoolný bod ležžící v jedné ze dvou polorovvin, např. bood

. Soouřadnice toohoto bodu dosadíme do d původní nnerovnice:

Vidíme,, že jsme doostali pravdiivou nerovnnost. Řešeníím je tedy taa polorovinna, ze které byl b „zkušebbní“ bod. Pookud bychoom obdrželi nerovnost nepravdivou n u, řešením bby byla polo orovina opačná. Jelikož byylo v zadáníí nerovnice znaménko neostré n neroovnosti, je řřešením nero ovnice i hraničníí přímka, pookud je v zaadání nerovnnice znaménko ostré nerovnosti, je řešením polorovvina bez hranniční přímkky.

Lineáární rovnice a nerovnicee

Příkladd: Variantaa A Variantaa B Variantaa C Výsleddek řešení:

85

86


Příklady dy k procviče čení: 1) Řeštee nerovnici

2) Řeštee rovnici

.

.


3) Řeštee rovnici

4) Řeštee rovnici

.

.

87

88


Lineární nerovnice se dvě ěma nezná ámými Varianta B Řešte roovnici

.

Příkladd: Rovnicii hraniční přřímky dostaaneme tak, že ž z rovnicee vyjádříme neznámou x.



Vidíme,, že jsme doostali pravdiivou nerovnnost. Řešeníím je tedy taa polorovinna, ze které byl b „zkušebbní“ bod. Pookud bychoom obdrželi nerovnost nepravdivou n u, řešením bby byla polo orovina opačná. Jelikož byylo v zadáníí nerovnice znaménko neostré n neroovnosti, je řřešením nero ovnice i hraničníí přímka, pookud je v zaadání nerovnnice znaménko ostré nerovnosti, je řešením polorovvina bez hranniční přímkky.


Příkladd: Variantaa A Variantaa B Variantaa C Výsleddek řešení:

89

90


Příklady dy k procviče čení: 5) Řeštee rovnici

6) Řeštee rovnici

.

.


7) Řeštee rovnici

8) Řeštee rovnici

.

.

91

92


Lineární nerovnice se dvě ěma nezná ámými Varianta C Řešte roovnici

v množině m přiroozených číssel.

Příkladd: Při řešenní postupujeme obdobnně jako při řešení ř v mn nožině reálnných čísel. R Rovnici hran niční přímky dostaneme tak, že z roovnice vyjáddříme neznáámou y.



Vidíme,, že jsme doostali pravdiivou nerovnnost. Řešeníím v množinně reálnýchh čísel je ted dy ta polorovvina, ze které byl „zkušební“ bod. Pokud P bych hom obdrželi nerovnostt nepravdiv vou, řešením m by byla poolorovina oppačná. Jelikkož bylo v zadání z nerovvnice znaméénko neostrré nerovnoosti, je řešenním nerovniice i hraničnní přímka, pokud p je v zadání z nerovvnice znaménko ostré neerovnosti, jee řešením poolorovina beez hraniční přímky. A nakonec n vyybereme z této poloroviny pouuze ty uspořřádané dvojjice, které jssou tvořené pouze přiroozenými číssly


Množinnu řešení půvvodní rovniice lze tedy psát ve tvarru

Příkladd: Variantaa A Variantaa B Variantaa C Výsledeek řešení:

Příklady dy k procviče čení: 9) Řeštee rovnici

čísel. v množině přirozených p

[

]

93

94


10) Řešte rovnici [

11) Řešte rovnici [

v množině přirozen ných čísel. ]

v množině přirozených p čísel. ]


12) Řešte rovnici

v množiněě přirozených čísel.

[N NŘ]

95


96

Soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými Základní pojmy Definice: Soustavou dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými x, y nazýváme každou soustavu rovnici ve tvaru: , , ,

kde

,

,

,

,

.

Soustavou dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými dále nazýváme každou soustavu, kterou lze pomocí tzv. ekvivalentních úprav převést na soustavu rovnic ve výše uvedeném tvaru. Mezi základní ekvivalentní úpravy patří: -


-


-


-


Při řešení soustav rovnic dále nově používáme tyto ekvivalentní úpravy: -

Dosazení výrazu, kterým z jedné rovnice vyjádříme některou neznámou pomocí druhé neznámé, za příslušnou neznámou do zbývající rovnice.

-

Přičtení některé rovnice soustavy k zbývající rovnici této soustavy.

-

Vynásobení některé rovnice soustavy nenulovým číslem a současné přičtení násobku zbývající rovnice soustavy k této násobené rovnici.

Řešením soustavy dvou rovnic se dvěma neznámými jsou uspořádané dvojice reálných čísel.


97

Při řešení soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými může nastat jedna z následujících možností: a) Soustava má jediné řešení. b) Soustava má nekonečně mnoho řešení. (Tato řešení tvoří v kartézské soustavě souřadnic přímku.) c) Soustava nemá řešení. Soustavu dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými můžeme řešit několika způsoby. K těm nejčastějším patří dosazovací metoda, sčítací metoda a grafická metoda. Všechny tyto metody jsou popsány v následujících příkladech.

98


Soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými Varianta A Řešte soustavu rovnic dosazovací metodou: 2 5

7 2

4

Příklad: Dosazovací metoda spočívá v tom, že z jedné ze dvou rovnic vyjádříme jednu neznámou, toto vyjádření dosadíme do druhé rovnice. Řešení tak převedeme na řešení jedné lineární rovnice s jednou neznámou. V tomto konkrétním případě je výhodné vyjádřit z první rovnice neznámou y. 2

7|

2

Tento výraz dosadíme do druhé rovnice za neznámou y. 5

2 7

2

4 |

|: Řešení této rovnice pak dosadíme do výrazu vyjadřující neznámou y a vypočteme i tuto druhou neznámou. · 7

4 3

Řešením této soustavy je tedy uspořádaná dvojice 2; 3 . Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C



Příklady k procvičení: 1) Řešte soustavu rovnic dosazovací metodou: 7 5 [

2

7

3; 4 ]

2) Řešte soustavu rovnic dosazovací metodou: 7 2 [

;7

;

2

14

…nekonečně mnoho řešení]

3) Řešte soustavu rovnic dosazovací metodou: 3 6

7 2

15

[NŘ] 4) Řešte soustavu rovnic dosazovací metodou:

[

;

]

2

3

2

6

3

2

99

100


Soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými Varianta B Řešte soustavu rovnic sčítací metodou: 2

16

5

2

13

Příklad: Sčítací metoda spočívá v tom, že jednu nebo obě rovnice vynásobíme vhodně takovými čísly, aby se po sečtení obou rovnic jedna z neznámých anulovala. Řešení tak opět převedeme na řešení jedné lineární rovnice s jednou neznámou. V tomto konkrétním případě je výhodné první rovnici vynásobit číslem 2. 2

16| · 2

5

2

13

_______________ 4

2

32

5

2

13

_______________ Takto upravené rovnice soustavy sečteme, tedy sečteme levé strany a pravé strany. 4

2

5 9

2

32

13

45|: 9

Řešení této rovnice pak dosadíme do libovolné ze dvou původních rovnic a vypočteme i neznámou y. V tomto případě dosadíme do první rovnice. 2·5

16|

10

6 Řešením této soustavy je tedy uspořádaná dvojice 5; 6 . Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C


Lineární rovnice a nerovnice 101

Příklady k procvičení: 5) Řešte soustavu rovnic sčítací metodou: 1 5 [

2

9

1; 2 ]

6) Řešte soustavu rovnic sčítací metodou: 2 [

;

;

2

7

4

14

…nekonečně mnoho řešení]

7) Řešte soustavu rovnic sčítací metodou: 3

2

7

6

4

15

2

3

2

6

3

2

[NŘ] 8) Řešte soustavu rovnic sčítací metodou:

[

;

]

102


Soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými Varianta C Řešte soustavu rovnic graficky: 2

2 3

2 2

2

3

1

2

1

3

Příklad: Grafická metoda spočívá v tom, že z každé rovnice vyjádříme neznámou y. Vzniknou tak dvě rovnice lineárních funkcí. Do jedné soustavy souřadnic pak nakreslíme oba grafy (přímky) a v souladu s možnými výsledky řešení soustavy dvou rovnic se dvěma neznámými jsou tyto přímky buď různoběžné (soustava má jedno řešení), rovnoběžné různé (soustava nemá řešení), anebo rovnoběžné totožné (soustava má nekonečně mnoho řešení). 2

2

2

3| · 6

3 2

2

2

1

3| · 6

3

________________________________ 3

6

2

4

18|

3

6

4

3

6

4

2

18|

3

6

2

________________________________ 2

3

16|: 2

4

3

26|: 4

________________________________ : :

3 2 3 4

8 13 2


Řešením této soustavy jsou souřadnice průsečíku obou přímek, tedy uspořádaná dvojice 2; 5 .



104


Příklady k procvičení: 9) Řešte soustavu rovnic graficky:

18 6

[

10; 20 ]

10) Řešte soustavu rovnic graficky: [

;

]


11) Řešte soustavu rovnic graficky: [NŘ]

12) Řešte soustavu rovnic graficky:

2 1

[

;

;

]

106


Soustavy lineárních rovnic s více neznámými a soustavy rovnice lineární a kvadratické Základní pojmy U soustav více lineárních rovnic s více neznámými je zpravidla použití metody dosazovací i sčítací méně vhodné. Jako naprosto univerzální se jeví tzv. Gaussova eliminační metoda, která bude blíže vysvětlena v následujících příkladech u soustav tří a čtyř lineárních rovnic se třemi a čtyřmi neznámými. Naopak u soustavy rovnice lineární a kvadratické se dvěma neznámými je většinou nejvhodnější metoda dosazovací. Při řešení opět používáme tzv. ekvivalentní úpravy. Mezi základní ekvivalentní úpravy patří: -


-


-


-


Při řešení soustav rovnic dále nově používáme tyto ekvivalentní úpravy: -

Dosazení výrazu, kterým z jedné rovnice vyjádříme některou neznámou pomocí druhé neznámé, za příslušnou neznámou do zbývající rovnice.

-

Přičtení některé rovnice soustavy k zbývající rovnici této soustavy.

-

Vynásobení některé rovnice soustavy nenulovým číslem a současné přičtení násobku zbývající rovnice soustavy k této násobené rovnici.

Řešením soustavy dvou rovnic se dvěma neznámými jsou uspořádané dvojice reálných čísel. Řešením soustavy tří rovnic se třemi neznámými jsou uspořádané trojice reálných čísel. Řešením soustavy čtyř rovnic se čtyřmi neznámými jsou uspořádané čtveřice reálných čísel.


Při řešení soustavy více lineárních rovnic s více neznámými může nastat jedna z následujících možností: a) Soustava má jediné řešení. b) Soustava má nekonečně mnoho řešení. (Tato řešení tvoří v kartézské soustavě souřadnic přímku, rovinu, nadrovinu.) c) Soustava nemá řešení. Při řešení soustavy lineární a kvadratické rovnice se dvěma neznámými může nastat jedna z následujících možností: a) Soustava má dvě řešení. b) Soustava má jediné řešení. c) Soustava nemá řešení.

108


Soustavy lineárních rovnic s více neznámými a soustavy rovnice lineární a kvadratické Varianta A Řešte soustavu rovnic Gaussovou eliminační metodou: 6 2

3

1

3

8

Příklad: Při řešení soustavy rovnic Gaussovou eliminační metodou bývá obvyklé provádět zápis řešení tzv. maticovým způsobem. Celou soustavy pak můžeme přepsat takto: 1 2 3

1 3 1

1 6 1 1 1 8

Gaussova eliminační metoda spočívá v tom, že ekvivalentní úpravy volíme tak, abychom matici soustavy převedli na tzv. trojúhelníkový tvar. Pod hlavní úhlopříčkou matice tak vzniknou samé nuly. V tomto konkrétním případě postupujeme tak, že od druhého řádku odečteme dvojnásobek prvního řádku a od třetího řádku odečteme trojnásobek prvního řádku. 1 0 0

1 5 2

1 1 2

6 13 10

1 5 1

1 1 1

6 13 5

Třetí řádek můžeme vydělit číslem 2. 1 0 0

Nyní k pětinásobku třetího řádku přičteme druhý řádek. 1 0 0

1 5 0

1 6 1 13 4 12

Tím je matice soustavy převedena na trojúhelníkový tvar a nyní se vrátíme k původnímu zápisu soustavy. 6 5

13 4

12


3. Dosazením do druhé rovnice

Poslední rovnici vydělíme čtyřmi a dostáváme dostáváme: 5

3

13|

5

3 5

10|: 2

Nyní dosadíme do první rovnice soustavy: 2

3

6|

5

1 Řešením této soustavy je tedy uspořádaná trojice 1; 2; 3 . Příklad: Varianta A


Varianta B

1; 2; 3

Varianta C

Příklady k procvičení: 1) Řešte soustavu rovnic Gaussovou eliminační metodou: 2

3

3 2 [

3

8

2

10

2

5

3; 5; 7 ]

2) Řešte soustavu rovnic Gaussovou eliminační metodou: 2

7 3

9

5 [

18

2; 3; 4 ]

3) Řešte soustavu rovnic Gaussovou eliminační metodou: 0 2 4 [

1; 1; 2 ]

1 2

3

0

110


4) Řešte soustavu rovnic Gaussovou eliminační metodou: 2 3 [

]

2

3

4

4

6

3 1


Soustavy lineárních rovnic s více neznámými a soustavy rovnice lineární a kvadratické Varianta B Řešte soustavu rovnic Gaussovou eliminační metodou: 10 2

3

3

3

4

4

5

Příklad: Při řešení soustavy rovnic Gaussovou eliminační metodou bývá obvyklé provádět zápis řešení tzv. maticovým způsobem. Celou soustavy pak můžeme přepsat takto: 1 2 3 4

1 3 1 1

1 1 1 1

1 1

10 3 1 4 1 5

Gaussova eliminační metoda spočívá v tom, že ekvivalentní úpravy volíme tak, abychom matici soustavy převedli na tzv. trojúhelníkový tvar. Pod hlavní úhlopříčkou matice tak vzniknou samé nuly. V tomto konkrétním případě postupujeme tak, že od druhého řádku odečteme dvojnásobek prvního řádku, od třetího řádku odečteme trojnásobek prvního řádku a od čtvrtého řádku odečteme čtyřnásobek prvního řádku. 1 0 0 0

1 5 2 5

1 1 2 5

1 10 1 17 4 26 5 45

Třetí řádek vydělíme číslem 2 a čtvrtý řádek číslem 1 0 0 0

1 5 1 1

5.

1 1 10 1 1 17 13 1 2 9 1 1

Třetí řádek a čtvrtý řádek postupně vynásobíme číslem 5 a přičteme k nim druhý řádek. 1 0 0 0

1 5 0 0

1 1 10 1 1 17 48 4 9 28 4 4

Čtvrtý řádek vynásobíme číslem 1 a přičteme k němu třetí řádek.

112


1 0 0 0

1 5 0 0

1 1 10 1 1 17 48 4 9 0 5 20

Tím je matice soustavy převedena na trojúhelníkový tvar a nyní se vrátíme k původnímu zápisu soustavy. 10 5

17 4

9

48

5

20 4. Dosazením do třetí rovnice dostáváme:

Poslední rovnici vydělíme pěti a dostáváme 4

9·4 4

48|

36

12|: 4 3

Nyní dosadíme do druhé rovnice soustavy: 5

3

4

5

17|

10|:

7

5

2 A nakonec dosadíme do první rovnice soustavy: 2

3

4

10|

9

1 Řešením této soustavy je tedy uspořádaná čtveřice 1; 2; 3; 4 . Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

Výsledek řešení: 1; 2; 3; 4


Příklady k procvičení: 5) Řešte soustavu rovnic Gaussovou eliminační metodou: 6 3 2

8 2

2 2

[

5

2; 0; 3; 1 ]

6) Řešte soustavu rovnic Gaussovou eliminační metodou: 2 3

4 2

1

5 [

1

2

1

1; 1; 1; 1 ]


[

4

3

2

4

3

15 3

2

2

0; 1; 2; 3 ]


[

0; 0; 0; 1 ]

4

3

2

4

3

4 1

2

1

114


Soustavy lineárních rovnic s více neznámými a soustavy rovnice lineární a kvadratické Varianta C Řešte soustavu rovnic: 25 1 Příklad: U soustavy rovnice lineární a kvadratické zpravidla používáme dosazovací metodu. Z lineární rovnice vyjádříme jednu neznámou a dosazením do druhé rovnice dostaneme kvadratickou rovnici s jednou neznámou. Z druhé rovnice tedy vyjádříme y a dosadíme do první rovnice: 1 1

25

Vzniklou rovnici postupně upravujeme: 1

2

25|

2

2

24

0|: 2

12

0

25

Dostali jsme tak kvadratickou rovnici, kterou řešíme dosazením do vzorce. 4

√ 2

,

1

1 4·1· 2·1

,

1

√1 2

,

1 ,

,

12

48

√49 2 1 7 2

4;

3

Nyní dosadíme oba dva výsledky postupně do rovnice pro vyjádření neznámé y z lineární rovnice. 1 1

4

3 3

4


Řešením dané soustavy jsou tedy dvě uspořádané dvojice 4; 3 a Příklad:


Varianta A

4; 3 ;

Varianta B

3; 4

Varianta C

Příklady k procvičení: 9) Řešte soustavu rovnic: 1

2 2

[

25 2

6; 2 ; 2; 2 ]

10) Řešte soustavu rovnic: 2

8

8 0

[

2; 2 ;

2; 2 ]

11) Řešte soustavu rovnic: 5 2 [

5; 2 ;

45 5

0

5; 2 ]

12) Řešte soustavu rovnic: 18 6 [

3; 3 ]

16

3; 4 .

116


Soustavy lineárních nerovnic Základní pojmy Soustava lineárních nerovnic je tvořena větším počtem lineárních nerovnic s jednou neznámou. Definice: Lineární nerovnicí s neznámou x nazýváme každou nerovnici v jednom z těchto tvarů:

kde ,

a)

0,

b)

0,

c)

0,

d)

0,

.

Lineární nerovnicí dále nazýváme každou nerovnici, kterou lze pomocí tzv. ekvivalentních úprav převést na nerovnici ve výše uvedeném tvaru. Při řešení lineárních nerovnic používáme stejné ekvivalentní úpravy jako při řešení lineárních rovnic, s jednou podstatnou výjimkou: Násobíme-li nerovnici záporným číslem, mění se znaménko nerovnosti v opačné!

Soustavu lineárních nerovnic zpravidla řešíme tak, že každou nerovnici vyřešíme zvlášť a řešení celé soustavy pak určíme jako průnik všech dílčích řešení jednotlivých nerovnic


Soustavy lineárních nerovnic Varianta A Řešte soustavu lineárních nerovnic: 2

1

5

7

2

4

Příklad: 2

1

7|

2

1

8|: 2 4

5

2

4|

5

2

6|: 5 6 5

Řešení první nerovnice tedy můžeme psát ve tvaru tvaru

∞;

. Řešení celé soustavy pak najdeme jako průnik obou intervalů: ∞;

Řešením této soustavy je tedy interval


4; ∞ a řešení druhé nerovnice ve

Výsledek řešení: 4;

6 5

6 5

4; ∞ 4;

.

4;

6 5

118


Příklady k procvičení: 1) Řešte soustavu lineárních nerovnic: 1

7

2

7

1

7

2

2

14

3

1

7

6

2

15

2

3

2

6

3

2

5 [NŘ] 2) Řešte soustavu lineárních nerovnic:

[

∞; 6 ]

3) Řešte soustavu lineárních nerovnic:

[

2;

]

4) Řešte soustavu lineárních nerovnic:

[

; ∞ ]


Soustavy lineárních nerovnic Varianta B Řešte soustavu lineárních nerovnic: 2

2

5

2

16 18

Příklad: 2

2

|

16 3

2

14|: 3 14 3

5

2

18| 4

2

20|: 4 5


∞; 5 . Řešení celé soustavy pak najdeme jako průnik obou intervalů: ∞; 5



; ∞ a řešení druhé nerovnice ve

Výsledek řešení: 14 ;5 3

14 ; ∞ 3 ;5 .

14 ;5 3

120


Příklady k procvičení: 5) Řešte soustavu rovnic sčítací metodou: 1 5

1

2

9

[NŘ] 6) Řešte soustavu rovnic sčítací metodou: 2 [

∞;

2

7

4

14

]

7) Řešte soustavu rovnic sčítací metodou:

[

;

3

2

7

6

4

15

2

3

2

6

3

]

8) Řešte soustavu rovnic sčítací metodou:

[

∞; ]

2 2


Soustavy lineárních nerovnic Varianta C Řešte soustavu lineárních nerovnic: 2

2

3

3

2 2

2

1

2

1

3

Příklad: 2

2

2

3| · 6

3

3

2 3

2

6 5

2

2

4

2

18|

5

18 18 2

16|: 5 16 5

2

2

1

2

1| · 6

3

3

2 3

2 2 6

7

4 8

7

1 2

6|

6 6

8

14|: 7 2




16 ; ∞ 5

Řešením této soustavy je prázdná množina, soustava nemá řešení.

122


Příklad:


Varianta A

Řešením této soustavy je prázdná množina, soustava nemá řešení.


Příklady k procvičení: 9) Řešte soustavu rovnic graficky:

18 6

[

∞;

]


[

;

]


[

; ∞ ]


2 1

[

]


Lineární nerovnice v součinovém a podílovém tvaru Základní pojmy Lineární nerovnicí v součinovém nebo podílovém tvaru s neznámou x nazýváme každou nerovnici, ve které je v součinu nebo v podílu jeden nebo více lineárních dvojčlenů. Lineární nerovnicí v součinovém nebo podílovém tvaru dále nazýváme každou nerovnici, kterou lze pomocí tzv. ekvivalentních úprav převést na nerovnici ve výše uvedeném tvaru. Při řešení tohoto typu rovnic používáme buď metodu převodu dané rovnice na řešení soustavy nerovnic (zpravidla v případě, kdy se v nerovnici vyskytují v součinu nebo podílu pouze dva lineární dvojčleny), anebo metodu nulových bodů (v případě většího počtu lineárních dvojčlenů).

124


Lineární nerovnice v součinovém a podílovém tvaru Varianta A Řešte nerovnici 2

1

5

0.

Příklad: Na levé straně nerovnice je součin dvou výrazů, který je podle zadání nezáporný. Součin dvou výrazů je ale nezáporný pouze ve dvou případech: a) oba výrazy jsou současně nezáporné, b) oba výrazy jsou současně nekladné. Tuto skutečnost můžeme matematicky zapsat takto: a) Řešíme tedy vlastně soustavu nerovnic. | |:

|


5; ∞ . Řešení celé soustavy pak najdeme jako průnik obou intervalů: 1 ; ∞ 2

Řešením této soustavy je tedy interval b)


5; ∞

; ∞ .

1 ; ∞ 2


Řešíme tedy vlastně soustavu nerovnic. | |:

|

∞;


a řešení druhé nerovnice ve

∞; 5 . Řešení celé soustavy pak najdeme jako průnik obou intervalů: ∞;

1 2


∞; 5

∞; 5

∞; 5 .

Řešením původní nerovnice je pak sjednocení výsledků z obou dílčích částí, tedy: ∞; 5


1 ; ∞ 2

Výsledek řešení: 1 ; ∞ 2

∞; 5


Příklady k procvičení: 1) Řešte rovnici 2) Řešte rovnici 3

1

4

0.

[

4; 1 ]

1

1

0.

[

∞; 1

3) Řešte rovnici

10

1

0.

[

1; 10 ]

4) Řešte rovnici

1 5

1

0.

[

∞; 1

; ∞ ]

; ∞ ]

126


Lineární nerovnice v součinovém a podílovém tvaru Varianta B Řešte nerovnici

0.

Příklad: Na levé straně nerovnice je podíl dvou výrazů, který je podle zadání nezáporný. Podíl dvou výrazů je ale nezáporný pouze ve dvou případech: a) čitatel je nezáporný, jmenovatel je kladný, b) čitatel je nekladný, jmenovatel je záporný. Tuto skutečnost můžeme matematicky zapsat takto: a)

0

Řešíme tedy vlastně soustavu nerovnic. |

| 3 Řešení první nerovnice tedy můžeme psát ve tvaru tvaru

3; ∞ . Řešení celé soustavy pak najdeme jako průnik obou intervalů: 2; ∞

Řešením této soustavy je tedy interval b)

2; ∞ a řešení druhé nerovnice ve

3; ∞

2; ∞

2; ∞ .

0

Řešíme tedy vlastně soustavu nerovnic. |

| 3 Řešení první nerovnice tedy můžeme psát ve tvaru tvaru

∞; 2 a řešení druhé nerovnice ve



∞; 3 ∞; 3 .

∞; 3


Řešením původní nerovnice je pak sjednocení výsledků z obou dílčích částí, tedy: ∞; 3 Příklad: Varianta A

2; ∞

Výsledek řešení: ∞; 3

Varianta B

2; ∞

Varianta C Příklady k procvičení: 5) Řešte nerovnici

0.

[

∞; 3


0.

[

;1 ]

[

∞; 5

[

;2 ]

7) Řešte nerovnici 8) Řešte nerovnici

0. 0.

; ∞ ]

3; ∞ ]

128


Lineární nerovnice v součinovém a podílovém tvaru Varianta C 0.

Řešte rovnici

Příklad: Vyskytuje-li se v nerovnici větší počet lineárních dvojčlenů, jeví se jako výhodnější metoda nulových bodů. Tato metoda spočívá v tom, že celou množinu reálných čísel rozdělíme na intervaly pomocí nulových bodů všech lineárních dvojčlenů. Přitom ještě dáváme pozor, které nulové body „pochází“ ze jmenovatele (u těchto nulových bodů bude vždy otevřený interval), a které z čitatele. U nulových bodů z čitatele bude v případě neostré nerovnosti uzavřený interval a v případě ostré nerovnosti otevřený interval. V každém takovém intervalu určíme znaménko jednotlivých lineárních dvojčlenů a také výsledné znaménko (podle toho, zda celkový počet záporných znamének je sudý nebo lichý). NB:

;

; ∞;

;

·

·

; ·

; ∞ ·

Původní výraz v nerovnici má být nezáporný, řešení nerovnice tedy vyhovují intervaly ze druhého a čtvrtého sloupce. Řešení nerovnice tedy zapíšeme jako sjednocení intervalů z uvedených sloupců, tedy: ; Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

; ∞ .


; ∞



0.

[

;

10) Řešte rovnici

0.

[

∞;

;

11) Řešte rovnici

0.

[

∞;

;

12) Řešte rovnici

0.

[

;

; ∞ ]

;

] ; ∞ ] ]

130


Lineární rovnice a nerovnice s parametrem Lineární rovnice a nerovnice s parametrem Základní pojmy V lineární rovnici resp. nerovnici se kromě neznámé x vyskytuje ještě tzv. parametr. Jedná se tak vlastně o zápis většího množství rovnic (nerovnic), neboť pro různé hodnoty parametru se jedná o různé rovnice (nerovnice). Vyřešit takovou rovnici (nerovnici) s parametrem znamená vyřešit tyto rovnice, tedy stanovit množiny všech řešení v závislosti na hodnotě parametru.


Lineární rovnice a nerovnice s parametrem Varianta A Řešte rovnici s neznámou x a parametrem a: 1

2

Příklad: Za předpokladu, že platí

0;

1, je koeficient u neznámé x na levé straně různý od nuly.

Rovnice pak má jedno řešení, které určíme následující ekvivalentní úpravou: 2 |:

1 2 1

1 2 1

Pro hodnoty parametru 0 a 1 musíme danou rovnici vyřešit zvlášť. a)

0 0· 1

0 · 0·

2·0 0

Řešením takové rovnice je libovolné reálné číslo x. b)

1 1· 1

1 · 0·

2·1 2

Tato rovnice nemá žádné řešení. Získané výsledky zpravidla zapisujeme do přehledné tabulky: Množina řešení

a 0 1 0;

Příklad: Varianta A Varianta B

2

1

1

Výsledek řešení: Množina řešení

a 0

Varianta C

1 0;

1

2 1

132


Příklady k procvičení: 5

1) Řešte rovnici s neznámou x a parametrem a:

3

2

Množina řešení

a 5 5

5

3 5

5


4

Množina řešení

a 4 4

4

5 4

1


Množina řešení

a 1 1 0; 1;

2 1

1


Množina řešení

a 1 2 1 2

2; 2 0

5


Lineární rovnice a nerovnice s parametrem Varianta B Řešte rovnici s neznámou x a parametrem a: 6

9

0

Příklad: Jedná se o kvadratickou rovnici, kterou lze pro větší přehlednost zapsat takto: 6

9

0

Rovnici řešíme dosazením do vzorce pro řešení kvadratické rovnice. 4·1· 6 2·1

6 ,

6

36

,

4

9

4

36

2 6

√36

,

2 6

√ 4 2

,

6

4· 2

,

6

2√ 2

,

2· 3 ,

√ 2

,

3

√

Řešitelnost kvadratické rovnice závisí na hodnotě diskriminantu. a)

0… rovnice má dvě řešení 0|:

1

0 b)

0… rovnice má jeden dvojnásobný kořen 0|: 0

1

9

134


0… rovnice nemá řešení

c)

0|:

1

0 Získané výsledky zpravidla zapisujeme do přehledné tabulky: Množina řešení

a ∞; 0

3

,

√

0

3

0; ∞



Varianta B

Množina řešení

a ∞; 0

Varianta C

3

,

0

√ 3

0; ∞

Příklady k procvičení: 5) Určete, pro které hodnoty reálného parametru a má rovnice 2

4

6

0

řešení v oboru reálných čísel. [

8; ∞ ]

6) Určete, pro které hodnoty reálného parametru b má rovnice 1 řešení v oboru reálných čísel. [

; ∞ ]

2

1

2

0


7) Řešte rovnici s neznámou x a parametrem m: 2

2

2

2

0

Množina řešení

m 2

2

2

2

;

2

8) Řešte rovnici s neznámou x a parametrem c: 2

1

5

0

Množina řešení

c

5 2

0

4; dvojnásobný

1 3 1 ;0 3 ∞;

kořen 0; ∞

,

√

; dva

různé reálné kořeny 1 3

136


Lineární rovnice a nerovnice s parametrem Varianta C Řešte nerovnici s neznámou x a parametrem a: 2

3

Příklad: Na levé straně nerovnice nejdříve vytkneme x. 2 Za předpokladu, že platí Pokud je

3

2, je koeficient u neznámé x na levé straně různý od nuly.

∞; 2 , je koeficient u neznámé x na levé straně nerovnice záporný a po

vydělení nerovnice tímto koeficientem musíme změnit znaménko nerovnosti v opačné, tedy: 3 2 Řešením je tedy interval Pokud je

; ∞ .

2; ∞ , je koeficient u neznámé x na levé straně nerovnice kladný a po

vydělení nerovnice tímto koeficientem dostáváme: 3 2 Řešením je tedy interval

∞;

.

Pro hodnotu parametru 2 musíme danou nerovnici vyřešit zvlášť. · 2

2 ·0

3

2

5

Řešením takové nerovnice je libovolné reálné číslo x. Získané výsledky zpravidla zapisujeme do přehledné tabulky: Množina řešení

a 2 ∞; 2 2; ∞

3

; ∞ 2 3 ∞; 2



Výsledek řešení: Množina řešení

a

Varianta B

2

Varianta C

3

∞; 2

; ∞ 2 3 ∞; 2

2; ∞

Příklady k procvičení: 9) Řešte nerovnici s neznámou x a parametrem m:

Množina řešení

m 0

Nerovnice nemá smysl.

0; ∞

∞;

2; 0

2 2; ∞

∞; 2

∞;

2

2

10) Řešte nerovnici s neznámou x a kladným parametrem k: 2

2 Množina řešení

k 2 2; ∞ 0; 2

1

; ∞

∞;

1

138


0:

11) Řešte nerovnici s neznámou x a parametrem

1

Množina řešení

p 1 1; 0

0; ∞

2

∞; 1

; ∞ ∞; 2

12) Řešte nerovnici s neznámou x a parametrem a: 1

Množina řešení

a 3 ∞; 3 3; ∞

3 ; ∞ ∞;

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

Recommend Documents